автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование финансово-экономических крахов методами имитационного моделирования

\

На правах рукописи

Шахмуратов Тимур Рустэмович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ КРАХОВ МЕТОДАМИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2009

004600825

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

профессор, заслуженный деятель науки РТ Елизаров Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Николаев Михаил Леонидович

доктор технических наук, профессор Емалетдинова Лилия Юнеровна

Ведущая организация: Центральный экономико-математический

институт РАН (г. Москва)

Защита состоится <Л» СЩеОЛг20^года часов на заседании

Диссертационного совета' Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А. Н. Туполева по адресу: 420111, Казань, ул. К. Маркса, д. 10. Автореферат диссертации размещен на сайте КГТУ им. А.Н. Туполева www.kai.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор ^ П. Г. Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Крахи финансовых рынков 1 - важные события, которые интересны как для академической науки, так и для практиков. Согласно взглядам академического мира, рынки эффективны, и только появление критической информации может вызвать их падение. Но в действительности даже самые тщательные исследования обычно не дают заключения о том, что это за информация.

В настоящее время одно из направлений исследования крахов финансовых рынков исходит из предположения, что их основополагающей причиной является нестабильность позиции игроков рынка, а конкретная причина краха вторична. В то же время рост чувствительности игроков к изменениям и увеличение неустойчивости рынка вблизи такой критической точки могут объяснить первопричины крахов. Как известно, малейшее воздействие на неустойчивую систему может вызвать ее крушение . Исследуя причины такой нестабильности, можно не только предсказывать финансовые крахи, но и предупреждать их. Модели, описывающие нестабильности в системах взаимодействующих людей, могут быть использованы не только при исследовании финансовых крахов, но и при моделировании различных экономических и социальных систем. Знания, полученные в результате подобного моделирования, способны предоставить исследователю математический аппарат для прогнозирования переходов системы из одного состояния в другое, а также дать возможность управлять системой, воздействуя на нее в критических точках. Данная тема важна не только для регулирующих органов, но и для всех участников финансовой системы, включая предприятия и граждан.

Имеется лишь небольшое число математических моделей крахов финансовых рынков. Среди них наиболее известными являются модели Сор-нетта 2 (см. также3) и Шалетта и Жанга 4, которые были апробированы с

1 под крахом финансовых рынков в диссертации понимается отклонение вниз цены некоторого финансового актива за фиксированный промежуток времени, выходящее за пределы доверительного интервала изменения этой цены за тот же промежуток времени 1 Сорнетт Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков. Критические события в сложных финансовых системах. - M.: SmartBook, И-Трейд, 2008. - 400 с. 3 Johansen A., Ledoit О., Sornette D. Crashes at critical points // Int. J. of Theoretical and Applied Finance. - 2000. - V. 3. - P. 219-255

использованием характеристик реальных экономических систем (см. например, 5 и 6). Вместе с тем вопросы обоснования адекватности названных моделей реальным экономическим ситуациям и определения границ применимости таких моделей остаются открытыми. Поэтому актуальными являются не только анализ известных математических моделей крахов финансовых рынков, но и построение новых моделей, лучше учитывающих особенности конкретных экономических систем и имеющиеся ограничения. В перспективе построение подобных моделей способно привести к созданию моделей устойчивого роста либо, по крайней мере, минимизировать воздействие глобальных перестроений на повседневную жизнь.

Основной целью диссертационной работы является получение более детальной информации о финансовых крахах на основе методов математического моделирования. Целью работы является также поиск связи между микро- и макроуровневыми моделями экономических систем.

Задачи исследования:

• провести анализ модели Сорнетта и моделей миноритарных игр на предмет их соответствия реальным экономическим условиям;

• обобщить модель Шалетта и Жакга с целью учета взаимодействия участников экономических систем, а также внутренних ограничений в таких системах; провести статистический анализ новой модели на предмет соответствия статистическим параметрам реальных финансовых рынков и предложить метод прогнозирования динамики крахов, основанный на разработанной модели;

• создать программный комплекс, который позволял бы использовать названные модели для моделирования реальных экономических ситуаций, а также модифицировать эти модели в дальнейшем.

Методы исследования. Дня решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, теории систем, системного анализа и статистического анализа временных рядов.

4 Challet D., Zhang Y.C. Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game // Physica A. - 1997. - No 246. - P. 407

5 Johnson N.F., Lamper D., Jefferies P., Hart M.L., Howison S. Application of multi-agent games to the prediction of financial time-series // Physica A - 2001. - No 299. - P. 222-227

Johansen A., Sornette D., Ledoit O. Predicting financial crashes using discrete scale invariance // J. Risk. - 1999. - No 1. - P. 5-32

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:

1. С использованием данных об изменениях композитных индексов различных фондовых рынков проведен анализ модели Сорнетта и моделей миноритарных игр на предмет их соответствия реальным экономическим условиям.

2. Разработана новая модель на базе класса моделей агентов - участников рынка (игроков), которая учитывает взаимодействие участников экономических систем, а также внутренние ограничения этих систем; проведен статистический анализ этой модели на предмет соответствия статистическим параметрам реальных финансовых рынков.

3. Создан программный комплекс, позволяющий использовать исследованные модели для моделирования реальных экономических ситуаций и модифицировать эти модели в дальнейшем. На базе этого комплекса реализован метод прогнозирования динамики крахов, основанный на разработанной модели.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. С использованием базы данных об изменениях композитных индексов российского фондового рынка (ММВБ) с 1999 года и фондового рынка США (8&Р500) с 1960 года установлено, что модель Сорнетта обладает рядом недостатков и требует развития и обобщения.

2. Разработана новая математическая модель финансовых крахов, базирующаяся на введении аукциона по цене в миноритарную модель рынка и изменении стратегии игроков рынка с миноритарной на мажоритарную. На основе вычислительных экспериментов доказано, что эта модель приводит к значительному улучшению приближения рассчитанных характеристик к характеристикам реального рынка.

3. Создан программный комплекс, реализующий разработанную математическую модель финансовых крахов и дающий метод прогнозирования динамики крахов.

