автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамических процессов в кристаллах кремния после лазерного облучения

На правах рукописи

□ОЗОВЗ113

ЗОЛИНА Татьяна Васильевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В КРИСТАЛЛАХ КРЕМНИЯ ПОСЛЕ ЛАЗЕРНОГО ОБЛУЧЕНИЯ

Специальность 05.13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саранск - 2007

003063113

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета им Н П Огарева

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук профессор Сорокина Н. К.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Малыханов Ю Б ,

кандидат физико-математических наук доцент Сафонкин В. И.

Ведущая организация:

Пензенский государственный университет

Защита состоится 30 мая 2007 г в 15 ч 30 мин на заседании диссертационного совета КМ 212 117 07 по присуждению ученой степени кандидата технических наук в ГОУВПО «Мордовский государственный университет имени Н П Огарева» по адресу 430000, г Саранск, ул Большевистская, 68, корп 1, ауд 225

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета имени Н П Огарева

Автореферат разослан 28 апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Л А Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время кремний является одним из базовых материалов твердотельной электроники и качество приборов изготовляемых на его основе во многом зависит от свойств этого кристаллического вещества, его структуры, строения и деформации Поэтому исследование изменений в структуре кремния под воздействием лазерного облучения представляет значительный научный и практический интерес, ибо успехи полупроводниковой электроники базируются именно на достижениях техники, технологии получения полупроводниковых кристаллов высокой степени чистоты и структурного совершенства, на теоретических выводах и физического материаловедения, касающихся выяснения связи между составом, структурой, свойствами полупроводников В последние годы появилось большое число исследований по взаимодействию лазерного излучения с веществом Разнообразие типов современных и квантовых генераторов позволяет выбирать в широком диапазоне такие характеристики, как длина волны, длительность светового импульса, энергия и мощность Это дает возможность достаточно свободно варьировать параметры воздействия излучения на вещество, добиваясь желаемых результатов

Однако решение данной проблемы в значительной мере зависит от разработки методологии математического моделирования данного физического процесса и применение его в управлении технологией получения структуры кремния с заданными параметрами, что на практике ведет к сокращению затрат на производство приборов, повышению эффективности полупроводниковой промышленности На сегодня рассматриваемая задача остается еще не разрешенной Математическое моделирование процесса воздействия лазерного излучения на структуру кремния как метод научного познания этого физического явления предполагает теоретический анализ и практические действия, направленные на разработку и использование моделей в процессе исследования, применяя соответствующий математический инструментарий Модель выступает условным образом, аналогом исследуемого объекта, специфической формой кодирования информации о предмете (явлении), отражающая те или иные его отдельные свойства и замещающая его на определенных этапах познания На основе данных рентгеноструктурного анализа, которые устанавливают достаточно объективную дифракционную картину распределения интегральной интенсивности, была разработана математическая модель, позволяющая составить полное представление о структуре кристалла кремния Цель работы:

- провести анализ методов математической обработки результатов, полученных с помощью рентгеноструктурного анализа о влиянии воздействия лазерного излучения на структуру полупроводникового кремния,

- используя математическое моделирование на основе вейвлетов и построения их базисов, провести обработку кривых отражения, полученных до и после облучения исследуемого материала,

- смоделировать процесс воздействия лазерного облучения полупроводникового кремния с применением Фурье преобразования и вейвлета Морле

Методы исследования

Для объяснения изменения рентгеновских линий и возможности существования микроискажений в зоне лазерного воздействия была применена методика, основанная на анализе распределения интенсивности дифракционных максимумов в Фурье-пространстве кристалла При рассмотрении различных видов интерполяции, а именно, при применении кубического сплайна в работе получено приближение экспериментальных кривых распределения интегральной интенсивности Проводился анализ кривых отражения после лазерного облучения, в вычислениях использовались различные виды вейвлетов Представлены результаты дискретного вейвлет-преобразования функции интегральной интенсивности

Научная новизна работы.

В диссертации получены следующие результаты, выносимые на защиту

1 Учитывая сложный характер исследуемой проблемы, связанной с воздействием лазерного облучения на сгруктуру кремния, проанализировав различные методы обработки информации (изучение интегральных интенсивностей дифракционных максимумов, распределения их интенсивности в Фурье-пространстве кристалла и т д) был адаптирован математический инструментарий решения обратных задач динамики воздействия лазерного облучения на структуру кремния, связанных с обращением к причинно-следственной связи, отысканием известных причин по известным следствиям, восстановлением входного сигнала по реакции на выходе приборов

2 Разработана математическая модель процесса воздействия лазерного излучения на структуру кремния, использовав оригинальный метод обработки экспериментальных данных, основанной на Фурье и вейвлет-преобразованиях

3 Экспериментально доказано, что только комплексный подход позволит решить эту сложную задачу математической физики, открывающая возможность для математического моделирования процесса получения полупроводниковых материалов с заданными параметрами

Практическая ценность работы заключается в том, что в ней разработана модель, применение которой на практике позволит выработать рекомендации по совершенствованию технологии производства промышленного кремния и улучшить характеристики полупроводниковых приборов, изготовляемых на его основе

Кроме того, данный метод может быть использован не только при изучении влияния лазерного воздействия на кристаллы кремния, но и при применении других видов обработки полупроводниковых материалов

Использование результатов математического моделирования процесса воздействия лазерного излучения на структуру кремния при чтении курса общей физики и спецкурсов по физике твердого тела в высшей школе позволит углубить познания студентами сложных физических явлений, раскрывая их сущность и управляя процессом их изменений

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты работы внедрены в учебном процессе при чтении курса общей физики (тема «Твердые тела») на математическом факультете ГОУВПО «Мордовский государственный университет имени Н П Огарева» и на заводе ОАО «Электровыпрямитель» г Саранска

