автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование гидродинамических фильтрационных течений к горизонтальным скважинам при нелинейных законах сопротивления среды

На правах рукописи

Коротеев Максим Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ К ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ СКВАЖИНАМ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНАХ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЬ!

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

А. П. Черняев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Е. В. Захаров

доктор технических наук

А. П. Куршин

Ведущая организация:

Военно-инженерный университет

Зашита диссертации состоится " 13" мая . 2004 г. в на заседании диссертационного совета Д 215.001.01, ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского,

по адресу: 125190, г. Москва, Планетная, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВВИА.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В последние десятилетия, как в нашей стране, так и за рубежом активно развивается технология бурения горизонтальных скважин. Известно, что нефть, природный газ, а также подземные воды часто залегают в пористых пластах, имеющих непроницаемую кровлю и подошву. Ранее для извлечения их всегда использовалась технология бурения вертикальных скважин. При добыче, скажем, нефти или газа, постоянно возникает проблема более полной выработки вскрытого пласта. Невозможность обеспечить приемлемый уровень выработки приводит к тому, что в пласте может остаться более половины флюида. Для решения этой задачи применяются различные методы, основанные на тщательной геологической разведке пласта, а также на применении вспомогательных нагнетательных скважин. Кроме того, увеличивающееся потребление жидких углеводородов в мировой промышленности также остро ставит вопрос о.более полной выработке имеющихся месторождений. И здесь положительную роль играет как раз применение горизонтальных скважин. Преимущества горизонтальных скважин перед обычными достаточно очевидны. Горизонтальная скважина имеет гораздо большую область дренирования. Это становится особенно актуальным в случае, когда пласт имеет малую продуктивную толщину, что в случае вертикального бурения приводит к необходимости использовать большое количество вертикальных скважин. Таким образом, применение горизонтальных скважин позволяет в < целом ряде случаев значительно повысить продуктивность выработки пластов.

Кроме того, следует упомянуть такие важные аспекты применения горизонтальных скважин, как бурение в тех местах, где применение вертикальных скважин попросту невозможно, например, если нефтяной пласт находится под природным заповедником или верхние слои над пластом чрезвычайно трудны для бурения. Горизонтальные скважины могут быть также использованы на месторождениях ранее уже разработанных вертикальными скважинами и не дающих приемлемых дебитов, а вследствие этого просто оставленных. Кстати, в этом случае ситуация дополнительно облегчается тем, что нередко имеется возможность бурения горизонтальной скважины начиная не с поверхности земли, а пользуясь уже пробуренными и не использующимися вертикальными скважинами. В этом случае осуществляется бурение просто горизонтальных стволов из вертикальных скважин, причем ясно, что их можно бурить несколько, на разных высотах и в различных направлениях.

Для исследования течений флюидов вблизи тариулгпшьнш ггпаиип рггиг"" используются численные методы. Возникающие при это*

риуртпьт,п- г*-1""*™"-Р"™

СП

о»

адекватной схемы вблизи скважины, ибо при разбиении области течения сеткой на отдельные элементы нужно, чтобы это разбиение было достаточно крупным и скважина, которая имеет конечный диаметр, попала бы внутрь одного из элементов. В дальнейшем, возникает задача нахождения давления именно в этом элементе. Кроме того, поскольку реальные нефтяные пласты имеют, как правило, большую протяженность, то их разработка производится обычно большим количеством скважин. При этом, в окрестности каждой скважины возникает одна и та же задача построения расчетной сетки адекватно описывающей течение вблизи скважины. Измельчение сетки оказывается слишком неэффективной процедурой для этого, поскольку течения в прискважинных зонах характеризуется высокими градиентами параметров, описывающих течения, что требует слишком больших затрат машинного времени и ресурсов, несмотря даже на большие мощности современных вычислительных систем. В целом, для полного расчета пласта с большим количеством скважин это оказывается неприемлемым. Поэтому предлагаются различные специальные модели течений в окрестности скважин, в которых обычные разностные соотношения заменяются другими дискретными соотношениями..

Заметим, что присквалинная область может или совпадать, с ячейкой сетки, содержащей скважину или выбираться отдельно, независимо от сетки. Однако в литературе нет однозначного ответа на вопрос, как следует выбирать эту прискважинную область. Обычно это делают отдельно в каждом конкретном случае в зависимости от многих факторов, таких, например, как геологическое строение пласта. В вопросе построения моделей течения в прискважинной области следует упомянуть важнейшую работу Писмена1, в которой проведено тщательное исследование модели течения вблизи скважины. Основная идея этой работы состоит в том, что, во-первых, течение в прискважинной области предполагается радиальным, а во-вторых, что для расчета течения вблизи скважины вводится понятие эффективного радиуса, с помощью которого расчет ведется на основании обычных разностных соотношений. Вместо собственно давления на забое скважины используется «эффективное» давление, соответствующее указанному эффективному радиусу. Позднее аналогичный подход был развит Писмеиом и для горизонтальных скважин2. Однако в некоторых более поздних работах3,4 было показано, что для

1 Peaceman D. W. Interpretation of well-btock pressure in numerical reservoir simulation. - SPE

Paper 6893, SPE Journal, Trans. AIME 253 (1978). -P. 183-194.

1 Peaceman D. W. Reperesentation of a horizontal well in numerical reservoir simulation. - SPE

Paper-21217, Proceedings of И* SPE symposium on reservoir simulation, Anaheim, February,

горизонтальных скважин методика Писмсна оказывается неприменимой в ряде практически важных случаев. Альтернативный метод моделирования был предложен Бабу3. Здесь соотношения для прискважинной области получались из рассмотрения задачи для пласта в целом. Указанный подход развивался Бабу и позднее6, что породило даже довольно интенсивную научную дискуссию между двумя этими крупными специалистами в теории фильтрации. Заметим, что, как Писмен, так и Бабу использовали в своих работах линейный закон фильтрации Дарси, однако вблизи скважин этот закон перестает выполняться, применять его можно с некоторой условностью и, вообще говоря, следует пользоваться более сложными, нелинейными законами фильтрации.

Таким образом, проблема адекватного описания фильтрационного течения вблизи скважин, и, в частности, горизонтальных скважин, продолжает в настоящее время оставаться актуальной. В первую очередь здесь следует обратить внимание на недостаточное на наш взгляд применение аналитических моделей. Аналитические модели имеют то очевидное преимущество, что позволяют в принципе, довести решение задачи до готовых точных формул, что должно весьма облегчить последующий численный расчет в соответствии с этими моделями. Вторая проблема, которая требует более детального рассмотрения и о которой мы кратко упомянули выше, это применение нелинейных законов фильтрации в современной теории и практике расчета нефтяных скважин. Нелинейные законы фильтрации нередко представляют собой соотношения описывающие течения в областях больших и малых скоростей фильтрации значительно более точно, нежели линейный закон фильтрации. При. рассмотрении, например, высокодебитных скважин почти неизбежно следует пользоваться более точными нелинейными формулами. В этом смысле, подход развитый в

1 Moitia N-, Singh S. P., Chen S. H., Whitfill D. L. Three-Dimensional well model preprocessors for reservoir simulation with horizontal and curved inclined wells. Paper SPE 20718 presented at the 65 Annual Technical conference and exhibition of the society of petroleum engineers. New Orleans, LA, USA, September 1990, pp. 49-64.

4 Lee S. H., Milliken W. J. The productivity index of an inclined well in finite difference reservoir simulation. Paper SPE 25247 presented at the 12 th SPE symposium on reservoir simulation, New Orlean, USA, February, 1993, pp. 143-153.

1 Jasti J. 1С, Peiunatcha V. R^ Babu D. 1С Use of analytical solution in improvement of simulator accuracy. SPE 3S887 presented at SPE annual technical conference and exhibition, San-Antonio, Texas, USA, 1997.

* Babu D. K., Odeh A. S., Al-Khalifa A. J., McCann R. С The relation between wcllblock and wellbore pressures in numerical simulation of horizontal wells. - SPE Paper 23S25, SPE Journal (1990). - P. 324-328.

работах Писмена, Бабу и их последователей требует дальнейшего развития и уточнения. Применение нелинейных законов фильтрации позволит более адекватно проводить рассмотрение течений в прискважинной области и повысить их точность, а вместе с применением аналитических методов это позволит, как нам представляется, получить определенные результаты в вопросе более полной выработки имеющихся в настоящее время ресурсов жидких углеводородов и сохранения месторождений от варварского и нерационального использования. Цель работы.

Целью настоящей работы является построение аналитических моделей фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при двух нелинейных законах фильтрации - степенном законе фильтрации и модифицированном законе фильтрации В. В. Соколовского Методы исследования.

В работе применялись несколько известных методов математической физики. Во-первых, поскольку рассматриваемые задачи являются нелинейными, для их линеаризации применялся метод перехода в плоскость годографа. Во-вторых, для построения решения задачи о фильтрации по степенному закону мы использовали метод источников и стоков. И наконец, задача о фильтрации по закону В. В. Соколовского решалась с применением методов теории аналитических функций. Для вычисления интегралов, полученных в работе, использовался алгоритм, основанный на квадратурной формуле Симпсона с автоматическим подбором шага интегрирования, реализованный в пакете MatLab. Научная новизна.

В настоящей работе построены новые точные аналитические решения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации и при законе фильтрации В. В. Соколовского.

Построена модель горизонтальной скважины в пласте большой протяженности и описано ее представление в переменных годографа.

В решении задачи о фильтрации по степенному закону показано, что при решении этой задачи существенную роль играет решение задачи фильтрации к горизонтальной скважине по линейному закону и в структуре построенного решения в явном виде выделена линейная и нелинейная части.

Для задачи фильтрации по степенному закону проведены расчеты по сопоставлению величин напоров для этого закона и линейного закона фильтрации.

Проведено сравнение напоров при фильтрации к горизонтальной скважине по степенному закону и при радиальной фильтрации по степенному закону.

