автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическая модель качения твердого тела по направляющим

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЛЛЬ-ФАРАБИ

Г' . од

1 ) №

На правах рукописи

Е II СЕВЛЕВЛ М АР Ж АН ЗАИТОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КАЧЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО НАПРАВЛЯЮЩИМ

05.13.16 — Применение вычислительных средств, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМДТЫ, 1995 г.

Работа выполнена в Московском институте инженеров железнодорожного транспорта и Алматпнском институте инженеров железнодорожного транспорта.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук,

профессор МЫШКИС А. Д.

доктор физико-математических наук,

профессор _ АЛДАШЕВ С. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор ДЖЕНАЛИЕВ М. Д.

кандидат физико-математических наук,

доцент УТЕГЕНОВ К. У.

Ведущее предприятие: Московский государственный институт электроники и математики (технический университет).

Защита состоится » ШсГ&^и? 1995 г. в ю.оо час.

на заседании специализированного совета К 14/А.01.06 в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу; 480012, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/47,

КазГУ механико-математический факультет,, ауд. 51

Отзывы на автореферат направлять по адресу: 480121, г. Алматы, пр. Аль-Фараби, 71, Казахский государственный национальный университет, ученому секретарю (для С. Е. Ны-санбаевой).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ. Автореферат разослан «^Т » ¿Фу^У . 1995 г.

Ученый секретарь ^^—

специализированного совета, кандидат ¡^ физико-математических наук /а^г^^^тНЫСАНБАЕВА С. Е.

„ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования ■ Задача о качении жесткого тела по двум направляющим линиям или поверхностям без проскальзывания принадлежит к классическим задачам теоретической механики: с другой сторож, по характеру применяемого аппарата она принадлежит теории обыкновенных дифференциальных уравнений,' математического моделировании. Отдельные примеры такого качения рассматривались как в связи с приложениями (в частности,.к задачам железнодорожного транспорта), так и в чисто академическом плане, ко общего исследования этой задачи из проводилось. Лишь з 1988г. появилась работа А.Д.Ыншкиса, в которой были выведены дифференциальные уравнения качения по двум направляющим лвдшш и высказаны простые соображения по этому поводу. Таким образом, является актуальным исследование данной задачи как в общем, так и в специальных случаях.

Цель работы Исследовать шюгообразие .кинематически различных способов начешет; указать вид соответствующей системы дифференциальных уравнений; найти условия ее разрешимости; провести качественное исследовззгие качешш; выявить классы случаев для которых общая задача упрощается;'Провести расчет характеристик для конкретных примеров.

Методика исследования. Результаты настоящей диссертация получены с помощью методов математического моделирования, качественных I! аналитических методов теории дифференциальных уранений, дифференциальной геометрии, а также общих кинематических соображений. .

Норнзпа работа. Основные результаты диссертации являются но-

выми:

- построена математическая модель качения твердого тела без проскальзывания по двум произвольным направляющим линиям или поверхностям при любом выборе параметра качения;

- получена теорема о локальной разрешимости задачи Коши для полученной системы дифференциальных уравнений;

- развит! методика -исследования кинематики такого качения, дающая возможность выявить качественные особенности качения;

- найдены условия, при которых четырехмерное пространство возможных положений катящегося тела понижает свою размерность lia I, 2, 3 и 4 единицы, и в этих условиях указан вид системы уравнений качения;

- развито :.-!'лдя':а Jn-r -гчриззцзш системы уравнений качения в окрестности стационарного качения;

- для качения тела вращения по параллельным прямым получены качественные к количественные характеристики движений, близких к стационарному ;

- получены формулы, характеризующие качение двойного конуса по параллельным прямым, соосным окружностям, параллельным круглым щшшдрам и пс круглому цилиндру и параллельной ему прямой.

Практическая ценность. Полученные результаты использованы в отчетах НИР кафодр "Высшая математика" Московского института инженеров железнодорожного транспорта и Алматинского института инженеров железнодорожного транспорта по темам: "Применение математических методов в задачах железнодорожного транспорта", "Исследование решений дифференциальных уравнений и-их приложения." Результаты работа могут быть использованы для качественного и количественного исследования процессов качения, в том числе и в прикладных задачах (теоретическое исследование движения железнодпро-«-

- 5 -

них экипажей: движение колесной пары и т.д.).

