автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование развития аграрных обществ

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М.В. КЕЛДЫША РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

МАЛКОВ Артемий Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ АГРАРНЫХ ОБЩЕСТВ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Ордена Ленина Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук

Научные руководители: д.ф.-м.н., проф. Г.Г. Малинецкий

д.ф.-м.н., проф. Д.С. Чернавский

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., член-корр. РАН, проф.

Ю.Н. Павловский (Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН), к.ф.-м.н., д.и.н. проф. Л.И. Бородкин (Исторический факультет МГУ им.М.В. Ломоносова)

Ведущая организация: Физический факультет МГУ

им. М.В.Ломоносова.

Защита диссертации состоится « $ » ULOKA^ 2005 г. на заседании диссертационного совета Д002.024.02 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

по адресу: Москва, Миусская пл., д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Автореферат разослан « € » MQJ>L__2005 г.

Ученый секретарь

специализированного совета

к.ф.-м.н.

Г.В. Устюгова

I. Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние годы математическое моделирование все более широко применяется в социальных науках, прежде всего, в экономике и социологии. При этом большинство применяемых методов ориентировано на поиск равновесных состояний и экстраполяцию по временным рядам, характеризующим историю системы. Такой подход имеет серьезные недостатки, которые становятся все более явными. В целом, математическое описание социальных процессов, развивающихся в пространстве и во времени, пока не получило должного развития и распространения.

Один из возможных путей изучения динамики общества связан с анализом исторических процессов. Такой подход, с одной стороны, позволяет иметь дело с более простыми системами - предыдущими стадиями сегодняшнего общества, с другой - дает эмпирическую базу для анализа и поиска закономерностей. Эта идея была использована многими известными историками и экономистами. К ним можно отнести Фернана Броделя1. стремившегося внести в историю количественный подход, ориентировать ее на анализ и выявление законов развития общества. Нобелевский лауреат по экономике 1971 года Саймон Кузнец2 рассматривал экономический рост на столетнем масштабе и применял точные математические и статистические методы. Нобелевские лауреаты 1993 года Роберт Фогель3 и Дуглас Норт4 стали основателями «клиомет-рии» - количественной истории.

В России наиболее значимые работы в этой области принадлежат академику Н.Н. Моисееву5, чпен-корр. РАН Ю.Н. Павловскому6 и проф. Л И. Бородкину7, предложившим ряд математических моделей исторических процессов. Исследовательская программа по теоретической истории была выдвинута С.П. Капицей, С.П. Курдюмовым и Г.Г. Малинецким8. В соответствии

' Бродель Ф Материальная цивилизация, экономика и капитализм, XV-XVHI вв В 3-х г М Прогресс, 1986

1 Kuznets, S National Product since 1869 New York Nation Bureau of Economic Research, 1946.

3 Fogel R.W, Engerman SL. The Economic of Slavery // The Kemterpretation of American Economic History New York, 1971

4 North D.C The Economic Growth of the United States, 1790-1860 Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1961

5 Моисеев И. H Математика ставит эксперимент -М Наука, 1979

6 Гусейнова А.С., Устинов В J, Павловский ЮН Опыт имитационного моделирования исторического процесса -М. Наука, 1984

7 Андреев АЮ, Бородкин Л Я, Коновалова А.В, Левандовский МИ. Методы синергетики в изучении динамики курсов акций на Петербургской бирже в 1900-х п // Круг идей Историческая информатика в информационном обществе М,2001 С 68-109

8 Капица С Я, Курдюмов СЛ., Малшецкий Г Г Синергетика и прогнозы будущего - М Наука, 1997

с ней в истории появляется прикладной аспект, она рассматривается как основа для стратегического прогноза и планирования.

Во всех этих подходах принципиальным является построение базовых математических моделей, которые позволяют анализировать исторические явления в их наиболее простом и явном виде.

В этом контексте перспективным объектом исследования представляются аграрные (земледельческие) общества, доминировавшие в мировой истории с начала нашей эры практически до XX века. Такие социальные системы, с одной стороны, менее сложны, чем современное общество, с другой - достаточно хорошо задокументированы, что позволяет строить математические модели, опирающиеся на статистические данные.

Настоящая диссертация посвящена построению математических моделей развития аграрных обществ.

Целью диссертации является математическое описание социально-исторических процессов, построение и верификация соответствующих математических моделей, анализ роли и взаимного влияния демографических, экономических, технологических и пространственно-географических факторов социальной эволюции аграрных обществ.

В диссертации решались следующие задачи.

1. Обоснование методов математического моделирования социально-исторических процессов в аграрных обществах с учетом пространственно-географических аспектов.

2. Анализ взаимосвязи различных факторов и возможностей их совместного математического описания при построении моделей исторических процессов.

3. Разработка моделей пространственно-временной динамики аграрных обществ.

Методы исследования. При проведении исследований использовались методы системного анализа, нелинейной динамики, качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений, вычислительной математики (в том числе методы переменных направлений, конечных суперэлементов, многосеточный метод Федоренко), теории бифуркаций, фрактальной геометрии, теории вероятностей и математической статистики, а также методы и подходы к обработке и представлению данных, используемые в геоинформационных системах.

Научная новизна полученных результатов заключается в том, что

1. предложены математические модели пространственно-исторической динамики аграрных обществ на различных временных масштабах; предложен критерий оценки соответствия результатов пространственного моделирования и реальных пространственных исторических данных;

2. математически описаны механизмы глобального демографического перехода. В модель в качестве одного из основных введен показатель уровня грамотности, ввиду его тесной связи с уровнем рождаемости;

3. выявлены и математически описаны взаимосвязи между численностью населения Земли, мировым ВВП и уровнем грамотности за период с начала нашей эры по настоящее время;

4. предложены и отработаны (на примере моделирования динамики Великого Шелкового пути) методы математического описания исторических процессов с учетом пространственно-географических факторов;

5. введены новые пространственно-географические характеристики: транспортная проводимость и товаропроводность, предложены методы их оценки.

Практическая значимость. Полученные результаты используются в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Институте Африки РАН, Институте востоковедения РАН, University of California, Irvine (США), George Mason University, Fairfax (США), могут быть использованы в Институте российской истории РАН, National Institute of Informatics, Tokyo (Япония).

Предложенные методы и созданные на их основе модели расширяют возможности для моделирования демографических и экономических процессов в аграрных обществах, для реконструкции отсутствующих и верификации имеющихся исторических данных.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 17 конференциях и симпозиумах: международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2000, 2002; Пущино, 2001, 2003, 2005), NATO Advanced Study Institute: Nonlinear Dynamics in Social Science (Москва, 2000), Международный конгресс по искусственному интеллекту 1САГ2001 (Дивноморск, 2001), Международный симпозиум «Рефлексивные процессы и управление» (Москва, 2001,2003), V International Congress on Mathematical Modeling, VICMM (Дубна, 2002), Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные модели экономики» (Москва, 2003), П Международный научно-практический семинар «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллект») (Коломна, 2003), ХП Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003), I Международная научно-практическая конференция. «Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и управления» (Москва, 2004), Международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики», MMSED-2004 (Москва, 2004), Международный симпозиум «Процессы самоорганизации в Универсальной истории» (Белгород, 2004), Annual Meeting of Society for Anthropological Sciences (Santa Fe, USA, 2005), а также на семинарах ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Института Востоковедения РАН, РГГУ и МГУ им.М.В Ломоносова.

Публикации. По результатам выполненной работы имеется 16 публикаций (см. список публикаций).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения, изложенных на 128 страницах, содержит 56 рисунков, 17 таблиц и библиографию из 141 наименования.

II. Содержание работы

Во введении обсуждаются проблемы математического моделирования исторических процессов. Рассматриваются различные подходы к описанию социальной динамики, проводится краткий обзор работ, посвященных динамическому моделированию экономических, социальных и исторических процессов.

Приводится краткое изложение содержания диссертации.

Первая глава диссертации посвящена анализу и формализации основных факторов и процессов динамики аграрных обществ, изложению методического подхода к их описанию и моделированию.

В качестве основных переменных выделены время, пространство, численность населения и ресурс. Рассмотрены основные подсистемы и предложена общая схема функционирования и взаимодействия аграрных об-

Рис.1. Обобщенная схема функционирования и взаимодействия аграрных обществ.

В рамках диссертации проводится анализ связей и процессов, отраженных на данной схеме, их формализация, разработка и верификация математических моделей, описывающих связи, а также разработка методик оценки параметров этих моделей.

Считается, что население аграрных обществ состоит из элиты, выполняющей административные и военные функции, и народа - подавляющей части населения, занимающейся, прежде всего, аграрным производством. В представленной схеме учитывается наличие кочевых обществ, обеспечивающих транзитную торговлю между крупными аграрными государствами. Наиболее важными для проводимых исследований социальными слоями этих обществ являются купцы и военно-административная элита, обла-

гающая налогами транзит товаров. Основную массу товаров международной торговли составляют престижные товары (предметы роскоши), спрос на которые поддерживается элитами аграрных государств. Ввиду самодостаточности натурального аграрного хозяйства торговля ресурсами на дальние расстояния может не приниматься во внимание, тогда как торговля предметами престижа играет важнейшую роль, прежде всего, для государств, осуществляющих эту торговлю.

Для описания и взаимодействия аграрных государств имеют большое значение следующие факторы, отраженные на Рис. 1:

1. Демография. Важную роль для описания аграрных обществ играет демографическая динамика - как народа, так и элиты. Перенаселение часто приводит к голоду, крупным социальным кризисам, войнам, эпидемиям и т.п. В связи с этим описание демографической динамики с учетом влияющих на нее факторов является важнейшей задачей.

2. Аграрное производство. Это основной вид производства аграрной империи. Ог наличия или отсутствия излишков продовольствия зависит и демографическая динамика, и сила государства, и благосостояние городов, торговли и ремесел.

3. Инфраструктура и технологии. Урожайность территории зависит не только от природных условий, но и от антропогенного влияния. Большую роль играет создаваемая и поддерживаемая государством инфраструктура, а также используемые в хозяйстве технологии.

4. Налоги. Сила государства и преуспевание элиты серьезно зависят от сбора налогов - изъятия части произведенного продукта для поддержки бюрократии, армии, высококвалифицированных ремесленников и международной торговли товарами престижа.

5. Этнические, языковые и религиозные взаимодействия. Горизонтальные связи между различными государствами осуществляются как на уровне народа, так и на уровне элит. Для народа характерны этнические, языковые и религиозные взаимодействия, играющие важную роль при разделении на «своих» и «чужих». Отдельное значение имеет такое явление как этническая диаспора, выполняющая специализированные социальные функции.

6. Войны. Военные действия в аграрных обществах ведутся, в первую очередь, между элитами за передел сфер контроля над плодородными землями и транспортными потоками, приносящими ресурс в виде налогов. В аграрных обществах элита и народ нередко принадлежат к разным национальным группам, в связи с этим военная динамика часто мало связана с динамикой на уровне основного населения - этнической, языковой и т.п.

