автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование движения несимметричного авторотирующего тела

003465820

На правах рукописи

Беляков Дмитрий Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСИММЕТРИЧНОГО АВТОРОТИРУЮЩЕГО ТЕЛА

Специальность 05.13.18

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

О 2 АПР 2209

Москва 2009

003465820

Работа выполнена на кафедре «Прикладной математики» факультета «Прикладная математика, механика и информатика» ГОУ ВПО "МАТИ" -Российского государственного технологического университета имени К.Э. Циолковского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Самсонов Виталий Александрович Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Хахулин Геннадий Федорович кандидат физико-математических наук Локшин Борис Яковлевич

Ведущая организация: Московский энергетический институт

(технический университет)

Защита состоится О 2009 г. в /V часов на заседании

диссертационного совета Д 212.110.08 при ГОУ ВПО "МАТИ" -Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского (121552, Москва, ул. Оршанская, д. 3, ауд. 612 А).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "МАШ" - Российского государственного технологического университета им. К.Э. Циолковского.

Автореферат разослан "/У" 0 3 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.110.08 кандидат физико-математических наук

М.В. Спыну.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Настоящая работа посвящена исследованию движения авторотирующего тела: математическому моделированию и разработке комплекса программ для проведения численного анализа.

В настоящее время динамика тел, взаимодействующих со средой, представляет собой хорошо развитый раздел механики. Этой теме посвящены фундаментальные труды Н.Е. Жуковского и С.А.Чаплыгина, создавших основы современной аэродинамики, работы авиаконструкторов и создателей ракетной техники: A.A. Туполева, C.B. Ильюшина, С.А. Микояна, A.C. Яковлева, В.М.Мясищева, O.K., Антонова, С.П. Королева, В.Н. Челомея, М.К. Янгеля и др., исследования В.П. Ветчинкина, К.Э. Циолковского, А.Н. Журавченко, B.C. Пышнова, М.В. Келдыша, Л.И. Седова, А.Ю. Ишлинского и др., а также зарубежных ученых JI. Прандтля Г. Глауэрта, Ч. Циммермана и др.

В задачах динамики тела, взаимодействующего со средой, существует проблема моделирования взаимодействия среды с авторотирующими телами разных конфигураций. Необходимость решения такой проблемы существует и в авиаракетостроении.

Простейшей моделью авторотирующего тела является аэродинамический маятник в потоке сопротивляющейся среды. Эту модель можно рассматривать как обобщение классической задачи о физическом маятнике. С другой стороны, с такой моделью можно сопоставить многие реальные механические системы, такие как крыло, парус, парашют, ветродвигатель в виде несущего винта. В начале XVII века окончательно сформировался шатровый тип голландской ветряной мельницы, имеющий форму несущего винта с горизонтальной осью вращения. Несущий винт с вертикальной осью служит еще одной простейшей моделью авторотирующего тела. Всем известно

использование режима авторотации винта вертолета в качестве режима аварийной посадки. Вертикальная составляющая скорости при снижении быстровращающегося тела намного меньше окружной скорости лопастей. Это позволяет использовать такие модели в качестве систем торможения при спуске в атмосфере. В 1920 году Дарье предложил идею ветротурбины с вертикальной осью вращения, когда лопасти турбины вращаются с высокой угловой скоростью (рис. 1 а).

Показано, что аналогичный режим существует при спуске рабочего элемента ветротурбины Дарье, и его можно использовать как перспективную систему спуска.

В настоящей работе построена математическая модель спуска в вертикальной плоскости тела сложной конфигурации, состоящего из стержня и двух параллельных пластинок, плоскости которых могут быть отклонены на малый угол 8 относительно нормали к стержню и разработан комплекс программ для проведения численных исследований движения тела.

Рассматриваемая конструкция представляет собой рабочий элемент ветротурбины Дарье с двумя лопастями. Далее под словом «тело» понимается такого типа конструкция. Тело осуществляет спуск в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и аэродинамических сил. Для формирования аэродинамических сил применяется квазистатическая модель воздействия среды. Полученная математическая модель движения представляет собой систему дифференциальных и трансцендентных уравнений. Рассматривается классическая задача о существовании у тела различных стационарных режимов спуска и исследовании их устойчивости по первому приближению. Наибольший интерес в исследовании представляет режим авторотации, при котором тело быстро вращается и осуществляет снижение по вертикали или наклонной прямой подобно свободно вращающемуся несущему винту.

