автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое и имитационное моделирование стохастической упаковки систем сферических моночастиц в пространствах низкой размерности

На правах рукописи

МИГАЛЬ Лариса Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УПАКОВКИ СИСТЕМ СФЕРИЧЕСКИХ МОНОЧАСТИЦ В ПРОСТРАНСТВАХ НИЗКОЙ РАЗМЕРНОСТИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа физико-математического факультета Белгородского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Н.А. Чеканов

Научный консультант:

кандидат технических наук,

доцент В.Г. Бондарев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор И.В. Пузынин

доктор технических наук,

профессор Н.И. Корсунов

Ведущая организация: Новгородский государственный университет

им. Ярослава Мудрого

Защита состоится 22 декабря 2005 г. в 16й3 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 в Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1, ауд. 322.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан «19 » Ц£>Я$ПЯ 2005 ]

Ученый секретарь

диссертационного совета С.Е. Савотченко

7006-4

2 2/7У/7

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основным содержанием теории плотноупаковал-ных систем является прогнозирование влияния структурных параметров объекта на его физические свойства, а также возможность управления параметрами структурных элементов, составляющих исследуемый объект. Одной из основных проблем теории плотноупакованных систем частиц является получение достоверной информации о внутренней структуре стохастических упаковок, сформированных на основе частиц плотноупакованных систем. В упаковках такого типа частицы расположены столь близко друг от друга, что их взаимное влияние через контактное взаимодействие существенно сказывается на поведении всей системы в целом.

В математических науках, при исследовании плотноупакованных систем частиц, основное ударение делается на изучение многомерных упаковок, с целью рассмотрения вопросов по конструированию исправляющих кодов. В физических науках аналогичные исследования идут довольно широким фронтом, практически в большинстве разделов физики необходимо иметь знания о природных процессах структурообразования материальных тел. То же можно сказать и о разделах химии. В порошковой металлургии, в физике спекания и в химической технологии вопросы, связанные с формированием плотноупакованных систем выдвигаются на передний план. В литературе по металлургии и строительству имеется большое количество научных трудов, в которых так или иначе затрагиваются вопросы, связанные с анализом структурных свойств самых различных материалов.

Среди многих практически важных задач механики можно выделить обширный класс задач, в которых зависимостью свойств трехмерных объектов от одной из координат можно пренебречь. В частности, это могут быть одно- и двумерные упаковки сферических частиц, являющиеся аналогами многих физических процессов и явлений. В последнее время большой интерес вызывают так называемые квазиодномерные системы - атомные цепочки, длинные молекулы с сопряженными связями. Эти системы имеют большой практический интерес как составные части в ряде биологических активных молекул (например, витамин А, хлорофилл и т.п.), а также некоторые полупроводники, катализаторы и т.п. Интерес представляют и двумерные системы - слоистые кристаллы, а также нанокристаллы, представляющие собой пленки молекулярной или атомарной толщины. В связи с этим большую важность приобретает проблема моделирования стохастических упаковок систем сферических частиц (random close packing, RCP) на основе разработанной математической теории и адекватных численных и имитационных методов. Актуальность таких исследований в значительной степени обусловлена их тесной связью с решением мно ~ ганых нау-

ках.

Цель и задачи исследования. Основной целью представленной диссертационной работы являлась разработка математических и имитационных моделей, а также алгоритмов и пакета программ для исследования процессов, происходящих при формировании стохастической упаковки систем сферических моночастиц в пространствах низкой размерности.

Для ее достижения были поставлены и решены следующие задачи:

- проанализировать существующие методы исследования плотноупакован-ных систем частиц;

- построить математическую модель стохастической упаковки систем одномерных моносфер;

- разработать алгоритм и подготовить программу имитационного моделирования стохастической упаковки систем одномерных сферических моночастиц;

- на основе имитационной модели провести исследование стохастической упаковки систем одномерных сферических моночастиц;

- построить математическую модель стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц;

- разработать алгоритмы и подготовить пакет программ по имитационному моделированию стохастической упаковки в двумерном пространстве;

- разработать метод расчета координационного числа частицы;

- на основе имитационной модели провести исследование стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц.

Методы исследований. В качестве методов исследования применялись методы математического и имитационного моделирования, математической статистики, а также методы объектно-ориентированного программирования в среде МАРЬЕ. Применяемые методы модифицировались с учетом особенностей исследуемых объектов.

Научная новизна работы характеризуется тем, что в ней впервые:

- построены математическая и имитационная модели стохастической упаковки систем одномерных моночастиц;

- создан алгоритм, реализованный в виде программы, на основе которой решена одномерная задача стохастической упаковки систем моночастиц;

- проведен численный эксперимент по выявлению взаимосвязи между плотностью упаковки и величиной установочной области в одномерном пространстве;

- построена математическая модель стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц;

установлено, что способ управления структурой плотноупакованных систем частиц связан с возможностью направленного выбора из множеств перекрывающихся частиЦ подмножеств устанавливаемых частиц;

- разработан метод построения локальных слоев в виде совокупности цепочек частиц;

- предложена формула для расчета в стохастической упаковке координационных чисел частиц;

- созданы алгоритмы и пакет программ, с помощью которых решена двумерная задача стохастической упаковки систем сферических моночастиц;

- теоретически и экспериментально подтверждено предположение о существовании в двумерном пространстве стохастической упаковки как свободном, так и связанном состоянии;

- получены предельные значения структурных характеристик для стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц.

Практическая значимость работы. Программная реализация метода слоев обладает способностью более быстрого решения задачи по формированию ЯСР-упаковки. Преимущество предложенного метода перед известными методами подтверждено конкретными расчетами, что делает программную реализацию метода слоев применимой в реальных ситуациях. Результаты выполненных исследований позволяют использовать разработанную методику и программное обеспечение для изучения плотноупакованных систем частиц, с учетом способов их формирования, для прогнозирования и оперативного управления их структурными свойствами. Установленные закономерности формирования структуры стохастической упаковки также могут быть использованы для совершенствования технологий производства сыпучих материалов, а также для создания новых композиционных материалов. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математические и имитационные модели стохастической упаковки систем одно- и двумерных сферических моночастиц.

2. Разработанные алгоритмы, реализованные в виде комплекса программ, на основе которых решены задачи по стохастической упаковке систем сферических моночастиц, расположенных в одно- и двумерном пространствах.

3. Теоретическое и экспериментальное подтверждение существования предельных плотностей в стохастических упаковках систем сферических моно-часгиц, расположенных в одно- и двумерном пространствах.

Личный вклад соискателя заключается в систематизации и научном обобщении методов исследования структурных параметров, активном участии в постановке задач, а также в построении и реализации новых предложенных математических и имитационных моделей. Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены самим автором.

Достоверность научных результатов подтверждается: применением апробированных методов теории вероятностей и математической статистики; достаточным по статистическим критериям объемом выборок, определяю-

щих структурные параметры стохастической упаковки систем частиц; сходимостью расчетных значений структурных параметров стохастической упаковки с полученными экспериментальными данными и данными других исследователей.

Апробация и внедрение результатов работы. Работа проводилась в соответствии с научным направлением «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденным Ученым Советом БелГУ от 3.11 2000 г. и с планами НИР кафедры математического анализа и кафедры информатики и вычислительной техники БелГУ. Результаты, изложенные в диссертации, и отдельные ее разделы докладывались и обсуждались на Международной научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке и производстве» (Новочеркасск, 2003), Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2004), Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в управлении и моделировании» (Белгород, 2005), Международной конференции по математическому моделированию «МКММ-2005» (Херсон, 2005), IX Всероссийская конференции «Научное творчество молодежи» (Томск, 2005), VI Международной конференции «Компьютерное моделирование 2005» (Санкт-Петербург, 2005), семинарах БелГУ (Белгород), НовГУ им. Ярослава Мудрого (Великий Новгород), БГТУ им. В.Г.Шухова (Белгород). Разработанные пакеты программ апробированы в учебном процессе в рамках специального курса «Математическое моделирование» для студентов физико-математического факультета БелГУ.

Публикации. Основные положения и результаты диссертации отражены в 9 публикациях, в том числе в отраслевом фонде алгоритмов и программ автором зарегистрирован пакет программ по теме диссертационного исследования.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и изложена на 124 страницах машинописного текста, содержит 9 таблиц, 16 рисунков, список литературы из 163 наименований (59 отечественных и 104 иностранных).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи, отражены методы исследования, а также показана научная новизна работы, ее практическая значимость и достоверность полученных результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящена обзору исследований поведения плотноупакованных систем частиц. В направлении данных исследований немаловажную роль представлял собой выбор методов изучения структуры

объектов, имеющих порой самую различную природу. Благодаря работам М. Ачария, Дж.Д. Бернала, Д.Г. Берримана, Д.Е. Вильямса, Дж.А. Доддса, Б.Д. Лубачевски, Р.К. Макджири, Г. Мейсона, М. Оды, А.Н. Патанкара, Г.Д. Скотта, Ф.Х. Стилинжера, С. Торкуато, С.С. Фернеса и др. установлены важнейшие закономерности влияния структурных параметров на свойства объектов.

На основе анализа результатов ранее выполненных работ в данной главе рассмотрены основные структурные характеристики, принятые для оценки стохастических упаковок. Представлены результаты исследований по формированию стохастических упаковок с применением аналитических, экспериментальных и компьютерных методов. Проанализированы результаты исследования факторов, определяющих поведение стохастической упаковки, находящейся под внешним воздействием.

Во второй главе диссертационной работы рассмотрены вопросы, связанные с разработкой математической модели и проведения имитационного моделирования стохастической упаковки систем одномерных моносфер. Проблему стохастического расположения сфер в пространстве размерности R1 можно определить следующим образом (Greet R.J. Random-line and hard-spheres models. II J. Applied Physics. - 1966. - V.37, №12. - P. 4377-4380). Последовательно, выбирая случайным образом координаты на линии конечного размера, произведем совмещение центров одномерных сфер единичного диаметра с данными координатами, отбросив те частицы, которые перекрываются. Затем продолжим наш эксперимент до тех пор, пока все межчастичные расстояния не будут по своей величине меньше диаметра сферы. Требуется определить плотность упаковки полученной конфигурации частиц.

