автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса образования пленочных структур на подложках

На правах рукописи

Тарасеико Елена Олеговна

Математическое моделирование процесса образования пленочных структур на подложках

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□34ьи1

Ставрополь - 2008

003460113

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Семенчин Евгений Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Закинян Роберт Гургенович

доктор физико-математических наук, профессор Лежнев Виктор Григорьевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный

технический университет», г. Ставрополь

Защита состоится « 05 » февраля 2009 года в 14 часов 40 минут на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.256.08 при Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 416 (1а).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ставропольского государственного университета по адресу: г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Автореферат разослан .» декабря 2008 года.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций, кандидат физико-математических наук, доцент

Л.Б. Колыткова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационной работы. Твердые структурные образования с нанесенными на них пленками широко используются в опто- и микроэлектронике. Они находят широкое применение в экологически чистых производственных процессах, в частности, при очистке воды, в электрографии (ксерографии), в производстве солнечных батарей, в изготовлении переключающих и запоминающих устройств и т.д.

Редкоземельные элементы, введенные в кремниевую подложку, повышают термическую и радиационную стойкость, а также позволяют создать структуры с люминесцентными свойствами, с перспективой использования этой структуры в оптоэлектронике в качестве источника света.

Повышение термической и радиационной стабильности таких материалов обусловили в последнее время значительный интерес к исследованию процесса образования тонких пленок на подложках. При этом процессе важную роль играет высокотемпературная диффузия атомов примеси на подложке. Однако математическое описание процесса диффузионного роста тонких пленок на подложках нельзя признать удовлетворительным: не существует единой и универсальной математической модели образования таких пленок на подложках для всевозможных материалов и различных температурных режимов. В частности, не решена задача проникновения атомов пленки в подстилающую поверхность (подложку) в зависимости от концентрации примесн в пленке, которая зависит от функции источника примеси, природы диффундирующей примеси, температуры, при которой протекает диффузия и т.д.

Поэтому тема диссертационной работы, направленная на построение математической модели процесса диффузионного роста тонких пленок на подложках, в рамках которой могут быть решены многие из отмеченных выше задач, является актуальной и практически значимой.

Диссертация посвящена решению следующей важной как с теоретической, так и с практической точек зрения научной задачи — обосновать возможность применения модели диффузионного осаждения атомов вещества на подложку для описания процессов диффузионного роста тонких пленок на подложках и дальнейшего проникновения атомов пленки в эти подложки.

Объект и предмет исследования. Объект исследования - тонкие пленки, образующиеся на подложке.

Предметом исследования является процесс диффузии при образовании тонких пленок на подложках.

Цель диссертационной работы — построить математическую модель процесса адсорбции при высоких температурных режимах вещества, находящегося в газообразном состоянии, на поверхность твердой подложки и дальнейшего проникновения его атомов в подложку; и использовать ее для построения экономико-математической модели процесса производства таких материалов.

Поставленная цель требует решения следующих задач: ' 1. Построить математическую модель образования тонких пленок на подложках, позволяющую рассчитать количество оседающего на подложку вещества в результате адсорбции.

2. Построить математическую модель проникновения атомов пленки в подложку. На ее основе предложить методику оценки концентрации и глубины проникновения этих атомов в подложку за заданное время.

3. Исследовать на адекватность результатов расчетов, выполненных в рамках предложенных математических моделей экспериментальным данным.

4. Предложить экономико-математическую модель производства пленочных структур, учитывающую технологию их производства и позволяющую определить максимальную прибыль предприятия, занимающегося производством пленочных структур.

Методология и методы проведённых исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании результатов и методов уравнений математической физики, интегральных уравнений, математической статистики, численных методов, физики твёрдого тела, кристаллографии, материаловедения, аппаратных средств Microsoft Office Excel, пакета прикладных программ MathCAD Professional.

Обоснованность научных положений, результатов и выводов, приведенных в диссертации основывается на корректном

- применении апробированного математического аппарата (уравнения математической физики, интегральные уравнения, численные методы, математическая статистика),

- использовании апробированных специализированных программно-аппаратных средств (Free Pascal, MathCAD Professional 2000, Microsoft Office Excel).

Достоверность полученных результатов подтверждается согласованностью расчетных данных в рамках построенных моделей с экспериментальными данными.

Научная новизна полученных результатов.

1. Предложена математическая модель диффузионного осаждения атомов вещества на подложку для расчета количества вещества, находящегося в газообразном состоянии и оседающего на эту подложку.

2. Разработана математическая модель диффузии атомов пленки в подложку. С ее помощью произведена оценка концентрации и глубины проникновения атомов пленки в подложку за заданное время.

3. Построена и исследована экономико-математическая модель производства пленочных структур, учитывающая технологию их производства, которая используется для расчета максимальной прибыли предприятия, производящего такие структуры.

Практическая значимость изложенных в диссертационной работе научных результатов состоит в возможности создания на их основе технологиче-

ских разработок процесса образования тонких пленок на подложках. Результаты исследований представляют определенный интерес для специалистов, занимающихся технологическими разработками в опто- и микроэлектронной про-мышленносгях и т.д.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Математическая модель диффузионного роста тонких пленок на подложках, позволяющая определить количество вещества, оседающего на подложке за заданное время при заданной температуре.

2. Математическая модель диффузии вещества в двух соприкасающихся средах, используемая для определения концентрации диффундирующего вещества и глубины проникновения его атомов в подложку за заданное время.

3. Экономико-математическая модель производства тонких пленок, учитывающая технологию их производства, позволяющая оценить максимальную прибыль предприятия, производящего пленки, при минимальных его затратах на их производство.

Реализация и внедрение. Математическая модель образования тонких пленок на подложке внедрена в производственную деятельность ООО ПП «Грунт», что подтверждается соответствующим актом о внедрении результатов диссертационного исследования.

Отдельные положения диссертационного исследования использованы в учебном процессе Ставропольского государственного университета при обучении студентов 2 курса специальности «Физика» по учебной дисциплине «Вычислительная физика», что подтверждено актом об использовании научных результатов в учебном процессе.

Апробация результатов исследования. Результаты проведенных исследований докладывались на VI и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2005 г., г. Кисловодск, 2006 г. и г. Йошкар-Ола, 2006 г.); IV Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве» (г. Камышин, 2006 г.); 50-й, 51 -й и 52-й научно-методической конференции преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2005 - 2007 гг.); VII Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии» (г. Пенза, 2007 г.).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах: из них пять - в изданиях, включенных в перечень научных и научно-технических журналов, издаваемых в Российской Федерации, рекомендуемых ВАК для опубликования основных результатов диссертационных исследований («Обозрение прикладной и промышленной математики», «Вестник Ставропольского государственного университета»), семь — в сборниках материалов Международных, Всероссийских и региональных конференций.

Зарегистрирован программный продукт «Расчет концентрации примеси при диффузии в твердых телах (РКП при ДТТ)» в ФГНУ «Государственный

координационный центр информационных технологий, отраслевой фонд алгоритмов и программ» (свидетельство об отраслевой регистрации № 8266 от 10.05.2007 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы (содержащего 110 наименований) и четырёх приложений. Работа содержит 13 рисунков и 8 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована научная проблема, на решение которой направлен о данное диссертационное исследование, обоснована актуальность выбора темы, поставлены цели и задачи исследования, сформулированы защищаемые положения, указаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов исследования.

В первой главе проведен обзор экспериментальных данных, полученных при исследовании процесса диффузии в твердых телах. Проведённый обзор позволяет сделать вывод, что в настоящее время недостаточно изученным остается вопрос образования тонких пленок на подложках, поставленные эксперименты не так многочисленны, чтобы охватить всю картину целиком.

