автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели для эффективного управления некоторыми теплофизическими процессами

., - 1 .'Г 1

\ 7 '-1 '

НОВОСИБИРСКИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На прапах рукописи УДК.51-73:532.5-1/9:530.24

ПРОВОРОВА ОЛЬГА ГЕННАДЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫМИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

Специальность: 05.13.1С — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методом в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск - 1997

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный консультант: доктор физико-математических

наук, профессор Т.И. Зеленяк

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.М. Белоли-пецкий,

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Кожанов, доктор физико-математических наук, профессор М.М. Лаврентьев (мл).

Ведущая организация: Вычислительный центр СО РАН

в г. Красноярске

Защита состоится " %() " 1997 г- в <3/? 1

часов на заседании Специализированного совета Д 063.98.01 при Новосибирском государственном университете по адресу:

630090, г. Новосибирск - 90, ул. Пирогова, 2, НГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан "" 1997 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат технических наук Г Д. Ю.И.Еремин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Несмотря на то, что математические методы и модели яв-потся органичной составляющей научного исследования, м не менее создание эффективных математических модем наталкивается па серьезные трудности. В реальных изических, технологических процессах присутствует больше количество различных факторов, находящихся I» тес-|й взаимосвязи. Для использования в прикладных понро-х к модели предъявляются вполне конкретные требова-

1я.

Прежде всего следует выделить основную проблему, для тения которой используется математическая модель, дн-:е автор последовательно осуществляет следуюн1,ие этапы боты с моделью:

— постановка задачи, выделение основных факторов;

— составление (или выбор) математической модели;

— проверка адекватности модели, сопоставление расчета -»ксперимента;

— проверка эффективности модели, т.е. отклика на избиение основных параметров;

— численный эксперимент;

— использование математической модели в техпологичес-м процессе для управления или конструирования. Задачи управлении химическими реакторами часто быиа-■ классическими задачами оптимального управления. Решение задачи оптимального управления тепловым про-ссом, описываемым почти - линейным параболическим авнением, потребовало получения априорной оценки пер-й производной решения смешанной задачи параболичес-го уравнения, исследования устойчивости стационарного шепия.

При оптимизации параметров газовых лазеров и нелиией-

— оптических устройств задача не имеет характера клас-ческой задачи вариационного исчисления или классичес-

5-ТцХ & К.рпг. ГУ-ТцХ

кой задачи оптимального управления. Так при конструировании газовых лазеров большое значение имеют вопросы охлаждения газовой смеси, поскольку температура газа вс: многих случаях определяет заселенности уровнен и соответственно коэффициенты усиления активной среды. Для многих приложений очень важно иметь компактный отпаянный лазе]), который не Пыл бы связан с водяным охлаждением. При этом нужно решить следующие вопросы:

— исследовать принципиальную возможность охлаждения газовой смеси до фиксированной температуры за счет оребрения внешней поверхности;

— в тех случаях, когда это возможно, рассчитать площадь поверхности оребрения.

Здесь актуальным становится вопрос об отыскании эффективных значений входящих в дифференциальные уравнения параметров.

В лазерной оптике одной из важнейших задач является усовершенствование методов эффективного преобразования частоты лазерного излучения.

Здесь возникает задача отыскания таких начальных дан пых для системы обыкновенных дифференциальных уран пений, при которых коэффициент преобразования будет ма симальным.

Изучение закрученных потоков жидкости представляе/: значительный интерес для прогнозирования параметров пр< мышленнмх вихревых аппаратов по результатам исследования лабораторных моделей. Течение жидкости в вихр( имеет довольно сложный характер, поэтому возможное'!'] описания стационарного осесимметричного цилиццрическо го вихря в приосевой зоне вихревых аппаратов представляе1 значительный теоретический и практический интерес. Ко личестиенное описание приосевой зоны на основе системь уравнений Навье - Стокса позволяет определить те пара метры модели, которые не измерялись в эксперименте.

При решении этой задачи очень важным является мето, сравнения расчетов с экспериментальными данными.

х1чп1и.Ч.К».) 'шиимгик химэиьтжф КИШ!:)и11() Kifïr иишЛГош : -экн.нллгиимлги! х141ши.1,н.)([х|)^ лшшноиийи шги аит.ЧЛ.оз •

l'U.OÍJl.'Cl «iirof

•«и

-ni:dnA <)ижо1Л1 Hivi'ido.i.oM и •ii.Kdnwj.'n онжои шссс1ол,оя M'iíI.i -i;dun ол, ол.к — i4jfn.) ui'iuj.nn.mwocI.i.Moirf-. oiuj.hvh мим л\м.

n.i.:)oiixdí)4f)ii Xw(lo(|) •«j.nirodj.MOifb: и tnririM.ajM Kimai ifj.'.KtrloM'.) и ИИНН1Г «и iruvj Х1сшл.ин.п;1лкн1л.ж>1г« аипкшги •» -АЧ.и oivHïr'oxrjooii lídoí.nirod.i.MiHj-fr: иол,оу\«[ ifHiiaifwi/diiA и t

-Wí.lllAIHJ.iio klfl ( o.li. •oll'k'hli irAlAldo(|) xi'iiliirjlí'BUMdil «11 v)>KjS •ии,101Г011Х;>.1. HJ.:>oim.Kj<>.)o и íi.r.nirod.i.xoiri-. inu.;>M< шоюаишлшх - омт:и(|> ,i,¡->i:ui<i.i.hi.А y л.наиТшффйом ivoxí. t

' • -7 - í = ''

: Hoij-yÇiAid(jcJ) к

-».'■ц" nj.nodr»»-.) .1,0 n.L.)()iAin:)HHi:w u /Смол, он uTfoxi'Hi aHuanawcj/

■,n/f.(U-i) = U y

\

K'.M.iJKiraï/yduo ,r,Hif(i(lj,)iaife - ша'ии wiraVewd n.i.HHixdotmii -<loc[> л.о и.1,У01Л1и;>ит»: ч Ажм. ou wtrt>xi4« знпанаики г: 'iíiiiiki -.n;d (ио11:)оиго|1жа1Д1 и ш,и1го<1л,мэ1г« 1си1Алдк1ошл1ал, л.о л,и.>т

' (ШШЛ)<1хл ■ 7 ' KQ<„»/') / ■ 002.- I = ''

hoitA'im<Ií)([) hi'rw;)jfir;ViA)(luf) 'Амол. он i.'ïfox h, ллгаи'пнффком •d;)tvndui;u -м\:л. 'l'iiniwi иош:иичк(л,ма1г<-: in\ -»л,.)Н(1;)л,м\;(1г:х mvi<im.nif4:i;d ;> «1 ir;ji.i;i:uMoii л.ол.« хи'шоп.-шчп •irA4\ido(|i хижк)ьш1ишл1<-: омчкохлаи -A>ioj, on i:irm.M

IfoxiMH [{.)i..i[<irt[i< udacHirodj.Noirt: (шмаипишшп.1 i'[ i.o<ji;d wai -шлгмоп iviMmiuirj •do.LMV.'dux иим^л.ифн'нию Л.ИООП .tHL>H xi'tm.mi.iwiAi hh'ni.'í.hwmi.iio wi.k'iAm: ча;)'!^ -xii'iro.i хгм.к.юег -т.нш il 4;>oiri:i.i:ii tMo.o.iiiodu ioiii,iinii:i[]iA' oi'iira'n и ¡гмнаи Xi(?i'.)ai.HWi:[iH'iro(l'u'ifj-(M.HiKii:i4 аипа|.АЧ;и on 'опт;!'аж a imli;ii>.< ьчлчу 1нЬ»л11(чк1л.ха1г^ о.кшаипшлюпп; и;>л,:)ш. хи'шАиапомол. х -iiHirwd л.о и'.мгои хгшл.инлпм ии'тм.1п\шл,по 'M.joivul/oxyoojj

с. распространением тепла, движением жидкости и пила. ( ионное внимание и работе; уделено тем »опросам, и котор| пройдены все этапы: постанонка задачи, выбор (или сост; лепие) математической модели, сравнение с. яксис.римсат] применение модели для диагностики, управления, оитим зап.ии. конструирования н практических задачах.

2. Рассмотрение различных постановок задач оитими: н.ии и управления физическим или технологическим пр п,ессом.

3. Разработка математического аппарата для решения дачи унранления процессами, описываемыми почти - лиш пыми уравнениями.

Научная копичпа.

В результат«; проведенных исследований получена апр орная wiiuiKa I l<'(0 i) ПРИ условии ])азрешимос.ти некем рой м.адачи Киши. Доказана устойчивость стационарно решения в норме пространства (<'v-f« при отклонениях п чальпых данных в норме ( '(ил)- Получены необходимые; j линия оптимальности для задачи оптимального управлеп процессом, описываемым почти - линейным уравнением I раболического тина и необходимые и достаточные уело» оптимальности, если уравнение линейно.

Предложен метол, расчета системы воздушного охлаж; ния для газоразрядных лазеров.

Впервые рассчитана система воздушного охлаждения »< новодного COj - лазера, на основании гггих расчетов лаз сконструирован.

На основании предложенного метода рассчитана систе] воздушного охлаждения для Nv - лазера. Этот метод та же позволяет оценить, какую моицюсть. »водимую в р;; ряд. можно отвести с помощью беспринудителышго охла: де.пия, а какую нет.

На основании математической модели рассмотрена :->< фективпость нелинейного преобразования при двухфотон - резонансном сложении частот. Найдены первые nirrerj лы исходной системы и получены соотношения, связыва:

(;

не коэффициент преобразования с. начальными данными с.темы.

Показана иомможмость описания стационарного осесим-П'ричного цилинлрическшо пихря и нриосевой зоне на ос-шапии системы уравнений Навье - Стокса. Предложен под численного решения краевой задачи. Покачана воз->жлость количественного описания нриосевой зоны на осле выбранной модели, определяются параметры модели. Модифицирована математическая модель для исследова-|л влияния электромагнитных полей на движение метали электролита в электролизной наши: с: необожженными одами. Рассчитана поверхность раздела металл - электро-п. Впервые проверена адекватность модели путем сравне-1Н с. мке.иеримтп'им для конкретной электроличной панны, ж водится оценка "коэффициента турбулентного трения"' иеталле. Проводится сравнение расчета с экспериментом. |.епоп коэффициент турбулентного трения" и электроли-

Проведен численный эксперимент по определению влияя компонент вектора магнитной индукции на форму ио-рхпости раздела и на линии течения в металле. Научная и практическая значимость работы.

- Получено необходимое условие оптимальности для чачи оптимального управления тепловым процессом, опиваемым почти - линейным уравнением параболического на и необходимое и достаточное условие оптимальности кой же задачи для линейного параболического уравнения.

До качана теорема об устойчивости стационарного рп-чши и получена оценки первой проичводной решения смешной задачи для квазилинейного параболического урав-пия при выполнении условия А. Границы области ус-ичивости позволяют обеспечить устойчивость процесса за ,:т выбора начального режима.

Впервые! предложен метод расчета конструкции СС)_> -*ера с воздушным охлаждением.

— По результатам ра«:чете>в создана промышленная м д<;ль компактного лазера.