Решение задачи фильтрации к горизонтальной скважине при модифицированном законе фильтрации В. В. Соколовского получено в элементарных функциях. Теоретическая и практическая ценность полученных результатов заключается в следующем:

1. Получены новые точные аналитические решения двух задач нелинейной фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальным скважинам, которые могут быть использованы для оценки точности того или иного численного метода.

2. Для построения этих решений был использован известный в механике метод перехода в плоскость годографа.

3. Полученные аналитические решения могут быть применены в численных расчетах фильтрационных течений вблизи горизонтальных скважин взамен использующихся приближенных моделей, которые основаны на линейном законе фильтрации и требуют больших ресурсов машинного времени для расчетов.

4. В работе рассматривались исключительно нелинейные законы фильтрации в отличие от широко распространенного линейного закона, который, в основном, и применялся для расчетов пластов с системами горизонтальных скважин. Рассмотрение более точных нелинейных законов фильтрации вместе с построенными для них точными решениями может быть применено для более точного расчета нефтеносных пластов.

5. На основании построенных моделей уже стало возможным сопоставить величины напоров в случае линейной и нелинейной фильтрации, а при полном расчете пласта с использованием полученных решений возможно получение детальной информации о напорах и давлениях вблизи скважины и на ее забое, что является принципиальным вопросом при бурении и добыче нефти.

На защиту выносятся следующие научные положения:

1. Математическая модель стационарного течения несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации и модифицированном законе фильтрации В. В. Соколовского.

2. Точные аналитические решения двух задач нелинейной фильтрации, полученные с применением преобразования к переменным годографа.

3. Сопоставление на основании аналитических методов и расчетов напоров в окрестности горизонтальной скважины для линейного, степенного и двучленного законов фильтрации.

4. Поведение линий тока в окрестности скважины при различных значениях показателя степени в степенном законе фильтрации указывает на сложный и не радиальный характер течения вблизи скважины.

5. Сопоставление напоров на основании аналитического рассмотрения и численных расчетов для линейного закона фильтрации Дарси и степенного закона фильтрации для течения в окрестности горизонтальной скважины. Апробация работы.

Результаты представленных в диссертации исследований докладывались на следующих научных конференциях:

международных научно-технических конференциях и школах молодых ученых и специалистов "Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий". Москва-Сочи в 2001 и 2002 гг;

Уш -ой международной конференции «Математика, компьютер, образование». (Москва-Пущино, 2001);

конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 2002);

ХЬШ - ой научной конференции МФТИ (Москва-Долгопрудный, 2000). Публикации

Основное содержание диссертационной работы отражено в тезисах и трудах 5 международных и Всероссийских конференций, 5 статьях в реферируемых журналах и сборниках трудов конференций и 1 монографии. Структура диссертации.

Работа состоит из введения, 2 глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 53 наименования. Работа изложена на 110 страницах машинописного текста и содержит 14 рисунков и графиков.

Обзор содержания диссертации

В первой главе настоящей работы была построена аналитическая модель стационарной фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации.

В первом параграфе этой главы рассмотрена математическая модель притока жидкости к горизонтальной скважине.

Мы рассматриваем плоское установившееся движение несжимаемой однофазной жидкости в пласте к горизонтальной скважине, которая расположена на оси Ог.. Пласт представляет собой бесконечную горизонтальную полосу в плоскости (х,у) ширины 2Л с непроницаемой кровлей и подошвой (рис. 1). В центре пласта, то есть на равном расстоянии

от его кровли и подошвы, находится горизонтальная скважина, которая представляется в виде точечного источника, расположенного в начале координат. В рассматриваемой постановке течение является симметричным как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу(рис. 1).

В данной работе моделирование задач нелинейной фильтрации проводилось с помощью применения преобразования годографа. Преобразование годографа заключается в том, что от исходных переменных физической плоскости (х,у) осуществлялся переход к

новым переменным где - модуль вектора скорости фильтрации н> = где, в

свою очередь и и V суть компоненты вектора скорости фильтрации, соответственно, по осям х и у, а в есть угол наклона вектора скорости фильтрации в данной точке поля течения.

Исходная область течения в физической плоскости изображена на рис. I и задается условиями хе [0,+оо)1 уе [0,й], где 2Л - ширина пласта. При отображении на плоскость годографа эта область переходит в полуполосу 0£и><+со}, показанную

на рисунке 2.

Основным соотношением, описывающим движение флюида в пористой среде является закон фильтрации'. Нередко вместо давления рассматривается величина, которая носит название напора. В данной работе для построения моделей фильтрации жидкости к горизонтальной скважине использовался обобщенный напор1:

Здесь где к - коэффициент проницаемости пористой среды, который зависит только от свойств данной пористой среды, а фильтрующейся жидкости.

Основное соотношение теории фильтрации мы рассматриваем в виде:

где функция Ф(м>) определяет собой закон фильтрации.

' Басниев К. С, Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. - М.: Недра, 1993.-416 с.

' Бернадинер М. Г., Екгов В. М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. - М.: Наука, 1975. - 200 с.

После применения преобразования годографа для функций Н и ^ получается следующая система линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами9:

где у функция тока течения. Поскольку при моделировании горизонтальной скважины в задаче явным образом присутствуют непроницаемые твердые стенки, то в качестве искомой функции в таких задачах принимается функция тока, так как граничные условия для нее в этом случае формулируются гораздо проще, чем для напора. Эти граничные условия имеют вид:

Для функции тока из системы (2) получается уравнение

д_ дм

( Ф» Фна*»,

V? де>- ■

И'Ф'(и') дю

(4)

Таким образом, в плоскости годографа (у/,в) мы получили следующую краевую задачу. Необходимо найти решение уравнения (4) в неограниченной области с разрывными краевыми условиями (3). Дальнейшее рассмотрение зависит от применяемого закона фильтрации, который описывается введенной выше функцией

Во втором параграфе первой главы рассмотрено-преобразование функций течения для модели фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при линейном законе Дарси на плоскость годографа.

Закон Дарси является наиболее простым и часто использовавшимся законом фильтрации. Мы рассматривали его в виде10:

Здесь w - скорость фильтрации, Н - обобщенный напор.

' Христианович С. А. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси // ПММ. -1940. - Т. IV. - вып. 1. - С. 33-52.

10 ЦЦелкачев В. Н., Лалук Б. Б. Подземная гидравлика. - Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 736 с.

В соответствии с соотношением (1) тот же закон фильтрации можно выразить следующим соотношением:

ф(и>)= и>,

В физической плоскости

Н0 =—— 1п($Ь>1кх + 8т1л9') 4 я

(5)

а функция тока представляется (

Фо=Т~ «>^(сЛ тх ту) -2п

(6)

Здесь т = я/2к, где И - половина толщины пласта, а () - расход. На рис 3 и 4 представлена картина линий тока и линий напора течения жидкости к горизонтальной скважине при линейном законе фильтрации Дарси.

На основании общего вида закона фильтрации (1) и соотношения (5) в работе была получена связь между переменными плоскости годографа и переменными физической

плоскости (хЛ). Она имеет еле, " j

бЬ2 тх =— +

1+5

• I 1

бщ ту- — л-

г гй -2.1 сое 20+5*

2Т2-(/1-25С0825 + 52 *

где введено обозначение

Для напора и функции тока были получены соотношения

где, как и ранее

В третьем параграфе первой главы была построена модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации.

" Лейбензон Л. С. Нефтепромысловая механика. - М.: Госгеонефтеиздат, 1934. - ч. 2. - С.

Степенной закон фильтрации является вполне естественным обобщением линейного закона Дарси на случай больших скоростей. Наличие степени выше первой позволяет учесть влияние инерционных сил, которые существенны при больших скоростях фильтрации и определяются нерегулярными и быстрыми изменениями величин и направлений скоростей флюида при взаимодействии его с пористой средой, что приводит к вихревому характеру движения жидкости.

Формула для степенного закона фильтрации в переменных годографа имеет вид:

В равенстве (9) л есть константа, причем из физического смысла задачи мы предполагаем, что л>1. Заметим также, что случай И=1 соответствует задаче с законом фильтрации Дарси, решение для которой дается формулой (8).

Подставляя выражение (9) в основное уравнение (4), после некоторых преобразований было получено линейное однородное уравнение в частных производных второго порядка типа уравнения Гельмгольца, которое вместе с граничными условиями (3) определяют постановку задачи для степенного закона фильтрации1.2.

Для решения этой задачи мы преобразовываем граничные условия (3) и полученное уравнение следующим образом. Вводится в рассмотрение функция ¥ такая, что:

где у — функция тока для степенного закона фильтрации, а уо - функция тока для задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при законе фильтрации Дарси, которая дается выражением (8). Затем ставится краевая задача для функции Т. Поскольку как для задачи со степенным законом фильтрации, так и для задачи с законом фильтрации Дарси граничные условия одинаковы, то в задаче, формулируемой для функции ¥ граничные условия будут нулевыми, то есть:

11 Черняев А. П, Коротеев М. В. Нелинейные фильтрационные модели притока жидкости к горизонтальной скважине // Сб. трудов межд. конф. «Математика, компьютер, образование». - ч. 2. - вып. 8. - М.: Прогресс-Традиши, 2001. - С. 323-328.

Уравнение для функции Ч* будет, естественно, уже неоднородным. Оно имеет вид:

а'« а» IV а'», М|.а», ,аЧ0] п ди-1 д* дв1 )_п а*1 ду* ьвх ]

*°х[га О*»«,*'»»

иходим к уравнению

Затем, в результате ряда преобразований приход

где а При

переходит в полосу

Фундаментальное решение однородного уравнения в плоскости обладает тем

этом исходная полуполоса

свойством, что оно зависит лишь от расстояния до точки ноль, то есть, от и

имеет логарифмическую особенность в этой точке. Это решение представляется следующим образом13:

Здесь К^2,0) - функция Макдональда нулевого порядка. Чтобы найти решение в полосе ге (-»,+«3)1 ве [о.л/2], строилась функция источника или функция Грина, что одно и то же, для однородного уравнения типа Гельмгольца. После этого решение неоднородного уравнения (12) может быть найдено по второй формуле Грина. Как известно, значение в некоторой точке искомой функции, представляется в формуле Грина через фундаментальное решение, расположенное в этой точке. Таким образом, для построения функции источника поместим источник в произвольной точке (2, в) и методом отражений относительно линий в добьемся того, чтобы на этих линиях функция источника обращалась в ноль. В

Г 14 15

результате приходим к бесконечной системе источников .

