автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при их стыковой сварке

иио4Ь4551

На правах рукописи

СЛЕПЦОВА Екатерина Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКИХ ПЛАСТИН ПРИ ИХ СТЫКОВОЙ СВАРКЕ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 (.¡АР 2009

Якутск - 2009

003464551

Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и информатики ГОУ ВПО "Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова"

доктор технических наук, профессор Павлов Алексей Романович

доктор физико-математических наук, профессор Головизнин Василий Михайлович, Институт проблем безопасности развития атомной энергетики РАН (г. Москва), кандидат технических наук, старший научный сотрудник Слепцов Василий Иннокентьевич, Институт горного дела Севера имени И.В. Черского СО РАН (г. Якутск)

Ведущая организация: Институт физико-технических

проблем Севера СО РАН (г. Якутск)

Защита состоится 6 апреля 2009 года в 1 б часов на заседании диссертационного совета Д 212.306.04 при ГОУ ВПО "Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова"по адресу: г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, КФЕН ЯГУ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова. Автореферат разослан б марта 2009 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Н.А. Саввинова

Актуальность темы.

Напряженно-деформированное состояние тонких пластин при их стыковой сварке исследовалось многими учеными в течении последних 40 лет. Значительны заслуги советских ученых: Б.Е. Патона, Н.О. Окерблома, Г.А. Николаева, В.А. Винокурова, А.Г. Григорьянца, В.П. Ларионова, H.H. Прохорова, K.M. Гатовского, В.И. Махненко, H.H. Рыкалина, Г.Б. Талыпова и многих других. За последние годы появились работы: П. Зайффарт, В.А. Кархина, A.C. Ильина, В.В. Плошихина, П. Раямяки, Р. Оссенбринк, В.Г. Михайлова, Г. Вольфарт, В.В. Мелюкова, A.C. Бабкина, JI.T. Епифанце-ва, A.M. Попкова, Э.В. Лазарсона, М.Я. Бровман, Н.В. Пашацкого, A.B. Прохорова, Ю.В. Белоусова и многих других.

IIa основе исследований В.А. Судника, В.А. Ерофеева, A.C. Рыбакова в области математического моделирования процессов сварки разработано программное обеспечение для персональных компьютеров, позволяющее моделировать основные сварочные процессы контактной, дуговой, плазменной и лазерной сварки и резки: SPOTSIM, BUTTSIM, MAGS IM, LASIM, CUTSIM.

В возникновении и развитии сварочных напряжений и деформаций основным возмущающим фактором является изменение в широком диапазоне температуры свариваемого тела. Многие исследователи (В.А. Кархин, A.C. Ильин, Д.В. Мелюков, Р. Оссенбринк, В.Г. Михайлов и др.) для расчета теплового процесса сварки применяют аналитические формулы акад. H.H. Рыкалина, в которых не учитываются теплота фазового перехода и зависимость теплофизических коэффициентов от температуры. Указанные факторы существенно влияют на формирование напряженно-деформированного состояния тела, и их неучет дает высокую погрешность результатов в высокотемпературной области.

Поэтому является актуальным построение новых эффективных моделей и разработка экономичных методов их численной реализации.

В настоящей работе с целью более точного описания температурного поля задача определения температуры в свариваемых изделиях поставлена в виде двухфазной задачи Стефана в двумерной области.

Для численного решения задач Стефана широко используется метод сглаживания (A.A. Самарский, Б.Д. Моисеенко, Б.М. Будак, E.H. Соловьева, А.Б. Успенский), в основу которого положено предположение, что теплота фазового перехода выделяется в некоторой окрестности поверхности фазового перехода (Т* — Д, Т„ + Д), т.е. принимается допущение, что фазовый переход происходит, начиная с некоторой температуры, которая ниже температуры плавления материала.

В диссертационной работе предложена модификация учета теплоты фазового перехода, более точно описывающая реальный процесс тепловыделения на поверхности фазового перехода, путем введения распределенного в окрестности [Т„, Т, + А) (в сторону образующейся фазы) источника тепла.

Во многих работах (В.И. Махненко, А.Г. Григорьянца, A.B. Прохорова, В.А. Кархина и др.) задача о сварочных напряжениях и деформациях с использованием теории неизотермического пластического течения представляется в виде задачи упруго-пластически деформируемого тела в условиях переменных температур. Разработанные алгоритмы, в которых температурное поле определяется по формулам H.H. Рыкалина, позволяют численными методами отыскать скорости сварочных напряжений и деформаций, а для нахождения самих искомых величин используются формулы численного дифференцирования, которые вносят дополнительные погрешности в решение.

В настоящей работе для численного решения упруго-пластической задачи в напряжениях использована методика работы академика А.Н. Коновалова, разработанная для плоских статических задач теории упругости. Для определения сварочных напряжений и деформаций построены разностно-итерационные схемы, свободные от указанных недостатков.

Цель работы — разработка экономичного численного метода исследования развития напряженйо-деформированного состояния тонких пластин при их сварочном нагреве.

Для достижения поставленной цели решены следующие

Задачи:

1. Построение математической модели температурного поля при электродуговой сварке тонких пластин; разработка алгоритма и его численная реализация;

2. Разработка алгоритма численного исследования процесса развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при их стыковой сварке.

Объект исследований: тонкие пластины, подвергаемые электродуговой сварке встык.

Предмет исследований: закономерности процессов распространения тепла и развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при их электродуговой сварке встык.

Метод исследования: выбран эффективный метод исследования проблемы сварочных напряжений и деформаций — метод математического моделирования.

Научная новизна:

• Построена математическая модель температурного поля сварки, по новому учитывающая теплоту фазового перехода, путем введения распределенного в окрестности поверхности раздела фаз источника тепла.

• Разработан алгоритм численной реализации построенной модели, проведены численные расчеты при двух видах функции источника тепла.

• Предложены разностно-итерационные схемы для численного решения упругопластической задачи в напряжениях.

Практическая ценность. Диссертация посвящена определению сварочных напряжений и деформаций для широко применяемого на практике случая сварки встык тонких пластин. Разработанное программное средство, пригодное определения напряженно-деформированного состояния тонких пластин, может быть использовано и для оценки остаточных напряжений (деформаций). Отдельную практическую ценность представляют алгоритмы и программы расчета температурной задачи.

Достоверность и обоснованность результатов, защищаемых в диссертации, следуют из использования математических моделей, построенных на основе законов сохранения массы и энергии; применения эффективных и теоретически обоснованных вычислительных алгоритмов; сопоставления результатов с экспериментальными и известными результатами других авторов.

Научные положения, выносимые на защиту:

• Предложен новый способ учета теплоты фазового перехода в математической модели температурного поля сварки, путем введения распределенного в окрестности поверхности раздела фаз источника тепла.

• Разработан алгоритм численного решения двухфазной задачи Стефана в двумерной области, проведены численные расчеты при двух видах функции источника тепла.