Практическая значимость диссертации состоит в следующем: • установлено, что математическая модель финансовых крахов, разработанная в диссертации, лучше, чем известные, описывает, что происходит в периоды финансовой и экономической нестабильности;

• реализация всех рассмотренных моделей в виде программного комплекса позволяет использовать их для моделирования реальных экономических ситуаций, а также модифицировать эти модели в дальнейшем.

Достоверность полученных результатов определяется использованием математически достоверных методов описания и проверки результатов, а также непротиворечивостью полученных результатов и их связью с предыдущими работами других авторов. Все полученные результаты имеют простое качественное объяснение и в предельных случаях совпадают с известными результатами предыдущих исследований.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на:

• VI Международной научно-практической конференции «Инфоком-муникационные технологии Глобального информационного общества» (Казань, сентябрь 2008 года);

• VIII Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (Казань, ноябрь 2009 года);

• научных семинарах кафедры математических методов в экономике Казанского государственного университета (КГУ) (2005 - 2008 гг.);

• научных семинарах Отделения математического моделирования НИИММ им. Н.Г. Чеботарева КГУ (2006 - 2009 гг.);

• семинаре кафедры математического анализа и теории функций Марийского государственного университета (г. Йошкар-Ола), руководимом проф. М.Л. Николаевым (сентябрь 2009 г.);

• семинаре кафедры динамики процессов и управления Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева, руководимом акад. АН РТ Т. К. Сиразетдиновым (октябрь 2009 г.).

• семинаре «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» в ЦЭМИ РАН (декабрь 2009 г.).

Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в двух статьях в журналах из списка, рекомендованного ВАК РФ, и в трех статьях в сборниках материалов конференций. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 103 страницу машинописного текста, включая 35 рисунков, 3 таблицы и список цитированной литературы из 87 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору A.M. Елизарову за интерес и помощь в работе, а также профессору Э.Л. Пресману за обсуждение результатов и полезные замечания.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, а также приведены основные научные положения и результаты, выносимые на защиту.

Первая глава дает краткий обзор современных методов исследования финансовых крахов.

Изложены основные положения теории положительных и отрицательных обратных связей. Кроме того, описано возникновение положительных обратных связей в теории игр. В отличие от отрицательных обратных связей положительные обратные связи способны увеличивать амплитуду колебаний динамики цен, что может приводить к крахам.

Далее рассмотрены различные физико-математические модели в экономике. Эти модели иногда объединяют в один класс, называемый «моделями эконофизики» (см., например, 7). Эконофизика использует современный математический аппарат нелинейной динамики и статистической физики, чем принципиально отличается от эконометрики, основанной на линейных моделях. Кратко изложена история возникновения эконофизики и описаны модели: «пузырей» и рациональных ожиданий; фундаментальной оценки активов; модель, управляемая риском, и модель, управляемая ценой. Далее проведен анализ моделей, описывающих сети взаимодействия агентов, и рассмотрена теория размерности фондового рынка.

Также описана модель Сорнетга, базирующаяся на модели, управляемой риском, и на мартингальности цены, то есть рациональные ожидания по стоимости данного актива изменяются согласно мартингалу

7 Mantegna R.N., Stanley Н.Е. An introduction to econophysics: correlations and complexity in finance. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 158 p.

е,[р(0>р{» ví'>^

где р(0 обозначает цену актива в момент времени I, а £Д] - математическое ожидание при условии, что все цены вплоть до момента 1 уже определены. Приведен конечный вид уравнения для движения цены в модели Сорнетга для одного из видов иерархических ромбовидных решеток:

+ -0"+ -Г/008(0,4^ -0 + 4). (1)

Далее модель Сорнетга апробирована на данных российского фондового рынка за последнее десятилетие: сначала вычислены даты крахов, после этого по каждому краху взяты данные, ему предшествующие, и методом нелинейной регрессии найдены коэффициенты в соотношении (1); с их помощью по модели определена величина ¡с - дата краха, которая сравнивается с реальной датой краха. В соответствии со свойствами модели крах происходит не позднее получаемой величины /с, и чем ближе к тем выше вероятность краха, т. е. его вероятность растет при / —».

Выяснено, что на российском фондовом рынке за последние 10 лет произошло 4 краха. В результате тестирования модели Сорнетга на этих крахах был выявлен ряд недостатков. Во-первых, при поиске параметров уравнения (1) методом нелинейной регрессии мы сталкиваемся с задачей 7-мерной минимизации нелинейной целевой функции, имеющей много локальных минимумов. Данная задача является достаточно нетривиальной. Во-вторых, даже в случае нахождения параметров уравнения (1) мы получаем не дату краха, а предельную дату, до которой крах должен произойти. В-третьих, модель Сорнетга не описывает, что будет происходить во время краха и после него. В-четвертых, модель Сорнетта не учитывает внешнего влияния на систему участников фондового рынка.

Таким образом, показано, что модель Сорнетта обладает рядом недостатков и требует развития и обобщения.

Во второй главе описаны подходы к математическому моделированию крахов с точки зрения теории игр.

Сначала рассмотрена основная каноническая миноритарная модель (ОКММ), разработанная Д. Шаллетом и И.Ч. Жангом. Суть ее заключается в следующем.

Берется N агентов. Каждый агент помнит предыдущие т бит информации о рынке. Кроме того, каждый агент имеет s стратегий из общего числа доступных стратегий. Стратегия - это функция, которая по состоянию рынка в прошлом на т шагов выдает прогноз на следующий шаг: 1, если прогнозирует рост, и -I, если прогнозирует падение.

Агенты наблюдают за состоянием рынка, но помнят только последние т бит. Этот процесс можно описать как наблюдение агентами некоторого двоичного источника информации в момент времени t. Будем считать, что I принадлежит множеству натуральных чисел. Тогда информация из источника на шаге t представляет собой некое число n(t) в двоичной системе, которое состоит из 0 и I и описывает состояние рынка от момента времени t-m до /. В десятичном виде информация принимает значения ц(С) е {О1}, где Р = 2т. Каждая стратегия ат, где R - номер стратегии у ¡-го агента, содержит в качестве элементов я«, т. е.

