автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов деформирования магнитоупругих пластин со сложной формой

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА имени МИРЗО УЛУГБЕКА

РГБ ОД

На правах рзаЦ^си , ! / УДК 538.65.001.573 539.37.001.573

НУРАЛИЕВ ФАХРИДЦИН МУРОДИЛЛАЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИЮВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАГНИТОУПРУГИХ ПЛАСТИН СО СЛОЖНОЙ ФОРМОЙ

05.13.18-Теоретичесхие основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание Ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент-2000

Работа выполнена в Институте кибернетики Научно-производственного объединения "Кибернетика" Академии наук Республики Узбекистан

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

ШАНэзиров

Официальные оппоненты • доктор физико-математических наук,

Б.Ф. Абдурахииов

- кандидат физико-математических наук, доцент М. М. Расуль мухаы едов

Ведущая организация - Ташкентский институт инженеров ирригации

н механизации сельского хозяйства

Защита состоится " ÍX " 2000 г. в ¿¿^ч. на

заседании Специализированного совета К.067.02.03 при Национальном университете Узбекистана имени Мирзо Улугбека по адресу: 700095, Вузгородок, Национальный университет Узбекистана, механико-математический факультет, ауд. А-205.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Национального университета Узбекистана имени М.Упугбека (Вузгородок).

Автореферат разослан "с/А 2000 г.

Ученый секретарь Специализированного совета д. ф,-м. н. /N. . ~ К.Фаязов

6д>о- i ;I 03 >

B3Z 8. У6С.Ц03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящее время в науке отмечается стремительное развитие теории связанных полей, где отражается взаимное влияние двух или более физических полей. Примером такого направления исследований является цагнитоупругость, в которой изучается взаимное воздействие поля деформаций и электромагнитного поля в твердом упругой теле. Магшггоупругость является продолжением линейной теории упругости и линейной электродинамики.

Причинами к рассмотрению магннтоупругости являются ее возможные приложения в области геофизики, в некоторых разделах акустики, в исследованиях по затуханию акустических волн в магнитном поле. В частности,. с такими взаимодействиями встречаемся при создании магнитокумулятивных генераторов, устройств по удержанию плазмы в термоядерных установках, магнигогидродинамических ускорителей, бесконтактных магнитных опор движущихся систем, измерительной аппаратуры, используемой в области действия электромагнитных полей, при постановке некоторых экспериментов и др.

Движение (или деформирование) элезпропроводящей среды в магнитной поле приводит к появлению электрического тока в среде, который, с одной стороны, изменяет магнитное поле, а с другой -вызывает объемные пондеромоторные силы, .изменяющие напряженно-дефораирсваяное состояние среды. Взаимодействие такого рода является "предметом изучения ыагнитоупругости.

Актуальность текы. Разработке теоретических основ и численных ц его доз для решения задач статики и динамики иагнитоупругих пластин поезягцено множество работ таких ученых, как С.Калисский, А.В.Сепезоэ, А.С.Вольмир, ХА.Рахматулин, Ю.С.Шкенев,

С.А.Аыбарцуаян, Г.Е.Багдасарян, М.В.Белубекян , М.Р.Короткина, Мольченко А.В., Кошевой А.П. п др.

Однако эта исследования в основном проведены для пластин, имеющих классическую форму, а именно: квадрат, прямоугольник, круг, бесконечно длинная пластинка-полоса и т.п. Но на практике мы часто встречаемся с необходимостью расчета иагнитоупругих пластин с различными сложными формами при различных условиях заделки краев пластины. Моделирование ыагнитоупругого поведения пластин со слохаюй формой аналитическими методами достаточно затруднительно, а

в некоторых случаях практически невозможно. Решение такого широкого круга задач - представляет особый интерес и свидетельствует об актуальности их постановки и решения для магнигоупругих пластин сложной геометрической формы.

