автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование гидродинамических процессов на океаническом шельфе

На правах рукописи

Кочерова Анна Сергеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОКЕАНИЧЕСКОМ ШЕЛЬФЕ

специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

Работа выполнена кафедре управления и вычислительных систем Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Владимир Николаевич Котеров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Алексей Иванович Лобанов кандидат физико-математических наук, доцент Андрей Юрьевич Семенов

Ведущая организация

Институт проблем безопасности развития атомной энергетики РАН

Защита состоится « _2004 г. в часов

на заседании диссертационного совета К 212.156.02

Московского физико-технического института (государственного университета) по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

О.С. Федько

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В последние годы во всем мире существенно возрастает активность в области реализации различных технических проектов на шельфе окраинных и внутренних морей. К этим проектам относится сооружение буровых платформ, подводных трубопроводов, терминалов для отгрузки нефтепродуктов и т. п. При осуществлении данных работ одним из направлений исследований является получение оценок воздействия проектируемого объекта на окружающую среду (задача ОВОС). Эта задача может быть решена только с использованием современных методов математического моделирования, поскольку в каждом конкретном случае проектирования гидротехнического сооружения имеющиеся натурные наблюдения обладают существенной неполнотой, а масштабирование эмпирической информации, полученной на уже функционирующем объекте, по меньшей мере, затруднительно. Поэтому построение и реализация математических моделей, предназначенных для решения задач ОВОС представляет собой актуальную проблему.

Цель работы состоит в разработке и реализации эффективных математических моделей и вычислительных методик

- для расчета основных характеристик гидродинамических полей (скорости воды, кинетической энергии турбулентности, скорости диссипации кинетической энергии турбулентности), возмущенных гидротехническим сооружением,

- для последующего прогнозирования распространения различных загрязняющих субстанций (ЗС) в морской среде в районе проведения работ.

Научная новизна работы состоит в следующем.

- Разработана и реализована эффективная численная методика расчета движений несжимаемой и слабо сжимаемой жидкости, с единых позиций позволяющая рассчитывать разнообразные стационарные и нестационарные, в том числе и турбулентные, течения в широком диапазоне чисел Рейнольдса (от движений невязкой жидкости до режимов течения Стокса).

- Разработана и реализована двумерная нестационарная математическая модель течения воды вокруг гидротехнического сооружения, основанная на уравнениях теории мелкой воды и уравнениях полуэмпирической двухпараметрической модели турбулентности. Созданная модель позволяет вычислять возмущенные сооружением усредненные по глубине поле скорости воды, поле кинетической энергии турбулентных пульсаций потока, поле скорости диссипации энергии турбулентности, а также связанные с данными величинами поля коэффициентов горизонтального турбулентного обмена.

- Разработана и реализована математическая модель, предназначенная для прогноза распространения ЗС в прибрежной области моря и учитывающая такие существенные особенности рассматриваемого явления, как

а) мультидисперсность различных твердых фракций ЗС;

б) турбулентный характер переноса ЗС, приводящий к явной зависимости коэффициента горизонтальной диффузии от линейного размера «облака» загрязнения (закон «4/3», обнаруженный Ричардсоном1 и теоретически обоснованный Колмогоровым и Обуховым2);

1 Richardson LF. Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbor graph // Proc. Roy. Soc. 1926. Ser. A. V. 110. N. 756. P. 709.

2 Колмогоров A.H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса//ДАН СССР. 1941. Т.30. №4. С. 299;

Обухов-A.Mj- О распределении энергии в спектре турбулентного потока // Изв. АН СССР. Сер: геогр. и геофиз. 1941. Т. 5. № 4-5. С. 453.

в) временную изменчивость скорости течения как по величине, так и по направлению;

г) крупномасштабные неоднородности поля скорости воды в акватории;

д) возможный длительный (порядка одного года и более) характер проведения работ;

е) возможность перемещения источника ЗС в течение проведения работ.

Обоснованность и достоверность полученных в работе результатов обеспечена

- применением при моделировании известных базовых моделей механики сплошных сред и корректностью постановок краевых задач,

- тестированием разработанных моделей и использованных, вычислительных методик путем проверки сходимости численного решения при уменьшении размеров ячеек разностной сетки, а также путем сравнения результатов отдельных расчетов с численными решениями других авторов, с некоторыми точными решениями и с доступными результатами экспериментов.

Практическая значимость. Разработанная и реализованная математическая модель турбулентного обтекания гидротехнического сооружения позволяет расчетным путем получать количественную информацию о гидродинамических полях вокруг изучаемого объекта. Эта информация необходима для моделирования распространения различных ЗС в морской среде (например, сбросов отходов с морских буровых платформ, нефтяных пятен при аварийных разливах нефти, тепловых воздействий от систем охлаждения оборудования), а также для расчета переноса наносов с целью получения оценок заносимости гидротехнических сооружений. Согласо-

ванная с моделью обтекания методика расчета переноса ЗС может быть использована для решения задач ОВОС при строительстве и эксплуатации морских буровых платформ, при проведении длительных дноуглубительных работ и т.п. Простая в реализации вычислительная методика, разработанная в диссертации, может применяться для решения и других практически важных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:

- Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. XLI научная конференция Московского физико-технического института. М.: ноябрь 1998 г.

- 7-th Russian-Japanese international symposium on computational fluid dynamics. Moscow State University. M.: июль-август 2000 г.

- Научный семинар «Методы решения задач математической физики». Вычислительный Центр им. А.А. Дородницына РАН. М.: май 2003 г.

- Совместный семинар отдела Механики сплошных сред ВЦ РАН и кафедры Управления и вычислительных систем (специализация математическая физика) МФТИ. М.: сентябрь 2003 г.

