автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование фазового градиента для задачи развертки фазы в космической радиолокационной топографической интерферометрии



ШУВАЛОВ Роман Игоревич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВОГО ГРАДИЕНТА ДЛЯ ЗАДАЧИ РАЗВЕРТКИ ФАЗЫ В КОСМИЧЕСКОЙ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

1 2 МАЙ 2011

4845227

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете

им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Димитриенко Юрий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Максимова Людмила Анатольевна;

заседании диссертационного совета Д 212.128.02 при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, Москва, Ленинский проспект, д. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета (МГТУ).

Автореферат разослан ■/_£ апреля 2011г.

кандидат физико-математических наук, доцент Гласко Андрей Владленович

Ведущая организация: Вычислительный центр

им. А.А. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится и мая 2011 года в '13 час. РО

мин. на

Ученый секретарь диссертационного сове кандидат технических наук, доцент

Адигамов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Цифровые модели рельефа (ЦМР) поверхности Земли имеют широкое применение. Большое прикладное значение имеет метод построения ЦМР местности по данным интерферометрической съемки из космоса радиолокатором с синтезированной апертурой антенны (РСА). Наиболее сложным этапом метода является развертка фазы, т.е. реконструкция матрицы абсолютной фазы по известной интерферограмме. На интерферограмме практически всегда присутствуют разрывы фазы, но их положение неизвестно. Задача развертки фазы при наличии разрывов является обратной некорректно поставленной. Для установления положения разрывов фазы на интерферограмме необходима дополнительная информация. В космической радиолокационной топографической интерферометрии дополнительная информация включает данные измерений (интенсивность принятого радиолокационного сигнала, когерентность) и статистические характеристики рельефа покрытой съемкой местности. После включения в постановку задачи развертки фазы дополнительной информации и выбора критерия оптимальности решения задача развертки фазы становится задачей оптимизации. Полученная задача оптимизации, как правило, является нелинейной и имеет большую размерность.

Проблеме развертки фазы в космической радиолокационной топографической интерферометрии посвящено большое число зарубежных работ: Spagnolini U., Fornaro G., Costantini M., Guarnieri A.M., Stramaglia S. (Италия); Bamler R., Reigber A., Loffeld O., Kramer R., Eineder M., Datcu M. (Германия); Ghiglia D.C., Pritt M.D., Zebker H.A., Flynn TJ., Chen C.W. (США); Xu W., Cumming I., Fieguth P.W., Moran J. (Канада); Dias J.M.B., Matías G.R.V. (Португалия); Martinez-Espla J.J. (Испания); Lyuboshenko I.V. (Франция); Carballo G.F. (Уругвай); Karout S. (Великобритания). В этих работах описано множество методов развертки фазы, каждый из которых для выяснения положения разрывов использует лишь некоторую часть доступной в

радиолокационной топографической интерферометрии дополнительной информации (интенсивность сигнала, когерентность, статистические характеристики рельефа местности). Но ни один из описанных методов не учитывает всей доступной информации. Отечественных работ, рассматривающих задачу развертки фазы топографических РСА-интерферограмм, сравнительно мало, несмотря на то, что в настоящее время в России разрабатываются системы радиолокационного наблюдения Земли из космоса (Ковдор-Э, Ресурс-Метеор 3, Аркон-2М). В работах А.И. Захарова и JI.H. Захаровой (ИРЭ РАН), А.С. Леонова и Д.Д. Дарижапова (ОФП БНЦ СО РАН) исследуются и сравниваются между собой различные методы развертки фазы. В работе P.P. Ковязина (СПбГУ ИТМО) для выполнения развертки фазы интерферограммы используется метод локального интегрирования, при этом предполагается отсутствие разрывов восстанавливаемой абсолютной фазы.

Таким образом, вопросы математического моделирования связей между доступными данными измерений (главное значение фазы, когерентность, интенсивность) и искомой абсолютной фазой и разработки математических методов развертки фазы, учитывающих имеющиеся данные, являются актуальными.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка математических моделей и методов для решения обратной задачи реконструкции рельефа Земли по данным интерферометрических радиолокационных измерений из космоса. Достижение указанной цели предполагает решение следующих задач: 1) описание и сравнительный анализ основных методов развертки фазы на плоскости; 2) разработка математической модели градиента абсолютной фазы на радиолокационной топографической интерферограмме; 3) разработка математического метода развертки фазы, опирающегося на математическую модель градиента абсолютной фазы; 4) разработка программного комплекса, позволяющего выполнять развертку фазы интерферограмм; 5) проведение вычислительного эксперимента с разработанным программным комплексом.

Объект исследования. Объектом исследования являются связи между рельефом Земли и данными его интерферометрических измерений, выполненных РСА из космоса.

Предмет исследования. Предметом диссертационного исследования являются математические зависимости:

- между интерферограммой и матрицей абсолютной фазы;

- между рельефом местности и матрицей абсолютной фазы;

- между рельефом местности и матрицей интенсивности сигнала;

- между интерферограммой и матрицей когерентности;

а также математические методы реконструкции матрицы абсолютной фазы по интерферохрамме, матрице когерентности, матрице интенсивности и априорной информации о рельефе покрытой съемкой местности.

Идея работы. При решении задачи реконструкции рельефа Земли по данным радиолокационных интерферометрических измерений из космоса, наряду с фазовой информацией в форме интерферограммы, доступна также амплитудная информация в форме матрицы интенсивности принятого сигнала, информация о дисперсии фазового шума в форме матрицы когерентности, априорная информация о рельефе. Общим подходом к снятию неоднозначности решения, связанной с неизвестным положением разрывов фазы на интерферограмме, является построение на множестве допустимых решений распределения вероятностей (степеней доверия) с учетом всей доступной информации. Вектор, компонентами которого являются две абсолютные фазовые разности, соответствующие двум взаимно перпендикулярным направлениям на плоской цифровой интерферограмме, называется градиентом абсолютной фазы, или фазовым градиентом. Получение распределения вероятностей на множестве положений разрывов сводится к построению распределения вероятностей градиента абсолютной фазы. Задача развертки фазы, поставленная как задача поиска наивероятнейшего положения разрывов, эквивалентна задаче поиска потока минимальной стоимости в транспортной сети с функциями стоимости, определяемыми построенным распределением

вероятностей градиента абсолютной фазы. Поток минимальной стоимости, являющийся решением задачи развертки фазы в сетевой постановке, соответствует положению разрывов фазы на интерферограмме, наиболее согласующемуся с имеющимися данными.

Теоретическая основа исследования. Теоретической основой диссертационного исследования являются теория вероятностей и математическая статистика, теория оптимизации на графах, математическое моделирование, методы и модели цифровой обработки изображений, теория обратных задач, теория распространения и рассеяния электромагнитных волн, теоретическая радиолокация, принципы дистанционного зондирования Земли.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается корректной математической постановкой задачи, применением обоснованных математических методов ее решения, согласием результатов с известными результатами других исследователей и с результатами, полученными другими методами.

Положения, выносимые на защиту:

- математическая модель градиента абсолютной фазы на топографической РСА-интерферограмме;

- математический метод развертки фазы ингерферограмм, опирающийся на математическую модель фазового градиента;

- комплекс программ, позволяющий выполнять развертку фазы интерферограмм.

Научная новизна работы.

1. Предложена классификация методов развертки фазы по типу применяемой регуляризации постановки задачи (т.е. по механизму снятия неоднозначности решения, обусловленной неизвестным положением разрывов фазы на интерферограмме).

2. Разработана математическая модель, градиента абсолютной фазы на топографической РСА-интерферограмме в виде параметрического распределения вероятностей абсолютной фазовой разности, обобщающая

известные ранее результаты по трем направлениям: учет разрывов фазы, вызванных рельефом местности и геометрией съемки; учет интенсивности принятого радиолокационного сигнала; учет статистических характеристик рельефа местности.

3. Разработан математический метод развертки фазы интерферограмм, опирающийся на математическую модель фазового градиента.

4. Разработан универсальный программный комплекс, позволяющий выполнять развертку фазы интерферограмм.

Практическая значимость работы. Практическая значимость диссертационной работы заключается в повышении точности интерферометрического метода получения ЦМР по данным радиолокационной съемки из космоса.