Целью работы является математическое моделирование магнитоупругого поведения пластан со сложной формой, которое состоит из следующих этапов: вывод натемагачесжой модели для решения задач ы агнитоупругости тонких пластин; разработка эффективных вычислительных алгоритмов расчета магнигоупругих пластин со сложной формой; создание программных средств дня проведения вычислительного эк пер и мента на ЭВМ; решение различных задач и агнитоупругости тонких пластин со сложной формой.

Научная новизна работы. На основе принципа Гаыихьтона-Острогр адского выведена математическая модель магнигоупругих пластин. Разработаны эффективный вычислительный алгоритм и программное обеспечение для расчета магнигоупругих пластин со сложной. формой при совместном применении вариационного метода Бубнова-Галфкина и теории Л-функций ВЛ.Рвачева. На основе разработанного алгоритма и программного комплекса решен ряд новых задач расчета пластин с различными сложными формами области.

Достоверность научных положений достигнута путем применения корректной постановки задачи, обоснованием "сходимости применяемых вычислительных алгоритмов и сравнения полученных результатов расчета с точными решениями и результатами, полученными другими авторами.

Практическая ценность диссертационной работы. Полученные в настоящей работе результаты могут быть исспользованы при проведении предпроектных и проектных расчетов в проектных институтах и применены в стройиндусгрии, радиотехнике, электротехнике и др., а также в учебном процессе в высших и специальных технических учебных заведениях. Разработанные программные средства приняты к внедрению и использованию в ОА УзЛИТТИ.

Апробация работы и публикация результате® диссертации. Содержание и основные результаты диссертационной работы доложены на: Республиканской научной конференции "Современные проблемы алгоритмизации" (Ташкент, 1996 ), Республиканской научной конференции по механике, посвященной 90-летию академика М.Т.Уразбаева (Ташкент, 1996), II Республиканской научной конференции "Моделирование сложных механических систем" (Ташкент, 1996), Республиканской

научной конференции " Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Ташкент, 1997), Республиканской научной конференции "Современные проблемы распространения волн в многофазных соединениях жидкостей и сплошных средах" (Ташкент, 1999), семинаре лаборатории "Алгоритмизация" Института кибернетики НПО "Кибернетика" АН РУз (1996-1999 гг., научный руководитель семинара академик В.К.Кабулсв), объединенном семинаре "Вычислительные технологии и современные проблемы моделирования" ТашГУ им. М.Улугбека, объединенном семинаре "Математическое моделирование" Университета мировой экономики и дипломатии. ,

По теме диссертации опубликовано десять научных статей н тезисов, отражающие основное содержание и результаты диссертационной работы.

Структур» диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка использованной литературы, состоящей из 63 наименований, изложенных на 109 страницах машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор исследований в области магнитоупругости, обоснованы актуальность темы, цель работы, достоверность полученных результатов, показана новизна и практическая значимость, а также степень апробации работы.

В первой главе диссертационной работы изложена постановка задачи и построена математическая модель магнитоупругости тонких пластин.

Основные уравнения теории упругости тонких пластин выводятся на основании вариационного принципа Гамильтона-Остроградского с учетом линейной теории упругости и электродинамики.

Получено следующее уравнение движения пластины относительно искомых функций перемещения U, У, W:

34J' Eh h 84J ph--(-+ _ (H,* + H,J))--

St1 1-v» 4% dxi

Ell h Ö4J h &V ■

.(-+ —НИ )-+ — HxHy--

2(1+v) 4к дуг 4я dx*

Ehv Eh h 02V h 8¡V

.(- +- + —Hi2))-+ -HxHy-+

1-v2 2(l+v) 4л ßxcy 4= су2

h W h CT Ii BW

+ — H* H.-+— H,H»---HxHi- = Qi,

4je 2t дхду 4я ôy1

&V h tfU Ehv Eh h ô*U

ph- + —HxHy--(-+-+ —H»2)-+

ôtî 4* ex2 1-vi 2(1+v) 4я Sxdy

h Eh h &V

+ — KxHy--(-+ — H*2)--

4я ayi 2(1+v) 4k fix»