- 5-th ISOPE OCEAN MINING SYMPOSIUM. Tsukuba, Japan. 2003 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Список работ, опубликованных по материалам диссертации, приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы (59 наименований). Работа изложена на 118 страницах и содержит 37 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется тема работы, обосновывается ее актуальность, описываются особенности разработанных в диссертации математических моделей и вычислительных методик, кратко излагается содержание работы по главам.

В первой главе диссертации представлена методика расчета течений несжимаемой или слабо сжимаемой жидкости, достоинства которой состоят не в экономичности и высокой скорости счета, а в простоте реализации и высокой универсальности.

Описание методики проводится с использованием следующей системы уравнений, приводимой в п.1.1 работы:

|^+(иУ)р+рС2Уи = 0, |^+(иУ)и+-^ = уДи + Е. О)

Здесь - время, - вектор скорости, - давление и плот-

ность жидкости, - коэффициент кинематической вязкости,

- вектор массовых сил. Величина С представляет собой скорость распространения малых возмущений в модели слабой сжимаемости. Предел - характерное значение скорости адвективного переноса

соответствует случаю несжимаемой жидкости. Для аппроксимации уравнений используется полностью неявная двухслойная гибридная разностная схема (схема «с разнесенными разностями»), в которой давление относится к центрам ячеек разностной сетки, а компоненты скорости — к центрам граней ячеек. Конвективные члены в (1) аппроксимируются разностями, ориентированными «по потоку». Рассматриваемую разностную схему в символической форме можно записать в виде

где - сеточная вектор-функция (в случае двух пространст-

венных переменных), Н — оператор, содержащий разностные производные первого и второго порядка по пространственным переменным.

В п.1.2 диссертации анализируется следующая простая итерационная процедура, служащая для нахождения сеточных функций на верхнем временном слое:

Ч»М = Ф<"„ - 0 • , ОД,,) = ф",, - ф- + т• .

Здесь я - номер итерации, ф"о) = ф""'» - итерационный параметр, п -

номер временного слоя, Т - шаг по времени. Итерации на каждом временном шаге решения уравнений проводятся до тех пор, пока не выполнится условие — заданная точность итераций.

Проводится приближенная оптимизация данной итерационной процедуры, заключающаяся в нахождении значений параметров вит, обеспечивающих наименьшее количество итераций, необходимых для решения задачи. Для этого вначале рассматривается равномерная разностная сетка и система одномерных линеаризованных уравнений, для которых с помощью преобразования Фурье проводится достаточно полный анализ. Затем формулируются эмпирические правила для распространения этого анализа на общий случай.

В п.1.3 для демонстрации возможностей представленной методики рассматриваются следующие две двумерные задачи:

- расчет вызванного движением верхней «крышки» течения вязкой жидкости в квадратной каверне,

- моделирование нестационарного движения плоской струи тяжелой невязкой жидкости в газе.

Первая хорошо известная тестовая задача3 демонстрирует возможность применения описанной выше методики для расчета течений с использованием существенно неравномерной сетки. Результаты расчетов этой задачи хорошо соответствуют аналогичным расчетам других авторов4. Во второй модельной задаче рассматривается течение с существенно неоднородным полем плотности. Представленные результаты расчетов демонстрируют высокую надежность описанной методики, устойчиво работающей при перепадах плотности в соседних ячейках, достигающих трех порядков.

Вторая глава диссертации посвящена расчету гидродинамических полей вокруг сооружения, размещенного на океаническом шельфе.

В п.2.1 представлены общие физические концепции, полагаемые в основу разрабатываемой модели, а именно, сформулированы основные физические предположения и ограничения и приведены необходимые для моделирования литературные данные о величинах кинетической энергии турбулентности (Приложение 1) и скорости ее диссипации на океаническом шельфе вдали от изучаемого объекта.

В п.2.2 работы описываются уравнения движения и моделируются параметры турбулентности. Использующиеся в настоящей работе уравнения теории мелкой воды (уравнения Сен-Венана, дополненные членами, моделирующими горизонтальный турбулентный обмен, и тангенциальными напряжениями на поверхности и дне водоема) имеют следующий вид:

3 См., например, Sang-Wook Kim. A fine grid finite element computation of two-dimensional high Reynolds number flows. // Comput Fluids. 1988. V. 16. № 4. P. 429-444.)

4 См., Ghia U., Ghia KN., Shin C.T. High-Re solution for incompressible flow using the Na-vier-Stockes equations and a multigrid method. // J. Comput Phys. 1982. V. 48. № 3. P. 387-411.

ag dhu, i..~y _A flf & ' '

Эы, Эм, ди, ЭС д ди, д ди, т_ —-+их—~+uv—£- = -g—+—vr—+—vT—-— dt дх y dy s дх дх т дх ду T dy h

ди,.

ди, 5C 9

_* —_rr_!Z _i__

ди„ д duv Ty -+—vr —~~

Ы х дх ду ° ду дх ' дх ду т ду

Здесь к - глубина воды, £=й+Ь(ду) - уровень (отметка) свободной поверхности (Ь — отметка рельефа дна), g - ускорение свободного падения, коэффициент горизонтальной турбулентной вязкости, тх и Ху - разность между тангенциальными напряжениями трения на дне водоема и ветровыми тангенциальными напряжениями на поверхности воды. Для нахождения распределения коэффициента турбулентной вязкости уг вокруг изучаемого объекта используется следующая усредненная по глубине акватории полуэмпирическая двухпараметрическая ^-оа модель Кокли5, содержащая в правой части уравнений члены, параметризующие вертикальный турбулентный обмен:

ЫПНЪ

+ С^СцЗ^ + С2(©о -<о2), * = е = щ2, ■

(3)

5 Coacley Т. J. Turbulence modeling methods for the compressible Navier-Stokes equations: AIAA Paper, 1983, №83-1693

Здесь qua- так называемые псевдоскорость и псевдозавихренность, С9=1, Са= 1.3, СутО.09, Ci=0.45, Сг=0.92 - эмпирические постоянные, к и е: - кинетическая энергия турбулентности и скорость ее диссипации, Sv -диссипативная функция, определяемая величиной пространственной неоднородности поля скорости. Индексом «О» помечены осредненные по глубине невозмущенные параметры турбулентности вдали от рассматриваемого объекта.