При помощи метода осреднения для этого режима получены оценки угловой скорости, скорости центра масс и угла отклонения скорости центра масс от вертикали. Показано, что режим авторотации является притягивающим. Проведено сравнение параметров снижения режима авторотации с параметрами других режимов.

Спуск в режиме авторотации происходит с наименьшей скоростью по сравнению с другими режимами, поэтому авторотация - наиболее подходящий режим для применения этой конструкции в качестве системы вертикального спуска. Показано влияние величины установочного угла пластинок 8 на угол отклонения от вертикали при движении в режиме авторотации.

Цель и задачи исследования.

Основной целью работы является исследование динамической системы, описывающей движение тела при помощи математического моделирования и разработка комплекса соответствующих компьютерных программ.

Для достижения этой цели предстоит решить следующие задачи:

1. Построить математическую модель движения тела сложной конфигурации.

2. Провести основные аналитические исследования:

- найти множество положений относительного равновесия при поступательном движении тела,

- исследовать устойчивость установившихся движений тела,

- найти установившийся режим спуска тела с авторотацией,

- провести сравнение значений установившейся скорости в режиме авторотации со скоростями на других установившихся режимах.

3. Провести имитационное моделирование движения тела: разработать комплекс программ и при помощи численных методов осуществить параметрический анализ динамической системы.

Методы выполнения исследования.

В диссертационной работе используются методы, базирующиеся на общих теоремах динамики, метод Ляпунова определения устойчивости по первому приближению, метод осреднения. Для проведения численных исследований применяется математический пакет МАТЬАВ 6.5., имеющий развитые средства диалога, графики и комплексной визуализации. С его помощью проводится численное интегрирование уравнений движения тела методом Рунге-Кутга 4-го порядка. Достоверность.

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена адекватностью построенных моделей классическим представлениям в теоретической механике, строгостью математической постановки задач и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов. Научная новизна.

1. Рассмотрено движение перспективной системы спуска твердого тела.

2. Впервые описано множество стационарных режимов планирования тела и найдено положение тела, при котором достигается наиболее пологое планирование.

3. Математическая модель спуска объекта имеет режим, аналогичный авторотации. Показано, что на этом режиме скорость спуска минимальна.

4. Показано, что изменение установочного угла пластинок влияет на угол планирования и служит эффективным управляющим воздействием.

Практическая ценность работы.

Разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют подготовить основу для перспективного предложения - принципиально нового аэродинамического тормозного устройства или системы спуска.

Личный вклад автора.

Все результаты, оценки и алгоритмы, выносимые на защиту, получены автором диссертации лично.

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Шестнадцатых академических чтениях по космонавтике (30 января - 01 февраля 2002г. Москва, МГУ), Пятом Международном Аэрокосмическом Конгрессе (27-31 августа 2006г. Москва, МГУ.), Тридцать третьих Гагаринских чтениях (4-5 апреля 2007г. ГОУ ВПО «МАТИ»-РГТУ им. К.Э. Циолковского), Всесоюзной научно-технической конференции «Новые материалы и технологии» НМТ-2008 (11-12 ноября 2008г. ГОУ ВПО «МАТИ» -РГТУ им. К.Э. Циолковского).

Реализация и внедрение результатов работы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 04-01-00505-а , 0508-01378). Результаты диссертационной работы использованы ФГУП «МИТ» по акту № 1/534-117 при расчете динамических характеристик тел сложной конфигурации на атмосферном участке траектории полета, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсу «Теория информационных систем» студентам факультета № 3 «Информационные системы и технологии» ГОУ ВПО «МАТИ»-РГТУ им. К.Э. Циолковского, о чем имеются акты внедрения.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 30 наименований и приложения. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, содержит 56 рисунков и 3 таблицы.

Публикации.

По теме диссертации опубликованы девять печатных работ, из них 5 статей, 4 тезисов докладов. Статьи [1], [2] опубликованы в журналах,

которые входят в перечень ВАК. Список работ приведен в конце диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены сведения об использовании, реализации и апробации результатов работы и структуре диссертации.

Первая глава диссертации носит вводный характер.

