автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель построения безударного аэродинамического профиля

На правах рукописи

УДОВИЧЕНКО Андрей Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ БЕЗУДАРНОГО АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

Специальность - 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д. Ф. Устинова» на кафедре прикладной математики и информатики

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КуЗЬМИН АлСКСаНДр Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Демьянович Юрий Казимирович;

доктор физико-математических наук Пичугин Юрий Александрович

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения»

Защита диссертации состоится 23 декабря 2005 г.вЦ часов на заседании диссертационного совета К 212.223.01 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 4. ауд. 505-А e-mail: rector@spice.spb.su Телефакс (812) 316-58-72

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Тгозв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При обтекании аэродинамического профиля потоком воздуха с большой дозвуковой скоростью, характерной для пассажирской и транспортной авиации, около профиля образуется зона сверхзвуковой скорости течения, которая обычно заканчивается ударной волной. Наличие ударной волны может вызвать более ранний переход ламинарного течения в турбулентное и связанное с этим резкое снижение аэродинамического качества крыла. Кроме того, возникновение ударных волн средней и большой интенсивности приводит к существенным волновым потерям и, что более важно, может инициировать отрыв пограничного слоя и возникновение нестационарных явлений типа бафтинга. Поэтому одной из важнейших задач аэродинамики летательных аппаратов является проектирование профилей и крыльев безударной формы, для которых ускорение и торможение потока в местной сверхзвуковой зоне происходит без образования ударных волн, и реализуется гладкое обтекание.

Методы проектирования делятся на две категории. К первой категории отнесется комбинированные численные методы, объединяющие решение прямой задачи аэродинамики и решение задачи оптимизации, позволяющей в ходе итерационного расчета изменять форму профиля, чтобы минимизировать целевую функцию, например, сопротивление или разность между полученным на данной итерации и желаемым распределениями давления. Недостатком таких методов являются большие затраты времени расчетов, вследствие чего их применение в практике аэродинамического проектирования связано со значительными неудобствами и затратами средств. Ко второй категории относятся обратные методы, предполагающие задание распределения давления или скорости на профиле и определение формы профиля в результате решения соответствующей краевой задачи. В исследованиях, связанных с решением обратных задач для трансзвуковых течений, сформировалось несколько подходов. В методе Вольпа и Мельника проводится решение полного уравнения для потенциала скорости с пространственными координатами в качестве независимых переменных; при этом в заданное распределение давления вводится свободный параметр, который в процессе расчета подбирается так, чтобы обеспечить существование решения обратной задачи. В работах применено преобразование годографа, позволяющее получить линейные уравнения для описания изоэнтропических течений. В методе фиктивного газа используется степенное выражение для плотности газа, обеспечивающее эллиптический тип уравнения д ля потенциала скорости во всей расчетной области. Были предложены также численные методы, позволяющие задавать как форму профиля, так и распределение давления на профиле или исследовать смешанную задачу, в которой часть профиля задана, а на другой его части задается распределение давления или скорости. Преимущество обратных методов аэродинамического проектирования перед указанными выше методами оптимизации - более высокая скорость счета и экономичность, позволяющие одщогтвд»=н>-проекгирование

профилей в интерактивном режиме работ л Недо-

са

•9

стаггком указанных обратных методов является возникновение некоторых принципиальных трудностей, связанных с необходимостью выполнения условия замкнутости контура и условия совпадения скорости набегающего потока с заданным значением. Как показывают предварительные исследования, задание распределения давления может приводить к наличию вогнутых участков спроектированного аэродинамического профиля и к возникновению внутренних ударных ВОЛН в местной Сверлл>унОБОЙ зоне, поскольку ОНО ПрсДСТаВЛЯСТ собой Жёсткое граничное условие, не адаптированное к структуре течения. Результаты некоторых расчетов, действительно, демонстрируют наличие внутренних ударных волн.

Целью настоящего диссертационного исследования являются:

- разработка модели построения безударной формы сверхкритического профиля методом фиктивного газа;

- составление программы расчетов на ЭВМ;

- проведение расчетов по составленным численным схемам и алгоритмам с последующим сопоставлением полученных результатов.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

1. Получены разностные формулы четвертого порядка для уравнения неразрывности в консервативной форме, разностные схемы для аппроксимации поставленных граничных условий.

2. Составлена программа метода сопряженных градиентов с учетом ленточного вида матриц (из операции умножения матриц исключаются заведомо нулевые элементы).

3. Краевая задача для уравнения полного потенциала решается в декартовых координатах, а не в криволинейных, связанных с профилем, как обычно это делается при создании подобных моделей. Использование декартовых координат увеличивает точность нахождения координат звуковой линии и Спроектированного профиля.

4. Получен механизм решения задачи коррекции профиля в потоке с меняющимся значением Мх, где набор безударных профилей используется как узловые точки интерполяции для получения безударных профилей на промежуточных значениях чисел Маха.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в разработке математического программного обеспечения построения безударного аэродинамического профиля методом фиктивного газа, которое может найти применение .при проектировании крыльев в транезуковой авиации.

Также возможно использование разработанных численных схем и алгоритмов в качестве учебных пособий для студентов Балтийского государственного технического университета.

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Математическая моДелЬ проектирования трансзвукового безударного про: 4

филя методом фиктивного газа, позволяющая отказаться от предположения о тонкости профиля.

2. Математическая обработка уравнений построенной модели, которая приводит к численным алгоритмам.

3. Программа по рассмотренной модели, целиком разработанная автором.

4. Две численные реализации модели, позволяющие оценить точность расчет и ¿гнрш ы машинного времени.

5. Анализ результатов численных экспериментов, проведенных автором.

Достоверность и обоснованность научных положений обеспечены корректной математической постановкой задач исследования, выбором надежного и прогрессивного метода итерационного решения линейных систем, сравнением результатов, полученных по схемам, разработанным другими авторами.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на Украинском математическом конгрессе [Институт математики HAH Украины, 2001 г.], на международной научно-методической конференции «Математика в ВУЗе» [г. Великий Новгород, 2005 г.]

Публикации. По результатам диссертационного исследования опубликовано 5 печатных работ [1-5].

Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 158 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 25 наименований и содержит 33 рисунка. Приложения 1-3 приведены на 50 страницах.

