автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов взаимодействия рентгеновского излучения с плазмой и многослойными и наноструктурами

Г Го ОД - 8 ОКТ 1996

На правах рукописи

Хачатуров Рубен Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ПЛАЗМОЙ И МНОГОСЛОЙНЫМИ НАНОСТРУКТУРАМИ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1996

Работа выполнена в Вычислительном Центре РАН.

Научный руководитель : Официальные оппоненты :

Ведущая организация :

доктор физико-математических наук, профессор Андреев A.B.

доктор физико-математических наук, с.н.с. Таранухин. В .Д., кандидат физико-математических наук, с.н.с. Попов С.П.

Институт Проблем Безопасного Развития Атомной Энергетики РАН.

Защита диссертации состоится " ¡2 "СёНТлЬр^ 1996 г. в {Ь час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д002.32.06 при Вычислительном Центре РАН по адресу : 117967, ГСП 1, Москва, ул. Вавилова, дом 40

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического Института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан "0% "Cibl^-cmu 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук — Швартин С.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время ведутся обширные теоретические и экспериментальные исследования по изучению нелинейных процессов, связанных с взаимодействием электромагнитного излучения с веществом. Результаты этих исследований имеют большое значение и находят применение в различных областях науки и технологии: газовой динамике, плазменных исследованиях, астрономии, физике твердого тела, кристаллографии, материаловедении, биологии, медицине.'Поэтому особенно важное значение получает развитие математических .моделей и методов в области новых технологий, в частности для изучения особенностей взаимодействия рентгеновского излучения с плазмой и многослойными наноструктурами.

В сильном световом поле показатель преломления среды зависит от интенсивности излучения, вследствие чего возникают эффекты самовоздействия. Эти эффекты проявляются в изменении временных и пространственных характеристик излучения за счет нелинейного набега фазы. Одним из проявлений самовоздействия является фазовая самомодуляция импульса, то есть зависимость набега фазы в импульсе от его интенсивности. Одной из основных целей исследований пространственно-временного распределения интенсивности при распространении лазерных импульсов в газообразных средах является получение сверхвысоких интенсивностей порядка 1018-1021 Вт/см2 и наблюдение таких эффектов как релятивистское самоканалирование ультракоротких оптических лазерных импульсов в веществе. Это физическое явление в настоящее время активно исследуется теоретиками и экспериментаторами. Интерес к самоканалированию обусловлен тем, что при его протекании возникает уникальная самоконцентрация энергии оптического излучения в узкой протяженной области, перемещающейся в веществе со скоростью света. Интенсивность излучения в этой области может более чем в сто раз превышать исходное значение. Этот процесс интересен с фундаментальной точки зрения: для изучения свойств вещества в сверхсильных оптических полях, релятивистских и квантовоэлектродинамических эффектов, новых механизмов возбуждения атомов и ионов. С практической точки зрения этот режим интересен для создания рентгеновского

лазера бегущей волны, генератора сверхсильных магнитных полей, импульсного генератора термоядерных нейтронов, генератора электрон-позитронных пар и т.д.

В связи с появлением рентгеновских лазеров, а также источников рентгеновских пико- и субпикосекундных импульсов, генерируемых лазерной плазмой, становится вахным исследование особенностей взаимодействия импульсного рентгеновского излучения с веществом. Большой практический интерес представляет изучение возможностей нелинейного взаимодействия, приводящих к сокращению длительности и ширины рентгеновского импульса. В Главе 1 представляемой работы построены математическая модель и вычислительный метод для исследования процесса самофокусировки рентгеновского импульса в плазме.

Прогресс в развитии новых технологий в настоящее время тесно связан с достижениями нанотехнологии. Поэтому большое значение имеет разработка математических моделей и методов для изучения свойств многослойных наноструктур, которые в .основном применяются в качестве многослойных зеркал для рентгеновского излучения. Эти новые оптические элементы рентгеновского диапазона — детище современной микроэлектронной и оптической технологии — начали быстро развиваться в последние годы. Путем подбора компонентов покрытия и толщин слоев многослойным зеркалам можно придавать самые разнообразные оптические свойства.'В конце 1970-х — начале 1980-х годов были проведены первые успешные эксперименты, а затем освоена технология изготовления многослойных рентгеновских зеркал. По принципу действия они аналогичны многослойным тонкопленочным покрытиям в оптике видимого диапазона и основаны на конструктивной интерференции волн, отраженных от различных границ раздела структуры. В то же время многослойные рентгеновские покрытия имеют ряд принципиальных особенностей.

Прежде всего, для того чтобы отраженные от границ раздела слоев структуры волны складывались в фазе, должны в первом приближении выполняться условия Брэгга :

2d sin е0 й пЛ , п = 1,2,... , (1)

где d — период многослойной структуры, 6„ — угол скольжения, К — длина волны падающего излучения (0.1 нм ^ X ^ ЮОнм).