Эти элементы определяют решение агента, которое он принимает в ответ на поступившую информацию fi(t).

Элементы afR принимают только два возможных значения {-1,1} для каждого из Р значений глобальной информации Ц. Поэтому множество стратегий имеет размер Iе. Изначально агенты случайным образом выбирают подмножество s стратегий из этого множества, и впоследствии им не разрешено менять подмножество своих стратегий. Агенты также помнят очки своих стратегий SR, отражающие предыдущий успех стратегий, в том числе и виртуальный успех, то есть, даже если стратегия не используется, агент каждый раз ее оценивает.

Общее действие всех агентов на рынке подсчитывается по формуле

/-1 max '

О '-1

и(0

где ат - действие г'-го агента, игравшего по своей лучшей стратегии

Лпш., при условии, что имеется информация ju(t). Предполагается, что агенты всегда играют по самой результативной стратегии, то есть по стра-

теши с максимальным количеством очков Sm. Очки стратегий обновляются по формуле

где gm[t] - функция, показывающая, насколько хорошо или насколько плохо сыграла стратегия, а Г - время, за которое предыдущие очки стратегии забываются. Согласно миноритарной модели успех стратегии оценивается игроком по тому, насколько он был близок к меньшинству. Поэтому естественно задать функцию следующим образом:

*«['+Ч = хН?°4']], (2)

где х[*] - неубывающая функция. Обычно в качестве х[х] выбирают х[х] = signfjc] или = Влияние прошлого в миноритарных играх проявляется благодаря глобальной информации //(0, в которой самая недавняя информация определяется знаком общего действия A[t]:

ti(t + \) = {2M(t)]%P+H[A{t}],

где %Р - это остаток от деления на Р, а Н[х\ - функция Хевисайда.

Таким образом, в модели определяется поведение отдельного агента. На макроэкономическом уровне модель, учитывающая вклад всех игроков, содержит следующие дополнительные элементы.

Во-первых, это общее действие A[t], которое формирует превышающий (недостаточный) спрос, толкающий цену вверх (вниз). Поэтому логично, что цена актива p[t\ формируется следующим образом:

Ptfl-riM]-^,

где Я - ликвидность рынка (показатель, характеризующий, насколько рынок чувствителен к дисбалансу между ордерами на покупку и продажу). Также в модели введен параметр г - пороговое значение Sik, ниже

которого агенты не будут участвовать в игре (а^ = О V/?).

Далее во второй главе построена новая модель, разработанная на основе ОКММ, - модель с аукционом по цене. Во-первых, вводится дополнительная возможность для агента изменять стратегию в случае, если ее

SlR становится меньше rmm. В алгоритме этой модели на первом шаге итераций «деньги» (финансовый ресурс) и «бумаги» (покупаемый или продаваемый актив) распределяются по всем агентам равномерно. Таким образом, у каждого агента есть cash, «денег» и д>. «бумаг». Для первого шага

игроков рынка устанавливается цена активов, равная рЩ = ^са*у(В ■ На

I /

каждом шаге агент в соответствии со своей наиболее успешной стратегией выбирает, продать или купить актив. Также вводится Д„ - уровень агрессивности ;'-го участника аукциона, использующего R-ю стратегию. Эта величина определяет, на сколько цена заявки агента на аукционе будет отличаться от последней известной цены, т. е. цена в его заявке будет равна

оЧМ=р['-ч(1+ДЛ<1).

В предлагаемом алгоритме первоначально Дй равномерно распределяется внутри эмпирически выбранного отрезка Д(8 =[-5%;5%].

Вводится следующая стратегия для агентов. В случае, если агент решил продать актив (т. е. когда аЦ^ = -1), он выставляет весь объем бумаг по цене ord,[i]. В случае, если агент решил купить актив (т. е. когда a'\L = °бъем заявляемой им покупки равен где _

объем денежных средств /-го игрока в момент времени t. При такой стратегии агент полностью обновляет свои активы, которыми он торгует, т. е. продает всё или покупает активы на все имеющиеся у него деньги.

Основным элементом предлагаемой модели является аукцион. Он организован следующим образом. На первом шаге осуществляется сортировка покупателей и продавцов по ценам представленных ими заявок ord,[t] -в порядке убывания цены для покупателей и в порядке возрастания цены для продавцов. Затем выбираются лучший продавец и лучший покупатель: продавец по самой низкой цене и покупатель по самой высокой цене. Между ними совершается сделка в случае, если цена, предложенная продавцом, ниже или равна цене, предложенной покупателем. Объём сделки определяется по меньшему объему (обозначим его v.(i)) из объема заявки

покупателя и объема заявки продавца, по средней арифметической цене

(обозначим ее p9(t)) между ценой продавца и ценой покупателя. Таким образом, объем сделки определяется по формуле

vw (0 = min (<pk,[cash, / p(t -1)]),

где к - номер продавца, I - номер покупателя, а [] - округление до целого вниз.

После этого из очереди удаляются покупатели и продавцы, у которых в результате сделок оказались нулевые объемы. Затем берутся следующий лучший продавец и следующий лучший покупатель. Процесс продолжается до тех пор, пока либо все заявки удовлетворятся, либо пока у лучшего продавца цена не станет выше цены у лучшего покупателя. После этого итоговая цена p(t) формируется как средняя из цен всех сделок, совершенных на данном шаге, т. е.

и

Такой способ подсчета исключает возможность одного участника исказить общие данные путем подачи заявки с сильным отклонением по цене.

В конце аукциона при подсчете очков стратегий также пересчитыва-ется и А/д. В случае, если цена оЫ1 хуже (в данном случае понятие «хуже» для продавцов и покупателей разное), чем />М, то Д;л уменьшается, а в противном случае увеличивается на 1%. Также существует ограничение -20% < Д,„ < 20%.

В предложенной модели с аукционом по цене появляется ряд преимуществ. Во-первых, появляются ограничения на количество денег и бумаг. Во-вторых, за счет ограниченности ресурсов появляется возможность протестировать мажоритарные игры.