Также рассмотрено полуэмпирическое уравнение диффузии, представляющее собой дифференциальное уравнение с частными производными. Как известно, подобные уравнения лежат в основе прикладных математических моделей.

При изучении процесса образования тонких пленок на подложках возникает вопрос о решении уравнения диффузии численными методами при заданных начальном и граничных условиях. Ранее, другими авторами, были предприняты попытки нахождения аналитического решения краевых задач для уравнения диффузии. Но, как правило, рассматриваемые задачи имеют частный характер: рассматриваются решения этих задач при постоянных коэффициентах в уравнении диффузии, изучается стационарный режим распространения примеси, исследуется турбулентная диффузия и т.д.

Вторая глава диссертационной работы посвящена построению математической модели диффузионного роста тонкой пленки на подстилающей поверхности в результате адсорбции вещества на подложку, а также дальнейшего проникновения атомов пленки в глубину подложки.

Пусть q[t,xvx2,jfj) - концентрация атомов пленки в единицу времени I,

t€ [/0,Г], f0à0, t0<T, 7" = const>0, в точке (х,,х2,х3)е

El = {(*,, х2, jc3 ) :х,, х2 е (- оо)0о); е [0,<*)}.

Для описания процесса диффузии атомов пленки на подложке, при ад-сорбционно-десорбционном процессе от мгновенного точечного источника, если атомы вещества отражаются от подложки, находящейся на высоте х", предлагается использовать начально-граничную задачу

01 М дх1 „I Эх, Эх,

д{10,х1,х2,хг) = д-8{х[ -х[%2-х2%3-х/6 [/0,Г], (2)

— =0 ,/>/„, (3)

о

<7о =?(/о'-1С1>дг2>дгз) ~ концентрация атомов пленки в момент времени (0 в точке (х,,;^,.*,); и = (г/,,г/2,м3) - вектор горизонтального переноса; а -коэффициент, характеризующий взаимодействие вещества с окружающей средой (или его радиоактивный распад); Q - мощность мгновенного точечного источника, действовавшего в момент времени /„ в точке (х?,х°,х°); 8 - дельта-функция Дира-ка;АГ = - матрица коэффициентов диффузии вещества в окружающей

среде; если вещество полностью поглощается подложкой, то начально-граничную задачу можно представить в виде (1), (2),

если вещество частично отражается и частично поглощается подложкой, тогда начально-граничную задачу можно представить в виде (1), (2),

ах3

= (5)

Здесь с - скорость осаждения атомов примеси на подложку под воздействием гравитационных сил; 1>1 - результирующая скорость осаждения вещества на подложку. Равенство (5) показывает, что поток примеси на подложку складывается из двух составляющих: диффузионного

дд'

и гравитационного

33 Эх3

потоков.

Если точечный источник, расположенный в точке (х-,0,*",*-"), является источником непрерывного действия, т.е. 2 = 0(')> то для вычисления концентрации д,(1,х1,х1,х}) от такого источника решение д(/,х,,х2,х}) рассматриваемой задачи (1МЗ), или (1), (2), (4), или (1), (2), (5), следует проинтегрировать по промежутку [/0,7], т.е.

г

<7, (/,*[ ,х2 ) = I д{т,х „х2

<о

Если источник является линейным или поверхностным, то концентрация от такого источника определяется путем интегрирования д1((!х,,х2,х3} по области, образованной точками, принадлежащими этому источнику.

Из (5) следует, что плотность потока вещества p(t,xltx2,x°) в момент t в точке'(дс, ,х2 ,х°) равен

p(t,x, ,х2,х°)= vsq(t,x, ,х2,х3°), здесь vs = const. Количество оседающего диффундирующего вещества на единицу площади в точке за время Т равно

¡P[t,x, ,х2 ,x°)d I = V.jq^x, ,x3,x3°)j/.

<о 'о

Количество вещества, оседающего за время Т на подложку, представляющую собой горизонтальную поверхность площадью S, которая расположена на высоте параллельно плоскости х,Ох2 равно т т

IJJ/^/.jCpXj.xjjtf/d^dCj = ^ jd/dx, dx2.

l„S l„S

Для нахождения аналитических решений задач (1) - (3) и (1), (2), (4) предполагаются выполненными следующие допущения: компоненты вектора

и = (u,,u2,к3) являются постоянными величинами и он направлен вдоль оси Ох, (это означает, что иг = щ =0), элементы матрицы К имеют вид:

а], i = j, а, = const > 0; 0,' * j, <J -1,2,3;

а = 0 (т.е. вещество не вступает в реакцию с окружающей средой и не разлагается).

При указанных допущениях решение задачи (1) - (3) имеет Вид:

д{(,х1,хг,хг)=

H-'ifwз

х ехр

(л, -щ •(/-<„ )f х2 4of-(/-/„) 4 o]-{t-ta)

(6)

решение задачи (1), (2), (4):

ч{*,х1,хг,хг)=-

4о?-('Ч)Г 4a]-{l-ta) Q

хехр

(х, -щ -(/-/J)2 х2г 4ст,2 •(/-/„) 4&1 ■((-(„)

(7)

P1 4<7,4,-OJ P|

(0,0,H) - координаты мгновенного точечного источника адсорбционно-

десорбционного вещества мощности Q = const > 0, действовавшего в момент времени 10. .

Для предложенной математической модели диффузии справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть непрерывно дифференцируема по /е [t0,T]

и дважды по хих2,х} в где Е] g 6 [0,°°)};

«,,/ = 1,2,3 непрерывно дифференцируемы по х, в Е]; KtJ имеют вид к =|А',(дг3)>0,/ = у, * И,/* у,/ = 1,2,3, и дважды непрерывно дифференцируемы при х, >0; a, Q,/3 являются постоянными величинами в Е]. Тогда решения начально-граничных задач (1) - (3); (1), (2), (4); (1), (2), (5) существуют и единственны.

Для разработанной математической модели диффузионного роста тонких пленок на подложках проведены численные расчеты.

Если диффузия является изотропной, то KtJ=K, /,7 = 1,2,3, значения К можно найти, воспользовавшись соотношением

К0 = const >0, ДЕ - энергия активации диффузии, к - постоянная Больцмана, Т - температура диффундирующего вещества в К.

Для галлия К0 -0,374 см2/с, Д£ = 3,41 эВ, при Г = 1523 К АГ = 0,37■ 10~'° см2/с. В таблице 1 приведены результаты расчета концентрации галлия q(x) в 1/см3 (т.е. количество атомов), диффундирующего на кремниевой подложке. Здесь t - время диффузии атомов галлия на кремнии, Q = 0,8 • 10" 1/(см3 • с), Я = 0,3 см.

Таблица 1 - Результаты расчета концентрации q{x) галлия на кремнии в промежуток

времени I

t, мин q(x), 1/см3

1 1,63-1019

2 1,34-Ю19

3 1,1 МО"

4 9,33-Ю'8

5 7,89-Ю18

6 6,72-Ю18

7 5,77-Ю18

8 4,98-Ю18

9 4,32-Ю'8

10 3,76-Ю18

Результаты данных расчетов значений д(х) представлены в виде графика (см. рЪс. 1).

я,см"3

N

\

\

\

\

\

N

Рисунок 1 - Зависимость концентрации галлия от времени диффузии его атомов на кремниевой подложке при Т = 1523 К

В таблице 2 приведены результаты расчета концентрации галлия д{х) в 1/см3, диффундирующего с теми же параметрами, что и в предыдущем примере, на кремниевой подложке при температуре Т = 1223 К.

