автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование диффузии электромагнитного поля в системах параллельных проводников

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А.Ф.ИОФФЕ

На правах рукописи

КФЕРЕВ Сергей Валентинович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В СИСТЕМАХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ

(05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов и научных исследованиях (физико-математические науки))

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Огшкт-Петербург - 1392

Работа выполнена в Физико-техническом институте им.А.Ф.Иоффе РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

зав.лаб. Э.М.Дробышевский.

Официалыше оппоненты: доктор физико-математических наук,

зав.лаб., профессор Г.А.Шнеерсон,

кандидат технических наук, зав.лаб. С.Г.Гурешч.

Ведущая организация: ВНИИ Электромашиностроения РАН.

Защита диссертации состоится "2.% - зсиоЦр% 1992 г. в <_Т часов на заседании специализированного совета К 003.23.03 при Физико-техническом институте им.А.Ф.Иоффе РАН по адресу: 194031, С.-Петербург, Политехническая ул., д.26.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Физико-технического института им.А.Ф.Иоффе.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверошшо печатью, просим присылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря специализированного совета.

Автореферат разослан " ко >с/р >> 1992 г.

Ученый секретарь

гпо^алнг.ирс-Башюго совета, к.ф.-м.н.

Б.Г.Жуков

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Задача о диффузии электромагнитного поля в проводник является классической. Ее точное аналитическое решение возможно-лишь для проводящих областей простейшего вида: полуплоскость, бесконечный цилиндр. На практике существует широкий круг научных и инженерных проблем, требующих рассмотрения проводников более сложной формы, а такжэ систем проводников различных конфигураций, с учетом магнитных и тепловых зависимостей свойств материала проводникоз. Подобные задачи возникают в энергетике, электротехнике, при получьнии сильных и сверхсильных импульсных магнитных полей, в токамаках, при разработке плазменных ускорителей и устройств на магнитной подушке, в геофизике и т.д.

Современная вычислительная техника позволяет, в большинстве случаев, решить задачу методами численного моделирования, однако этот путь сопряжен с большими затратами машинного времени и оперативной памяти ЭВМ, особенно в трехмерных задачах. С другой стороны,в некоторых классах задач, при непосредственном численном интегрировании исходных уравнений, значительная доля ресурсов компьютера уходит на совершение "лишней" работы. В частности, в расчетах скин-эффекта нерационально просчитывать весь объем проводника, если интересующие процессы протекают вблизи его юверхности. В этих случаях наиболее эффективным методом является аспользование математических моделей, учитывающих особенности задачи и сокращающих общий объем вычислений. Кроме того, латематическое моделирование позволяет глубже разобраться в «еханизме изучаемого явления путем выявления соответствующих шалитических зависимостей с последующим их анализом.

Цель работы состоит в построении гибких математических юдолей диффузии электромагнитного ноля и сопутствующих процессов I системах параллельных проводников произвольного сечения при фотекании коротких импульсов тока произвольной фориш в плоской и |ространственной постановках, и расчете с иу помощью распредели ;ия параметров поля и томиоратури в сисями элсктродч-окр^н «ального рольсотрошшго ускорителя твердых тьл.

Научная новизна работы заключается в следующем: Предложена новая математическая модель скин-эффекта в системах цилиндрических проводников произвольного вида, основанная на методе граничных интегральных уравнений (МГИУ) и приближении пограничного слоя, обобщающая и расширяющая известный высокочастотный (БЧ) предел (приближение сильного поверхностного эффекта). В рамках построенной модели проанализированы индукционные процессы перераспределения параметров поля и температуры вдоль поверхности проводников со.временем для различных температурных зависимостей свойств материала проводника. Для случая симметричной в какдо! плоскости сечения системы протяженных параллельных проводников (трехмерная постановка) получена новая интегро-дифференциальная формулировка МГИУ, содержащая только двумерные ядра интегральные операторов, и предложена итерационная процедура для применена указанной формулировки при наличии в системе проводников произвольной формы.

