автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и оптимальное оценивание параметров в дискретных системах передачи шумоподобных сигналов

На правах рукописи

КУЧЕРЕНКО ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ ШУМОПОДОБНЫХ СИГНАЛОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г Ростов-на-Дону 2008 г

003445586

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (РГУПС)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Соколов Сергей Викторович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Таран Владимир Николаевич

кандидат технических наук, доцент Погорелов Вадим Алексеевич

Ведущая организация- Южный федеральный университет

Защита диссертации состоятся 9 октября 2008 г. в 15 00 на заседании диссертационного совета Д218010 03 при Ростовском государственном университете путей сообщения по адресу 344038, г Ростов-на-Дону, пл Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета путей сообщения

Автореферат разослан «15» августа 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 218 010 03 доктор технических наук, доцент

Бутакова М А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Системы передачи и обработки информации (СПОИ) являются в настоящее время одной из важнейших составных частей практически любых (особенно территориально распределенных) систем самого различного назначения и отраслевой принадлежности и выполняют важную функцию по обеспечению требуемого уровня внутри- и межсистемного информационного взаимодействия, оказывая, таким образом, непосредственное влияние на основные качественные показатели их функционирования

В качестве одних из наиболее перспективных на сегодняшний день СПОИ, позволяющих реализовать качественно новый уровень информационного обмена за счет более высоких (по сравнению с другими СПОИ) показателей спектральной эффективности и помехозащищенности, можно выделить весьма широко распространенные и активно развивающиеся сегодня цифровые широкополосные системы, использующие шумоподобные сигналы, построенные на псевдослучайных последовательностях (ПСП) максимального периода (Л/-послсдовательностях)

К их числу следует отнести современные цифровые системы связи третьего поколения, основанные на принципе множественного доступа с кодовым разделением каналов, а также имеющие не меньшую значимость для современных приложений и все более масштабно внедряемые в настоящее время спутниковые радионавигационные системы (СРНС)

Большой вклад в развитие теории и практики разработки методов и алгоритмов обработки шумоподобных сигналов на фоне случайных помех и создание помехоустойчивых схем их анализа внесли отечественные ученые Д В. Агеев, Л.Е Варакин, В А. Котельников, Б Р Левин, Г И Тузов, В И Тихонов и др, а также зарубежные авторы Р К Диксон, Дж Спилкер, К Шеннон и пр

Практически единственной основой подавляющего большинства применяемых в настоящее время способов представления и методов обработки шумоподобных сигналов, построенных на ПСП данного класса, является использование их специфических корреляционных свойств что, как правило, влечет за собой ряд ограничений невозможность учета неизбежно возникающего в реальных условиях работы любой системы передачи информации недискретного по своей природе шума этапа формирования последовательности, возможность ложной синхронизации по боковым пикам реальных корреляционных функций используемых ПСП, необходимость использования на приемной стороне многоканальных анализаторов на корреляторах или согласованных фильтрах. Это приводит к существенному увеличению вычислительных затрат (в особенности при решении актуальной для СРНС задачи максимально точного определения временной задержки распространения навигационного сигнала при его прохождении по трассе «навигационный аппарат-потребитель»)

Различным способам представления и анализа сигналов, построенных на псевдослучайных последовательностях максимального периода, посвящены

работы отечественных ученых А И Алексеева, Р Г Фараджева, А В Частикова, С М Ярлыковой и др, а также зарубежных авторов Р Баркера, Р Голда, С Голомба и пр

Появившиеся недавно методы, основанные на различных вероятностных моделях ПСП, - ее представлении цепями Маркова с несколькими равновероятными состояниями, а также моделях, основанных на использовании параметрического представления последовательности в виде квазислучайного процесса, несколько снижают требования к объему аппаратурных затрат, однако не обладают достаточной оперативностью и точностью обработки, поскольку не учитывают в полной мере существующие внутрикомбинационные зависимости между отдельными символами принимаемой ПСП Кроме того, данные методы также не позволяют учесть мешающие воздействия этапа формирования последовательности

Также важно отметить, что исходя из физического смысла задач, аналогичных отмеченной выше проблеме определения задержки распространения построенного на ПСП шумоподобного сигнала, можно сделать вывод о целесообразности их решения в параметрической постановке -то есть как задач определения некоторого параметра среды распространения сигнала с использованием методов оптимального оценивания параметров, обеспечивающих максимальную точность процедуры оценивания и использующих обобщенные вероятностные критерии, зависящие в общем случае нелинейно от наиболее исчерпывающей характеристики наблюдаемого стохастического объекта - его апостериорной плотности вероятности

В теорию и практику разработки методов оптимального оценивания параметров систем значительный вклад внесли отечественные ученые В.С Пугачев, Н С Райбман, Я 3. Цыпкин и др , а также зарубежные авторы Р Ли, Л Льюнг, Дж Мелса,Э Сейджидр

Однако известные в настоящее время методы оптимального оценивания параметров сформулированную в указанной постановке задачу решить не позволяют

В связи с вышеизложенным, проведение исследований, направленных на разработку методов и алгоритмов, позволяющих устранить недостатки существующих способов обработки ПСП, наблюдаемых в условиях помех, а также синтез новых и развитие существующих методов, повышающих точность оценивания параметров нелинейных дискретных систем передачи и обработки шумоподобных сигналов, представляется весьма актуальной задачей как с практической, так и с теоретической точек зрения

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются дискретные системы передачи и обработки шумоподобных сигналов Предметом исследования являются методы и алгоритмы оптимального оценивания параметров дискретных нелинейных систем передачи и обработки стохастических сигналов в условиях негауссовских помех произвольной интенсивности

Цель и задачи исследования. Основной целью настоящей работы является синтез общего решения задачи нелинейного оптимального оценивания

параметров дискретных нелинейных систем передачи и обработки стохастических сигналов в условиях негауссовских возмущающих воздействий произвольной интенсивности

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи

1. Построить математическую модель, описывающую псевдослучайную последовательность произвольной размерности как нелинейную векторную конечноразностную структуру, позволяющую учитывать существующие взаимосвязи ее символов и искажения отдельных разрядов, неизбежно возникающие на этапе ее формирования.

2 Синтезировать уравнения субоптимальной нелинейной оценки ПСП, принимаемой в условиях помех, на основе методов теории дискретной оптимальной фильтрации.

3. Получить общий вид решения задачи дискретного нелинейного оптимального оценивания параметров нелинейного наблюдателя стохастического нелинейного вектора состояния в условиях негауссовских помех произвольной интенсивности

4. Разработать алгоритм процедуры дискретного нелинейного оптимального оценивания параметров стохастического нелинейного наблюдателя вектора состояния на основе использования обобщенных вероятностных критериев оптимальности. Провести анализ его точности и оперативности

5. Разработать субоптимальный алгоритм решения задачи определения временного сдвига ПСП, принимаемой на фоне помех

Методы исследования. Для решения поставленных в работе научных задач используются методы теории случайных процессов и математической статистики, методы компьютерного моделирования, методы теории оптимальной фильтрации, теории систем сигналов, теории оптимизации и приближенных вычислений

Научная новизна. Научную новизну диссертационного исследования составляют следующие результаты

1. Впервые получены нелинейные многомерные конечноразностные уравнения, описывающие математическую модель псевдослучайной последовательности произвольной размерности с учетом нелинейной рекуррентной взаимосвязи между ее разрядами. Полученная математическая модель может быть использована при описании ПСП даже в условиях зашумленного формирования отдельных разрядов (характерного для работы реальных систем)

2 Синтезированы уравнения субоптимальной нелинейной оценки ПСП, принимаемой в условиях помех, на основе дискретного нелинейного фильтра Калмана Впервые показана возможность решения задачи структурного распознавания наблюдаемой в условиях помех ПСП на основе полученного субоптимального дискретного нелинейного фильтра.

3 Впервые в общем виде решена задача дискретного нелинейного оптимального оценивания параметров нелинейного наблюдателя

стохастического нелинейного вектора состояния в условиях негауссовских возмущающих воздействий произвольной интенсивности В качестве критериев оптимальности разработанный метод использует обобщенные вероятностные критерии, зависящие в общем случае от апостериорной плотности распределения вектора состояния нелинейно

4 Синтезирован алгоритм дискретного нелинейного оптимального оценивания параметров стохастического нелинейного наблюдателя вектора состояния, использующий в качестве оптимизируемого обобщенного вероятностного критерия критерий минимума апостериорной плотности вероятности текущей ошибки оценивания на интервале ее допустимого изменения

5. На основе оптимизации критерия минимума апостериорной интегральной ошибки оценивания разработан субоптимальный алгоритм решения задачи идентификации временного сдвига зашумленной ПСП

Практическая значимость. Практическую значимость диссертационного исследования составляют следующие результаты.

