автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса развития лесонасаждений

□03052 Ю9

На правах рукописи

%

ДМИТРИЕВА Ольга Николаевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗВИТИЯ ЛЕСОНАСАЖДЕНИЙ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003052109

Работа выполнена на кафедре компьютерной безопасности и математических методов управления Тверского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Андреева Елена Аркадьевна

- доктор физико-математических наук, профессор Дикуссар Василий Васильевич

- доктор физико-математических наук, профессор Язенин Александр Васильевич

Ведущая организация:

Институт системного анализа РАН.

Защита состоится " 22 "MOpTcl 2007 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 002.017.04 в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д.40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Н.М. Новикова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность темы. В настоящее время задачи экологии имеют актуальное значение. Одной из наиболее остро стоящих экологических проблем является проблема сохранения восстанавливаемых природных ресурсов. К таким ресурсам относится лес. Выработка оптимальных решений по поддержанию лесных массивов в требуемом состоянии возможна лишь при использовании математических моделей. Математические модели динамики развития лесных ресурсов описаны в ряде работ российских и зарубежных авторов. Однако ощутимой является нехватка моделей управления процессом развития лесонасаждений с целью его сохранения на заданном уровне. Поэтому разработка таких моделей является актуальным аспектом.

При построении математических моделей развития лесонасаждений возникает задача учёта случайных влияний на параметры модели, связанных с воздействием множества непрогнозируемых природных факторов, их моделирования и численного решения ¿тохастических дифференциальных уравнений при достаточно высоких требованиях по точности. В диссертационной работе обосновываются математические модели как детерминированные, так и стохастические, описывающие процесс развития лесонасаждений; для проведения численных экспериментов разработаны алгоритмы численной реализации рассматриваемых моделей, на основании которых создан комплекс программ в среде программирования Borland Delphi 6. Отмеченные особенности обуславливают как актуальность, так и новизну исследования. Цель работы:

1. Разработка многомерной детерминированной модели, описывающей динамику развития лесонасаждений, построение стохастической модели: дискретной и непрерывной.

2. Обработка статистических данных и разработка метода, на основании которого можно получить значения параметров для моделей, характеризующих динамику развития лесонасаждений для Тверской и Архангельской областей.

3. Разработка численной схемы решения задачи оптимального управления лесными ресурсами и численных методов решения стохастического дифференциального уравнения с возмущёнными параметрами, описывающего процесс развития лесонасаждений.

4. Исследование зависимости решения задачи оптимального управления от параметров детерминированной модели.

5. Проведение анализа влияния возмущённых параметров системы на её поведение.

Научная новизна. В диссертационной работе в отличие от известных работ рассматривается общая п -мерная управляемая модель процесса развития лесонасаждений, для которой, исходя из принципа максимума Понтрягина, выписаны необходимые условия оптимальности. Для моделирования решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего процесс развития лесонасаждений, впервые применён метод унифицированного разложения в ряд Тейлора-Ито, предложенный Кузнецовым Д.Ф.', получены критические значения параметров, влияющих на устойчивость положения равновесия системы для Тверской и Архангельской областей.

Практическая ценность. Построенные алгоритмы позволяют проводить исследования как неуправляемых детерминированных и стохастических моделей с возмущёнными параметрами, так и управляемых моделей, описывающих процесс развития лесонасаждений. Они могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с процессом развития и использования лесных массивов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения были представлены на международных конференциях "Современные методы теории функций и смежные проблемы", "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (г. Воронеж, 2005 г.), на научных семинарах кафедры компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2004-2006 гг.) и ВЦ РАН (2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в восьми печатных работах (2004-2006 гг.), в том числе одна из списка изданий, рекомендованных ВАК, перечень которых приведён в конце автореферата.

Личный вклад автора. Научному руководителю принадлежат постановки задач. Автору принадлежат построение вычислительных алгоритмов для решения поставленных задач, комплекс программ и анализ полученных результатов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста, содержащих 14 параграфов, заключения, списка использованной литературы, включающего 83 наименования, и изложена на 100 страницах. В тексте диссертации имеется 43 рисунка, отражающих результаты численного моделирования.

1 Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференцнальных уравнений и стохастических интегралов С.Петербург: Наука, 1999,459с.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении дан обзор основных моделей, описывающих процесс развития лесонасаждений, указаны их достоинства и недостатки. Приводится список рассматриваемых в работе моделей. Перечисляются основные цели исследования.

В первой главе приводятся некоторые сведения из теории устойчивости динамических систем. Даётся постановка и-мерной модели и её обоснование, описание и анализ непрерывной и дискретной неуправляемых моделей, описывающих динамику развития лесонасаждений. Для дискретной модели описывается физический смысл её коэффициентов и предлагается методика для их вычисления.

Рассматривается непрерывная модель развития лесного массива, которая описывается системой дифференциальных уравнений. Деревья, принадлежащие разным возрастным группам, отличаются высотой, диаметром ствола, развитостью корневой системы, потребностью в свете и доступностью к нему. В связи с этим целесообразным является выделение п возрастных групп деревьев.

Модель динамики развития лесного массива построена исходя из предположений:

• Лесной массив развивается на замкнутой однородной территории, имеющей одинаковые климатические и географические условия.

• Деревья, принадлежащие к разным возрастным Труппам, равномерно распределены по занимаемой территории.

• Рассматривается однородный, либо смешанный лес без явного преобладания какого-либо вида, что обеспечивает отсутствие внутривидовой конкуренции.

• Количество деревьев в каждой возрастной группе зависит только от времени (точеная модель, не учитывает пространственное распространение деревьев по занимаемой территории).

• Появление молодых деревьев обусловлено количеством деревьев старшего возраста, способных плодоносить.

• По мере взросления деревья из одной возрастной группы переходят в более старшую возрастную группу.

» Смертность деревьев младшего возраста зависит не только от своего текущего состояния, но и от количества деревьев более старшего возраста.

Обозначим за количество деревьев в / -м возрастном классе в момент

времени ?, где ; = 1 .. п , п - количество классов разбиения,

dx

—J- = p{9)~ ri(Vi)*i - /1*1, at

-i - - ft*,, ... dt ' (1)

dx

J"1 = fn-2Xn-2 - 7n-l(Vn-l)*n-l - /„-I**-!,

dx

j " ~ f»-\ xn-\ h* „ ^

где *,-(/)- количество деревьев в i -й возрастной группе в момент времени /, / = 1 .. п , п - количество классов разбиения; р{0) - функция, характеризующая скорость появления молодых деревьев (деревьев первой возрастной группы); параметр в-к1х1 + ... + кпхп отражает способность деревьев плодоносить, где постоянные kj, j = l,n показывают степень влияния деревьев j -й группы на появление молодых деревьев; y/j) - функция, характеризующая интенсивность гибели деревьев г-го возрастного класса; параметр (С, = +... + + г„'х„

отражает влияние деревьев на гибель деревьев младших классов, где rj >0, j >i -постоянные коэффициенты, которые показывают вклад деревьев j-го возрастного класса на смертность деревьев i -го класса; f, = const > 0 - интенсивность перехода деревьев i -й группы в (i + 1)-ю, /' = ],«-1.

Рассмотрим ситуацию, когда и = 3 . Будем исходить из предположений, что деревья старшего возраста затрудняют развитие только подроста (деревьев 1-го возрастного класса), т.е. Yi(¥i) встречается только в первом уравнении. Обозначив за х = х1, у — х2; z = х,, получим трёхвозрастную модель, описываемую

следующей системой дифференциальных уравнений:

х = р z-y{z)x- fx,

y = fx-{q + d)y, (2)

z = qy- hz,

где p - коэффициент рождения молодых деревьев; y(z) - функция гибели подроста, то есть интенсивность его гибели под воздействием старшей возрастной группы и в результате естественной гибели подростэ^ 5 " - коэффициенты гибели деревьев второй и третьей возрастных групп.

Для построенной системы проводится анализ в предположении, что функция гибели подроста является функцией четвёртой степени y(z) = azA + Ь, где коэффициент Ъ характеризует смертность молодых деревьев в отсутствии деревьев

старшего возраста, а коэффициент а - степень влияния деревьев верхнего яруса на смертность молодняка.

Система, описываемая рассматриваемой нелинейной динамической системой, будет иметь только одну точку равновесия:

Из этого следует, что динамическая система, описывающая процесс развития лесонасаждений, будет существовать только при выполнении условий:

В главе представлены характерные режимы нелинейной динамической системы, определён тип точек равновесия, проведён анализ допустимых значений параметров, в частности найдено двумерное допустимое множество изменения параметров рис?.