Практическая ценность . Предложенная модель скин-эффектг позволяет повысить точность вычислений на 10-1556 ыо сравнению с ВЧ приближением, что существенно при расчете предельных режимо! пропускания т,ока. Кроме того, модель дает возможность проследи« процесс перераспределения тока вдоль поверхности проводнике вследствие диффузии поля в глубь проводника, что для ВЧ предела является принципиально недостижимым. Решение' представлено в виде двух последовательных приближений (ВЧ предел и искомая поправка), выраженных интегральными уравнениями с ядрами одного вида, поатому не возникает новых вычислительных сложностей по сравнении с решением задачи в ВЧ пределе. Предложенный интегро-дифференци-альный метод позволяет для трехмерных задач в несколько раз сократить потребляемые ресурсы ЭВМ по сравнению со стандартным МГИУ.

Выполненные посредством разработанного пакета прикладные программ расчеты системы электроды-экран реального рельсотронногс ускорителя твердых тел позволили оптимизировать его конструкцию с целью снижения тепловых и динамических нагрузок на электроды.

На защиту выносятся:

- в1е-вьл-математическая модель скин-эффекта в системах цилиндрических проводников произвольного сечения в переменных а и н-Ф подходов в плоской и пространственной постановках;

- математическая модель Джоулева нагрева в скин-слое проводников с учетом температурных зависимостей параметров материала проводника для произвольной формы импульса тока и аналитические выражения для температуры поверхности проводника в случае ступенчатого импульса и постоянных характеристик материала;

- результаты расчетов параметров электромагнитного поля, а также индуктивности, сопротивления и силового взаимодействия в системе электрода-экран рельсотронного ускорителя твердых тел;

- интегро-дифференциальная формулировка МГИУ для случая симметричной системы протяженных параллельных проводников произвольного сечения (трехмерная постановка) и итерационная процедура для применения формулировки при наличии в системе проводников

- произвольной формы;

Апробация работы. Материалы, составляющие содержание диссертации, докладывались на 8-й Международной конференции по расчетам электромагнитных полей сомримАС-91 (Сорренто, 1991), Всесоюзной конференции по электродинамическим ускорителям (Москва, 1988), всесоюзной школы "Физика импульсных разрядов в конденсированных зредах" (Николаев, 1991), а также на семинарах лабораторий Прикладной математики и Физической газодинамики ФГИ им.А.Ф.Иоффо РАН.

Публикации.По результатам диссертации опубликовано II работ.

Структура и объем диссертации; диссертация состоит иг ¡ведения, четырех глав, заключения, списка литературы из 10.1 I ^именований, включает 25 рисунг.оз. Общий объем работы -12г :траниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во .введении обоснована актуальность темы, определена цель работы и приведено краткое ее содержание.

В первой главе описывается построение предлагаемой bie-bla

(Boundary Integral Equations - Boundary Layer Approximation)

модели. В параграфе I.I приводится плоская постановка задачи (длинные параллельные проводники произвольного оочения) в переменных а и н-ф подходах (н - напряженность магнитного поля, а и ф.соответственно,его векторный и скалярный потенциалы) для постоянных характеристик материала проводников с использованием киазистационарных уравнений Максвелла в дифференциальной форме и интегральных граничных условий на поверхности проводников. Отметим, что скалярный потенциал в диэлектрике вводится как

Н = Нс - grad ф , н" = J н' , i = 1.2...К,

где H°(r,t) есть, согласно И.Д.Майергойзу, магнитное поле фиктивного линейного тока, введенного для исключения фактора многосеязности диэлектрического пространства и равного полному току через i-ый проводник г - х(t) , к - количество проводников. В параграфе 1.2 совершен переход к безразмерной форме записи путем выделения соответствующих масштабов. Если условия протекания тока таковы, что пола не успевает или не может проникнуть в глубь проводника, для решения• задачи естественно воспользоваться приближением пограничного слоя. В этом случае исходная задача расщепляется на две t понижением размерности: дифференциальное уравнение, описывающее диффузию поля в проводник нормально его поверхности, и интегральное уравнение, определяющее распределение параметров поля вдоль поверхности проводника. При э'юм последнее отличается от уравнения ВЧ предела наличием членов, содержащих малый параметр р , пропорциональный отношению толшины скин-слоя к характерному размеру поперечного сечения, и отражающих обратное влияние процесса диффузии на распределение поверхностных величин. Таким образом, стандартный подход, когда распределение тока вдоль поверхности проводника вычисляется в БЧ пределе с погрешностью о(р), а диффузия поля - в приближении