Для решения поставленной задачи рассмотрим совокупность одномерных частиц единичного диаметра а, расположенных на конечном интервале, называемом установочной областью, имеющем фиксированный размер длиной ¿(рис. 1).

установочная область 1 Д2

'А/' установочная область 2 Рис 1 Схема расположения частик в установочных областях

Будем считать, что каждая j-тая частица занимает в данной области определенное место, характеризующееся координатой Xj центра данной частицы, значение которого определено случайным образом. Кроме того, на начальной стадии исследования, рассматривается система частиц, обладающих относительно слабыми корреляционными эффектами, то есть являющимися практически независимыми друг от друга. Размер всей области Lo, предна-

значенной для размещения частиц, определяется как аддитивная сумма всех областей установки частиц, за исключением расположенных в конце каждой из установочных областей пустых промежутков Дт (т - номер состояния системы частиц, находящейся в /-той установочной области). Требуется определить плотность упаковки полученной системы частиц как функцию длины установочной области.

Для получения решения поставленной задачи вначале рассмотрим вопрос о методе определения координат центров частиц. В нашем случае, когда имеется система независимых частиц, определение координат центров частиц в /-той установочной области можно произвести, используя следующее выражение

2(^-7 + 1)

где I - длина установочной области; ] - номер устанавливаемой частицы; Хи - координата центра у-той частицы в /-той установочной области. При таком методе определения координат центров устанавливаемых частиц первая из них занимает 1 /к предоставленного для ее установки интервала, располагаясь в центре данной области, вследствие априорно выбранного нами для нее равномерного закона распределения. Все остальные частицы устанавливаются в соответствии с вышеописанными правилами, с учетом оставшейся от предыдущей частицы части интервала и количества еще неустановленных частиц.

Далее будем считать, что вероятность установки к частиц зависит только от размера установочной области и не зависит от их расположения в данной области (стационарность). Кроме того, будем считать, что частицы в область установки попадают поодиночке (ординарность) и независимо друг от друга (отсутствие последействия). В этом случае процесс установки частиц можно рассматривать как простейший случайный поток.

Перейдем теперь к рассмотрению более общей задачи. Пусть в установочной области можно разместить систему, состоящую из к частиц, таким образом, что число установленных частиц в данной области есть однородный марковский процесс с состояниями т=1,2, ... Также будем считать, что из состояния т можно непосредственно перейти только в состояние т+1. В этом случае, вероятность Рт нахождения системы в состоянии т можно найти, воспользовавшись дифференциальным уравнением (Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - Киев: Техника, 1977)

¿ад.

дх

■ = СХ{Рт_1(х)-Рт{х)1 (2)

где С - коэффициент пропорциональности; Я - плотность перехода, определяющая интенсивность марковского потока; х - переменная, представляющая

собой нормализованное значение размера установочной области: x=2(L-цт в качестве граничных условий выберем: Рт(0)=0 и Рт( 1 )=1.

Интегрирование данного дифференциального уравнения первого порядка позволяет получить выражение для вероятностей нахождения системы в состоянии т в следующем виде

г _ г ПОП г г mill

Pm(L) = 2 —у—1*— ехр(-Л. (2 — -1)). (3)

L-ст L-ст

Плотность перехода X по определению равна количеству частиц, приходящихся на единицу объема, занимаемого системой. В нашем случае она совпадает со значением постоянной Реньи, равной 0,7476 (Finch S. Favorite Mathematical Constants. - 2004, http://www.mathsoft.corn/asolve/constant/renvi/ renyi.html). Вид уравнения для плотности упаковки ц, системы частиц, расположенных в /-той установочной области можно определить следующим образом

Л1 Mm

где km - число частиц в состоянии т; Pm{L) - вероятность нахождения системы в состоянии т\ цт - плотность упаковки системы в состоянии т, которая определяется стандартным образом по формуле

к „а

(5)

Для проверки математической модели нами были проведены эксперименты по имитационному моделированию случайной упаковки одномерных сфер. Наиболее удобным для создания имитационной модели является метод частиц. Для имитационного моделирования стохастической упаковки систем одномерных моносфер был разработан следующий алгоритм:

1. Вначале выбирается размер установочной области L. Процедура заполнения установочной области начинается с выбора места для расположения центра первой устанавливаемой частицы. Выбор реализации случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0,1] производится путем применения функции генерации случайных чисел, с последующим умножением полученного случайного числа на величину установочной области.

2. На следующем этапе занятая установленной частицей часть отрезка, вместе с исключенным объемом удаляется, и на его концах остаются два отрезка меньшей длины, которые затем объединяются.

3. На последующих этапах выполнение процедуры установки отдельной частицы повторяется, с одновременным пересчетом координат центров час-

тиц, до тех пор, пока каждый из двух оставшихся отрезков не будет иметь длину менее диаметра частицы.

4. Формулируются граничные условия как условие выхода частицы за пределы рассматриваемой установочной области: а/ 2 < Хк< L-a/2.

5. По стандартной формуле рассчитывается плотность полученной стохастической упаковки.

6. В дальнейшем выполнение описанных выше этапов повторяется многократно, с последующим расчетом среднего значения плотности упаковки при заданном размере установочной области.

7. На последнем этапе разработки алгоритма производится графическое построение стохастической упаковки системы одномерных моночастиц, с целью визуального контроля за положением частиц на выбранном отрезке.

Главным достоинством предложенного алгоритма является отсутствие «лишних» этапов, связанных с необходимостью исключения из рассмотрения тех частиц, рассчитанные координаты которых приводят к наличию пересечения с ранее установленными частицами.

Для реализации алгоритма в виде программы в качестве инструментального средства проведения имитационного моделирования был выбран пакет символьных вычислений МАРЬЕ 7 версии. Основными переменными рассматривались диаметр частицы ст, размер установочной области L, координаты левой Л"[0] и правой <Y[1] границ установочной области. Здесь же задавались начальные значения для переменных подсчета числа установленных частиц, а также ряда вспомогательных параметров. Для частицы, которую необходимо расположить в установочной области, случайным образом выбиралась координата центра частицы. Для этого использовалась функция генерации случайных чисел языка программирования МАРЬЕ определенная как RAND, имеющая в качестве переменной случайную величину с равномерной плотностью распределения на отрезке [0,1], с последующим умножением полученного случайного числа на значение величины установочной области. После завершения установки частицы заполненная часть установочной области, имеющая размер численно равный диаметру частицы, вместе с исключенным объемом, также равным диаметру частицы, удаляется, и на его концах остаются два отрезка меньшей длины, которые затем объединяются. Параллельно производится пересчет координаты центра частицы, для определения реального расположения частицы в рассматриваемой области установки.

Установка частиц выполняется в цикле, до тех пор, пока каждый из оставшихся незаполненными отрезков не окажется меньше, чем размер самих частиц. После завершения установки частиц рассчитывается плотность полученной стохастической упаковки, а также выводятся значения координат отдельных частиц, а также расстояний между соседними частицами. Для на-

глядного графического представления результата расчетов дополнительно подключалась библиотека графических примитивов, необходимая для визуального построения полученной стохастической упаковки одномерной системы моночастиц (рис. 2).

На рис. 3 приведены соответствующие нашему эксперименту данные по зависимости плотности упаковки г/ от размера области установки Ь частиц, полученные посредством математического моделирования и рассчитанные путем имитационного моделирования. Результаты как математического, так и имитационного моделирования показали, что поведение кривой носит пульсирующий характер. Увеличение размера установочной области от значения равного диаметру частицы до величины, численно равной двум диаметрам, приводит к резкому уменьшению плотности упаковки, и на правой границе этого участка кривой достигается глобальный минимум плотности упаковки (7/ш,„=0,6667). При этом кривая, вблизи данного минимума, имеет вид типа «клина».

Рис 2. Графическое представление одномерной системы частиц

Т" 3 ' 2 Т

ю

12

Область установки I.

Рис 3 Зависимость плотное™ упаковки ц от размера области установки I частиц Сплошная линия - результат математического моделирования; маркеры в виде точек - результат имитационного моделирования

С дальнейшим увеличением размера установочной области значения плотности упаковки начинают возрастать до тех пор, пока не будет достигнут первый максимум (7=0,7652), получаемый при значении 1=2,5 а, что позволяет говорить о возможности достижения более высоких значений плотности упаковки, чем значение постоянной Реньи. Дальнейшее увеличение значений размера области установки вызывает затухающие осцилляции кривой зависимости плотности упаковки от величины установочной области вблизи значения т;=0,7476. Полученные зависимости плотности упаковки от величины установочной области показывают на возможность управления формированием достаточно плотных упаковок одномерных моночастиц в областях установок, превышающих двойной диаметр устанавливаемых одномерных сфер.

В третьей главе диссертационной работы рассмотрены вопросы математического и имитационного моделирования стохастической упаковки систем сферических частиц в двумерном пространстве. Одной из основных задач, стоявших перед нами при математическом моделировании структуры плотноупакованной системы дисков, являлась проверка гипотезы о возможности существования данной системы в двух различных состояниях - в виде связанной и свободной упаковок. Для описания процесса формирования стохастической упаковки систем двумерных сфер было выдвинуто предположение о том, что структуру упаковки можно описать как совокупность структурных элементов регулярных упаковок, которые можно будет рассматривать как составные части формируемой упаковки.