В § 1 в рамках плоскопараллельного движения построена математическая модель спуска в вертикальной плоскости тела сложной конфигурации, состоящего из стержня и двух параллельных пластинок. Плоскости пластинок образуют угол 8 с плоскостью, ортогональной стержню, (рис. 1 б). При создании модели воздействия среды на тело, использована гипотеза о квазистационарном обтекании пластинок средой. Согласно этой гипотезе, сила воздействия среды на каждую пластинку характеризуется скоростью некоторой ее точки, которая называется центром давления. В рассматриваемой модели предполагается, что центры давления точки А и В неподвижны в плоскости пластинок, так как поперечные размеры пластинок намного меньше длины стержня. Считается также, что среда не оказывает никакого влияния на стержень и центр масс системы находится в середине стержня. Силы воздействия среды на каждую пластинку раскладываются на сумму сил сопротивления направленных против абсолютных скоростей центров давления УА,Р„ и подъемных сил РА,РВ, направленных ортогонально УА,УВ (рис.1 б).

Зависимость аэродинамических сил от скоростей центров давления носит квадратичный характер и имеет вид:

\=*(а+6)У] = Х-росХа+8)\'гл \РЛ \=р(а + 3)У2л Лрасу{а + 6)УгА, \§в !=*(/? +¿X =1росх(Р + 6)У1 | Рв |= +

где УА и У„ - скорости центров давления, а,/) - углы атаки между векторами окружных скоростей точек А, В (УАО,УВО) и векторами УА,УВ, р,х - аэродинамические функции углов атаки, сх, су - безразмерные аэродинамические функции, р - плотность воздуха, а - площадь пластинок. В качестве обобщенных координат, определяющих положение тела, введем координаты х, у центра масс, точки О и угол ц/ отклонения стержня АВ от вертикали. Для описания распределения скоростей точек нашего тела, зададим величину вектора абсолютной скорости центра масс

V, угол у отклонения вектора V от вертикали, угол в отклонения

стержня АВ от вектора абсолютной скорости центра масс V и абсолютную

угловую скорость стержня т. Математическая модель задачи о спуске

рассматриваемого тела описывается следующими уравнениями и

условиями: г .

-wgocsy ■

-щапу

Jm=r(y^(p(a+S)sna-s(a+S)(Xsa)+V^(p(P+S)^/}-s(fi+S)ccE/i)

4.0+7=69

Кинематические соотношения, связывающие VA,Vs,a,/3, с У,0,3, имеют вид:

VAsiaa = -Vcos0,VBsm/) = Vcos0 ^

VA cos а = rto-V sm0,VB cos/? = ra>+Vsinff

Уравнения движения той же самой задачи можно построить также и в системе координат, связанной с осями Кенига.

В § 2 проводится описание математического аппарата задачи. При исследовании движения быстровращающегося тела используется метод осреднения системы уравнений движения тела, после чего показывается существование стационарного решения, которому соответствует режим авторотации. Установлено, что этот режим является притягивающим. Для обоснования применения метода осреднения получены уравнения первого приближения для режима авторотации и проведена их нормализация. Показано, что нормализованные уравнения имеют ограниченное периодическое решение. Таким образом, обоснована законность осреднения. Для других, более простых установившихся движений, исследуется устойчивость нулевого решения по первому приближению. Математической основой для этого служат фундаментальные положения теории исследования нелинейных колебательных систем при помощи

метода осреднения и основные положения теории устойчивости движения: теорема Боголюбова, метод нормальных координат Булгакова, теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Вторая глава посвящена математическому моделированию поступательного движения тела и исследованию устойчивости некоторых установившихся режимов.

В § 1 показано, что любому углу ориентации тела y/(t) = const = y/.,

mgcosy

соответствует движение с постоянной скоростью V. = J-~—у-, под углом

у, =у/, +а. -—, где а. определяется из уравнения:

с/£(у/+а) = *(« + £) (3)

Такое движение - режим планирования. Множество этих режимов неизолированно. Численно получена зависимость у = у(у) и (рис. 2) для тела, имеющего прямоугольные пластинки с удлинением Л = 8, при 5 = 0. Из нее видно, что существует такой угол ориентации тела у., при котором достигается наиболее пологое планирование, т.е. у = утах. I умх 87,1353° и ц/. »-0,1153°

рг. G

«1

PS1

Рис. 2

Из зависимости у = /0//) видно существование двух режимов

г 71 ?

вертикального спуска: в случае ц/ = -д и <// = —-<5

В § 2, § 3 проведено исследование устойчивости двух режимов вертикального спуска и режима планирования для тела с горизонтально расположенными пластинками, которое показало, что во всех трех случаях существует нулевой корень. Таким образом, для окончательного ответа на вопрос об устойчивости, требуется рассматривать уравнения в приближениях более высокого порядка. Для каждого режима получены условия неустойчивости.