Во введении обоснованы актуальность темы диссертационного исследования, цели и задачи исследований, научная новизна и достоверность результатов. Цель настоящего диссертационного исследования - моделирование построения безударной формы сверхкритического профиля методом фиктивного газа. Согласно этому методу на первом этапе выражение для плотности газа модифицируется так, чтобы полное уравнение для потенциала имело эллиптический тип в сверхзвуковой области так же, как и в дозвуковой.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

V <1

fix • VP'> V>\

Граничные условия

dU\

Щ

= 0,- =0-тг- = 0 соответствуют непрони-

ЗуЦ, т '

цаемости на верхней и нижней стенках канала и границе профиля Г. Условие

&и

ду

— О соответствует горизонтальному входу потока в канал, а условие

ди_

дх канала.

х задает горизонтальную составляющую скорости выхода потока из

еи

да —-05 дх

".о £-0 и

Рис. 1

Для численного эксперимента использовались значения: а-0, 6 = 3, с = О, (1=1. Граница профиля Р - круговой сегмент, проходящий через три заданные точки с координатами (1,0), (2,0), (1.5,0.1).

8 ( ди\ д( ди\

Затем решается уравнение неразрывности — р— +— р— =0 методом

дх) Зу^. ду)

сопряженных градиентов.

На втором этапе, после нахождения положения звуковой линии и параметров течения на ней, течение реального газа в сверхзвуковой области находится методом характеристик путем решения задачи Коши для уравнения Эйлера с начальными данными на звуковой линии. Начальные данные - значения составляющих скорости Ух и Уу (V2 = V2 + VI =1).

I г 2\д2Ф

а2®

2и-у-+

дхду

/ 2 гЧ^Ф Л

-(г-1к2

2 9'

Результатом работы программы является линия тока, исходящая из точки пересечения звуковой линии и исходного профиля. Эта линия тока и будет новой, безударной формой профиля под звуковой линией. Окончательная форма безударного профиля получается путем гладкого сопряжения исходного профиля в дозвуковой области и нового - в сверхзвуковой.

Для достижения этой цели нами решены следующие задачи:

составлен алгоритм моделей и разработаны две схемы численной реализации разработанного алгоритма.

по этим моделям выполнен ряд численных экспериментов.

В первой главе «Моделирование в газовой динамике» дано краткое описание состояния данной проблемы на современном этапе развития науки и техники.

Современные электронные вычислительные машины дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся средством познания.

Роль математических моделей далеко не исчерпывается проблемой познания закономерностей. Их значение непрерывно возрастает в связи с естественной тенденцией к оптимизации технических устройств и технологических схем планирования эксперимента. В процессе познания и в стремлении создать детальную картину исследуемых процессов мы приходим к необходимости строить все более сложные математические модели, которые в свою очередь требуют универсального тонкого математического аппарата. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области электронно-вычислительной техники.

Первый параграф содержит описание теории математического моделирования и обзор применяемых в науке и технике моделей. Модель концентрирует в себе записанную на определенном языке (естественном, математическом, алгоритмическом) совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте или явлении. Поскольку эти знания никогда не бывают абсолютными, а гипотезы могут вынужденно или намеренно не учитывать некоторые эффекта, модель лишь приближенно описывает поведение реальной системы.

Важнейшая особенность модели состоит в возможности неограниченного накопления специализированных знаний без потери целостного взгляда на объект исследования.

Второй параграф посвящен аналитическим моделям в газовой динамике и выводу уравнений, использовавшихся при построении модели.

Третий параграф описывает метод модификации выражения для плотности газа так, чтобы полное уравнение для потенциала имело эллиптический тип в сверхзвуковой области так же, как и в дозвуковой — «Метод фиктивного газа».

Вторая глава «Численные методы решения уравнений газовой динамики» посвящена численным методам решения уравнений математической физики, используемым в газовой динамике.

Всякая редукция задач математической физики или техники в конечном итоге обычно сводится к алгебраическим уравнениям той или иной структуры. Поэтому предмет вычислительной математики, как правило, связан с методами сведения задач к системам алгебраических уравнений и их последующему решению.

Построение систем алгебраических уравнений, соответствующих той или

иной задаче с непрерывно меняющимися аргументами, обычно существенно опирается на априорную информацию, связанную с исходной задачей. Такой информацией может быть принадлежность решения к тому или иному классу функций, обладающих определенными свойствами гладкости, свойства операторов задачи, свойства входных данных и т. д. Априорная информация во многих случаях оказывает решающее влияние на выбор методов вычислительной математики, используемых пля решения указанных алгебраических урасиеккй. При этом, как правило, должно иметь место соответствие между априорными требованиями для исходной задачи и свойствами ее алгебраического аналога. Это прежде всего относится к операторам задач, свойства которых должны быть по возможности сохранены при редукции задачи от непрерывных аргументов к дискретным. Первый параграф посвящен обзору таких методов.

Во втором параграфе описывается метод простых итераций, использовавшийся на первом этапе решения задачи. Применялась разностная схема «простого креста» для уравнения и схемы численного интегрирования второго порядка для граничных условий, причем граничное условие на контуре реализовывалось в предположении достаточной тонкости профиля и близкому к параллельному Ох течению при помощи «сноса» граничного условия на профиле на ось Ох.

В третьем параграфе изложен метод сопряженных градиентов, используемый на втором этапе вместо метода простых итераций. Он применяется на этапе

линеаризации исходной нелинейной системы ¿(р(к)) -С/ = В для приближенного решения линейной системы, возникающей при фиксированном от итерации к итерации распределении плотности р(У), где V - скорость, соответствующая потенциалу и. После каждого решения линейной системы с заданной точностью метод обновляется за счет пересчета распределения плотности р(У) и возврата к исходному значению матрицы В. Это сводит вероятность возможного накопления ошибок округления к минимуму. Таким образом, метод сопряженных градиентов применяется не как метод точного решения линейной системы, что теоретически возможно, но нереально вследствие ошибок округления и большой размерности системы, а как итерационный метод , соответствующий по скорости сходимости геометрической прогрессии. Основной выбрана рекуррентная схема метода сопряженных градиентов.