7. Спрос на товары престижа. Для поддержания своего статуса для элиты особую важность представляют предметы престижа. Немалую долю

собираемых налогов элита тратит на приобретение этих престижных товаров, косвенным образом поддерживая часть населения, занимающуюся торговлей и высококвалифицированным ремеслом.

8. Производство товаров престижа. Производством товаров престижа занимается достаточно узкая часть населения, состоящая из высококвалифицированных ремесленников. Эта часть получает относительно большой ресурс, однако полностью зависит от спроса на свою продукцию. Ввиду высокой стоимости товаров престижа, а также их относительно малого веса, можно говорить об относительно небольших издержках на их перевозку. Это значит, что рынок товаров престижа охватывает большие пространства, и элиты других, даже сильно удаленных государств, участвуют в потреблении товаров, производимых в разных точках географической сети.

9. Транспортировка товаров. Транспортировка товаров осуществляется купцами и существенным образом зависит от транспортных условий местности. На условия транспортировки влияет инфраструктура, поддерживаемая местной элитой, а также устанавливаемые ею налоги.

Далее в первой главе проводится исследование методов формализации описанных связей и процессов на основе существующих исторических источников. Предпринимается детальный анализ литературы и имеющихся моделей, которые могут быть использованы для описания отдельных элементов общей схемы (Рис.1).

Во второй главе изложен предлагаемый подход к моделированию пространственно-исторической динамики аграрных обществ. Вначале рассматриваются вертикальные связи элементов общей схемы, изображенные на Рис.2.

1. Демография.

Демографическая динамика народа и элиты описывается уравнением

д(

где N - численность группы населения, В и О - числа рождений и смертей в единицу времени, Г- миграционный поток.

В современной демографии используются9 модели, опирающиеся на кинетические уравнения, которые описывают динамику численности Л^' №(х, /) мужчин (М) и женщин (ИО, возраста г во времени / с учетом различий смертности

рождаемости по возрастам и полам. Однако в случае

Среда

Рис 2 Демография и вертикальные связи

9 Галахов М А, Орлов Ю Н , Суслин В М Математические модели жизнеустройства Демография Препринт ИПМ им М В Келдыша РАН, № 69, 2000

исторического моделирования мы не располагаем точными данными по поло-возрастной структуре обществ. Поэтому неизбежны осреднения

]b{r)n(T)dr ]d(r)n(r)dr

- и = -,

\n(r)dr ]n{t)dr

о 0

где Ъ и d - общие коэффициенты рождаемости и смертности, а и(т) -стационарное (с точностью до постоянного множителя) распределение по возрастам. Осреднения, как показывает анализ, можно считать справедливыми, полагая распределение по возрасту и полу стационарным в рамках выбранных временных масштабов.

В дополнение к данному осреднению для человеческой популяции необходимо учитывать различия в ресурсах, приходящихся на каждого потребителя в обеих ее подгруппах. Ввиду значительных различий в доходе населения - народа и элиты (см. Рис.3.), целесообразно вести рассмотрение динамики элиты и народа отдельно, аппроксимируя распределения по доходам w(r) двумя дельта функциями:

w(r) = N5(r -rN) + E5(r -rE), где N и Е -численность, а rN и ге - соответственно, усредненные доходы народа и элиты.

Выполненный в диссертации анализ дает основания принять за базовую следующую зависимость смертност и от доходов:

dN'L

o+-l—, (2)

rN,E

где dNE - коэффициенты смертности отдельно для народа и элиты, d0 -базовый уровень смертности, определяемый уровнем медицины, djN,E - коэффициенты при члене, отражающем рост смертности с уменьшением дохода на душу населения. Ввиду гораздо больших потребностей элиты по сравнению с простым народом коэффициент «//заметно больше df.

Проведенный анализ факторов изменения рождаемости позволяет считать коэффициент рождаемости для аграрных обществ постоянным.

В итоге, при соблюдении ряда критериев, выявленных в диссертации, вековую демографическую динамику народа и элиты можно описать уравнениями логистического типа:

^ = -4, dhJik • (3)

dt rK к

ео i so t-

40 Ц

>}

20 l 10

ÜL

Санкг-П«1«рСу prcm

0 10 30 30 40 50 60 70 Ю 9C ™

Рис 3 Распределение roc дохода по губерниям России, 1892-1895

п\

2. Аграрное производство.

Анализ особенностей аграрного производства позволяет применить для его описания производственную функцию вида

= (4)

N + v(x,y)

где F(N,x,y) - количество произведенного зерна с единицы посевной площади в год, N - количество крестьян, обрабатывающих единицу площади, р(х,у) - урожайность территории, v(x,y) - минимальные трудозатраты, измеряемые в людях на единицу площади. Данная функция обладает характерным для аграрного хозяйства насыщением: при /V—><х> F(N, х, у) -> р(х,у), что, в частности, резко ограничивает численность населения, способного проживать на данной территории.

Потребление ресурса народом можно описать функцией

= (5)

R + mN

или, в терминах дохода на душу населения: Q(N, г) = — ¡V, где N -

г + т

численность населения, т - подушевое потребление (излишек свыше которого потребитель считает возможным тратить на ценности, не связанные с пропитанием), также имеющий естественную оценку: в аграрном обществе рацион питания более чем на половину состоит из злаковых, а более или менее достаточное потребление злаков в год составляет 300-400 кг на человека, R- доступные объемы зерна10.

3. Инфраструктура и технологии. Создаваемая инфраструктура приводит к повышению урожайности единицы посевной площади

р(ху)= р0(х,у)ё(Т), (6)

где р0(хУ) — исходная урожайность, Т — уровень технологии, g(T) — множитель, увеличивающий урожайность. Существенные изменения технологии более четко проявляются на больших временных масштабах. Поэтому вопросы, связанные с ростом технологии, рассматриваются отдельно в третьей главе, посвященной тысячелетней динамике аграрных обществ.

4. Налоги. Процесс налогообложения, имеющий достаточно сложную структуру, в конечном счете, выражается в функции распределения по доходам w(r). В качестве довольно грубой модели можно записать:

10 Имеются в виду объемы зерна, доступные для потребления Если в модели полагается, чго зерно потребляется или реализуется достаточно быстро, то Л соответствует производству зерна, если же имеет место накопление зерна в количествах, сравнимых с производством и оно считается доступным для потребления (составляет резерв на случай неурожаев), го в этом случае Л следует считать объемами накоплений Л*

ИБШ,Е) = & + £Е, (7)

где - ресурс элиты, <? - подушевой налог с крестьян, С - дополнительные изъятия в пользу элиты, пропорциональные ее численности.

Следующая часть главы посвящена, прежде всего, пространственной динамике и формализации горизонтальных связей, выделенных на Рис.4. Для моделирования чрезвычайно важным является верификация полученных результатов. Поэтому для оценки близости модельных и реальных данных в диссертации вводится следующий критерий: П-критерий близости пространственных данных. Пусть пространственные данные представлены в виде двух пространственных распределений > 0; г = 1,2; (ду) е (/, где V - область пространства, тогда О-критерием близости этих данных будем называть разность этих функций в норме I) после сглаживания и нормировки:

П(ст) = 1 - ~ 82(<г,х,У)\<Ь<!У - (8)

где g,(a■,x,y) =

2 Ь

С,((т,х,у)

1

(х-4)2+(у-Ч)2 2а1

2яо и

Параметр а определяет допустимую неточность при сопоставлении данных, связанную в исторических исследованиях с изначальной грубостью задания пространственных параметров модели, а также частой неполнотой и условностью имеющихся пространственных исторических данных. Если значение а составляет порядка нескольких процентов от характерных размеров области и, то значения П(<г) > 0,6 можно считать очень хорошим результатом.

Далее продолжается изучение горизонтальных связей аграрных обществ.

5. Этнические, языковые и религиозные процессы. Проведенный анализ позволяет рассматривать эти процессы, связывая их с распространением и конкуренцией различных типов информации. Будем считать, что М этносов занимаются земледелием на одной территории. Предположим, что производство соответствует насыщению />(х,у), и результаты труда делятся

Е&Э -

Народ Народ

Рис 4 Факторы, которые учитываются при описании пространственной динамики аграрных обществ

между этносами пропорционально их численностям. Тогда изменение численности этносов может быть описано уравнением

м \

¥> » »

где первый член соответствует рассмотренной выше демографической динамике, второй - повышенной смертности из-за межэтнических конфликтов, третий - наличию смешанных браков и последующей самоидентификации детей от данных браков, четвертый - прямому влиянию государства на численность и пятый - миграции. Значение А^) равно разности количества детей от смешанных браков между этносами г,}, которые самоидентифицируют себя с этносом г и этносом /. В свою очередь, прямое влияние государства 9, на численность также может иметь разный характер и заключаться в насильственной ассимиляции, дискриминации или даже геноциде.

Отдельного рассмотрения требует возникновение торговой диаспоры. Если в модели (9) фактически имела место конкуренция в нише с ограниченным ресурсом (Крсу), то в случае различных социальных функций ниши различны и доход на душу населения определяется по-разному: дЫ ( N \

сл ^ />(-*, УУ\~Т}) )

ЯДГ ( N Л

—2- = к, - </0 - 4 —2— - а21 N. - ви (И„ ) - 32 (ЛГ2) - d^vJ^ Эг I, Р(х,у)г})

где ц - доля продукта, производимого крестьянами (этнос 1), которая в результате экономических взаимодействий попадает к торговцам (этнос 2). В данном случае фактически отсутствует ресурсная конкуренция, и при относительно низких ¿21 может существовать стационарное решение с ненулевым Л^. Для численности носителей языков и религий уравнения фактически аналогичны.

В рамках диссертации с помощью модели (9) рассматривалась этническая динамика в Европе. В качестве начальных условий задавалось точечное распределение пятисот этнических групп со случайными начальными координатами. Коэффициенты модели считались близкими для всех групп с 5%-ным случайным разбросом. Потоковый член, описывающий в данном случае миграционные процессы, был взят диффузионным: Л1? = -к(х,у)&а<Ш,, к(ху) - коэффициент пространственной проводимости, методика оценки которого описана в четвертой главе диссертации. На Рис.5, показана типичная динамика модели. Сначала формируется мозаика мелких, но однородных кластеров, которые затем расширяются, поглощают друг друга, пока, наконец, не сформируются крупные кластеры с достаточно медленно движущимися границами.

Ввиду стохастичности задания начальных условий при моделировании речь не шла о точном воспроизведении исторического хода этногенеза. Исследовалась другая задача - принципиальная зависимость динамики границ от ландшафта, а именно степень влияния коэффициента пространственной проводимости на вероятность возникновения границы в различных точках пространства.