1. Разработан и программно реализован численный алгоритм моделирования ПСП произвольной размерности с учетом искажений отдельных разрядов генерируемых последовательностей, позволяющий производить численные исследования процесса их обработки в реальных условиях функционирования приемной аппаратуры Апробированный в процессе эксплуатации системы ДЦ-Юг с распределенными контролируемыми пунктами алгоритм используется в данной системе при реализации процедур и программного обеспечения передачи оперативной информации.

2. Разработано программное обеспечение (ПО) численного алгоритма нелинейной оценки ПСП произвольной размерности, наблюдаемой в условиях помех, на основе дискретного нелинейного фильтра Калмана Данное ПО может быть использовано для реализации процедуры помехоустойчивого приема и распознавания сложных сигналов, построенных на последовательностях данного класса

3. Разработано ПО процесса численного моделирования и исследования предложенного алгоритма оптимального оценивания параметров стохастического наблюдателя вектора состояния заданного объекта в различных условиях его функционирования Данное ПО позволяет производить моделирование с последующей визуализацией получаемых результатов, анализ и оценку точности результатов работы алгоритма для решения различных задач, возникающих в действующих СПОИ, и апробировано и используется в учебном процессе СКФ МТУ СИ

4 Полученный в работе субоптимальный алгоритм оценивания параметра стохастического наблюдателя вектора состояния ПСП может быть использован для решения задачи определения временной задержки распространения шумоподобных сигналов, являющейся актуальной для существующих и перспективных систем, использующих сигналы данного класса

Достоверность и обоснованность научных и практических результатов, положений и выводов, сформулированных в диссертационной работе, подтверждается результатами экспериментальных исследований, данными численных экспериментов, проведенных при решении практических и модельных задач, публикациями и апробацией работы на международных и всероссийских научных конференциях, актами внедрения результатов работы

Реализация результатов работы. Научные результаты диссертационной работы были использованы при реализации алгоритмов и программного обеспечения передачи оперативных данных системы ДЦ-Юг с распределенными контролируемыми пунктами (акт от 30 05 08), а также в учебном процессе СКФ МТУСИ (акт от 27 05 08)

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь» (2007г, Воронеж), 16-м Международном симпозиуме «ЕШЫЕХ - гЕЬ 2008» (2008 г , г Жилина, Словакия), Всероссийской конференции «Научное творчество молодежи» (2007 г., Анжеро-Судженск), Международной конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (2008 г, Росгов-на-Дону), Всероссийской конференции «Проблемы информационной безопасности» (2007, 2008 гг, Ростов-на-Дону), Всероссийской конференции «Транспорт 2007» (2007 г., Ростов-на-Дону)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 печатные работы, отражающие основные результаты диссертации, из них 6 работ в источниках, рекомендованных ВАК, и 6 в зарубежных научных изданиях

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, 2-х приложений, списка литературных источников, а также актов реализации результатов диссертационной работы Общий объем диссертации составляет 140 стр., включая 21 рис., список использованных источников из 119 наименований, приложений и актов реализации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, дано общее описание выполненной работы

В первой главе проведен анализ основных принципов функционирования систем передачи и обработки шумоподобных сигналов Указаны и проанализированы основные характерные для рассматриваемых в главе систем проблемы, возникающие на различных этапах процесса информационного обмена Основываясь на результатах проведенного анализа существующих в системах передачи и обработки шумоподобных сигналов основных проблем, сформулированы частные задачи диссертационного исследования, решение которых направлено на устранение ограничений существующих способов представления и обработки ПСП, принимаемых в условиях помех, а также на уменьшение отрицательного влияния существующих мешающих факторов, и, таким образом, на повышение

качественных характеристик процесса информационного обмена в данных системах.

Во второй главе построена и исследована стохастическая векторная конечноразностная математическая модель псевдослучайной

последовательности произвольной размерности, учитывающая нелинейную рекуррентную взаимосвязь между ее символами и искажения отдельных разрядов ПСП, неизбежно возникающие на этапе ее формирования. На основе полученного представления ПСП разработан субоптимальный алгоритм ее нелинейной стохастической фильтрации и предложен подход к решению задачи структурного распознавания ПСП, принимаемой в условиях помех, на основе дискретного нелинейного фильтра Калмана.

Общий вид разностного уравнения ПСП произвольной размерности определяется следующим выражением:

у[к + Щ = а,у{к\@а2у[к + \]®...®аку[к + М-Ц, (1)

где у[к] - значение генерируемой последовательности на к-м такте (принадлежит алфавиту 0={0,1}); а, -коэффициенты, задающие правило кодирования (также принадлежат алфавиту С7={0,1}); Ы— «память» последовательности, которая равна разрядности регистра.

(Операции сложения и умножения в (1) производятся по модулю 2).

Введем следующие переменные состояния последовательности:

у[к] = х,[к] у[к+\\ = х,[к] = хЛк + Х\

• (2)

у\к + М-Ц = х,[к] = хх_х[к + Ц у[к + Щ = хК[к +1]

Принадлежность значений генерируемой последовательное™ х\к\ и коэффициентов а,, к алфавиту (7={0,1} позволяет представить операцию сложения по модулю 2 через арифметические операции следующим образом:

а,х, [¿] Ф амхн, [4] = а,х, И + амхы [А] - 2а,х, ВД • амхм [А] = в(х, [к],х^ И). (3)

Геометрическое представление функции 9{хЩ,хн,\к\) с отмеченными точками, соответствующими дискретным значениям ее аргументов, показано на рис. 1.

Рис. 1. Геометрическое представление функции в{х\к\,хм[к\)

N Гл (г-2>Г

I I £

г-2 1»!

Тогда с учетом (3) система уравнений (2) принимает следующий вид

*,[* + 1] = х,1*]

+ !] = *,[*]

V

¿(а *„[*] х,г[к])

=> ,+1

где а - постоянный коэффициент на очередном шаге вычислений, определяемый соотношением а = аь а„ д,г.

Полученная математическая модель последовательности с точки зрения теории оптимального оценивания является описанием нелинейного дискретного объекта в пространстве его состояний (или уравнением сообщения).

Наблюдаемый на фоне помех сигнал ПСП доступный непосредственному измерению на приемной стороне имеет вид

4*1 = С (5)

где х[А] - вектор-столбец переменных состояния последовательности размерности N для к-го шага; С = [1 0 0 •• 0] - вектор-строка размерности N, "о [*] - белый гауссовский шум с дисперсией £>0 и нулевым средним

Уравнения (4) и (5) являются исходными для решения задачи формирования нелинейной оценки вектора переменных состояния ПСП с использованием широко разработанных методов нелинейной дискретной оптимальной фильтрации Однако, ввиду того, что нахождение точного решения задачи нелинейной дискретной многомерной фильтрации представляет собой достаточно сложный рекуррентно-интегральный вычислительный процесс, полученная изначально нелинейная модель ПСП линеаризуется посредством разложения в ряд Тейлора нелинейной функции, входящей в последнее уравнение системы (4) в окрестностях оценок переменных состояния ПСП Таким образом, линеаризованная модель последовательности определяется выражением

![4 + 1] = АМ 1И+ВИ, (6)

где х[£] и +1] — векторы переменных состояния ПСП на к-м и (£+1)-.м шагах соответственно, А[А] и В[4) - матричные коэффициенты, зависящие только от оценок вектора переменных состояния ПСП

Полученные уравнения сообщения (6) и наблюдения (5) линейны относительно вектора переменных состояния ПСП, и, следовательно, к ним можно применить субоптимальный алгоритм фильтрации Калмана

Уравнения субоптимального нелинейного фильтра Калмана, обеспечивающие решение поставленной задачи формирования нелинейной оценки последовательности, в данном случае имеют вид

x[k +1] = АИ• x[A]+ BfA-] + K[i + l](z[*+1]-C-(АЩ ■ x[*]+ B[i 1)), (7)

K[Ä +1] = R[Jt + l]Cr(CR[A + l]Cr + Doy', R[* +1] = (I -KfÄ + 1]C) R[i + 1j,

R[fe + l]=A[A]R[fc]Ar[i],

где x[A] и x[ä+1] - векторы оценок переменных состояния последовательности на к-м и (fc+l)-M шагах соответственно; I - единичная матрица размера NxN.

Полученный алгоритм фильтрации (7) оказывается весьма эффективным для решения задачи оперативного распознавания структуры принимаемой в условиях помех ПСП, то есть задачи установления факта соответствия (или несоответствия) значений коэффициентов, определяющих закон формирования наблюдаемой последовательности значениям этих коэффициентов, определяющих соответствующий фильтр.

