автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов на контактных поверхностях в электродинамическом ускорителе

Введение

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ТРЕНИИ

МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ЯКОРЯ О РЕЛЬСЫ.

1.1. Вычислительный алгоритм.

1.2. Приближенные аналитические решения.

1.2.1. Распределение температуры вдоль поверхности контакта.

1.2.2. Точное решение уравнения теплопроводности при наличии скачка теплового потока на контактной границе двух бесконечных полупространств.

1.2.3. Снос тепла от источника.

1.3. Результаты расчетов

ГЛАВА 2. ВОЗМОЖНОСТИ И ПЕРСПЕКТИВЫ ПРИМЕНЕНИЯ АНИЗОТРОПНО -РЕЗИСТИВНЫХ МАТЕРИАЛОВ В КАЧЕСТВЕ ЭЛЕКТРОДОВ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ УСКОРИТЕЛЕЙ.

2.1. Электродинамические ускорители с металлическим якорем и требования к ним.

2.2. Причины наступления кризиса и возможные пути их устранения.

2.2.1. Наличие а-пятен на поверхности контактирующих проводников.

2.2.2. Наличие зазора между контактирующими поверхностями.

2.2.3. Эффект скоростного скин - слоя.

2.2.4. Геометрические эффекты (конфигурация якоря).

2.3. Экспериментальные попытки «затягивания» кризиса металлического контакта.

2.4. Физическая модель кризиса металлического контакта, использованная в расчетах.

2.4.1. Математическая и вычислительная модели процесса ускорения.

2.4.2. Параметрические исследования процесса электродинамического ускорения.

2.4.3. Результаты расчетов с различными материалами, включая материалы направляющего (рельса) с анизотропной электропроводностью.

2.5. Анизотропия конструкционных материалов.

ГЛАВА 3. ОСОБЕННОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ, МАГНИТНОГО

ПОЛЯ И УПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ НА КОНТАКТЕ

3.1. Аналитические решения задач о диффузии магнитного поля (без переноса)

3.1.1. Диффузия в произвольный угол.

3.1.2. Диффузия в угол —.

3.1.3. Диффузия в угол 71.

3.1.4. Влияние различия граничных данных на разных сторонах угла.

3.1.5. Диффузия в произвольный угол с втеканием тока в одну точку.

3.1.6. Диффузия в произвольный угол с ортогональным втеканием.

3.2. Аналитические решения задач о скоростном скин-слое.

3.2.1. Одномерная диффузия с переносом.

3.2.2. Двумерная задача. Втекание в точку.

3.2.3. Двумерная задача без диффузии по у. Втекание в точку.

3.2.4. Двумерная задача с ортогональным втеканием тока.

3.3. Особенности физических полей на контакте.

3.3.1. Упругий контакт двух тел с заполнением всего пространства.

3.3.2. Упругий контакт двух материалов.

3.3.3. Диффузия в случае соединения двух материалов, занимающих все пространство.

3.3.4. Диффузия в два клина величиной а и р. Условия первого рода.

3.3.5. Аналог раздела 3.3.4 с граничными условиями 2-го рода.

3.3.6. Теплопроводность и диффузия магнитного поля в область контакта.

3.4. Численное исследование особенностей на контакте. 76 3.4.1. Особенности магнитного поля. 77 3.4.2 Особенности температурного поля. 79 3.4.3. Особенности упругих смещений.

3.5. О совместном влиянии диффузии магнитного поля и теплопроводности.

ГЛАВА 4. ОРГАНИЗАЦИЯ РАСЧЕТА ДВУМЕРНЫХ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ОБЛАСТЯХ СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ И РАЗЛИЧНЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

4.1. Прикладная программа ЕМЬ

4.1.1. Общая структура приложения ЕМЬ.

4.1.2. Задание геометрии области сложного вида.

4.1.3. Задание физических свойств и параметров вычислений.

4.2. Пример применения программы ЕМЬ. 102 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 106 Список использованной литературы

Актуальность темы

В диссертации рассматриваются вопросы математического моделирования процессов на контактных поверхностях электродинамического ускорителя (ЭДУ) типа рельсотрон (рис. 0.1) [1,2]. Магнитное поле с напряженностью Н, создаваемое током I, протекающим по рельсам и якорю, вызывает появление ускоряющей силы Лоренца (Ампера). Направление ее действия соответствует обычному правилу вычисления векторного произведения У х Н]. Сила Лоренца разгоняет якорь, движущийся вдоль рельсов и диэлектрических направляющих (они на рисунке не показаны). С электротехнической точки зрения рельсотрон представляет собой линейный электрический двигатель. Якорь, являясь проводником тока, может быть как металлическим телом, так и плазмой.

Рис. 0.1. Принцип действия электромагнитного ускорителя тел типа рельсотрон.

К числу задач, для решения которых проектируются рельсотроны, относятся: экспериментальное моделирование взаимодействия микрометеоритов с обшивкой космического аппарата, осколочных элементов с броней, определение уравнения состояния вещества при ударных нагрузках, усовершенствование танковой и корабельной пушек, прямой запуск полезного груза в космос. Разнообразие применений приводит к тому, что рельсотроны отличаются по таким характеристикам, как масса полезной нагрузки, которая может быть от долей грамма до нескольких килограммов, мощность энергетической установки, рабочий ток, периодичность работы и т.д. Исследования в области электромагнитного ускорения тел были начаты в первом десятилетии XX века, однако результаты, представляющие прикладной интерес, получены только к концу 80-х годов, когда удалось создать как ускорители (рельсотроны с металлическим якорем), так и источники электрического тока, позволяющие разгонять массы в несколько килограммов до скоростей более 1 км/с. н

Исследования показали, что применение металлического якоря целесообразно при разгоне тел массой более 100 г, поскольку плазменный якорь становится неустойчивым при таких массах, хотя он более эффективен, чем металлический, при меньших массах.

