автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование ламинарного изотермического течения степенной жидкости на начальном участке осесимметричных горизонтальных каналов

005048697 На правах рукописи

/Ж

с<гаа-

РЯЖСКИХ АЛЕКСАНДР ВИКТОРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛАМИНАРНОГО ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ СТЕПЕННОЙ ЖИДКОСТИ НА НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ КАНАЛОВ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж —2012

005048697

Работа выполнена на кафедре технической механики в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий»

Научный руководитель: Чертов Евгений Дмитриевич,

доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: Артемов Михаил Анатольевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Воронежский государственный университет, заведующий кафедрой программного обеспечения и администрирования информационных систем

Семенов Михаил Евгеньевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил "Военно-Воздушная Академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А.Гагарина", профессор кафедры №11

Ведущая организация: Тамбовский государственный технический

университет

Защита состоится 28 ноября 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ауд. 335.

Отзывы на автореферат ( в 2-х экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ФГБОУ ВПО ВГУ, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.038.20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан 24 октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Установление закономерностей явлений переноса при ламинарном изотермическом течении реологически сложных сред на начальном участке горизонтальных прямолинейных каналов в различных компактных системах (теп-ломасообменные аппараты, экструдерные устройства, энергетические установки и т.д.) химической и пищевой промышленности, а также в ракетно-космической и криогенной технике имеет определяющее значение в достижимости расчетных характеристик при проектировании нового и модернизации существующего оборудования. В контексте этой проблемы идентификация длины гидродинамического начального участка в зависимости от реологических свойств жидкостей является одной из фундаментальных задач, результаты решения которой существенным образом влияют на точность определения тепломасообменных параметров.

Наибольший вклад в решение этой задачи внесли Boussinesq J., Langhaar H. L., Schiller L., Лейбензон A.C., Тарг С. M., Слезкин B.A., Жукаускас A., Matras Z., Gupta R.C., Shlichting H. и др., которые использовали погранслойные представления и доказали прямопропорциональную зависимость между длиной гидродинамического начального участка и числом Рейнольдса, причем основные результаты касались в основном ньютоновских жидкостей.

Среди широкого спектра неньютоновских жидкостей особое значение имеет модель степенной жидкости (жидкость Оствальда - де Виля), которой подчиняется поведение большинства псевдопластиков и дилатантов, используемых в различных прикладных областях.

Однако экспериментально-теоретический анализ задачи о начальном участке в каналах при течении степенной жидкости затруднен из-за объективных трудностей непосредственного измерения поля скоростей и давления, а также ввиду сложной нелинейности уравнений гидродинамики, не позволяющей корректно применять современный аппарат вычислительной математики для их интегрирования. Поэтому метод математического моделирования остается пока одним из эффективных средств решения этой задачи.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежского государственного университета инженерных технологий по теме «Создание инновационных технологических процессов и оборудования для специализированных машиностроительных производств» (№ГР 01.2.011.14702)

Цель работы. Синтез и анализ математических моделей для идентификации длины гидродинамического начального участка при изотермическом ламинарном течении степенной жидкости в горизонтальных осесимметричных каналах.

Для достижения цели поставлены задачи:

1) на основе уравнений Навье-Стокса, записанных для степенного реологического закона, разработать математические модели однонаправленного изотермического ламинарного течения в плоском, круглого и кольцевого сечений прямолинейных горизонтальных каналах с проверкой их адекватности для случая ньютоновской жидкости;

2) с использованием представлений о ползущем течении разработать математические модели однонаправленного течения высоковязких ньютоновских жидкостей в

плоском, круглого, прямоугольного, а также кольцевого сечения каналах и получить их аналитические решения;

3) разработать маршевый алгоритм, базирующийся на кончено-разностной дискретизации уравнений моделей, для их численного интегрирования и провести вычислительные эксперименты;

4) на примере плоского канала предложить класс приближенных аналитических решений, на основе которых идентифицировать длину гидродинамического начального участка для степенной жидкости.