В четвертом параграфе описано решение задачи Коши с начальными данными на звуковой линии методом характеристик. Метод характеристик имеет определенные достоинства по сравнению с другими численными методами. Прежде всего при интегрировании вдоль характеристик существенно упрощаются исходные уравнения за счет того, что количество независимых переменных при этом уменьшается. Тем самым сокращается число производных в дифференциальных операторах, подлежащих аппроксимации. Далее в этом методе достаточно точно определяется область влияния и, следовательно, строго учитывается распространение возмущений. Последнее обстоятельство придает методу характеристик особенно ясный физический смысл.

Третья глава «Алгоритмы моделей, численные схемы и результаты» посвящена описанию реализации моделей.

В первом параграфе описывается алгоритмическая схема поставленной задачи нахождения безударного аэродинамического профиля методом фиктивного газа.

Алгоритмическая схема предназначена для моделирования построения новой безударной формы профиля методом фиктивного газа. Для этого на первом этапе выражение для плотности газа модифицируется так, чтобы полное уравнение для потенциала имело эллиптический тип в сверхзвуковой области так же, как и в дозвуковой.

Затем решается уравнение неразрывности методом сопряженных градиентов.

На втором этапе, после нахождения положения звуковой линии и параметров течения на ней, течение реального газа в сверхзвуковой области находится методом характеристик путем решения задачи Коши для уравнения Эйлера с начальными данными на звуковой линии. Начальными данными являются значения составляющих скорости

Выбирается разностная схема для уравнения неразрывности в безразмерной консервативной форме

(/*/;>;+(/*/;);=о,

разностные схемы для аппроксимации поставленных граничных условий и метод решения полученной в результате разностной аппроксимации системы уравнений для нахождения матрицы приближенного численного решения (при этом используется метод фиктивного газа, что выражается в выборе соответствующей формулы плотности). Также должна быть предусмотрена разностная схема численного нахождения скорости К через элементы матрицы численного решения I/.

После получения численного решения с заданной точностью находятся точки звуковой линии, соответствующие пересечению ее линиями сетки. В этих точках определяются значения потенциала и.

Звуковая линия интерполируется по переменной типа полярного угла, и находятся точки пересечения звуковой линии с профилем. Эти точки используются в совокупности с уже найденными для нахождения течения реального газа в сверхзвуковой области методом характеристик (при решении задачи Коши для уравнения Эйлера с начальными данными на звуковой линии). По результатам решения задачи Коши выделяется линия тока, имеющая начало на стыке звуковой линии и профиля. Эта линия дополняет профиль до предполагаемого безударного в сверхзвуковой области.

Во втором парафафе приведены численные схемы реализации алгоритма модели. Были введены разностные схемы более высокого порядка (вплоть до четвертого) для точек внутри области при вычислении скорости V и для граничных условий на стенках канала. Удалось уйти от предположения о тонкости профиля, которое влечет соответствующую ошибку, перейдя к разностным уравнениям для

ди

производной по нормали -— дп

= №(х,у). Предусмотрена возможность исполь-9

зования контура, задаваемого любой гладкой кривой. Приближенное решение исходной нелинейной системы ¿(р(К)) -С/ = В осуществляется двумя итерационными процессами. В первом процессе методом сопряженных градиентов решается линеаризованная за счет фиксации поля распределения скоростей линейная система, а во втором происходят итерации по плотности р(У). Так как метод сопряженных градиентов мижсп бьиь применен для системы с положительно определенной матрицей, была разработана соответствующая подпрограмма умножения матрицы системы на транспонированную ей, причем эта подпрограмма сохраняет все преимущества ленточного характера матрицы системы. Прямое умножение на транспонированную матрицу неприемлемо в силу ее чрезвычайно

большой размерности пг х т2, а также двойной нумерации элементов искомого вектора и. Использование ленточного характера матрицы сводит операцию ее применения к скалярному умножению 5 -16 (в зависимости от точности разностной схемы) векторов порядка пхт. Выбирается начальное приближение (/„,

находится матрица скорости К0, и полученная система ¿(/>(К0))-£/ = В методом

сопряженных градиентов решается с точностью до ее по невязке системы в некоторой метрике (разумеется с приведением матрицы системы к симметричной положительно определенной). После достижения промежуточного результата и, методом сопряженных градиентов скорость вновь пересчитывается на и система = В решается с новой фиксированной плотностью и так далее до сходимости исходной нелинейной системы с точностью ее, то есть получения

I]п, для которого невязка ))•£/,- б|| < е. Таким образом, метод сопря-

женных градиентов применяется не как метод точного решения линейной системы, что нереально вследствие ошибок округления и большой размерности системы, а как итерационный метод, соответствующий по скорости сходимости геометрической прогрессии. Более точно <-—1£/0-[/*| , где

~ 4м 'а отРезок содержит все собственные числа матри-

цы А. Таким образом, скорость сходимости тем выше, чем меньше диаметр спектра А. По литературным данным точность приближений {£/„] часто намного лучше, чем гарантируется этой оценкой. Тем не менее оказывается очень полезной эвристическая версия этой оценки: метод сопряженных градиентов сходится очень

быстро по А- норме, если «1.

Третий параграф состоит из описания работы программ, реализующих численные схемы.

Е) четвертом параграфе приведены результаты численного эксперимента. На рисунках 2-5 представлены результаты расчета в среде МаЛСАО при числе Маха 0.682.

Рис. 2. Линии уровня скоростей начального приближения Е/0.

Рис. 3. Линии уровня скоростей численного решения и с невязкой в евклидовой метрике 5 • 10"5.

Табл. 1 Численная реализация граничных условий. 11

Эти данные указывают на высокую точность реализации граничных условий на

ди

стенках, входе и выходе канала при

дх

= 0.715.

таи и -ыю шал и -пазми)

о »1-1-!.-•" I-1-1-1-1-1-1-1-1 " - .1-

Ч» о; 1 и и и и а и 17 и и а и ХА.^.ьцвхз,*)ю-| г!

Рис. 4. Результат работы программы, использующей численную модель, реализованную в профессиональной версии математического пакета \iathCAD.

Рис 5. ¡Контур безударного профиля после интерполяции и сглаживания. Расчет реального течения газа дня трех чисел Маха:

Рис. 6. Исходный профиль в виде кругового сегмента с возникновением ударной

волны для Мх=0.666.

I, ПйСН МиНВЕВ И приеме ^133.836

Рис. 7. Реальное течение газа около полученного безударного профиля (при

данном числе Маха).

