автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы управления частотой и активной мощностью электроэнергетических объединений

на правах рукописи

Пономарев Алексей Геннадьевич

Математические модели и методы управления частотой и активной мощностью электроэнергетических объединений

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□0305Э47В

Санкт-Петербург - 2007

003059476

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» на кафедре «Системный

анализ и управление»

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Козлов Владимир Николаевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Хименко Виталий Иванович доктор технических наук, профессор Изранцев Виталий Васильевич

Ведущая организация

Московский государственный технический университет им Н Э Баумана

Защита состоится 31 мая 2007 г в 14 час на заседании диссертационного совета Д 212 229 10 ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" по адресу 195251, г Санкт-Петербург, Политехническая ул , д 29, корпус 9 , ауд 535

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «СПбГПУ»

Автореферат разослан 28 апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Кудряшов Э А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность задач Создание крупных электроэнергетических объединений (ЭЭО) типа Единой энергосистемы России, требует разработки математических моделей для управления технологическими режимами станций и линий электропередач

В настоящее время существует ряд исследований, в которых излагаются различные подходы к решению указанной задачи Создание современных автоматизированных систем управления и системных диспетчеров требуют разработки адекватных моделей и методов для комплексного решения проблем оптимального и противоаварийного управления, включая регулирование частоты, мощности и напряжения на основе современных технологических требований

При создании моделей и методов необходимо выделить две важные задачи моделирования - разработка моделей объекта и моделей алгоритмов для управления технологическими режимами, которые в традиционной форме заданы в алгоритмической форме Адекватное моделирование ЭЭО требует учета существенных нелинейностей объекта Задачи моделирования и управления частотой и активной мощностью при ограничениях, заданных технологическими требованиями к режимам ЭЭО, приводят к необходимости моделирования оптимальных управлений на допустимых множествах на основе аналитических моделей и методов оптимизации Нелинейности уравнений объекта и оператора управления приводят к необходимости использования для анализа качественных свойств современных методов функционального анализа Цели и задачи работы заключаются в следующем

1 Разработка нелинейных моделей электроэнергетических систем в форме «вход-состояние-выход» в физических переменных, обобщение моделей объекта управления на основе кусочно-линейных операторов, формирование асимптотических моделей для сокращения размерности вектора состояния и моделей установившихся процессов

2 Разработка моделей и методов для аналитической оптимизации при математическом описании алгоритмов управления ЭЭО для управления частотой и активной мощностью с учетом технологических требований к режимам

3 Исследование качественных свойств замкнутой нелинейной системы управления ЭЭО на основе методов функционального анализа

Методы исследования Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования и вычислительной математики, теории конечномерной оптимизации и теории автоматического управления, методы функционального анализа Научная новизна Научная новизна состоит в следующем 1 Разработаны нелинейные модели электромеханических процессов ЭЭО в базисе физических переменных на основе кусочно-

линейных преобразований (операторов) координат и управлений в исходных линеаризованных уравнениях, асимптотические линейные, кусочно-линейные модели и модели стационарных режимов

2 Синтезированы методы аналитического решения оптимизационных задач проекционного типа на основе канонической формы ограничений (в виде пересечения линейного многообразия и шара) для математического моделирования систем управления частотой и активной мощностью с учетом технологических требований к ЭЭО

3 Сформулированы математические модели замкнутых систем и достаточные условия устойчивости систем управления на основе принципа сжимающих отображений функционального анализа и метода Ляпунова

Достоверность полученных результатов определяется корректным использованием математического аппарата, обоснованностью численных методов, математическим анализом устойчивости

Практическая значимость Основные результаты работы могут использоваться при моделировании и расчете процессов, а также при разработке систем управления частотой и активной мощностью ЭЭО, включая разработку системного диспетчера для решения других задач

Положения диссертационной работы, выносимые на защиту

1 Математические модели в виде нелинейных дифференциальных и разностных уравнений ЭЭО в форме «вход-состояние-выход» в физических переменных на основе кусочно-линейных операторов, включая асимптотические модели, а также модели установившихся режимов

2 Математические модели системы управления для управления частотой и активной мощностью с учетом технологических требований к режимам ЭЭО с описанием алгоритмов управления на основе аналитических методов конечномерной оптимизации

3 Достаточные условия устойчивости замкнутых нелинейных систем управления на основе меюдов функционального анализа

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы были представлены на международных научно-методических конференциях «Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образования и науки», на XIII международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образования и науки», на научно-методической конференции «Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах», на научном семинаре «Кибернетика и информатика», на научных семинарах кафедры «Системный анализ и управление» (20022006 гг),

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ, в том числе одна работа в изданиях, рекомендованных ВАК

Объем и структура работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка (123 наименования) Основной текст работы содержит 120 страниц машинописного текста, включая 8 рисунков и 5 таблиц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности и практической значимости работы, обзор и анализ работ по изучаемой тематике, сформулированы цели и основные задачи исследований, изложены научные результаты работы и положения, выносимые на защиту

В первой главе выполнен обзор и анализ современных математических моделей ЭЭО Анализ позволил установить, что синтез систем управления возможен на основе моделей в базисе физических переменных, описываемых линейными или кусочно-линейными уравнениями в пространстве состояний Отмечена целесообразность построения асимптотических моделей объекта для описания различных движений ЭЭО как объекта

Анализ объекта управления и подходов к математическому моделированию систем управления частотой и активной мощностью ЭЭО позволил сделать вывод о необходимости моделирования систем управления в классе нелинейных локально-оптимальных систем Для вычисления оптимальных управлений обосновано использование методов аналитической оптимизации, для описания алгоритмически заданных управлений замкнутой системы Нелинейность операторов управления, моделей ЭЭО и уравнений замкнутой системы приводит к необходимости исследования качественных свойств и устойчивости методами функционального анализа и теории устойчивости

Во второй главе разработаны обобщенные математические модели электромеханических процессов ЭЭО, на основе которых возможно моделирование систем управления частотой и активной мощностью Исходные линейные модели типа «вход-состояние-выход» в базисе физических координат энергетического объединения представляются в форме

где ср1, о>1 - отклонения абсолютного угла и частоты ротора I -ого генератора (эквивалентного агрегата), Т* , Т — приведенная постоянная

механической инерции и постоянная ускорения ротора эквивалентного агрегата, р1 - суммарное приращение мощности /-ой станции,¡и,— внеплановое изменение нагрузки г-ой станции, <т( - величины.