• Построены алгоритмы для численной реализации математической модели деформирования тонких пластин при их сварочном нагреве. Проведены вычислительные эксперименты, показавшие их эффективность.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике"(Якутск, 2003), на IV Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на И, III, IV и V Всероссийских школах-семинарах студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование

развития Северных территорий РФ"(Якутск, 2004 - 2007), на IX Республиканской научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск, 2005), на научном семинаре кафедры прикладной математики Института математики и информатики Якутского государственного университета (Якутск, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах (9 статей и 6 тезисов докладов).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 118 наименований. Общий объем диссертации составляет 112 страниц, включая 21 рисунок и 11 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны общая характеристика и содержание работы, обосновывается актуальность, формулируется цель, предмет и объект исследования, указываются научная новизна и практическая значимость, формулируются выносимые на защиту научные положения.

В первой главе приведен краткий обзор расчетных схем, применяемых для оценки развития напряженно-деформированного состояния тела при сварке.

Во второй главе рассматривается математическая модель температурного поля при электродуговой сварке встык тонких пластин. Задача об определении температурного поля и положения контура сварочной ванны сформулирована в виде двухфазной задачи типа Стефана для двумерной области. Ввиду симметрии относительно оси 0.Tb направленной вдоль шва., рассматривается одна пластина = {0 < х\ < h, 0 < х2 < 1->}- Тогда температура в твердой и жидкой фазах и граница фазового перехода определяются из решения следующей задачи

с^ = div (А gradТ) - ~{Т - Тс) + /, (ц, х2) 6 О, 1 > 0, (1)

где

" сь Т < Г, Г Äi, Т < Г„

02, т>тщ ' \ а2, т > г, '

дФ

Т = Т., ([АgradT], gradФ) + L — = 0, Ф(ц, х2, t) = 0, t > 0, (2) с граничными условиями:

-А ~ + а(Т - Тс) = 0, хч = 0, t > 0, (3)

ах j

А — + а{Т-Тс) = 0, Х! = 1и t>0, (4)

дТ

— = О, Х2 = О, t > О, (5)

дх2

дТ

А —+ a(T-7b) = 0, x2 = h, ¿>0, (б)

и с начальным условием:

Т(ц, х-2, 0) = Тс = amst, (хь х2) G О, (7)

где в (2) задано скалярное произведение векторов; ci (с2), Ai (А2) — объемная теплоемкость, коэффициент теплопроводности твердой (жидкой) фазы соответственно; а — коэффициент теплопередачи; S — толщина пластины; Тс — температура среды; Т» — температура фазового перехода; L — теплота кристаллизации единицы объема материала; Ф(а.ч, х2, i) = 0 — уравнение контура сварочной ванны; / — объемный источник тепла.

Источник тепла сварочной дуги описывается функцией (H.H. Рыкалин):

f = 1-и-п-кехр ^ щ2 + ^

77 • О

где г/ — эффективный КПД процесса нагрева изделия; U, I — соответственно напряжение и сила тока; К — коэффициент сосредоточенности теплового потока дуги.

Для описания источника тепла введена кусочно непрерывная неотрицательная функция у(Т), удовлетворяющая следующим условиям:

1. д(Т) определена во всем диапазоне изменения температур, отлична от нуля в промежутке [Tt, Тг + А), а вне его тождественно равняется нулю;

2. 5(Г.) = 1;

да

3. ffi < 0 для Т е (Г„ Т, + А),

и доказана следующая

Теорема. Сформулированная выше задача Стефана (1) - (7) эквивалентна задаче теплопроводности, определяемой уравнением:

= <Иь (Аугас!Т) - ~(Г - Тс) + / + Ь ^, (хь х2) € П, 4 > 0, (8)

с граничными и начальным условиями исходной задачи (3) - (7).

После сглаживания коэффициентов уравнения (8), для краевой задачи (8) с условиями (3)-(7) построена неявная разностная схема, которая реализована локально-одномерным методом.

Сформулировано правило выбора параметра сглаживания так, чтобы учитывалось выделение теплоты фазового перехода на каждом временном шаге: параметр сглаживания Д должен быть выбран так, чтобы интервал сглаживания (7*, 71» + Д) содержал в себе на каждом слое по времени значение температуры хотя бы в одном узле пространственной сетки.

Проведены численные расчеты для случая сварки встык двух тонких пластин с размерами 10 х 8 см, изготовленных из низкоуглеродистой стали. Принимались следующие значения параметров:

а = 3634 кДж/м:5 -К, Л! = 48.07 Дж/м-с-К, с2 = 5964 кДж/м3 -К, Л2 = 34.28 Дж/м-с-К, <1 = 1700 Дж/с, ус = 0.002 м/с, 6 = 0.003 м, Г* = 1530 °С, Тс = 20 °С, Ь = 596.4-103 кДж/м3, К = 6250 1/м2, а = 200 Дж/м2-с-К при Т >500 °С, а = 40 Дж/м2-с-К при Т <500 °С,

Шаги Ьл, /¿2 приняты равными 0.05 см (сетка 200x160), шаг по времени т= 0.225 с.

При выборе функции д{Т) необходимо учитывать направление хода процесса — фазовый переход происходит в результате понижения температуры или ее повышения. Она должна быть выбрана отличной от нуля в области вновь образующейся фазы. Рассмотрены два варианта выбора функции д(Т) в виде линейной и показательной функций:

При I — 28 сек сварочная ванна расположена по оси 0.х"1 на расстоянии от 0,032 до 0,056 м (рис 1)

1) д(Т) - 1 + 2) д(Т) = ехр(0.69(Т* -Т + А)/А) - 1.

Р*с. 1. Pf.cn ре деление температура пр£ £ — 28 сек.

В этот момент времени расчетные значения температуры внутри сварочной ванны сопоставлены с экспериментальными (Т2), результаты представлены в таблице

Таблица 1

Распределения температуры в ванне при t = 28 сек.

хи (м) х2, (м) 0.05 0 0.05 0.0025 0.045 0 0.045 0.005 0.04 0 0.04 0.0025

Tu иС 2002 1966 1899 1773 1687 1669

т2,ис 2089 1869 2018 1849 1663 1570

Численное решение сравнивалось с результатами, полученными традиционным методом сглаживания линейной функцией, и с решениями, описывающими процесс распространения тепла при нагреве пластины движущимся источником тепла, учитывающим эффект отражения кромками тепловой волны (В.И. Махненко), и подвижным линейным источником (H.H. Рыка-лин).

Выполнены расчеты при различных параметрах процесса сварки: температуры среды, эффективной мощности источника, толщины пластины.

В третьей главе описывается математическая модель деформирования тонких пластин при сварочном нагреве и ее численная реализация.

В случае плоского напряженного состояния дифференциальная формулировка рассматриваемой задачи состоит из следующих соотношений:

1. Уравнения связи между напряжениями и приращениями деформаций, согласно работе В.И. Махненко, приняты в виде

Деп = ßiffu + В2а 22 Aso-2 = B\G22 + В2(ТП As 12 = фап ~ ь 12, Дезз = -82(^11 + (722) - Ы Дг13 = Дбгз = О,

Ьи,

ь22,

(9)

где

Вх

2ф + К

В,

К-ф

Ьн =

*)

-A<p],i,j = 1,2, 3,

3 ' ' 3

индекс *) означает значения соответствующих величин на предыдущем временном слое; Ае — приращение деформации за время АЬ, К — модуль объемного сжатия; А^ = а(Т — Тя) — функция свободного температурного удлинения; а — коэффициент температурного расширения; Т — температурное поле, определяемое решением задачи Стефана; Тя — начальная

температура; ф — ^ + Ф, где Ф — функция, зависящая от пластической деформации;

2. Уравнения совместности деформаций, записанные относительно приращений деформаций

д2Аец + д2Ае22 = 2д2Аеп дх\ дх\ дх\д:г,2

4. Уравнения равновесия:

ф-21 , д?~22 _ п

5. Условия на контуре пластины в точке с нормалью п на ¿>р:

(П)

(12)

Г (Гц COS(n, X'i) + 012 соs(n, Х2) - PXl, \ (Ti2COs(n,.X-i) + CT 22 COs(tI, Х2) = РХ2,

6. Функция нагружения:

/ = °А1 + - "11*22 + 3С72п - а2(Т), (13)

7. Ассоциированный закон течения:

где (Щ^ — приращение пластической деформации, <1Х— множитель Лагран-жа.