волны для Мх=0.682.

поен наша х и оаевв

Рис. 9. Реальное течение газа около полученного безударного профиля (при

данном числе Маха).

тех мипвЕЯ и п=«ми0 1=37.6714

Рис. 10. Исходный профиль в ввде кругового сегмента с возникновением ударной волны для Мх=0.700.

Г

ГМСН НиГШЕК Н 1К1МИП

Рис. 11. Реальное течение газа около полученного мало ударного профиля (при

данном числе Маха).

В приложениях 1-3 приведены тексты программ реализующих численные схемы метода фиктивного газа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Построена математическая модель проектирования трансзвукового безударного профиля методом фиктивного газа, модифицированного автором (отказ от предположения о тонкости профиля).

2. Обоснованы преимущества метода фиктивного газа как более эффективного метода построения безударного профиля.

3. Произведена математическая обработка уравнений метода фиктивного

14

газа, приводящая к численным алгоритмам, применимым для современной вычислительной техники.

4. Разработаны две численные схемы реализации, позволяющие оценить точность расчетов и объем машинного времени.

5. Получена программа, целиком составленная автором.

6. Произведен численный эксперимент по разработанным численным схемам. Дан анализ результатов.

В результате проделанной работы можно сделать следующие вывода: разработанная модель удовлетворительно решает задачу построения безударного профиля для сравнительно малых чисел Маха (0.650 - 0.690) для больших чисел Маха имеет место лишь существенное улучшение характеристик течения относительно полученного в результате применения алгоритма нового профиля. Это, вероятно, объясняется влиянием верхней стенки канала на поток.

Было обнаружено, что универсальной модификации плотности (при применении метода фиктивного газа для построения безударного профиля) в широком диапазоне чисел Маха не существует. Соответствующий параметр Р необходимо изменять, следуя определенной закономерности. Эта закономерность получена эмпирически (по нескольким полученным значениям) методом наименьших

квадратов в виде дробно-линейной функции Р(Мх) = ^ ^^— + 0.710, где Мх-

Мх—0.709

число Маха потока на выходе канала, Р - параметр плотности фиктивного газа. При значении Мх = 0.651 получаем Р=0.51 (результат построения безударного профиля по описанной выше модели приводится ниже). Максимальное изменение высоты исходного кругового профиля составило для этого числа Маха около 0.9%.

Рис. 12. Исходный профиль в виде кругового сегмента с возникновением ударной волны для Мх=0.651.

НЙСН НОКВЕЯ Н п=9ввве «=14в.вЕЭ

Рис. 13. Реальное течение газа около полученного безударного профиля (при

данном числе Маха).

Полученный в ходе численной реализации разработанных моделей набор безударных профилей можно использовать как узловые точки интерполяции с целью получения безударных профилей для промежуточных значений чисел Маха.

Рис. 14. Совокупность безударных профилей, полученных при различных

числах Маха.

Например, используя Пять базовых профилей на интервале

А4хе[0.651,0.700], получаем (в результате интерполяции сплайнами) для

Мх = 0.655 и Мх = 0.675 безударные профили подстановкой Мх в соответствующие интерполяционные функции.

ПЙСМ NUHBEK Н пзвЗВЯв t=99.7746

Рис. 15-16. Реальное течение газа около профилей, полученных интерполяцией

Мх = 0.655 и Мх = 0.675.

Этот процесс можно рассматривать как механизм решения задачи коррекции профиля в потоке с меняющимся значением . Мх. Расчет профиля по интерполяционным формулам происходит достаточно быстро по сравнению с временем работы составленной программы.

К сожалению, экстраполяция базовых профилей на большие числа Маха практически невозможна в силу специфики их построения.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Удовиченко А. С. Проектирование аэродинамического профиля методом фиктивного газа. Украшський Математичний Конгресс - 2001. Обчислювальна Математика I Математичш Проблеми Меиханики Тези доповщей. Гнститут математики HAH Укаши, 2001. ISBN 966-02-2170-3. с. 58-59.

2. Удовиченко А. С. Построение безударного аэродинамического профиля методом фиктивного газа. Доклады HAH Украины 2003. №6 ISSN 1025-6415, с. 48-51.

3. Удовиченко А. С. Влияние волны Кутта на структуру трансзвукового течения около аэродинамического профиля. Актуальные вопросы управления в организационно-технических системах: Сб. трудов студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых ЕГТУ Выпуск 2/ Бзлт. Гос. Тех:;. Уп т. СПб. 2004, с.155-158.

4. Удовиченко А. С. Моделирование безударного аэродинамического профиля. Международная научно-методическая конференция «Математика в ВУЗе» ] (г. Великий Новгород, 2005 г.), с. 150-151. i

5. Удовиченко А. С. Математическая модель построения тонкого безударного профиля. Сборник научных трудов «Методика преподавания математики в высших и средних учебных заведениях».

»

Подписано к печати 10.11.05. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ Ш .

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.

190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4. *

Отпечатано на ризографе 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул, д. 5.

f

\

'I «

»23 bes

РНБ Русский фонд

2006-4 25036

«

Введение 4

Глава 1 Моделирование в газовой динамике 14

1.1. Значение математических моделей в технике и физике 15

1.1.1. Постановка задачи моделирования 15

1.1.2. Схема процесса моделирования 16

1.1.3. Классификация математических моделей 20

1.1.4. Основы математического моделирования 21

1.2. Математические модели в газовой динамике 23

1.2.1.1. Двумерные стационарные течения: плоские и осесимметричные 23

1.2.1.2. Теорема Крокко о вихрях 26

1.2.1.3. Потенциал скорости; уравнение для потенциала скорости в сжимаемом газе 29

1.2.1.4. Переменные годографа. Уравнение Чаплыгина 31

1.2.1.5. Особенности решения задач в переменных годографа 32

1.2.1.6. Уравнение Эйлера-Трикоми - трансзвуковой аналог уравнения Чаплыгина 34

1.2.1.7. Уравнение для потенциала плоского почти однородного трансзвукового потока газа 37

1.2.2. Невязкие сжимаемые течения 38

1.2.3. Трансзуковые невязкие течения 45

1.2.3.1. Общие замечания 45

1.2.3.2. Трансзвуковое уравнение малых возмущений 48

1.2.3.3. Полное уравнение для потенциала 51

1.3. Метод фиктивного газа 54

1.4. Выводы

Глава 2 Численные методы решения уравнений газовой динамики 56-79 2.1. Численные методы решения уравнений математической физики