При выполнении исследования в качестве основного инструментария был применен метод математического моделирования совместно с методами теоретической гидродинамики, положениями теории дифференциальных уравнений математической физики, вычислительной математики и реологии. Достоверность и обоснованность полученных результатов основывается на использовании законов явлений переноса, на проведении вычислительных экспериментов и сравнительном анализе с классическими данными.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1) предложена математическая модель, которая позволила свести задачу идентификации длины гидродинамического начального участка к решению начально-краевой задачи с последующим масштабным переходом от времени к продольной координате на основании коэффициента трения установившегося течения по Фаннингу; в случае ньютоновской жидкости получены приближенные аналитические решения для плоского, круглого и кольцевого сечений каналов;

2) для численного интегрирования уравнений моделей, когда индекс течения степенной жидкости отличен от единицы, разработана маршевая по времени конечно-разностная схема, отличающаяся модификацией начального условия к квазиоднородному виду;

3) обосновано применение идеализации ползущего течения к решению задачи об идентификации гидродинамического начального участка высоковязких жидкостей, формулировка которой сведена к интегрированию эллиптических уравнений Пуас-соновского типа; получены аналитические решения для каналов плоского, круглого и прямоугольного, а также кольцевого сечений;

4) на примере плоского канала показано, что определение длины начального участка при течении степенной жидкости может быть сведено к установлению длины разгонного течения; получено приближенное аналитические решение с использованием структуры решения для ньютоновской жидкости.

Практическая значимость состоит в разработке инструментария в виде предметно-ориентированного программного комплекса, который позволяет оценивать длину гидродинамического начального участка при течении степенной жидкости в осесимметрчиных горизонтальных каналах в зависимости от индекса течения, что создает базу для уточнения тепломассобменных характеристик и рационального выбора режимных и конструкционных параметров при функционировании различных технических и технологических систем.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на международных научных конференциях «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005);

«Авиакосмические технологии - VI» (Воронеж, 2005); на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - весенняя сессия» (Кисловодск, 2006); «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-19» (Воронеж, 2006); «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования — IV» (Воронеж, 2011); «Физико-математическое моделирование систем - VII» (Воронеж, 2011); на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 11 работах, из них 4 в реферируемых журналах из списка ВАК РФ.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Материал изложен на 150 страницах и содержит 50 рисунков и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и ее практическая значимость.

В первой главе проанализировано современное состояние проблемы математического моделирования течения реологически различных жидкостей на начальном участке каналов.

Отмечено, что существует два подхода к понятию длины гидродинамического начального участка: расстояние, отсчитываемое от входа до сечения, соответствующего слиянию пограничных слоев; сечение, при котором максимальное значение скорости отличается с наперед заданной точностью от его установившегося значения.

Как правило, в основе построения математических моделей гидродинамики при ламинарном изотермическом течении жидкости лежат уравнения, вытекающие из законов сохранения вещества и количества движения:

P™-Vp-[V.r]+pg; 2£ = -p(v.v); vV = -V-[V-r], (1)

где р — плотность жидкости; v - вектор скорости; р - давление; g - вектор ускорения силы тяжести; т — тензор напряжений; D/D/ = djat + (v • V) — оператор субстанциональной производной по скалярному полю, / (время); V — градиент скалярного поля.

Несмотря на различные подходы в определении начального участка, (1) трансформируется в приближенные уравнения пограничного слоя, в которых, как правило, инерционные члены учитываются через среднюю скорость по сечению. Решение задачи в такой постановке дало возможность показать, что относительная длина начального участка прямо пропорциональна числу Рейнольдса с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от геометрии проходного сечения канала. Тем не менее, основные результаты полученные этим путем, относятся в основном к ньютоновским жидкостям, причем известные данные различных авторов отличаются друг от друга существенным образом.

Многообразие спектра неньютоновских жидкостей привело к тому, что исследования разделились по типам жидкостей. В связи с этим в данной диссертации ог-

раничились анализом течения неньютоновских, жидкостей, для которых напряжение сдвига г является степенной функцией от скорости сдвига

T = Tjfn, (2)

где 77 - мера консистенции жидкости; п - индекс течения ( 0 < и < 1 - псевдопластики ; и = 1 - ньютоновская жидкость; п > 1 - дилатантная среда) . Но даже в этом случае математическая формулировка задачи столь сложна в силу своей существенной нелинейности, что получение численного, а тем более аналитического ее решения в обозримом будущем пока проблематично.