Eh h &V h FW

• (-+ — (Hx»+H.i))---HyH»-+

1-v1 4s ey1 An di1

h m h e2w

+ -H,H,-+—H, H,-=Qî, (1)

2я diBy 4x ty»

BW h W h - &U

ph-+ — H»He—— +■ — HyH.- +

ôt1 4я : fis1 4s Bxßy

h ffV h &V■ :■ I

+ —H,H,-+ — H, H.- +(D + —OV + R2))--

4% dxßy 4s fiy2 4s - Se«

1 BW I

— HiHJ-+ ( 2D + — (Hi2 + H,2 +2Ш))---

2k Êx'cy 4я Вхгдуг

I &\V . î £r\J

— HxH,-+(D + — (КУ + Щ*))-— +

2k &5yä 4s ' of

fc

сГ-V/ h

c-v.

+ —(H,.2.KJ)---ад- -b-(HJ-hV)—- ¡=Qs;

4= 4K 4s

здесь Б = - - жесткость пластины при изгибе; I = — - момент

12(1- V*) 12

инерции поперечного сечения единичной ширины; И- толщина пластины; Н= Н(НХ, Ну, Нг) - вектор напряженности магнитного поля; <3, (¡=1,2,3) -компоненты вектора полной нагрузки; Е - модуль упругости; V -коэффициент Пуассона.

Отметим, что уравнение (1) решается при соответствующих начальных и граничных условиях, зависящих от способа закрепления краев пластины.

Во второй главе описывается вычислительный алгоритм расчета магнитоупругих пластин со сложной формой, разработанный на основе совместного применения метода И- функций ВЛ.Рвачева и вариационного метода Бубнова-Галеркина. При решении разрешающих уравнений использованы различные численные методы, в частности метод Гаусса ( в случае статики), основанный на применении квадратурных сумм (в случае динамики).

В разделе 2.1 данной главы показана симметричность дифференциального оператора, входящего в уравнение, описывающее состояние магннтоупругон пластины.

В разделе 2.2 приведены структуры решения основных краевых условии (жестко и шарнирно закрепленный край и др.) для уравнений (1), осуществляемые с помощью теории К- функций, удовлетворяющей краевым условиям для произвольной геометрии области пластины.

' Раздел 2.3 посвящен разработке вычислительного алгоритма. Здесь дискретизация по пространственным переменным (построение разрешающего уравнения) осуществляется при комбинации методов Р,-функций и Бубнова-Галеркина, а решение разрешающих уравнений -разными методами в зависимости от рассматриваемой задачи (статики, динамики).

Для этой цели уравнение (1), после введения безразмерных координат, переписывается в векторно-матричной форме относительно вектора перемещений и (и, У, \У)

Еи = <3, (2)

где Е - матрица-оператор, которую запишем следующим образом:

&■ & & а* &

Е= А(-+ Ал-+ Аз-+ Аа-+ А5- +

в <Эх< дх?8у дхЩг дхду>

ду* дх.1 дхву ду1

здесь А, 0=1.2.....9) - м атрицы-коэффициенты уравнения (1) в

безразмерных координатах; (2 = (^ОД , (}г , - вектор правой части уравнения.

В общем виде струпура решены <2) яреиставляется в виде

и^ЯШМ (3)

<-1

где с; (0 - неизвестная функция по времени !;£/,(*,>)- полные системы последовательности координатных функций, точно удовлетворяющие граничным условиям без каких-либо аппроксимаций, которые строятся методом Л- функций В-П.Рвачева.

Подставляя (3) в уравнение (2) и проведя обычную процедуру Бубнова-Галсркнна по пространственнын переменным, получим разрешающее уравнение в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, если рассмахриваль случай динамики

АС+ВС = Р (4)

с начальными условиями

а = Со; С| = СЬ. (5)

Ыо Ыо

А в случае стики разрешающее уравнение подучим в виде алгебраической системы уравнений:

,-ВС = Р. (б)

где

А= {Д&и^ДО }; .О

а<и э»и. о ах* ах'су ахВу*

ш оть гм> од

+ Аб--+ А|-+Ар—

0? ах» дхду ду*

Р={ЯС№аО); С-ЧСШ;'

О .