2.1.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем 58

2.1.2. Методы численного решения задач математической физики 62

2.1.3. Вычислительные методы в линейной алгебре 69

2.1.4. Вопросы оптимизации численных методов 76

2.2. Метод простых итераций 79

2.2.1. Основные разновидности итерационных процессов 79

2.2.2. Метод простой итерации 82

2.3. Метод сопряженных градиентов 95-109 2.3.1. Вариант метода сопряженных градиентов 104

2.4. Метод характеристик 110

2.4.1. Характеристики дифференциального уравнения в частных производных второго порядка 110

2.4.2. Приближенное построение сетки характеристик 119

2.4.3. Нахождение характеристических полосок 124

2.5. Выводы

Глава 3 Алгоритмы моделей, численные схемы и результаты 130

3.1. Алгоритмическая схема поставленной задачи нахождения безударного аэродинамического профиля 131

3.2. Численные схемы реализации алгоритма модели нахождения безударного профиля 134

3.3. Результаты численного эксперимента 139

3.4. Выводы 150 Заключение 151-153 Список литературы 154-164 Приложения 1

При обтекании аэродинамического профиля потоком воздуха с большой дозвуковой скоростью, характерной для пассажирской и транспортной авиации, около профиля образуется зона сверхзвуковой скорости течения, которая обычно заканчивается ударной волной. Наличие ударной волны может вызвать более ранний переход ламинарного течения в турбулентное и связанное с этим резкое снижение аэродинамического качества крыла. Кроме того, возникновение ударных волн средней и большой интенсивности приводит к существенным волновым потерям и, что более важно, может инициировать отрыв пограничного слоя и возникновение нестационарных явлений типа бафтинга.

Поэтому одной из важнейших задач аэродинамики летательных аппаратов является проектирование профилей и крыльев безударной формы, для которых ускорение и торможение потока в местной сверхзвуковой зоне происходит без образования ударных волн, и реализуется гладкое обтекание.

Методы проектирования делятся на две категории. К первой категории относятся комбинированные численные методы, объединяющие решение прямой задачи аэродинамики и решение задачи оптимизации, позволяющей в ходе итерационного расчета изменять форму профиля, чтобы минимизировать целевую функцию, например, сопротивление или разность между полученным на данной итерации и желаемым распределениями давления [67], [81]. Недостатком таких методов являются большие затраты времени расчетов, вследствие чего их применение в практике аэродинамического проектирования связано со значительными неудобствами и затратами средств. Ко второй категории относятся обратные методы, предполагающие задание распределения давления или скорости на профиле и определение формы профиля в результате решения соответствующей краевой задачи. В исследованиях, связанных с решением обратных задач для трансзвуковых течений, сформировалось несколько подходов. В методе Вольпа и Мельника [10] проводится решение полного уравнения для потенциала скорости с пространственными координатами в качестве независимых переменных; при этом в заданное распределение давления вводится свободный параметр, который в процессе расчета подбирается так, чтобы обеспечить существование решения обратной задачи. В работах [63], [96] применено преобразование годографа, позволяющее получить линейные уравнения для описания изоэнтропических течений. В методе фиктивного газа [97] используется степенное выражение для плотности газа, обеспечивающее эллиптический тип уравнения для потенциала скорости во всей расчетной области. Были предложены также численные методы, позволяющие задавать как форму профиля, так и распределение давления на профиле или исследовать смешанную задачу, в которой часть профиля задана, а на другой его части задается распределение давления или скорости [77]. Преимущество обратных методов аэродинамического проектирования перед указанными выше методами оптимизации -более высокая скорость счета и экономичность, позволяющие осуществлять проектирование профилей в интерактивном режиме работы на ПК или рабочей станции. Недостатком указанных обратных методов является возникновение некоторых принципиальных трудностей, связанных с необходимостью выполнения условия замкнутости контура и условия совпадения скорости набегающего потока с заданным значением. Как показывают предварительные исследования, задание распределения давления может приводить к наличию вогнутых участков спроектированного аэродинамического профиля и к возникновению внутренних ударных волн в местной сверхзвуковой зоне, поскольку оно представляет собой жесткое граничное условие, не адаптированное к структуре течения. Результаты некоторых расчетов [98], действительно, демонстрируют наличие внутренних ударных волн.

Целью настоящего диссертационного исследования является моделирование построения безударной формы сверхкритического профиля методом фиктивного газа, согласно которому на первом этапе выражение для плотности газа модифицируется так, чтобы полное уравнение для потенциала имело эллиптический тип в сверхзвуковой области, так же как и в дозвуковой. г рис. 1

V<\

Затем решается модификация уравнения неразрывности д( диЛ д( ди\ л

I р— +— р— = 0 методом сопряженных градиентов.

SxV дх) dvv. ду)

На втором этапе, после нахождения положения звуковой линии и параметров течения на ней, течение реального газа в сверхзвуковой области находится методом характеристик путем решения задачи Коши для уравнения Эйлера с начальными данными на звуковой линии. Начальными данными являются значения составляющих скорости Vx и Vy (V2 = V* + Vy =1).

Результатом работы программы является линия тока, исходящая из точки пересечения звуковой линии и исходного профиля. Эта линия тока и является новой, безударной формой профиля под звуковой линией. Окончательная форма безударного профиля получается путем гладкого сопряжения исходного профиля в дозвуковой области и нового в сверхзвуковой.

Для достижения этой цели нами решались следующие задачи: Составлен алгоритм модели и разработаны две схемы численной реализации разработанного алгоритма.

По этим моделям был выполнен ряд численных экспериментов.

Исследование устойчивости и сходимости численных схем и алгоритмов привели к выводам:

1. Использование декартовых координат увеличивает точность нахождения координат звуковой линии и спроектированного профиля. Поэтому в решении краевой задачи для уравнения потенциала использовались декартовы координаты, а не криволинейные связанные с профилем.

2. Применение метода простых итераций даже в случае сходимости для решения поставленной задачи потребовало больших затрат машинного времени поэтому была проанализирована возможность применения более сложных по своей структуре методов: оптимального линейного итерационного процесса, метода наискорейшего спуска и метода сопряженных градиентов и был сделан выбор в пользу последнего.