Тем не менее в последнее время вновь с использованием погранслойного приближения, в научной литературе стал разрабатываться «трансформационный» метод для получения оценочных решений, в основу которого положена аналогия с характеристиками ньютоновской жидкости. Одновременно с этим предпринимались попытки численного интегрирования задачи в общей постановке, но полученные различными авторами результаты практически мало коррелируются.

Сделан вывод о необходимости продолжения исследований в направлении поиска новых решений, основанных на синтезе математических моделей, полученных из физически обоснованных допущений.

Вторая глава посвящена синтезу математических моделей гидродинамики степенной и высоковязкой жидкостей на начальном участке каналов.

Вначале система (1), (2) в декартовой системе координат представлена для плоского течения, когда остаются только поперечная * и продольная г координаты и соответственно компоненты вектора скорости vx и v. при отсутствии действия объемных сил.

Так как анализируется ламинарный режим течения несжимаемой жидкости, то сделано допущение об однонаправленности движения на всем протяжении канала, тогда vJ=0 и из (1) следует, что 8vz/dz = 0, др/дх = 0, dpfdz = const. Т.о., система (1) - (2) трансформируется в следующий вид

dv. dp д

р-г- =--— +77-

И dt dz дх

(

8vz 1 8V2

дх ч Го дх J

с граничными условиями

и требованием выполнения балансового соотношения

1 h

-jv„(x,t)dx = v0, fin

(3)

(4)

(5)

где v0 = const - скорость на входе в плоский канал шириной 2/?; у0 - скорость сдвига в приведенном состоянии, обычно равная 1. По аналогии с (3) - (5) получены уравнения в цилиндрической системе координат

dv. dp 77 д р—г- = —+ —

dt dz г дг с граничными условиями для круглой трубы

/ »-1Л

Г3** 1 dvz

Г дг V Го дг у

У2(г,0) = У0, У,(г0,/) = ^М = 0, (7)

где г0 — радиус трубы; и для кольцевого канала

Уг(г,0) = го, ч^г^м^)^, (8)

где гх, г2 — радиусы внутренней и внешней аксиальных труб; а также балансовые соотношения

2 г° 2 Гг

— \п':(г,1)с1г = уй, —2-з |п-г(г,г)с/д- = у0. (9)

г0 о г2 ~Г1 1\

Отметим, что (5) и (9) интерпретируются как критерии точности моделей (3), (4) и (6) - (8). Если // время установления стационарного профиля, то длина начального участка г, может быть вычислена по соотношению

-, = V/- (Ю)

Далее рассмотрен случай стационарного однонаправленного движения высоковязкой жидкости (?/ достаточно большое, п близко к 1) в рамках представлений о ползущем течении, т.е. когда силы вязкости существенно преобладают над силами инерции, что позволяет пренебречь конвективной составляющей в операторе субстанциональной производной от скорости, поэтому (1) , (2), в предположении отсутствия градиента давления в поперечном направлении и его постоянства вдоль по потоку принимает вид

(и)

ц &

где V2 - оператор Лапласа. Уравнение (11) дополняется условиями «прилипания» на стенках канала, постоянства скорости на входе и отсутствием изменения скорости на оо.

В этой же главе приведена запись уравнений (1) , (2) в переменных Гельм-гольца. Показано, что для однонаправленного течения преимущества формулировки задачи в переменных Гельмгольца нивелируются по сравнению с задачей в действительный переменных.

