автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель устойчивости конструкций вращения при осесимметричном нагружении и кручении

На правах рукописи

Старостенко Сергей Игоревич

□□ЗОБ2БВЭ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УСТОЙЧИВОСТИ КОНСТРУКЦИЙ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ И КРУЧЕНИИ

Специальности

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ 01 02 04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003062669

Работа выполнена в ГОУ ВПО Московском государственном техночогическом университете "СТАНКИН"

Научный руководитель-

доктор технических наук, профессор Чеканин Александр Васильевич

Официальные оппоненты-

доктор физико-математических наук, профессор Бондарь Валентин Степанович

доктор технических наук, доцент Медведев Владимир Иванович

Ведущая организация

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

Защита состоится " Л-ссЛ, 2007г в _час на заседании

диссертационного Совета Д 212 142 03 при ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу 127994, г Москва, Вадковский пер, 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН»

Автореферат разослан " / с? " 2007г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 142 03, кандидат технических наук

ЕГ Семячкова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Развитие различных отраслей техники, таких как машиностроение, строительство, атомная энергетика, авиастроение, ракетная и космическая техника, невозможно без высокоэффективных средств математического моделирования, которые позволяют не только ускорить процесс перехода от новых технических идей к конкретным конструктивным решениям, но и значительно повысить качество полученных разработок

Одной из основных задач, возникающих при проектировании изделий, является априорная оценка их прочностной надежности С этой целью формируется математическая модель изделия в терминах механики деформируемого твердого тела Этот процесс связан с выбором известных процедур расчета напряженно-деформированного состояния, критических нагрузок и динамических характеристик, либо с созданием новых процедур расчета При разработке этой модели приходится идти на компромисс между достаточно полным описанием формы, условий работы и нагружения объекта и сложностью модели Результатом выполнения данной проектной операции является численная модель отклика конструкции на внешнее воздействие

При поиске оптимального решения возникают следующие существенные трудности многокритериальная природа задачи, необходимость учета большого числа факторов, многообразие критериев условной оптимизации, отсутствие простых и достаточно отработанных способов вычисления условных функционалов, задание конструктивных и технологических ограничений при моделировании реальных физических процессов и др В связи с этим многовариантное исследование прочностной надежности сложных конструкций следует признать более целесообразным, чем их глобальная оптимизация Одновременно с выполнением каждой из стадий разработки важно формировать визуальные модели изделия, внешней среды, поведения изделия при эксплуатации в наиболее информативном для разработчика виде

Одним из важнейших классов конструкций, обеспечивающих функционирование перечисленных выше отраслей техники, являются конструкции вращения К таким конструкциям относятся сильфоны, компенсаторы, трубопроводы, корпуса ракет и ракетных двигателей, топливных баков, несущие конструкции атомных реакторов, сосуды высокого давления, центрифуги, химические аппараты, теплообменники, нефте- и бензохранилища, цистерны, газгольдеры, различные строительные сооружения, купола и т д Разработка математических моделей устойчивости таких конструкций и их практическая реализация в виде программных вычислительных комплексов, обеспечивающих многовариантное исследование прочностной надежности таких конструкций на стадии проектирования, является актуальной научно-технической задачей

Целью работы является разработка математической модели потери устойчивости оболочечных конструкций вращения при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения, а также ее программная реализация в виде объектно-ориентированного модуля

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в следующем

1 Построена математическая модель, устанавливающая связь между основными конструктивными параметрами тонкостенных осесимметричных конструкций и их устойчивостью при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения, основанная на численном интегрировании систем дифференциальных уравнений устойчивости оболочек с использованием метода суперэлементов

2 Получена каноническая система уравнений устойчивости тонкостенных осесимметричных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения

3 Разработан алгоритм определения критических нагрузок конструкций вращения при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения, основанный на численном интегрировании систем дифференциальных уравнений устойчивости оболочек с использованием метода суперэлеменгов в форме метода перемещений

Достоверность положений и выводов работы обеспечивается строгим использованием классических концепций теории, сравнением результатов, получаемых при решении модельных и тестовых задач, с их аналитическими решениями, численным экспериментом по обоснованию сходимости и устойчивости численных процессов, используемых в разработанном алгоритме, расчетом реальных конструкций и сравнением результатов, получаемых с помощью разработанного алгоритма, с результатами, получаемыми с помощью программ, основанных на принципиально разных методах

Практическая значимость работы заключается в реализации разработанного алгоритма в виде суперэлементной программы СЮ 10 (анализ устойчивости конструкций вращения при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения) Разработанная программа включена в состав интегрированной системы автоматизации конструирования и прочностных расчетов осесимметричных оболочечных конструкций КИПР-ЮМ (далее система КИПР-ЮМ) и позволяет расширить ее функциональные возможности