Таблица 2 - Результаты расчета концентрации q(x) галлия на кремнии в промежуток времени /

1, МИН д(х), 1/см3

1 1,34-10"

2 1,28-1019

3 9,38-10'8

4 8,45-1018

5 6,11-Ю18

6 5,53-Ю18

1 5,12-Ю18

8 3,47-Ю18

9 3,05-1018

10 2,43-Ю18

Результаты расчетов ч(х) представлены в виде графика (см. рис. 2). по"

V \

\

\

\

\

\

1

мин

Рисунок 2 - Зависимость концентрации галлия от времени диффузии его атомов на кремниевой подложке при Т = 1223 К

Анализ проведенных расчетов показывает, при одном и том же времени диффузии концентрация примеси д(х) в полупроводнике возрастает при возрастании температуры. Таким образом, изменяя температурный режим, можно изменить концентрацию примеси на подложке.

В п. 2.3 второй главы разработана и исследована математическая модель диффузии вещества в двух различных соприкасающихся средах.

Подложка разбивается на и слоев. Для описания процесса диффузии атомов пленки, при достаточно высокой температуре, на подложке предлагается использовать начально-граничную задачу

(8)

К.

зз^— +П7</0

ох3

(9) (Ю)

здесь д0~д0((0,х1,х1,х3) - концентрация адсорбционно-десорбционного вещества в момент времени 1а в точке - количество вещества, образующегося на поверхности х} - 0 в единицу времени /0.

Далее начально-граничная задача (8) - (10) используется для описания процесса диффузии системы первый - второй слой подложки. Источником примеси является первый (верхний) слой подложки. Роль подложки выполняет второй ее слой. В этом случае диффузия во втором слое описывается начально-граничной задачей

+ 2>, + + ZIX ЗПГ1" = 01 (',*. .*2) ■ №. (")

Э£,

dt ' dx, (Tf^i '' dxßxj

К,

Qi(<'xi>x2) = ■ <7o('>*>) 91(/1,х1,дг2,дг3) = 0, /6 [/„Г],

(12) (13)

где - количество вещества на плоскости х, = я,'1 в точке (х^хг) в

момент времени ¿3(2) -*«). Диффузия в и-ом слое подложки

описывается начально-граничной задачей

%+£ Ц ^+^+а к, = а (^7)- ^, (14)

61 ы ах, ы ¡а дх1ах].

бп ('> Х1 > х2 ) = ' Яп-| > хг >-"-з"')

ОХ з

(15)

(16)

где ) - количество вещества на плоскости хъ = х("\ представляющей

собой («-1)-слой подложки, в точке (х{,хг) в момент времени /„, х^ - нижняя граница подложки.

Проведен численный эксперимент диффузии вещества в различных соприкасающихся средах. Расчеты проводились с использованием пакета прикладных программ MathCad Professional 2000.

На рисунке 3 представлена зависимость коэффициента диффузии от температуры при изменении Т от 1000 до 1600°С или от 1273 до 1873 К, рассматриваемого в этом эксперименте.

МО "

KfpV/c

lio"u

V»

■ I — 1 t

/

/ -/ / -..............,~"-r"'

Т, К

Рисунок 3 - Температурная зависимость коэффициента диффузии для системы А1—51

Как видно из рисунка 3 изменение коэффициента диффузии с увеличением температуры имеет экспоненциальный вид, при этом его максимальное значение К(Т)= 2,88 • 10"11 см2/с.

На рисунке 4 показано количество примеси А1, проникающей в глубину кремниевой подложки. Штриховой кривой изображен профиль диффузии атомов пленки а первом слое подложки. Сплошная кривая позволяет наблюдать распределение примеси внутри полупроводник?, Б!, в случае проникновения атомов А1 из первого слоя подложки в ее второй слой.

с ю1Т « иг

al. см'3 qO. см'5,

Рисунок 4 - Количество атомов примеси А1, проникающих в глубину подложки (штриховая - проникновение атомов пленки в первый слой подложки, сплошная линия -проникновение атомов примеси из первого слоя подложки в ее второй слой)

Как видно из рисунка 4, при проникновении атомов примеси в глубину подложки, наблюдается уменьшение количества диффундирующих атомов. Это связано прежде всего с тем, что мощность источника примеси также претерпевает уменьшение, т.е. (У^до-

Исследована зависимость концентрации атомов примеси в кремниевой подложке от времени диффузии. На рисунке 5 представлена зависимость концентрации атомов А1 в подложке от времени диффузии. Как видно из рисунка 5 с увеличением времени диффузии концентрация атомов пленки в подложки растет, при этом максимальное значение концентрации атомов А] в 81 составило 1,8-10'3 1/см3.

5 10 "

1J 10 1:

Ч .см"3

1 10 11

I. С

Рисунок 5 - Зависимость концентрации примеси от времени диффузии в системе Al-

Si

J_L

Проводились исследования по проникновению элементов I, III и V групп периодической системы химических элементов Д.И- Менделеева в кремниевую подложку. Было установлено, что:

- чем меньше порядковый номер группы элементов, тем больше глубина залегания атомов примеси в подложке Si при диффузионном процессе;

— чем больше номер группы элементов примеси, тем меньшее количество атомов пленки участвует в диффузии.

Отмеченное касается также и элементов IIIA группы Периодической системы.

В третьей главе проведено исследование математическими методами некоторых экономико-математических задач, возникающих в процессе производства тонких пленок на подложках.

В п. 3.1 третьей главы предлагается экономико-математическая модель объемов производства тонких пленок, учитывающая технологию производства.

Задача предприятия, производящего пленочные структуры, состоит в такой организации производства (т.е. планировании объемов xsj производимых

пленочных структур (i, j), i = \,...,т, j = l,...,n), чтобы суммарная выручка была максимальной. Формально, данную задачу можно записать следующим образом:

¿1]/у^-»тах,

>»1 у-1

2Х

(и)

|=| j-i Xl/>o,

где av - число единиц i-го вещества 1-го типа, затрачиваемых на единицу производства (/, 7)-го продукта; •х- общий расход /'-го вещества 1-го типа

при производстве пленочных структур; а, - общие запасы /-го вещества 1-го типа на предприятии; btj - число единиц у-го вещества 2-го типа, затрачивает

мых на единицу производства (/, у)-го продукта; • xtj - общий расход j-го

вещества 2-го типа при производстве пленочных структур; /? - общие запасы у-го вещества 2.-го типа на предприятии; ztj - затраты (в денежном исчислении) на производство единицы (/, у)-го продукта; I - общие инвестиции (в денежном исчислении) в рассматриваемое производство; ptJ- стоимость единицы

((', у')-го продукта на рынке; X 2 Рч ' xij ~~ общая (суммарная) выручка пред-•• i-l приятия.

Затраты ztJ зависят от времени протекания технологического процесса Т

(времени образования пленочной структуры), температуры t", при которой он протекает, толщины Л пленочной структуры, стоимости единицы массы пленочной структуры с, и единицы массы подложки с2, т.е.

2и =2,у.(г,/°,А,с„с2). Данная зависимость устанавливается экспериментально с учетом особенностей того предприятия, которое производит данный вид товара.

Задача (17) представляет собой обычную задачу линейного программирования и может быть легко решена известными методами (например, симплекс-методом в пакете Microsoft Office Excel).