В качестве структурных элементов упаковки были выбраны прямоугольный и равносторонний треугольники, представляющие собой элементы регулярных квадратной и гексагональной упаковок (рис. 4). При этом предполагалось, что изменение плотности упаковки определяется только взаим-

Рис 4. Структурные элементы на основе квадратной (а) и гексагональной (б) упаковок

Анализ возможных конфигураций, образованных на основе регулярных структурных элементов, показал, что возможно сформировать семь различных типов базовых конфигураций (рис. 5). Если считать, что в связанном со-

стоянии упаковка частиц представляет собой систему, в которой базовые конфигурации представлены с одинаковой вероятностью, то плотность связанной упаковки т]свм можно определить следующим выражением

Пс.» = -

2>

(6)

где п - число конфигураций, ¡р - площадь частицы;- средние площади, занимаемые частицами, находящимися в /-той конфигурации. Расчет по формуле (6) приводит к численной оценке плотности связанной упаковки: ^„„=0,8295.

Рис 5 Типы базовых конфигураций

В случае рассмотрения стохастической упаковки в свободном состоянии необходимо принять во внимание, что четко выраженные базовые конфигурации в данной структуре плотноупакованной системы частиц будут отсутствовать. Это позволяет нам свести все возможные конфигурации к двум предельным, то есть считать, что такая система представляет собой совокупность конфигураций, обладающих наименьшей и наибольшей средней площадью. Именно поэтому плотность свободной упаковки т]своб рассчитывалась на основе только двух предельных базовых конфигураций

3«.

+5,

(7)

где л/ и 57 - средние площади, занимаемые частицами, находящимися в первой и седьмой конфигурациях. Здесь, при определении плотности свободной упаковки, учитывается тот факт, что число прямоугольных структурных эле-

ментов в упаковке должно бьггь в два раза большим, по сравнению с количеством равносторонних структурных элементов, что связано с обязательной установкой возле каждого прямоугольного элемента дополнительно аналогичного структурного элемента. Расчет по формуле (7) приводит к численной оценке плотности свободной упаковки: 0,8221.

В основу построения имитационной модели стохастической упаковки в двумерном пространстве был положен метод частиц (Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: - М.: Мир, 1987). Постановку задачи выполним следующим образом. Пусть дано некоторое множество, состоящее из N сферических моночастиц одинакового диаметра о; находящихся под действием слабой однонаправленной силы. Требуется расположить частицы в выбранной прямоугольной области, определенной при помощи множества {х, у | 0 ¿ж <Ь, 0 <у <#}, где Ь - ширина, а Н - высота области установки, таким образом, чтобы в результате процесса формирования стохастической упаковки число попавших в область частиц было максимально возможным, при следующих условиях: каждая частица касается как минимум трех соседних частиц; установленные частицы не пересекаются.

В качестве геометрической модели упаковки, была выбрана система дисков, структуру Т которой можно описать следующим образом

7- = {(х„Л):лС/е/г2,ЛбЛ2, 1 = Щ}, (8)

где х, и у/ - координаты центра ¿-го диска. Для исключения краевых эффектов и эффектов, связанных с конечным размером моделируемой системы, рассмотрению была подвергнута стохастическая упаковка частиц, расположенных в прямоугольной области с «проницаемыми» стенками.

Физическая идея решения поставленной задачи заключается в следующем. Стохастическая упаковка дисков на плоскости формируется путем установки частиц в виде контактирующих друг с другом цепочек, находящихся под действием слабой однонаправленной силы, при которой используется принцип «минимума потенциальной энергии» для связанной упаковки и принцип «случайности выбора» - для свободной упаковки. При разработке имитационной модели реализуется поэтапная схема случайных процессов формирования локальных слоев стохастической упаковки. При этом выделяются три основных этапа описания процессов. На начальном этапе выполняется построение линейной цепочки дисков в полосе, на основном этапе - построение двумерного слоя дисков, и на заключительном этапе - уплотнение слоя за счет перераспределения позиций дисков верхней цепочки.

На первом этапе, для построения линейной цепочки дисков в полосе, ограниченной плоскими проницаемыми стенками предложен алгоритм, которому мы дали название "полосового алгоритма". Основная идея алгоритма заключается в следующем. На выбранной полосе с горизонтальной длиной I

(рис. 6), случайным образом определяются ^-координаты центров частиц, в соответствии с заданным равномерным законом распределения вероятностей. Диапазон разброса значений ^-координаты определяется априорно, с учетом возможной средней толщины локального слоя частиц, величина которого принималась равной олЬ.

* I

Рис 6 Построение линейной цепочки дисков в полосе

Затем, также случайным образом, определяются расстояния гЛ,,; между центрами /'-той и ¿+1 частицами. При этом данные расстояния ограничивались в пределах: <т< < В завершение выбора координат центра устанавливаемой частицы проводился расчет л-координат центров частиц по формуле: х,ч = V {(г,,ч)2 - (у,+,)2}.

Второй этап соответствует основной фазе процесса формирования стохастической упаковки. Здесь, после фиксации положения центров частиц нижней цепочки, определяются вакантные места для центров частиц следующей, верхней цепочки. Процесс определения положения вакантных точек осуществляется путем выбора их позиций как равноотстоящих на величину диаметра от двух соседних дисков нижней цепочки. Полученное множество вакантных точек разбивается на отдельные подмножества точек, которые могут рассматриваться как центры непересекающихся дисков. Затем, из полученного набора подмножеств, выбирается подмножество, соответствующее критериям формирования свободной или связанной упаковок. Основываясь на данном подходе, сформулируем вначале математическую постановку задачи для связанной упаковки. Пусть задано конечное множество {/, представляющее собой совокупность фиксированных мест для дисков нижней цепочки, и множество Р вакантных мест для дисков верхней цепочки локального слоя. Требуется выполнить разбиение множества Р на непересекающиеся подмножества ЛЛ- ,Р, и, используя целевую функцию, найти среди них такое подмножество Р,, которое имеет минимальную сумму расстояний й между центрами всех дисков рассматриваемых смежных цепочек. Целевую функцию У можно представить в следующем виде

1 1 т Ли

Я,- 1У=| «,»» *=1 у=|

где т - число дисков в нижней цепочке слоя; п, - число дисков в /-той верхней цепочке; V- множество дисков в нижней цепочке; Р, - множество дисков в »-той верхней цепочке; гк] ~ коэффициент равный единице, если расстояние ¡XVк,Р^), между &-тым установленным диском из нижней цепочки и у-тым диском г-той верхней цепочки, не превышает значения сг\/з, и равный нулю -

в противном случае. При построении свободной упаковки определение подмножества Р, производится в соответствии с принципом «случайности выбора», то есть выбор данного подмножества производился случайным образом.

На следующем этапе производится уплотнение слоя за счет перераспределения позиций дисков верхней цепочки. С этой целью поддерживается сортированный список "фиксированных" частиц, с учетом, занимаемых ими позиций. Когда список содержит все частицы, система блокируется, и процесс установки дисков завершается. После завершения выбора дисков верхней цепочки, анализируются области вблизи левой и правой границ локального слоя. В случае отсутствия "приграничных" дисков, они дополнительно включаются в список дисков верхней цепочки. Основное достоинство представленного алгоритма заключается в том, что он, используя информацию только о частицах предыдущей цепочки, значительно уменьшает число обрабатываемых частиц, что позволяет существенно увеличить скорость его работы.

Для программной реализации разработанных алгоритмов имитационного моделирования нами был разработан программный комплекс PACK LD, обеспечивающий формирование стохастической упаковки систем сферических моночасгиц и предназначенный для экспериментального исследования структурных свойств плотноупакованных систем в двумерном пространстве. Программный комплекс реализован на языке инструментального пакета символьных вычислений MAPLE. Все процедуры были протестированы на решениях модельных задач, соответствующих имитации регулярных упаковок, путем их построения и расчета структурных характеристик.

В основу программного пакета PACK LD положена идеология объектно-ориентированного программирования, позволяющая рассматривать данный комплекс как совокупность взаимосвязанных программных модулей. Пакет представляет собой совокупность трех основных модулей. Так, модуль Packl отвечает за установку частиц линейной цепочки в полосе. Модуль Layer, позволяет производить формирование слоев стохастической упаковки. Все функции, специфичные для расчетов структурных характеристик плотноупакованной системы частиц, реализованы в модуле Structure. Здесь расчету подвергаются такие параметры как площадь сегмента диска, расположенного на границе установочной области, интегральная плотность упаковки, координационные числа дисков и среднее координационное число упаковки.

Определение структурных свойств плотноупакованных систем частиц требует рассмотрения вопроса о предельном размере представительного объема системы частиц. Анализ полученных результатов показал, что случайные структуры, содержащие более 300 частиц, являются достаточно представительными для расчета структурных характеристик плотноупакованных сис-

тем частиц. При проведении численных экспериментов по определению структурных характеристик стохастической упаковки в двумерном пространстве было сгенерированно более 200 различных стохастических упаковок. Ряд генераций произведено в области размерами ЗОхЗОа, генерации для оценки локальных структурных характеристик производились в области 50* 50а, что позволяет исследовать объем совокупности в пределах 3000 и более частиц, а также получать стабильные значения плотности упаковки и координационного числа упаковки (рис. 7).

а) б)

Рис 7 Результаты имитационного моделирования стохастической упаковки для области генерации 50х50ст: а) - в свободном состоянии; б) - в связанном состоянии

На рис. 8 показаны данные о распределении локальной плотности упаковки т]лок, рассчитанные путем численного моделирования системы моносфер для свободной и связанной стохастических упаковок.

а) б)

Рис 8 Распределение локальной плотности упаковки системы дисков в свободном (а) и связанном (б) состояниях

Анализ поведения кривых распределения локальной плотности упаковки показывает на наличие ряда пиков, которые соответствуют определенным дискретным значениям плотностей упаковки локальных слоев, независимо от того, в каком состоянии находится стохастическая упаковка. Как видно на представленных графиках отличие в значениях интегральной плотности упаковки для различных состояний может быть связано с величиной предельных пиков на кривых распределения локальной плотности упаковки.