0,=А-'Ьо; Со=А-'Ц; здео,Ь= {ШоЦЮ}; и~ {ШоЦ<Ю}.

а о

Для решения системы -алгебраических уравнений (б) применяется метод Гаусса, а системы дифференциальных уравнений (4) с начальными условиями (5) • метод, основанный на применении квадратурных сумм, Или метод Нью марка.

Третья глава посвящена описанию комплекса программных средств, предназначенных для численного расчета на ЭВМ магнитоупругих пластан со сложной формой, разработанного на основе указанного выше алгоритма расчета.

В разделе 3.1 и 3.2 приводится структура и описание основных модулей программного комплекса, предназначенных для расчета магнитоупругих пластин со сложной формой, дополненная автором соответствующими подпрограммами для расчета магнитоупругих пластин со сложной формой.

Структура программного комплекса состоит из блоков, предназначенных для следующих процедур: вычисления значений базисных полиномов (степенных, тригонометрических, полинома Чебышева, сплошного и т.д.) и их производных n-го порядка; вычисления значений R-функций и их производных нужного порядка; генерации точек и соответствующих им весов для численного интегрирования методой Гаусса; вычисления значений систем координатных функций и их производных n-го порядка; формирования элементов разрешающих, уравнений; решения разрешающих уравнений (систем алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений); оформления результатов расчета.

Библиотека для вычисления значений R-функций и их производных нужного порядка дополнена соответствующими функциями и процедурами для нойых сложных областей, таких как круг с двумя и четырьмя круговыми вырезами и многоугольник (FIG, OBFIG, KRS02, 0BKRS02, KRS04, 0BKRS04). Библиотека для решения разрешающих уравнений дополнена процедурами реализации метода, основанного на применении квадратурных сумм, метода Нью и арка (SISDU, NUMARK). Библиотека формирования элементов разрешающих уравнений дополнена соответствующими функциями для формирования матриц масс, жесткости, правой частя, начальных условий (FAA, ABB, FFX, FNX, DFNX).

В четвертой главе дисоергтационко й работы приводятся результаты проведенного вычислительного эксперимента для исследования магнитоупругих пластин со сложной формой.

Первый раздел главы посвящен обоснованию достоверности численных результатов приближенного решения. Обоснование достоверности численных результатов имеет важное значение при применении метода Я-функций для решения задач расчета ыагнитоупругих пластин со сложной формой, так как этогг метод применяется впервые для решения указанных задач. Достоверность результатов проверяется путем их сравнения с точными решениями. Здесь рассмотрены задачи статики для иагтгсоупругих пластин, имеющих форму круга и квадрата с жестко защемленными и свободно опертыми краевыми условиями. В таблице приведено сравнение результатов приближенного решения задачи изгиба ОА'г) пластины него до и 11-фулкцнй с точный (Ш) в соответствующих точках' области (Х,Т). Видно, что полученные результаты расчета совпадают вплоть до четвертого знака. Исходя из этого, ыожио смело утверждать, что метод Я-функций вполне оправдывает себя и может быть приметен для решения более широкого класса задач ыагнитоупругих пластин со сложной формой.

Квадрат жесгзак. Квадрат шарнлак. Кит жест лак.

X,Y Wr Wt V/r Wt Wr Wt

0.0,0.0 0.9678 1.0 0.9974 1.0 1.0 1.0

0.2,0.0 0.8965 0.9216 0.9489 0.9511 0.9216 0.9216

0.4,0.0 0.6953 0.7096 0.8079 0.8090 0.7056 0.7056

0.6,0.0 0.4097 - 0.4096 0.5874 0.5878 0.4096 0.4096

0.8,0.0 0.1313 0.1296 0.3084 0.3090 0.1296 0.1296

Во втором разделе данной главы приведены расчет и исследование статики иагнитоупругих пластин со сложной формой. В качестве примера рассмотрены многоугольник и круг с двумя и четырьмя круговыми вырезами, изображенные на рис. 1-3. Исследована сходимость прогиба, относительно количества базисных функций и числа узлов Гаусса при вычислении интегралов: Рассмотрены случаи, когда • края пластины жестко и шарнирно закреплены. Приведен расчет прогиба и моментов по различным сечениям области.