Реализация результатов исследования. Разработанные математическая модель градиента абсолютной фазы на топографической РСА-интерферограмме и метод развертки фазы, опирающийся на эту модель, переданы для использования в ОАО «ВПК «НПО машиностроения», где разрабатывается малый космический аппарат «Кондор-Э» с РСА.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международных, всероссийских, отраслевых и университетских конференциях и симпозиумах: 1-й и 2-й Международных научно-технических конференциях «Аэрокосмические технологии» (Реутов - Москва, 2004, 2009); VII, VIII и X Международных научно-технических конференциях «От снимка к карте: цифровые фотограмметрические технологии» (Несебыр, 2007; Пореч, 2008; Гаэта, 2010); XVII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2010); Международной научной конференции «Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях» (Москва, 2010); XXVI Всероссийском симпозиуме «Радиолокационное исследование природных сред»; II и Ш Всероссийских научно-технических конференциях «Аэрокосмические

технологии» (Реутов, 2005, 2007); Научно-технической конференции молодых специалистов и студентов «Аэрокосмические технологии» (Реутов, 2006); Научно-технической конференции «Студенческая научная весна» (Москва, МГТУ, 2007); Научно-практических конференциях молодых специалистов и студентов памяти главного конструктора академика В.И. Кузнецова (Москва, ФГУП ЦЭНКИ, 2004, 2007); Научно-технической конференции молодых специалистов ФГУП «Московский институт теплотехники» (Москва, 2008); П, III и IV Научно-методических конференциях аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, МГТУ, 2008,2009,2010).

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования отражены в 17 научных работах, среди которых 4 статьи [8, 9, 13, 14] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованной литературы из 132 наименований, содержит 14 таблиц и 101 рисунок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи работы, указаны объект и предмет исследования, изложена идея работы, отмечены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены данные о структуре и объеме работы.

В первой главе описаны приложения развертки фазы и приведена математическая постановка задачи развертки фазы на плоскости. Показано, что при наличии на интерферограмме разрывов задача развертки фазы в приведенной постановке является некорректно поставленной. Приведена обобщенная регуляризованная постановка задачи развертки фазы на плоскости:

Ф[5(*,>),в(х,^)]->тт, (1)

Ух[ф,.у)+5(*,.у)] = б, Цх,у) = 1Г[Щх,у)], Уу/(х,у) = 5(х,у)+а(х,у), (х,у)еПаЖ2, где Ф[ ] - подходящий регуляризирующий функционал; V - набла-оператор; &[•] - оператор свертки по модулю 2л- радиан; <р(х,у) - заданное скалярное поле главного значения фазы; у/{х,у) - искомое скалярное поле абсолютной фазы; а(х,у) - неизвестное добавочное векторное поле; Я - замкнутое связное ограниченное множество на декартовой плоскости.

Если интерферограмма представлена в цифровом виде, то постановка (1) может быть сформулирована в терминах теории транспортных сетей. Интерферограмме ставится в соответствие связный ориентированный граф 0 = (К,£)(здесь V - множество вершин, Е - множество дуг), являющийся конечной целочисленной решеткой относительно декартовой системы координат на плоскости (рис. 1).

Рж.1 Рпл+1

Р*+1.1+1

Рис. 1. Матрица главного значения фазы (интерферограмма) (а) и ассоциированный с ней ориентированный граф (б)

При этом каждые четыре попарно-смежных пикселя интерферограммы соответствуют некоторой вершине графа, а каждая пара смежных пикселей соответствует паре противоположно ориентированных дуг. Каждой вершине / е V приписывается интенсивность ц е 2, равная величине фазового остатка, вычисленного для соответствующей четверки попарно-смежных пикселей интерферограммы Ф = {<р„„}:

р (т, п) = 8Х (т, п)+8Г (т, п+1) - 8Х (т+1, и) - 8Т (т, п), 8, (т,п) = -¥>,,„], 8Х (/и,п) = Ш-<ртп].

Если д >0, вершина называется источником; если //, <0, вершина называется стоком; если д = 0, вершина называется нейтральной. Пропускная способность каждой дуги предполагается неограниченной. Пусть каждой дуге (г',у')е£ поставлена в соответствие скалярная функция с(у(д), определяющая стоимость протекания потока величины д^О по этой дуге. Граф в=(У,Е) с

заданными "интенсивностями вершин, с заданными пропускными способностями дуг и с определенными на дугах функциями стоимости называется транспортной сетью. Сетевая модель рассматривает распределение в сети потока некоторой субстанции, перетекающей по дугам из вершин-источников через нейтральные вершины в вершины-стоки.

Задача развертки фазы в сетевой постановке есть задача поиска потока минимальной стоимости:

с(?)= £ с<,Ы->т"1> (2)

И Чц- Т,

и- <М>«) и-- (/■'>£)

где — величина потока по дуге (г,;) е Е. Функции стоимости си (■) нуждаются

в предварительном построении по данным измерений и априорной информации о решении. В различных приложениях развертки фазы функции стоимости могут определяться по-разному. В общем случае функции стоимости для

задачи развертки фазы в сетевой постановке могут быть получены на основе распределения вероятностей абсолютной фазовой разности:

где к - величина потока по дуге (кратность разрыва фазы); вц - вектор значений параметров; Д - абсолютная фазовая разность; Р(-жА<ж) -вероятность непрерывности фазы; Р (-л+2лк < Л < тг +2лк) - вероятность наличия разрыва кратности к. Во второй главе диссертации разработано параметрическое распределение вероятностей абсолютной фазовой разности, позволяющее вычислять по формуле (3) функции стоимости для задачи развертки фазы радиолокационных топографических интерферограмм.

В заключение первой главы сделан обзор и проведен сравнительный анализ существующих методов развертки фазы. Предложена классификация методов развертки фазы по типу применяемой регуляризации постановки задачи (т.е. по механизму снятия неоднозначности решения, обусловленной неизвестным положением разрывов фазы на интерферограмме).

Во второй главе на основе байесовского подхода разработана математическая модель градиента абсолютной фазы на радиолокационной топографической интерферограмме. Байесовский подход позволяет использовать данные измерений (главное значение фазы, когерентность, интенсивность) совместно с априорной информацией (статистическими характеристиками рельефа покрытой съемкой местности). Разработанная модель представляет собой пару параметрических распределений вероятностей абсолютных фазовых разностей:

\рЛЬх-Ь™>Р)Р{.8Х\Ьтх,Р)Р{1\Ь„)Р{АТХ)<1Ь;

'гаг

¡Р(8* I

>7Г

1ТХ

ео

¡р>1(Ау-Ал,р)р(8г\АТ!,р)р(Ап)(1А)

'77

р{Аг\8г,р)=^

\р(8у\Ап,р)р(Атг)с1Ап

>77

где р() — плотность распределения вероятностей абсолютной фазовой разности; АХ,АГ - абсолютные фазовые разности по направлениям наклонной дальности (X) и азимута (У), характеризующие локальный наклон фазового рельефа; 8Х,8, - относительные фазовые' разности; I - интенсивность принятого радиолокационного сигнала; р - когерентность; АТХ,АТГ -физические (т.е. полезные, не искаженные шумом) фазовые разности.

Предложенная модель (4) состоит из нескольких компонентов:

1) Рм{-) - плотность распределения вероятностей фазового шума;

2) р{81Дт,р) - функция правдоподобия физической фазовой разности по наблюдаемой относительной фазовой разности 8;

3) р([ | дк) - функция правдоподобия физической фазовой разности Ап по наблюдаемой интенсивности I радиолокационного сигнала;

4) р(Атх,Ап) - плотность априорного совместного распределения вероятностей физических фазовых разностей Атх,Ап.