11 Тихонов А. Н, Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. — 735 с.

14 Полянин А. Д. Справочник. Линейные уравнения математической физики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.-575 с.

" Черняев А. П, Коротеев М. В. Построение функции Грина в плоскости годографа для задачи нелинейной фильтрации к горизонтальной скважине по степенному закону // Сб. тезисов Х1Л11 конф. МФТИ. - ч. 7. - Москва-Долгопрудный, 2000. - с. б.

Выполняя обратные преобразования, находим, что функция Грина в переменных годографа имеет вид:

Решение уравнения (12) было получено в виде:

Вычисляя производные, стоящие под интегралом, получили окончательно следующее выражение для функции тока течения жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации

где

Полученное решение имеет весьма характерную структуру, представляя собой сумму двух слагаемых, первое из которых есть линейная составляющая функции тока соответствующая закону Дарси, а второе представляет собой нелинейный член, учитывающий отклонения от линейного закона.

В четвертом параграфе первой главы диссертации рассмотрен вопрос о радиальности течения в малой окрестности горизонтальной скважины при степенном законе фильтрации. На основании изучения предельного поведения производной напора по углу, которая получается на основании построенного решения, показано, что при значениях показателя степени больших трех зависимость от угла не исчезает при приближении к скважине, в то время, как для значений п меньших или равных трех течение остается радиальным.

Во второй главе работы строится модель для решения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе фильтрации В. В. Соколовского, а также изучается соотношение между напорами для линейного закона фильтрации, степенного закона и закона Соколовского в случае радиальной и нерадиальной фильтрации.

Первый параграф главы посвящен общему описанию и построению модели.

В связи со значительной сложностью краевых задач, возникающих в теории фильтрации даже после перехода к переменным годографа, возникают попытки предложить такие законы фильтрации, которые, с одной стороны, давали бы достаточно хорошее согласие с опытом, а с другой стороны, позволяли бы каким-либо образом упростить рассматриваемые уравнения. Один из таких законов был предложен В. В. Соколовским16 и имеет в плоскости годографа вид:

Особенность этого закона состоит в том, что для него напор оказывается аналитической функцией от некоторой комплексной переменной Кроме того, было замечено, чю ее.ш в соотношении (15) заменить знак минус в скобках на плюс, то свойство напора быть аналитической от некоторой комплексной переменной сохраняется18. В то же время, при такой замене мы получим закон фильтрации, который может быть применен и к течениям с большими скоростями фильтрации, как в случае притока к горизонтальной скважине. Таким образом, рассматривается течение с законом фильтрации:

16 Соколовский В.В. О нелинейной фильтрации грунтовых вод // ПММ. - 1949. - Т. XIII. -вып. 5.-С. 525-536.

" Бернадинер М. П, Ентов В. М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. - М.: Наука, 1975. - 200 с.

" Шешуков Е. Г., Фомин В. М. К нелинейной теории фильтрации. — Сб. «Вакуумная техника», вып. 2. Таткнигоиздат, 1970.

который в дальнейшем называется модифицированным законом Соколовского и применяется для построения решения задачи о притоке жидкости к горизонтальной скважине".

В плоскости годографа, подставляя выражение (16) в исходную систему (2), получаем

Переменные коэффициенты, возникающие в обоих уравнениях системы (17) одинаковы и, следовательно, могут быть исключены подходящей заменой. Сделав в уравнениях (17) замену переменной г (-к) так, чтобы избавиться от этих коэффициентов, мы получили систему Коши-Римана. Уравнения для функций ф и Н представляют собой в этом случае уравнения Лапласа.

Во втором параграфе данной главы проводится построение решения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе В. В. Соколовского в плоскости годографа.

Область в плоскости переменных (и», в) представляла собой полуполосу

. После преобразования переменной полуполоса переходит в новую полуполосу в е г е (-оо,1пи]. На • границах этой области для функции тока

сохраняются те же значения, что и в (3), подобно тому, как это было в предыдущей задаче. Внутри же области мы должны найти решение уравнения Лапласа для функции тока Таким образом, мы получили первую краевую задачу для уравнения Лапласа в неограниченной односвязной области

Найдем конформное отображение области, полученной в переменных на

внутренность единичного круга. Заметим, что функция, заданная на границе терпит разрыв в единственной точке и ограничена.

Переходя в комплексную плоскость, получим следующее конформное отображение области на внутренность единичного круга:

" Черняев А. П, Коротеев М. В. Нелинейные фильтрационные модели притока жидкости к горизонтальной скважине // Сб. трудов межд. конф. «Математика, компьютер, образование». - ч. 2. - вып. 8. - М.: Прогресс-Традиция, 2001. - С. 323-328.

где г = в + 1Г.

В результате анализа последнего соотношения была получена следующая постановка задачи Дирихле для функции тока, описывающей движение несжимаемой жидкости в окрестности горизонтальной скважины:

Несмотря на то, что граничные условия данной задачи являются разрывными, для получения решения можно воспользоваться формулой Пуассона" . Тогда функция тока определяется соотношением

где нижний предел интегрирования будет

р1

(18)

Гсь'г^-М-Л

<р =агссоя——-7-=-£— ,

' |_сЬ 2{гл -1пл)+1_|

После некоторых преобразований приходим к соотношению

(19)

Последняя формула по сути и решает задачу о притоке жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе фильтрации Соколовского. В работе были также установлены формулы, связывающие полученное решение с переменными плоскости годографа. Эти соотношения имеют вид:

20 Евграфов М. А. Аналитические функции. - М.: Наука, 1991.-448 с.

Для функции тока получаем выражение

4я

аг(%

сЬ2 +со52 20- -25т20аН2у+^4ся5г20сН12у + (вН12у- -зт22вУ

сЬ.22у + со$22в- -2ьт20в112у-^4сов2 20с11г 2у + (ь11г 2у - -вт2 20?

^4см2 25сЬ22 у + (зЬ22у-5ш2 (сЬ12ул +1)

-аг^

2со820сЬ2у(сЬ12ул -1)-2сЬ2^(5Ь2 2у-вш2 26)

($Ь22у-5Ш2 ЩсЬ7 2ул-\)-2соз2всЬ2у 2сЬ2уА V ~ 2сои20сЬ2у(сЪг 2ул-1)-2сЬ2у,,(5Ь2 2у -вш220) J ~

сИ22у + ее*2 20 - 2мп 2вьЬ2г + ^сов120сЬ* 2у + (бЬ* 2у - 5Шг 2в}

сЬ12у + сое2 25 - гвш 25вЬ 2у - ^соэ2 25сЬ22у+(вЬг 2у-&\аг

^СОБ2 25сЬ2 2у + (БЬ2 2Г-5Ш2 -(зЬ2 2у-8т2 25) 2сЬ2усов25

(21)

где у=г-1лл, а га^а-Ьл.

В третьем параграфе второй главы рассмотрено нахождение напора для радиального течения к точечной скважине при различных нелинейных законах фильтрации. В этом параграфе мы рассмотрели вопрос о радиальной фильтрации по нелинейному закону, причем мы имели в виду различные нелинейные законы фильтрации и сопоставили между собой полученные результаты.

В случае радиальной фильтрации по любому закону, линейному или нелинейному функция тока задается одним и тем же выражением21

где в - угол наклона радиуса вектора в физической плоскости, проведенного из начала координат, к оси абсцисс. Линиями тока в радиальном случае и будут лучи с началом в точке (0,0), поскольку функция тока в данном случае зависит только от угла, а это, в свою очередь означает, что угол наклона вектора скорости совпадает с углом наклона радиуса вектора. Поэтому выражение (22) представляет собой функцию тока радиального течения не только в физической плоскости, но и в плоскости годографа, надо лишь оговорить, что понимается под углом в. В дальнейшем, под в будем понимать именно одну из переменных годографа, то есть угол наклона вектора скорости к оси абсцисс.

На основании основной системы (2), с учетом соотношения (22) было получено, что

е фм

</н =

2 к и-1

-¿у/.

Тогда выражение для напора Н в случае радиального течения при произвольном законе фильтрации получим в виде

Ъс' и-2

(23)

Произвольная постоянная интегрирования для нас сейчас несущественна.

При различных законах фильтрации были найдены следующие соотношения для напора. Для степенного закона

Особенно отметим случай закона Краснопольского, когда и=2:

2л-

В связи с последними соотношениями для степенного закона фильтрации рассмотрим также двучленный закон фильтрации Форххаймера:

Ф(н') = аи'+йи'2

21 Баренблагг Г. И, Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. - М.: Недра, 1972. - 207 с.

Аналогично предыдущему для напора получаем

Ги> = — а 1пи>+—Ь*>+ С 2 я 2я

е

При больших скоростях фильтрации в окрестности точечной скважины будем иметь для двучленного закона

что с точностью до константы Ь совпадает с полученной выше формулой для напора при радиальном течении при законе фильтрации Краснопольского. Формулы для напора и < можно считать асимптотически совпадающими при больших скоростях фильтрации. Это совпадение указывает, в частности, на важность рассмотрения степенного закона фильтрации, который может моделировать вблизи скважины фильтрацию по двучленному закону. На рис 5 показаны графики напоров для этих трех течений в случае радиальной фильтрации в зависимости от скорости фильтрации, то есть, фактически, в плоскости-годографа. Само соотношение, выражающее линейный закон фильтрации дает значительные отличия, как от степенного, так и от двучленного закона, которые, в свою очередь, наоборот, близки друг к другу в широком диапазоне скоростей фильтрации. Из графика 5, изображающего напор при радиальной фильтрации видно также, что с ростом величины скорости фильтрации проявляется значительное отклонение в величинах напоров для степенного и линейного законов фильтрации, а двучленный закон лучше согласуется со степенным в более широком диапазоне изменения скоростей.