Как показали результаты моделирования, для решения задачи в подобной постановке в качестве критерия распознавания структуры последовательности целесообразно использовать критерий минимума текущего среднеквадратического отклонения (СКО) вычисляемых оценок фильтрации от значений исходной (распознаваемой) последовательности на некотором временном интервале работы алгоритма, что иллюстрируется сравнением полученных в результате моделирования зависимостей (рис. 3) с рассчитанными значениями ненормализованных взаимных корреляционных функций (ВКФ) наблюдаемых ПСП и копии распознаваемой последовательности, воспроизводящейся на приемной стороне, для одного периода этой последовательности при различных значениях величины их относительного временного сдвига Т (рис. 2).

Здесь через s обозначено СКО получаемых оценок фильтрации от исходных значений распознаваемой последовательности, а через smfi7 - СКО значений наблюдаемого на фоне помех сигнала от незашумленных значений соответствующей ПСП.

17

0 0,1 ОД 0,3 0,4 0,5 0,6 0.

-10

10

Рис. 3 Зависимости СКО оценок фильтрации от СКО сигнала наблюдения

Рис. 2 Зависимости ВКФ от величины относительного временного сдвига

Как видно из рис 2, отсутствие у ВКФ, построенной для случая наблюдения на фоне помех распознаваемой последовательности (зависимость Г), сколько-нибудь явно выраженных пиков (по отношению к ВКФ, рассчитанных для случая приема остальных исследованных в работе последовательностей (зависимости 11-1У)) делает использование такого подхода в данном случае малоэффективным

В третьей главе произведена постановка задачи оптимального оценивания параметров дискретного наблюдателя стохастического нелинейного вектора состояния на основе обобщенных вероятностных критериев и получен общий вод ее решения Предложены различные вариации вида критериальной функции, позволяющие охватить самый широкий класс условий оптимальности по точности В качестве одного из возможных вариантов обобщенного вероятностного критерия предложен критерий минимума апостериорной плотности вероятности (АПВ) текущей ошибки оценивания на некотором интервале ее предельно допустимого изменения Разработан и исследован субоптимальный алгоритм решения задачи идентификации параметра временного сдвига ПСП, принимаемой на фоне помех, на основе предложенного критерия минимума апостериорной интегральной ошибки оценивания

Задача стохастического оптимального оценивания параметров дискретного наблюдателя формулируется следующим образом Пусть Л'-мерный вектор состояния нелинейного дискретного объекта х, задан в общем случае нелинейным разностным уравнением

(8)

где {( ) - известная нелинейная вектор-функция с дифференцируемыми компонентами, для которых существуют обратные функции; - Л'-мерный вектор переменных состояния на (Ы)-м шаге времени, - Л'-мерный вектор шума с известной //-мерной невырожденной функцией плотности распределения вероятности д(п)

Вектор наблюдения размерности М для к-то момента времени гк описывается следующим уравнением (в общем случае также нелинейным)

**=7(С„х4,иг,), (9)

где /( ) — известная нелинейная вектор-функция наблюдения с дифференцируемыми компонентами, для которых существуют обратные функции, Ск - вектор (или матрица) параметров наблюдателя соответствующей размерности, в общем случае нестационарный, у/к - М-мерный вектор шума с известной М-мерной невырожденной функцией плотности распределения вероятности

Для сокращения дальнейшей записи набор векторов сигналов наблюдения г, (¡=1 к) будем обозначать через г\

В рассматриваемом общем нелинейном стохастическом случае задача оптимального оценивания (идентификации) текущего неизвестного параметра

С1 может быть сформулирована как задача нахождения его значения, доставляющего оптимум некоторому вероятностному критерию оптимальности ./ В качестве таких критериев, обеспечивающих максимальную точность процедуры идентификации, целесообразно использовать обобщенные вероятностные критерии, зависящие от АПВ переменных состояния объекта р(хл ¡г^С^) в общем случае нелинейно-

=Ж(С4), (10)

\

где Ф - известная нелинейная аналитическая функция, Х- заданная область пространства состояний, IV - известная нелинейная функция

Тогда различные вариации вида критериальной функции Ф позволяют охватить достаточно широкий класс критериев оптимальности по точности критерий Фишера, критерий Кульбака, критерий Шеннона и др

Очевидно, что задача в данной постановке сводится к поиску текущей апостериорной плотности р(хк и последующему определению текущего

значения искомого параметра Ск, удовлетворяющего выбранному критерию оптимальности

Многомерная апостериорная плотность вероятности вектора состояния х для к-го момента времени р(х4 |г^,С,) определяется выражением

\ Iр(хк | р(г„ | х,)

р(х*К.- --—--, (11)

КСк)

+06 V«/ +«6 -Ие N

*№,)= | И /р(х4_,|г}-',С,.,) р(гк\х,)[кк,

где ^(х,.,|г",с,.,)-определенная на (¿-1)-м шаге АПВ вектора состояния объекта; />(х,|х4_,) -определяемая на текущем шаге алгоритма ^-мерная условная плотность вероятности вектора х4, р(гк |х,) -определяемая на текущем шаге алгоритма функция правдоподобия для многомерного наблюдения

Многомерная условная плотность р(х4|х„_,) может быть получена из исходного уравнения объекта (8) при известном виде плотности распределения вероятности значений шума д(п) (в предположении их взаимной статистической независимости)

где Ут - якобиан преобразования от вектора переменных п к вектору переменных х,., зависимость которых является в общем случае нелинейной и определяется выражением (8), у(х,,х,,_,) - вектор с элеме!ггами, полученными в результате обратного преобразования соответствующих компонентов Г( )

Аналогичным образом из уравнения (9) определяется входящая в (11) функцию правдоподобия для многомерного наблюдения р(2П*1) = £(Ч»(г4,С1,х6)) IV I,

где - якобиан преобразования от вектора переменных те к вектору гк, Ч»(г4,С1,*») - вектор с элементами, полученными в результате обратного преобразования соответствующих компонентов х( )

Так как АПВ ^"'.С^.,) в правой части равенства (11) является известной функцией (определенной на предыдущем шаге), рекуррентный алгоритм определения АПВ переменной состояния для /с-го момента времени при наличии дискретных отсчетов сигнала наблюдения г{ принимает вид

= (12) И (С

где

-=0 -ОС

+00 +30

Тогда, с учетом (12), обобщенный вероятностный критерий (10), обеспечивающий решение поставленной задачи оптимального оценивания параметров стохастического наблюдателя, окончательно можно представить следующим образом

Идентификация параметра Ск предполагает минимизацию (максимизацию) критерия (13) Для этой цели возможно использование известных и широко применяемых методов оптимизации функций многих переменных, выбор которых определяется особенностями исследуемого объекта и его наблюдателя.

Исходя из физического смысла поставленной задачи идентификации, для ее решения используется условие минимума АПВ текущей ошибки оценивания переменных состояния объекта а, на выбранном интервале ее предельно допустимого изменения - от ¡т^ до сг^, то есть

Ш1П3 - шт | |р(а; 17\,С( )а'о1.,

где <т, = -вектор текущей ошиоки оценивания, х,. - вектор текущих оценок переменных состояния объекта, р(<т, | г\ — АПВ текущей ошибки оценивания

Очевидно, что в силу неравенства Чебышева критерии, основанные на минимизации среднеквадратичсского отклонения ошибки оценивания, являются лишь частными случаями предложенного критерия

Учитывая линейную зависимость значений текущей ошибки оценивания и переменной состояния объекта, минимизацию предложенного критерия можно представить следующим образом

min J = min j... jp(a¡. 1z\\Ct)dat = min J... j p{<st + xt | zf;Ct)c/et. (14)

Производя соответствующую замену переменных в полученном ранее выражении для АПВ параметров состояния (12) и обозначив критериальное выражение через OJCk), поиск минимума критерия (14) можно представить в следующем компактном виде:

rain J = mmfi(Ct), (15)

где

D(Ct) = J... J p{vk + i | zf -Ck)dat = J... J

A (CJ

Здесь важно отметить, что в общем случае решения поставленной задачи вектор текущих оценок переменных состояния объекта х,, входящий в (15), представляет собой некоторый функционал (оператор) Ь от многомерной апостериорной плотности распределения переменной состояния и, следовательно, является нелинейной вектор-функцией от искомого параметра

СЛ„ то есть хе = ¿{рСх, | $;Ск))= и(С„).

Тогда критериальное выражение в (15) окончательно можно представить в следующем обобщенном виде:

'л^+ЩСДС^

fí(Ct)= J...}

А (С,)

da,..