Сопоставление максимальных значений пиков кривых распределения локальной плотности упаковки показало, что основное отличие свободной упаковки от связанной заключается в смещении глобального максимума с пика, имеющего плотность упаковки 0,815, на пик с плотностью упаковки 0,830. Также имеется ряд отличий в положении крайних пиков. Статистическая оценка интегральной плотности упаковки приводит к среднему значению ^,.„„=0,8241+0,0044 для связанной упаковки и к значению 7/с.««й=0,8 182+0,0044 - для свободной упаковки. Сравнение средних значений интегральных плотностей свободной и связанной упаковок, проведенное по критерию Лапласа, показало достоверное отличие при объеме выборки равной 50 генераций для каждого состояния плотноупакованной системы дисков.

а) б)

Рис 9 Распределение координационных чисел системы дисков в свободном (а) и связанном (б) состояниях

На рис. 9 приведены данные о распределении координационных чисел, рассчитанные путем имитационного моделирования также для свободной и связанной стохастических упаковок.

Координационное число рассчитывалось по предложенной нами формуле, основанной на выборе экспоненциального закона зависимости данной характеристики от расстояния между частицами

2 = ]£ехр(-Л(г( - а)/а), (10)

ы

где г, - расстояние между основной и /-той частицей; <т- диаметр частицы; N - число частиц в системе. Коэффициент А выбирался эмпирически, путем получения значения координационного числа для частиц второй координационной сферы в квадратной регулярной упаковке близким к нулю (А= 12).

Результаты моделирования показали, что поведение кривых распределения координационного числа носит существенно дискретный характер. Причем, пики строго соответствуют конкретным целым значениям координационного числа, за исключением первого пика, где максимум достигается при значении: г=3,3. Смещение значения координационного числа для свободной упаковки практически полностью связано с количеством частиц, имеющих низкие координационные числа. Статистическая оценка координационных чисел приводит к среднему значению ^¡,„=4,77+0,22 для связанной упаковки и к значению ^„6=4,42+0,23 - для свободной упаковки.

Проведенные исследования по стохастической упаковке твердых моночастиц, путем имитационного моделирования, позволили проанализировать процессы формирования плотноупакованных систем частиц в двумерном пространстве. Одним из наиболее интересных результатов данного исследования, можно считать экспериментальное подтверждение возможности нахождения стохастической упаковки в свободном и связанном состояниях.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты:

1. Предложена математическая модель для описания процесса формирования стохастической упаковки систем сферических моночастиц в одномерном пространстве.

2. Разработаны алгоритм и программа имитационного моделирования стохастической упаковки систем сферических моночастиц в одномерном пространстве.

3. Проведены экспериментальные исследования по изучению зависимости плотности упаковки системы от величины установочной области. Сравнение модельных результатов с опытными данными, полученными посредством имитационного моделирования, показало, что предлагаемый подход достаточно достоверно отображает реальную геометрию случайных структур на всем диапазоне рассматриваемых размеров установочных областей.

4. Предложена математическая модель стохастической упаковки систем сферических моночастиц в двумерном пространстве. Показана теоретическая возможность существования стохастической упаковки как в связанном, так и свободном состоянии.

5. Разработаны алгоритмы и программный комплекс для имитационного моделирования стохастической упаковки систем сферических моночастиц в двумерном пространстве.

6. Проведены экспериментальные исследования по изучению структурных характеристик, таких как локальная и интегральная плотности упаковки, координационное число. Получены кривые плотностей распределения локальной плотности упаковки и координационного числа стохастической упаковки, находящейся как в связанном, так и свободном состоянии.

7. Проведено сравнение расчетных результатов, полученных с помощью математической и имитационной моделей. Показано, что они как качественно, так и количественно не противоречат друг другу.

Приложения содержат программный код основных процедур разработанных пакетов программ, а также таблицы с числовыми данными, полученными в результате проведенных экспериментальных исследований.

Основные публикации по теме диссертации:

1. Бондарев В.Г., Мигаль Л.В. Моделирование случайной упаковки системы сферических частиц в пространстве Я2 // В кн.: Тр. межд. научно-практ. конференции «Компьютерные технологии в науке и производстве», Новочеркасск, 2003.-С.7-8.

2. Бондарев В.Г., Мигаль Л.В. Моделирование последовательности стохастических упаковок непересекающихся одномерных сфер // В кн.: Материалы международного семинара «Физико-математическое моделирование систем», Воронеж, 2004. - С. 13-18.

3. Бондарев В.Г., Мигаль Л.В. Стохастическая упаковка систем сферических моночастиц в пространствах низкой размерности. - М.: ВНТИЦ, 2005.-№50200500116.

4. Бондарев В.Г., Мигаль Л.В. Структурные характеристики стохастической упаковки системы двумерных моносфер // В кн.: Тр. межд. научно-техн. конференции «Информационные технологии в управлении и моделировании», Белгород, 2005. - С.19-22.

5. Бондарев В.Г., Мигаль Л.В. Компьютерное моделирование стохастической упаковки систем сферических моночастиц в пространствах низкой размерности // В кн.: Тр. 6-й международной конференции «Компьютерное мо-

делирование», СПБ, 2005. - С.24-28.

6. Мигаль Л.В. Алгоритм формирования стохастической упаковки системы сферических моночастиц в пространстве R2 // В кн.: IX Всероссийской научно-практической конференции, Томск, 2005. - С.35-36.

7. Мигаль Л.В., Бондарев В.Г. Стохастическая упаковка системы сферических моночастиц на плоскости // Региональный журнал молодых ученых. -М., 2005. - С.5-7.

8. Мигаль Л.В., Чеканов H.A., Бондарев В.Г. Алгоритмы управления структурой стохастической упаковки системы жестких дисков // В кн.: Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности, СПБ, 2005. -С.62-66.

9. Бондарев В.Г., Мигаль Л.В. Стохастическая упаковка систем сферических моночастиц в пространствах низкой размерности // Компьютерные учебные программы и инновации. - 2005. - №12. - С. 23.

Подписано в печать 16.11.2005. Формат 60x80/16 Гарнитура Times. Усл. п. л. 1,05. Тираж 100 экз. Заказ 220. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета. 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85

РНБ Русский фонд

2006i4 26870

ОГЛАВЛЕНИЕ

Использованные обозначения

ВВЕДЕНИЕ

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УПАКОВКИ СИСТЕМ МОНОСФЕР.

1.1. Статистические оценки упаковки систем частиц

1.1.1. Структурные особенности стохастической упаковки

1.1.2. Плотность упаковки системы частиц.

1.1.3. Координационное число частицы ч ® 1.2. Методы исследования упаковки систем частиц

1.2.1. Аналитические методы исследования

1.2.2. Экспериментальные методы исследования

1.2.3. Компьютерные методы исследования

1.3. Выводы по 1 главе

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СТОХАСТИЧЕСКИХ УПАКОВОК ОДНОМЕРНЫХ СФЕР.

2.1. Выбор метода определения плотности упаковки одномерной системы моносфер.

4 ^ 2.2. Математическая модель стохастической упаковки систем одномерных сфер.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Построение математической модели

2.2.3. Влияние размера установочной области на плотность упаковки системы частиц.

2.3. Имитационное моделирование стохастической упаковки систем одномерных моносфер.

2.3.1. Имитационная модель одномерной упаковки.

2.3.2. Алгоритм одномерной упаковки.

2.3.3. Программная реализация алгоритма упаковки. щ 2.4. Экспериментальное исследование стохастической упаковки систем одномерных моносфер.

2.5. Выводы по 2 главе

3. СТОХАСТИЧЕСКАЯ УПАКОВКА В ПРОСТРАНСТВЕ R2.

3.1 Выбор метода построения стохастической упаковки.

3.2 Математическая модель стохастической упаковки систем двумерных моносфер.

3.2.1. Структурные элементы стохастической упаковки.

3.2.2. Постановка задачи.

3.2.3. Математическая модель стохастической упаковки.

3.3. Имитационное моделирование стохастической упаковки в пространстве R.

3.3.1. Выбор алгоритма построения структуры упаковки.

3.3.2. Алгоритмы построения стохастической упаковки.

3.3.3. Программная реализация имитационного моделирования стохастической упаковки.

3.4. Экспериментальные исследования структурных характеристик плотноупакованных систем двумерных сфер.

3.4.1. Оценка представительности размеров области установки

3.4.2. Локальная плотность упаковки системы дисков.

3.4.3. Интегральная плотность упаковки системы дисков.

3.4.4. Координационные числа частиц.

Выводы по 3 главе

Актуальность темы. Проблема упаковки систем частиц имеет отношение ко многим наукам. Теоретической стороной данной проблемы занимались такие выдающиеся естествоиспытатели как Иоганн Кеплер [105], Исаак Ньютон и Джеймс Грегори [52], Карл Гаусс [87], Михаил Ломоносов [28], заложившие основы изучения структуры материальных тел, получившей в современной науки название теории плотноупакованных систем частиц. Основным содержанием теории плотноупакованных систем является прогнозирование влияния структурных параметров объекта на его физические свойства, а также возможность управления параметрами структурных элементов, составляющих исследуемый объект. Изучение структурных параметров данных объектов и определяет основные направления в области исследования плотноупакованных систем.

Одной из основных проблем теории плотноупакованных систем частиц является получение достоверной информации о внутренней структуре стохастических упаковок, сформированных на основе частиц плотноупакованных систем. Стохастическая упаковка представляет собой сложную иерархическую структурно-неоднородную систему, состоящую из случайно расположенных жестких частиц, находящихся в контактном взаимодействии. В стохастических упаковках частицы расположены столь близко друг к другу, что их взаимное влияние существенно сказывается на поведении всей системы в целом. Поведение таких систем обусловлено различными по природе обратимыми и необратимыми структурными изменениями, происходящими при их формировании или преобразовании. Поэтому, понимание сути и значимости внутренних механизмов, определяющих эффективное поведение упаковки, является одной из задач первостепенного значения. Для этого необходимы серьезные фундаментальные исследования процессов и явлений, происходящих в упаковках на уровне структурной неоднородности, и их влияния на эффективные свойства материала. Так, в математических науках основное ударение делается на изучение многомерных упаковок, с целью рассмотрения вопросов по конструированию исправляющих кодов [49, 76]. В разделе математики - дискретной геометрии, сложилось сразу несколько научных школ, занимающихся исследованием вопросов, связанных с размещением геометрических объектов [19, 49, 82, 136]. Так, во главе венгерской научной школы стоял Л. Фейеш Тот, российской - Б.Н. Делоне, английской - К.А. Роджерс.