Как рентгеновские зеркала многослойные наноструктуры в практическом смысле оказались значительно более гибкими, чем обычные кристаллы. Их параметры легко можно менять, придавая им нужные свойства. Например, подбирая период структуры в соответствии с условием (1), можно "настраивать" пик отражения на данную длину волны, или на данный угол падения, или на то и другое одновременно. Ширину пика можно варьировать в значительных пределах, подбирая пары веществ, составляющих структуру, толщины слоев и их число. Наконец, можно так подобрать вещества и толщины слоев, чтобы пиковый коэффициент отражения был максимален.

Существует целый ряд методов, первоначально разработанных для оптики видимого диапазонп, позволяющих при определенных приближениях численно расчитывать оптические параметры многослойной структуры для различных значений диэлектрических проницаемостей составляющих ее веществ и углов . падения излучения. Однако практически все эти методы имеют довольно узкие границы применимости и не учитывают существенное влияние межплоскостных шероховатостей на коэффициент отражения и спектр рассеяния рентгеновского излучения особенно при малых углах скольжения. Главы 2 и 3 представляемой диссертации посвящены разработке математических моделей и методов, естественным образом учитывающих влияние неоднородностей поверхностей многослойных наноструктур на спектры отражения и рассеяния рентгеновского излучения при любых углах падения и размерах неоднородностей.

Основные цели и задачи диссертации.

1) Построение математической модели процесса самофокусировки импульсов рентгеновского излучения в плазме, учитывающей динамику электронной компоненты плазмы в газодинамическом приближении с учетом действия на свободные электроны кулоновской и пондеромоторной сил.

2) Разработка разностной схемы второго порядка аппроксимации и численного метода для решения полученной системы квазилинейных, дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с начальными и граничными условиями.

3) Проведение вычислительных экспериментов по исследованию процесса взаимодействия рентгеновских импульсов с плазмой при различных значениях параметров модели.

4) Построение математических моделей процесса взаимодействия рентгеновского излучения с многослойными наноструктурами, позволяющих по виду угловых спектров интенсивности отражения и рассеяния определять статистические характеристики неоднородностей границ раздела слоев этих структур.

5) Разработка численных методов решения и разностных схем, аппроксимирующих со вторым порядком полученные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка с соответствующими начальными и граничными условиями.

6) Проведение вычислительных экспериментов по изучению особенностей отражения и рассеяния рентгеновского излучения многослойными наноструктурами с шероховатыми границами раздела.

7) Разработка программ, реализующих полученные в этой работе алгоритмы и методы на ЭВМ и представляющих результаты вычислений в виде двух- и трехмерной графики.

Научная новизна.

1. Построена математическая модель процесса взаимодействия рентгеновского импульса с плазмой, учитывающая движение свободных электронов плазмы под действием пондеромоторной и кулоновской сил в квазигидродинамическом приближении.

2. Разработан безытерационный алгоритм вычислений по неявной симметричной разностной схеме второго порядка аппроксимации, позволяющий вычислять значения неизвестных функций на каждом слое по времени, не прибегая к итерационному процессу.

3. Доказана Теорема (о втором порядке аппроксимации в средней точке), обосновывающая и обобщающая для.пространства йп основные приемы и методы построения разностных схем второго порядка аппроксимации, используемые в диссертации.

4-. Построены математические модели отражения и рассеяния рентгеновского излучения многослойными наноструктурами с шеро-ватыми поверхностями, учитывающие эффект рефракции на неодно-родностях границ раздела слоев. В том числе и модель, описывающая изучаемый процесс в двумерном квазиоптическом приближении.

- б -

5. Разработанные численные методы и алгоритмы реализованы на ЭВМ. В результате проведенных вычислительных экспериментов показана возможность самофокусировки рентгеновского импульса в плазме при реально достижимых интенсивностях импульса и значениях параметров плазмы, показана возможность определения статистических характеристик неоднородностей внутренних границ раздела многослойных наноструктур по спектрам отражения и рассеяния рентгеновского излучения.

Практическая ценность работы.

Построенные математические модели процесса взаимодействия рентгеновского импульса с плазмой и процессов отражения и рассеяния рентгеновского излучения многослойными наноструктурами- с шероховатыми внутренними границами раздела в сочетании с разработанными численными методами и программной реализацией позволяют проводить вычислительные эксперименты по изучению основных характеристик и особенностей этих процессов при различных значениях параметров соответствующих задач, не прибегая к дорогостоящим и не всегда осуществимым физическим экспериментам.

На защиту выносятся:

- Математическая модель и численный метод для исследования взаимодействия рентгеновских импульсов с плазмой.

- Одномерные математические модели и методы для исследования процессов отражения и рассеяния рентгеновского излучения многослойными наноструктурами с шероховатыми поверхностями.

- Двумерная математическая модель отражения и рассеяния рентгеновского излучения многослойными наноструктурами с неоднородными границами раздела, описывающая исследуемый процесс в квазиоптическом приближении.

