автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.05, диссертация на тему:Математическое моделирование мехатронного комплекса бурильной установки

094607963

Калинин Павел Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАТРОННОГО КОМПЛЕКСА БУРИЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Специальность: 05.02.05 - Роботы, мехатроника и робототехнические системы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

- 0 СЕН 2010

Новочеркасск 2010

004607963

Работа выполнена в ГОУ ВПО Южно-российском государственном техническом университете (Новочеркасском политехническом институте)

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор технических наук, профессор

Кабельков Александр Николаевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор А.А. Илюхин

доктор технических наук,

профессор

В.Н. Коханенко

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ.

Донской государственный технический университет (ДГТУ)

Защита состоится «27» 08 2010 г. в 14:20 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.24 при Южном федеральном университете по адресу: г. Таганрог, ул. Чехова, корп. «И», комн. 347.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «_»_ 2010 г.

Просим Вас прислать отзыв, заверенный печатью учреждения, по адресу: 347928, г. Таганрог, Ростовская область, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44, Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге Учёному секретарю диссертационного совета Д 212.208.24 Кухаренко Анатолию Павловичу

Учёный секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент

А.П. Кухаренко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из важнейших этапов добычи нефти и газа является достижение нефтегазоносных пластов путём бурения скважин. При этом возникает немалое количество проблем, связанных с управлением процессом бурения, контролем над движением бурильного инструмента и увеличением продолжительности его работы. Все эти вопросы тесно связаны, прежде всего, с проблемой оптимальной работы бурильной установки, т.е. снижением её подверженности колебательным процессам, появление которых в процессе бурения неизбежно. Причины, вызывающие колебательные процессы в работе мехатронного комплекса бурильной установки, могут быть различными. В частности, это неровность поверхности забоя, вызванная неравномерным по площади распределением силы сопротивления вращению колонны, нелинейный характер зависимости момента сопротивления грунта от угловой скорости движения колонны. Подобного рода колебательные процессы могут явиться причиной быстрого изнашивания и поломки бурильного оборудования. Таким образом, совершенствование работы бурильной установки связано, в первую очередь, с устранением или ограничением колебательных процессов, возникающих в процессе бурения. Решение такой задачи необходимо проводить путём построения управляющих воздействий, нейтрализующих указанные процессы в работе её мехатронного комплекса. В связи с этим актуальной является задача построения оптимального управления движением установки.

Целью работы является: построение оптимального управляющего воздействия для ограничения амплитуд автоколебаний колонны мехатронного комплекса бурильной установки на основе анализа протекающих в нём динамических процессов.

Фундаментальная роль в достижении поставленной цели отводится решению следующих основных проблем: а) разработка математической модели движения бурильной установки; б) исследование устойчивости рассматриваемого движения; в) расчёт амплитудно-частотных характеристик (АЧХ); г) построение оптимального управления колебаниями бурильной установки.

Методы исследования. При решении основных задач использованы: а) методы аналитической динамики для составления уравнений движения бурильной колонны; б) первая теорема Ляпунова для нахождения областей устойчивости движения бурильной установки; в) метод Ляпунова- Шмидта для расчёта АЧХ периодических колебательных режимов, ответвляющихся от основного движения; г) методы теории оптимального управления.

Научная новизна работы заключается в:

1. Построении математической модели мехатронного комплекса бурильной установки, бурильная колонна которой совершает изгибно-крутильные колебания под действием следящих силы и момента сопротивления. Данная модель отличается от существующих учётом нелинейного харак-

тера следящих нагрузок в зависимости от изгибных и крутильных деформаций и их скоростей и, до некоторой степени, восполняет пробел в исследованиях влияния сил сопротивления на движение бурильных установок.

2. Применении модифицированного метода Ляпунова- Шмидта впервые для расчёта АЧХ колебаний, ответвляющихся от основного движения мехатронного комплекса бурильной установки

3. Построении на основе С^Я- метода оптимального управляющего воздействия для уменьшения амплитуд автоколебаний, возникающих при движении мехатронного комплекса бурильной установки в окрестности её основного состояния. В отличие от применяемых моделей управления движением установок, получаемое таким образом управляющее воздействие разрешает задачу гашения или снижения автоколебаний, возникающих в окрестностях основных состояний бурильной установки, позволяя избегать критических режимов, неизбежных при использовании разработанных моделей управления движением установки, не учитывающих возможные потери динамической устойчивости.

Практическая ценность. Построенная в работе модель мехатронного комплекса, а также методы её исследования могут быть использованы для изучения сложных систем, движение которых происходит под действием следящих нагрузок.

Полученные результаты могут быть использованы в учебных курсах «Теория автоматического управления», «Математическое моделирование» и др. при подготовке инженеров по специальностям «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика» и некоторым другим. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ (НПИ), что подтверждается соответствующим актом внедрения.

Апробация работы. По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях и семинарах:

1. Научной конференции кафедр «Теоретическая механика» и «Высшая математика», ФМФ ЮРГТУ (НПИ) в 2004 г.

2. Научной конференции кафедр «Теоретическая механика» и «Высшая математика», ФМФ ЮРГТУ (НПИ) в 2005 г.

3. Научной конференции «Неделя науки», проведённой в РГУ в 2005 г.

4. Международном научном коллоквиуме «Мехатроника-2009», прошедшем в 2009 г. в ЮРГТУ (НПИ).

5. Международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» в 2009 г. в ЮФУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей в центральных журналах и сборниках трудов вузов, из которых 3 напечатаны в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 140 страницах машинописного текста и состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, включающего 139 наименований, приложений.

Во введении сформулирована актуальность темы, цель исследования, кратко изложено содержание диссертации, сформулированы основные результаты, выносимые автором на защиту.

В первой главе производится краткий обзор теоретических и экспериментальных работ по вопросам, связанным с исследованием динамики бурильных установок. Отмечен вклад в данное направление отечественных и зарубежных учёных. Приведённые в обзоре работы содержат основополагающие подходы к решению проблемы о снижении влияния колебаний на движение бурильной установки. По итогам анализа литературных источников были сделаны выводы о необходимости построения и исследования математической модели бурильной установки (в условиях действия следящих силы и момента сопротивления), а также конструирования системы управления. Построена математическая модель колонны бурильных труб. Бурильная колонна представлена однородным стержнем, подверженном изгибным и крутильным деформациям (система с распределёнными параметрами).

Система уравнений, описывающих изгибно-крутильные колебания бурильной колонны, имеет вид

венно; =--величина, обратная передаточному числу /; /,, р - удель-

/

ный момент инерции и удельная плотность бурильной колонны соответственно; N ~ следящая нагрузка; сила сопротивления на свободном конце бурильной колонны:

Содержание работы

1

В. (Ь, = (соЯ - у сое а) + к2 (соЯ - у сое а)2 + къ {соЯ - у сое а)3 + су

где

операторы изгибной и крутильной жёсткостей.