Рис.5 Динамика изменения границ между этносами в разные моменты времени (слева - результат моделирования на 200 шаге, справа - на 3000 шаге расчета)

Полученные результаты имеют большую значимость. При сравнении с реальной вероятностью расположения границ": П(а) = 0,742 при о = 3% от линейных размеров карты. Наибольшее расхождение наблюдается в районах Германии и Северной Италии, которые долго были раздробленными. Модель не дает такого результата, и фактически это указывает на то, что данная раздробленность не является следствием влияния коэффициента пространственной проводимости, и исследование должно учитывать дополнительные факторы, в том числе экономические. Для остальных же областей коэффициент пространственной проводимости фактически является важнейшим фактором формирования границ.

6. Войны. Моделирование взаимодействий между элитами, главным образом, сводится к моделированию процессов борьбы за власть, взаимного уничтожения и подчинения. Если в рамках модели рассматривать элиту отдельного государства как единый объект и описывать взаимодействие элит, то с этой точки зрения важно описание причин возникновения войн, динамики силы и слабости государств, а также моделирование тактических военных действий.

Согласно исследованиям 2, повышение военной напряженности происходит в случае, когда вследствие роста численности элиты понижается ресурс, приходящийся на одного представителя элиты гЕ. Милитаризация происходит также в ответ на рост угрозы со стороны вероятного противни-

" Крались реальные данные с X по XX век нашей эры

12 Turchm, P., Korotaev, А. У, Population Dynamics and Internal Warfare a Consideration (submitted to Current Anthropology)

ка - соседей13. С другой стороны, она ограничивается людскими и материальными ресурсами. Данный процесс можно описать уравнением вида

От к*,

где М/- степень мобилизации /-ой элиты против 7-ой (под мобилизацией будем понимать объем выделяемых людских и материальных ресурсов, связанных пропорцией, определяемой текущей военной технологией 7]1У), ЛГ - факторы увеличения мобилизации, связанные с переизбытком элиты, внешними угрозами Ми текущей военной технологией Т*, М - факторы понижения мобилизации, связанные с ресурсными ограничениями.

Взаимная мобилизация выливается в военное столкновение, которое ранее моделировалось в ряде работ14,15. С использованием опыта моделирования этого процесса для описания тактических военных действий была использована модель вида

^\х,у,и,М!)-Ъ№(х,у,и„и)М!,М))~Я№-{х,у,и„Т^)-дху^ (Ю)

о* 1*}

где и, - численность войск, <7^ - пополнение войск за счет мобилизации, IV - боевые потери в ходе военных действий, (¡*~ - небоевые потери (болезни, голод и т.п., а также демобилизация), — передвижение войск.

Для выяснения области применимости модели (10) проведено описание динамики фронта воюющих группировок в Европе в ходе Второй мировой войны. При этом значения Л// задавались извне. В результате была получена временная динамика расположения линии фронта, имеющая высокую достоверность по критерию П(о) = 0,738 при а = 2% от линейных размеров всей карты. А при о = 5%, значение £2(а) достигает 0,872.

Третья глава посвящена анализу и моделированию глобальной демографической динамики аграрных обществ на больших временах и анализу технологического роста.

Демографическая динамика сложных аграрных обществ двух последних тысячелетий ярко выделяется на графике роста численности населения Земли (Рис.6). После широкого распространения земледелия, возникшего ок. 10000 лет назад, к началу нашей эры подавляющее большинство населения мира уже

Рис 6 Динамика населения Земли

13 Richardson L F, Arms and Insecurity Pittsburgh, Boxwood Press, 1960

и Lanchester F W, Aircraft m Warfare London Constable, 1916

ь Краснощекое П.С., Петров А А Принципы построения моделей М Изд-во МГУ, 1983 264 с

жило в границах сложных афарных обществ. Эта ситуация сохранялась вплоть до совсем недавнего времени. Для всего периода существования аграрных обществ выполнялся единый закон роста населения, описываемый гиперболической кривой (прямая линия в двойном логарифмическом масштабе на Рис.6). Некоторые авторы16'17, детально исследовавшие вопросы динамики населения, склонны продлевать данный закон в прошлое также на стадию охопгничье-собирательских обществ, для которых характерны несколько иные качественные зависимости для рождаемости и смертности, однако обсуждение этих вопросов выходит за рамки диссертации. Во всяком случае, бесспорно, что и внутренняя структура, и эмпирический закон развития сложных аграрных обществ были в заметной степени постоянными.

С точки зрения объяснения причин гиперболического роста общее мнение16'17 заключается в том, что рост является причиной информационных и технологических взаимодействий.

На макроуровне целесообразно пренебречь колебаниями и рассматривать динамику усредненных величин для населения и производимого продукта N и /?. В качестве уровня технологии Г предлагается рассматривать усредненный ресурсный излишек 5 на душу населения: Б = Я/N ~г0, где г0- минимальное потребление, необходимое для выживания. Такое определение вполне соответствует интуитивному пониманию технологии: 5 -> О при 1 -оо, поскольку в доисторическую эпоху весь производимый продукт гп потреблялся, не расходуясь на поддержание

инфраструктуры.

Для совместной динамики величин N и 5 в диссертации выводится модель ¿Й Л еБ

105 f R, мирооой ВВП. НЛМ«

10>-

- = aNS

01)

л

■ = bNS

где а и Ь - константы. Адекватность данной системы полностью подтверждается эмпирическими

N, численность юсапеиия, или ч*п

100 1000 10000 Рис 7 Связь населения мира и мирового ВВП с 1 года н э по 2004 год

16 Капица С II Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле М Наука 1999

17 Kremer М. Population Growth and Technological Change One Million В С to 1990 The Quarterly Journal of Economics 108, pp 681-716,1993

данными как по N, так и по <5 . Обе величины растут в режиме с обострением, причем мировой ВВП, определяемый как = ./V I т), в действительности (рис.7) равен Л = N (у N + т), где у и т - константа.

В свою очередь подстановка Б = yN в первое уравнение дает известное уравнение, изученное СЛ.Капицей: N = Ыг 1С.

Переход от аграрных обществ к индустриальным сопровождается демографическим переходом. Его причины являются открытой научной проблемой. Проведенное в рамках диссертации исследование выявило переменную, наиболее значительно влияющую на снижение рождаемости во время демографического перехода. Этой переменной оказалась женская грамотность (см. Рис.8). Другие факторы, например, урбанизация или уровень медицины, имеют более нелинейную и неоднозначную зависимость, хотя, безусловно, при совместной динамике всех этих переменных правильнее будет говорить об обобщенной переменной человеческого капитала, в которую грамотность входит важной составляющей.

Учет влияния грамотности в модели (11) позволяет ее расширить:

сШ — -

— = аЛг5( 1-1)

— = , (12) Л

— = (1-1) Л

где с - константа. Такая модель

с

дает прямую связь I к №, которая также имеет эмпирическое подтверждение (Рис.9). Результаты расчета системы (12) показаны на Рис. 10, демонстрирующем исключительную близость эмпирических данных и модели, которая описывает как гиперболический рост населения, имевший место на протяжении 10000 лет, так и демографический переход.

Рис 8 Связь рождаемости и женской :вам отгости в России (1800-1987)

Рис 9 Связь населения и грамотности с 1 годан.э по 2004 гол

Рис 10 Результаты моделирования' население, мировой ВВП и грамотность (обычный и двойной логарифмический масштаб)

Четвертая глава посвящена вопросам моделирования пространственных экономических процессов. Рассматриваются и формализуются следующие связи.

7. Спрос на товары престижа. Предметы роскоши служат для элиты, прежде всего, как отличительные признаки. Для элиты помимо цены особую важность играет качество товара, поэтому спрос на товары престижа будет функцией от численности элиты Е, ее доходов гь, цены на товар престижа р и его качества др: Ор(Е,гк,р,др).

8.Производство товаров престижа. Предметы роскоши производятся относительно немногочисленной группой высококвалифицированных ремесленников, предложение товаров на рынке можно описать функцией

где численность ремесленников, гс~их средний доход.

Сведение функций спроса и предложения от двух аргументов (цены и качества) к одному (цене) позволяет предложить следующую модель функций спроса и предложения:

ком дешевыми, иначе они теряют Рис и Подсисгема схемы рис 1,соот-престиж и не пользуются спросом. вегствуюгаая торговле

-189. Транспортировка товаров престижа. Ранее М. Бекманном18 была предложена модель для описания статистической структуры товаропотока внутри географического региона с заданными функциями распределения производителей и потребителей товара, а также распределения стоимостей

¿т

перевозок. Основная идея модели сводится к тому, что д(х,у)-.—г = {р-аАр,

Г I

то есть поток товара З7 направлен по градиенту цены р, а модуль градиента цены равен стоимости транспортировки у) в рассматриваемой точке. В диссертации данная модель была развита и адаптирована к историческим задачам.

Было принято, что уравнение непрерывности для товара имеет вид

ВТ т

— = -<11уЛ + д(х,у), где Т- плотность товара, д(х,у) - разность спроса и

81

предложения в точке. Также было сделано предположение, что поток не только направлен по градиенту цены, но и пропорционален ему: Зт = к&аАр Это предположение базируется на том, что доход отдельного перевозчика пропорционален градиенту цены, а предложение труда перевозчиков (то есть фактическое число движущихся торговых караванов, из которых складывается поток) в простейшем случае можно считать пропорциональным доходу. Коэффициент к назовем коэффициентом товаропро-водности, методика оценки которого предлагается ниже.

Динамика цены в каждой точке определяется разностью спроса и предложения, равно как и динамика запасов товара в точке (с точностью до знака), что дает возможность записать: С — = О - 5 = , где С- коэффи-

Ы Ы

циент, в дальнейшем сводимый к единице нормировкой р. Объединение всех указанных выше уравнений дает общее уравнение для цены:

Ям

-?- = А\\(к(х,у)&дАр}~д(х,у) 1>0 (х,у)еЬ' 01

к$Р\ ~-/Т( гу() (13)

р(*>;М)|ы> =Ро(х,у)

Полученное уравнение описывает пространственную динамику цен и товаропотоков в области II с заданными втекающими товаропотоками на кусочно-гладкой границе 811. На эту динамику существенно влияет ко-

Beckmann MJ A continuous model of transportation // Econometrica, Vol 20 No 4 The University of Chicago, 1952 P 643-660

эффициент товаропроводности к, для которого в одномерном случае на основе энергетических соображений выводится следующая оценка:

Г2Р2

(1+гМм+

сШ(х)

(к

Здесь у и Р - грузоподъемность и мощность транспортного средства, II - высота точки над уровнем моря, // - коэффициент транспортного трения, % - ускорение свободного падения, 5/ - коэффициент предложения труда перевозчиков, х ~ степень безопасности территории, определяемая как наиболее вероятная доля дохода, которая останется у торговца.