Предложены два алгоритма решения задачи в напряжениях (10)—(12). Пусть известны вектор гт™ и фт, где та— номер итерации.

Первый алгоритм. По методике академика А.Н. Коновалова, разработанной для плоских статических задач теории упругости, искомый вектор представляется в виде суммы двух векторов:

где (¿?/г)т+1 — решение системы

(Е - 7Лц)(*П)Й+1 = Лп^н + Ц?,

(Е - 7Л22)(^2)Г1 = Л22гт2-2 + F?, (15)

(Е - 7Лп)(Е - 7А22)(а[2)Г1 = АЛ<2 + ЛЖ„ + ^2Г+1,

а ((j'i[)m+1 — решение системы

(Е - 7ЛЦ){Е - 7Л22)((?'/2)Г1 = Д„<2 + Ai2((tu + «722)"\

(Е - 7Л,1Ж',)Г1 = ЛиаД + (16)

(Е - 1А22)(^2)Г1 = Л22^2 + Л 12«2Г+1,

ю

где /Г1 - Шт+1 ~ П-

Каждая из разностных систем (15) и (16) численно реализована методом прогонки.

Второй алгоритм. Для численного решения задачи (10)—(12) использована следующая разностно-итерационная схема:

(17)

(Б - 7ЛиЖг71,)Г1 + = [Лп + (Я - 7Лп)К1 + (Е - 7Л22)[(гх22)^ 1 + <2+1] - [Ли + (Е- 7Л22Ж2 + ¿Т. (Е - 7ЛИ){Е - 7Л22)[(а12)^+1 + = = [Дл + (Е- 7Л„)(£ - 7Л22Ж2 + К\2{стц + а22)"\

С помощью общей теории сходимости двухслойных итерационных схем исследована сходимость итерационной схемы (17). Для погрешности = а™ — (т,^ получена оценка

1 (. „

1 + 72

Отсюда при итерационном параметре 7, удовлетворяющем условию

56.

1 " 27777717? > 0,

* 1 l1 На-

следует сходимость итераций.

Расчетный алгоритм: по известным напряжениям = 1,2) вы-

числяется согласно (13) функция нагружения /т+1, затем в соответствии с процессом (14) уточняется функция фт+1. Процесс итерации продолжается до тех пор, пока не выполнится условие \(rf-+l — (rf-\ < е, (i,j — 1,2). Приращения пластических деформаций определяются через напряжения и функцию ф по формулам (9).

Выполнены расчеты процесса электродуговой сварки встык двух тонких пластин с размерами 10x8 см (сетка 200x160) и полностью свободными границами.

Основные характеристики механических свойств приняты следующими: GM),8-Ю11 Н/м2, ЛГ=0,2-10_11 м2/Н, a=6,65d0-7 1/К, ^=35-107 Н/м2.

Сопоставлены результаты расчетов, полученные по первому и второму алгоритмам определения сварочных напряжений и деформаций. На рис. 2 приведены картины распределения временных напряжений стц (Н/м2), вычисленные по различным алгоритмам (по первому — а, по второму — Ь) в момент времени, когда сварочная ванна отстоит от левой кромки пластины на расстоянии 0.005 м (при t = 11.25 сек).

Проведены расчеты и получены соответствующие картины развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при различных зна-

п

чениях параметров задачи. Произведены сравнения с результатами, полученными В.И. Махненко решением вариационной задачи методом конечных разностей.

Расчет остаточных сварочных напряжений и деформаций. Величины напряжений и деформаций, полученные решением упруго-пластической задачи до полного выравнивания температуры не дают истинные значения остаточных напряжений и деформаций, так как, начиная с некоторой температуры, при остывании матери&п будет работать как упругое тело. По теореме о разгрузке A.A. Ильюшина разработан алгоритм для определения остаточных напрял<ений и деформаций. На рис. 3 приведены картины распределения остаточных сварочных напряжений и деформаций.

Рис. 3. Распределения остяточеюго напряжения гтц (а,), оста.точной деформации £ц (Ь).

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Предложена математическая модель температурного поля при сварочном нагреве тонких пластин в виде двухфазной задачи Стефана в двумерной области, что позволяет учитывать теплоту фазового перехода, выделяющуюся на границе плавления, и зависимость теплофизических характеристик от температуры.

2. Разработан новый способ учета теплоты фазового перехода — путем введения распределенного в окрестности межфазовой границы источника тепла. Проведены численные расчеты при двух видах функции источника тепла.

3. Для численной реализации математической модели деформирования тонких пластин при сварочном нагреве разработаны разностно-итера-ционные схемы, проведены вычислительные эксперименты, показавшие их эффективность.

Работы автора по теме диссертации:

1. Слепцова, Е.А. Математическое моделирование кинетики сварочных напряжений и деформаций при стыковой сварке тонких пластин / Е.А. Слепцова, А.Р. Павлов // Вестник Поморского университета. - Архангельск, 2008. - Серия: Естественные науки, №4. - С. 85-90.

2. Слепцова, Е.А. Определение остаточных сварочных напряжений и деформаций при стыковой сварке тонких пластин / Е.А. Слепцова, А.Р. Павлов // Вестник Самарского университета. - Самара, 2008. - Серия: естественнонаучная, №2 (61). - С. 273-287.

3. Слепцова, Е.А. Численное решение задачи Стефана методом введения в уравнение распределенного источника теплоты / Е.А. Слепцова // Информационные технологии в науке, образовании и экономике : сб. тр. Всерос. научн. конф. / М-во науки и проф. образования РС(Я), Якут, гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; - Якутск, 2005. - С. 145-149.

А. Слепцова, Е.А. Численное моделирование температурного поля при сварке тонких пластин / А.Р. Павлов, Е.А. Слепцова // IV Международная конференция по математическому моделированию : тез. докл. [отв. ред. И.Е. Егоров]. - Якутск, 2004. - С. 85-86.

о. Слепцова, Е.А. Модификация математической модели процесса тепло-переноса при сварке тонких пластин / Е.А. Слепцова, А.Р. Павлов //

Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка : тез. докл. II Всерос. школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; Якутск, 2004. - С. 37-38.

6. Слепцова, Е.А. Численное решение задачи Стефана методом размазывания энтальпии фазового перехода / Е.А. Слепцова // Сборник научных трудов аспирантов ЯГУ им. М.К. Аммосова / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; - Якутск, 2004. -С. 128-133.

