автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование гидродинамическихпроцессов при струйном течении жидкости

ЕАДПОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ

Специализированный совет Д. 05. 93.11 Ба правах рукописи

Абдыдаэв Ыукат Юнусалиезич

Математическое моделирование :______-„ : гидродинамических процессов при струйном течении :*пдкости

05.13.16-применение вычислительно:! техники, математического моделирования л математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук.

БИШКЕК - 1994

РаОота выполнена на кафедре высшей математики Кьргьзского Технического университета к в Уястктутё Ккбернегк га с ЕЦ НПО "Кибернетика" АНРУв.

Офиш!альные онпонэнты: Член корр. НАНКР, доктор физико-математических наук,

профессор Е. П Кочергик, Член корр. АН Республики Узбекистан, доктор физикэ-ыатематк

ческих наук, профессор Ф. Б. АбуталийЕ, Доктор технических наук Ч. Дж. Д-жаныбеков. Ведущая организация: Институт водных проблем

АН Республики Узбекистан. // .,

Защита диссертации состоится "р/.^С' ,¿^¿^/-•''-¿^^''¿--1994 г. в ¡¡Цчасов на заседании Специализированного Совета Д. 05. 93.3 по присуждению учекьн степеней доктора и кандидата наук в J& ституте автоматики HAK Кыргызской Республики.

С диссертацией молко ознакомиться в научной библиотеь HAH Кыргызской Республики. //> , ^

Автореферат разослан Ci^^/jf 1994 г.

Отзывы на автореферат просим прислать по адресу: 702С71, г. Бишкек-71, проспект Чуй, 25о"А", Институт автомат® ЕАНКР, Специализированный Совет Д. 05. 9?. И

Ученый секретарь, Специализированного Совета, кандидат технических наук,

старший научный сотрудник К. А. Пресняков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Бахнута роль для экономики Кыс-гызсясй Республики играет природные богатства H недрах йаг-гызокой Республики з настоящее время добывается сурьма, голого, уран, ртуть, каменный уголь и многие другие полезные ископаемые. Особенно богата она водными ресурсами. Такие белите реки Средней Азии как Сыр-Дарья и Аму-Дарья берут здесь качало.

Среди естественных энэргоресурсов в современных условиях водная энергия занимает одно из ведушх мест. Ее рациональнее использование является Еажной общегосударственной задаче л, "спешное решение которой будет способствовать неуклонному повышению благосостояния и культурного уровня народа, улучшению условий эффективного развития производительных сил Республики.

Рельеф края ва последние десятилетия широко используется при строительстве малых и больших зысоксначорных гидроэлектростанций и других гидротехнических сооружений. Только на рд-аом кз притоков Сыр-Дарьи, на реке Карын, по генеральному плану Республики планируется построить до двух деелткез гидроэлектростанций. В настоящее время на этой реке сооружено и действует порядка десяти таких станций. Крупнейшая из них -Токтогульская ГЭС мощностью 1,2 - 1.5 • млн. кило ватт/час з год.

Одной из перспективных отраслей народного хозяйства Кыргызстана является горная промышленность. Наиболее прогрессивным и экологически чистым способом горных разработок' является гидродобыча полезных ископаемых. Решение возникает« при такой разработке проблем есть научно-техническая задача

Проблемы, связанные с построением гидроэнергетических объектов, эксплуатацией хозяйственных и гидротехнических сооружений, а также разработкой объектов горнодобывающей отрасли определяют актуальность рассматриваемых з диссертации задач.

Потребность а решении этих проблем привела к нтобхедп мости проведения соответствующих теоретических и практических исследований, точность и достоверность которых влияет на ка-дежость, экономичность и обоснованность практических рекомендаций и проектных ресекий.

Нами все эти проблемы рассматриваются как система, с

- 3 -

¡'::псхг.гоЕзн11с-к нетодоз катематического коделнробаниг. Прсбле! кегглкровакия процесса является слоеной и сце ес конца не ре секнсй. Б работе выделен рай задач, которые б часности иодел1 ровзлись дг-игеяиек еидкостк. При этой рбваятся дифференциал* киг ь'р-^кенкг е частных прокзесднцх со слоекккк граничны» УСЛОЕКЯНИ.

Б некоторых частник случаях удается получить аналиткчес кое ребенке задачи по определении характеристик потока.

Разработанные £ настоящее вреия кетоды в случае плоских пространственных течений качественно достаточно хоросо согла суЕТса с физической суцностьЕ процесса. Однако, достоверны количественный результат при моделировании движения жидкости гидроэнергетических и гидротехнических сооружениях когет бат полезен только в случае, когда есть хороиее соответствие кегд Бкбраккой кодельв к реальный объектом, т.е. при достоверна значениях гидродинамических параметров моделируеиого объекта.

Кз вкеизлоЕеннего следует, что достоверное и полное опи сание региональных течений струй возможно при резении соот ветствусда; краевых задач на основе математического иоделиро вакка,

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - разработка ыетодйв реиения плоских осбсиккетричных задач при струйной течении идеальной жидкости построение точных и приближенных ревений указанных задач разработка теории математического ксделкрования при анализ! задач обтекания тел различной конфигурации, а также истеченк; из наиболее часто встречавшихся форм сосудов, иневцих практическое применение в гидротехническом строительстве. Получены I результате исследования аналитических и численных результате! для определения всех характеристик потока, необходимых дл! расчета гидротехнических сооруяений и объектов горнодобквавце! промышленности.

НЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ основан на сведении задачи теорш струя идеальной несЕИкаеной еидкостк, как плоской, так i пространственной /кавитационное обтекание пластинки: течение е водссли.ве с сирокин порогок, в полигональных контурах; взаимодействие движущихся потоков, а также симметричное набегание крчглор. струи на тело врацениа; истечение еидкости из сосцдое

- 4 -

различней геометрической коасягуращш пйезгзЯ на ос,! сияяетг.: • лгзялтстзие/. к ргзгяиз задачи аатематичасхсЛ }и-_>;!ка. .а Л-г-ч: ингггро-да^фареяциальнах идя дяс^ерэяцидльных урагизний частная производных со сложными граничняаи целвеиямя. Про.: • ранстзаяяае - осесамметричнае задачи з озльтяяс :ьз едччаег : зэка чясленнаяи ягтодайи с применением ЗЗН. л о дне я :;з г.рс:т-ранстззянах - осесянметричных задач приязнен аетод :5г; аналитической пункции, предлозенний Г.-Н.ПслззиЛ ч злззят-.". Я. к', лзйлдезаа.