- Результаты проведенных вычислительных экспериментов при различных значениях параметров построенных моделей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре лаборатории Рентгеновской Оптики кафедры Общей Физики и Волновых Процессов Физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (1994), семинаре Математического отделения ИВВС РАН (1995), Мевдународной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Россия, г.Новосибирск, 27 мая - 2 июня, 1996), семинаре отдела Механики Сплошных Сред ВЦ РАН (1996).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 3 научных статьях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 90 страницах, содержит 16 рисунков и 81 литературную ссылку.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении говорится об актуальности работы в связи с важностью математического моделирования в области новых технологий, в частности для изучения свойств рентгеновского излучения, плазмы, многослойных наноструктур. Дается краткое описание содержания диссертации и состояния теоретических и экспериментальных исследований в областях, близких к теме диссертации.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ИМПУЛЬСОВ С ПЛАЗМОЙ

В этой главе предлагается математическая модель процесса самофокусировки рентгеновского импульса в плазме, учитывающая динамику электронной компоненты плазмы в квазигидродинамическом приближении и представляющая собой нелинейную систему из -четырех дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с соответствующими начальными и граничными условиями. Для ее исследования построена симметричная нелинейная консервативная разностная схема второго порядка аппроксимации и разработан безытерационный алгоритм вычислений по данной схеме. Доказана устойчивость метода прогонки в комплексной области для этой схемы. Доказана Теорема (о втором порядке аппроксимации в средней точке), обосновывающая и обобщающая для пространства основные приемы и методы построения симметричных разностных схем второго порядка аппроксимации, используемые в данной диссертационной работе.

В первом параграфе построена математическая модель процесса самофокусировки рентгеновского импульса в плазме:

+ йк _ is. dt dz

dx

О ex2

v-n-A

= 0 .

at

an at

= - d - n.

dx

+ n ax ax

p.B + r ^

dx

ax

(1.1)

Система уравнений (1.1) дополняется следующими начальными А(х,2,0) = О , 'Лх.г.О) = 0 , Е{х,г,0) = 0 , гЦх.г.О) = 1 и граничными условиями :

A(x,0,t)

1

ch(x)

exp

-(t-t„ Г

(s.z.t) ^ = О

дк дх

E(x,z,t)

х—>±со

= О

2

дп дх

v(x,z,t)

(x.z.nL^ = О

X—>±Ш

= О

(1.2)

(1.3)

где A(x,z,í) - медленно меняющаяся амплитуда импульса, n(x,z,t)~ плотность свободных электронов плазмы, E(x,z,t)~ кулоновское поле, u(x,z,t) - скорость свободных электронов, и, р, j, S, V - параметры системы, i - мнимая единица.

Используется следующая нормировка независимых переменных и неизвестных функций:

t' = Í/Tp, Z' = Z/(C-Xp), x'= x/d,

где tP - длительность падающего импульса, ad- его поперечный размер; v'= v/v0 , п' = и/Па , Е'= E/E» , А'= А/А„ ,

где :

v0 =

гит

, Ао =

А%С 10 ыг

^ _ 4х е Пп d

п, = n{x,z,о) .

Система уравнений (1.1), (1.2), (1.3) записана в безразмерных нормированных величинах. Штрихи над ними опущены для простоты записи. '

Параметры модели (<*, р, 7, 8, г>) имеют вид :

а = тр , |3 = ^ хР ^ ^ _ ие2тР 1„

с! т v0 е„ и^с и0 с?

\

6 = , V = "Р ^ , где = ,

2 (о ^ с2 т л

где шр - плазменная частота, ш - несущая частота импульса, п^ -начальное значение концентрации свободных электронов, е„ -низко- частотная диэлектрическая проницаемость, е - заряд электрона, т - масса покоя электрона, с - скорость света в вакууме, 1а - максимальная интенсивность входного импульса.

Во втором параграфе построена неявная симметричная разностная схема, аппроксимирующая уравнения системы (1.1) с начальными и граничными условиями (1.2),(1.3) со вторым порядком по шагам 11, Ы, х основной сетки :

(=0.....Ы; ./=0.....N2; к=0.....ко)

и промежуточной сетки Щхъ^ •

С=0,...,М; /=0,...,Н2; к=0,...,к„}.

Разностные уравнения, аппроксимирующие со вторым порядком по Ь, Ля, т дифференциальные уравнения в частных производных системы (1.1) имеют следующий вид:

Для первого уравнения системы (1.1)

й- м-1 + М- %-*+ м- А{-» _

2т 2112

= 18<

1А( Г4"1)]. (1.4)

Заметим, что в случае левая часть уравнения (1.4)

1 & - А*"1 существенно упрощается и имеет вид : -^—

Для второго уравнения системы (1.1 ) % = Г иИ.Л .

- ( т% + 1- тЦ-1+ п{ + 1- % + )- (1.5)

2 I -1 4-11 >

= - ±1 Г Я-»] . Щ" - ^ Г п^- й-Л/ ^ -

п{

р.т . $ - Г ii.il + •

2-И >

Для третьего уравнения системы (1.1) [ Ы + 1- т&-1+ п{ + 1- • Шг +

(1 -б)

(Х'1 4-11

Для четвертого уравнения система (1.1) Е[ + 1 = 2-1г-( 1 - п{ ] + Ш-1 •

(1 .7)

(1.8)

В формулах (1.4)-(1.8) используются следующие обозначения: уГ = + 1 + (1-2в)-$ + . где • — вес схемы ;

1{ = 1А{1г= ¡А(Х{ ,г/ Дк)|г= [ие(АО]г+ (1т(А{)]а

Значения веса а брались в диапазоне 0 ^ с $ 1/2 . Например,

интерполируя квадратично функцию у{ по значениям функции $ в узлах ({-1,/,к), (¿Л,к), ({+1 ,,/Д), получим значение веса схемы су = 1/6 .