<Р, - о,.

Р,

(1)

характеризующие динамику агрегата (паровой объем и перемещение сервопривода), кт- коэффициент усиления первичного регулятора скорости гурбины, к,- управляющий сигнал На основе уравнений (1) векторы состояния, управлений и внешних воздействий представляются следующим образом

Х = [г/>,й),р,4,<7]г, V =[и,//]г, (р = \<рх,(рг, ,<рп], а> = [щ,а>г, = Ч=[Ч\^1, ,<?„], (2)

а = [апсг2, ,ст„], и = [и,,иг, ,ия],/и = [//,,/¿2, ,//„]

Компоненты вектора перетоков 5 по линиям электропередач определяются равенствами

5 = ,5т], = / = 1,2, ,т (3)

Если в качестве вектора выходных координат К принимается вектор перетоков Б, то дифференциально-алгебраические уравнения «вход-состояние-выход» имеют вид

Х = АХ + Ви, Х(0) = Х0,

(4)

У = СХ,

где Л = ||Л,т||, В = 1|, С = ||С,,|| - блочные матрицы параметров ЭЭО, причем 1,т,г = 1,2, ,5, 5 = 1,2, а клетки А1т, Вг$ имеют размеры п х п

Для разработки нелинейных математических моделей ЭЭО применяются кусочно-линейные операторы непрерывного типа, соответствующие типовым нелинейностям Исходные уравнения ЭЭО типа (1) преобразуются с помощью операторов типовых нелинейностей для учета зоны нечувствительности первичных регуляторов частоты к малым изменениям частоты, а также ограничений на диапазоны изменения величин р:, д,, <Ji В результате нелинейные дифференциальные уравнения ЭЭО можно представить в виде скалярных уравнений в форме «вход-состояние-выход»

+ ' = 1.2, (5)

г-1 у=1

где X и и - векторы состояния и внешних воздействий в форме (2), N = 5п - размер вектора состояния, Ац и Ви - элементы матриц А и В, а

г = ФДх)- кусочно-линейные операторы, представленные в следующей

канонической форме

* = ФД*)=>0уо + а;*+£<1*-*/Д 1,1 = 1,2, ,и (6)

/-1

На основе нелинейных моделей ЭЭО разработаны асимптотические модели и модели режимов, установившихся по определенным группам компонент вектора состояния Данные варианты построения асимптотических моделей разработаны для случаев линейных уравнений состояния, и предложены аналогичные подходы для определенного класса кусочно-линейных уравнений Например, для режима, установившегося по мощности агрегатов (р = 0) уравнения электромеханических процессов примут вид

1 V / \ 1 1

'а! /-1 ш 'ш •'от

(7)

К, II 11

ц ———со,--я+ — сг, <т =--а, +—и„

Ти Та та ти, тш

Вводится вектор состояния Х{, в результате уравнения состояния (2)-(4) для вектора Х] записываются в форме

X1 = л'х' +в'и, Г = С'Х,

X1 ф,а>,д,а]т, и = [и,ц]Т, 5 = [5„52, Д„], (§)

Методика формирования асимптотических моделей ЭЭО приводит к системе

<р, = ®,> °>, = (я ~ ч>, Д,

'ш 'от 'от 'от

(9)

'о ' 1!, *И1

причем обратный оператор в первом уравнении (9) имеет вид (6)

Уравнения (9) могут быть записаны в форме (5), причем соответствующий данной системе вектор состояния будет задан как X = \<р, а),д,ст]Т В результате размерность вектора состояний системы кусочно-линейных уравнений (5) уменьшается на величину п, а кусочно-линейные операторы (9) принимают следующий вид

г = Ф(<7,) = (к,+<7,0Н<7,-<7,°!)/2, г = Ф(®,) = со, - (| со, + со|-| со,- со1' |)/2, (10)

2 = Ф(ст,) = сг, -(| сг, + ст," | -1 <т, - <т," |)/2

В диссертации указаны способы перехода к моделям в дискретном времени для линейных и кусочно-линейных непрерывных моделей в пространстве состояний Разработаны способы определения статических характеристик влияния, следующих из уравнений стационарных (квазистационарных) режимов, получаемых на основе «вход-состояние-выход» с использованием вычисления резольвенты для линейных моделей

В третьей главе рассматриваются математические модели для синтеза систем управления частотой и активной мощностью ЭЭО на основе математических моделей объекта, разработанных во второй главе Заданы технологические требования к режимам работы ЭЭО и канонические ограничений для их задания Регулирование выполняется по величине системной ошибки, учитывающей отклонение частоты и активной мощности

Я = (Д506м+уДй>) (11)

Технологические требования к режимам формулируются в виде ограничений на управляющие воздействия, переменные состояния и выходные координаты

а) регулирования ЭЭО по частоте и обменной мощности

п

£Ди,=-Л, (12)

1=1

б) ограничения перетоков активной мощности ЭЭО по линиям

)<£,-£,, 1 = 1,2, ,т, (13)

1=1

в) ограничения на мощности станций

Р,-Р,^Ьр,=Ьщ-ктЬ.а><р,-р„ 1 = 1,2, ,п, (И)

В формулах (12)-(14) использованы следующие обозначения АЗ',"' = -5"" — отклонение текущего значения обменной мощности

г-ой станции 5,"" = , от заданного значения Дм, - внеплановое

1=1

управление г-ой регулирующей станции, обеспечивающее решение задачи регулирования частоты и активной мощности, а также ограничения перегоков по контролируемым линиям, Дгу—отклонение частоты агрегатов от заданного значения, й> - отклонение суммарной обменной мощности ЭЭО (суммарного перетока по внешним линиям), 5 , , —

соответственно верхнее, нижнее предельные и текущее значения перетоков активной мощности поу-ои линии, Д^ - изменение перетока поу-ои линии

под действием управлений,«^- коэффициенты влияния г-ой станции

(узла) на переток по у-ой линии, п, т — соответственно число регулирующих станций и контролируемых линий в ЭЭО, Ц — число внешних межсистемных линий, связывающих данное ЭЭО с другими, р, р1 р, соответственно верхнее и нижнее предельные и текущее значения

мощности /-ой станции (узла)

Рассмотрены различные варианты формулировки цели управления в зависимости от соответствующих критериев Задача минимизации отклонений мощности регулирующих станций ставится следующим образом найти управления Лн , удовлетворяющие ограничениям (12)-(14) и минимизирующие функционал качества вида