Предложенное априорное совместное распределение вероятностей физических фазовых разностей (рис. 2)

включает в себя преобразование, связывающее локальные наклоны (производные по пространственным координатам) рельефа подстилающей поверхности с локальными наклонами фазового рельефа на интерферограмме, полученное автором из уравнений геометрии съемки:

Л (яЛ Л™), & (л„ Аг )) (Дг:г, Л1Г ), <Л] о, АТХ<А'ТХ

1ТТ

4Л-1В^ | + Дг0 5Ш (у0) соз ) Л^ '

рад

Рис. 2. Априорное распределение вероятностей физической фазовой разности дг по направлению наклонной дальности (X) и по направлению азимута (К)

ЯГ(Д„,Д7Т) =

п

4л'|В1| Дп-Да.+ Лг0Ла бш (у0) со$(уй) Д„

АП 6 . Д77 6 (-С°;+С0) > Д'я =

>0Бш(у0)сОз(у0)'

и априорное совместное распределение вероятностей локальных наклонов рельефа подстилающей поверхности, полученное автором путем функциональной аппроксимации экспериментальных гистограмм:

Разработанная функция правдоподобия физической фазовой разности дп по интенсивности радиолокационного сигнала (рис. 3):

г(£)

1 1 /"ехр

I М(Д„)

, Л>0, 12:1

включает в себя математическое ожидание наблюдаемой интенсивности: М(А„) = М(ДИ («,)) = М{ах) = Л/; (а, |а, =0) М, (аг^., аг ) = С10 (ах, ау) + И,

I 0,01 ода олоа

0,007 ОДОЙ 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 О

_______

----

Э.Г^5®

" /= 0.25 ""7-1

¿^¿■Х 0.98 3,08 5,1В 7,28 9,38 11.48 13,58 Ад, рад Рис. 3. Семейство функций правдоподобия Ь(Атх) = р,{1\Атх), полученное варьированием наблюдаемой интенсивности I

учет эффектов переналожения и радиолокационной тени:

1а(ах,а,)~-

1{ах,аг), Г~<ах<Г,

1(г,аг), У~ах

и выражение для наблюдаемой средней интенсивности сигнала: 1(ах,аг) = 8г{ах,а]:)оа(ах,иг),

(\( яЛ2 1

5Р(ах,ау) = АаАг -\ах-у+^ +-5т2(г)агг+1 г

*»(*)=Цв)

\

с ехр(-^2)+—м/ё ехр(-£?)соз°1 (0) (1+0 )

цт « ш

в(ах,ау) = агссо$

1ап (ах ) эш (у)+сое (у) (ах)+1аа2 (аг)+1 ^

Здесь использованы следующие обозначения: ах,аг - углы наклона подстилающей поверхности по направлениям дальности и азимута; -/(Д^Л^) — якобиан преобразования (5); В1 - перпендикулярная составляющая базовой линии; I- наблюдаемое значение интенсивности радиолокационного сигнала; Ars, Да - размеры пикселя радиолокационного снимка по направлениям наклонной дальности и азимута; Я - рабочая длина волны радиолокатора; у0, г0 - угол наблюдения и наклонная дальность, соответствующие центру кадра; L -количество независимых наблюдений; Г(-)-гамма-функция Эйлера; М, (ах,а,)~ предсказываемое радиометрической моделью значение средней интенсивности; SF{ax,ar) - площадь ячейки на подстилающей поверхности, соответствующей данному пикселю на снимке; а0 (в)- удельная эффективная площадь рассеяния; в - угол падения радиолокационного сигнала; С, D, ц, р, w - параметры радиометрической модели; у - угол наблюдения при съемке.

Разработанная модель (4) позволяет-вьслючить доступную дополнительную информацию в постановку задачи (2) через функции стоимости (3). Модель не привязана к какому-либо методу развертки фазы и имеет самостоятельную ценность, т.к. позволяет оценивать вероятности разрывов фазы на топографической РСА-интерферограмме по имеющимся данным измерений и априорной информации о рельефе местности (рис. 4).

В третьей главе разработан метод решения задачи развертки фазы в постановке (2) с выпуклыми неотрицательными функциями стоимости, названный методом независимых диполей. Метод независимых диполей представляет собой авторскую модификацию известного в теории транспортных сетей алгоритма последовательного поиска кратчайших путей (англ. Successive Shortest Path Algorithm) и заключается в последовательном выделении диполей (т.е. пар «источник-сток») при помощи поиска путей минимальной стоимости и пропускании вдоль найденных путей потоков единичной величины.

Рис. 4. Вероятность непрерывности фазы по направлению азимута Р(-л< Ау <л\Зг,р) как функция относительной фазовой разности Зу и когерентности р (а); вероятность непрерывности фазы по направлению дальности Р(-л<Ах <к\8х,р,Г) как функция относительной фазовой разности ёх, когерентности р и интенсивности I (б)

Решение задачи развертки фазы в постановке (2) с функциями стоимости

(3) эквивалентно реконструкции наиболее вероятной в смысле распределения

(4) системы разрывов фазы, имеющихся на интерферограмме.

Разработанный алгоритм отличается от алгоритма последовательного поиска кратчайших путей следующими особенностями: 1) пропускание отрицательных потоков наряду с положительными; 2) построение искомого потока в два этапа: на первом этапе пропускаются потоки длиной менее заданной величины р, а на втором - все оставшиеся; 3) использование 1 предположения, согласно которому искомый поток минимальной стоимости представляет собой совокупность потоков единичной величины, длина каясдого из которых существенно меньше линейного размера сети; 4) использование решения вспомогательной задачи небольшой размерности, полученной пространственным сжатием данных исходной задачи, для приближенного поиска пространственно протяженных потоков,

В рамках обоснования разработанного метода в рассматриваемой главе диссертационной работы доказано следующее утверждение.

Утверждение (об обновлении потенциалов вершин транспортной сети после пропускания отрицательного потока).

Пусть функции стоимости дуг транспортной сети являются выпуклыми и неотрицательными; вершины имеют целочисленные интенсивности; пропускные способности дуг не ограничены. Пусть в сети уже течет поток д и приведенные стоимости всех дуг соответствующей ему остаточной сети неотрицательны. Пусть отрицательный поток единичной величины Ад пропускается из вершины 5 в вершину / по пути минимальной приведенной стоимости в остаточной сети. Тогда обновление потенциалов:

*(/). Р = {геК: ¿(О«*(/)}

гарантирует неотрицательность приведенных стоимостей дуг остаточной сети, соответствующей потоку д+Ад. Здесь ,т0(г), л(г) - потенциалы вершины геУ до и после обновления соответственно; ¿(¡) - стоимость пути минимальной приведенной стоимости от вершины « до вершины / в остаточной сети; V -множество вершин сети.

В четвертой главе проведен вычислительный эксперимент с реальными данными интерферометрических измерений рельефа Земли, выполненных РСА из космоса (рис. 5). Для топографических РСА-интерферограмм (рис. 5а) с учетом матриц когерентности и интенсивности (рис. 56, 5в) и априорной информации о рельефе (рис. 2) с помощью разработанной математической модели (4) (рис. 4) построены матрицы пространственного распределения вероятностей непрерывности и разрыва абсолютной фазы (рис. 6). Выполнен экспериментальный анализ точности предложенного метода развертки фазы (рис. 7). Проведено сравнение предложенного метода с другими методами по точности решения. Вычислительный эксперимент показал высокую точность разработанного метода и его способность решать задачи большой размерности.

Р «

0.55

0.5

0.45

0 4

0.35

I

0.9

| 0.6 |о.£

10.4 ¡0.3 ■ 0.2 Ко.1

Рис. 5. Исходные данные задачи развертки фазы: интерферограмма (а), матрица когерентности (б) и матрица интенсивности принятого сигнала (в)

Р « 0.9

а.в

! • 0.7

0.6

1 0.5

1 0.4

0.3

I 0.2 0.1

0.7

10.5

10.2

Рис. 6. Матрица вероятности: отрицательного разрыва Р(Ах<-л) (а); непрерывности фазы Р(-л< Ах <я) (б); положительного разрыва Р(Ах>л) (в) по направлению наклонной дальности

Рис. 7. ЦМР на основе разработанной модели (а) и эталонная ЦМР (б)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации, представляющей собой научно-квалификационную работу, на основе выполненных автором исследований разработаны математическая модель и математический метод для задачи развертки фазы радиолокационных топографических интерферограмм. Полученные результаты имеют большое значение для решения обратной задачи реконструкции рельефа Земли по данным интерферометрических радиолокационных измерений из космоса. Практическая ценность полученных результатов подтверждена проведенным в рамках диссертации вычислительным экспериментом.

Основные научные результаты, полученные автором, заключаются в следующем:

1. Выполнены описание и сравнительный анализ основных методов развертки фазы на плоскости; предложена классификация методов развертки фазы по механизму снятия неоднозначности решения, обусловленной неизвестным положением разрывов фазы.

2. Разработана математическая модель градиента абсолютной фазы на радиолокационной топографической интерферограмме. Модель представляет собой параметрическое распределение вероятностей локального наклона фазового рельефа, построенное на основе байесовского подхода, и устанавливает стохастическую связь между наблюдаемыми величинами и неизвестным градиентом абсолютной фазы. В модели учтена возможность наличия и суперпозиции на интерферограмме разрывов фазы различной природы.