На основании статистических данных, предоставленных федеральным агентством лесного хозяйства "Рослесиенфорг", найдены значения параметров для трёхмерной модели, описывающей процесс развития лесонасаждений Тверской и Архангельской областей, для которых построены фазовые портреты.

Вторая глава посвящена построению и исследованию стохастической модели. На основании непрерывной модели (2), предполагая, что случайную составляющую имеют два коэффициента: коэффициент рождения р и коэффициент смертности деревьев второй возрастной группы с/, - строится стохастическая модель, описывающая процесс развития лесонасаждений. В данной главе решается задача создания численной схемы для построения решения системы стохастических дифференциальных уравнений, описывающих процесс развития лесонасаждений.

Детерминированная непрерывная модель (2), описывающая процесс развития лесонасаждений, позволяет заранее рассчитывать изменение состояния изучаемой системы на интересующем временном отрезке, путём решения задачи Коши. Во-первых, коэффициенты этой системы вычисляются путём обработки статистических данных и за их значение выбираются средние величины. Во-вторых, коэффициенты системы зависят от множества непрогнозируемых факто-

(3)

ров. Всё вышесказанное даёт основание сделать предположение о том, что коэффициенты системы (2) можно рассматривать как случайные процессы, математические ожидания которых известны.

Предположим, что случайную составляющую в модели (2) имеют два коэффициента: коэффициент рождения Р и коэффициент гибели деревьев среднего возраста (Л:

где р',с!' - математические ожидания коэффициентов р и с1, полагаем их постоянными; £,(/,£>), £2(/,<1>) - случайные белошумные процессы; <т,,<т2 - постоянные, характеризующие степень влияния случайного возмущения на значение коэффициентов р и <1.

В этом случае математическая модель примет следующий вид: = р'г - (аг4 + Ь)х - ]х + сг, со)

л

м

& г,

— ~ЧУ~ яг, Л '

х(0, со) = Х0 {со), у(О, со) = У0 (со), г(0, со) = г0 (со), (5)

где Х0(со), У0(а), 20((») - заданные случайные величины, закон распределения которых известен.

В общем виде систему (4)-(5) можно записать

с!Х(1,а)) = А(Х,1)Ж + В(Х,1)4/(1,со), (6)

Х(0,со) = Х0(со), (7)

где х[0,Г]-> /?3; В:Я3 х [0,7"]-» Л3х2; - двумерный векторный ви-

неровской случайный процесс с независимыми компонентами.

Вектор состояния системы уже не является детерминированным, он представляет собой векторный случайный процесс (х((,а)),у(1,а}),г((,со)), / е [0,7'].

Стохастическая модель состояния (6)-(7) представляет собой задачу Коши для стохастических дифференциальных уравнений.

В работе для численного моделирования решения построенного стохастического дифференциального уравнения применён метод, предложенный Д.Ф.Кузнецовым, который основан на разложении решения стохастического дифференциального уравнения в ряд Тейлора-Ито.

Построено унифицированное разложение Тейлора-Ито до малых порядка

О^-/)^). Для построения численной схемы выбрана равномерная дискретная

сетка {гу}"=0) которая построена для отрезка [О,Г], такая что -7'Д; ти = Л'Д = Г. На этой сетке получены следующие выражения для реализации численного метода:

хм = хк + а(р 2 к ~ (Фк У + ь + /К )+

+ у IФкУ +Ъ + /]хк-Р2к[а{2к)4 + Ъ + /]+ [дук - 1ик][р-4ахк(гк)3])+ + сг, <"> - Да, 2к (а{гк )4 + Ь + -

+ а, ( гк (а(гк )4 + Ъ + /)+ дук - Игк )■

7?"

М

(В)

Уш = Л + - (9 + ) +

+ ^{pfЧ- (Фк )4 + Ь + /К - (9 + - (9 + ])+ {

+ /

з/

-СГ,

1 ^ "

1

(I)

з/

-О", I

Д/2

2 лк '

ст + —г'2»

Л

+ д(<т, / г, л/д?<" + (Т2 + О) ук >)- а2Л - Д<х22 О? + <0 Л | -1]-

Л Л йш -з т+з]

(9)

-°1ЧУк где

+ &{<1Ук ~ Ьгк) + — (/дхк - (д + с1)дук - И[дук - Ьк]}-

3-'

Д'2

Л +

+ Аагдук

4И

(10)

-\\-а1а1дук121(тк^гк),

±г(2) (1) (2) (I)__£_<1)г(2) ,

3?0 Л +^2 ?0 <Г0 +

__I__<.2> (.и , 1 (-у(О-а) +

7з?1 715'' 5721' ' 'V1 *

__!_г(2)г(0 | 1 (г-(|).--(2) | 1 -(2)„(О

{41),«"о2)'?11)'«'112)'?2)'5'22>'?з1>'«'з2)'«'41)'?42>} " система независимых гауссов-ских случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, которая генерируется на шаге интегрирования с номером к и является независимой с аналогичными системами случайных величин, которые генери-

руются на всех предшествующих шагах интегрирования по отношению к шагу интегрирования с номером к.

Смоделируем решение системы (6)-(7) с помощью соотношений (8)-(10) на временном интервале 20 лет с шагом Д = 0,01. Решим задачу при следующих исходных данных: р = 0,267; а = 6,5 • 10~14; Ь = 0,295; / = 0,24; <? = 0,092; й = 0,09; к = 0,051; Х0 =500; У0 =600; =1000. В результате численного моделирования процесса х{^,а),у{1,(а),г{^,а>), при значениях (ст1,ст2) = {(0,0); (0.001;0.001); (0.0020.002); (0.003;0.003); (0.004;0.004); (0.005,0.005); (0.006;0.006)} получены значения максимальных отклонений траекторий системы с возмущёнными параметрами от траекторий детерминированной системы. Эти значения приведены в табл. 1, графическая иллюстрация результатов представлена на рис.1-3.

Табл. 1. Максимальное отклонение траекторий системы с возмущёнными параметрами от траекторий детерминированной систе-_мы в зависимости от величины параметров т и аг_

Значение ст1 Значение о2 Отклонение X, % Отклонение У, % Отклонение Ъ, %

0 0 0 0 0

0,001 0,001 0,48 0,40 0,06

0,002 0,002 0,84 0,48 0,10

0,003 0,003 1,38 1,46 0,40

0,004 0,004 2,07 0,78 0,08

0,005 0,005 2,16 2,40 0,49

0,006 0,006 2,38 2,89 0,83

Рис.1. Зависимость максимального от- Рис.2. Зависимость максимального откло-клонения X от величины параметра сг1=о2 нения У от величины параметра ст1=ст2

Отклонение 7.,

Рис.3. Зависимость максимального отклонения Z от величины параметра с1=а2

0 №2 его} 0 £01 0£05

Наблюдается прямая зависимость максимального отклонения фазовых траекторий системы с возмущенными коэффициентами от фазовых траекторий детерминированной системы от величины параметров ахиа2-

Если принять отклонение траекторий возмущённой системы от траекторий детерминированной системы на 2% допустимым, то можно считать, что возмущения коэффициентов с параметрами сг1=а1< 0,003 не являются существенными и

для описания системы можно использовать детерминированную модель. При сг, = <т2 > 0,003 для описания процесса развития лесонасаждений необходимо использовать стохастическую модель.

Смоделируем решение системы (6)-(7) при сг, = <т ф 0; сг2 = 0 на временном интервале 20 лет с шагом Д = 0,01 при параметрах, характеризующих динамику развития лесонасаждений для Тверской и Архангельской областей. На рис.4-6. изображены фазовые траектории системы на фазовых плоскостях (х(7),у(1)) и при а = 0;2-Ю"6;4-Ю"6 для Архангельской области, а на

рис.7-9. - фазовые траектории для Тверской области при сг = 0;2-10 7;5-10 7. Делаем вывод, что для Архангельской области при величине параметра <т<4-10~6 положение равновесия остаётся устойчивым. Тогда как для Тверской

области критическое значение параметра СГК

= 5 • 1 (Г7.

что на порядок меньше

критического значения этого же параметра для Архангельской области, то есть положение равновесия лесонасаждений Архангельской области является более устойчивым к возмущениям коэффициента рождения динамической системы.