Разработан безытерационный алгоритм вычислений по предлагаемой разностной схеме, позволяющий находить значения всех неизвестных функций на каждом слое по X и по г без итераций, сохраняя при этом второй порядок-аппроксимации по Ь.Гь.т на решении нелинейной задачи (1.1)-(1.3).

Доказана абсолютная устойчивость метода комплексной прогонки для разностного уравнения (1.4).

В третьем параграфе сформулирована и доказана Теорема (о втором порядке аппроксимации в средней точке), обосновывающая и обобщающая для пространства Я" основные приемы и методы построения симметричных разностных схем второго порядка аппроксимации, используемые в диссертации и основанные на теории разностных схем, широко развитой научной школой академика ¿.¿.Самарского. Приведем формулировку этой теоремы.

Теорема (о втором порядке аппроксимации в средней точке). Пусть даны сетки :

(й = { х, = 1.1ц ; {. = 0,1,2, ... ), '-1 ' 1

V { % = ! {г = 0,1,2, ... >.....

И общая сетка в пространстве :

"Ц.—ЧГ V V — Х V .....«Л»'

Тогда, если сеточные функции у1((.,,...,1п) и )

аппроксимируют функцию ....,хп) со вторым или большим

порядком ■ по шагам Ь ,... сетки 01 . в узлах

1.....п

(11,...,и .....(п+Бп) соответственно, где —

целые числа, то сеточная функция ¿(11,...,1П), определяемая уравнением :

.....'„> = (»,(»,.....*а) + У2(С, ...../2 ,

будет аппроксимировать функцию /(х ,...,хп) со вторым порядком по шагам 1ц,... ,1^ сетки ^ в средней точке

М= ( И1(11+81/2), ^((^/г).....

Доказательство этой теоремы основано на разложении в ряд Тейлора сеточной функции .....( ) по направлению, связывающему узлы (€1, —,С^) и ((1+31 ,...,(п+8п) в пространстве I?1.

В четвертом параграфе дан подробный анализ результатов вычислительных экспериментов, проведенных при различных значениях параметров модели самофокусировки импульсов рентгеновского излучения в плазме.

Рис.1 иллюстрирует исследуемый процесс. Параметры задачи следующие: <л = 1.0 ; р = 3.0 ; у = 0.27 ; 6 = 0.1 ; V = 200.0 . На рис.1а показаны пространственные распределения концентрации свободных электронов плазмы п(£,гД) и интенсивности импульса Кх.гД) при t = tв (максимальная интенсивность импульса на входе), а на рис.16 - при t= £„+2.0 (максимальная интенсивность импульса на выходе из плазмы). В этом примере в результате самофокусировки максимальная интенсивность импульса увеличилась более, чем в шесть раз.

Для подтверждения устойчивости и сходимости построенной разностной схемы было проведено около тысячи вычислительных экспериментов при различных шагах Ь, Ьг, г, размерах сеток по оси х и значениях параметров задачи р, у, 6, V ..

Шаги сеток Л, Ьг, 1 брались равными 0.05 # к, где к е I1,2,3,4). Варьирование шагов показало, что в совпадающих узлах полученных сеток значения решения отличаются не более, чем на 3.1% , а для 2г = 1,2 — не более, чем на 0.37% , что указывает на хорошую сходимость схемы.

Приведем пример, экспериментально подтверждающий ассимптотическую устойчивость используемой разностной схемы. Параметр 8 , определяющий дифракционное расплывание пучка, из физических соображений обратно пропорционален длине фокусировки, то есть длине, на которой наступает максимальное сжатие пучка, после чего начинается режим насыщения, во время которого максимальная интенсивность импульса циклически изменяется, как это видно из графиков на рис.2, полученных в результате вычислений.

Сравнивая рис.2а с рис.26, мы видим, что увеличение 8 на порядок приводит к пропорциональному уменьшению длины фокусировки. Такое поведение решения свидетельствует также об ассимптртической устойчивости построенной разностной схемы, так как все остальные параметры кроме 8 остаются неизменными, тогда как график на рис.26 рассчитывается в десять раз дольше, чем на рис.2а, то есть для его вычисления надо сделать в десять

Рис.1. Пространственная динамика концентрации электронов плазмы п(1,гД) и интенсивности импульса

(б)

Рис.2. Динамика максимальной интенсивности рентгеновского импульса в процессе его движения в плазме. Иллюстрация обратнопропорциональной зависимости длины фокусировки от параметра 6: 5 = 0.01 (рис .2а); 8 = 0.001 (рис.26).

раз больше шагов по времени t и глубине 2 . Небольшие отличия графиков на Рис.2а и Рис.26 связаны с тем, что, чем больше параметр 6 , тем меньше длина фокусировки и тем менее плавно свободные электроны плазмы "отслеживают" изменения формы импульса.