Достоверность и обоснованность научних положений и результатов. .Достоверность полученшх результатов к выводов подтверждается тем, что: построенные модели могут бить использованы для качественного и количественного исследования процессов качения; полученные результаты по теории обыкновенных дифференциальных уравнений согласуются с результатами, известными из литературы; математические модели позволяют получить числэннне оценки, согласующиеся между собой и с реальными данным;!.

Автор защищает:

. - математическую модель качения твердого тела по направляющим линиям без проскальзывания;

. - условия разрешимости задачи Коши для полученной системы;

- методику исследования кинематики такого качения;

- классификацию случаев понижения разие^-оотц конфигурационного пространства;

- математическую модель качения твердого тела по направляющим при любом выборе параметра качения;

- упрощет1ую модель качения, апрокснмирующую исходную задачу.

Аппробация работы.- Материалы диссертации докладывались и обсуждались на:

- УН Всесоюзной конференции "Качественная теория диффэрок-циальвдх уравнений" (Рига, 1389г.');

- Международной научной конференции "Качественная теория диффервнциалышх уравнений"' (Самарканд 1993);

- " се(шшрэ по устойчивости ' фушционально-джйеренциалышх уравнений под руководством проф. В.Б. Колмановского в МИЗМ (Москва 1989. г. );

- семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством к. А. Миашиса в «в'(Москва 1987-1992)

- научных семинарах Казахского государственного национального университета.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в В публикациях.

Обьем и структура диссертации.Диссертационная работа на 127 страницах состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы. '

Содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и" списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность теш,, ее новизна, определены цель и основные направления' исследования а кратко изложен материал диссертации.

ГЛАВА I. посвящена исследованию общего случая качения по двум направляющим'линиям [1,63.

В разделе 1.1 для этого исследования применены кгтод!' общей теории об1Жйовеишх дифференциальных сравнений. Здесь' приведены дифференциальные уравнения качения жесткой поверхности, по двум направляадим. Линиям без' -проскальзывания 'ИЗ, а также сопутствующие коночные уравнения и доказана теорема.'о. локальной разрешимое-." тн задачи Кош. Все рассмотренные -линии и .поверхности считаются достаточно 'гладкими и,-.расположенными -в евклидовом пространстве, к». "■, -■'' ■"'■; 'л. ""■'■'

Более точные -определения такош. Пусть -аданн ориентированные ллзая I , 1г>. без общих точек с векторными уравнениями /..

■ I •• г = ), 1,:г',4

гдэ -|з. | - длина дуги линии Ь.. Пусть далее, задана ориентированная поверхность 0 с векторным уравнение«

О : г. = §(и.,у) ,

гдэ и, у - некоторые крнволшгойше координаты на

Под "качением" поверхности С по линиям Г^, Ь, г,и будем, если не оговорено противное, понимать семейство движений К : Го^П3, достаточно гладко зависящее от некоторого параметра <х, причем поверхность К <3 ж-еет с линией I. (>=1,2) единственную обшув точку, в которой эта поверхность сопршсасазтся с ь . Осуютрле проскальзывания означает, что при малом |да| движение К К (т.е. "доворачивапие" поверхности К^З в положение К Да0) представляет собой с точность» до ыашх сяоэдго пордаа, поворот на малдй угол вокруг осп ММ. Будем хп>зл2ъ лгать, что з«шисга<юсть каждой из точек М сг с. гакжэ достагочко и обозначим

через II (а), \\(а) координаты и, V точки Ка К с 0.

В разделе 1.1 за параметр л принято значекае в . Положим а = а я , с -- ф(д). Тогда качение определяется пятью функциями

8 ь- ф(8), и (8), У.(Э), 1=1,2. '(1)

Они должны удовлетворять системе уравнений, выведенной в роботе [Л:

^(и, .Г, )и + ^(и, )У(| И, (2)

1|(и2 ,уг) - §(и1, V,) ] ■ [ёцС^ .у, )и4 +■ ^'(и ,у4 )у( 1 =

[?г(ф) - ^(з)]-?/^) . (3)

= [?4(Ч» - ?,(з)).1а'(ф)<р(5) = 11('в).?2((р)ф ', (б)

/ I I

где <р , и , V означают производные по з.

Эта система уравнений (2)-(6) не имеет нормальной форш, т.е. не разрешена относительно производных от искомых функций: уравнения (3) и (5) лшеЯнц, а (-2), (4) к (6) квадратичны относительно этих производных. Подобные дифференциальные уравнения, алгебраические относительно производных от искомых функций, называются дифферещиально-алгебрайческгаи.