Коэффициент транспортного трения ¡л напрямую связан со свойствами территории и скоростью движения транспорта. Оценка коэффициента // проводится эмпирически. Можно предположить, что данный коэффициент постоянен внутри природных зон, в этом случае скорость движения транс-

Рис 12 Поиск кратчайших путей путешествия Марко Поло на физической карге при заданных коэффициентах ц

порта по территории будет выражаться как у(Х>0 -'

ц+ УЯ '

где С

*, суши перепадов высот

некоторая константа. Для оценки ц необходимо решить обратную задачу. Зная реальные времена перемещения из одного пункта в другой, а также решая задачу поиска кратчайшего пути (рис.12) при разных ц, можно подобрать такое значение при котором будет наблюдаться наибольшая корреляция между реальными и рассчитанными временами.

В диссертации проведена оценка коэффициентов ц на историческом материале путешествия Марко Поло в ХШ веке (см. рис.12). При всей относительности и спорности этих данных, тем не менее, удается выделить зависимости, особенно четкие для некоторых природных зон.

Следует обратить внимание, что при численном моделировании пространственных процессов могут возникать особенности, связанные с шагом сетки. В частности, при использовании к(х:у) и v(x,y), следует обратить внимание на то, что в формулу входит |У//|, который, если он рассчитывается через Н в узлах сетки, существенно зависит от ее шага в связи с фрак-талъностъю поверхности земли. Для того чтобы ввести поправку в выра-

А, шаг сетей в градусах

Рис 13 Оценка фрактальной размерности суммы перепалов высот по меридианам

жение для ц был исследован вопрос о фрактальной размерности величины \VH\ и предложена поправка

иЛх'У) = М 0 + «0 (*> >')(1 - (Л> / Л-/, ) > где fi0 и соответственно коэффициенты // и перепад высот на эталонной сетке, D - фрактальная размерность, До, Дг- шаг эталонной и используемой сеток.

В завершение исследований с использованием полученных оценок проводилось моделирование динамики товаропотоков Великого Шелкового Пути. Полагалось существование точечного источника товара в Китае и точечного потребления - в Европе. Коэффициенты товаропроводности вычислялись с использованием предложенной методики и полагались одинаковыми для различных эпох за исключением коэффициентов х(х>У)> которые в данном случае определялись пространственным расположением крупных империй. В модели учитывалось, что империи поддерживают ин-фрастуктуру и обеспечивают защиту торговцев, повышая товаропровод-ность своей территории. Внутри империй коэффициентах,^) умножался на постоянный множитель Хе > 1- Таким образом, для разных эпох, с точки зрения модели, отличия состояли только в различных пространственных конфигурациях империй, внутри которых товаропроводимость повышалась. Результаты приведены на Рис Л 4. Анализ результатов расчета показал их хорошее соответствие известным историческим сведениям о путях транспортирования товаров в эпохи расцвета Великого Шелкового Пути.

ч f ДО V ^^^ «л ДО ч

Ч / ^ Jjl л

Рис.14 Крупные империи, реальные пуги и результаты моделирования для тоех эпох: II в д н э. - III в и э.. VII - IX вв. и XII - XIV вв Значения ¡^-критерия для результатов при а = 3% размеров карты для трех эпох составляют 0,696,0,804 и 0,773 соответственно.

В заключении подводится итог формализации общей схемы (Рис. 1), излагаются основные результаты, полученные в ходе исследования.

Ш. Основные результаты диссертации

1. Разработана схема построения пространственно-временных моделей динамики аграрных обществ на двух характерных временных масштабах: в сотни и тысячи лет. Исследована и обоснована адекватность применения развитого подхода для описания исторических процессов.

2. На основе динамической теории информации построены математические модели, позволяющие описывать взаимодействие аграрных обществ, развивающееся в пространстве и во времени.

3. Разработана модель описания глобальных демографических процессов, обобщающая модель С.П.Капицы и учитывающая технологические и культурные факторы. Построенная модель позволяет объяснить механизм глобального демографического перехода и дать прогноз роста населения Земли.

4. Предложено обобщение модели транспортных потоков Бекманна, позволяющее эффективно учитывать географические, технологические и социальные факторы. На этой основе построена модель динамики Великого шелкового пути.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Мешков С.Ю., Ковалев В И, Косее Ю В., Маяков А С. Математическое моделирование социально-экономических процессов. Применение моделей к анализу перспектив российских реформ // Стратегическая стабильность, 1999, №1. С. 34-46.

2. Мапков С.Ю., Ковалев В.И., Мапков A.C. История человечества и стабильность (опыт математического моделирования) // Стратегическая стабильность, 2000, №3. С. 52-66.

3. Малков СЮ., Малков А.С Математические методы в исследовании закономерностей развития общества: моделирование эволюции этнических систем // Стратегическая стабильность, 2000, №4. С.31-36.

4. Малков СЮ, Косое Ю.В., Мапков А.С Изучение экономической структуры общества с помощью методов синергетики // От истории природы к истории общества: прошлое в настоящем и будущем. Материалы конференции. Ч. I, М., 2000. С.77-84.

5. Малков С. Ю, Малков А.С История в свете математического моделирования // История за и против истории. Кн. 2.- М.: Центр общественных наук, 2000. С. 54-76.

6. Малков A.C. ФАБР-метод и моделирование социальных систем // Труды конгресса 1САГ2001, Физматлит. М. 2001, Том 1. С. 440-453.

7. Чернавский Д.С., Чернавская Н.М, Малков С.Ю, Мапков А.С Математическое моделирование геополитических процессов // Стратегическая стабильность, 2002, №1 .С. 60-66.

8.ЧернавекийД.С., ЧернавскаяНМ., Малков С.Ю., МалковА.С. Математическое моделирование геополитических процессов // Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных и электронных технологий. Ч. 7. Имитационное моделирование и конфликтология / Материалы Международной конференции и Российской научной школы. М.: Радио и связь, 2003. С.141-170.

9. Малков А С Базовая пространственная динамическая модель торговли // Информационные модели экономики. Труды конференции. М.2003. С.78-83.

10. Malkov AS. Spatial Modeling of Historical Dynamics // Математическое моделирование социальной и экономической динамики, MMSED-2004. Труды международной конференции. М.2004. С.201-204.

И. Маяков А С Пространственные модели исторической динамики // Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и управления. Материалы первой международной научно-практической конференции. Т. Щ. Ч. 2: Международный симпозиум "Синергетика в решении проблем человечества XXI века: диалог школ". М.: Изд-во "Проспект", 2004. С.128-132.

12. Малков А С Математический анализ устойчивости социальных структур // Системы управления и информационные технологии, 2004, №4(16). С.62-66.

13. МалковА.С. Математический анализ устойчивости социальных структур // Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий. Материалы Международной конференции и Российской научной школы. Ч. 4: Социальные и экономические системы. М.: Радио и связь, 2004. С .33-42.

14. МалковА.С Моделирование формирования социальных структур в условиях различной ресурсной обеспеченности // Стратегическая стабильность, 2004, №3. С.60-65.

15. Малков А.С. О математическом моделировании товаропотоков. Препринт ИПМ им. MB. Келдыша РАН №11. М., 2005.

16. Малков А.С., Коротаев А.В., Халтурина ДА. Математическая модель роста населения Земли, экономики, технологии и образования. Препринт ИПМ им. М.В. Кеддыша РАН № 13. М., 2005.

РНБ Русский фонд

2006-4 5351

f

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМ МАКРОИСТОРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

1.1. Методологические проблемы моделирования макроисторических процессов.

1.2. Анализ основных факторов макроисторической динамики.

1.3. Макродинамика аграрных обществ.

1.4. Вековая динамика аграрных обществ.

1.5. Тысячелетняя динамика аграрных обществ.

1.6. Пространственно-экономическая динамика.

ГЛАВА 2. ВЕКОВАЯ ДИНАМИКА АГРАРНЫХ ОБЩЕСТВ.

2.1. Элементы демографической динамики аграрных обществ.

2.2. Пространственная демографическая динамика.

ГЛАВА 3. ТЫСЯЧЕЛЕТНЯЯ ДИНАМИКА АГРАРНЫХ ОБЩЕСТВ.

3.1. Гиперболический рост и уровень технологии.

3.2. Механизмы демографического перехода.

ГЛАВА 4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА.

4.1. Спрос и предложение на товары престижа.

4.2. Пространственная модель торговли.

4.3.Оценка коэффициента товаропроводности.

4.4. Задача о моделировании Великого шелкового пути.

4.5.Оценка коэффициента транспортного трения по историческим данным.

4.6. Результаты моделирования динамики Шелкового пути.

Широкое применение в научных исследованиях методов математического моделирования связано с появлением во второй половине XX века высокопроизводительной вычислительной техники. К этому времени физическая наука уже находилась на зрелом уровне, обладала широким набором методов описания, измерения и верификации явлений окружающего мира, широко использовала математический аппарат, и методы математического моделирования были взяты ею на вооружение, прежде всего как методы более точного расчета, опирающегося на выведенные ранее без их участия соотношения и законы. Однако параллельно с этим основным процессом математические методы нашли себе и другое, не менее важное применение. Развитие вычислительной техники позволило подойти к решению качественно новых исследовательских задач в тех областях, в который прямой эксперимент и поиски законов опытным путем серьезно затруднены. В физике вычислительный эксперимент используется, прежде всего там, где энергетические, временные и иные ограничения осложняют создание и проведение опытных испытаний. Даже в случае если принципиальная возможность натурного эксперимента имеет место, обычно проводятся предварительные расчеты, позволяющие более точно подобрать условия проведения дорогостоящих испытаний. Важно подчеркнуть, что вычислительный эксперимент играет в этом случае отнюдь не вспомогательную, а, напротив, основную роль. Именно в ходе расчетов могут быть обнаружены новые эффекты, выявлены неизвестные ранее закономерности и соотношения. Натурный эксперимент — это только верификация полученных в ходе моделирования результатов.

Научно-исследовательский подход, связанный с вычислительным экспериментом, неразрывно совмещает в себе два качественно различных процесса: процесс развития научной области - получение новых закономерностей, описывающих реальность, с помощью математического моделирования; процесс развития самих математических методов, совершенствование вычислительного аппарата, приведение его в соответствие потребностям прикладных исследований.

Центральная проблема, встающая на этом пути, заключается в том, что коль скоро исследование ведется в той области, в которой натурный эксперимент затруднен или даже невозможен (то есть верификация полученных в ходе моделирования результатов трудноосуществима), то сами эти результаты во многом являются заложниками выбранных методов. С другой стороны, отработать эти методы можно никак иначе, как только в процессе моделирования конкретных процессов и сопоставления результатов с реальностью, что, как отмечалось, не всегда возможно. Мы не имеем универсального математического аппарата, надежность и адекватность которого для любых задач была бы раз и навсегда доказана, и не имеем всего того перечня законов объективного мира, опираясь на которые можно было бы отрабатывать аппарат. Поэтому единственная возможная исследовательская стратегия — поступательное совместное развитие предметной области и методов моделирования, основывающееся на максимально возможном количестве точек соприкосновения с проявлениями реальности и уже подтвердившими свою надежность методами ее описания.