В п.23 диссертации приводится вычислительная методика решения уравнений (2), (3). В П.2.3.1» кратко описывается применяемый в работе способ построения разностных сеток, основанный на применении барьерного вариационного метода Иваненко-Чарахчьяна6. На плоскости сеточных индексов исходная расчетная область отображается в параметрический прямоугольник с разрезами, соответствующими частям обтекаемого объекта, а сеточные линии построенной криволинейной сетки переходят в прямые линии. В п.2.3.2 для аппроксимации уравнений (2), (3), записанных с использованием переменных сеточной плоскости, используется разностная схема, аналогичная описанной в главе 1 диссертации. В п.2.33 обсуждаются способы постановки краевых условий (условий «трения» на поверхности обтекаемого объекта и «неотражающих» краевых условий на внешней границе расчетной области). Сопоставления результатов расчетов обтекания плоской стенки, выполненных по применяемой в диссертации теоретической модели, с имеющимися в литературе данными экспериментальных измерений проводятся в Приложении 2. Сформулированная разностная краевая задача может быть решена с помощью итерационной процедуры, аналогичной исследованной в главе 1 диссертации. Особенности

' Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сетки // Ж. вычисл, матем. и матем. физ. 2000. Т.40. №11. С.1662.

применения этой процедуры для решения уравнений (2), (3) описываются в п.2.3.4.

В п.2.4 приводятся примеры некоторых методических расчетов, демонстрирующих сходимость численного решения рассматриваемой задачи при уменьшении размеров ячеек разностной сетки. Расчеты выполнены для шестиугольного в плане объекта - стационарной буровой платформы диаметром ПО м (рис.1). На рис.2 приведены зависимости расчетного стационарного распределения компоненты скорости их вдоль горизонтальной оси симметрии при использовании трех вложенных разностных сеток с количеством ячеек в расчетной области 100x100 (крестики), 50x50 (косые крестики) и 25x25 (кружочки).

Наконец в п.2.5 приводятся результаты прогнозных расчетов гидродинамических полей около судна катамаранного типа, установленного для разведочного бурения на дно северной части Каспийского моря. Длина судна составляет около 130 м.

Рис.1 Рис.2

На рис.3 и 4 для примера приведены мгновенные расчетные поля скорости вокруг этого объекта при двух значениях невозмущенной скорости течения вдали от судна Цо=0.65 и 0.18 м/с, которые соответствуют максимальному и среднему значениям скорости течения, наблюдаемой в рассматриваемом районе Северного Каспия. В первом случае за судном имело место формирование устойчивого вихревого следа, во втором прослеживалось образование пульсирующей вихревой дорожки, что подтверждается приводимым на рис.5 расчетном графике зависимости скорости воды от времени в т.4, показанной на рис.4.

В третьей главе описывается математическая модель, предназначенная для прогноза распро-

странения ЗС в прибрежной области моря.

В п.3.1 работы формулируются общие концепции, положенные в основу модели. При описании распространения ЗС можно выделить две качественно различные области: ближнюю зону, размеры которой коррелируют с размером объекта, и дальнюю зону, к которой, как правило, принадлежит и область контрольного створа. В дальней зоне применим принцип суперпозиции: ЗС можно рассматривать как пассивную примесь, распространение которой представимо в виде движения совокупности отдельных невзаимодействующих компактных (но в общем случае не изотропных) «облаков». Эти облака порождаются источниками массы, моделирующими, поступление ЗС из ближней зоны в дальнюю. Размер ареала загрязнения оказывается значительно большим глубины акватории. Поэтому для расчета эволюции отдельного компактного облака ЗС используется следующая двумерная (осредненная по глубине) диффузионно-дрейфовая модель переноса

в которой С< - концентрация 1-й фракции ЗС в отдельном облаке, к — глубина водоема, - скорость осаждения частиц ЗС (гидравлическая крупность фракции), а - компоненты симметричного тензора горизонтальной турбулентной диффузии. При изотропном распределении примеси в облаке тензор турбулентной диффузии пропорционален единичному тензору. Коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом турбулентной диффузии, в соответствии с эмпирическим законом Ричардсона явно зависит от радиуса диффундирующего облака. Однако в общем случае не изотропного распределения примеси компактное облако

характеризуется по меньшей мере двумя линейными размерами, и для определения величин Ко, К„у, Куу следует принять некоторое обобщение закона Ричардсона. Такое обобщение, используемое в диссертационной работе, является следствием следующих положений:

- в системе координат, связанной с главными осями облака, тензор турбулентной диффузии должен принимать диагональный вид, и

- две компоненты Кх>х' и Куу этого диагонального тензора могут быть определены в соответствии с классическими соотношениями Ричард-

булентности, - скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, а - эмпирический параметр.

В п.3.2 показано, что задача моделирования распространения облака мультидисперсных ЗС в двумерной постановке (4) сводится к расчету распространения монодисперсной ЗС, но со скоростью осаждения, зависящей от времени по формуле

в которой А/} - начальная масса /-Й фракции в облаке. При этом суммарная концентрация ЗС может быть представлена в виде

где ¿о — момент «рождения» облака, а функция О, не зависящая от номера фракции, описывает консервативное распространение облака единичной массы, т.е. удовлетворяет уравнению (4) при Таким образом, общая

задача расчета переноса мультидисперсных ЗС сводится к исследованию монодисперсного облака консервативной примеси.

которых - характерные раз-

меры главных полуосей облака, В = ¿б"3 - структурный параметр тур-

1>

В п.3.3 рассматривается процесс распространения ЗС в однородных гидродинамических полях. Отмечается, что точным решением уравнения (4), описывающим консервативное распространение облака единичной массы в этом случае является гауссова функция

в которой параметры (координаты центра облака), а также величины , удовлетворяют уравнениям

А) dt

Ых, Ка, ^ = 2К, —^- = 2АГ.