Модель (17) можно переписать в стандартном (наиболее употребляемом) виде, используя в обозначениях один индекс, а не два, как в модели (17). Тогда (17) примет вид:

ЛГХЛ

-X, -»max,

ы

A,Xi+A1X2+...+ AnX„<al, Л+Л+i + + —+ А-^Х^ <а2,

В2Х2 + B„t¡Хп+2 + ...+ B^^jX^^t <ß2,

где

тхл

IZ.-X^I, i—1

дг, >0, /' = ],...,/их«; А = {я,}, Ö = {ь„}, Z = }, X = }, ; = !,...,m ; j =

vP-l A.2 A.) -a также произведены переобозначения:

CPn Рч Pu ■• Pu

Pi, Pu P» • •■ Pu

Psi Pn Pn ■ ■■ P}„

р„ = р„... ■>Ри=Р„> Л, = .....Ри ^х»'—>

= Р

°П ~ А...... =4.» ai 1 = Д,«г

аи = - Л ^m-l^nl'"-: = Л 1 1ИХЯ

.К = в„ b2, = Bnt„. "Ал ~ V

Ь» ..... bml ■А- Втхп '

Z11 "" z,,..., 21я ~ Z2I Z„+1>. ••'Z2n = ^2ХЛ>-

т — 7 -г -7 - _7 7 =7

Пример. Рассмотрим процессы хроматирования алюминия (продукт 1) и бесцветного хроматирования алюминия (продует 2).

Для изготовления конечного продукта на поверхность А1 (подложка, вещество 2-го типа) в обоих случаях наносится раствор Сг (пленка, вещество 1-го типа) различной массы. Расход А1 и Сг при производстве двух марок хромати-

Вид изделия Тип вещества

Вещество 1-го типа Вещество 2-го типа

Продукт 1 0,21 0,78

Продукт 2 0,38 0,61

Доход компании «Высокие Технологии» от производства одного килограмма продукта 1 составляет 16,5 гривны, а продукта 2 - 22,5 гривны. В переводе на рубли по курсу ЦБ РФ получим около 82,5 и 112,5 рублей соответственно.

Определим, сколько продукта 1 и продукта 2 должна изготовить компания, чтобы ее прибыль была наибольшей.

Пусть в распоряжении компании «Высокие технологии» имеется по 5 килограммов AI и Сг. Обозначим хп - количество продукта 1, jc2I - продукта 2. Из условия задачи р,,=82,5, p2i =112,5, а, =5, Д= 5, сги=0,21, а12=0,78, Ьп =0,38, Ьп = 0,61, тогда (17) примет вид:

82,5*,, +112,5хг, —> шах, 0,2Ц, +0,78хг1 £5, 0,38xj, +0,61jt2l ¿5, л-,, £0, х21 Й0

(здесь предполагаем, что запасы веществ на предприятии используются полностью в производственном процессе).

Обозначая X, =хп, Хг - х21, получаем:

82,5-V, +112,5 Хг -» max, 0,21 A', + 0JSX2 5, ' 0.38Л-, +0.61X; <5, X, >0, X2> 0,

Решение данной задачи находим симплекс-методом в пакете прикладных программ Microsoft Office Exccl 2003.

Решение имеет вид: Л", =.*,, =3,62 кг, Хг = x2l ~ 5,14 кг. Максимальная прибыль составит 876,9 рублей или 175,38 гривен.

В п. 3.2 третьей главы предлагается экономико-математическая модель объемов производства пленочных структур, учитывающая затраты на их производство. Эта модель уточняет предыдущую модель (17). Пусть задача предприятия, производящего пленочные структуры, состоит в такой организации производства (т.е. планировании объемов х^ производимых пленочных структур

/Ц Л

(/, j), i = \,...,т, j = 1,...,л), чтобы суммарный доход XS/'/j'хо был максима-

1=1 И

т п

лен, а общий объем затрат "хц ~ минимален. Данную задачу можно за-

/=1

писать следующим образом:

¿¿/Vx//->max> О8)

М № т п

(»1 М

п

J'l

(20)

i=i

j-\,...,m;j = \,...,n. Математическая модель (18) - (20) представляют собой двухкритериаль-ную (соответственно с критериями (18), (19)) оптимизационную задачу. Основными методами построения решений таких задач являются методы свертки критериев. Предлагается производить линейную свертку критериев (18), (19): вместо этих двух критериев рассматривается один

т п т п .

(2|)

1=1 j= 1 ¡л

где параметры Y\ = const >О, уг = const>0, ух + у2 =1, задаются экспертами и их значения отражают степень предпочтительности одного критерия перед другим. Тогда двукритериальная задача (18) - (20) сводится к однокритериальной (21), (20).

Модель (21), (20) представляет собой задачу линейного программирования и может быть решена известными методами (например, симплекс-методом, реализованным в пакете Microsoft Office Excel), как и модель (17).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

На основании полученных выше результатов исследования можно сделать следующие выводы.

1. Для описания процесса осаждения атомов вещества при адсорбционно-десорбционном процессе от точечного источника на подложку предложена математическая модель диффузии, учитывающая начально-граничные условия и позволяющая определить количество оседающего на подложку вещества за заданное время.

2. Указаны условия существования и единственности решения начально-граничных задач, описывающих диффузию при росте тонких пленок на подложках.

3. Предложена математическая модель диффузии вещества в различных соприкасающихся средах, описывающая диффузионный рост тонкой пленки на подложке от площадного источника и дальнейшего проникновения атомов пленки в глубину подложки. Эта модель позволяет определить глубину залегания атомов пленки в подложке, а также оценить концентрацию диффундирующего вещества на заданной глубине подстилающей поверхности.

4. Для расчета максимальной прибыли предприятия от производства определенного вида продукции разработана экономико-математическая модель, описывающая процесс производства тонкопленочных материалов на подложках.

5. Построена экономико-математическая модель, описывающая процесс производства тонкопленочных материалов на подложках с учетом затрат на их производство. С ее помощью можно рассчитать максимальный доход и минимальный объем затрат при производстве тонкопленочных материалов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Галай, Е.О. Статистическая модель образования плёнок на кристаллических подложках [Текст] / Е.О. Галай // Обозрение прикладной и промышленной математики. VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. - М.: Редакция журнала «Обозрение прикладной и промышленной математики». - 2006. - Т. 13. -Вып. 1. - С. 89.

2. Галай, Е.О. Квантовостатистмческая модель образования пленки на кристаллической подложке [Текст] / Е.О. Галай // Современные проблемы науки и образования. - М.: Издательство Российской академии естествознания. - 2006. - Т. 2. - С. 65-66.

3. Галай, Е.О. Математическая модель образования плёнок на подложках [Текст] / Е.О. Галай // Обозрение прикладной и промышленной математики. XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. - М.: Редакция журнала «Обозрение прикладной и промышленной математики». - 2005. - Т.12. - Вып. 4. - С. 932.

4. Галай, Е.О. Термодинамика решетки в модели kV) [Текст] / Е.О. Галай // Материалы 50-й юбилейной научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону», посвященной 60-летию Победы в Великой Отечественной войне. (5-25 апреля 2Ó05 г.). - Ставрополь: Издательство Ставропольского государственного университета. - 2005.- С. 147-151.

5. Семенчин, Е.А. Диэлектрические свойства кристаллов в области фазового перехода соразмерная - несоразмерная фаза [Текст] / Е.А. Семенчин, Е.О. Галай // Университетская наука - регион}': материалы 51-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета, Ставрополь, 3-24 апреля 2006 г. / Ставропольский государственный университет,-Ставрополь, 2006. - С. 187-190.

6. Семенчин, Е.А. Моделирование структурных фазовых переходов в плёнках [Текст] / Е.А, Семенчин, Е.О. Галай // Фундаментальные исследования. - 2006.- №4,- С. 67-68.