3. Метод сопряженных градиентов был использован с учетом ленточного вида матриц (из операции умножения матриц исключаются заведомо нулевые элементы).

4. Использование разностных формул четвертого порядка для граничных точек и второго порядка для внутренних точек области интегрирования, а также переход к разностным уравнениям для dU производной по нормали дп N(x, у) позволили (х,у)е Г отказаться от предположения о тонкости профиля. 5. В методе характеристик применяется метод Рунге-Кутта (4-го порядка), а не метод Эйлера.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и заключения.

3.4. Выводы

В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы: разработанная модель удовлетворительно решает задачу построения безударного профиля для сравнительно малых числах Маха (0.650 - 0.690). Для больших чисел Маха имеет место лишь существенное улучшение характеристик течения относительно полученного в результате применения алгоритма нового профиля. Вероятно, это объясняется влиянием верхней стенки канала на поток.

Проведенный численный эксперимент показал меньшее время расчета для первой модели, но лучшую скорость сходимости для второй. Полученный новый безударный профиль исследовался при помощи программы моделирующей реальное течение газа при числах Маха близких к использованным при моделировании профиля. При малых отклонениях числа Маха поток оставался близким к безударному и демонстрировал наличие только слабых ударных волн.

Заключение

1. Построена математическая модель проектирования трансзвукового безударного профиля методом фиктивного газа, модифицированного автором (отказ от предположения о тонкости профиля).

2. Обоснованы преимущества метода фиктивного газа как более эффективного метода построения безударного профиля.

3. Произведена математическая обработка уравнений метода фиктивного газа, приводящая к численным алгоритмам, применимым для современной вычислительной техники.

4. Разработаны две численные схемы реализации, позволяющие оценить точность расчетов и объем машинного времени.

5. Получена программа, целиком составленная автором.

6. Произведен численный эксперимент по разработанным численным схемам. Дан анализ результатов.

В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы: разработанная модель удовлетворительно решает задачу построения безударного профиля для сравнительно малых чисел Маха (0.650 - 0.690) для больших чисел Маха имеет место лишь существенное улучшение характеристик течения относительно полученного в результате применения алгоритма нового профиля. Это, вероятно, объясняется влиянием верхней стенки канала на поток.

Было обнаружено, что универсальной модификации плотности (при применении метода фиктивного газа для построения безударного профиля) в широком диапазоне чисел Маха не существует. Соответствующий параметр Р необходимо изменять, следуя определенной закономерности. Эта закономерность получена эмпирически (по нескольким полученным значениям) методом наименьших квадратов в виде дробно-линейной функции

Р(Мх) = —— + qjjq Мк- число Маха потока на выходе Ых- 0.709 канала, Р - параметр плотности фиктивного газа. При значении Мх = 0.651 получаем Р=0.51 (результат построения безударного профиля по описанной выше модели приводится ниже). Максимальное изменение высоты исходного кругового профиля составило для этого числа Маха около 0.9%.

Рис. 11. Исходный профиль в виде кругового сегмента с возникновением ударной волны для Мх=0.651.

Рис. 12. Реальное течение газа около полученного безударного профиля (при данном числе Маха).

Полученный в ходе численной реализации разработанных моделей набор безударных профилей можно использовать как узловые точки интерполяции с целью получения безударных профилей для промежуточных значений чисел Маха.

Рис. 13. Совокупность безударных профилей, полученных при различных числах Маха.

Например, используя пять базовых профилей на интервале Мхе [0.651,0.700], получаем (в результате интерполяции сплайнами) для Мх = 0.655 и Мс = 0.675 безударные профили подстановкой Мх в соответствующие интерполяционные функции.

Рис. 14-15. Реальное течение газа около профилей, полученных интерполяцией Мх = 0.655 и Мх = 0.675.

Этот процесс можно рассматривать как механизм решения задачи коррекции профиля в потоке с меняющимся значением так как Мх. Расчет профиля по интерполяционным формулам происходит достаточно быстро по сравнению с временем работы составленной программы.

К сожалению, экстраполяция базовых профилей на большие числа Маха практически невозможна в силу специфики их построения.

1. Бабушка И., Соболев С. Л., Оптимизация численных методов. — «Appl. Math.», 10, 2 (1965).

2. Бахвалов Н. С., Об оптимальных методах решения задач. — «Appl. Math.», 13, 1 (1968).

3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003., 632 е., ил.

4. Белоцерковский О. М., Чушкин П. И., Численный метод интегральных соотношений. — «ЖВМ и МФ», 2, 5 (1962).

5. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л., Темам Р., Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения. — В сб.: Методы вычислительной математики, Новосибирск, «Наука», 1975.

6. Валиуллин А. Н., Схемы повышенной точности для задач математической физики. Лекции для студентов НГУ, Новосибирск, Изд-во НГУ, 1973.

7. Виноградов И. М., К вопросу об оценке тригонометрических сумм. — «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 29, 3 (1965).

8. Волков Е. А., Исследование одного способа повышения точности метода сеток при решении уравнения Пуассона, В сб.: Вычислительная математика, 1, ВЦ АН СССР, М., 1957.

9. Волков Е. А., Развитие метода сеток для уравнения Лапласа на конечных и бесконечных областях с кусочно-гладкой границей. Автореф. докт. дисс., М., 1967.

10. Вольп Г. Мельник Р. Е. Роль ограничений в обратной задаче проектирования профилей при околозвуковом обтекании // Аэрокосмическая техника, т. 3, N 8, 1985, с. 36-46.

11. Воробьев Ю. В., Случайный итерационный процесс в методе переменных направлений. — «ЖВМ и МФ», 8, 3 (1968).

12. Гельфанд И. М., Локуциевский О. В., Метод прогонки для решения разностных уравнений. —В кн.: С. К- Годунов, В. С. Рябенький, «Введение в теорию разностных схем», М., Физматгиз, 1962.

13. Годунов С. К., Забродин А. В., О разностных схемах второго порядка точности для многомерных задач. — «ЖВМ и МФ», 2, 4 (1962).

14. Годунов С. К., Рябенький В. С., Спектральные признаки устойчивости краевых задач для несамосопряженных разностных уравнений. — «УМН», XVIII.

