автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели плоскопараллельного обтекания профилей

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ

На правах рукописи

ЛЕЖНЁВ ВСЕВОЛОД ВИКТОРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЕЙ

специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2004

Работа выполнена в Кубанском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Чижиков Владимир Иванович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: «МАТИ» - Российский государственный

технологический университет им. К.Э. Циолковского

Защита состоится 24 декабря 2004 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании Диссертационного совета Д 212.256.05 по физико-математическим наукам в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ставропольского государственного университета.

Автореферат разослан 21 ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат

профессор

Наац Игорь Эдуардович

(Ставропольский государственный университет).

доктор физико-математических наук, профессор

Потетюнко Эдуард Николаевич

(Ростовский государственный университет)

физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа по своей тематике относится к гидродинамике плоскопараллельных стационарных течений несжимаемой жидкости. Эта проблематика продолжает быть чрезвычайно актуальной, многие современные развитые технологии требуют исследования таких гидродинамических задач.

Математические исследования задач гидродинамики представляют собой значительные трудности. Для решения привлекаются средства и возможности компьютерной математики, большую роль в исследовании гидродинамических задач играет численный эксперимент, и создание эффективных численных алгоритмов имеет принципиальное значение.

Диссертация посвящена изложению метода распределенных вихрей для задачи плоскопараллельного обтекания, его обоснованию, численным алгоритмам и их различным реализациям в задачах теории крыла.

Проблемы теории крыла являются одними из важнейших проблем гидродинамики. Существенное значение при этом имеет изучение плоскопараллельных течений безвихревой несжимаемой жидкости.

К основным численным методам современной теории крыла относится метод дискретных вихрей (С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов [1]), который широко используется для различных задач, в частности, для задач обтекания нескольких контуров, для применения к некоторым нестационарным задачам. Обоснованию этого метода было посвящено большое количество публикаций вплоть до последнего времени ([2], [3], [4]). Метод дискретных вихрей состоит в представлении комплексной скорости интегральной формулой Коши. Условие касания на границе приводит к интегральному уравнению 1-го рода относительно плотности распределения вихрей на границе. Ядро интегрального оператора содержит сильную особенность, уравнение дискретизирует-ся, в полученной системе уравнений дополнительно используется условие Жуковского-Чаплыгина. Численное решение таких сис-

I рос. НАЦИОНАЛЬНАЯ

1 ¡ГЗГМа

тем уравнений с достаточной точностью встречает определенные компьютерные и теоретические трудности.

Цель диссертационной работы состояла в исследовании функции тока задачи плоскопараллельного обтекания профиля потенциальным потоком несжимаемой жидкости, в разработке аппроксимирующих алгоритмов и доказательстве их сходимости, в применении к задаче обтекания одного и двух профилей.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в том, что

1) получено для функции тока задачи плоскопараллельного обтекания профиля потенциальным потоком несжимаемой жидкости представление в виде логарифмического потенциала простого слоя, доказана теорема существования и единственности;

2) построен алгоритм приближенного решения, доказаны утверждения о полноте специальной системы функций и о сходимости приближенных решений;

3) представлены алгоритмы решения задачи обтекания идеальной жидкостью двух произвольных профилей, алгоритм решения задачи экраноплана с плоским экраном;

4) предложен алгоритм решения задачи Робена (электростатической задачи) для одного и двух контуров;

5) разработано программное обеспечение задачи обтекания для одного и двух контуров, проведен широкий численный эксперимент.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлена строгими доказательствами предложенных утверждений, доказательствами сходимости приближенных решений, сравнением с известными результатами.

Методы исследования включали в себя методы теории потенциала и функционального анализа, теории функций комплексного переменного, методы линейной алгебры, численные методы для краевых задач и интегралов.

Апробация работы. Основные результаты были представлены на следующих конференциях:

- межвузовские конференции «Компьютеризация учебного процесса и вопросы- применения компьютерных и информацион-

ных технологий». Краснодар, Краснодарский военный авиационный институт, 17-18 мая 2002 и 2003 гг.

- четвертая Всероссийская научная mtemet-конференция «Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках». Тамбов, ТГУ, апрель-май 2002 г.;

- XIII межвузовская конференция «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 28-30 мая 2003 г.;

- докладывались на семинарах кафедры «Теоретической физики и компьютерных технологий» КубГУ.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации модели и алгоритмы могут быть использованы для решения и исследования задач обтекания произвольных профилей, одного или нескольких, в задачах экраноплана. Разработанный метод точечных потенциалов дает также простые несеточные алгоритмы решения внутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа в односвязных и неодносвязных областях.

Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе в спецкурсах по численным методам и гидродинамике, в лабораторных курсах.

Диссертационные исследования были составной частью работ по следующим проектам.

1. «Алгоритмы потенциального и вихревого обтекания низколетящего тела (аэродинамика экраноплана)», проект № 06.01.165 Межотраслевой научно-технической программы сотрудничества Министерства образования Российской Федерации и Министерства обороны Российской Федерации по направлению «Научно-инновационное сотрудничество» за 2001 г.

2. «Спутниковые измерения геопотенциала, потенциал Ро-бена и разложение плотности Земли по полигармоническим функциям», проект № Т02-14.0-2492 Минобразования РФ по фундаменталь-ным исследованиям в области технических наук.

Публикации. По теме диссертации публиковано 7 статей.

Структура работы: диссертация, изложенная на 105 стр., состоит из введения, четырех частей, заключения, списка литературы и добавления.

Содержание работы.

Во введении отмечается актуальность тематики, приводится краткий обзор литературы по рассматриваемой проблеме, формулируются основные результаты и дается краткое сравнение с традиционным методом дискретных вихрей, указываются некоторые возможные применения предлагаемого метода, описана структура диссертационной работы.

Первая часть имеет вспомогательный характер. В первом параграфе приводится формулировка основной задачи.

Обозначим внешность ограниченной односвязной области

Q с достаточно гладкой границей S через Q+ =R2 \ Q, пусть

Q~ = Q. В области Q" требуется построить векторное поле w(x) = {и(х), у(дг)}, х = , х2), удовлетворяющее условиям:

a) div w(x) = О, rot w(x) = 0, xeQ+;

b) w(oo) = {«о > vo }» uo и vo заданы;

c) граница S — линия тока поля w{x) = {и(х), v(x)}.

Векторное поле w(x) = {и(х), v(x)} можно трактовать как

поле скоростей плоскопараллельного потока идеальной жидкости, обтекающей профиль S. Данная задача имеет не единственное решение, к векторному полю w(x) можно добавить с произвольным множителем чисто циркуляционное течение, определяемое потенциалом Робена для контура S.

Далее коротко приведены используемые в последующем изложении элементы теории логарифмического потенциала, свойства интегрального оператора потенциала двойного слоя и некоторые сведения о потенциале Робена.

Во втором параграфе 1.2 приведены основные леммы о системах функций, полных на контуре.

Пусть граница S удовлетворяет условию Ляпунова, последовательность точек (базисные точки) принадлежит Q+ или Q~, отделена от S и удовлетворяет условию единственности гармонических функций в

По определению

В2<Р= ¡(р(у)дЕ}Х~^с1з 8 дп{у)

хеБ,

где £(х) = у-1п| ;с| - фундаментальное решение оператора Лапласа, —-— - операция дифференцирования по внешней для <2 дп(у)

нормали к S в точке у е 5.

Число Я = — есть простое собственное число оператора В2 с

собственной функцией <р(х) = 1, пусть <р* (х) - собственная функция сопряженного оператора соответствующая собственному

числу Я =

Обозначим через и (5) подпространства в (5),

ортогональные соответственно одномерным подпространствам

Рассмотрим на S функции

Лемма 1.1. Система функций т = 1, 2,.., полна и

линейно независима в Обозначим

Лемма 1.2. Система функций 5т($, т = \, 2,.., полна и линейно независима в

Лемма 1.3. Функции т = 1,2,..., принадлежат

подпространству линейно независимы и образуют замкнутую систему в .

Лемма 1.4. Система функций ¡5т , т = 1,2,..., линейно независима и замкнута в пространстве если последова-

тельность точек удовлетворяет условию единственности и принадлежит

Рассмотрим теперь систему функций

°т М = / (у) \п\х-у\<ку, хеБ.

Будем обозначать через значение в области потенциала Робена, определенного для контура 8.

Лемма 1.5. Если то система функций (гт(х),

линейно независима и замкнута в эта

система функций принадлежит и замкнута в

В параграфе 1.3 части 1 приводятся простые и эффективные несеточные алгоритмы решения внешних краевых задач для уравнения Лапласа, а также для вычисления собственной функции

<р*(х) оператора В2,т.е. плотности потенциала Робена для 8.