Апробация работы Основные положения работы докладывались и обсуждались на Международной научно-практической конференции «Производство Технология Экология «ПРОТЭК-2003», г Москва, 2003 г, У1-й научной конференции МГТУ «СТАНКИН» и «Учебно-методического центра математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» - ИММ РАН», 2003 г, Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и промышленности», АГТУ, г Архангельск, 2005 г, совместном семинаре кафедры «Прикладная математика» и кафедры «Сопротивление материалов» МГТУ «СТАНКИН», февраль 2006 г

Публикации, Основные положения диссертационной работы отражены в 5 публикациях

Структура и объем работы Диссертация состоит из пяти глав, заключения и списка литературы из 64 наименований Общий объем работы 113 страниц, включая 33 рисунка и 13 таблиц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность исследования устойчивости тонкостенных конструкций вращения, сформулирована

цель и задачи работы, научная новизна и практическая значимость полученных результатов

В первой главе приводятся известные аналитические выражения для определения критических нагрузок для осесимметричных оболочек Кратко рассматриваются методы исследования устойчивости конструкций вращения Приводится описание системы КИПР-1ВМ В заключение первой главы определены научно-технические задачи исследования

- разработать математическую модель потери устойчивости оболочечных конструкций вращения при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения,

- разработать численный алгоритм определения критических нагрузок и форм потери устойчивости осесимметричных оболочечных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения,

- программно реализовать разработанные алгоритмы в виде подсистемы анализа устойчивости тонкостенных конструкций вращения при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения,

обосновать достоверность результатов, получаемых с помощью разработанного программного обеспечения,

- разработать программное обеспечение, автоматизирующее процесс анализа и документирования результатов расчета,

- включить разработанное программное обеспечение в состав интегрированной системы КИПР-1ВМ с целью расширения ее функциональных возможностей

Во второй главе приведены основные соотношения теории оболочек В качестве базовых соотношений выбраны соотношения геометрически нелинейной теории тонких оболочек В В Новожилова в квадратичном приближении

В работе рассматриваются конструкции, расчетная схема которых может быть представлена комбинацией трех типов фрагментов

- оболочка вращения с изменяющимися вдоль меридиана толщинами слоев,

- круговое кольцо (круговой шпангоут),

- круговая упругая связь

Рассматриваются линейно-упругий изотропный, линейно-упругий ортотропный материалы Элементы конструкции могут быть нагружены осесимметричными и крутящими нагрузками, а также нагреты

В качестве расчетной схемы кругового шпангоута рассматривается круговое упругое кольцо, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с расстоянием от оси вращения до линии центров тяжести его поперечного сечения (срединной линии)

Условия неразрывности перемещений оболочек и колец формулируются стандартным образом с учетом эксцентриситетов крепления оболочек к шпангоуту

В качестве расчетной схемы упругих связей рассматриваются связи типа упругих пружин с коэффициентами жесткости к{, к3, ки

В третьей главе приведены соотношения для осесимметричных оболочечных суперэлементов

Геометрические соотношения 9, = —уи' + к{и, 02=-и> + £2у,

£„ + + En=v + i|u + kг■w + ^-Q\, Я.^у'-фу + и + бД, (1)

2 ^_

кп= в,', к22=е2+фе„ ^,,=9,'+*,(«-фу)

Здесь Еп,Е22 (удлинения) Кп,Кп (сдвиг) - компоненты тангенциальной деформаций координатной поверхности,

Еа, Е2[ (изменения кривизн), Кп,К2] (кручение) - компоненты изгибной деформаций координатной поверхности,

(У=±Ю ()=±Ю ф. ' £

^ 5а, ^ <3а2 Л,/^ да2

Положительные направления перемещений и поворотов показано на рис 1

Рис I

Уравнения равновесия

К+Ф(г„ - тп)+5+к (е„+М)+= о,

5' + 2ф(5 + ^М) + Г22 + к2 (£>22 +М') + д'2=0,

М'п + ф(Л/„ - М22) + М - 7^6,- £9, - й, + т\ = 0, (2)

М' + 2фМ + Мп - £?22 - Г2292 - 59, + т\ = О,

ви не,-ед,+?;=о

Здесь Б = Тп-к2М2] =Т21-к,М12, М = Ми =Мп, Тп,Тп,Тп,Т2^М„,М22,М12М21 -внутренние усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности оболочки Положительные направления внутренних усилий и моментов показаны на рис 2

Статические граничные условия на контуре записываются в следующем виде

г„=г,;, 5 + 2*2м=г12\ е„ + м=е;1, ми = м'а (з)