В физике данная проблема решается во многом естественно и часто даже не замечается. Огромный, накопленный за столетия, багаж физических законов и математических методов представляет собой ту базу, отталкиваясь от которой можно, вооружившись вычислительным экспериментом, смело вступать в область неизведанного. Совсем иначе дело обстоит в соседних, не столь развитых, но не менее актуальных дисциплинах, в частности - в социальных науках.

Настоящая диссертация посвящена развитию методов математического моделирования макроисторических процессов. В рамках работы с позиций математического моделирования рассматриваются точечные и пространственные задачи, связанные с динамикой ключевых макроисторических характеристик, таких как демография, экономика, политика, уровень технологии, науки и образования.

Актуальность работы.

Научно-технический прогресс, вызванный, прежде всего успехами физики и смежных дисциплин, привел к ощутимому разрыву между техническим и социальным аспектами современной жизни. Технологический прорыв намного опередил развитие социальных механизмов поддержания устойчивости в обществе. Современные технические средства позволяют несколько раз уничтожить жизнь на нашей планете, и только социальные механизмы могут удержать человечество от этого шага. С окончанием противостояния «США-СССР» угроза ядерного конфликта не исчезла, напротив, все больше и больше государств получают доступ к совершенным с технологической точки зрения орудиям уничтожения. В феврале 2005 года о создании собственной ядерной бомбы официально заявила Северная Корея. Технологическое всемогущество человека, сопровождающееся его социальной незрелостью - это, пожалуй, одна из наиболее серьезных проблем современности. Таким образом, именно задача разработки качественно новых принципов обеспечения стабильности и конструктивного взаимодействия в социальной сфере как никогда остро встает перед научной общественностью.

В современных условиях неприемлемо действовать по старинке, методом проб и ошибок. Любой промах может стоить жизни миллионам людей, может угрожать существованию целых государств, даже находящихся в зените славы и процветания. Целый ряд факторов говорят об исключительности нынешнего времени: быстрота и масштаб изменений. За последние 20 лет — микроскопическую по историческим меркам величину — общемировое производство выросло в два раза, то есть на столько, на сколько оно, в абсолютных величинах, выросло за всю предшествующую историю человечества. Такой стремительный рост производства с неизбежностью подразумевает соответствующий рост промышленности, городов, развития инфраструктуры, усложнения социально-экономических отношений и множества других показателей. Наблюдаются резкие перемены в мировой демографической, экономической и политической сферах. В масштабах десятилетий одни страны вырываются вперед на гребне экономического чуда, в то время как другие столь же стремительно падают. Всего за несколько лет общепризнанная сверхдержава СССР превратилась из мирового лидера в отсталое раздробленное государство с неопределенными перспективами и безнадежной потерей темпов развития; глобальный демографический переход. Абсолютный пик роста населения Земли приходится на 1987-1992 годы. В относительных же величинах темпы роста населения демонстрировали беспрецедентно высокие значения в шестидесятых годах XX века и достигали уровня 2,1% в год. Нужно заметить, что за всю историю человечества вплоть до конца XIX века темпы роста населения не составляли и четверти этой величины. В условиях столь стремительных демографических изменений целые народы могут за сравнительно короткий период оказаться вытесненными со своих территорий и раствориться в среде других народов. Озабоченность вызывает тот факт, что демографическое давление оказывается, прежде всего на те народы, которые играют основную роль в научно-техническом развитии человечества. Их демографическое вытеснение может вызвать общий застой в развитии человечества, положить начало новому средневековью; глобализация, новые экономические и политические реалии. Демократические принципы, следование которым служило неотъемлемым атрибутом стремительного экономического развития западных стран, обнаруживают свои слабые места в условиях глобализации и обострившегося демографического, экономического и идеологического противостояния развитых и развивающихся стран. Необходимость защиты своих интересов побуждает развитые страны отходить от декларируемых ими принципов демократии и свободы и проводить все более жесткую политику двойных стандартов, еще более усугубляющую противостояние. Кроме того, в таких условиях происходит генезис качественно новых методов ведения войны — экономической и информационной. Все больше примеров «демократического» ненасильственного революционного изменения государственного строя — распад СССР, коммунистических стран Восточной Европы, недавние события в Грузии и Украине; международный терроризм. Качественно новые методы борьбы используются не только развитыми странами, но и их оппонентами. В условиях безоговорочного преимущества регулярных армий развитых стран партизанская война переросла из вспомогательного оружия в основное. Рассредоточенный противник имеет гораздо больше шансов на успех и безнаказанность, а глобальные информационные сети гарантируют значительный общественный резонанс даже при относительно малом нанесенном ущербе. В таких условиях особо остро заметен разрыв между технологическим прогрессом и отсталостью и варварством, царящими в сфере согласования интересов различных государств и слоев общества. По всей видимости, террористическая угроза будет только нарастать, вполне вероятны террористические акты с использованием оружия массового поражения. Ядерное оружие уже не сможет служить гарантом баланса сил между сверхдержавами. В случае ядерной атаки террористов ответный удар невозможен, а значит, опасность его применения уже не является сдерживающим фактором; отсутствие ориентиров развития. На сегодняшний день остро ощущается отсутствие ориентиров дальнейшего развития человечества. Продолжение капиталистического курса развития ведет к быстрому исчерпанию ресурсов и разрушению условий окружающей среды, явно проявляются негативные свойства «общества потребления» и в социальной сфере. С другой стороны, альтернативой не могут являться и агрессивные традиционные уклады, сдерживающие развитие и способствующие дезинтеграции мирового сообщества. Происходит пока безуспешный поиск новой модели устройства мировой экономико-политической системы, в рамках которой была бы возможна конструктивная коэволюция человечества; опасность необдуманных действий. Напряженность и стремительность социальных процессов делают систему чрезвычайно чувствительной к любым воздействиям. В силу высокой сложности социальной системы подавляющее большинство из всего многообразия этих воздействий ведет к частичному или даже полному разрушению системы. Руководство государства не может позволить себе проводить эксперименты над собственным народом. Тем не менее поиск новых форм управления неизбежен — иначе невозможно обеспечить высокие темпы развития, необходимые для сохранения конкурентоспособности государства

Эти и многие другие факторы со всей очевидностью говорят о том, что сейчас, как никогда, ощущается потребность в новых методах анализа и прогноза макросоциальных явлений. Развитая математическая теория могла бы указать решения многих социальных проблем, а вычислительный эксперимент — избавить от необходимости поиска новых форм социального устройства методом проб и ошибок. Конечно, до построения такой целостной теории пока далеко, однако исторические события разворачиваются в стремительном темпе, и чем быстрее будут сделаны соответствующие шаги, тем, в конечном счете, большего количества кризисных ситуаций можно будет избежать.

Методологические основы работы

Важность исследований в сфере социального анализа и перспектив использования строгих методов в этой области была осознана достаточно давно. Английский философ XXII века Томас Гоббс, почитая геометрию и механику как высшие из наук, считал, что правовые конструкции должны быть упорядочены по образу строгих математических формулировок [1]. Центральная идея французского мыслителя ХЕХ века Опосга Копта, заложившего основы современной социологии, состояла в том, чтобы приблизить социальные науки к тому уровню строгости, доказательности и четкости, какой имеет место в физике и смежных дисциплинах. Он отождествлял общество с организмом и считал, что социальные закономерности во многом сходны с законами функционирования живых систем [2].

Позднее, в середине XX века, эти взгляды были еще более расширены. Общая теория систем (системный анализ), основоположниками которой считаются JI. фон Берталанфи [3] и А. Раппопорт [4], базируется на том, что все сложные системы, по сути своей, подчиняются общим законам. Строгую математическую формализацию данный подход получил в рамках кибернетики, основанной Н. Виннером [5] и Дж. фон Нейманом [6]. Наиболее яркие работы по макросоциальной динамике в рамках данного подхода принадлежат Дж. фон Форрестеру [7] и Дж. Медоузу [8].

Следующий этап развития связан с совершенствованием методов математического описания нелинейных процессов, характерных для социальных систем. Возникшая новая научная парадигма, синергетика, у истоков которой стоят такие ученые, как И. Пригожин [9], [10], [11], Г. Хакен [12], [13], С.П. Курдюмов [14], ставит во главу угла исследование нелинейностей и выявление «параметров порядка», наиболее значимых для описания поведения нелинейных систем (см. теорему Тихонова [15].) Синергетический подход позволил говорить о новых критериях моделирования и роли математических методов. В рамках синергетики принято говорить о спектре аттракторов — наборе устойчивых неподвижных точек (или более сложных многообразий -предельных щклов и странных аттракторов) системы нелинейных дифференциальных уравнений, которые вместе со своими областями притяжения имеют определенную топологическую структуру. Фактически, при решении достаточно широкого класса задач, не столь важно, каково точное расположение аттракторов, а важна именно их структура и характер. Математические методы используются, прежде всего не для поиска точного решения уравнения, а для исследования фазового пространства и поиска критических значений, при которых происходят бифуркации - изменения структуры и характера решений. В этом смысле, в рамках синергетического подхода речь идет не о поиске конкретных значений отдельных локальных характеристик, а об определении состояния системы в целом. Задача решена, если правильно определен конечный режим процесса Результат вычислений отвечает не на вопрос «сколько?», но на вопрос «как?». Для нелинейных систем вопросы «как будет вести себя макросистема, какие формы она примет, как перевести ее из одного состояния в другое, как она реагирует на приложенные воздействия» гораздо более насущны, чем вопрос «сколько?», так как последний вопрос для развивающихся систем быстро теряет актуальность, ибо все их численные характеристики могут достаточно быстро меняться. Синергетика использует математику не ради получения итогового числового значения, а в качестве промежуточного инструмента для численного определения границ областей устойчивости и связи начальных данных с итоговым макрорежимом, то есть как средство получения качественных решений.

Разработка синергетического подхода вызвала новый всплеск работ в области математического моделирования социальных систем. Новые методы вызвали бурный рост работ в сфере неравновесных, обладающих хаотичным поведением и элементами самоорганизации, социальных систем. Синергетический подход активно использовался в работах по социальной динамике В. Вайдлиха [16], экономических работах Т. Пуу [17], В.-Б. Занга [18] и других.