Фундаментальная проблема организации работы подобного устройства и достижения высоких и сверхвысоких скоростей макротел [1-3] состоит в том, что через скользящий контакт якорь/рельс приходится пропускать токи до нескольких миллионов Ампер. Экспериментальная практика показала, что после достижения якорем некоторой скорости (обычно около 1 км/с) происходит так называемый кризис контакта. Контакт якорь/рельс перестает быть чисто металлическим. Появляется электродуговой разряд, т.е. плазма, и часть тока начинает протекать через дугу. Это приводит к разрушению как якоря, так и рельса, и не позволяет эффективно преобразовать электрическую энергию, запасенную в источнике, в кинетическую энергию якоря - ускорение якоря обычно резко падает.

Для определенности кризисом металлического контакта будем называть начало кипения материала якоря или рельса. Скорость якоря, при которой наступает кризис, называется критической.

Кризис металлического контакта, ограничивающий диапазон достижимых скоростей при использовании металлического якоря, является одним из основных препятствий к достижению успеха в создании эффективного рельсотрона. Основной задачей проведения исследований, результаты которых представлены в данной диссертации, является поиск возможности избежать кризиса или сделать так, чтобы он наступил как можно позже.

Очевидно, что для принятия технологических решений при проектировании реальных рельсотронов необходимо иметь подтверждаемую экспериментом физико-математическую модель процессов на контакте. Однако создание модели рельсотрона в целом и контактной поверхности в частности, охватывающей весь круг определяющих явлений, включающих в себя электродинамику, прочность, тепловые процессы, электротехническую взаимосвязь с источником тока, трение, приэлектродные явления, связано с огромными трудностями как физического, так и математического характера. Кроме того, для рельсотрона существенно, чтобы описание явлений было трехмерным. Вряд ли построение такой модели реально в ближайшем будущем. Моделирование осложняется тем, что адекватность трехмерных моделей трудно проверить на практике. Причины этого - высокие плотности энергии в устройстве в сочетании с быстротечностью процесса разгона (максимум несколько миллисекунд), что не позволяет достоверно измерять в эксперименте распределения физических величин по пространству.

В инженерной практике обычно используются так называемые «нуль-мерные» модели, представляющие собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На рис. 0.2 показан пример расчета по такой «нульмерной» модели, проведенного для сопоставления с реальным экспериментом. Отметим, что зависимости тока в рельсах и положения якоря от времени удается измерить в эксперименте практически всегда.

8 km/s t: 0.996 ns I: 782.740 kA ток скорость

1 MA я время

1 rus

2 n

U0=600 m=0.05 C=0.45 U0=3008

Рис. 0.2. Пример расчета по «нульмерной» модели, выполненного для прогнозирования эксперимента с рельсотроном.

Это означает, что реалистичным в настоящее время является подход, при котором математические модели рельсовых ускорителей носят частный характер, причем их пространственная размерность отвечает целям численных расчетов.

Цели работы

Цели работы - разработка математических моделей процессов на контактных поверхностях в электродинамическом ускорителе и соответствующих им численных алгоритмов, реализованных в виде удобной для пользователя прикладной программы, а также исследование явлений на контактах с помощью созданного инструмента.

Научная новизна

Разработанная в диссертации модель позволяет предсказать момент начала плавления материала скользящего якоря. Как следствие, получена оценка величины коэффициента трения, которая может быть использована в проектных расчетах.

Для преодоления немонотонности численного решения по пространству при разработке модели была специальным образом введена и реализована нелинейная искусственная теплопроводность.

Впервые исследована возможность применения анизотропно-резистивных материалов в качестве электродов - показана перспективность данного направления.

Для автоматизации проведения вычислительных экспериментов разработана и реализована программа - пользовательская оболочка «ЕМЬ».

Практическая ценность

Создан комплекс программ, который применяется для исследования тепловых и электродинамических явлений в рельсотронах. Вычислительные эксперименты проводятся с целью нахождения способов преодоления кризиса металлического контакта.

Полученные результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях проблем, связанных с моделированием процессов в электродинамических ускорителях.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на семинарах в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, на 2-й международной конференции по конечно-разностным методам, теория и применение (СБОМ 98), Минск, 1998г.; 10-м и 11-м симпозиумах по технологии электромагнитного метания - Сан-Франциско, 2000г., Сен-Луи, Франция, 2002г.; Европейском симпозиуме по технологии электромагнитного метания - Целле, Германия, 1993г., 6-й конференции по генерации мегагауссных магнитных полей и родственным проблемам - Альбукерке, США, 1992г.; 1-м совещании «О перспективах МГД и плазменных технологий в аэрокосмических приложениях», ИВТ РАН, Москва, 1999г.

Публикации

В основу диссертации положены результаты, представленные в 19 печатных работах автора по теме - [45, 58,106-118].

Основным инструментом исследования процесса электромагнитного ускорения, применяемым в данной работе, является математическая модель [4,5] в пространственно двумерном приближении. Модель соответствует геометрии, показанной на рис. 0.3. Начало системы координат лежит на оси симметрии рельсотрона напротив левого торца рельса.