В случае модифицированного закона Соколовского получаем

Графическое сопоставление линейного закона фильтрации и модифицированного закона фильтрации Соколовского представлено на рис. 6, а на рис 7 показаны графики напоров для этих течений в случае радиальной фильтрации в зависимости от скорости фильтрации, то есть, в плоскости годографа. График б указывает на характер нелинейности, присущий закону фильтрации В. В. Соколовского в сравнении с линейным и степенным законами. Из графика 7 видно, в частности, что качественно, при больших скоростях фильтрации мы получим также весьма значительные отклонения в напорах для этих двух законов.

Н«—Ьс+С 2х

е

»

Четвертый параграф второй главы посвящен вопросу нахождения напора для фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации и при модифицированном законе фильтрации Соколовского.

Если нам известно значение напора в какой либо точке рассматриваемой области плоскости годографа 0е[О,я/2], м>€[0,+оо), то значение напора в любой другой точке этой же области может быть выражено в виде криволинейного интеграла второго рода от величины </Н, по любой кривой с началом в точке, где напор известен и с концом в точке, где ищется напор, то есть

Н(и-,0) = ' ]<1П

Интеграл не зависит от кривой в силу равенства смешанных производных напора. Этот интеграл был сведен к интегралу Римана по отрезку оси м> и имеет вид:

НМ)= Кг, 1дх

Для степенного закона фильтрации было получено соотношение:

(24),

Для частного случая этого закона при п=2, который называют обычно законом фильтрации Краснопольского, выражение для напора имеет следующий вид:

Для разности напоров при степенном законе фильтрации и линейном законе фильтрации получается соотношение

Дня приближенного вычисления напора при фильтрации по закону Краснопольского, то есть, при п=2 получаем соотношение:

В соответствии с математической моделью течения развитой в первой главе скорость не может быть меньше, чем ОтПгс, что исключает появление особенностей в выражении для напора.

Произведено сопоставление полученной формулы с соотношениями для напора при радиальной фильтрации по закону Краснопольского, указанными в предыдущем параграфе и показано, что они совпадают в главном приближении. Аналогично показано, что такое совпадение выражений для напора будет происходить и при других степенях в рассматриваемом законе фильтрации.

На основании полученных зависимостей был выполнен расчет напора при фильтрации по степенному закону на линии у=0. Результаты представлены графически (рис. 8 и 9). Указанные зависимости демонстрируют с одной стороны естественное изменение напора в зависимости от толщины пласта. А именно, при увеличении толщины пласта, то есть при «отодвигании» твердых стенок все дальше от скважины течение все менее отличается от случая, когда этих стенок нет совсем и мы имеем просто фильтрацию к уединенному источнику по степенному закону.

Кроме того, на основании полученных соотношений было проведено сравнение напоров при степенном и линейном законами фильтрации (рис. 10). Из этой зависимости следует, что при увеличении скорости фильтрации, то есть, при приближении к скважине наблюдаются заметные отклонения в величинах напоров между двумя этими законами.

Для модифицированного закона Соколовского функция тока дается выражением (21). Основная система, связывающая функции Ни у имеет в данном случае вид (17). Для вычисления напора мы получили соотношение

Работы автора по теме диссертации

1. А. П. Черняев, М. В. Коротеев. "Построение функции Грина в плоскости годографа для задачи нелинейной фильтрации к горизонтальной скважине по степенному закону". // Сб. тезисов XLШ научной конференции МФТИ, М: 2000. - С. 6-7.

2. А. П. Черняев, М. В. Коротеев "Нелинейные фильтрационные модели притока жидкости к горизонтальной скважине". // Сб. трудов межд. конференции "Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий". Часть 2, Москва-Сочи, 2001.

3. А. П. Черняев, М. В. Коротеев. "Нелинейные фильтрационные модели притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине". // Сб. научных трудов межд. конференции «Математика, компьютер, образование». Сборник докладов, часть 2, выпуск 8, М:2001.

4. А. П. Черняев, М. В. Коротеев. «Решение задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при двучленном законе фильтрации в случае приближенных граничных условий» // Математика: фундаментальные вопросы, приложения, преподавание. Междув. сб. науч. трудов. - М. Изд-во МГУП, 2002. - С. 209-219.

5. М. В. Коротеев. «Нелинейная модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при законе фильтрации Форхгеймера в случае приближенных граничных условий» // "Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий". Сб. трудов конфер., ч.2. - М.: Радио и связь, 2002. - С. 23-28.

6. М. В. Коротссв. «Точные решения задач фильтрации к горизонтальным скважинам при нелинейных законах сопротивления» // Тезисы конф. «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». - М. Изд-во МФТИ, 2002. - С. 12-14.

7. М. В. Коротеев. «Движение несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при нелинейных законах сопротивления» // Тезисы конф. «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». - М. Изд-во МФТИ, 2002. - С. 56-57.

8. Черняев А. П., Лигостаева Н. А., Коротеев М. В. Математическая модель линейной стационарной фильтрации к двум горизонтальным скважинам, расположенным в пласте большой протяженности // Математика: фундаментальные вопросы, приложения, преподавание. Междув. сб. науч. трудов. Выпуск 3. - М. Изд-во МГУП, 2003. - С. 215-221.

9. Коротеев М. В. Точное решение задачи о движении несжимаемой однофазной жидкости, порожденном работой нагнетательной горизонтальной скважины при модифицированном законе фильтрации В. В. Соколовского в пласте большой протяженности // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. Междувед. сб. научных трудов. - М.: Изд-во МФТИ, 2003. - С. 56-61.

10. Черняев А. П., Коротеев М. В. Введение в математическую теорию нелинейной стационарной фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальным скважинам: Монография. М.: Изд-во МГУП, 2003. -104 с.

Рис. 1

Лмими ток« течения несжимаемой «мдкости • окрестности горизонтальной скважхкы при линейном закон« фильгршии

Рис. 3

Линии равного напор« для течения х горизонтальной скважине при линейном законе фильтрации

Н*пор ■ радиальном случае при двучленном (1), стеленном (2) (п«2) м линейном (3) законах фильтрации

Рис. 5

Линейный закон <1) к модифицированный закон Соколовского (2)

капор а радиальном случае при линейном законе фильтрации (1) и при модифицированной иконе фильтрации Соколовского (2),

Рис. 7

Разность иалоро» для степенного закона фильтрации ■ случав радиального течения и • притока к горизонтальной смаяине при различных значениях толщины пласта Ь

Разность напоров для степенного закона фильтрации » случае радиального течение к притока к горизонтальной сквакине при различных значениях дебита скважины

Рис. 9

Разность напоров для степенного и линейного законов при фильтра ими к горизонтальной скваямме на линии у»0 ■ зависимости от величины скорости фильтраций

Коротеев Максим Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ К ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ СКВАЖИНАМ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНАХ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

Подписано в печать 1.04.2004. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,8. Тираж 70 экз. Заказ № ф-1

Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9.

W-66 27

ВВЕДЕНИЕ.^.

ГЛАВА 1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРИТОКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ К ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СКВАЖИНЕ ПРИ СТЕПЕННОМ ЗАКОНЕ ФИЛЬТРАЦИИ

§ 1. 1. Математическая модель притока несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине.

§1.2. Преобразование функций течения для модели фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при линейном законе Дарси на плоскость годографа.

§1.3. Модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации.

§ 1. 4. О некоторых свойствах линий тока и линий равного напора в окрестности горизонтальной скважины при фильтрации по степенному закону.

ГЛАВА 2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРИТОКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ К ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СКВАЖИНЕ ПРИ МОДИФИЦИРОВАННОМ ЗАКОНЕ ФИЛЬТРАЦИИ В. В. СОКОЛОВСКОГО

§ 2. 1. Модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине в случае модифицированного закона В. В. Соколовского.

§ 2. 2. Построение решения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе В. В. Соколовского в плоскости годографа.

§ 2. 3. Нахождение напора для радиального течения к точечной скважине при различных нелинейных законах фильтрации.

§ 2. 4. Нахождение напора для фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации и при модифицированном законе фильтрации Соколовского.

Рассматривая различные вопросы прикладной математики и физики, постоянно приходится иметь дело с математическими моделями физических явлений. Получение всякого рода результатов в технических науках часто предполагает их численное представление. Математическая модель явления и призвана обеспечить такое представление результатов.