На рис. 4, S приведены значения прогибов иагнитоупругой пластины формы круга с четырьмя вырезами (рис.3) с жестко закрепленными краями при различных количествах координатных функций N (N=(nk+l)(nk+2)/2, nk - степень полинома) (рис.4) и toch - гауссовых узлах (рис.5)..

1U

Y

il

Далее в третьем разделе приводятся результаты исследования действия магнитного поля в зависимости от значения и направления напряженности магнитного поля. Рассмотрены случаи, копи напряженность магнитного поля параллельна плоскости пластины. Из анализа полученных результатов расчета следует, что действие магнитного поля по направлениям параллельно осям ОХ и OY одинаковое. Если напряженность магнитного поля направлена по осям ОХ OY одновременно, то действие магнитного поля значительнее.

Последний раздел посвящен исследованию' динамики магнитоупругях пластин со сложной формой, там же приведены результаты в виде таблиц и графиков. На рис.6 приведено изменение Прогиба W(0, 0, t), когда область пластины имеет форму круга с четырьмя вырезами (рис. 3) и жестко защемлена по всему контуру при toch=20 и различных як.

Рав.б.

Осижше ними и результаты. Основные результаты

выполненной работы заключаются в следующем:

• на основе вариационного принципа Гам нльтона-Остроградского выведена математическая модель магшпоупругих пластин, представленная в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных при соответствующих граничных (зависящие от способа закрепления крае) и начальных условий;

- разработан вычислительный алгоритм расчета магшггоупругих пластан со сложной формой, здесь дискретизация по пространственным переменным осуществляется методом Бубнова-Галеркина и И-функций В Л.Рвачева , а решение разрешающих уравнений - методой , основанным на применении квадратурных сумы в случае динамики и Гаусса - в случае статики;

- созданы программные средства, дополняющие существующий программный комплекс с соответствующими модулями (предназначенные для формирования подынтегральных функции, вычисления значений 11-функций и их производных для новых сложных областей, решения разрешающих уравнений и т.д.;, оформленные в виде Паскаль-процедур и функцнй), позволяющие автоматизировать решение магнитоупругих пластин со сложной формой;

- показана достоверность приближенных решений путей их сравнения с точными решениями, при классической форме пластины, а в случае сложной конфигурации - изучением численной сходимости приближенного решения как относительно количества координатных функций, так и узлов Гаусса при' вычислении значений двукратных интехралов;

исследовано напряженно-деформированное состояние 0 иагннтоупругих пластин со сложной формой при заданной напряженности при различных краевых условиях (жестко и шарнирно закрепленный край) как в статической , так и в динамической постановках, и выявлено, что действие магнитного поля по- направлениям параллельно осям ОХ и ОУ одинаковое (область пластины симметричная), а если действие магнитного поля направлено по осям ОХ и ОУ одновременно, то действие магнитного поля значительнее.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах:

Шазиров Ш.А., Нуралиев Ф.М. Алгоритмизация расчета магнитоупругих пластин со сложной формой II Сборник тезисов докладов. Республиканская научная конференция "Современные проблемы алгоритмизации". - Т., 1996. - С. 82. 2.Назиров Ш.А., Нуралиев Ф.М. Исследование напряженно-деформированного состояния проводящих пластин сложной формы II Тезисы докладов республиканской научной конференции по механике, посвященной 90-летию академика М.Т.Уразбаева,- Т., 1996. - С. 222.

3. Назкров Ш.А., Нуралиез Ф.М. Вычислительный алгоритм расчета задач колебания пластин из идеального проводника в магннтном поле // Вопр. вычисл. и прикл. математики.-Т., 1996. - Вып. 102. - С. 93-99.