Архангельская область_

Рис. 4. Фазовый портрет системы при а=0

3609,5 ЗБ10 3610.5 3611

Рис. 5. Фазовый портрет системы при а=0,000002

3609.5 3610 3610,5 3611 3611,5

Рис. 6. Фазовый портрет системы при ст=0,000004

3609,5 3610 3610,5 3611 3611,5

рис. 7. Фазовый портрет системы при а=0

рис. 8. Фазовый портрет системы при ст=0,0000002

рис. 9. Фазовый портрет системы при ет=0,0000005

В третьей главе на основании общей непрерывной модели (1) строится управляемая модель. В качестве управления выступает скорость вырубки леса в единицу времени, а целью управления является максимизация прибыли лесозаготовительного предприятия, при условии сохранении лесного массива на заданном уровне.

Управляемая модель строится исходя из следующих предположений:

• Управлением в модели является скорость вырубки леса.

• Вырубается лес, являющийся деловой древесиной, т.е. молодые деревья остаются нетронутыми.

• Вырубка ведётся выборочная (предполагается отсутствие сплошных рубок) для того, чтобы не нарушить предположение управляемой модели о равномерности распределения деревьев разных возрастов по занимаемой территории.

Рассматривается динамика развития лесонасаждений на заданном временном интервале [0,г]. При этих условиях управляемая модель динамики развития лесонасаждений описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

Тверская область

568.7145 568.716 568.7175 626,6 627.1 627,6 628.1

(П)

>

с краевыми условиями

х,ф) = Х1 Х)(Т)>Х,г, 1 = 1, и,

(12)

где функции управления «¡(<) - характеризуют скорость вырубки деревьев 1-го класса в единицу времени и удовлетворяет ограничениям

где a¡ - заданное максимальное значение вырубки деревьев ;'-го класса, зависящее от используемых технологий; р - номер возрастного класса, начиная с которого вырубленный лес является деловой древесиной и вырубается человеком.

Целью управления является максимизация функционала J(u), который выражает прибыль лесозаготовительного предприятия, полученную от продаж вырубленного леса за данный интервал времени и отражает стоимость леса в конечный момент времени:

где рДдгД /'= р,п - невозрастающая функция стоимости продаваемого леса; С;(Л)> I = р~п - функция стоимости технологии добычи леса; ¡ = р,п -стоимость деревьев ¿-го возраста, оставшегося на конечный момент времени Т . Невозрастающий характер функций стоимости леса вызван особенностью рынка деревообрабатывающей промышленности и является следствием экономических законов функционирования производства.

Переформулируем поставленную задачу. Выполнение краевых условий х, (Т) > Х[ обеспечим введением дополнительного критерия

«,(0 = 0, ¿ = 1,/>-1, ге[0,Г],

а) Ойи,(0<а„ / = лп, /е[0,Г],

б) 0 <£и,(г)<а, / е [0,7"],

(13)

(14)

п

штраф

(15)

Объединив оба критерия качества в один, переформулируем поставленную задачу. Задача оптимального управления состоит в минимизации функционала

m = -^í\pM-c,{xt)]u, max(0,X,r -х,(Г)))2 -> rain (i6)

при ограничениях (11)-(13). Поставленная задача решается в предположении постоянных цен на лес и постоянной стоимости технологий р, (х,) = р,, с (х: ) = с,.

Строится функция Понтрягина и функция переключения для задачи (11)-(13), (16), а)

(п 1 \<=/> У

/1—1

л(0.

Используя принцип максимума Понтрягина, формулируется теорема о необходимых условиях оптимальности в задаче (11)-(13), (16), а).

Теорема 1. Пусть (*,,",), / = 1,л - локально-оптимальный процесс задачи (11)-(13), (16), а), тогда оптимальное управление определяется условием

М0<0,

а*. <рЛ')>о , k = \,п,

где сопряжённые функции ^ = Гп являются решением системы дифференциальных уравнений

Л, (0 = />■(')

дхт

+ 1Л (О

1=2

рл(0 = р,(0

дх„

/=2 &с„

с граничными условиями

Ри(Т) = -2Мк шах(0, Х4Г - хк(Т)), к--=-\п. Для ситуации, когда п - 3, построена аналогичная управляемая модель и для неё выписаны необходимые условия оптимальности для двух видов ограничений на управление а) и б).

На рис. 10-16 показана зависимость решения задачи оптимального управления от параметра а {у(г) = яг4 +Ь - функция гибели молодых деревьев), порождающего нелинейность в модели динамики лесонасаждений. При увеличении параметра а от 4 -10"14 до 5,5-10"14 значение функции гибели увеличивается на 4,5% в начальный момент времени и на 20,03% в течении времени наблюдения, что приводит к уменьшению количества молодых деревьев, деревьев среднего и старшего возрастов. Следствием является сокращение сроков вырубки в каждой возрастной группе и уменьшение значения функционала ./ на 6,99%.

Рис.10

Рис.12

Рис.13

о № ■£> (5> «р «Уф?^ #

Рис.15

\ 1

в__ —-—.

О ■$> г?

Рис.14

и? 1 1

...............................1....................

Рис.16

40 « 60

Построим множество Парето для данной задачи. Если штрафной коэффициент равен нулю, тогда х(Т) = 649. Множество Парето построено для краевого ограничения х(7")>655. обозначает значение функционала (14), взятого с противоположным знаком, а величина штрафа обозначает значение функционала (15), который для выбранного набора параметров является активным. Видно, что два критерия качества соперничают: улучшение одного приводит к ухудшению другого.

м .1тш Штраф

200 -15661,7 0,249492

250 -15661,67 0,260525

300 -15661,59 0,223836

350 -15661,48 0,15916

400 -15661,54 0,217476

500 -15661,42 0,147735

700 -15661,62 0,331153

800 -15661,78 0,477192

900 -15661,39 0,155262

1000 -15661,43 0,19461

Множество Парето

-15661,80 -15661,70 -15661,60 -15661.50 -15661.40 -15661,30

О [Тип

Из практических соображений целесообразно получить решение поставленной задачи оптимального управления в условиях постоянного управления и сравнить полученные результаты. Задача решалась при ограничении на управление и, < а, = 6,7, и2<а2= 6; построенное оптимальное управление в классе постоянных функций принимает значение Щсот =3, и2сдп5, =5,9. Сравнение решений задачи поиска оптимального управления в классе кусочно-непрерыных функций и в классе постоянных функций приводится на рис. 17-21. При этом значение функционала при оптимальном управлении равно 15701,588, а при постоянном управлении - 15138,800, что даёт выигрыш оптимальному решению 3,58 %.

ББ0 * РИС.17

Хор!

X (исопя)

Рис.18

Рис.19

Рис.20

Рис.21

ш

"III.!..II ■

20 -Шор! ■

40 I 60 — икоп^

« 1 6 "г— иЗзш!

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

• Разработана общая модель, описывающая неуправляемый и управляемый процессы развития лесного массива. В управляемой модели управление осуществляется по критерию максимизации прибыли от продаж вырубленного леса, а также учитывает состояние лесного массива в конечный момент времени. Для поставленной задачи оптимального управления выписаны необходимые условия.

• На основании предоставленной информации произведена обработка статистических данных и получены значения параметров для модели, описывающей процесс развития лесонасаждений Тверской и Архангельской областей.

• Для стохастической модели построен алгоритм до малых порядка 0((ж — г) для моделирования решения системы стохастических дифференциальных уравнений с возмущёнными параметрами, описывающих процесс развития лесонасаждений, обоснована сходимость применённого метода к решению. Исследовано влияние возмущённых параметров динамической системы на её поведение. Найдено критическое значение для параметров ст, = сг2 < акр = 0,003, при которых для

описания системы допустимо использовать детерминированную модель.

• Разработана численная схема для построения решения задачи оптимального управления, на основании которой выявлено влияние параметров модели (параметры функции гибели молодых деревьев и стоимости продаваемого леса) на решение задачи оптимального управления. Проведено сравнение решений задачи поиска оптимального управления в классе кусочно-непрерывных функций и в классе постоянных функций.

Таким образом, поставленные цели работы решены.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Андреева Е.А., Гольянова (Дмитриева) О.Н. Двойственный метод в задачах оптимального управления / Тверь, 2004. 46с.

2. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Задача об оптимальном использовании и восстановлении лесонасаждений // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 77.

3. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Оптимальное управление в модели использования лесонасаждений // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. научн. тр. Тверь: ТвГУ, 2005. С. 172-178.

4. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Стохастическая модель, описывающая процесс развития лесонасаждений // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы конференции. -Воронеж: Воронежская гос. академия, 2005. С. 70.

5. Гольянова О.Н. Управляемая модель развития лесонасаждений Тверской и Архангельской областей // Вестник ОГУ, 2006, №4. С. 138-142.

6. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Оптимальное использование лесных ресурсов II Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып.8. Архангельск: Поморский государственный университет, 2006. С. 28-38.

7. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Моделирование решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику развития лесного массива II Естественные и технические науки. 2006. №1(21). С. 224-230.

8. Дмитриева О.Н. Стохастическая модель динамики развития лесонасаждений // Сборник научных трудов "Многоуровневая система подготовки специалистов на основе информационных и коммуникационных технологий образования" Тверь: ТвГУ, 2006. С. 41 - 49.

-

Дмитриева Ольга Николаевна

Математическое моделирование процесса развития лесонасаждений

Подписано в печать 30.01.2007

Формат бумаги 60x84 1/16 Уч.-изд.л. 0,7. Усл.-печ. л. 0,5 Тираж 100 экз. Заказ 5

Отпечатано на ротапринтах в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына Российской академии наук 119991, Москва, ул. Вавилова, 40

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 Математическое моделирование процесса развишя лесонасаждений

§1. Устойчивость динамических chcicm.

§2. Непрерывная модель динамики развития лесонасаждений.

§3. Дискретная модель с возмущёнными коэффициентами.

§4. Анализ динамической сис!емы, описывающей процесс развития лесонасаждений.

§5. Схема обработки стшсгических данных по Тверской и

Архангельской областям.

§6. Характеристики динамической системы для Тверской и

Архангельской областей.

ГЛАВА 2. Численное моделирование стохастического дифференциального уравнения характеризующего динамику развития лесонасаждений

§1. Общий вид непрерывных моделей стохастической динамики.

§2 Сильная сходимость унифицированного разложения

Тейлора-Ито.

§3. Модель с возмущённым коэффициентом роста.

§4. Модель с двумя возмущёнными коэффициентами.

ГЛАВА 3. Оптимальное управление в модели использования лесонасаждений.

§1. Управляемая модель динамики развития лесонасаждений.

§2. Особое опшмальное управление.

§3. Численная реализация решения задачи оптимального управления.

§4. Анализ влияния параметров на решение задачи оптимального управления.

Современная наука неотделима от математическою моделирования, сущность которого состоит в замене исходного объекта его "образом" -математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод конструирования сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью даёт возможность безболезненно, огносигельно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях. В то же время вычислительные (компьютерные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достгочной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который оюбражает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования

В настоящее время математическое моделирование вступает в важный этап своего развития, "встраиваясь" в структуры гак называемого информационного общества. Прогресс средств переработки, передачи и хранения информации способствует усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными "ресурсами" нельзя и думать о решении проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако "информация", как таковая, мало что даёт для анализа и прогноза, для принятия решения и контроля за их исполнением. Нужны надёжные способы переработки информационного "сырья" в готовый "продукт", т.е. в точное знание.

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, не всегда поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами Прямой натурный эксперимент над ними долг, дорог, часто либо опасен, либо просто невозможен, так как мпо1ие из этих систем существуют в "единственном экземпляре". Цена ошибок и просчётов в обращении с ними недопустимо высока.

Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта. Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа, предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.

В настоящее время задачи экологии приобретают первостепенное значение. Одним из важных этапов решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.

Одной из наиболее остро стоящих экологических проблем, в последние десятилетия является проблема сохранения восстанавливаемых и природных ресурсов. К таким ресурсам относится лес.

Модели динамики одновозрастного древостоя можно классифицировав на модели с пространственным усреднением и без него Первые модели динамики численности одновозрастных насаждений не учитывали размеров деревьев [1,2,3] и представлялись в виде. - d{t)N{t), at где N(t) - плотность древесной популяции в возрасте t, d(t) - функция смертности В качестве функций смертности d{t) брались, к примеру, следующие функции [1,3]: d{t) = d{t0)e м"\ d(t) = l, где A,q - константы самоизреживания древостоя, те константы, характеризующие естественное оширание части древостоя Терсковым И А получено уравнение роста продуктивности одновозрастных древостоев при светолимитированном росте (росте, который напрямую зависит от наличия света) в виде ступенчатой параболической зависимости количества деревьев от возраста насаждений [3]. Рост продуктивности древосюя рассматривался по периодам его развития.

По мере усложнения моделей древесных популяций С1али учитываться конкурентные связи. Возникла необходимость рассматривать наряду с плотностью древостоя пространственные параметры особей. Поэтому следующим этапом в развитии моделирования лесных насаждений стало введение размерных характеристик деревьев.

В своей работе Землис НИ. и Швирт Д.И. [4] предполагали, что через отношение суммы боковых поверхностей стволов на единицу площади G к некоторому максимально возможному в данных условиях её значению K(i можно выразить лимитирование роста древостоя и интенсивность отпада деревьев Если D - среднее арифметическое диаметра на высоте Oltf, где Н - средняя взвешенная относительно диаметров высота, N - плотность древостоя, то сумму боковых поверхностей можно вырази ib функцией:

G = J Н D N. (1)

Динамика древостоя, с учётом (1), описывается системой дифференциальных уравнений"

D = ruD"{\-ax~a,D), G

Н=гиН"(\-а^-а,Н), (2)

N = -as — N,

К< здесь, rD,ill,a,fi,al =const>0, / = 1,5.

В работе Лекиса B.C., Крючюса А.А. [5] приводится схема взаимодействия продукжвности взаимодействия одновозрастных древостоев, и соответствующая этой схеме дискретная модель, связывающая средние показатели древостоя с показателями прироста.

Для описания хода роста насаждений по высоте, диаметру, биомассе ряд авторов [6] использовали уравнение Берталанфи, согласно которому скорости построения (анаболизма) и разрушения (катаболизма) организма описывается степенными функциями от биомассы этого организма. На основании уравнения Берталанфи сiроилась модель популяции с учетом конкурентных связей:

N =

1-WV л ^Jmax /

N,

3) т = а • A(R) ■ та - cm Здесь W,V - плогнос1но независимый и плотностно зависимый компоненты выживаемости, A{R) величина, характеризующая конкурентную свя?ь за ресурс, причём R является функцией от листовой и/или корневой поверхности популяции; m(t) - биомасса организма в момеш времени а,а,с = const > 0.

Одним из основных объектов анализа динамики древостоя является зависимость фотосинтеза от интенсивности радиации [7,8,9]. В модели Бугровского В.В с соавюрами [10] используется предположение о том, чю дерево растёт за счёт избьпка продукжвности фотосинтеза над расходом органического вещества, которое фаштся на поддержание жизни. Этот избыток делится между листьями, стволами, корнями, определяя годовой прирост. Необходимость учёта самозатемнения полога приводит к разбиению его на слои.

Процесс, имитирующий формирование структуры древесного яруса в условиях конкуренции за свет, был предложен в модели Санковского А.Г., Татринова Ф.А. [11]. Прирост каждою дерева в модели зависи1 oi диаметра дерева ГУ, возраста t и светового довольствия : где /(0 зависит от породы дерева и условий роста; Q,Qa - суммарная радиация, поглощённая растением за единицу времени в условиях затенения и на открытой местности соответственно. Высота дерева определяется выражением:

Крона дерева аппроксимируется цилиндром с посюянным соотношением длины и радиуса Её протяжённость определяется приростом в высоту и отмиранием нижней части при недостатке ФАР (фотосинтетически активная радиация). Отмирание дерева происходит в результате уменьшения относительной скорости роста до критического значения.

Н\ =тыц)

Существует небольшое число моделей оптимального онтогенеза [12,13,14], целью которых является получение кривой плодоношения от качества местообитания и плотности популяции. Оптимальная стратегия состоит в распределении ресурса на рост, размножение и защиту, исходя из условия максимально! о числа семян, произведённых популяцией.

Среди моделей динамики одновозрастных древостоев отдельно стоят модели с 01сугс1вием пространства усреднений, оперирующие индивидуальными деревьями с конкретными координатами [15,16]. В модели Корзухина М.Д. в начальный момент времени в фиксированный квадрат бросается N(0) равномерно распределённых точек (координат деревьев). Затем растения начинают расти по некоторому закону изменения радиуса. Одновременно с этим используется модель корневой конкуренции между особями.