Далее во второй главе предложена новая модель - мажоритарные игры с аукционом по цене. Отличие мажоритарных игр от миноритарных состоит в оценке стратегий на успешность: формула (2) в миноритарных играх с аукционом по цене заменяется формулой

В мажоритарных играх с аукционом по цене относительное изменение цен распределено по степенному закону. Гистограмма распределения показана на рис. 1.

вооо-

6 00СГ

й 4 D00-

1000-

-О.ЭССООО -0,200000 -0,130000 0,000000 0,100000 одооооо 0,300000 Отклонение Ц1НЫ р(1)

Рис. 1. Гистограмма распределения относительных изменений цен в мажоритарных играх с аукционом по цене

Это значит, что у функции распределения относительного изменения цен имеются «длинные хвосты»8, то есть в модели случаются крахи. Также в работе подчеркивается, что полученная функция распределения по статистическим параметрам достаточно близка к реальному рынку.

Третья глава посвящена разработке метода прогнозирования крахов, базирующегося на мажоритарных играх с аукционом по цене.

Сначала рассматривается денежная система РФ, так как в ней существуют такие характеристики, как денежная масса и внутренняя цена, - те параметры, которые естественным образом появились в модели рынка при введении в нее аукциона по цене. Описание денежной системы РФ начинается со статистики, собираемой Центральным банком, которая включает состояние денежных агрегатов МО, М1, М2, МЗ, М4.

8 Nassim N.T. The black swan: the impact of the highly improbable. - New York: Random House, 2007. - 366 p.

Агрегат МО - это наличные деньги, М1 - это наличные деньги, обращающиеся вне банков, а также деньги на текущих счетах в банках, М2 -это М1 + срочные и сберегательные депозиты в коммерческих банках, МЗ - это М2 + крупные срочные вклады в специализированных кредитных учреждениях, а также ценные бумаги, обращающиеся на денежном рынке, в т. ч. коммерческие векселя, выписываемыми предприятиями, М4 - это МЗ + различные формы депозитов в крупных кредитных учреждениях.

Далее в работе описаны методы регулирования объема денежной массы центральными банками. Таким образом, показано, что денежная масса является регулируемым параметром.

Затем описан алгоритм метода прогнозирования крахов. Так как в модели с аукционом по цене появились денежные средства и их объём, то возникла необходимость сопоставить объем этих денежных средств с реальными данными. В качестве реальных данных был взят денежный агрегат М2. Таким образом, на каждом шаге алгоритма модели денежная масса изменяется пропорционально изменению денежного агрегата М2 реального рынка.

Суть метода заключается в следующем: агенты для оценки своих стратегий и уровня своей агрессивности А,я используют реальные значения изменения индекса ММВБ, за счет чего происходит настройка параметров агентов под реальные данные, т. е. их стратегия и агрессивность подстраиваются так, чтобы они были близки к параметрам игроков реального рынка. Подобное обучение происходит до ближайшего локального максимума Т^, имеющего место на реальном рынке непосредственно перед крахом. Далее агенты, начиная от локального максимума Т^ вплоть до локального минимума после серии крахов Те, действуют самостоятельно, используя данные, которые они сами сгенерировали в процессе торговли. В итоге получается некоторое конкретное значение р{7^). Подобный алгоритм запускается около 1000 раз. В итоге мы имеем около 1000 точек РФш)>из которых строим гистограмму и исследуем статистику.

Денежные средства в модели изменяются согласно следующим формулам:

cashit +1) = cash (t) + x y{Ti) у(Тй x ZLA у cash, (t ),

к

если y(Tl)-y(T2)>0, и

s^w иг2) 31-2; г * к

если у(Т1)-у(Т1)<0, где /(Г) - значение денежного а1регатаМ2 в момент времени Т,Тг- дата, на которую измерялся денежный агрегат М2 по итогам прошлого месяца (первое число текущего месяца), Тх - дата, на которую измерялся денежный агрегат М2 по итогам этого месяца (первое число следующего месяца), Т4 - дата текущего значения индекса ММВБ, Т3 - дата следующего значения индекса ММВБ.

Начальные значения задавались таким образом, чтобы соответствовать реальным данным. Например, если начальная цена реальных данных равнялась 100 пунктам, то р(0) также приравнивалась к 100 пунктам, причем (г и cask задаются таким образом, что

£(^)}-=p(0), (3)

£(сгий,.(0)

где Е - математическое ожидание. Так как функция распределения денег и бумаг для каждого агента одинакова, то / в формуле (3) можно взять любым.

В конце главы приведены результаты применения метода на характеристиках крахов, выявленных в первой главе.

1яхо»о ыктко

Рис. 2. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 30.10.2003 по индексу ММВБ

плодаооо (Яимаюм зсооаююо гэзо.с

Рис. 3. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 21.01.2008 по индексу ММВБ

нюаяая чаатав

Рис. 4. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 13.06.2006 по индексу ММВБ

ияЦЙЬ-

воаааюо юоотш »яы.ахкш тамяосаю гшдш гссояхха» зкяяш»

Рис. 5. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 19.05.2008 по индексу ММВБ

Результаты моделирования крахов по индексу ММВБ показаны на рис. 2-5. Разработанный метод успешно спрогнозировал три из четырех известных крахов.

Также были проанализированы данные по американскому индексу акций 8&Р500, начиная с 1960 года. Было обнаружено, что с 1960 по 2009 годы на этом рынке произошло 9 крахов. Результаты моделирования крахов по индексу 5&Р500 показаны на рис. 6 - 14.

. ....V мдамсо 7ЫХХШЗ 11ЮХШХЮ 133.1

Рис. 6. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 1962 года по индексу 8&Р500

ик«ш ' пил 1"" ч( эсоооо . ■

Рис. 7. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 1970 года по индексу Э&Р500

Рис. 8. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 1966 года по индексу Б&Р500

рОс); ; рСТгта*)

1 ггьт_п г: .