* <11 > ¿1 а »' сН "

(6)

Изолинии этой функции являются эллипсами, повернутыми на некоторый угол а, сохраняющийся в процессе движения облака. Обобщенный закон Ричардсона позволяет связать входящие в (6) компоненты тензора турбулентной диффузии с величинами , характеризующими размеры и ориентацию облака, т.е. замкнуть систему уравнений (5).

В п.3.4 с помощью моментного метода строится приближенное решение уравнения (4), описывающее движение компактного облака ЗС в неоднородных гидродинамических полях. Анализ основывается на двух допущениях:

- в процессе движения облако остается гауссовым и распределение концентрации ЗС в нем описывается функцией (5),

- характеристики гидродинамических полей и их первые производные являются плавными функциями пространственных переменных, т.е. характерный пространственный масштаб их изменения велик по сравнению с текущим размером облака.

Показывается, что в рамках этих допущений эволюция параметров гауссова облака ЗС описывается следующей системой уравнений

в которой штрихами помечаются пространственные производные гидродинамических полей, а индекс «О» означает, что соответствующая функция • берется в центре облака (при х=Хц, у^уо)- Сравнение (6) с (7) показывает, что в случае однородных гидродинамических полей моментный метод дает точное решение уравнения (4). Остальные члены в (7), включающие пространственные производные гидродинамических полей, описывают изменения траектории центра облака в результате диффузионных процессов, а также дополнительную деформацию облака и поворот его главных осей в неоднородном поле скорости.

В пЗ.5 диссертации обсуждается алгоритм формирования облаков ЗС, который используется в работе при моделировании распространения взвешенных веществ, порождаемых непрерывными источниками загрязнения.

В пЗ.6 с целью тестирования представленного выше «метода эллиптических облаков» рассматривается задача о распространении монодисперсной ЗС от изотропного точечного источника, помещенного в однородный и стационарный турбулентный поток жидкости. Точное решение этой задачи может быть найдено на основе принципа суперпозиции и известного, экспериментально подтверждаемого фундаментального решения, опи-

сывающего распространения пассивной примеси от мгновенного точечного источника, помещенного в неподвижную, однородную и изотропную турбулентную среду. Сравнения точного решения с результатами, полученными с помощью метода эллиптических облаков, показывают, что последний хорошо воспроизводит точное решение всюду, кроме окрестности сингулярной точки, в которой находится источник. При этом радиус этой окрестности уменьшается с увеличением количества облаков, моделирующих распространение ЗС.

Наконец в п.3.7 приводятся примеры расчетов пространственно-временной эволюции концентрации взвешенных веществ, появление которых в водной толще обусловлено периодическими сбросами размельченного и разжиженного бурового шлама и твердых компонент бурового раствора с буровой платформы, сооруженной на северовосточном шельфе о. Сахалин. Моделирование проводилось на период в 3 года. Считалось, что платформа с характерным горизонтальным размером D = 110M В первом приближении имеет цилиндрическую форму.

По данным натурных наблюдений течение воды в

районе сооружения платформы имеет выраженный приливный характер. Оно изменяется со временем и по направлению, а также возмущается самой буровой платформой. Поэтому с помощью методики, изложенной во второй главе диссертации, вначале были рассчитаны и составлены таблицы необходимых характеристик гидродинамических полей вокруг платформы (компонент скорости воды и структурного параметра турбулентности В). Затем, исходя из предполагаемой буровой активности, был составлен конкретный сценарий темпов сброса взвешенных веществ. Этот сценарий и таблицы расчетных гидродинамических полей служили входными данными для модели эллиптических облаков, воспроизводящей распространение ЗС в акватории7. На рис.6 для примера приведено расчетное поле увеличения толщины донных осадков после 3-х лет проведения работ на буровой платформе (мм).

В заключении диссертации сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана численная методика расчета движений несжимаемой и слабо сжимаемой жидкости, с единых позиций позволяющая рассчитывать разнообразные стационарные и нестационарные, в том числе и турбулентные, течения в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Представленная методика не является экономичной, однако она проста в реализации и обладает высокой универсальностью. Приводимые в диссертации результаты расчетов подтверждают работоспособность данной методики.

7 В постановке задачи расчета распространения промышленных сбросов с буровой платформы принимал участие Б.В. Архипов. Конкретные расчеты по модели эллиптических облаков выполнены В.В. Солбаковым.

2. Разработана и реализована двумерная нестационарная математическая модель течения воды вокруг гидротехнического сооружения, размещенного на океаническом шельфе. Созданная модель позволяет вычислять возмущенные сооружением усредненные по глубине поле скорости воды, поле кинетической энергии турбулентных пульсаций потока, поле скорости диссипации энергии турбулентности, а также связанные с данными величинами поля коэффициентов горизонтального турбулентного обмена.

3. С помощью разработанной математической модели проведены прогнозные расчеты характеристик гидродинамических полей вокруг объекта, размещенного для разведочного бурения на шельфе Северного Каспия.

4. Разработана и реализована математическая модель для прогноза распространения загрязняющих веществ в шельфовой области окраинных или внутренних морей. Предназначенная для оценок длительного (порядка одного года и более) антропогенного воздействия на окружающую среду, эта модель учитывает такие существенные особенности рассматриваемого явления, как турбулентный характер переноса загрязняющих субстанций, а также пространственную и временную изменчивость поля скорости течения в акватории.

5. С помощью представленного в диссертации комплекса моделей проведены прогнозные оценки воздействия на окружающую среду периодических сбросов отходов буровых работ, проводимых на стационарной буровой платформе, размещенной на северо-восточном шельфе

0. Сахалин.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Кочерова А.С., Кошеров В.Н. Об одной вычислительной методике расчета течений жидкости и газа // Современные проблемы фундамен-

тальных и прикладных наук. XLI научная конференция Московского физико-технического института: Тезисы докладов. Часть 2. Московский физико-технический институт. М., 1998. С. 96.