Апробация работы. Основные положения и результаты работы были доложены на XXXIX Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методике преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, РУДН, 21-25 мая 2003г), на Х1Л Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии Физические секции (Москва, РУДН, 2005г), на V республиканской научно-практической конференции Наука и инновации в Республике Мордовия (г Саранск, 8-9 февраля 2006г), на XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н П Огарева Естественные науки (г Саранск, 2006г ), на объединенном научном семинаре кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н П Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е В Воскресенского (г Саранск, 2007г), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений математического факультета Мордовского государственного университета имени Н П Огарева (г Саранск, 2001-2007г)

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях, список которых приведен в конце автореферата, одна работа опубликована в издании, рекомендованном ВАК

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, заключения и библиографического списка Объем диссертации - 130 страниц Работа включает 33 рисунка, 2 таблицы Библиографический список содержит 102 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы, поставлена цель, научное и практическое значения, дается краткое описание структуры диссертационной работы

В первой главе освещено состояние и анализ исследований динамических процессов, протекающих после лазерного воздействия в полупроводниковых материалах Рассмотрены основные работы по использованию рентгеноструктурного анализа для исследования структурных несовершенств в монокристаллах кремния

До настоящего времени описание физических процессов с использованием преобразования Фурье, позволяющего перейти от временной последовательности к частотной зависимости, - это наиболее распространенный метод исследования Традиционно применяемый при исследовании структурных изменений (в области воздействия лазера) фурье-анализ хорошо приспособлен для описания стационарных процессов, характеризуемых гладкими функциями

Преобразование Фурье представляет кривую, заданную во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам), выделяя, таким образом, частотные компоненты Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени Это обуславливает его применимость только к анализу стационарных сигналов

Есть два подхода к анализу нестационарных сигналов Первый -локальное преобразование Фурье, который позволяет работать с нестационарным сигналом, как со стационарным Для этого он разбивается на сегменты (фреймы), статистика которых не меняется со временем Второй подход - вейвлет-преобразование В этом случае нестационарный сигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным путем сжатий, растяжений и сдвигов

Однако понимание механизма возникновения структурных изменений в эксперименте требует исследования поведения кривых отражения с различным временным разрешением, выделения и классификации особых точек кривых, а также изучения динамики изменения характеристик нестационарных сигналов В этой связи интерес представляют новые подходы к анализу кривых, среди которых выделим вейвлет-анализ Благодаря работам Мейера, Добеши, Койфмана, Маллата и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С Б Стечкина, И Я Новикова, В И Бердышева

В то же время переход от «чистой» математики к компьютерным программам и практическим приложениям не тривиален и зачастую требует как индивидуального подхода к изучаемой задаче, так и правильного выбора используемого вейвлета

Во второй главе представлены рентгенограммы, полученные при дискретном изменении угла поворота образца относительно первичного пучка (рис 1)

х 1 160,5

х2 161

X1 163,5

M_

xl 164

X10 164

x2 164,5

х 1 165

х1 165,5

Рис 1 Рентгенограммы, полученные при сканировании образца в плоскости поверхности при дискретных углах поворота

Анализ кривых отражения проводится по распределению интенсивности в Фурье-пространстве кристалла Зона облучения имеет резко неоднородную структуру Различные участки зон могут быть заметно разориентированы относительно исходного состояния кристалла Количественная оценка по отражениям от крупных блоков подтверждает, что разориентировка материала может быть описана набором ориентации, занимающих интервал до нескольких градусов Причем различные участки зон могут резко (до 3°) отличаться от ориентировки соседних Необходимо отметить, что подобное заключение было сделано на основе анализа отражений от крупных блоков и полученные данные усреднены по всем участкам зон лазерного воздействия Во всех исследованных случаях велики углы мозаичности, доходящие иногда до 5-7° Все без исключения зоны воздействия окружены областью с искаженной структурой Примененный здесь метод позволил подтвердить, что зона разбита на субблоки даже в том сл)чае, когда фрагментация вообще не регистрируется методами оптической микроскопии

Нагрев полупроводниковых материалов до высоких температур сопровождается изменением дислокационной структуры Как показали исследования на поверхности бездислокационного образца, прилегающей к оплавленной зоне наблюдаются линии, образующие сетку с явно выраженными кристаллографическими направлениями типа [110], соответствующими главным направлениям скольжения Эти линии представляют собой скопления дислокаций Однако наряду с тем, что под действием лазерного облучения в кристаллах могут происходить как возникновение дефектов решетки мозаичной структуры, так и их «залечивание», причем результирующие структурные изменения определяются как особенностями лазерного облучения, так и состоянием кристалла до облучения

Во втором и третьем пункте приведено теоретическое обоснование экспериментальных кривых отражения после облучения рубиновым лазером, а также проведена их обработка с применением преобразования Фурье Построена кривая отражения интегральной интенсивности кристалла кремния

после облучения рубиновым лазером (рис.2). Исходная функция рассмотрена на интервале (10,921). Построенный график дает наглядное представление о иеоднородностях структуры, свидетельством чего является наличие «горбов» и «изломов».

то

БО -ДО -

I Гоо "" 120 111 1БО Тао 200

Рис.3. График функции интегральной интенсивности на интервале (90, 200)

70 во

л -

50 40

эо -

20 / \ -

10 У V_ -

эю Э20 ээа зло эво ЭбО Э70 34 ю

Рис.4. График функции интегральной интенсивности на интервале (310, 380)

На рис.3, 4 сплошной кривой также изображены кривые распределения интегральной интенсивности. Возрастание интенсивности дифрагированных лучей, т. е. появление всгтлсска на графиках, приводит к уменьшению экстинкции в данных областях. Это в свою очередь очевидно связано с увеличением плотности дефектов, образовавшихся в результате разрушения кристалла.

В третьей главе рассмотрены различные виды интерполяции и экстраполяции. При использовании кубического сплайна получено приближение функции интегральной интенсивности дифракционных максимумов.