Уравнениям (1) соответствуют граничные условия

Др(0,г) = 0, GJpA<p'(L,t) = -Mc(L,t), у(0,/) = 0,У(0,/) = 0,

= 0, £УУ(1,0 = -Ясопр (1,0,

где

(/,,/) = а1Аф + а2у + а3у2 + а4Аф2 + а5уАф-

момент сопротивления на свободном конце бурильной колонны.

При помощи принципа возможных перемещений, с учётом аппроксимации вращательных и крутильных перемещений по теореме Ритца одночленными выражениями, система (1) сведена к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

М/ + Ф/ + Н/ = Г (2)

где / - вектор обобщённых координат, М, Ф и Н - инерционная, дисси-

пативная матрицы и матрица жёсткостей соответственно, Р - нелинейная вектор-функция.

В полученной системе введены безразмерные время, координаты и параметры.

Исследование устойчивости проведено по линейному приближению

Щ + Ф/ + Н/ = 0, (3)

Путём введения вектора состояний X = система (3) сведена к ли-

нейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

X = Ах , (4)

где

О Е

А =

~м~хн -М~х Ф

Исследование устойчивости основного движения бурильной колонны проведено в соответствии с прямым методом Ляпунова. Характерные графики областей устойчивости в зависимости от параметров бурильной колонны приведены на рис. 1 -2.

Рис. 1. Области устойчивости колонны бурильных труб

/ ..... ■

V .....]...... ......"Т

........|....../ ........

:

1... . /"еа=2 ! /

:.].......,, .........г........|........

А .........

> озз гсш 1.0« ; ым1 .! <ш ,1.045 1С 44 га 5,

Рис.2. Области устойчивости колонны бурильных труб Рассмотрение полученных областей устойчивости приводит к следующим выводам:

- увеличение параметра рч, характеризующего соотношение между частотами изгибных и крутильных колебаний, сужает область устойчивости;

- увеличение параметра ръ, характеризующего длину колонны, приводит к сужению области устойчивости;

- возрастание параметра р6 , характеризующего передаточное число, приводит к сужению области устойчивости;

- с увеличением параметра р{, характеризующего удельную плотность

материала колонны, происходит расширение области устойчивости.

Во второй главе получены аналитические выражения для расчёта амплитуд и поправок к частотам автоколебаний бурильной колонны на основе модифицированного алгоритма метода Ляпунова- Шмидта. Расчёт амплитудно-частотных характеристик был произведён с помощью языка программирования высокого уровня. Для их определения использовались рассчитанные ранее собственные числа и векторы матрицы (4). На рис. 3-4 приведены характерные графики амплитуд и поправок к частотам автоколебаний.

Рис.3. Амплитуды автоколебаний бурильной колонны

Рис.4. Поправки к частотам автоколебаний бурильной колонны

Данные зависимости позволяют заключить, что: -увеличение параметра р1, характеризующего изгибную вязкость, приводит к уменьшению амплитуд и увеличению поправок к частотам;

-рост параметра ръ, характеризующего соотношение между частотами изгибных и крутильных колебаний, увеличивает амплитуды и поправки к частотам автоколебаний.

В третьей главе построена математическая модель мехатронного комплекса бурильной установки, состоящей из двигателя, редуктора и колонны бурильных труб. Бурильная колонна представлена вязкоупругим стержнем, подверженным крутильным и изгибным деформациям (система с распределёнными параметрами). Упрощённая схема мехатронного комплекса приведена на рис. 5.

1 ф I ф2 ФЗ

Рис. 5. Схема бурильной установки

Она включает в себя: двигатель 1, вал 2, соединяющий двигатель с редуктором 3, колонну бурильных труб 4.

При построении математической модели бурильной установки предполагалось: вал, соединяющий двигатель с редуктором, обладает нязкоупру-гими свойствами, но отсутствуют изгибные и продольные деформации; бурильная колонна является однородным вязкоупругим стержнем постоянного сечения; редуктор состоит из колёс с недеформируемыми зубьями и валами. На двигатель подаётся напряжение и и управляющее воздействие

и , вследствие чего вырабатывается момент М0, подаваемый на вал 2.

Движение двигателя описывается системой уравнений:

Мд=с„1,

й + К1 + сЕфх = и , (5)

Тй + и = киу,

где I, Ь, Л -соответственно, ток, индуктивность и сопротивление якоря; СЕ - коэффициент противо-ЭДС; См - коэффициент момента; ф1 - угловая

скорость вала двигателя; Т - постоянная времени тиристорного преобразователя; к - коэффициент усиления.

Вращательные перемещения на входе и выходе редуктора связаны с моментом на двигателе уравнениями

Jxф^=Mд-Ь{фг-ф{)-c^((p2-<p^), (6)

32ф2 = Ъ(ф2 -ф1) + с1(ср2~(р1)-с2А<р(£,0, где J] - момент инерции двигателя; J2 -приведённый момент инерции редуктора; Ь, с1 - коэффициенты, характеризующие вязкие и упругие свой-

с!

ства вала, соединяющего двигатель с редуктором; с2 := С-

1 + 7,

V

(1т

оператор вязко- упругости. Изгибно-крутильные колебания колонны описываются системой уравнений в частных производных

к^ф2 + /¡А- (л/рА(р\х^) - 0,

(7)

Щу (X, 0 - О - Му"(х, /) + (1,0/(1,О/О, О-

Система уравнений в частных производных (7) посредством принципа возможных перемещений сведена к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые вместе с уравнениями (5), (6) движения двигателя и редуктора образуют замкнутую систему уравнений, описывающих движение бурильной установки. Исследование устойчивости этой системы позволяет построить граничные кривые, разделяющие области устойчивости и неустойчивости. Рассчитаны АЧХ автоколебаний установки в окрестности её основного движения. Характерные графики областей устойчивости бурильной установки приведены на рис. 6-7.

!------Г--- — —____ У

—4---;___ р0=ТЗ -—

р9=1: ^------- —

-4

й

•6 -го —р..,.;... 1...... ......

—

-12 -—

а> пр

Рис.6. Области устойчивости бурильной установки

3

У

........*~"Т...........[.........

ШРвш

--------------- ..42=15-..

— - : --- --1—.—

¿к? ' ",3 13 .5 ■ ,1 и * .5 ^ ••• 1 ■ '|5? 16

Рис.7. Области устойчивости бурильной установки при различных значениях её параметров Проведённые расчёты позволяют сделать следующие выводы:

- с ростом параметра р9, характеризующего соотношение частот из-

гибных и крутильных колебаний, происходит расширение области устойчивости;

- с увеличением параметра р1, характеризующего вязкие свойства

материала колонны, наблюдается расширение области устойчивости, в то время;

- рост значений параметра Цг, характеризующего упругие свойства вала двигатель-редуктор, приводит к сужению области устойчивости;

- рост значений параметра ръ, характеризующего коэффициент пропорциональности силы сопротивления скорости изгибных колебаний, приводит к сужению области устойчивости.