В главе 3 рассмотрен анализ математических моделей (3), (4) и (6) - (8), который начат с получения аналитических выражений скоростей на основе одностороннего преобразования Лапласа по 1 для частного случая п = 1: для плоского канала

У(Х,Т) = —(I-*2)--X - 7Г2 (2т +I)2 Вг 1 х

1 ' 2ВЛ > л Вг т^о(2т +1) ^ 1 '

ХС05

|(2т + 1)Х

ехр

-■^-(2/я + 1)2 ВгТ

для круглой трубы

4 Вг Вг „=1 цъп * '

(12)

для кольцевого канала 4Вг

-= Е (1 - (м.) - Щ (ЯЛ)]Л (ля„)+

Вг П=1

+[Л ( ДЛ) - Л (М,)) ехр(-Лл25гГ)/

/{Я„3 [-^1 (ЯАК {¿гК) " ( ДА) +

+й2цп2х„)ы0 +ал (44)^1 (*а)]}, (н)

где Х = х/Ь, Я = г/г0, к = г1(г2-г{), ¿ = АКг0 v(/•2-^1),7' = //r\ К = Vй=vJv , у = у0<1, Т=рЩ-др/дг), Вг = у0т]/[с!(-др/&)], В? = ш/У0, со = [И? + Щ--(л|-^2)/Цл2/Л,)]/8, Ат, - корни уравнений

-Л (44)^0 = ° и МИг,) = 0> Аи Мо,1 - функции Бесселя 1-го и 2-го родов

нулевого и первого порядков.

Де 0,30

Рис. 1. К проверке адекватности математической модели: 1 — осевая скорость; 2 — средняя скорость

Характер изменения осевой и средней по сечению ско-0,5 ростей течения на примере плоского канала (рис.1) показал, 0,20--что в области, где происходит установление профиля скоро-

0,10

Э О О

0

0,25 Д,/Л2

ста, балансовое рис 2 Относительная длина соотношение (5) выполняется практически точно. Это начального участка в кольце. позволило сделать вывод о принципиальной возмож- вом канале; _. расчет по м0. носш использования синтезированных моделей для дели; 0 _данные Неа[оп н.Б., идентификации длины начального участка. Для кон- Кеупо1(]5 ^'.С., Кауэ \У.М 1фетизации (10) использовано определение коэффици-енга трения по Фаннингу, из которого найдено,

что в показателе экспоненты (12) вместо ВгТ необходимо подставить 2ХЦ^Яе-Вг), где 2 = г/И. Это позволило найти длину начального участка из условия отклонения величины осевой скорости от ее стабилизированного значения с заданной наперед точностью (обычно принимают 1%), причем показано, что это можно сделать с использованием лишь одного члена ряда (12). Найденные значения 21!Яе для плоского канала и круглой трубы 0,196 и 0,156 коррелируют с классическими данными.

Для кольцевого канала результаты приведены на рис. 2. Различие в области Я{/я2—> О (круглая труба) объяснено некорректностью применения авторами линеаризации Лангхаара уравнений (1), (2) для кольцевого канала.

В общем случае, когда п # 1, для численного интегрирования уравнений моделей, записанных в безразмерном виде, предложены маршевые конечно-разностные схемы. Непрерывная область, в которой искались решения, заменялась дискретной в соответствии с центральным трехточечным шаблоном по геометрической координате и двухточечным по временной координате. Это позволило аппроксимировать уравнения (3) и (6) дискретными аналогами:

ук+\=ук+ ,1 + Вг

.1/1-2

А

(2)

А Т, (15)

где лЙЦ^-^Дгд о), = + г* = к(с,,*дг),

АО = {ЬХ)\г{АЯ)Ч(ьЩ, AX = AR = l/N, АЯ = (Я2 - в,={Ш) v(Шг) V

+ /Ал); / = 0 или / = 1 соответственно для декартовой и цилиндрической систем координат; для плоского канала и круглой трубы <5 = 1, для кольцевого канала <5=1 при й1+:'АЛе[л1Д]и <5=-1 при Я, +/ДЙе[Д,,Л2], где Я, удовлетворяет интегральному уравнению

Я

ая= \

К

Ыя1-^

я

<т.

Дискретные аналоги граничных условий таковы: для плоского канала

У,°=е( 1-2Х,) + Г0, У* = 0, У0к={4Ухк~У2к)/з;

для круглой трубы

У,0 =е (2 — ЗЛ, )+Уо, Ук= о, ^=(<-К2)/з;

для кольцевого канала

/0 (д.), приД^Й, < Д.,

Ки

(16)

(17)

(18)

(19)

где

е0 — точность аппроксимации начальных условий.