3. Предложен математический метод развертки фазы интерферограмм, опирающийся на математическую модель фазового градиента. Метод является авторской модификацией известного в теории транспортных сетей алгоритма последовательного поиска кратчайших путей и решает задачу развертки фазы в сетевой постановке, с использованием функций стоимости дуг, построенных на основе разработанной модели градиента абсолютной фазы.

4. Разработан программный комплекс, который позволяет выполнять развертку фазы интерферограмм.

5. Проведенный вычислительный эксперимент показал высокую точность разработанного метода и его способность решать задачи большой размерности. Предложенный метод может применяться для решения задачи развертки фазы при построении ЦМР поверхности Земли по данным интерферометрической радиолокационной съемки из космоса.

Основные научные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Шувалов Р.И. Решение задач оптимизации методом пси-преобразования // Сборник докладов Второй научно-практической конференции молодых специалистов и студентов памяти главного конструктора академика В.И. Кузнецова. - М.: МГУЛ, 2004. - С. 147-155.

2. Шувалов Р.И. Оптимизация процесса корреляции радиолокационных изображений при создании цифровой модели рельефа земной поверхности стереометрическим методом // Студенческий научный вестник. Сборник научно-исследовательских работ студентов. / Под ред. К.Е. Демихова. - М.: НГА «АПФН», 2004. (Сер. Профессионал). Т. 1. - С. 181-187.

3. Шувалов Р.И., Елизаветин И.В. Автоматизация процесса корреляции радиолокационных изображений при создании цифровой модели рельефа земной поверхности стереометрическим методом // Аэрокосмические технологии: Сборник трудов Всероссийских и Международной научно-технических конференций (Реутов - Москва, 2004 - 2007) / Под ред. Симоньянца Р.П. - М.: НПО машиностроения, Изд-во Ml ТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.-С. 367-378.

4. Шувалов Р.И., Елизаветин И.В. Распознавание нефтяных пятен на морской поверхности по данным дистанционного зондирования Земли из космоса // Аэрокосмические технологии: Сборник трудов Всероссийских и Международной научно-технических конференций (Реутов - Москва, 2004 -2007) / Под ред. Симоньянца Р.П. - М.: НПО машиностроения, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - С. 278-285.

5. Шувалов Р.И., Крылова В.В., Воскобойник A.C., Елизаветин И.В., Краснов И.К. Методы фильтрации радиолокационных изображений // Аэрокосмические технологии: Сборник трудов Всероссийских и Международной научно-технических конференций (Реутов - Москва, 2004 - 2007) / Под ред. Симоньянца РЛ. - М.: НПО машиностроения, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.-С. 277.

6. Елизаветин И.В., Шувалов Р.И. Решение задачи развертки интерферометрической фазы на основе байесовского подхода // Аэрокосмические технологии: Сборник трудов Всероссийских и Международной научно-технических конференций (Реутов - Москва, 2004 -2007) / Под ред. Симоньянца Р.П. - М.: НПО машиностроения, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - С. 231-243.

7. Шувалов Р.И. Математическое моделирование в задаче обработки радиолокационных данных дистанционного зондирования Земли из космоса // Сборник трудов Второй научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» - М.: НИИ РЛ МГГУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - С. 113-115.

8. Елизаветин И.В., Шувалов Р.И., Буш В.А. Принципы и методы радиолокационной съемки для целей формирования цифровой модели местности // Геодезия и картография. - 2009.-№1. - С. 39-45.

9. Шувалов Р.И. Разработка радиометрической модели снимков поверхности Земли, формируемых по данным измерений космических радиолокаторов с синтезированной апертурой антенны // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. - 2009. - №4. - С. 99-118.

10. Димитриенко Ю.И., Елизаветин И.В., Шувалов Р.И. Математическое моделирование в задаче интерферометрической обработки космических радиолокационных снимков Земли // Сборник «Аэрокосмические технологии: Научные материалы Второй международной научно-технической конференции, посвященной 95-летию со дня рождения академика В.Н. Челомея (Реутов -Москва, 2009)» / Под ред. Симоньянца Р.П. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.-С. 125-126.

11.. Елизаветин И.В. Шувалов Р.И. Методика обнаружения и оценивания характеристик надводных судов по радиолокационным снимкам морской поверхности // Сборник трудов XXVI Всероссийского симпозиума «Радиолокационное исследование природных сред», секция «Радиолокационный обзор земной и водной поверхности», 19-20 мая 2009г.

12. Шувалов Р.И. Распределение вероятностей локального наклона фазового рельефа для задачи развертки фазы в космической радиолокационной топографической интерферометрии // Сборник тезисов XVII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов -2010»; секция «Вычислительная математика и кибернетика» / Сост. Столяров A.B. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ; МАКС Пресс, 2010. -С. 131-132.

13. Шувалов Р.И. Построение распределения вероятностей локального наклона фазового рельефа в космической радиолокационной топографической интерферометрии // Исследование Земли из космоса. - 2011. - № 1. - С. 57-69.

14. Шувалов Р.И. Математическая модель формирования топографической интерферограммы поверхности Земли по данным съемок космического радиолокатора с синтезированной апертурой антенны // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. - 2010. - №4. - С. 86-99.

15. Шувалов Р.И. Математическое моделирование в задаче интерферометрической обработки радиолокационных данных дистанционного зондирования Земли из космоса // Сборник трудов Четвертой научно-

"методической конференции' аспирантов и молодых" исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» — М.: НИИ РЛ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. - С.44-45.

16. Шувалов Р.И. Математическое моделирование в задаче двумерной развертки фазы в космической радиолокационной топографической интерферометрии // Сборник материалов Международной научной конференции «Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях». - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. - С. 195-198.

17. Шувалов Р.И. Алгоритм метода функций Грина для задачи развертки фазы на плоскости // Электронный научный вестник МГГУ. - 2011. - №2. - С. 101113. [Электронный ресурс]: http://vestnik.msmu.ru/files/2/20110303145101.pdf

Подписано в печать 07.04.2011г. Формат 60x90/16 Объем 1 п.л._Тираж 100 экз. Заказ №

ОИУП Московского государственного горного университета Москва, Ленинский проспект, 6

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РАЗВЕРТКА ФАЗЫ НА ПЛОСКОСТИ

1.1. Развертка фазы в космической радиолокационной топографической интерферометрии.

1.2. Другие приложения задачи развертки фазы.

1.3. Математическая постановка задачи развертки фазы.

1.3.1. Классическая постановка.

1.3.2. Постановка в терминах векторного анализа.

1.3.3. Некорректность задачи развертки фазы.

1.3.4. Постановка в терминах теории транспортных сетей.

1.3.5. Вычислительная сложность развертки фазы.

1.4. Методы развертки фазы.

1.4.1. Метод фринговых линий.

1.4.2. Метод наименьших квадратов.

1.4.3. Метод функций Грина.

1.4.4. Метод вставки ветвей отсечения.

1.4.5. Метод растущих пикселей.

1.4.6. Метод минимума 1Р - нормы.

1.4.7. Метод минимальных разрывов.

1.4.8. Метод целочисленной оптимизации.

1.4.9. Метод оптимизации сетевого потока.

1.4.10. Метод максимума энтропии.

1.4.11. Метод статистической механики.

1.4.12. Метод вероятностного вывода.

1.4.13. Метод нелинейной стохастической фильтрации.

1.4.14. Метод на основе фильтра Калмана.

1.4.15. Метод рассеивания фазовых остатков.

1.4.16. Классификация методов развертки фазы.

1.4.17. Оптимальная регуляризация.

1.4.18. Сравнительный анализ методов развертки фазы.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

2.1. Распределение вероятностей локального наклона фазового рельефа.

2.1.1. Введение.

2.1.2. Разрывы фазы на интерферограмме.

2.1.3. Распределение вероятностей абсолютной фазовой разности

2.1.4. Вероятности разрывов фазы.

2.1.5. Замечания по реализации.