В работе [17] Галицкий В.В., Крылов А.А. строят модель на плоскости. Величина, занимаемой рааениями площади определяется с помощью построения полигональной мозаики Вороного, которая представляет для дискретного множества точек на плоскости разбиение на плотную систему выпуклых Miioroyi ольников-полигонов. Суть функционирования модели состоит в том, что биомасса каждого растения, расположенною в своей ячейке мозаики, зависит от других растений сообщества до тех пор, пока данное растение не погибнет После этого наступает перераспределение участков полигона между соседними растениями. Эта модель описывается дифференциальным уравнением: где В - количество живой биомассы растения, t - возраст, £ - затраты, необходимые для поддержания биомассы растения, - ресурсы

4) предоставленные для роста, £ = min

7U+

A(t) - количество средств существования растения, Af{t) - количество средств существования, ко трое получает свободно растущее растение.

В рамках диффузионного подхода (подход, в котором процесс распространения рассматривается как свободный, стихийный и неуправляемый, подобно диффузии) отметим работу Джансеитова и К.К., Кузьмичёва В.В. [18], в которой проводятся теоретическое и экспериментальное обоснование того, чю перемещение физиологически активной части массы древостоя и считать своеобразной диффузией, а всю совокупность биомассы на достаточно большой площади - распределенной системой с диффузионным типом связи, в которой существуют автоволновые процессы

Другой подход, интегро-дифференциальный, принимает гипотезу, что растения взаимодействуют друг с другом с интенсивностью, обратно пропорциональной расстоянию между ними и прямо пропорционально их размерам [19,20] Растения распределены по однородному пространству с плотностью биомассы u(x,t) в момент времени /, где х - координата точки пространства. В каждой точке х пространства происходят два процесса: рост биомассы со скоростью Р(х) и деградация биомассы со скоростью D{x). Уравнение скорости изменения плотности биомассы имеет следующий видdt где скорости Р и D вычисляются интегрированием по всему рассматриваемому пространству произрастания растений, соответственно, прироста биомассы в точке х. Авторы пытаются объяснить механизм пятнистости пространственного распределения растений.

Кареев Г.П. и Тресков С А. Сфоят модель одновозрастного сообщества с учётом групповых эффектов и влияния границы на рост рас1ения, применяя теорию Марковских процессов [21].

Модель Грабарника П.Я изреживапия древостоя без возобновления основана на применении процедуры прореживания к однородному точечному процессу Пуассона [22]. Точки пуассоновского процесса независимо друг от друга маркируются положительными марками т и г (соошетствующие размеру дерева и радиусу взаимодействия), имеющими заданные функции распределения. Процедура прореживания состоит в том, чю каждая точка re ср с марками т(х) уничтожается, если на расстоянии, не превосходящем г(х), найдётся точка, имеющая марку т больше, чем т{х).

Таким образом, в настоящее время существует широкий спектр методов моделирования одновозрастных насаждений. Эю непрерывные, дискретные по времени системы уравнений, интегральный, диффузионный и другие подходы. Многие из моделей были верифицированы и получили хорошую оценку, другие носят исключительно теоретический характер.

Разновозрастные насаждения. Во многих обзорах способов моделирования возрастной динамики лесного ценоза условно выделяют модели аналитические [23,24,25,6], имитационные [26,27,28,29] и аналитико-имитационные модели [30,31,3].

Для изучения качественного поведения системы, не требующею точного воспроизведения динамики, используют аналитические модели, которые часто классифицируют на непрерывные и дискретные по времени и по возрасту. Примером непрерывной модели является модель эволюции возрастных распределений rj(t,т) дг] дп . .

Tr-d{tJ)ri (5)

T]{tfi)=\p{t,z)r]{t,z)dz

Здесь г - возраст дерева; t - текущее время; d{t,r),p{t,r) - функции смертности и плодовитости, соогветственно. Уравнение типа (5) исследовалось в работах [33,34,35].

Моисеев Н.Н и Хмелевский Ю.И. выписываюi модель [36], анало1ичную (5), для описания динамики плотности биомассы деревьев г,(/,г) возраста г популяционной 1руппы i, i = \,n: здесь, a,(t,T) - скорость pocia биомассы при оптимальных условиях. Система (6) обобщалась авторами для случая проведения контроля вырубок деревьев. При этом в систему вводилась характеристика, равная доле биомассы деревьев типа / возраста г, вырубаемых в момент времени /, и формулировалась соответствующая ошимизационная задача

Другой способ моделирования заключается в разделении всех деревьев в биосистеме на возрастные (ярусы) когорты с последующим описанием динамики каждой ipynribi деревьев отдельным уравнением [37,38] Примером модели такого типа является система уравнений Корзухина М.Д.

Среди аналитических моделей отметим также работу Ринальди С. [39], предназначенную для изучения на качественном уровне влияния кислотных отложений в почве на динамику лесной экосистемы. Состояние равновесного разновидового древостоя в момент времени t описывается количеством общей лесной биомассы г(/) без дальнейшей детализации структуры растительной популяции Резервный запас (пул) питательных веществ почвы описывается концентрацией N(t) некоторого питательного вещества. Предполагается, что скорость синтеза новой биомассы зависит от концентрации S(t) пита1елыюго вещества в биомассе деревьев. С другой стороны, питательное вещество, содержащееся в умерших деревьях, по крайней мере, частично восстанавливается в питательном пуле в результате разложения. При предположении, что общее количество дх, ск, . . , . . -~L + ^ = al(t,T)-dl(t,r)xl at от

6) питательною вещества в биомассе живых деревьев равно Q- Т S, автором сформулирована следующая модель:

IT -mT + e(S) h{T) Т, dt /3 N T-m Т S, (7) dt dN W-a N-p N T-v m T S dt

Здесь, m - интенсивность гибели деревьев, зависящая в общем случае от переменных, имеющих отношение к кислотным отложениям: концентрации питтельных веществ N в почве и в биомассе растений S, потока питательных веществ W из источников, отличных от разложения деревьев.

Большинство дискретных моделей базируется на матричной модели Лесли [40]:

К F2 /V, к N

0 0 0 0 "и

0 Рх 0 0 0 >h< 5 nrr,i\) 0 0 0 / где п, - количество особей /-ой возрастной группы в момент времени t; Р1 - вероятность перехода из / в i + l класс; F, - число молодых особей, появившихся в период [/,/ + 1] от одной особи /-ой возрастной группы в момент времени t. Предположения о постоянстве коэффициента выживаемости и плодовитости в этой модели применимо лишь в отдельных случаях. В работе Ашера [41] коэффициент плодовитости преде 1авляет собой количество, которое может быть размещено на месте одного изъятого дерева. В модели Александрова Г.А [24], в отличие от модели Ашера, динамика численности подроста зависит от количества ресурса (свет, пространство и т.д.) использованного к рассматриваемому моменту времени старшими поколениями.

Корзухин МД., Мацкявичюс В.К., Антоновский М.Я. [42] в уравнение динамики численности возрастной когорш вводят плотност независимый компонент выживаемости V и плотностно-независимый компонент смертности W. В модели предполагается, что каждый класс подавляется только более старшими классами деревьев:

J,(/ + 1) = W0 V(сг0) / n2{t + \) = W, V((т,) /»,(/) nr(t + l) = fVr, И((тг,) пт ,(/)

Здесь, «,(/ + 1) - численность i-ой когорты в момент времени /; cri(t)~Sl+lnnl(t)+ +STnT(t) (/ = 0,1, Г-1) - суммарная площадь листовой поверхности деревьев с / +1 -го по последующий класс.

Иной подход описания динамики древостоя, включающий в рассмотрение не юлько уравнение динамики численности особей п, но и уравнение роста их биомассы т, развит в другой работе Корзухина М.Д.,

Мацкявичюса В.К., Антоновского М.Я. л(/+ 1,1) = и, +Y,B(t,T,n,m) n(t,r), m(t + l,l) = ml, n(t + \,T+\) = Y(t,T,n,m) n{t,T), m(t + l,r+ 1) = m(t,T) + g(t,T,n,m),

Здесь, Y(t,T,n,m), B{t,r,n,m) - функции, характеризующие выживаемость и плодовитость деревьев возраст г в момент времени /, функция g(i,T,n,m) характеризует прирост биомассы. Эта система является обобщением модели Лесли.