7. Семенчин, Е.А. Математическая модель стохастической фазы адсорб-ционно-десорбционного вещества при образовании пленочных структур [Текст] / Е.А. Семенчин, Е.О. Тарасенко // Прогрессивные технологии в обучении и производстве: материалы IV Всероссийской конференции, Камышин, 2006 г. / Волгоградский государственный технический университет,- Волгоград, 2006.- Г. 3. - С. 40-43.

8. Семенчин, Е.А. Математическое моделирование образования пленок на кристаллических подложках [Текст] / Е.А. Семенчин, Е.О. Тарасенко // Обозрение прикладной и промышленной математики. XIII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике.- М.: Редакция журнала «Обозрение прикладной и промышленной математики»,- 2007.- Г. 14,- Вып. 2,- С. 351-352.

9. Семенчин, Е.А. Моделирование процесса диффузии в полупроводниках [Текст] / Е.А. Семенчин, Е.О. Тарасенко // Обозрение прикладной и промышленной математики. XIII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике.- М.: Редакция журнала «Обозрение прикладной и промышленной математики».- 2007.- Т. 14,- Вып. 2,-С. 352-353.

10. Семенчин, Е.А. Моделирование структурного фазового перехода типа несоразмерная-соразмерная фаза [Текст] / Е.А. Семенчин, Е.О. Тара-сенко // Вестник Ставропольского государственного университета. -2006.- Вып. 47,- Ч. 2,- С. 5-9.

11.Семенчин, Е.А. Об одном способе определения фононной частоты при образовании пленок на кристаллических подложках [Текст] / Е.А. Семенчин, Е.О. Тарасенко П Научно-инновационные достижения физико-математического факультета в области физико-математических и технических дисциплин: материалы 52-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону», Ставрополь, апрель 2007 г. / Ставропольский государственный университет,- Ставрополь, 2007.- С. 229-231.

12. Тарасенко, Е.О. Расчет концентрации примеси при диффузии в твердых телах (РКП при ДТТ): программа [Электронный ресурс]. - Электронные данные и программа. - Ставрополь: Ставропольский государственный университет, 2007. - 1 дискета. - Системные требования: IBM PC, Windows ХР. - Загл. с экрана. - Свидетельство об отраслевой регистрации № 8266 от 10.05.2007 г. программного продукта в ФГНУ «Государственный координационный центр информационных технологий, отраслевой фонд алгоритмов и программ».

13. Тарасенко, Е.О. Экономико-математическая модель производства пленочных структур [Текст] / Е.О. Тарасенко, Е.А. Семенчин // Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии: сборник статей VII Международной научно-технической конференции, 2007 г. / Пензенская государственная сельскохозяйственная академия.- Пенза, 2007.-С. 146-149.

Отпечатано в авторской редакции

Подписано в печать 26.12.2008 г. Формат 60x84 1/16 Усл. печ. л. - 1,5 Уч.-изд. л. - 1,0 Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ №752 Тираж 100 экз. ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» 355028, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПРОЦЕССА ОБРАЗОВАНИЯ ТОНКИХ ПЛЕНОК.

1.1. Обзор экспериментальных данных по диффузии в твердых телах.

1.2. Полуэмпирическое уравнение диффузии.

1.3. Корректная постановка задач и методы их решения.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИФФУЗИОННОГО РОСТА ТОНКИХ ПЛЕНОК НА ПОДЛОЖКАХ.

2.1. Построение математической модели диффузионного роста тонкой пленки на подложке.

2.2. Разрешимость математической модели диффузии в процессе роста тонкой пленки.

2.3. Математическая модель диффузии вещества в различных соприкасающихся средах.

2.4. Численные расчеты по предложенным моделям.

Выводы по второй главе.

ГЛАВА 3. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВА ТОНКИХ ПЛЕНОК.

3.1. Экономико-математическая модель объемов производства тонких пленок.

3.2. Экономико-математическая модель объемов производства тонких пленок с учетом затрат на их производство.

Выводы по третьей главе.

Актуальность темы диссертационной работы. В последние годы довольно часто встречается утверждение о свершившемся переходе человечества в новую эпоху — эпоху всеобщей информатизации. Эта истина столь же справедлива, сколь и банальна. Действительно, информационный обмен резко возрастает, а современные технические возможности позволяют записывать, хранить, быстро передавать, обрабатывать и воспроизводить огромные массивы информации, причём объём памяти и быстродействие средств вычислительной техники растут необычайно. Этот рост связан с бурным развитием цифровой микроэлектроники, которое происходит з направлении повышения степени интеграции на базе традиционных схемотехнических решений, когда носителем информации является электрическое состояние ячеек схемы, построенных на активных и пассивных элементах, а также в направлении повышения быстродействия интегральных схем. Степень интеграции до недавнего времени повышалась за счёт уменьшения минимального топологического размера элементов и ячеек, а также за счёт увеличения размеров кристаллов. Достигнутые в настоящее время результаты — десятки мегабит в кристалле и единицы наносекунд по времени выборки бита — выглядят достаточно впечатляюще. Однако именно сейчас в развитии цифровой микроэлектроники наметились серьёзные проблемы, которые связаны с принципиальными ограничениями конструктивно-технологических приёмов, лежащих в основе планарной технологии, и касаются прежде всего ограничений по степени интеграции. Анализ перспектив развития этого направления показывает, что как по технологическим, так и по принципиальным физическим причинам минимальный топологический размер не может быть существенно ниже практически достигнутой сегодня величины порядка 1 мкм: возникают неразрешимые в данном подходе проблемы взаимовлияния ячеек и соединений между ними — так называемых токоведущих дорожек.

Необходимость освобождения от «тирании межсоединений» диктует потребность поиска новых видов носителей информации и принципов её обработки и соответственно новых материалов. В качестве подобных носителей уже сравнительно долгое время используются разнообразные динамические неоднородности — изменяющиеся во времени локальные области неравновесных состояний в континуальных ^средах. Примерами динамических неоднородностей, широко используемых в настоящее время для решении отдельных частных задач радиоэлектроники и вычислительной техники, являются поверхностные акустические волны, цилиндрические магнитные домены, модуляции электростатического потенциала в линейках и матрицах приборов с зарядовой связью, квантовых ямах и т.д.

Необходимость обработки больших массивов информации в реальном масштабе времени ставит задачу создания устройств функциональной электроники, объединяющих функции ввода, преобразования и вывода информации для последующей её обработки в цифровом коде с помощью традиционных принципов. Создание таких устройств функциональной электроники опирается на интеграцию различных физических эффектов и разных видов динамических неоднородностей (несущих информацию) в одном устройстве. Использование же новых видов носителей информации неизбежно должно привести к появлению новых принципов обработки информации, позволяющих, в частности, параллельно переносить большие информационные пакеты из одной континуальной среды в другую.

Создание объектов (устройств), позволяющих объединить функции ввода, преобразования и вывода информации упирается в изучение физического процесса — образование тонких пленок на подложках. Исследованию такого процесса посвящено значительное число работ [101, 103, 106, 107, 109, 110, 3, 19, 40, 47, 94]. Однако до настоящего времени математическое описание такого процесса находится в неудовлетворительном состоянии. Не существует единой и универсальной математической модели образования тонких пленок на подложках для всевозможных материалов и различных условий. Существующие модели зависят от ряда факторов: температуры, типа и компактности решетки, вида химической связи, природы диффундирующей примеси и т.д.

Поэтому тема диссертационной работы, посвященная построению математической модели процесса образования тонких пленок на подложках, является актуальной и практически значимой.