Для иллюстрации эффективности предложенного подхода ниже представлены результаты моделирования процедуры идентификации параметра нелинейного стохастического наблюдателя нелинейного вектора состояния на основе предложенного критерия минимума АПВ текущей ошибки оценивания (рис. 4, 5).

Рис. 4 График АПВ текущей ошибки оценивания (£=50)

Рис. 5 Зависимость функции Q(c) от искомого параметра

В качестве интересной особенности приведенного на рис 4 графика следует отметить сравнительную простоту распознавания диапазона наиболее вероятных значений текущих оценок искомого параметра, удовлетворяющих предложенному критерию

Используя полученное в главе 2 аналитическое представление ПСП (4), ее уравнение, учитывающее помехи этапа формирования, определяется следующим образом

** =Л(*1,)+".»

где п, - Л'-мерный вектор шума этапа формирования последовательности с известной iV-мернои плотностью распределения вероятности q(n); ri(x,_,) -JV-мерная нелинейная вектор-функция, определяемая соотношением (4), xt, - векторы состояния последовательности на к-м и (Л+1)-м шагах с компонентами х'^ и jc^'J,, ;=1 .JV соответственно

Модель стохастического наблюдателя ПСП для к-го момента времени z,, описывается уравнением

z, =z(C xt,w),

гДе Х( ) - известная нелинейная функция, допускающая обращение; w - шум наблюдения с известной плотностью распределения вероятности g(w) (в общем случае негауссовской), С — вектор-строка размерности N, определяющий временную задержку принимаемой последовательности (параметр временной задержки или временного сдвига), с компонентами, принадлежащими алфавиту G={0,1}. Данный вектор представляет собой строку, имеющую в своем составе только один ненулевой элемент с номером, соответствующим числу временных тактов задержки псевдослучайной последовательности в информационном тракте

В рассматриваемом случае наблюдения задача оптимального оценивания неизвестного параметра временной задержки ПСП формулируется как задача определения его значения, удовлетворяющего выбранному варианту обобщенного вероятностного критерия оптимальности J (10)

С учетом результатов, полученных при проведении серии численных экспериментов для различных форм вероятностного критерия J (и для различных ПСП), в качестве критерия J предлагается использовать (как наиболее полно учитывающего особенности решаемой задачи), критерий минимума апостериорной интегральной ошибки оценивания:

minJ = mmfi(C),

с с

n(C) = S(M„M2, ,м„), S(M„M2, ,М,) = -1-¿М,2,

А—1 ;=1

Л'(С)

где Мк - суммарное апостериорное математическое ожидание вектора ошибки оценивания переменных состояния ПСП для к-го момента времени, ) —

функция, определяющая среднеквадратическое отклонение от нулевого значения совокупности своих аргументов (функция СКО); с, = хА ■ х, вектор текущей ошибки оценивания переменных состояния ПСП с компонентами о'/',

¡ = 1..Л', х,. - вектор текущих оценок переменных состояния ПСП х,.; отш, а.,^ -границы интервала допустимого изменения каждого из компонентов вектора текущей ошибки оценивания переменных состояния ПСП; р(<г4 | х\) -многомерная АПВ ошибки оценивания вектора состояния ПСП.

На рис. 6 представлена полученная в результате моделирования зависимость функции СКО 5 от порядкового номера шага алгоритма оценивания параметра временной задержки ПСП, принимаемой в условиях помех.

Приведенный график наглядно демонстрирует существенные количественные различия значений построенных зависимостей, а также качественное расхождение в тенденциях их изменения с увеличением времени работы алгоритма оценивания, причем, степень надежности принятия верного решения относительно истинного значения искомого параметра (соответствующего кривой / на рис. 6) увеличивается с ростом количества тактов работы алгоритма.

В четвертой главе проведены численные экспериментальные исследования, иллюстрирующие эффективность синтезированных методов и алгоритмов. Произведен анализ полученных при их проведении результатов.

В заключении изложены основные выводы и результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В рамках выполненных в диссертационной работе теоретических и экспериментальных исследований получены следующие основные результаты:

!. Построена нелинейная векторная математическая модель псевдослучайной последовательности произвольной размерности с учетом выявленной нелинейной рекуррентной взаимосвязи между ее отдельными

символами Полученная математическая модель может быть использована при описании процесса формирования последовательности даже в условиях зашумления отдельных разрядов (характерного для реальных систем) В соответствии с предложенным математическим описанием псевдослучайной последовательности программно реализован численный алгоритм моделирования процесса ее формирования

2 Получены уравнения субоптимальной нелинейной оценки принимаемой в условиях помех псевдослучайной последовательности с использованием алгоритма дискретной нелинейной калмановской фильтрации Сформулирована задача структурного распознавания псевдослучайной последовательности произвольной структуры, наблюдаемой на фоне помех, и показана возможность ее решения на основе предложенного субоптимального дискретного нелинейного фильтра Разработано программное обеспечение численного алгоритма, реализующее решение данной задачи.

3. В общем виде решена задача дискретной нелинейного оптимального оценивания параметров зашумленных наблюдений стохастического нелинейного вектора состояния в условиях негауссовских возмущающих воздействий произвольной интенсивности В качестве критериев оптимизации в разработанном методе предложено использовать обобщенные вероятностные критерии, зависящие в общем случае от апостериорной плотности распределения вектора состояния нелинейно и обеспечивающие потенциально более высокие (по сравнению с существующими) точностные характеристики решения указанной задачи оптимального оценивания параметров. Разработано программное обеспечение процесса численного моделирования и исследования предложенного алгоритма оггтимального оценивания параметров стохастического наблюдателя вектора состояния заданного объекта в различных условиях его функционирования

4 Разработан алгоритм решения задачи оптимального оценивания параметра временного сдвига принимаемой на фоне помех псевдослучайной последовательности на основе обобщенного вероятностного критерия — критерия минимума апостериорной интегральной ошибки оценивания

Полученный в работе алгоритм оптимального оценивания параметров стохастического наблюдателя может быть использован для решения задачи определения временной задержки распространения сложных сигналов, являющейся актуальной для существующих и перспективных систем передачи, использующих сигналы данного класса

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Кучеренко П А , Соколов С В. Решение задачи нелинейной параметрической идентификации на основе обобщенных вероятностных критериев // Известия РАН. Теория и системы управления, 2008. - №5. -С 19-24

2 Кучеренко П А, Соколов С В Обобщенные вероятностные критерии в задаче нелинейной параметрической идентификации // Проблемы управления, 2008 - №4 -С 24-29

3 Кучеренко П А , Соколов С В Нелинейная параметрическая идентификация на основе обобщенных вероятностных критериев // Проблемы управления и информатики - Киев, 2008. -№ З.-С 21-29

4 Кучеренко П А, Соколов С В Структурная идентификация псевдослучайных последовательностей на основе применения нелинейного фильтра Калмана // Известия вузов Радиоэлектроника — Киев, 2008 - № 8 -С 16-18

5 Кучеренко П А, Соколов С В Критерий минимума вероятности ошибки оценивания в задаче нелинейной параметрической идентификации // Известия вузов Радиоэлектроника - Киев, 2008 —№11 -С.28-32

6 Кучеренко П А, Соколов С В Синтез алгоритма нелинейной параметрической идентификации на основе критерия минимума вероятности ошибки оценивания // Научное приборостроение, 2007. - №4 - С. 61-65

7. Кучеренко П А, Р.А Юнусметов, А В. Ганжа Математическая модель псевдослучайной последовательности на основе многомерного конечноразностного представления // Известия вузов Северо-Кавказский регион Естественные науки, 2007. -№1 -С 20-22

8. Кучеренко П А Метод нелинейной параметрической идентификации с использованием критерия минимума вероятности ошибки оценивания // Известия вузов Северо-Кавказский регион Естественные науки, 2007 - №5 -С 30-35

9. Кучеренко П А Распознавание структур псевдослучайных последовательностей на основе использования алгоритма субоптимальной калмановской фильтрации // Известия вузов Северо-Кавказский регион Технические науки,2008-№ 1 -С 32-36

Ю.Кучеренко П А., Швалов ДВ Нелинейная калмановская фильтрация псевдослучайных последовательностей на основе использования многомерной конечноразностной модели // Вестник РГУПС, 2007 - № 2 - С. 43-46.

11 Кучеренко П А , Гриненко Н И. Использование конечноразностного представления псевдослучайной последовательности для помехоустойчивого оценивания сигналов радионавигационных систем // Труды РГУПС, 2007 - № 4 -С 65-46.