Безразмерный параметр Вг равен: для плоского канала 5г = [и/[К0(2и + 1)]| ; для круглой трубы 5/- = 0,5|и/[к0(Зи + 1)]}"; для кольцевого канала

Дг_1 2

R. R dRdR+\R\

h А

-2 V

R

" dRdR

Рис. 3. Профили скорости в кольцевом канале: а -« = 1,25; в моменты времени Т: 1-0; 2-0,1; 3-0,4

0 1 Рис. 4. Длина начального участка в кольцевом канале при RjR2 : 1-0,5 (о - Hartnett J.P. (1989), в -Gupta R.C. (1990)); 2-0,25; 3-0,1; 4-0,05 (▲ -Mehrotra А. К. (1990), • - Pootey, Redley (2007), п -Matras, Nowak (1982)) -— расчет по модели.

и = 0,75; б - и = 1,0; в -; 4-1; 5-2.

Найдены условия устойчивости и сходимости схемы (15) - (19) (ДГ<0,01ДС и 0,2<и<3), которые оказались инварианты к геометрии канала. Тестирование схемы при Т ->оо показало ее работоспособность при п = 1. Установлено, что координата максимальной скорости Л, с увеличением индекса течения п смещается к (^1 + Л2)/2,а £г->0. Кроме

того, точность алгоритма позволяет регистрировать различие в физической картине течения при достаточно близких реологических па-

раметрах (рис. 3). Подтвержден факт, как и в случае других геометрий, что длина начального гидродинамического участка с уменьшением п увеличивается (рис. 4), причем максимальное ее увеличение наблюдается в области п е [0,2; 0,4].

Анализ математической модели (11) приведен в главе 4, в которой с помощью интегральных синус-преобразования и преобразования Ханкеля получены аналитические выражения, определяющие поле скоростей на начальном гидродинамическом участке:

для плоского канала

U(Z,X) = 2K£^-(cosAm-l) т=1 -V

1___1_

2 К

sin(Am^r), (20)

где кт = кт; X = x/h, Z = :/h, V = vzh/v, Re = v0h/v; К = {8P/dZ)/Re; P = pj^pviy h - ширина канала; v - коэффициент кинематической вязкости жидкости; v0 = const — скорость жидкости на входе канал; для круглой трубы

МЯтЯ)

U(R,Z) = 2£

к —+ i.-il 1 2 ®Ф(~qmz)

ч„, 1 Чт)

где q„, - корни уравнения J0(qm) = Q, R = r/r0, Z = г/г0 , V = vzr0fv, Re = vQr0/v; для кольцевого канала

(21)

U(R,Z) = ?-Z

ж2 « Р14{РЛ)Чрш)

4{РЛ)-4{РЛ)

{J0(pmR)N0(Рпл)~ Jo {рЛ)Щ(рил)] ■

1-

PmJ

exp (~pmZ) + — Pm

(22)

где

ЧРш)= [ЪА (РЛ) ~ V] (АЛ)] А'о {РЛ) --[д^, (р,А)+т (лил,)]л (р,лу,

Рт -корни уравнения Л) {Рт^2 ) [Рт^1 )~-10 {Рт^\)И0 (Рт^2 ) = 0 • Л = г/с/; Л, = г{¡с!; й2 = г2/с1\ ¿ = /-2-г,; У = у.с1/у; Пе = \'()с!/у; гх, г2 - радиусы внутренней и внешней труб;

для канала прямоугольного сечения

U(X,Y,Z) = 4t £—-

и=1 т=1 \Ptr

(cosl„-l)(cos/im-l)-

где Д„ = лп; цт=ят\ Х = х/к, У = у/к, г = г/к, к = Ь1Иг/{И1+Ь2); К = у¿/у; Яе = \>0И/у; А = (к1+к2)/Н2; Я = 2)/Ь- Коэффициент К, найденный из условия, что при 2—>оо безразмерная средняя скорость по сечению есть 1, равен для плоского канала 12, для трубы 8, для каналов кольцевого и прямоугольного сечений соответственно

К = <

■/02(р,л)ф2ы

Щ - Я,2 р2т [4 (рА)- 4 {рЛ)}\

К =

1

п=\т=\Л„Рт

{со%Х„-\)2(со5Цт-\)г

2\

(24)

(25)

В"

Получено, что результаты расчетов длины начальных участков по (20) - (25) коррелируют с результатами главы 3 при и = 1.