где с, - весовые коэффициенты С учетом уравнений электромеханических процессов и моделей установившихся режимов можно сформулировать задачу найти

Au = arg min{7 = (An - kmAa)TC(Au - knAco) \ IAu = -Л, (S-S)<AAu<(S-S), (p-p)<Au-kmAa<(p-p)}

Функционал и ограничения в (16) записаны в векторно-матричном виде, с использованием обозначений Au =[Ai/[,Ai/2, ,Ди„]Г - вектор

управляющих воздействий станций, Аи - оптимальное значение вектора управления, C = dtag(c{,c2, ,сп) - диагональная матрица весовых коэффициентов, / = [1,1, ,1] - вектор размера (/7x1) с единичными элементами, S = , S2, ,5';)1]7 - вектор перетоков, S и S - векторы верхних и нижних предельных значений перетоков, р = [/>,,р2, ,/)„]' -вектор узловых мощностей, р и р - векторы верхних и нижних предельных значений мощностей, кт- вектор коэффициентов усиления первичных регуляторов станций, Ä = |a„|eÄ°"<" - матрица коэффициентов

влияния В результате комплекс задач управления технологическими режимами ЭЭО представляется в виде модели минимизации отклонений от заданных соотношений

Пусть динамика ЭЭО в дискретном времени описывается следующими уравнениями

л

(15)

хк+1 = 11хк + Fllk. У к = Схк. хк=0 = х0

(17)

Предполагается, что управления формируются статическими (безинерционпыми) регуляюрами по закону

ик = Гик (хк), Г е К"

(18)

Модель формирования управлений ЭЭО в дискретном времени формулируется следующим образом найти вектор управлений и'к, минимизирующий функционал

1 = (УМ)Т0(Уш)+Ч--и°к)

при ограничениях

1ик = -лк, у; <ук1]< у;, ик < ик < «;

(19)

(20)

В соответствии с (12)-(14), вечичины, характеризующие ограничения в к -ый момент времени, зависят от компонент вектора состояния системы, и определяются соотношениями

Лк=(А5°б\+ГАа>к), у; У; = Бк-8,

щ = Рк - Р + КАЧ, и*к=рк-р + ка1Асак

(21)

Матрицы Q \\ Л функционала качества (19) — диагональные и положительно определенные матрицы, соответствующие весовым коэффициентам в (15), их значения, а также вектор и\ зависит от цели управления

Для решения задач оптимизации (19) - (21) предложена нелинейная локально-оптимальная модель системы управления Вектор расширенных координат вводится в виде

Ум

.

Тогда можно записать следующее ограничение для вектора гк

- (—Е А2к=Ьк, А = -

хм'

Ограничения (20) приводятся к виду

ШУ-Ш 9

0„я, I

, ь =

о

/их

( с + л

У1 + Ук

> г* - +

X,

(22)

(23)

(24)

Оптимизационная задача с каноническими ограничениями принимает вид найти z¡ такой, что

= агё Ш1п{7 = (гк -г°к)т()(гк-гк)| Агк = Ък, г~к <гк<г*к},

2. =

И?

, б =

/'о, о ^ (25>

2- ' ЛХ/Я

, .. , у

Преобразованием базиса задача (25) приводится к следующей форме

¡:=ащтт^ = (21-5°к)т(гк-г91) = \\51-20к\){ \ 5,еД} (26)

где множество А - пересечение многообразия и параллелепипеда

Для решения задачи используется математическая модель, представляющая аналитические решения, задающие минимизирующие элементы операторами конечномерной оптимизации

2~;=Ф (Ьк,Гк,К)т (27)

В работе предложена аппроксимирующая модель решения задачи (26), представленная задачей вычисления

х = а^тт {<?(х) = ||х-х0||2 |хеД

(28)

О = О0глО\ £>°=[* Ах-Ъ\, Л4 =[х ||х-с||2 <Д2]}

Получено аналитическое представление оператора конечномерной оптимизации, доставляющего точное решение аппроксимирующей задачи, которое является приближенным решением задачи (26)

П—71—;--- (Е-А'(АА'У'АХх -С)

Р(с) + у]£-(сЛ-Ь\М)(Ас-Ь) , ,

>/(*/-сХ£-Аг(Мг)~'ах\-с) -с№-Л(АЛ)лАЦха-с) > #-(<-'Л -Ь'ХААтУ\Ас-Ь)

(Е-А'(А-{)'/[)х1+А'(А4'У,Ь,

(л' - с \Е - А (АА' у' ЛХ.хп -с) < К -(с А' -б'Х 4.4')"' (Ас - Ь) ,

(29)

где Р\с) = (Е - А (ААТ)~] А)с + Ат(ААту'Ь

Применением к (27) обратного преобразования базиса может быть получено выражение для оптимального значения исходного вектора расширенных координат

2;=Ф '{ък,2-к,21)т (зо)

Так как в соответствии с (20), (21), (24) параметры ограничения Ьк, ¿1, г] выражаются через компоненты вектора состояния хк, а вектор управлений может быть выражен как ик~Тгк (матрица Т = (0Я1Ш> £„„„) позволяет выделить вектор управлений из вектора расширенных координат), то можно записать

«;=ГФ'(ЯЛ)=Ф(ЯЛ), (31)

где II0 - матрица модели объекта Тогда уравнения, описывающие динамику замкнутой системы, записываются в виде

Ч+\=Нхк+Урф(Нохк)> Ук = Схк> **=о = *о (32)

Рассмотренные методы позволяют сформировать для замкнутых систем законы управления в аналитической форме

В четвертой главе рассмотрены математические модели и методы для исследования качественных свойства систем управления, разработанных на основе моделей, предложенных в главе 3 Определены условия устойчивости и ограничения на величину параметра обратной связи для объектов, описываемых линейными и некоторыми типами нелинейных уравнений в пространстве состояний, замкнутых нелинейным управлением Нелинейные разностные уравнения динамики ЭЭО записываются в виде

хк+\ = ЧЧ**) + 7РЧН0хк), хк=0 = х0 (33)

В пятой главе выполнен анализ устойчивости на основе принципа сжимающих отображений и метода Ляпунова Пусть уравнения объекта имеют ранее определенный вид, причем матрица параметров обратной связи имеет вид Г = уЕ Требуется сформулировать ограничения на параметр регулятора у для устойчивости стационарного состояния замкнутой системы Уравнения замкнутой системы управления ЭЭО имеют вид