15. Годунов С. К., Семендяев К. А., Разностные методы численного решения задач газовой динамики. —«ЖВМ и МФ», 2, 7 (1962).

16. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999., 548 е., ил.

17. Дородницын А. А., Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. — «Труды III Всесоюзного математического съезда», т. И, М., Изд-во АН СССР, 1956.

18. Дородницын А. А., Лекции по численным методам решения уравнений вязкой жидкости, М., ВЦ АН СССР, 1969.

19. Канторович Л. В., О методе наискорейшего спуска. — «ДАН СССР», 56, 3 (1947).

20. Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., Физматгиз, 1959.

21. Келдыш М. В., О методе Галеркина для решения краевых задач. — «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 6 (1942).

22. Колмогоров А. Н., Дискретные автоматы и конечные алгоритмы. — В кн.: Труды IV Всесоюзного математического съезда, т. I, М., Изд-во АН СССР, 1963.

23. Коновалов А. Н., Метод фиктивных областей в задачах кручения. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 4, 2 (1973).

24. Копченов В. Д., Приближение решения задачи Дирихле методом фиктивных областей. — «Дифференциальные уравнения», 4, 1 (1968).

25. Коробов Н. М., Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов. — «Вестник МГУ. Сер. матем.», 4 (1959).

26. Красносельский М. А., Крейн С. Г., Итеративный процесс с минимальными невязками. — «Матем. сб.», 31 (1952).

27. Крылов В. И. Бобков В. В. Монастырский П. И. Вычислительные методы высшей математики. Т.1 Под ред. И. П. Мысовских. Мн.: «Вынейш. Школа», 1972, 584 е., ил.

28. Крылов В. И. Бобков В. В. Монастырский П. И. Вычислительные методы высшей математики. Т.2 Под ред. И. П. Мысовских. Мн.: «Вынейш. Школа», 1975, 672 е., ил.

29. Ладыженская О. А., Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными. — «УМН», XII, 5 (1957).

30. Лаке П., Об устойчивости конечно-разностных аппроксимаций решений гиперболических уравнений с переменными коэффициентами. — «Математика (сб. переводов)», 6, 3 (1962).

31. Лаке П., Ниренберг Г., Об устойчивости разностных схем; точная форма неравенства Гординга. —«Математика (сб. переводов)», 11,6 (1967).

32. Ланцош К., Практические методы прикладного анализа, М., Физматгиз, 1961.

33. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: «Наука», 1977, 456 с.

34. Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., «Наука», 1970.

35. Оганесян JI. А., Вариационно-разностная схема на регулярной сетке для задачи Дирихле. —«ЖВМ и МФ», 11, 6 (1971).

36. Рихтмайер Р. Д., О нелинейной неустойчивости разностных схем. — В сб.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики, Новосибирск, «Наука», 1966.

37. Рыжиков Ю. И. Решение научно-технических задач на персональном компьютере. СПб.: КОРОНА принт, 2000, 272 с.

38. Рябенький В. С. Филиппов А. Ф., Об устойчивости разностных уравнений, М., Гостехиздат, 1956.

39. Самарский А. А , Некоторые вопросы общей теории разностных схем. — В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными (труды симпозиума, посвященного 60-летию академика С. JI. Соболева), М., «Наука», 1970.

40. Саульев В. К., О решении некоторых краевых задач на быстродействующих вычислительных машинах методом фиктивных областей. — «Сибирский матем. журнал», 4, 4 (1963).

41. Сердюкова С. И., Исследование устойчивости в С явных разностных схем с постоянными действительными коэффициентами, устойчивых в Ь2.— «ЖВМ и МФ», 3, 2 (1963).

42. Соболев С. Д., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., Изд-во ЛГУ, 1950.

43. Стулов В. П. Лекции по газовой динамике: Учебник.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004,192 с.

44. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Об однородных разностных схемах. —«ЖВМ и МФ», 1, 1 (1961).

45. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Однородные разностные схемы на неравномерных сетках. — «ЖВМ и МФ», 2, 5 (1962).

46. Удовиченко А. С. Построение безударного аэродинамического профиля методом фиктивного газа. Доклады НАЛ Украины 2003. №6 ISSN 1025-6415 с. 48-51.

47. Удовиченко А. С. Моделирование безударного аэродинамического профиля. Международная научно-методическая конференция «Математика в ВУЗе» (г. Великий Новгород, 2005 г.) с. 150-151.

48. Удовиченко А. С. Математическая модель построения тонкого безударного профиля. Сборник научных трудов «Методика преподавания математики в высших и средних учебных заведениях»

49. Филиппов А. Ф., Об устойчивости разностных уравнений. — «ДАН СССР» , 100, 6 (1955).

50. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей т.2 М. «Мир» 1991., 552 е., ил.

51. Холст Т. JL, Бальхауз В. Ф. ракетная техн. и космон., 1979, т. 17, №2, с. 23-33.

52. Шайдуров В. В., Об одном методе повышения точности разностных решений. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 3, 2(1972).

53. Яненко Н. Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосибирск, «Наука», 1967.

54. Яненко Н. Н., Введение в разностные методы математической физики, ч. 1,2, Новосибирск, Изд-во НГУ, 1968.

55. Яненко Н. Н., Шокин Ю. И., О связи корректности первых дифференциальных приближений и устойчивости разностных схем для гиперболических систем уравнений. — «Матем. заметки», 4, 5 (1968).

56. Яненко Н. Н., Шокин Ю. И., О корректности первых дифференциальных приближений разностных схем. — «ДАН СССР» 182,4(1968).

57. Aubin J. P., Behavior of the error of the approximate solutions of boundary value problems for linear elliptic equations by Galerkin's and finite difference methods. — «Ann. Scuola Norm. Super», Pisa, 21,4 (1967).

58. Babuska I., The finite element method for elliptic differential equations. Numerical solution of partial differential equations — II. SYNSPADE-1970 Academic Press, New York — London, 1971.

59. Babuska I., The rate of convergence for finite element method. — SI AM J. Numer. Anal.», 8, 2 (1971).

60. Baker G. A., Oliphant T. A., An implicit numerical method for solving the two-dimensional heat equation — «Quart. Appl. Math.», 17, 4(1960).

61. Bauer F., Garabedian P., Korn D., Jameson A. Supercritical wing sections I, II, III // Lecture Notes in Economics and Mathematical Sciences, Springer-Verlag, 1972, 1975,1977.