Большое количество математических моделей, с которыми оперирует естествознание, основано на описании явления с помощью дифференциальных уравнений. Таким образом, исследования в тех или иных областях физики могут бьггь основаны на решениях дифференциальных уравнений. Это могут быть как уравнения в частных производных, так и обыкновенные дифференциальные уравнения различного порядка, линейные и нелинейные. Как известно, в течение долгого времени для получения решений дифференциальных уравнений создавался специальный аппарат, который продолжает совершенствоваться и в наши дни. Этот аппарат чрезвычайно разнообразен и включает достижения многих других разделов математики помимо собственно теории дифференциальных уравнений. Эффективность применения того или иного метода к решению практических задач неразрывно связана с кругом этих задач, то есть возникновение новых классов проблем, порождает необходимость совершенствования старых методов решения или создание новых, более совершенных методов. В то же время необходимо отмстить, что многие классические методы решения дифференциальных уравнений, созданные еще в XIX веке, успешно применяются и до сегодняшнего дня и обеспечивают получение необходимых результатов. Однако, в настоящее время приближенные и численные методы развиваются очень быстро и, поэтому сейчас все большее внимание уделяется численному исследованию задач с нелинейными уравнениями и построению конечно-разностных схем для решения этих уравнений. В связи с этим, иногда задаются даже вопросом, насколько нужны точные решения дифференциальных уравнений, полученные классическими методами. Ведь это связано, обычно, с большими трудозатратами, в то время как построение разностных аналогов дифференциальных уравнений представляется работой, гораздо быстрее приводящей к цели и дающей наглядное представление о процессе или явлении. Нам представляется, что построение точных решений и, в связи с этим, совершенствование математического аппарата, нужного для получения этих решений, совершенно необходимо. Для этого есть ряд причин. Во-первых, всякое точное решение ценно уже потому, что оно - точное. Приближенное или численное решение в будущем может бьггь изменено, модифицировано или усовершенствованно. Иное дело точное решение. Будучи когда-то и кем-то найденным, точное решение уже не подлежит каким-либо изменениям, модификациям или усовершенствованиям. Оно получено навсегда. В математике есть ясное понятие дифференциального уравнения и его классического решения, а также четкая связь, устанавливаемая между этими понятиями, то есть при подстановке решения в дифференциальное уравнение должно получиться тождество. Различного рода обобщенные решения, которые строятся на основании точных, могут не давать возможности исследовать локальные свойства моделируемых процессов и явлений, описываемых классическими решениями. Но следует заметить, что главные вопросы о нужности точных решений возникают, как правило, не со стороны чистой математики, а именно со стороны технических наук, где важно число, а не формула. Здесь представляется необходимым заметить следующее. Если построение математической модели является, так сказать, «аппроксимацией» природы, несколько упрощающей и схематизирующей то, что происходит в действительности, то ясно, что точные дифференциальные уравнения и точные решения позволяют сделать эту аппроксимацию точнее и тоньше, нежели разностные схемы, сами аппроксимирующие вышеупомянутые дифференциальные уравнения. В этом смысле, именно точные решения могут являться оценкой точности разностной аппроксимации. Говоря иными словами, нахождение точных решений дифференциальных уравнений часто представляет собой аппроксимацию природы более высокого порядка, нежели исследование задач для конечно-разностных уравнений. Таким образом, необходимость построения точных решений связана с выбором наиболее адекватной из возможных разностных схем, описывающих изучаемое явление.

В настоящее время наблюдается постоянно растущий интерес к изучению явлений описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако известно, насколько трудно бывает получить точные решения таких уравнений. В ряде случаев, как например, для системы уравнений Навье-Стокса, это превращается в глобальную проблему, от решения которой предпочитают отказаться в силу непреодолимых пока аналитических трудностей. Следует заметить, что, обращаясь к исследованию нелинейных математических моделей, не следует пренебрегать также и линейными дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Большой класс физических явлений описывается именно такими уравнениями. Более того, существующие способы линеаризации нелинейных уравнений приводят, как правило, к уравнениям с переменными коэффициентами, а иногда, просто к уравнениям с постоянными коэффициентами, что также повышает важность изучения этого класса задач. Одним из таких классов задач, где достаточно активно применяются различные способы линеаризации дифференциальных уравнений, являются задачи теории нелинейной фильтрации.

В данной работе мы рассмотрим модели нелинейной фильтрации несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальным скважинам, в которых возникают как чрезвычайно сложные нелинейные уравнения,, так и линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, причем мы будем иметь дело с этими последними, которые возникают после применения к нелинейным уравнениям в частных производных классического преобразования годографа.

Метод годографа является на сегодняшний день, пожалуй, одним из эффективных способов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных. Как известно, свое начало этот метод берет в работе выдающегося русского механика С. А. Чаплыгина. [1]. Методом годографа Чаплыгину удалось получить точные решения некоторых задач установившегося течения идеальной жидкости, как, например, задачи истечения из сосуда или задачи об обтекании пластинки, расположенной перпендикулярно к струе конечной толщины [1]. Эффективное применение метода годографа к задачам газовой динамики требовало некоторых ограничений на рассматриваемые задачи, вследствие того, что граничные условия для этих задач должны были бьггь достаточно простыми, чтобы обеспечить переход к переменным годографа [2]. Поэтому дальнейшее развитие метода годографа было в немалой степени связано с расширением его области применения к задачам иного типа. В этой связи следует упомянуть работы С. В. Фальковича [3], связанные с применением метода годографа к задачам о струях в более сложных областях, чем рассматривались ранее. Отметим, также, что Л. С. Лейбензон впервые осуществил преобразование уравнений газовой динамики в плоскости годографа скорости к каноническому виду, что оказывается удобным в ряде вопросов [4]. Именно работы Л. С. Лейбензона, а также, особенно, С. А. Христиановича сыграли основополагающую роль в применении преобразования годографа к задачам теории фильтрации. Остановимся на этом несколько подробнее.

Известно, что уравнения описывающие фильтрацию жидкостей в пористых средах с различными законами сопротивления среды являются, как правило, нелинейными. Это, естественно, затрудняет нахождение решений многих важных задач известными методами математической физики и заставляет обращаться к приближенным моделям. Поэтому применение С. А. Христиановичем преобразования уравнений фильтрации грунтовых вод, не подчиняющихся линейному закону Дарси, к новым переменным годографа, что позволило линеаризовать эти уравнения и, таким образом, значительно расширить класс задач, для которых могут быть построены точные решения [5] было принципиальным шагом в направлении построения точных решений задач подземной гидромеханики. В новых переменных была получена система уравнений, которая оказывалась инвариантной относительно произвольных конформных отображений [5]. Преобразования, рассмотренные в [5] аналогичны тем, которые были использованы С. А. Чаплыгиным в его работе [1], посвященной исследованию газовых струй, где им было применено преобразование годографа к решению задач газовой динамики. На эту аналогию обращает внимание и сам С. А. Христианович [5]. Заметим, что для решения задач теории фильтрации также может бьггь применено преобразование годографа. Это преобразование будет использоваться в настоящей работе. Кроме того, упомянем, что одним из первых на важность применения этого преобразования к теории фильтрации указал Ф. Энгелунд в работе [6]. Следует также отметить, что в работе [6] были рассмотрены некоторые вопросы фильтрации жидкости при двучленном нелинейном законе фильтрации, однако задачи, которые были рассмотрены в этой работе, носят, в некоторой степени, модельный характер и решения их получены при дополнительных предположениях о симметрии течения.

Обращаясь непосредственно к работе [5] можно сказать, что рассматриваемое преобразование годографа линеаризует нелинейные уравнения теории фильтрации, также как и другое преобразование, также предложенное С. А. Христиановичем и представляющее систему уравнений теории фильтрации в каноническом виде, аналогичном тому, который был получен Л. С. Лейбензоном для задач газовой динамики. Таким образом, отличие состоит в том, что преобразование в [5] дополнительно представляет систему уравнений, описывающих движение фильтрующегося флюида в каноническом виде. Однако для наших целей совсем не обязательно приводить уравнения к каноническому виду и поэтому мы воспользуемся более наглядным преобразованием непосредственно к переменным годографа.

Обратимся теперь к характеристике тех моделей нелинейной стационарной фильтрации, которые мы предполагаем рассмотреть в данной работе. Сначала опишем такой важнейший объект для нашей работы, как горизонтальная скважина, а затем остановимся на характеристике тех нелинейных законов фильтрации, которые возникают в подземной гидромеханике при моделировании притока флюида к горизонтальной' скважине.

Известно, что нефть, природный газ, а также подземные воды часто залегают в пористых пластах, имеющих непроницаемую кровлю и подошву. Ранее для извлечения их всегда использовалась технология бурения вертикальных скважин, причем продуктивный пласт может быть вскрыт как на всю толщину и при этом скважина называется совершенной, так и не полностью. В последнем случае ее называют несовершенной. Следует заметить, что при добыче, скажем, нефти или газа, постоянно возникает проблема более полной выработки вскрытого пласта. Невозможность обеспечить приемлемый уровень выработки приводит к тому, что в пласте может остаться более половины флюида. Для решения этой задачи применяются различные методы, основанные на тщательной геологической разведке пласта, а также на применении вспомогательных нагнетательных скважин. В последние десятилетия, как в нашей стране, так и за рубежом активно развивается технология бурения горизонтальных скважин. Преимущества горизонтальных скважин перед обычными достаточно очевидны. Горизонтальная скважина имеет гораздо большую область дренирования. Это становится особенно актуальным в случае, когда пласт имеет малую продуктивную толщину, что в случае вертикального бурения приводит к необходимости использовать большое количество обычных вертикальных скважин. Кроме того, применение горизонтальных скважин позволяет в ряде случаев значительно повысить продуктивность выработки скважин. Общий выигрыш в производительности может бьггь в 3-5 раз [7]. Кроме того, следует упомянуть такие важные аспекты применения горизонтальных скважин, как бурение в тех местах, где применение обычных вертикальных скважин попросту невозможно, например, если нефтяной пласт находится под природным заповедником или верхние слои над пластом чрезвычайно трудны для бурения. Горизонтальные скважины могут быть также использованы на месторождениях ранее уже разработанных вертикальными скважинами и не дающих приемлемых дебитов, а вследствие этого просто оставленных. Кстати, в этом случае ситуация дополнительно облегчается тем, что нередко имеется возможность бурения горизонтальной скважины начиная не с поверхности земли, а пользуясь уже пробуренными и не использующимися вертикальными скважинами. В этом случае осуществляется бурение просто горизонтальных стволов из вертикальных скважин, причем ясно, что их можно бурить несколько, на разных высотах и в различных направлениях.

В связи с вышесказанным, то внимание, которое уделяется горизонтальным скважинам в нефтегазовой отрасли, как нашей страны, так и иностранных государств представляется вполне естественным. Осуществление горизонтального бурения является . сложной технической проблемой, возможность полноценного решения которой была достигнута лишь в последнее время, что и обеспечило интенсивный рост интереса к горизонтальным скважинам. Нельзя, однако, сказать, что горизонтальные скважины не использовались в подземной гидромеханике в начале - середине прошлого столетия. Одна из первых глубоких работ, связанных с применением горизонтальных скважин для систем водопроводных фильтров принадлежит П. Я. Полубариновой-Кочиной [8]. В работе [8] рассмотрены как горизонтальные, так и наклонные скважины конечной длины и получены приближенные решения задач фильтрации в напорных и безнапорных пластах.