Диссертация посвящена решению следующей важной как с теоретической, так и с практической точек зрения научной задачи — обосновать возможность применения модели диффузионного осаждения атомов вещества на подложку для описания процессов диффузионного роста тонких пленок на подложках и дальнейшего проникновения атомов пленки в эти подложки.

Объект и предмет исследования. Объект исследования — тонкие пленки, образующиеся на подложке.

Предметом исследования является процесс диффузии при образовании тонких пленок на подложках.

Цель диссертационной работы — построить математическую модель процесса адсорбции при высоких температурных режимах вещества, находящегося в газообразном состоянии, на поверхность твердой подложки и дальнейшего проникновения его атомов в подложку; и использовать ее для построения экономико-математической модели процесса производства таких материалов.

Поставленная цель требует решения следующих задач исследования:

1. Построить математическую модель образования тонких пленок на подложках, позволяющую рассчитать количество оседающего на подложку вещества в результате адсорбции.

2. Построить математическую модель проникновения атомов пленки в подложку. На ее основе предложить методику оценки концентрации и глубины проникновения этих атомов в подложку за заданное время.

3. Исследовать на адекватность результатов расчетов, выполненных в рамках предложенных математических моделей экспериментальным данным.

4. Предложить экономико-математическую модель производства пленочных структур, учитывающую технологию их производства и позволяющую определить максимальную прибыль предприятия, занимающегося производством пленочных структур.

Методология и методы проведённых исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании результатов и методов уравнений математической физики, интегральных уравнений, математической статистики, численных методов, физики твёрдого тела, кристаллографии, материаловедения, аппаратных средств Microsoft Office Excel, пакета прикладных программ MathCAD Professional.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационном исследовании теоретических результатов обеспечивается корректным применением математического аппарата и инструментальных средств, в частности, языка программирования Free Pascal, пакета прикладных программ MathCAD Professional, для описания математических моделей диффузии при образовании пленочных структур на подложках, что подтверждается согласованностью расчетных данных в рамках построенных моделей с экспериментальными данными.

Научная новизна полученных результатов.

1. Предложена математическая модель диффузионного осаждения атомов вещества на подложку для расчета количества вещества, находящегося в газообразном состоянии и оседающего на эту подложку.

2. Разработана математическая модель диффузии атомов пленки в подложку. С ее помощью произведена оценка концентрации и глубины проникновения атомов пленки в подложку за заданное время.

3. Построена и исследована экономико-математическая модель производства пленочных структур, учитывающая технологию их производства, которая используется для расчета максимальной прибыли предприятия, производящего такие структуры.

Практическая значимость изложенных в диссертационной работе научных результатов состоит в возможности создания на их основе технологических разработок процесса образования тонких пленок на подложках. Результаты исследований представляют определенный интерес для специалистов, занимающихся технологическими разработками в опто-и микроэлектронной промышленностях и т.д.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Математическая модель диффузионного роста тонких пленок на подложках, позволяющая определить количество вещества, оседающего на подложке за заданное время при заданной температуре.

2. Математическая модель диффузии вещества в двух соприкасающихся средах, используемая для определения концентрации диффундирующего вещества и глубины проникновения его атомов в подложку за заданное время.

3. Экономико-математическая модель производства тонких пленок, учитывающая технологию их производства, позволяющая оценить максимальную прибыль предприятия, производящего пленки, при минимальных его затратах на их производство.

Реализация и внедрение. Математическая модель образования тонких пленок на подложке внедрена в производственную деятельность ООО 1111 «Грунт», что подтверждается соответствующим актом о внедрении результатов диссертационного исследования (Приложение 1).

Отдельные положения диссертационного исследования использованы в учебном процессе Ставропольского государственного университета при обучении студентов 2 курса специальности «Физика» по учебной дисциплине «Вычислительная физика», что подтверждено актом об использовании научных результатов в учебном процессе (Приложение 2).

Апробация результатов исследования. Результаты проведенных исследований докладывались на VI и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2005 г., г. Кисловодск, 2006 г. и г. Йошкар-Ола, 2006 г.); IV Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве» (г. Камышин, 2006 г.); 50-й, 51-й и 52-й научно-методической конференции преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука — региону» (г. Ставрополь, 2005 - 2007 гг.); VII Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии» (г. Пенза, 2007 г.).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах: из них пять — в изданиях, включенных в перечень научных и научно-технических журналов, издаваемых в Российской Федерации, рекомендуемых ВАК для опубликования основных результатов диссертационных исследований («Обозрение прикладной и промышленной математики», «Вестник Ставропольского государственного университета»), семь - в сборниках материалов Международных, Всероссийских и региональных конференций.

Зарегистрирован программный продукт «Расчет концентрации примеси при диффузии в твердых телах (РКП при ДТТ)» в ФГНУ «Государственный координационный центр информационных технологии, отраслевой фонд алгоритмов и программ» (свидетельство об отраслевой регистрации № 8266 от 10.05.2007 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы (содержащего 110 наименований) и четырех приложений. Работа содержит 13 рисунков и 8 таблиц.

Выводы по третьей главе

В главе три получены следующие результаты.

1. Разработана экономико-математическая модель производства тонкопленочных материалов на подложках, учитывающая технологию производства. Она позволяет рассчитать максимальную прибыль предприятия от производства определенного вида продукции (тонкая пленка — подложка).

2. Предложена математическая модель производства тонкопленочных материалов на подложках с учетом затрат на их производство. С ее помощью можно рассчитать максимальный суммарный доход и минимальный объем затрат в процессе производства тонкопленочных материалов.

3. Показано, что предложенные экономико-математические модели могут быть применены не только для производства тонкопленочных материалов на подложках, но и для сплавов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании приведенных выше результатов исследования можно сделать следующие выводы:

1. Рассмотрено полуэмпирическое уравнение диффузии, которое представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными. Оно составляет основу прикладных математических моделей. Установлено, что до настоящего времени полного исследования решения полуэмпирического уравнения диффузии не проведено.

2. Приведены теоретические исследования о корректности постановки задач математической физики. Указаны требования корректности. Обозначены способы выбора параметра регуляризации для решения некорректно поставленных математических моделей.

3. Для описания процесса осаждения атомов вещества при адсорбционно-десорбционном процессе от точечного источника на подложку построена математическая модель диффузии, учитывающая начально-граничные условия, позволяющая определить количество оседающего на подложку вещества за заданный промежуток времени.

4. Указаны условия существования и единственности решения начально-граничных задач, описывающих диффузию при росте тонких пленок на подложках.

5. Предложена математическая модель диффузии вещества в различных соприкасающихся средах, описывающая диффузионный рост тонкой пленки на подложке от площадного источника и дальнейшего проникновения атомов пленки в глубину подложки. Эта модель позволяет определить глубину залегания атомов пленки в подложке, а также оценить концентрацию диффундирующего вещества на заданной глубине подстилающей поверхности.

6. Для расчета максимальной прибыли предприятия от производства определенного вида продукции разработана экономико-математическая модель производства тонкопленочных материалов на подложках.

7. Построена экономико-математическая модель производства тонкопленочных материалов на подложках с учетом затрат на их производство. С ее помощью можно рассчитать максимальный доход и минимальный объем затрат при производстве тонкопленочных материалов.

1. Абросимова, Г.Е. Влияние температурной обработки на скорость звука и упругие волны в аморфном сплаве Zr52.5Zr17.9Ti5 Текст. / Г.Е. Абросимова и др. // Физика твердого тела. 2004. - Т. 46. - Вып. 10. -С. 1801-1805.