хк+1 = Нхк + ГРФ(Н0хк), хк=0 = х0 (34)

В модели замкнутой системы и в регуляторе использована динамическая модели ЭЭО, которая определена матрицей Но Стационарные решения определяются алгебраическим уравнением * * *

х — Нх + уГФ(110х ) Функция Ляпунова задана евклидовой нормой Ук =||х* - гА.| Построены оценки на основе уравнений замкнутой системы и условий Липшица

К., = 1К - Г = + урф(н0х )) -(Нхк + ^Ф(ЯЛ))(|2 =

= (Л„ + 21 г I Ьф IIЯ7 II I! Но II IIБII +у24 || на II2) II х- - II2

В соотношении (35) матрица Н0 определяет модель объекта, используемую при вычислении управлений, что позволяет анализировать устойчивость при несовпадении данной матрицы с матрицей объекта Это дает возможность анализировать грубость замкнутой системы управления Нормы матриц и векторов согласованы, те ||ЛЛ-||<||Л|| \\х\\, причем норма вектора евклидова ||г| = (х7*)"2, а наименьшая согласованная норма матрицы

где ЛА - максимальное собственное число матрицы

4ТА

Оператор управления удовлетворяет условиям Липшица с постоянной ¿,„ по переменным хк в области О Достаточное условие асимптотической устойчивости замкнутой системы принимает следующий вид

<^(Л„+2И1Ф||ЯГ||||ЯЛ1Л1 +Г2£ф11#л2)<1 (36)

Для уточнения оценок параметра у применена квадратичная функция Ляпунова Ук = (х' - хк )т Р(х' - л^), Р = Рт > 0 Тогда приращение функции Ляпунова на траекториях системы вычисляется в соответствии с соотношениями

К., - К = (*' - хм)гР(х' - х,+1) - (X - хк)тР(х - хк) =

А . (37)

= (Ахш)тР(Ахш)-(Ахк)тР(Ахк), Ахк±х -хк

Неравенство с учетом уравнения Ляпунова НТРН - Р = -(2х, преобразуется к виду

^[2^||я:|| 1^11И1 м+у^К! И И И № М

Последнее неравенство задает ограничения на значения параметра у Графики зависимости у 01 значений а, ||я|| =|| Нв || и Ц/^Ц даны на рис 1

В работе сформулированы достаточные условия асимптотической устойчивости для других вариантов математических моделей объектов и управляющих алгоритмов, включая случаи нелинейных моделей объекта и управляющего алгоритма

Рис I Зависимость предельных значений величины |/| от параметров модели системы управления (при ||//|| = 0 5)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты работы формулируются следующим образом

1 Разработаны обобщенные математические модели электромеханических процессов, описывающие динамику ЭЭО Предложены различные варианты модификации исходных математических моделей, переход к кусочно-линейным дифференциальным уравнениям для учета нелинейностей, характерных для генерирующих узлов, асимптотические модели для снижения размерности вектора состояния ЭЭО, модели в дискретном времени и модели установившихся режимов

2 Предложены модели и методы для синтеза систем управления ЭЭО Сформулированы ограничения и цели задачи управления с учетом требований к регулированию частоты и активной мощности, ограничению перетоков, минимизации отклонений различных величин — перетоков, мощностей генерирующих станций от заданных значений Дана математическая формулировка задач вычисления управления как задач условной квадратичной оптимизации на канонически заданном допустимом множестве - пересечении линейного многообразия и параллелепипеда

3 Предложены модели и методы для исследования устойчивости замкнутых систем управления, с формулированы достаточные условия устойчивости для системы с нелинейными законами управления,

моделируемыми аналитическими операторами конечномерной оптимизации Даны достаточные условия устойчивости на основе методов функционального анализа и теории устойчивости Ляпунова

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

1 Пономарев А Г Асимптотические модели процессов в электроэнергетических системах // Сб «Кибернетика и информатика сборник научных трудов к 50-летию Секции кибернетики Дома ученых им М Горького РАН, Санкт-Петербург» СПб изд-во Политехнического университета, 2006 г - с 397-402

2 Пономарев А Г Канонические формы операторов конечномерной оптимизации для аналитического описания режимов управления частотой и активной мощностью электроэнергетических объединений // Сб «Кибернетика и информатика сборник научных трудов к 50-летию Секции кибернетики Дома ученых им М Горького РАН, Санкт-Петербург» СПб изд-во Политехнического университета, 2006 г - с 391-396

3. Козлов ВН, Пономарев А.Г. Оператор минимизации квадратичного функционала на пересечении линейного многообразия и шара. «Научно-техпнческие ведомости СПбГПУ», 2007, № 2.- с. 5659.

4 Козлов ВН, Пономарев А Г К аналитическому решению задач минимизации евклидовой нормы на пересечении линейного многообразия и шара Материалы научной конференции «Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах» СПб СПбГПУ 2007-с 107-111

5 Козлов ВН, Пономарев А Г Достаточные условия устойчивости дискретных динамических систем с алгоритмическими законами управления Материалы научной конференции «Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах» СПб СПбГПУ 2007-с 112-114

Лицензия ЛР №020593 от 07 08 97

Подписано в печать 28 04 2007 Формат 60x84/16 Печать цифровая Уел печ л 1,0 Тираж 100 Заказ 1571Ь

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29 Тел 550-40-14 Тел /факс 297-57-76

Введение.

1. Обзор исследований по математическому моделированию систем управления частотой и активной мощностью энергетических объединений и постановки задач

1.1. Обзор, классификация и анализ существующих математических моделей и методов управления энергетическими объединениями.

1.2. Постановка задач математического моделирования.

1.3. Выводы.

2. Математические модели электромеханических процессов энергетических объединений

2.1. Классические линейные и обобщенные кусочно-линейные модели.

2.2. Линейные и кусочно-линейные асимптотические модели электромеханических процессов.

2.3. Математические модели установившихся режимов.

2.4. Модели энергетических объединений в дискретном времени.

2.5. Выводы.

3. Математические модели систем автоматического локальнооптимального управления частотой и активной мощностью энергетических объединений

3.1. Технологические требования к режимам управления энергетическими объединениями.

3.2. Модели и методы для синтеза локально-оптимальной системы управления с применением операторов конечномерной оптимизации.