Из уравнений (2)-(6) монсно алгебраически исключить и4, , 1111

и2/ф , У2/ф , что приводит к конечному уравнению вида В(и1,и2.Б.ф) = 0. Применение теоремы о неявной функции приводит к следующей теореме ШЬ

Георема I Пусть при некотором значении в=во заданы значения всох- функций и., V., ф и их производных первого порядка, при ко-торах все уравнения (2)-(6) удошгетворявтся и выполнены неравенства:

Ф ' Ф О,

а§ич'у1)и1'+ ву(и .v. )у. ' ] . [§(цг ) - ё(и .v, )! } / (:•,

- э -0.

ВиЧ'+ + ®а'^ ВиЧ' + ВуЧ' + V <7>

1 > 2.2 Т

(й - орт внешней нормали к Ч в точке N ).

Тогда на некотором интервале ¡б - во) < е решение 'систегш (2) - (6) существует единственно и непрерывно зависит от заданных функций и начальных данных.

Система уравнений имеет первый интеграл

1§(игл2) - £,(и ,У1)]2 - 1?г(8г) - ?1(81)32 = С

В разделе 1.2 рассмотрена та же задача [5], что и в 1.1, но на основе наглядных соображений, обычно применяемых в кинематике. При этом параметр а, определяющий процесс качения, считается произвольным.

Прежде всего из раздела 1.1 следует, что величины , и , ^=1,2), кроме очевидного равенства

|§(и2л2) - )| = |?2(з2) - (8)

связаны еще одним конечшм уравнением. Оказывается, что этому уравнению моэдо также придать геометрический смысл, что приводит к теореме 2:

. , Теорема г В процессе качения 0 по ^ и 1|2 имеют место равенство

■ £ 1й, .йа-т4 -|1а) (п2-е12)-1 • ^ (% +

+ I (й, хП2 ) г ь Е А21 > = хй^-ёА2 > 1 •

и неравенство

(Й * 1. ( ' = 1.2 ) (Ю)

в них для краткости обозначено

= (5ь ) , ( ,2 ) .

Если осе часта равенства (9) полоз;!тельни, то (10) вытекает из (9).

Далее в раздело 1.2 изучается-следующий вопрос. Пусть заданы только начальник значения величин: , V Ь-1,2) (но не 1-я

производных), причем удовлетворяются все необходимые условия (8), (9) и (10). Сколько при атом имеется ьозкожнах начальных положений поверхности Ка0 ? ,

Оказывается, что тшос положений мокет.быть одно, два или бесконечное количество. Зим случаям'придается геометрическое истолкование, причем в последнем случае "качание" сводится к вреда-

- II -

иию поверхности КС вокруг неподвииюЯ оси.

Отмети:.!, что в этом рассмотрении поверхность 0 считается проницаемой, т.о. у пересечения К^О с Ь, кроме. , допускает наличие и других точек, в которых требование контакта К О с Ь. пя ставится.

Наконец, в разделе 1.2 получена формула, связывающая угол поворота йф поверхности К^О при переходе ее в положение К с соответствующими значениями бз.:

Теорема 3 При повороте катящейся баз проскальзывания поверхности К <3 на элементарный' угол <3ф точка М4 ее контакты с ли-плей Ь (1= 1,2) переместится

3 -г с£п(т?-(Г) ■ ■ „ •

аз - _—) - ? Сз )|}'Мз.. (11)

|б|2 .

Здесь Й.:= Т ,» т., й V. и 1с. -■- орт хтагче^ пзигали и ксивизнз нормального сечения поверхности К О о точке а направлен^ т . Если в некоторый кс-'зь? качен:.«? ^ с-'ч^щаэтся ъ нгль,

. I а I ^ ' '

то при продолжешш качания типична перс-мчна пппрзвлення деи::;енил точки М.. Тогда а вблизи этого момзита нельзя, принять за независимую переменную, и этим объясняется излитое условна (7) в теореме I. В этом случае за а. но::яо принять (во всшшм случае локально) суммарный угол поворота /¿ф поверхности КО* Некоторым неудобство:.! здесь является то, что этот угол, вообще говоря (кроме плоско- параллельных-движений) по имеет непосредственного геометрического смысла.