Характерные графики амплитуд и поправок к частотам приведены на

рис. 8-9.

•

р8-Э

-Ч

0.6 ; : 0.4 о.:> Щ

р8=2

рЗ=1

"17 175 1 136 19 195 20 2С.5 2- 21 & 22

Рис.8. Зависимость амплитуд автоколебаний бурильной установки от её параметров

•о" ттшшвжшяттштж

ШШШШ........ __ __[_____

"р7«3~

' 0 -15 ||§ |1§

Р7=2

т - ------- *

.о --

"б а г е 2 6 3 5.4 6.5 6.6 6.? 6. Й ... В в

Рис.9. Зависимость поправок к частотам автоколебаний бурильной установки от её параметров Проведённые расчёты позволяют сделать следующие выводы:

- с ростом значений параметра р7, характеризующего вязкие свойства материала колонны, происходит уменьшение значений поправки к амплитуде и увеличении - к частоте;

- с увеличением параметра р2, характеризующего вязкие свойства

материала колонны и частоту изгибных колебаний, происходит уменьшение значений поправки к частоте;

- с возрастанием значений параметра р%, пропорционального передаточному числу, происходит снижение поправки к амплитуде.

В четвёртой главе построена система оптимального управления колебаниями мехатронного комплекса бурильной установки. При получении оптимального управляющего напряжения была решена следующая задача оптимального управления

х{{) = Ах(Г) + Ви, хеЯп,

и еКт, х(0) = х0 (8)

с линейно-квадратичным критерием качества управления

г

Дх) = хХТ^^Т) + |ос'(0#2*(0 + (9)

'о

где ЛГ, >0, Ы2 >0,^з >0.

Оптимальное стабилизирующее управление в задаче (9)- (10) определяется формулой

и(х) = -Ы^В'Рх = -Рх . (10)

Матрица Р в формуле (11) удовлетворяет матричному алгебраическому уравнению Риккати

А'Р + РА + Ы2- РВЩ'В'Р = 0. (11)

Построение управления (10) в стационарной задаче оптимальной стабилизации (8), (9) сводится к решению алгебраического уравнения Риккати (11). Для получения управления в стационарных задачах разработан ряд методов, делящихся на две большие группы- прямые и итерационные. При решении задачи (8) был использован итерационный С^Я-метод, обладающий высокой численной устойчивостью.

Этот метод основан на тесной связи матричного уравнения Риккати (11) размерности п и некоторого линейного уравнения порядка2п. Рассмотрим уравнение порядка 2п, имеющее вид

-А (ил N

Л /

Здесь £/, и £/2 - матрицы размера пхп.

Если матрицы V, и II2 являются решением линейной системы (12), причём матрица С^ не вырождена, то матрица

р=и2и;1 аз)

является решением уравнения Риккати (11).

Уравнение (12) удобно решать с помощью ОЯ-алгоритма. Для этого обычно выполняются следующие операции.

1. Находят матрицу Л',' и формируют матрицу

<3 =

А'

(14)

2. С помощью (^-алгоритма приводят матрицу (14) к верхней форме Шура, т.е. к виду

8 = (15)

где IV - ортогональная матрица, а 5" — верхняя блочно-треугольная матрица.

3. Переупорядочивают форму Шура (15) так, чтобы первыми элементами главной диагонали новой формы 5 служили собственные значения Л/ ((?) такие, что ЯеД (С) > 0 , / = 1...П. Такое упорядочивание можно сделать с помощью некоторой ортогональной матрицы V

4. Находят матрицу ¿7 = и выделяют её блоки I/у (/',У = 1,2) размера их«.-

5.0пределяют матрицу Р по формуле

р=и21и;;.

Для этого решают, например, с помощью метода Гаусса, матричное уравнение

и'р = и'

ипг - ип.

Характерные графики оптимального управляющего напряжения приведены на рис. 10-11.

Рис.10. Зависимость оптимального управляющего напряжения от параметров бурильной установки

\\ V р?=п

ч

О;! ' * ■ ■ 1 .12 1 1 1 20

Рис.11. Зависимость оптимального управляющего напряжения от параметров мехатронного комплекса бурильной установки Рассмотрение результатов, приведённых на графиках, позволяет сделать следующее заключение:

- с увеличением параметра р1, характеризующего вязкие свойства

материала колонны и соотношение между частотами изгибных и крутильных колебаний, происходит рост управляющего напряжения;

- с увеличением параметра р9, характер которого определяется частотой изгибных колебаний и нормальной нагрузкой, происходит рост управляющего напряжения;

- с ростом значений параметра р3, характеризующего крутильную

жёсткость материала колонны и частоту крутильных колебаний, происходит уменьшение управляющего напряжения.

Построенное оптимальное управляющее напряжение позволяет снизить амплитуды автоколебаний в зависимости от параметров мехатронного комплекса бурильной установки. Для оценки влияния построенного управляющего воздействия использовались уравнения модифицированного метода Ляпунова- Шмидта. Характерные графики амплитуд с учётом оптимального управляющего напряжения приведены на рис. 12, 13.

1'

. . V # «

.а

.......

■----

___ >9=2

-------

2 3 ';'•< 6 6 7 Мб 9 1С

Рис. 12. Зависимость амплитуд от оптимального управляющего напряжения

д.".

....... -

>7=7

* 7=11

""""

' . 8 п

Рис. 13. Зависимость амплитуд от оптимального управляющего напряжения Указанные построения позволяют сделать заключение о значительном влиянии оптимального управляющего напряжения на амплитуды автоколебаний при движении мехатронного комплекса бурильной установки.

Результаты, полученные в диссертационной работе, имеют важное теоретическое и практическое значение и внедрены в учебный процесс кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ (Н1ТИ).

Основные результаты

В данной работе была решена задача построения системы оптимального управления автоколебаниями бурильной колонны мехатронного комплекса на основе анализа протекающих в нём динамических процессов, что позволило сделать следующие выводы:

1. Построена математическая модель бурильной колонны, совершающей изгибно-крутильные колебания в режиме вращательного бурения под действием следящих силы и момента сопротивления. Полученная система уравнений движения в частных производных сведена вариационными методами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти уравнения, учитывающие вязкоупругие свойства системы, могут быть использованы при исследовании стержневых систем, нагружённых следящими нагрузками.

2. Проведено исследование устойчивости основного движения бурильной колонны на основе первого метода Ляпунова. Дан анализ влияния внутреннего трения и других параметров бурильной колонны на устойчивость её основного движения. Построены графики зависимости областей устойчивости движения в зависимости от параметров колонны бурильных труб. На основе полученных результатов произведён расчёт АЧХ периодических режимов, ответвляющихся от основного движения. Построены характерные графики амплитуд и поправок к частотам. Проведён анализ влияния параметров бурильной колонны на АЧХ.