XJ контактная поверхность рельс / у/ъ воздух якорь —► у воздух л,

Рис. 0.3. Геометрия расчетной области (половина продольного сечения рельсотрона плоскостью симметрии).

Модель представляет собой систему, состоящую из уравнения диффузии магнитного поля и уравнения энергии (в форме уравнения теплопроводности):

ВН

-V—н =ду

Dt д ( 1 ■-V—Н =--(uH)+div -gradH д ду

4 ко

Ds 1 р— + p(wV> = -—(j • rotH) + div(/cgrad7,)+ Qfr, Dt Ana du„ mdt = L.DH ]dV-Ffr,

0.1) arm |/=q ^arm,0 '

Ffr=kfr(v, T)aJyl2 , w — u — v, H=(0, 0,H) £ = cvT,

QJr =kfrv<jnS(x-xQ) вдоль якоря, x0 - координата контактной поверхности.

Используются общепринятые обозначения: р- плотность, е- удельная внутренняя энергия, Н - напряженность магнитного поля (единственная ненулевая компонента вектора Н, направленная перпендикулярно плоскости рисунка, при этом напряженность электрического поля Е имеет две ненулевые компоненты, лежащие в плоскости рисунка), <т - удельная электропроводность материала, и - скорость движения вещества, V - скорость движения якоря, («=г; в якоре, и=0 в рельсе), к -коэффициент теплопроводности, Т - температура, <2/г " мощность тепловыделения за счет трения на контактной поверхности, су - удельная теплоемкость при постоянном объеме, к/г - коэффициент трения, <уп - нормальное механическое давление на контакте, 8 - дельта - функция Дирака, хо - координата контакта якорь - рельс (по х). В модель также входит обычное уравнение Ньютона, описывающее координату, скорость и ускорение тела, меняющиеся под действием интегральных сил Лоренца и трения.

Задача решается в пространственной области, изображенной на рис. 0.3, при I > 0. 8

Начальные условия задачи таковы: температура везде одинакова и задана, напряженность магнитного поля везде равна нулю, начальная скорость якоря задана: е\ =е(Тп), Н 1=0, v\ =vn . lr=o \ 0/> 1г=о ' \t=0 0

0.2)

Граничные условия задачи состоят в следующем: на всех границах области, кроме отрезков прямых х=0 и >'=0 и левого межрельсового пространства, напряженность магнитного поля Н равна нулю; в пространстве между рельсами слева от якоря напряженность магнитного поля Я задана (в виде зависимости от величины полного протекающего тока); на оси симметрии х=0 внутри якоря в силу симметрии отсутствует тангенциальная компонента напряженности электрического поля; на торце рельса отсутствует тангенциальная компонента напряженности электрического поля в системе координат, где вещество покоится (отсутствие тока поперек рельса):

Н = 0 на всех границах области, кроме х = 0, у = 0 и левого межрельсового пространства, Н = Hit) на задней части границ якоря и рельса, лежащих между электродами, дН п п дН Л п -= 0 на оси симметриих = 0, -= 0 при.у = 0. дх ду

0.3)

H(t) в соотношении (0.3) имеет следующий вид: Н = типичная форма токовой кривой показана на рис. 0.4.

АМРТ

TAUT

TAUTT

Рис. 0.4. Форма токовой кривой. Тепловой поток на всех внешних границах (кроме правого торца рельса) области равен нулю: — = 0 , на правом торце рельса Т =Т0. дп

Система уравнений (0.1) записана с применением смешанных эйлерово

Л) д лагранжевых переменных (СЭЛ). Производная — = — + (уУ) означает производную по времени при фиксированных СЭЛ - переменных. Мощность тепловыделения за счет трения моделируется соотношением, включающим коэффициент трения, скорость скольжения и нормальное механическое напряжение сгп на контакте. 9

Численный алгоритм для реализации модели на ЭВМ основан на методе конечных элементов [4-8] и удовлетворяет требованиям полной консервативности и квазимонотонности. Для аппроксимации неизвестного решения задачи использовались два семейства аппроксимирующих функций, соответствующих разбиению области на треугольники и ячейки Дирихле. Алгоритм получения системы алгебраических уравнений для амплитуд конечных элементов подробно описан в [4, 5].

Данная задача, вообще говоря, является нелинейной. Нелинейность системы вызвана зависимостью электро- и теплофизических параметров от температуры, которая в свою очередь определяется через джоулево тепловыделение в результате протекания электрического тока и выделения тепла в результате трения.

Для нахождения решения нелинейной системы алгебраических уравнений построен итерационный процесс, называемый внешним. При этом уравнения электродинамики и кинематики решаются при фиксированных значениях температуры, взятых с предыдущей итерации. Известными также считаются и значения теплофизических параметров в уравнении теплопроводности. Для прекращения внешних итераций используется некоторый критерий обрыва, в основе которого лежит величина относительного изменения решения на двух последовательных итерациях.

На каждой внешней итерации для нахождения приближенного решения необходимо решить две системы линейных алгебраических уравнений (для Н и 7). Для нахождения Н используется метод неполной декомпозиции Холесского с применением метода сопряженных градиентов [9, 10]. Значения температуры в силу малости коэффициента теплопроводности на данных характерных временах находятся с помощью метода Зейделя. Наличие фазовых переходов в системе (плавление и кипение материала якоря) учитывается с помощью однородного метода A.A. Самарского и Б.Д. Моисеенко [11]. Некоторые другие подробности организации итерационных процессов приведены в [5].