7. Слепцова, Е.А. Численное решение задачи Стефана введением распределенного источника / А.Р. Павлов, Е.А. Слепцова // Современные проблемы теплофизики в условиях крайнего севера : матер. VI научн.-техн. конф., посвященной памяти профессора, доктора технических наук Н.С. Иванова / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; [редкол.: A.M. Тимофеев и др.]. - Якутск, 2004. - С. 74-79.

8. Слепцова, Е.А. Расчет процесса теплопереноса при сварке тонких пластин / Е.А. Слепцова // VIII Лаврентьевские чтения с участием молодых ученых и специалистов ДФО : научн. конф. студентов и молодых ученых ■: сб. ст. - Якутск, 2005. - Т.1, секция: Математика, механика и физика. - С. 40-45.

9. Слепцова, Е.А. Особенности расчета процесса теплопереноса при сварке тонких пластин / Е.А. Слепцова // Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка : тез. докл. III Всерос. школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; - Якутск, 2005. - С. 29.

10. Слепцова, Е.А. Решение задачи Стефана сведением ее к задаче теплопроводности с движущимся источником тепла / Е.А. Слепцова, А.Р. Павлов // Мат. заметки ЯГУ. - 2005. - Т. 12, №1. - С. 87-94.

11. Слепцова, Е.А. Алгоритм численного определения температурных напряжений при сварочном нагреве / Е.А. Слепцова, А.Р. Павлов //IX Лаврентьевские чтения, посвященные Международному году физики: научн. конф. студентов и молодых ученых : сб. ст. - Якутск, 2005. Т. 1, секция: Математика, механика и физика. - С. 109-115.

12. Слепцова, Е.А. Итерационно-разностная схема расчета сварочных напряжений в тонких пластинах / Е.А. Слепцова, А.Р. Павлов // Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях

рынка : тез. докл. IV Всерос. школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов ,/ М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; - Якутск, 2006. - С. 30.

13. Слепцова, Е.Л. Математическое моделирование развития НДС тела при сварке / Е.Л. Слепцова // Математическое моделирование развития Северных территорий РФ : тез. докл. V Всерос. школы-семпнара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; - Якутск, 2007. -С. 46.

14. Слепцова, Е.А, Итерационно-разностные схемы определения сварочных напряжений и деформаций / Е.А. Слепцова // Современные направления теоретических и прикладных исследований 2007 : сб. науч. тр. по материалам межд. науч.-практ. конф. / Одесс. нац. морской ун-т;

- Одесса: Черноморы?, 2007. - Т.21: Физика и математика, география, геология. - С. 45-52.

15. Слепцова, Е.А. Расчет остаточных напряжений и деформаций при сварке тонких пластин / Е.А. Слепцова // Информационные технологии в науке, образовании и экономике : тез. докл. II Всерос. науч. конф. / М-во науки и проф. образования РС(Я), Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ;

- Якутск, 2007. - С. 70.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОПКИХ ПЛАСТИН ПРИ ИХ СТЫКОВОЙ СВАРКЕ

автореферат

СЛЕПЦОВА Екатерина Анатольевна

Пописано в печать 05.03.2009 г. Формат 60x54/16. Печ.л. 1, 0. Тираж 100 экз. Заказ 1.

Отпечатано в филиале издательства ЯГУ, Институт математики и информатики ЯГУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112) 496833

ВВЕДЕНИЕ

1. Краткий обзор математических моделей развития НДС тела при сварочном нагреве

§1.1 Расчетные схемы оценки тепловых процессов при сварке

§1.2 Разностные методы решения задачи Стефана.

§1.3 Расчетные схемы оценки сварочных напряжений и деформаций.

§1.4 Выводы к главе 1.

2. Математическая модель температурного поля при электродуговой сварке тонких пластин

§2.1 Приведение задачи Стефана к задаче теплопроводности с движущимся источником тепла

§2.2 Численный метод определения температурного поля при сварочном нагреве тонких пластин.

§2.2.1 Построение разностной схемы.

§2.2.2 Численная реализация разностной задачи.

§2.3 Выбор интервала сглаживания коэффициентов и аппроксимации сосредоточенного источника распределенным.

§2.4 Численные эксперименты

§2.5 Выводы к главе 2.

3. Численное исследование НДС тонких пластин при их сварочном нагреве

§3.1 Математическая модель деформирования тонких пластин при сварочном нагреве.

§3.2 Первый алгоритм решения упругопластической задачи в напряжениях

§3.2.1 Построение разностно-итерационной схемы.

§3.2.2 Численная реализация разностно-итерационной схемы

§3.3 Второй алгоритм решения упругопластической задачи в напряжениях

§3.3.1 Построение разностно-итерационной схемы.

§3.3.2 Сходимость итерационной схемы.

§3.3.3 Численная реализация.

§3.3.4 Испытание алгоритмов для определения сварочных напряжений и деформаций.

• §3.4 Численные эксперименты.

§3.4.1 Расчет временных напряжений и деформаций при сварке тонких пластин.

§3.4.2 Расчет остаточных напряжений и деформаций при сварке тонких пластин.

§3.5 Выводы к главе 3.

Актуальность темы.

Проблема сварочных напряжений и деформаций возникла почти одновременно с началом практического применения сварки для получения неразъемных соединений. Еще Н.Г. Славянов в своих работах в 1892 г. писал об опасности "вредных напряжений в металле возникающих при сварке. Однако внимание широкого круга исследователей эта проблема привлекла лишь в 30-е годы, когда началось бурное внедрение сварки в промышленность. За прошедшие годы появилось большое количество работ по экспериментальному и теоретическому исследованию процессов образования сварочных напряжений и деформаций, а также по оценке их влияния па несущую способность элементов сварных конструкций. Огромный вклад в развитие и решение многих практических и теоретических вопросов внесен советскими учеными Е.О. Патоном, Г.А. Николаевым, Б.Н. Горбуновым, Н.О. Окербломом, Н.Н. Ры-калиным, В.А. Винокуровым, А.Г. Григорьянцем, Н.Н. Прохоровым, К.М. Гатовским, В.И. Махненко, Г.Б. Талыповым и многими другими.

Современное сварочное производство имеет достаточно устойчивые темпы и динамику развития. Сформирован мощный арсенал сварочных технологий и постоянно расширяется сфера их применения. Для машиностроения, судостроения, энергетики, строительства и других отраслей промышленного производства сварка как промышленная технология не имеет альтернативных решений.

Поскольку количество освоенных методов сварки по видам энергии активации на сегодняшний день превышает сотню, а вариантов только дуговой сварки более тысячи, то поле деятельности для составления моделей и их совершенствования практически неограничено.

За последние годы появились работы В.А. Кархина, П. Зайффарт, А.С. Ильина, П. Раямяки, Р. Оссенбринка, В.Г. Михайлова, Г. Вольфарт, В.В. Мелюкова, А.С. Бабкина, J1.T. Епифанцева, A.M. Попкова, Э.В. Лазарсона, М.Я. Бровмана, Н.В. Пашацкого, А.В. Прохорова, Ю.В. Белоусова и многих других.

На основе исследований В.А. Судника, В.А. Ерофеева, А.С. Рыбакова в области математического моделирования процессов сварки разработано программное обеспечение для персональных компьютеров, позволяющее моделировать основные сварочные процессы контактной, дуговой, плазменной и лазерной сварки и резки: SPOTSIM, BUTTSIM, MAGSIM, LASIM, CUTSIM.