В этой же главе проведена приближенная аналитическая оценка длины начального участка в плоском горизонтальном канале при течении степенной жидкости в рамках модельных представлениях о слабодеформируемых течениях в приложении к ламинарному движению с использованием структуры уравнения (11), в результате чего получена краевая задача

д

дХ

ди

дХ

п~1ди_л ах

дг

ди

дХ

дЦ д2

(26)

£/(*0)«1, = (27)

и(\,2) = и{й,2) = 0, (28)

где Х = ф, г =-//г, К = у,/(г0А); Яе = г0рИ/17; К = Не'1 <1?! <¡2; Р =

К' =Кех-пКII = К/йе.

Для п = 1 показано, что длина начального участка может быть определена на основе решения задачи о разгонном течении. Это позволило перейти к решению (26) - (28) в формулировке разгонного течения, при этом путем выбора вспомогательной функции 1У(2,Х) по правилу

ди

дХ

сформулирована система

1-1

ди_ дх

' дХ '

ди

п—1

ах

дУ дг

' дг

д21У(х,г) д2(У(х,г) _

дХ1

дг1

= -к

IV (х, о) = дяг (*>«>) = = 1¥ (12) = о >

52

решение которой

т=1 Я,„

где Хт = кт. Поэтому для разгонного течения поле скоростей

u(z,x)=

¡lafJ^'

1

при О < X < .5

I

(29)

I 1-I dX + \ | —— I аХ, при .5 < X < 1

К =

0,5 д-

и

О О

0,5V arj 1

8W(X, со) дХ

0,5

dXdX + - f т J

dfV(X,co) дХ

dX +

1 Л'

+ f J

0,50,5

ЗЖ(оо)

av

dXdX

(30)

Hl

Me 0,20

0,10

0

1

Расхождение с известными данными в области «сильной» дилатантности объяснено выбором IV, что накладывает ограничения на условия 81!/дХ = 5(7/52 и

81¥/8Х = д1У/д2, которые с увеличением К* выполняются менее точно, о чем свидетельствует величина среднеинтегральной ошибки 8\У 81У 8Х 82

11

оо

dXdZ.

модели; □ - данные Gupta R.C.(1989)

Рис. 5. Длина начального гид- Длина начального участка (рис. 5) рассчитывалась родинамического участка в по модифицированному соотношению плоском канале: — расчет по г/ (.5, г) = 1 + [1 - 1/с7 (.5,оо)] г/ (.5,г). (31)

В этой же главе показано, что длина гидродинамического начального участка при разгонном течении эквивалентна длине инерционного течения.

Описание предметно-ориентированного программного комплекса (рис. 6), позволяющего вычислять длину начального участка, приведено в приложении.

Программный комплекс на алгоритмическом языке С++ построен по блочному типу для расчета длины начального участка при течении степенной жидкости в плоском, круглом и кольцевом сечений каналов.

ук+1 = ук +FLk

i = i +1

Рис. 6. Обобщенная блок-схема функционирования предметно-ориентированного программного комплекса "ENTRY".

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Показано, что задача идентификации длины гидродинамического участка при ламинарном изотермическом течении степенной жидкости может быть сформулирована в рамках допущения об однонаправленности движения либо с помощью понятия «ползущего» режима без использования погранслойных представлений.

2. Разработана маршевая конечно-разностная схема, позволяющая определять динамику изменения профиля скорости в зависимости от индекса течения степенной жидкости и геометрии канала, и предложен масштабный переход к длине гидродинамического участка, основанный на определении коэффициента трения по Фан-нингу. Указан диапазон ее устойчивости и сходимости: шаг по безразмерному времени должен быть меньше на два порядка, чем шаг по координате, а индекс течения изменяется в диапазоне от 0,2 до 3.