12.Кучеренко П А , Юнусметов Р А Нелинейные вероятностные критерии в задаче определения временной задержки распространения навигационных сигналов // Труды РГУПС, 2008 - № I - С 28-32

13 Kucherenko Р А, Sokolov SV Nonlinear suboptimal filtration of pseudorandom sequences // Automatic Control and Computer Sciences, 2007, Vol 41, No. 3 pp 126-131

14 Kucherenko P A , Sokolov S V Nonlinear Parametric Identification Based on the Criterion of Minimum Probability of Estimation Error // Automatic Control and Computer Sciences, 2008, Vol 41, No 6 pp 299-304

15.Kucherenko Р А , Sokolov S.V Solution of Problem of Identification of Time Shift of Pseudorandom Sequences on the Basis of Nonlinear Probabilistic Criteria // Automatic Control and Computer Sciences, 2008, Vol 42, No 2 pp 57-63

16.Кучеренко П А. Субоптимальное оценивание псевдослучайной последовательности на основе использования многомерного конечноразностного представления // Сб докл. конф «Радиолокация, навигация, связь» - Воронеж НПФ «САКВОЕЕ», 2007 - С. 112-119

17 Кучеренко П А Многомерное конечноразностное представление рекуррентных последовательностей максимального периода // Тез. докл XI всерос науч -практ конф «Научное творчество молодежи». — Анжеро-Судженск Изд-вотом.ун-та,2007 -С 31-33.

18 Кучеренко П.А. Идентификация временного сдвига псевдослучайных последовательностей на основе нелинейных вероятностных критериев // Мат Второй междунар науч -практ конф «Современные проблемы радиоэлектроники» - Ростов н/Д: РАС ЮРГУЭС, 2007. - С 173-177.

19 Кучеренко П А , Юнусметов Р А, Ганжа А.В Способ конечноразностного представления псевдослучайных последовательностей в системах защиты информации // Мат всерос. науч -практ. конф. «Проблемы информационной безопасности» - Ростов н/Д РГЭУ «РИНХ», 2006 - С. 71-74

20 Кучеренко П.А., Юнусметов P.A. Псевдослучайные последовательности: идентификация структуры на основе применения алгоритма субоптимальной фильтрации // Мат. всерос науч -практ. конф. «Проблемы информационной безопасности», Ростов н/Д РГЭУ «РИНХ», 2007.-С 121-124.

21 Кучеренко П А., Соколов С В. Метод нелинейной параметрической идентификации в системах защиты информации // Мат всерос. науч.-практ. конф. «Проблемы информационной безопасности. — Ростов н/Д. РГЭУ «РИНХ», 2007 -С 124-129

22 Кучеренко П А. Представление псевдослучайных последовательностей как многомерных нелинейных конечноразностных структур // Мат всерос. науч -практ. конф. «Транспорт 2007» - Ростов н/Д РГУПС, 2007.-С. 38-42.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве

/1,2,3,5,14/-постановка и формализация задачи, метод оптимального оценивания параметров модели наблюдателя и его программная реализация, /6,12, 15,21/-формализация и алгоритмизация задач, критерий минимума ошибки оценивания, разработка численных методов; /4,10,13,20/-математическая модель ПСП, разработка алгоритмов нелинейной фильтрации ПСП и ее структурного распознавания, /7,11,19/ —анализ существующих способов представления ПСП, конечноразносгная модель ПСП, алгоритмы ее численного исследования.

КУЧЕРЕНКО ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ ШУМОПОДОБНЫХ СИГНАЛОВ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени юищидата технических наук

Формат 60x84/1 б Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 1 . Тираж 100 Заказ № АО 6 2..

Ростовским государственный университет путей сообщения Ризография РГУПС

Адрес университета 344038, г Ростов-на-Дону, пл Ростовского Стрелкового полка Народного Ополчения, 2

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ И ОБРАБОТКИ ШУМОПОДОБНЫХ СИГНАЛОВ.

1.1. Анализ основных принципов функционирования систем передачи и обработки шумоподобных сигналов.

1.2. Анализ основных проблем обработки сигналов в приемниках систем передачи и обработки шумоподобных сигналов.

1.3. Постановка задач исследования.

1.4. Выводы.

Глава 2. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ

ДИСКРЕТНЫХ МАРКОВСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

2.1. Стохастическая векторная дискретная модель псевдослучайной последовательности в пространстве состояний.

2.2. Нелинейная стохастическая фильтрация псевдослучайной последовательности.

2.3. Структурное распознавание псевдослучайной последовательности на основе использования алгоритма дискретной калмановской фильтрации.

2.4. Выводы.

Глава 3. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ

ДИСКРЕТНОГО НЕЛИНЕЙНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО НЕЛИНЕЙНОГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ

ВЕРОЯТНОСТНЫХ КРИТЕРИЕВ.

3.1. Постановка задачи оптимального оценивания параметров дискретного наблюдателя стохастического нелинейного вектора состояния на основе обобщенных вероятностных критериев.

3.2. Общее решение задачи оптимального оценивания параметров дискретного наблюдателя стохастического нелинейного вектора состояния на основе обобщенных вероятностных критериев.

3.3. Оптимальное оценивание параметров дискретного наблюдателя стохастического нелинейного вектора состояния на основе критерия минимума вероятности ошибки оценивания.

3.4. Оптимальное оценивание временного сдвига принимаемой на фоне помех псевдослучайной последовательности на основе критерия минимума апостериорной интегральной ошибки оценивания.

3.5. Выводы.

Глава 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

СИНТЕЗИРОВАННЫХ АЛГОРИТМОВ.

4.1. Экспериментальное исследование алгоритма структурного распознавания псевдослучайной последовательности.

4.2. Экспериментальное исследование алгоритма оценивания параметров дискретного наблюдателя на основе критерия минимума вероятности ошибки оценивания.

4.3. Экспериментальное исследование алгоритма оценивания параметра временного сдвига псевдослучайной последовательности на основе критерия минимума апостериорной интегральной ошибки оценивания.

4.4. Выводы.

Актуальность проблемы. Системы передачи и обработки информации (СПОИ) являются в настоящее время одной из важнейших составных частей практически любых (особенно территориально распределенных) систем самого различного назначения и отраслевой принадлежности и выполняют важную функцию по обеспечению требуемого уровня внутри- и межсистемного I информационного взаимодействия, оказывая, таким образом, непосредственное влияние на основные качественные показатели их функционирования.

В качестве одних из наиболее перспективных на сегодняшний день СПОИ, позволяющих реализовать качественно новый уровень информационного обмена за счет более высоких (по сравнению с другими СПОИ) показателей спектральной эффективности и помехозащищенности, можно выделить весьма широко распространенные и активно развивающиеся сегодня цифровые широкополосные системы, использующие шумоподобные сигналы, построенные на псевдослучайных последовательностях (ПСП) максимального периода (М-последовательностях).

К их числу следует отнести современные цифровые системы связи третьего поколения, основанные на принципе множественного доступа с кодовым разделением каналов, а также имеющие не меньшую значимость для современных приложений и все более масштабно внедряемые в настоящее время спутниковые радионавигационные системы (СРНС).

Большой вклад в развитие теории и практики разработки методов и алгоритмов обработки шумоподобных сигналов на фоне случайных помех и создание помехоустойчивых схем их анализа внесли отечественные ученые Д.В. Агеев, JI.E. Варакин, В.А. Котельников, Б.Р. Левин, Г.И. Тузов, В.И. Тихонов и др., а также зарубежные авторы Р.К. Диксон, Дж. Спилкер, К. Шеннон и пр.

Практически единственной основой подавляющего большинства применяемых в настоящее время способов представления и методов обработки шумоподобных сигналов, построенных на ПСП данного класса, является использование их специфических корреляционных свойств что, как правило, влечет за собой ряд ограничений: невозможность учета неизбежно возникающего в реальных условиях работы любой системы передачи информации недискретного по своей природе шума этапа формирования последовательности, возможность ложной синхронизации по боковым пикам реальных корреляционных функций используемых ПСП, необходимость использования на приемной стороне многоканальных анализаторов на корреляторах или согласованных фильтрах. Это приводит к существенному увеличению вычислительных затрат (в особенности при решении актуальной для СРНС задачи максимально точного определения временной задержки распространения навигационного сигнала при его прохождении по трассе «навигационный аппарат-потребитель»).

Различным способам представления и анализа сигналов, построенных на псевдослучайных последовательностях максимального периода, посвящены работы отечественных ученых А.И. Алексеева, Р.Г Фараджева, А.В. Частикова, С.М. Ярлыковой и др., а также зарубежных авторов Р. Баркера, Р. Голда, С. Голомба и пр.