В возникновении и развитии сварочных напряжений и деформаций основным возмущающим фактором является изменение в широком диапазоне температуры свариваемого тела. Многие исследователи (В.А. Кархин, А.С. Ильин, Д.В. Мелюков, Р. Оссенбрипк, В.Г. Михайлов и др.) для расчета термического цикла сварки применяют аналитические формулы академика Н.Н. Рыкалина, в которых не учитываются теплота фазового перехода и зависимость теплофизических коэффициентов от температуры. Указанные факторы существенно влияют на формирование напряженно-деформированного состояния тела, и их неучет дает высокую погрешность результатов в высокотемпературной области.

Поэтому является актуальным построение новых эффективных моделей и разработка экономичных методов их численной реализации.

С целью более точного описания температурного поля задача определения температуры в свариваемых изделиях в диссертационной работе поставлена в виде двухфазной задачи Стефана в двумерной области.

Для численного решения задач типа Стефана широко используется метод сглаживания (А.А. Самарский, Б.Д. Моисеепко, Б.М. Будак, Е.Н. Соловьева, А.Б. Успенский), в основу которого положено предположение, что теплота фазового перехода выделяется в некоторой окрестности поверхности фазового перехода (Т* — А, Т* + А), т.е. принимается допущение, что фазовый переход происходит, начиная с некоторой температуры, которая ниже температуры плавления материала.

В диссертационной работе предложена модификация учета теплоты фазового перехода, более точно описывающая реальный процесс тепловыделения на поверхности фазового перехода, путем введения распределенного в окрестности [Т*, Т* + А) (в сторону образующейся фазы) источника тепла.

Во многих работах (В.И. Махненко, А.Г. Григорьянца, А.В. Прохорова, В.А. Кархина и др) задача о сварочных напряжениях и деформациях с использованием теории неизотермического пластического течения представляется в виде задачи упруго-пластически деформируемого тела в условиях переменных температур. Разработанные алгоритмы, в которых температурное поле определяется по формулам Н.Н. Рыкалина, позволяют численными методами отыскать скорости сварочных напряжений и деформаций, а для определения самих искомых величин приходится пользоваться формулами численного дифференцирования, которые вносят дополнительные погрешности в решение.

В настоящей работе для численного решения упруго-пластической задачи в напряжениях использована методика работы академика А.Н. Коновалова, разработанная для плоских статических задач теории упругости. Для определения сварочных напряжений и деформаций построены разностно-итерационные схемы, свободные от указанных недостатков.

Цель работы — разработка экономичного численного метода исследования развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при их сварочном нагреве.

В связи с этим в диссертационной работе были поставлены следующие задачи: Задачи:

1. Построение математической модели температурного поля при электродуговой сварке тонких пластин; разработка алгоритма и его численная реализация;

2. Разработка алгоритма численного исследования процесса развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при их стыковой сварке.

Объект исследований: тонкие пластины, подвергаемые электродуговой сварке встык.

Предмет исследований: закономерности процессов распространения тепла и развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при их электродуговой сварке встык.

Метод исследования. Для достижения поставленной цели выбран эффективный метод исследования проблемы сварочных напряжений и деформаций — метод математического моделирования. С его помогцыо можно получить информацию, труднодоступную для экспериментальных методов. Однако достаточно эффективное использование математических методов требует предварительного решения комплекса вопросов, связанных с выбором достаточно оптимальных математических моделей, эффективных методов их реализации, с разработкой системы расчетных алгоритмов.

Существуют две группы подходов в изучении деформационных процессов при сварке. К первой группе относятся подходы, основанные на представлениях и методах физики твердого тела. Теория дислокаций и микроскопические наблюдения являются основным исследовательским аппаратом этого направления. Вторая группа объединяет феноменологические подходы, когда, отвлекаясь от микроструктуры материала среды, рассматривают ее как сплошное тело, в котором имеют место только макроскопические напряжения и деформации (напряжения и деформации первого рода). Такой подход позволяет получить картину развития напряженно-деформированного состояния свариваемых тел при различных величинах параметров процесса сварки и граничных и начальных условиях задачи.

Научная новизна:

• Построена математическая модель температурного поля сварки, по новому учитывающая теплоту фазового перехода, путем введения распределенного в окрестности поверхности раздела фаз источника тепла.

• Разработан алгоритм численной реализации построенной модели, проведены численные расчеты при двух видах функции источника тепла.

• Предложены разностно-итерационные схемы для численного решения упругопластической задачи в напряжениях.

Практическая ценность. Диссертация посвящена определению сварочных напряжений и деформаций для широко применяемого на практике случая сварки тонких пластин. Разработанное программное средство, пригодное для определения напряженно-деформированного состояния тонких пластин, может быть использовано и для оценки остаточных напряжений (деформаций). Отдельную практическую ценность представляют алгоритмы и программы расчета температурной задачи.

Достоверность и обоснованность результатов, защищаемых в диссертации, следует из использования математических моделей, построенных на основе законов сохранения массы и энергии; применения эффективных и теоретически обоснованных вычислительных алгоритмов; а также сопоставления результатов с экспериментальными данными и известными результатами других авторов.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Предложен новый способ учета теплоты фазового перехода в математической модели температурного поля сварки, путем введения распределенного в окрестности поверхности раздела фаз источника тепла.

• Разработан алгоритм численного решения двухфазной задачи Стефана в двумерной области, проведены численные расчеты при двух видах функции источника тепла.

• Построены алгоритмы для численной реализации математической модели деформирования тонких пластин при их сварочном нагреве. Проведены вычислительные эксперименты, показавшие их эффективность.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2003), на IV Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на II, III, IV и V Всероссийских школах-семинарах студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ"(Якутск, 2004 - 2007), на IX Республиканской научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)11 (Якутск,

2005), на научном семинаре кафедры прикладной математики Института математики и информатики Якутского государственного университета (Якутск, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах (9 статей и 6 тезисов докладов) [104] - [118].

Основная часть диссертационной работы состоит из трех глав.

В первой главе приведен краткий обзор математических моделей развития напряженно-деформированного состояния тела при сварке. Рассматриваются расчетные схемы оценки тепловых процессов, сварочных напряжений и деформаций, разностные методы решения задачи Стефана.

Во второй главе построена математическая модель температурного поля сварки в виде двухфазной задачи Стефана в двумерной области с движущимся источником тепла, изложена ее численная реализация, проведены численные эксперименты при двух видах функции источника. Сформулировано правило выбора параметра сглаживания так, чтобы учитывалось выделение теплоты фазового перехода на каждом временном шаге.

В третьей главе описывается математическая модель деформирования-тонких пластин при сварочном нагреве и ее численная реализация. Разработаны два алгоритма, по которым определение сварочных напряжений производится из решения разностно-итерационных схем. По теореме о разгузке А.А. Ильюшина разработан алгоритм для определения остаточных сварочных напряжений и деформаций. Выполнены расчеты при конкретных значениях входных данных задачи.

§3.5 Выводы к главе 3

1. Построена математическая модель деформирования тонких пластин при сварочном нагреве в виде упругопластической задачи, которая состоит из уравнений равновесия, совместности деформаций, связи между напряжениями и деформациями, условия текучести и граничных условий.