3. Полученные аналитические решения уравнений моделей для ньютоновской жидкости, а также результаты вычислительных экспериментов подтвердили правомочность предложенного подхода для определения длины начального участка при сравнительном анализе с известными данными.

4. Подтверждено, что длина начального участка с увеличением индекса течения уменьшается. Найдено, что его максимальная его величина находится по индексу течения в промежутке от 0,2 до 0,4.

5. На примере плоского канала разработан алгоритм аналитического оценивания длины начального участка с использованием структуры решения для разгонного течения степенной жидкости, который может быть применен для других геометрий.

6. Разработанный предметно-ориентированный программный комплекс позволяет автоматизировать процедуру оценивания длины гидродинамического начального участка в зависимости от индекса течения и геометрии канала.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ряжских A.B. Гидродинамический начальный участок при течении высоковязкой ньютоновской жидкости в круглой трубе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. - 2012. - вып. 3. -с. 98-102.

2. Ряжских A.B. Гидродинамический начальный участок при течении высоковязкой ньютоновской жидкости в канале прямоугольного сечения // Вестник ВГТУ. - 2011. -Т.7. -№11.3. - с. 39-42.

3. Ряжских A.B. Начальный участок в кольцевом канале при напорном течении ньютоновской среды // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. -Т.13. -№2. - с. 350-351.

4. Ряжских A.B. Инерционное ламинарное течение в плоском канале // Вестник ВГТУ. - 2006. - Т.2. -№6. - с. 102-104.

статьи и материалы конференций

5. Чертов Е.Д., Ряжских A.B. Решение начально-краевой задачи для неоднородного эллиптического уравнения в полуограниченной полосе / Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2011. - с. 356-357.

6. Ряжских A.B. Гидродинамический начальный участок при течении высоковязкой жидкости в плоском канале / Физико-математическое моделирование систем: материалы VII Международного семинара. - Воронеж: Изд-во ВГТУ. - 2011. - с. 199-202.

7. Ряжских A.B. Формулировка задачи в переменных Гельмгольца о гидродинамическом начальном участке при «медленном» течении ньютоновской жидкости в плоском канале / Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: материалы VI международной научной конференции. - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2011. - с. 255-256.

8. Чертов Е.Д., Ряжских A.B. Идентификация ламинарного гидродинамического начального участка жидкости Оствальда-де В ил я в цилиндрическом канале // Актуальные проблемы математики и информатики. - 2008. - №4. - с. 79-87.

9. Ряжских A.B. Гидродинамический начальный участок в кольцевом канале при напорном течении ньютоновской среды (труды международной научной конференции «ММТТ-19»). Т.9. Секция 10. - Воронеж: Изд-во BITA. - 2006. - с. 47-48.

10. Ряжских A.B. К расчету ламинарного изотермического течения жидкости Оствальда-де Виля во входном участке плоского канала / Авиакосмические технологии: труды XI международной научно-технической конференции. 4.2. - Воронеж: Изд-во ВГТУ. - 2005. - с. 226-230.

11. Ряжских A.B. Моделирование изотермической гидродинамики ньютоновской жидкости на начальном участке цилиндрического канала / Современные проблемы математики и математического моделирования: материалы конференции. - Воронеж: Изд-во ВГТА. - 2005. - с.200.

Подписано в печать 22.10.2012. Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 221

ФГБОУВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» (ФГБОУВПО «ВГУИТ») Отдел полиграфии ФГБОУВПО «ВГУИТ» Адрес университета и отдела полиграфии: 394036, Воронеж, пр. Революции, 19

D=2*((R[0]*V2[0]+R[N]*V2[N])/2.+SUM)*DR; printf("\nDl=%.121f",D);

if(K+1>=1000*J) {

printf("\nT=%.121f",(K+l)*DT); printf("\nX V");

for(int i=0;i<N;i++)

printf("\n%.llf %.121f", R [i],V1[i]); printf("\nD=%.121f",D); getch(); J++;

}

else

{

for(int i=l;i<N-l;i++)

VI[i]=V2[i]; VI[0]=(4*V2[1]-V2[2])/3.; VI[N]=0; K++;