— Предложенный и реализованный н диссертации подх! к рас.чету еиетемы воздушного охлаждения но.чиоллет он нить, при каких моН1,пог.тлх, ннодимых и разряд, иозмнЖ! беч'.нринудительнек; пхлаждснис, а при каких нет.

— На основании анализа математической модели, он сывающей четырехволновый ирмдесс, выделена область н чал 1.И1,IX данных (т.е;. начальных полей), при которых к ыффип.иент преобразования равен 0,2.

На базе математической модели, описывающей приое иую зону осееимметричпого н,илипдрическе>ге> вихря и ни реном аипа])ате, иредложеп метод описания эксперимент и па его ос.шже — расче;т тих неличин, которые в эке;пе;р менте не измеряются.

— Предложенный и реализованный н диссертации подх< к рас.чегу поверхности раздела металл - электролит, рнеч ту линий течения металла и электролита и расчету скоро тей течения позволяет по состоянию электромагнитных с| следить за повед<;нием электролизной панны.

Разработанная модель используется на КрАЗе для д| агностики и управления ванной. Появление множестве! пых вихрей предшествует нестабильности, а ее можно "г с.ить". Контуры движения электролита дают основание /у засыпки глинозема в такие; места, чтобы они разносили« по ванне. На основании проведенных исследований пер шли от двухгоризоптпой схемы расстановки анодных нгп рей к мпогогоризонтпой. Проведен анализ эффективное] ошиновок различного типа, так как ошиновка формиру» магнитное ноле.

Автор выносит на защиту.

1. Необходимое условие оптимальности для задачи опт мального управления тепловым проп.ессом. описываемы почти - линейным уравнением параболического типа. Н обходимое; и достаточное условие; оптимальности в случа когда уравнение линейно.

2. Получение априорной оценки |(«., | решения первой правой задачи для квазилинейного параболического ур.'ише-ия, теорему оП устойчивости и описание оПлас:ти устойчи-ости стационарного решения.

3. Методику расчета системы воздушного охлаждения азоразрядного лазера и оп.енки мош,1Н)сти. при кото])ой это озможно.

4. Анализ математической модели, описывающей четы-ехволиовой процесс и выделение области начальных дан-ых, задают,их плотности потоков, н])и которых коэффи-,иепт преобразования 1) = 0.2.

5. Описание п^риосевой зоны осесимметричлого вихря в ил и ндри ческой камере. Решение крайний задачи и сравне-ие с экспериментом.

G. Феноменологический подход к математическому мо-ели])ованию физических полей в электролизере Содербер-х. Применение этой модели д л я диагностики и управления опкретными ваннами.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались па сле-уюших Российских и международных конференциях, iiikii-ах и семинарах: на семинаре в Институт»! математики им. теклова в 1972 г., па семинаре в МГУ в 1072 г.. на се-инаре у академика O.A.Лад,ыженской в 1972 г.. на Все-нозном со1и!П!,ании по математическому моделированию и правлению высокотемпературными процессами в циклоп-ых и иихрев1»1х аппаратах в г.Одесса u 198U г., на Всесоюзном семинаре по резонансным нелинейным оптическим роцессам в газах, г. Дивногорск, 1986 г.. па 125-ой TMS жегодпой встрече и выставке в Лос - Апджелесе в 1996 г..

Вто|)ом Сиби|)ском конгрессе но прикладной и индустри-гп.пой математике (ИНГ1РИМ - 9G). г. Новосибирск. 199G , на семинаре в Институте математики СО РАН. 1997 г.. в

Новосибирске, на Девятой Всесибирской конференции по рикладной математике в Шушенском, 1996 г., а также на' даипарп КНЦ, г. Красноярск, а также на семинарах раз-

личных организаций: ВЦ, Крае.ГУ. Красноярский ипституч цветных металлов, научно - технический совет К])АЗа.

Публикации.

Основное содержание диссертации изложено в 10 печатных работах и в С научных отчетах о научно - исследовательской работе, список которых приведен I» конце автореферата.

Личный вклад автора.

Инициатива в постановке исследований, связанных с математическим моделированием, принадлежит доктору физике - математических паук, профессору Т.И.Зеленяку, который оказал значительное влияние на исследования в треть ей главе.

Автору принадлежат основные идеи и постановки задач кг1к теоретических, так и экспериментальных, выполненных в первой, второй и четвертой главе..

Все теоретические, экспериментальные и расчетные исследования. вошедшие в диссертацию, выполнены либо лично автором, либо при его непосредственном участии.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Содержание работы

Во введ,епии изложена концепция авторского подхода к математическому моделированию, раскрыта актуальность и цель исследований, показано место данной работы в обш.ем цикле работ по этой проблеме, дан обзор литературы.

Глава 1. Управление процессом, моделируемым почти -линейным параболическим уравнением.

В этой главе изучается задача управления тепловым процессом. где состояние управляемого обьекта характеризуется функцией »(.г,/.), являющейся решением следующей за-

ачи

и, = «„ + /('«) Л > о, О < X < 1; (1)

п(х, 0) = О , (О < х < ]), их(0, О = О , i > О ; (2)

nT(\,t) + nv{\,t.) = ap{t), а = const > О, / > О, (3)

№ fu < к.

В классе измеримых фуикдий, почти всюду не превосхо-ящих по модулю единицы, доказано существование такой >упкции p(t), что

1 I

J = у [«(а:, Т) - .10(г)] 2 dx + 0 J p-(t) dt (4)

о

рииимает наименьшее значение. Получено необходимое условие оптимальности, а в слу-»е, когда f(u) = f(x, t) и — необходимое и достаточное усло-

того, чтобы управление p[t) было оптимальным. В §1 рассматривается смешанная задача для уравнения

= а(х, ит) iis:r + b(x, н, ит) . (5)

м(0, /) = п( 1, /.) = 0 . (G)

«(а:,0) = и0(х) (7,)

,е а(х, и, ит) > а0 > 0.

Будем говорить, что выполняется условие Л, если задача оши

// Ь(х,у,у') У ---7-77 2/(«о) = г/о, У(хо) = У\

[.позначно разрешима для всех 0 < х < I , 0 < ха < 1,

» < Ц() < ОО . —ОС < У\ < ОО.

С помощью функционала Ляпунова оценивается |?(.т(.г,/)[ ;рез sup|u(x,t)j и данные задачи.

Теорема 1. Пусть u(x,t.) — решение задачи (5)-(7) такое, что |н(:е,/.)| < М. Предположим, что а(х, u,ua.), b(x,u,vr) непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов,

и(.г, и, и.с) > «и > 0 , ||«u(i')||f.-,(0 ,) < Ми. и выполняется условие Л. Тогда

где Л/] зависит от М , Ми и коэффициентов уравнения.

В !)2, 3 п])И выполнении условия Л доказывается теорема о разрешимости "в целом" задачи (5)-(7), получено достаточное условие устойчивости стационарного решения.

Теорема 2. Предположим, что Ьи{х, и, Ü) < к , «о (ж) £ (>2+a(i,iy

Uo(ü) = Uu(l) = 0, и пусть выполняется условие Л, тогда существует единственное решение

и(х,1) £ С''2+^([||,1]х[(1.т])

задачи (5) - (7).

Определение. Стационарное решение v(x) задачи (5) - (7) назовем асимптотически устойчивым, если существует е > О такое, что из и„(х) £ <ч(о,1) и II«»!*) - ';(J:)lk'(o.i) < е вытекает существование дважды непрерывно дифференцируемого для t > 0 решения и(х, I) задачи (5) - (7), причем

tlim 1И«,0-"И1к+„(о>,) = °-

Тео]>ема 3.

Предположим, что все собственные числа задачи

д fb\ 0 fb\ Mw = wxx + — I - I w 4- -jy I ~ ) = /'w

V / w = v x / w = v

отрицательны и выполняется условие А, тогда стационарное решение v(x) задачи (5) - (С) устойчиво.

При выполнении условия Л показано, что если < v-> < t;3 — три стационарных решения задачи (5) - (6), причем v? — устойчиво, то если нет стационарных решений и>(а:) таких,

то ?1 < и' < V;!, то ?'1 (г) , 1<л(х) яилшотся границами оПлас.ти стоичивости решения »> (х).

На основании теорем, доказанных и - 3, и >¡4 получерны п еду ю 111,и с > ]) езу л ь тат ы.

Теорема 4. Существует хо тя бы одно управление ;>(/), для оторого функционал (4) принимает наименьшее возмож-ое значение.

Теорема 5. Для того, чтобы управление р(1) в краевой -»даче (1) — (3) было оптимальным, т.е. чтобы на соответ-гвующем ему ])ешении функционал (4) принимал наимепь-1ее возможное; значение;, необходимо, чтобы выгшлнялось егловие

/»(«(1,/),р(0)( = ) П(г(\.1),Р): (»)

Ь1<1

1е /1 = аир— [З/г, символ ( = ) ехзначает равенс/пш. е:прав(;д-ивш; не>чти П])И всех / из е)тр<;зка [0, 7'], п(х,1) является ре;-к;пием сешряжсчпшй задачи:

■"( + 1'х.с = ~1п (") ,

и(х.Т) = -2 [и{х,'Г)-„а(х)] ,

7,;г(0,/) = 0: и.т{ 1,0 + ее (/■( 1, = 0 .

Таким образе)м:

' 1 . е;е;л и ^ о([,1) > 1

р(0 = «ели 1^77 "(1.01 < 1

, -1 , е;сли ^ у(1,/.) < -1 ,

ели /(и) = /(.к,/) и. то условие (8) является необходимым и исгаточным.

Таким е)бразе>м, ес.ли оптимальный ре;жим осущис.гпля-гся па устойчивом стапнешарпом ])е;шепии. то управлять роце;е:се>м можно с помощью начальных данных, используя е)лучс;нные в данной главе; гранип.1>1 облас:те;й уе-ле>йчиве>сти гациешармых решений. Если оптимальный ]н;жим ое:ущее:-нляется на неустойчивом е,.тан,ионарне>м решении, то уп-авлячч. процессом, описываемым почти - линейным урав-ением, можно с помощью управления р(1), задаваемого на равезй границе.

Глава II. Оптимизации параметров газовых лазеров и ш линейно - оптических устройств.

В этой главе рассматриваются задачи, не имеющие; х; рактера классической .задачи оптимального управления ил вариационного исчисления.

Одной из них является задача беспринудительного о) лаждения газовой смеси.

!)1 этой главы имеет обзорный характер. В нем обсужд; ются принцип организации охлаждения газоразрядных л; зеров и основные характеристики теплосьема с его повер: ности.

В [¡2 показана принципиальная возможность охлаждено СОт - лазера при вводимой в разряд мощности с помощь оребрения внешней поверхности газоразрядной трубки.

Рассмотрим задачу в следующей постановке.

Рассчитать площадь оребрения так, чтобы при вводимс в разряд мощности температура внутри газоразрядно трубки не превышала заданного значения

Рассмотрим стационарный процесс теплопередачи и ц| липдрической стенке лазера, который может быть запися в виде системы уравнений теплопроводности соответсгве] по:

для плазмы газовой среды лазера: (0 < г < )'|)

сРт 1 лт

Лг'2 V Лг с/7' _ Аг г=о ~

. . . лт

1 ~Лг

А о (Г)

= 0; 0 < г < ;•]

= -«, (Г(О)-Г(гг));

Г=Г1

,ля стоики лазера:

<Р'Г 1 (ГГ

—• + - = 0; •;•!<?•< V,: иг- г аг

(£Г "с/г"

(£Г

с/г

I для 0 =; Т — /2 (избыточной температуры в ребре)

с/2/; I (Ю 2 а

Н?+-гТг--П0 = 0'Г*<Г<Гя> о

,10 Ж-

= 0.