2. Для численной реализации математической модели деформирования тонких пластин при сварочном нагреве разработаны два алгоритма. Проведены сравнения результатов решения упругопластической задачи в напряжениях по двум предложенным алгоритмам. Сопоставления с результатами, полученными В.И. Махненко решением вариационной задачи методом конечных разностей, показывают пригодность предлагаемой методики для численного исследования сварочных напряжений и деформаций.

3. Выполнены расчеты развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при электродуговой сварке встык двух тонких пластин при различных значениях параметров задачи: скорости сварки V, толщины пластины 5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе методом вычислительного эксперимента выполнено исследование развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при сварочном нагреве.

Дадим последовательное изложение полученных в диссертационной работе результатов.

1 Математическая модель температурного поля при сварочном нагреве построена в двумерной области в виде двухфазной задачи Стефана с движущимся источником тепла, позволяющая учитывать теплоту фазового перехода, выделяющуюся на границе плавления (кристаллизации) и зависимость теплофизических характеристик от температуры. Предложен новый способ учета теплоты фазового перехода путем введения распределенного в окрестности межфазовой границы источника тепла.

2. Для численного решения температурной задачи сварки построена неявная разностная схема, которая реализована локально-одномерным методом в сочетании с итерациями по каждому направлению.

3. Правильный учет тепловыделения на поверхности фазового перехода зависит от выбора длины интервала сглаживания разрывных коэффициентов задачи теплопроводности. В связи с этим указан способ выбора длины интервала сглаживания. Показано, что произвольный выбор параметра сглаживания приводит к неправильным результатам.

4. Составлена компьютерная программа для численной реализации построенного алгоритма. Проведены численные эксперименты для случая сварки двух тонких пластин размерами 10 х 8 см, изготовленных из низкоуглеродистой стали. Приведены результаты численных расчетов при двух вариантах выбора функции источника тепла, которые сопоставлены с экспериментальными данными и результатами других авторов. Изучена зависимость распределения температурного поля при сварочном нагреве тонких пластин от следующих параметров модели: толщины пластины скорости сварки V, температуры окружающей среды Тс, эффективной мощности источника д.

5. Построена математическая модель деформирования тонких пластин при сварочном нагреве в виде упругопластической задачи, которая состоит из уравнений равновесия, совместности деформаций, связи между напряжениями и деформациями, условия текучести и граничных условий. Для решения данной задачи построены два алгоритма. Проведены сравнения численного решения упругопластической задачи в напряжениях с результатами, полученными В.И. Махненко решением вариационной задачи методом конечных разностей. Результаты расчетов показывают пригодность предлагаемой методики для численного исследования сварочных напряжений и деформаций.

6. Выполнены расчеты развития напряженно-деформированпиого состояния тонких пластин при электродуговой сварке встык двух тонких пластин при различных значениях параметров задачи: скорости сварки V, толщины пластины 5. С помощью теоремы о разгрузке А.А. Ильюшина разработан алгоритм для определения остаточных сварочных напряжений и деформаций.

Из перечисленных результатов следует научная новизна положений диссертационной работы, которая выносится на защиту:

1. Построена математическая модель температурной задачи сварки по новому учитывающая теплоту фазового перехода — путем введения распределенного в окрестности межфазовой границы источника тепла.

2. Разработан алгоритм численного решения двумерной задачи Стефана с движущимся источником тепла.

3. Построены разпостно-итерационные схемы для численного решения упругопластической задачи в напряжениях.

Соединение сваркой тонколистовых элементов широко применяется в практике. Исследование возникающего при этом их напряженно-деформированного состояния представляет как теоретический, так и практический интерес. Поэтому предложенная в диссертации математическая модель и вычислительный алгоритм для определения напряженно-деформированного состояния тонких пластин при сварочном нагреве имеют важную практическую значимость. Отдельную практическую ценность представляют алгоритмы и программы расчета, которые составлены так, что их можно применять для решения близких задач.

В последнее время актуальна проблема обеспечения хладостойкости, надежности и безопасности сварных конструкций в экстремальных климатических условиях Севера. Обзор работ показывает, что решение термической и деформационной задачи требует уточнений при сварке в условиях низких климатических температур. Разработка новых эффективных методов решения и исследование задачи развития напряженно-деформированного состояния тела при сварке в условиях низких климатических температур представляет научный и практический интерес.

1. Аммосов А.П. Термодеформационные процессы и разрушение сварных соединений. - Якутск : ЯФ СО АН СССР, 1988. - 136 с.

2. Аммосов А.П. Обеспечение хладостойкости сварных соединений низколегированных сталей при сварке в условиях низких климатических температур : авт. дис. . канд. техн. наук. М., 1986. - 22 с.

3. Аммосов А.П., Корнилова З.Г., Аммосова О.А. Регулирование производительности сварки // I ЕВРАЗИЙСКИЙ СИМПОЗИУМ по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата. Часть 2. Якутск, 2002. - С. 55-60.

4. Бабкин А.С., Епифанцев JI.T. Методики расчета оптимальных параметров дуговой сварки и наплавки // Свароч. пр-во. 2004. - №2. - С. 3-6.

5. Бабкин А.С. Применение теории подобия и размерности для описания процессов, происходящих при сварке // Свароч. пр-во. 2005. - №7. -С. 6-12.

6. Бадьянов Б.Н. Компьютерное управление процессами сварки // Свароч. пр-во. 2002. - №1. - С. 19-23.

7. Белоусов Ю.В. Оценка сосредоточенности поверхностного источника теплоты с нормальным распределением тепловой мощности // Свароч. пр-во. 2002. - №8. - С. 8-12.

8. Большаков К. П. Исследование термомеханических процессов при сварке элементов пролетных строений // Труды ВНИИ железнодорожного строительства и проектирования. М.: Трансжелдориздат, 1950. №2. - С. 129-207.

9. Бопдаренко А.Д. Расчет сварных конструкций. Кубуч, 1933. - 164 с.

10. Бровман М.Я. Метод расчета процесса теплопереноса с применением изотермических координат // Инженерно-физический журнал, 1995. -Ш. - С. 651-659.

11. Будак Б.М. Об одном варианте неявной разностной схемы с ловлей фронта в узел сетки для решения задач типа Стефана // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. - Вып. 4. - С. 231-241.

12. Будак Б. М., Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана // Численные методы в газовой динамике. М.: ВЦ МГУ, 1965. - №4. - С. 139-183.

13. Будак Б. М., Гольдмап Н.Л., Успенский А.Б. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана // Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ, 1967. №4.- С. 206-216.

14. Будак Б. М., Соловьева Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана / / Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1965. - Т.5. - №5. - С. 828-840.

15. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 164 с.

16. Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностный метод решения двухфазной задачи Стефана // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1963. - Т.З. - №5. - С. 874-886.

17. Великоиваненко Е.А., Махнепко В.И. Численное решение плоской задачи теории неизотермического течения применительно к сварочному нагреву // Физика и химия обработки металлов. 1968. - №4. - С. 81-96.

18. Винокуров В.А. Сварочные деформации и напряжения. М.: Машиностроение, 1968. - 236 с.

19. Винокуров В.А. Отпуск сварных конструкций для снижения напряжений. М.: Машиностроение, 1973. - 215 с.