Необходимо отдельно упомянуть работы отечественных исследователей, внесших большой вклад в развитие математической теории социальных систем. У истоков отечественной школы математического моделирования стояли выдающиеся ученые А.А.Дородницин, Н.Н.Моисеев, А.А. Самарский. Их работы [19], [20], [21] заложили основания для применения математических и вычислительных методов как в естественных, так и в социальных науках. Крупнейшая школа математического моделирования экономических процессов была создана академиком А.А.Петровым в Вычислительном Центре РАН. Разрабатываемые этой группой методы и модели [22], [23] успешно применяются в области прогнозирования и используются руководящими органами государства. В ВЦ РАН под руководством чл.-корр. РАН Ю.Н.Павловскош были проведены первые работы в области математического моделирования исторического процесса — модель Пелопонесских войн [24]. Активные исследования социальных процессов проводятся в Институте Математического Моделирования под руководством акад. А.А.Самарского. Большие перспективы имеет пространственная модель иерархии власти [21], построенная А.А.Самарским и проф. А.П. Михайловым. Активная работа в сфере математического моделирования ведется в МГУ под руководством проф. А.П. Михайлова на социологическом факультете, проф. Л.И. Бородкина -на историческом факультете. Работы Л.И. Бородкина включают широкий круг исследований как по исторической экономике — моделирование биржевой динамики конца XIX - начала XX века [25], так и по закономерностям социальных процессов (моделирование динамики стачечного движения в дореволюционной России [26]). Кроме того, группой Л.И. Бородкина ведется активная работа по адаптации математических и компьютерных методов для использования профессиональными историками [27], [28]. Социальные и исторические исследования [29] с позиций синергетики проводятся в Институте Прикладной Математики РАН в рамках научной школы чл.-корр. РАН С.П. Курдюмова.

В последние годы стали появляться работы, посвященные исследованию устойчивости социально-экономических систем и их динамике в нестационарных условиях с учетом влияния социально-психологических факторов. К таким исследованиям, в частности, относятся работы Ю.Н. Гаврильца [30]по социально-математическому моделированию, В.ВЛебедева о неравновесной социально-экономической динамике [31], В.А. Лефевра, В.Е. Лепского о влиянии рефлексивных процессов на социальное поведение [32], [33], С.Ю.Малкова о процессах социальной самоорганизации в истории [34], Д.С. Чернавского о влиянии поведенческих установок в обществе на макроэкономические процессы [35] и т.п. Математическое моделирование социальных и исторических процессов активно развивается в Омском университете под руководством проф. А.К. Гуца [36], а также С.А. Нефедовым в Институте истории и археологии УрО РАН (детальный анализ работ этого исследователя будет проведен в первой главе).

Таким образом, исследовательское математическое моделирование в области социальных процессов, ставящее задачей не подсчет конкретных экономических или социальных индексов, а разработку новых методов моделирования и поиск законов развития общества с помощью вычислительного эксперимента, является широким научным направлением. В рамках этого обширного направления работы можно различать по: предмету исследования: экономические, демографические, социальные, психологические и т.д. вопросы; масштабу.: макро- (человечество в целом, государства и отрасли), и микромасштаб (отдельные фирмы, социальные группы, события и эффекты); временным рамкам: нацеленность на изучение прошлого (исторические исследования), настоящего и будущего (прогнозные исследования).

Понятно, что данное разделение во многом условно, и социальная система представляет единый сложный развивающийся механизм, а значит, любое исследование, так или иначе затрагивает не одну, а несколько социальных дисциплин, изучает динамику, зависящую и от микро-, и от макропроцессов, опирается на уже полученный в прошлом материал и строится для возможности прогноза в будущем. Однако любое исследование должно иметь достаточно четкие рамки, только в этом случае можно будет получить конкретные результаты, проясняющие те или иные аспекты математического моделирования социальных процессов.

Проблема исследования

Моделирование социальных процессов сталкивается с естественными трудностями. Несмотря на большую востребованность краткосрочных и долгосрочных прогнозов как в социальной, так и в экономической сфере, до сих пор не разработаны адекватные методы прогнозирования, построенные на формальных моделях. Сверхпопулярная область моделирования и прогнозирования биржевой динамики [37], [38], [39] до сих пор не поддается усилиям исследователей и остается сферой «искусства» [40]. Гораздо медленнее движутся исследования в других областях, не столь привлекательных с точки зрения коммерческой выгоды, в том числе областях, относящихся к прогнозированию процессов, представляющих стратегическую значимость для государственных структур. Действительно, в условиях быстро изменяющегося мира, высокой сложности социальных структур и государственных институтов, принципиальной необратимости и неустойчивости процессов, наличия ключевых проблем, связанных с «человеческим фактором» и многими другими причинами, адекватный прогноз практически невозможен. Сама по себе сложность социальных процессов не является непреодолимой преградой, свидетельствующей о принципиальной невозможности обнаружения законов -современные достижения физики дают нам множество потрясающих примеров успешного описания и моделирования чрезвычайно сложных процессов. Проблема состоит несколько в другом — для построения основания теории требуется движение «от простого к сложному», нужен опыт описания относительно простых процессов.

Современная, базирующаяся на математических методах, физика выросла из задач описания небесной механики, то есть задач двумерного движения массы без трения в относительно простом, хотя и нелинейном, потенциале. Она не могла бы вырасти из задач гидродинамики или квантовой физики. Для того чтобы дойти до уровня успешного описания таких процессов, она прошла долгий путь выдвижения верных и ошибочных гипотез, отработки математического аппарата и создания методов экспериментального подтверждения на более простых задачах.

Сложность построения математической теории социальной динамики обусловлена ее нелинейностью, неустойчивостью, необходимостью учета множества различных факторов, и в таких условиях достаточно сложно выделить относительно простые процессы, с описания и подтверждения которых можно было бы начать построение крепкого фундамента предметной теории.

Цели и задачи исследования

Один из путей решения проблемы поиска законов социальной динамики в условиях высокой сложности современных процессов заключается в том, чтобы обратиться к прошлому и попытаться выявить фундаментальные социально-исторические процессы, опираясь на широкую информационную базу исторических данных. Макроподход при моделировании истории позволит оперировать с усредненными характеристиками и таким образом избежать сложностей, связанных с «человеческим фактором» и уникальностью отдельных событий.

В свете вышесказанного, настоящая диссертация посвящена изучению макроисторических процессов с позиций математического моделирования. Таким образом, основное внимание будет уделено процессам, протекающим на масштабе крупных государств, групп государств и человечества в целом. Общим направлением исследований является выявление основных факторов макроэволюции согщалъпых, организмов и построение математических моделей, описывающих характер взаимосвязей и эволюцию этих факторов в исторической перспективе.

Столь широкая задача, безусловно, не может быть решена в рамках одного исследования. В связи с этим настоящая диссертационная работа ограничивается анализом демографического, экономического, технологического, политического, культурного и пространственно-географического факторов в аспекте моделирования их совместной макродинамики для одного из типов обществ — аграрного, который, с одной стороны, имеет значительно меньшую степень сложности, чем современное постиндустриальное общество, а с другой — достаточно хорошо задокументирован для того, чтобы можно было говорить о верификации моделей.

Таким образом, целью диссертации является математическое описание социально-исторических процессов, построение и верификация соответствующих математических моделей, анализ роли и взаимного влияния демографических, экономических, технологических и пространственно-географических факторов социальной эволюции аграрных обществ.

Для достижения поставленной цели в диссертации решались следующие задачи:

Обоснование методов математического моделирования социально-исторических процессов в аграрных обществах с учетом пространственно-географических аспектов.

Анализ взаимосвязи различных факторов и возможностей их совместного математического описания при построении моделей исторических процессов.

Разработка моделей пространственно-исторической динамики аграрных обществ.

Научная новизна полученных результатов заключается в том, что предложены математические модели пространственно-исторической динамики аграрных обществ на различных временных масштабах; предложен критерий оценки соответствия результатов пространственного моделирования и реальных пространственных исторических данных; математически описаны механизмы глобального демографического перехода В модель в качестве одного из основных введен показатель уровня грамотности, ввиду его тесной связи с уровнем рождаемости; выявлены и математически описаны взаимосвязи между численностью населения Земли, мировым ВВП и уровнем грамотности за период с начала нашей эры по настоящее время; предложены и отработаны (на примере моделирования динамики Великого Шелкового пути) методы математического описания исторических процессов с учетом пространственно-географических факторов; введены новые пространственно-географические характеристики: транспортная проводимость и товаропроводность и предложены методы их оценки.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что

Разработана методика пространственного моделирования динамики аграрных обществ, на основании которой возможно построение моделей динамики отдельных исторических государств с целью анализа возможных альтернатив макроисторических событий.

Математически показана значимость уровня грамотности в демографических процессах, что позволяет использовать соответствующий фактор для прогноза и управления демографической динамикой, в том числе на основе моделей.

Обнаруженные эмпирические факты взаимозависимости населения, ВВП и уровня грамотности могут быть использованы для построения макроэкономических моделей в будущем.

Предложенная пространственная модель формирования товаропотоков может быть использована для оценок пространственного распределения цен, плотностей производства и потребления, а также интенсивностей товаропотоков по неполным историческим данным, что делает ее мощным средством восполнения отсутствующих исторических данных.

Разработанная методика оценки транспортной проводимости географических территорий может быть использована для оценок временных затрат на перемещение по заданному маршруту как в исторических, так и в современных задачах.

Полученные результаты используются в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Институте Африки РАН, Институте востоковедения РАН, University of California, Irvine (США), George Mason University, Fairfax (США), могут быть использованы в Институте российской истории РАН, National Institute of Informatics, Tokyo (Япония).

Предложенные методы и созданные на их основе модели расширяют возможности для моделирования демографических и экономических процессов в аграрных обществах, для реконструкции отсутствующих и верификации имеющихся исторических данных.

При проведении исследований использовались метода системного анализа, нелинейной динамики, качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений, вычислительной математики (в том числе методы переменных направлений, конечных суперэлементов, многосеточный метод Федоренко), теории бифуркаций, фрактальной геометрии, теории вероятностей и математической статистики, а также методы обработки и представления данных, используемых в геоинформационных системах.

Достоверность полученных результатов подтверждается статистическими данными World Bank, ООН, общепризнанными рядами демографической и экономической динамики, составленных Мэддисоном, результаты пространственного моделирования подтверждаются историческими картами («Всемирная История» М.: Госполитиздат).

Результаты исследований опубликованы в 16 научных статьях и 20 тезисах, докладывались на 17 конференциях и симпозиумах: Основные результаты работы докладывались на 17 конференциях и симпозиумах: международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна 2000, 2002, Пущино 2001, 2003, 2005), NATO Advanced Study Institute: Nonlinear Dynamics in Social Science (Москва, 2000), Международный конгресс по искусственному интеллекту ICAF2001 (Дивноморск, 2001), Международный симпозиум «Рефлексивные процессы и управление» (Москва, 2001, 2003), V International Congress on Mathematical Modeling, V ICMM (Дубна, 2002), Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные модели экономики» (Москва, 2003), II Международный научно-практический семинар «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (Коломна 2003), XII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003), I Международная научно-практическая конференция. «Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и управления» (Москва, 2004), Международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики», MMSED-2004 (Москва, 2004), Международный симпозиум «Процессы самоорганизации в Универсальной истории» (Белгород, 2004), Annual Meeting of Society for Anthropological Sciences (Santa Fe, USA, 2005), а также на семинарах ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Института Востоковедения РАН, РГГУ и МГУ им.М.В.Ломоносова.