2. Kocherova A.S., Koterov V.N., Krivtsov V.M. On one method of calculation of incompressible liquid flow // Abstracts of the seventh Russian-Japanese international symposium on computational fluid dynamics/ Moscow State University. M., 2000, p. 25-26.

3. Koterov V.N., Kocherova A.S., Krivtsov V.M. A Technique for Computing Incompressible Flows // Comput. Math, and Math. Phys. 2002. V.42. No.4. P.526-558 (Кошеров В.Н., Кочерова А.С., Кривцов B.M. Об одной методике расчета течений несжимаемой жидкости // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. №4. С. 550-558.)

4. Kocherova A.S., Koterov V.N., Krivtsov V.M. On One Computational Method for Incompressible Liquid Flow // Computational Fluid Dynamics Journal. 2002. V.I 1. №2. P.173-177.

5. Кочерова А.С. Численное моделирование гидродинамических полей вокруг сооружения, размещенного на океаническом шельфе. Сообщения по прикладной математике. М.: Вычислительный центр РАН, 2003,49 с.

6. Архипов Б.Н., Кошеров В.Н., Кочерова А.С, Солбаков В.В., Хубларян Г.М. Моделирование обтекания гидротехнических сооружений в шель-фовой зоне моря // Водные ресурсы. 2003. Т.30. №6. С. 1-7.

7. Архипов Б.Н., Котеров В.Н., Кочерова А.С, Солбаков В.В., Хубларян Г.М. Расчет распространения взвешенных веществ в прибрежной области моря // Водные ресурсы. 2004. Т.31. №1. С. 1-9.

8. В. Arkhipov, V. Koterov, A. Kocherova, V. Solbakov, D. Shapochkin, G. Be-lousova and V. Evdokimov. Calculation of Suspended Solids Dispersion in the Sea Environment // The Proceedings ofthe Fifth (2003) ISOPE OCEAN MINING SYMPOSIUM. Tsukuba, Japan. 2003. P. 216-222.

Кочерова Анна Сергеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОКЕАНИЧЕСКОМ ШЕЛЬФЕ

Подписано в печать ОЬ II. . Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ № ®Р Л1

Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем "ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ" 141700, Московская обл., Долгопрудный, Институтский пер., 9

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.

1.1. Исходные уравнения и разностная схема.

1.2. Итерационная процедура и её приближенная оптимизация.

1.3. Примеры расчетов.

1.3.1. Расчет течения вязкой жидкости в каверне.

1.3.2. Моделирование нестационарного движения струи тяжелой жидкости в газе.

ГЛАВА 2. РАСЧЕТ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ВОКРУГ СООРУЖЕНИЯ, РАЗМЕЩЕННОГО НА ОКЕАНИЧЕСКОМ ШЕЛЬФЕ.

2.1. Физические предположения.

2.2. Математическая модель.

2.2.1. Уравнения движения.

2.2.2. Моделирование параметров турбулентности.

2.3. Вычислительная методика.

2.3.1. Разностная сетка и преобразование координат.

2.3.2. Разностная схема.

2.3.3. Краевые условия.

2.3.4. Итерационная процедура.

2.4. Некоторые результаты методических расчетов.

2.5. Пример расчета обтекания объекта, размещенного на шельфе Северного Каспия.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ СУБСТАНЦИЙ В ПРИБРЕЖНОЙ ОБЛАСТИ МОРЯ.

3.1. Общие концепции, полагаемые в основу модели.

3.2. Учет мультидисперсности состава загрязняющих субстанций.

3.3. Распространение облака загрязняющих субстанций в однородных гидродинамических полях.

3.4. Распространение облака загрязняющих субстанций в неоднородных гидродинамических полях.

3.5. Формирование облаков загрязняющих субстанций в ближней зоне.

3.6. Методические исследования (изотропный источник в однородном потоке).

3.7. Прогноз распространения промышленных сбросов с морской буровой платформы.

Тема работы

В последние годы во всем мире существенно возрастает активность в области реализации технических проектов на шельфе океана, в частности таких, как сооружение буровых платформ, подводных трубопроводов, терминалов для отгрузки нефтепродуктов и т. п. При осуществлении данных проектов одним из направлений исследований является получение оценок воздействия проектируемого объекта на окружающую среду (так называемая задача ОВОС) с целью выявления технических решений, удовлетворяющих природоохранным нормативным требованиям. Эта важнейшая задача может быть решена только с использованием современных методов математического моделирования, поскольку в каждом конкретном случае проектирования сооружения имеющиеся натурные наблюдения обладают существенной неполнотой, а масштабирование эмпирической информации, полученной на уже функционирующем объекте, по меньшей мере, затруднительно.

Первым этапом решения указанной выше задачи является расчет пространственно-временной эволюции поля скорости воды, возмущенного проектируемым сооружением. Информация о поле скорости требуется практически во всех случаях, например, для моделирования распространения различных загрязняющих субстанций в морской среде (сбросов отходов с морских буровых платформ, нефтяных пятен при аварийных разливах нефти, тепловых воздействий от систем охлаждения оборудования), а также для расчета переноса наносов с целью получения оценок заносимости гидротехнических сооружений.

Вторым этапом является прогнозирование распространения различных загрязняющих субстанций в прибрежной области моря, появление которых в водной толще обусловлено, например, промышленными сбросами с морских буровых платформ или иными работами.

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке и реализации эффективных математических моделей и вычислительных методик

- для расчета основных характеристик гидродинамических полей (скорости воды, кинетической энергии турбулентности, скорости диссипации кинетической энергии турбулентности), возмущенных гидротехническим сооружением;

- для последующего прогнозирования распространения различных загрязняющих субстанций в морской среде в районе проведения работ.