)бозпачепия даны па рис.1.

Выписаны и проанализированы решения.

Если известны все параметры, входящие в систему уравнений. то мы получаем замкнутую систему для определения 1ЫСОТЫ ребра, правда, сильно нелинейную.

Заметим, что при расчете конкретной конструкции требуется оценить коэффициент теплоотдачи из плазмы га-швого разряда н стенку.

Для приближенной оценки площади оребрения мм вос-юльзуемся следующими соображениями.

Рис. 1. Теплопередача через круглое ребро постоянной толщины.

В смеси СО2 : N2 : Не основной перенос тепла из разряд на стенку осуществляется атомами гелия, которые пака] ливают энергию на метастабильных состояниях, разруш; ющихся при столкновении со стенкой, коэффициент отр жения метастабильных атомов от стенки составляет око; 20 %, таким образом, с томностью до 20 % можно счита-О'! = оо.

При этих предположениях площадь оребреппой повер

п и можно посчитать по формуле

Q

Т-

J - толщина стенки, А — коэффициент тенлонроиод-ги материала стенки, Т\ — площадь неоребренной ио-;ности. По этой же формуле, можно получить оценку .ности, вводимой н разряд, при которой возможно бес-^дительпое охлаждение. По приведенным расче там со-а действующая модель компактного лазера. !j3 рассчитана система воздушного охлаждении и N-j -PR-

этом случае газоразрядная трубка находится и алю-|еном корпусе, наполненным маслом. Оценка разности нратур внутренней и внешней стенки капилляра:

Q I" 7Т

/ — /

1 С 1 ' С->

А '2тг1

ляет установить, например, для трубки из Ве О, при

001 м; т-2 = 0,004 м: / = 0,2 м; А = 20« д = 500 вт. что 1 случае 1.,..2 - Ц < ?," К.

им образом, нужно рассчитать плош.адь оребрения посети корпуса так, чтобы температура масла не превы-знутри корпуса заданного значения.

ом случае коэффициент теплоотдачи п масла в стенку

:а мы определили экспериментально.

|цадь оребреиия можно оценить из формулы

д = -

тертом параграфе рассмотрена эффективность пе-ого преобразования при двухфотонно - резонансном ии частот.

чены соотношения, связывающие; коэффициент преоб-ия с начальными данными.

Глава III. Описание динамики газа и приосевой зоне вихревых аппаратов.

В данной главе обсуждается возможность описания стационарного осе.симметричиого цилиндрического вихря в приосевой зоне вихревых аппаратов с. помощью системы уравнений Навье - Стокса.

В §1 этой главы обосновывается выбор модели. В предположении, что тангенциальная компонента скорости г: зависит лишь от расстояния до оси, то есть v = v(r), получаем, что радиальная компонента скорости и = '<(' ). На основании экспериментальных данных можно считать, что осевая компонента w = w(r, z) линейно зависит от z.

Если обозначить Т = - —, 0 = —, w = ^ z, а через

»/ 1 I/ у / /1 • ' *

'•о

С>Г

то сист<!ма у1)авнепий приводится к виду:

rl/l _

~ 2х

[T'f-T" {T + -¿) + C

(8)

= (9)

с краевыми условиями

Я0) = 0, ^(1) = 0, = (10)

0( 0) = 0, 9(1) =01.

Целыо §2 является попытка описания полей скорости в приосевой зоне цилиндрического вихря в вихревом аппарате. Предлагается алгоритм решения уравнения (8), удовлетворяющего краевым условиям (10), учитывающий специфику этих уравнений.

Замена у = \ х приводит уравнение (8) к виду

Поэтому, если мы найдем общее решение при С = ±1, то найдем его при любом С. Решение уравнения (8) будем искать в окрестности х = 0 в виде ряда:

п*) = Е

а; X

(И)

1 = 1

Отметим, что Т'(0) = ль ао = —дал«« коэффициенты ряда находятся по рекуррентным фо]>мулам. Оценивается радиус сходимости ряда (11).

Краевая задача (8), (10) решается следующим образом. Задается произвольно а^. Для уравнения

Ф'" = —

УУУ 2у

(К

Ф»у(Ф +2)+ (-!)*

к — 1,2

решается задача Коти

ф(0) = о, ф'(о) = щ , ф"(0) = +

В окрестности у = 0 ищем в виде ряда. В зависимости от оценок радиуса сходимости, начиная с некоторого у > 0 переходим к счету методом Рупге - Кутта, где в качестве начальных данных взяты полученные значения Ф(у) , Ф'(?/) , Ф"(у). Вычисляем таким образом Ф и Ф', пока при некотором уо будет выполнено одно из условий

Ф(г/о)=^"о, либо

Ф'Ы = ^1 ■—•

.VI

Пусть выполнилось Ф(уо) = Ро, то Т{х) = Ф(у0,а;) удовлетворяет уравнению (8) с С = у $ при к = 1, или с С = —уЦ при к = 2.

Мы построим = <р{(11) при ^"(1) = То, (рис.2).

Рис. 2. График функции ф(а,).

7^ = 0, -2 < о, < 1, А = 1, с = 1.

В §3 предлагается метод сравнения результатов счета с экспериментом.

Сравнение результатов счета по уравнениям с измерениями осложняется тем, что введение зондового датчика в закрученный поток может вызвать сильные возмущения потока. При этом величина погрешности измерения для каждой из компонент скорости существенно изменяется но радиусу, что затрудняет введение поправок в результаты тарировок датчика. Вообще говоря, радиальная компонента скорости в приосевой зоне мала по отношению к другим

компонентам скорости и погрешности при ее измерении н иихреной камере; подд«пе>тся опенке; е-. трудом.

Лазе;рне) - дешпле;реже;кие; измерите;ли не>ле;й ске>ре)е:ти также; не; пе>зжшя1«>т нровее-Л'И надежные; измерения веч;х тре;х ке>миеше;нт «'.ке >ре>е:ти н нриек-.е;ве>й зе>пе; вихря. Поэтому е-.рав-не;пие; резул !> тате ж расчета п,еле»е'«>е>бразпе> ве;стн Д,ля пе>лей е:ке>ре»ети в вихрях е; сильной закруткой, и кеггорых + >> /г. г.а. для случая, когда неличина полной скороегги потока нолика по сравнению с исмигппши радиалытй кезмнонепты е:коре>е;ти.

На рис.З приве;де;пы регзультаты «•равнения V = с~ + рас-че;та е-. экв-.пе;рим«Н'тм.Здесь ■ 1и ен-.и е)рдипат е»тле>жс;по значение; V, а но оси абсцисс радиальная кемфдипата, отнесенная к радиусу выхлешного еггверстия )'о = 15 мм. Сплетшая линия — результаты счета. Точками нанесены результаты из-ме;реч(ий. Совпадемте расчета с измерениями при ()<?'< го указывае;т на применимость рае-е-.мотреипеж ос«;симме;три-че.екой Мендели для описания динамики вязкеж жидкости п приен-.евеш зоне нихрепых аппаратеэв.

С увеличением оттше'.ителыюй р:»диалыюй коирдапаты, т.е;. в области г > 7 ц расхе^жде;ние; между рассчитанными и изме;реп ны ми ве;л и чипами ве>зраста«;т.

Глава IV. Мате;матичее-.к«х; ме>дс;лирежапие. с]»изических |те>-ле;й в алюминиевом эле;кгролиз<;ре.

Предлагается чффектшшая математическая модель для расче;та линий течения металла и эле;ктре>лита. определения е-.коростей металла и элежтролита. расче;та г]>анин.ы раздела металл - эле;ктре)лит.

В '¡1 п])ивед,епа физическая постановка задачи, выделены основные <1>акторы, влияюнще на гидродинамику расплава. Здесь же; отмечено, что задача состоит в те)м, чтобы на основании мол ел и можно было судить е) количесгвештм и качественном изменении кеигструкции и параметров, что пе)31шляет управлять техпе)ле>гическим процессом.

В §2 приводится обоснование выбора математической модели. Оказывается, что модель Моро - Эванса, нашедшая

слое развитии и работах Бояревича, может быть модифицирована и применена для электролизеров Содерберга.

Рис. 3. Измеренные (точки) и рассчитанные (сплошная линия) значения полной скорости потока.

Кривая 1 - С = 3.84 г/с, 2 - О' = 4.69 г/с, 3 - С = 6.34 г/с.

Анализируется полная система магпито - гидродинамических уравнений. Предложенная В.В.Овчинниковым математическая модель для расчета плотности тока ] и магнитной индукции В, основанная на широком использовании натурных измерений, реально учитывающих зависимость этих величин от скорости, позволяет разделить систе-

му МГД - уравнений, так как находится зффоктишюе распределение плотности электромагнитных сил / = х В.

Далее и уравнениях движения оценивается вклад отдельных членов, и оказывается, что в первом приближении уравнения примут следующей вид:

I"л- <»>

~Р'=П-РгИ- (13)

2 !

Нз н2

и

1

2

у

1

Рис. 4. Схема модели электролизера. 1 - металл, 2- электролит, 3 - электролит в каналах по периметру ванны, 4 - анод.

Здесь при г = 1 уравнения выполняются в металле, при г = 2 уравнения выполняются в электролите (рис.4), Р — давление, Па; = (и,г>,м) — скорость, м/с; р — плотность, кг/м3, / = (/х, Л) — электромагнитные силы; ыт — турбулентная вязкость, м~/с; Н\ = 0,48 — толш,ина слоя металла, м; — — 0,05 — толщина слоя электролита до анода, м; Ь = 9,4 — длина ванны, м; / = 3 — ширина ванны, м. В качестве характерной скорости взято V ~ 0,1 м/с, г/г = Ю4^ ~ Ю-2 м2/с.

Обосновывается выбор гипотезы для турбулентного трения в виде:

1 ( ди' \ н,

Н{ -Я.-1 \PiVT, «г) Я.--1

1 ( (V \ н.

Н{ — 1 ( РИ'т, и,-1

= -к < и' >, = -1ц < и' >,

(14)

(15)

где — коэффициент турбулентного трения, а скобками < > обозначено осреднение соответствующей величины по глубине каждого слоя.

Для давлений в металле и электролите мы получим следующие задачи:

д < РХ >= 4- < й > </1>,0<х<Ь,0<у<1

ах оу -1

< Р1 >= Рх И + {Из - Я,) , при х = 0 ; х = Ь , у — 0 ;у = /.

Д < Р2 >= А < /2 > + А < /2 > , () < х < I, о < у < I ах ' ау у

< Р2 >= Р2 д

Н з

Н1 + //■,

при

х = 0] х = 1, у = 0;у-1.

Введем функцию тока следующим образом:

—- = -/.•,•<«' >, —— = к, < V >,=i.-j (18)

Oy . rix

и получим на Ф' следующие задачи:

аф! =. </;. > </;>,

УФ'

-= 0 при х = 0;

с)у

<9Ф''

-= О при у = 0;

(7.т

/ = 1,2.