В физических науках исследования по изучению структурных свойств идут довольно широким фронтом, практически в большинстве разделов физики необходимо иметь знания о природных процессах структурообразова-ния материальных тел. То же можно сказать и о разделах химии. В порошковой металлургии, в физике спекания и в химической технологии вопросы, связанные с формированием плотноупакованных систем выдвигаются на передний план. В литературе по металлургии и строительству имеется большое количество научных трудов, в которых, так или иначе, затрагиваются вопросы, связанные с анализом структурных свойств самых различных материалов.

В направлении данных исследований немаловажную роль играет выбор методов изучения структуры объектов, имеющих порой самую различную природу. Благодаря работам М. Ачария, Дж.Д. Бернала, Д.Г. Берримана, Д.Е. Вильямса, Дж.А. Доддса, Б.Д. Лубачевски, Р.К. Макджири, Г. Мейсона, М. Оды, А.Н. Патанкара, Г.Д. Скотта, Ф.Х. Стилинжера, С. Торкуато, С.С. Фернеса и др. установлены важнейшие закономерности влияния структурных параметров на свойства объектов. К настоящему времени накоплен громадный массив научной информации, на основе которой возможно построение строгого математического описания природных процессов, происходящих при формировании плотноупакованных структур. Тем не менее, такие исследования, пока являются довольно трудоемкими, перенасыщенными информацией эмпирического характера, а получаемые решения зачастую недостаточно адекватно описывают реальный объект исследования. По мере возрастания потока информации, связанной со структурными особенностями становится все труднее ориентироваться в ней, что приводит к дублированию некоторых научных работ и к трудности практического применения полученных результатов из-за разнородности интересов исследователей и используемых подходов и даже просто обозначений различных структурных характеристик. В связи с этим возникает потребность в объединении исследований по вопросам структурной организации реальных объектов природы, вне зависимости от той науки, в рамках которой требуется решить поставленные задачи.

Среди многих практически важных проблем можно выделить обширный класс задач, в которых зависимостью свойств трехмерных объектов от одной из координат можно пренебречь. В частности, это могут быть одно- и двумерные упаковки сферических частиц, являющиеся аналогами многих реальных объектов. В последнее время большой интерес вызывают так называемые квазиодномерные системы - атомные цепочки, длинные молекулы с сопряженными связями. Эти системы имеют большой практический интерес как составные части в ряде биологических активных молекул (например: витамин А, хлорофилл и т.п.), а также некоторые полупроводники, катализаторы и т.п. Интерес представляют и двумерные системы - слоистые кристаллы, когда связь внутри плоского слоя заметно больше, чем связь между соседними слоями, а также нанокристаллы, представляющие собой пленки молекулярной или атомарной толщины. В связи с этим большую важность приобретает проблема моделирования стохастических упаковок сферических частиц (И-СР-упаковок) на основе разработанной математической теории и адекватных численных и имитационных методов. Актуальность таких исследований в значительной степени обусловлена их тесной связью с решением многих проблем в самых различных науках.

Рабочая гипотеза, цель и задачи исследования. Анализ основных направлений исследования стохастической упаковки систем частиц, позволяет сформулировать рабочую гипотезу, цель и задачи исследования. В основу данного исследования плотноупакованных систем частиц положена рабочая гипотеза о возможности существования, как в одно-, так и в двумерном пространстве, стохастической упаковки в двух состояниях: свободном и связанном, что, как доказано более ранними исследователями [66, 127], имеет место в трехмерном пространстве.

Рабочая гипотеза диссертационного исследования упаковки частиц позволяет в качестве основной цели диссертационного исследования выбрать разработку математических и имитационных моделей, а также алгоритмов и пакета программ для исследования процессов, происходящих при формировании стохастической упаковки систем сферических моночастиц, расположенных в пространствах низкой размерности.

В соответствии с рабочей гипотезой и целью исследования были сформулированы следующие основные задачи исследования:

- проанализировать существующие методы исследования плотноупакованных систем частиц;

- построить математическую модель стохастической упаковки систем одномерных моносфер;

- разработать алгоритм и подготовить программу имитационного моделирования стохастической упаковки систем одномерных сферических моночастиц;

- на основе имитационной модели провести исследование стохастической упаковки систем одномерных сферических моночастиц;

- построить математическую модель стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц;

- разработать алгоритмы и подготовить пакет программ по имитационному моделированию стохастической упаковки в двумерном пространстве;

- разработать метод расчета координационного числа частицы;

- на основе имитационной модели провести исследование стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц;

- на базе разработанных программ создать программный комплекс по изучению процессов, протекающих при формировании плотноупако-ванных систем сферических частиц в пространствах низкой размерности;

Методы исследования. В качестве методов исследования применялись методы математического и имитационного моделирования, математической статистики, а также методы объектно-ориентированного программирования в среде МАРЬЕ. Применяемые методы модифицировались с учетом особенностей исследуемых объектов. В первую очередь это касается имитационного моделирования, в рамках которого была разработана методика построения локальных слоев стохастической упаковки и методики определения распределения плотности упаковки и координационных чисел.

Научная новизна характеризуется тем, что в диссертационной работе впервые:

- построены математическая и имитационная модели стохастической упаковки систем одномерных моночастиц;

- разработан алгоритм, реализованный в виде программы, на основе которой решена одномерная задача стохастической упаковки систем моночастиц;

- проведен численный эксперимент по выявлению взаимосвязи между плотностью упаковки и величиной установочной области в одномерном пространстве;

- построена математическая модель стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц;

- установлено, что способ управления структурой плотноупакованных систем частиц связан с возможностью направленного выбора из множеств перекрывающихся частиц подмножеств устанавливаемых частиц;

- разработан метод построения локальных слоев стохастической упаковки в виде совокупности цепочек частиц;

- предложена формула для расчета в стохастической упаковке координационных чисел частиц;

- разработаны алгоритмы и пакет программ, с помощью которых решена двумерная задача стохастической упаковки систем сферических моночастиц;

- теоретически и экспериментально подтверждено предположение о существовании в двумерном пространстве стохастической упаковки как свободном, так и связанном состоянии;

- получены предельные значения структурных характеристик для стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц.

Практическая значимость работы. Программная реализация метода слоев обладает способностью более быстрого получения решения задачи по формированию ЫСР-упаковки. Преимущество предложенного метода перед известными методами подтверждено конкретными расчетами. Это делает программную реализацию метода слоев, применимой в реальных ситуациях. Результаты выполненных исследований позволяют использовать разработанную методику и программное обеспечение для изучения плотно-упакованных систем частиц с учетом технологии их формирования для прогнозирования и оперативного управления их структурными свойствами. Установленные закономерности формировании структуры стохастической упаковки также могут быть использованы для совершенствования технологий производства сыпучих материалов, а также для создания новых композиционных материалов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математические и имитационные модели стохастической упаковки систем одно- и двумерных сферических моночастиц.

2. Разработанные алгоритмы, реализованные в виде комплекса программ, на основе которых решены задачи по стохастической упаковке систем сферических моночастиц, расположенных в одно- и двумерном пространствах.

3. Теоретическое и экспериментальное подтверждение существования предельных плотностей в стохастических упаковках систем сферических моночастиц, расположенных в одно- и двумерном пространствах.

Личный вклад соискателя заключается в систематизации и научном обобщении методов исследования структурных параметров, а также в построении и реализации новых предложенных математических моделей и проведении вычислительных экспериментов. При выполнении работы по теме диссертации автор принимал активное участие в постановке задач и непосредственно осуществлял их решение. Им исследовано влияние величины установочной области на плотность упаковки системы одномерных сфер, реализован пакет программ для этой задачи, проведен численный эксперимент. Автор также активно участвовал в разработке алгоритмов имитационного моделирования формирования стохастической упаковки и расчета ее структурных параметров. Им предложен метод «размерной упаковки», подготовлен и реализован комплекс программ для формирования стохастической упаковки систем двумерных сфер. Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены самим автором.

Достоверность научных результатов подтверждается:

- применением апробированных методов теории вероятностей и математической статистики;

- достаточным по статистическим критериям объемом выборок, определяющих структурные параметры стохастической упаковки систем частиц;

- сходимостью расчетных значений структурных параметров стохастической упаковки с полученными экспериментальными данными и данными других исследователей.

Апробация и внедрение результатов работы. Работа проводилась в соответствии с научным направлением «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденным Ученым Советом БелГУ от 3.11 2000 г. и с планами НИР кафедры математического анализа и кафедры информатики и вычислительной техники БелГУ. Результаты, изложенные в диссертации и отдельные ее разделы, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Международной научно-практической конференции: «Компьютерные технологии в науке и производстве», Новочеркасск, 2003 г.;

- Международном семинаре: «Физико-математическое моделирование систем», Воронеж, 2004 г.;

- Международной научно-технической конференции: «Информационные технологии в управлении и моделировании», Белгород, 2005 г.;

- Международной конференции по математическому моделированию: «МКММ-2005», Феодосия, 2005 г.;

- VII Всероссийском симпозиуме: «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, 2005 г.;

- 6-й Международной конференции: «Компьютерное моделирование 2005», Санкт-Петербург, 2005 г.;

- семинарах кафедры естественно-научных дисциплин и новых информационных технологий Белгородского государственного университета;

- семинарах кафедры математического анализа Белгородского государственного университета;

- семинарах кафедры информатики и вычислительной техники Белгородского государственного университета.

Разработанные пакеты программ апробированы в учебном процессе, в рамках специального курса «Математическое моделирование» для студентов физико-математического и химико-биологического факультетов БелГУ.