Для иллюстрации возможностей разработанного комплекса моделей и методик в диссертационной работе приведены полученные на их основе результаты прогнозных оценок воздействия на окружающую среду периодических сбросов отходов длительных буровых работ, проводимых на стационарной буровой платформе, размещенной на северо-восточном шельфе о. Сахалин.

Основные особенности разработанных математических моделей и вычислительных методик

Рассматриваемая в диссертационной работе гидродинамическая задача характеризуется тем, что горизонтальный размер L обтекаемого искусственного сооружения или естественного объекта оказывается много большим глубины акватории /г, и, в то же время, размеры расчетной области могут существенно превышать величину L. В подобных случаях для описания горизонтальных движений жидкости вне придонных и приповерхностных пограничных слоев, влияние которых либо не учитывается, либо параметризуется, часто используются двумерные (осредненные по глубине) уравнения теории мелкой воды. С помощью подобной модели решено много практически важных задач (см., например, список литературы из монографий [1, 2]). Однако в рассматриваемом случае в области за объектом может формироваться заметный турбулентный «след», так что структура потока в изучаемой области должна во многом определяться горизонтальными турбулентными движениями жидкости. Кроме того, перенос загрязняющих субстанций потоком может, как указано, например, в [3, 4], существенным образом зависеть от такой турбулентной характеристики потока, как скорость диссипации кинетической энергии турбулентности. Поэтому используемые в настоящей работе уравнения теории мелкой воды дополняются членами, описывающими горизонтальную турбулентную вязкость. Последняя вычисляется с помощью усредненной по глубине акватории полуэмпирической двухпараметрической q-& модели турбулентности [5]. Сформулированная в настоящей работе модель позволяет вычислять возмущенные сооружением усредненные по глубине поле скорости воды, поле кинетической энергии турбулентных пульсаций потока, поле скорости диссипации энергии турбулентности, а также связанные с данными величинами поля коэффициентов горизонтального турбулентного обмена.

Несмотря на значительный прогресс в области численных методов динамики жидкости и газа (см., например, монографии [2, 6, 7, 8]), в настоящее время не существует универсальных вычислительных алгоритмов, удовлетворительно работающих для широкого круга задач и в широком диапазоне определяющих параметров. Потребности практики до сих пор стимулируют появление новых разностных схем и методов. Для численного решения упомянутой в предыдущем абзаце гидродинамической модели в настоящей диссертации разработана специальная вычислительная методика, достоинства которой состоят не в экономичности и высокой скорости счета, а в простоте реализации и универсальности. Особенности методики состоят в использовании неявной разностной схемы, разрешаемой с помощью простой итерационной процедуры, матрица перехода которой является диагональной. Отметим, что последнее обуславливает возможность сравнительно простого применения многопроцессорных вычислительных средств, что до некоторой степени компенсирует такой недостаток, как относительно низкая скорость сходимости данного алгоритма. Приводимые в диссертации примеры расчетов показывают, что предлагаемая методика позволяет с единых позиций рассчитывать стационарные и нестационарные, в том числе и турбулентные, течения несжимаемой или слабо сжимаемой жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса (от движений невязкой жидкости до режимов течения Стокса).

Расчетные или экспериментально определяемые характеристики гидродинамических полей служат одними из исходных данных для прогноза распространения загрязняющих субстанций в морской среде. В настоящее время при численной реализации прикладных задач подобного типа предпочтение отдается методам «блуждающих частиц», основанных на лагранжевом описании адвективного движения отдельных невзаимодействующих частиц-маркеров. При этом для имитации пульсационных компонент скорости потока, обеспечивающих турбулентное блуждание маркеров, используются датчики случайных чисел (см., например, [4, 9-13]). Несмотря на явные достоинства, заключающиеся, прежде всего, в простоте реализации, эти статистические методы обладают известными недостатками, не позволяющими давать надежные предсказания поведения решения в областях с малыми концентрациями загрязняющих субстанций и делать обоснованные прогнозы на длительные периоды времени и в дальней окрестности источника загрязнения, а также затрудняющие в этом случае исследование распространения взвешенных веществ сложного фракционного состава.

В отличие от цитированных выше работ, в разработанной и реализованной в диссертации математической модели используется смешанный лагранжево-эйлеров подход, а также принцип суперпозиции, позволяющий представить распространение загрязняющих субстанций (ЗС) в виде движения отдельных невзаимодействующих «эллиптических облаков», порождаемых источником загрязнения. Данная модель согласована с упомянутой выше гидродинамической моделью, является двумерной (осредненной по глубине акватории) и учитывает такие существенные особенности рассматриваемого явления, как а) мультидисперсность различных твердых фракций ЗС; б) турбулентный характер переноса ЗС, приводящий к явной зависимости коэффициента горизонтальной диффузии от линейного размера «облака» загрязнения (закон «4/3», обнаруженный Ричардсоном [14] и теоретически обоснованный Колмогоровым и Обуховым [15, 16]); в) временную изменчивость скорости течения как по величине, так и по направлению; г) крупномасштабные неоднородности горизонтального поля скорости воды в акватории; д) возможный длительный (порядка одного года и более) характер проведения работ; е) возможность перемещения источника ЗС в течение проведения работ.

Структура работы

В ГЛАВЕ 1 диссертации представлена разработанная автором методика расчета течений несжимаемой или слабо сжимаемой вязкой жидкости. Представлена система уравнений, с использованием которой проводится описание методики, неявная разностная схема, итерационная процедура и ее приближенная оптимизация для обеспечения наименьшего числа итераций, необходимых для решения задачи.

Возможности представленной методики демонстрируются на примере двух тестовых двумерных задач:

- расчет течения вязкой жидкости в квадратной каверне, вызванного движением ее верхней «крышки»;

- моделирование нестационарного движения плоской струи тяжелой невязкой жидкости в газе.