При определении выражений для линейной деформации оболочек вращения предполагается, что суммарное напряженно-деформированное состояние (НДС) тонкостенной оболочки вращения состоит из начального (основного) НДС и некоторого дополнительного (отклоненного) НДС, обусловленного отклонением от основного состояния вследствие приложения некоторой системы внешних воздействий Таким образом, вектор компонентов напряженно-деформированного состояния оболочки можно представить в виде

Х1=Х' + Х,

где Х°- вектор компонентов начального НДС, X - вектор компонентов дополнительного НДС, обусловленного отклонением от основного состояния

Соотношения, описывающие деформацию оболочки, справедливы как для основного, так и для суммарного НДС Определив соотношения для суммарного НДС (Хх) и вычтя из них, соотношения, описывающие основное НДС оболочки (Х°), получаем соотношения, описывающие поведение оболочки в отклоненном состоянии (X)

Рассматриваем достаточно близкие к основному отклоненные состояния, поэтому дополнительные перемещения, деформации и усилия в оболочках полагаем малыми В связи с этим в соотношениях, описывающих поведение конструкции в отклоненном состоянии, можно ограничиться линейными членами Таким образом, получаем следующие выражения

1, + е[е, = о, х2 + еХ = о, ¿3+е°е2 + е°е, = о,

¿,=0 (г = 4,5,6,7,8), (4)

где

I, = -Еп + и' + к^лг, Ьг = -Еп + у + фи + к2щ Ь3 = -Еп + у' - фу + и,

£,=-*„+в,', 15=-^22+е,+фе„

16 = ■-Ки+е, - фе2+=- Кп+е2'+(«- фу) I, = -9, - и»' + к{и, 18=-62-м>+кгу

Для дополнительного состояния уравнения равновесия имеют вид Мх =0, Мг = 0, М, = 0,

о, (5)

м, - г2°2е2 - - 50е, - = о,

где

М, = Ги + ф(Г„ - гя )+«+*, (е„ + М), М2 = 5' + 2ф(5 + Аг,М) + Г22 + к2 (&2 + М'\

М4=М,1'+ф(М1,-М22) + М-а„

м5 = л/'+2фм+мп - д22

Физичесюк соотношения для дополнительного состояния имеют вид

-Й + [с]е-5 = 0, (6)

Г т ^ ■М1 Ю?>1

Тп 40)

м„ •, £ = Кп д«

М21 Кп 22

Еа 0

М Кп +К21 0

5 = Г12 - к2М21 - Т21 - кхМ12, М = Мп = М21,

[с]=

><0) г(°1 г(') г'1'

*~11 12 ^11 12

г(о) г(о) г(1) г(1)

21 22 '-'г! 22

Г« гМ г<2' г'2'

'-и 12

/-(О гМ г'2'

21 ^22 21 22

[0]

[0]

Вт 5(,) 5м Ви

Коэффициенты квадратной симметричной матрицы [с] определяем по формулам

= ¡т^Ъ-^сЬ (Ю2)

Я* И

Статические граничные условия на контуре записываем в следующем виде

7^=0, Б + 2к2М = 0, <2п+М = 0, М„= 0 (7)

Разлагая все компоненты, характеризующие напряженно-деформированное состояние в ряды Фурье по кольцевой координате а2, удовлетворяем требованиям периодичности и разделяем переменные в соотношениях (4), (5), (6) Положим, что

= \СтгЫг,

«1 _ л> =

Ф(а,, а) = Ф0 (а, ) + £ф„ (а, ) cos^cx) + (а1 ) sm(«,a),

ïï,__к, «=

Ч»(а, ,а) = Ч», (а,) + (а^зтСи,«) + (a, )cos(n,a), где

0 = {u,w,ei,En,E22,Kn,Kn,rn,T22,Mll,M22,Qll},

V = {v,02,Ea,Ku,S,M,Qa}

В результате получаем соотношения, описывающие поведение оболочки при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения для п-й гармоники разложения нагрузки

Геометрические соотношения (4) запишутся в виде

1,о+е^0,о=о, Zi„+e°ё,,,=о, Z,„+e°0i»=o, L20+e°2920 = o, 12»+е°201„=о, 12„+0°202Л = о,

L, 0 + 0°0г 0 + 0°0,0 = 0,Z3, + GJ0Î, + 0° 01, = о, (8)

Zîn + 0°02л +0°01» = О,

£,0= О, Z,„=0, Ъп= о 0 = 4,5,6,7,8)

Здесь

Ii * = -Еп „+ul+ k{wn,

Lin =-Е22п +nvn + фи„ +k2wn,

Z5»=-E12,,+v;,-<K-m„,

Lin =-^n„+6|„,

¿s» = -A:22 n+«62 n+фв1 „,

z«» = -Ka „ - "9, „ - фб2. + k2vl>

I7„ = -Qlri-w'rl+klun,

Zs,=-02 „+mvn+k2vn,

где п = п/Аг

Выражения для L,n получаем из выражений для L,n заменой значения и на -и, а выражения для 1,0 получаем из выражений для Lm заменой значения « на 0 Уравнения равновесия (5) принимают следующий вид M 10=0, М,„ = О, М„ =0, (г = 1,2,3)

