автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.13, диссертация на тему:Математические модели кинетики биотрансформации органических веществ сточных вод коммунального хозяйства

На правах рукописи

ЛАМАРИ Кхайри Мухамед

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КИНЕТИКИ БИОТРАНСФОРМАЦИИ ОРГАНИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ СТОЧНЫХ ВОД КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА

Специальность 05.02.13 - Машина, агрегаты и процессы

(коммунальное хозяйство и бытовое оослуживание)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре химии Московского государственного университета сервиса и на кафедре сельскохозяйственного водоснабжения Московского государственного университета природообустройства.

Научные руководители:

доктор технических наук, профессор

доктор биологических наук

Лукашев

Евгений Алексеевич

Малышева Алла Георгиевна

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

кандидат химически наук

Дорохов

Игорь Николаевич

Смольянинов Георгий Александрович

Ведущая организация:

Институт экологии, ресурсосбережения и оборудования сервиса

Защита диссертации состоится « » 2004 г. в.. часов

на заседании диссертационного совета Д 212.150.05 в Московском государственном университете сервиса по адресу: 141221, Московская область, Пушкинский район, пос. Черкизово, ул. Главная, 99.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Отзывы и замечания в двух экземплярах просим направлять по адресу университета.

Автореферат разослан «

9 иьнл

» 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

Пашковский Игорь Эдуардович

ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена анализу и разработке математических моделей кинетики микробиологических процессов, используемых при проектировании станций биологической очистки коммунальных сточных вод и переработки осадка

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. В Ливийской Джамахирии коммунальное хозяйство сталкивается с широким кругом проблем, особенно в области водоснабжения и канализации. В настоящее время стоят задачи реконструкции систем канализации, очистки сточных вод, сброса очищенных сточных вод в море и переработки осадка. Решение таких задач требует наиболее полного использования международного опыта. Различия климатических условий и сфер производственной деятельности населения требуют адаптации технологических и инженерных решений. Для решения этих задач широко используются методы математического моделирования с последующим экспериментальным определением параметров модели. Эти методы дают возможность выбирать оптимальные инженерные и технологические решения, устанавливать область допустимых значений технологических параметров.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследовать прогностические возможности математических моделей микробиологической кинетики, используемых для теоретического описания технологических процессов биологической очистки сточных вод и переработки осадка. Разработать математические модели, отражающие конкуренцию микроорганизмов за ресурсы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Проанализированы допущения, приводящие к классическому уравнению микробиологической кинетики: уравнению Моно. Уравнение Моно и уравнение ингибирования потребления избытком субстрата построены, исходя из предположения об адсорбции и конкурентной адсорбции как лимитирующей стадии. Полученные уравнения исследованы с учетом метаболизма поддержания (эндогенного метаболизма). Проанализированы принципы построения уравнений микробиологической кинетики на основе квазихимических уравнений; показано, что уравнение кинетики второго порядка может представлять экспоненциальную и стационарную фазы развития культуры микроорганизмов. Методами качественной теории дифференциальных уравнений исследованы стационарные состояния хемостата для случаев представления удельной скорости роста биомассы и потребления субстрата в форме уравнений Моно, Тиссье, Мозера, Контуа и уравнения субстратного ингибирования; предложен критерий выбора уравнения для проектирования по экспериментальным данным. Разработаны и исследованы математические модели внутривидовой конкуренции за ресурсы; показано, что эти модели могут использоваться для изучения механизма микробиологических процессов.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ заключается в анализе допущений и применимости уравнений кинетики биотрансформации - уравнений Mono и ингибирования избытком субстрата; определении критерия экспериментальной проверки применимости уравнений кинетики биотрансформации -Моно, Тиссье, Мозера и Контуа; разработке математических моделей внутривидовой конкуренции между микроорганизмами за пищевые ресурсы для исследования механизмов биотрансформации.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСИТСЯ: (1) обзор математических моделей, используемых для теоретического описания процессов микробиологической кинетики в сооружениях биологической очистки сточных вод и переработки осадка; (2) анализ допущений основных уравнений микробиологической кинетики; (3) уравнение конкурентной адсорбции, приводящее к описанию ингибирования избытком субстратом; (4) анализ стационарных состояний хемостата для ряда уравнений микробиологической кинетики; (5) новые математические модели конкуренции между микроорганизмами за пищевые ресурсы.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертационной работы докладывались 8-й и 9-й международных научно-практических конференциях «Наука - сервису», соответственно, в 2003 и 2004 годах.

ПУБЛИКАЦИИ. По результатам исследований опубликовано 4 статьи.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 145 страницы; он включает 109 страниц основного машинописного текста, 71 рисунок, 1 таблицу, выводы, список цитированной литературы и приложение.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы и сформулирована цель исследования. Научная новизна связана с разработкой и обоснованием математических моделей микробиологической кинетики процессов очистки сточных вод коммунального хозяйства с учетом эндогенного метаболизма, конкурентной адсорбции, конкуренции микроорганизмов за пищевые ресурсы, анализом прогностических возможностей моделей Моно, Тиссье, Контуа и Мозера. Практическая ценность заключается в разработке и обосновании математических моделей, используемых для проектирования технологических процессов и оборудования очистки сточных вод коммунального хозяйства, что позволяет установить признаки применимости моделей для теоретического описания в рамках принятых допущений.

В первой главе представлен обзор математических моделей, используемых для моделирования процессов биологической очистки сточных вод коммунального хозяйства. Рассмотрены основные понятия, уравнения и базовые модели микробиологической кинетики, используемые для

описания трофических цепей в биоценозах в форме взаимодействий ресурс - потребитель, субстрат - фермент, хищник - жертва. Дан обзор базовых моделей проточных систем биосинтеза и биотрансформации органических веществ сточных вод, математических моделей с рециркуляцией активного ила и закреплением микрофлоры, базовых моделей распределенных систем с консервативными и неконсервативными примесями. Проанализированы принципы моделирования аэробных процессов биологической очистки и анаэробных процессов сбраживания осадка коммунальных сточных вод. Анализ проблем математического моделирования микробиологических процессов показал, что организация микробиологических технологий очистки сточных вод и переработки осадка связана с определенными трудностями при небольшом объеме производства из-за значительных колебаний расхода и состава. Это вызывает осложнения при проектировании и эксплуатации из-за нестационарности процессов. Более того, например, микробиологическое сбраживание органических отходов в метантенках и в аналогичных аппаратах характеризуется неустойчивостью как проточного реактора полного перемешивания при гидравлической перегрузке или перегрузке по субстрату. Это связано с «падающим» участком зависимости удельной скорости потребления субстрата при высоких концентрациях последнего.

Вторая глава посвящена выводу, обоснованию и анализу основных уравнений микробиологической кинетики. Уравнение Моно получено как форма уравнения адсорбции Ленгмюра в предположении, что адсорбция является стадией определяющей скорость потребления субстрата клеткой (равновесное приближение) - скорость потребления субстратом пропорциональна его поверхностной концентрации. Реализация кинетики второго порядка

А + ЗуС^, (1)

где - свободная от субстрата доля клеточной поверхности, субстрат в объеме и субстрат на поверхности (тем же символом обозначены концентрации), дает дигЬгЬепешшяттыгое равнение

(2)

ш

Это уравнение для равновесия дает уравнение Моно для удельной скорости роста биомассы

^"■ЕкЙ^ (3)

константа Моно является константой равновесия десорбции

Показано, что аналогия уравнения Моно и уравнения адсорбции Ленгмюра, а также уравнения ферментативной кинетики Михаэлиса-

Ментен, не является формальной, а следует из определенных предположений. Учет превращения субстрата в продукт метаболизма

А+8уо88> -

►Р,

также дает уравнение Мпнп в мпттгЪиттппвяттпй гЪппме, ц-кА. ; К-

(4)

(5)

. - к_,+к,

- константа стационарности десорбции.