2.4.2. Фацетная модель рассеивающей поверхности.85

2.4.3. Эффективная площадь рассеяния.88

2.4.4. Интенсивность пикселя радиолокационного снимка.92

2.4.5. Параметры радиометрической модели.97

2.4.6. Проверка адекватности радиометрической модели.99

2.4.7. Правдоподобие по интенсивности.108

2.5. Визуализация математической модели.111

2.5.1. Распределение вероятностей абсолютной фазовой разности.111

2.5.2. Поле вероятности разрыва фазы в пространстве параметров.117

2.6. Функции стоимости.130

2.6.1. Получение функций стоимости.130

2.6.2. Графики функций стоимости.132

2.6.3. Неотрицательность стоимостей.136

2.6.4. Калибровка стоимостей. 137

ГЛАВА 3. МЕТОД НЕЗАВИСИМЫХ ДИПОЛЕЙ 140

3.1. Сущность предлагаемого метода.140

3.2. Поиск потока минимальной стоимости.142

3.3. Дополнительные особенности задачи. 143

3.4. Двухэтапный поиск.144

3.5. Описание локального поиска.145

3.6. Описание глобального поиска. 152

3.7. Алгоритм метода независимых диполей.155

3.8. Сравнение с ранее известными методами.159

ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ 160

4.1. Сюжет 1 . 160

4.2. Сюжет 2. 172

4.3. Сюжет 3. 177

4.4. Сюжет 4. 186

4.5. Выводы.192

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 193

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 195

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

БПФ быстрое преобразование Фурье

ВМНК весовой метод наименьших квадратов

ИП итерации Пикарда

МНД метод независимых диполей

МНК метод наименьших квадратов

МРП метод растущих пикселей

МФГ метод функций Грина

ПО программное обеспечение

РЛИ радиолокационное изображение

РСА радиолокатор с синтезированной апертурой антенны

СГ сопряженные градиенты

УЭПР удельная эффективная площадь рассеяния

ЦМР цифровая модель рельефа

ЭВМ электронно-вычислительная машина

ЭПР эффективная площадь рассеяния

ВВЕДЕНИЕ

Цифровые модели рельефа (ЦМР) поверхности Земли имеют широкое применение. Большое прикладное значение имеет метод построения ЦМР местности по данным интерферометрической съемки из космоса радиолокатором с синтезированной апертурой антенны (РСА). Это связано с возможностью получать радиолокационные изображения независимо от времени суток и погодных условий; с высокой потенциальной точностью метода; с оперативностью получения ЦМР; с широкой полосой захвата космического РСА; с высокой степенью автоматизации метода; с относительно низкой стоимостью производства ЦМР. Особенно метод актуален для протяженной территории России, большую часть года скрытую облачным покровом от объективов космических оптических сенсоров.

Наиболее сложным этапом метода является развертка фазы, т.е. реконструкция матрицы абсолютной фазы по известной интерферограмме. На интерферограмме практически всегда присутствуют разрывы фазы, но их положение неизвестно [123]. Задача развертки фазы при наличии разрывов является обратной некорректно поставленной. Для установления положения разрывов фазы на интерферограмме необходима дополнительная информация. В космической радиолокационной топографической интерферометрии дополнительная информация включает данные измерений (интенсивность принятого радиолокационного сигнала, когерентность) и статистические характеристики рельефа покрытой съемкой местности. После включения в постановку задачи развертки фазы дополнительной информации и выбора критерия оптимальности решения задача развертки фазы становится задачей оптимизации. Полученная задача оптимизации, как правило, является нелинейной и имеет большую размерность.

Проблеме развертки фазы в космической радиолокационной топографической интерферометрии посвящено большое число зарубежных работ: Spagnolini U., Fornaro G., Costantini M., Guarnieri A.M., Stramaglia S.

Италия)[40, 41, 54-58, 64, 65, 106-108]; Bamler R, Reigber A., Loffeld O., Kramer R., Eineder M., Datcu M. (Германия)[31, 32, 42, 48, 49, 78, 79, 82-84, 100, 101]; Ghiglia D.C., Pritt M.D, Zebker H.A., Flynn T.J, Chen C.W. (США)[38, 52, 53, 61, 96-98, 114, 115]; Xu W, Cumming I., Fieguth P:W, Moran J. (Канада)[91, 109, 110]; Dias J.M.B, Matías G.R.V. (Португалия) [4447, 90]; Martinez-Espla J.J. (Испания)[87-89]; Lyuboshenko I.V. (Франция)[85, 86]; Carballo G.F. (Уругвай)[36, 37]; Karout S. (Великобритания)[73]. В этих работах описано множество методов развертки фазы, каждый из которых для выяснения положения разрывов использует лишь некоторую часть доступной дополнительной информации. Отечественных работ, рассматривающих задачу развертки фазы топографических РСА-интерферограмм, сравнительно мало, несмотря на то, что в России разрабатываются системы радиолокационного наблюдения Земли из космоса (Кондор-Э, Ресурс-Метеор 3, Аркон-2М). В работах А.И. Захарова и JI.H. Захаровой (ИРЭ РАН)[112, 113], A.C. Леонова и Д.Д. Дарижапова (ОФП БНЦ СО РАН)[15] исследуются и сравниваются между собой различные методы развертки фазы. В работе P.P. Ковязина (СПбГУ ИТМО)[13] для выполнения развертки фазы интерферограммы используется метод локального интегрирования, при этом предполагается отсутствие разрывов восстанавливаемой абсолютной фазы. В работе A.B. Филатова (ЮНИИ ИТ)[24] предлагается перед разверткой фазы выполнять некогерентное накопление интерферограммы, но такая операция приводит к снижению пространственного разрешения.

Таким образом, вопросы математического моделирования связей между доступными данными измерений (главное значение фазы, когерентность, интенсивность) и искомой абсолютной фазой и разработки математических методов развертки фазы, учитывающих имеющиеся данные, являются актуальными.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей и методов для решения обратной задачи реконструкции рельефа Земли по данным интерферометрических радиолокационных измерений из космоса. Достижение указанной цели предполагает решение следующих задач: 1) описание и сравнительный анализ основных методов развертки фазы на плоскости; 2) разработка математической модели градиента абсолютной фазы на радиолокационной топографической интерферограмме; 3) разработка математического метода развертки фазы, опирающегося на математическую модель градиента абсолютной фазы; 4) разработка программного комплекса, позволяющего выполнять развертку фазы интерферограмм; 5) проведение вычислительного эксперимента с разработанным программным комплексом.

Объектом исследования являются связи между рельефом Земли и данными его интерферометрических измерений, выполненных РСА из космоса. Предметом исследования являются математические зависимости между интерферограммой и матрицей абсолютной фазы, между рельефом местности и матрицей абсолютной фазы, между рельефом местности и матрицей интенсивности сигнала, между интерферограммой и матрицей когерентности, а также математические методы реконструкции матрицы абсолютной фазы по интерферограмме, матрице когерентности, матрице интенсивности и априорной информации о рельефе местности.

При решении задачи реконструкции рельефа Земли по данным радиолокационных интерферометрических измерений из космоса, наряду с фазовой информацией в форме интерферограммы, доступна также амплитудная информация в форме матрицы интенсивности принятого сигнала, информация о дисперсии фазового шума в форме матрицы когерентности, априорная информация^ о рельефе. Общим подходом к снятию неоднозначности решения, связанной с неизвестным положением разрывов фазы на интерферограмме, является построение на множестве допустимых решений распределения вероятностей (степеней доверия) с учетом всей доступной информации. Вектор, компонентами которого являются две абсолютные фазовые разности, соответствующие двум взаимно перпендикулярным направлениям на плоской цифровой интерферограмме, называется* градиентом абсолютной фазы, или фазовым градиентом. Получение распределения вероятностей на множестве положений разрывов сводится к построению распределения вероятностей градиента абсолютной фазы. Задача развертки фазы, поставленная как задача поиска наивероятнейшего положения разрывов, эквивалентна задаче поиска потока минимальной стоимости в транспортной сети с функциями стоимости, определяемыми построенным распределением. Поток минимальной стоимости, являющийся решением задачи развертки фазы в сетевой постановке, соответствует положению разрывов фазы на интерферограмме, наиболее согласующемуся с имеющимися данными.

Научная новизна работы:

1) предложена классификация методов развертки фазы по типу применяемой регуляризации постановки задачи (т.е. по механизму снятия неоднозначности решения, обусловленной неизвестным положением разрывов фазы на интерферограмме);

2) разработана математическая модель градиента абсолютной фазы на топографической РСА-интерферограмме, обобщающая известные ранее результаты по трем направлениям: учет разрывов фазы, вызванных рельефом местности и геометрией съемки; учет интенсивности принятого радиолокационного сигнала; учет статистических характеристик рельефа;

3) разработан математический метод развертки фазы интерферограмм, опирающийся на математическую модель фазового градиента;

4) разработан универсальный программный комплекс, позволяющий выполнять развертку фазы интерферограмм.