Третья глава посвящена математическому моделированию движения тела при высокой угловой скорости, т.е. когда \Ули \»\У \,а,р

В § 1 получены формулы режима авторотации. Для этого в системе (1) делается переход от переменных а,р,Улув к переменным 6,со,У при от,/? 0 и проводится осреднение полученных уравнений движения тела на отрезке [0,2^]. Показано, что вертикальная составляющая скорости при снижении быстровращающегося тела намного меньше окружной скорости лопастей. При малых 5 величина угла отклонения от вертикали при спуске в режиме авторотации пропорциональна установочному угла пластинок 8. В случае 8 = 0 тело осуществляет спуск по вертикальной прямой.

В § 2 получены уравнения первого приближения режима авторотации для осредненной системы и показана его асимптотическая устойчивость. Проведена линеаризация уравнений, полученных из системы (1) при помощи перехода от переменных а,/},УА Ув к переменным 0, со, V при

В § 3 проведена нормализация этих уравнений и показано, что нормализованная система имеет ограниченное периодическое решение.

В § 4 проведено сравнение параметров снижения режима авторотации с параметрами спуска в других режимах. Делается вывод, что спуск в режиме авторотации происходит с наименьшей скоростью по сравнению со всеми другими режимами.

Четвертая глава настоящей диссертации посвящена имитационному моделированию движения тела, т.е. созданию комплекса программ на основе построенной математической модели и параметрическому анализу динамической системы при помощи численных исследований.

§ 1 носит вводный характер. В нем определяется применение имитационного моделирования движения тела к задаче, рассматриваемой в работе.

В § 2 проводится имитационное моделирование множества стационарных режимов, полученного качественным образом в § 1 главы 2 (рис. 2). Построена программа, которая ищет численное решение уравнения (3) в среде программирования MATLAB. При этом используется процедура fsolve, входящая в пакет расширения Optimization Toolbox. Эта процедура решает системы нелинейных уравнений вида: F(X) - О методом наименьших квадратов.

В § 3 описывается программа, реализующая численное интегрирование уравнений движения тела при помощи методов Рунге-Кутта 4-го порядка. Аэродинамические функции приближаются кубическими сплайнами. При интегрировании графически выводятся фазовые зависимости переменных интегрирования и траектории центра масс. После выхода на режим авторотации вычисляются средние значения численной угловой скорости, скорости центра масс и угла планирования и для тестового контроля сравниваются с теоретическими оценками, найденными при помощи метода осреднения. При помощи численного интегрирования мы можем искать максимальное значение угла планирования вращающегося тела за пределами действия метода осреднения.

В § 4 при помощи программы, разработанной в § 3, проводится имитационное моделирование поступательного движения тела, имеющего прямоугольные пластинки с удлинением X = 8 и различными значениями параметров: массы, длины стержня, момента инерции, площади пластинки, установочного угла пластинок. Численные исследования подтверждают неустойчивость режимов вертикального спуска и неустойчивость режима планирования.

В § 5 проводится имитационное моделирование движения тела в режиме авторотации при различных значениях параметров. Установочный

V

угол меняется от нуля до пяти градусов. При малых 3 «1 и е = — «1

га

средняя угловая скорость, скорость центра масс, угол планирования, полученные в результате численного счета, отличаются от средней угловой скорости, скорости центра масс, угла планирования, полученных с помощью метода осреднения на величину порядка малого параметра. Это соответствует основному выводу теоремы Боголюбова. Подтверждается, что свободное движение тела при <У = 0 в режиме авторотации проходит под некоторым малым углом, который отличается от нуля на величину порядка малого параметра. Это говорит о том, что средняя боковая сила в приближениях, высших чем первое, отлична от нуля.

В § 6 проводится параметрический анализ динамической системы, описывающей движение тела. Авторотация тела рассматривается при различных значениях массы, перекоса пластинки. Результаты имитационного моделирования представлены в виде поверхности а = со(т, 5), изображающей зависимость (рис. 3) численной угловой скорости от массы и перекоса пластинки. На рисунке 4 изображена область авторотации, полученная в результате численного счета. Результаты численного счета наиболее схожи со стационарными значениями при

малых 3 и больших т. При малых значениях массы на линиях уровня, изображенных на рисунке 4, наблюдается нарушение симметрии.

Рис.3

В заключении перечислены результаты, полученные в диссертации. Основные выводы и результаты работы:

1. Разработана математическая модель движения тела специальной формы как элемента системы спуска.