3.3. Выводы.

4. Применение математических моделей и методов для анализа асимптотической устойчивости систем управления энергетическими объединениями 4.1. Методы анализа устойчивости систем управления энергообъединениями с нелинейными операторами.

4.2. Методы анализа устойчивости существенно нелинейных систем с операторами оптимизации.

4.3. Выводы.

Создание крупных электроэнергетических объединений типа Единой энергосистемы России (ЕЭС России) требует решения задач управления для обеспечения надежности функционирования и безопасности технологических режимов станций и линий электропередач. Технологические режимы ЕЭС России обеспечиваются по целому комплексу задач. Эти задачи включают аварийное и предаварийное управление напряжением и реактивной мощностью, регулирование частоты и активной мощности для обеспечения устойчивости параллельной работы энергосистем, а также другие задачи системы автоматизированного диспетчерского управления.

В данной, работе разработан подход к созданию математических

• • t , моделей и методов управления для формирования' алгоритмов системного диспетчера на примере решения задач управления частотой и активной t ^ I мощностью электроэнергетических объединений (ЭЭО). В основу разработанных моделей и методов положены основные методы ограничения перетоков активной мощности по линиям электропередач и регулирования частоты и обменной мощности. Разрабатываемые модели для системы предаварийного управления реализуют ограничение перетоков активной мощности по межсистемным и внутрисистемным линиям электропередач, регулирование частоты и обменной мощности объединенных энергетических систем (ОЭС).

Традиционные подходы к моделированию задач управления использовали различные модели для ограничения перетоков активной мощности по линиям электропередач. К ним можно отнести известный в теории энергетических систем классический «метод коэффициентов распределения», предложенный для задач ограничения перетоков ВГПИиНИИ «Энергосетьпроект» совместно с ЛПИ им. М.И. Калинина, определяющий влияние генерируемых мощностей станций на перетоки по линиям в условиях баланса внеплановых мощностей. Обобщением указанного метода является «метод коэффициентов влияния», разработанный в ЛПИ им. М.И. Калинина, позволяет вычислять управления на станции для ограничения перетоков в условиях небалансов активных мощностей ЭЭО. Для регулирования частоты и обменной мощности использовался «метод регулирования по частоте и обменной мощности», известный под названием метода Гранера-Даррье (Германия, 1933 г.). Кроме этого, применяются «методы регулирования частоты выделенными группами станций», в частности, атомными или гидравлическими электростанциями. В качестве основных законов на первых этапах создания подобных систем использовались классические законы управления, дополненные алгоритмическими особенностями, связанными с введением станций и линий в режимы управления, с аварийными блокировками.

I На современном этапе перехода к локально-оптимальным системам управления частотой и активной мощностью необходимы новые математические модели ЭЭО как объекта управления и методы вычисления управлений на основе оптимизационных формулировок. В задачах разработки моделей и методов для систем управления ЭЭО можно выделить три основных этапа:

- разработка комплекса математических моделей объекта управления (энергетической системы) для описания переходных и установившихся режимов работы, которые могут быть использованы для вычисления локально-оптимальных управлений;

- синтез локально-оптимальных методов и алгоритмов системы управления в соответствии с технологическими требованиями к заданным режимам, а также операторных математических моделей методов и алгоритмов ограничения перетоков и регулирования частоты и активной мощности на основе канонических представлений конечномерных задач оптимизации;

- анализ качественных свойств полученной замкнутой системы ограничения перетоков по линиям и регулирования частоты и активной мощности, включая анализ асимптотической устойчивости замкнутой системы и ее других характеристик.

В настоящее время существует целый ряд научных работ, в которых излагаются различные подходы к решению указанной задачи. В данной работе рассматриваются классические модели электроэнергетических систем на основе линейных дифференциальных уравнений, а также ряд обобщенных моделей с типовыми нелинейностями, задаваемыми кусочно-линейными операторами. В данной работе разработан комплекс асимптотических линейных и кусочно-линейных математических моделей в виде соответствующих дифференциальных уравнений, а также модели установившихся режимов, необходимые для синтеза управлений. р Технологические требования к режимам работы энергетических систем на этапе синтеза системы управления формулируются в виде ограничений на значения мощностей генерирующих станций, перетоков активной мощности по линиям электропередач, а также необходимости обеспечения потребителей электроэнергией в случае внепланового изменения нагрузки. Целью управления является минимизация отклонения мощностей регулирующих станций и перетоков от исходных значений или от заданных соотношений, которые являются экономически оптимальными. Подобные задачи традиционно решаются алгоритмическим способом как задачи линейного или квадратичного программирования с использованием известных алгоритмов вычисления оптимальных элементов на допустимых множествах. Алгоритмическое задание управлений затрудняет анализ качественных свойств замкнутой системы с использованием классического математического аппарата теории автоматического управления, поэтому является актуальной задача синтеза систем управления с использованием неалгоритмических методов оптимизации.

В связи со сказанным выше цели и задачи настоящей работы заключаются в следующем:

1. Разработка нелинейных моделей электроэнергетических систем в форме «вход-состояние-выход» в физических переменных; обобщение моделей объекта управления на основе кусочно-линейных операторов; формирование асимптотических моделей для сокращения размерности вектора состояния и моделей установившихся процессов.

2. Разработка моделей и методов для аналитической оптимизации при математическом описании алгоритмов управления ЭЭО для управления частотой и активной мощностью с учетом технологических требований к режимам.

3. Исследование качественных свойств замкнутой нелинейной системы управления частотой и активной мощностью ЭЭО на основе методов теории управления и принципа сжимающих отображений функционального анализа.

Для решения перечисленных выше задач будут использованы методы математического моделирования, вычислительной математики, теории конечномерной оптимизации и теории автоматического управления, методы функционального анализа.

Научная новизна состоит в следующем.

1. Разработаны нелинейные модели электромеханических процессов ЭЭО в базисе физических переменных на основе кусочно-линейных преобразований (операторов) координат и управлений в исходных линеаризованных уравнениях, создана методика формулировки асимптотических линейных, кусочно-линейных моделей и моделей стационарных режимов.

2. Синтезированы методы аналитического решения аппроксимирующих оптимизационных задач проекционного типа на основе канонической формы ограничений (в виде пересечения линейного многообразия и шара) для математического моделирования систем управления частотой и активной мощностью с учетом технологических требований к режимам ЭЭО.