ГЛАВА 2 диссертации посвящена расчету гидродинамических полей вокруг сооружения, размещенного на океаническом шельфе. Представлены общие физические концепции, полагаемые в основу модели. Описаны уравнения движения (уравнения Сен-Венана, дополненные членами, моделирующими горизонтальный турбулентный обмен) и уравнения для моделирования параметров турбулентности (усредненные по глубине акватории уравнения полуэмпирической q-со модели турбулентности). Приводится вычислительная методика решения уравнений: кратко описывается применяемый в работе способ построения разностных сеток, основанный на применении барьерного вариационного метода Иваненко-Чарахчьяна [17, 18], уравнения модели и разностная схема формулируются с использованием криволинейной системы координат, обсуждается постановка краевых условий, описываются особенности итерационной процедуры, применяемой для решения системы разностных уравнений. Далее приводятся примеры некоторых методических расчетов, демонстрирующих сходимость численного решения рассматриваемой задачи при уменьшении размеров ячеек разностной сетки. В конце ГЛАВЫ 2 представлены результаты прогнозных расчетов гидродинамических полей около судна катамаранного типа, установленного для разведочного бурения на дно северной части Каспийского моря.

В ГЛАВЕ 3 описывается математическая модель «эллиптических облаков», предназначенная для прогноза распространения ЗС в прибрежной области моря. Формулируются общие концепции, положенные в основу модели. Описывается используемая для расчета эволюции отдельного облака двумерная (осредненная по глубине) диффузионно-дрейфовая модель переноса с коэффициентом диффузии, определяемым обобщенным законом «4/3» Ричардсона. Показывается, что задача моделирования распространения облака мультидисперсных ЗС в двумерной постановке сводится к расчету распространения монодисперсной ЗС, но со скоростью осаждения, зависящей от времени. Рассматривается процесс распространения ЗС сначала в однородных, а затем в неоднородных гидродинамических полях и обсуждается алгоритм формирования облаков ЗС, который используется в работе при моделировании распространения взвешенных веществ, порождаемых непрерывными источниками загрязнения. С целью тестирования представленного выше метода «эллиптических облаков» рассматривается задача о распространении монодисперсной ЗС от изотропного точечного источника, помещенного в однородный и стационарный турбулентный поток жидкости.

В конце ГЛАВЫ 3 приводятся примеры расчетов пространственно-временной эволюции концентрации взвешенных веществ, появление которых в водной толще обусловлено длительными (3 года) периодическими сбросами размельченного и разжиженного бурового шлама и твердых компонент бурового раствора с буровой платформы, сооруженной на северо-восточном шельфе о. Сахалин.

В ПРИЛОЖЕНИИ 1 к диссертационной работе приведены эмпирические формулы, связывающие кинетическую энергию турбулентных пульсаций со средней скоростью потока вдали от обтекаемого объекта, которые были использованы в практических расчетах.

В ПРИЛОЖЕНИИ 2 на примере обтекания плоской стенки проведено тестирование используемой в настоящей работе методики расчета напряжений трения на поверхности обтекаемого объекта.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ формулируются основные результаты работы.

Публикации по теме диссертации насчитывают 8 работ [52-59].

Основные результаты, полученные в работе, сводятся к следующему.

1. Разработана численная методика расчета движений несжимаемой и слабо сжимаемой жидкости, с единых позиций позволяющая рассчитывать разнообразные стационарные и нестационарные, в том числе и турбулентные, течения в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Представленная методика не является экономичной, однако проста в реализации и обладает высокой универсальностью. Приводимые в диссертации результаты расчетов подтверждают работоспособность данной методики.

2. Разработана и реализована двумерная нестационарная математическая модель течения воды вокруг гидротехнического сооружения, размещенного на океаническом шельфе. Созданная модель позволяет вычислять возмущенные сооружением усредненные по глубине поле скорости воды, поле кинетической энергии турбулентных пульсаций потока, поле скорости диссипации энергии турбулентности, а также связанные с данными величинами поля коэффициентов горизонтального турбулентного обмена.

3. С помощью разработанной математической модели проведены прогнозные расчеты характеристик гидродинамических полей вокруг объекта, размещенного для разведочного бурения на шельфе Северного Каспия.

4. Разработана и реализована математическая модель для прогноза распространения загрязняющих веществ в шельфовой области окраинных или внутренних морей. Предназначенная для оценок длительного (порядка одного года и более) антропогенного воздействия на окружающую среду, эта модель учитывает такие существенные особенности рассматриваемого явления, как турбулентный характер переноса загрязняющих субстанций, а также пространственную и временную изменчивость поля скорости течения в акватории.

5. С помощью представленного в диссертации комплекса моделей проведены прогнозные оценки воздействия на окружающую среду периодических сбросов отходов буровых работ, проводимых на стационарной буровой платформе, размещенной на северо-восточном шельфе о. Сахалин.

Заключение

1. Волъцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. JI: Гидрометеоиздат, 1977.

2. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. -М.: Физматлит, 2001.

3. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, Часть 1, 1965; часть 2, 1967.

4. Озмидов. Р.В. Диффузия примесей в океане. JL: Гидрометеоиздат, 1986.

5. Coacley T.J. Turbulence modeling methods for the compressible Navier-Stokes equations: AIAA Paper, 1983, №83-1693.

6. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984.

7. Головачев Ю.П. Численные методы решения уравнений гидрогазодинамики. Изд-во СПбГТУ, 1997.

8. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992.

9. Дмитриев Н.В., Двуреченская Е.А. Численный анализ переноса примеси для верхних турбулентных слоев морей и океанов // Метеорология и гидрология. 1994. №12. С.53-62.

10. Зайцев О.В., Зайцева Т.В. Моделирование переноса примеси в прибрежной зоне методом Монте-Карло // Труды ДВНИИ. 1984. Вып. 131. С.50-61.