Практическая- значимость диссертационной работы заключается в повышении точности интерферометрического метода получения ЦМР по данным радиолокационной съемки из космоса.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованной литературы из 132 наименований, содержит 14 таблиц и 101 рисунок.

4.5. Выводы.

Локальные методы развертки фазы, как правило, дают более точное решение, чем глобальные методы. Решения, даваемые различными локальными методами, отличаются лишь в пространственно небольших деталях. Поэтому характеристики точности этих решений, получаемые усреднением по всему решению, отличаются незначительно. Более существенно различаются максимальные погрешности решений, полученных различными локальными методами.

На небольших интерферограммах (размером менее 2000x2000 пикселей) предложенный метод независимых диполей не уступает по точности лучшему из известных нам алгоритмов, реализованных в отечественном программном обеспечении (алгоритм «SNAPHU», ПО «PHOTOMOD Radar», ЗАО «Фирма «Ракурс»), но в отличие от него позволяет обрабатывать интерферограммы большого размера. По сравнению же с методом наименьших квадратов, также работающим на больших интерферограммах, метод независимых диполей является более точным.

Разработанный метод позволяет сокращать время обработки за счёт возможного снижения точности получаемого решения. Это важно при обработке больших интерферограмм. При этом в получаемом решении могут возникать.погрешности в виде линейных разрывов. Есть несколько методов борьбы с такими погрешностями: 1) совершенствование математической модели; 2) увеличение радиуса р окрестности; 3) уменьшение коэффициента сжатия данных при переходе к редуцированной задаче; 4) повышение интенсивности предварительной фильтрации интерферограммы; 5) использование маски качества, позволяющей исключить из обработки области полной декорреляции снимков интерферометрической пары.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача развертки фазы на плоскости является сложной математической проблемой, имеет большое прикладное значение и до настоящего времени активно исследуется. Сложность заключается в неоднозначности решения, обусловленной неизвестным положением на интерферограмме разрывов фазы, и большой размерности задачи.

В настоящей работе на основе байесовского подхода разработана математическая модель градиента абсолютной фазы на радиолокационной топографической интерферограмме. Разработанная модель представляет собой параметрическое распределение вероятностей локального наклона фазового рельефа и позволяет включить доступную дополнительную информацию (интенсивность сигнала, когерентность, статистические характеристики рельефа местности) в постановку задачи развертки фазы для снятия имеющейся неоднозначности. Модель не привязана к какому-либо методу развертки фазы и имеет самостоятельную ценность, т.к. позволяет оценивать вероятности разрывов фазы на топографической РСА-интерферограмме по доступной дополнительной информации.

Для решения задачи оптимизации, получающейся в результате регуляризации задачи развертки фазы, в настоящей диссертации предложен математический метод, опирающийся на разработанную математическую модель, названный методом независимых диполей.

Полученные результаты имеют большое значение для решения обратной задачи реконструкции рельефа Земли по данным интерферометрических радиолокационных измерений из космоса.Практическая^ ценность полученных результатов подтверждена проведенным в рамках диссертации вычислительным экспериментом. Разработанная математическая модель и предложенный математический метод реализованы в виде программного комплекса, предназначенного для обработки данных перспективных отечественных РСА (Кондор-Э, Ресурс-Метеор 3, Аркон-2М).

Подытоживая все вышесказанное, сформулируем основные результаты работы:

1. Выполнены описание и сравнительный анализ основных методов развертки фазы на плоскости; предложена классификация методов развертки фазы по механизму снятия неоднозначности решения, обусловленной неизвестным положением разрывов фазы на интерферограмме.

2. Разработана математическая модель градиента абсолютной фазы на радиолокационной топографической интерферограмме. Модель представляет собой параметрическое распределение вероятностей локального наклона фазового рельефа, построенное на основе байесовского подхода, и устанавливает стохастическую связь между наблюдаемыми величинами и неизвестным градиентом абсолютной фазы. В модели учтена возможность наличия и суперпозиции на интерферограмме разрывов фазы различной природы.

3. Предложен математический метод развертки фазы интерферограмм, опирающийся на математическую модель фазового градиента. Метод является авторской модификацией известного в теории транспортных сетей алгоритма последовательного поиска кратчайших путей и решает задачу развертки фазы в сетевой постановке с использованием функций стоимости дуг, построенных на основе разработанной модели градиента абсолютной фазы.

4. Разработан программный комплекс, который позволяет выполнять развертку фазы интерферограмм.

5. Проведенный вычислительный эксперимент показал высокую точность разработанного метода и его способность решать задачи большой размерности. Предложенный метод может применяться для решения задачи развертки фазы при построении ЦМР поверхности Земли по данным интерферометрической радиолокационной съемки из космоса.

1. Адаптивная.оптика. Сборник статей. М.: Мир, 1980:

2. Ахметьянов В.Р., Пасмуров А :Я. Обработка радиолокационных изображений в задачах дистанционного зондирования; Земли // Зарубежная радиоэлектроника. 1987. №1. с. 70-81.

3. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности.-М.: Наука, 1972.

4. Васильев В.Н., Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам. — СПб: БХВ Санкт-Петербург, 1998.

5. Гудмен Дж. Статистическая оптика. Пер. с англ. —М.: Мир, 1988.

6. Гуров И:П. Формирование и анализ стохастических интерференционных полей // Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2000.

7. Гюнтер X. Введение в курс спектроскопии ЯМР. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. '

8. Елизаветин H.Bv, Ксенофонтов Е.А. Моделирование интерференционной системы космических радиолокаторов с синтезированной апертурой // Исследование Земли из космоса. 1994: № 4. с. 37-48.

9. Елизаветин ИВ., Ксенофонтов Е.А. Результаты экспериментального исследования возможности прецизионного измерения рельефа поверхности Земли интерферометрическим методом по данным космического РСА // Исследование Земли из космоса. 1996. № 1. с. 75-90;

10. Елизаветин И;В., Пайью Ф. Исследование характеристик земной поверхности с использованием моделирования космического РСА S-диапазона // Исследование Земли из космоса. 1997. №4; с. 13.

11. Исакович М.А. Рассеяние волн от статистически шероховатой поверхности // ЖЭТФ 23, № 3 (9), с. 305-314, 1952.

12. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М.': ФИЗМАТЛИТ, 2006.

13. Ковязин P.P. Двумерное восстановление фазы интерферограмм // Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2000.

14. Козачок А.Г. Голографические методы исследования в экспериментальной механике. -М.: Машиностроение, 1984.

15. Леонов A.C., Дарижапов Д.Д. Исследование методов развертки фазы для интерферометрической обработки радиолокационных данных //Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса.: Тез. докл. Всерос. конф. Москва, 2005.

16. Математические модели РСА. Часть I. Математическое моделирование траекторного сигнала в PJIC с синтезированной апертурой. / Под ред. Г.С. Кондратенкова. М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1982.

17. Неронский Л.Б., Михайлов В.Ф., Брагин И.В. Микроволновая аппаратура дистанционного зондирования поверхности Земли и атмосферы. Радиолокаторы с синтезированной апертурой антенны. СПб.: СПбГУАП, 1999.

18. Радиовидение. / A.A. Герасимов, Е.Е. Колтышев, Г.С. Кондратенков и др. -М.: ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1997.

19. Радиолокационные методы исследования Земли. / Ю.А. Мельник, С.Г. Зубкович, В.Д. Степаненко и др. Под ред. Ю.А. Мельника. М.: Советское радио, 1980.

20. Радиолокационные системы землеобзора космического базирования. / B.C. Верба, Л.Б. Неронский, И.Г. Осипов и др. Под ред. B.C. Вербы. М.: Радиотехника, 2010.

21. Сколник Н.И. Справочник по радиолокации: в 4 т. — М.: Советское Радио, 1976 1979.

22. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

23. Токовинин A.A. Звездные интерферометры. М.: Наука, 1988.

24. Филатов А.В. Метод обработки комплексных радиолокационных интерферограмм в условиях высокой временной декорреляции: Дис. канд. физ.-мат. наук. Барнаул, 2009.

25. Школьный JI.A., Глазков C.JI. Математическая модель и статистические характеристики спекл-структур радиолокационных изображений, получаемых радиолокаторами с синтезированной апертурой // Радиотехника. 1990. №2. с. 3-8.

26. Эрнст Р., Боденхаузен Дж., Вокаун А. ЯМР в одном и двух измерениях. Пер. с англ. Под ред. К.М. Салихова. -М.: Мир, 1990.