3. Сформулированы математические модели замкнутых систем и достаточные условия устойчивости систем управления на основе принципа сжимающих отображений функционального анализа и метода функций Ляпунова.

Разработанные методы математического моделирования определяют модели алгоритмически заданных законов управления в аналитической форме на основе использования нелинейных операторов конечномерной оптимизации. Это позволяет исследовать свойства замкнутой системы и получить достаточные условия асимптотической устойчивости в виде ограничений на параметры ЭЭО как объекта управления и параметры обратной связи. Использование методов теории автоматического i управления и функционального анализа позволяют исследовать замкнутые систем управления частотой и активной мощностью ЭЭО в случае существенных нелинейностей объекта и управляющего устройства.

Разработанные модели и методики могут использоваться при создании системных диспетчеров для автоматизированных систем управления ЭЭО различного назначения. Полученные результаты для систем управления частотой и активной мощностью энергетических объединений могут служить основой для распространения предлагаемых результатов на системы управления другого класса, в частности, на системы противоаварийного управления для обеспечения энергетической безопасности Единой энергосистемы России.

4.3. Выводы

Проведенный в разделе 4 анализ условий устойчивости позволяет сделать следующие выводы:

1. Достаточные условия асимптотической устойчивости, полученные на основе квадратичной функции Ляпунова в виде норма евклидова пространства состояний позволяют определить допустимые значения коэффициентов обратной связи на основе принципа сжимающих отображений, которые могут использоваться в качестве оценок первого приближения при настройке замкнутых систем управления ЭЭО по частоте и активной мощности.

2. 1. Достаточные условия асимптотической устойчивости, полученные на основе квадратичной функции Ляпунова общего вида, позволяют определить допустимые значения коэффициентов обратной связи на основе принципа сжимающих отображений, которые могут использоваться в качестве уточненных оценок при настройке замкнутых систем управления ЭЭО по частоте и активной мощности.

3. Предлагаемая методика исследования асимптотической устойчивости замкнутых систем управления на основе принципа сжимающих отображений позволяет сформулировать ограничения на параметры обратной связи для обобщенных нелинейных моделей объекта'' управления. ^

4. Для синтеза локально-оптимальных систем на основе линейной модели «вход-выход» с использованием линейный операторов управления определены условия устойчивости и ограничения на величину параметров обратной связи для объектов, описываемых линейными Сравнениями и линейными прогнозирующими регуляторами локально-оптимального типа.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном исследовании разработаны математические модели и методы для анализа и синтеза систем автоматического управления электроэнергетическими .системами для урегулирования по частоте и

I / активной мощности.

Разработаны обобщенные математические модели ( электромеханических процессов, описывающие динамику электроэнергетической системы как объекта управления с учетом типовых нелинейностей. В качестве описания нелинейных элементов предложен комплекс методик, позволяющий обобщить известные уравнения электромеханических процессов энергетических объединений на основе формулировки асимптотических моделей различного класса, позволяющих выполнить анализ переходных процессов с учетом различных режимов работы элементов генерирующих станций.

Предложены различные варианты модификации исходных моделей, в том числе переход к кусочно-линейным дифференциальным и разностным уравнениям для учета нелинейностей, характерных для генерирующих узлов. Сформулирована методика построения асимптотических моделей, позволяющие снизить размерность вектора состояния объекта управления, способы построения моделей в дискретном времени. Указаны способы нахождения характеристик влияния, необходимых для синтеза систем управления, на основе рассмотрения уравнений квазистационарных режимов работы энергетических объединений, описываемых линейными и кусочно-линейными уравнениями.

Предложены канонические модели и методы формализации технологических режимов для синтеза управлений частотой и активной мощностью ЭЭО. В канонической форме сформулированы ограничения и цели задачи управления в виде технологических требований регулирования по частоте и активной мощности, ограничения перетоков, минимизации отклонений различных величин (перетоков, мощностей генерирующих станций) от заданных значений или соотношений. Дана математическая формулировка задач управления как аппроксимирующих задач условной квадратичной оптимизации на множестве, задаваемом ограничениями в виде равенств и неравенств.

Предложены модели и методы аналитического описания решений конечномерных задач математического программирования, которые могут использоваться для анализа качественных свойств замкнутых систем управления ЭЭО, которые иллюстрируются на примере управлений частотой и активной мощностью.

Рассмотрены нелинейные системы управления с линейными и нелинейными моделями ЭЭО как объекта управления и алгоритмически заданными законами формирования управлений. Алгоритмические задания решений конечномерных задач оптимизации режимов ЭЭО аппроксимируются аналитическими решениями в виде операторов конечномерной оптимизации. Используемые методы позволили синтезировать законы управления в замкнутой аналитической форме.

Применение разработанных математических моделей позволило исследовать качественные свойства замкнутых систем управления ЭЭО, иллюстрируемых на примере задач управления частотой и активной мощностью. Проведенное исследование качественных свойств замкнутых систем управления позволило сформулировать комплекс достаточных условий устойчивости для системы с нелинейным управлением в виде оператора конечномерной оптимизации в случае объекта управления, описываемого линейными и кусочно-линейными уравнениями состояния. Для нахождения достаточных условий использовались методы функционального анализа и теории устойчивости Ляпунова. Рассмотрено применение функционального анализа для анализа грубости замкнутых нелинейных систем управления в случае линейных и нелинейных уравнений состояния ЭЭО как объекта управления. Исследованы вопросы устойчивости и ограничения на величину параметров обратной связи, обеспечивающих выполнение достаточных условий устойчивости различного типа.

Разработанные математические модели расширяют возможности численного и аналитического исследования динамики ЭЭО с алгоритмически заданными управлениями, включая анализ переходных процессов и исследование устойчивости замкнутых систем управления режимами.

1. Автоматизированная система оперативно-диспетчерского управления электроэнергетическими системами / Под ред. Розанова М.Н., Семенова B.J1. Новосибирск: Наука, 1986. 204 с.

2. Алексеев С.В., Копылов И.Б., Машанский A.M. Описание энергообъединения как объекта управления режимом по частоте и активной мощности // Электричество, 1980, № 12, с. 23-30.

3. Али Р., Козлов В.Н. Теория автоматического управления. Синтез методами Н2 и -теорий. СПб.: СПбГПУ, 2002. -90 с.