Решение этих задач позволяет заключить, что в рамках сделанных допущений уравнение Моно является строгим. Однако оно является определенным приближением, если условия проведения микробиологического процесса не соответствуют принятым допущениям.

Вывод и обоснование уравнения ингибирования избытком субстрата в форме уравнения конкурентной адсорбции выполнены как решение задачи для удельной скорости потребления субстрата при субстратном инги-бировании без введения допущения о связывании фермента субстратом с образованием неактивной или менее активной формы. Предполагалось, что биохимическая реакция потребления субстрата есть реакция окислителя и восстановителя, проходящая на некоторой поверхности (клеточной мембраны), и в системе мембрана — гомогенная среда реализуются равновесия

А+З.ов,;

А + С.оС.

(6)

где - свободная от субстрата и окислителя (например, кислорода) поверхность мембраны; в., С,, в,, С, - объемные и поверхностные концентрации, соответственно, субстрата (восстановителя) и окислителя; А, = А+в, +С,, А, - общая поверхность мембраны.. Из (6) следует

<Ц ' ..... «11

В равновесии (или для стационарного приближения по и ) система уравнений (7) дает уравнение для удельной скорости роста биомассы при ингибировании высокими концентрациями субстрата

К.К.ахб.

И = к-

или ц = к-

ав.

(8)

"(К,С. +К,8, +1)1 " "р+тв.+бв: *

где

На рис. 1. а представлены зависимости удельной скорости роста биомассы от концентрации субстрата при различных концентрациях окислителя в среде При малых концентрациях субстрата увеличение концентрации окислителя приводит к меньшим значениям . В то же время увеличение концентрации окислителя приводит к тому, что эффект ин-гибирования избытком субстрата начинает проявляться при больших кон-

центрациях субстрата (переход кривой ц = ц(8.) через максимум). Кроме того, удельная скорость роста биомассы ^(в,) имеет большие значения при высоких концентрациях окислителя (С,). Максимум удельной скорости роста биомассы с ростом концентрации окислителя смещается в сторону больших значений и больших значений концентрации субстрата Увеличение К, при постоянных значениях К, и С, приводит к аналогичным зависимостям.

С технологической точки зрения эта информация может быть полез -на при проектировании и эксплуатации аэротенков. Математическая модель прогнозирует следующую динамику системы: по мере движения воды по коридору аэротенка и уменьшения концентрации субстрата высокая концентрация окислителя (кислорода) не дает желаемого результата.

Рис.1. Зависимость удельной скорости роста биомассы от концентрации субстрата в среде (а) при различных концентрациях окислителя (константы равновесия адсорбции субстрата и окислителя приняты постоянными): К, =1; К, =1; С, =1, С, = 2, С, =5, С, =10, С, =50 (этим значениям соответствуют кривые, расположенные снизу вверх при (б) при различных значениях константы равновесия адсорбции субстрата (константа равновесия адсорбции окислителя и концентрация окислителя приняты постоянными); параметры:

(этим значениям соответствуют кривые, расположенные сверху вниз при 1 = 10); здесь переобозначены Б,и

На рис. 1.б представлены зависимости ц(8,), отражающие влияние термодинамического сродства субстрата к поверхности клеточной мембраны (в форме константы равновесия адсорбции Разница в значениях может отражать разный возраст одного вида микроорганизмов или разные виды микроорганизмов, потребляющих один и тот же субстрат. При

обобщении модели константа К, может отражать предпочтения при потреблении разных субстратов. Эти зависимости показывают, что при увеличении К, удельные скорости роста ц(в,) растут при малых концентрациях субстрата, однако ингибирование наступает при меньших концентрациях субстрата. При этом большие значения К, дают более резкий спад в области ингибирования так, что при больших концентрациях субстрата микроорганизмы, имеющие большее термодинамическое сродство к субстрату, имеют значительно меньшую удельную скорость роста ц(5,). Рассмотренная динамика реализуется при постоянном термодинамическом сродстве окислителя к поверхности адсорбции

Симбатное изменение К, и К, дает другую картину (рис.2). Увеличение обоих К, и К, при постоянном значениЯприводит к росту как в области малых концентраций субстрата (до наступления эффекта ин-гибирования субстратом), так и при больших концентрациях субстрата (после наступления эффекта ингибирования субстратом). С увеличением в. эти различия нивелируются. Максимум кривой ц = ц(8,) при одновременном изменении - наступление эффекта ингибирования, соответствует одной и той же концентрации субстрата.

Рис. 2. Зависимость удельной скорости роста биомассы от концентрации субстрата в среде при различных значениях констант равновесия адсорбции субстрата и окислителя (концентрация окислителя принята постоянной): С, =1; К,=К.=1, К,=К, = 2, К,=К( = 5, К,=К,=10,

(этим значениям соответствуют кривые, расположенные снизу вверх); здесь переобозначены Б. ->х и ц^,)-»^), а(х)и-> 8(х).

Уравнения микробиологической кинетики, построенные на основе предположения о конкурентной адсорбции окислителя и восстановителя (субстрата) на поверхности клеточной мембраны, позволяют учесть эндогенный метаболизм. В этом случае уравнение для удельной скорости роста

биомассы с учетом ингибирования избытком субстрата может

быть представлено в виде

Ц = к(8.-5МХС,-См); Я.- К'АЛ'

С. =-

К.А.С.

(9)

К.С.+К.Б,+Г ' КсС.+К;5,+Г

- концентрации субстрата и окислителя на поверхности адсорбции; Б,, С, - объемные концентрации субстрата и окислителя в среде; К,, К, константы равновесия адсорбции субстрата и окислителя; - удельная поверхность адсорбции (в случае суспензии отдельных клеток величина пропорциональная биомассе); 5М, См - концентрации субстрата и окислителя, потребляемые на процессы эндогенного метаболизма.

На рис. 3 представлены зависимости удельной скорости роста биомассы с учетом ингибирования большими концентрациями субстрата и эндогенного метаболизма, по субстрату и окислителю (9). Рост биомассы возможен (ц(8,)>0), если концентрация субстрата превышает Б,,. В то же время ингибирование избытком субстрата приводит к тому, что рост биомассы прекращается при превышении концентрации субстрата в среде некоторого значения. В модели ингибирования избытком субстрата без учета эндогенного метаболизма удельная скорость роста биомассы асимптотически стремилась к нулю при росте концентрации субстрата в среде (ц(8.)-»0). При учете эндогенного метаболизма по субстрату и окислителю нулевое значение (ф»») достигается при определенной концентрации субстрата в среде Недостаток субстрата и его избыток приводят к отрицательным значениям удельной скорости роста биомассы.

Рис. 3. Зависимость удельной скорости роста биомассы от концентрации субстрата в среде при различных значениях концентрации окислителя в среде и одинаковых значениях других параметров:

здесь переобозначены и

ц(8,)->ц(у), а(у), р(у), соответственно, при С» =0,5, С, =1, С, =2

Кинетическая интерпретация уравнения Моно ограничивается системой определенных допущений, рассмотренных выше. В связи с этим

предпринята попытка разработать модель роста биомассы и потребления субстрата без рассмотрения стадии образования на поверхности клеточной мембраны адсорбционного комплекса. Задача сформулирована в виде схемы квазихимических уравнений

8 + х-*ах + Ьр, (10)

где Б - субстрат, * - биомасса, а - стехиометрический коэффициент (1/а экономический коэффициент), Ьр - потребление субстрата на метаболизм поддержания. Уравнение кинетики второго порядка имеет вид

^=к(8.-ахХ*.+х), (11)

где в,, х,, 8 = 8, - ах, х = х, +х - начальные и текущие концентрации субстрата и биомассы.

Интегрирование (11) дает уравнение для концентрации биомассы (12), которое описывает рост биомассы для фазы экспоненциального роста и стационарной фазы (рис. 4). Начальный вогнутый участок кривой сменяется конечным выпуклым участком: в точке перегиба скорость прироста биомассы максимальна.