Исследование задач осасимметричках точений г^срия •;■:?•;.•. малочисленной из-за Оельзях аатвяатических г?'Г,язст---Л. •';;•.л зетсечазтез з нескольких раозтах ученая зарузегиях г:: :-дарстз соярдзестза. таяях как Е.Трепца. П.Р.Гарзпрдяа-:'».;-яятреекд, Лг. Сзлааатсза, З.Озаяоза я других, а такгг долазяо автором дисезртгиии. Зазнс отметить, чтз л задача тзосяи струй, ояясываенах диззеренцяадьныкя ч; з частных производная. яоелрила аоаяиа стаздлсн я яапркл.":-дзй ннтьгз для рзда исследований, результата которая ■л^г.чг: с книгах /25: 25/ и реферируемой работе.

3 диссзртацил аспользуатсл такзз аетода обогаз-яаия гачэских санкций, коаплзке.чага анализа, теория ;«реицяз.-ь -яах уразяений с частннаи яргизводкааи.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. 3 аастаазей работе зпербые мздагаггел систематическое я ггоследсзательна? пряагнзниз нетздез г зерни струй идеальной яядкостя я суперказитация я расчету разнзсс-разных гиаразлаческих и гидротехнических систеа. объектразработок горних пород я др. Пут за д-зльнейгегз развития -тих :<.-:-гсдоз получена решения нозах задач теории стр^й:

- набегание круглой струя на поверхность тела зра^знял;

- истечение зидкестн из бесконечного конуса;

- получено экспериментальное аоатзерхдгаие теоретических зезультатоз задачи об истечения «идности из оесконечного кс нуга;

- истечение хидкости из сосуда, яоделирунгдего ~ягельчатая ■егулятор" для малах и зысоконапорнах ГЭС;

- зпзрвяе с использованием ойсбаенноЛ аналитический ;унк-•ии розана задача ой истечении аадхостя из ц;»ляяд":«чеся-'-2

- 5 -

~о гуда о воронкообразным дном, имеющем препятствие ка оси симмет-

- 2 использованием теории С. К. Франкля для тонких слоев жид-решены конкретике задачи о форме лопастей гидротурбин;

- с£текание ют оком яеточнгаз плаетикки, нгхедяцнйгя внутри ;т ла к уступа при различных схемах кавитации:

- ¡стеченпг из политонального контура с обтеканием его части по различным схемам;

-. взаимодействие потока со струей в каналах и т. п.

несенные задачи развивают идеи таких известных ученых механиков. как. С. А. Чаплыгина, НА. Лаврентьева, С. К. Франкля, Х.А. Рах-маоулпна и др.

ОБГКШЭВАЗЗЭСТЬ К ДОСТОВЕРНОСТЬ разработанных методов, алгоритмов з: программ к ним основаны на теории функции комплексного пере-ыенного, теории дифференциальных уравнений в частных производных, ка анализе сбиеиэвестнш: методов и решении задач, в которых удается получить аналитическое или численное решения.

На тестовых задачах (кроме плоских} выявлена скорость сходикости итерационны:! процессов, в результате чего установлено количество затрачиваемого машинного времени при реализации их на ЭВМ. Хлпзость известных решений к решениям, полученнш приближенными методами, является подтверждением их надежности и практической оцен-ко?. точности.

Таким образом, на защиту выносятся следующие положения:

1. Разработана методика математического маделкрования струйного те-чения, экономичная при реализации на ЭЖ Она состоит из •-:::: методов и алгоритмов расчета, с помощью которых решены ооесимметричные задачи теории струй.

2. Приведено лриблилекно-аналитическое решение осесимметричной задачи об истечении струи иг бесконечно длинного сосуда с воронкообразным дном при наличии препятствия на оси симметрии с прквличе-:-:::ем аппарата'обобшэнных аналитических функций.

3. Выполнено зкспериментальное исследование истечения жидкости не сосуда с воронкообразным дном, результаты которого подтверждают правильность полученных теоретических решений.

4. Развивая теории Ф. И. Сранкия по тонкослойным течениям по-

генциальной лидкссти по криволинейным поверхностям, исследованы гачи об истечении .жидкости по внутренней поверхности ксвлг :редставляюиего собой нижнюю половину трехосного .эллипсоида, . говерхности параболоида вращения.

5. Реализованы математические модели плоских кзвитзююнкых те-1зний при обтекают пластинки потоком источника; обтекании "е-тятствия на краю уступа (зодсслив с строким порогом;: истеченин мцгасти из гели, расположенной между двумя наклонными плсс.чсст.т-п и имегавей на оси симметрии препятствие.

6. Исследованы задачи истечения жидкости из псдигскаль:-"" контура с обтеканием его части (наклонная пластинка) по схемам: Чаплыгина-Лаврентьева, Кирхгофа-Редея и Шлн-Гомсона-Лой'оянског:.

7. Приведено исследование задачи о струйном вэаимсдейстаип потеков в каналах со щелями или бскозыми оттока:.®. Рассматривает:.! случаи течения со свободными поверхностями, где кавитаилснная с о:-:-, простирается до бесконечности.

3. Все плоские пространственные задачи, рассмотренные в расс-те, моделируют технические процессы, как-то соударение кругл;л струи на поверхности горной породы; регулирование расхода зоо^ С игольчатый регулятор) подаваемой на ковэ гидротурбины; элементы лопастей гидротурбин типа Яельтоксвых колес; гашение энергии пот':-"--, ждкости в водосливе, а такж в параш-стных системах.