Так как рассматривается стационарный случай, то линии тока функций Ф1 (х, у) = const дают траектории движения металла при г = 1 и электролита при i = 2.

В 3 проводится расчет линий течения металла и электролита и определяется поверхность раздела металл - электролит.

Форма поверхности раздела определяется из формулы:

х = L

(19)

Hi (ri у) =

(Р2 - т )д + /.'

Н; + НЛ Н1 , нх < Р2 > - < Р1 > +P2Ü 2 - PUI— + /I -у

(20)

Относительная деформация АН = II i(x, у) — Н\. На рис.5 представлена форма поверхности раздела для реальной ванны.

Рис. 5. Поверхность раздела металл-электролит.

ток серии

Рис. 6. Линии течения в металле (расчет).

г

10

20

40

60

Рис. 7. Линии течения в металле (эксперимент).

На рис..в и 7 представлены экспериментальные и расчетные линии течения металла. Материал эксперимента представлены В.Ю.Бузуновым. Расчет проводился при тех же условиях, что и эксперимент.

Качественное совпадение подтверждает правомерность использования модели.

В §4 определяется скорость течения в металле и электролите;.

Основной трудностью является определение коэффициентов к{ в (18). В литературе отмечается, что "ни при каком методе определения к; не удается избежать введения эмпирических констант"'. Тем не менее очень важно для приложении оценивать Вообще говоря, к; является переменной величиной. Из формул (18) находим экспериментальные значения к* и вычислим средние значения.

По результатам измерений на трех ваннах к* ~ (5 • 10' — !() • 10". Теоретически можно оценить к\ ~ и по тем же

ваннам к\ ~ 6 • 102 ~ 14 • 10"'.

Приведено сравнение максимальных и средних скоростей и металле, вычисленных по формулам (18) и определенных экспериментально.

Для электролита приведена опенка

Скорость течения электролита определяется из (18), исходя из оценки к-,.

Предлагаемая методика позволяет уточнить оценку турбулентной вязкости. Так, для рассматриваемой ванны иТ] ~ 5 • Ю-2 - 13 • 10-'"'.

В §5 проводится численный эксперимент определения влияния компонент магнитного поля (В:г, Ву, И~) па форму поверхности раздела, линии течения в ме талле; и электролите.

С помощью этого эксперимента проведен анализ различных типов ошиновок электролизных ванн, так как именно ошиновками формируется магнитное поле.

Основные результаты.

Диссертация посвящена созданию или применении) эффективных математических моделей для описания физических явлений, связанных с распространением тепла, движением жидкости и газа, рассмотрению различных постановок задач оптимизации и управления физическими или технологическими процессами, и разработке математического аппарата для решения соответствующих задач.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты.

1. Рассмотрена задача оптимального управления тепловым процессом, описываемым почти - линейным уравнением параболического тина. Получено необходимое условие оптимальности. В случае, если уравнение линейно»;, то получено необходимое и достаточное условие.

2. Получена оценка первой производной и теорема об устойчивости стационарного решения первой краевой задачи

для квазилинейного параболического уравнения при имнил-нении условия А.

Граним,ы области устойчивости позволяют обеспеч ить у<\-тойчииость процесса за счет выбора начального режима.

3. Впервые; предложен расчет конструкции компактного СО_> - лазера с воздушным охлаждением, па основании которых создана промышленная модель компактного лагзера.

4. Предложенный и реализованный в диссертации подход к расчету системы воздушного охлаждения позволяет оценить, при каких мощностях, вводимых в разряд, что возможно сделать, а при каких пет.

5. Анализ математической модели, описывающей четы-рехволповой процесс, позволяет найти связь между коэффициентом преобразования, начальными плотностями потоком излучения и коэффициентами восприимчивости. Выделена область начальных данных, при которых коэффициент преобразования равен 0.2.

0. На основании исследования нриосевой зоны осесиммет-ричного вихря предложен метод описания эксперимента и па его основе - расчет тех величин, которые в эксперименте по измеряются.

7. Предложенный и реализованный в диссертации подход к расчету поверхности раздела металл - электролит, расчету линий и скоростей течения металла и электролита позволяет по состоянию электромагнитных сил следить за поведением электролизной панны.

Совокупность результатоп, полученных в диссертационной работе, позволяет заключить, что пнесено крупное достижение в развитие математических моделей и методов их исследования. Большая часть из них нашла непосредственное применение в физических исследованиях и технологических приложениях.

Основные результаты диссертации опубликованы н следующих работах:

1. Проворова О.Г. К вопросу о поведении при большом времени решений параболических уравнений // Дифферен-

циальнме уравнения, 19G9. т. 5. № 1.

2. Проворова О.Г. О существовании "в целом" и поведении решений квазилинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной// Динамика сплошной среды, 1972, в.11.

3. Проворова О.Г., Прушковский К.В., Пичужкои В.В. Отчет о научно - исследовательской работе, JNfc государственной регистрации 7901172G// Новосибирский инженерно - строительный институт им. В.В.Куйбышева, г. Новосибирск, 1979.

4. Проворова О.Г. Об одной системе с раснр<деленными параметрами // "Управляемые системы, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1975, в. 14, стр. 34 39.

5. Зеленяк Т.И., Кислых В.И., Проворова О.Г. Об одной модели динамики газа в приосевой зоне вихревых аппаратов// Динамика сплошной среды, 1980. в. 4G. стр. 33 — 44.

G. Зеленяк Т.И.. Кислых В.И.. Проворова О.Г. Осесим-метрическая модель вихря в вязкой несжимаемой жидкости // Тезисы доклада на Всесоюзном совещании по математическому моделированию и управлению высокотемпературными процессами в циклонных и вихревых аппаратах. Одесса. 1980.

7. Проворова О.Г. Методические указания по изучению курса "Математические методы моделирования и управления" . НИСИ им. В.В.Куйбышева, г. Новосибирск, 1981.

8. Попов А.К., Проворов A.C., Проворова О.Г. и др. Исследование нелинейных оптических процессов в атомных и молекулярных средах. Отчет по научно - технической программе "Лазеры". № Гос. регистрации 0181920G677, г. Красноярск, 1986 г.

9. Проворова О.Г. Расчет системы воздушного охлаждения газоразрядного лазера // Депоп. в ВИНИТИ. 198G, № 7333 - B.8G от 21.10.86, 8 стр.

10. Проворова О.Г., Архипкин В.Г., Пискажова Т.В. Предельный коэффициент преобразования при двухфотонпо -

резонансном четырехволновом смешении частот и газах // Доклад, на Всесоюз. семинаре по резонансным нелинейным оптическим процессам и газах, г. Дииногорск, 1980.

11. Реушев М.Ю., Проворов А.С., Пропорола О.Г. Отчет по теме; НИР № 271 "Оптимизация параметром полноводного газового лазера высокого давления". 1986, КГУ, г. Красноярск.

12. Кухлевский С.В., Реушев М.Ю., Проворова О.Г. и др. О тчет по НИР № Ф-4 *'Исследование и моделирование физических процессов в полноводных газовых лазерах". 1986, КГУ. г. Красноярск.

13. Проворова О.Г., Овчинников В.В., Лобанов М.А. и др. Отчет о НИР "Разработка пакетов программ для расчета конструктивных изменений ошиновки электролизеров КрАЗа", 1991, г. Красноярск.

14. Проворова О.Г.. Овчинников В.В.. Лобанов М.А.. Пискажова Т.В. Отчет о НИР "Разработка пакета программ для расчета горизонтальных токов, магнитного поля и поля скоростей в области металла в электролизерах КрАЗа'1,

1992, г. Красноярск.

15. Проворова О.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Текст лекций. Красноярск: изд-во КрасГУ,

1993.

16. Проворова О.Г., Поляков П.В., Пискажова Т.В. и др. О тчет о НИР "Математическое моделирование физических нолей в электролизерах различной конструкции", 1995, г. Красноярск.

17. Овчинников В.В., Пиигип В.В., Проворова О.Г., Горин Д.А., Пискажова Т.В., Бузунов В.Ю. Моделирование распределения электрического, магнитного и гидродинамического полей в электролизере Содерберга. Препринт №7-9G. Красноярск. 1996.

18. Goriii D.A., Ovtcliiunikov V.V.. Provorova O.G., Pingin V.V., Piskazhova T.V. VSS cell electric, magnetic and hydro-dynamic fields distribution modelling. Light metals, 1996, v.47, № 11.

19. Овчинников В.В., Проворова О.Г., Пишии В.В., Пис-кажова Т.В. Математической моделирование МГД- процессов в алюминиевом электролизере. Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИН-ПРИМ - 96). тез. доклада, г. Новосибирск. 1990.

20. Овчинников В.В., Пингин В.В., Проворова О.Г., Пис-кажова Т.В. Математические модели и МГД - явления в электролизере Содерберга // Цветные; металлы. 1997, № 1.

21. Зеленяк Т.И., Кельман Н.Э.. Кислых В.И., Проворова О.Г. К вопросу о моделировании течений в вихревой камере // Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов). Международная конференция. Тезисы докладов, г. Красноярск, 1997.

22. Проворова О.Г.. Пингин В.В., Пискажова Т.В., Горин Д.А. Оценка магнитогидродинамической устойчивости электролизеров с обожженными анодами // Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов). Международная конференция. Тезисы докладов, г. Красноярск. 1997.

Введение.

Глава I. Управление процессом, моделируемым почти - линейным параболическим уравнением.

§1. Функционалы Ляпунова и априорные оценки

§2. О максимальной области существования решений первой краевой задачи

§3.06 устойчивости стационарных решении смешанных задач для квазилинейных уравнений параболического типа.

§4. Решение задачи оптимального управления для почти линейного параболического уравнения

Глава II. Оптимизация параметров газовых лазеров и нелинейно - оптических устройств.

§1. Принципы организации охлаждения газоразрядных лазеров и основные характеристики теплосъема с поверхности

§2. Расчет системы воздушного охлаждения газоразрядного лазера

§3. Расчет системы воздушного охлаждения в N2 - лазере.

§4. Оптимизация коэффициента преобразования для четырехволновых процессов.

Глава III. Описание динамики газа в приосевой зоне вихревых аппаратов

§ 1. Постановка задачи и выбор модели.

§2. Исследование приосевой зоны на основании математической

ЛМ5-ТеХ & КрасТУ-Т&. модели.

§3. Сравнение результатов расчета с экспериментом

Глава IV. Математическое моделирование физических полей в алюминиевом электролизере.

§1. Постановка задачи.

§2. Выбор модели для описания МГД - явлений в электролизере

Содерберга

§3. Расчет линий течений металла и электролита и определение поверхности раздела металл - электролит

§4. Определение скорости течения в металле и электролите.

§5. Анализ состояния электролизера на основании численного эксперимента.

Несмотря на то, что математическое моделирование в науке и технике наряду с экспериментом являются двумя равноправными составляющими научного исследования, создание эффективных математических моделей наталкивается на серьезные трудности. В реальных физических, технологических процессах присутствует большое количество разных факторов, находящихся в тесной взаимосвязи. Для использования в прикладных вопросах к моделям предъявляются вполне конкретные требования.