Данная модель, модифицируемая соответствующим образом для исследований более узких вопросов, применяется в первой и второй главах диссертации.

В первой главе рассмотрено моделирование тепловых процессов при трении металлического якоря о рельсы в отсутствие электрического тока. Исключение электромагнитных явлений связано с необходимостью выяснения роли нагрева за счет механического трения (по сравнению со случаем, когда присутствуют и механический нагрев, и джоулев нагрев). Модель в данном случае является, по сути, уравнением теплопроводности (зависимость скорости якоря от времени задана явно).

Буквальное следование алгоритму, разработанному для полной модели, приводит к тому, что в некоторых случаях численное решение может быть немонотонным по пространству. Результаты расчета температуры контакта в таких случаях противоречат принципу максимума. Это связано с использованием при дискретизации пространственной части уравнения теплопроводности алгоритма Галеркина - Петрова и интерполяции кусочно-линейными функциями. Данный подход приводит к аппроксимации первой производной по пространству, которая похожа на разностную схему с аппроксимацией конвективного слагаемого с помощью центральной разности. Известно, что такие схемы дают немонотонные решения. Чтобы избежать немонотонности решения, в систему уравнений была введена искусственная теплопроводность (ИТ). В правую часть уравнения теплопроводности при этом добавляется член сНу (\\ч\рсу(1т £гас1 Т).

Введение ИТ в линейной форме (коэффициент ИТ пропорционален величине скорости якоря и не зависит от температуры), как это описано выше, привело к значительному отличию численного решения от ожидаемого точного - тепло распределяется на всю глубину рельса.

Возможно выбрать нелинейную ИТ, величина которой зависит от решения в данном треугольнике, аналогично схеме с "лимитерами" С.Ф. Тишкина, А.П. Фаворского и др. При этом принцип максимума в каждой ячейке остается справедливым. Такая ИТ была предложена в работах М.П. Галанина, но ранее не применялась. Данный подход позволяет избавиться от немонотонности решения корректным образом.

Аналитического решения задачи получить не удается. Для понимания качественно-количественных характеристик решения полезны хотя бы приближенные аналитические решения. При допущении о том, что теплопроводностью вдоль рельса можно пренебречь, получены аналитические решения, позволяющие исследовать распределение температуры вдоль поверхности контакта, получено точное решение уравнения теплопроводности при наличии скачка теплового потока на контактной границе двух бесконечных полупространств, рассмотрен снос тепла от источника.

Результаты численных расчетов были сопоставлены с аналитическими решениями для проверки адекватности модели. Сравнивались, например, численная и аналитическая временные зависимости температуры в фиксированной точке на контакте (вблизи передней кромки якоря). Соответствующие численные результаты дают значения температуры, которые ниже полученных аналитически, но расхождение сравнительно небольшое.

С целью определения момента начала плавления материала якоря была проведена серия параметрических расчетов. Для случая нулевой начальной скорости якоря результаты сопоставлены с экспериментальными данными, полученными в Институте перспективных технологий, штат Техас, США, (Institute of Advanced Technologies, IAT). Результаты расчетов и эксперимента хорошо согласуются (погрешность не превышает разбросов экспериментальных измерений). В серии экспериментов, проведенных в IAT, вариьировалась величина механического давления якоря на рельс (сгп - нормальное давление на контакте).

Близость расчетных и экспериментальных результатов позволяет сделать вывод о том, что коэффициент kfr в модели трения, используемой в работе, имеет величину порядка 0,01.

Во второй главе исследованы возможности и перспективы применения анизотропно-резистивных материалов в качестве электродов электродинамических ускорителей.

Базовая» модель, описанная во введении, была модифицирована таким образом, что коэффициент электропроводности от имеет различные значения в направлении движения и в направлении, перпендикулярном плоскости контакта.

Проведенный цикл расчетов продемонстрировал принципиальную возможность существенного (более, чем в два раза) увеличения критической скорости за счет использования рельсов из материала с анизотропной электропроводностью.

В третьей главе аналитически и численно исследованы особенности распределений температуры, магнитного поля и упругих напряжений на контакте.

Это связано с тем, что геометрия рельсотрона неизбежно приводит к появлению особенностей в распределениях температуры, магнитного поля и упругих напряжений. Опыт применения двумерной модели показал, что этот вопрос требует отдельного рассмотрения. В случае диффузии магнитного поля резкий рост плотности тока на задней кромке якоря обусловлен не только скин-эффектом, но и геометрическим фактором.

Анализ особенностей полей на контакте позволяет оценить такие характеристики контакта как время существования электрического контакта металлического типа и критическая скорость в зависимости от геометрии и материалов контактирующих тел. Такой анализ был применен к данным вычислительного эксперимента. Время достижения температуры кипения материала оказалось напрямую зависящим от показателя сингулярности решения.

Отдельная глава диссертации (четвертая) посвящена вопросам разработки прикладной программы - пользовательской оболочки, позволяющей автоматизировать управление вычислительными экспериментами.

В четвертой главе описана организация расчета двумерных квазистационарных электромагнитных полей в областях со сложной геометрией и различными физическими свойствами. Рассмотрена общая структура приложения «ЕМЬ», задание геометрии области сложного вида, задание физических свойств и параметров вычислений. Приведен пример применения программы «ЕМЬ».

Комплекс программ, в котором реализуется используемая в диссертации математическая модель электродинамического ускорителя, организован так, что управление данными осуществляется при помощи специального отдельного приложения - пользовательской оболочки, представляющей собой систему окон, управляемую при помощи экранных меню.