Алексеевым А.С. [43] разрабошна теория, позволяющая описывать процесс формирования основных типов рашерных структур популяций древесных растений (распределения особей по какому-либо размерному признаку). Проанализированы семь основных распределений особей по размерным классам: экспоненциальные, Гомперца, нормальное, мономодалыюе, и три бимодальных Уравнение, определяющее динамику количества особей размера х популяции при стационарных условиях, имеет вид dx В

Здесь, А(v) описывает детерминированную скорость роста размеров особей, В соответствует интенсивноеiи случайных отклонений. Авторами показано, что когда определяющий тип pocia размеров особей линейный (А(х) - линейная функция), то имеем экспоненциальное распределение особей, характерное для разновозрастных древостоев. Когда же определяющий тип размеров особей носит затухающий характер, приходим к нормальному распределению, так как оно соответствует типу роста с ограничением Утверждается, что нормальное распределение деревьев по юлщине характерно для спелых и перестойных одновозрастных древостоев

Ещё одним направлением магматического моделирования лесных экосистем является имитационное моделирование, в частности имитационные гэп-модели. Гэп - условная "географическая" ячейка-участок фиксированной площади, на котором имитируется рождение, рос i и гибель каждого отдельною дерева. Гэп-модели эффективно используются для кратко- и среднесрочных прогнозов динамики конкретных лесных экосистем, находящихся в определенных внешних условиях на относительно небольших (1-1000 га.) территориях. Основой всех гэп-моделей является модель отдельного опа, описывающая динамику деревьев на участках фиксированной площади (обычно 10x10 м.). В каждый момент времени каждое дерево заданной породы характеризуется определённым набором переменных: высота, диаметр и i.n. Уравнение роста зависит от светового режима, температуры и других парамефов среды; можем учитываться также конкуренция деревьев за ресурсы. Влияние соседних гэпов в подавляющем большинстве моделей не учитывается. Возобновление и гибель деревьев на участке задаю 1ся каким-либо случайным процессом, случайным является также начальное распределение. Поскольку модель является стохастической, прогнозируемое состояние гэпа вычисляется как среднее по достаточно большому (80-100) числу независимых реализаций.

Первой гэп-моделью была модель JABOWA [44], создававшаяся как большая имитационная компьютерная система, в которой декларировалось намерение "ввести минимальное число предположений и найги простейшее математическое выражение для каждого фактора, которое совпадало бы с наблюдениями". Модель строилась, начиная с рос га отдельного дерева в оптимальных условиях, с последующим учётом влияния на рост и численность деревьев уменьшения количества света и питательных веществ вследствие конкуренции. Модель JABOWA послужила прообразом для построения в дальнейшем гэп-моделей FORET [45,46], ZELIG [47], FORSTKA [48,49] и других, предназначенных для прогноза динамики лесных экосистем в различных условиях произрастания. Все эти модели имеют общую методологическую основу; их программная реализация и проведение расчётов требуют достаточно мощных современных компьютеров и значительных затрат времени.

В модель ZELIG учитывается процесс взаимодействия (конкуренции за свет) деревьев, находящихся в соседних гэпах. В остальных, менее детальных моделях с гэпами больших размеров, предположение об отсутствии существенного взаимодействия между деревьями их разных гэпов представляется оправданным, что подтверждают результаты расчётов по моделям, в которых принято это предположение, а именно: 1) с помощью гэп-моделей, не учитывающих взаимодействия между гэпами, получены удовлетворительные прогнозы динамики различных лесных экосистем, от бореальных до влажных тропических лесов; 2) отсутствие взаимодействий влечёт быарую сходимость распределения ансамбля ячеек к стабильному распределению, что наблюдается в компьютерных экспериментах с моделями, учишвающими явно процессы взаимодействия.

Попадюк Р.В., Чумаченко С.И. достаточно детально моделируют развитие многовидового разновозрастного лесного ценоза с учётом его объёмной структуры [50,51]. Учёт взаиморасположения особей позволяет более точно рассчитывать неоднородность светового поля и размещение особей подчиненных ярусов. Модели состоят из двух подмоделей: отдельного дерева и древостоя. Всё пространство делится на параллелепипеды, и для каждою осуществляется расчёт светового режима с учётом географической широты местности, количества солнечных и пасмурных дней, прозрачности соседних ячеек.

Модель Богатырёва Б.Г., Кириленко А.П., Гарко A.M. [52], предназначенная для описания одновидовых лесных популяций с возрастной структурой, основана на балансовом соотношении типа Берталанфи. Развитие древостоя определяется температурой, ишенсивностью ФАР (фотосин 1ешчески активная радиация), количеством питательных вещееiв, влиянием скорости ветра и другими факторами. Гибель деревьев происходит в результате старения и при неблагоприятном сочетании природных факторов.

Совершенно новый подход предлагается в работах Кареева Г.П. Рассматривая различные концепции построения моделей, Кареев показывает [53], что все эти направления являются составными частями теории структурных моделей. Структурная модель имеет два уровня описания. На первом, индивидуальном уровне, определяется динамика состояния каждого дерева, интенсивность его гибели, интенсивность появления от этого дерева и распределение молодых сеянцев, влияние внешних факторов на рост этою индивидуума. На втором, популяционном уровне, определяется начальное распределение деревьев, задаётся уравнение на текущее распределение популяции и интегральное условие, описывающее процесс возобновления популяции. В общем случае динамика модели описывается [30] функцией плотности числа особей l(X,t,a), имеющих в момент времени t возраст а и набор внутренних состояний X, которая описывается с помощью системы: = F{a,X,Q,{t% а = 1, ()t (12) + -^- + div(lF) = -jU(a,X,Q,(t))l, ut da

ЦХ,0,а) = ЦХ,а), с начальными условиями: г>

1(Х,(, 0) = \\/3(X,Y,a,Q2(t))l(Y,t,a)clYda, f о

Здесь, первое уравнение системы задаёт динамику состояния отдельного участка; X =(х1,х2,.,хп) - векюр сосюяния отдельного участка, компоненты которого могут быть, например, запас, численность деревьев на участке, среднее значение высоты и диаметра деревьев и т.п.; jU(a,X,Q3(t)) - интенсивность гибели гэпов, (3{Х ,Y ,a,Q2(t)) интенсивность рождаемости особей в состоянии X oi родителей возраста а, находящихся в состоянии У, Е - множество возможных значений X. Ре1улирующие функционалы Ql описывают влияние популяции "в целом" на процессы роста и гибели отдельного дерева, в частности, могут описывав результаты процессов конкуренции за внешние ресурсы. Автором получено описание асимптотического поведения модели на основе теории марковского восстановления

Совместное использование некоторых результатов аналитического и имитационного моделирования воплотилось в модели ДМХР-2 [54], предназначенной для описания динамики однопородных древостоев Большим преимуществом эюй модели является небольшое число входных параметров (в сравнении с гэп-моделями), блочная cipyKiypa.

В диссертационных исследованиях Щедриной T.JI. [80] и Кузнецова В.И. [81] рассматриваются точечные и пространственные модели, описывающие процесс развития лесонасаждений, учитывающих конкуренцию за световые и водные ресурсы, рассматриваются модели, в которых на развитие древостоя влияет влажность почв, деятельность насекомых-вреди гелей.

Следует отметить, что авторы приведённых выше моделей не предлагали методик для определения коэффициентов моделей. Не каждый автор после построения модели проводил исследования условий существования системы, допустимых значений параметров, харак1ерных режимов системы, наличия особых состояний.

Авторы, перечисленных моделей, учитывают многие факторы, влияющие на развитие древостоя. Эти попьпки являются интересными, важными и очень ценными. Для учёта биологических, экологических, reoiрафических, климатических и антропогенных факторов, наиболее подходящей для описания, види1ся имитационная модель либо сложная аналитическая. Каждая из них наиболее полно смогла бы описать процессы развития лесонасаждений. Заметим, что одной из наиболее сложных и актуальных проблем моделирования реальных процессов является определение параметров модели, которые бы наиболее точно офажали состояния и развитие системы. Чем сложнее модель, чем больше параметров она содержит, тем больше их зависимость и взаимовлияние друг на друга и тем сложнее становится их адекватный выбор. Поэтому, с одной сюроны, более сложная и структурированная модель является более полной и адекватной, а с другой сюроны, применение таких моделей для практических целей вызывав! трудности, связанные с выбором значений большого количества параметров и их вычисления для конкретной ситуации.

Ещё одним немаловажным фактором является то, что приведённые выше модели описывают только динамику лесонасаждений. Во всех этих моделях не исследуется влияние человека на природу, управляющею фактора, коюрое должно учитывав как эффект использования, так и сохранения леса.

В настоящей работе исследовано несколько моделей, с помощью которых может быть описан процесс развития лесонасаждений. Для проведения своего исследования необходимо построить и обосновать ряд моделей: неуправляемых и управляемых, детерминированных и стохастических.