27. Яненко Н.Н., Преображенский Н.Г., Разумовский О.С. Методологические проблемы математической физики. Новосибирск: Наука, 1986.

28. Achan К., Frey В.J., Koetter R. A factorized variational technique for phase unwrapping in Markov random fields // Proceedings of the Seventeenth Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence, Seattle, USA, 2001.

29. Ahuja R.K, Magnanti T.L., Orlin J.B. Network flows: theory, algorithms and applications. Prentice Hall, 1993.

30. Al-Nashi H. Phase unwrapping of digital signals // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process, vol. 37, no. 11, pp. 1693-1702, 1989.

31. Bamler R. Digital terrain models from radar interferometry // Photogrammetric week '97, pp. 93-105, Wichmann Verlag, Heidelberg, 1997.

32. Bamler R., Davidson G.W. Multiresolution signal representation for phase unwrapping and interferometric SAR processing // Proceedings of the IGARSS'97 Conference, Singapore, p. 865-868, 1997.

33. Banks S.M., Sutton T.J., Griffiths H.D. A technique for interferometric synthetic aperture sonar image processing // Proceedings of the London Communication Symposium, London, UK, 2001.

34. Brown J.C., Taylor A.R., Jackel B.J. Rotation measures of compact sources in the Canadian galactic plane survey // Astrophysical journal supplement series, vol. 145, part 2, pp. 213-224, 2003.

35. Callow H.J. Signal processing for synthetic aperture sonar image enhancement: PhD thesis, University of Canterbury, 2003.

36. Carballo G.F., Fieguth P.W. Probabilistic cost functions for network flow phase unwrapping // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 38, no. 5, pp. 2192-2201, 2000.

37. Carballo G.F, Fieguth P.W. Hierarchical network flow phase unwrapping // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 40, no. 8, pp. 16951708, 2002.

38. Chen C.W. Statistical-cost network-flow approaches to two-dimensional phase unwrapping for radar interferometry: PhD thesis, Stanford University, 2001.

39. Chiaradia M. et al. Absolute phase determination in SAR interferometry // Proceedings of the IGARSS'96 Conference, pp. 2060-2062, Lincoln, USA, 1996.

40. Costantini M. A phase unwrapping method based on network programming // Proceedings of the FRINGE'96 Conference, Zurich, Switzerland, 1996.

41. Costantini M. A method for phase unwrapping in the presence of dense fringe patterns // Proceedings of the FRINGE'99 Conference, Liege, Belgium, 1999.

42. Datcu M. Maximum entropy solution for interferometric SAR phase unwrapping // Proceedings of the IGARSS'96 Conference, Lincoln, USA, 1996.

43. Derauw D. Phase unwrapping using coherence measurements // Proceedings of the SPIE, vol. 2584, pp. 319-324, 1995.

44. Dias J., Silva T., Leitao J. Absolute phase estimation with discontinuities: a stochastic nonlinear filtering approach // Proceedings of the IGARSS'98 Conference, Seattle, USA, 1998.

45. Dias J., Leitao J. A discrete/continuous minimization method in interferometric image processing // Proceedings of the EMMCVPR01, vol. 2134, pp. 375-390, Sophia Antipolis, France, 2001.

46. Dias J., Leitao J. The ZkM algorithm: a method for interferometric image reconstruction in SAR/SAS // IEEE Transactions on Image Processing, vol. 11, no. 4, pp. 408-422, April 2002.

47. Dias J., Valadao G. Phase unwrapping via graph cuts // IEEE Transactions on Image Processing, vol. 16, no. 3, pp. 698-709, March 2007.

48. Eineder M. Problems and solutions for InSAR digital elevation model generation of mountainous terrain // Proceedings of the FRINGE 2003 Workshop, Frascati, Italy, 2003.

49. Eineder M., Suchandt S. Recovering radar shadow to improve interferometric phase unwrapping and DEM reconstruction // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 41, issue 12, pp. 2959-2962, 2003.

50. Elachi C. Spaceborne radar remote sensing: applications and techniques. -IEEE Press, New-York, 1988.

51. El-taweel G.S. Enhanced-model for generating 3-D images from RADAR' interferometric satellite images // WSEAS Transactions on Environment and Development, vol. 3, issue 3, pp. 59-64, March 2007.

52. Flynn T. Consistent 2-D phase unwrapping guided by a quality map // Proceedings of the IGARSS'96 Conference, vol. 4, pp: 2057-2059, Lincoln, USA,1996.

53. Flynn T. Two-dimensional phase unwrapping with minimum weighted discontinuity // J: Opt. Soc. Am. A / vol; 14, no. 10, October 1997.

54. Fornaro G., Franceschetti G. A theoretical analysis on- the robust phase unwrapping algorithms for SAR interferometry // Proceedings of the IGARSS'96 Conference, pp. 2047-2049, Lincoln, USA, 1996.

55. Fornaro G., Franceschetti G., Lanari R. Interferometric SAR phase unwrapping using Green's formulation // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol: 34, no. 3, pp.720-727, May 1996.

56. Fornaro G. et al. How global and local phase unwrapping techniques are connected^/ Proceedings of the IGARSS'97 Conference, pp. 878-880, Singapore,1997.

57. Fornaro1 G., Rossi D. Region growing strategy applied to least square phase unwrapping // Proceedings of the IGARSS'98 Conference, vol. 1, pp.68-70, Seattle, USA, 1998.

58. Fornaro G., Sansosti E. A two-dimensional region growing least squares phase unwrapping algorithm for interferometric SAR processing // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 37, no. 5, pp. 2215-2226, September 1999.

59. Fried D.L. // J. Opt. Soc. Am. 67, 370, 1977.

60. Fung A.K., Eom R.J. Coherent scattering of a spherical wave from an irregular surface // IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 31, pp. 68-72, 1983.

61. Ghiglia D.C., Romero L.A. Robust two-dimensional weighted and unweighted phase unwrapping that uses fast transforms and iterative methods // J. Opt. Soc. Amer. A, vol. 11, no. 1, pp. 107-117, January 1994.

62. Graham L.C. Synthetic interferometric radar for topographic mapping // Proc. IEEE, vol. 62, pp. 763-768, June 1974.

63. Griffiths H.D. et al. Interferometric synthetic aperture sonar for high-resolution 3-D mapping of the seabed // IEE Proceedings Radar, Sonar and Navigation -April 1997 - vol. 144, issue 2, pp. 96-103.

64. Guarnieri A.M. SAR interferometry and statistical topography // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 40, no. 12, pp. 2567-2581, December 2002.

65. Guarnieri A.M. Using topography statistics to help phase unwrapping // IEE Proceedings online no. 20030565, 2003.

66. Gurov I.P., Sheynihovich D.V. Interferometric data analysis based on Markov non-linear filtering methodology // J. Opt. Soc. Am. A. 2000. vol. 17, pp. 21-27.

67. Hedley M., Rosenfeld D. A new two-dimensional phase unwrapping algorithm for MRI images // Magnetic Resonance in Medicine, vol. 24, pp. 177-181, 1992.

68. Hervet E. et al. Comparison of wavelet-based and statistical speckle filters // Proc. SAR "Image Analysis, Modelling, and Techniques III, vol. SPIE 3497, Barcelona, Spain, September 1998.

69. Hirose A., Yamaki R. Phase unwrapping with phase-singularity spreading // Proceedings of the IGARSS 2006 Conference, pp. 1259-1261, Denver, USA, 2006.

70. Huang Z., Shih A., Ni J. Phase unwrapping for large depth-of-field 3D laser holographic interferometry measurement of laterally discontinuous surfaces // Meas. Sci. Technol, vol. 17, pp. 3110-3119, 2006.

71. Hubig M., Adam N., Suchandt S. MCF-homomorphisms of cost functions for minimum cost flow InSAR phase unwrapping // Proceedings of the IGARSS 2001 Conference, vol. 5, pp. 2043-2045, Sydney, Australia, 2001.

72. Just D. et al. Comparison of phase unwrapping algorithms for SAR interferograms // Proceedings of the IGARSS'95 Conference, vol. 1, pp. 767-769, Firenze, Italy, 1995.

73. Karout S. Two-dimensional phase unwrapping: PhD thesis, Liverpool University, 2007.

74. Kaveh M., Soumekh M., Greenleaf J. Signal processing for diffraction tomography // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics, vol. 31, issue 4, pp. 230-239, 1984.

75. Kirk R.L. A fast finite-element algorithm for two-dimensional photoclinometry: PhD thesis, California Institute of Technology, 1987.