Приведем (без доказательства) оценку погрешности интерполяции кубическим сплайном. Ограничимся случаем равноотстоящих узлов, т.е.

где Mi = г|)ал|/<])0')|; [а,ь] - промежуток интерполяции.

Следующие графики (рис.5, 6) получены из исходного (рис. 2) «вырезанием» куска кривой.

Рис.5, График функции интегральной интенсивности, полученный приближением кубического сплайна (рис. 3)

Рис.6. График функции интегральной интенсивности, полученный приближением кубического сплайна (рис. 4)

В диссертационной работе представлены табличные значения , первая, вторая производные и интеграл /(*,) Приведена программа вычисления значения функции интегральной интенсивности / с помощью интерполяционной формулы Лагранжа на языке Turbo Pascal Ввод исходной таблицы происходит в цикле, причем массивы значений х и у вводятся не последовательно, а парами соответствующих элементов Работа внутреннего цикла контролируется с помощью индекса j Изменяясь в пределах от 0 до п, индекс j принимает ровно п значений, «проскакивая» текущее значение индекса ;, определяемое во внешнем цикле Тем самым обеспечивается правильное составление многочленов - слагаемых формулы Лагранжа Носителем окончательного результата является переменная /

В виду сложности характера структурных изменений после лазерного воздействия, большой интерес представляет комплексный подход к решению данной задачи Учитывая возможности Фурье-анализа для обработки стационарных процессов (функции интегральной интенсивности), в работе использовался вейвлет-анализ, так как он хорошо локализован как во времени, так и в частотном пространстве Это позволяет выявлять важные особенности дифракционных линий на отдельных временных интервалах, связанных со структурными изменениями кристалла, возникающими после лазерного облучения В этой главе введены необходимые понятия, признаки вейвлет-анализа, рассмотрены свойства и возможности вейвлет-преобразования

Вейвлет-анализ состоит в разложении временной зависимости сигнала в ряд по базису солитоноподобных функций В качестве функций, образующих ортонормированный базис, может использоваться широкий набор вейвлетов, отличающихся по своей способности выявлять те или иные особенности анализируемого временного ряда Разложение сигнала V(t) по выбранному базису осуществляется путем свертки сигнала с анализирующей функцией <р(г), при этом полнота базиса достигается сдвигом <р(0 по оси времени и изменением временного масштаба

где }Гг - вейвлетный коэффициент, а - масштабный коэффициент, Ь -параметр сдвига В результате получается трехмерный массив коэффициентов разложения УУГ, зависящих от параметров а и Ь Параметр Ь, характеризующий определенный момент времени в течение исследуемого процесса, принято откладывать по горизонтальной оси, масштабный фактор а - по вертикальной оси, коэффициент 1У1 откладываемый по третьей оси, передается оттенками серого тона Отметим, что зависимость >Уу(Ь) характеризует временную последовательность событий, тогда как зависимости Н,у(а) можно поставить в соответствие частотную зависимость коэффициентов разложения

Использование в качестве базиса локализованных функций, в отличие от фурье-разложения, позволяет исследовать локальные характеристики сигнала,

(1)

например, локальные спектры энергии или распределение энергии сигнала на различных временных масштабах (энергетические характеристики получаются возведением в квадрат вейвлетного коэффициента согласно (1)).

Локальные экстремумы коэффициентов И'] принято соединять линиями, которые образуют гак называемый скелетон изображения. Рассмотрим вей влет Морле

<р1п(/) = ехр(И11/)ехр(-(! /2), (2)

где кв - параметр разложения, имеющий смысл характерной частоты.

В качестве исследуемой кривой использовался массив данных анализа кривых отражения с образца полупроводникового кремния после облучения ру б и но в ы м л азер ом,

Рассмотрим вей влет-разложение функции интегральной интенсивности с использованием вейвлета Морле (2). Спектр вейвлет преобразования одномерного сигнала пред ста в л мет поверхность в трехмерном пространстве. Изображение спектра выполняется путем проектирования линий постоянного уровня поверхности на плоскость с переменными: параметрами сдвига (по оси абсцисс) и масштабом (по оси ординат), с градиентной залийкой оттгенками серого цвета между линиями.

Рис.7. Во й в л ст-п рео б р ач о ва н и е функции интегральной интенсивности

В верхней части рис 7 показана функция интегральной интенсивности По оси абсцисс отложено время, по оси ординат - временной масштаб Темные области соответствуют положительным значениям вейвлет-разложения функции интегральной интенсивности (1У(а,Ь)), а светлые - отрицательным Оттенками серого цвета в каждой из областей выделены диапазоны значений \У(а,Ь) Карты коэффициентов в проекции на плоскость (а,Ь) приведены в центральной части рис 7

Эта картина распределения №у(а,Ь) показывает, что анализируемая кривая содержит составляющие различных масштабов экстремумы №(а,Ь) наблюдаются на разных масштабах, а интенсивность их меняется и со временем, и с масштабом На рис 7 показана соответствующая картина линий локальных экстремумов - линий, от масштаба к масштабу соединяющих экстремумы каждой части поверхности («горбов» или «изломов») отдельно Обращает на себя внимание факт резкого увеличения интенсивности и угловой ширины кривой отражения в центре зоны лазерного воздействия (рис 2, 3, 4) Распределение экстремумов вейвлетных коэффициентов выявляет иерархическую структуру исходной кривой, отчетливо проявляющуюся при построении скелетона (рис 7) Скелетон отчетливо и без лишних деталей визуализирует структуру анализируемой кривой, но и содержит всю информацию о ней Из экспериментальных данных также следует, что увеличение ширины кривых отражения наблюдается и на границах зон В случае облучения рубиновым лазером зона облучения имеет малый диаметр (1-5 мм) и эффекты, наблюдаемые в таких зонах облучения, более однородны Зоны лазерного воздействия фрагментированы на субблоки Распределение блоков по поверхности материала сопровождается фрагментацией отдельного образовавшегося блока на более мелкие Каждый локальный участок зоны облучения содержит большое количество мелких субблоков, дезориентированных друг относительно друга, приводя к значительным углам мозаичности В каждой исследованной точке отмечается присутствие резко разориентированных блоков мозаики, проявляющих себя в наличии «горбов» и «изломов» кривых отражения Подтверждением и являются сплошные линии на рис 7, которые отмечают положение локальных максимумов \У(а,Ь), а точечные - минимумов Отметим, что величина мозаичности зависит от плотности энергии, причем крупные субблоки возникают лишь при высоких плотностях энергии Линии, отмечающие положение локальных экстремумов коэффициентов вейвлет-преобразования, соответствуют экстремумам анализируемой функции, т е точкам смены знака ее производной Из рис 7 видно наклонную яркую кривую (нижний график рис 7), по которой можно определить начальную частоту, конечную частоту и характер изменения локальной частоты В некоторый момент кривая превращается в горизонтальную прямую, которая соответствует чистой гармонике Кроме того, на различных масштабах имеются участки локальных псриодичностей, но, однако при этом невозможно выделить некую «характерную частоту»