Таким образом, проведенные расчеты указывают на возможность использования самофокусировки импульсного рентгеновского излучения в плазме для повышения его интенсивности, а также подтверждают надежность и целесообразность описанного в этой работе вычислительного метода при решении задач такого типа.

ГЛАВА 2. ОДНОМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОТРАЖЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ МНОГОСЛОЙНЫМИ НАНОСТРУКТУРАМИ С ШЕРОХОВАТЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Вторая и третья Главы диссертационной работы посвящены развитию математических моделей рассеяния и отражения рентгеновского излучения многослойными наноструктурами, позволяющих из вида углового спектра отражения и рассеяния определять статистические характеристики неоднородностей границ раздела многослойных наноструктур-. Предлагаемые математические модели исследуемого процесса учитывают эффект рефракции за счет наличия второй производной по глубине структуры. Разработаны вычислительные методы решения полученных задач и дан анализ результатов численных экспериментов.

В первом параграфе описываются основные характеристики многослойных структур и приводятся основные уравнения, на которых базируются разработанные в диссертации математические модели.

Многослойные рентгеновские зеркала представляют собой структуру, состоящую из чередующихся слоев материалов с диэлектрическими проницаемостями е) и ег (рис.3).

Уравнения верхней ап и нижней &п границ раздела л - ого слоя материала с диэлектрической проницаемостью е имеют вид

а = (п-1 )с? + т)п(х) , Ъп= (п-1)с? + а + £п№) , (2.1)

где с? — период структуры, а — средняя толщина слоя с диэлектрической проницаемостью е , т) (х) и ?п('г) — случайные

функции, удовлетворяющие гауссовому распределению с корреляционными функциями следующего вида :

<Т1Я(*Ч.<1' )>=<£„(1)^(1' )> = ), (2.2)

где а — среднеквадратичная высота шероховатостей.

е, т,2

е1 8г

Рис.3. Двумерная схема многослойной структуры с шероховатыми границами раздела

Уравнение распространения рентгеновс среде с диэлектрической проницаемостью e(x,z Л E(x,z) + xze(x,Z) E{x,z) = С где ае = и/с — волновой вектор волны в е; £(x,z) зависит от случайных функций €п(х) определения рассеянного толя можно воспо,-искаженных волн, суть которого состоит в е.-приОлижении диэлектрическая проницаемость случайным функциям, а разность между pes усредненной s(z) диэлектрическими проницае вается как возмущение

SS(X,Z) = £(X,Z) - 6(Z) , где e(z) = < e(x,z) > . Полное поле представляется в виде ряда те параметру Be(x,z)

E(x,z) = Еа (x,z) + Ei(x,z) +

кого излучения в ) имеет вид

(2.3)

:кууме. Поскольку и т? №). то да ьзоваться методом :едующем: в нулевом усредняется по „тъной Е(Х,2) и мостями рассматри-

(2.4)

срии возмущений по . . (2.5)

Уравнения для первых двух членов указанного разложения имоют

вид + af?e(z) Eo(x,z) = О , (2.G)

bEi(x.z) + a?e(z) Ei(x,z) = - ае26е(х,2) Еа (x,z) . (2.7)

Таким образом мы видим, что в нулевом приближении мы имеем лишь зеркально отраженную волну, рассеянные волны появляются в первом по Ss(x,z) порядке- разложения в ряд теории возмущения.

Представим усредненную диэлектрическую проницаемость 8(2) в следующем виде :

X ~ X N

e(z) = 1- х,--1 J [ th(«U-(n-1)d-a)]+th(of(nci-z)]], (2.8)

где N - число слоев структуры, а обратная величина параметра а пропорциональна среднеквадратичной высоте шероховатостей поверхностей структуры а . Поле Еа(х,г) удобно представить в виде

Еа (x,z) = Е, (z) ехр(1 ъ„ х) , (2.9)

где х„ = ае cos 60 — проекция волнового вектора падающей на многослойную структуру из вакуума волны на плоскость границы раздела, а в0— угол скольжения этой волны. Тогда из уравнения (2.6) получим следующее уравнение для 25, (г) :

d2g,Jz) + ж2( 51пг6о_ x{z))Eo (z) = о . (2.Ю)

dz

Поскольку x(z) является периодической по z функцией, то интенсивность отраженной волны lr(0o )=|2J, (0)- SQ|Z, где gQ — амплитуда падающей волны (см. рис.4), будет резко возрастать в области брэгговской дифракции, т. е. когда 9„ * 6 . Значения углов вБп определяются из условия, что при двойном проходе периода многослойной наноструктуры волна совершает тг полных колебаний, вследствие чего волны, отраженные от границ раздела разных слоев складываются' в одинаковой фазе. Исходя из этого, уравнение для определения 6Вп записывается слэдующим образом :

Вп

^ =ЛШ+ х

где % = Р Не(х, )+(1-Р)Не(х2). параметр р = а/с? равен отношению толщины слоя с диэлектрической проницаемостью е1 к периоду структуры.

В качестве среда с удобно выбрать слой более

плотного материала, тогда параметр р обычно лежит в следующих пределах 0 < р < 0.5 .

Во втором параграфе предлагается одномерная математическая модель отражения рентгеновского излучения многослойными наноструктурами с гладкими поверхностями, основанная на уравнении (2.10) с соответствующими граничными условиями.