0 01 04 06 Ot I

• t I

Рис. 4. Зависимость роста биомассы во времени в периодическом реакторе (уравнение (12)): e(t): х,=1; а = 0,1; S, =10; k = l; p(t): х, =1; а = 0,5; S, =10; k = l; y(t): х,=1; а = 0,1; S,=2; к = 1; s(t): х,=1; « = 1; S.=l; k = l.

В третьей главе представлено решение задачи определения критерия выбора по экспериментальным данным кинетического уравнения для проектирования среди класса уравнений для удельной скорости роста биомассы, в частности Моно, Тиссье, Мозера и Контуа.

Для проточного реактора полного перемешивания (хемостата) с рециркуляцией для кинетики Моно математическая модель формулируется в

виде системы дифференциальных уравнений (в безразмерных переменных

(13)

(14)

Стационарное состояние огоелеляегся копиями тоавнении а(1 - ЬЬ'-11 + а(1 - Ь(1 -8)Яп + аН8 = 0;

-[(1 + а)-Ь(а(8 + О+г^-ьСа^+ !)+!)}= О. (15)

а

Устойчивость стационарного состояния устанавливали, вычисляя Якобиан системы (13)

3 =

а£=_п__эк_ .

54 ' ал '

Э£

54 эн

а., ан

а4 ал

ан

34;

1 и . ан

+ Эт1 а^ + п)1

-Ь

и определяя характер корней характеристического уравнения

а„-А.

-X

= 0,

(16)

(17)

ЭК эн эн

где а„= — Э4 9 1-Г » а1| =— 11 Э4 9

- значения в стацио-

нарном состоянии. Оценка устойчивости стационарного состояния рассмотрена на примере: (считая за моль микроорганизмов усредненный химический состав по органическим веществам, приведенный к формуле С,Н,РЮ,); ц„„=0,4 сут'1; ч = ОД сут"1

моль/моль (литературные данные для анаэробной переработки осадка). Для этого примера корни — действительные, различные и одного знака (оба отрицательные), т.е. стационарное состояние является устойчивым узлом.

Пример фазового портрета системы (13) приведен на рис. 5. Анализ фазовых портретов для некоторых значений параметров g, h и а показал, что уменьшение параметра а приводит к смещению стационарного состояния в область малых концентраций субстрата, т.е. смещение стационарного состояния в область большого потребления субстрата можно получить, увеличивая поток биомассы и снижая поток субстрата на входе реактора.

Другой технологический параметр, который позволяет регулировать работу реактора — это параметр И.. Он представляет собою отношение расхода через реактор к максимальной скорости роста биомассы. Уменьшение расхода приводит к снижению h и к смещению стационарного состояния в область большого потребления субстрата и низких его концентраций. Смещение стационарного состояния процесса при постоянных значениях технологических параметров дает информацию об изменении активности микроорганизмов, поскольку в параметры модели и входят величи-

ны

которые определяют активность биомассы.

В других задачах анализируются стационарные состояния хемостата без рециркуляции в случае кинетики Моно, Тиссье, Мозера и Контуа:

Результаты расчетов представлены в таблице. Они показывают, что в качестве критерия выбора уравнения кинетики наиболее информативным параметром является концентрация субстрата на выходе хемостата- Следу-

ет отметить, что уравнение Контуа требует еще одну константу, которую необходимо определять экспериментально.

Таблица

Параметры стационарного состояния хемостата без рециркуляции

Модель кинетики Концентрация биомассы Концентрация субстрата

безразмерная (О размерная (*'), ммоль/л безразмерная (Ч-) размерная (S-), ммоль/л

Уравнение Моно 1,0 6,0 5,010"3 1,0-10*

Уравнение Тиссье 1,0 5,97 4,3-Ю"3 0,86

Уравнение Мозера 1,0 5,96 0,71-10'2 1,41

Уравнение Контуа 0,97 5,78 3,2-10'2 6,35

Система дифференциальных уравнений для процесса с субстратным

ингибированием имеет вид (в безразмерных переменных £ =

т, = А; T = kKcKsa,t; Ф = s, а,

ё-чйт"-** S-^riSr*-*** <22)

<PYX2/SS.1

Кг

—; А, = <и (а - удельная по-

где А= *; В=—ф +-; 11 = —

Кд К^,' кК.

верхность клеток биомассы). Эта система уравнений имеет два типа стационарных состояний: неустойчивые — седло; устойчивые — узел. Фазовые портреты (рис. 6) иллюстрируют эту ситуацию. Возможны ситуации, когда состояние «вымывания» биомассы является неустойчивым (седловая точка) ив то же. время другого стационарного состояния не существует. В этом случае рост биомассы (в рамках модели) является неограниченным.

При учете эндогенного метаболизма система уравнений (22) принимает вид

йх '(в+ч) В + Ч В+Ч

<23>

ЙТ [ (В + Т)) В + Ч В + П .1

где А, =

_ Фужя8« . д _ <PMyx/SSÍ .

к;

А,=

К Ja '

а4 =

_ <PmVMs# .

КсК5о' '

параметры оп-

kK^KjGt

ределяют эндогенный метаболизм. Характеристическое уравнение имеет

максимальное число корней, равное трем. На рис. 6.б проиллюстрирована ситуация, отвечающая трем стационарным состояниям, два из которых представляют собою устойчивый узел, а одно (промежуточное): неустойчивое является седловой точкой.

Рис. 6. Фазовый портрет системы дифференциальных уравнений (а) - (22) при следующих значениях констант A = l,25; В=0,4; h = 0,2; (б) - (23) при следующих значениях констант А, =0,5, А, =0,1, А, =0,2, А, =0,5, As = 0,1, А, = 0,4, В = 0,1 (константы вычислены для случая Ks = 1; Кс = 1; С.» = 1; S„ =5 И Yx/S=0,5)

Сравнение фазовых портретов показало, что уменьшение константы А, приводит к смещению устойчивого стационарного состояния (узел), отвечающего малым значениям биомассы и большим значениям концентрации субстрата, в область больших значений биомассы и меньших значений концентрации субстрата. Так как в коэффициент А, входит параметр, отвечающий за эндогенный метаболизм субстрата такое смещение вполне закономерно для производства биомассы, т.е. уменьшение потребления субстрата на «непроизводительные» расходы должно приводить к большим значениям производства биомассы (при прочих равных условиях). Увеличение прироста биомассы приводит в целом к увеличению потребления субстрата, т.е. концентрация субстрата в стационарном состоянии оказывается меньше. Другое устойчивое стационарное состояние (узел), соответствующее большим значениям производства биомассы и малым значениям концентрации субстрата на выходе хемостата практически остается неизменным и слабо реагирует на потребление субстрата «на собственные нужды». Неустойчивое стационарное состояние (седло) при уменьшении смещается в область меньших значений биомассы и больших концентраций субстрата на выходе хемостата, причем область притяжения первого стационарного состояния - узла, сокращается, а второго узела расширяется.

В четвертой главе представлены разработанные математические модели внутривидовой конкуренции между микроорганизмами за пищевые ресурсы. В случае математического моделирования внутривидовой конкуренции задача осложняется по сравнению с межвидовыми взаимодействиями типа «хищник - жертва» представлением механизма снижения активности микробиологической популяции при увеличении ее плотности.

Предложен подход, в рамках которого математические модели строятся для целей исследования, т.е. при качественном согласии эволюции системы и модели ставятся в соответствие механизм взаимодействия элементов системы и допущения, принятые при формулировке модели. Качественное согласие предполагаемых модельных механизмов и свойств системы позволяет на следующем шаге перейти к достижению количественного согласия путем расчета значений кинетических констант и коэффициентов по имеющимся экспериментальным данным. Решение задач в такой постановке является наиболее информативным для целей управления технологическими процессами. В рамках данного подхода изучены возможности различных моделей в форме представления различных механизмов взаимодействия и рассмотрен ряд задач внутривидовой конкуренции за пищевые ресурсы, последовательное усложнение которых предполагает определенный механизм процесса.