Мм - ~1,1. " - ejjs„ = о о»=1, ,jvo, (9)

»- г,; е„ - ех „ - вз»- е°2 = о (и=1, ,м),

М50 -т°А о- -еХ <тпо =

м„ -г2°202„ —

Мьп -Г2202л — 02Гг2л :

Здесь

= + Ф(Г, 1,„ - Т22,„) + (а ,,„ + М2,„ = + 2ф<5-„ + к{М„) - пТ22>„ + ¿2(622.» + К),

М\п = а'1>и +Ф011.И +«222,и -ВД1.И -Л/4,« = М{11И + ф(Л/, ,_„ - Л/221Л) + пМп - а 1>и,

Таким образом, соотношения, описывающие поведение оболочки при малых ее отклонениях от основного состояния, сводятся к системе 19-ти линейных однородных дифференциально-алгебраических уравнений с 19-ю неизвестными

Основные соотношения для круговых колец (шпангоутов), описывающие нелинейную деформацию шпангоутов при осесимметричной нагрузке представляются системой 12-ти линейных однородных дифференциально-алгебраических уравнений с 12-ю неизвестными Сведение этой системы к алгебраическим уравнениям также проводится с помощью метода Бубнова -Галеркина

В четвертой главе рассмотрен алгоритм определения критических нагрузок и форм потери устойчивости оболочечных конструкций вращения

Система девятнадцати дифференциально-алгебраических соотношений (8),(9) может быть сведена к системе 16-ти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, если ввести следующие обозначения

У„.=

Г Т 1 11.Л и„

в,.

5л+2 кгМ„ V,

г;.-. > У„- =

мигп 01-,

5_„+2 к2М_п у-л

Уп =

Уп,

У„-

(10)

где уп 4 =N' - вектор внутренних обобщенных напряжений координатной поверхности, у„_=и- вектор обобщенных перемещений этой поверхности Тогда указанная система записывается в виде

аа

где Х - параметр нагрузки,« - номер гармоники

Применение континуальной модели для вычисления матриц и векторов реакций оболочечных суперэлементов определяет основной метод вычисления этих матриц и векторов Для суперэлемента строится матрица реакций, отражающая зависимость между обобщенными перемещениями на торцах оболочки и обобщенными усилиями, действующими на тех же торцах модели Между этими величинами, в силу линейности рассматриваемой задачи, существует однозначная зависимость

где [К(и,Х)] - матрица реакций оболочки, N0, N) - векторы обобщенных усилий на левом и правом торцах х = 0, х = I соответственно, и0, 111 - векторы обобщенных перемещений на левом и правом торцах х = 0, х = / соответственно, £>* - вектор реакций

Для определения матрицы реакций [ЩиД)] необходимо решить краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка

И=И<Х1>ИД)][У] (12)

с граничными условиями

[г„_(0)Ию} [Г„Д0)ИО1], (13)

где {У„>[У„Л,УПЛ, ,У„,К]

Для определения вектора реакций 20' необходимо решить краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка (И) с граничными условиями

[ио)Но], К(0)]=[о] (14)

Решив краевые задачи (12), (13) и (12), (14) с помощью метода ортогональной прогонки С К Годунова, определим матрицы [К(п, X)] и векторы для каждой оболочки с точностью до дифференциально-алгебраических соотношений, описывающих ее поведение

Матрицы жесткости и векторы реакций для шпангоутов и связей вычисляются по точным аналитическим формулам

Далее применяется стандартная техника метода перемещений В результате получаем разрешающую систему линейных алгебраических уравнений, которая имеет вид

[Р(«Д)]Д=0,

где Д - вектор обобщенных узловых смещений конструкции, п - номер гармоники

Минимальное значение параметра нагрузки X, при котором существует нетривиальное решение этой системы, является критическим значением параметра внешней нагрузки Необходимым и достаточным условием нетривиальности решения является

|Р(иД)|= О

Найденное критическое значение параметра нагрузки Я.' соответствует эйлеровой критической нагрузке в теории устойчивости упругих систем

Для построения форм потери устойчивости ко всем незакрепленным узлам конструкции прикладываются единичные силы по всем направлениям компонент перемещений В результате получаем перемещения глобальных узлов "раскачанной" конструкции при найденном критическом значении параметра нагрузки X' Узел, в котором компонент перемещения имеет максимальное по модулю значение, считается самым "слабым" и выбирается в качестве того компонента перемещения узла, которое задается равным единице при определении формы потери устойчивости