2. Указано множество неизолированных установившихся режимов планирования, в которых тело движется поступательно. Найдено максимально возможное значение угла планирования.

3. Показано, что вопрос об устойчивости найденных неизолированных установившихся режимов приводит к критическому по Ляпунову случаю. Для некоторых частных случаев получены условия неустойчивости поступательного движения тела по первому приближению.

4. Показано, что в широком диапазоне параметров существует стационарный режим авторотации, который является притягивающим. Это позволяет использовать рассматриваемую конструкцию в качестве системы вертикального спуска. Скорость спуска при движении в режиме авторотации минимальна по сравнению с другими режимами.

5. Установлена возможность управления углом отклонения скорости спуска от вертикали при движении рассматриваемого тела с помощью относительного поворота пластинок. Показано, что угол планирования в режиме авторотации пропорционален углу перекоса пластинок (при малых его значениях).

6. На базе специализированной системы компьютерной математики МАТЬ А В 6.5 разработан комплекс программ для имитационного моделирования движения тела и с его помощью осуществлен параметрический анализ динамической системы.

Уточнены количественные характеристики всех установившихся режимов спуска, подтверждены аналитические оценки.

На плоскости параметров: масса и установочный угол пластинок построена область существования ротационных режимов.

Публикации результатов исследования.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Беляков Д.В., Самсонов В.А., Филиппов В.В. «Исследование движения несимметричного тела в сопротивляющейся среде». Издательство «МЭИ», журнал «Вестник МЭИ», выпуск №4 2006 г., стр. 5-10.

2. Беляков Д.В. "Исследование и особенности математической модели движения несимметричного авторотирующего тела в квазистатической среде". Издательство «Новые технологии», журнал "Мехатроника, Автоматизация, Управление". Выпуск № 11. 2007 г., стр. 20-24

3. Самсонов В.А., Беляков Д.В., Чебурахин И.Ф. «Вертикальное снижение тяжелого симметричного авторотирующего тела» в сопротивляющейся среде. Издательство «МАТИ»-Р1 ТУ, сборник «Научные Труды МАТИ», выпуск 9 (81). Москва. 2005. г., стр. 145-150

4. Самсонов В.А., Беляков Д.В. «Математическое моделирование движения симметричного авторотирующего тела, раскрученного до высокой угловой скорости, в воздушной среде». Издательство «МАТИ» -РГТУ, сборник «Научные Труды МАТИ» выпуск 10 (82).

Москва. Изд-во МАШ-РГТУ. 2006 г., стр. 196-200.

5. Беляков Д.В., Самсонов В.А. «Оценка возможностей нового типа ротирующего спускающегося в воздухе объекта». Тезисы XXVI Академических Чтений по Космонавтике. 2002 г. Под редакцией А.К. Медведевой. Стр. 100. Регистрационный номер: ISBN 978-5-98625-051-9.

6. Беляков Д.В. «Математическое моделирование движения ротирующего спускающегося в воздухе объекта». Пятый . Международный Аэрокосмический Конгресс IAC'06. Посвящается 20-летию вывода в космос орбитальной станции "МИР". Тезисы докладов. 27-31 августа 2006 г., Москва, Россия. Стр. 62-63.

7. Д.В. Беляков «Математическая модель несимметричного авторотирующего тела в сопротивляющейся среде» Тезисы докладов ХХХШ Международной Молодежной Научной Конференции «Гагаринские Чтения» 2007 г. Стр. 27-28.

8. Беляков Д.В. «Математическое моделирование движения ротирующего спускающегося в воздухе объекта». Пятый Международный Аэрокосмический Конгресс IAC'06. Посвящается 20-летию вывода в космос орбитальной станции "МИР". Полные доклады. 27-31 августа 2006 г., Москва, Россия. Электронный вид. Регистрационный номер: ISBN 589354-064-6

9. Беляков Д.В. «Перспективные технологии создания системы безопасного спуска в воздушной среде». Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции «Новые материалы и технологии» -НТМ-2008. 11-12 ноября 2008 г. Москва, ГОУ ВПО «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского. Стр. 117.

Введение.

Глава первая. Построение математической модели и постановка задачи.

1. Построение математической модели движения рассматриваемого тела.

2. Используемый математический аппарат.

Глава вторая. Поступательное движение тела.

1. Простейшие стационарные режимы.

2. Исследование устойчивости режимов вертикального спуска.