В работе обоснуем выбор непрерывной детерминированной модели, которая описывает естественную динамику развития лесонасаждений п-возрастного леса, которую мы будем описывать следующей системой дифференциальных уравнений: dx p(0)-Yx(Vx)xxdt dx f, Л х-y,{v, к-Ул, iK-i-Л Л i' dx„ r i где x,(t)- количество деревьев в i -ой возрастной группе в момент времени t, i = 1 . п ,п - количество классов разбиения; р(в) - функция, характеризующая скорость появления молодых деревьев (деревьев первой возрастной группы); - функция, характеризующая интенсивность гибели деревьев i-io возрастного класса; jl=consl>() - интенсивность перехода деревьев i- ой группы в (/ + 1)-ую, i-\,n-\.

В частном случае, при п = Ъ получим следующую трехвозрааную модель: х = pz-y(z)x- fx y = fx-(q + d)y z = qy-hz для которой в работе планируется провести исследования допустимости парамефов, условий существования системы, а также выявлены её характерные режимы.

Наряду с непрерывной моделью имеет смысл рассмотреть дискретную модель, с помощью которой, по аатистическим данным, удобнее видится процесс вычисления коэффициентов. Дискретная модель задаётся следующем образом: x"l = x'+At'(p' z' -y(z')x' - fx1), z'+1 = z' + At'(q'y' - h'z'), = ^o' У° ~ ^(P z° ~ Z0, где \',y',z' - численность деревьев младшего, среднего и старшего возрастов соответственно на i-ом шаге. Функция y(z') - функция гибели подроста, то ecib ин1енсивность его гибели под воздействием старшей возрастной группы и в результате естественной гибели подроста; d',h'-коэффициенты гибели деревьев второй и третьей возрастных групп на 1-ом шаге; р1 - коэффициент, характеризующий скорость рождаемости деревьев младшего возраста на i-ом шаге, который зависит только от численности деревьев старшей во фас i ной группы.

Предполагая, что значения некоторых коэффициентов динамической системы в момент времени /е[0,7т] не являются однозначно определёнными вследствие их швисимости от множества непрогнозируемых природных факторов, целесообразным видится рассматривать эти параметры как случайные процессы, математические ожидания которых известны. Предполагая, что случайную составляющую имеют два коэффициента: коэффициент рождения р и коэффициент смертности деревьев второй возрастной группы d, получим следующую сюхастическую модель, описывающую процесс развития лесонасаждений: dx

- = pz-(azA +b)x- fx + a, z t,oj) dt = fx-(q + d)y-CT2-y £ (t,CO) dt dz , cjy- hz dt x(0,a)) = X0(co), y(0,co) = Y0(a)), z(0,a>) = Zo(a>), где £x{t,oj), £2(t,a))e R[ - скалярные белошумные процессы; сг,,сг2 -постоянные, характеризующие степень влияния случайного возмущения на значение коэффициентов.

Для стохастической модели особый интерес представляет построение численной схемы решения сюхастических дифференциальных уравнений, описывающих процесс развития лесонасаждений. В работе аавится задача посфоения численной схемы для моделирования решения стохасшческого дифференциального уравнения. Для разработки этою алгоритма планируем применить метод унифицированного разложения Тейлора-Ито по повторным стохастическим интегралам с их последующей аппроксимацией с помощью полиномиальной системы функций, предложенного Кузнецовым Д.Ф. [67].

Для стохастической модели, целесообразным видится проведение следующих исследований: изучение влияния возмущений на поведение фазовых траекторий, устойчивости положения равновесия в зависимости от интенсивности возмущений, выявление значений параметров ох,а2, при которых система допускает описание детерминированной моделью, и значений, при которых система может быть описана только стохастической моделью.

Отметим, что запросы современной лесной промышленности, а также проблемы всё ухудшающегося экологического состояния природы, заставляют стави ть вопрос о рациональной вырубке леса. В связи с этим, целесообразным является построение управляемой модели. Если в качестве исходной модели выбрать непрерывную модель, описывающую процесс развшия лесонасаждений п -возрастного леса, а в качестве управления выбрать скорость вырубки леса в единицу времени, тогда управляемая модель запише1ся следующим образом: dx

-J- = р-9-ух)х, - fxx{ at dx

-f = fl,xl,-yl(^l)xl-flxl-ul dt fn-2Xn-2 ~ Yn-\ (Vn-1 )X/i-l ~~ fn-\Xn-\ ~ Un-\ dt dxn f , с краевыми условиями: jc,(0) = Л-,0, xXT)>X^, , = й где функции управления г/Д/) - харак1еризуют скорость вырубки деревьев /-го класса в единицу времени и удовлетворяет ограничениям: = О, te [О,Г], / =

О <£>,(/)<«„ te [О,Г], р где at - заданное максимальное значение вырубки деревьев /-го класса, зависящее от используемых технологий; р - номер возрастного класса, начиная с которою вырубленный лес являе!ся деловой древесиной и вырубается человеком.

Целью управления является максимизация функционала J (и), который выражает прибыль лесозаготавливающего предприятия, полученную от продаж вырубленного леса за данный интервал времени и учит ывает состояние лесно! о массива в конечный момент времени: где p\xt), i-pn - невозрастающая функция стоимости продаваемого леса; t,(x,), i = р п - функция стоимости технологии добычи леса; ht,i = р п - стоимость деревьев /-го возрааа, оставшегося на конечный момент времени Т.

Исходя из всего вышесказанного целыо диссертационной работы является:

1. Разработка многомерной де!ерминированной модели, описывающей динамику развития лесонасаждений, построение стохастической модели: дискретной и непрерывной.

2. Обработка статистических данных и разработка метода, на основании которого можно получить значения параметров для моделей, хараюеризующих динамику развития лесонасаждений для Тверской и Архангельской областей.

3. Разработка численной схемы решения задачи оптимального управления лесными ресурсами и численных методов решения сюхастического дифференциального уравнения с возмущёнными параметрами, описывающего процесс развития лесонасаждений.

4. Исследование зависимости решения задачи оптимального управления от параметров детерминированной модели.

5. Проведение анализа влияния возмущённых параметров сиаемы на её поведение.

Заключение.

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

• Разработана общая модель, описывающая неуправляемый и управляемый процессы развития лесного массива. В управляемой модели управление осуществляется по критерию максимизации прибыли oi продаж вь/рубленного леса, а 1акже учитывает состояние лесного массива в конечный момент времени. Для поставленной задачи оптимального управления выписаны необходимые условия.

• На основании предоставленной информации произведена обработка сшисгических данных и получены значения параметров для модели, описывающей процесс развития лесонасаждений Тверской и Архангельской областей.

• Для стохастической модели построен алгоритм до малых порядка

5/

O((s-0 ) для моделирования решения системы стохастических дифференциальных уравнений с возмущёнными параметрами, описывающих процесс развития лесонасаждений, обоснована сходимость применённого метода к решению. Исследовано влияние возмущённых параметров динамической системы на её поведение. Найдено критическое значение для параметров ах - а2 < сткр = 0,003, при которых для описания системы допустимо испольювать детерминированную модель

• Разработана численная схема для построения решения задачи оптимального управления, на основании которой выявлено влияние парамефов модели (параметры функции гибели молодых деревьев и стоимости продаваемого леса) на решение задачи оптимального управления. Проведено сравнение решений задачи поиска оптимальною управления в классе кусочно-непрерывных функций и в классе постоянных функций.

1. Хильми Г.Ф Энергетика и продуктивность растительного покрова. -J1.: Гидрометсоиздат, 1976, 215с.

2. Фильрозе Е.М., Шмелькова Т.А. Динамика роста деревьев и некоторые приемы ее математического описания // Экология. -1971.-№2.- С. 15-26.

3. Тарсков И.А., Терскова М.И. Рост одновозрастных древостоев -Новосибирск: Наука, 1980. 206с.

4. Землис П.И. и Швирта Д.И. Возможности математического моделирования популяций древесных растений II Труды АН Литвы. Сер В. -1987. С. 119-131.

5. Лекис B.C., Крючюс А.А. Моделирование роста древостоя на основе процесса прироста и отпада // Эколо1ия популяций. Часть 2. М.: Изд-во АН СССР, 1988. - С. 214-216.

6. Корзухин М.Д., Семёвский Ф.11. Синэкология леса С-Пб.: Гидрометеоиздат, 1992. - 192с.

7. Бихеле З.Н. Молдау Х.А., Росс Ю.К. Математическое моделирование транспирации и фотосинтеза растений при недостатке почвенной влаги Л.: Гидрометеоиздат, 1980. - 223с.

8. Гурцев А.И., Корзухин МД Кроновая и корневая конкуренция в линейной посадке сосны II Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем Л Гидрометеоиздат, 1988 - Т. 11, С.206-223.

9. Оя Т. Модели развития древостоя Тарту, 1985. - 60с.