Определив узловые перемещения конструкции, вычисляем перемещения JJ'a ,U, торцов каждого суперэлемента Далее методом ортогональной прогонки решается краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (11) с граничными условиями у_(0)=U¡, yJ!)^U' и в результате определяется форма потери устойчивости рассматриваемой оболочечной конструкции

Численное исследование устойчивости осесимметричных оболочечных конструкций при совместном действии осесимметричных нагрузок и кручения имеет две особенности

- нельзя выделить симметричные и антисимметричные относительно нулевого меридиана формы потери устойчивости, поэтому расчет критических нагрузок сводится к решению задачи о собственных значениях для системы обыкновенных дифференциальных уравнений шестнадцатого порядка,

- все корни характеристического уравнения являются кратными, поскольку одному критическому значению соответствуют две собственные формы, одинаковые, но сдвинутые по окружности на к/2п, где п - число окружных волн, поэтому характеристический определитель является знакоопределенным, что делает невозможным поиск его корней традиционными методами В этом случае для поиска корней применяем простейший метод деления отрезка пополам

Алгоритм решения задачи устойчивости при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения для осесимметричных оболочечных конструкций реализован в виде программы CR110

Исходными данными для этой программы является унифицированная информация, поступающая из ПРЕПРОЦЕССОРА системы КИПР-IBM Результирующая информация программы также является унифицированной и в дальнейшем используется разработанной программой DR110, предназначенной для анализа и документирования результатов расчета

Программы CR110 и DR110 включены в качестве подсистем системы автоматизации конструирования и прочностных расчетов КИПР-IBM

В пятой главе приводится обоснование достоверности результатов, получаемых с помощью разработанного программного обеспечения Обоснование достоверности получаемых решений проводится сравнением их с известными аналитическими решениями, а также сравнением с результатами расчетов, полученными с помощью программы CR090 (устойчивость осесимметрично нагруженных упругих конструкций) системы КИПР-IBM

Изотропная цилиндрическая оболочка при внешнем давлении

Рассматривается двухслойная изотропная цилиндрическая оболочка

На торцах оболочки выполняются классические кинематические граничные условия Навье Оболочка нагружена внешним давлением, приложенным к срединной поверхности оболочки

Результаты расчета по программам CR110 и CR090 совпадают с аналитическим решением во всех значащих цифрах.

Расчеты при линейном моментом докритическом состоянии по программе CR110 и по программе CR090 также совпадают во всех значащих цифрах.

Изотропная цилиндрическая оболочка при осевом сжатии

Рассматривается двухслойная цилиндрическая Оболочка нагружена осевой силой, приложенной к торцу В случае линейного докритического напряженного состояния по программе CR090 и CR110 результаты совпадают в пяти значащих цифрах

Кручение цилиндрической оболочки средней длины

Рассматривается цилиндрическая оболочка, радиусом, i?=200 мм, длиной L= 400мм, толщиной п-2 мм Материал оболочки имеет модуль упругости £=20000 кг/мм2, коэффициент Пуассона ц= 0 3 Оболочка на левом торце нагружена погонным сдвигающим усилием 5й =1 кГ/мм В докритическом состоянии выполняются кинематические граничные условия u(L)~v (L)=0

При потере устойчивости рассматривались различные варианты граничных условий (табл 2)

Критическое значение сдвигающего усилия S' и соответствующее ему число окружных волн п , вычисленные для цилиндрической оболочки при кручении по формуле

при К$ — 0 74, равны 5* = 70 2062 кГ/мм, п = 9 Эти результаты приведены в последней строке таблицы 2

В таблице 2 приведены результаты расчета в порядке возрастания критической нагрузки в случае 9°=9° =0, а также результаты расчета с учетом 9°1 и 9°2

ъЩ-f)'1

л

Табл 2

Граничные условия

S'

Ks с учетом п

е°ие°

S' с учетом

е?и9»

w = 0

62,7634 63,1472

0,66155 0,66560 7

w = v = 0

66,1389 66,5989

0,69713 0,70198 7

w = 0. = 0

66,4313 66,8783

0,70021 0,70492 7

м> = 0, =У = 0 67,9046 68,2801 0,71574 | 0,71970 8

и = УУ = 0 68,0019 68,3807 0,71658 0,72076 8

=о 70,0851 70,4877 0,73872 0,74297 8

и = V) = V = 0 69,9548 70,3599 0,73735 0,74162 8

ы = -И/ = 9,=У = 0 70,7825 71,1965 ( 0,74607 0,75044 8

? 70,2062 70,2062 0,74000 || 0,74000 9

Анализ результатов расчета, представленных в таблице 2 показывает, что вклад учета влияния 6° ив° не превышает 0,7%