пограничного слоя (ПС) с погрешностью 0(р2), объединяет задачи разной степени точности. Использование полученного интегрального уравнения позволяет выравнять точность и найти решение всей задачи с погрешностью 0(р2). В параграфе 1.3 решение задачи ищется в виде разложения по степеням малого параметра р, которое, к примеру, для скалярного потенциала на контуре сечения проводника имеет вид:

ф((л) = ф0((л) + рФ,((Л) + 0(р2), где ф0 есть решение в ВЧ пределе, а ф±- искомая поправка; ¡г -контурная координата. Показана возможность расщепления искомых функций на пространственную и временную составляющие, что позволяет избежать решения уравнений на кавдом временном слое:

= 0о(ОТо(и ; = ^ I? )Т4 (I) ,

I

т0 (1:) - 1(1) , Т,(и - / 1<т) .и- г)"1'2^.

^ о

Окончательно, для фо и фк получены следующие уравнения:

к „ * с<2> к с*. + \ X фк- (1? ' - У I Х^С<2,сИГ ' . 1-0.1,

«> п

Н° . , а н!

х°|" " т ' V«.- ,

где в'2' есть фундаментальное решеше соответствующей плоской задачи в диэлектрике, ь.- контур сечения >го проводника. Отметим, что оба интегральных уравнения имеют одинаковые ядра, поэтому их численное решение проводится посредством одной и той ко программной процедуры методом гр&ничных элементов. Аналогично получены уравнения в переменных а подхода. В параграф 1.4 построенная математическая модель в переменных н-л - подхода обобщена на пространственный случай системы цилиндрических иро-¡ЮД11ИК0В произвольной формы конечной длины, соединешшх в цепь линейными токопроводами. В параграфе 1.5 приведены результаты тестовых расчетов параллельных проводши.ов эллиптического и фямоугольного сечений, полученных посредством а и н '/'-подходов, кжазанс, что второе приближение (приближение ПС) г.писызаот

индукционный процесс, стремящийся выравнять неоднородности в ВЧ распределении параметров по^;л по поверхности проводника. Дан анализ динамики влияния поправки на распределений тока в ВЧ пределе в течение импульса тока. Предложен простой метод количественной оценки роли второго приближения без проведения основных расчетов. Исследовано влияние формы импульса тока на величину поправки. Показано,' что воздействие второго приближения будет тем значительней, чем дольшэ фаза изменения тока, что отражает инерционность индукционных процессов. Для плоской постановки дан сравнительный анализ д-и н-^-подходов применительно к построенной модели. Существенное отличие обоих подходов выражается в том факте, что д подход сводится к интегральным уравнениям Фредгольма первого реда, а н-^-подход - к уравнениям второго рода. Поэтому во втором случае нет нувды использовать регуляризационные процедуры, необходимые в а-подходо, даке для проводников, имещих на поверхности сингулярные точки.

Во второй главе формулируется математическая модель дкоулева нагрева проводников при протекании коротких импульсов тока, согласованная с вге-вьа моделью диффузии электромагнитного поля. В параграфе 2.1 приведена постановка задачи. К системе уравнений, приведенной р параграфе 1.1, добавляется уравнение теплопроводности. За рассматриваемые малые времена существенный теплообмен с окружающей средой происходить не успевает, поэтому в качестве граничного условия для температуры выбирается отсутствие теплового потока с поверхности проводника. Вводится масштаб температуры,и задача записывается в приближении пограничного слоя. В параграфе 2.3 рассмотрена задача нелинейной диффузии поля к проводник (проводимость и теплопроводность материала зависят от температуры) для произвольной формы импульса тока. Как и в параг-рьфе 1.3, решение ищется в виде разложения по параметру р, и полученные для коэффициентов начально-краевые задачи решались численно неявным методом Кранка-Николсона. В параграфе 2.3 для распределения температуры поперек скин-слоя в случае постоянных характеристик материала и ступенчатой формы импульса тока получена краевая задача с малым параметром при старшей производной. Решение ищется в виде степенного ряда по времени, и

- g -

уравнения для первых двух коэффициентов решены методом сращиваемых асимптотических разложений. При этом выражение для температуры поверхности имеет вид:

т - i:{-K-m. ♦ ♦ 2(1 ♦ ш *)yoY, ,

где у . y есть коэффициенты разложения поверхностной плотности тока, х и I,- характерный размер поперечного сечения и масштаб полного тока, с - постоянная Эйлера, ь ~ 1.96, а малый параметр

x о р - 1^2

с - [—выражает отношения длин тепловой и магнитной диффузий и для меди равен *0.08 . Первое слагаемое в полученном выражении практически совпадает с формулой, приведенной в работо p.Hawke, a.Brooks (Аэрокосмическая техника -I983-Jfc2-c.110-119), а второе описывает неучитываемое в указанной работе изменение температуры со временем. В параграфе 2.4 приведены и проанализированы результаты расчетов для систем проводников, описанных в главе- I. Рассмотрен процесс перераспределения температуры вдоль поверхности проводника со временем в зависимости от вида температурных свойств материала проводника. Показано, что учет в нелинейном случае ускорения процесса диффузии при высоких температурах обуславливает не только более ранние проявления различий между решениями в ВЧ пределе и приближении ПС, но и приближает момент перекрытия скин-слоев соседних участков поверхности. что является границей применения bie-bla модели. Отметим, что вычисление температуры в ВЧ пределе дает существенно иавншитшо результаты по сравнению с приближением ПС.

Третья глава посвящена расчетам параметров поля, а тают индуктивности, сопротивления и силового ьааимодействия в системе электроды-экран рельсотронного ускорителя твердых тел в двумерной постановке ("бесконечные" параллельные проводники). В параграфе 3.1 обосновывается актуальность экранирования рельсотропа как сродства снижения тепловых и динамических нагрузок на электроды, и рассматриваются факторы, определяющие оптимальное положено экрана. Обычно считается, что величина ускорения ограничена, к .ж минимум, прочностью тела и величиной допустимого тока. Пос.'!г,дн.чя связана с разрушением электродов при сильных токах, вызываемом

следующими причинами:

1. расплавление поверхности электродов вследствие джоулева тепловыделения и нагрева излучением плазмы в канале ускорителя. При атом необходимо учитывать неоднородности распределения тока по сечению электродов, приводящие к локализации перегрева, как правило, в окрестности угловых точек на контуре поперечного сечения,

2. негативное воздействие силы Ампера, расталкивающей параллель-, ше проводники с противоположными токами и приводящей к искривлению электродов.

Уменьшить влияние указанных факторов возможно путем применения дополнительных электродов или электромагнитных экранов в конструкции ускорителя, выравнивающих неоднородности распределения тока и компенсирующих силовое взаимодействие. Поэтому для оптимизации процессов ускорения и определения предельных режимов работы рельсотрона необходим расчет диффузии магнитного поля в электроды и интегральных характеристик (индуктивность, сопротивление и силовое воздействие на единицу длины проводников) ускорителя с максимальным учетом особенностей его конструкции. В параграф? 3.2 рассматриваются этапы алгоритмической и программной роализацш поставленной задачи. Предложен новый способ обработки особенности в интегральном уравнении, возникающей при совпадении точек наблюдения и интегрирования, для линейных и квадратичных элементов МГИУ. В параграфе 3.0 рассмотрено вычисление интегральных характеристик: индуктивности, сопротивления и силового взаимодействия между электродами. Показано, что увеличение индуктивности с расширением скин-слоя есть величина порядка 0(р). В параграфе 3.4 изложены результаты расчетов электродов и экранов реального рельсотронного ускорителя лаборатории Динамики плотной плазмы ФТИ игл.А.Ф.Иоффе РАН в плоской постановке. Согласно расчетам, при оптимальном положении экрана, роль которого играют конструктивные элементы системы, отношение максимально допустимых полных токов, при которых, еще не возникает разрушения электродов, для экранированных и изолированных электродов равно -1.8 .

Ь четвертой главе описана новая интегро-дифференцияльная ¿йрмулирэвкэ метода Граничных Интегральных Уравнений для случая

симметричной в каждой плоскости сечений системы длинных параллельных проводников произвольной формы и пространственно расположенных источников возбуждения магнитного поля. Посредством в1е-мотода задача расчета скалярного потенциала по поверхности проводников сводится к уравнению

к з0,э> к

сФ + £ ; ,,,--ая. = 1 ; х'3,в"'<1в' (3)