Пусть рассмотрим разложение

к(х) = с(р* АоОО» гДе ^о6^!^)- Обозначим проекцию функции на подпространство

Тогда и для собственной функции

выполняется приближенное равенство: некоторая постоянная. Функция

С = Ъсп5п{х),

может быть определена как решение задачи минимизации функции Г(с) = Р(си..,сы),

и в результате мы получаем с нужной точностью аппроксимацию собственной функции <р*(х).

Приближенное регулярное решение внешней задачи Дирихле

Л и(х) = 0,

и(х) = /(х), деЗ1,

будем определять в виде

последняя сумма при х с Я определяется как аппроксимация в ¿2(5) функции (т.е. как решение указанной выше за-

дачи минимизации для Л(л:) = /(х)-а). Функция м^Ос) является ограниченной при

Для решения внешней задачи Неймана

где (У(л), 1) = 0, достаточно вычислить проекцию в /,2 (5) функции f(х) е ¿2 (£) в виде

коэффициенты с^ определяются минимизацией квадрата нормы разности функций /(я) и этой линейной комбинации. При этом N

<Е>

к=1

и приближенное решение и^ {х) представляется в виде

= Т,Скак (х)- 1пИ •

Вторая часть является основной. Для получения решения задачи обтекания профиля S с условиями а) - с) достаточно найти функцию тока у/(х) искомого течения и^*),

Задача обтекания контура $ в бесциркуляционном случае может быть сформулирована как внешняя первая или вторая краевая задача для уравнения Лапласа.

На рис.1 проиллюстрировано решение задачи Дирихле в профиля Жуковского с граничной функцией и(;с) = - («о*2 ~ у0*1)- Представлены линии уровня функции

т.е. линии тока бесциркуляционного

обтекания; здесь

В параграфе 2.1 дается общее представление функции тока задачи обтекания ограниченной односвязной области

Далее используется потенциал Робена, будем его обозначать

¥г М = ^ (£) 3 ¡<р*

с функцией единичной нормы.

Теорема 2.1. Функция тока рассматриваемой задачи обтекания контура $ имеет в области течения представление

где у/г (*) - потенциал Робена для $ Я — постоянная, определяющая циркуляцию на - регулярное решение в задачи Дирихле:

ДУо(*) = ° в 2+> % О) = (и0х2 -У0х,) на 5.

В параграфе 2.2 излагается метод распределенных вихрей решения задачи обтекания.

Функцию тока задачи обтекания будем определять в виде

Эта функция удовлетворяет условиям а), Ь) задачи обтекания при любой . Требуется определить ф у н к ц а к, что будет выполняться условие с): ¥(.*) = на $ с некоторой постоянной

Такое представление существует. Действительно, функция 6()-("0*2-у0*1). является гармонической в О и может быть представлена потенциалом простого слоя как решение внутренней

>2

задачи Неймана, и потенциал простого слоя непрерывен в Я , если g(y) е ¿2 (5). Обозначим через (у) плотность потенциала в решении этой задачи Неймана. В представлении (2.2) нужно, следовательно, полагать

Теорема 2.2. Представление (2) функции тока задачи плоскопараллельного обтекания, которая определяется условиями а) - с) существует, и это представление единственно, если заданы постоянные

Аппроксимация gN (х) искомой плотности gQ(y) вихрей на S может быть определена как решение указанной задачи Неймана в ограниченной области О, алгоритм которой аналогичен представленному в параграфе 1.3 и использует лемму 1.3.

Параграф 2.3 посвящен прямому применению метода рас-

N,

пределенных вихрей. Аппроксимацию (х) функции тока будем определять в виде

ч/*(х)=(и0хг-у0х1)+ \g$ (y)E(x-y)dS, S

где

go(y)=I,ckat(y). к=I

Коэффициенты ск вычисляются решением задачи минимизации функции Fie),

F(c) =

N

h ~ ( "о*2 ~ vox\) ~ (*) *=1 II

необходимое условие экстремума функции приводит к линейной алгебраической системе с определителем Грама не равным нулю.