Публикации. Основные положения и результаты диссертации отражены в 9 публикациях, в том числе в отраслевом фонде алгоритмов и программ по теме диссертационного исследования автором зарегистрирован пакет программ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и изложена на 124 страницах машинописного текста, содержит 7 таблиц, 16 рисунков, список литературы из 163 наименований (59 отечественных и 104 иностранных).

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Предложена математическая модель, позволяющая в явном виде исследовать процесс формирования одномерной стохастической упаковки систем сферических моночастиц в зависимости от размера области установки.

2. Разработан алгоритм и программа имитационного моделирования одномерной стохастической упаковки систем сферических моночастиц. Проведены экспериментальные исследования по изучению зависимости плотности упаковки от величины установочной области.

3. Сравнение модельных результатов с опытными данными, полученными посредством имитационного моделирования, показало, что предлагаемый подход достаточно достоверно отображает реальную геометрию случайных структур на всем диапазоне рассматриваемых размеров установочных областей.

4. Выбраны структурные элементы стохастической упаковки систем сферических частиц, представляющие собой области треугольной формы, соответствующие элементам квадратной и гексагональной упаковок.

5. Предложена математическая модель стохастической упаковки систем сферических моночастиц в двумерном пространстве. Показана теоретическая возможность существования стохастической упаковки как в связанном, так и свободном состоянии.

6. Разработаны алгоритмы и программный комплекс для имитационного моделирования стохастической упаковки систем сферических моночастиц в двумерном пространстве.

7. Численно исследованы такие структурные характеристики как локальная и интегральная плотности упаковки, а также координационное число. Получены кривые плотностей распределения локальной плотности упаковки и координационного числа стохаотической упаковки, находящейся как в связанном, так и свободном состоянии.

8. Проведенное сравнение расчетных результатов, полученных с помощью математической и имитационной моделей, подтвердило предположение о возможности существования в двумерном пространстве стохастической упаковки как свободном, так и связанном состоянии.

9. Получены предельные значения структурных характеристик для стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанные для плотноупакованных систем математические и имитационные модели формирования стохастической упаковки частиц в одно- и двумерном пространствах позволяют в явном виде учесть неоднородность и сложный топологический характер стохастической упаковки, а также дать количественные оценки их влияния на структурные свойства дискретных материалов.

Проведенные теоретические и экспериментальные исследования по изучению зависимости плотности упаковки системы от величины установочной области, позволили обнаружить способ управления структурными характеристиками стохастической упаковки. Сравнение модельных результатов с опытными данными, полученными посредством имитационного моделирования, показало, что предлагаемый подход достаточно достоверно отображает реальную геометрию случайных структур на всем диапазоне рассматриваемых размеров установочных областей.

В представленной работе показана теоретическая возможность существования стохастической упаковки систем двумерных моносфер как в связанном, так и свободном состоянии. Основанная на методе построения слоев, имитационная модель позволила связать микро- и макросвойства, напрямую учитывая особенности внутреннего строения стохастической упаковки. Также как и в одномерном случае, обнаружен способ управления структурными характеристиками стохастической упаковки систем дисков.

В настоящее время, в соответствии с научным направлением «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения» и планами НИР кафедр математического анализа, а также информатики и вычислительной техники БелГУ, разрабатывается тема "Исследование структурных особенностей плотноупакованных систем частиц", а также ведется работа по развитию следующих перспективных направлений в применении представленного в диссертации структурного подхода:

- влияние пристенного эффекта на структурные характеристики плотно-упакованной системы частиц;

- разрабатываются алгоритмы формирования трехмерных стохастических упаковок;

- изучаются вопросы, относящиеся к многокомпонентным системам частиц;

- рассматривается влияние формы частиц на структурные характеристики плотноупакованной системы частиц.

Представленные в диссертационной работе результаты далеко не полностью раскрывают все возможности развития теории плотноупакованных систем частиц. В принципе, с помощью представленных подходов в дальнейшем можно рассмотреть регулярные упаковки, тета-ряды, получить зависимости физических свойств системы от самых разнообразных процессов и явлений, имеющих место на уровне структурной неоднородности. Для этого достаточно знать, как данный фактор влияет на поведение отдельно взятого структурного; элемента, а на основе математической модели уже гораздо проще получить решение поставленной задачи.

Представленные в диссертационной работе выводы и рекомендации, полученные в результате модельных исследований поведения плотноупакованных систем, представляют несомненный интерес для специалистов, занимающихся созданием и модификацией различных типов композиционных материалов, вопросами физики спекания, стекла и ряда других научных и технологических направлений.

1. Алиевский Д.М., Каменин И.Г., Кадушников P.M., Алиевский В.М. Геомет-ф рическое моделирование плотных упаковок сферополиэдров // Межд. семинар «Реологические модели и процессы деформирования пористых и композиционных материалов». - 1997. - С. 64-65.

2. Андрианов Е.И. Методы определения структурно-механических характеристик порошкообразных материалов. М: Химия, 1982. - 256 с.

3. Бахвалов Н.С, Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.-352 с.

4. Безухов Н.И. Теория сыпучих тел. М.: Стройиздат, 1934. - 34 с.ф 5. Богомолова А.Ф., Орлова H.A. Количественные характеристики структуры порового пространства // ЖПТМФ. 1961. - № 4. - С. 77-81.

5. Бондарев В.Г., Мигаль J1.B. Моделирование случайной упаковки системы сферических частиц в пространстве R2 // В кн.: Тр. межд. научно-практ. конференции «Компьютерные технологии в науке и производстве», Новочеркасск, 2003.-С. 7-8.

6. Бондарев В.Г., Мигаль JI.B. Моделирование последовательности стохастических упаковок непересекающихся одномерных сфер // В кн.: Материалы международного семинара «Физико-математическое моделирование систем», Воронеж, 2004. С. 13-18.

7. Бондарев В.Г., Мигаль JI.B. Стохастическая упаковка систем сферических моночастиц в пространствах низкой размерности. М.: ВНТИЦ, 2005. - № 50200500116.

8. Бондарев В.Г., Мигаль JI.B. Структурные характеристики стохастической упаковки системы двумерных моносфер // В кн.: Тр. межд. научно-техн. конференции «Информационные технологии в управлении и моделировании», Белгород, 2005. С. 19-22.

9. Ю.Бондарев В.Г., Мигаль JI.B. Компьютерное моделирование стохастической упаковки систем сферических моночастиц в пространствах низкой размерности // В кн.: Тр. 6-й международной конференции «Компьютерное моделирование», СПБ, 2005. С.24-28.

10. И.Бондарев В.Г., Мигаль JI.B. Стохастическая упаковка систем сферических моночастиц в пространствах низкой размерности // Компьютерные учебные программы и инновации, № 12, 2005. С. 23-24.

11. Валуйских В.П. Имитационные модели конструкционных пенопластов открытой полиэдрической структуры // Механика композиционных материалов. 1987.-№ 5. - С. 808-812.

12. Валуйских В.П. Метод стохастического имитационного моделирования структуры, расчета и оптимизации физико-механических характеристик пенопластов // Механика композиционных материалов. 1989. - № 4. - С. 593599.

13. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. -М.: Наука, 1988.-208 с.

14. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1977. - 208 с.

15. Волченок В.Ф. Моделирование свойств полидисперсных структур. -Минск: Навука i тэхника, 1991. 192 с.

16. Воробьев В.А. Применение физико-математических методов в исследовании свойств бетона. М.: Высшая школа, 1977. - 300 с.

17. Гаришин O.K., Лебедев С.Н. Математическое моделирование механических свойств разупорядоченных сетчатых структур // Каучук и резина. -2001.- № 5.- С. 26-30.

18. Делоне Б.Н. О пустоте сферы // Изв. АН СССР, ОМЕН. 1934. - Т.4. - С. 793-800.

19. Жданов Т.С. Физика твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1961. - 502 с.

20. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. М.: Мир, 1982. - 592 с.

21. Зелинский Г.С., Платонов П.Н. Определение плотности сыпучего материала // В кн.: Современные проблемы механики сыпучих материалов. М.: ЦИН1. ТИ, 1989.-С. 57-58.

22. Иванов В.А., Мошев В.В., Шишкин В.А. Расчет пористости сыпучих сред // В кн.: 2-й Всесоюзный симпоз. «Теория механической переработки полимерных материалов». Пермь. - 1980. - С. 5-6.

23. Иммерман А.Г. Экспериментальные исследования плотности сыпучего тела // Сб. тр. НИИ по стр-ву. 1949. - № 1. - С.42-46.

24. Исследование порозности зернистого слоя по его высоте методом рентгенографии /Завелев Е.Д., Вакк Е.Г., Семенов В.П. и др. / Теоретические основы хим. технологии, 1980. - Т. 14, № 2. - С. 303-304.

25. Каминский В.М., Николенко А.Н., Сидоренко И.Я. Двумерная стохастическая модель уплотнения порошковых материалов // Порошковая металлургия. 1982, № 2. - С.29-31.

26. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М,: Наука, 1978. - 791 с.

27. Ломоносов М.В. О рождении и природе селитры // Полное собр. соч. М.: Изд. АН СССР. - 1952. - Т.2. - С. 173-284.

28. Медведев H.H. Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры некристаллических систем. Новосибирск: Изд. СО РАН, 2000. - 149 с.

29. Медков Е.И. Определение критической пористости // Гидротехн. стр-во. -1951.-№5.-С. 132-144.

30. Меркин А.И. Методические основы оценки однородности многокомпонентных смесей // Изв. вузов. Стр-во и арх-ра. 1978. - №1. - С. 284-287

31. Механика сыпучих материалов. Ростов-на-Дону, 1970. - 172 с.

32. Мигаль JI.B. Алгоритм формирования стохастической упаковки системы сферических моночастиц в пространстве R2 // В кн.: IX Всероссийской научно-практической конференции, Томск, 2005. С. 35-36.

33. Мигаль Л.В., Бондарев В.Г. Стохастическая упаковка системы сферических моночастиц на плоскости // Региональный журнал молодых ученых. М., 2005. - С. 5-7.