Обеспечивается возможность задания в диалоговом режиме геометрии области сложного вида с контролем разбиения ее на конечные элементы и ячейки Дирихле, физических свойств материалов и параметров ускорителя. Управление файлами позволяет хранить исходные данные (геометрию области и параметры) расчетных вариантов и результаты вычислений в систематизированном виде. Применение пользовательской оболочки значительно сокращает время подготовки счета и обработки результатов счета.

Выводы главы 4

В главе представлена прикладная программа ЕМЬ, предназначенная для автоматизации проведения вычислительных экспериментов, в основе которых лежит двумерная физико - математическая модель электромагнитных и тепловых процессов, происходящих в электродинамическом ускорителе типа рельсотрон.

Основным преимуществом применения программы является удобство ввода информации о геометрии расчетной области, а также ввода параметров рельсотрона и свойств материалов. При этом обеспечивается возможность контролировать процесс разбиения области на треугольники вручную - тем самым задачу можно решать на областях сложной формы без ущерба точности.

Программа применялась на практике, в частности, для проведения вычислительных экспериментов по исследованию возможностей применения анизотропно - резистивных материалов в качестве электродов рельсотрона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Численно исследованы тепловые процессы, обусловленные трением металлического якоря о рельсы. Введенная искусственная теплопроводность позволила избежать немонотонности численного решения. Аналитически и численно исследовано распределение температуры, возникающее при движении якоря в электродинамическом ускорителе.

2. Изучены возможности и перспективы применения анизотропно-резистивных материалов в качестве электродов электродинамических ускорителей. Показано, что применение таких материалов позволяет существенно увеличить критическую скорость.

3. Исследовано влияние геометрии якоря и различия свойств материалов якоря и рельса на особенности распределений температуры, магнитного поля и упругих напряжений на контакте.

4. Для удобства и систематизации проведения вычислительных экспериментов разработана пользовательская оболочка, упрощающая задание геометрии расчетной области, исходных данных, а также обработку результатов численного счета.

1. Материалы I Всесоюзного семинара по динамике сильноточного дугового разряда в магнитном поле (Новосибирск, 10-13 апреля 1990 г.), под ред. М.Ф. Жукова. -Новосибирск, изд. Инст. теплофизики СО АН СССР, 1990, 350 с.

2. Материалы II Всесоюзного семинара по динамике сильноточного дугового разряда в магнитном поле (Новосибирск, 4-6 декабря 1991г.), под ред. В.Е. Накорякова. Новосибирск, изд. Инст. теплофизики СО РАН, 1992, 367 с.

3. М.П. Галанин, А.Д. Лебедев, А.П. Лотоцкий, К.К, Миляев. Тепловые и электромагнитные процессы на контактах электродинамического ускорителя // Препр. Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша РАН. 2000. N 42. 32 с.

4. М.П. Галанин. Задача о скоростном скин-слое и квазимонотонная конечноэлементная схема для ее численного решения, ускорителя // Препр. Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша РАН. 1995. N 21. 29 с.

5. М.П. Галанин, Ю.П. Попов. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое моделирование. М., Наука. Физматлит. 1995.320 с.

6. Г.И. Марчук, В. И. Агошков. Введение в проекционно сеточные методы. - М., Наука, 1981,416 с.

7. Д. Норри, Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. 1981, 304 с.

8. П. Силъвестер, Р. Феррари. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров электриков. - М., Мир, 1986, 229 с.

9. А.Л. Гончаров. К применению градиентных методов для решения разреженных несимметричных систем алгебраических уравнений // Препр. Ин. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР. 1987, № 130,16 с.

10. А.Л. Гончаров. Комплекс программ решения разреженных систем алгебраических уравнений // Отчет Ин. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР. 1987, 53 с.

11. A.A. Самарский, Б.Д. Моисеенко. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. № 5. С. 816 827.

12. Галанин М.П. Нелинейная квазимонотонная конечноэлементная схема для решения двумерных задач с переносом. Задача о скоростном скин-слое // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N 7. С. 935-942.

13. A.A. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1978, 656 с.

14. КБ. Вязников, В.Ф. Тишкин, А.П. Фаворский, М.Ю. Шашков. Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка для ее точности // Препр. Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР. 1987. N 36. 27 с.

15. М.В. Федорюк. Асимптотика: Интегралы и ряды. М., Наука, 1987, 544 с.

16. F. Stefani, J.V. Parker. Experiments to measure wear in aluminium armatures. // IEEE Transactions on Magnetics. 1999. V. 35. No. 1, p. 100-106.

17. R.E. Kothman, F. Stefani. A Thermal Hydraulic Model of Melt-Lubrication in Railgun Armatures. IEEE Transactions on Magnetics. 2001. V. 37. No. 1, p. 86-91.

18. D.J. Hildenbrand, J.R. Rapka, B.J. Long. Computer Modeling and Prediction of Solid Armature Contact Wear and Transitioning in Electromagnetic Guns // IEEE Transactions on Magnetics, 1997. V. 33, No. 1, p. 74-79.

19. M. Koops, T. Huijser, W. Karthaus. Design and Evalution of Carbon Fibre-Reinforced Launch Packages with Segmented, Copper and Molybdenum Fibre Armatures // IEEE Transactions on Magnetics, 1997. V. 33, No. 1, p. 119-124.

20. G.C. Long, W.F Weldon. Limits to the Velocity of Solid Armatures in Railguns // IEEE Transactions on Magnetics. 1989. V. MAG 25. N. 1, p. 347-352.