Для формирования обтекающих течений с разной циркуляцией удобно следующее общее представление функции тока = ((до <- чя) + ¡gQ(y)E(x~y)dS+R \gr(y)E(x-y)dS,

где gr(x) - плотность потенциала Робена, gr (х) = q> (х), R -варьируемый множитель, g°(:с) - плотность распределенных вихрей задачи обтекания контура S с условиями а) - с), где заданны Uq, v0 и где 60 =0. А плотность определяется через решение той же задачи минимизации функции F(c) при Uq = v0 = 0, b0 * 0 (60 = SP0(jc) на S).

На рис. 2, 3, 4 представлены решения задач обтекания симметричного профиля Жуковского при разных углах атаки а и разных циркуляциях; точками обозначено расположение базисных точек,

Рис. 1. w={l,0}. Рис.2. w={I,0},b= 0.01, R=005

Рис.3. w={l,0.5}, b=0.01, R=0 03. Рис. 4. w= {1,0.5}, b= 0.01, R-0.05.

Часть 3 посвящена применениям этой методики для двух профилей.

Пусть 01 и - ограниченные односвязные области с границами и 52, удовлетворяющими условию Ляпунова,

01 П йг = О, обозначим = Д2 461 ^ бг ) •

В параграфе 3.1 рассматривается задача обтекания двух профилей и ^2 идеальной жидкостью, удовлетворяющей условиям а) - с), 51 = Из приведенного выше следует, что

функция тока может быть представлена в виде

г \

¡4

и требуется выполнение условий

и, -I»

Аппроксимация gN(y) плотности вихрей g(y) на 5) и Б2 определяется следующим образом:

коэффициенты вычисляются в результате решения аналогичной вариационной задачи минимизации функционала

\

*=1

I5! У

(3)

Получены численные расчеты для двух кругов, двух полукругов, двух профилей Жуковского.

В параграфе 3.2 исследуется задача Робена для двух контуров.

Для определения приближенной плотности gN (у) потенциала Робена на 5 = 5) и |У2 решается вариационная задача для функционала(3)при и0 = у0 =0 и ¿>1 *Ь2.

Обозначим ^ОО^ОО при уеЗг, g2(y)=g(y) при Справедливо следующее утверждение:

Теорема 3.1. Решение задачи Робена для двух контуров - плотности g[ (у) и g2 (.у) потенциала на и S2 - определяется единственным образом с точностью до постоянного множителя.

На рисунках 5-6 и 7-8 приведены решения задачи Робена для пар полукругов. На рис. 5, 7 представлены семейства линий уровня потенциала Робена <f/r(x) (т.е. линии тока чисто циркуляционного обтекания), они не зависят от выбора значений = уг(л:)|5 , Ъ2 = На рисунках 6 и 8 даются графики

плотностей этих парных потенциалов на контурах Sj и S2 рисунков 5 и 7 соответственно.

Рис. 5. Потенциал Робена, у/{х) = пост. на S, и S2,

линии уровня.

Рис. 8. Графики функций glí(x) на З/иЗг.

Параграф 3.3 посвящен задаче экраноплана. В случае прямолинейного экрана решение этой может быть получено как решение задачи симметричного обтекания двух профилей, симметричных относительно экрана.

Получение произвольного циркуляционного обтекания реализуется добавлением к функции тока соответствующего потенциала Робена для 5 = и ^. По теореме 3.1, вариацией одного параметра, например, Ьу, получаются все решения задачи экрано-плана - решения с произвольными циркуляциями. В численных расчетах использовался также симметричный профиль Жуковского с нулевым углом атаки. Для разных высот А приближенные решения получаются в аналитическом виде, позволяющие вычислять аэродинамические характеристики.

Последняя четвертая часть содержит иллюстрации проведенных расчетов, в которых использовались указанные три подхода для получения функции тока циркуляционного обтекания профиля: алгоритм внешней задачи Дирихле, прямой алгоритм метода распределенных вихрей и метод распределенных вихрей с потенциалом Робена.

В Добавлении приводятся картины линий тока циркуляционных обтеканий пластины (не замкнутого контура), полученные методом распределенных вихрей.

Цитированная литература

1) Белоцерковский СМ., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-256 с.

2) Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // ПММ.-1975.-Т.39, №4. - С.742-746.

3) Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Обобщенный оператор Фурье и его применение в обосновании метода дискретных вихрей // Математический сборник, 1992.183, №5. -С.79-114.

4) Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. - М.: «Янус-К», 2001. - 508 с.