34. Мигаль Л.В., Чеканов H.A., Бондарев В.Г. Алгоритмы управления структурой стохастической упаковки системы жестких дисков // В кн.: Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности, СПБ, 2005. -^ С. 62-66.

35. Мошев В.В., Свистков А.Л., Гаришин O.K. и др. Структурные механизмы формирования механических свойств и прочности зернистых полимерных композитов. Екатеринбург: УрО РАН. - 1997. - 508 с.

36. Николенко А.Н., Ковальченко М.С. Анализ случайной упаковки идентичных частиц. I. Общая теория // Порошковая металлургия. 1985, №11. - С. 38-41.

37. Николенко А.Н., Ковальченко М.С. Анализ случайной упаковки идентичных частиц. II. Структурные особенности упаковки дисков на плоскости // Порошковая металлургия. 1985, № 12. - С. 38-40.

38. Никол енко A.M. Статистический анализ систем хаотично упакованных частиц // Укр. физический журн. 1996. - № 2. - С. 243-246.

39. Применение математических методов для исследования многокомпонентных систем. М.: Металлургия, 1974. - 176 с.

40. Пугачев A.B. Контроль насыпной плотности материала. М.: Стройиздат, 1983.- 157 с.

41. Радовский Б.С. Плотность беспорядочной упаковки твердых частиц // Изв. АН СССР. 1972. - № 4. - С. 195-198.

42. Радушкевич Л.Б. Попытки статистического описания пористых сред // В кн.: Основные проблемы теории физической адсорбции. I Всесоюзная конф-я по теоретическим вопросам адсорбции. М.: Наука, 1970. - С. 270.286.

43. Расчет средней порозности зернистого слоя /Сосна М.Х., Мейтин И.В., Завельев А.Д. и др. / Хим. пром-сть. 1976. - № 7. - С. 557-558.

44. Роджерс К. Укладки и покрытия. Пер. с англ. М.: Мир, 1968. - 134 с.

45. Розанов Ю.А. Случайные процессы. М.: Наука, 1979. - 184 с.

46. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Киев: Техника, 1977. -768 с.

47. Слоэн Н.Дж.А. Упаковка шаров // Sci. Amer. -1984. № 3. - -С. 72-82.

48. Стоян Ю.Г., Гиль Н.И. Методы и алгоритмы размещения плоских геометрических объектов. Киев: Наукова думка, 1976. - 144 с.

49. Хаит Г.И. Структурно-механические исследования композитов с сильно выраженной механической неоднородностью: Дис. канд. тех. наук. -Пермь, 1982. 185 с.

50. Хархардин А.Н. Фазотопологическое состояние структуры композиционных материалов // В кн.: Мат-лы V акад. чтений РААСН «Современные проблемы строительного материаловедения».- Воронеж, 1999. С. 493-495.

51. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 257с.

52. Хорошун Л.П., Маслов В.П. Методы автоматизированного расчета физико-механических постоянных композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1980.-156 с.

53. Цифровое моделирование в задачах радиационной дефектоскопии тел с неоднородной структурой / Кивран В.К., Наац И.Э., Парватов Г.Н., Сесь В.И. / Изв. ТПИ. 1972. - Т. 213. - С. 105-107.

54. Эндрюс. Дж.Г., Мак-Лоун P.P. Математическое моделирование. -М.: Мир, 1976.-277 с.

55. Acharija М. Structural properties of planar random heap of hard discs // J. Phys. I France. 1993.-№ 3. - P. 905-908.

56. Adams D.J., Matheson A.J. Computation of dense random packings of hard spheres // J. Chem. Phys. 1972. - Y.53, № 5. - P. 1989-1994.

57. Anderson Vratsanos L., Farris R.J. A predictive model of the mechanical behavior of particulate composites. Part I: Model derivation // Polym. Eng. Sci.1993.-V.33.-P; 1458-1465.

58. Anderson Vratsanos L., Farris R.J. A predictive model of the mechanical behavior of paniculate composites. Part II: Comparison of model predictions to literature data // Polym. Eng. Sci. 1993. - V.33. - P. 1466-1474.

59. Andersson H. Analysis of a model for void growth and coalescence ahead of a moving crack tip // J. Mech. Phys. Solids. 1977. - V.25. - P. 217- 233.

60. Ashton W.D. Distributions for gaps in road traffic // J. Inst. Math. Appl. 1971. -V.7. - P. 37-42.

61. Ayer J.E., Soppet F.E. Vibratory compaction: II. Compaction of angular shapes // ; J. Amer. Ceram. Soc. 1966. - V.49, № 4. - P. 207-210.

62. Bazant Z.P., Tabbara M.R., Kazemi M.T., Pijaudier-Cabot G. Random particle model for fracture of aggregate or fibre composites // J. Eng. Mech. 1990. -V.116, № 8.-P. 1686-1705.

63. Benenati R.F., Brosilow C.B. Void fraction distribution in beds of spheres // Amer. Inst. Chem. Engrs. J. 1962. - V.8, № 3. - P. 359-361.

64. Bernal J.D., Finney I.L. Random packing of spheres in non-regul // Nature. -1967. V.214, № 5085. - P. 265-266.

65. Bernal J.D., Finney J.L. Random close-packed hard hard-sphere model. II. Geometry of random packing of hard spheres // Discussions of the Faraday Society. 1967. - V.43. - P. 62-69.

66. Bernal J.D., Mason G. Co-ordination of randomly packed spheres // Nature. -1960. V.188, № 10. - P. 910-911.

67. Berryman J.G., Random close packing of hard spheres and disks // Phys. Rev. A. -1983. V.27, № 2. - P. 1053-1061.

68. Blumberg R., Maritz J.S. Mixing of solid particles // Chem. Eng. Sci. 1953. -V.3. - P. 240-246.

69. Broberg K.B. The cell model of materials // Computational Mechanics. 1997. -V.19. -P. 447-452.

70. Capes C.E. The balling of coarse-fine particle mixtures // Proc. Int. Conf. on Particle Technology, Chigago, III., IIT Res. Inst. 1973. - P. 59-62.

71. Conway J.H., Sloane N.J.A., Sphere Packi'ngs, Lattices and Groups, 2nd ed.,

72. Springer, New York, 1993. V.l. - 415 p.

73. Epstein N., Young M.J. Random loose packing of binary mixture of spheres //• Nature. 1962. - V.l96, № 4857. - P. 885-886.

74. Fedors R.F. A relationship between maximum packing and particles size // Powder Technol. 1979. - V.22, № 1. p. 71-76.

75. Fedors R.F., Landel R.F. An empirical method of estimating the void fraction in mixtures of uniform particles of different size // Powder Technol. 1979. - V.23,№2.-P. 225-231.

76. Fejes Toth G. and Kuperberg W. Packing and covering with convex sets, Handbook of convex geometry (P.M. Gruber and J.M. Wills, eds.). 1993. - V.6, North-Holland, Amsterdam.

77. Finch S. Favorite Mathematical Constants'. 2004. -http://www.mathsoft.com/asolve/constant/renyi/renyi.html.

78. Fuerstenau D.W., Fouladi J. Degree of mixedness and bulk density of packed particles // Amer. Cer. Soc. Bull. 1967. - V.46, №.9. - P. 821-823.

79. Furnas G.C. Grading aggregates I Mathematical relation for beds of broken solids of maximum density // Ind. Eng. Chem. - 1931. - V.23, № 9. - P. 10521058.

80. Furnas C.C. Relation between specific volume, voids and size composition insystems of broken solids of mixed sizes // U.S. Bur. Mines Rep. Invest. 1928. -№2894.-P. 5-12.

81. Gauss C.F. Besprechung des Duchs von L.A. Seeber. Untersuchungen uber die eigenschaften der positiven ternaren guardratischen formen usw // Gottingische ge-leghrte anzeigen (1831, July 9) // Werke. 1876. - Bd.2. - S. 188-196.

82. Ghosh S., Mallet R.L. Voronoi cell finite elements // Computers and Structures. -1994. V.50. - P.33-46.

83. Ghosh S., Moorthy S. A Voronoi cell finite element model for random heterogeneous media // Probabilities an Materials (ed. Breysse). Netherlands: Kluwer

84. Acad. Publishers. 1994. - P.273-284.

85. Ghosh S., Mukhopadhayay S.N. A two dimensional mesh generator for finite element analysis for random composites //Computers and Structures. 1991. -V.41.-P. 245-256.

86. Graton L.C., Fraser H.J. Systematic packing of spheres with particular relation to porosity and permeability // J. Geol. 1935. - V.43. - P. 785-909.

87. Gray W.A. The packing of solid particles // Charman and Hall Ltd., London. -1968.-126 p.

88. Greet R.J. Random-line and hard-spheres models // J. Applied Physics. V.37, № " • 12,1966. - P. 4377-4380.

89. Gusev A.A. Representative volume element size for elastic composites: a numerical study // J. Mech. Phys. Solids. 1997. - V.45, № 9. - P. 1449-1459.

90. Haring R.E., Greenkern R.A. A statistical model of a porous medium with non. unform pores // Alche J. 1976. - V.16, № 3. - P. 477-483.

91. He D., Ekere N.N., Cai L., Computer simulation of random packing of unequal particles // Phys. Rev. E. 1999. -V.60, № 6. - P; 7098-7104.

92. Hinrichsen E.L., Feder J., Joessang T. Random packing of discs in two dimensions // Phys. Rev. A, 1990, V.41. P. 4199-4209.

93. Higuti I. A statistical study of random packing of unequal spheres // Annals Inst. . Stat. Math. 1961. - V.XII, № 3. - P. 257-271.

94. Hogendijk M.J. Random dense packing of spheres with a discrete distribution of radii. // Philips Res. Rept. 1963. - V.18. - P. 109-126.

95. Hughes V.R. The optimum coarse aggregate content of concrete // Mag. of . concr. rec. 1966. - V.18, № 54. - P. 126-129.