21. Nearing J.C., Huerta M.A. Skin and Heating Effects of Railgun Current // IEEE Transactions on Magnetics. 1989. V. MAG 25. N. 1, p. 381-386.

22. J.P. Barber, A. Challita. Velocity Effects on Metal Armature Contact Transition // IEEE Transactions on Magnetics. 1993. V. MAG 29. N. 1, p. 733-738.

23. Dreizin Yu.A. Solid Armature Performance with Resistive Rails // IEEE Transactions on Magnetics. 1993. V. MAG 29. N. 1, p. 798 - 803.

24. Глинов А.П., Колядин H.M., Полтанов A.E. и др. Исследование кризиса металлического контакта в РЭУ с переходом к электродуговому замыканию тока //В 2., с. 315 339.

25. В.Б. Железный, А.Д. Лебедев, А.В. Плеханов. Воздействие на динамику ускорения якоря в РЭУ // В 2., с. 16-32.

26. В.П. Базилевский, P.M. Заятдиное, Ю.А. Кареев. Кризис электропроводности высокоскоростного металлического контакта // В 2., с 285-303.

27. М.П. Галанин, А.В. Плеханов, В. В. Савичев. Исследование поведения металлического контакта при электродинамическом ускорении проводящих тел // Теплофизика высоких температур, 1996, т. 34, № 2, с. 293-298.

28. М.Р. Galanin, A.V. Plekhanov, V.V. Savitchev. The Investigation of Metal Contact Conditions for Electromagnetic Launch of Solid Armature in Railgun. II V-th European Symposium on EMLT, Toulouse, France. 1995. Proceedings. Report 76, 9 pp.

29. M.П. Галанин, B.B. Савичев. Особенности электромагнитного поля и их проявления при моделировании электрического контакта проводящих тел в электродинамическом ускорителе типа рельсотрон" II Теплофизика высоких температур, 1997, т. 35, № 4, с. 517-523.

30. А Р. Noel, A. Challita, and D.P. Bauer A Novel Railgun Launch Package Concept // IEEE Trans, on Magn., 2001, V.37, No.l, p.97-100.

31. P. Холъм. Электрические контакты. M., Изд-во иностр. лит., 1961. 464 с.

32. В.А. Фалеев, А.И. Федорченко. Исследование процесса зажигания дуги в замкнутом сильноточном контакте //В 2., с. 304-314.

33. J.P. Barber, B.L. Maas. Properties of contacts at high velocities // IEEE Trans, on Magn., 1989, V.25, No.l, pp. 72-74.

34. Спеченные материалы для электротехники и электроники // под ред. Г.Г. Гнесина. М., Металлургия, 1981. 343 с.

35. В.М. Куляпын. Электрические контакты. Уфа, Уфимский авиационный институт. 1975, 142 с.

36. А.К. Николаев и др. Низколегированные медные сплавы в электротехнике // Всемирный электротехнический конгресс, Москва, 1977, секц. 36, докл. 20., 22 с.

37. Электротехнические материалы. Справочник II под ред. В.Б. Березина. М., Энергоатомиздат, 1983, 504 с.

38. Электрические контакты и электроды // Сборник научных трудов АН УССР, Ин. проблем материаловедения. Киев, 1991, 138 с.

39. В.И. Павленко, Д.С. Ясь Современные медно- и бронзографитовые материалы и их применение в легкой промышленности. М., ЦНИИ информации и тех.-экон. иссл. лег. пром., 1975, 30 с.

40. Г.В. Буткевич, Г.С. Белкин и др. Электрическая эрозия сильноточных контактов и электродов. М., Энергия, 1976, 253 с.

41. В.В. Саклинский, B.C. Ваковский. Металлокерамика в машиностроении. М., Машгиз, 1956, 72 с.

42. A.B. Чичинадзе и др. Материалы в триботехнике нестационарных процессов. М., Наука, 1986, 247 с.

43. C.B. Шулепов. Физика углеграфитовых материалов. -М., Металлургия, 1972, 254 с.

44. В.М. Амосов, В. В. Кубышкин. Электродные материалы на основе тугоплавких металлов. М., Металлургия, 1976, 223 с.

45. Б.А. Урюков, А.Д. Лебедев, К.К. Миляев. Влияние процессов на контактных поверхностях на динамику разгона металлического якоря // В 2., с. 33-71.

46. J. P. Barber, C. McDonald. The mechanical design of the armature // IEEE Trans, on Magn., vol. 25, No. 1, 1989, pp.79-82.

47. W. Craddock, S. Wyrostek, H. Calvin, V. Alges. Thermal analysis of fiber structures // IEEE Trans, on Magn., vol. 25, No.l, 1989, pp.127-132.

48. G. Ferrentino, W. Kolkert. Metal Armatures for Railguns // TRAD-A152129, 1985.

49. K.A. Jamison, R. Stearns, M.J. Matyac, C. Persad, R.A. Marshall. Behavior of multi-tiered copper wire solid armature // IEEE Trans, on Magn., 1995, V.31, Nol, p. 174.

50. C. Persad. Solid Armature Performance: a Progress Review 1980-1990 // IEEE Transactions on Magnetics, 1997. V. 33, No. l,p. 140-145.

51. Ю.Н.Дроздов, В.Г.Павлов, В. H. Пучков. Трение и износ в экстремальных условиях. М., Машиностроение, 1986,223 с.

52. L.M. Barker, T.G. Trucano. Railgun Rail Gouging by Hypervelocity Sliding Contact// IEEE Transactions on Magnetics, vol. 25, No. 1, 1989, pp. 83-87.