Прежде всего следует выделить основную проблему, для решения которой используется математическая модель, далее автор последовательно осуществляет следующие этапы работы с моделью: постановка задачи, выделение основных факторов; составление (или выбор) математической модели; проверка адекватности модели, сопоставление расчета и эксперимента; проверка эффективности модели, т.е. отклика на изменение основных параметров; численный эксперимент; использование математической модели в технологическом процессе для управления или конструирования.

Математическое моделирование, в свою очередь, стимулирует исследования в "чистой математике". Так, вопросы качественной теории краевых задач для квазилинейных уравнений параболического типа стали актуальными в связи с теорией математического моделирования химических процес

ДМ5-ТБХ & /СрасТУ-ТЕХ 4 сов. В работах [1] - [3] исследовались вопросы устойчивости стационарных решений смешанных задач для квазилинейных уравнений параболического типа. В [4] был получен результат о стремлении ограниченного решения к стационарному для автономного квазилинейного параболического уравнения второго порядка. В [5] - [10] эти работы были развиты для неавтономных уравнений. В связи с этим автором были получены априорные оценки первой производной при условиях, отличных от условий, при которых получены оценки в [14] - [16].

В [43] - [45] решается задача оптимального управления для уравнения теплопроводности в классической постановке. В [43] доказано существование и единственность решения задачи оптимального управления, в [12] выведены необходимые и достаточные условия оптимальности, в [44] приводится численное решение этой задачи. При этом существенным является то, что решение разлагается в ряд по собственным функциям. Автором в [46] получены необходимые условия оптимальности для почти - линейного уравнения, если /и < к. Если уравнение линейное, то получены необходимые и достаточные условия оптимальности. Позднее задачи управления неадиабатическим трубчатым реактором, используемым в химической технологии, исследовались в работах [47], [49]. Математическая модель реактора задавалась системой интегро - дифференциальных уравнений.

При оптимизации параметров газовых лазеров и нелинейно - оптических устройств задача не имеет характера классической задачи вариационного исчисления или классической задачи оптимального управления. Так, при конструировании газовых лазеров большое значение имеют вопросы охлаждения газовой смеси, поскольку температура газа во многих случаях определяет заселенности уровней и соответственно коэффициенты усиления активной среды.

Для многих приложений [50] очень важно иметь компактный отпаянный лазер, который не был бы связан с водяным источником охлаждения. Обычно при конструировании радиоэлектронных приборов, требующих для своей нормальной работы развитой внешней поверхности, используется ореб-рение. Автором в работах [51], [53] впервые рассмотрена принципиальная возможность воздушного охлаждения капилляра за счет оребрения внешней поверхности. Вторая работа в России в этом направлении [59] появилась через 5 лет. Автором был рассмотрен стационарный процесс теплопередачи в цилиндрической стенке лазера, который может быть записан в виде системы уравнений теплопроводности. При этом нужно решить следующие вопросы: исследовать принципиальную возможность охлаждения газовой смеси до фиксированной температуры за счет оребрения; в тех случаях, когда это возможно, рассчитать площадь поверхности оребрения.

Здесь, кроме теоретических, встречаются чисто практические трудности. Если коэффициент теплопроводности табличная величина, то коэффициент теплоотдачи не является табличной величиной и подлежит либо оценке, либо экспериментальному определению. При расчете мы использовали феноменологический подход. Требующиеся для расчетов параметры либо оценивали на основании физических результатов, либо определяли экспериментально. Расчет системы охлаждения был доведен до построения реального лазера.

В лазерной оптике одной из важнейших задач является усовершенствование методов эффективного преобразования частоты лазерного излучения. а2

Коэффициент эффективности преобразования вводится как т/ = где а8

30 амплитуда генерируемого поля.

Процесс сложения частот в условиях двухфотонного резонанса широко используется в ультрафиолетовом (УФ), вакуумно - ультрафиолетовом (ВУФ) и инфракрасном (ИК) диапазонах спектра. При апконверсии частот слабого ИК излучения достигнут коэффициент преобразования (КП) ~ 40 - 65 процентов [80], [81], а при генерации ВУФ излучения [82] - [86] максимально достигнутый коэффициент преобразования составляет ~ 1 процент. Однако вопрос о предельно достижимом коэфициенте преобразования в процессах нелинейного смешения все еще остается открытым. Вопрос о предельных значениях КП в процессах смешения частот типа т3 = 2уо\ ± IV 2 приведен в работе [86]. Автором анализируется вопрос о предельно достижимом КП при сложении частот самого общего вида ии3 = и)х -{- и)2 и>з при условии, когда сумма частот и>1 + и>2 = юпд, где — частота двухфотонного перехода . Анализ делается на основании математической модели. Заметим, что вследствие того, что сигналы с трудом отличимы от шумов, эксперимент был выполнен после того, как на основании математической модели было указано соотношение на начальные поля и был проведен численный эксперимент.

Изучение закрученных потоков жидкости представляет значительный теоретический и практический интерес. Течение жидкости в вихре имеет весьма сложный характер. При расчетах полей скоростей и давления используется большое количество эмпирических и полуэмпирических зависимостей. Одной из первых работ, посвященных попыткам численного решения уравнений Навье - Стокса для закрученных потоков, является работа [63]. В расчетах вихревого движения вязкой жидкости предложен ряд разностных схем.

Анализ сходимости предложенных схем, как правило, до конца не проводился, что связано прежде всего с нелинейностью уравнений движения жидкости и газа.

В данной работе обсуждается возможность описания стационарного осе-симметричного цилиндрического вихря в приосевой зоне на основе системы уравнений Навье - Стокса.

Показана возможность количественного описания приосевой зоны на основе выбранной модели, определяются параметры модели [64], [65], [66], [67].

Результаты экспериментов [69], [70], [72] показывают, что в вихревых камерах цилиндрического вида возможно образование зоны, в которой движение однородной вязкой несжимаемой жидкости является осесимметричес-ким, причем радиальная и тангенциальная компонента вектора скорости зависят лишь от расстояния до оси цилиндра, осевая компонента растет линейно по г вдоль оси цилиндра.

В известных нам из публикаций теоретических работах вопрос о возможности описания эксперимента с помощью математической модели не обсуждался. На основе численного решения этих уравнений делались лишь гипотетические заключения о возможных свойствах вихревых течений вблизи оси.

В наших работах [64], [65], [66] предложен метод сравнения результатов расчета с экспериментом. В них предлагается вести сравнение результатов расчета для полей скорости в вихрях с сильной закруткой, в которых V2 + ги2 » и2, т.е. для случая, когда величина полной скорости потока велика по сравнению с величиной радиальной компоненты скорости. Таким образом, параметры в задаче выбираются такими, чтобы квадратичное отклонение рассчитанной функции V2 = ао + Ь^(Т')2 от экспериментальной было наименьшим. После того, как параметры таким образом выбраны, можно рассчитать радиальную компоненту скорости, которая в эксперименте не измерялась.

На основании системы уравнений магнитной гидродинамики (МГД - уравнений) автором проведено исследование влияния электромагнитных полей на движение металла и электролита в алюминиевых электролизерах Красноярского алюминиевого завода (КрАЗа). В мировой литературе работы, посвященные математическому моделированию процессов в электролизере, появились сравнительно недавно [90], хотя экспериментальное измерение скорости движения расплава с помощью радиоактивных изотопов было проведено еще в 1973 г. [92], а экспериментальное исследование влияния электромагнитных полей на поверхность расплавленного металла начали проводить в России в 1959 г. [94].

Для различных типов электролизеров математические модели будут разными. Автором исследуются вопросы, связанные с процессом Эру - Холла производства алюминия на необожженных анодах. Следует отметить, что работы отечественных авторов являются наиболее обоснованными и доказательными.

Кроме обычных требований, предъявляемых к математическим моделям, в данной работе должны быть выполнены следующие: модель должна быть привязана к измеряемым и поддающимся регулированию параметрам.

Будем называть такие модели феноменологическими, так как при их применении используются реально замеренные величины. Приведем краткое описание процесса и имеющиеся в этом направлении результаты.

Процесс Эру - Холла производства алюминия основан на электрохимической реакции превращения глинозема в алюминий.

Электролизер состоит из угольного анада, погруженного в расплавленный криолит. Криолит является электролитом, в котором растворен глинозем. Ванна заполнена расплавленным алюминием, являющимся катодом. Анод взвешен в расплавленном электролите. В процессе работы анодный материал расходуется, поэтому анод должен непрерывно опускаться для сохранения фиксированного расстояния анод - катод.

В электролизере Содерберга анод обжигается на месте, для этого используется тепло от пиролиза угольной пасты. Электрические контакты сделаны посредством вертикальных штырей.

В принципе магнитное поле, электрическое, скорости движения металла и электролита, тепловое поле могут быть рассчитаны путем решения полной системы магнито-гидродинамических уравнений. Но всем хорошо известны сложности на этом пути. Кроме общеизвестных трудностей, связанных с постановкой краевых условий и решений уравнений движения жидкости и газа есть проблемы, связанные с практическим применением математических моделей. Следует отметить, что каждый электролизер имеет собственную топологию течения расплава. Отсюда неопределенность диагностики, контроля, управления.

На работу электролизера оказывает влияние, например, соседний ряд электролизеров. Таким образом, нужно создать такую модель, которая реагировала бы на изменение конкретных параметров, поддающихся управлению. Па Красноярском алюминиевом заводе (КрАЗе) в настоящее время работают мощные электролизеры, рассчитанные на 165 кА. Как отмечено в [99], влияние на гидродинамические процессы в жидком электролите и металле, а также на физико - химические процессы в них электромагнитных сил, пропорциональных квадрату тока, очень велико. Эффективность работы электролизера оценивается выходом металла по току (77). В [117] анализируется механизм выхода по току в современных ваннах с теоретической и практической точек зрения. Обсуждаются различные факторы, влияющие на 77, такие как циркуляция электролита под действием электромагнитных сил, диффузия металла, температурный баланс и т.д.

В литературе имеется ряд эмпирических и теоретических формул, характеризующих выход по току. Согласно эмпирической формуле Коробова: г] = 1 - 256700 • 5а0'21 / (/а0'58 . Ь • е1294°/т), где

5а — площадь анода, м2;

За — анодная плотность тока, А / см2;

Ь — междуполюсное расстояние, см;

Т — температура электролита.

Изменение выхода металла по току в зависимости от формы поверхности металла определяется следующим образом: где г]н — номинальный выход по току, — коэффициент, учитывающий влияние перекоса металла, и) — отношение фактического и номинального тока серии. Зависимость выхода по току от скорости дается формулой : где к — коэффициент, учитывающий физико - химические свойства электролита и особенности технологии;

V — скорость движения межфазной жидкости.

По одной из гипотез, снижение выхода по току пропорционально г - ротору в электролите: где /с — ток серии, А;

5 — площадь электролита.

На выход по току металла существенное влияние оказывает форма раздела поверхности металл - электролит и циркуляция металла и электролита [92], [93], а в результате увеличения мощности электролизера эти эффекты стали играть очень важную роль. С одной стороны, необходимо обеспечивать

Л?7 = (1 ~ Цн,) • / / и) ; г] = 1 - к - V

0,83 3 симметричность и многоконтурность расплава, избегать застойных зон. С другой стороны, с увеличением скорости расплава снижается выход по току, быстрее размываются стенки электролизера.