Э. Проведено сравнение результатов, полученных в задаче набегания круглой струи'на тело вращения методом 2. И. Сранкля и мет:д:м конечных разностей, а такле результатов теоретических исследован::.* и экспериментов в задаче истечения жидкости из конуса.

10. Выяснено, что исследование струйных задач о ддмссьа кснеч-но-разностных методов зыгодяо тем, что граничное условие при этом используется в точной форме.

Зьязлено влияние фактора наличия препятствия на оси с ныне с: и:: течения на гидродинамические характеристики потока з задачах истечения из осесимметричньгх сосудов для несжимаемой жидкости.

3 работе получено дальнейшее развитие методов теории струйных течений применительно к техническое задачам, связанное с гидрсзнер-гетическими, гидротехническими и другими системами.

Для все:: вадач получены зависимость V/ /комплексной по-с:- 2 /комплексная координата/ в параметрическом виде.

и яра1ОТГ-:есжая ценность результатое. е диссертации всесторонне изучен комплекс математических моделей плоских к сс&симметричзшх течений со свободны.® поверхностями.

базе этк>: моделей разработана методика изучения плоских и г.ростраотвенккх течений и составлены алгоритмы расчета на ЭВМ для стделиод: пространственны:-: задач теории струй.

■ Проведенные в работе разработки могут быть применены при кгнсгруиоовалю: и проектировании малых и больших гидроэнергосистем, использующих' энергию струйных течений при больших давления::, строительство которых предусмотрено генеральным планок Республики Кыргызстан.

Е работе использованы как аналитические. так и приближенные к?:оды расчетов с учетом кавиташонных течений, которые могут использованы в инженерной практике при конструировании и проектировании форм поверхностей, имешах минимальное сопротивление потоку жидкости, что позволяет предотварить преждевременное разрушение гидротехнических сооружений.

Таким образом, теоретическая и практическая ценность работы состоит в том, что упомянутые схемы и. решения, будучи непосредственно связанными с задачами гидравлики, гидротехнических к гидроэнергетических сооружений, а таете с разработкой горных пород позволяет повысить точность и достоверность проектных реаеник различных технических систем гидроэнергетики, водного хозяйства, горных разработок и др. По результатам исследования получены акты внедрения в соответствующих организациях республики /Средне-Азиатский НИИ энергетики - г. Бишкек; Кыргызский ГКПроводхоз - г. Бинкек/.

ЖЧНЫЙ ВКЛАП. Развиты методики математического моделирования. математических методов и алгоритмов ■ расчета характеристик струйных течений при обтекании и истечении в областях, геометрия границы ксгорымзаранее неизвестны. Полученные результаты обобщают схемы, рассмотренную ранее И. К. Коноваловым, Е. I. Эрихом, В.Е ТалиеЕЫМ, К. И. Хмельником, Я. Р. Ьерманом, Е К Степановой, а аналитические и численные решения являются развитием методик, предложенных Ф. Е франклем, X. А. Рахматулиным, О. Е. Голубевой, С. А. Чаплыгиным, М. А. ЛаЕренть-

- В - .

>вым и другими авторами.

Задачи, решения которых связаны с определенными математп-{ескими трудностями при получении аналитических зависимостей, реализованы на ЭЕМ. Проведены количественный и качественный заализы результатов, характеризующих область течения потока.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты исследований, ссдерггуыеся ч данной диссертации, по мере выполнения, поэтапно были доло:ке-1Ы на различных научных семинарах. Республиканских и Всесоюзных научных конференциях, а именно:

1. На семинарах Кабардино-Балкарского гссуниверситета г:ол руководством проф. Ф. И. Зранкля, 1958-1960 гг. г. Нальчик, ХЕА ХР.

2. На семинаре Института механики АН СССР под руководством академика АН СССР А-А. Никольского, 1861 г. г. Усскза.

3. На семинаре Института математики АН Уз. ССР, под рук. академика АН Уз. ССР И. С. АРЖАНЫХ, 1962 г. г. Ташкент.

4. На семинаре Саратовского университета, под рук. проф. С. А. Фальковича, • 1963 г. г. Саратов.

5. На семинаре Московского областного пединститута им. Н.К. Крупской, под рук. проф. 0. Е Голубевой, 1967 г. г. Москве.

6. На итоговой конференции подсекши гидродинамикой Московского общества испытателей природы, под рук. проб. М. Я Гуревича, 1971 г. г. Москва.

7. На семинарах' псковского госуниверситета им. .4 3. Ломоносова, под рук. проф. X А. Рахматулина, 1Э72-1973 гг. г. ЬЬсква.

8. На Республиканской научно-технической к.снсесенинн "Ресурсосберегающие технолога и прочность з мгглкостг:-:-:;:::" октябрь, 1986 г. г.Фрунзе.

9. На Республиканской конференции "Механика сялсс.ьл сред", посвященной памяти академика АН Уз. ССР ГС А. Рахматул;:-ка, апрель, 1989 г., г. Ташкент.

10. На объединенном сеиминаре кзфедры высей й ютгмаг.»-:;'. и теоретической механики КТУ (г. Бишкек, 1392 г. !.

11. На семинаре Научно-исследовательского центра лат?*.готического моделирования НАН К? (г. Бишкек, 1933).

12. На объединенном семинаре лаборатории Института автоматики НАН КР (г.Ешкек, 1994 г.).

13. Еа Республиканском У1 - сколе сеыинаре .-

-9-

проблемы механики жидкости и газа", сентябрь, 1932 г., г.Самарканд.

ПУБЛИКАИИЛ Материалы исследований, неподсредственно ст-носящиеся к теме диссертации, опубликованы в монографиях: "Математическое моделирование некоторых гидродинамических процессов при струйном течении жидкости", "Математическое моделирование отдельных проблем струйных течений", в 24 статьях и четырех научных отчетах.

. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация выполнена на 264 стр. машинописного текста и состоит из введения, 7 глав, 3 приложений, содержащих экспериментальный материал, 18 таблиц, 70 графиков к списка литературы, включающего 210 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работа состоит из введения и семи глав, в которых дается снотематезированное, последовательное и взаимосвязанное изло-яэние ряда задач теории струйного течения идеальной жидкости.

Во введении дается краткий обзор и анализ результатов научных исследований по плоским и осесимметричным задачам теории струй идеальной жидкости.

Б первой главе дан краткий обзор публикаций и анализ результатов научных исследований по плоским и осесимметричным задачам теории струй идеальной жидкости, а также сформулированы проблемы теории струй и рассмотрены соответствующие математические модели жидкой среды. Результаты этой главы носят вспомогательный характер.

Б первом параграфе главы 1 приводится понятие о математической модели жидкой среды; постановка проблемы, а также аннотация результатов диссертации.

Во втором параграфе главы 1 коротко изложены основные методы теории плоских и пространственных струйных течений, а также дан краткий обзор литература

Во второй главе диссертации исследуются пространственные струйные потенциальные течения жидкости. жидкость в основном считается несжимаемой, невесомой и невязкой, а течение-стационарным.

В первом параграфе второй главы рассматривается задача симметричного набегания круглой струи на тело вращения. Естре-

- 10 -

чаяяаяса в практика горных разработок. При ссудзрэнии струи под большим давлением о породу одной из поверхностей тока слазит тело, предстаэлягзеа собой параболоид впадения. Лзннал поверхность тока принимается за непроницаемая контур. 3 этой задаче изется не значение функции тока ф , а за координата £ и г как Функции потенциала скоростей и функции тока Щ :

■Я-^СФ.Ч'У. • <П

Определится форгш свободной поверхности струн л распределение давления вдоль гранлц ое гнутрзннэга течения.

Задача резазтся ыетодоа сзток, т.г. путем замена дюгрек-циального уравнения и краезнх условий уравнениям;! з конечных разностях. Дифференциальные уравнения течения зидкости з цилиндрических координатах инэлг вид

Чд ^ "^>5 Чья: ___[_

со слздузцими краевыми условиями: 1. на свободной поверхности Ч> = ^ ,

2. при <?<<?, Ч>=0 л 0; ^

3. при^ <р> Ц)={/ заполняется условие = ^ Л ?

где ¿г/¿х ~ дифференциальное уравнение образу:; гЛ

ойтекагмой поверхности. В аарндиальной плоскости ; з;

/С - яаразтр парабола/.

4. Ввиду того, что задача регаетсз числекним метода*. приходится ставить краезаа условия а на поверхностях, принимаемых за

, располозенных на конэчнса ^состоянии от точки соударения струи:

а/ на "входе" струн

>АТ| , = <7

3/ на достаточной удалении. на "заходе" струн

- 11 -

/ п - нормаль к поверхности ч¡■~c¿7/гs¿Условия /8/ ВЫПОЛНЯЮТСЯ ПРИ 0 — + С*.

Для удобства расчета эту задачу приведем к следующей: - Найти в области Ю искомую функцию __1т(<т, у) из

уравнения

где

V1Г ) ^ ' (9)

неко-

г-У V ? ц».дг, , а и /

торые постоянные числа.

Уравнение (9) решается при следующих граничных условиях:

при (10) И(х,р=о при -а^х^о, •, (И)

при , ^=¿7 , (12а)

/ * / ^ /

5'гг • ОгЛхУ+ 01/'Т>$)ври - ^^ л «гг, у = (12) где к ^гС^) ~ заданные положительные функции; Л -

отрицательная, а - положительная константы.

Нами на ЭВМ были опробироганы для приближенного решение /9/ - /12/ различные итерационные методы.

Составлен вычислительный алгоритм. Аппроксимируются уравнение /9/ и краевые условия /10/ - /12/. Б результате получена система нелинейных алгебраический уравнений, которая линеаризуется методом последовательных приближений. Это линеаризованное уравнение решается методом прогонки.

Вычислктельынй эксперимент на ЭВМ выполнен при исходных данных: , //¿ = /0, ^, = (1001 + 0,0*}

где Л/ и Л['о - точки деления области @ по я и ^ соответственно, 5 - требуемая точность.

Из полученного результата модно заключить, что большаг степень точности достигается, когда число итераций 5 - 20. Даже при 5=10 погрешность вычислений нелинейных конечно-разностных уравнений не превышает 5%. . ^

Значения координат точек течения / ? , £ /в узловых точка?: сетки приведены б таблицах. Результаты расчетов пс

- 12 -

распределению скоростей вдоль стенки и на оси симметрии изображены на рисунках.

При решении рассматриваемой задачи в качестве начального приближения использовались результаты вычислений данные в работе /3/.

Далее рассматривается осесимметричное безвихревое течение жидкости.

Потенциал скоростей ф и функция тока Ф являются функциями цилиндрических координат х и 2 , где 3 - расстояние от оси Ох , которая направлена по оси симметрии. В силу осевой симметрии, в работе изучается течение в произвольно выбранной меридиональной полуплоскости, в которой помещена система цилиндрических координат <2)2 .

Как Кзвестно, функции и 4? удовлетворяют следующим уравнениям: , 2

"5Ц> , 1Ч> _ „

+ г -ъг ~ и > лз/

Уф , __(_ 1>Ф п

г /14/

Гидродинамическая задача может считаться решенной, если будет известна любая из двух функций Ч* или , в области с частично неизвестной границей.

В параграфах 2.2; 2.3 и 2. 4 диссертации исследуются следующие задачи-истечения жидкости из сосудов:

1. Сосуд представляет собой воронку конусообразной формы с образующими, уходящими в бесконечность.

2. Течение внутри цилиндрического сосуда, заканчивающегося конусообразной воронкой. Внутри имеется препятствие в виде двух спаренных конусов, соосных с цилиндром и используемых в качестве регулятора расхода жидкости на выходе.