20. Винокуров В.А. Хладостойкость сварных соединений // Сварка в машиностроении. М.: Машиностроение, 1979. - Т. 3. - С. 112-122.

21. Винокуров В.А., Григорьянц А.Г. Теоретическое определение временных и остаточных деформаций и напряжений при сварке пластин применительно к титановым и алюминиевым сплавам // Свароч. пр-во. 1968.- №5. С. 2-4.

22. Гатовский К. М., Полишко Определение температурных полей при решении задач о сварочных деформациях и напряжениях // Автомат, сварка. 1978. - №10. - С. 29-30.

23. Головизнин В.М., Симачева О. Г. Об одном методе построения расчетных сеток в областях с криволинейными границами // ЖВМиМФ. -1983. Т. 23. - №5. - С. 1245-1248.

24. Головизнин В.М., Самарская Е.А., Чу данов В. В. Метод "факторизован-ных тепловых смещений "для экономичного решения задач теплопроводности на неортогональных сетках // Дифф. уравнения. 1987. - Т. 23.- №7. С. 1143-1154.

25. Григорьянц А.Г. Расчетный метод исследования кинетики сварочных деформаций и напряжений // Изв. вузов. Машиностроение. 1978. - №5.- С. 146-149.

26. Дробышевич В. И. Алгоритм решения двухфазной задачи Стефана на основе формул протоковой прогонки // Численные методы и пакеты программ для решения уравнений математической физики. Новосибирск, 1985. - С. 82-93.

27. Игнатьева B.C. Распределение собственных напряжений в пластинах, сваренных за один проход // Свароч. пр-во. 1956. - №3. С. 12-17.

28. Ильин В.П., Яушева JI.B. Об одной разностной схеме решения двухфазной задачи Стефана // Методы решения систем вариационно-разностных уравнений. Новосибирск, 1979. - С. 82-96.

29. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР, 1963.

30. Каменомостская С.Л. О задаче Стефана // Матем. сб. 1961. - Т. 53. - Ш. - С. 489-514. '

31. Кархин В.А., Ильин А. С., Плошихин В.В., Приходовский А.А. Влияние теплоты плавления и кристаллизации на термический КПД процесса проплавления // Свароч. пр-во. 2004. - №10. - С. 3-8.

32. Кархин В.А., Ильин А.С., Плошихин В.В. Решение обратной задачи теплопроводности с учетом теплоты плавления и кристаллизации // Свароч. пр-во. 2003. - №7. - С. 3-6.

33. Кархин В.А. Тепловые основы сварки. JL: ЛГТУ, 1990. - 100 с.

34. Кархин В.А., Хомич П.II., Федотов Б.В., Раямяки П. Анализ термических циклов при контактной стыквовой сварке стали оплавлением // Свароч. пр-во. 2008. - №1. - С. 12-17.

35. Киселев С.Н., Киселев А.С., Куркин А.С. Современные аспекты компьютерного моделирования тепловых, деформационных процессов и структурообразования при сварке и сопутствующих технологиях // Свароч. пр-во. 1998. - №10. - С. 16-24.

36. Климов А. С., Казаков Ю.В. Использование системы MathCAD для исследования неустановившихся тепловых процессов при сварке // Свароч. пр-во. 2002. - №4. - С. 9-11.

37. Компьютерные технологии в соединении материалов // Материалы 2-й Всероссийской научно-технической конференции. Тула, 1998. - 102 с.

38. Коновалов А.Н. Итерационные разностные схемы для численного решения плоской статической задачи теории упругости в напряжениях // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1975. -Т.6. - №2. - С. 52-69.

39. Лазарсон Э.В. Расчет площади поперечного сечения шва при дугововй сварке // Свароч. пр-во. 2006. - №12. - С. 6-9.

40. Ларионов В.П., Павлов А.Р., Тихонов А.Г., Слепцов О.И. Применение ЭВМ для численного определения температурного поля при сварке встык тонких пластин // Автомат.сварка. 1979. - №11. - С. 19-22.

41. Ларионов В.П., Павлов А.Р., Аммосов А.П., Тихонов А.Р. Расчетный метод исследования температурного поля при многослойной сварке j j Автомат.сварка. 1981. - №4. - С. 16-18.

42. Ларионов В.П., Павлов А.Р., Аммосов А.П. Особенности теплового баланса ванны при сварке в условиях низких климатических температур // Автомат.сварка. 1981. - №10. - С. 22-24.

43. Лейкин Н. С. О природе и величине термических напряжений и деформаций, возникающих при сварке малоуглеродистых сталей j j Сборник научно-исследовательских работ по сварке. М.: ОНТИ - НКТП, 1936. - С. 78-86.

44. Магиденко В. В. Использование универсальных математических пакетов для решения задач сварного производства // Свароч. пр-во. 1993. -№11-12. -С. 29-30.

45. Мажукин В.И., Повещенко Ю.А., Попов С.Б., Попов Ю.П. Об однородных алгоритмах численного решения задачи Стефана. М.: Препринт / Ин-т прикл.математики им. М.В. Келдыша АН СССР, 1985. - №122. -23 с.

46. Макаров Э.Л. Компьютерные программы для прогнозирования стойкости сварных соединений легированных сталей против образования холодных трещин // Изв. вузов. Машиностроение. 1998. - №4. - С. 118122.

47. Макаров Э.Л., Коновалов А.В., Якушин Б.Ф. Расчетный метод оценки стойкости сварных соединений сплавов против образования горячих трещин // Свароч. пр-во. 1997. - №11. - С. 13-16.

48. Математические методы в сварке АН УССР. Киев : ИЭС им. Е.О. Патона, 1986. - 176 с.

49. Махненко В. И. Расчетные методы исследования кинетики сварочных напряжений и деформаций. Киев : Наук.думка, 1976. - 319 с.

50. Махненко В. И. Тепловые процессы при сварке // Сварка в СССР. М : Наука, 1981. - Т. 2. - С. 27-45.

51. Махненко В.И., Великоиваненко Е.А., Махненко О.В., Розынка Г.Ф., Пивторак Н.И. Исследование влияния фазовых превращений на остаточные напряжения при сварке кольцевых стыков труб // Автомат, сварка. 2000. -№5. - С. 3-8.

52. Махненко В.И., Егорова Л. А. Области применения схемы мощного быст-родвижущегося источника тепла в расчетах температур при сварке // Автомат. Сварка. 1975. - №5. - С. 68-69.

53. Махненко В.И. Расчет тепловых процессов при сварке встык разнородных пластин // Физика и химия обработки материалов. 1967. - №6. -С. 23-30.

54. Махненко В.И., Петун Л.А., Шекера В.М. Расчет температурных циклов при сварке быстродвижущимся источником тонкой пластины с массивным теплом // Физика и химия обработки материалов. 1967. - №4.

55. Махненко В.И. Оценка тепловых процессов вблизи движущейся сварочной ванны // Автомат, сварка. 1969. - №11. - С. 1-6.

56. Махненко В.И., Шекера В.М. Влияние толщины пластины на характер напряженно-деформированного состояния при нагреве ее поверхности мощным быстродвижущимся источником // Свароч. пр-во. 1971. -№11.

57. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. - 240 с.