Необходимость оптимизации магнитных полей от различных токонесущих частей электролизера была осознана уже давно [89], но изучение магнито-гидродинамических (МГД) явлений с целью управления процессом началось сравнительно недавно [90], [91].

В связи со значительной затрудненностью непосредственных измерений на ванне (высокая температура 963° С, химическая агрессивность расплавов, сильные магнитные поля), а также высокой стоимостью различных модификаций конструкции широкое распространение получили методы математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Приведем обзор работ, представляющих практический интерес.

Работа [118] содержит подробную математическую модель для описания стационарных магнитогидродинамических состояний электролизера при следующих физических предположениях: жидкости несмешиваемы, несжимаемы; течение описывается уравнениями Навье - Стокса; электромагнитные поля определяются уравнениями Максвелла, законом Ома; выполняется закон сохранения массы; давление считается константой на свободных поверхностях; вязкость рассматривается как параметр.

Выводятся уравнения для нахождения распределения плотности электрического тока, магнитных полей, нахождения скорости движения жидкости, распределение давления. При этом используется предположение о бесконечной длине электролизера. Авторы работы [118] считают, что для реальных электролизеров это предположение ослабляется учетом расхода жидкости. В этих предположениях обсуждаются результаты вычислений для реальных электролизеров. Представлены примеры распределения потенциала, скорости, магнитных полей, определенных в поперечном разрезе. Работы зарубежных авторов, в основном, относятся к электролизерам с обожженными анодами, а не к электролизерам Содерберга.

Гидродинамическое моделирование обслуживания коммерческого электролизера описано в работе [119]. Показаны различные образцы течения и поверхности для разных конструкций электролизера и изменений в управлении. Форма поверхности раздела зависит от дивергенции Лоренцевых сил. Волновое движение может быть дано взаимодействием между током и изменениями магнитных полей. Индуцированный ток частично подавляет этот эффект. Отмечены интересные эффекты : сильное влияние настыли на горизонтальный ток, соответствие ряби на поверхности раздела петлям течения, некоторое соответствие течения электролита (без учета газовыделения) и металла. Рассматриваются расчеты с учетом и без учета настыли. В случае отсутствия настыли скорости течения становятся значительно больше и форма поверхности раздела значительно деформируется по краям. Рассматривается случай попарного отключения анодов. Под отключенными анодами наблюдается возмущение течения (на рисунке незначительное) и "ямки" под отключенными анодами. Рассчитывается развитие событий с интервалом по времени после отключения анодов. Отмечено увеличение вогнутости поверхности сразу после отключения, значительные деформации в углах ванны, стабилизация с течением времени.

Работа [115] подчеркивает значительные экономические успехи в связи с улучшением МГД - ситуации в алюминиевом электролизере и при отливке жидкого металла. В течение последних нескольких лет (с 1973 г.) центр АЪиБХЛЗБЕ - ЬО^А занимался улучшением управления электролизера. За это время потребление энергии было снижено с 15,1 до 14,2 к^Ь/к^А!, выход по току повысился с 88 % до 93 % и время жизни ванны увеличилось до 2000 дней. Отмечается, что электромагнитные силы могут играть пассивную и активную роль в МГД - процессах. Описываются гипотезы и вычислительная методология, положенные в основу модели: вычисления ведутся в трехмерном пространстве; учитывается эффект стальных частей; поле скорости вычисляется по уравнениям Навье - Стокса с постоянной эффективной вязкостью в стационарном случае; пренебрегается газами и при перерасчете индуктивной составляющей не учитывается форма поверхности раздела.

Представлена итерационная схема расчета течения с выходом на критерии стабильности. Граничные условия учитывают форму поверхности металла, профиль настыли, свойства материалов, анодные замены.

Эффективная вязкость определяется с помощью экспериментальных данных. Модель постоянно согласуется с экспериментами. Рассматривается поле скорости в случае различных токоподводов и также возмущение потока в случае анодной замены. Последний эффект более нагляден, чем в предыдущей работе, наблюдается сильное возмущение под меняемым анодом, это может привести к нарушению технологического режима. Неоднократно подчеркивается необходимость управления течением для получения хороших производственных результатов.

В работе [120] уделяется значительное внимание изменениям течения и скорости в случае замены угловых анадов, а также в случае нарушения связи между различными анодами. Рассчитанные поля скорости сравниваются с замеренными скоростями. Наблюдается некоторое соответствие.

В [93], [90] отмечается, что движение расплавов определяется действием сил, вызванных взаимодействием между электрическим током и магнитным полем, выделением газа на аноде, градиентами температур в электролизере. Одним из первых обратил внимание на циркуляцию электролита и алюминия на электролизерах большой мощности С.М.Мещеряков [121]. Он предположил зависимость циркуляции от сил, вызванных взаимодействием электрического тока и магнитного поля, дал приближенные схемы движения расплавов.

Измерения на работающих электролизерах затрудены из-за высокой температуры 960° С) и химической агрессивности криолитового расплава. Попытка измерить циркуляцию электролита и алюминия на промышленных электролизерах методом радиоактивных изотопов была впервые предпринята М.Ф. Даграмаджи и В. Н. Рудаковым [94]. Ими также были получены приближенные формулы для нахождения колебаний границы раздела металл -электролит. В [95] также методом радиоактивных изотопов получены схемы движения расплавов, подобные схемам в работах [94], [96]. В автореферате Н.С.Сираева приведены результаты измерения скорости течения электролита и металла, контуры течения. Скорость течения поверхностных слоев электролита в пространстве борт - анод 18 - 30 см/с. Повышенная скорость — правый угол выходного и левый угол входного торцов. Скорость электролита под анодом значительно выше, чем над металлом, из-за газов. Тепловая конвекция играет крайне малую роль — до 1,5 см/с. Циркуляция электролита в междуполюсном зазоре (МПЗ) и металла очень похожи. Толщина газоэлектролитного слоя в МПЗ до 2,2 см. Также имеются работы по измерению скорости металла методом растворения железных стержней [97].

Исследования распределения скоростей расплава алюминиевого электролизера, проводимые на промышленных агрегатах, приведены в работах [95], [97], [122], [123]. Прямые измерения скорости на магнитогидродинамичес-ких моделях [124], [125] дают хорошие результаты, но требуют уникального аппаратурного оформления. В [126], [127] предпринята попытка изучения характера движения на физической модели электролизера с помощью построения распределения электромагнитной силы по данным измерений плотности тока и индукции магнитного поля. Там показана хорошая корреляция между визуально наблюдаемым характером течения и полем электромагнитной силы. Такой подход возможен, если можно наблюдать движение расплава. Если же визуальное наблюдение недоступно, то по полю электромагнитной силы весьма трудно предсказать характер течения. Кроме того, такие исследования малодоступны в условиях промышленного эксперимента из-за невозможности аппаратурного оформления измерения горизонтальных токов в расплаве. В [100] проведено численное исследование течений расплавов в алюминиевом электролизере в поперечном разрезе. В работе [112] рассматривается допустимость того или иного приближения в зависимости от мощности электролизера. В работе [105] была предложена, а в [106], [107] получила свое развитие модель Моро - Эванса, основанная на оценке вклада отдельных членов. В этих работах плотность тока считается линейной функцией координат. Нами в работах [108] - [111] предложена модель для расчета плотности электромагнитных сил, усовершенствована модель [106], [107] для рассматриваемого типа электролизеров, предложены другие краевые условия, компоненты плотности тока не являются линейными функциями координат. Предложена оценка коэффициента турбулентного трения в металле и электролите. Проведены исследования влияния магнитного поля на форму поверхности раздела металл - электролит и на линии течения в металле и электролите.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии.

Заключение

В представленной диссертации рассматривается ряд задач, связанных с математическим моделированием теплофизических процессов, их управлением или конструированием. Задачи оптимизации процесса (физического или технологического) не всегда носят классический характер задач вариационного исчисления или задач оптимального управления.

В первой главе рассматривается задача управления тепловым процессом, описываемым почти - линейным параболическим уравнением, где состояние управляемого объекта характеризуется функцией и(х, которая является решением следующей задачи: где ¡и < к.

Требуется найти в классе измеримых функций р(£), почти всюду по модулю не превосходящих 1 такую, чтобы функционал принимал наименьшее значение.

Доказано существование такого управления, получено необходимое условие оптимальности для почти - линейного уравнения и получено необходимое и достаточное условие оптимальности в случае, когда /(и) = /(ж, ¿) • и.

Лм^-ТЕХ & КрасТУ-ТШ 186

Щ = ихх + ¡(и), ¿>0, 0 < ж < 1; и(х,0) = 0, (0<ж<1), 1^(0,*) =0, t>0; иж(1, ¿) + аи(1, ¿) = ар(Ь), а = const > 0 , t>0 1 т о о

Автор получает результаты, касающиеся оценки \их(х, ¿)|с(од)> существования решения и устойчивости стационарного решения для квазилинейного параболического уравнения, которые приведены им в §1 - §3 первой главы.

Во второй главе рассматривается задача расчета системы воздушного охлаждения газоразрядного лазера.

В §1 этой главы рассматриваются принципы охлаждения газоразрядных лазеров, анализируются основные характеристики теплосъема с поверхности. Далее проанализирована принципиальная возможность беспринудительного охлаждения за счет оребрения внешней поверхности. В данном случае задача управления ставится так: при заданной вводимой в разряд мощности требуется рассчитать площадь оребрения так, чтобы внутри газоразрядной трубки температура не превышала заданного значения . Предложен метод расчета, рассчитана система воздушного охлаждения для волноводного СС>2 - лазера. На основании этого расчета была создана действующая модель компактного лазера. Приведен расчет системы воздушного охлаждения для N2 - лазера. Полученные формулы позволяют оценить, при какой мощности <5 беспринудительное охлаждение возможно, а при какой — нет. В этой же главе анализируется математическая модель, описывающая че-тырехволновой процесс. В случае фазового согласования, и при наличии так называемого " захвата фаз", систему уравнений можно привести к виду: = —аз кп[ка$а3- а± а2] , daz da\ df da2 as к n [к аз as — ai a2] , = a2 к n [к аз as — ai a2] , = ai к n [к аз as — ai a2] , ai(0) = ai0, а2(0) = а2о, аз(0) = а30, a5(0) = 0.

Требуется найти такие аю, а2о, азо, чтобы коэффициент преобразования г] = принимал максимальное значение. Автором найдены первые интег-азо ралы этой системы, найдена связь между коэффициентом преобразования г), начальными плотностями потоков излучения а2о / аю; азо / аю и параметром к. Полученное соотношение позволяет сделать некоторые выводы о коэффициенте преобразования в конкретных ситуациях. В частности при к = 1 при а2о / аю = 1 и а30 / аю = 1, Vmax = 0,2.

В третьей главе обсуждается возможность описания стационарного осе-симметричного цилиндрического вихря в приосевой зоне вихревого аппарата.