Основные результаты четвертой главы

В настоящей главе рассмотрены пространственно-экономические процессы. Предложена пространственная модель торговли, имеющая прикладное значение для моделирования пространственных исторических процессов. Введены новые пространственные коэффициенты, более адекватные историческим задачам, нежели значения стоимости транспортировки, традиционно используемые в пространственной экономике. Предложены конкретные методики оценки введенных коэффициентов. Проведен комплекс исследований, включающий оценку коэффициентов по материалам путешествия Марко Поло, и дальнейшее моделирование динамики Великого шелкового пути с использованием полученных коэффициентов. Полученная модель демонстрирует хорошее соответствие с исторической динамикой. В рамках проведенных исследований разработан Комплекс программ, реализующих вычислительные методы расчета моделей, обработки геоинформационных данных и оценки коэффициентов товаропроводности и транспортного трения. Программы и программные компоненты реализованы в среде программирования Borland Delphi 5.5 с использованием пакета векторной графики Open GL. 1римечание к 4 главе: Статистические данные но путешествию Март» приведены в приложении в таблице 17.

Заключение

Настоящая диссертация была посвящена математическому моделированию развития аграрных обществ. В рамках диссертации была предложена общая схема (рис.1.9.), претендующая на описание ключевых процессов и взаимосвязей в аграрных обществах. По ходу изложения диссертации раскрываются отдельные элементы данной схемы, предлагаются подходы к их формализации, строятся и отрабатываются соответствующие модели.

В первой главе проведен детальный анализ факторов динамики аграрных обществ. Существующие модели социальной и экономической динамики изучены на предмет применимости к описанию этой динамики. Обсуждены недостатки и преимущества данных моделей, предложены подходы к формализации связей и процессов аграрной динамики. Поставлены задачи по разработке и совершенствованию моделей исторических процессов в аграрном обществе.

В первой части второй главы проводилось обоснование использования логистической модели для описания демографических процессов в аграрных обществах. Были выяснены условия корректного использования модели и приведены примеры определения коэффициентов модели по историческим данным. Был проанализирован вид функции распределения по доходам, характерный для аграрных обществ. Были предложены механизмы оценки численности и дохода на душу населения для элиты и народа. Обосновано использование упрощенной функции распределения, позволяющее перейти к раздельному описанию демографической динамики народа и элиты.

Во второй части второй главы рассматривалась пространственная этническая и военная динамика. Был введен критерий оценки соответствия пространственных данных, который в дальнейшем используется для сравнения исторических данных и полученных в модели результатов. С использованием оптимизированной разностной схемы проведены расчеты предложенной пространственной модели этнической динамики. Результаты расчетов модели находятся в хорошем соответствии с исторической динамикой границ. Предложено расширение модели Ричардсона для мобилизации элит, в которую был включен член, отражающий повышение военной активности элиты при снижении ресурса на душу населения. С помощью вычислительного эксперимента изучена задача о движении фронта во Второй мировой войне, при задаваемых экзогенно параметрах мобилизации.

В третьей главе проанализированы существующие математические концепции глобальной демографии. Было проведено эмпирическое обоснование демографо-технологического подхода к описанию гиперболического роста населения Земли и предложена обобщенная модель гиперболического роста населения и демографического перехода, включающая три важных показателя - численность населения, уровень технологии и уровень грамотности. При ее простоте и малом количестве параметров модель с высокой точностью описывает совместную динамику всех трех показателей в рассматриваемом интервале с начала нашей эры по нынешнее время.

В четвертой главе рассмотрены пространственно-экономические процессы. Предложена пространственная модель торговли, имеющая прикладное значение для моделирования пространственных исторических процессов. Введены новые пространственные коэффициенты, более адекватные историческим задачам, нежели значения стоимости транспортировки, традиционно используемые в пространственной экономике. Предложены конкретные методики оценки введенных коэффициентов. Проведен комплекс исследований, включающий оценку коэффициентов по материалам путешествия Марко Поло, и дальнейшее моделирование динамики Великого Шелкового пути с использованием полученных коэффициентов. Полученная модель демонстрирует хорошее соответствие с исторической динамикой. В рамках проведенных исследований разработан комплекс программ, реализующих вычислительные методы расчета моделей, обработки геоинформационных данных и оценки коэффициентов товаропроводности и транспортного трения. Программы и программные компоненты реализованы в среде программирования Borland Delphi 5.5 с использованием пакета векторной графики Open GL.

Таким образом, можно выделить основные результаты диссертации:

1. Разработана схема построения пространственно-временных моделей динамики аграрных обществ на двух характерных временных масштабах: в сотни и тысячи лет. Исследована и обоснована адекватность применения развитого подхода для описания ряда исторических процессов.

2. На основе динамической теории информации построены математические модели, позволяющие описывать взаимодействие аграрных обществ, развивающееся в пространстве и во времени.

3. Предложена новая модель описания глобальных демографических процессов, обобщающая модель С.П.Капицы и учитывающая технологические и культурные факторы. Построенная модель позволяет объяснить механизм глобального демографического перехода и дать прогноз роста населения Земли.

4. Предложено обобщение модели транспортных потоков Бекманна, позволяющее эффективно учитывать географические, технологические и социальные факторы. На этой основе построена модель динамики Великого Шелкового пути.

1. Гоббс Т. Левиафан или материя, форма и власть государства церковного и гражданского, Соч. в 2-х т. Т.2. М., 1991.

2. Конт О. Курс положительной философии // Западно-европейская социология Х1Хвека. М., 1996. С. 109.

3. Берталанфи Л., Общая теория систем — критический обзор // Исследования по общей теории систем / под ред. В.Н.Садовского и Э.Г.Юдина, М., 1969.

4. Rappoport A., General System Theory; Essential Concepts and Applications. Cambridge, Mass: Abacus Press, 1986.

5. Виннер H., Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине", пер. с англ. Изд.2, М.: 1983.

6. Фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов: Пер. с англ. М., 1971.

7. Форрестер Дж., Мировая динамика. М.: Наука, 1978.

8. Meadows D. L. et al. Limits to Growth in a Finite World. Cambridge, Mass., 1974.

9. Пригожий К, Стенгерс И. Порядок из хаоса: новый диалог человека с природой. — М.: Прогресс, 1986.

10. Пригожий И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985

11. Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. — М.: Мир, 1979.

12. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.13 .ХакенГ. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

13. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. — М.: Наука, 1997.

14. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных, Мат. Сб. Т. 32, №3, 1952.

15. Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. М.: Едиториал УРСС, 2004.

16. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск: Удмуртский университет, 2000.

17. ЗангВ.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999.

18. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

19. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.

20. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. — М.: Наука, 1997.

21. Краснощекое П.С., Петров А.А., Принципы построения моделей. — М.: Изд-во МГУ, 1983.

22. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомзидат, 1996.

23. Гусейнова А.С., Устинов В.А., Павловский Ю.Н. Опыт имитационного моделирования исторического процесса. М.: Наука, 1984.

24. Андреев А.Ю., Бородкин Л.И., Коновалова А.В., Левандовский М.И. Методы синергетики в изучении динамики курсов акций на Петербургской бирже в 1900-х гг. // Круг идей: Историческая информатика в информационном обществе. М., 2001. С.68-109.

25. Бородкин Л.И. Многомерный статистический анализ в исторических исследованиях. М., 1986.

26. Бородкин Л.И., Гарскова И.М. и др. Компьютеризованный статистический анализ для историков. Учебное пособие / Под ред. Л.И.Бородкина и И.М.Гарсковой. М., 1999. -187 с.

27. Махов С.А. Математическое моделирование мировой динамики и устойчивого развития на примере модели Форрестера, препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН. - М.: ИПМ РАН, 2005, №6.

28. Гаврилец Ю.Н., Ефимов Б.А. Изменения предпочтений индивидов в социальной среде // Экономика и математические методы. №2,1997. С.76-9331 .Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. -М.: Изограф, 1997.

29. Лефевр В.А. Рефлексия. М.: Когито-Центр, 2003.

30. Лефевр В.А. Алгебра совести / Пер. с англ. — М.: Когито-Центр, 2003.

31. Чернавский Д.С. Синергетика и информация (динамическая теория информации). -М.: Едиториал УРСС, 2004.

32. Малков С.Ю. Математическое моделирование исторической динамики: подходы и модели // Моделирование социально-политической и экономической динамики. — М.: РГСУ, 2004.-С.76-188

33. А. К. Гуц, В. В. Коробицын, А.А. Лаптев, Л.А. Паутова, Ю.В. Фролова Математические модели социальных систем: Учебное пособие. Омск: Омск. гос. ун-т, 2000. - 256 с.

34. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000.

35. Robert R. Trippi, Efraim Turban (Editor) Neural Networks in Finance and Investing: Using Artificial Intelligence to Improve Real-World Performance. Probus Pub Co, 1992.

36. Philip Hans Franses, Dick van Dijk Non-Linear Time Series Models in Empirical Finance. Cambridge University Press, 2000.

37. Сорос Дж. Алхимия финансов. М.: ИНФРА-М, 1996.

38. Kremer, М. Population Growth and Technological Change: One Million B.C. to 1990. The Quarterly Journal of Economics 108: 681-716. 1993.

39. Капица С. П. Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. М.: Наука. 1999.

40. Maddison, A. Monitoring the World Economy: A Millennial Perspective. Paris: OECD. 2001.

41. Biraben, J.-N., An Essay Concerning Mankind's Evolution, Population, Selected Papers, 1980 December, table 2.

42. McEvedy, C. and Jones, R., Atlas of World Population History, Facts on File, New York, pp. 342-351. 1978.

43. World Bank. World Development Indicators. Washington, DC: World Bank. 2004.

44. United Nations (UN), The Determinants and Consequences of Population Trends, Population Studies, No. 50., p. 10. 1973.

45. United Nations (UN), The World at Six Billion, Table 1, "World Population From" Year 0 to Stabilization, p. 5, 1999.

46. Thomlinson, R., "Demographic Problems, Controversy Over Population Control," Second Edition, Table 1. 1975.

47. Durand, J. D., Historical Estimates of World Population: An Evaluation, University of Pennsylvania, Population Center, Analytical and Technical Reports, Number 10, table 2. 1974.

48. Haub, C, How Many People Have Ever Lived on Earth?, Population Today, 1995 February, p. 5.

49. Mandelbrot В. B. The fractal geometry of nature. San Francisco, 1982

50. Lorenz, E. Deterministic Nonperiodic Flow-J. Atmos. Sci. 20, 130-141, 1963

51. Морган Л.Д. Древнее общество или исследование линий человеческого прогресса от дикости через варварство к цивилизации. JL, 1933; 1934.