2. Адамсон, А. Физическая химия поверхностей Текст. / А. Адамсон.- М.: Мир, 1979. 568 с.

3. Аксенов, В.Л. Фазовый переход смешанного типа в модели сегнетоэлектрика Текст. /B.JI. Аксенов // Физика твердого тела. — 1976. Т. 18. - Вып. 10. - С. 2922-2933.

4. Аксенов, B.JI. Динамика решётки сегнетоэлектриков с примесями Текст. / В.Л. Аксенов, X. Бретер, Н.М. Плакида // Физика твердого тела. 1978. - Т.20. - № 5. - С. 1469-1476.

5. Алексеев, Е.Р. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 Текст. / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова. М.: НТ Пресс, 2006. - 496 с.

6. Андриевский, В.Ф. Диффузия цинка в незащищенную поверхность InP Текст. / В.Ф. Андриевский, Е.В. Гущинская, С.А. Малышев // Физика и техника полупроводников. 2004. - Т. 38. - Вып. 1. - С. 6871.

7. Арсенин, В.Я. О решении некоторых интегральных уравнений первого рода типа свертки методом регуляризации Текст. / В.Я. Арсенин, В.В. Иванов // Журнал Высшая математика и математическая физика. 1968. - №2.

8. Арсенин, В.Я. О применении метода регуляризации к интегральным уравнениям первого рода типа свертки Текст. / В.Я. Арсенин, Т.И. Савелова // Журнал Высшая математика и математическая физика. -1969.-№9.

9. Бакушский, А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач Текст. / А.Б. Бакушский, A.B. Гончарский. М.: Наука, 1989.-426 с.

10. Бакушский, А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения Текст. / А.Б. Бакушский, A.B. Гончарский. М.: Издательство Московского государственного университета, 1989. - 202 с.

11. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов. М.: Наука, 1973. - 614 с.

12. Березин, И.С. Методы вычислений. Т. 1 Текст. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Физматгиз, 1962. - 472 с.

13. Березин, И.С. Методы вычислений. Т. 2 Текст. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Физматгиз, 1962. - 402 с.

14. Берлянд, М. Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы Текст. / М.Е. Берлянд. JL: Гидрометеоиздат, 1975. - 448 с.

15. Боголюбов, H.H. Некоторые вопросы статистической механики Текст. / H.H. Боголюбов, Б.И. Садовников. М.: Наука, 1975. -308 с.

16. Болтакс, Б.И. Диффузия и точечные дефекты в полупроводниках Текст. / Б.И. Болтакс. Л.: Мир, 1972. - 362 с.

17. Бонч-Бруевич, B.JI. Электронная теория неупорядоченных полупроводников Текст. / В.Л. Бонч-Бруевич и др. М.: Наука, 1981.-486 с.

18. Брус, А. Структурные фазовые переходы Текст. / А. Брус, Р. Каули. М.: Мир, 1984. - 408с.

19. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов Текст.: учебник для вузов / В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2005. - 840 с.

20. Вержбицкий, В.М. Численные методы Текст. / В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2001. - 612 с.

21. Вержбицкий, В.М. Численные методы Текст.: линейная алгебра и нелинейные уравнения / В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2000. - 612 с.

22. Верлань, А.Ф. Математическое моделирование непрерывных динамических систем Текст. / А.Ф. Верлань, С.С. Москалюк. -Киев: Наукова думка, 1988. 362 с.

23. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы Текст. / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков. Киев: Наукова думка, 1986. - 426 с.

24. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике Текст. / М.Я. Выгодский. М.: Наука, 1977. - 872 с.

25. Галай, Е.О. Квантовостатистическая модель образования пленки на кристаллической подложке Текст. / Е.О. Галай // Современные проблемы науки и образования. М.: Издательство Российской академии естествознания. - 2006. - Т. 2. - С. 65-66.

26. Гихман, И. И. Введение в теорию случайных процессов Текст. / И". И. Гихман, А. В. Скороход. М.: Наука, 1965. - 656 с.

27. Гихман, И. И. Теория случайных процессов Текст. / И. И. Гихман, А. В. Скороход. М.: Наука, 1971. -Т.1.-664 с.

28. Готра, З.Ю. Технология микроэлектронных устройств Текст. / З.Ю. Готра. М.: Радио и связь, 1991. - 528 с.

29. Гребенников, А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений Текст. / А.И. Гребенников. М.: Издательство Московского государственного университета, 1983. - 164 с.

30. Данилов, H.H. Курс математической экономики Текст. / H.H. Данилов. М.: Высшая школа, 2006. - 407 с.

31. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач Текст. / A.M. Денисов. М.: Издательство Московского государственного университета, 1994. - 208 с.

32. Долбак, А.Е. Диффузия Си по чистой поверхности Si(lll) Текст. /

33. A.Е. Долбак, P.A. Жачук, Б.З. Олыпанецкий // Физика и техника полупроводников.- 2001.- Т. 35.- Вып. 9. С. 1063-1066.

34. Дьяконов, В.П. Энциклопедия Mathcad 200Ii и Mathcad 11 Текст. /

35. B.П. Дьяконов. М.: Солон-Пресс, 2004. - 832 с.

36. Заславский, Г.М. Стохастичность динамических систем Текст. / Г.М. Заславский. М.: Наука, 1984. - 208 с.

37. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения Текст. / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. М.: Наука, 1978.-306 с.

38. Изюмов, Ю.А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов Текст. / Ю.А. Изюмов, В.Н. Сыромятников. М.: Наука, 1984. -248 с.

39. Ильченко, А.Н. Экономико-математические методы Текст. / А.Н. Ильченко. М.: Финансы и статистика, 2006. - 288 с.

40. Краснов, M.JI. Интегральные уравнения Текст. / M.JI. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М.: Наука, 1976. - 436 с.

41. Курносов, А.И. Технология производства полупроводниковых приборов Текст. / А.И. Курносов, В.В. Юдин. М.: Высшая школа, 1974.-400 с.

42. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа Текст. / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. -М.: Наука, 1980. 206 с.

43. Ладыженская, O.A. Краевые задачи математической физики Текст. / O.A. Ладыженская. М.: Наука, 1973. - 406 с.

44. Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа Текст. / O.A. Ладыженская, В.А. Солонников, H.H. Уральцева. М.: Наука, 1967. - 736 с.

45. Ландау, Л. Д. Собрание трудов Текст. / Л.Д. Ландау. М.: Наука, 1969. - Т. 1. - 512 с.

46. Марчук, Г.И. Математическое моделирование в проблеме охраны окружающей среды Текст. / Г.И. Марчук. М.: Наука, 1982. - 320 с.

47. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики Текст. / Г.И. Марчук. М.: Наука, 1989. - 608 с.

48. Морозов, В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач Текст. / В.А. Марчук. М.: Наука, 1987. - 472 с.

49. Матюшин, В.М. Низкотемпературная диффузия индия в германии, стимулированная атомарным водородом Текст. / В.М. Матюшин // Физика и техника полупроводников.- 2001.- Т. 35.- Вып. 3.- С. 301304.

50. Моделирование элементов и технологических процессов Текст. / Под ред. П. Антонетти и др.; Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1988. -496 с.

51. Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах Текст. / Н. Мотт, Э. Дэвис. М.: Наука, 1982. - 328 с.

52. Назыров, Д.Э. Диффузия европия в кремнии Текст. / Д.Э. Назыров // Физика и техника полупроводников.- 2003.- Т. 37.- Вып. 5.- С. 570571.

53. Назыров Д.Э. Диффузия тербия в кремнии Текст. / Д.Э. Назыров // Физика и техника полупроводников.- 2006.- Т. 40.- Вып. 6.- С. 650651.