Основные результаты

1. Получено однопараметрическое представление функции тока \//(х) задачи плоскопараллельного обтекания профиля $ идеальной жидкостью -

К*)=С"Л ¡¿'(уЩр-уф+ЯкгЦ.х-ууЮ,

которое определяет любое решение задачи плоскопараллельного обтекания а) - с); здесь последнее слагаемое (потенциал Робена для $) дает чисто циркуляционное поле скоростей и определяет циркуляцию на Я - произвольный множитель; доказана теорема существования и единственности (теорема 2.2).

2. Получен алгоритм определения плотностей (метод распределенных вихрей), доказана его сходимость.

3. Даются алгоритмы для задачи обтекания двух произвольных профилей; в частности, для задачи экраноплана над прямолинейным экраном; указан алгоритм приближенного решения задачи Робена для одного и двух контуров.

Публикации по теме диссертационной работы

1. Захаров М.Ю., Лежнев В.В. К задаче обтекания двух цилиндров // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях». 27-29 сентября 2000 г., Ставрополь. С. 111-112.

2. Ефремов И.И., Лежнев В.В. Метод обратной задачи потенциала в проблеме обтекания // «Современные проблемы механики сплошной среды». Труды VII Международной конференции памяти академика Воровича И.И. Ростовский государственный университет. -Ростов-на-Дону, 22-24 октября 2001. С. 112-115.

3. Лежнев В.В. Внешние краевые задачи уравнения Лапласа и метод точечных потенциалов // Четвертая Всероссийская научная internet-конференция. «Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках». Тамбовский государственный университет. Институт Математики, Физики и Информатики. -Тамбов. 2002, С. 28-33.

4. Лежнев В.В. Один алгоритм задачи обтекания двух профилей // «Компьютеризация учебного процесса и вопросы применения компьютерных технологий». Сборник докладов межвузовской научно-методической конференции. Краснодарский военный авиационный институт. - Краснодар. 16-17 мая 2002 г. С. 226-235.

5. Lezhnev V.V., Markovsky A.N. Algorithm of the overflow problem above the plane screen // Proceedings of International Summer Scientific School «Hight Speed Hydrodynamics». -Cheboksary. Russia. June 16-23, 2002. p. 267-269.

6. Гусаков В.А., Кваша О.В., Лежнев В.В. О методе распределенных вихрей // Труды конференции «Проблемы компьютерного и математического моделирования в научных исследованиях». Краснодарский военный авиационный институт. -Краснодар. 15-16 мая 2003 г. С. 80-85.

7. Лежнев В.В. Несеточный алгоритм внешней краевой задачи для уравнения Лапласа // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самарский государственный технический университет. -Самара. 27-28 мая 2004г. С. 137-140.

ЛЕЖНЁВ ВСЕВОЛОД ВИКТОРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЕЙ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 15.11.2004. Формат 60х841/16. Бумага Sveto Copy. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,16. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО «Просвещение-ЮГ» с оригинал-макета заказчика, г. Краснодар, ул. Селезнева. Тел./факс: 235-96-79.

'2339 3

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ЧАСТЬ 1. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА И ЗАДАЧА ОБТЕКАНИЯ.

1.1. Интегральные операторы логарифмического потенциала.

1 2. Системы функций, полные на контуре.

1 3. Алгоритмы краевых задач для уравнения Лапласа в неограниченной области.

ЧАСТЬ 2. МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВИХРЕЙ.

2.1. Общий вид функции тока задачи обтекания.

2.2. Метод распределенных вихрей.

2.3. Алгоритмы метода распределенных вихрей.

ЧАСТЬ 3. ЗАДАЧА ОБТЕКАНИЯ ДВУХ ПРОФИЛЕЙ.

3.1. Алгоритмы задачи двух профилей.

3.2. Потенциал Робена для двух контуров.

3.3. Задача экраноплана.

ЧАСТЬ 4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

4.1 Применение алгоритма задачи Дирихле для вычисления циркуляционной функции тока.

4.2 Прямой алгоритм метода распределенных вихрей.

4.3 Метод распределенных вихрей и потенциал Робена.

Диссертационная работа по своей тематике относится к гидродинамике плоскопараллельных стационарных течений несжимаемой жидкости. Эта тематика продолжает быть чрезвычайно актуальной, многие современные технологии требуют исследования и решения таких гидродинамических задач. В этих исследованиях широко используются средства и возможности вычислительной математики, большую роль играют численные методы и численный эксперимент, принципиальное значение имеет создание эффективных численных алгоритмов.