Появившиеся недавно методы, основанные на различных вероятностных моделях ПСП, - ее представлении цепями Маркова с несколькими равновероятными состояниями, а также моделях, основанных на использовании параметрического представления последовательности в виде квазислучайного процесса, несколько снижают требования к объему аппаратурных затрат, однако не обладают достаточной оперативностью и точностью обработки, поскольку не учитывают в полной мере существующие внутрикомбинационные зависимости между отдельными символами принимаемой ПСП. Кроме того, данные методы также не позволяют учесть мешающие воздействия этапа формирования последовательности.

Также важно отметить, что исходя из физического смысла задач, аналогичных отмеченной выше проблеме определения задержки распространения построенного на ПСП шумоподобного сигнала, можно сделать вывод о целесообразности их решения в параметрической постановке — то есть как задач определения некоторого параметра среды распространения сигнала с использованием методов оптимального оценивания параметров, обеспечивающих максимальную точность процедуры оценивания и использующих обобщенные вероятностные критерии, зависящие в общем случае нелинейно от наиболее исчерпывающей характеристики наблюдаемого стохастического объекта — его апостериорной плотности вероятности.

В теорию и практику разработки методов оптимального оценивания параметров систем значительный вклад внесли отечественные ученые B.C. Пугачев, Н.С. Райбман, Я.З. Цыпкин и др., а также зарубежные авторы Р. Ли, JI. Льюнг, Дж. Мелса, Э. Сейдж и др.

Однако известные в настоящее время методы оптимального оценивания параметров сформулированную в указанной постановке задачу решить не позволяют.

В связи с вышеизложенным, проведение исследований, направленных на разработку методов и алгоритмов, позволяющих устранить недостатки существующих способов обработки ПСП, наблюдаемых в условиях помех, а также синтез новых и развитие существующих методов, повышающих точность оценивания параметров нелинейных дискретных систем передачи и обработки шумоподобных сигналов, представляется весьма актуальной задачей как с практической, так и с теоретической точек зрения.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются дискретные системы передачи и обработки шумоподобных сигналов. Предметом исследования являются методы и алгоритмы оптимального оценивания параметров дискретных нелинейных систем передачи и обработки стохастических сигналов в условиях негауссовских помех произвольной интенсивности.

Цель и задачи исследования. Основной целью настоящей работы является синтез общего решения задачи нелинейного оптимального оценивания параметров дискретных нелинейных систем передачи и обработки стохастических сигналов в условиях негауссовских возмущающих воздействий произвольной интенсивности.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить математическую модель, описывающую псевдослучайную последовательность произвольной размерности как нелинейную векторную конечноразностную структуру, позволяющую учитывать существующие взаимосвязи ее символов и искажения отдельных разрядов, неизбежно возникающие на этапе ее формирования.

2. Синтезировать уравнения субоптимальной нелинейной оценки ПСП, принимаемой в условиях помех, на основе методов теории дискретной оптимальной фильтрации.

3. Получить общий вид решения задачи дискретного нелинейного оптимального оценивания параметров нелинейного наблюдателя стохастического нелинейного вектора состояния в условиях негауссовских помех произвольной интенсивности.

4. Разработать алгоритм процедуры дискретного нелинейного оптимального оценивания параметров стохастического нелинейного наблюдателя вектора состояния на основе использования обобщенных вероятностных критериев оптимальности. Провести анализ его точности и оперативности.

5. Разработать субоптимальный алгоритм решения задачи определения временного сдвига ПСП, принимаемой на фойе помех.

Методы исследования. Для решения поставленных в работе научных задач используются методы теории случайных процессов и математической статистики, методы компьютерного моделирования, методы теории оптимальной фильтрации, теории систем сигналов, теории оптимизации и приближенных вычислений.

Научная новизна. Научную новизну диссертационного исследования составляют следующие результаты:

1. Впервые получены нелинейные многомерные конечноразностные уравнения, описывающие математическую модель псевдослучайной последовательности произвольной размерности с учетом нелинейной рекуррентной взаимосвязи между ее разрядами. Полученная математическая модель может быть использована при описании ПСП даже в условиях зашумленного формирования отдельных разрядов (характерного для работы реальных систем).

2. Синтезированы уравнения субоптимальной нелинейной оценки ПСП, принимаемой в условиях помех, на основе дискретного нелинейного фильтра Калмана. Впервые показана возможность решения задачи структурного распознавания наблюдаемой в условиях помех ПСП на основе полученного субоптимального дискретного нелинейного фильтра.

3. Впервые в общем виде решена задача дискретного нелинейного оптимального оценивания параметров нелинейного наблюдателя стохастического нелинейного вектора состояния в условиях негауссовских возмущающих воздействий произвольной интенсивности. В качестве критериев оптимальности разработанный метод использует обобщенные вероятностные критерии, зависящие в общем -случае от апостериорной плотности распределения вектора состояния нелинейно.

4. Синтезирован алгоритм дискретного нелинейного оптимального оценивания параметров стохастического нелинейного наблюдателя вектора состояния, использующий в качестве оптимизируемого обобщенного вероятностного критерия критерий минимума апостериорной плотности вероятности текущей ошибки оценивания на интервале ее допустимого изменения.

5. На основе оптимизации критерия минимума апостериорной интегральной ошибки оценивания разработан субоптимальный алгоритм решения задачи идентификации временного сдвига зашумленной ПСП.

Практическая значимость. Практическую значимость диссертационного исследования составляют следующие результаты:

1. Разработан и программно реализован численный алгоритм моделирования ПСП произвольной размерности с учетом искажений отдельных разрядов генерируемых последовательностей, позволяющий производить численные исследования процесса их обработки в реальных условиях функционирования приемной аппаратуры. Апробированный в процессе эксплуатации системы ДЦ-Юг с распределенными контролируемыми пунктами алгоритм используется в данной системе при реализации процедур и программного обеспечения передачи оперативной информации (акт от 30.05.08).

2. Разработано программное обеспечение (ПО) численного алгоритма нелинейной оценки ПСП произвольной размерности, наблюдаемой в условиях помех, на основе дискретного нелинейного фильтра Калмана. Данное ПО может быть использовано для реализации процедуры помехоустойчивого приема и распознавания сложных сигналов, построенных на последовательностях данного класса.

3. Разработано ПО процесса численного моделирования и исследования предложенного алгоритма оптимального оценивания параметров стохастического наблюдателя вектора состояния заданного объекта в различных условиях его функционирования. Данное ПО позволяет производить моделирование с последующей визуализацией получаемых результатов, анализ и оценку точности результатов работы алгоритма для решения различных задач, возникающих в действующих СПОИ, и апробировано и используется в учебном процессе СКФ МТУ СИ (акт от 27.05.08).

4. Полученный в работе субоптимальный алгоритм оценивания параметра стохастического наблюдателя вектора состояния ПСП может быть использован для решения задачи определения временной задержки распространения шумоподобных сигналов, являющейся актуальной для существующих и перспективных систем, использующих сигналы данного класса.

Достоверность и обоснованность научных и практических результатов, положений и выводов, сформулированных в диссертационной работе, подтверждается результатами экспериментальных исследований, данными численных экспериментов, проведенных при решении практических и модельных задач, публикациями и апробацией работы на международных и всероссийских научных конференциях, а также актами внедрения результатов работы.

Реализация результатов работы. Научные результаты диссертационной работы были использованы при реализации алгоритмов и программного обеспечения передачи оперативных данных системы ДЦ-Юг с распределенными контролируемыми пунктами (акт от 30.05.08.

Также часть теоретических и практических результатов работы используется в учебном процессе СКФ МТУСИ (акт от 27.05.08).

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь» (2007 г., Воронеж), 16-м Международном симпозиуме «EURNEX - ZEL 2008» (2008 г., г. Жилина, Словакия), Всероссийской конференции «Научное творчество молодежи» (2007 г., Анжеро-Судженск), Международной конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (2008 г., Ростов-на-Дону), Всероссийской конференции «Проблемы информационной безопасности» (2007, 2008 гг., Ростов-на-Дону), Всероссийской конференции «Транспорт 2007» (2007 г., Ростов-на-Дону).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 печатные работы, отражающие основные результаты диссертации, из них 6 работ в источниках, рекомендованных ВАК, и 6 в зарубежных научных изданиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, 2-х приложений, списка литературных источников, а также актов реализации результатов работы. Общий объем диссертации составляет

4.4. Выводы

В данной главе:

1. Экспериментально исследован алгоритм структурного распознавания псевдослучайной последовательности на основе использования нелинейного дискретного фильтра Калмана. Проведен анализ полученных результатов, иллюстрирующий адекватность полученной математической модели ПСП и эффективность синтезированного на ее основе алгоритма распознавания.