Пусть SQ есть амплитуда падающей на структуру из вакуума волны, a Sr и St — амплитуды зеркально отраженной и прошедшей волн (рис.4). Тогда граничные условия при z' = z/d = О имеют вид (вместо &, z' для краткости здесь и далее ишем Е, z)

SQ + Sr = Е(О) , I Тс (gQ - Sr) = Е' (0) .где у» = х d sin е0 . (2.11)

Рис.4. Схема отражения рентгеновского излучения многослойным зеркалом

Исключая из уравнений (2.11) амплитуду зеркально отраженной волны, получим

Е'(0) + I То Е(0) = 21 То 50 (2.12)

Граничные условия при г = N имеют вид

Е(Я) - , Е' (И) = { у , (2.13)

где т = у/з1пге„ - %р ', I — мнимая единица.

Здесь %р — поляризуемость подложки многослойной структуры, которая в общем случае отличается от ^ и хг - Таким образом, окончательно на нижней границе многослойной структуры получаем следующее граничное условие :

Е' (И) - ( т В(Ы) = 0 . (2.14)

В третьей параграфе предлагается разносная схема второго порядка аппроксимации для решения уравнения (2.10) с граничными условиями (2.12),(2.14). Для этого вводится сетка

ök = < Zi=J'h ; J = 0,1.....Nz } .

Разностную схему строится в ограниченной по z области z е C0;N] . Поэтому шаг сетки h = N/Hz . Дифференциальное уравнение (2.10) аппроксимируется со вторым порядком по h следующим разностным уравнением :

fy + 1- Щ-l + [afrEj-1 + (1-2<3)frEj + e/TSi + i) = 0. (2.15)

Здесь ft = cStfj-i + (1- 2<3i)fj + 01Л+1 , Oi-- вес схемы,

fr = f(zs) = (ae t?)2(sinae„ - x(Zi)) , ö — вес схемы.

При расчетах использовались различные значения весов fli и ö . Например, при квадратичной интерполяции функции E(z) .на отрезке ze lzj-i ,z/+i 1 по значениям сеточной функции Ej в узлах (J-1 ),(J),(J+1), получим значение веса схемы а = 1/6 , а линейная интерполяция функции f(z) дает öi = 1/4 .

Для аппроксимации граничных условий со вторым порядком

по h к сетке (flh добавляется по одному узлу слева и справа

<у= { zj=J'h ; J = -1,0,1.....Nz,Nz+1 ) .

Следующее разностное уравнение аппроксимирует левое граничное условие (2.12) со вторым порядком по h в точке z = - h/2

- £-1 = I 7„ [г 8п - % + ] . (2.16)

h 10 2 '

Правое граничное условие (2.14) аппроксимируется со вторым порядком по h в точке z = N + h/2 разностным уравнением

^Hz+1~ ^Kz _ £ „ ^Nz (2 17)

h " 2 Исследован на устойчивость метод комплексной прогонки, которым решалось разностное уравнение (2.15).

В четвертом параграфе дан подробный анализ результатов вычислительных экспериментов по определению распределения электромагнитного поля падающего на многослойную наноструктуру рентгеновского импульса внутри и на границах структуры при различных углах падения 0О.

Рис. 5. Двумерный угловой спектр интенсивности рассеяния рентгеновского излучения от многослойной структуры Ре/С с кремниевой (Б1) подложкой и следующими

о

значениями параметров : с? = 52.1 А, N = 35, р = 0.5.

о

Длина волны падающего излучения Я = 1.54 А .

Пятый параграф посвящен построению математической модели рассеяния, основанной на разложении полного поля в ряд теории возмущений, описанном в 5 1 Главы 2. Для получения спектров интенсивности рассеяния используются распределения поля внутри структуры при различных углах падения и рассеяния, полученные с помощью модели зеркального отражения из § 2 Главы 2 :

II = | 11(9,е„) ей , где

и0о(2) и0(г) Лх(г) йг|2

Г1(е,е0)

__

8 Уг1 б1П е

ехр\- ^-(соз 60 - соэ 9)

(2.18)

где Лх(2) = %(г, с( ») - х(2, се), { — период шероховатости, и0(2), и0(г) = Е(г) при углах скольжения 9 и 8„ соответственно.

Функция Е(г) при различных углах скольжения определяется решением системы разностных уравнений (2.15)—(2.17), аппроксимирующих уравнения одномерной модели отражения (2.10), (2.12), (2.14), угол 9 считается углом рассеяния (0 = о^). Наличие в этой модели второй производной по глубине структуры позволяет учитывать эффект рефракции рентгеновского излучения, что- дает более точные результаты по распределению поля внутри структуры и спектрам отражения и рассеяния по сравнению с известным приближением метода медленно меняющихся амплитуд.

В результате вычислений получен двумерный спектр интенсивности рассеянного многослойной наноструктурой рентгеновского излучения 11(0,в0) в зависимости от углов скольжения е0 и рассеяния 93 = 9 (рис.5).