где о'9' есть фундаментальное решение трехмерного уравнения Лапласа в диэлектрике, х'э>- известная функция, а б - поверхность :гГО проводника. Направим ось оъ вдоль образующей . проводников и перейдем к безразмерным переменным, выбрав в качестве масштабов для контурной координаты к в плоскости ху и продольной координаты г характерный размер поперечного сечения х и масштаб изменения параметров магнитного поля вдоль оси ог г, соответственно. При этом левая часть (3) принимает вид (параграф 4.1):

5 ■»о'9' К

р- I ыг / 2_2,--_2,(4)

где р'Х/х - малый параметр, а и'2расстояние между точками наблюдения и интегрирования в плоскости ху . Согласно методу асимптотических разложений, последний интеграл, пренебрегая членами порядка о(^), представим в виде

ф аз' ^ /э1"* 2г йп'

Л ф а2 /5 V V 2

§ . , 2~2 ' . 2 ' э™2 . \ ~ к 5 ^ И ' ' ' 3/2

Подставив полученное выражение в (4) и учтя симметрию системы относительно осей х и у, левую часть (3) запишем в виде

К ¿0<2> к а*Ф

сф + —-Гп И ь)Щ(а ) а?- (5)

I ? 1 1

где с - фундаментальное решение ухе двумерной задачи ь диэлектрике. Полученное ьыражение1 содержит только контурные интегралы.

Отметим, что от соответствующей плоской задачи преобразованная левая часть отличается наличием третьего слагаемого. Аналогично найдены граничные условия третьего типа для г . В параграфе 4.2 дан анализ полученного интегро-дифференциального уравнения. Показано, что вклад третьего слагаемого в (5), отражающего неоднородность распределения потенциала по длине проводников вследствие их конечности, существенно лишь на малых расстояниях (порядка долей диаметра) от торцов проводников. Полученное уравнение решено методом матричной прогонки, что позволяет на порядок снизить затраты оперативной памяти ЭВМ по сравнению с методами, обычно использующимися для решения интегральных уравнений. На практике редко встречаются системы, состоящие только из параллельных проводников, поэтому непосредственное применение построенной формулировки для реальных трехмерных прикладных задач, как правило, затруднительно. В этом случае естественным будет подход, разделяющий решения задач диффузии для группы параллельных проводников, к которым применима квазитрехмерная формулировка, и для группы проводников произвольной формы. Для этого в параграфе 4.3 предложена итерационная процедура, в ко.горой вместо исходного интегрального уравнения (3) по поверхностям всех проводников, входящих в систему, попеременно решаются два уравнения отдельно для проводников каздой группы. В параграфе 4.4 примеры тестовых расчетов для различных систем проводников сравниваются с результатами, полученными стандартным МГИУ. Предлагаемый метод позволяет в несколько раз уменьшить время численного счета и затраты оперативной памяти ЭЙМ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I. В переменных ¿ и ц-ф подходах предложена новая математическая 'в1Е-вьд модель диффузии электромагнитного шля в системы цилиндрических проводников произвольного сечения для коротких импульсов тока произвольной формы, уточняющая и обобщающая стандартно применяющуюся для этого класса задач модель сильного скин-эф^екта (высокочастотный предел). Решение представлено в

виде двух последовательных приближений (ВЧ предел и поправка, описывающая процесс индукционного перераспределения тока вдоль поверхности проводника), выраженных интегральными уравнениями с ядрами одного вида, поэтому не возникает новых вычислительных сложностей по сравнению с решением задачи в ВЧ пределе. Для обоих приближений показано расщепление искомых функций на пространственную и временную составляющие, что позволяет, как и для гармонического изменения тока, избежать решения уравнений на каждом временном слое. Исследовано влияние формы импульса тока на величину второго приближения и предложен простой количественный метод оценки роли второго приближения без проведения основных расчетов. Рассмотрено вычисление интегральных характеристик системы проводников: индуктивности, сопротивления, силового взаимодействия. На основе сравнительного анализа сделан вывод о предпочтительности н-Ф подхода применительно к построенной модели.

2. В рамках вхе-вьл модеж решена задача расчета нелинейной диффузии поля и джоулева нагрева в системах проводников произвольного вида для коротких импульсов тока произвольной 1 формы. В случае ступенчатого импульса тока и постоянных характеристик материала проводника получены аналитические формулы для определения температуры поверхности проводников. Исследован процесс перераспределения температуры вдоль поверхности проводника со временем в зависимости от вида температурных зависимостей материала проводника.