В случае, когда в вихревой камере цилиндрического вида возможно образование зоны, в которой движение однородной вязкой несжимаемой жидкости является осесимметрическим, причем радиальная и тангенциальная компонента вектора скорости зависит лишь от расстояния до оси цилиндра, а осевая компонента растет линейно по z вдоль оси цилиндра, система уравнений Навье - Стокса, записанная в цилиндрической системе координат, расщепляется, и для Т = — —, где и — радиальная компонента скорости, получаем следующую задачу:

Т"> = i- [(Г')2 - Т'\Т + 2) + С] , zx

Т{0) = О, Г(х0) = То , ^(хо) = Ti, (ж = ) .

Предложен метод решения краевой задачи. Так как при ж — 0 уравнение имеет особенность, решение ищется в виде ряда оо

Т = ai х%, ¿=i получены рекуррентные формулы для отыскания коэффициентов ряда. Предложена методика сравнения с экспериментом, впервые показана возможность описания эксперимента с помощью системы уравнений Навье - Стокса. Это позволяет рассчитать величины, которые в эксперименте не измерялись.

В четвертой главе исследуется влияние электромагнитных сил на линии течения металла, электролита, скорости течения, форму поверхности раздела металл - электролит. Главным показателем работы алюминиевого электролизера является выход металла по току. Имеется ряд эмпирических формул, связывающих показатель выхода по току с различными характеристиками электролизной ванны, в частности, с формой поверхности раздела металл - электролит, со скоростью, с температурой и т.д.

В основе математической модели лежит полная система уравнений магнитной гидродинамики. В работах [108], [109] предложена математическая модель для расчета (плотности тока) и ~Й (магнитной индукции), основанная на широком использовании натурных измерений, реально учитывающих зависимость и if от скорости. Таким образом, автор рассматривает стационарную систему уравнений Навье - Стокса сIш у*" = 0, где = х ~Й — эффективное распределение плотности электромагнитных сил.

На основании оценки вклада отдельных членов в систему уравнений, показана применимость модели Моро - Эванса к электролизерам рассматриваемого типа.

Получена формула расчета формы поверхности раздела

Щх'У)=(р2-Рг)9 + ЛХ Р2 > ~ < Р1 > +

2 + Н\ г #1 +Р2 д —2— + ^ "У учитьгоающая

Предложена методика сравнения с экспериментом. Предложена оценка "коэффициента турбулентного трения" в металле и электролите на основании геометрии ванны и распределения электромагнитных сил. Оценка в металле согласуется с экспериментальными данными, получена оценка коэффициента турбулентной вязкости в металле.

На основании проведенных расчетов проанализировано влияние Вх, Ву, Вг (компонент магнитного поля) на линии течения и форму поверхности раздела металл - электролит. Проведен сравнительный анализ опшповок, применяемых на заводе.

В диссертации последовательно осуществляются следующие этапы работы с математической моделью: постановка задачи, выделение основных факторов; составление (или выбор) математической модели; проверка адекватности модели, сопоставление расчета и эксперимента; проверка эффективности модели, т.е. отклика на изменение основных параметров; численный эксперимент; использование математической модели в технологическом процессе для управления или конструирования.

Получены следушщие'результаты:

1. Рассмотрена задача оптимального управления тепловым процессом, описываемым почти - линейным уравнением параболического типа. Получено необходимое условие оптимальности. В случае, если уравнение линейное, то получено необходимое и достаточное условие.

2. Получена оценка первой производной и теорема об устойчивости стационарного решения первой краевой задачи для квазилинейного параболического уравнения при выполнении условия Л.

Границы области устойчивости позволяют обеспечить устойчивость процесса за счет выбора начального режима.

3. Впервые предложен расчет конструкции компактного СО2 - лазера с воздушным охлаждением, на основании которых создана промышленная модель компактного лазера.

4. Предложенный и реализованный в диссертации подход к расчету системы воздушного охлаждения позволяет оценить, при каких мощностях, вводимых в разряд, это возможно сделать, а при каких нет.

5. Анализ математической модели, описывающей четырехволновой процесс, позволяет найти связь между коэффициентом преобразования, начальными плотностями потоков излучения и коэффициентами восприимчивости. Выделена область начальных данных, при которых коэффициент преобразования равен 0,2.

6. На основании исследования приосевой зоны осесимметричного вихря предложен метод описания эксперимента и на его основе — расчет тех величин, которые в эксперименте не измеряются.

7. Предложенный и реализованный в диссертации подход к расчету поверхности раздела металл - электролит, расчету линий и скоростей течения металла и электролита позволяет по состоянию электромагнитных сил следить за поведением электролизной ванны.

Ряд результатов получен впервые, большая часть из них нашла непосредственное использование в физических исследованиях и технологических приложениях.

1. Зеленяк Т.И. Об устойчивости стационарных решений одной смешанной задачи// ДАН СССР, 1966, т. 171, №2, стр. 266 268.

2. Зеленяк Т.И. К вопросу об устойчивости решений смешанных задач для одного квазилинейного уравнения// Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, №1, стр. 19-29.

3. Зеленяк Т.И. О стационарных решениях смешанных задач, возникающих при изучении некоторых химических процессов// Дифференциальные уравнения, 1966, т. 2, №2, стр. 205 213.

4. Зеленяк Т.И. О стабилизации решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка с одной пространственной переменной // Дифференциальные уравнения, 1968, т. 4, №1, стр. 34 45

5. Проворова О.Г. К вопросу о поведении при большом времени решений параболических уравнений// Дифференциальные уравнения, 1969, т. 5, №1.

6. Проворова О.Г. О существовании "в целом" и поведении решений квазилинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной/ / Динамика сплошной среды, 1972, в.11.

7. Проворова О .Г. О качественных свойствах решений автономных и близких к ним уравнений параболического типа// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико математических наук, 1973.

8. РуденкоЭ.Н. Некоторые вопросы качественной теории квазилинейных уравнений параболического типа// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико математических наук, 1970.1. Лм5-1^Х & КрасТУ-ТЕ^ 193

9. Белоносов B.C. Асимптотическое поведение решений краевых задач для параболических систем// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико математических наук, 1974.

10. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорные оценки решений нелинейных параболических уравнений// Дифференциальные уравнения, 1982, т. 18, №5, стр. 868 877.

11. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск, 1975.

12. Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления процессом теплопередачи/ / Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972, т. 12, №3, стр. 791 799.

13. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

14. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т.З. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

15. Кружков С.Н.// Труды Московского математического общества, 1967, т. 16.

16. Кружков С.Н.// Известия Академии наук Уз ССР, 1972, №3, стр. 16 -20.

17. Ciliberto С.// Recerche di Matern., 1954, v. 3, №1, р. 40 75.

18. Вентцель Т.Д.// Математический сборник, 1956, т. 40 (82), в.1, стр. 101-122.

19. Худяев С.И.// ДАН СССР, 1963, т. 149, №3, стр. 535 538.

20. Соболевский П.Е.// ДАН СССР, 1961, т. 136, №2, стр. 292 295.

21. Соболевский П.Е.// Труды Московского математического общества,1961, т. 10, стр. 297.

22. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева Н.И. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

23. Соломяк М.З.// ДАН СССР, 1959, т. 127, стр. 37 39.

24. Олейник O.A., Кружков С.Н.// УМН, 1961, т. 16, в.5, стр. 115 155.

25. Похожаев С.И.// Дифференциальные уравнения, 1970, т. 6, №1, стр. 129-136.

26. Friedman// Arch. Ration. Mech. Anal., 1960, v. 5, №3, p.238 248.

27. Филиппов А.Ф.// ДАН СССР, 1961, т. 141, №3.

28. ЗеленякТ.И. Качественная теория краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка параболического типа. Новосибирск, 1972.

29. Peterson L.D. and Maple C.G.// Journal of Math. Anal, and Appl., 1966, v.14, №2, p. 221-241.

30. Зеленяк Т.И., Руденко Э.Н., Иванов E.A., Белоносов B.C. Моделирование химических процессов и реакторов. т.З. Новосибирск, 1972, стр. 5 -50. 4

31. Горьков ЮЛ.// ДАН СССР, 1964, т. 157, №3, стр 509 512.

32. Колесов Ю.С.// Известия АН СССР, серия математическая, 1969, т. 33, стр. 1356 1372.

33. ЗеленякТ.И. О качественных свойствах решений параболических задач// Труды советско чешского рабочего совещания по проблемам дифференциальных уравнений, Новосибирск, 1971.

34. Иванов Е.А., Бесков B.C., Слинько М.П.// Теоретические основы химической технологии, 1967, т. 1, №4, стр. 439 488.

35. Prodi G.// Acad. naz. Lincci, 1952, (8). 10.

36. Narasimhan R.// J. Rat. Mech. Anal., 1954, v. 3, p. 303 313.

37. Lakshmikantham V.// J. Math. Anal. Appl., 1964, v. 9, №2, p. 234 -251.

38. Me Nalb.//J. Math. Anal. Appl., 1962, v. 4, p. 193-201.

39. Suttinger// J. Math. Anal. Appl., 1968, v. 24, №2, p. 241 245.

40. FujitaH.// Bull. Amer. Math. Soc., 1969, v. 75, №1, p. 132 135.

41. Bellman R.// Trans. Amer. Math. Soc., 1948, v. 64, p. 21 44.

42. Гантмахер Ф.Р., Крейн M.П. Осци л ляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. M. JL, 1950.

43. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1963, т. 3, №5, стр. 887-904.

44. Егоров А.И., Рафатов Г. О приближенном решении одной задачи оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972, т. 12, №3.

45. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1967. 474 с.

46. Проворова О.Г. К вопросу об управлении процессом, описываемым почти линейным параболическим уравнением// Управляемые системы, Новосибирск, 1975, в. 14, стр. 34 - 39.

47. Мусабеков К.С. Необходимое условие оптимальности в одной задаче с фазовым ограничением// Управляемые системы, 1990, в. 30, стр. 46 55.

48. Мусабеков К.С. Об одном методе решения задачи оптимального управления процессом в химическом реакторе// Управляемые системы, 1988, в. 28, стр. 21 33.

49. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

50. Проворов A.C., Сизых А.Г., Сорокин A.B. Применение лазеров в науке, технике и технологии. Красноярск.: изд. КГУ, 1988.

51. Проворова О.Г. Расчет системы воздушного охлаждения газоразрядного лазера// Депон. в ВИНИТИ, 1986, №7333 В.86 от 21.10.86, 8 стр.

52. Реушев М.Ю., Проворов A.C., Проворова О.Г. Отчет по теме НИР №271 " Оптимизация параметров волноводного газового лазера высокого давления" , 1986, КГУ, г. Красноярск.

53. Кухлевский C.B., Реушев М.Ю., Проворова О.Г. и др. Отчет по НИР №Ф-4 "Исследование и моделирование физических процессов в волноводных газовых лазерах", 1986, КГУ, г. Красноярск.

54. Попов А.К., Проворов A.C., Проворова О.Г. и др. Исследование нелинейных оптических процессов в атомных и молекулярных средах. Отчет о научно исследовательской работе ЖГос. регистрации 01819206677, г. Красноярск, 1986 г.

55. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел A.C. Теплопередача. М.: Энергоиздат, 1981.

56. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник (под ред. В.А.Григорьева). М.: Энергоиздат, 1982.

57. Лисицын В.Н., Проворов A.C., Чеботаев В.П.// Оптика и спектроскопия, 1970, т. 29, в. 2.