К основным проблемам гидродинамики относятся задачи теории крыла. Большое значение при этом имеет изучение плоскопараллельных течений безвихревой несжимаемой жидкости[31] — [33], [37] - [39].

Одним из основных численных методов теории крыла является метод дискретных вихрей (С.М. Белоцерковский, [1], — [3]). Метод используется для построения циркуляционного обтекания профилей, а также для построения вихревых зон вблизи крыла. Обоснованию этого метода было посвящено большое количество публикаций вплоть до последнего времени ([5], [7], [15], [27] - [30], [36]). Метод дискретных вихрей состоит в представлении сопряженной комплексной скорости интегральной формулой Коши. Условие касания на границе приводит к интегральному уравнению 1-го рода для плотности распределения вихрей на границе. Ядро интегрального оператора содержит сильную особенность, численное решение таких уравнений с достаточной точностью является сложной задачей и встречает определенные компьютерные трудности [8] - [10].

Данная диссертация посвящена изложению метода распределенных вихрей для задачи обтекания крыла, его обоснованию, численным алгоритмам, их сходимости и различным реализациям ([13], [14], [21]-[21]). р

В первом параграфе приводится формулировка основной задачи. Обозначим внешность ограниченной односвязной области Q с достаточно гладкой границей S через Q+ = R2 \ Q . В области Q+ требуется построить векторное поле w(x) = {и(х), v(x)}, х = (х}, х2), удовлетворяющее условиям: a) div vv(x) = 0, rot = 0, хе Q+; b) w(oo) = {и0, v0}, и0 и v0 заданы; c) граница S - линия тока поля w(x) = \и(х), v(x)}.

Векторное поле w(x) = {w(x), v(jc)} можно трактовать как поле скоростей плоскопараллельного потока идеальной жидкости, обтекающей профиль S. Данная задача имеет не единственное решение; к векторному полю w(x) можно добавить с произвольным множителем чисто циркуляционное течение, которое определяется потенциалом Робена для контура S.

Далее в параграфе 1.1 коротко приведены используемые в последующем изложении элементы теории логарифмического потенциала, свойства интегрального оператора В2 потенциала двойного слоя и необходимые сведения о потенциале Робена ([4], [17] — [18]).

Во втором параграфе приведены основные леммы о системах функций, полных на контуре ([13], [24], [25]).

Пусть граница S удовлетворяет условию Ляпунова, последовательность точек zm, т = 1,2,., (базисные точки) принадлежит Q+ или Q~, отделена от S и удовлетворяет условию единственности л гармонических функций в R . *

Пусть (р (л;) - собственная функция сопряженного оператора В2, соответствующая простому собственному числу X = , соответствующей собственной функцией оператора В2 является ср(рс) = 1; по определению

В2Р=ШдЕя(Х~У)<Ьу, xeS, s дп(у)

1 3 где Е(х) = — In! x I — фундаментальное решение оператора Лапласа,

2л д п(у)

- операция дифференцирования по внешней для области Q нормали к S в точке у е S.

Обозначим через и S) подпространства в Z^OS"), ортогональные соответственно одномерным подпространствам {1} и И

Рассмотрим на S функции a+(x) = E(zm -х), xsS, zm eQ+.

Лемма 1.1. Система функций а*(х), т = 1,2,., полна и линейно независима в Ь2 (£). Обозначим a~(x) = E(zm-x), Sm(x) = a~+J(x)-a^(x), x<=S, zmeQ~.

PmW = lT7-E(zm-x), xzS, zm gQ . dn(y)

Лемма 1.2. Система функций Зт(?с), m = 1, 2,., полна и линейно независима в (S).

Лемма 1.3. Функции т = 1,2,., принадлежат подпростран

С с ' ству Ь2 , линейно независимы и образуют замкнутую систему в Ь2 .

Лемма 1.4. Система функций Рт(у), т = 1,2,., линейно независима и замкнута в пространстве L,2(S), если последовательность точек zm удовлетворяет условию единственности и принадлежит Q~. Рассмотрим теперь систему функций т(х) = y\dsy, xeS. s

Будем обозначать через Rq значение в области Q~ потенциала Робена, определенного для контура S.

Лемма 1.5. Если Rq^O, то система функций сгт(х), т = 1,2., линейно независима и замкнута в LjiS); если Rq = 0, эта система функций принадлежит и замкнута в I%(S).