3. В отличие от предыдущей задачи препятствием служит плоский диск, расположенный нормально к течению жидкости. Ломимо характеристик течений, определяемых в § 2.1, здесь дополнительно вычисляются коэффициенты сжатия струи. Разница состоит лишь в том, что третья /§ 2.4/ задача решена с помощью видоизмененного метода Жуковского, т.е. с привлечением аппарата обобшенных аналитических функций. Из решения данной задачи следует, что коэффициент сжатия струи незначительно отличается от коэффициента сжатия соответствующего плоского течения, т.е.

- 13 -

зга коэффициенты практически совпадает. Этот вывод находит подтвергдение в монографиях Г.5и?хгофа и М.И.Гуравича.

В первых двух задачах /£2.2 и 2.3/ исходным дифференциальным уравнением течения относительно Функции тока У з цилиндрической системе координат является уравнение /14/, подчиненное краевым условиям, соответственно /§2.2/:

1. на стенка и на свободной поэерхности y = ç (15-а) / q - постоянная величина и представляет собой неизвестней параметр, определявший расход аидкости/.

2. на оси симметрии воронки {Ох) ф=£7 V15/

3. на свободной поверхности струи •

, > /.а,

гдэ IT, равно значения (Г на свободной поверхности.

Поскольку задача регаетса методой соток с применением ЭВМ, то она рассматривается на конечных отрезках оси вверх и вниз по течения, на которых соотзЕГстзенно выполнится определенные условия:

а/ на "входе" дискретно задается распределение функции тока V и значения потенциала скоростей Ц5 от действия сферического стока / вход представляет собой сферическую поверхность с центром на оси X и радиусом Ra /, т.е.

ы So, f~CûSÏÏ

■ Т 2 /- cos вп 1 -,/1?/

б/ на "выходе" принимается ^^CQ/ist î сечение распслогено в вертикальной плоскости на которой выполняются условия:

/1В/

Лх 1х-Г№5г ' "Т>я при достаточно больших

Яла второй задачи /§ 2.3/ на стенках и на свободной поверхности струн краевые условия те хе, что для первой. Однако на "входе" и "выходе" потока условия идентичны приведенным з пункте б/, но при .

В третьей задаче /§ 2.4/ краевые условия те ае, что и для второй задачи, а на "входе" и "выходе" условия приняты такими же", как на бесконечности.

- 14 -

Так как эти задачи /52.2 и § 2.3/ решаются методом конечны}: элементов с итерацией, то вкратце опишем применение МКЗ для решения этих задач в соответствующих областях.

Область разбивается на треугольные элементы. Решение уравнения /14/ ишется в виде: .....

сч /19/

где Л'1 - линейные базисные функции, узловые значения функции тока, п - число узлов сети. Используя принцип Галеркина, напишем равенство:

(ГШ ' тд.^ ( / /с

/,.?,..., /г) • Здесь /г - единичный вектор Енеш-

$

ней нормали к границе 5 области 51

Используя интегрирование по частям и, учитывая соотношение /19/ из равенства /20/, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно фл. 1,!атрица этой системы будет симметричной и с диагональным преобладанием. Решив эту систему, получим узловые значения функции тока.

Далее, рассмотрим нахождение положения свободной поверхности с помощью итерационной процедуры. На свободной поверхности имеем дез условия:

const^ С? .

/21/ /22/

Считая, что известно I - приближение функции Ф (х,z) согласно линеаризации Ньютона-Канторовича, получим .

/ -ъч>\9[ 1 ...

Полагая, что / г, ¿ 2 , I ,2 т % /23/

и, ограничиваясь линейными членами, имеем:

2

I

где ¿+, ¿+1. _ I 1Гдг \

V -К , ^х ), л " \Г "р"' )

- 15 -

Разлагая /21/ в ряд Тейлора в окрестности точек находим: с . , . ^ L

const- ши^у •.. ,

т ix v * к> ^г 4 Л к> 1

откуда с точностью до второго порядка малости, получим: Из прямоугольного треугольника двух последовательных приближе-

имеем:

-Ь ■ ,„ 1 п1- ryi-+t

I * * 1 * * . 1 ' /25/

где \рк Р к | _ расстояние между точками Р\ и Рк Из этого же прямоугольного треугольника, имеем:

рк ^' I - Шг-^ К л ^ V

Равенства /25/ и /25/ дают нам возможность находить координаты

РС"

точек Pfl&zd в качестве условия останова итерации можно ис-

Р'к > /27/

пользовать:

/пах к

где 6 - заданное малое число. Отметим, что соотношение /20/ для / [+1 /-ой итерации примет вид:

^¿■ч Данный алгоритм применяется и для решения задачи об истечении жидкости из бесконечно длинного сосуда с воронкообразным дном, имеющим на оси препятствие в виде спаренных конусов.

При решении Еьше указанных задач /§ 2.2 и § 2.3/ в качестве начальных приближений взяты данные из работы /1/.

Значение функции тока в узловых точках и в последующих приближениях /их четыре/., приведены в таблицах.

- В конце этих задач находятся распределения скоростей вдслг стенки сосудов и на оси симметрии. Результаты расчетов по распределению скоростей даны в таблицах, а зависимости изображены на рисунках. Коэффициенты сжатия струи для этих задач

- 16 -

составлявт соответственно; /С- С,7<47 ; /Г? =0734/

Предлагаемые здесь методы определения дюрйы и коэффициента сезтия струи представляются более рациональными по сравнения с полученными, например, Е.Трефртон, Лг.СглакатовыЕ и др. При современной электронно-вычислительной технике этот метод оказывается более простым и экономичный.

Б главе 3 рассматриваются течении тонких слоев кидкостк, текцвей по криволинейны« поверхностям, что имеет место при обтекании лопастей гидротурбин. Б этом случае в качестве лопастей использованы поверхности в виде трехосного эллипсоида к параболоида вракения.