62. Birkhoff G., Schultz M. H., Varga R. S., Hermite interpolation in one and two variables with applications to partial differential equations. — «Numer. Math.», 11, 3 (1968).

63. Buzbee В., Golub G., Nilson Е., On direct methods for solving Poisson's equations. — «SIAM J. Numer. Anal », 7, 4 (1970).

64. Caughey D. A. (1982). Ann. Rev. Fluid Mech., 14, p. 261-283.

65. Cole J. D. (1975) SIAM J. Appl. Math., 29 p 763-787.

66. Courant R., Friedrichs K., Lewy H., Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. — «Math. Ann.», 100, 32 (1928). (Русский перевод: О разностных уравнениях математическойфизики. —«УМН», VIII (1940).

67. Crowley W., Second order numerical advection. — «J. Сотр. Phys.», 1,4(1967).

68. Douglas J., Dupont Т., Alternating-direction Galerkin methods on rectangles. Numerical solution of partial differential equations—II. SYNSPADE-1970, Academic Press, New York—London, 1971.

69. Fairweather G., Mitchell A. R., Some computational results of an improved A. D. I. method for the Dirichlet problem. —«Comput. J.», 9, 31966).

70. Friedrichs K., Non-linear hyperbolic differential equations for functions of two independent variables. — «Amer. J. Math.», 70 (1948).

71. Fox L., Henrici P., Moler C., Approximations and bounds for eigenvalues of elliptic operators. —«SIAM J. Numcr. Anal.», 4, 11967).

72. Fromm J. E., Numerical method for computing nonlinear, time dependent, buoyant circulation of air in rooms. —JBM J. of Reserch and Development, 15, 3 (1971).

73. Gunn J. E., The solution of elliptic difference equations by semi-explicit iterative techniques. —«SIAM J. Numer. Anal.», 2, 1 (1965).

74. Giles M.B., Drela M. Two-dimensional transonic aerodynamic design method // AIAA Journal. Vol.25. No.9, 1987, 1199-1206.

75. Hestenes M. R., Stiefel E., Method of conjugate gradients for solving linear systems. —«J. Res. Nat. Bur. Stand.», 49 (1952).

76. Hirose N., Takanashi S., Kawai N. Transonic airfoil design using Navier-Stokes equations // AIAA Journal. Vol.25. No.3, 1987, 353-359.

77. Jameson A. (1978). Transonic Flow Calculations. In: Computational Fluid Dynamics, ed. by H. J. Wirz, J. J. solderen. -Washington, D. C.: Hemisphere, p. 1-87.

78. Kraiko A N and \, P'yankov К S \, 2000 Construction of airfoils and engine nacelles that are supercritical in a transonic perfect—gas flow. ЖВММФ 40, no. 12, 1890—1904.

79. Kreiss H. O., Initial boundary value problems for partial differential and difference equations in one space dimension. Numerical solution of partial differential equations — II. SYNSPADE-1970, Academic Press, New York-London, 1971.

80. Kuz'min A.G. Cumulative and nonlinear phenomena in the local supersonic region // Computational Math, and Mathematical Physics, Pergamon Press, Vol.34, No.8-9, 1994, pp.1091-1101.

81. Lax P. D., Wendroff В., On the stability of difference schemes with variable coefficients. —«Comm. Pure Appl. Math.», 15, 4 (1962).

82. Lions J. L., Temam R., Une methode d'eclatement des operateurs et des contraintes en calcul des variations. — «С. R. Acad. Sci.», Paris, 263 (1966).

83. Malone J.B., Narramore J.C., Sankar L.N. Airfoil design method using the Navier-Stokes equations // J.Aircraft, Vol.28, N 3, 1991, 216224.

84. Mignot A., Methodes d'approximation des solutions de problems aux limites. — Rend, del sem. Mat. dellaUniv. di Padova, 11(1968).

85. Mitchell A. R., Computational Methods in Partial Differential Equations, Wiley, London, 1970.

86. Moor R., Interval analysis, Prentice-Hall, 1966.

87. Murman E. M. (1973). Proc. 1st AIAA Сотр. Fluid Dyn. Conf. New York: AIAA, p. 27-40.

88. Neuman J., Richtmyer R. D., A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks. —«J. Appl. Phys.», 21, 3 (1950).

89. Nickel К., Uber die Notwendigkeit einer Fehlerschranken-Arithmetic fur Rechnenautomaten. — «Numer. Math.», 9, 1 (1966).

90. Nickel K., Bericht uber neue Kalsruher Ergebnisse bei der Fhelererfassung von numerischen Prozessen. — «Appl. Math.», 13,2 (1968).

91. Olger J., Sundstrom A. (1978). SIAM J. Appl. Math., 3, p. 419-446.

92. Richtmyer R. D., Morton K. W.) Difference Methods for Initial-Value Problems, Wiley, New York, 1967.

93. Shifrin E. G., Turchak L. I. A numerical hodograph plane for aerodynamical design //ICFD Conference on numerical methods for fluid dynamics, Oxford, Abstracts of presentations, 1995.

94. Sobieczky H., Seebass A. Supercritical airfoil and wing design // Ann. Rev. Fluid Mech. Vol.16, 1984, 337-363.

95. Sobieczky H. Progress in inverse design and optimization in aerodynamics // AGARD Fluid Dynamics Panel Specialists Meeting «Computational Methods for Aerodynamic Design (Inverse) and Optimization», Norway, 1-10, 1989.

96. Strang G., Implicite difference methods for initialboundary value problems. — «J. Math. Anal. Appl.», 16, 1 (1966).

97. Strang G., Fix G., A Fourier analysis of the finite element variational method. Preprint, 1970.

98. Thomee V., Generally unconditionally stable difference operators. — «SIAM J. Numer. Anal.», 4,1 (1967).

99. Varga R., Some results in approximation theory with applications to numerical analysis. Numerical solution of partial differential equations — II. S.YNSPADE-1970, Academic Press, New York — London, 1971.

100. Wachspress E. L., Iterative Solution of Elliptic Systems and Applications to the Neutron Diffusion Equations of Reactor Physics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. Y., 1966.

101. Zlamal M., On some finite element procedures for solving second order boundary value problems. —«Numer. Math.», 14, 1 (1969).