Следует отметить, что проведенные исследования показывает хорошую пригодность вейвлета Морле для решения обратных задач динамики воздействия лазерного облучения на структуру полупроводникового кремния, так как он позволяет выявлять периодические составляющие сигнала Вейвлетное представление наглядно показывает временной ход кривой отражения интегральной интенсивности после облучения На некоторых масштабах наблюдается строгая периодичность на протяжении всего временного ряда, тогда как на других масштабах периоды регулярности перемежаются фазами нулевых значений коэффициентов Для скелетона кривой невозможно указать строгую иерархию масштабов, на которых происходит ветвление В различные моменты времени в процесс перераспределения энергии оказываются вовлеченными всевозможные для данной системы временные масштабы, при этом выделенный масштаб отсутствует Наибольший граничный масштаб, определяющий поведение на низких частотах, задается только длиной анализируемого временного ряда

При увеличении плотности энергии облучения образование хаотически расположенных дислокаций происходит и в зоне лазерного воздействия, и вне ее, причем плотность дислокации возрастает вне зоны до 104-106 см"2 Этот факт указывает на уменьшение экстинкции в данных областях и как следствие, возрастание интенсивности дифрагированных лучей Таким образом, характерна концентрация энергии в диапазоне больших масштабов (высокий контраст темных и светлых областей в центральной части рис 7) Наличие оттенков серого цвета у вейвлетного коэффициента указывает на то, что кривая распределения интегральной интенсивности может быть представлена как усредненная по частоте и по времени

В диссертации получены следующие основные результаты

1 Проведен спектральный анализ кривых распределения интегральной интенсивности, определены их амплитудно-частотные характеристики

2 Математическое моделирование с применением преобразования Фурье и вейвлета Морле позволит управлять процессом изменения структуры полупроводникового кремния и получать материалы с заданными параметрами

3 Получено приближение функции интегральной интенсивности при использовании кубического сплайна

4 Проведенный математический анализ подтверждает экспериментально полученные данные, т е под действием лазерного облучения в кристаллах полупроводникового кремния могут происходить как возникновение дефектов решетки мозаичной структуры, так и их «залечивание», причем результирующие структурные изменения определяются как особенностями лазерного облучения, так и состоянием кристалла до облучения

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Публикации и изданиях, рекомендованных ВАК (до 01.01.07.)

1 Сорокина Н К Методологические основы моделирования физических процессов в высшей школе / Н К Сорокина, Т В Золина // Интеграция образования - 2006 - № 3 (44) - С 62-64

2. Публикации в других изданиях

1 Сорокина Н К Научные основы технологии улучшения свойств полупроводникового кремния при импульсном воздействии оптических квантовых генераторов / Н К Сорокина, Т В Золина, В Н Щенников // Динамика систем и управление межвуз сб науч тр - Саранск, 2003 -С 54-61

2 Сорокина Н К Анализ интенсивности дифракционных максимумов кристалла кремния после лазерного воздействия с помощью дискретного вейвлет-преобразования / Н К Сорокина, Т В Золина, В Н Щенников // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем межвуз сб науч тр - Саранск, 2004 - С 162-171

3 Щенников В Н Анализ структуры полупроводникового кремния после лазерного воздействия / В Н Щенников, Н К Сорокина, Т В Золина // XLI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии тез докл Физические секции - М , 2005 - С 50-51

4 Сорокина Н К Применение вейвлет-преобразования для моделирования функции интегральной интенсивности после лазерной обработки кремния / Н К Сорокина, Т В Золина // Наука и инновации в Республике Мордовия материалы V респ науч -практ конф , Саранск, 8-9 февр 2006 г - Саранск, 2006 - С 580-583

5 Сорокина Н К Функция интегральной интенсивности изменений кристаллов кремния при лазерном облучении и ее моделирование с помощью преобразования Фурье / Н К Сорокина, Т В Золина // Наука и инновации в Республике Мордовия материалы V респ науч -практ конф , Саранск, 8-9 февр 2006 г - Саранск, 2006 - С 583-588

6 Сорокина Н К Фурье и вейвлет-преобразования как метод исследования процессов / Н К Сорокина, Т В Золина // Материалы XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н П Огарева в 3 ч Ч 2 Естественные науки - Саранск, 2006 - С 176-179

7 Сорокина Н К Математическое моделирование процесса воздействия лазерного облучения полупроводникового кремния препринт № 99 / НК Сорокина, В Н Щенников, Т В Золина - Саранск СВМО, 2007 - 12 с

Подписано в печать 26 04 07 Объем 1,0 п л Тираж 100 окз Заказ ЛГ» 834 Типография Издательства Мордовского университета 430000, г Саранск, ул Советская, 24

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. СОСТОЯНИЕ И АНАЛИЗ ИССЛЕДОВАНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ПРОТЕКАЮЩИХ ПОСЛЕ ЛАЗЕРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В

МОНОКРИСТАЛЛАХ КРЕМНИЯ.