Исследование прямого удара круглой струи в чашу вшнеука-занных геометрических поверхностей приводит к математическому анализу течения этого вида для понимания работы колес типа 1ельтона. Бри этом использована методика Ф.И.Франкля, основанная на дифференциальном уравнении

р - /7 - а А ! ( ^ + ( 1

■де Р0 - атмосферное давление, глубина слоя жидкости,

юстаточно малых размеров. К* к Д? - главные кривизны обте-гаемой поверхности, X/ и хг - криволинейные координаты на збтекаемой поверхности, тела, причем координатные линии направ-;енн вдоль линий глазных кривизн, % - плотность жидкости, Ф0(ль " предельный случай нулевой толщины видного слоя. Толщина слоя нидкости в формуле /29/ находится на основа-ши уравнения неразрывности. Далее, исходя из цравнения /29/ ¡ычисляегся распределение давления по обтекаемой поверхности ;свша трехосного эллипсоида. Здесь предпологается, что набега-¡щая струя равномерна и имеет постоянную по величине и направ-1ении скорость, причеи центральная ось перпендикулярна границе ¡оверхности в точке ее удара. При ревении этой задачи вводятся глиптические координаты X V. f , совпадайте с линиями кри-!изнн, а третья координата для данного эллипсоида равна нули, 'очки на поверхности эллипсоида определяйте« координатами Я и / неоднозначно, а коэффициенты Лякэ по пере приближения Д—а \ ^растут неограниченно. Поэтому на поверхности вводятся ¡севдодекартовне координаты V % -

- 17 -

В результате чего рассматривается уравнение

Главные кривизны и коэффициенты Лямэ вычислены и имеет

^-ЦЛ^'Н /7Тру ? уХ-с2 ? Уа/Ъ(/ ?

й, $ и С - полуоси эллипсоида. Рассматривая течения только на центральной линии \ = аг /линии тока не совпадают с линиям кривизн на поверхности кроме центральной/, придем к уравнении

Из /32/ получаем безразмерный коэффициент давления:

А, -А .

i'M^ 1 J ¿Ъо /33/

На центральной линии к* и Н. принимают соответственно значения ^ * ,—?-,

Функция J удовлетворяет дифференциальному уравнению Уигекера-Еатсона:

'¿L.1A-L-- 1 - ' 1 \ М i У-с^2-^

Z \a*-f T^f T^f J* ) t/f 4a2 v

jm

Решение получается путем разложения коэффициентов уразне-ния /34/ в степенные ряды около правильных особых точек f-a" и / = Сг , при условии что и d$/djn=0 на входе

струи с учетом непрерывности dj/d^ и j относительно 1 Вычислив все значения и Н^ вдоль центральной линии и подставляя их в уравнение "/33/, найдем различные значения % . Расчеты приведены в таблице, а для % допольнительно имеет; ся графическое изображение. Численные расчеты выполнены при £"=. ¿U, с2=1.

В теории гидротурбин приходится рассчитывать различные Форш их допаток. В связи с этим таюке представляет интерес изучение потенциального течения жидкости по внутренней поверхности параболоида вращения, где струя направлена по оси симметрии указанного тела и, сталкиваясь с ним, растекается по

- 18 -

о внутренней поверхности в виде тонкого слоя вне соударения руи.

Требуется, как и в предыдущей задаче найти распределение вления по поверхности рассматриваемого тела. Здесь коорди-тнне линии совпадант с линиями кривизны поверхности. Предпо-гая, что изменение скорости в основном происходит после дда-стрци в направдени образующих стенок параболоида, для зразвсрного коэффициента давления имеем

V Р~ Р° к* А

рк?/ =*ГЛ > _/35/

в - скорость на свободной поверхности струи, А - год-

на слоя, к- главная кривизна параболоида в направлении обра-ввих стенок. Для расматриваемого случая к* при а>0

ределяется ©ормдлой _ <*'-">>

Ь - находится нз уравнения количества движения жидкости, едсвательно, выражение для % окончательно принимает вид

Х-^ГГ Г^Г- , /36/

\ (л-г, «Л.

сленнне значения Я. при ¿2 - 10 дани в таблице.

Б работе приведены сравнения % , вычисленные па форидде 5/ и по методу сеток /§ 2.1/. Эти значения отличается незна-тельно и практически совпадают при больвих значениях 2.

Ввиду важности технических приложений при рассмотрении ьектов имевших зоны кавитации, в главе 4 предпалагается схе-тизация /моделирование/ потоков жидкости при обтекании ло-стей, расположенных радиально по отноиенив к оси тдрбин.

Кавитационнне задачи имевт как теоретический, гак и прак-ческий интерес. К ним, например, относится задача струйного текания пластинки потоком источника, находящегося в вервине па образованного твердыми стенками.

Исследованы три классические математические модели кави-ционного обтекания пластинки: схема ¡уиовского-Рояяо, схема буиинского-Вейнига и схема Гияьбарга-Зфроса.

В качестве математического аппарата исследования в ревени-

- 19 -

ях внзедказаннах задач применялись методы теория струй с использованием интегральной формулы Кристофферяля-Звзрца л кварца при конформной отсарзаеняи.

Сравнение численных расчетаз, прсиззеданннх относительно различных схем кавитациониого обтекания пластинки, дагт достаточно близкие результаты при определении зависимости коэффициента сопротивления от числа кавитации Я . Зто сравнение дается а виге графика.

3 главе 5 исследуется применение теория супзрхазатаааи к гидравлическим расчетам гидротехнических сооружений, а так га обобщено реагине задачи Я.Р.Бераана и 2-й.Степановой. Отметим, что зека попинанного давления за водосливной поверхностью (уступом ий дне канала) моделируется как супзриаЕигацисннаа казерн

Исследованы дзе йагаыатичаский модели ::аеитац;юнных схем ¿¿гекакня препятствий, находчцихся кг краю уступа, аналогичные гхама* Гнльбарго-Зфрпса и Рабузанскога-йейнага. Получена аналитические резения задач, гирашаааиесд через эллиптические функция.

Для получения численных результатов рассаатриваятса сложные аналитические зависимости. При переходе к бесконечной области, что несколько каруяает Физику происходящих язлений, лолучаатся упроченные' зависимости, которые ислользузвтся для определения значений относительной длины каверны ?/'// и относительного расстояния ¿./,4 до критической точки от числа кавитации л.. 3

Вычисления показывает, что значения функций

для рассматриваемых схем потоков практически «ало отличаются.