}

}while(K+l<=100000);

delete [] VI; VI = NULL;

delete [] V2; V2 = NULL;

delete [] R; R = NULL;

delete [] EPS; EPS = NULL;

//////////////////////////////////////////////

// Segment for circular canal

// N1 - index flow

// V0 - velocity entry

// N - scale

// E - precision

// DT - step time

// DR - step coordinate

// BR - parameter Br

// R - matrix coordinate

// VI - matrix velocity for k time layer

// V2 - matrix velocity for k+l time layer

// EPS - matrix precision

namespace circ {

bool FLAG; int N1=1, NT=2,

K, J, I, N, KS; double V0=1,

A=0.05, R1=A/(l.-A) , R2=l./(1.-A), EPS=0.0001,

RZ=R1, R11=R1, R22=R2,

BR, SI, S2, SUM, D, H, X2, XI, X0, Y0,

for(int i=l;i<19;i++) {

R=R1+I*DR;

PR2=(V[i+1]-2*V[i]+V[i-1])/(DR*DR); PR1=(V[i+1]-V[i-1])/(2*DR); if(PR1==0) VI[i]=(V[i-1]+V[i+1])/2.;

else

{

SX1=(PR2+PR1/(R1+I*DR))*pow(fabs(PR1),NT-1);

if(R<RZ) {

SX2=(NT-1)*PRl*pow(fabs(PR1),NT-2)*PR2; VI[i]=V[i]+(1+BR*(SX1+SX2))*DT;

}

else SX2=-(NT-1)*PRl*pow(fabs(PR1),NT-2)*PR2

}

}

SUM=0;

for(int j=l;j<19;j++) {

' RR[j]=Rl+j *DR; SUM=SUM+RR[j]*V1[j]; }

• VS=(2.*DR)/(R2*R2-R1*R1)*SUM; if(K!=KS) K++;

else

{

printf("\n VS=%.121f",VS); printf("\n T=%.121f",K*DT); printf("\n R\t\t V"); for(int i=0;i<20;i=i+2)

printf("\n %.121f %.121f",Rl+i*DR,Vl[i]); for(int i=l;i<19;i++) V[i]=Vl[i]; K++; KS+=1; getch();

}

}

delete [] V; delete [] VI; delete [] DD; delete [] RR;

}

//sub function

void gosubl380() {

using namespace circ; 11=0; N=4;

if(FLAG) H=(RZ-R1)/4.; else H=(R2-RZ)/4.; while(1)

V = NULL;

VI = NULL;

DD = NULL;

RR = NULL;

else

}

}

{ 11=12; N=N*2; H=H/2.; }

void gosubl7 60() {

using namespace circ; I1P=0; NP=4;

if(FLAG) HP=(RT-Rl)/4 . ; else HP=(R2-RT)/4.;

while(1)

{

I2P=0; IP=2;

while(1)

{

if(FLAG) X2P=R1+IP*HP; else X2P=RT+IP*HP;

X1P=X2P-HP; X0P=X1P-HP;

R=X0P; gosubl920(); Y0P=FP;

R=X1P; gosubl920(); Y1P=FP;

R=X2P; gosubl920(); Y2P=FP;

SP=Y0P+4*Y1P+Y2P; I2P=I2P+SP;

if(IP<NP) IP=IP+2; else break;

}

I2P=I2P*HP/3.;

if(fabs(I1P-I2P)<EPS) break;

else {I1P=I2P; NP=NP*2; HP=HP/2.; }

}

}

void gosubl920 () {

using namespace circ;

if(FLAG) FP=pow((RZ*RZ-R*R)/Rfl./NT); else FP=pow((R*R-RZ*RZ)/R, 1./NT);

}

// main

int main(int argc, char* argv[]) {

printf("\n 1. Segment for flat canal"); printf("\n 2. Segment for pipe"); printf("\n 3. Segment for circular canal"); printf("\n\n Input regime: "); scanf("%d", &REG); fflush(stdin);

switch(REG) {

case 1 : flat(); break;

case 2 : pipe(); break;

case 3 : circular(); break;

}

getch(); return 0;