Как следствие мы получаем полноту этих систем функций на соответствующих совокупностях дуг или контуров, например, для двух профилей.

В параграфе 1.3 части 1 приводятся простые и эффективные алгоритмы решения внешних краевых задач для уравнения

Лапласа, а также для вычисления собственной функции (р (х) интегрального оператора В2, т.е. плотности потенциала Робена для S [26].

В параграфе 2.1 части 2 дается общее представление функции тока задачи обтекания ограниченной односвязной области Q.

Далее используется потенциал Робена, будем его обозначать

2к S S с функцией ср (£) единичной нормы.

Теорема 2.1. Функция тока рассматриваемой задачи обтекания контура S имеет в области течения Q+ представление

И» = (U0X2 ~v0xl) +¥о(*) + xgQ+, где у/г(х) — потенциал Робена для S, R - постоянная, определяющая циркуляцию на S, щ{х) -регулярное решение в Q+ задачи Дирихле:

Ау/0{х) = 0 в Q+, ¥0 (х) = (и0х2 - v0xj) на S.

В параграфе 2.2 излагается метод распределенных вихрей решения задачи обтекания [13].

Функцию тока задачи обтекания будем определять в виде

4/(x) = (-w0x2+v0x1)+ \g{y)\n\x-y\dsy, (1) s где искомая функция g{y) является плотностью распределения вихрей на S, и выполняются условия а) и Ь).

Теорема 2.2. Представление (1) функции тока задачи плоского обтекания, которая определяется условиями а) - с) существует и единственно, если заданы скорость w(co)={m0,v0} и циркуляция Г на контуре S.

Аппроксимация gN (х) искомой плотности g°(y) вихрей на S может определяться в виде gN(y)= Zcka+k(y). к=1

Коэффициенты вычисляются при решении задачи минимизации функции F{c),

F(c) = N b-(u0x2 - v0) - J Цскак(y)E(x - y)ds s k=l где норма берется в пространстве L2 (S). Необходимое условие экстремума функции приводит к линейной алгебраической системе с определителем Грама не равным нулю.

В параграфе 2.3 представлены другие алгоритмы метода распределенных вихрей [23], [26].

Функцию тока *F(x) удобнее и эффективнее для численного эксперимента представить в виде у/{х) = ( и0х2 ~v0xj)+ jg° (у)Е{х - y)dS+R \grE{x - y)dS,

S S

Часть 3 посвящена некоторым приложениям.

Пусть Qj и Q2 - ограниченные односвязные области с границами Sj и S2, удовлетворяющими условию Ляпунова, Qi<^Q2=0, обозначим

Q+=R2\(Qj^Q2).

В параграфе 3.1 рассматривается задача обтекания двух профилей Sj и S2 идеальной жидкостью, удовлетворяющей условиям а) - с) [14], [22], [41]. Далее мы получаем, что функция тока может быть представлена в виде Л yKx)=(-u0x2+v0xj)+ W A g(y)E(x-y)dsy, х е Q+,

2 у где требуется выполнение условий w\Si =bh y/\s =b2*bj.

Аппроксимация gN (у) плотности вихрей g(y) на Sj и S2 определяется следующим образом: gN(y)= Y.ckal{y), к=1 коэффициенты с£ вычисляются в результате решения аналогичной вариационной задачи минимизации функционала 2

AT 2 I к=1 \ J + J

S2 j gN\y)E{x-y)dsy ьк "С~U0X2 +V0X1)с с

L2{Sk)

В параграфе 3.2 исследуется задача Робена для двух контуров. Доказано следующее утверждение.'

Теорема 3.1. Решение задачи Робена для двух контуров - плотности (Р]{х) и (р2{х) потенциала на S} и S2 — определяется единственным образом с точностью до постоянного множителя и аддитивной константы.

Для определения приближенной плотности gN (у) потенциала Робена на S = SjuS2 решается задача минимизации для вариационного функционала при и0 -v0 = 0 и bj &b2.

Параграф 3.3 - посвящен задаче экраноплана [41]. В случае прямолинейного экрана решение этой традиционно строится как решение задачи симметричного обтекания двух профилей, симметричных относительно экрана [9], [11]. Такая методика может быть реализована полученными выше алгоритмами.