1 юкш № адата) МВД« «а «мам ет.апозо «я (едет

Рис. 9. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 1974 года по индексу 8&Р500

л

.ъЕ^а__

2ЯШГОЖ "14" ЭМЛИШЗ

Рис. 10. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 1987 года по индексу 8&Р500

Рис. 11. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 1998 года по индексу 8&Р500

тОООМО -.л 11..: Т.и.ЛОС У/|Г,,-:,.: згпдвим эвюсав ••

Рис. 12. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 1989 года по индексу Э&Р500

аооооХ! гос .оооооо ист носит ют.санв эооогохсо гмдаега

Рис. 13. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 2002 года по индексу в&Р500

Разработанный метод смог спрогнозировать восемь крахов из девяти известных. Кроме качественного прогноза вероятности краха предложенный метод позволил предсказать глубину падения финансового рынка, т. е. его количественный показатель, что отсутствовало в модели Сорнетта.

с, оооооо зоодоэоа юсоосах» -шдосоо зшши

Рис. 14. Гистограмма распределения данных, полученных моделированием краха 2009 года по индексу Б&РзОО

Основное содержание диссертации изложено:

В изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Шахмуратов Т.Р. Миноритарная модель финансового рынка с аукционом по цене // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2009. №3. С. 103-106.

2. Шахмуратов Т.Р. Статистическая мажоритарная модель финансового рынка с использованием аукциона по цене // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математическая. 2009. №3. С.158-166.

В других изданиях:

3. Шахмуратов Т.Р. Миноритарная модель, основанная на агентах, при условии взаимодействия агентов // Инфокоммуникационные технологии глобального информационного сообщества. Сб. трудов 6-й ежегодной межд. науч.-практ. конференции, Казань, 4-5 сентября 2008 г. - Казань: Изд-во ООО «Центр Оперативной Печати», 2008. С. 383-393.

4. Шахмуратов Т.Р. Миноритарная модель, основанная на агентах, при условии взаимодействия агентов // Инфокоммуникационные технологии глобального информационного сообщества. Тез. докл. 6-й ежегодной межд. науч.-практ. конференции, Казань, 4-5 сентября 2008 г. Казань: Изд-во ООО «Центр Оперативной Печати», 2008. С. 339-342.

5. Шахмуратов Т.Р. Метод, прогнозирующий финансовые крахи на основе мажоритарных игр с аукционом по цене // Тр. Математического центра им. Н.И. Лобачевского: Материалы Восьмой молодежной науч. шк.-конф. «Лобачевские чтения-2009»; Казань, 1 - 6 ноября 2009 г.; Казан, ма-тем. об-во. Казань: Изд-во Казан, матем. об-во, 2009. Т. 39. С. 397-400.

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии издательства Казанского государственного университета Тираж 100 экз. Заказ 103/2

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: (843)233-73-59, 292-65-60

Введение.

Глава 1. Анализ современных методов исследования крахов финансовых рынков.

1.1. Введение.

1.2.Теория положительных обратных связей и рациональных агентов

1.3. Физико-математические модели в экономике.

1.3.1. Эконофизика.

1.3.2. Модель, управляемая риском, и модель, управляемая ценой.

1.3.3. Сети взаимодействия и малые миры.

1.3.4. Теория размерности рынка.

1.4. Иммитационное моделирование.

1.5. Модель Сорнетта.

1.6. Выводы.

Глава 2. Метод имитационного моделирования крахов, базирующийся на миноритарных играх.

2.1. Введение.

2.2. Описание ОКММ.

2.3. Модель с аукционом по цене.

3.4. Анализ миноритарных игр с аукционом по цене.

2.5. Мажоритарные игры.

2.6. Анализ модели.

2.7. Выводы.

Глава 3. Метод, прогнозирующий крахи на основе мажоритарных игр с аукционом по цене.

3.1. Введение.

3.2. Анализ денежной системы РФ.

3.3. Регулирование денежной массы.

3.4. Описание процесса ретроспективного анализа динамики изменения цен активов.

3.5. Описание использованной программной среды.

3.6. Результаты моделирования.

Актуальность темы. Крахи финансовых рынков 1 - важные события, которые интересны как для академической науки, так и для практиков. Согласно взглядам академического мира, рынки эффективны, и только появление критической информации может вызвать их падение. Но в действительности даже самые тщательные исследования обычно не дают заключения о том, что это за информация.

В настоящее время одно из направлений исследования крахов финансовых рынков исходит из предположения, что их основополагающей причиной является нестабильность позиции игроков рынка, а конкретная причина краха вторична. В то же время рост чувствительности игроков к изменениям и увеличение неустойчивости рынка вблизи такой критической точки могут объяснить первопричины крахов. Как известно, малейшее воздействие на неустойчивую систему может вызвать ее крушение. Исследуя причины такой нестабильности, можно не только предсказывать финансовые крахи, но и предупреждать их. Модели, описывающие нестабильности в системах взаимодействующих людей, могут быть использованы не только при исследовании финансовых крахов, но и при моделировании различных экономических и социальных систем. Знания, полученные в результате подобного моделирования, способны предоставить исследователю математический аппарат для прогнозирования переходов системы из одного состояния в другое, а также дать возможность управлять системой, воздействуя на нее в критических точках. Данная тема важна не только для регулирующих органов, но и для всех участников финансовой системы, включая предприятия и граждан.

1 Здесь и далее под финансовым крахом понимается отклонение вниз цены некоторого финансового актива за фиксированный промежуток времени, выходящее за пределы доверительного интервала изменения этой цены за тот же промежуток времени

Имеется лишь небольшое число математических моделей крахов финансовых рынков. Среди них наиболее известными являются модели [17] и [60] , которые были апробированы с использованием характеристик реальных экономических систем. Вместе с тем вопросы обоснования адекватности названных моделей реальным экономическим ситуациям и определения границ применимости таких моделей остаются открытыми. Поэтому актуальными являются не только анализ известных математических моделей крахов финансовых рынков, но и построение новых моделей, лучше учитывающих особенности конкретных экономических систем и имеющиеся ограничения. В перспективе построение подобных моделей способно привести к созданию моделей устойчивого роста либо, по крайней мере, минимизировать воздействие глобальных перестроений на повседневную жизнь.

Основной целью диссертационной работы является получение более детальной информации о финансовых крахах на основе методов математического моделирования. Целью работы является также поиск связи между микро- и макроуровневыми моделями экономических систем.