3. Построена математическая модель мехатронного комплекса бурильной установки, состоящей из колонны бурильных труб, редуктора и двигателя. Уравнения изгабно-крутильных колебаний бурильной установки сведены к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые вместе с уравнениями движения двигателя образуют систему уравнений движения мехатронного комплекса бурильной установки. С помощью прямого метода Ляпунова исследована устойчивость её основного движения. Построены характерные графики областей устойчивости основного движения. Произведён расчёт АЧХ периодических режимов в окрестности основного движения и построены их характерные графики. Приведена оценка влияния параметров установки на области устойчивости и АЧХ.

4. Для уменьшения или ликвидации колебаний, возникающих при движении мехатронного комплекса бурильной установки в неё встроена система оптимального управления. Оптимальное управляющее напряжение, подводимое к двигателю установки, рассчитано при решении ЛК-задачи (ЗЯ-методом. Сделаны выводы о влиянии управляющего воздействия на амплитуды автоколебаний.

Полученные в диссертационной работе результаты внедрены в учебный процесс кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ (НПИ), что подтверждается соответствующим актом внедрения.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих печатных работах

1. Калинин П.В. Автоколебания вязкоупругого стержня, нагружённого

следящими силой и моментом. [Текст] / Кабельков А.Н., Калинин П.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. № 1.-С.55-59.

2. Калинин П.В. Автоколебания вязкоупругого стержня, нагружённого следящими силой и моментом. [Текст]/ Кабельков А.Н., Калинин П.В. // Численно-аналитические методы: Сборник научных трудов/ Юж. - Рос. гос. техн. ун-т, -2004,- С.37-43.

3. Калинин П.В. Устойчивость прямолинейной формы вязкоупругого стержня. [Текст] / Кабельков А.Н., Калинин П.В. // Численно-аналитические методы: Сборник научных трудов/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т, -2005,- с.27-30.

4. Калинин П.В. Устойчивость и колебания бурильной установки. [Текст] / Калинин П.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2009. № 6,- С.45-47.

5. Калинин П.В. Оптимальное управление колебаниями бурильной установки. [Текст] / Кабельков А.Н., Калинин П.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2009. Спец. выл.-С.35-38.

В работе [1,2] автором исследована устойчивость основного движения бурильной колонны на основе первого метода Ляпунова.

Лично автором в работах [3, 5] исследована устойчивость движения бурильной установки. Исследование проводилось первым методом Ляпунова. На основе модифицированного алгоритма метода Ляпунова-Шмидта были рассчитаны АЧХ периодических колебательных режимов, ответвляющихся от её основного движения и построено управляющее воздействие, снижающее амплитуды автоколебаний.

Калинин Павел Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАТРОННОГО КОМПЛЕКСА БУРИЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Подписано в печать 21.07.2010. Формат 60><84 1/16. Бумага офсетная. Ризо1рафия. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 48-529.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

Отпечатано в ИД «Политехник» 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения 132

ВВЕДЕНИЕ

1. Построение математической модели и исследование устойчивости движения бурильной колонны

1.1. Постановка задачи

1.1.1. Определение следящего момента сопротивления

1.1.2. Уравнение изгибных колебаний

1.1.3. Уравнение крутильных колебаний

1.1.4. Сведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям

1.2. Исследование устойчивости основного движения

1.2.1. Преобразования Хаусхолдера. QR-факторизация матриц

1.2.2. Использование матрицы Хессенберга

1.2.3. Преобразование Гивенса 40 1.2.4 Сдвиги и понижение размерности в QR-алгоритме 44 Выводы к первой главе

2. Исследование колебательных режимов, ответвляющихся от основного состояния в окрестности критических значений параметров бурильной колонны

2.1. Модифицированный алгоритм расчёта методом Ляпунова

Шмидта

2.2. Определение АЧХ колебательных режимов, ответвляющихся от основного состояния 66 Выводы ко второй главе

3. Построение математической модели и исследование устойчивости движения мехатронного комплекса бурильной установки

3.1. Математическая модель мехатронного комплекса бурильной установки

3.2. Сведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям

3.3. Исследование колебательных режимов, ответвляющихся от основного состояния, в окрестности критических значений параметров мехатронного комплекса

3.3.1. Получение системы рекуррентных уравнений метода Ляпунова-Шмидта

3.3.2. Нахождение амплитудно-частотных характеристик колебательных режимов, ответвляющихся от основного движения 102 Выводы к третьей главе 109 4. Построение оптимального управления для динамической системы

4.1. Алгоритмы синтеза динамических систем управления

4.2. Оптимальное управление линейными системами с квадратичным функционалом

4.2.1. Необходимые условия оптимальности

4.2.2. Построение оптимального управления

4.3. Линейно-квадратичная стационарная задача оптимальной стабилизации

4.4. Использование QR-алгоритма 119 Выводы к четвёртой главе

Актуальность темы. Создание новых, экономичных моделей бурильных установок для добычи полезных ископаемых было и остаётся актуальным вопросом для добывающей промышленности. Среди отраслей добывающей индустрии ведущее место сегодня занимает нефтегазодобыча. Развитие этой отрасли тесно связано с совершенствованием добывающего оборудования.

Одним из важнейших этапов на пути получения нефти и газа является достижение нефтегазоносных пластов путём бурения скважин. При этом возникает немалое количество проблем, связанных с: динамикой и управлением процессом бурения; контролем за движением бурильного инструмента; увеличением продолжительности его работы. Все эти вопросы тесно связаны, прежде всего, с проблемой оптимальной работы бурильной установки, т.е. снижением её подверженности колебательным процессам, появление которых в процессе бурения неизбежно. Причины, вызывающие колебательные процессы в работе бурильной установки, могут быть различными. В частности, это неровность поверхности забоя, вызванная неравномерным по площади распределением силы сопротивления вращению колонны, нелинейный характер зависимости момента сопротивления грунта от угловой скорости движения колонны. Подобного рода колебательные процессы могут явиться причиной быстрого изнашивания и поломки бурильного оборудования. Таким образом, совершенствование работы бурильной установки связано, в первую очередь, с устранением или ограничением колебательных процессов, возникающих в процессе бурения. Решение такой задачи необходимо проводить путём построения управляющих воздействий, нейтрали

А * зующих указанные процессы в работе бурильной установки. Состояние вопроса о поведении упруго-вязких тел в настоящее время основывается на ряде гипотез, теорий, разработанных и выдвинутых у нас в стране и за рубежом. В работах отечественных и зарубежных учёных дан анализ различных моделей вязко-упругих тел. Обзор работ, посвященных управлению колебаниями и движением мехатронного комплекса бурильной установки показывает недостаточно полное количество исследований, раскрывающих эту проблему. Причиной этому, возможно, является специфика данной задачи, связанная со сложностью исследования систем с распределёнными параметрами. В связи с этим актуальной является задача исследования колебаний и построения оптимального управления для гашения колебательных процессов, возникающих при движении мехатронного комплекса бурильной установки.