3. Исследование устойчивости режима планирования.

Глава третья. Движение тела с высокой угловой скоростью.

1. Режим авторотации.

2. Получение уравнений первого приближения режима авторотации.

3. Нормализация уравнений первого приближения режима авторотации.

4. Сравнение установившейся скорости режима авторотации со скоростями других режимов.

Глава четвертая. Программирование и тестирование.

1. Имитационное моделирование движения тела.

2. Моделирование множества стационарных режимов.

3. Численное интегрирование уравнений движения.

4. Численное исследование простейших режимов.

5. Численное исследование движения тела вблизи режима авторотации.

6. Область авторотации.

Актуальность темы

Настоящая работа посвящена исследованию движения авторотирующего тела: математическому моделированию и разработке комплекса программ для проведения численного анализа.

В настоящее время динамика тел, взаимодействующих со средой, представляет собой хорошо развитый раздел механики. Этой теме посвящены фундаментальные труды Н.Е. Жуковского и С.А.Чаплыгина, создавших основы современной аэродинамики, работы авиаконструкторов и создателей ракетной техники: A.A. Туполева, C.B. Ильюшина, С.А. Микояна, A.C. Яковлева, В.М.Мясищева, O.K., Антонова, С.П. Королева, В.Н. Челомея, М.К. Янгеля и др., исследования В.П. Ветчинкина, К.Э. Циолковского, А.Н. Журавченко, B.C. Пышнова, М.В. Келдыша, Л.И. Седова, А.Ю. Ишлинского и др., а также зарубежных ученых JI. Прандтля Г. Глауэрта, Ч. Циммермана и др.

В задачах динамики тела, взаимодействующего со средой, существует проблема моделирования взаимодействия среды с авторотирующими телами разных конфигураций. Необходимость решения такой проблемы существует и в авиаракетостроении.

Простейшей моделью авторотирующего тела является аэродинамический маятник в потоке сопротивляющейся среды. Эту модель можно рассматривать как обобщение классической задачи о физическом маятнике. С другой стороны, с такой моделью можно сопоставить многие реальные механические системы, такие как крыло, парус, парашют, ветродвигатель в виде несущего винта. В начале XVII века окончательно сформировался шатровый тип голландской ветряной мельницы, имеющий форму несущего винта с горизонтальной осью вращения. Несущий винт с вертикальной осью служит еще одной простейшей моделью авторотирующего тела. Всем режима аварийной посадки. Вертикальная составляющая скорости при снижении быстровращающегося тела намного меньше окружной скорости лопастей. Это позволяет использовать такие модели в качестве систем торможения при спуске в атмосфере. В 1920 году Дарье предложил идею ветротурбины с вертикальной осью вращения, когда лопасти турбины вращаются с высокой угловой скоростью (рис. 5), которая имеет ряд преимуществ перед обычным ветродвигателем. Эта турбина работает по принципу преобразования силы ветра в подъемную силу профилированной лопасти и не требует устройств, отслеживающих направление и скорость ветра.

В настоящей работе построена математическая модель спуска в вертикальной плоскости тела сложной конфигурации, состоящего из стержня и двух параллельных пластинок, плоскости которых могут быть отклонены на малый угол 8 относительно нормали к стержню и разработан комплекс программ для проведения численных исследований движения тела.

Рассматриваемая конструкция представляет собой рабочий элемент ротора Дарье с двумя лопастями. Тело осуществляет плоскопараллельный спуск в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и аэродинамических сил. Полученная математическая модель движения представляет собой систему дифференциальных и тригонометрических уравнений. Рассматриваются классические задачи о существовании у тела различных стационарных режимов спуска и исследовании их устойчивости по первому приближению. Наибольший интерес в исследовании представляет режим авторотации, при котором тело быстро вращается и снижается по вертикали или наклонной прямой подобно свободно вращающемуся несущему винту. При помощи метода осреднения для этого режима получены оценки для средних угловой скорости, скорости центра масс и угла отклонения скорости центра масс от вертикали. Показано, что режим авторотации является притягивающим и асимптотически устойчив. к/

Проведено сравнение параметров снижения режима авторотации с & параметрами других режимов.

Спуск в режиме авторотации происходит с наименьшей скоростью по сравнению с другими режимами, поэтому авторотация - наиболее подходящий режим для применения этой конструкции в качестве системы вертикального спуска. Показано влияние величины установочного угла пластинок 8 на угол отклонения от вертикали при движении в режиме авторотации.