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОТРАЖЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ В ДВУМЕРНОМ КВАЗИОПТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

В этой главе предлагается двумерная математическая модель отражения и рассеяния рентгеновского излучения многослойными наноструктурами с неоднородными границами раздела в квазиоптическом приближении, представляющая собой двумерное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с соответствующими начальными и граничными условиями.

Построена разностная схема второго порядка аппроксимации и исследован на устойчивость метод комплексной прогонки для данной разностной задачи. В результате вычислительных экспериментов показана возможность модуляции интенсивности отраженного поля, совпадающая с рельефом шероховатости многослойной структуры, что дает возможность разработки новых методов изучения рельефа поверхности, основанных на регистрации отраженного поля в ближней зоне.

В первом и втором параграфах построена математическая модель, описывающая исследуемый процесс в двумерном квазиоптическом приближении.

Используется следующая нормировка независимых переменных и функции .напряженности электромагнитного поля рентгеновского импульса Е(х,г):

г'= г/А , х' = х/1 , где I = б/Хв, в0 ;

Е' = Е/^ ,

где А0 - максимальная амплитуда поля входного пучка. Для простоты записи далее будем опускать штрихи над нормированными переменными и функцией.

Функция поляризуемости многослойной наноструктуры %(х,2) берется в следующем виде:

X ~ X 11

%(т,г) = 2г 1 ^ [№[й(г-ип(х))]- ^(«(^(хЬг))], (3.1)

где й — обратная ширина переходного слоя, а ип(х) и ип(х) — уравнения верхней и нижней границ п-го слоя

ип(х)=(л-1 + ^(х), vn(x)=^n-1)d + а + Еп(х), (3.2)

где с? — период структуры, а — средняя толщина одного слоя первого материала.

Пусть среда занимает следующую область: 0 £ х < Ь, 0 < г $ причем при О < г < го среда представляет собой вакуум, при го < г < ^ — многослойную наноструктуру, а при < г $ гг — подложку многослойной наноструктукры (20 < < Ъг) . Тогда функций поляризуемости среды %(х,г) будет иметь вид

при 0 < г < г0 : Йе(х(х,г)) = О , 1т(х(х,2)) = О ,

при го < 2 < : %(х,г) — определяется по

формулам (3.1),(3.2) ,

при < 2 <£ : х^.г) = Хр

(3.3)

где Хр — поляризуемость подложки многослойной структуры.

Отметим, что по условиям нашей задачи йе(х№,2)) > О, 1т(х(х,2)) ^ О на всей области определения.

В безразмерных нормированных величинах математическая модель исследуемого процесса имеет вид

[дх дг \ [дгг

Ие(Е(х,2))I = ехр(- 4(2г/гп - 1 )2)

1т(В(а7,2))| =0,

Ь=0

дЕ дг

дЕ дг

Ш дг

2=20

= ( (йг - х* )<? Е

= О

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(З.Т)

2=0 х<г0/г

= - [ у г , где хг = х а1п е0, у = 2<3 хг, (3.8)

2=0

кг = X / в1п2е0 - Хр '

В третьем параграфа предлагается разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение (3.4) с начальными и граничными условиями (3.5)-(3.8) со вторым порядком:

% - Е/ + - + Д> +1 - Е/-

4 Ь

_ £[ 2Ел- &-Ц- Е/ + 1- 2Е}+ _ Т" (Е/ + §7) '

I. 2 11? 2

=0, (3.9)

Начальные условия на отрезке z е СО;2г1, х = О задаются точно, по аналогии с (3.5)

Re(S/) = ехр(- 4(2zj/ZQ - 1)г) ,

Im(Ej)=0, J = 0.....Nz , k = 0. (3.10)

Правое граничное условие (3.6) аппроксимируются со вторым порядком по h в точке z = 2 - h/2 , х = (k+1)t разностным уравнением

= Hkz + . (3.11)

h 2

Левые граничные условия (3.7), (3.8) аппроксимируются со вторым порядком по h в точке z = h/2 , х = (k+1 )т следующими разностными уравнениями :

% -г h

&-г

= 0 , при xi<< ZQ/2 ;

= - 1 Xz d ( El + % ) , при Jkí ZQ/2 . (3.12)

Система разностных уравнений (3.9)-(3.12), аппроксимирует систему (3.4)—(3.8) со вторым порядком по шагам 11 и г сетки Им = {(/•!!,к-т) ; /=0,...,Нг ; к=0,...,К,}.

Разностное уравнение (3.9) с начальными (при х=0) и граничными условиями (3.10)-(3.12) решалось методом комплексной прогонки, который был исследован на устойчивость. Доказано, что достаточное условие устойчивости этого метода для разностной задачи (3.9)—(3.12) выполнено при т $ 21: .

В четвертом параграфе дан анализ результатов вычислительных экспериментов при различных углах падения рентгеновского импульса и размерах шероховатости структуры.

Рис.6 иллюстрирует явление модуляции интенсивности отраженного импульса рельефом шероховатости многослойной наноструктуры, что указывает на возможность переноса рельефа поверхностей структуры в модуляцию интенсивности отраженного шля в ближней зоне.