Целью работы является: анализ динамических процессов бурильной установки с учётом неразрывной связи изгибно-крутильных колебаний бурильной колонны и движения приводного двигателя; построение системы управления для гашения автоколебаний, вызванных бурением скважин.

Фундаментальная роль в достижении поставленной цели отводится решению следующих основных проблем: а) разработка математической модели движения бурильной установки; б) исследование устойчивости рассматриваемого движения; в) расчёт амплитудно-частотных характеристик; д) построение оптимального управления колебаниями бурильной установки.

Методы исследования. При решении основных задач использованы: а) методы аналитической динамики для составления уравнений движения бурильной установки ; б) первая теорема Ляпунова для нахождения областей устойчивости движения бурильной установки; в) метод Ляпунова- Шмидта для расчёта АЧХ периодических колебательных режимов, ответвляющихся от основного движения; г) методы теории оптимального управления для построения управляющего воздействия, направленного на гашение автоколебаний.

Научная новизна работы заключается в:

1. Построении математической модели мехатронного комплекса бурильной установки, бурильная колонна которой совершает плоские изгибнокрутильные колебания под действием следящих силы и момента сопротивления. Данная модель отличается от существующих учётом нелинейного характера следящих нагрузок в зависимости от изгибных и крутильных деформаций и их скоростей и, до некоторой степени, восполняет пробел в исследованиях влияния сил сопротивления на движение бурильных установок.

2. впервые для исследования динамики мехатронного комплекса управляемой бурильной установки применён модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, позволяющий проводить расчёт АЧХ периодических режимов, ответвляющихся от основного движения комплекса.

3. Построении на основе QR- метода оптимального управляющего воздействия для гашения или уменьшения амплитуд автоколебаний, возникающих при движении мехатронного комплекса бурильной установки в окрестности его основного состояния. В отличие от применяемых моделей управления движением установок, получаемое таким образом управляющее воздействие разрешает задачу гашения или снижения автоколебаний, возникающих в окрестностях основных состояний мехатронного комплекса бурильной установки, позволяя избегать критических режимов, неизбежных пи использовании разработанных моделей управления движением установки, не учитывающих возможные потери динамической устойчивости.

Практическая ценность. Построенная в работе модель мехатронного комплекса бурильной установки, а также подходы и методы её исследования могут быть использованы для изучения сложных стержневых систем, движение которых происходит под действием следящих нагрузок.

Полученные результаты могут быть использованы в учебных курсах «Теория автоматического управления», «Математическое моделирование» и др. при подготовке инженеров по специальностям «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика» и некоторым другим. . Результаты работы внедрены в учебный процесс кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ(НПИ), что подтверждается приведённым актом внедрения.

Апробация работы. По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях и семинарах:

1. Научной конференции кафедр «Теоретическая механика» и «Высшая математика», ФМФ ЮРГТУ (НПИ) 2004 г.

2. Научной конференции кафедр «Теоретическая механика» и «Высшая математика», ФМФ ЮРГТУ (НПИ) 2005 г.

3. Научной конференции «Неделя науки», проведённой в РГУ в 2005 г.

4. Международном научном коллоквиуме «Мехатроника-2009», прошедшем в 2009 г. в ЮРГТУ (НПИ).

5. Международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» в 2009 г. в ЮФУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей в центральных журналах и сборниках трудов вузов.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 140 страницах машинописного текста и состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, включающего 139 наименований.

Выводы к четвёртой главе В рассмотренной нами главе было построено стабилизирующее управление (4.16) для динамической системы (4.14), с использованием QR-метода. При этом была решена задача Коши (4.13). Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

- с увеличением параметра р1, характеризующего вязкие свойства материала колонны и соотношение между частотами изгибных и крутильных колебаний, происходит рост управляющего напряжения; сходный по характеру результат получаем при росте значений параметра рд, характер которого определяется частотой изгибных колебаний и следящей нагрузкой;

- с ростом значений параметра ръ, характеризующего крутильную жёсткость материала колонны и частоту крутильных колебаний, происходит уменьшение управляющего напряжения;

- с ростом значений параметра р5, характеризующего следящую нагрузку, происходит рост управляющего напряжения;

- увеличение значений параметра рь, характеризующего следящий момент сопротивления, приводит к росту управляющего напряжения;

- возрастание значений параметра^, характеризующего силу сопротивления, приводит к уменьшению оптимального управляющего напряжения;

- увеличение подаваемого на двигатель мехатронного комплекса установки оптимального управляющего воздействия приводит к росту или снижению амплитуд автоколебаний, что объясняется характерным влиянием параметров установки, определяющих её электромеханические свойства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В приведённой работе решена задача исследования динамических процессов мехатронного комплекса бурильной установки, что позволило сделать следующие выводы.

1. Построена математическая модель бурильной колонны, совершающей изгибно-крутильные колебания в режиме вращательного бурения под действием следящих силы и момента сопротивления. Полученная система уравнений движения в частных производных сведена вариационными принципами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти уравнения, учитывающие вязкоупругие свойства системы, могут быть использованы при исследовании стержневых систем, нагружённых следящими нагрузками.

2. Проведено исследование устойчивости основного движения бурильной колонны на основе первого метода Ляпунова. Дан анализ влияния внутреннего трения и других параметров бурильной колонны на устойчивость её основного движения. Построены графики зависимости областей устойчивости движения в зависимости от параметров колонны бурильных труб. На основе полученных результатов произведён расчёт АЧХ периодических режимов, ответвляющихся от основного движения колонны. Построены характерные графики амплитуд и поправок к частотам. Проведён анализ влияния параметров бурильной колонны на АЧХ.

3. Построена математическая модель мехатронного комплекса бурильной установки, состоящей из колонны бурильных труб, редуктора и двигателя. Уравнения изгибно-крутильных колебаний бурильной колонны сведены к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые вместе с уравнениями движения двигателя образуют систему уравнений движения мехатронного комплекса бурильной установки. С помощью первого метода Ляпунова исследована устойчивость его основного движения. Построены характерные графики областей устойчивости основного движения комплекса. Произведён расчёт АЧХ периодических режимов в окрестности основного движения и построены их характерные графики. Приведена оценка влияния параметров комплекса на АЧХ.

4. Для уменьшения или ликвидации колебаний, возникающих при движении мехатронного комплекса бурильной установки, в него встроена система оптимального управления. Оптимальное управляющее напряжение, подводимое к двигателю комплекса, рассчитано при решении ЛК-задачи. Сделаны выводы о влиянии управляющего воздействия на амплитуды автоколебаний.