4. Назкров Ш.А., Нуралиез Ф.М., Рахмонов М.М. Численное моделирование териоупругнх и магннтоупругих пластин со сложной конфигурацией И Материалы II республиканской научной конференции "Моделирование сложных механических систем", -Т., 1996. - С. 29.

5. Нуралиез Ф.М. Моделирование магнитоупругих пластин со сложной формой И Тезисы докладов республиканской научной конференции "Математическое моделирование и вычнсшггельный эксперимент".-!., 1997.-С. 31.

6. Нуралиез Ф.М. Численное моделирование проводящих пластин сложной формы в заданном магнитном поле //Вопр. вычисл. и прикл. математики. -Т., 1997. • Вып. 103. -С. 122-127.

7. Назироз ША., Нуралиез Ф.М,, Аиакоз О.Т, Структура програминого хошвюсса решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частный» производными I/ Узб. журнал "Проблемы информатики н энергетики". - Т., 1998. • N6. - С. 40-43.

8. Назироз ША., Юлдашез Т., Нуралиез Ф.М., Магнит-эласпж пласгагасаки математик модели II Вопр. вычисл. и прикл. математики. -Т., 1998. - Вып. 10S. - С. 15-26.

9. Назироз Ш.А., Юлдашез Т., Нуралиез Ф.М., Вывод математической модели н описание вычислительного алгоритма расчета магнитоупругих пластин со сложной формой // Материалы республиканской научной конференции "Современные проблемы распространения волн в многофазных соединениях жидкостей н сплошных средах". - 4.2. - Т., 1999. - С. 579-582. .. .. .

¡0. Нуралиез Ф.М. Алгоритм решения зггкгсрно-иатркчных уравнений, описывающих движение наппггоупругнх пластин // Узб. журнал "Проблемы кнфориатикн н энергетики." - Т., 1999. - N3. - С. 41-44.

Мураккаб шаклли магнит-эластик пластанкаларни дефоршцияланшп жараёнини математик моделлаштириш.

Ушбу диссертацияда ыураккаб шакщш магнит-эласггас пласгинкаларни математик иоделлаштнришга багишлантан.

Гамильтон—Острогр адский варнацион тамойили асосида чизикли эластиклик назарияси ва электродинамика ^онунларини хисобга олган ^олда магнит— эластик пласгинкаларни. математик модели яратЕлгав. В-Л-РвачёвнЕш1 R—фушсциялдр назарияси ва Бубнов — Галёркии вар наци он у су ли биргаликда ишлатилган ^олда муракхаб шаклли магнит—эластик иластивкаларяи хисоблаш алгоритан ва ушбу алгоритм асосида дастурий воситалар яратилган.

Классик (квадрат, айлана) шаклли " магнит—эластик пластишсалар учун олннган натижалар аник ечимлар билан солипггариш ор^али асослаяган. Хисоблаш экспериментида магнат—эластик пластиикалар сифатида чегарада ^аттик ва эркин маххамлангая купбурчак, туртта ва икхвта айлана кесимга эга дойра шаклли пластиикалар курилхан. Магнит майдоннинг таъсирн урганилтан. Статик ва динамик масалалар ида муракхаб шаклли магнит—эластик пласгинкаларни. деформадиялаяиш полати курилган.

Mathematical modeling of processes of deforming magnetoelastk: plates of complex form.

This work is devoted to the right mathematical modelling of behavior of magnetoelastic plates of complex form.

Mathematical modeling of magnetoelastic plates is created on the base of variation principle of Gamilton-Ostrogradski and the linear theory of elasticity and elertrodinamics.

The calculating algorithm and programming means for the magnetoelastic plates of complex form are worked out by the joint using of R-functions theory ofV.L.Rvachov and variation method of Bubnov-Galerkin. The truth of achieved results is shown. Numerical researches of magnetoelastic plates of complex form (polygon, circle with two and four circle recesses) are looked trough like calculating experiment. Deforming state of statics and dynamics of hard and joint-fixed plates of complex form are researched.

■б