Анализ результатов, представленных в этой таблице, показывает также, что при кручении оболочек, как и в случае внешнего давления, наложение ограничения на осевое смещение торцов существенно повышает как критическую нагрузку, так и соответствующее этой нагрузке число окружных волн

Кручение короткой цилиндрической оболочки

Рассматривается цилиндрическая оболочка, радиусом, Я = 200 мм, длиной Ь= 25мм, толщиной п= 2 мм Материал обочочки имеет модуль упругости £=20000 кг/мм2, коэффициент Пуассона ¡1=0 3 Цилиндрическая оболочка на левом торце нагружена погонным сдвигающим усилием 5° = 1 кГ/мм

В момент потери устойчивости выполняются кинематические граничные условия м> = 01 = V = 0 Значение критического сдвигающего усилия, вычисленное по формуле Доннелла

„. ей (И)

1-ц'и

4,6+

/ 2 V'

7,8+1,67^4]

равно 5* =2132 кГ/мм

Расчет по программе СШ10 дал следующие результаты 5* = 2087 кГ/мм (с учетом значения 0 2) и 5* = 2089 кГ/мм (не учитывалось значение 6°2)

Сферическая оболочка при внешнем давлении

Рассматривается двухслойная сферическая оболочка На диаметре, перпендикулярном оси вращения, в докритическом состоянии выполняются следующие кинематические граничные условия к(90°)=0 (безмоментное докригическое НДС), а в момент потери устойчивости кинематические граничные условия отсутствуют

Расчеты по программам СМ 10 и СИ090 дают результаты, совпадающие во всех значащих цифрах

Конические оболочки при кручении

Рассматривается коническая оболочка, имеющая радиус меньшего основания к0 = ЮО мм, длину образующей 1=500 мм, толщину Ь=2 мм Материал оболочки имеет модуль упругости £=20000 кг/мм2, коэффициент Пуассона ц= 0,3 Для

конической оболочки в качестве граничных условий при потере устойчивости рассматриваются условия Навье {w = v = 0). Оболочка нагружена погонным сдвигающим усилием S0 =1 кГ/мм, приложенным к торцу оболочки.

При кручении и граничных условиях, близких к условиям Навье, имеем по формуле:

m: = 16,2icD

V ¿sin р

n Eh1 lr0 + R0

где 0 = —--í-, a = a -s—-i.

12(1-ц1) 2rs

Здесь г, - радиус меньшего основания; Л0 - радиус большего основания; р -угол между осью вращения и нормалью к срединной поверхности конической оболочки; L - длина образующей оболочки; Mt - суммарный крутящий момент, действующий в сечении оболочки.

Значение критического сдвигающего усилия, вычисленное по приведенной формуле 5й =190,22 кГ/мм.

Расчет по программе CR110 дал значение критического сдвигающего усилия 5° =191,22 кГ/мм.

На графике представлены результаты расчетов ко программе CRU0 и аналитический расчет при различных значениях угла р.

М5

sinp

5° =

Щ Ъir2

2± СО Ж, 1 J

1т Г CR110 —Аналитическая

: - г ж формула

• - 4

Рис.3

Исследование устойчивости сферо-цилиндрического бака Рассматривается сфер о-цилиндрический (цил индр+2 пол у сф еры) бак (рис.4)

Рис 4

Нагружение бака погонным сдвигающим усилием

При кручении цилиндрической оболочки и граничных условиях, близких к условиям Навье, критическое значение сдвигающего усилия вычисляем по формуле

г.*™-. 04

г; Г 1 Ч5'4/' и^'2 ™ Ьп I П } К

где Л =

(^П^ и,

Предполагается, что конструкция нагружена погонным сдвигающим усилием, приложенным в узле 2 (рис 4) Кинематические граничные условия при потере устойчивости отсутствуют

= К, . [-1 =К5х\ 196,0994кГ/мм

'О-цТи^ и,

Критическое значение параметра сдвигающего усилия, вычисленное для цилиндрического участка бака по формуле (15), равно 0,74 (число окружных воли« =9)

Критическое значение параметра сдвигающего усилия, вычисленное для бака по разработанному алгоритму, равно К 0,65665 (число окружных волн п =7) Погрешность расчета по формуле( 15) составляет 13,6%

Нагружение бака внешним давлением

При нагружении цилиндрической оболочки внешним давлением и граничных условиях, близких к условиям Навье, критическое значение внешнего давления определяется по формуле Папковича

кУбЕ Я( /г У" • ГШ

"Ш) ' чти (16)

Пусть далее конструкция бака натружена равномерным внешним давлением, приложенным к срединным поверхностям оболочек

9 = 0,22791256 кГ/мм7 (17)

Критическое значение параметра внешнего давления, вычисленное для бака по разработанному алгоритму (программе СШ10) при отсутствии кинематических граничных условий при потере устойчивости, равно К*ч =0,89968 (число окружных волн п = 5) Это решение во всех знаках совпадает с решением, полученным по программе СШ)90