Внедрение основных результатов работы подтверждается соответствующим актом внедрения.

1. Александров М. М. Силы сопротивления при движении труб в сква-жине.Текст./ Александров, М. М. // М., 1978.

2. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления Текст./ Под ред. А. А. Воронова и И. А. Орурка.// М.: Наука, 1984.

3. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. Текст./ Ан-го А.// М., «Наука», 1965. 780 с.

4. Андреев Ю. А. Управление конечномерными линейными объекта-ми.Текст./ Андреев Ю. А. //М.: Наука, 1984.- 457 с.

5. Андронов А. А., Вит А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. Текст./ Андреев Ю. А. // М., Физматгиз, 1959. 915 с.

6. Ануфриев И. Е. MATLAB 7. Текст./ Ануфриев И. Е. //- СПб.: БХВ-Петербург, 2005.-1104 с.

7. Атанс М., Фалб П. Л. Оптимальное управление. Текст./ Атанс М., Фалб П. Л. II- М.: Машиностроение, 1968.

8. Афанасьев В. Н. Математическая теория конструирования систем управления. Текст./ Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. P. //М.: Высш. шк., 2003. 614 с.

9. И. М. Бабаков. Теория колебаний. Текст./ И. М. Бабаков. //- М.: Наука, 1968 559 с.

10. Балицкий П. В. Взаимодействие бурильной колонны с забоем скважины. Текст./ Балицкий П. В. //- М. «Недра», 1975. 294 с.

11. Бахвалов Н. М. Численные методы. Текст./ Бахвалов Н. М., Жидков Н. П., Кабельков Г. М. //- М.: Наука, 1987.

12. Безухов Н. И. Теория упругости и пластичности. Текст./ Безу-хов Н. И. // М., Гостехиздат, 1953. 420 с.

13. БерезинИ. С. Методы вычислений. Текст./ БерезинИ. С., Жидков Н. П. // М., Физ-матгиз, 1960. 620 с.

14. Бидерман Л. В. Теория механических колебаний. Текст./ Бидер-ман Л. В. // М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

15. Болнокин В. Е. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. Текст./ Болнокин В. Е., Чинаев П. И. //— М.: Радио и связь, 1986.

16. В. В. Болотин. Динамическая устойчивость упругих систем. Текст./ В. В. Болотин. //М.: ГИТТЛ, 1956. 600 с.

17. Босс В. Лекции по математике. Дифференциальные уравнения. Текст./ Босс В. // М.: УРСС, 2009. 208 с.

18. Босс В. Лекции по математике. Оптимизация. Текст./ Босс В. // М.: УРСС, 2007.-216 с.

19. Босс В. Лекции по математике. Линейная алгебра. Текст./ Босс В. // М.: УРСС, 2005.-224 с.

20. Брайсон Д. Прикладная теория оптимального управления. Текст./ Брайсон Д., Хо Ю-ши // М.: Мир, 1972.

21. Бронштейн И. Н. Справочник по математике. Текст./ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. // М., «Наука», 1964. - 608 с.

22. Ванько В. И. Вариационное исчисление и оптимальное управление. Текст./ ВанькоВ. И., Ермошина О. В., КувыркинГ. Н. // М.: МГТУ им. Баумана, 2006.

23. ВейцВ. Л. Динамика управляемого электромеханического привода с асинхронными двигателями. Текст./ Вейц В. Л., Вербовой А. Ф., Кочу-раА.Е.// К., 1988.

24. Вержбицкий В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). Текст./ Вержбицкий В. М. //- М.: ОНИКС 21 век, 2005. -432 с.

25. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). Текст./ Вержбицкий В. М. //- М.: ОНИКС 21 век, 2005.-400 с.

26. Владецкий Ю. В. Бурение нефтяных и газовых скважин. Текст./ Владецкий Ю. В. //М.: Академия, 2007.

27. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. Текст./ Воеводин В. В. //- М.: Наука, 1977.

28. А. С. Вольмир. Устойчивость упругих систем. Текст./ А. С. Вольмир. //М.: ГИФМЛ, 1963. 880 с.

29. Вопияков В. А. Возникновение автоколебаний бурильной колонны критерий износа шарошечных долот. Текст./ Вопияков В. А., По-сташ С. А., Колесников П. И. // - «Бурение», 1974, № 8, С. 23 - 25.

30. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. Текст./ Воронов А. А. // М.: наука, 1979.

31. Воронцов Г. В. Применение метода Ляпунова-Шмидта к исследованию устойчивости и автоколебаний сложных механических систем. Прикладная механика. Текст./ Воронцов Г. В., Кабельков А. Н. //- 1983.- Т. 19, №12. С. 102-109.

32. Г. Г. Гордеев. Свободные колебания вращающихся стержней. Текст./ Г. Г. Гордеев, А. А. Илюхин, А. Я. Савченко.//Математическая физика, вып.31, изд. Наукова думка, Киев, 1982.

33. Демидович Б. П. Основы вычислительной математики. Текст./ Демидович Б. П., Марон И. А. // М.: Лань, 2007. 678 с.

34. Демидович Б. П. Численные методы анализа. Текст./ Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова М. С. //М.: Лань, 2009. 567 с.

35. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. Текст./ Демидович Б. П. // М.: УРСС, 2002. 567 с.

36. Демидович Б. П. Дифференциальные уравнения. Текст./ Демидович Б. П., Моденов В. П. // М.: Лань, 2007. 256 с.

37. Зубов В. И. Лекции по теории управления. Текст./ Зубов В. И.//— М.: Наука, 1975.

38. Икрамов X. Б. Численное решение матричных уравнений. Текст./ Икрамов X. Б. //- М.: Наука, 1984.

39. Ильский А. Л. Оборудование для бурения нефтяных скважин. Текст./ Ильский А. Л. // М., 1980.

40. Ильский А. Л. Расчёт и конструирование бурового оборудования. Текст./ Ильский А. Л., Миронов Ю. В., Чернобыльский А. Г. //М., 1985.

41. А. А. Илюхин. Оптимальное управление колебаниями вращающегося стержня. Текст./ А. А. Илюхин, Е. Р. Алексеев//Труды конференции по оптимальному управлению и устойчивости. Изд. Наукова думка, Киев.

42. А. А. Илюхин. Уравнения колебаний вращающегося стержня. Текст./ А. А. Илюхин, Е. Р. Алексеев//Механика твердого тела. Изд. Наукова думка, Киев, вып.27, 1995.

43. Калинин П.В. Автоколебания вязкоупругого стержня, нагруженного следящими силой и моментом. Текст./ Кабельков А.Н., Калинин П.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. № 1.-55с.