76. Kirk R.L. et al. Radar reveals Titan topography // Proc. Lunar and Planetary Science XXXVI, 2005.

77. Koetter R. et al. Unwrapping phase images by propagating probabilities across graphs // Proceedings of the International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, Salt Lake City, USA, 2001.

78. Kramer R., Loffeld O. Phase unwrapping for SAR interferometry with Kalman filters // Proceedings of the EUSAR'96 Conference, pp. 199-202, Konigswinter, Germany, 1996.

79. Kramer R., Loffeld O. Presentation of an improved phase unwrapping algorithm based on Kalman filters combined with local slope estimation // Proceedings of the FRINGE'96 Conference, Zurich, Switzerland, 1996.

80. Lee J.-S. et al. Intensity and phase statistics of multilook polarimetric and interferometric SAR imagery // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 32, no. 5, pp. 1017-1028, September 1994.

81. Lee J.-S. et al. A new technique for noise filtering of SAR interferometric phase images // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 36, no. 5, pp. 1456-1465, September 1998.

82. Loffeld O., Kramer R. Phase unwrapping for SAR interferometry // Proceedings of the IGARSS'94 Conference, pp. 2282-2284, Pasadena, USA, 1994.

83. Loffeld O., Arndt C. Estimating the derivative of modulo-mapped phases // Proc. IEEE Int. Conf. Acoust., Speech, Signal Process., vol. IV, pp. 2841-2844, Munich, Germany, 1997.

84. Loffeld O. et al. Phase unwrapping for SAR interferometry — a data fusion approach by Kalman filtering // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 46, no. 1, pp. 47-58, January 2008.

85. Lyuboshenko I. Unwrapping circular interferograms // Applied Optics 39, pp. 4817-4825, 2000.

86. Lyuboshenko I., Maitre H., Maruani A. Least-mean-squares phase unwrapping by use of an incomplete set of residue branch cuts // Applied Optics 41, pp. 21292148, 2002.

87. Martinez-Espla J.J., Martinez-Marin T., Lopez-Sanchez J.M. Using a grid-based filter to solve InSAR phase unwrapping // IEEE Geoscience an,d Remote Sensing Letters, vol. 5, no. 2, pp. 147-151, ApriL2008.

88. Martinez-Espla J.J., Martinez-Marin T., Lopez-Sanchez J.M. A particle filter approach for InSAR phase filtering and unwrapping // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 47, no. 4, pp. 1197-1211, April 2009.

89. Matias G.R.V. Radar interferometry: 2D phase unwrapping via graph cuts: M.S. thesis, Instituto Superior Técnico (Universidade Técnica de Lisboa), 2006.

90. Moran J. Quantitative testing of probabilistic phase unwrapping methods: M.S. thesis, University of Waterloo, 2001.

91. Moser G., Zerubia J., Serpico S. B. SAR amplitude probability density function estimation based on a generalized Gaussian model // IEEE Transactions on Image Processing, vol. 15, no. 6, pp. 1429-1442, June 2006.

92. Nakadate S., Saito H. Applied Optics 24, 2172, 1985.

93. Poggi G., Ragozini A.R.P., Servadei D. A Bayesian approach for SAR interferometric phase restoration // Proceedings of the IGARSS 2000 Conference, vol. 7, pp. 3202-3205, Honolulu, Hawaii, 2000.

94. Prati C., Giani M., Leuratti N. A 2-D phase unwrapping technique based on phase and absolute value information // Proceedings of the IGARSS'90 Conference, pp. 2043-2046, Washington, USA, 1990.

95. Pritt. M.D. Multigrid phase unwrapping for interferometric SAR // Proceedings of the IGARSS'95 Conference, pp. 562-564, Firenze, Italy, 1995.

96. Pritt M.D. Comparison of path-following and least-squares phase unwrapping algorithms // Proceedings of the IGARSS'97 Conference, Singapore, 1997.

97. Pritt M.D. Congruence in least-squares phase unwrapping // Proceedings of the IGARSS'97 Conference, pp. 1033-1038, Singapore, 1997.

98. Refice A. et al. Weights determination for minimum cost flow InSAR phase unwrapping // Proceedings of the IGARSS'99 Conference, vol. 2, pp.1342-1344, Hamburg, Germany, 1999.

99. Reigber A., Moreira J. Phase unwrapping by fusion of local and global methods // Proceedings of the IGARSS'97 Conference, vol. 2, pp. 869-871, Singapore, 1997.

100. Reigber A., Parashou H. DEM generation using ERS tandem data: phase unwrapping and quality assessment // Proceedings of the EUSAR'98 Conference, pp. 245-248, Friedrichshafen, Germany, 1998.

101. Rosen P. et al. Synthetic aperture radar interferometry // Proceedings of the IEEE, vol. 88, no. 3, March 2000.

102. Schwarz, Oliver. Improved hybrid phase unwrapping algorithm in speckle interferometry // Proceedings of the SPIE, vol. 4777, pp. 300-310, 2002.

103. Song S.M. et al. A least squares based phase unwrapping algorithm for MRI // IEEETMI, pp. 1784-1788, 1994.

104. Song S.M. et al. Phase unwrapping of MR images using Poisson equation // IEEE Transactions on Image Processing, pp. 667-676, 1995.

105. Spagnolini U. 2-D phase unwrapping and phase aliasing // Geophysics, vol. 58, no. 9, pp. 1324-1334, 1993.

106. Spagnolini U. 2-D Phase unwrapping and instantaneous frequency estimation // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 33, no.3, pp. 579-598, 1995.

107. Stramaglia S., Refice A., Guerriero L. Statistical mechanics approach to the phase unwrapping problem // Elsevier, Physica A, vol. 276, no. 3, pp. 521-534, February 2000.

108. Xu W., Cumming I. Unwrapping the difficult Sardegna interferogram // Proceedings of the FRINGE'96 Conference, Zurich, Switzerland, 1996.

109. Xu W., Cumming I. A region-growing algorithm for InSAR phase unwrapping // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 37, no. 1, pp. 124-134, January 1999.

110. Yamaki R., Hirose A. Singularity-spreading phase unwrapping // IEEE Trans, on Geoscience and Remote Sensing, vol. 45, no. 10, pp. 3240-3251, October 2007.

111. Zakharov A.I. On the way of estimation of the reliability of the interferometric pixels for correct phase unwrapping in the DEM generation // Proceedings of the FRINGE'99 Conference, Liege, Belgium, 1999.

112. Zakharova L.N. Comparison of global and local approach to phase unwrapping for rugged terrain // Proceedings of the FRINGE 2003 Workshop, Frascati, Italy, December 2003.

113. Zebker H.A., Goldstein R.M. Topographic mapping from interferometric SAR observations // J. Geophys. Res., vol. 91, pp. 4993-4999, 1986.

114. Zebker H.A. et al. On the derivation of coseismic displacement field using differential radar interferometry: the Landers earthquake // J. Geophys. Res., vol. 99, no. B10, pp. 19617-19634, 1994.

115. Публикации автора по теме диссертации:

116. Шувалов Р.И. Решение задач оптимизации методом пси-преобразования // Сборник докладов Второй научно-практической конференции молодых специалистов и студентов памяти главного конструктора- академика В.И. Кузнецова. М.: МГУЛ, 2004. - С. 147-155.

117. Елизаветин И.В., Шувалов Р.И., Буш В.А. Принципы и методы радиолокационной съемки для целей формирования цифровой модели местности // Геодезия и картография. 2009. - №1. - С. 39-45.

118. Шувалов Р.И. Разработка радиометрической модели снимков поверхности Земли, формируемых по данным измерений космических радиолокаторов с синтезированной апертурой антенны // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 2009. - №4. - С. 99-118.

119. Шувалов Р.И. Построение распределения вероятностей локального наклона фазового рельефа в космической радиолокационной топографической интерферометрии // Исследование Земли из космоса. -2011.-№ 1.-С. 57-69.

120. Шувалов Р.И. Математическая модель формирования топографической интерферограммы поверхности Земли по данным съемок космического радиолокатора с синтезированной апертурой антенны // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 2010. - №4. - С. 86-99.

121. Шувалов Р.И. Алгоритм метода функций Грина для задачи развертки фазы на плоскости // Электронный научный вестник МГГУ.-2011.-№2.-С.101-113. Электронный ресурс.: http://vestnik.msmu.rU/files/2/20110303145101.pdf

122. РЛ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С.44-45.