Задачи исследования:

• провести анализ модели Сорнетта и моделей миноритарных игр на предмет их соответствия реальным экономическим условиям;

• обобщить модель Шалетта и Жанга с целью учета взаимодействия участников экономических систем, а также внутренних ограничений в таких системах; провести статистический анализ новой модели на предмет соответствия статистическим параметрам реальных финансовых рынков и предложить метод прогнозирования динамики'крахов, основанный на разработанной модели;

2 Далее будем называть эту модель «моделью Сорнетта», следуя терминологии, принятой в англоязычных источниках

3 Эту модель будем называть «моделью Шалетта и Жанга»

• создать программный комплекс, который позволял бы использовать названные модели для моделирования реальных экономических ситуаций, а также модифицировать эти модели в дальнейшем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, теории систем, системного анализа и статистического анализа временных рядов.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:

• с использованием данных об изменениях композитных индексов различных фондовых рынков проведен анализ модели Сорнетта и моделей миноритарных игр на предмет их соответствия реальным экономическим условиям;

• разработана новая модель на базе класса моделей агентов - участников рынка (игроков), которая учитывает взаимодействие участников экономических систем, а также внутренние ограничения этих систем; проведен статистический анализ этой модели на предмет соответствия статистическим параметрам реальных финансовых рынков;

• создан программный комплекс, позволяющий использовать исследованные модели для моделирования реальных экономических ситуаций и модифицировать эти модели в дальнейшем; на базе этого комплекса реализован метод прогнозирования динамики крахов, основанный на разработанной модели.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. С использованием базы данных об изменениях композитных индексов российского фондового рынка (ММВБ) с 1999 года и фондового рынка США, (S&P500) с 1960 года установлено, что модель Сорнетта обладает рядом недостатков и требует развития и обобщения.

2. Разработана новая математическая модель финансовых крахов, базирующаяся на введении аукциона по цене в миноритарную модель рынка и изменении стратегии игроков рынка с миноритарной на мажоритарную. На основе вычислительных экспериментов доказано, что эта модель приводит к значительному улучшению приближения рассчитанных характеристик к характеристикам реального рынка.

3. Создан программный комплекс, реализующий разработанную математическую модель финансовых крахов и дающий метод прогнозирования динамики крахов.

Практическая значимость диссертации состоит в следующем:

• установлено, что математическая модель финансовых крахов, разработанная в диссертации, лучше, чем известные, описывает, что происходит в периоды финансовой и экономической нестабильности;

• реализация всех рассмотренных моделей в виде программного комплекса позволяет использовать их для моделирования реальных экономических ситуаций, а также модифицировать эти модели в дальнейшем.

Достоверность полученных результатов определяется использованием математически достоверных методов описания и проверки результатов, а также непротиворечивостью полученных результатов и их связью с предыдущими работами других авторов. Все полученные результаты имеют простое качественное объяснение и в предельных случаях совпадают с известными результатами предыдущих исследований.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на:

• VI Международной научно-практической конференции «Инфокомму-никационные технологии глобального информационного общества» (Казань, сентябрь 2008 года);

• VIII Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (Казань, ноябрь 2009 года);

• научных семинарах кафедры математических методов в экономике Казанского государственного университета (КГУ) (2005 - 2008 гг.);

• научных семинарах Отделения математического моделирования НИ-ИММ им. Н.Г. Чеботарева КГУ (2006 - 2009 гг.);

• семинаре кафедры математического анализа и теории функций Марийского государственного университета (г. Йошкар-Ола), руководимом проф. M.JI. Николаевым (сентябрь 2009 г.);

• семинаре кафедры динамики процессов и управления Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева, руководимом акад. АН РТ Т. К. Сиразетдиновым (октябрь 2009 г.);

• семинаре «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» ЦЭМИ РАН (декабрь 2009 г.).

Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в двух статьях в журналах из списка, рекомендованного ВАК РФ, и в трех статьях в сборниках материалов конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 103 страницу машинописного текста, включая 35 рисунков, 3 таблицы и список цитированной литературы из 87 наименований.

3.7. Выводы

В третьей главе предложен метод для прогнозирования крахов. Этот метод разработан на основе модели, представленной во второй главе. В результате применения этого метода к крахам на фондовых рынках, произошедших за последнее десятилетие, метод показал способность спрогнозировать 3 из 4-х крахов на российском фондовом рынке и 8 из 9 на американском.

Разработанный метод может быть полезен для прогнозирования крахов на небольшой перспективе, на которой можно принять ограничение в виде постоянной денежной массы. Также он может применяться центральными банками для прогнозирования воздействия изменений денежной массы на кризисные явления.

Заключение

Проведенное исследование показало, что модель Сорнетта обладает рядом недостатков, затрудняющих ее применение для описания крахов финансовых рынков. Нами предложена модель, которая устраняет ряд недостатков модели Сорнетта.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

1. Протестирована модель Сорнетта на основе современных данных, характеризующих финансовые рынки;

2. Разработана новая модель на базе класса моделей агентов — участников рынка (игроков), учитывающая взаимодействие участников экономических систем, а также внутренние ограничения этих систем;

3. Проведен статистический анализ свойств предложенной модели;

4. Разработан метод прогнозирования динамики крахов, основанный на разработанной модели.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору A.M. Елизарову за интерес и помощь в работе, а также профессору Э.Л. Пресману за обсуждение результатов и полезные замечания.

1. Marshall A. Principles of economics. - M.: Эксмо, 2008. - 832 с.

2. Shiller R.J. Irrational exuberance. Princeton: Princeton University Press, 2000. - 344 p.

3. Arthur W.B. Positive feedbacks in the economy // Scientific American. 1990. - V. 262, No 2. - P. 80.

4. Lucas R., Sargent T. After keynesian macroeconomics // Federal Reserve Bank Minneapolis Quart. Rev. 1979. - Vol. 3. - P. 295-319.

5. Arrow Kenneth J. I know a hawk from a handsaw // Eminent Economists: Their Life and Philosophies / Szenberg M. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1992. - P. 42-50.

6. Бернстайн П. Против богов: укрощение риска / Пер. с англ. М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2000. - 400 с.