Глава И. ФИЗИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ КРИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ И ИХ ОБРАБОТКА С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.

2.1. Описание физического эксперимента.

2.2. Теоретический анализ экспериментальных кривых распределения интегральной интенсивности.

2.3. Обработка кривых отражения интегральной интенсивности после лазерного воздействия с применением преобразования Фурье.

2.3.1. Весовые функции, «окна» и усеченные ряды Фурье.

2.3.2. Эффекты, возникающие при вычислении на ЭВМ дискретного преобразования Фурье.

Глава III. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ВОЗДЕЙСТВИЯ ЛАЗЕРНОГО ОБЛУЧЕНИЯ НА СТРУКТУРУ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО КРЕМНИЯ.

3.1. Интерполяция и экстраполяция.

3.1.1. Линейная интерполяция.

3.1.2. Сплайн-интерполяция.

3.1.3. Интерполяция В-сплайнами.

3.1.4. Многомерная интерполяция.

3.1.5. Интерполирование с помощью полиномов Чебышева.

3.2. Разложение по вейвлетам.

3.2.1. Признаки вейвлета.

3.2.2. Вейвлетный анализ кривых распределения интегральной интенсивности.

Актуальность проблемы. В настоящее время кремний является одним из базовых материалов твердотельной электроники и качество приборов изготовляемых на его основе во многом зависит от свойств этого кристаллического вещества, его структуры, строения и деформации [9], [16], [26], [43], [62], [63], [74]. Поэтому исследование изменений в структуре кремния под воздействием лазерного облучения представляет значительный научный и практический интерес. Успехи полупроводниковой электроники базируются именно на достижениях техники, технологии получения полупроводниковых кристаллов высокой степени чистоты и структурного совершенства, на теоретических выводах и физического материаловедения, касающихся выяснения связи между составом, структурой, свойствами полупроводников [53], [58]. В последние годы появилось большое число исследований по взаимодействию лазерного излучения с веществом [5], [6], [21], [54]. Разнообразие типов современных и квантовых генераторов позволяет выбирать в широком диапазоне такие характеристики, как длина волны, длительность светового импульса, энергия и мощность. Это дает возможность достаточно свободно варьировать параметры воздействия излучения на вещество, добиваясь желаемых результатов.

Однако решение данной проблемы в значительной мере зависит от разработки методологии математического моделирования данного физического процесса [19] и применение его в управлении технологией получения структуры кремния с заданными параметрами, что на практике ведет к сокращению затрат на производство приборов, повышению эффективности полупроводниковой промышленности. На сегодня рассматриваемая задача остается не разрешенной. Математическое моделирование процесса воздействия лазерного излучения на структуру кремния как метод научного познания этого физического явления предполагает теоретический анализ и практические действия, направленные на разработку и использование моделей в процессе исследования, применяя соответствующий математический инструментарий. Модель выступает условным образом, аналогом исследуемого объекта, специфической формой кодирования информации о предмете (явлении), отражающая те или иные его отдельные свойства и замещающая его на определенных этапах познания. На основе данных рентгеноструктурного анализа, которые устанавливают достаточно объективную дифракционную картину распределения интегральной интенсивности, была разработана математическая модель, позволяющая составить полное представление о структуре кристалла кремния.

Цель работы:

- провести анализ методов математической обработки результатов, полученных с помощью рентгеноструктурного анализа о влиянии воздействия лазерного излучения на структуру полупроводникового кремния;

- используя вейвлеты и их построение базисов, провести обработку кривых распределения интегральной интенсивности, полученных до и после облучения исследуемого материала;

- смоделировать процесс воздействия лазерного облучения полупроводникового кремния с применением преобразования Фурье и вейвлета Морле.

Методы исследования.

Для объяснения изменения рентгеновских линий и возможности существования микроискажений в зоне лазерного воздействия была применена методика, основанная на анализе распределения интенсивности дифракционных максимумов в Фурье-пространстве кристалла. При рассмотрении различных видов интерполяции, а именно, при применении кубического сплайна получено приближение экспериментальных кривых. В работе проводился анализ кривых отражения после лазерного облучения, в вычислениях использовались различные виды вейвлетов. Представлены результаты дискретного вейвлет-преобразования функции интегральной интенсивности.

Научная новизна работы.

В диссертации получены следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Учитывая сложный характер исследуемой проблемы, связанной с воздействием лазерного облучения на структуру кремния, проанализировав различные методы обработки информации (изучение интегральных интенсивностей дифракционных максимумов, распределения их интенсивности в Фурье-пространстве кристалла и т.д.) был адаптирован математический инструментарий решения обратных задач динамики воздействия лазерного облучения на структуру кремния, связанных с обращением к причинно-следственной связи, отысканием известных причин по известным следствиям, восстановлением входного сигнала по реакции на выходе приборов.

2. Разработана математическая модель процесса воздействия лазерного излучения на структуру кремния, использовав оригинальный метод обработки экспериментальных данных, основанной на Фурье и вейвлет-преобразованиях.

3. Экспериментально доказано, что только комплексный подход позволит решить эту сложную задачу математической физики, открывающая возможность для математического моделирования процесса получения полупроводниковых материалов с заданными параметрами.

Практическая ценность работы заключается в том, что в ней разработана модель, применение которой на практике позволит выработать рекомендации по совершенствованию технологии производства промышленного кремния и улучшить характеристики полупроводниковых приборов, изготовляемых на его основе.

Данный метод может быть использован не только при изучении влияния лазерного воздействия на кристаллы кремния, но и при применении других видов обработки полупроводниковых материалов.