2. Экспериментально исследован субоптимальный алгоритм оценивания априорно неизвестного параметра нелинейного дискретного наблюдателя стохастического нелинейного вектора состояния на основе критерия минимума вероятности текущей ошибки оценивания. Проведен анализ полученных результатов, подтверждающих принципиальную возможность эффективной реализации предложенного подхода.

3. Экспериментально исследован субоптимальный алгоритм оценивания параметра временного сдвига принимаемой на фоне помех псевдослучайной последовательности на основе критерия минимума апостериорной интегральной ошибки оценивания переменных состояния последовательности. Проанализированы полученные результаты численного эксперимента.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках выполненных в диссертационной работе теоретических и экспериментальных исследований получены следующие основные результаты:

1. Получена нелинейная векторная математическая модель псевдослучайной последовательности произвольной размерности с учетом выявленной нелинейной рекуррентной взаимосвязи между ее отдельными символами. Полученная математическая модель может быть использована при описании процесса формирования последовательности даже в условиях зашумления отдельных разрядов (характерного для реальных систем). В соответствии с предложенным математическим описанием псевдослучайной последовательности программно реализован численный алгоритм моделирования процесса ее формирования.

2. Получены уравнения субоптимальной нелинейной оценки принимаемой в условиях помех псевдослучайной последовательности с использованием алгоритма дискретной нелинейной калмановской фильтрации. Сформулирована задача структурного распознавания псевдослучайной последовательности произвольной структуры, наблюдаемой на фоне помех, и показана возможность ее решения на основе предложенного субоптимального дискретного нелинейного фильтра. Разработано программное обеспечение численного алгоритма, реализующее решение данной задачи. Разработанное программное обеспечение ориентировано на применение, как в вычислительных машинах общего назначения, так и в специализированных процессорах

3. В общем виде решена задача дискретной нелинейного оптимального оценивания параметров зашумленных наблюдений стохастического нелинейного вектора состояния в условиях негауссовских возмущающих воздействий произвольной интенсивности. В качестве критериев оптимизации в разработанном методе предложено использовать обобщенные вероятностные критерии, зависящие в общем случае от апостериорной плотности распределения вектора состояния нелинейно и обеспечивающие потенциально более высокие (по сравнению с существующими) точностные характеристики решения указанной задачи оптимального оценивания параметров. Разработано программное обеспечение процесса численного моделирования и исследования предложенного алгоритма оптимального оценивания параметров стохастического наблюдателя вектора состояния заданного объекта в различных условиях его функционирования. Данное программное обеспечение позволяет производить моделирование с последующей визуализацией получаемых результатов, анализ и оценку эффективности применения алгоритма для решения различных задач, возникающих в действующих системах передачи информации.

4. Разработан алгоритм решения задачи оптимального оценивания параметра временного сдвига принимаемой на фоне помех псевдослучайной последовательности на основе обобщенного вероятностного критерия -критерия минимума апостериорной интегральной ошибки оценивания.

Полученный в работе алгоритм оптимального оценивания параметров стохастического наблюдателя вектора состояния может быть использован для определения временной задержки распространения сложных сигналов в, позволяя повысить эффективность ее решения для в использующих сигналы данного класса системах.

1. Adby P.R., Dempster М. Introduction to Optimization Methods, Chapman and Hall, 1974.

2. Bellman R., Kalaba R., Wing G. Invariant Imbedding and Mathematical Physics // Jour. Math. Phys. №1, 1960. - 280-308 pp.

3. Bhatti M. Practical optimization methods: With Mathematica Applications, Springer-Verlag New York. 2000 , 715 p.

4. Blasco X., Herrero J.M., Martinez M. Nonlinear parametric model identification with Genetic Algorithms. Application to a Thermal Process // Lecture Notes in Computer Science. 2001. vol. 2084. - 466-512 pp.

5. Box M.J., Davies and W.H Swann, Non-linear optimization techniques, ICI Ltd. Monograph No.5, Oliver and Boyd, 1969.

6. Bunday B.D. Basic Optimization Methods. Ldn, Edward Arnold, 1984.128 p.

7. Craven B.D. Mathematical programming and Control Theory, Chapman and Hall, 1978.

8. Dixon R. Spread Spectrum Systems, John Wiley & Sons Inc, 1984, 440 p.

9. Elgerd O.I., Control System Theory, McGraw-Hill, New York, 1967.

10. Eykhoff P. System identification: parameter and state estimation. Wiley .-Chichester, 1974. - 555 p.1 l.Eykhoff P., System Identification. London: John Wiley & Sons Ltd. 1974.

11. Gill P.E., W. Murray, and M.H. Wright. Numerical Linear Algebra and Optimization, Vol. 1, Addison Wesley, 1991.

12. Gill P.E., W. Murray, and M.H.Wright. Practical Optimization, Academic Press, London, 1981.

13. Gold R. Optimal binaiy sequences for Spread Spectrum Multiplexing. -IEEE Trans. Inf. Th., 1968. vol. IT-13. - 619-621 pp.

14. Graupe D., Cassir G.R. Adaptive Control by Predictive Identification and Optimization, Proc. National Electronics Conf.- 1966. Vol. 22. - 590-594 pp.

15. Hestenes M.R. Conjugate Directions Methods in Optimization, Springer-Verlag, 1980.

16. Hooke R., Jeeves T.A. «Direct search» solutions of numerical and statistical problems, J. Assn. Сотр. Mach., 8, 1961.-212-229 pp.

17. Karim M.R., Mohsen S. W-CDMA and cdma2000 for 3G Mobile Networks. McGraw-Hill Professional, 2002. - 384 pp.

18. Kucherenko P.A., Sokolov S.V. Solution of Problem of Identification of Time Shift of Pseudorandom Sequences on the Basis of Nonlinear Probabilistic Criteria // Automatic Control and Computer Sciences. — Vol. 42. No. 2. — 57-63 pp.

19. Laurene V. Fausett Numerical Methods Using MathCAD.- Prentice Hall PTR Upper Saddle River 2001, 720 p.

20. Lawrence H. Introduction to Code Division Multiple Access (CDMA): Network, Services, Technologies, and Operation. Althos, 2004. - 79 p.

21. Lee R. Optimal Estimation Identification and Control, M. I. T. Press, Cambridge, Massachusetts, 1964.

22. Ljung L., Glad T. Modeling of Dynamic Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1994.

23. Ljung L. System Identification Theory for the User. Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J. 2nd edition, 1999.

24. Ljung L. System Identification Toolbox User's Guide. Computation. Visualization. Programming. Version 5. The Math Works, Inc., 2000.

25. Ljung L. System Identification Toolbox User's Guide. Computation. Visualization. Programming. Version 5. The Math Works, Inc., 2000.

26. Mechanics and Dynamical Systems with Mathematica. Nicola Bellomo, Luigi Preziosi, and Antonio Romano, 2000, Birkhauser, 417 p.

27. Melsa J. L., Schultz D. G. Linear Control Systems, McGraw-Hill, New York, 1969.

28. Misra P., Enge P. Global Positioning System: Signals, Measurements and Performance . Ganga-Jamuna Pr. - Lincoln. - 2001. - 569 p.

29. Nagumo J., Noda A. A Learning Method For System Identification, IEEE Trans., 1967.-287 p.

30. Narayanan M., Narayanan S. Parametric identification of nonlinear systems using multiple trials // Nonlinear Dynamics. — 2007. №4 - 341-360 pp.

31. Nelder J. A., Mead R. A simplex method for function minimization. Computer Journal, 1965. №7. - 308-313 pp.

32. Nicolaides R., Walkington N. Maple: a comprehensive introduction.-Cambridge University Press New York, 1996, 466 p.

33. Powell F. D. Predictive Adaptive Control, Trans. IEEE AC-14, 1966. -550-552 pp.

34. Powell M.J.D. A fast algorithm for nonlinearly constrained optimization calculations, Springer-Verlag, 1980.

35. Sage A. P. Optimum Systems Control, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1968.

36. Sage A. P., Ellis T. W., Sequential suboptimal adaptive control of nonlinear systems, Proc. Nat. Electron. Conf. 22, 1966. 697 p.

37. Sage A. P., Wakefied C. D. System identification with noise corrupted input observation, SWIEEECO Record Technical Papers. Dallas, 1970.

38. Sage A.P., Eisenberg B. R. Experiments in nonlinear and nonstationary system identification via qua-silinearization and differential approximation, Proc. Joint Automatic Control Conf., 1965. 522-530 pp.