44. Калинин П.В. Автоколебания вязкоупругого стержня, нагруженного следящими силой и моментом. Текст./ Кабельков А.Н., Калинин П.В. // Численно-аналитические" методы: Сборник научных трудов/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т., -2004.- 78с.

45. Калинин П.В. Устойчивость прямолинейной формы вязкоупругого стержня. Текст./ Кабельков А.Н., Калинин П.В. // Численно-аналитические методы: Сборник научных трудов/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т., -2005.- 77с.

46. Калинин П.В. Оптимальное управление колебаниями бурильной установки. .Текст./ Кабельков А.Н., Калинин П.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион: Техн. науки. 2009. Спец. вып.-37с.

47. Калинин П. В. Устойчивость и колебания бурильной установки. Текст./ Калинин П.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2009. № 6.- 49с.

48. Калиткин Н. Н. Численные методы. Текст./ Калиткин Н. Н. // -М.: Наука, 1978.

49. Квакернаак X. Линейные оптимальные системы управления. Текст./ Квакернаак X, Севан Р. // М.: Мир, 1977.

50. Керимов 3. Г. Динамические расчёты бурильной колонны. Текст./ Керимов 3. Г.//М., 1970.

51. Кирсанов А. Я. Буровые машины и механизмы. Текст./ Кирсанов А. Я., Зиненко В. П., Кардыш В. Г. // М., 1981.

52. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров/ Пер. с англ.; Под ред. И. Г. Армановича. Текст./ Корн Г., Корн Т. //М.: Наука, 1974. -631 с.

53. КрасовскийН. Н. Теория управления движением. Текст./ Красов-ский Н. Н. // -М.: Наука, 1968.

54. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. Текст./ Ланда П. С. //- М.: Наука, 1997. 496 с/

55. Ж. Ла-Салль. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. Текст./ Ж. Ла-Салль, С. Лефшец. //М.: Наука, 1964.-163 с.

56. Ли Э. Б. Основы теории оптимального управления. Текст./ Ли Э. Б., Маркус Л. // М.: Наука, 1972.

57. Макаров И. П. Дополнительные главы математического анализа. .Текст./ Макаров И. П. // М., «Просвещение», 1965. 304 с.

58. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. Текст./ Мандельштам Л. И. // -М.: Наука, 1972.-470 с.

59. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Текст./ Мар-чук Г. И. //- М.: Наука, 1980.

60. Мелса Дж. Л., Джонс Ст. К. Программы в помощь изучающим теорию линейных систем управления. Текст./ Мелса Дж. Л., Джонс Ст. К. //М.: Машиностроение, 1981.

61. Д. Р. Меркин. Введение в теорию устойчивости. Текст./ Д. Р. Меркин. // М.: Наука, 1971.-464 с.

62. Мирзаджанзаде А. X. Теория колебаний в нефтепромысловом деле. Текст./ Мирзаджанзаде А. X., Керимов 3. Т., Копейкис М. Г. //Баку: Маа-риф, 2006.-363 с.

63. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. Текст./ Моисеев Н. Н. // М., «Наука», 1969. 380 с.

64. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. Текст./ Моисеев Н. Н. //- М.: Наука, 1975.

65. Моцохеин Б. И., Парфенов В. М. Электропривод буровых лебёдок. Текст./ Моцохеин Б. И., Парфенов В. М. // М.: Недра, 1978. 302 с.

66. Мэтьюз Д. Численные методы. Использование MATLAB. Текст./ Мэтьюз Д., ФинкК. // СПб.: Вильяме, 2001-720 с.

67. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Текст./ Немыцкий В. В., Степанов В. В. //- М'.: УРСС, 2004.-557 с.

68. Носов В. Р. Алгоритмы решения задач линейной алгебры. Текст./ Носов В. Р. // М.: МИЭМ, 1983.

69. Ортега Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Текст./ Ортега Дж., Пул У. // — М.: Наука, 1986.

70. Пановко А. Г. Введение в теорию механических колебаний. Текст./ Пановко А. Г. //М., «Наука», 1971. 240 с.

71. Пановко А. Г. Устойчивость и колебания упругих систем. Текст./ Пановко А. Г., Губанова И. Н. // М.: УРСС, 2007. 427 с.

72. Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. Текст./Пановко Я. Г. //М., Физматгиз, I960. 193 с.

73. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Текст./ Петровский И. Г. //М.: УРСС, 2007. — 272 с.

74. Понтрягин Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения. Текст./ Понтрягин Л. С. //М.: УРСС, 2007. 357 с.

75. Поляков Г. Д. Проектирование, расчёт и эксплуатация буровых установок. Текст./ Поляков Г. Д., Булгаков Е. С., Шумов Л. А. //М.: Недра, 1983.-318 с.

76. Ю. И. Работнов. Элементы исследований механики твёрдых тел. Текст./ Ю. И. Работнов. //М.: Наука, 1997. 437 с.

77. Б. 3. Султанов Работа бурильной колонны в скважине. Текст./ Б. 3. Султанов, Е. И. Ишемгужин, Н. X. Шаммасов // М., «Недра», 1973.

78. Ржаницын А. Р. Строительная механика. Текст./ Ржаницын А. Р. // М., 1982.

79. Самарский А. А. Введение в численные методы. Текст./ Самарский А. А.// М.:. Наука, 1982.

80. Светлицкий В. А. Механика стержней. Ч. 1, 2. Текст./ Светлиц-кийВ. А.//М., 1987.

81. Сеницкий Ю. Э. К определению частот свободных изгибных колебаний буровых вышек. Текст./ Сеницкий Ю. Э., Моисеев М. Д., Полячек Д. Я. // Машины и нефтяное оборудование. 1968. № 1. С. 26 31.

82. Сикорский Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Текст./ Сикорский Ю. С. // М: УРСС. 2008. -500 с.

83. СимкинВ. Я. Влияние режимов бурения на динамическую устойчивость бурильной колонны. Текст./ Симкин В. Я. ////Машины и нефтяное оборудование. 1971. № 10. С. 23 27.

84. Симонов В. В. Влияние колебательных процессов на работу бурильного инструмента. Текст./ Симонов В. В., Юнин Е. К. // М.: Недра, 1977.-216 с.

85. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. Текст./ Скучик Е. //М. «Мир», 1971.-560 с.

86. А. Ф. Смирнов. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. Текст./ А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Б. Я; Лащеников, Н. Н. Шапонников.//М:: Стройиздат, 1984. — 416 с.

87. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Текст./Под ред. Дж. Холла и, Дж. Уатта.// — Ml: Мир, 1979.

88. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Текст./ Степанов В. В. // М.: УРСС, 2004. 456 с.

89. Тимошенко С. П., ЯнгД.Х., У и вер У. Колебания в инженерном деле. Текст./ Тимошенко С. П., Янг Д. X., Уивер У. // М.: 1985;

90. Трикоми Ф. Дж. Дифференциальные уравнения. Текст./ Трико-ми Ф: Дж. //М.: УРСС, 2005.-256 с.