3. Посредством разработанного на основе предложенной модели пакета прикладных программ выполнены расчеты системы элэктроды-экран реального рельсотротшого ускорителя твердых тел в двуморной постановке. Анализ результатов и выработанные на его основе рекомендации позволили оптимизировать его конструкцию с целью снижения тепловых и динамических нагрузок на электроды, и способствовали, судя по имеющимся литературным- данным, достижению наивысших в мире параметров для ускорителей данного типа.

А. Для расчета диффузии поля в симметричных системах протяженных параллельных проводников произвольного сечения (трехмерная постановка) получена и проанализирована новая интегро-дифферонци-альная формулировка вге-метода, содержащая только двумерные ядра

интегральных операторов и позволяющая в несколько раз сократить потребляемые ресурсы ЭВМ по сравнению со стандартными методами ришения интегральных уравнений по поверхности проводников. Предложена итерационная процедура, позволяющая применять формулировку к системам, содержащим как симметричные параллельные проводники, так и проводники произвольной формы.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. З.М.Дробышевский, В.С.Кферев, С.В.Юферев . Расчет скин-слоя в системах длинных параллельных проводников - Препринт ФТИ им.А.Ф.Иоффе РАН Ш305, Л.: 1988 , 20с.

2. З.М.Дробышевский, Б.Г.Жуков, Е.В.Назаров, С.И.Розов, В.М.Соколов Д.Е.Веселков, Р.О.Куракин, М.А.Савельев, С.В.Юферев МГД разгон диэлектрических тел в рельсотроне в режиме постоянного ускорения - Препринт ФТИ им.А.Ф.Иоффе РАН Ш315, Л.: 1999, 23с

3. С.В.Юферев Расчет Джоулева тепловыделения в системах цилиндрических параллельных проводников произвольной формы при протекании коротких импульсов тока // Труда Всесоюзной школы "Физика импульсных разрядов в конденсированных средах", Николаев, 1991, с.53-54

4. Э.М.Дробишевский, Б.Г.Жуков, Е.В.Назаров, С.И.Розов, В.М.Соколов Д.Е.Веселков, P.O.Куракин, М.А.Савельев, С.В.Юферев Электродинамический разгон диэлектрических тел в рельсотроне в режиме постоянного тока // ЖТФ-1991-т.61-.№4-сЛ70-179

Г). С.В.Юферев. В.С.Юферев Диффузия электромагнитного шля в системах цилиндрических параллельных проводников произвольной Формы при протекании коротких имнульсоь тока // ЖТФ--1991-Т.61--1-е.21-27

6. V.S.Yuferev. S.V.Yuferev A skin-effecL in arbitrarily shaped cylindrical parallel conductors: cjenora 1 izat ion of High-

- 15 -

Frequency limit // Сб. Труды ФТИ, Nova Science, 1992.

7. Sergey V.Yuferev BIE-E/.A Formulation for the Skin Effect Eddy Current Problems of 2D Multiconductor System // Conference Digest to the 5' Biennal IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation, August 3-5. 1992. Claremont. USA.

8. Sergey V. Yuferev ant' '/«ileitin S.Yuferev Asymptotic Expansion Applied to the BIE Method for Skin Effect Eddy Current Problems of Slender Parallel Conductors // Conference Digest to the 5 h Biennal IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation, August 3-5, 1992. Claremont. USA.

9. С.В.Кферев Расчет Джоулева тепловыделения в системах цилиндрических параллельных проводников произвольной формы при протекании коротких импульсов тока // Математическое моделирование, -1992-т.4-№4-с.27-34 .

10. Sergey V.Yuferev Generalized Н-Ф method for the eddy currurt problems of 3D multiply conductors for short pulses of arbitrary form // Digest of short versions of papers accepted for the International Conference ori Electromagnetic Field Problems and Applications, October 14-16, 1992, Hangzhou. China.

11. Valentin S. Yuferev and Sergey V.Yuferev A new integro-differential boundary element approach for eddy current problems of slender parallel conductors // Digest of shott versions of papers accepted for the International Conference on Electromagnetic Field Problems and Applications. October 14-16, 1992, Hangzhou. China.

РГП ПИЯФ,зак.854,тир.100,уч.-изд.п.0,7; 5/XI-I992r. Бесплатно