7. Kahneman D., Tversky A. Prospect theory: an analysis of decision under risk // Econometrica. 1979. - V. 47, No 2. - P. 263-291.

8. Шумпетер Й. Теория экономического развития: исследование предпринимательской прибыли, капитала, кредита, процента и цикла конъюнктуры. М.: Прогресс, 1982. - 455 с.

9. Mantegna R.N., Stanley Н.Е. An introduction to econophysics: correlations and complexity in finance. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.- 158 p.

10. Blanchard O.J. Speculative bubbles, crashes and rational expectations // Economics Letters. 1979. - No 3. - P. 387-389.

11. Blanchard O.J., Watson M.W. Bubbles, rational expectations and speculative markets // Crisis in Economic and Financial Structure: Bubbles, Bursts, and Shocks / Watchel P. Lexington: Lexington Books, 1982. - P. 295-316.

12. Guild S.E. Stock growth and discount tables. New York: Financial publishers, 1931. - 182 p.

13. Williams J.B. The theory of investment value. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1938. - 67 p.

14. Fisher I. The theory of interest as determined by impatience to spend income and opportunity to invest it. New York: A.M. Kelly, 1961. - 248 p.

15. Graham В., Dodd D.L. Security analysis. New York: McGraw-Hill, 1934.-658 p.

16. Johansen A., Sornette D., Ledoit O. Predicting financial crashes using discrete scale invariance 11 J. of Risk. 1999. - V. 1. — P. 5-32.

17. Сорнетт Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков. Критические события в сложных финансовых системах. М.: SmartBook, И-Трейд, 2008. ~ 400 с.

18. Johansen A., Sornette D. Critical crashes // J. of Risk. 1999. -V. 12; No. 1-P. 91-94.

19. Milgram S. The small world problem // Psychology Today. 1987. -No 2.-P. 60-67.

20. Watts DJ., Strogatz S.H. Collective dynamics of 'small-world' networks // Nature. 1998. - No 393. - P. 440-442.

21. Watts D.J. Small world: the dynamics of networks between order and randomness. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999. - 264 p.

22. Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F. Evolution of networks // Adv. Phys. -2002.-No 51.-P. 1079.

23. Newman M.E.J. Models of the small world: A review // J. Stat. Phys. -2000.-Nol01.-P. 819.

24. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: «Институт компьютерных исследований», 2002. - 656 с.

25. Richardson L.F. The problem of contiguity: an appendix of statistics of deadly quarrels // General Systems Yearbook. 1981. -No 6. - P. 139-187.

26. Zababakhin E.I. Shock waves in layered systems // J. Exp. Theoret. Phys. 1965. - No 49. - P. 642-646.

27. Баренблатт Г. И., Зельдович Я. Б. Промежуточные асимптотики в математической физике // УМЫ. 1971. - Том 26, Вып. 2(158) - С. 115-129

28. Barenblatt G.I., Zeldovich Ya.B. Self-similar solutions as intermediate asymptotics // Ann. Rev. Fluid Mech. 1972. - No 4. - P. 285-312.

29. Novikov E.A. The effect of intermittency on statistical characteristics of turbulence and scale similarity of breakdown coefficients // Phys. Fluids A. — 1990.-No 2.-P. 814-820.

30. Stueckelberg E.C.G., Peterman A. La renormalisation des constants dans la theorie de quanta // Helvetica Physica Acta. 1953. - No 26. - P. 499.

31. Gell-Mann M., Low F.E. The origin of renormalization group // Phys. Rev.- 1954.-No 95.-P. 1300.

32. Bogoliubov N.N., Shirkov D.Y. Introduction to the theory of quantized fields. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons Inc, 1980. - 638 p.

33. Kadanoff L.P. Scaling laws for Ising models near Tc. // Physics. -1966.-No 2.-P. 263.

34. Wilson K.G. The renormalization group: critical phenomena and the Kondo problem // Rev. Mod. Phys. 1975. - No 47. - P. 773.

35. White S.R. Density matrix formulation for quantum renormalization groups // Phys. Rev. Lett. 1992. - No 69. - P. 2863.

36. Somette D. Discrete scale invariance and complex dimensions // Physics Reports. 1998. - No 297. - P. 239-270.

37. Kapitulnik A., Aharony A., Deutscher G., Stauffer D. Self-similarity and correlations in percolation // J. Phys. A. 1983. - No 16. - P. L269-L274.

38. Bessis D., Geronimo J.S., Moussa P. Complex spectral dimensionality on fractal structures // J. Physique-Lett. 1983. - No 44. - P. L977-L982.

39. Derrida В., De Seze L., Itzykson C. Fractal structure of zeros in hierarchical models // J. Stat. Phys. 1983. - No 33. - P. 559.

40. Derrida В., Itzykson C., Luck J.M. Oscillatory critical amplitudes in hierarchical models // Commun. Math. Phys. 1984. - No 94. - P. 115-132.

41. Meurice Y., Ordaz G., Rodgers V.GJ. Evidence for complex sublead-ing exponents from high-temperature expansion of Dyson's Hierarchical Ising model // Phys. Rev. Lett. 1995. - No 75. - P. 4555.

42. Kutjnak-Urbanc В., Zapperi S., Mikfsevi'c S., Stanley E.H. Sandpile model on sierpinski gasket fractal // Phys. Rev. E. 1996. - No 54. - P. 272-277.

43. Sornette D., Sammis C.G. Complex critical exponents from renor-malization group theory of earthquakes: Implications for earthquake predictions // J. Phys. I France. 1995. - No 5. - P. 607-619.

44. Saleur H.3 Sammis C.G., Sornette D. Renormalization group theoiy of earthquakes // Nonlinear Processes in Geophysics. 1996. - V. 3; No 2. - P. 102109.

45. Saleur H., Sammis C.G., Sornette D. Discrete scale invariance, complex fractal dimensions and log-periodic corrections in earthquakes // J. Geophys. Res.-1996.-No 101.-P. 17661-17677.

46. Johansen A., Sornette D., Wakita H., Tsunogai U., Newman W.I., Saleur H. Discrete scaling in earthquake precursory phenomena: evidence in the Kobe earthquake // Japan, J. Phys. I France. No 6. - P. 1391-1402.