Здесь ае рассмотрены задачи обтекания плоской пластинки с кавитацией, расподсяенной нормально набегаюаему патоку и находящейся на оси чэли, по схемам Гильбарга-Эфроса и Рябунинскогс-Зейнига. В схемах истечения из ¡цели с препятствием на оси возникает зона кавитации при бодьаих числах Рзйнольдса. Поскольку имеется схояееть явлений этих схем потока с предыдущими, то не было необходимости пронодить численные расчеты.

8 шестой глазе диссертации рассаатриэаатся задачи о струйном' течении жидкости а полигональных контурах.

Приведенные схематизации течений имезт места во зсех по- 20 -

тока:.: с проницаемыми границам или при истечении струи из одной области в другую с образованием течений через водопроницаемые границы /такие течения имеют место, например, при ударе куммулятивного снзряла о бронированную переграду или при наличии различного рода всасывающих отверстий/.

Полигональный контур в данном случае представляет собой препятствие, состоящее из конечного числа соединенных между собой пластинок, на одной из которых имеется щель.

Исследуемые задачи были поставлены и выполнены под руководством академика X А. Рахматулина.

В § 6.1 рассматривается истечение жидкости из указанного контура с обтеканием ограниченной его части по схеме Чаплыги-на-.Лаврентьева Усход струи с Еерхкей поверхности пластинки и с одной из кромок при наклонном ее обтекании/.

В § 6. 2 рассматривается струйное течение при обтекании контура, как и в § 6.1, но с таким режимом потока, когда скорости на обеих кромках пластины ограничены. Подобное течение относится к схеме Кирхгофа-Релея.

В § 6.3 в отличие от приведенных выие схем потоков, струйное течение происходит путем безотрывного обтекания пластины. При таком обтекании одна из линий потока состоит из контура пластинки и двух различных ветвей софокусных гипербол; такая схема потока относится к схемам Ыилн-Томсона-Лойцянского.

Все вышеуказанные задачи решены методом Е Е. Жуковского с использованием метода особых точек С. А. Чаплыгина, при этом были привлечены элементы теории эллиптических функций. В этих схемах потоков был определен расход жидкости через щель и коэффициент сжатия струи.

В главе 7 приводится решение задачи о струйном взаимодействии движущихся потоков. Здесь промоделированы задачи струйных течений следующего вида: а/ втекание струи из одного канала в другой; б/ втекание струи из канала в движущийся неограниченный снизу поток жидкости; в/ втекание струи из безграничного сверху потока в канал; г/ взаимодействие двух потоков жидкости через щель. Для всех задач получены зависимости

V/ /комплексный потенциал /от Е / комплексная координата/ в параметрическом виде и соотношения между характеристиками течения при наличии безграничных каверн в потоке.

- 21 -

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Содержание выполненных исследований и их основные выводы сводятся к следуюпэыу:

1. Создана и реализована новая методика математического моделирования струйных' течений жидкости, дакпзя возмсзяссть белее точно и наделай описывать процессы, происходящие г истечении и обтекании различной геометрической конфигурации.

2. Использован экономичный способ приближенного аналитического решения пространственной задачи теории струн.

Даны (гл. 2) приближенны» р*гения краевых задач гидродинамики, моделкрухшкэ реальные процессы струйных течений н объекта:-:.

При исследовании прямого удара струи в плоскую пластпнуу, а диск или в чалу, выяснено, что математический анализ течений этого типа гажен для понимания работы турбин 155 ль тона.

Выяснено, что метод конечной разности и метод конечных элементов с кспользованием ЭБМ более удобен и экономичен при решении пространственной стационарной задачи теории струй.

2. Проведено экспериментальное исследование задачи об истечении жидкости из сосуда с воронкообразным дном (из воронки), результата которого позволяют -определить основные кинематические характеристики моделируемых течений и подтверждают правильность полученных теоретических решений.

4. Методом обсбпеяной аналипиэской функции получены -репения задачи истечения жидкости из сосуда с воронкообразным дном, имехгрм препятствие на'оси симметрии. Подучено подтверждение положения Гу-ревича и Бирхгофа о том, что коэффициенты сжатия для плоского и ссесимметричного сосудов для одинаковых отношений диаметров отверстий к поперечным диаметрам сосудов - практически мало отличатся друг от друга.

5. Методом Ф. К Франкдя решены задачи об истечении потенциальной жидкости по внутренней поверхности ковша, представлзшэго собс*! половину трехосного эллипсоида, либо поверхность параболоида вращения.

Реализованы математические модели плоских навигационных течений.

Получено решение задачи обтекания полигонального контура с истечением жидкости из щели.

Получены аналитические решения задач о струйном взаимодействие потеков в каналах со щелями или боковыми оттока),и.

Основное содержание диссертации ¿публиковано в следующая работа:-::

Абдылдаев 11Ю. Истечение жидкости из бесконечно-длинных оеесимметрпчкьо: сосудов //Тр. ун-та-' Кабардино-Балкарский гос. университет.-Нальчик.-195S.-ЕыпЗ - стр. 1 БЕ-168.