10. Бугровский В.В., Керженцев А.С., Курбатская С.С., Тебелеева У.Ц. Млдели чесной и степной системы // Сибирский экологический журнал. -1995. -№3 С.276-295.

11. Санковский А.Г., Татаринова Ф.А. Математическое моделирование экологических процессов Л.: Гидрометеоиздат, 1982.-280с.

12. Корзухин М.Д Некоторые стратегии онтогенеза растения в условиях конкуренции II Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем Л.: Гидрометеоиздат, 1985. - Т.7 - С.234-241.

13. Корзухин М.Д. Тер-Микаэлян М.Г. Онтогенез растения с учетом защиты конкуренции II Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. - Т. 10 -с.244-256.

14. Самавский Ф.Н., Семёнов С.М. Математическое моделирование экологических процессов Л.: Гидрометеоиздат, 1982.-280с.

15. Галицкий В.В О моделировании продукционного процесса в растительном сообществе II Моделирование биогеоценотических процессов. М.: Наука, 1981. - С. 104-118

16. Корзухин М.Д. Модель динамики популяций конкурирующих растений II Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л.: Гидрометеоиздат, 1991. - Т. 13 -С.252-267.

17. Галицкий В.В., Крылов А.А. Моделирование динамики растительных сообществ Двумерная модель одновозрастного сообщества II ЭКОМОДЕЛЬ. Вып.9 - Пущино: ОН ТИ НЦБИ АН СССР, 1984.

18. Джансеитов К.К., Кузьмичёв В.В. Формирование мозаичной структуры древостоя II Исследование динамики роста организмов. Новосибирск: Наука, 1981.-С 78-86.

19. Тузинкевич А.В., Фрисман Е Я Об одной модели пространственно распределенного биочогического сообщества II Эмпирические методы исследования и моделирование растительных сообществ. -Владивосток, 1988. С. 71-89.

20. Громова H.I I. Математическое моделирование эволюционного процесса и проблема существования биологических форм Автореферат дис. Канд. Ф -м. наук. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 1994,- 17с.

21. Кареев Г.П., Тресков С.А. Математические модели граничных эффектов в фитоценозах II Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. J1.: Гидрометеоиздат, 1982. - Т.5. - С. 229-242.

22. Грабажик П.Я. Вероятностная модель пространственной структуры древостоя, учитывающая размеры деревьев II Экология популяций. Часть 2. М . Изд-во АН СССР, 1988. - С. 202-204.

23. Полуэтков Р.А., Пых Ю.А. Швытов НА. Динамические модел и экологических систем J1. Гидрометеоиздат, 1980. - 288с.

24. Александров Г.А. Математическая модель динамики возрастной структуры ельников // Экологический журнал. Часть 2. М.: - Изд-во Ан СССР, 1988.-С 191-194.

25. Березовская Ф.С., Кареев Т.П. Моделирование динами древостоев эколого-физиологический подход М.: - ВНИИЦ лесресурса, 1991. -83с.

26. Botkin D.B, Janak J.F, Wallis J.R. Some ecological consequences of a computer model offorest growth //J. Ecol., 1972, 60, p 849-873.

27. Liu J., Ashton P.S. Individual-based simulation models for forest succession and management // Forest Ecology and Management, 1995, №73, p. 157-175.

28. Попадюк H Д Чумаченко С.И Имитационная биоэкологическая модель многовидового разновозрастного древостоя // Биоэкологические науки, 1991. № 8, С. 67-77.

29. Корзухин М.Д., Седых А.Н. Тер-Микаэлян М.Т. Формулировка модели восстановительно-возрастной динамики лесов // Известия СоАН СССР. Серия биолог ия. 1987. - вып. 5. - С. 58-67

30. Кареев Г.П. Структурные модели и динамика древесных популяций Автореферат дис. Д-ра ф.-м. наук- Красноярск: ИБФ СО РАН, 1994 54с

31. Кареев Г П. Структурные модели лесных экосистем // Сиб. Экологии Журнал.,- 1994. -№ 4.-С. 381-396.

32. Москаленко А.И. Черкашин А.К. Модель пространственной и возрастной структуры леса // Модели управления природными ресурсами.-М.: Наука, 1981.-С. 234-243.

33. Динамическая теория популяций // А.А. Гимельфабр, JI.P. Гинзбург, Р.А. Полуэтков и др. М.: Наука, 1974. - 456с.

34. Дыренков С.А. Структура и динамика таежных лесов. J1.: Наука, 1984

35. Луданов В.В., Дзедзюля А.А. Уравнение динамики густоты разновозрастных древостоев // Лесоведение, 1972, №5.

36. Moiseev N N , Khemelevsky Y 1 Models of population dynamics which take into account age group competition // TIMS Studies in the management Sciense, 1986, V. 21, p. 419-427.

37. Корзухин М.Д. Возрастная динамика популяции деревьев, являющихся сильными эдификаторами // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. -Т. 3 - С.162-178.

38. Гавриков В.Л. Возрастная дииачика в популяции деревьев // Анализ структуры древесных ценозов Новосибирск, - 1985. - С.60-67.

39. Gotto М., Rinaldi S. Acidic deposition and catastrophes in firest: A tree-naturient model 1989, p 40

40. Leslie P.H. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrica, 1945, v. 33, p. 183-212.

41. Usher M.B. Extensions to models, Used in renewable resource management, which incorporate an arbitraiy structure // J. Environmental Management, 1976, 4, p. 123-140.

42. Корзухин М.Д , Мацкявичюс В.К., Антоновский М.Я. Периодическое поведение возрастно-распределенной популяции деревьев // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. -Л.: Гидрометеоиздат, 1989.-Т. 12. С.284-310.

43. Алексеев А.С Размерная структура популяции древесных растений- основные типы, механизм формирования и использование в теоретическом и популяционном анализе //Журнал общей биологии.- 1993. Т. 54. - №4. - С 449-460

44. Botkin D.B., Janak J.F., Willis J.R. Some ecological consequences of a computer model offorest growth //J. Ecol., 1972, 60, p. 849-873.

45. Shugart H.H., West D C. Development of an Appalachian deciduous forest succession model and its application to the impact of the chestnut blight// Journal of Environmental Management 5: 161-179.

46. Bonan G.B., A simulation model of environmental process and vegetation patterns in boreal forest Test case Fairbanks, Alaska Working paper WP- 88-63 Laxenburg International Instotute for Applied System Analiyses, 1988, 63 pp

47. Urban D L. A versatile model to simulate forest pattern Environmental Sciences Departament. The University of Virginia, Charlottesville, 1989, p. 59.

48. Leemans R. Description and Simulation of slamnd and dynamics in some Swedish forest Acta Univ. Ups. Comprehensive Summaries of Uppsala Dissertation from the Faculty of Science, 1989, 221 pp.

49. Verginia H. Dale, Miles Hemstrom, and Jerry Franklin Modeling the long-term effect of disturbaces on forest successin, Olimpic Peninsula, Washington II Canadian J. Forest Research, 1986, v. 16. №1, p. 56-57.

50. Попадюк P.B., Чумаченко С.И. Имитационная биологическая модель многовидового разновозрастного древостоя // Биол. Пауки. -1991. -№8. С. 67-77.

51. Чумаченко С.И. Моделирование динамики многовидовых разновозрастных лесных ценозов // Журнал общей биологии. 1998. - Т.59. - №4. - С. 363-377.

52. Богатырёв Б.Г., Кириленко А.П., Тарко A.M. Пространственно распределенные модечи биосферы М.: ВЦ АН СССР, 1988. - 23с.

53. Анализ структуры древесных ценозов /Бузыкип А.И., Гавриков В.Л., Секретенко О.П., Хлебопрос Р.Г. Новосибирск: Наука, 1985.

54. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление М.: Наука, 1969.

55. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика'. Учебник для вузов -М.: ЮНИГИ-ДАНА, 2001. 543с.

56. Bachelier L. Theorie de la speculation Ann Sci. Norm Sup, 1900, 17.

57. Эйнштейн А., Смолуховский M. Броуновское движение Сб. статей, перевод с немецкого, 1936.

58. Андронов А.А, Витт А А., Понтрягин Л.С. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭ ГФ, 1933,3.

59. Мильнштейн Г Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений // Свердловск: ИИИзд-во Уральского ун-та, 1988, 225с

60. Kloeden Р.Е, Platen Е. Kloeden solution of stochastic differencial equation. Berlin- Spnnger-Varlag, 1992, 632p.

61. Kloeden P.E, Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments Berlin. Spnnger-Varlag, 1994,292р.62