39. Shanno D. Conjugate gradient methods with inexact searches. Maths, of Op. Res., 3, 1978. 244-256 pp.

40. Sokolov S.V., Kucherenko P.A. Nonlinear Parametric Identification Based on the Criterion of Minimum Probability of Estimation Error // Automatic Control and Computer Sciences. Vol. 41. - No. 6. - 299-304 pp.

41. Solcolov S.V., Kucherenko P.A. Nonlinear suboptimal filtration of pseudorandom sequences // Automatic Control and Computer Sciences. Vol. 41. — No. 3.-2007.- 126-131 pp.

42. Sudeepa S. Indian Railway Engineering. — http://www.boloji.com.

43. Torrier D. Principles of Spread-Spectrum Communication Systems. -Springer 2004 444 p.

44. Tou J. T. Modern Control Theory, McGraw-Hill, New York, 1964, pp 343.

45. Алексеев В., Тихомиров В., Фомин С. Оптимальное управление. -М.: Физматлит, 2005.- 384 с.

46. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с.

47. Аоки М. Ведение в методы оптимизации. М.: Наука. 1977. 344с.

48. Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптимизации. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003, 440 с.

49. Банди Б. Методы оптимизации: Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.- 128 с.51 .Богуславский И. А., Щербаков В. И. Об идентификации параметров нелинейных динамических систем // ТиСУ. 2001. №6. - С. 14-21.

50. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления -М.: Наука, 1966.

51. Варакин Л. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М., Радио и связь, 1985.-384 с.

52. Варакин Л. Е. Теория систем сигналов. М.: Сов. радио, 1978. - 304 с.

53. Варакин Л.Е., Анфилофьев С.A. CDMA: передовая технология беспроводного доступа // Мобильные системы. 1998. - Спец. выпуск по стандарту CDMA.

54. Варакин Л.Е., Анфилофьев С.А. Технология CDMA в современных системах радиосвязи // Мобильные системы. 1998. - Спец. выпуск по стандарту CDMA.

55. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002. - 824 с.

56. Вентцель Е. С. Теория вероятностей М.: Академия, 2005, 576 с.

57. Вентцель Е. С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология, М.: Дрофа, 2004.

58. Волынкин А.И., Кудрявцев А.И., Мищенко И.Н. Аппаратура потребителей СРНС «Навстар» // Зарубежная радиоэлектроника. 1983. - №4.- С.22-27.

59. Ганеев Р. М. Математические модели в задачах обработки сигналов. Справочное пособие. — М.: Горячая Линия — Телеком, 2002. 84 стр.

60. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация / Пер. с англ.- М.: Мир, 1985.

61. Громаков Ю.А. 3-е поколение динамика развития // Мобильные системы. - 2000. - №3.

62. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. - 302 с.

63. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB: Учебный курс. СПб: Питер, 2000.

64. Гуснин С.Ю., Омельянов Г.А., Резников Г.А., Сироткин B.C. Минимизация в инженерных расчетах на ЭВМ.-М. Машиностроение, 1981. — 121 с.

65. Диксон Р.К. Широкополосные системы: Пер с англ./Под. ред. В.И. Журавлева.-М.: 1979. 592 с.

66. Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем: Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002.

67. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB: Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001.

68. Дьяконов В.П. MATHEMATICA 4.1/4.2/5.0 в математических и научно-технических расчетах.- М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 696 с.

69. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука. 1982. 432с.

70. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. М.:Наука, 1983.

71. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984 - 541 с.

72. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2003. - 304 с.

73. Измаилов А.Ф. Численные методы оптимизации М.- Физматлит, 2005.

74. Каргин А. В., Фатуев В. А. Об одном методе структурно-параметрической идентификации динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2006. №4. - С. 116-125.

75. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.:Наука, 1984.- 832 с.

76. Кучеренко П.А., Юнусметов Р.А., Ганжа А.В. Математическая модель псевдослучайной последовательности на основе многомерного конечноразностного представления // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2007, №1. - С. 20-22.

77. Кучеренко П.А., Швалов Д.В. Нелинейная калмановская фильтрация псевдослучайных последовательностей на основе использования многомерной конечноразностной модели // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. 2007, №2. - С. 43-46.

78. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. - 455 с.

79. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. -М.: Наука, 1966.- 176 с.

80. Мамай В. И., Сотников В. И., Щербань О. Г. Субоптимальная параметрическая идентификация нелинейных динамических систем // Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. 2005. №3. - С. 15-23.

81. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука. 1978.-352 с.

82. Невдяев Л. М. Мобильная связь 3-го поколения / Под ред. Ю.М. Горностаева. М.: Связь и Бизнес. - 2000. - 208 с.

83. Пащенко Ф. Ф. Введение в состоятельные методы моделирования систем. Идентификация нелинейных систем. М.: Финансы и статистика, 2007.-288 с.

84. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Гольденблат И. И. и др. Теория моделей в процессах управления. -М.: Наука, 1978.

85. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Гольденблат И. И., Ульянов С. В. Теория моделей в процессах управления. М.: Наука, 1978. - 223 с.

86. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

87. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. 1983. 384с.

88. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем — М.: Машиностроение, 1974. 400 с.

89. Райбман Н.С. Что такое идентификация?. — М.: Наука, 1970. 117 с.

90. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

91. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. М.: ,Мир, 1974.

92. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. — 493 с.

93. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. СПб. - Питер, 2002. - 608 с.

94. Соколов С.В., Кучеренко П.А. Критерий минимума вероятности ошибки оценивания в задаче нелинейной параметрической идентификации // Радиоэлектроника. 2008. - №11. - С. 28-32.

95. Соколов С.В., Кучеренко П.А. Структурная идентификация псевдослучайных последовательностей на основе применения нелинейного фильтра Калмана // Радиоэлектроника. 2008, №8. - С. 16-18.

96. Соловьев Ю.А. Спутниковая навигация и ее приложения. М.: Эко-Трендз, 2003.-326 с.

97. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. -М.: Наука, 1987. 712 с.

98. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

99. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

100. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991. - 608 с.

101. Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и задачи. — Т. 1. — Случайные величины и процессы / Под ред. В.В. Сизых. М.: Радио и связь, 2003. - 400 с.

102. Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и задачи. Т. 2. - Линейные и нелинейные преобразования / Под ред. В.В. Сизых. - М.: Радио и связь, 2004. - 400 с.

103. Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и задачи. — Т. 3. — Оптимальная фильтрация, экстраполяция и моделирование / Под ред. В.В. Сизых. М.: Радио и связь, 2004. - 404 с.

104. Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и задачи. — Т. 4. — Оптимальное обнаружение сигналов / Под ред. В.В. Сизых. М.: Радио и связь, 2005. - 368 с.

105. Тузов Г.И. Помехозащищенность радиосистем со сложными сигналами / Г.И. Тузов, В.А. Сивов, В.И. Прытков. М.: «Радио и связь», 1985. - 264 с.

106. Фараджев Р. Г. Линейные последовательностные машины. -М.: Сов. радио, 1975. 248 с.

107. Хуторцев В. В., Соколов С. В., Шевчук П. С. Современные принципы управления и фильтрации в стохастических системах. М.: Радио и связь, 2001.-807 с.

108. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. -М.: Наука, 1984.-320 с.

109. Частиков А.В. Нелинейная фильтрация шумоподобных сигналов, построенных на рекуррентных псевдослучайных последовательностях максимального периода // Радиотехника и электроника. — 2001. №9.

110. Частиков А.В., Петров Е.П. Совместная нелинейная фильтрация дискретного и непрерывных параметров шумоподобных сигналов // Радиотехника и электроника. 2001. №6.

111. Частиков А.В., Петров Е.П., Прозоров Д.Е. Методы фильтрации шумоподобных сигналов, сформированных на рекуррентных псевдослучайныхпоследовательностях максимального периода // Радиотехника и электроника. — 2001. №5.

112. Ширяев В.И. Исследование операций и численные методы оптимизации. М.: КомКнига, 2006.

113. Штейнберг Ш. Е. Идентификация в системах управления. М.: Энергоатмоиздат, 1987. — 80 с.

114. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.-683 с.

115. Ярлыкова М.С., Пригонюк Н.Д. Параметрическая модель вектора состояния в виде квазислучайного процесса при синтезе радиотехнических систем приема и обработки сигналов // Радиотехника. — 2002. №1.

116. Ярлыкова С.М. Математические модели принимаемых шумоподобных сигналов в спутниковых системах мобильной связи с кодовым разделением каналов// Радиотехника. 2002. №12.

117. Яценков B.C. Основы спутниковой навигации системы GPS NAVSTAR и ГЛОНАСС.-М.: Горячая линия Телеком, 2005. - 272 с.