11. Коротенко К.А., Лелявин С.Н. Расчет переноса примеси в море методом блуждающих частиц // Океанология. 1990. Т.ЗО. Вып.5. С.930-936.

12. Кочергин В.П., Боровиков А.Г. Трехмерная численная модель распространения примеси в прибрежной зоне глубокого водоема // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. Т. 16. №7. С.729-737.

13. Кочергин И.Е., Севастьянов А.В., Федоров Э.В. Численное моделирование динамики распространения взвешенных веществ в открытом океане//Тр. ДВНИГМИ. 1992. Вып.137. С.215-218.

14. Richardson L.F. Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbor graph // Proc. Roy. Soc. 1926. Ser. A. V. 110. N. 756. P. 709.

15. Колмогоров A.H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. Т.ЗО. №4. С. 299.

16. Обухов A.M. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1941. Т. 5. № 4-5. С. 453.

17. Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Алгоритм построения криволинейных сеток из выпуклых четырехугольников // Доклады АН СССР. 1987. Т. 295. №2. С.280.

18. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сетки //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. №11. С. 1662.

19. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

20. Тетат R. Une methode de'approximation de la solution des equations de Navie-Stokes//Bui. Soc. Math. France. 1968. T. 96. P. 115-152.

21. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. №1. С. 197207.

22. Годунов B.C., Рябенький С.К. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

23. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990.

24. Sang-Wook Kim. A fine grid finite element computation of two-dimensional high Reynolds number flows. I I Comput. Fluids. 1988. V. 16. №4. P. 429444.

25. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re solution for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method. // J. Comput. Phys. 1982. V.48. №3. P. 387-411.

26. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1991. Т.2.

27. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

28. Озмидов. Р.В. О некоторых особенностях энергетического спектра океанической турбулентности // ДАН СССР.1965. Т. 161. № 4 .С. 828.

29. Пухтяр Л.Д., Осипов Ю.С. Турбулентные характеристики прибрежной зоны моря // Труды ГОИН. 1981. Вып.158. С.35.

30. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989.

31. Wolanski Е., Asaeda Т., Тапака A., Deleersnijder Е. Tree-dimentional island wakes in the field, laboratory experiments and numerical models // Continental Shelf Research. 1996. V. 16. No. 11. P. 1437.

32. Komepoe B.H., Савельев А.Д., Толстых A.M. Численное моделирование аэрооптических полей около приемного порта воздушной обсерватории //Математическое моделирование. 1997. Т. 9. №1. С. 27.

33. Coacley T.J. Numerical simulation of viscous transonic airfoil flows: AIAA Paper. №87-0416.1987.

34. Vuong S.T., Coacley T.J. Modeling of turbulence for hypersonic flows with and without separation: AIAA Paper. 1987. №87-0286.

35. Knight C.J., Choi D. Development of a viscous cascade code based on scalar implicit factorization: AIAA Paper. 1987. №87-2150.

36. Иванов М.Я., Крупа В.Г. Неявный нефакгоризованный метод расчета турбулентных течений вязкого теплопроводного газа в решетках турбомашин // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. №5. С. 754.

37. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

38. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1976.

39. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, часть II. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963.

40. Гущин В.А. Метод расщепления для задач динамики неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т.21. №4. С.1003.

41. Кривцов В.М. Численные алгоритмы вязкой жидкости (курс лекций). МФТИ, 1997.

42. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

43. Гидрометеорологические условия шельфовой зоны морей СССР. Т 2. Каспийское море. Вып. 2. Северный Каспий. JI: Гидрометеоиздат, 1986.

44. Van Rijn L. Principles of sediment transport in rivers, estuaries and coastal seas. Amsterdam: Aqua Publications, 1993.

45. Kosyan R., Pykhov N. Edge B. Coastal Processes in Tideless Seas. ASCE Press, Reston, Virginia, USA, 2000.

46. Bao-Shi-Shiau, Jia-Jung Juang. Numerical Study on the Far Field Diffusion of Ocean Dumping for Liquid Waste // Proceedings of the Eighth (1998) International Offshore and Polar Engineering Conference. Canada. May 2429. 1998.

47. Архипов Б.В., Котеров B.H., Солбаков B.B. Модель АКС для прогноза распространения промышленных сбросов с морских буровых платформ // Сообщения по прикладной математике. М.: Вычислительный центр РАН, 2000.

48. Шец Дж. Турбулентное течение. (Процессы вдува и перемешивания). Пер. с английского. М.: Мир, 1984

49. Winterwerp J.С. A simple model for turbulence induced flocculation of cohesive sediment // J. Of Hydraulic Research. 1997. V.36. N.3. P.309-326.

50. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow // NASA Tech. Note. 1954. N.1174.

51. Архипов Б.В., Котеров B.H., Кочерова A.C., Солбаков В.В., Хубларян Г.М. Моделирование обтекания гидротехнического сооружения в шельфовой области моря // Водные ресурсы. 2003. Т. 30. № 6. С. 1-7.

52. Kocherova A.S., Koterov V.N., Krivtsov V.M. On one method of calculation of incompressible liquid flow. // Abstracts of the seventh Russian-Japanese international symposium on computational fluid dynamics. Moscow State University. M.: 2000, p. 25-26.

53. Kocherova A.S., Koterov V.N., Krivtsov V.M. On One Computational Method for Incompressible Liquid Flow // Computational Fluid Dynamics Journal. 2002. V.ll. №2. P.173-177.

54. Кочерова A.C. Численное моделирование гидродинамических полей вокруг сооружения, размещенного на океаническом шельфе. Сообщения по прикладной математике. М.: Вычислительный центр РАН, 2003,49 с.

55. Архипов Б.Н., Котеров В.Н., Кочерова А. С., Солбаков В.В., Хубларян Г.М. Расчет распространения взвешенных веществ в прибрежной области моря // Водные ресурсы. 2004. Т.31. №1. С. 1-9.