4. Андреюк В.А., Сказываева Н.С. Методы построения консервативной модели энергосистемы для анализа режимов и устойчивости//Изв. РАН. Энергетика. 1997. № 5. с. 107-110.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления: учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1998.-574 с.

6. Бартоломей П.И., Грудинин Н.И. Расчет установившихся режимов электрических систем и их оптимизация методом квадратичной аппроксимации // Изв. РАН. Энергетика, 1992, № 5. с. 95-106.

7. Башарин А.В., Лозовой Л.Н., Чернышева Т.А., Аппроксимация нелинейных характеристик систем автоматического управления методом модифицированных полиномов // Электромеханика, 1980, № 12, с. 1303-1307.

8. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит. 1960.-400 с.

9. Бухгольц Р., Давыдов В.Г., Ярмийчук В.Д. Некоторые вопросы методики решения задач управления многомерными системами на цифроаналоговом комплексе // Сб. Теория, математическое обеспечение и применение неоднородных вычислительных систем. МДНТПб 1973.

10. Вагнер Г. Основы исследования операций. Т.1. М.:Мир, 1972.

11. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968 454 с.

12. Вайман М.Я. Устойчивость нелинейных механических и электромеханических систем. М.: Машиностроение, 1981. 126 с.

13. Валеев К.Г., Филин Г.С. Построение функций Ляпунова,- Киев.: Наукова думка, 1981.

14. Веников В.А., Литкенс И.В. Математические основы теории автоматического управления режимами энергосистем. М.: Высш. шк. 1964.-202 с.

15. Веников В. А., Суханов Р.П. Кибернетические модели электррических систем // Изв. вузов СССР Электромеханика, 1982, с.323.

16. Веников В.А. Электромеханические переходные процессы в энергетических системах. М.: Госэнергоиздат, 1958.

17. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

18. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985. 352 с.

19. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость М.: Наука, 1979.336 с.

20. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967г. 416 с.22,23,24,25,26,27,28,29,3031,32,33,34

21. Вычислительные методы для исследования энергетических систем. Под ред. проф. В.А.Веникова. М.: «Энергия», 1973. Галактионов Ю.И., Картвелишвили Н.А. Идеализация сложных динамических систем. «Энергия», 1977.4J

22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966 576 с. Глебов И.А. Научные основы проектирования систем возбуждения мощных синхронных машин. Л.: Наука. Ленинград, отд-ние АН СССР, 1988. - 332 с.

23. Гурман В.И., Батурин В.А., Данилина Е.В. и др. Новые методы улучшения управляемых процессов. Новосибирск: Наука, 1987. Гурский С.К. Алгоритмизация задач управления режимами сложных систем в электроэнергетике. Минск: Наука и техника, 1977.-367 с.

24. Давыдов В.Г. и др. Цифровой регулятор частоты и активной мощности для объединенных энергосистем // «Электричество», 1970, №12, стр.11-14.

25. Жданов П.С. Вопросы устойчивости электрических систем / под ред. Л.А. Жукова М.: Энергия, 1979-454 с.

26. Жуков JI.А., Стратан И.П. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем. Методы расчетов. М.: Энергия,1979,-416 с.

27. Заборовский B.C. Идентификация математической модели установившегося режима энергообъединения с использованием нелинейных операторов. Труды ЛПИ им. М.И.Калинина, Л., с.101.

28. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. М.: Сов. радио, 1973.

29. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

30. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. Наука, 1964.

31. Калюжный А.Х., Соколов Ю.В. Исследование установившихся и неустановившихся послеаварийных режимов с учетом динамики частоты // Изв. СО АН СССР. Серия техн. наук, 1978, № 13, вып. 3.

32. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

33. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука,1980.

34. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: пер. с англ. М.: Мир, 2001. 575с.

35. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1979.

36. Кирчмейер Л.К. Применение вычислительной модели при разработке систем автоматического управления режимом энергосистемы // В сб. «Автоматическое регулирование частоты и активной мощности в энергосистемах». Под ред. Л.Д.Стернинсона. Госэнергоиздат, 1960.

37. Козлов В.Н. К аналитическому решению систем линейных алгебраических неравенств // Автоматика и телемеханика, 1989, №4. с. 104-107.

38. Козлов В.Н. Математика и информатика. СПб.: Изд-во «Питер». 2004.-230 с.

39. Козлов В.Н. Математические модели для автоматизации проектирования нелинейных систем автоматического управления // Изв. вузов СССР. Электромеханика, 1982, № 4, с. 461-467.

40. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании систем управления. JL: ЛГУ им. А.А.Жданова, 1986. - 168 с.

41. Козлов В.Н. Методы автоматизированного проектирования нелинейных систем управления. Л.: ЛПИ им. М.И.Калинина, 1984. 80 с.

42. Козлов В.Н. Нелинейные операторы одного класса в задачах управления. Труды ЛПИ им. М.И.Калинина, Л., 1980, с. 105-106.

43. Козлов В.Н. Необходимые условия и оценки оптимальности нелинейных систем //Труды ЛПИ им. М.И.Калинина, Л., 1981, с. 98

44. Козлов В.Н. Неявный метод анализа кусочно-линейных управляемых систем // Изв. вузов СССР. Электромеханика, 1984, №6, с. 105-108.

45. Козлов В.Н. Предельные возможности аналитических методовконечномерной оптимизации // В сб. «Высокие интеллектуальные технологии и качество образования и науки». СПб.: СПбГПУ, 2004, с. 369-374.

46. Козлов В.Н. Предельные возможности методов аналитической оптимизации в конечномерных пространствах // В сб. материалов Международной конференции «Фундаментальные исследования в технических университетах». СПб.: СПбГПУ, 2003.

47. Козлов В.Н. Синтез и исследование алгоритмов оптимизации адаптивной системы автоматического ограничения перетоков активной мощности энергообъединений: Автореферат канд. дисс.: ЛПИ им. М.И.Калинина. 1975.

48. Козлов В.Н. Управление энергетическими системами. Электромеханические процессы. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2006.

49. Козлов В.Н., Бугаева Е.А. Метод внешних и внутренних эллипсоидов для аналитического решения систем алгебраических неравенств // В сб. «Фундаментальные исследования в технических университетах», СПб.: СПбГПУ, 1998, с 51, 52.