58. Мелюков Д.В., Григорьянц А.Г. Определение мощности линейного быст-родвижущегося источника при нагреве тонкой пластины // Свароч. пр-во. 2002. - №3. - С. 8-9.

59. Мелюков В.В.; Чирков A.M. Оптимизация теплового режима лазерной сварки кольцевого соединения малого диаметра // Свароч. пр-во. 1999. - №12. - С. 9-14.

60. Николаев Г.А. Сварные конструкции. М.: Машгиз, 1962. - 552 с.

61. Окерблом Н. О. Термические и усадочные напряжения в сварных металлоконструкциях // Теория и практика сварного дела. Л.; М.: ОНТИ-НКТП, 1935. - С. 1-38.

62. Олейник О. А. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135. - №5. - С. 1054-1057.

63. Патон Е. О. и др. Усадочные напряжения при сварке цилиндрических сосудов // Автогенное дело. 1936. - №5. - С. 8-14; - №6. - С. 6-10.

64. Пашацкий Н.В., Прохоров А.В., Кононов С.Н. Аналитический расчет распределения температур при многопроходной сварке дисковых деталей // Свароч. пр-во. 2006. - №3. - С. 3-6.

65. Пашацкий П.В., Прохоров А.В. Тепловые процессы при сварке плоских изделий // Свароч. пр-во. 2000. - №. - С. 3-5.

66. Попков A.M. Методика определения скоростей нагрева и охлаждения металла при сварке и времени его пребывания выше заданной температуры // Свароч. пр-во. 2004. - №6. - С. 3-5.

67. Попков A.M. Выбор расчетной схемы распространения теплоты при сварке массивных изделий // Свароч. пр-во. 2002. - №11. - С. 3-5.

68. Прохоров Н.Н. Физические процессы в металлах при сварке. М.: Металлургия, 1968. - Т. 1.- 695 с.

69. Прохоров Н.Н. Технологическая прочность сварных швов в процессе кристаллизации. М.: Металлургия, 1979. - 248 с.

70. Раямяки П., Кархин В.А., Хомич П.И. Определение основных характеристик температурного поля для оценки типа затвердевания металла шва при сварке плавлением // Свароч. пр-во. 2007. - №2. - С. 3-7.

71. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига : Звайгзене, 1967. - 458 с.

72. Рыкалин Н.Н. Тепловые основы сварки. Ч. 1. Процессы распространения тепла при дуговой сварке. М.: Изд-во АН СССР, 1947. - 272 с.

73. Рыкалин Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. М.: Машгиз, 1951. - 295 с.

74. Самлрский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 653 с.

75. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1965. - Т.5. - №5. - С. 816-827.

76. Сапронова Н.А. Расчет тепловых процессов сварки на ЭВМ. : Учеб.пособие. Ижевск, 1990.

77. Слепцов О.И. Обеспечение технологической и эксплуатационной прочности сварных соединений северного исполнения // I ЕВРАЗИЙСКИЙ СИМПОЗИУМ по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата. Якутск, 2002. - С. 102-111.

78. Судник В.А., Ерофеев В.А., Радаи Д. Компьютерная имитация формирования шва при лазерно-лучевой сварке с зазором // Свароч. пр-во. -1999. №8. - С. 9-14.

79. Талыпов Г. Б. Приближенная теория сварочных деформаций и напряжений. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

80. Шамсундар Н., Спэрроу Е.М. Применение метода энтальпии к анализу многомерной задачи теплопроводности при наличии фазового перехода // Теплопредача. 1975. - №3. - С. 14-22.

81. Bergmann Н. W. Numerical simulation of centre line not cracks in laser beam welding of aluminium close to the sheet edge // Mathematical Modeling of Weld Phenomena. London: The Institute of Materials, IOH Communications Ltd, 1998. - P. 658-668.

82. Boulton N.S., Lance Martin H.E. Determination of stress and strains of Welding 11 Proc. Inst. Mech. Engineer, 1936. - 123 p.

83. Clavier L., Arquis E., Caltagirone J.P., Gobin D.A. A fixed grid method for the numerical solution of phase change problems // Int. J. Number. Meth. End. 1994. - Vol. 37. - №26. - P. 4247-4261.

84. Douglas J., Gallie G.M. On the numerical integration of a parabolic differential equation subject to a moving boundary condition // Duke Math. J. 1955. - №4. - P. 557-572.

85. Easterling K. Introduction to the physical metallurgy of welding. Second edition. Butterworth Heinemann Ltd, - 1992. - 270 p.

86. Ehrlich L. W. A numerical method of solving heat flow problem with mouving boundary //J. Assoc. Comput. Machinery. 1958. - V.5. - №2. - P. 161-176.

87. Konovalov A.N. The fictitions regions method in problems of mathematical physics// Computing Method in Applied Sciences and Engineering. -Amsterdam; New York, Oxford, 1980. P. 29-40.

88. Kovaljov O.B., Larkin N.A., Fomin W.M., Yanenko N.N. The solution of nonhomogeneous thermal problems and the Stefan single-phase problem in arbitrary domains // Comput. Method in Appl. Sci.and Engineering. 1980. -Vol.22. - P. 259-271.

89. Kou S. Welding metallurgy. Second edition. John Wiley&Sons, 2003. 461 P

90. Kurz W., Ficher D.J. Fundamentals of solidification. Trans Tech Publications Ltd, 1998. - 305 p.

91. Lees M. A linear three-level difference scheme for quasilinear parabolic equation// Math, of Comput. 1966. - Vol. 20, №96. - p.516-522.

92. Masubuchi K. Analytical Investigation of Residual Stresses and Distortions Due to Welding // Welding J. 1960. - №39 (12).

93. Messier R. W. Principles of welding: processes, physics, chemistry, and metallurgy // John Wiley&Sons, 1999. 662 p.

94. Pavelic V. a.o. Experimental and Computed Temperatures Histories in gas Tangsten are welding of Thin Plates // Welding Research. - 1969. - №34. 7.

95. Rappaz M., Bellet M., Deville M. Numerical modeling in materials science and engineering. Springer, 2003. 540 p.

96. Rosenthal D. Etude theorique du regime thermique pendant la soudure a 1\ arc // 2 eme. Congres National des Sciences. Brussels, 1935.

97. Rosenthal D. Mathematical Theory of Heat Distribution during Welding and Catting. The Welding J., May, 1941.

98. А.Р. Павлов, Слепцова Е.А. Численное моделирование температурного поля при сварке тонких пластин //IV Международная конференция по математическому моделированию : тез. докл. отв. ред. И.Е. Егоров]. -Якутск, 2004. С. 85-86.

99. Павлов А.Р., Слепцова Е.А. Решение задачи Стефана сведением ее к задаче теплопроводности с движущимся источником тепла // Мат. заметки ЯГУ. 2005. - Т. 12, №1. - С. 87-94.

100. Слепцова Е.А., А.Р. Павлов Определение остаточных сварочных напряжений и деформаций при стыковой сварке тонких пластин // Вестник Самарского университета. Самара, 2008. - Серия: естественнонаучная, №2 (61). - С. 273-287.

101. Слепцова Е.А., А.Р. Павлов Математическое моделирование кинетики сварочных напряжений и деформаций при стыковой сварке тонких пластин // Вестник Поморского университета. Архангельск, 2008. - Серия: Естественные науки, №4. - С. 85-90. /1. С. 70.