Цель и задачи исследования.

Основной целью работы является исследование динамической системы, описывающей движение тела при помощи математического моделирования и разработка комплекса соответствующих компьютерных программ. Для достижения этой цели предстоит решить следующие задачи:

1. Построить математическую модель движения тела сложной конфигурации.

2. Провести основные аналитические исследования: найти множество положений относительного равновесия при поступательном движении тела,

- исследовать устойчивость установившихся движений тела,

- найти установившийся режим спуска тела с авторотацией,

- провести сравнение значений установившейся скорости в режиме авторотации со скоростями на других установившихся режимах,

3. Провести имитационное моделирование движения тела: разработать комплекс программ и при помощи численных методов осуществить параметрический анализ динамической системы.

Методы выполнения исследования.

В диссертационной работе используются методы, базирующиеся на общих теоремах динамики, метод Ляпунова определения устойчивости по первому приближению, метод осреднения. Для проведения численных исследований применяется математический пакет МАТЬАВ 6.5., имеющий развитые средства диалога, графики и комплексной визуализации. С его помощью проводится численное интегрирование уравнений движения тела методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Достоверность.

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена адекватностью построенных моделей классическим представлениям в теоретической механике, строгостью математической постановки задач и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов. Научная новизна.

1. Рассмотрено движение перспективной системы спуска твердого тела.

2. Впервые описано множество стационарных режимов планирования тела и найдено положение тела, при котором достигается наиболее пологое планирование.

3. Математическая модель спуска объекта имеет режим, аналогичный авторотации. Показано, что на этом режиме скорость спуска минимальна.

4. Показано, что изменение установочного угла пластинок влияет на угол планирования и служит эффективным управляющим воздействием.

Практическая ценность работы.

Разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют подготовить основу для перспективного предложения - принципиально нового аэродинамического тормозного устройства или системы спуска. Личный вклад автора.

Все результаты, оценки и алгоритмы, выносимые на защиту, получены автором диссертации лично.

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Шестнадцатых академических чтениях по космонавтике (30 января — 01 февраля 2002г. Москва, МГУ), Пятом Международном Аэрокосмическом Конгрессе (27-31 августа 2006г. Москва, МГУ.), Тридцать третьих Гагаринских чтениях (4-5 апреля 2007г. ГОУ ВПО «МАТИ»-РГТУ им. К.Э. Циолковского), Всесоюзной научно-технической конференции «Новые материалы и технологии» НМТ-2008 (11-12 ноября 2008г. ГОУ ВПО «МАТИ» -РГТУ им. К.Э. Циолковского).

Реализация и внедрение результатов работы.

Результаты диссертационной работы использованы ФГУП «МИТ» по акту № 1/534-117 при расчете динамических характеристик тел сложной конфигурации на атмосферном участке траектории полета, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсу «Теория информационных систем» студентам факультета № 3 «Информационные системы и технологии» ГОУ ВПО «МАТИ» -РГТУ им. К.Э. Циолковского, о чем имеются акты внедрения.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 30 наименований и приложения. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, содержит 56 рисунков и 3 таблицы.

Заключение

Перечислим основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Разработана математическая модель движения тела специальной формы как элемента системы спуска.

2. Указано множество неизолированных установившихся режимов планирования, в которых тело движется поступательно. Найдено максимально возможное значение угла планирования.

3. Показано, что вопрос об устойчивости найденных неизолированных установившихся режимов приводит к критическому по Ляпунову случаю. Для некоторых частных случаев получены условия неустойчивости поступательного движения тела по первому приближению.

4. Показано, что в широком диапазоне параметров существует стационарный режим авторотации, который является притягивающим. Это позволяет использовать рассматриваемую конструкцию в качестве системы вертикального спуска. Скорость спуска при движении в режиме авторотации минимальна по сравнению с другими режимами.

5. Установлена возможность управления углом отклонения скорости спуска от вертикали при движении рассматриваемого тела с помощью относительного поворота пластинок. Показано, что угол планирования в режиме авторотации пропорционален углу перекоса пластинок (при малых его значениях).

6. На базе специализированной системы компьютерной математики МАТЬАВ 6.5 разработан комплекс программ для имитационного моделирования движения тела и с его помощью осуществлен параметрический анализ динамической системы.

Уточнены количественные характеристики всех установившихся режимов спуска, подтверждены аналитические оценки.

На плоскости параметров: масса и установочный угол пластинок построена область существования ротационных режимов.