50. Козлов В. Н., Каменский В.Е., Шашихин В. Н., Динамическая оптимизация систем управления частотой и мощностью электроагрегатов //Изв. РАН. Энергетика. 1999. № 3. С. 58-67

51. Козлов В.Н., Колесников Д.Н. Решение задач автоматики и вычислительной техники методами исследования операций. Л.: ЛПИ им. М.И.Калинина, 1982.

52. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Заборовский B.C. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления. Л.: ЛГУ им. А.А.Жданова, 1989. 232 с.

53. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Вычислительная математика и теория управления. СПб, изд. СПбГТУ. 1996.170 с

54. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Теория автоматического управления. СПб, изд-во Политехнического университета, 2006. 316 с.

55. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и электрические цепи. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003.

56. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Управление частотой и активной мощностью энергообъединений с учетом тепловых процессов // Изв. РАН. Энергетика, 2003, № 2, с. 50-56.

57. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Управление энергетическими системами. Модели теплопроводности. Спб.: Изд-во Политехнического университета, 2006. -196 с.

58. Козлов В.Н., Строганов Р.П. Адаптивный алгоритм динамической оптимизации одного класса систем ограничения // В кн.: Синтез алгоритмов сложных систем. Изд. Таганрогского радиотехнич. ин-та, Таганрог, 1974.

59. Козлов В.Н., Строганов Р.П. Математическая модель асимптотического движения сложных энергообъединений // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1980, №5, с.38-40.

60. Козлов В.Н., Шашихин В.Н. Принцип сравнения в синтезе координирующих управлений многомашинными энергосистемами // Изв. РАН. Энергетика, 1995, № 5, с. 66-76.

61. Козлов В.Н., Шашихин В.Н. Синтез стабилизирующих управлений многомашиными энергосистемами при параметрических возбуждениях // Изв. РАН. Энергетика. 1998.3. с 97-104.

62. Колесников А. А. Аналитическое конструирование взаимосвязанных регуляторов возбуждения синхронных генераторов и частоты вращения турбогенераторов энергосистем //Изв. вузов. Энергетика. 1989 № 12 с. 12-17.

63. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969-445 с.

64. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматиз, 1959.

65. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 516 с.

66. Кривченко Г.И. Автоматическое регулирование гидротурбин. М.: Энергия, 1964.-288с.

67. Крон Г. Исследование сложных систем по частям диакоптика. М.: Наука, 1972-542 с.

68. Крумм J1.A. Методы оптимизации при управлении электроэнергетическими системами. Новосибирск: Наука, 1981.

69. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления методом функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 570 с.

70. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000г. -296с.

71. Лепорский В.Д., Волхонский С.И. Декомпозиция электроэнергетических систем в задачах оптимального управления // Автоматизация управления электростанций. Сб. науч. тр. КИА, 1983, с. 82-90.

72. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

73. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, I, II // Дифф. уравнения, 1986. т.4, № 8. с 1374-1386, № Юс. 1739-1752.

74. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, III, IV // Дифф. уравнения, 1986. т.5, № 7. с 1171-1185, № 12 с. 2129-2143.

75. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. Под ред. А.А.Воронова, В.М. Матросова. М.: Наука, 1987, 312 с.

76. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1980. 488 с.

77. Москаленко А.И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении. Новосибирск: Наука, 1983.

78. Морошкин Ю.В. Оценка областей синхронной динамической устойчивости сложных электрических систем в консервативной идеализации // Изв. РАН. Энергетика. 1999 № 6, с. 80-92

79. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т.2. Л.: Энергия, 1981.

80. Основы оптимального управления. Под редакцией В.Ф. Кротова. М.: Высш. шк., 1990. 430 с.

81. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986,616 с.

82. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическое теория оптимальных процессов. М.: Наука,1961.

83. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

84. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Наука, 1962. 883 с.

85. Путилова А.Т., Тагиров М.А., Заславская Т.Б. Об аналитических критериях синхронной динамической устойчивости многомашинных систем // Изд-во СО АН СССР. 1968. Вып. 2. № 8. с. 148-154.

86. Режимная управляемость систем энергетики / Л.А.Кощеев, Ю.Н.Руденко, Е.Р.Ставровский и др. Новосибирск: Наука. Сиб отд-ние, 1988.-234 с.

87. Рудницкий М.П. Элементы теории устойчивости и управления режимами энергосистем. Свердловск: Изд-во УПИ, 1984. 96 с.

88. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.-552 с.

89. Самарский А. А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 2002. 320 с.

90. Системный анализ и принятие решений / под ред. В.Н.Волковой, В.Н.Козлова. М.: Изд-во «Высшая школа», 2004. -800 с.

91. Смольников Л.П., Бычков Ю.А. Расчет кусочно-линейных систем. Л.: Энергия, 1972.

92. Смольников Л.П. Бычков Ю.А., Гудкова Н.В. Расчет систем управления. Л.: 1981.-111 с.

93. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР,1962.107108109110111112113114115,116,117,118,119,

94. Солодовников B.B. Введение в статическую динамику систем автоматического управления. М.: Гостехиздат, 1952. Стернинсон Л.Д. Переходные процессы при регулировании частоты и мощности в энергосистемах. М.: Энергия, 1976. 216 с.

95. Численные методы условной оптимизации / под ред. Гилла Ф., Мюррея У. М.: Мир, 1977. -290 с.

96. Чуа Л.О., Кан Сун Мо. Секционные кусочно-линейные функции. Каноническое представление, свойства и приложения // ТИИЭР, 1977, т.65, с.121-145.

97. Шашихин В.Н. Синтез робастного управления для интервальных крупномасштабных систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. с. 164-174.

98. Шашихин В.Н. Теория автоматического управления. Методы декомпозиции, агрегирования и координации. Учеб. пособие. СПб: изд-во Политехнического университета, 2004. 166 с.

99. Щербина Ю.В., Мольков С. А. Математическая модель энергообъединения для исследования процессов автоматического регулирования частоты и перетоков активной мощности // Изв. АН СССР. Энергетика, 1989, № 10, с. 8-13.

100. Щербина Ю.В., Мольков С.А. Повышение эффективности автоматического регулирования частоты и перетоков активной мощности при секционировании энергообъединения ЕЭС ОЭС СЭВ // Техническая электродинамика, 1989, № 2, с. 83-88.

101. Козлов В.Н., Пономарев А.Г. Оператор минимизации квадратичного функционала на пересечении линейного многообразия и шара. «Научно-технические ведомости СПбГПУ», 2007, № 2.- с. 56-59.