Естественно, что для исследования течений флюидов вблизи горизонтальных скважин активно используются и численные методы. Возникающие при этом проблемы связаны с построением адекватной схемы вблизи скважины, ибо при разбиении области течения сеткой на отдельные элементы нужно, чтобы это разбиение было достаточно крупным и скважина, которая имеет конечный диаметр, попала бы внутрь одного из элементов. В дальнейшем, возникает - задача нахождения давления именно в этом элементе. Кроме того, поскольку реальные нефтяные пласты имеют, как правило, большую протяженность, то их разработка производится обычно большим количеством скважин. При этом, в окрестности каждой скважины возникает одна и та же задача построения расчетной сетки адекватно описывающей течение вблизи скважины. Измельчение сетки оказывается слишком неэффективной процедурой для этого, поскольку течения в прискважшшых зонах характеризуется высокими градиентами параметров, описывающих течения, что требует слишком больших затрат машинного времени и ресурсов, несмотря даже на большие мощности современных вычислительных систем. В целом, для полного расчета пласта с большим количеством скважин это оказывается неприемлемым. Поэтому предлагаются различные специальные модели течений в окрестности скважин, в которых обычные разностные соотношения заменяются другими дискретными соотношениями. Заметим, что прискважинная область может или совпадать с ячейкой сетки, содержащей скважину или выбираться отдельно, независимо от сетки. Однако в литературе нет однозначного ответа на вопрос, как следует выбирать эту прискважинную область. Обычно это делают отдельно в каждом конкретном случае в зависимости от многих факторов, таких, например, как геологическое строение пласта. В вопросе построения моделей течения в прискважинной области следует упомянуть важнейшую работу Писмена [9], в которой проведено тщательное исследование модели течения вблизи скважины. Основная идея этой работы состоит в том, что, во-первых, течение в прискважинной области предполагается радиальным, а во-вторых, что для расчета течения вблизи скважины вводится понятие эффективного радиуса [9], с помощью которого расчет ведется на основании обычных разностных соотношений. Вместо собственно давления на забое скважины используется «эффективное» давление, соответствующее указанному эффективному радиусу [9]. Позднее аналогичный подход был развит Писмеиом и для горизонтальных скважин [10]. Однако в некоторых более поздних работах [11, 12] было показано, что для горизонтальных скважин методика Писмена оказывается неприменимой в ряде практически важных случаев. Альтернативный метод моделирования был предложен Бабу в работе [13]. Здесь соотношения для прискважинной области получались из рассмотрения задачи для пласта в целом. Указанный подход развивался Бабу и далее [14], что породило даже довольно интенсивную научную дискуссию между двумя этими крупными специалистами в теории фильтрации. Обращаясь в связи с этим вновь к нашей работе заметим, что, как Писмен, так и Бабу использовали в своих работах линейный закон фильтрации Дарси, однако вблизи скважин этот закон перестает выполняться, применять его можно с некоторой условностью и, вообще говоря, следует пользоваться более сложными, нелинейными законами фильтрации. Остановимся более подробно на характеристике линейного закона фильтрации и тех нелинейных законов, которые использовались в настоящей работе.

При рассмотрении задач теории фильтрации, закон фильтрации флюида, то есть соотношение между вектором скорости фильтрации и градиентом давления, которое создается в процессе фильтрационного движения, имеет принципиальное значение. Именно сложная зависимость между вектором скорости фильтрации и величиной давления приводит к нелинейности многих важных задач. Первые исследования законов движения фильтрующихся флюидов относятся к началу XIX века. Основополагающее значение для этого имеет известный закон фильтрации, предложенный А. Дарси [15] и носящий его имя. Как известно, на основании экспериментальных данных Дарси установил линейную связь между градиентом давления и скоростью фильтрации, что позволило в дальнейшем получить решение многих задач теории фильтрации. Ключевое значение для развития теории фильтрации, а также и для нашей работы имеют исследования выдающегося советского ученого Л. С. Лейбензона. Ему принадлежат многочисленные работы в теории фильтрации, в которых и были собственно заложены теоретические основы расчета фильтрационных течений жидкостей и газов. В частности, Л. С. Лейбензоном были рассмотрены многие задачи притока жидкостей к скважинам при линейном законе фильтрации. Для нас наибольшее значение имеет его работа, посвященная построению точного решения задачи о суперпозиции источников в полосе [16]. Полученное в этой работе решение может быть применено для исследования задач о притоке к горизонтальным скважинам, потому что сам Л. С. Лейбензон не упоминал в этой работе о таком аспекте полученного им решения. Таким образом, рассматривая решение, полученное Л. С. Лейбензоном, нетрудно показать, что в соответствующей интерпретации оно представляет собой решение задачи о притоке жидкости к горизонтальной скважине в бесконечной полосе при линейном законе фильтрации Дарси. В нашей работе, основываясь на этом решении, мы рассмотрим несколько аналогичных задач, но при нелинейных законах фильтрации. Возникающие здесь аналитические трудности весьма значительны. Это видно хотя бы из того факта, что Л. С. Лейбензон не использовал в своей работе преобразования к переменным годографа, ни какого-либо другого преобразования, так как линейность задачи давала возможность построить решение непосредственно в физической плоскости.

Охарактеризуем теперь те нелинейные законы фильтрации, которые возникли уже вскоре после работ Дарси, касающихся линейного закона и которые являются, по видимому, наиболее важными для практики. Что касается линейного закона фильтрации Дарси, то он находит свое применение и поныне. Однако уже вскоре после его открытия было обнаружено, что в ряде случаев происходит отклонение от линейного закона. Основными причинами, вызывающими нарушение закона Дарси являются увеличение скорости фильтрации, а также увеличение диаметра частиц, из которых состоит пористая среда [7]. В частности, в ряде экспериментальных исследований было обнаружено, что при превышении скоростью фильтрации некоторого значения, называемого критической скоростью, наблюдаются отклонения от линейного закона [17]. Для численной характеристики границы применимости линейного закона Дарси может быть использовано число Рейнольдса, подобно тому, как оно используется в обычной гидродинамике для характеристики границы перехода ламинарной формы течения в турбулентную. Первой теоретической работой по исследованию границы применимости закона Дарси является работа Н. Н. Павловского [18]. Используя аналогию с движением жидкостей по трубам, в этой работе был установлен диапазон критических значений числа Рейнольдса 7,5 - 9 [18]. Надо заметить, что вообще определение критических значений числа Рейнольдса для движений флюида в пористой среде представляет значительные трудности. Это связано, в частности, с тем обстоятельством, что при рассмотрении числа Рейнольдса в теории фильтрации в качестве характерного размера берется эффективный диаметр песчинок, а не диаметр пор, который определить еще труднее, чем эффективный диаметр песчинок. Но и определение эффективного диаметра частиц, слагающих грунт, представляет собой также весьма сложную задачу. Существует несколько способов вычисления эффективного диаметра, которые даже для одного грунта дают иногда резко расходящиеся результаты [19]. Таким образом, получается широкий диапазон для критического значения числа Рейнольдса, который не позволяет точно установить, когда происходит переход. Сравнительно небольшой разброс значений И.е в работе [18] обусловлен тем, что в этих исследованиях были использованы лишь немного видов образцов пористых сред [7]. Большой анализ по сопоставлению различных методов определения критического числа Рейнольдса был проведен В. Н. Щелкачевым. Результатом этих исследований было установление того факта, что критические значения числа Рейнольдса, при превышении которых наблюдаются существенные отклонения от линейного закона Дарси, представляют собой целый диапазон значений и не определяются однозначно [19]. Все это связано не только с невозможностью точно определить эффективный диаметр слагающих пористую среду частиц, но и с тем обстоятельством, что значение критического числа Рейнольдса зависит от структуры порового пространства, а кроме того, и от постепенности или плавности перехода от одного режима фильтрации к другому [19].

Важность этих работ по установлению границ применимости линейного закона фильтрации для нашего исследования заключается в том, что хотя опыты показывают, что в пластах при притоке флюида к скважинам скорости фильтрации в целом не велики, то есть, может быть применен линейный закон фильтрации, но в окрестности скважин это не так, и значение числа Рейнольдса превышает критическое, а следовательно, закон фильтрации требует уточнения и будет, таким образом, уже нелинейным.

Обратим особое внимание на следующее обстоятельство. В работах первой половины XX века, то есть эпохи зарождения теории фильтрации, проводилась та мысль, что превышение числом Рейнольдса некоторого критического значения и вызываемое этим превышением отклонение закона фильтрации от линейного связано с переходом ламинарного течения в пористой среде в турбулентное, то есть так, как это объясняется, например, в трубной гидравлике. Однако позднее было установлено, что критические значения числа Рейнольдса значительно меньше тех, при которых течение становится турбулентным [19]. Отсюда следует, что объяснение отклонения закона фильтрации от линейного при больших скоростях должно быть иным. Оно заключается в том, что вследствие многочисленности и извилистости пористых каналов, слагающих породу, а кроме того, из-за меняющегося диаметра пористых каналов, при движении происходят быстрые изменения величины и направления скорости флюида, что обуславливает возникновение сил инерции, которые проявляются в увеличении гидродинамического давления. При больших скоростях фильтрации силы инерции становятся весьма значительными и начинают преобладать над силами вязкости [7]. Поэтому уже на ранних этапах развитая теории фильтрации проводились исследования, которые позволили бы установить связь между градиентом давления и скоростью фильтрации так, чтобы полученный закон был бы применим и в области больших скоростей. В этой связи особенно следует отметить степенной закон фильтрации, предложенный А. А. Краснопольским [20]. Этот закон, в силу квадратичной нелинейной зависимости градиента давления от скорости дает возможность учесть влияние сил инерции . при больших скоростях фильтрации, следовательно, он применим для изучения течений вблизи скважин, где скорости велики, а кроме того, его часто применяют для описания движения воды в трещиноватых породах [19, 20]. Кроме того, для исследования фильтрационных потоков в случае, когда нарушается закон Дарси, используют и нелинейные законы фильтрации, которые можно было бы объединить общим названием степенного закона фильтрации. В этом случае имеет место следующая зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации [7]:

Величина, стоящая в скобках означает отношение падения давления на длине Ь к самой длине и в пределе переходит просто в градиент давления. Величина п обычно меняется в диапазоне от 1 до 2, хотя заметим, что возможно рассмотрение и законов фильтрации, когда п принимает и другие значения, большие двух [21, 22]. В таких задачах возникают интересные эффекты нерадиальности течения в окрестности скважины, которые могут быть получены при исследовании найденных решений краевых задач. В случае, когда п= 2 получаем закон фильтрации А. А. Краснопольского.