При расчете бака по формуле (16) (если в расчете учитывается только цилиндрическая часть) погрешность расчета составляет 10 %

Критическое значение параметра К внешнего давления, вычисленное для

цилиндрического участка бака по формуле (16), равно К\ = 1 (число окружных волн п = 6) Критическое значение параметра К\ внешнего давления, вычисленное

для цилиндрического участка бака по разработанному алгоритму при граничных условиях Навье, равно К\ = 1,10765 (число окружных волн п = 6) Погрешность расчета по формуле (16) составляет 10,8%

Совместное действие сдвигающих усилий и внешнего давления

Рассматривается вариант, когда конструкция нагружена равномерным внешним давлением и погонным сдвигающим усилием, приложенным в узле 2 ( рис 4)

Ч = Т = ки* 0,22791256 кГ1мм1,

= " т у =К^х1196,0994кГ/мм,

Ек ГйУ'УД'

'(^цТЬО и,

Кинематические граничные условия при потере устойчивости отсутствуют Критическое значение параметра К'.и,, вычисленное для бака по разработанному алгоритму, равно К\-,ч= 0,45959 (число окружных волн п = 6)

При совместном действии осевого сжатия, внешнего давления и кручения

имеем

Здесь Т^д ,5'*- критические значения отдельно приложенных нагрузок, Т" д' критические значения нагрузок при их совместном приложении

Расчет по приведенной формуле приводит к решению квадратного уравнения

К*. -+

0,89968

' К, ^

о <7

0,65665

= 1

Из этого уравнения находим К^« = 0,45938, что хорошо согласуется с точным решением по разработанному алгоритму К\я = 0,45959

Представим внешнюю нагрузку, действующую на конструкцию, в виде

ЕЪ (йП*

1/2

* х] 196,0994кГ/лш,

/7г. „/, у/2

Я = К^К^ §) = ^ЛХ х 0,22791256 кГ/лш2,

где К $ - критическое значение параметра нагружения при действии только сдвигающего усилия, К д - критическое значение параметра нагружения при действии только внешнего давления, - параметр нагружения при совместном действии сдвигающего усилия и внешнего давления, К^ и К^ - числовые коэффициенты варьирования нагрузки (изменяются в пределах от 0 до 1)

В этом случае при К^ = Кц = 1, раздельном приложении сдвигающего усилия и внешнего давления, критическое значение параметра нагрузки К'$д равняется единице Построим кривую взаимодействия внешнего давления и сдвигающего

усилия (рис 5) Для этого с помощью программы СШ10 были получены значения параметра при различных значениях коэффициентов и К,ь, (на рис 5 изображена кривая взаимодействия внешнего давления и сдвигающего усилия)

1 2

О 8 О 6 0,4 0 2 0

0 О 02 04 Об 0> 10 12

К,

Рис 5

Расчет топливного бака

Проведем расчет конкретной конструкции образца новой техники Расчетная схема конструкции топливного бака изображена на рис 6 Все размеры конструкции приведены в [мм] Пространственное изображение конструкции представлено на рис 7,8 Силовой конус (рис 9) имитируется конической оболочкой с толщиной И = 4мми следующими механическими характеристиками

Е1 = 7200 кГ/лш2, Ег=1кГ/мм\ в = 100 кГ/мм\ ц,=(х2 = 0 Остальные элементы конструкции выполнены из сплава АМГ6Т Вафельные оболочки (В1-ВЗ, рис 9,10) рассматриваются как набор круговых шпангоутов с поперечным сечением Н^ х Ъ^, связанных продольно подкрепленными оболочками с размазанными по окружности подкреплениями (сечение подкреплений х Ьс) Расстояние между осями шпангоутов принимается равным ? = 70 лш Число шпангоутов щъ каждой вафле, размеры их поперечных сечений Н^ и Ь¡с, число стрингеров пс в каждой оболочке, связывающих эти шпангоуты, и размеры поперечных сечений стрингеров Нс и Ьс приведены в табл 3

Табл 3

№ вафли Ч нк Ьк "с Нс Ъс

1 6 16 4 112 12 2

2 9 12 4 112 12 2

3 9 12 3 180 12 3

Рис. 6

Расчетная схема конструкции включает в себя 69 узловых элементов, 42 шпангоута, 7] оболочечный суперэлемент.

Вначале исследуем устойчивость бака под действием внутреннего давления: рабочее давление в баке "О" (рис. 10) равно ^ = 0.041 кГ/мм', а в баке "Г"- равно щ = 0.027 кГ/мм2.

Рис. 7 Рис. 8

Критическое значение параметра внешней нагрузки, найденное по программе С1?090. равно 1,0929 при числе окружных волн, равном 10. Расчет по разработанной программе СЮ 10 дал тот же результат

Далее нагрузим бак погонными сдвигающими единичными нагрузками (рис.