В наиболее простой постановке задача конкуренции за ресурсы представлена уравнением

(24)

где - безразмерные концентрации биомассы, субстрата (или лими-

тирующего рост вещества), - и субстрата, расходуемого на эндогенный метаболизм, к - кинетическая константа или удельная скорость роста. За основу модели принят наиболее простой механизм: более высокая концентрация ресурсов дает более высокую скорость роста. Скорость исчерпания ресурса задана уравнением

(25)

которое определяется следующим механизмом: увеличение плотности популяции приводит к пропорциональному росту скорости убыли пищевого ресурса. В уравнении (24) взаимодействие ресурс - потребитель описывается в форме закона действующих масс. Иллюстрация интегральных кривых х = х(<) и а = а^) приведена на рис. 7.а.

Сравнение интегральных кривых при различных значениях параметров показало, что увеличение экономического коэффициента приводит к более резкому росту биомассы и, в то же время, к более быстрому расходованию ресурса, так что убыль биомассы начинается раньше. Установлено, что не только экономический коэффициент влияет на характер зависимости но и значения констант Значения одинаковы

ат

1101 ь

для одного значения экономического коэффициента, но время достижения разное; время исчерпания ресурса определяется значением константы к, В некоторый момент времени количество оставшегося ресурса может обеспечить только эндогенный метаболизм, после чего численность популяции микроорганизмов начинает снижаться за счет отрицательных значений члена

Скорость потребления ресурса может зависеть не только от концентрации биомассы, но и от наличного или израсходованного ресурса. Если предположить, что в начальный стадии, когда пищевой ресурс практически не расходован, скорость его потребления относительно мала, тогда в первом приближении уравнение (25) можно модифицировать, приведя к виду

^=-k,*(l-a). (26)

Иллюстрация функций x = x(t) и a = a(t) приведена на рис. (р = 7.)б Представленные зависимости отражают следующую ситуацию: уменьшение ресурса приводит к ужесточению конкуренции, что приводит к резко -му спаду зависимости после достижения максимального значения

концентрации биомассы (х = х„„). Характер зависимости сохраняется при P = const*0.

А а I» А а 100

Рис. 7. Характер зависимостей x=x(t) и a = a(t) (г„,, и г.,): (а) при значениях констант к, = 2, к, = 0,1 и начальных условиях х, = 0,1, а, = 0,99; р = const = 0,5 для системы (24), (25); (б) при значениях констант к, =2, к, =0,1 и начальных условиях х, =0,1, а, =0,99; р = const = 0 для системы (24), (26)

Если предположить, что при большом количестве ресурса скорость его потребления является относительно большой величиной, а при уменьшении ресурса скорость его потребления снижается (более экономное расходование), т.е. скорость потребление ресурса зависит не только от кон-

центрации биомассы, но и от наличного ресурса. Тогда данная ситуация в первом приближении может быть отражена уравнением

(27)

это можно трактовать так, что ужесточение конкуренции за ресурс приводит к более экономному его расходованию. Здесь зависимость х = х^) спадает более плавно, чем нарастает (рис. 8.а)

Если исключить эндогенный метаболизм (0 = 0) и ввести зависимость скорости потребления субстрата от его наличной концентрации -уравнение (27), тогда будут отсутствовать механизмы, приводящие к убыли биомассы. Зависимость х = х(|) выходит на стационарную фазу, т.е. количество биомассы остается постоянным при нулевом пищевом ресурсе (рис. 8.б).

Приведенное рассмотрение показывает, что достаточно простые гипотетические механизмы внутривидовой конкуренции за пищевые ресурсы позволяют отразить определенную эволюцию закрытой (нуль-мерной) системы, т.е. модель может быть инструментом исследования механизмов внутривидового взаимодействия и потребления ресурсов.

0 so 100 0 50 100

А I 100 ,0. • 100

Рис. 8. Характер зависимостей х = х(0 и a = a(t) (zM и для системы уравнений (24), (27): (а) при значениях констант к, =4, к, =0,2 и начальных условиях xt = 0,1, а, =0,99; р=const = 0,2; (б) при значениях констант к, = 2, к, = 0,2 и начальных условиях х, = 0,1, а, = 0,99; р = const = 0

Рассмотрен механизм: при снижении концентрации ресурсов затраты на эндогенный метаболизм возрастают; ({1*const) система дифференциальных уравнений имеет вид

£=к,(а-р)х; ^ = -к,ха; ^ = к,х. (28)

Последнее уравнение (28) постулирует рост энергетических затрат на «добывание» ресурса при увеличении плотности популяции микроорганизмов («эффект тесноты»). Влияние кинетических констант в этой задаче анало-

гично рассмотренному в предыдущих. Особенностью данной системы является то, что концентрация биомассы может стать нулевой при неполном расходовании пищевого ресурса (рис. 9).

б>-,-1-1-1-

о ■ loo

Рис. 9. Характер зависимостей x = i(t), a = a(t) и p = p(t) (z.,, z.,, z„ ,) при значениях k,=2, k,=0,2, k3=0,l и начальных условиях x, =0,1, a, = 0,99; p, = 0,1 для системы (28)

Задача для хемостата при наличии потоков субстрата и биомассы сформулирована в виде системы дифференциальных уравнений

^=k,(a-p>c-hi; — = -к,ха + ь(а,-а); ^=к,х-к4а; (29) at at at

здесь третье уравнение содержит член -к4а, который отражает тот факт, что уменьшение концентрации субстрата приводит к увеличению энергетических затрат на его потребление («добывание ресурса»). Предварительно решение этой задачи рассмотрено для нуль-мерной системы (h = 0). Зависимости роста биомассы при определенных значениях кинетических констант и начальных условиях являются циклическими, причем каждый цикл роста и отмирания биомассы сопровождается ступенчатым уменынением концентрации субстрата (рис. 10). Циклический характер имеет зависимость что определяется циклическим изменением x = x(t). На больших промежутках времени (рис. 10.б) видно, что характер циклов роста и отмирания биомассы меняется - уменьшается частота циклов. На рис. 11 показано, что режим может быть устойчивым и неустойчивым - фокус. На рис. 12 показаны интегральные кривые x = x(t), a = a(t), по которым достигается устойчивое стационарное состояние (фокус): при разных начальных значениях концентрации субстрата стационарные состояния по биомассе и концентрации субстрата различны.

Рассмотрена задача, в которой третье уравнение системы (29) заменено на уравнение

(30)

константа может отражать (в первом приближении) накопление отрицательных факторов в среде с течением времени. В этом случае также возможно достижение стационарного состояния, которое отличается от стационарного состояния при меньшими значениями концентрации биомассы и большими концентрациями субстрата. Математическая модель хемостата может быть модифицирована, если принять, что удельная скорость прироста биомассы определяется уравнением Моно или уравнением, учитывающим ингибирование избытком субстрата. Система дифференциальных уравнений в этих двух случаях будет иметь вид

В этом случае стационарные состояния могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Качественно интегральные кривые x = x(t), a = a(t), 0 = p(t) систем (31), (32) и (33).

Рис. 13. Характер зависимостей х = х(0, а = а^) и р = р(0(г.,,, г,А, I.,,) при значениях к,=2, к, =0,2, к, =0,1, к4=0,1, 11 = 0,5, у = 0,01, Км=1 (а), к,=2; к,=0,2, к, =0,1, к4 =0,1, Ь = 0,1, у = 0,01, Км=1 (б) и начальных условиях х, =0,1, а, =3; р, =0,1 для системы (31)

О 100 200 300 400 500 О 100 200 300 400 300

0 ■ 500 0 в 500

Рис. 14. Характер зависимостей х = л(0, а = а^) и 0 = р(О(2.,и 2„,2> г, ,) при значениях к, =4, к, =0,5, к, =0,1, к, = 0,1, Ь = 0,5, у = 0,01, Км =1, р = 1; я = 1 (а), к, =4, к, =0,5, к,=0,1, к4=0,1, Ь = 0,5, у = 0,01, Км=1, р = 0,3; ч = 03 (б) и начальных условиях х, =0,1, а, = 3; р, =0,1 для системы (32)

ВЫВОДЫ

1. Анализ математических моделей микробиологической кинетики показал, что уравнения, положенные в их основу, считаются эмпирическими; в связи с эмпирическим характером уравнений микробиологической кинетики существует проблема установления границ их применимости в проектных расчетах.