В первой главе предлагаемой работы рассмотрена задача фильтрации несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации. В частном случае, это решение задачи фильтрации с законом А. А. Краснопольского. Важность применения степенного закона для данной задачи обусловлена уже упоминавшейся выше особенностью фильтрационных течений, в которых в окрестности высокодебитных скважин имеет место значительное увеличение скоростей фильтрации. Это приводит к отклонениям от линейного закона Дарси и здесь возникает возможность использования закона фильтрации, в который скорость входит в степени большей единицы. Задача допускает аналитическое решение в плоскости годографа скорости, которое и было получено в работе.

В качестве важных исследований в том же направлении связанных с задачами, где применен степенной закон фильтрации, укажем на работы [23, 24], в которых получены решения некоторых задач со степенным законом.

Ф Выше мы уже упоминали о том, что в случае фильтрации флюида по нелинейному закону уравнения движения оказываются достаточно сложными даже после линеаризации задачи с помощью преобразования годографа. В этом случае возникают дифференциальные уравнения в частных производных с переменными коэффициентами. Естественно, линейные уравнения проще исходных нелинейных уравнений движения в физической плоскости и для построения решений таких уравнений существует достаточно обширный набор аналитических методов. Как уже упоминалось выше, наиболее эффективными среди этих методов остаются, по-видимому, метод интегральных преобразований и метод разделения переменных. Но после применения этих методов, возникают новые трудности, связанные с построением решений уже обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. Об этих трудностях было уже сказано выше. Вследствие этих причин возникает мысль подходить к задачам математической физики, или, как в нашем случае, теории фильтрации, с другой точки зрения. А именно, можно попытаться аппроксимировать физическое явление, в рамках уже принятой и фиксированной основной модели, таким образом, чтобы результирующие уравнения имели бы наиболее простой вид, или приводились бы к виду, допускающему применение уже развитых известных аналитических методов. В теории фильтрации эта процедура 4 может быть реализована следующим образом. Сложность задачи нелинейной фильтрации, с математической точки зрения, обусловлена тем, что результирующие уравнения, в плоскости годографа скорости, остаются все же достаточно сложными для аналитического исследования. Заметим, что в ряде задач при отображении исходной области течения на плоскость годографа, получаемая при отображении область может иметь разрезы, а также быть многоугольником. Все это увеличивает трудности, с которыми приходится сталкиваться при рассмотрении этих задач.

Следует упомянуть, что для решения таких усложненных задач, со сложной структурой области в плоскости годографа был развит приближенный численно-аналититческий метод прямых [25, 26], в котором область в плоскости годографа разрезалась на меньшие области так, чтобы в полученных областях уже не было разрезов, и граничные условия можно было бы достаточно легко сформулировать. Развитие этого метода, с целью повышения порядка точности проводилось в [27].

Однако можно рассмотреть специальным образом сконструированные законы фильтрации, которые, с одной стороны, адекватно отражали бы зависимости между физическими величинами, существующими в задаче, хотя бы на некоторых промежутках, а с другой стороны, позволяли бы свести уравнения к наиболее простым и относительно легко решаемым. Один из известных и часто встречающихся законов фильтрации такого рода был предложен В. В. Соколовским [28]. Особенностью этого закона является возможность свести уравнения в плоскости годографа к уравнению Лапласа, что позволяет применить к таким задачам развитый аппарат теории аналитических функций. Закон В. В. Соколовского применим для вязкопластических жидкостей при небольших скоростях фильтрации. Кроме того, заметим, что при некоторых модификациях этого закона, можно рассмотреть задачи, в которых скорости фильтрации велики, а уравнения также можно свести к уравнению Лапласа. Эти свойства модифицированного закона Соколовского были указаны в работе [29].

Мы будем рассматривать модифицированный закон В. В. Соколовского, который отличается от закона предложенного самим В. В. Соколовским изменением одного из знаков с минуса на плюс. В этом случае, для решения задачи применим аппарат теории аналитических функций. Во второй главе настоящей работы мы применяем модифицированный закон В. В. Соколовского для рассмотрения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине. В процессе рассмотрения возникает краевая задача для уравнения Лапласа в неограниченной области, которая решается методами теории аналитических функций. Решение в плоскости годографа удается получить в элементарных функциях.

В связи с вышеизложенным следует также упомянуть, что построение законов фильтрации, дающих возможность упростить уравнения в плоскости годографа, не ограничивается, конечно, законом В. В. Соколовского. В этом отношении представляют интерес работы, посвященные обобщениям закона В. В. Соколовского, а также закона с предельным градиентом [30, 31]. Однако проблема, которая возникает при применении таких законов, состоит в том, что они, приводя к значительному упрощению основных уравнений, могут плохо аппроксимировать реальные законы фильтрации. В таких случаях, как уже упоминалось, логично применять эти законы не во всей области рассмотрения, а в ее частях, если, конечно, это оправдывается постановкой задачи.

Отклонения от линейного закона фильтрации Дарси обнаруживались уже на ранних этапах развития теории фильтрации. Проводились обширные экспериментальные исследования по сопоставлению между собой различных нелинейных законов, с целью получить наиболее точные аппроксимации реальных физических явлений. Особый вклад в этом направлении принадлежит Ф. Форхгеймеру, который провел многочисленные эксперименты по сопоставлению между собой различных законов фильтрации в различных средах [21]. Именно его имя носит установленный им двучленный закон фильтрации, являющийся обобщением закона Дарси на случай больших скоростей и дающий наилучшее согласие с опытом на всем диапазоне изменения скорости фильтрации. Следует, впрочем, заметить, что этот двучленный закон фильтрации был установлен несколько ранее Дюпюи [32], однако его работа не привлекла, по-видимому, такого внимания, которого бы она заслуживала. Справедливость этого закона была подтверждена и более поздними многочисленными экспериментальными исследованиями, а также наблюдениями на промысловых месторождениях. В этом направлении следует упомянуть работы Е. М. Минского [33,34].

Указанное согласие двучленного закона фильтрации с данными наблюдений вызвано тем, что в нем учтены два основных фактора, определяющих движение жидкости в пористой среде. С одной стороны, как и в линейном законе фильтрации, двучленный закон учитывает силы вязкого трения, действующие между пористой средой и флюидом. Эти силы являются доминирующими при небольших скоростях фильтрации и приводят к линейному соотношению между градиентом давления и скоростью фильтрации. С другой стороны, при возрастании скорости фильтрации возникают новые эффекты, обусловленные извилистостью поровых каналов. В результате этого происходят резкие и значительные изменения скорости фильтрации, как по величине, так и по направлению. Все это приводит к возникновению инерционных сил, которые, при достижении скоростью фильтрации некоторых значений, могут стать уже доминирующими в движении. Для инерционных сил градиент давления пропорционален квадрату скорости фильтрации. Таким образом, сочетание и учет двух этих эффектов и дает закон, который может использоваться как при малых, так и при больших значениях скорости фильтрации. Естественно, что особую актуальность данный закон приобретает в задачах о притоке флюида к скважинам, ибо здесь можно выделить области течения, где скорости малы, что бывает, например, вблизи точек торможения потока, а также области больших скоростей в окрестности скважин. В частности, все это относится и к горизонтальным скважинам. Задачи связанные с двучленным законом фильтрации представляют значительные аналитические трудности вследствие сложности получаемых уравнений даже в плоскости годографа, однако простой пример радиального течения при нелинейном законе фильтрации, показывает, что значения давления в окрестности скважины весьма близки для двучленного закона фильтрации и закона фильтрации А. А. Краснопольского, являющегося частным случаем степенного закона фильтрации. Это указывает на важность рассмотрения именно степенного закона фильтрации, хотя не следует понимать это так, что от рассмотрения задач для двучленного закона можно вообще отказаться.

Для обоих рассмотренных законов фильтрации, степенного и закона В. В. Соколовского, мы рассмотрели также вопрос о нахождении формул для напора или давления в окрестности скважины. Заметим, что это можно сделать аналитически на основании полученных точных решений для функции тока, что и было проделано в работе. Кроме того рассмотрена радиальная фильтрация несжимаемой жидкости при произвольном нелинейном законе, где получены формулы для напора. Последнее рассмотрение не является особенно трудоемким, однако позволяет сопоставить между собой решения, полученные для общего случая фильтрации к горизонтальной скважине и решения, в отсутствии ограничивающих кровли и подошвы, то есть, указывает на проявление эффекта «горизонтальности» в рассматриваемых задачах.

Заключение

В данной работе были построены несколько аналитических моделей процессов нелинейной установившейся фильтрации несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине и найдены точные решения задач, возникших в рамках этих моделей. Актуальность рассмотренных задач связана с интенсивным развитием использования горизонтальных скважин в современной нефте и газодобыче, что вызывает потребность в теоретическом моделировании явлений, возникающих в этой области. Кроме того, современное состояние моделирования фильтрационных течений вблизи скважин, как представляется, еще далеко от завершения. Наличие высоких градиентов основных физических параметров, описывающих течения вблизи скважин приводит к значительным затруднениям в осуществлении расчета пластов с большим количеством скважин и вызывает попытки построить различные приближенные модели течений в окрестности скважин. В нашей работе предложен аналитический подход к этим вопросам. Особый интерес для практики представляют нелинейные модели фильтрации, в силу того, что вплоть до настоящего времени продолжают широко применяться модели, описываемые линейным законом, хотя уже неоднократно отмечалось, что во многих практически важных случаях практика требует применения нелинейных законов фильтрации, что представляет собой гораздо более трудную задачу. В настоящей работе рассматривались модели исключительно с нелинейными законами фильтрации. Заметим, что построение точных решений задач нелинейной фильтрации оказывается весьма непростым. Для этого необходимо линеаризовать исходные нелинейные уравнения, что проделывалось в данной работе с помощью преобразования годографа, так как исходные уравнения для рассматриваемых задач в физической плоскости имеют нелинейную структуру. В этом смысле преобразование годографа остается весьма эффективным методом для моделирования процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных.