• В реальных физических экспериментах измерение пространственного профиля интенсивности отраженного пучка представляет достаточно сложную задачу и поэтому часто измеряется угловой

Рис. 6. Профили падающего пучка (1), зеркально отраженного (2) и отраженных многослойной структурой Fe/C с периодом

о о

шероховатости L = 2605 А (3) и L = 26050 А (4).

о

Амплитуда шероховатости р = 7.8 А . Основные параметры

о

структуры : d = 52.1 A,N = 35,oi = 300 ,p = 0.5.

о

Длина волны падающего излучения Я = 1.54 А .

спектр интенсивности рассеяния в дальней зоне, который

позволяет судить о статистических характеристиках границ

раздела. В связи с этим на рис.7 представлена мощность фурье-

преобразования амплитуда отраженного поля на входной границе

образца (2 = 0) . .2

I(k) = Jdx Е(х,0) ехр(£ к х) ,

при углах падения близких к 8Bj= 0.0173 :

60= 0.0168(1), 0.0173(2), 0.0178(3);

о о

период и амплитуда шероховатости L = 2605 А , р = 7.8 А . Мы видим, что наряду с центральной компонентой (п=0). в угловом спектре -интенсивности рассеянного излучения появляются сателлиты, положение которых определяется условием

к^ = х cos 60 + 2х п/L .

Интенсивность сателлита немонотонно зависит от его номера, а соотношение между пиковыми значениями интенсивностей сателлитов зависит от угла падения е0 . Расчеты для рис.6,7 проводились при следующих значениях параметров многослойной структуры Fe/C на кремниевой (Si) подложке :

d = 52.1 А, а = 26.5 А, N = 2,- ZQ= 35, d. - 300, |3 = 0.5,

где а — толщина одного слоя железа (Ре), N — число слоев (с толщиной d) структуры, р — отношение толщины слоя железа к толщине слоя углерода (С).

ВЫВОДЫ

1. Построена математическая модель процесса самофокусировки рентгеновского импульса в плазме', учитывающая динамику электронной компоненты плазмы в квазигидродинамическом приближении и представляющая собой нелинейную систему из четырех дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с соответствующими начальными и граничными условиями.

2. Для численного исследования этой модели построена симметричная нелинейная разностная схема второго порядка аппроксимации и разработан безытерационный алгоритм вычислений по данной схеме. Доказана абсолютная устойчивость метода комплексной прогонки для этой схемы.

3. Доказана Теорема (о втором порядке аппроксимации в средней точке), обосновывающая и обобщающая для пространства основные приемы и методы построения симметричных разностных схем второго порядка аппроксимации, используемые в диссертационной работе.

4. Проведено около тысячи вычислительных экспериментов при различных значениях шагов , размеров сеток и параметров задачи ос, (3, у, 8, V , подтвердивших хорошую сходимость предложенной разностной схемы и метода расчетов. На основе численных экспериментов показана возможность самофокусировки рентгеновского импульса в плазме при реально достижимых значениях параметров плазмы и импульса.

5. Разработаны одномерные математические модели рассеяния и отражения рентгеновского излучения многослойными наноструктурами с шероховатыми поверхностями, позволяющие по виду угловых спектров интенсивности отражения и рассеяния определять статистические характеристики неоднородностей границ, раздела многослойных наноструктур.

6. Предлагаемые математические модели исследуемого процесса учитывают эффект рефракции за счет наличия второй производной по глубине структуры. Это позволяет значительно более точно, по сравнению с методом медленно меняющихся амплитуд, определять распределение электромагнитного поля импульса внутри структуры и угловые спектры интенсивности отражения и рассеяния. Разработаны разностные схемы и методы для решения полученных математических задач, дан подробный анализ результатов численных экспериментов.

7. Построена математическая модель отражения и рассеяния рентгеновского импульса многослойной наноструктурой с неоднородными границами раздела, основанная на решении двумерного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с соответствующими начальными и граничными условиями, описывающая исследуемый процесс в двумерном квазиоптическом приближении.

8. Построена разностная схема второго порядка аппроксимации и определены условия устойчивости метода комплексной прогонки для данной разностной задачи. В результате вычислительных экспериментов показана возможность модуляции интенсивности отраженного поля, совпадающая с рельефом шероховатости многослойной наноструктуры.

9. Написаны программы на языка Turbo Pascal для IBM-совместимых персональных компьютеров, реализующие разработанные в этой диссертационной работе алгоритмы и представляющие результаты вычислений в виде двух- и трехмерных графиков.

Основное содержание диссертации изложено в следующих опубликованных работах:

it

1. Андреев A.B., Хачатуров Р.В. Самофокусировка импульсного рентгеновского излучения в плазме " // Вестник МГУ, .1995. Т.36, X 3, С.25-33.

2. Хачатуров Р.В. " Вычислительный метод исследования процесса самофокусировки рентгеновского излучения в плазме"// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996. Т.36, J6 1, С.103-111.

3. Андреев A.B., Хачатуров Р.В. " Отражение и рассеяние рентгеновского излучения многослойными наноструктурами с шероховатыми поверхностями " М., 1996. 40 С. (Препринт ВЦ РАН).

Подписано в печать

Заказ № ffij? Тирах 12. О

Типография издательства «Нефть и газ»