58. Елецкий A.B., Мищенко JI.П., Тычинский В.П. О тепловом режиме положительного столба газового разряда// Журнал прикладной спектроскопии, 1968, т. 8, №3, стр. 425 428.

59. Зыбин Д.Н., Тихомирова Т.А. Расчет системы воздушного охлаждения волноводного СО2 лазера. Препринт №10. Институт общей физики, Москва, 1991.

60. Кузяков Б.А. Короткая керамическая секция волноводного СО2 лазера в режиме усиления// Квантовая электроника, 1979, т. 6, №7, стр. 1567 -1570.

61. Конанов П.К. Теория подобия и ее приложение в теплотехнике. Госэ-нергоиздат, 1959.

62. Кондратьев Г.М. Регулярный тепловой режим. М.: ГИТТЛ, Госте-хиздат, 1954. 408 с.

63. Будунов Н.Ф. О некоторых закрученных течениях несжимаемой жидкости// Изв. СО АН СССР, 1977, №13, вып.З.

64. Зеленяк Т.И., Кислых В.И., Проворова О.Г. Об одноймодели динамики газа в приосевой зоне вихревых аппаратов// Динамика сплошной среды, 1980, в. 46, стр. 33 44.

65. Проворова О.Г., Прушковский К.В., Пичужков В.В. Отчет о научно исследовательской работе, ^государственной регистрации 79011726. Новосибирский инженерно - строительный институт им. В.В.Куйбышева, г. Новосибирск, 1979.

66. Кейльман Н.Э. О разрешимости краевых задач для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях // Диссертация на соискание ученого звания кандидата физико математических наук, Новосибирск, 1984.

67. Смит Г. JI. Экспериментальное изучение вихря в циклонном сепараторе// Техническая механика, 1962, №4.

68. Wan G.A. and Chang С.С. Measurement of the Velocity Field in a simulated Tornado Like Vortex Using a Three - Dimensional Velocity// Probl. Jorn. of the Atmospheric sciences, 1972, v. 29, №1.

69. Нахапетян E. А. Исследование изотермического циклонного потока на модели поточной камеры// В сб.: Вопросы аэродинамики и теплопередачи в котельно поточных процессах. М. - JL: Госэнергоиздат, 1958.

70. Волчков Э.П., Кислых В.И., Смульский И.И. Экспериментальные исследования аэродинамики вихревой камеры// В сб.: Структура пристенного пограничного слоя. Новосибирск, Институт теплофизики, 1978, стр. 101 -126.

71. Sullivan Roger D. A two cell vortex solution of the Navier - Stokes equations// J. Aerospace Sci., 1959, v. 26, №11, p. 767 768.

72. Ackeret J. Uber exact Losungendides Stokes Navier - Gleichungen// Z. Angew. Math, and Phys., 1952, №3.

73. Long R.R. A vortex in an infinite viscous fluid.// J. Fluid Mech., 1961, v. 11, part 4, p. 611.

74. Lowellen W.S. A solution for three dimensional vortex flows with strong circulation// J. Fluid Mech., 1962, v. 14, part 3, p. 420 - 432.

75. Stunger. Steady three-dimentional vortex flow// Jour. Fluid Mechanic, 1966, v. 25, part 3.

76. Гольдштик M. А. Один класс точных решений уравнений Навье Сток-са// ПМТФ, 1966, №2.

77. Смульский И.И. Об особенностях измерения скорости и давления в вихревой камере//В сб. : Теплофизика и физическая гидродинамика. Новосибирск, 1978.

78. Архипкин В.Г., Попов А.К. Нелинейное преобразование света в газах. Новосибирск: Наука, 1985.

79. Архипкин В.Г., Попов А.К. Нелинейная оптика и преобразование излучения в газообразных средах. Препринты ИФ СО АН : №300 303. Красноярск, 1984.

80. Архипкин В.Г., Геллер Ю.И., Попов А.К., Проворов А.С. Четырех-волновое смешение частот в газонаполненных волноводах. Препринт ИФ СО АН СССР №289 Ф. Красноярск, 1984.

81. Archipkin V.G., Geller Y.I., Popov А.К., Provorov A.S. Frequency mixing in a gas filled wavequide for VUV light generation// Appl. Phys., 1985,vol. В 37, p. 93-97.

82. Архипкин В.Г., Геллер Ю.И., Попов А.К., Проворов А.С. Четы-рехволновое смешение частот в газонаполненных волноводах //Квантовая электроника, 1985, т. 12, №7, стр. 1420 1424.

83. Корниенко Н.Е.// Квантовая электроника, 1985, т. 12, стр. 1592.

84. Бутылкин B.C., Каплер А.Е., Хронопуло Ю.Г., Якубович Е.И. Резонансное взаимодействие света с веществом. М.: Наука, 1976.

85. Проворова О.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Текст лекций. Красноярск: изд-во КрасГУ, 1993.

86. Б аймаков Ю.В., Ветюков М.М. Электролиз расплавленных солей. М.: Металлургия, 1966, 560 с.

87. Evans J.W., Zundelevich V., Sharma D. A mathematical model for prediction of currents, magnetic fields, melt velocities, Hall Heroult cells// Metallurgical Transactions, 1981, vol. 12 В , p. 353 - 360.

88. Lympany S.D., Evans J.W. The Hall Heroult cell: some desing alternatives examined by a mathematical model// Metallurgical Transactions, 1983, vol 14 B, p. 63 - 70.

89. КачановскаяИ.С., СираевН.С. Цветная металлургия. //Бюл. ЦНИ-ИЭНЦМ, 1973, №, стр. 36 39.

90. Sele Th. Instabilities of the metal surface in electrolytic alumina reduction cells// Metallurgical Transactions, 1977, vol 8B,p. 613-618.

91. Даграмеджи М.Ф., Рудаков B.H. Экспериментальные и аналитические исследования влияния магнитных полей на состояние поверхности расплавленного металла в электролизерах для получения алюминия. М.: ЦНИ-ИЭНЦМ, 1959, 54 с.

92. Сираев Н.С., Калужский Н.А.,Цыплаков A.M., Захаров О.А. //Цветные металлы, 1983, №9, стр. 36-40.

93. Меерович Э.А. Магнитное поле и электродинамические силы в зоне расплава мощных электролизеров алюминия. М.: Изд. АН СССР, 1962,123 с.

94. Ovtchinnikov V.V. Busunov V.Y., Lobanov М.А. et al. MHD phenomena and velocities in Soderberg cells in USSR// Light Metals, 1992, p. 1205 -1211.

95. Отчет о научно исследовательской работе "Исследование магнито-гидродинамических явлений в алюминиевых электролизерах". Красноярск, 1993. 50 с.

96. Grjotheim К., Krohu С., Malinovsky М. et al. Aluminium Electrolysis// The Chemistry of the Hall Herault Process. Dusseldorf, 1977. 319 p.

97. Василевский О.И., Иванов В.Т., Крюковский В.А., Щербинин С.А. Численное моделирование течений расплавов в алюминиевом электролизере // Цветные металлы, 1989, №9, стр. 50 54.

98. Echelini М., Cobo О., Crespo N., Romagnoli J., Capiati N. Expantion of a pot line with the aid of mathematical modelling // Light metals, 1988, p. 557-565.

99. Можаев В.М., Поляков П.В., Василенко Ю.Г. и др.// Цветные металлы, 1978, №9, стр. 43 46.

100. Darned Е., Cambridg E.L.// Light metals, 1975, №1, p. Ill 122.

101. Шуланн У., Гретубах Г., Кляйзер JI. Прямые методы численного моделирования турбулентных течений. М.: Мир, 1984. 464 с.

102. Moreau R., Evans J.W. An Analysis of the hydrodynamics of aluminium reduction cells// J. Electrochem. Soc., 1984, vol. 131, №10, p. 2251 2259.

103. Бояревич В.В. Математическая модель МГД процессов в алюминиевом электролизере// Магнитная гидродинамика, 1987, №1, стр. 107-115.

104. Бояревич В.В., КалисХ.Э., Миллере Р.П., ПогодкинаИ.Э. Математическая модель для расчета параметров алюминиевого электролизера// Цветные металлы, 1988, №7, стр. 63 66.

105. Овчинников В.В., Пингин В.В., Проворова О.Г., Горин Д.А., Пис-кажова Т.В., Бузунов В.Ю. Моделирование распределения электрического, магнитного и гидродинамического полей в электролизере Содерберга. Препринт №7 96, Красноярск, 1996.

106. Овчинников В.В., ПингинВ.В., Проворова О.Г., ПискажоваТ.В. Математические модели и МГД явления в электролизере Содерберга // Цветные металлы, 1997, №1.

107. GorinD.A., Ovtchinnikov V.V., ProvorovaO.G., Pingin V.V., Piskazho-va T.V. VSS cell electric, magnetic and hydrodynamic; fields distribution modelling// Light metals, 1996, v.47, №11.

108. Овчинников B.B., Проворова О.Г., ПингинВ.В., ПискажоваТ.В. Математическое моделирование МГД процессов в алюминиевом электролизере. // Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 96), тез. доклада, г. Новосибирск, 1996.

109. Горбачев Е.В., Щербинин Э.В. Об описании МГД явлений в алюминиевых электролизерах различной мощности// Цветные металлы, 1990, №3, стр. 47-52.

110. Moreau R., Ziegler. The Moreau Ewans hydrodynamic model applied to actual Hall - Heroult cells// Metallurgical Transactions В., 1988, v. 1913, p. 737 - 744.

111. Лойпянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 848 с.

112. Antiele J., Krahenbiihe Y., Von Kaenel R., Weber J.C. Fluid flow control: A must for aluminium industry! // Light metals, 1992, p. 1247 1256.

113. DescLoux J., Flueck M., Romerio M.V. Modelling for instabilities in Hall Heroult cells: mathematical and numerical aspects // The Minerals, Metals, Materials Society, 1991.

114. Largon В., Peyneau J.M. Current Efficiency in modern point feeding industrial pot lines // Light metals, 1990, p. 267 274.

115. Romerio M.V., Secretan M.A. Magnetohydrodynamic equilibtium in aluminium electrolytic cells // Computer Physics Reports, 1986, June II, v.3, №6.

116. Walter E., Wakhsiedler. Hydrodynamic modelling of the P 155 Hall cell // Light Metals, 1987, p. 269 - 287.

117. Tarapore E.D. The effect of some operating variables on flow in aluminium reduction cells // Journal of Metals, February , 1982.

118. Мещеряков С.M.// Цветные металлы, 1955, №6, стр. 19-22.

119. Сираев Н.С., Дымов В.Н., Деркач A.C. // Цветные металлы, 1986, №4, стр. 42 46.

120. Berge В., Gretheim К., Krein С. // Light Metals, 1975, v. 1, p. 37 64.

121. Lee N е., Evans J.W. // Light Metals, 1985, p. 569 579.

122. Evans J.W., Banerjec S.K. // Light Metals, 1987, p. 247 255.

123. Горбачев E.B., Чайковский А.И., Щербинин Э.В. и др.// Цветные металлы, 1988, №1, стр. 38-41.

124. Горбачев Е.В., Чайковский А.И., Щербинин Э.В. // Цветные металлы, 1988, №10, стр. 67 69.