Подводя итог работы, скажем, что к основным новым результатам, полученным в ней можно отнести следующие.

В первой главе рассмотрена задача о притоке несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации. Этот закон является нелинейным и в то же время все более широко использующимся в моделях современной подземной гидромеханики, где он особенно эффективен при больших скоростях фильтрации, что происходит, например, в окрестности высокодебитных скважин. Здесь этот закон является гораздо более точным, нежели линейный закон фильтрации Дарси. В работе построена точная математическая модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации при произвольном, но имеющим физический смысл, показателе степени. При построении этой модели были использованы имеющиеся результаты для аналогичной задачи для линейного закона фильтрации Дарси, поэтому помимо рассмотрения собственно степенного закона, в начале был рассмотрен линейный закон фильтрации Дарси и для него был установлен ряд полезных соотношений, имеющих, впрочем, лишь вспомогательный характер. Именно, найдены выражения для функции тока и напора в переменных годографа для задачи о притоке жидкости к горизонтальной скважине по этому закону. Затем были рассмотрены формулы перехода, связывающие физическую плоскость с плоскостью годографа, и на' основании асимптотического анализа этих формул была отмечена радиальность течения при линейном законе фильтрации в окрестности горизонтальной скважины. Отметим, что задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при нелинейных законах фильтрации имеют несоизмеримую трудность, по сравнению с аналогичной задачей для линейного закона фильтрации. На основании построенной в работе модели и точного решения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации получены точные и приближенные формулы для расчета напора в окрестности скважины, которые могут служить для расчета давления на забое горизонтальной скважины. Для степенного закона фильтрации в работе рассмотрено также поведение линий равного напора при больших скоростях фильтрации. Эти линии ортогональны линиям тока течения. Показано, что линии напора имеют разное поведение при различных значениях показателя степени в степенном законе фильтрации. Граничным значением показателя степени является п=3. Справа и слева от этого значения линии равного напора демонстрируют различное поведение. Физически это может бьггь связано, с возникновением подавляющего влияния сил отличных от сил вязкости и инерционных в пористой среде при п>3. Для степенного закона фильтрации проведено также сопоставление течений с линейным законом фильтрации, а также с двучленным законом фильтрации, в случае наличия радиальной симметрии.

Во второй главе настоящей работы построена модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе фильтрации В. В. Соколовского. Этот закон выгодно отличается от многих других законов фильтрации тем, что исследование задач для этого закона может бьггь приведено в плоскости годографа к уравнению Лапласа. В работе построено точное решение задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при этом законе фильтрации. Отметим, что решение этой задачи было получено в элементарных функциях. Аналогично степенному закону фильтрации, на основании построенного точного решения получены точные формулы для вычисления напора или давления в окрестности скважины или на забое, а также и в других точках, которые мог>т находиться на значительном удалении от скважины. Для случая радиального течения проведено сопоставление напоров при линейном законе фильтрации и при модифицированном законе фильтрации Соколовского.

Также во второй главе проведены расчеты по сопоставлению величин напоров для степенного закона и линейного закона фильтрации на основании аналитических соотношений полученных в предыдущей главе и проведено сравнение напоров при фильтрации к горизонтальной скважине по степенному закону и при радиальной фильтрации по степенному закону. Щ

1. Чаплыгин С. А. О газовых струях // Уч. зап. Моск. ун-та, Отд. физ.-мат., 1904. -вып. 21.

2. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. - 536 с.

3. Фалькович С. В. К теории газовых струй // ПММ, 1957. т. XXI, вып. 4.

4. Лейбснзон JI. С. О теории движения газов. // ДАН СССР, 1935. т. 3, № 9.

5. Христианович С. А. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси // ПММ.- 1940. Т. IV. - вып. 1. - С. 33-52.

6. Engelund F. On the laminar and turbulent flows of ground water through homogeneous sand. Trans. Danish Academy Tech. Sci., 1953. - №3 - P. 3-105.

7. Басниев К. С., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. М.: Недра, 1993.-416 с.

8. Полубаринова-Кочина П. Я. О наклонных и горизонтальных скважинах конечной длины // ПММ. 1956. - Т. XX. - в. 1. - С. 95-108.

9. Peaceman D. W. Interpretation of well-block pressure in numerical reservoir simulation.- SPE Paper 6893, SPE Journal, Trans. AIME 253 (1978). P. 183-194.

10. Peaceman D. W. Reperesentation of a horizontal well in numerical reservoir simulation.- SPE Paper 21217, Proceedings of 11th SPEsymposium on reservoir simulation,

11. Anaheim, Februaiy, 1991.-P. 153-162.

12. Babu D. К., Odeh A. S., Al-Khalifa A. J., McCann R. C. The relation between vvellblock and wellbore pressures in numerical simulation of horizontal wells. SPE Paper 23525, SPE Journal (1990). - P. 324-328.

13. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. París, 1856. 647 p.

14. Лейбензон Л. С. Нефтепромысловая механика. М.: Госгеонефтеиздат, 1934. - ч. 2. -С. 352.

15. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.-Л.: Гостоптехиздат, 1953. - 607 с.

16. Павловский Н. Н. Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения. Петроград, 1922.

17. Щелкачев В. Н., Лапук Б. Б. Подземная гидравлика. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 736 с.

18. Краснопольский А. А. Грунтовые и артезианские колодцы // Горный журн., 1912. -№ 3-7.

19. Форхгеймер Ф. Гидравлика. М. - Л.: ОНТИ, 1935.

20. Кристеа Н. Подземная гидравлика. М.: Гостоптехиздат, 1961. - Т. 1. - 343 с.

21. Воронин В. И., Самохвалов В. В. О нелинейной фильтрации жидкости при степенном законе сопротивления. Инж. физ. журн., - 1970. - т. 19. - № 4. - С. 722728.

22. Самохвалов В. В. Исследование стационарного теплообмена при пористом охлаждении в условиях фазового превращения охладителя. Автореф. канд. дисс. -Воронеж, ВПИ, 1970.

23. Молокович Ю. М., Скворцов Э. В. Решение двумерных стационарных задач нелинейной фильтрации методом прямых // сб. Вычислительная и прикладная математика, вып. 16. Изд-во Киевского университета, 1972.

24. Молокович Ю. М. Точные и усеченные схемы метода прямых при решении двумерных задач нелинейной фильтрации // Сб. Исследования по подземной гидромеханике, вып. 1. Изд-во Казанского университета, 1976. - С. 15-22.

25. Балаян Н. М. Численно-аналитический метод решения задач нелинейной фильтрации в плоскости годографа скорости // Сб. Исследования по подземной гидромеханике, вып. 3. Изд-во Казанского университета, 1979. - С. 3-9.

26. Соколовский В.В. О нелинейной фильтрации грунтовых вод // ПММ. 1949. - Т. XIII. - вып. 5. - С. 525-536.

27. Шешуков Е. Г., Фомин В. М. К нелинейной теории фильтрации. Сб. «Вакуумная техника», вып. 2. Таткнигоиздат, 1970.

28. Паиько С. В. Об одном законе фильтрации с предельным градиентом // Материалы 2-й научной конференции Томского университета по математике и механике. Томск, вып. 2,1972. С. 52-54.

29. Панько С. В. О некоторых задачах фильтрации с предельным градиентом. Изв. АН СССР, МЖГ, 1973.-№4.-С. 177-181.

30. Dupuit J. Etudes théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux dans le canaux découverts et a travers les terraines permeables, 2-eme ed. Paris, 1863.

31. Минский E. M. О турбулентной фильтрации в пористых средах. ДАН СССР, -1951. - т. 78. - № 3. - С. 409-412.

32. Минский Е. М. О турбулентной фильтрации газа в пористых средах // Труды ВНИИ природных газов. «Вопросы добычи, транспорта и переработки природных газов». - М.: Гостоптехиздат, 1951. - С. 3-19.

33. Гольдштейн Р. В., Ентов В. М. Качественные методы в механике сплошных сред. -М.: Наука, 1989.-224 с.

34. Бернадинер М. Г., Ентов В. М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 200 с.

35. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск. : РХД, 2000.-368 с.

36. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск. : РХД, 2000. - 400 с.

37. Борисович Ю. Г., Близняков H. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию. М.: Наука, 1995.-416 с.

38. Черняев А. П., Коротеев М. В. Нелинейные фильтрационные модели притока жидкости к горизонтальной скважине // Сб. трудов межд. конф. «Математика, компьютер, образование». ч. 2. - вып. 8. - М.: Прогресс-Традиция, 2001. - С. 323328.

39. Черняев А. П., Коротеев М. В. Линейная независимость приближений Лиувилля-Грина для некоторого класса уравнений с параметром // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики, Междув. сб. научных трудов. М.: Изд-во МФТИ, 1997.-С. 145-153.

40. Тихонов А. Н, Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.-735 с.

41. Полянин А. Д. Справочник. Линейные уравнения математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 575 с.

42. Черняев А. П., Коротеев М. В. Построение функции Грина в плоскости годографа для задачи нелинейной фильтрации к горизонтальной скважине по степенному закону // Сб. тезисов ХЫН конф. МФТИ. ч. 7. - Москва-Долгопрудный, 2000. - с. 6.

43. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие транцендентные функции. Т. 2. - Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1966.-295 с.

44. Евграфов М. А. Аналитические функции. -М.: Наука, 1991.-448 с.

45. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов произведений. — М.: Наука, 1971.-1108 с.

46. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 2. -М.: Наука, 1969.-800 с.

47. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. - 207 с.

48. Домбровский Г. А. Метод аппроксимаций адиабаты в теории плоских течений газа. -М.: Наука, 1964.- 124 с.