47. Varnes D.J., Bufe C.G. The cyclic and fractal seismic series preceding and mb 4.8 earthquake on 1980 February 14 near the Virgin Islands // Geophys. J. Int.- 1996.-No 124.-P. 149-158.

48. Bowman D.D., Sammis C.G. An observational determination of the critical region before the 1983 M=6.7 Coalinga earthqake (abst.) // EOS Trans. Am. Geophys. U. 1996. - No 77. - P. F486.

49. Smith S.W., Sammis C.G. Discrete hierarchic cellular model for fore-shocks (abst.) // EOS Trans. Am. Geophys. U. 1996. - No 77. - P. F480.

50. Moffatt H.K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Mech.-1964.-No 18.-P. 1-18.

51. Dean W.R., Montagnon P.E. On the steady motion of viscous liquid in a corner//Proc. Camb. Phil. Soc. 1949. - No 45. - P. 389.

52. Shi X.D., Brenner M.P., Nagel S.R. A cascade of structure in a drop falling from a faucet // Science. 1994. - No 265. - P. 219-222.

53. Aharony A. Critical properties of random and constrained dipolar magnets // Phys. Rev. B. 1975. - No 12. - P. 1049-1056.

54. Khmelnitskii D.E. Impurity effect on the phase transition at T=0 in magnets. Critical oscillations in corrections to the scaling laws // Phys. Lett. A. -1978.-V. 67.-P. 59-60.

55. Boyanovsky D., Cardy J.L. Critical behavior of m-component magnets with correlated impurities // Phys. Rev. B. 1982. - No 26. - P. 154-170.

56. Weinrib A., Halperin B.I. Critical phenomena in systems with long-rangecorrelated quenched disorder // Phys. Rev. B. 1983. - No 27. - P. 413-427.

57. Somette D., Johansen A. Large financial crashes // Physica A. -1997. No 245. - P. 411-422.

58. Sornette D., Johansen A. Significance of log-periodic precursors to financial crashes // Quantitive Finance. 2001. - V. 1; No 4. - P. 452-471.

59. Arthur W.B. Complexity and the economy // Science. 1999. - No 284.-P. 107-109.

60. Challet D., Zhang Y.C. Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game // Physica A. 1997. - No 246. - P. 407.

61. Cont R., Bouchaud J.P. Herd behavior and aggregate fluctuations in financial markets Электронный документ. (http://arxiv.org/pdf/cond-mat/9712318) Проверено 14.03.2009.

62. Farmer J.D. Market force, ecology, and evolution // Santa Fe Inst. Working Paper. 1998.-No 12.-P. 117-183.

63. Lux T. Scaling and criticality in a stochastic multi-agent model of a financial market // Nature. 1999. - No 397. - P. 498-500.

64. Marsili M., Challet D. Trading behavior and excess volatility in toy markets. Электронный документ. (http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0004376) Проверено 17.03.2009.

65. Fama E. (1970). Efficient capital markets: A Review of Theory and Empirical Work // Journal of Finance. 1970. - V. 25. - P. 383-417.

66. Aoki M. New approaches to macroeconomic modeling Evolutionary stochastic dynamics, multiple equilibria, and externalities as field effects. - Cambridge, UK:Cambridge University Press, 1996. - 308 p.

67. Федер E. Фракталы. M.: Мир, 1991. - 254 с.

68. Seber G.A.F., Wild C.J. Nonlinear regression. Canada: John Wiley & Sons Inc., 1989. - 800 p.

69. Arthur W.B. Complexity and the economy // Science. 1999. - No 284.-P. 107-109.

70. Cont R., Bouchaud J.P. Herd behavior and aggregate fluctuations in financial markets // Macroeconomic Dynamics. — 2000. — No 4 P. 170-196.

71. Farmer J.D. Market force, ecology, and evolution // Santa Fe Inst. Working Paper. 1998.-No 12.-P. 117.

72. Lux T. Scaling and criticality in a stochastic multi-agent model of a financial market //Nature. 1999. - No 397. - P. 498-500.

73. Marsili M., Challet D. Trading behavior and excess volatility in toy markets // SISSA Working Paper. 2000. - No CM/188/00 - P. 188-202.

74. Nassim N.T. The black swan: the impact of the highly improbable. -New York: Random House, 2007. 366 p.

75. Mandelbrot B. The variation of certain speculative prices // J. of Business. 1963. - No 36. - P. 392-419.

76. Shiller R.J. From efficient markets to behavioral finance//J. of Economic Perspectives. 2003. - V. 17; No 1 - P. 1055.

77. Jefferies P., Jhonson N.F., Hart M., Hui P.M. From market games to real world markets // European Physical J. B. 2001. - No 20. - P. 493-501.

78. Jefferies P., Jhonson N.F. Designing agent based models // Oxford Center for Computational Finance Working Paper. 2002. - No 010702. - P. 1-32.

79. Challet D., Zhang Y.C. Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game // Physica A. 1997. - No 246. - P. 407-418.

80. Massey F.J. The Kolmogorov Smirnov Test for goodness of fit // J. of the American Statistical Association. - 1951. - V. 46; No 253. - P. 68-78.

81. Clauset A., Shalizi C.R., Newman M.E.J. Power-law distributions in empirical data Электронный документ. http://arxiv.org/abs/0706.1062. •

82. Campbell J., Lo A.H., McKinlay C. The econometrics of financial markets. Princeton: Princeton University Press, 1997. - 632 p.

83. Pagan A. The econometrics of financial markets // J. of Empirical Finance. 1996.-No 3.-P. 15-102.

84. Casella G., Berger R.L. Statistical Inference. Pacific Grove, CA: Duxbury Press, 2002. - 660 p.

85. Bouchaud J.-P., Potters M. Theory of financial risks. From statistical physics to risk management. Cambridge: Cambridge university press, 2000. — 218 p.

86. Фридмен M. Количественная теория денег. — M.: Дело, 1996. —76 с.

87. Фишер И. Покупательная сила денег. М.: Дело, 2001. - 198 с.