2. Уравнение Моно является теоретически обоснованным при следующем допущении: кинетика потребления субстрата микроорганизмами определяется равновесием или стационарностью стадии адсорбции его на поверхности клетки; за рамками этого допущения уравнение Моно должно считаться эмпирическим.

3. Разработаны принципы вывода уравнений мультипликативной микробиологической кинетики в форме уравнений конкурентной адсорбции для процесса ингибирования потребления субстрата его избытком; показано, что для обоснования данного класса уравнений нет необходимости вводить предположение о неактивных формах фермент-субстратного комплекса.

4. Исследование математической модели на основе уравнения кинетики с ингибированием избытком субстрата с учетом эндогенного метаболизма показало, что существуют минимальные и максимальные концентрации субстрата, приводящие к отмиранию биомассы.

5. Проанализированы методы построения математических моделей на основе уравнений квазихимических реакций в форме уравнений Моно, ингибирования избытком субстрата и уравнения второго кинетического порядка; показано, что уравнение второго кинетического по-

рядка позволяет описать три стадии роста культуры микроорганизмов: фазы замедленного и экспоненциального роста и стационарную фазу.

6. Поставлена и решена задача установления экспериментального критерия выбора уравнения микробиологической кинетики; показано, что наибольшие различия между уравнениями проявляются по параметру концентрации субстрата на выходе хемостата.

7. Методами качественной теории дифференциальных уравнений исследованы режимы хемостата для математических моделей на основе уравнений кинетики Моно, Тиссье, Мозера, Контуа и ингибирова-ния избытком субстрата; показано, что для хемостата с кинетикой Моно, Тиссье, Мозера и Контуа существует одно стационарное состояние - устойчивый узел; для ингибирования избытком субстрата - три: одно - неустойчивое (седловая точка), и два устойчивых (узлы).

8. Разработаны математические модели внутривидовой конкуренции между микроорганизмами за пищевые ресурсы на основе квазихимических уравнений: в уравнении роста биомассы учтено потребление субстрата на эндогенный метаболизм; в кинетическом уравнении убыли пищевого ресурса отражены ситуации: скорость пропорциональна биомассе, скорость пропорциональна биомассе и израсходованному ресурсу (уменьшение ресурса приводит к ужесточению конкуренции: увеличение потребления в целях накопления); скорость пропорциональна биомассе и наличному ресурсу (согласованное поведение: уменьшение ресурса приводит к более экономному его расходованию).

9. Разработаны математические модели, в которых учтен рост потребления субстрата на эндогенный метаболизм в зависимости от плотности биомассы и концентрации наличного субстрата (уменьшение ресурса приводит к росту энергозатрат на его потребление); показано, что в этих моделях отмирание биомассы может происходить при ненулевом пищевом ресурсе; исследованы стационарные состояния хемостата (программа MathCad); показано, что они могут быть устойчивыми и неустойчивыми фокусами, а интегральные кривые характеризуются цикличностью.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Лукашев Е.А., Малышева А.Г., Ламари К.М. Анализ допущений в математических моделях сбраживания осадка сточных вод// Экспресс-информация. Инженерное обеспечение объектов строительства. М.: ВНИИНТПИ Госстроя РФ, 2002, № 3. - С. 23 - 35.

2. Лукашев Е.А., Ламари К.М. Квазихимические уравнения микробио-университете логической кинетики. 1. Вывод и обоснование

уравнения моно // Теоретические и прикладные проблемы сервиса. 2003, №3.-С. 9-13.

3. Лукашев Е.А., Ламари К.М. Математические модели процесса биологической очистки сточных вод предприятий сервиса. 1. Анализ

допущений уравнения Моно// Тезисы докладов УШ-й международной научно-практической конференции «Наука - сервису». М., 2003. - С. 83 - 85.

4. Лукашев Е.А., Ламари К.М. Математические модели процесса био логической очистки сточных вод предприятий сервиса. 2. Критерий выбора кинетического уравнения// Тезисы докладов УШ-й международной научно-практической конференции «Наука - сервису». М., 2003.-С. 86-88.

5. Лукашев Е.А., Ламари К.М. Квазихимические уравнения микробио-

логической кинетики. 2. Вывод и обоснование уравнения ингибиро-вания высокими концентрациями субстрата// Теоретические и прикладные проблемы сервиса. 2004, № 1 (10). - С. 20 - 28.

6. Ламари К.М., Малышева А.Г., Лукашев Е.А. О математических моделях внутривидовой конкуренции в процессах биологической очистки сточных вод// Тезисы докладов 1Х-й международной научно-

практической конференции «Наука - сервису». М., 2004. - С. 31 - 33.

7. Ламари К.М., Малышева А.Г., Лукашев ЕА Моделирование микробиологической кинетики с учетом эндогеннного метаболизма// Теоретические и прикладные проблемы сервиса. 2004, № 3. - С. 38 - 43.

1И 3 558

ЛАМАРИ Кхайри Мухамед

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КИНЕТИКИ

БИОТРАНСФОРМАЦИИ ОРГАНИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ СТОЧНЫХ ВОД КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Лицензия ИД № 04205 от 06.03.2001 г.

Сдано в производство 01.06.2004 Объем 1,75 п.л. Формат 60x84/16

Тираж 100 Изд. №108 Заказ 108

Московский государственный университет сервиса 141221, Московская обл., Пушкинский р-он. пос. Черкизово, ул. Главная, 99

© ГОУВПО «МГУС», 2004

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ОБОРУДОВАНИЯ ОЧИСТКИ КОММУНАЛЬНЫХ СТОЧНЫХ ВОД И ПЕРЕРАБОТКИ ОСАДКА.

1.1. Базовые модели микробиологической кинетики — нуль-мерные модели.

1.1.1. Основные понятия и уравнения.

1.1.2. Уравнения для удельной скорости роста биомассы.

1.2. Базовые модели проточных систем биосинтеза.

1.2.1. Математические модели хемостата.

1.2.2. Математические модели с рециркуляцией и закреплением микрофлоры.

1.2.3. Базовые модели распределенных систем.

1.3. Математические модели процессов биотрансформации.

1.3.1. Моделирование аэробных процессов биологической очистки.

1.3.2. Моделирование анаэробных процессов сбраживания осадка.

1 А. Анализ проблем математического моделирования микробиологических процессов и постановка задачи исследования

ГЛАВА 2. ВЫВОД, ОБОСНОВАНИЕ И АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ

УРАВНЕНРШ МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ.

2.1. Уравнение Моно как форма уравнения изотермы адсорбции

Ленгмюра.

2.2. Учет в уравнении Моно превращения субстрата в продукт метаболизма.

2.3. Вывод и обоснование уравнения субстратного ингибирования в форме уравнения конкурентной адсорбции.

2.4. Исследование уравнения субстратного ингибирования в форме уравнения конкурентной адсорбции.

2.5. Моделирование процессов микробиологической кинетики с учетом эндогенного метаболизма.

2.6. Уравнение микробиологической кинетики в форме уравнения второго порядка для роста биомассы.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

МИКРОБИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, РЕАЛИЗУЕМЫХ В РЕЖИМЕ ХЕМОСТАТА.

3.1. Анализ стационарных состояний хемостата для процесса, подчиняющегося кинетическому уравнению Моно.

3.1.1. Анализ стационарных состояний хемостата для процесса с рециркуляцией, подчиняющегося кинетическому уравнению Моно.