Использование результатов математического моделирования процесса воздействия лазерного излучения на структуру кремния при чтении курса общей физики и спецкурсов по физике твердого тела в высшей школе позволит углубить познания студентами сложных физических явлений, раскрывая их сущность и управляя процессом их изменений.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты работы внедрены в учебном процессе при чтении курса общей физики (тема «Твердые тела») на математическом факультете ГОУВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева» и на заводе ОАО «Электровыпрямитель» г. Саранска.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы были доложены: на XXXIX Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методике преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, РУДН, 21-25 мая 2003г.); на XLI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. Физические секции. (Москва, РУДН, 2005г.); на V республиканской научно-практической конференции. Наука и инновации в Республике Мордовия, (г. Саранск, 8-9 февраля 2006г.); на XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева. Естественные науки, (г. Саранск, 2006г.); на объединенном научном семинаре кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (г. Саранск, 2007г.); на семинаре кафедры дифференциальных уравнений математического факультета Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева (г. Саранск, 2001-2007г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, заключения и библиографического списка. Объем диссертации - 130 страниц. Работа включает 33 рисунка, 2 таблицы. Библиографический список содержит 102 наименования.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Сорокина Н.К., ЗолинаТ.В., Щенников В.Н. Научные основы технологии улучшения свойств полупроводникового кремния при импульсном воздействии оптических квантовых генераторов // Динамика систем и управление: Межвуз. сб. науч. тр. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2003. - С.54-61.

2. СорокинаН.К., ЗолинаТ.В., Щенников В.Н. Анализ интенсивности дифракционных максимумов кристалла кремния после лазерного воздействия с помощью дискретного вейвлет-преобразования // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем: Межвуз. сб. науч. тр. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004. - С.162-171.

3. Щенников В.Н., Сорокина Н.К., ЗолинаТ.В. Анализ структуры полупроводникового кремния после лазерного воздействия. XLI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Физические секции. - М.: Изд-во РУДН, 2005. - С.50-51.

4. СорокинаН.К., ЗолинаТ.В. Применение вейвлет-преобразования для моделирования функции интегральной интенсивности после лазерной обработки кремния. Наука и инновации в Республике Мордовия: материалы V респ. науч.-практ. конф., Саранск, 8-9 февр. 2006 г. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2006. - С.580-583.

5. СорокинаН.К., ЗолинаТ.В. Функция интегральной интенсивности изменений кристаллов кремния при лазерном облучении и ее моделирование с помощью преобразования Фурье. Наука и инновации в Республике

Мордовия: материалы V респ. науч.-практ. конф., Саранск, 8-9 февр. 2006 г. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2006. - С.583-588.

6. Сорокина Н.К., Золина Т.В. Фурье и вейвлет-преобразования как метод исследования процессов. Материалы XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева: в 3 ч. 4.2: Естественные науки. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2006. - С. 176-179.

7. Сорокина Н.К., Золина Т.В. Методологические основы моделирования физических процессов в высшей школе // Интеграция образования. - 2006. -№ 3 (44). - С. 62-64.

8. Сорокина Н.К., Щенников В.Н., Золина Т.В. Математическое моделирование процесса воздействия лазерного облучения полупроводникового кремния / Препринт №99. -Саранск: СВМО, 2007.-12 с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для решения проблемы управления процессом воздействия лазерного облучения на структуру полупроводникового кремния в работе использован метод моделей, сводящий исследование данного физического процесса к математической задаче. Разработанная математическая модель рассматриваемого процесса построена на основе кривых распределения интегральной интенсивности, отражающих динамику изменения структуры полупроводникового кремния под воздействием лазерного облучения. Использование предложенной математической модели, в которой исследуемый реальный процесс формализован с помощью Фурье и вейвлет-преобразований, наиболее достоверно описывает экспериментально полученные кривые распределения интегральной интенсивности. В работе получены следующие результаты:

1. Разработана динамическая модель процесса изменения кристаллической структуры полупроводникового кремния на основе дифракции рентгеновских лучей, представив его (процесс) в виде многосвязной системы осцилляторов (счетная система дифференциальных уравнений). Определены амплитудно-частотные характеристики кривых распределения интегральной интенсивности на базе преобразования Фурье и вейвлета Морле.

2. Математическое моделирование с применением преобразования Фурье и вейвлета Морле открывает возможность управлять процессом изменения структуры полупроводникового кремния при воздействии лазерного облучения и получать материалы с заданными параметрами.

3. Получено приближение функции интегральной интенсивности при использовании кубического сплайна.

4. Проведенный математический анализ подтверждает экспериментально полученные данные, что под действием лазерного облучения в кристаллах полупроводникового кремния могут происходить как возникновение дефектов решетки мозаичной структуры, так и их «залечивание», причем результирующие структурные изменения определяются как особенностями лазерного облучения, так и состоянием кристалла до облучения.

1. Алешина Л.А., ШивринО.Н. Искаженные кристаллы. Анализ дифракционных линий: Учеб. пособие. Петрозаводск: ПетрГУ, 2002.-125 с.

2. Алешина Л.А., Шиврин О.Н. Рентгенография кристаллов: Учеб. пособие. Петрозаводск: ПетрГУ, 2004. - 320 с.

3. Арманд Н.А. Применение теоремы Котельникова к описанию дисперсии сигналов // Радиотехника и электроника. 2004. - Т.49. -№10.-С.1199-1204.

4. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. - Т.166. - №11. -С.1145-1170.

5. Байдуллаева А., БулахМ.Б., Власенко А.И., Ломовцев А.В., Мозоль П.Е. Динамика развития поверхностных структур в кристаллах p-CdTe при облучении импульсным лазерным излучением // Физика и техника полупроводников. 2004. - Т.38. - Вып.1. - С.26-29.

6. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматлит, 1961. - 936 с.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. - 632 с.

8. Белушкин А.В. Новые подходы к анализу структуры кристаллов. Нестандартный метод в изучении механизмов диффузии атомов имолекул // Успехи физических наук. 2003. - Т. 173. - №11. -С.1258-1262.