52. Миронов Б.Н. Социальная история России периода империи XVIII-начало XX в. В 2 т. 2-е изд., испр. - СПб.: Изд-во «Дмитрий Буланин», 2000

53. Skinner, W. G. The Structure of Chinese History. // Journal of Asian History 54: 271-292. 1985.

54. Chase-Dunn, C., Hall, T.D. Rise and Demise. Comparing World-Systems. Westview Press, 1997

55. Нефедов C.A., Метод демографических циклов в изучении социально-экономической истории допромышленного общества И Автореферат диссертации. кандидата ист. наук. -Екатеринбург, 1999.

56. Нефедов С. А., Теория демографических циклов и социальная эволюция древних и средневековых обществ востока. // Восток, 2003, № 3. С. 5-22.

57. Нефедов С. А., Простейшая математическая модель демографической динамики земледельческого общества // Информационный бюллетень Ассоциации "История и компьютер", №31,2003. С.266-269.

58. Нефедов С. А., Опыт моделирования демографического цикла // Информационный бюллетень Ассоциации "История и компьютер", №29, 2002. С.131-142.

59. Turchin, P., Historical Dynamics: Why States Rise and Fall, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.

60. Turchin, P., Dynamical Feedback between Population Growth and Sociopolitical Instability in Agrarian States.

61. Turchin, P., Korotaev, A. V., Population Dynamics and Internal Warfare: a Consideration.

62. МалковС.Ю., Математическое моделирование исторических процессов // Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. Под ред. Г.Г. Малинецкого, С.П. Курдюмова. -М.: Наука, 2002,- С.291-323.

63. Ibn Khaldun, The Muqaddimah: An Introduction to History Panteon Books, New York. 1958.

64. Pearl, R„ The biology of population growth. N. Y. 1925.

65. Pearl, R„ and L. J. Reed. On the rate of growth of the population of the United States since 1790, and its mathematical representation. // Proceedings of the National Academy of Sciences (USA) 6: 275-288. 1920.

66. Verhulst, P. F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement Corr. Math. Et Phys. 10, 113-121, 1838

67. Malthus, T. Population: The First Essay Ann Arbor, MI: University of Michigan Press.1978.

68. Crombie, A.C. Interspecific Competition. //Journal of Animal Ecology 16:44-73, 1947.

69. Ризпиченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002

70. MaeArthur, R. Н., Geographical Ecology. Patterns in the distribution of species. Harper & Row. 269p. 1972.

71. Tilman, D. Ecological competition between algae: experimental confirmation of resource-based competition theory. // Science 192: 463-465. 1976.

72. Komlos J., Nefedov, S. A Compact Macromodel of Pre-Industrial Population Growth // Historical Methods. 2002. Vol. 35. № 2. P. 92-94.

73. Carneiro, R. L. A theory of the origin of the state. Science 169:773-738. 1970

74. Ferguson, B. R. "Introduction: Studying War", in Warfare, Culture and Environment, Edited by Brian R Ferguson. New York: Academic Press. 1984.

75. Haner, M. Population Pressure and the Social Evolution of Agriculturalists. // Southwestern Journal of Antropology 26:67-86,1970.

76. Harris, M. Warfare, Old and New. // Natural History 81:18-20, 1972

77. Larson, L. H. Functional Consideration of Warfare in the Southeast during the Mississippi Period. // American Antiquity 37:383-392, 1972.

78. Sanders, W., Price, B. Mesoamerica: The Evolution of a Civilization. New York: Random House, 1968.

79. Webster, D. Warfare and the Evolution of the State: a Reconsideration. // American Antiquity 40:464-470, 1975.

80. Cowgill, G. L. "Teotihuacan, Internal Militaristic Competition and the Fall of the Classic Maya" in Maya Archeology and Ethnohistory, pp 51-62. Austin: University of Texas Press,1979.

81. Redmond, E. M. "External Warfare and the Internal Politics of Northern South American Tribes and Chiefdoms" in Functional Competition and Political Development in the New World. pp.44-54. New York: Cambridge University Press, 1994.

82. Vayda, A. P. Warfare in Ecological Perspective // Annual Review of Ecology and Systematics 5:183-193, 1974.

83. Wright, H. Т., Johnson, G.A. Population, exchange and early state formation in Southwestern Iran. //American Anthropologist 77:267-289, 1975.

84. Kang, B. W. A reconsideration of population pressure and warfare: a protohistoric Korean case. Current Anthropology 41:873-881,2000.

85. Keely, L. H. War Before Civilization: The Myth of the Peaceful Savage. New York: Oxford University Press, 1997.

86. Lotka, A. J. Elements of Physical Biology. Williams & Wilkens, Baltimore, 1925.

87. Волътерра В., Математическая теория борьбы за существование, М.: Наука, 1976

88. Turchin P. Does population ecology have general laws? // Oikos 94: 17-26, 2001

89. Korotaev A. V., Komarova N.L. A new mathematical model of pre-industrial demographic cycle. // Proceedings of the International Conference "Mathematical Modeling of Social and Economical Dynamics" (MMSED-2004), Moscow, RSSU, 2004, pp. 157-163

90. Малков С.Ю., Сергеев A.B. Математическое моделирование экономико-демографических процессов в аграрном обществе. — Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН №54, М., 2004.

91. Fisher, R. A. The wave of advance of advantageous genes. // Annals of Eugenics 7: 355-369, 1937.

92. Chernavskaya N.M., Chernavskii D.S. Some Aspects of the Problem of Life Origin // Journal of Theoretical Biology, 50(1), pp.13-23, 1975.

93. Орлов Ю.Н., Суслин B.M. Кинетические уравнения в нелинейных моделях демографии. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №47,2001.

94. Weidlich, W., Haag, G. Dynamics of interacting groups in society with application to the migration of population // Dynamics of Synergetic Systems. Springer-Verlag, 1980.

95. Zhang, W.B. Coexistence and Separation of Two Residental Groups An Interactional Spatial Dynamics Approach // Geographical Analysis 21, pp. 91-102, 1989.

96. Гумилев JI.H. Этногенез и биосфера Земли — СПб.: Азбука-классика, 2002.

97. Richardson, L.F., Arms and Insecurity Pittsburgh, Boxwood Press, 1960.

98. Lanchester, F. W. Aircraft in Warfare London: Constable, 1916

99. Foerster, H. von, Mora, P., Amiot, L. Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026. Science 132:1291-5. 1960.

100. Капица С. П. Математическая модель роста населения мира. Математическое моделирование 4/6:65-79. 1992.

101. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. -М.: Наука, 1999. 255с.

102. Habakkuk, H. J. English Population in the Eighteenth Century.// Economic History Review 6: 117-33. 1953.

103. Postan, M. M. Same Economic Evidence of Declining Population in the Later Middle Ages. // Economic History Review. 2nd ser. 2:130-67. 1950.

104. Braudel, F. Capitalism and Material Life, 1400-1800. New York, NY: Harper and Row. 1973.

105. Cameron, R. A Concise Economic History of World. New York, NY: Oxford University Press. 1989.

106. Artzrouni, M., Komlos, J. Population Growth through History and the Escape from Malthusian Trap: A Homeostatic Simulation Model. // Genus 41: 21-39. 1985.

107. Aghion, P., Howitt, P. A model of Growth through Creative Destruction. // Econometrica 60: 323-52. 1992.

108. Aghion, P., Howitt, P. Endogenous Growth Theory. Cambridge, MA: MIT Press. 1998.

109. Grossman, G., Helpman E. Innovation and Growth in the Global Economy. Cambridge, MA: MIT Press. 1991.

110. Boserup, E. The Conditions for Agricultural Growth: The Economics of Agrarian Change under Population Pressure. Chicago, IL: Aldine. 1965.

111. Kuznets, S. Population Change and Aggregate Output. // Demographic and Economic Change in Developed Countries. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1960.

112. Simon, J. The Economics of Population Growth. Princeton: Princeton University Press. 1977.

113. Jones, C.I. R&D Based Models of Economic Growth, unpublished, Massachusetts Institute of Technology, 1992.

114. Jones, C.I. Population and Ideas: A Theory of Endogenous Growth. Stanford University -97-018, Stanford University Department of Economics, 1997.

115. Romer, P. Increasing Returns and Long-Run Growth, Journal of Political Economy, XCIV, 1002-37, 1986.

116. Подлазов А. В. Теоретическая демография как основа математической истории. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №73. 2000.

117. Подлазов А. В. Основное уравнение теоретической демографии и модель глобального демографического перехода. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №88. 2001.

118. Podlazov A.V. Theory of the Global Demographic Process. // proceedings of the international conference "Mathematical Modeling of Social and Economical Dynamics", Moscow, 2004.

119. Thiinen J.H. von, Isolated state; an English edition of Der isolierte Staat. Oxford, New York, Pergamon Press, 1966

120. Beckmann M.J. A continuous model of transportation // Econometrica, Vol.20 No.4 The University of Chicago, 1952, pp. 643-660

121. Beckmann M.J., Puu T. Spatial Economics: Density, Potential and Flow. North-Holland, Ansterdam, 1985

122. Hollingsworth, W. G. Ending the Explosion: Population Policies and Ethics for a Humane Future. Santa Ana, CA: Seven Locks Press; 1996.

123. McMichael, T. Human Frontiers, Environments, and Desease. Past Patterns, Uncertain Futures. Cambridge, UK: Cambridge University Press; 2001.

124. Bongaarts, J. The end of the fertility transition in the developing world. Policy Research Division Working Paper no. 161. New York: Population Council. 2002.

125. Bongaarts, J. Completing the Fertility Transition in the Developing World: The Role of Educational Differences and Fertility Preferences. // Population Studies 57: 321-35. 2003.

126. Мельянцев В. А. Восток и Запад во втором тысячелетии. М.: МГУ, 1996. tt\.Simmel, G. Fashion//International Quarterly. V. 10, pp. 130-155, 1904.

127. Blumer, H. Fashion: From Class Differentiation to Collective Selection // Sociological Quarterly. V.10, pp.275-29I, 1968

128. Maclntegre, S.H., Miller C.M. Social Utility and Fashion Behaviour // Marketing Letters. V.3, pp.371-382, 1992.

129. Замков O.O., Толстопятенко A.B., Черемных Ю.И. Математические методы в экономике. — М.: Издательство «Дело и Сервис», 1997.

130. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики. // Успехи физических наук, т. 172, №9 с. 1045-1066, 2002.

131. Mandelbrot, В. В. How Long is the Coast of Great Britain, Statistical Self Similarity and Fractional Dimension//Science, 155 pp.63 6-63 8, 1967.

132. Bentley, J.H. Old World Encountrers: Cross-Cultural Contacts and Exchanges in Premodern Times, Oxford: Oxford University Press, 1993138. http://www.silk-road.com

133. Всемирная История. Т. II-IV, M.: Госполитиздат, 1956-1958

134. База данных "World 95". SPSS 2004. World95 Database. Chicago, IL: SPSS Inc.

135. Книга Марко Поло. M.: Мысль. 1997