96. Jodrey W.S., Tory E.M. Simulation of random packing of spheres //. Simulation. 1979.-№ 1. - P. 1-12.

97. Kansal A.R., Truskett T.M., Torquato S. Nonequilibrium hard-disk packings with controlled orientational order // J. Chem. Phys., 2000. V. 113. - P. 4844' 4851.

98. Karlsson K., Spring L. Packing of irregular particles // J. Mater. Sci. 1970. -V.5, № 4. - P. 340-344.

99. Kausch H.H., Fesko D.G., Tschoegl H.W. The random packing of circles in a . plane // J. Colloid Interface Sci. 1971. - V.37, № 3. - P. 603-611.

100. Kepler J. De nive sexangula // Gesammelte Werke. Munchen, 1911. — Bd.4. -S. 259-280.

101. Krishna K.P. Voidage variation at the wall of a packed bed of spheres // Chem. Eng. Sci. 1977. - V.32. - P. 59-61.

102. Lacey P.M.C. Developments in the theory of particle mixing // J. Appl. Chem. 1954.-V.4.-P. 257-268.

103. Lee D.J. Packing of spheres and its effect on the viscosity of suspensions // J. Paint Technol. 1970. - V.42, № 550. - P. 579-587.

104. Lighthill M. J., Whitham G.B. A theory of traffic on long crowded roads // Proc. Roy. Soc. A. 1955. - V.229. - P. 317-322.

105. Liu Y., Kageyama Y., Murakami S. Creep fracture modeling by use of continuum damage variable based on Voronoi simulation of grain boundary cavity .// Int. J. Mech. Sci. 1998. - V.40. - P. 147-158.

106. Lubachevesky B.D., Stillinger F.H., Pinson E.N. Disks and spheres: contrasting properties of random packings // J. Stat. Phys. 1991. - V.64. - P. 501-524.

107. Macrae I.C., Gray W.A. Significance of the properties of materials in the packing of real spherical particles // Brit. J. Appl. Phys. 1961. - V.12, № 4. - P. 164-172.

108. Mangelsdorf P.C., Washington E.L. Packing of mixtures of hard spheres // Nature. - 1960. -V. 187, № 4741. - P. 930-931.

109. Mason G. A model of the pore space in a random packing of equal spheres // J. Colloid. Interface Sci. 1971. - V.35. - P. 279-283.

110. Mason G. General Discussions // Discussions of the Faraday Society. -1967. -V.43.- P. 75-76.

111. Matematical model for the calculation of untermal granule porosity // Powder Technol. 1982.-V.3.-P. 257-259.

112. McGeary R. K. Mechanical packing of spherical particles // J. Amer. Ceram. Soc. 1961. - V.44, № 10. - P. 513-522.

113. Meakin P., Jullien R. Simple three-dimensional models for ballistic deposition and restructuring// J. Phys. France. 1987. - V.48. - P. 1651-1655.

114. Meakin P. // Phase Transitions. 1988. - V.12. - P. 335-359.

115. Messing G.L., Onoda G.Y. Inhomoheneity-packing density relations in binary . powder // Amer. Cer. Soc. J. 1978. - V.61, № 1-2. - P. 1-5.

116. Messing G.L., Onoda G.Y. Inhomoheneity-packing density relations in binary powder experimental studies // Amer. Cer. Soc. J. - 1978. - V.61, № 7-8. - P. 363-366.

117. Nolan G.T., Kavanagh P.E. // Powder Techn. 1992. - V.72. - P. 149-152.

118. Oda M. Co-ordination number and its relation to shear strength of granular material // Soils and Foundations. 1977. - V. 17, № 2. - P. 29-42.

119. Oda M., Nemat-Hasser S., Mehrabadi H. A statistical study of fabric in a random assembly of sferical granules // Int. J. For Num. And Anal. Meth. In

120. Geom. 1982. - V.6. - P. 77-94.

121. Ouchiyama N., Tanaka T. Estimation of the average number of contacts between randomly mixed solid particles // Ind. and Eng. Chem. Fundam. 1980. -V.19,№4.-P. 338-340.

122. Ouchiyama N., Tanaka T. Porosity of a mass of solid particles having a range of size // Ind. Eng. Chem. Fundam. 1981. - V. 20, №1.-P. 66-71.

123. Ove Berg T.G., MacDonald R.L., Trainor R.J. The packing of spheres // Powder Technol. 1969/70. - V.3, № 4. - P. 183-188.

124. Patankar A.N., Mandal G. The packing of solid particles: A review // Trans. Ind. Ceram. Soc. 1980. - V.39, № 4. - P.109-130.

125. Patankar A.N., Mandal G. The packing of some non-spherical solid particles // Trans. And J. Brit. Ceram. Soc. 1980. - V.79, № 3. - P. 59-66.

126. Perkins R.S. Packing fraction for hard disk random heaps // J. Phys. I France. -1994. V.4. - P. 357-359.

127. Philipse A.P. Caging effects in amorphous hard-sphere solids // J. Colloids and . Surfaces A. 2003. - V.213. - P. 167-173.

128. Porto M., Roman H.E. Critical packing fraction of rectangular particles on the square lattice // Phys. Rev. E. 2000. - V.62. - P. 100-102.

129. Propster H., Szekeley J. The porosity of systems consisting layers of different particles // Powder Technol. 1977. - V. 17, № 1. - P. 123-126.

130. Renyi A., On a one-dimensional problem concerning random space-filling // Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 1958. - №3. - P. 109-127.

131. Ridgway K., Tarbuck K.J. Voidage fluctuations in randomly-packed beds of spheres adjacent to a containing wall // Chem. Eng. Sci. 1968. - V. 23. - P.1147-1155.

132. Rogers C.A. Packing and Covering // Cambridge Univ. Press, Cambridge. -1964.-134 p.

133. Rogers C.A. The closest packing of convex two-dimensional domains // Acta Math., 1951. V.86. - P. 309-321.

134. Rose H.E., Robinson D.J. The density of packing of two-component powder mixtures // Powder Metall. 1965. - V.8, № 15. - P. 20-38.

135. Rudgers R. Packing density and bulk density of granular material // Chem.

136. Tech. 1963. - V.19. - P. 17-26.

137. Scott G.D. Packing of equal spheres // Nature. 1960. - V.188, № 4754. - P. 908-909.

138. Scott G.D. Radial distribution of the random close packing of equal spheres // Nature. 1962. - V. 194, № 9. - P. 956-958.

139. Scott G.D., Kilgour D.M. The density of random close packing of spheres // Brit. J. Appl. Phys. Ser. 2. - 1969. - V.2. - P. 863-866.

140. Sharma Y. Structure simulation of amorphous non-atomic and binary system // J. of Non-Crystalline Solids. 1980. - Y.41, № 3. - P. 287-300.

141. Smith L.N., Midha P.S. A computer model for relating powder density to composition, employing simulations of dense random packings of monosized and bimodal spherical particles // J. Materials Processing Technology. 1997a.1. V.72. P. 277-282.

142. Smith L.N., Midha P.S. Computer simulation of morphology and packing behaviour of irregular particles, for predicting apparent powder densities // Computational Material Sci. 1997b. - № 7. - P. 377-383.

143. Smith W.O., Foote P.D., Busang P.F. Packing of homogeneous spheres //• Phys. Rev. 1929. - V.34. - P. 1271-1274.

144. Smith W.O., Foote P.D., Busang P.F. Packing of homogeneous spheres // Phys. Rev. 1929. - V.34. - P. 1271-1274.

145. Sohn H.Y., Mooreland C. The effect of particle size distribution on packing density // Can. J. Chem. Eng. 1968. - V.46. - P. 162-167.

146. Solomon H. and Weiner H. J. A review of the packing problem // Commun. Statist. Theory Methods. 1986. - V.15. - P. 2571-2607.

147. Standish N. Porosity calculations of ternary mixtures of particles // Powder Technol. 1987. - V.49, № 3. - P. 249-254.

148. Standish N., Borger D.E. The porosity particulate mixtures // Powder Techn. -1979. V.22, № 2. - P. 121-125.

149. Steele J.H. A nonoverlap model for dispersion of spherical particles // Metallurgical Transactions. Ser. A. - 1976. - V.7A. - P. 1325-1332.

150. Torquato S. Nearest-neighbor statistics for packings of hard spheres and disks // Phys. Rev. E. 1995. - V.51. - P. 3170-3176.

151. Tory E.H., Church B.H., Tam M.K., Ratner M. Simulated random packing of equal spheres / /Can. J. Chem. Eng. 1973. - V.51, № 4. - P. 484-493.

152. Uhler W., Schilling R. A local description of stable 2D random packing I I J. Phys. C: Solid State Phys. 1985. - V.18. - P. 979-983.

153. Vlsscher W.M., Bolsterly M. Random packing of equal and unequal spheres in ' two and three dimensions // Nature. 1972. - V.239, № 11. - P. 504-507.

154. Westman A.E.R., Hugill H.R. Packing of particles // Amer. Cer. Soc. J. 1930. - V.13, № 10. - P. 767-779.

155. White H.E., Walton S.F. Particle packing and particle shape // Amer. Cer. Soc. J. 193?. - V.20, № 5. - P. 155-166.

156. Williams D.E.G. Packing fraction of a disk assembly randomly close packed on a plane // J. Phys. Rev. E. 1998. - V.57, № 6. - P. 7344-7345.

157. Wise M.E. Dense random packing of unequal spheres // Philips Res. Repts. -' 1952. V.7, № 5. - P. 321-343.

158. Xia L., Shih C.F. Ductile crack growth II. Void nucleation and geometry effects on macroscopic fracture behavior // J. Mech. Phys. Solids. - 1995. - V.43. -P. 1953-1981.

159. Yerazunis S., Bartlett J. W., Nissan A.H. Packing of binary mixtures of spheres and irregular particles // Nature. 1962. - V. 195, № 4836. - P. 33-35.

160. Zgaevsky V.E. Elastic and viscoelastic properties of polymer filled with solid particles // Int. J. Polymer. Mater. 1977. - V.6. - P. 109-124.