53. В.Г. Попенко, М.П. Стронгин, Б.А. Урюков. Исследование сильноточного импульсного разряда в ЕхН полях // VI Всесоюзная конференция по генераторам низкотемпературной плазмы, Фрунзе, 1974, с. 173-176.

54. В.И. Гороховский, Б.А. Урюков. О явлении скин эффекта в рельсотронах и импульсных плазменных ускорителях // Известия СО АН СССР, 1980, № 13, сер. техн. наук, вып.З, с. 13-15.

55. I.S. Glushkov, Yu.A. Kareev et al. Investigation of Techniques to Increase Armature Transition Velocity// IEEE Transactions on Magnetics, v. 33, No. 1, 1997, pp. 549 -553.

56. M.P. Galanin, A.D. Lebedev, V. V. Savichev, B.A. Uryukov. The Analysis of Contact Surface Melting Processes at Solid Armature Launching // VI -th European Symposium on Electromagnetic Launch Technology, Hague, Holland, 1997.

57. B.A. Uryukov, V. Chemeris. The Basic Principle of a Choice of Materials for Contact Pair in the Electrodynamic Accelerator // 12-th International Pulsed Power Conference, USA, June 1999.

58. М.П. Галанин, K.K. Мтяев. Об особенностях физических характеристик в окрестности электрического контакта // Препр. Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша РАН. 1997. № 57. 32 с.

59. Yu.A. Kareev, А.Р. Lototsky, Yu.A. Halimullin. Metal Projectile Acceleration in Muzzle-Fed Railgun // 6th European Symposium on EML Technolodgy (The Hague, 25-28 May 1997). Proceedings, p. 314-321.

60. A. P. Lototsky, Yu.A. Kareev, A.A. Nikolashin, Yu.A. Halimullin, E.P. Polulyah, M.P. Galanin, S.S. Khramtsovsky. Recent Muzzle-Fed Railgun Experiment on Metal Armature for Arcless Acceleration // IEEE Trans, on Magn., 1999, v. 35, N 1, pp. 7985.

61. Физические величины. Справочник / Под ред. Григорьева И.С., Мейлахова Е.З. М.: Энергоатомиздат. 1991, 1232 с.

62. М.П. Галанин, А.П. Потоцкий, Ю.П. Попов, С.С. Храмцовский. Численное моделирование пространственно трехмерных явлений при электромагнитном ускорении проводящих макротел // Математическое моделирование. 1999. Т. 11. N 8, с. 3-22.

63. Г.А. Кнопфель. Сверхсильные импульсные магнитные поля. М., Мир, 1972. 392 с.

64. A.A. Самарский, Ю.П. Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики М., Наука, 1980, 352 с.

65. Э.М. Карташов. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел -М., Высшая школа, 1985, 480 с.

66. В.В. Васильев и др. Композиционные материалы. Справочник. -М., Машиностроение, 1990, 510 с.

67. Композиционные материалы с металлической матрицей / Под ред. К. Крейдер, -М., Машиностроение, 1978, 502 с.

68. Волокнистые и дисперсноупроченные композиционные материалы Сб. статей, М.: Наука, 1976,214 с.

69. Ю.П. Емец. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой. Киев, Наукова думка, 1986, с. 191.

70. Д.М. Карпинос. Теплопроводность армированных конструкционных композиционных материалов. Киев, об-во «Знание» УССР, 1986,28 с.

71. Д.М. Карпинос, B.C. Клименко. Пористые конструкционные материалы и их теплофизические свойства. Киев, об-во «Знание» УССР, 1978, 32 с.

72. JI.H. Булаевский. Сверхпроводимость и электронные свойства слоистых соединений// УФН, Т. 116, вып.З, 1975, с. 448-484.

73. Углеграфитовые материалы и изделия. М., НИИГрафит, 1985, 144 с.

74. Углеродные волокна и волокнистые материалы с регулируемыми электрофизическими свойствами и изделия на их основе. М., «НИИТЭхим» 1978,51 с.

75. M.K Рогайлин, Е.Ф. Чалых. Справочник по углеграфитным материалам. J1. Химия, 1974,206 с.

76. Гверцители КГ. и др. Анизотропия электросопротивления пиролитического графита, интеркалированного цезием и рубидием // Извест. АН СССР, Неорганические материалы. Т. 19, № 9, 1983, с. 1474-1477.

77. А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. Уравнения математической физики М., Наука, 1972, 735 с.

78. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1984, 832 с.

79. М. Абрамовиц, И. Стиган. Справочник по специальным функциям. М., Наука, 1979, 832 с.

80. С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М., Наука, 1991, 336 с.

81. В.А. Кондратьев, O.A. Олейник. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. УМН, 1983, т.38, № 2, с.3-76.

82. А.Г. Бутковский. Характеристики систем с распределенными параметрами. М., Наука, 1979, 224 с.

83. МЛ. Гашнин, В. В. Савичев. Особенности электромагнитного поля и их проявления при моделировании контакта проводящих тел в электродинамическом ускорителе типа рельсотрон // Теплофизика высоких температур, 1997, т. 35, N 4, с.517-523.

84. G. С. Long. Railgun Current Density Distributions // IEEE Trans. On Magn., 1986, v.22, N6, p.1597-1602.

85. A.P. Glinov, N.A. Farkov. About Influence of Contact Resistance on Current Skin in a Railgun // 5-th Europ. Sympos. on Electromagnetic Launch Technology, April 1995, Toulouse, France, Rep. N14.