9. Ю.Бердышев В.И., ПетракЛ.В. Аппроксимация функций. Сжатие численной информации. Приложения. Екатеринбург: УрО РАН, 1999-296 с.

10. П.Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982. -336 с.

11. БлаттерК. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004. -280 с.

12. Бокий Г.Б., Порай-Кошиц М.А. Рентгеноструктурный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1964.-469 с.

13. Н.БорнМ., КуньХ. Динамическая теория кристаллических решеток. -М.:ИИЛ, 1958.-488 с.

14. Боровский И.Б. Физические основы рентгеноспектральных исследований. М.: Изд-во МГУ, 1956. - 463 с.

15. Бургер М. Структура кристаллов и векторное пространство. М.: ИИЛ, 1961.-312 с.

16. Бэкон Дж. Дифракция нейтронов. М.: ИИЛ, 1957. - 256 с.

17. Вайнштейн Б.К. Структурная электронография. М.: Изд-во АН СССР, 1956.-314 с.

18. Васильев Д.М. Дифракционные методы исследования структур. М.: Металлургия, 1977. - 248 с.

19. Васильев Е.Н., Фрейдлин Е.М. Исследование характеристик рассеяния волноводно-щелевой антенны на частотах, отличающихся от рабочей // Радиотехника и электроника. 2003. - Т.48. - №6. - С.655-663.

20. Воробьев В.И., ГрибунинВ.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: ВУС, 1999. 208 с.

21. Германов Е.П., Шиврин О.Н. К вопросу об изменении интегральной интенсивности рентгеновских отражений пластически деформированного молибдена при низкотемпературном отдыхе // Кристаллография. 1964. - Т.9. - Вып.4. - С.527-529.

22. Гнатюк В.А., Городниченко Е.С. Влияние импульсного лазерного излучения на морфологию и фотоэлектрические свойства кристаллов InSb // Физика и техника полупроводников. 2003. - Т.37. - Вып.4. -С.414-416.

23. Гречихин В.А., Евтихиева О.А., ЕсинМ.В., Ринкевичус Б.С. Применение вейвлет-анализа моделей сигналов в лазерной доплеровской анемометрии // Автометрия. 2000. - №5. - С.51-58.

24. Джеймс Р. Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей. -М.:ИИЛ, 1950.-572 с.

25. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1972.-Т.2.-288 с.

26. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2001. - 464 с.

27. Дремин И.М. Дальние корреляции частиц и вейвлеты // Успехи физических наук. 2000. - Т.170. - №11. - С. 1235-1244.

28. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. - Т. 171. - №5. -С.465-501.

29. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. 608 с.

30. Емцев В.В., МашовецТ.В. Примеси и точечные дефекты в полупроводниках. М.: Радио и связь, 1981. - 270 с.

31. Жданов Г.С. Основы рентгеноструктурного анализа. М.: Гостехиздат, 1940.-446 с.

32. Жданов Г.С., Илюшин А,С., Никитина С.В. Дифракционный и резонансный структурный анализ. М.: Наука, 1980. - 254 с.

33. Журнал Компьютерра, (сборник статей по вейвлетной тематике). -1998.- №8 (236).

34. ИвероноваВ.И., Кацнельсон А. А. Ближний порядок в твердых растворах. М.: Наука, 1977. - 253 с.

35. Иверонова В.И., Ревкевич Г.П. Теория рассеяния рентгеновых лучей. -М.: Изд-во МГУ, 1978. 277 с.

36. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. -М.: АФЦ, 1999.-560 с.

37. Китайгородский А.И. Рентгеноструктурный анализ мелкокристаллических и аморфных тел. М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. - 586 с.

38. Китайгородский А.И. Теория структурного анализа. М.: Изд-во АН СССР, 1957.-282 с.

39. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. -791 с.

40. Климова О.В. Единый подход к построению быстрых алгоритмов и распараллеливанию вычислений дискретного преобразования Фурье. (Компьютерные методы). Известия академии наук. Теория и системы управления. 1999. -№3. - С.68-75.

41. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 544 с.

42. Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. М.: Физматлит, 2003. - 176 с.

43. Коетылев В.И. О проектировании современной информационной системы обработки сигналов / Вестник ВГУ. Серия физика, математика. 2003. - №2. - С.35-40.

44. Кривоглаз М.А. Дифракция рентгеновских лучей и нейтронов в неидеальных кристаллах. Киев: Наук, думка, 1983. - 407 с.

45. Кривоглаз М.А. Теория рассеяния рентгеновских лучей и тепловых нейтронов реальными кристаллами. -М: Наука, 1967. 336 с.

46. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. 2 изд. - Т.З. - М.: Высш. шк., 1989.-352 с.

47. Кузнецов А.В. Рентгенографическое определение плотности дислокаций в кристаллах и учет эффектов экстинкции: Учеб. пособие-Петрозаводск. 1981. - 67 с.

48. Кузнецов А.В., Глухова Л.Ф. Экспериментальный учет вклада многофононных процессов в интенсивность термодиффузного рассеяния рентгеновых лучей // Кристаллография. 1970. - Т. 15. -Вып.5. - С.571-573.

49. Ланно М., Бургуэн Ж. Точечные дефекты в полупроводниках: Теория. М.: Мир, 1984.-263 с.

50. Макара В.А., Новиков Н.Н., Пацай Б.Д. Рентгенодифракционное исследование влияния нейтронного облучения на процессы дефектообразования в отожженных при высоких температурах кристаллах Cz-Si // Физика твердого тела. 2005. - Т.47. - Вып. 10. -С.1791-1795.

51. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. -4.1,2. -М.: Мир, 1983. -256 с.

52. Марпл C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.-584 с.

53. Миркин Л.И. Физические основы обработки материалов лучами лазера-М.: Изд-во МГУ, 1975.-383 с.