3.1.2. Анализ стационарных состояний хемостата для процесса без рециркуляции, подчиняющегося кинетическому уравнению Моно.

3.2. Анализ стационарных состояний хемостата для процесса, подчиняющегося кинетическому уравнению Тиссье.

3.3. Анализ стационарных состояний хемостата для процесса, подчиняющегося кинетическому уравнению Мозера.

3.4. Анализ стационарных состояний хемостата для процесса, подчиняющегося кинетическому уравнению Контуа.

3.5. Анализ стационарных состояний хемостата для процесса с субстратным ингибированием.

3.6. Анализ стационарных состояний хемостата для процесса с субстратным ингибированием и учетом эндогенного метаболизма.ИЗ

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОНКУРЕНЦИИ

МЕЖДУ МИКРООРГАНИЗМАМИ ЗА РЕСУРСЫ.

4.1. Математическая модель роста биомассы с учетом конкуренции за субстрат.

4.2. Математическая модель роста биомассы с учетом конкуренции за субстрат и ростом потребления субстрата на эндогенный метаболизм.

4.3. Математическая модель роста биомассы в хемостате с учетом конкуренции за субстрат.

4.4. Математическая модель роста биомассы с учетом ингибирования избытком субстрата на начальных стадиях процесса и конкуренции за субстрат на конечных стадиях процесса.

ВЫВОДЫ.

Диссертация посвящена анализу и разработке математических моделей кинетики микробиологических процессов, используемых при проектировании станций биологической очистки коммунальных сточных вод и переработки осадка

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. В Ливийской Джамахирии коммунальное хозяйство сталкивается с широким кругом проблем, особенно в области водоснабжения и канализации. В настоящее время стоят задачи реконструкции систем канализации, очистки сточных вод, сброса очищенных сточных вод в море и переработки осадка. Решение таких задач требует наиболее полного использования международного опыта. Различия климатических условий и сфер производственной деятельности населения требуют адаптации технологических и инженерных решений. Для решения этих задач широко используются методы математического моделирования с последующим экспериментальным определением параметров модели. Эти методы дают возможность выбирать оптимальные инженерные и технологические решения, устанавливать область допустимых значений технологических параметров. Методы математического моделирования биосистем находят широкое применение для решения ряда задач в смежных областях: фармакологии, токсикологии, санитарии и гигиене (Ершов Ю.А.), экологии (Абросов Н.С., Свирежев Ю.М., Ершов Ю.А.), экологии водоемов и водотоков (Вавилин В.А., Айза-туллин Т.А., Леонов А.В.).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследовать прогностические возможности математических моделей микробиологической кинетики, используемых для теоретического описания технологических процессов биологической очистки сточных вод и переработки осадка. Разработать математические модели, отражающие конкуренцию микроорганизмов за ресурсы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Проанализированы допущения, приводящие к классическому уравнению микробиологической кинетики: уравнению Моно. Уравнение Моно и уравнение ингибирования потребления избытком субстрата построены, исходя из предположения об адсорбции и конкурентной адсорбции как лимитирующей стадии. Полученные уравнения исследованы с учетом метаболизма поддержания (эндогенного метаболизма). Проанализированы принципы построения уравнений микробиологической кинетики на основе квазихимических уравнений; показано, что уравнение кинетики второго порядка может представлять экспоненциальную и стационарную фазы развития культуры микроорганизмов. Методами качественной теории дифференциальных уравнений исследованы стационарные состояния хемостата для случаев представления удельной скорости роста биомассы и потребления субстрата в форме уравнений Моно, Тиссье, Мозера, Контуа и уравнения субстратного ингибирования; предложен критерий выбора уравнения для проектирования по экспериментальным данным. Разработаны и исследованы математические модели внутривидовой конкуренции за ресурсы; показано, что эти модели могут использоваться для изучения механизма микробиологических процессов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ заключается в анализе допущений и применимости уравнений кинетики биотрансформации - уравнений Моно и ингибирования избытком субстрата; определении критерия экспериментальной проверки применимости уравнений кинетики биотрансформации - Моно, Тиссье, Мозера и Контуа; разработке математических моделей внутривидовой конкуренции между микроорганизмами за пищевые ресурсы для исследования механизмов биотрансформации.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСИТСЯ: (1) обзор математических моделей, используемых для теоретического описания процессов микробиологической кинетики в сооружениях биологической очистки сточных вод и переработки осадка; (2) анализ допущений основных уравнений микробиологической кинетики; (3) уравнение конкурентной адсорбции, приводящее к описанию ингибирования избытком субстрата; (4) анализ стационарных состояний хемостата для ряда уравнений микробиологической кинетики; (5) новые математические модели конкуренции между микроорганизмами за пищевые ресурсы.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертационной работы докладывались 8-й и 9-й международных научно-практических конференциях «Наука - сервису», соответственно, в 2003 и 2004 годах.

ПУБЛИКАЦИИ. По результатам исследований опубликовано 4 статьи.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 151 страницу; он включает 115 страниц основного машинописного текста, 71 рисунок, 1 таблицу, выводы, список цитированной литературы (93 наименования); приложение составляет 63 страницы.

ВЫВОДЫ

1. Анализ математических моделей микробиологической кинетики показал, что уравнения, положенные в их основу, считаются эмпирическими; в связи с эмпирическим характером уравнений микробиологической кинетики существует проблема установления границ их применимости в проектных расчетах.

2. Уравнение Моно является теоретически обоснованным при следующем допущении: кинетика потребления субстрата микроорганизмами определяется равновесием или стационарностью стадии адсорбции его на поверхности клетки; за рамками этого допущения уравнение Моно должно считаться эмпирическим.

3. Разработаны принципы вывода уравнений мультипликативной микробиологической кинетики в форме уравнений конкурентной адсорбции для процесса ингибирования потребления субстрата его избытком; показано, что для обоснования данного класса уравнений нет необходимости вводить предположение о неактивных формах фермент-субстратного комплекса.

4. Исследование математической модели на основе уравнения кинетики с ингибированием избытком субстрата с учетом эндогенного метаболизма показало, что существуют минимальные и максимальные концентрации субстрата, приводящие к отмиранию биомассы.

5. Проанализированы методы построения математических моделей на основе уравнений квазихимических реакций в форме уравнений Моно, ингибирования избытком субстрата и уравнения второго кинетического порядка; показано, что уравнение второго кинетического порядка позволяет описать три стадии роста культуры микроорганизмов: фазы замедленного и экспоненциального роста и стационарную фазу.

6. Поставлена и решена задача установления экспериментального критерия выбора уравнения микробиологической кинетики; показано, что наибольшие различия между уравнениями проявляются по параметру концентрации субстрата на выходе хемостата.

7. Методами качественной теории дифференциальных уравнений исследованы режимы хемостата для математических моделей на основе уравнений кинетики Моно, Тиссье, Мозера, Контуа и ингибирования избытком субстрата; показано, что для хемостата с кинетикой Моно, Тиссье, Мозера и Контуа существует одно стационарное состояние -устойчивый узел; для ингибирования избытком субстрата - три: одно -неустойчивое (седловая точка), и два устойчивых (узлы).

8. Разработаны математические модели внутривидовой конкуренции между микроорганизмами за пищевые ресурсы на основе квазихимических уравнений: в уравнении роста биомассы учтено потребление субстрата на эндогенный метаболизм; в кинетическом уравнении убыли пищевого ресурса отражены ситуации: скорость пропорциональна биомассе, скорость пропорциональна биомассе и израсходованному ресурсу (уменьшение ресурса приводит к ужесточению конкуренции: увеличение потребления в целях накопления); скорость пропорциональна биомассе и наличному ресурсу (согласованное поведение: уменьшение ресурса приводит к более экономному его расходованию).