86. L. C. Woods. The Current Melt-Wave Model // IEEE Trans, on Magn., 1997, v. 33, N1.

87. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, O.K. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., Наука, 1981, 800 с.

88. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., Наука, 1983, 752 с.

89. А.П. Глинов, Н.М. Колядин, А.Е. Полтанов, A.A. Кулаков, A.B. Куртов, С.Ю. Курчатов. Исследование кризиса металлического контакта в РЭУ с переходом к электродуговому замыканию тока // в 2. с.315-339.

90. В.А. Кондратьев. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Труды Моск. математ. общества, М., изд. МГУ, 1967, т. 16, с.209-292.

91. В.А. Кондратьев, И. Копачек, О.А. Олейник. О поведении обобщенных решений эллиптических уравнений второго порядка и системы теории упругости в окрестности граничной точки // Труды семинара им. И.Г. Петровского, М., изд. МГУ, 1982, т.8, с. 135-152.

92. С.П. Тимошенко, Дж. Гудъер. Теория упругости. М., Наука, 1975, 576 с.

93. В.З. Партон, П.И. Перлин. Методы математической теории упругости. М., Наука, 1981, 688 с.

94. D.B. Bogy. Two Edge-Bonded Elastic Wedges of Different Materials and Wedge Angles Under Surface Tractions // Journal of Applied Mechanics, 1971, v.38, No.2, p.p. 377-386.

95. O.H. Лущик. О поведении корней уравнения, определяющего особенность напряженного состояния в окрестности вершины составного клина // Механика твердого тела, 1979, №5, с. 82-91.

96. Е.Е. Gdoutos, P.S. Theocaris. Stress Concentrations at the Apex of a Plane Indenter Acting on an Elastic Half Plane // Transactions of the ASME, 1975, v.42, No.3, p.p. 688-692.

97. P.S. Theocaris, E.E. Gdoutos. Stress singularities at vertices of composite plates with smooth or rough interfaces // Archives of Mechanics, 1976, Warszawa, v.28, No.4, p.p. 693-704.

98. Аксентян O.K. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра// Прикладная математика и механика, 1967, т.31, вып.1, с. 178176.

99. M.L. Williams. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension // Journal of Applied Mechanics, 1952, vol.19, No.4., p.526-528.

100. M.L. Williams. The complex variable approach to stress singularities // Journal of Applied Mechanics, 1956, vol.23, p.p. 477-478.

101. J. Dundurs, M.S. Lee. Stress concentration at a sharp edge in contact problems // Journal of Elasticity, vol. 2,1972, pp. 109-112.

102. P.S. Theocaris. The order of singularity at a multiwedge corner of a composite plate // International Journal Engineering Sciences, vol. 12,1974, pp. 107-120.

103. S.N. Karp, F.C. Karal The Elastic-Field Behavior in the Neighborhood of a Crack of Arbitrary Angle // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1962, v. XV, N4, p.p. 413-421.

104. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Таблицы интегральных преобразований. T.l. М., Наука, 1969, 344 с.

105. M.P. Galanin, A.D. Lebedev, К.К. Milyaev. An Investigation of the Effects of Some Properties of Materials on the Characteristics of Armature Acceleration in a Railgun // IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 37, No. 1, January 2001.

106. А.Д. Лебедев, Б.А. Урюков, B.C. Мищенко, Г.В. Сандраков, К.К. Миляев. "Сопоставление результатов численного и интегрального методов расчета движения плазмы в рельсовом ускорителе" // В 2., с. 158-180.

107. A.D. Lebedev, K.K. Milyaev, B.A. Uryukov Minimization of energy of electromagnetic launcher for direct launch system // The IV European Symposium on Electromagnetic Launch Technology, Celle, Germany, 1993.

108. B.A. Uryukov, A.D. Lebedev, K.K. Milyaev. Properties of melted film at surfaces of friction in an electromagnetic launcher. The IV European Symposium on Electromagnetic Launch Technology, Celle, Germany, 1993.

109. M.P. Galanin, K.K. Milyaev. The numerical investigation of heat processes on a sliding contact in an electromagnetic railgun // Second International Conference "Finite-Difference Methods: Theory and Application, Minsk, Belarus, 1998.

110. M.P.Galanin, A.D.Lebedev, A.P. Lototsky, K.K. Milyaev, V.V. Savichev, B.A. Uryukov. On application of electromagnetic technology for a direct launch into orbit //

111. Совещание "Перспективы МГД и плазменных технологий в аэрокосмических приложениях", ИВТ РАН, Москва, 24-25 марта 1999 г. Сборник докладов.

112. М.П. Галанин, А.Д.Лебедев, А.П. Лотоцкий, К.К. Миляев. Тепловые и электромагнитные процессы на контактах электродинамического ускорителя // Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2000. №42. 32 с.

113. M.P. Galanin, A.D. Lebedev, K.K. Milyaev. An Investigation of the Effects of Some Properties of Materials on the Characteristics of Armature Acceleration in a Railgun // IEEE Transactions on Magnetics, 2001, v. 37. N 1.

114. М.П. Галанин, К.К Миляев. Моделирование тепловых процессов при трении якоря о рельсы в электродинамическом ускорителе // Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2001. №7. 16 с.

115. М.П. Галанин, К.К. Миляев. Организация расчета двумерных квазистационарных электромагнитных полей в областях со сложной геометрией и различными физическими свойствами // Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2001. №55. 28 с.