91. Уилкинсон Дж. Алгебраическая' проблема собственных значений. Текст./ Уилкинсон Дж. // М.:. Наука, 1970.

92. Уилкинсон Дж. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. Текст./ Уилкинсон Дж, Райнш К. // М.: Машиностроение, 1976.

93. Уонем М. Линейные многомерные системы управления. , Текст./ Уонем М. // М.: Наука, 1980. 457 с.

94. Фаддеев Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры. Текст./ Фаддеев Д. К., Фаддеева И. Н. // М.: Лань, 2007.- 712 с.

95. Федорюк М; В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Текст./ Федорюк М. В. //М.: УРСС, 2007. - 420 с.- 98. Федоренко Р. П. Приближённое решение задач оптимального управления., Текст./Федоренко Р. П.//-М.: Наука, 1978.

96. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. Текст./ Филиппов А. П: //М., 1970.

97. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. Текст./ Филиппов А. Ф. //М.: УРСС, 2008.- 257 с.

98. Филипс Г. Дифференциальные уравнения. Текст./ Филипс Г. //М.: УРСС, 2004.

99. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Текст./ Фихтенгольц Г. М. //М.: Лань, 2007. 768 с.

100. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений. Текст./ Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. //— М.: Мир, 1980.

101. Халфман Р.Л. Динамика. Текст./ Халфман Р.Л.//М., «Наука», 1972.-568 с.

102. Хасьминский Р. 3. Устойчивость системы дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. Текст./ Хасьминский Р. 3. // М.: Наука, 1969.

103. ХорнР., Джонсон Ч. Матричный анализ. Текст./ ХорнР., Джонсон 4.7/ М.: Мир, 1989.- 587 с.

104. Г. Циглер. Основы теории устойчивости конструкций. Текст./ Г. Циглер. // М.: Мир, 1977. 192 с.

105. Чабан В. И. Основы теории переходных процессов электромашинных систем. Текст./ Чабан В. И. // Львов, 1980.

106. Чабан В. И. Электромеханическая математическая модель буровых установок. Текст./ Чабан В. И., Харченко Е. В. //Изв. вузов. Нефть и газ. 1984, № 1.С. 66-71.

107. ЧенК. MATLAB в математических исследованиях. Текст./ Чен К., Джиблин П., Ирвинг А.//- М.: Мир, 2001.-346 с.

108. Черноусько Ф. Л. Вычислительные и приближённые методы оптимального управления. Текст./ Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. // — В Сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ. 1977. т.14.

109. Чиликин М. Г. Теория автоматизированного электропривода. Текст./ Чиликин М. Г., Ключев В. И., Сандлер А. С. //М., 1979.

110. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения. Текст./ Эльс-гольц Л. Э. //М.: УРСС, 2007.-321 с.

111. Юртаев В. Г. Динамика буровых установок. Текст./ Юрта-ев В. Г.//М., 1987.

112. Юртаев В. Г. Динамика буровых установок. Текст./ Юртаев В. Г. //М.: Недра, 1987. 155 с.

113. Acton, Forman S. (1970) Numerical Methods Текст./ Acton, For-man S. //That Work, Harper & Row, New York.

114. Armstrong E. A. ORACLS: A design system for linear multivariable control. Текст./ Armstrong E. A.//— Marcel Dekker. New-York, Bazel, 1980.

115. Atkinson, Kendall E. (1988). An Introduction to Numerical Analysis, Текст./ Atkinson, Kendall E. //2nd ed., John Wiley, New York.

116. Atkinson, Laurence V. (1983). An Introduction to Numerical Methods with Pascal, Текст./ Atkinson, Laurence V., and P. J. Harley // Addison-Wesley Reading, Mass.

117. Blum E. K.(1972). Numerical Analysis and Computation: Theory and Practice. Текст./ Blum E. К //Addison-Wesley Reading, Mass.

118. Butcher J. S. The numerical analysis of ordinary differential equations; Runge-Kutta and general linear methods. Текст./ Butcher J. S. Ill— John Wiley. 1987.

119. Conte, S. D. (1980). Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach. Текст./ Conte, S. D. und Karl de Boor // McGraw-Hill. New York.

120. Dahlquist Germund(1974). Numerical Methods, Prentice Hall, Текст./ Dahlquist Germund, and Ake Bjorck // Englewood CliffsN. J.

121. George, Alan (1981). Computer Solution of Large Sparse Positive Definite Systems, Prentice Hall. Текст./ George, Alan and Joseph W. H. Liu // Englewood Cliffs, N. J.

122. Golub, Gene H.(l989). Текст./ Golub, Gene H., and Charles F. Van Loan // Matrix Computations, The John Hopkins University Press, Baltimore, Md.

123. Hager, William W. (1988). Applied Numerical Linear Algebra, Prentice Hall, Englewood Cliffs. Текст./ Hager, William W. // N. J.

124. Hill, David R. (1989). Experiment in Computational Matrix Algebra. Текст./ Hill, David R., and Cleve B. Moler //, Random House, New York.

125. Hornbeck, Robert W. (1975). Numerical Methods. Текст./ Hornbeck, Robert W. // Quantum, New York.

126. Jacques Ian (1987). Numerical Analysis, Chapman and На11.Текст./ Jacques Ian, and Colin Judd //, New York.

127. Johnston, R. L. (1982). Numerical Methods: A Software Approach, John Willey. Текст./ Johnston, R. L. //, New York.

128. Kreyszig, Erwin (1983). Advanced Engineering Mathematics,5th ed, John Willey. Текст./ Kreyszig, Erwin //, New York.

129. Morris John L. (1983). Computational Methods in Elementary Numerical Analysis, John Willey.Текст./ Morris John L. //, New York.

130. Brian P. (1986). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing Cambridge University Press.Текст./ Press, William H., Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, and William T. //, New York.

131. Ralston, Anthony, and Philip Rabinowitz (1978). A First Course inj

132. Numerical Analysis, 2 ed, McGraw-Hill. Текст./ Ralston, Anthony // New York.

133. Rice John R. (1981). Matrix Computation and Mathematical Software, McGraw-Hill. Текст./ Rice John R. // New York.

134. Schwarz, Hans Rudolf (1989), Numerical Analysis: A Comrehensive Introduction, John Willey. Текст./ Schwarz, Hans Rudolf // New York.

135. Shoup, Terry E. (1983). Numerical Methods for the Personal Computer. Prentice Hall, Englewood Cliffs. Текст./ Shoup, Terry E. // N.J.

136. Todd, John (1977). Basic Numerical Mathematics, Vol.2: Numerical Algebra Academic Press. Текст./ Todd, John // New York.

137. Wilkinson, J. H. (1965). The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford University Press. Текст./ Wilkinson, J. H. // New York.