54. Назыров, Д.Э. Диффузия иттрия в кремнии Текст. / Д.Э. Назыров, М.И. Назарбаев, A.A. Иминов // Физика и техника полупроводников.-2006.- Т. 40.- Вып. 7.- С. 788-789.

55. Никоненко, В.А. Математическое моделирование технологических процессов Текст. / В.А. Никоненко ; под редакцией Г.Д. Кузнецова. М.: МИСиС, 2001.-48 с.

56. Официальный сайт компании «Высокие технологии» Электронный ресурс.: содержит сведения о деятельности компании. Электронные данные - Киев, [200-]. - Режим доступа: http://www.galvanicka.narod.ru . - Загл. с экрана.

57. Официальный сайт ООО «ИМПЭКС ИНВЕСТ» Электронный ресурс.: содержит сведения о деятельности компании. Электронные даные - Москва, [200-]. - Режим доступа: http://www.impex-i.ru . -Загл. с экрана.

58. Павлов, Л.П. Методы определения основных параметров полупроводников Текст. / Л.П. Павлов. М.: Высшая школа, 1975. 206 с.

59. Прохоров, Ю.В. Теория вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы Текст. / Ю.В. Прохоров, Ю.А. Розанов. М.: Наука, Издание 2-е, 1973. - 496 с.

60. Пытьев, Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента Текст. / Ю.П. Пытьев. М.: Высшая школа, 1989. -538 с.

61. Самарский, A.A. Численные методы Текст. / A.A. Самарский, A.B. Гулин. М.: Наука, 1989. - 196 с.

62. Самарский, A.A. Численные методы математической физики Текст. / A.A. Самарский, A.B. Гулин. М.: Научный мир, 2000.

63. Семенчин, Е.А. Моделирование структурных фазовых переходов в плёнках Текст. / Е.А. Семенчин, Е.О. Галай // Фундаментальные исследования. 2006.- №4.- С. 67-68.

64. Семенчин, Е.А. Об одном способе исследования многокритериальных задач Текст. / Е.А. Семенчин, Т.В. Коротина // Наука Кубани.- 2004.- № 1.- С. 20-24.

65. Семенчин, Е.А. Моделирование структурного фазового перехода типа несоразмерная-соразмерная фаза Текст. / Е.А. Семенчин, Е.О. Тарасенко // Вестник Ставропольского государственного университета.- 2006.- Вып. 47.- Ч. 2.- С. 5-9.

66. Сизиков, B.C. Математические методы обработки результатов измерений Текст. / B.C. Сизиков. СПб: Политехника, 2001. - 240 с.

67. Сизиков, B.C. Использование регуляризации для устойчивого вычисления преобразования Фурье Текст. / B.C. Сизиков // Вычислительная математика и математическая физика.- 1998.- Т. 38.-№3.- С. 376-386.

68. Слепян, Л.И. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики Текст. / Л.И. Слепян, Ю.С. Яковлев. Л.: Судостроение, 1980. - 208 с.

69. Стечкин, С.Б. Сплайны в вычислительной математике Текст. / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. М.: Наука, 1976. - 384 с.

70. Струков, Б.А. Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах Текст. / Б.А. Струков, А.П. Леванюк. М.: Наука, 1995. - Изд. 2е. - 265 с.

71. Тарасевич, Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс Текст.: учебное пособие / Ю.Ю. Тарасевич. 2-е изд., испр. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 144 с. -400 экз. - ISBN 5-354-00180-3.

72. Тарасенко, Е.О. Экономико-математическая модель производства пленочных структур Текст. / Е.О. Тарасенко, Е.А. Семенчин // Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии: сборник статей VII

73. Международной научно-технической конференции, 2007 г. / Пензенская государственная сельскохозяйственная академия.-Пенза, 2007.-С. 146-149.

74. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, В .Я. Арсенин. М.: Наука, 1986. - 224 с.

75. Тихонов, А.Н. О методах решения некорректно поставленных задач Текст. / А.Н. Тихонов // Международный конгресс математиков / Московский государственный университет.-Москва, 1966.- С. 76-82.

76. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, A.B. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М.: Наука, 1990. - 406 с.

77. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры Текст. / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. М.: Физматгиз, 1963. - 430 с.

78. Фельдман, JI. Основы анализа поверхности и тонких пленок Текст. / JI. Фельдман, Д. Майер. М.: Мир, 1989. - 344 с.

79. Физика сегнетоэлектрических явлений Текст. / Под ред. Г.А. Смоленского. М.: Наука, 1985. - 256 с.

80. Физические свойства высокотемпературных сверхпроводников Текст. / Под ред. Д.М. Гинзберга. М.: Мир, 1990. - 640 с.

81. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа Текст. / А. Фридман. М.: Мир, 1968. - 428 с.

82. Хлудков, С.С. Диффузия хрома в GaAs при равновесном давлении паров мышьяка Текст. / С.С. Хлудков, О.Б. Корецкая, Г.Р. Буршанова // Физика и техника полупроводников.- 2006.- Т. 40.-Вып. 9.- С. 1025-1027.

83. Хлудков, С.С. Диффузия хрома в арсениде галлия Текст. / С.С. Хлудков, О.Б. Корецкая, А.В. Тяжев // Физика и техника полупроводников.- 2004.- Т. 38.- Вып. 3.- С. 274-277.

84. Экономико-математические методы и прикладные моделч Текст. / Под ред. В.В. Федосеева. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 304 с.

85. Яноши, JI. Теория и практика обработки результатов измерений Текст. / JI. Яноши. М.: Мир, 1968. - 328 с.

86. Яценко, Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью Текст. / Ю.П. Яценко. Киев: Наукова думка, 1991. - 284 с.

87. Aubry, S. Toward a Rigorous Molecular Theory of Metastability Text. / S. Aubry // Ferroelectrics.- 1980,- Vol. 24,- P. 53-59.

88. Bishop, A.R. Phonon Properties. III. Solitons Text. / A.R. Bishop //Rev. Mod. Phys.- 1980.- V. 52.- № 2.- P. 144-153.

89. Caplain, A. Energies de formation et demigration des iacunes fer-nickel de structure G.F.C. par la method l'anisotropie magntique induite Text. / A. Caplain, W. Chambron // Acta Metall.- V. 9.- P. 1001-1019.

90. Frenkel, J. On the transformation of light into heat in solids Text. / J. Frenkel, T. Kontorowa // Phys. Z. Sowjetution. 1938. - Bd. 13. - S. 110.

91. Metiu, H. Statistical Mechanical Theory of the Kinetics of Phase Transitions Text. / H. Metiu, R. Kitahara, J. Ross // Phluctuation Phenomena. Eds. Montroll E.W., Lebowitz J.L.North-Holland. 1979. -P. 231-291.

92. Nishiama, H. Martensitic Theory Transformations Text. / H. Nishiama. Academic, New-York. -1981.-315 p.

93. Robledo, A. The liquid-solid transition of the hard sphere system from uniformiry of the chemical potential Text. / A. Robledo //J.Chem.Phys.- 1980.-V.72.- P. 1701-1712.

94. Takeno, S. A Theory of Phonon-Like Excitations in Non-Crystalline Solids and Liquids Text. / S. Takeno, M. Goda // Progress of Theoretical Physics.- 1972.- V. 45.- № 9.- P. 790-806.

95. Takeno, S. Phonon-Like Excitations in Liquid Helium Text. / S. Takeno, M. Goda // Progress of Theoretical Physics.- 1972.- V. 48.-№3.- P. 724-730.