И).

Найденное критическое значение параметра внешней нагрузки, полученное с помощью программы СК110. оказалось равным 5,1652 при числе окружных волн, равном 13. На рис. 12 изображена соответствующая форма потери устойчивости в

пО

продольном сечении конструкции, проходящем через меридиан а2 = 0 .

Рис 11 Рис 12

Основные результаты

Выполненные исследования позволили получить следующие результаты

1 В работе поставлена и решена научно-техническая задача построения математической модели, которая устанавливает связь между основными конструктивными параметрами тонкостенных осесимметричных конструкций и их устойчивостью при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения и позволяет исследовать прочностную надежность уникальных конструкций на стадии проектирования

2 Получена каноническая система уравнений устойчивости осесимметричных оболочечных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения, особенностью которой является ее корректность в рамках рассматриваемой теории оболочек и шпангоутов

3 Разработан алгоритм определения критических нагрузок конструкций вращения при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения, основанный на численном интегрировании систем дифференциальных уравнений устойчивости оболочек с использованием метода суперэлементов в форме метода перемещений Данный алгоритм отличается тем, что численное интегрирование дифференциальных уравнений осуществляется с помощью метода прогонки с ортонормированием в промежуточных узлах области интегрирования, обеспечивающим исключительно высокую точность получаемого решения

4 Разработанный алгоритм реализован в виде объектно-ориентированной программы Основная особенность этой программы состоит в том, что она позволяет исследовать устойчивость уникальных тонкостенных осесимметричных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения и обеспечивает эффективный поиск рациональных технических решений на стадии проектирования

5 Разработано программное обеспечение, которое автоматизирует процесс многовариантного анализа устойчивости конструкций вращения при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения

6 Проведено обоснование достоверности результатов, получаемых с помощью разработанного программного обеспечения Обоснование достоверности результатов проводилось общепринятыми способами сравнения с аналитическими решениями, а также сравнением с решениями, полученными с помощью иных алгоритмов и программ

7 Разработанное программное обеспечение органично включено в состав интегрированной системы автоматизации конструирования и прочностных расчетов осесимметричных оболочечных конструкций КИПР-IBM и расширяет ее базовые функциональные возможности - позволяет исследовать устойчивость при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения

8 Высокая точность результатов, получаемых при использовании разработанного программного обеспечения, позволяет использовать его в качестве средства обоснования достоверности результатов расчетов, получаемых с помощью распространенных программных комплексов (MSC/NASTRAN, ANSYS, COSMOS/M и др ), а также при разработке новых конечно-элементных программ

9 Полученные в работе результаты могут быть использованы в процессе проектирования при теоретической отработке прочности уникальных конструкций в научно-производственных организациях, работающих с системой КИПР -IBM, а также при обучении студентов в высших учебных заведениях

Основные положения диссертации изложены в следующих работах-

1 Чеканин A.B., Павлов А В, Старостенко С И. Устойчивость оболочечных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения Производство Технология Экология "ПРОТЭК-2003" Тр Межд Научно-практическая конференция, т 1, M "Янус-К", 2003 - С 323-331

2 Павлов А.В , Старостенко С.И , Филатов С В. К расчету устойчивости осесимметричных многослойных оболочечных конструкций VI -я научная конференция МГТУ «СТАНКИН» и «Учебно-методического центра математического моделирования МГТУ «СТАНКИН»-ИММ РАН» Программа, сборник докладов , M "Янус-К", 2003 - С 53-54

3 Чеканин А В , Старостенко С.И. Численное исследование устойчивости оболочечных конструкций при совместном действии осесимметричного нагружения и кручения Пространственные конструкции зданий и сооружений, вып 9, M "Девятка Принт", 2004 - С 115-124

4 Старостенко С.И Оценка достоверности результатов исследования устойчивости осесимметричных оболочечных конструкций при автоматизации прочностных расчетов Научно-техническая конференция «Информационные технологии в науке, образовании и промышленности, том 1, Архангельск-Мирный, 2005 -С 214-220

5 Едемский В.А , Козич А И , Слезина H Г., Соболев И.А , Старостенко С.И Комплекс программ расчета машиностроительных конструкций на прочность и устойчивость методом конечных элементов Сб НТО им акад АН Крылова Вып 416, 1985г С 22-28

Подписано в печать 10 04 2007

Формат 60х90'/16 Бумага 80 гр/м2 Гарнитура Times

Объем 1,25 п л Тираж 50 экз Заказ № 72

Отпечатано в Издательском Центре ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН» Лицензия на издательскую деятельность ЛР №01741 от И 05 2000 127055, Москва, Вадковский пер , д За