9. Разработаны математические модели, в которых учтен рост потребления субстрата на эндогенный метаболизм в зависимости от плотности биомассы и концентрации наличного субстрата (уменьшение ресурса приводит к росту энергозатрат на его потребление); показано, что в этих моделях отмирание биомассы может происходить при ненулевом пищевом ресурсе; исследованы стационарные состояния хемостата (программа MathCad); показано, что они могут быть устойчивыми и неустойчивыми фокусами, а интегральные кривые характеризуются цикличностью.

143

1. Первушин Ю.В., Бобров О.Г. Математическое моделирование систем и процессов биологической очистки стоков// Обзорная информация. М.: НИИТЭХИМ, 1990, № 2 (93), 113 с.

2. Бирюков В.В., Кантере В.М. Оптимизация периодических процессов микробиологического синтеза. М.: Наука, 1985, 292 с.

3. Перт С.Д. Основы культивирования микроорганизмов и клеток. М.: Мир, 1978,331с.

4. Басканьян И.А., Бирюков В.В., Крылов Ю.М. Математическое описание основных кинетических закономерностей процесса культивирования микроорганизмов// Итоги науки и техники. Микробиология. М.: ВИНИТИ, 1976, т. 5, С. 5 75.

5. Бирюков В.В. Микрокинетические модели многосубстратного лимитирования и ингибирования в микробиологических процессах// Лимитирование и ингибирование процессов роста и микробиологического синтеза. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1976, С. 18 31.

6. Печуркин Н.С. Популяционная микробиология. Новосибирск: Наука, 1978,277 с.

7. Свирижев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Мир, 1987, 366 с.

8. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985, 181 с.

9. Абросов Н.С., Ковров Б.Г. Анализ фазовой структуры трофического уровня одноклеточных. Новосибирск: Наука, 1977, 190 с.

10. Абросов Н.С., Ковров Б.Г., Черепанов О.А. Экологические механизмы сосуществования и видовой регуляции. Новосибирск: Наука, 1982, 301 с.

11. Абросов Н.С., Боголюбов А.Г. Экологические и генетические закономерности сосуществования и коэволюции видов. Новосибирск: Наука, 1988, 327 с.

12. Алексее В.В. Биофизика собществ живых организмов// Успехи физических наук, 1976, т. 120, № 4, С. 647 676.

13. Айзатуллин Т.А., Шамардина И.П. Математическое моделирование экосистем континентальных водотоков и водоемов// Итоги наука и техники. Общая биология. Биоценология. Гидробиология. М.: ВИНИТИ, 1980, т. 5, С. 154-232.

14. Ляпунов А.А. О математическом моделировании в проблеме «Человек и биосфера»// Моделирование биогеоценотических процессов. М.: Наука, 1981, С. 5-29.

15. Галицкий В.В., Тюрюканов А.Н. О методологических предпосылках моделирования в биогеоценологии// Моделирование биогеоценотических процессов. М.: Наука, 1981, С. 29 47.

16. Бейли Дж., Оллис Д. Основы биохимической инженерии. М.: Мир, 1989, т. 1,692 е., т. 2, 590 с.

17. Минкевич И.Г., Ерошин В.К. Закономерности внутриклеточного материально-энергетического баланса роста микроорганизмов// Успехи современной биологии, 1976, т. 82, № 1, С. 103 116.

18. Вавилин В.А. Время оборота биомассы и деструкция органического вещества в системах биологической очистки. М.: Наука, 1986, 143 с.

19. Вавилин В.А. Нелинейные модели биологической очистки и процессы самоочищения в реках. М.: Наука, 1983, 158 с.

20. Вавилин В.А., Васильев В.Б. Математическое моделирование процессов биологической очистки сточных вод активным илом. М.: Наука, 1979, 119 с.

21. Математические модели контроля загрязнения воды/ Ред. А. Джеймс. М.: Мир, 1981,472 с.

22. Музыченко Л.А., Проценко Л.А. Математическая модель гетерофазно-го микробиологического синтеза// Микробиологическая промышленность, 1970, №6, С. 21-25.

23. Чернавский Д.С., Иерусалимсий Н.Д. К вопросу об определяющем звене в системе ферментативных реакций// Изв. АН СССР, сер. биолог., 1965, №5, С. 666-676.

24. Блохина И.Н., Угодчикова Г.А. Исследование динамики микробных популяций (системный подход). Горький: Волго-Вятское кн. изд., 1980, 168 с.

25. Абросов Н.С. Теоретическое исследование механизма регуляции видовой структуры сообщества автотрофных микроорганизмов// Экология, 1975, №6, С. 5-14.

26. Иерусалимский Н.Д., Неронова Н.М. Количественная зависимость между концентрацией продуктов обмена и скоростью роста микроорганизмов// Докл. АН СССР, 1965, т. 161, № 6, С. 1467 1471.

27. Makinney R.E. Microbiology for Sanitary Engineers. N.Y.: McGrow-Hill, 1962, p.

28. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985, 181 с.

29. Verhoff F.H., Sanderasan K.R., Teeney M.W. A mechanism of microbial cell growth// Biotechnology and bioengineering, 1972, v. 14, P. 411 436.

30. Первушин Ю.В. Проницаемость биоструктур// Биофизика, 1989, т. 34, № 1, С.37-41.

31. Monod I. La technique de culture continue, theorie et applications// Ann. Inst. Pusteur, 1950, v. 79, P. 390 410.

32. Novik A., Czilard L. Experiments with the chermostat on spontanecus mutations of bacteria// Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1950, v. 36, P. 708 719.

33. Berger F. Wachstrum von Microorganismen. Jena. Ved Gustav FisherVer-lag. 1972.

34. Степанова H.B., Романовский Ю.М., Иерусалимский Н.Д. Математическое моделирование роста микроорганизмов при непрерывном культивировании//Докл. АН СССР, 1965, т. 163, № 5, С. 1266 1269.

35. Васильев В.Б., Топников В.Е. Динамика процесса биоочистки активным илом// Самоочищение воды и миграция загрязнений по трофической цепи. М.: Наука, 1984. С. 132 - 138.

36. Kus R. Continuous gravity thickening of sludges. //Prof. Water Technol. 1977. V.9.P.291-303.

37. Евилевич M.A., Брагинский JI.И. Оптимизация биохимической очистки сточных вод. М.: Стройиздат. 1979.

38. Bisogni I.I. Lawrence A.W. Relationship between biological colids retention time and settliny charachteristics of activated sludge. // Water Res. 1971. V. 5. N9. P. 753-763.

39. Goodman B.L-, Enhland A.I. A unified model of the activated sludge pro-cess.//Journ. Water Pollut. Contr. Fed.l974.V.46,N2.P.312-332.

40. Grady C.P.L., Roper R.F. A model for the bio-oxidation process with incorporates the viability consept// Water Res., 1974, v. 8, N 7. P. 471 - 483.

41. Гвоздяк П.И., Дмитриенко Г.И., Куликов Н.И. Очистка промышленных сточных вод прикрепленными микроорганизмами. //Химия и технология воды. 1985. Т. 7. №1. С. 64-68.

42. Pawlowsky V., Howell I.A., Chi С.Т. Mixed culture bio-oxidaiion of phe-nol.-3-exietence of multople steady states in continuous culture with wall growth. //Biotechnol. and Bioeng. 1973, V. 15. N. 5. P. 905-916.

43. Howell I. A., Chi C.T., Pawlowsky V, Effect of wall growth on seal scale-up problems and dynamic operating charachtenstics of the biological reactions. //Biotechnol. and Bioeng. 1972. V. 14, N 2, P. 263-266.

44. Гуревич Ю.Г., Ладыгина В.П. Образование пленок обрастания и устойчивость биодеградации токсичных соединении в проточных системах. //Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л.: Гидрометеоиэдат. 1986. Т. 9. С- 22-30.

45. Галкин Л.М, физические основы диффузии //Моделирование переноса вещества и энергии в природных системах. Новосибирск: Наука. 1984. С. 5-56.

46. Okubo B„ Karweit M.I. Diffusion from continuous source in a uniform shear flow.//Limnology and Oceanography. 1969. V. 14. N 4. P. 514-520.