1. Беляков Д.В., Самсонов В.А., Филиппов В.В. «Исследование движения несимметричного тела в сопротивляющейся среде». Издательство «МЭИ», журнал «Вестник МЭИ», выпуск №4 2006 г., стр. 5-10.

2. Беляков Д.В. "Исследование и особенности математической модели движения несимметричного авторотирующего тела в квазистатической среде". Издательство «Новые технологии», журнал "Мехатроника, Автоматизация, Управление". Выпуск № 11. 2007 г., стр. 20-24

3. Самсонов В.А., Беляков Д.В., Чебурахин И.Ф. «Вертикальное снижение тяжелого симметричного авторотирующего тела» в сопротивляющейся среде. Издательство «МАТИ»-РГТУ, сборник «Научные Труды МАТИ», выпуск 9 (81). Москва. 2005. г., стр. 145-150

4. Беляков Д.В., Самсонов В.А. «Оценка возможностей нового типа ротирующего спускающегося в воздухе объекта». Тезисы XXVI Академических Чтений по Космонавтике. 2002 г. Под редакцией А.К. Медведевой. Стр. 100.

5. Д.В. Беляков «Математическая модель несимметричного авторотирующего тела в сопротивляющейся среде» Тезисы докладов ХХХЩ

6. Международной Молодежной Научной Конференции «Гагаринские Чтения» 2007 г. Стр. 27-28.

7. Локшин Б.Я. , Привалов В.А., Самсонов В.А. "Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде". Издательство Московского университета. 1992.

8. Паршин Д.Е. Самсонов В.А. «Качественный анализ в задаче о движении аэродинамического маятника.»1992г. (МГУ НИИмеханики, отчет 419).

9. Б.Я. Локшин, В.А. Привалов, В.А. Самсонов «Качественный анализ движения твердого тела в сопротивляющейся среде».Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986 г.

10. Табачников В.Г. «Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки.» Труды ЦАГИ 1974 г. выпуск 1621

11. Strickland J.N. , Smith T. and Sun К. ,"A vortex Model of the Darrious Turbine: An analitycal and experimental stady", Final Report submitted to Sandia Laboratories on contract # 13-5602,1982

12. Paraschivoiu J., "Double Multiple Stremeamtube model with Recent Improvements", Journal of Energy, vol.7 no.3

13. P. Vittecoq, A. Laneville "The Aerodynamic Forses for a Darrieus Rotor with Straight Blades: Wind Tunnel Measurement." Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol.15 Aug-Sept. 1983 pp 381-388.

14. Parashivoiu I. "Aerodynamics Loads and and performance of the Darrieus Rotor." Journal of Energy vol.6, Nov-Dec. 1982, pp 406-412.

15. В.Ф. Журавлев Д.М. Климов «Прикладные методы в теории колебаний» Издательство «Наука» 1988 г.

16. В.М. Волосов, Б. М. Моргунов «Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем». Издательство Московского университета. 1971.

17. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний». Издательство «Наука». 1974.

18. И.Г. Малкин «Теория устойчивости движения». Издательство «Наука» 1966 г.

19. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников «Дифференциальные уравнения». Издательство «Наука» 1985 г.

20. Н.С. Бахвалов Н.П. Жидков Г.М. Кобельков «Численные методы». Издательство Московского университета. 1987.

21. А.А. Самарский, А.В. Гулин «Численные методы». Издательство «Наука» 1989 г.

22. В. Дьяконов «MATLAB 6: учебный курс». Издательский дом «Питер» 2001 г.

23. Привалов В.А. Самсонов В.А. и др. Динамика вращающегося тела, взаимодействующего со средой. Качественный анализ.-М, 1985 г.-119л,-(МГУ НИИ Механики отчет 3245)

24. Самсонов В. А. и др. Динамика вращающегося тела, взаимодействующегосо средой. Исследование устойчивости авторотирующего тела.-М, 1985 г.-119л(МГУ НИИ Механики отчет 3245)

25. Зенкин А.Н. Самсонов В.А. Динамика вращающегося тела, взаимодействующего со средой. Экспериментальное движение вращающегося тела, взаимодействующего со средой. .-М, 1989 г.-26л(МГУ НИИ Механики отчет 3844)

26. Привалов В.А. Самсонов В.А. «Об устойчивости движения тела, авторотирующего в потоке среды» Изв. АН СССР МТТ1990 г., номер 2, стр. 32-38.ч