2. АЕдшазев М. Ю. Исследование одного тонкослойного пространственного струйного течения жидкости.//Изв. АН СССР, OTE Шханикз и машиностроение. 1950. -М 6. -с. 120-124

3. Абдылдаев 1L Ю. Потенциальное течение жидкости тонким слоем по поверхности параболоида вращения. //Тр. ин-та. / Ошский гос. пед. институтю - Ош. -1952. -о. 7-9

•1. Абдылдаев М. П. Симметричное набегание круглой струи на тело врацекия.//Тр. ун-та. / Кирг. гос. Университет, Фрунзе.-1962, с. 7-9

5. Абдылдаев 1L Ю., Шхматов М. П. Донные лотки и галереи. Кирг. гос. Университет. Фрунзе.-1963.-Вып. 2 - с. 37-41

6. Абдылдаез М.Ю. Истечение идеальной несжимаемой жидкости из линейного контура сосуда с воронкообразным дном при наличии препятствия в виде криволинейного контура. //Тр. ин-та/ Ошский гос. пед. институт. -Ош. -1965. - с. S-7

7. Абдылдаез II Ю. Истечение идеальной несжимаемой жидкости из сосуда с воронкообразным дном при наличии препятствия на оси симметрии. //Тр.. ин-та/ йн-т физики и математики АН Кирг. ССР.- Срун-зе. -1965. -с. 94-108

В. Абдылдаев М.Ю. Истечение из цели между двумя плоскостями при наличии пластинки на оси. . //Изв. АН Уз. ССР, серия тех. наук. -Ташкент. -1968. -е. 23-35

9. Абдылдаев М. й. Кавиташонное обтекание пластинки потоком лоточника по схеме Гильбзрга-Эфроса. //Тр. секции физики / Московское общество испытателей природы. -Москва. -1972. -е. 83-90

10. Абдылдаев Е КЗ., Хмельник М. И. Обтекание полигонального контура с истечением струи.//Тр. ин-та/ Институт математики АН Укр. ССР. -Киев. -1973. -е. 40-52

11. Абдылдаев М. KL Истечение тяжелой жидкости из щели между двумя плоскостями с препятствием в виде пластинки на оси. //Тр. секции физики/ Московское общество испытателей природы. -Москва. -1972. -с. 91-99

12. Абдылдаев М. Ю. Применение Кавитапиояасй схемы Гиль-барга-Эфроса к исследуемому течения через уступ с прямоугольным препятствием на краю // Тр. -ин-та' Московск. обл. пед. ин-т им. Крупской Е- Гидромеханика. - Москза. - 1373. - Был. 2. -с. 199 - 206.

13. Абдылдаев М. X). Течение жидкости через уступ с прямоугольным препятствием на краю //Тр. ин-та/ Московск. обл. пед. ин-т им. Н.К. Крупской. Гидромеханика. - Москва. - 1373. - 2. -с. 207 - 212.

14. Абдылдаев >1 ¡0. Навигационное обтекание пластинки потоком источника по схеме Я. Е. Жуковского - Роско. //Изв. АН. Кирг. ССР. - Фрунзе. - 1973. - N 3. - с. 19-33.

15. Абдылдаев М. Э. Струйные взаимодействия даауЕИХСА потоков з канале // ?р. ин-та/ Московск. обл. пед. ин-т им. X К. Крупской. Гидромеханика. - Москва. - 1375. - Еьл. - с. 111 -119.

16. Абдылдаев М. Ю. Навигационное сОтекакие пластинки 2 угле по схеме Рябушинского - Вейнига // Тр. ин-та / Московок, обл. пед. ик-т им. Е К. Крупской. Гидромеханика. - 1575. -Вып. 17. - с. 120-121.

17. Абдьвдав М.КЗ, - Некоторые схемы обтекания полигональных контуров !1 Тр. ин-та / Киргосунив-т. Серия матем. - Фрунзе. - 1976. - Еып. 12. - с. 5-6.

18. Абдылдаев М. Е , Хамидов А. А. Определение коэффициента сжатия осесимметркчной струи идеальной жидкости //ДАН Уз. ССР. -Ташкент,- 1977. -118. - с.23 - 25.

19. Абдылдаев М. а Истечение идеальной несжимаемой жидкости из сосудов с воронкообразным дном, имеющих на оси особенности //Тр. секции физики/ Московск. общество испытателей природы. - ЬЬсква. -1982. - с. 79 - 83.

20. Абдылдаев Ы Ю., Кадырадиев С. К Некоторые исследования формы разрядной камеры плазматрона "Ресурсосберегающие технологии и прочность в машиностроении" // Тез. док. Респубд. научно-технической конференции. Октябрь 1986. - Зрунзе. 1986. -с. 3 - 5.

21. Абдылдаев Е ¡0. , Качкыналиев А. К., Тологоноз К. Т. Обтекание проницаемого контура с отрывом струй ,//Тр. ин-та/ Фрунзенский политехнический, ин-т. Некоторые задачи дифференц. , ин-тегрс-дифференц. уравнений и их приложений. Изд-во СПЯ - ¿рук-

- 24 -

зе,- 1989. -с. 105-109.

22. Абдылдаев М. Ю. , Уметалиев М. У. Навигационное обтекание проницаемой пластинки по схеме йуксвскэго-Рсщко //Тез. докл. Республ. Конференции, посвященной памяти академика АН Уз. ССР X А. Рахматулина. - Ташкент.- 1389. - е. 7.

23. Абдыдцаев У. Ю., Качкыналиев А. К., Тологскоз К. Т. Обтекание полупроницаемой пластинки а присутствии стенки //Тр.ин-та/ Фрунзенский политехи.ин-т. Оптимальное управление системами с особенностям!, йзд-во ФПИ. - Срунзе. - 1930.

с. 76-81.

24. Абдылдаез М. Ю. , Мухидиноа ЕМ., Мукимов а Н. Режни-э пространственной задачи теории струй методом конечные разностей //Тез. докл. Республ. У1 школы - семинара "Совреус-пнь;? проблемы механик:! жидкости а газа". - Самарканд. - 1232.

с. 2-5.

25. Абдылдаев М. Ю. Математическое моделирование некоторых гидродинамических прцессов при струйном течении тад-;ксти. -Бишкек. -1992. -160. - с. //Библиография, указатель "Депонированные научные работы", 1992 г. N 559 /Дегг. з Кь;рг. 15.08.92/, N 569.

26. Абдылдаев М.Ю. Математическое моделирование отдельных проблем струйных течений. -Бишкек. -1993. -85 с.//Ел^.г.и-г-раф. указатель "Депонированные научные работы", 1953 г. 'Л 643/Деп. з Кырг. НИИНП! 27.10. 93/, М 643.

- 25 -