47. Разжевайкин B.H. Модель стационарной самоочистки проточных водоемов. //Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем, Л.; Гидрометеоиздат, 1985. Т. 7. С. 264—273.

48. Домбровский Ю.А. Маркман Г.С. Пространственная и временная упорядоченность в экологических и биохимических системах. Ростовский ГУ. 1983.

49. Маркман Г.Г. 0 влиянии подвижности компонентов на динамику распределенных систем. //Биофизика. 1985. Т, 30. № 1. С. 149-153.

50. Белинцев Б.Н. Диссипативные структуры и проблемы биологического формообразовании. //Успехи физич. науки.1983. Т. 141 1. С. 55 - 101.

51. Бабский В.Г, Нелинейная диффузия и диссипативные структуры в клеточных популяциях. //Термодинамика необратимых процессов. М.: Наука. 1987-С, 146-152.

52. Шапиро А,П., Луппов С.П. Рекурентные уравнения в теории популя-ционной биологии. М-; Наука. 1983.

53. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А. Романенко Е.Ю. Разностные уравнении и их приложении. Киев: Наукова думка. 1986.

54. Лукашев Е.А., Малышева А.Г., Ламари К.М. Анализ допущений в математических моделях сбраживания осадка сточных вод// Экспресс-информация. Инженерное обеспечение объектов строительства. М.: ВНИИНТПИ Госстроя РФ, 2002, № 3. С. 23 - 35.

55. Лукашев Е.А., Ламари К.М. Квазихимические уравнения микробиологической кинетики. 1. Вывод и обоснование уравнения Моно// Теоретические и прикладные проблемы сервиса. 2003, № 3. С. 9 — 13.

56. Лукашев Е.А., Ламари К.М. Квазихимические уравнения микробиологической кинетики. 2. Вывод и обоснование уравнения ингибирования высокими концентрациями субстрата// Теоретические и прикладные проблемы сервиса. 2004, № 1 (10). С. 20 - 28.

57. Ламари К.М., Малышева А.Г., Лукашев Е.А. Моделирование микробиологической кинетики с учетом эндогеннного метаболизма// Теоретические и прикладные проблемы сервиса. 2004, № 3. С. 38 - 43.

58. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978. - 310 с.

59. Келети Т. Основы ферментативной кинетики. — М.: Мир, 1990. — 348 с.

60. Эндрюс Дж. Ф. Разработка динамической модели и стратегий управления для процесса анаэробного разложения// Математические модели контроля загрязнения воды. М.: Мир, 1981. - С. 321 — 345.

61. Общая химическая технология. Теоретические основы химической технологии/ Под ред И.П. Мухленова. высшая школа, 1984. — т. 1. -256 с.

62. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М.: Химия, 1972. 190 с.

63. Скрябин Б.Н. Качественное исследование уравнений, описывающих динамику проточного химического реактора (экзотермическая реакция произвольного порядка)// Ученые записки горьковского государственного университета, 1973, Вып. 187, С. 188 206.

64. Федоров Е.Л. Некоторые вопросы качественного исследования математической модели проточного химического реактора с экзотермичеиской реакций вида ^Г А, —> В // Ученые записки горьковского государi=lственного университета, 1973, Вып. 187, С. 207 220.

65. Баутин Н.Н., Лентович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990,488 с.

66. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967,492 с.

67. Яблонский Г.С., Быков В.И., Елохин В.И. Кинетика модельных реакций гетерогенного катализа. Новосибирск, 1984: Наука, 224 с.

68. Быков В.И. Моделирование критических явлений в химической кинетике. М.: Наука, 1988, 263 с.

69. Колебания и бегущие волны в химических системах/ Ред. Р. Филд, М. Бургер/ Пер. с англ./ Под ред А.М. Жаботинского. М.: Мир, 1988, 720 с.

70. Лукашев Е.А., Смагин В.Н. Исследование особенностей последовательности реакций при дехлорировании воды на гранулированных пористых углях// Химия и технология воды, 1991, т. 13, № 7, С. 621 623.

71. Данилов В.Г., Логинов A.M., Лукашев Е.А. Нелинейные волны концентрации в задачах сорбции// Математическое моделирование, 2000, т. 12, №8, С. 107-126.

72. Лукашев Е.А. Диффузионная и кинетическая неустойчивость при мас-сопереносе через жидкую мембрану// Химия и технология воды, 1991, т. 13, №6, С. 483-486.

73. Лукашев Е.А. К теории и практическому применению электрокинетических автоколебаний в системах с пористыми мембранами// Коллоидный журнал, 1993, т. 55, № 4, С. 76-81.

74. Лукашев Е.А. К теории и практическому применению электрокинетических автоволновых процессов// Коллоидный журнал, 1993, т. 55, № 5, С. 101-108.

75. Лукашев Е.А. Математическая модель перистальтического транспорта жидкости, инициируемого автоволновым процессом массопереноса через пористую стенку капилляра// Коллоидный журнал, 1993, т. 55, № 5, С. 109-113.

76. Лукашев Е.А. К построению математической модели образования форм эритроцита как автоволнового процесса// Биофизика, 1991, т. 36, № 1, С. 78 -82.

77. Лукашев Е.А. Асимптотическое решение модели форм эритроцита как автоволнового процесса// Биофизика, 1991, т. 36, № 1, С. 78 82.

78. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983,498 с.

79. Карюхина Т.А., Чурбанова И.Н. Химия воды и микробиология. М.: Стройиздат, 1974,224 с.

80. Заварзин Г.А, Трофические связи в метаногенном сообществе. //Изв. АНСССР. Серии биолог. 1986. №3- С. 341-360.

81. Моделирование биогеоценотических процессов. М.: Наука, 1981. 184 с.

82. Ершов Ю.А. Теория цепного роста и ингибирования биологических популяций химическими агентами// Доклады РАН, 1997, т. 352, № 5. -С. 1-4.

83. Ершов Ю.А. Термодинамика квазиравновесий и биологических системах. М.: ВИНИТИ, 1983. 137 с.

84. Ершов Ю.А. Экотоксикологические модели и прогнозирование токсических воздействий на биосистемы// Труды конф. «Математика, компьютер, образование», Дубна, 1996. С. 132 - 137.

85. Фармакокинетика эндогенных веществ в биообъектах/ Ю.А. Ершов, Т.В. Плетнева, Н.Н. Глущенко, С.В. Подстаницкий// Химико-фармацевтический журн., 1993, № 8. С. 3 — 5.

86. Ершов Ю.А., Есменская Н.Б., Плетнева Т.В. Оценка токсического действия некоторых лекарственных препаратов серебра на культуре инфузорий Paramecium caudatum// Химико-фармацевтический журн., 1995, № 11.-С.6-7.

87. Технические записки по проблемам воды. Дегремон. М.: Стройиздат, 1983 г.-т. 1,т.2: 1064 с.

88. Возная Н.Ф. Химия воды и микробиология. М.: Высшая школа, 1979. -342 с.

89. Доливо-Добровольский Л.Б., Кульский Л.А., Накорчевская В.Ф. Химия и микробиология воды. Основы химической и биолгической очистки воды. Киев.: Вища школа, 1971. 306 с.

90. Шлегель Г. Общая микробиология. М.: Мир, 1987. 566 с.

91. Маккарти. Energetics of organic matter degradation in Water pollution microbiologie. Wiley, 1972.

92. Леонов A.B., Сапожннкова В.В. Биогидрохимическая модель трансформации органогенных веществ и ее использование для расчета первичной продукции в экосистеме Охотского моря// Комплексные исследования экосистемы Охотского моря. М.: ВНИРО, 1997, С. 143 166.

93. Леонов А.В., Стыгар О.В. Сезонные изменения концентраций биогенных веществ и биопродуктивность вод северной части Каспийского моря// Водные ресурсы, 1999, т. 26, № 6, С. 743 756.