Построение обтекания с необходимой циркуляцией реализуется добавлением к функции тока соответствующего потенциала Робена для S = S] u S2, т.е., по теореме 3.1, варьируется один параметр для получения нужной циркуляции и необходимого решения. В численных расчетах использовался крыловидный профиль, для разных высот h получаются в аналитическом виде приближенные решения, позволяющие вычислять аэродинамические характеристики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получено представление функции тока у/(х) задачи плоскопараллельного обтекания профиля S идеальной жидкостью в виде суммы линейного слагаемого и логарифмического потенциала простого слоя, плотность которого есть плотность вихрей на S, доказана теорема существования и единственности.

Получена явная зависимость циркуляции и подъемной силы от одного параметра - множителя при потенциале Робена

Получены новые эффективные алгоритмы решения задачи плоского обтекания (метод распределенных вихрей), позволяющие получить произвольную циркуляцию для любого профиля.

Доказаны утверждения о полноте систем потенциалов на профиле, доказана сходимость полученных алгоритмов задачи обтекания.

Для двух профилей разработаны алгоритмы метода распределенных вихрей, в частности, для решения задачи Робена для двух профилей; представлены алгоритмы решения плоской задачи экраноплана.

1. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука, 1985. — 256 С.

2. Бицадзе А.В. Сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Неймана // Дифференциальные уравнения, 1986. Т. 22, №5. -С. 823-828.

3. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в • гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: «Янус-К», 2001.-508 С.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

5. Галяутдинов М.И. Проектирование и расчет крыловых профилей вблизи экрана. Кандидатская дисс., Казань, 2001.

6. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

7. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошных сред. Часть I. М.: Наука, Физматлит, 2000.

8. Горелов Д.Н. К выбору контрольных точек в методе дискретных вихрей //ПМТФ.- 1990.-№ 1.

9. Горелов Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

10. Горелов Д.Н. О сходимости метода дискретных вихрей, основанного на локальной аппроксимации вихревого слоя // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1984. - № 68.

11. Горелов Д.Н., Горлов С.И. Движение профиля вблизи плоского экрана //ПМТФ.- 1995. -№ 1.

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971, 1108 С.

13. Картузова Т.В. Численные исследования обтекания системы произвольных профилей методом граничных элементов. Кандидатская дисс., Чебоксары, 1997.

14. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.

15. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2. М.: "Высшая школа", 1988.

16. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Труды ЦАГИ. 1932. - Вып. 118.

17. Лаврентьев М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973.

18. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965.

19. Лежнев В.Г. Аппроксимация обратных задач ньютонова потенциала // Численные методы анализа, М.: МГУ, 1997.

20. Лежнев В.Г., Данилов Е.А. Задачи плоской гидродинамики. Краснодар, КубГУ, 2000.

21. Лифанов И. К., Полонский Я. Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // ПММ.-1975.-Т.39, №4. С. 742-746.

22. Лифанов И. К., Полтавский Л. Н. Обобщенный оператор Фурье и его применение в обосновании метода дискретных вихрей // Математический сборник, 1992. 183, №5.-С.79-114.

23. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. -М.: Янус-К, 1995.

24. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода «дискретных вихрей» решения сингулярных интегральных уравнений // ППМ. 1975. - Т. 39. - № 4.

25. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

26. М.Ван-Дайк. Альбом течений жидкости и газа. 184 стр. М.: Мир, 1986.

27. Механика сплошных сред в задачах, т. 1, 2. Под ред. Эглит М.Э. М.: «Московский лицей», 1996.

28. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

29. Панченков А.Н. Теория потенциала ускорения. Новосибирск: Наука, 1975.

30. Поляхов Н.Н., Шестернина З.Н. К вопросу о сходимости метода дискретных вихрей // Вестник Ленингр. ун-та. Математика, механика, астрономия. 1978. - № 7. - Вып. 2.

31. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. Т. 2. М.: ОНТИ, 1935.

32. Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. Ленинград: Судостроение, 1979.

33. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М. - Л.: Гостехиздат, 1950.

34. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. М.: Советская Энциклопедия. Т. 4 Ок-Сло. 1984.

35. Lezhnev V.V., Markovsky A.N. Algorithm of the overflow problem above the plane screen // International Summer Scientific School. Hight Speed Hydrodynamics. 267-269. June 16-23, 2002. Cheboksary. Russia.

36. В данном разделе проиллюстрировано применение метода распределенных вихрей для задачи обтекания пластины, показаны обтекания с различными циркуляциями.

37. В частности, получено чисто циркуляционное обтекание.jI