54. Мукашев Б.Н., Абдуллин Х.А., Горелкинский Ю.В. Метастабильные и бистабильные дефекты в кремнии // Успехи физических наук. 2000. -Т.170. -№2. - С.143-155.

55. Мясникова Н.В. Цифровой спектральный анализ по временным параметрам // Известия вузов. Поволжский регион. 2003. - №1. -С.39-52.

56. Новиков И.Я. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. - Вып.53. - №6. - С.9-13.

57. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПбГТУ, 1999. -131 с.

58. Порай-КошицМ.А. Практический курс рентгеноструктурного анализа М.: Изд-во МГУ, 1960. - Т.2. - 631 с.

59. ПэнДж., ТопиковМ.В. Wavelets и их применение к линейным и нелинейным проблемам электромагнетизма // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. -Вып.12 -С.71.

60. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М: Мир, 1978. - 847 с.

61. Райхельс Е.И., Смушков И.В., ТрембачВ.М. Рассеяние рентгеновских лучей реальными щелочно-галоидными монокристаллами // ФТТ. -1968. Т.10. - №6. - С.1684-1692.

62. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов.СПб: Питер,2002.-608 с.

63. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в Matlab. Кемерово.-2003.-200 с.

64. Сорокина Н.К. Исследование структурных изменений монокристаллов кремния при импульсном воздействии оптических квантовых генераторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Саранск, 1983. - 120 с.

65. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980. -381 с.

66. Треногин В.А. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1980. 380 с.

67. Уманский Я.С., Скаков Ю.А., Иванов JI.H., Расторгуев JI.H. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия. М.: Металлургия, 1982. - 631 с.

68. Уоррен Б.Е., Авербах Б.Л. Диффузное рассеяние рентгеновых лучей // Современные физические методы исследования в металловедении. -М.: Металлургия, 1958. С. 109-149.

69. Чуй К. Введение в вейвлеты. М: Мир, 2001. - 412 с.

70. Шиврин О.Н. Мозаичная структура металлических поликристаллов и экстинкционные эффекты I // Изв. вузов. Физика. 1961. -№.1. -С.115-123.

71. Шиврин О.Н. Мозаичная структура металлических поликристаллов и экстинкционные эффекты II // Изв. вузов. Физика. 1963. - №6. -С.95-98.

72. Шиврин О.Н. О применимости корректировочных формул для первичной и вторичной экстинкции // Кристаллография. 1960. - Т.5.-Вып.5. - С.797-800.

73. Шиврин О.Н. Об изменениях в мозаичной структуре металлов в результате отдыха и рекристаллизации // ФММ. 1961. - Т. 12. -Вып.1. - С.125-131.

74. Шиврин О.Н. Рассеяние рентгеновых лучей искаженными кристаллами: Учеб. пособие. Петрозаводск. 1981. - 116 с.

75. Шиврин О.Н. Фурье-преобразования и свертки: Метод, пособие. -Петрозаводск. 1980. - 23 с.

76. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Построение верхних оценок решений нелинейных систем дифференциальных уравнений и оценок погрешностей линеаризации // Труды СВМО. 2006. - Т.8. - №1. -С.127-135.

77. Яковлев А.Н. Основы вейвлет-преобразования сигналов. М.: Физматлит, 2003. - Вып.Ю. -176 с.

78. Azarov L.V., Karlov R., Kato N., Weiss R.J., Wilson J.C., Young R.A. X-ray Diffraction. N-Y: McGraw-Hill Book Company. 1974. - 664 p.

79. BorieB. The Separation of Short-range Order and Size Effect Diffuse Scattering // Acta Cryst. 1959. V.12. - №3. - P.280-285.

80. Borie B. X-ray Diffraction Effects of Atomic Size in Alloys // Acta Cryst. -1957. V.l 1. -№1. -P.89-95.

81. Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis // IEEE Trans, on Information Theory, 1990. V.36. - №5. -P.961-1005.

82. DoiK., MasakiN., KamadoK. New Type of Diffuse Scatterings and Superlattice Reflections АиСиг II J. Phys. Soc. Japan. 1969. - V.26.1.P.211-212.

83. Gehlen P.C., Cohen J.B. Computer Simulation of the Structure Associated with Local Order Alloy // Phys. Rev. 1965. - V.139. - P.844.

84. Grossman A., MorletJ. Decomposition of functions into wavelets of constant share, and related tranforms in Mathematics + Physics, Lectures on Recent Results V.l (Ed. L Streit) Singapore: World Scientific. 1985. -P.375.

85. HonigR.E. and Woolstonl.R. Laser-induced Emission of Electrons, IONS. And Neutral Atoms From Surfaces. Appl. Phys. Letts. 1963. - V.2. - №7. -P.138-139.

86. Houska C.R., AverbachB.L. Diffuse X-Ray Scattering in Powder Pattern from Static Displacement in Cubic Solid Solutions // J. of Appl. Phys. -1959. V.30. -P.1525-1532.

87. Hubbel J.H., Overbol. Relativistic Atomic Form Factors and Photon Coherent Scattering Cross Sections // J. Phys. And Chem. Ref. Data. 1979. - V.8 ~№1. -P.69-105.

88. Lichtman D. and Ready I.F. Laser Beam Induced Electron Emission. Honeywell Research Center, Hopkins, Minuesota. Phys. Rev Lett. 1963. -V. 10. - №8. - P.342-345.

89. Temperaturfelder bei der Laserbestrahlung von Silizium. Feingaratetechuik-1979. V.28. -№2. -P.71-72.

90. Warren B.E., Averbach B.L., Roberts B.W. Atomic Size Effect in the X-Ray Scattering by Alloys // J. of Appl. Phys. 1951. - V.21. -№12.-P.595-600.

91. WatanabeH., KatoK., UdaT., FujitaK., IchikawaM. Phys. Rev. Lett. 2000. - V.80. - 345 p.

92. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. J. Wiley. New York. 1949. - 283 p.