Если в некоторый момент качения обращается в нуль выражение в фигурных скобках формулы • (II) .для какого-либо 1=1,2, то при приращении на с*^ получается йф = 0, т.е. здесь стационарен угол поворота. При продолжении качания типично измените знака

аф; в этом случае поверхность Q надо считать пронвышмой для лпшй L .

V

В качестве примерз рзоал&тр^вйотся кьчение сферы радиуса R по дшп-ътл L , 12 с уравнений! а

I: г = z(sv)i. + (-1 )l)j ('=1,2), 0 < х (а) < 1, У(з) > О.

Задача сводится к ггселбдовашш простого уравнения as

— - ifíf ¡x (в) И- У" (в)!"* «а

tí8 а . ,

(-,----- -v (а) _ f г,)(П) = О),

C¡¡-

К'iо»^ '-."ряпхиаи.х о^ссайоь качения.

2 ;г-.?сс?ртан.та подоллвнэ пз^оторГи,; спэииалимы. ¡:í:t<tv.j;k:;1 п:.ьзцчнэс1к Q ;í кйпъаължци;: L . f¿,3,&¡.

Иг р;.з;;ела I.i, кы; n геометрического задачи, следует, 'по ылогосор.г.ае, т.е. D возмсшш;!

id/ííрхпости KC¡ отнскмю.ш.о 1 в

K: riioc^o .аи'ОЦ'л.хт; J¡:;ÍU:IU В ÍJ,

¡IVÜ^VUn:Ole,: рЬЗДИЧ^Лл СIJOOodCú К&ЧОПЦД, £0-

cc!:;j ,■--;:!:;;, 0;:,:í:¡ko олу-гл;, ¡:or',V-¡ раз.-.^рлоси L

',0:1 «a .1,2,3 п 4. !■ 'i&ksni í: wnroüopr^íiy ciío-

сг/\'л, y.v-:¿кля ставок.:v::.;¡ Щсг;г:;ч; '¡-ио охль что о5лы~

l 1 .¡.иüvm кг синего xspaK'jgp a, a ш.олонюе пптх гр:гс;о-

ypniHvntíi, ЬУ.5 дела-

ния.

..- 13 -

Пусть существует непрерывная группа движения, при которых пара (L , L,) переходит в себя, причем каздая точка лиши L монет перейти в любую другу» точку этой линии. В этом случае с помощью простой памеш функции <р в уравнениях (2)-(6) и (8) из гапс исключается s, т.о. dirai) шатается на 1, Это возможно в трах случаях: еслнЬ , L

а) винтовые линии с общей осью, одинаковым шагом и оданоко-вн'л энском кручения;

б) соосшзе окрукностн, т.о. округлости, лежащие в парзл-лилышх (может бнть совтшдаи'дпх) плоскостях и концентрические при сртогсггальном проецировании одной нгз этих плоскостей на другую;

в) параллельные крядае.

В каждом из этих случаев приводится форма правых частей ураьнзг'й, окрыляющих качение.

Лнплппгшое шитокиз din® на 1 происходит, если поверхность Q к-о? ст;;;>а'а''ь;:!М г,ид:

A} винтового типа;

П) 1ЮЬОрлНОСТЪ враг.ешя;

В) 'рл i;.4,r.p:viрc;:iin коглрхкость (с произвол; ной направляющей).

В к:х::дс;: из этих случаев пршодигся £»p.vn левых частей ураз-iiOiiu'i, спродоляк"'цх качение.

Веля G представляет собой круглий шшшдр, то dlmP паспаает-зл на 2, a ec-:i с<'зру или плоскость - то па 3.

Есл! назр'яглягг?» vj.'sbt одни из видсп а) - в), а поверхность 3 07с:н из видов А) - В), то dlai3=2 (длл круглого цилиндра dlmCM, ■\:ул crjх:л плоскости й1п.'>-0). В этсм случае юш пргаенять гг-срет а?:тсг:'.;.:-;пх сгхте;: на .лумер-шх многообразиях.

г ••, г; л:-с". '„'■-'."„¡г:; зен с;:/чзй качения поьер-

Q: г = H(u)cosv 1 + u 3 + H(u)sinv Й , H(y)>0, H с с1 (12)

по параллельным прямым, удаленным друг от друга на 21. Значения uio< и2о, для которых u2o- U1Q = 21, H(U1(?) = н(аго)> определяют стационарное качение без изменения конфигурации. Доказано, что если Н (uio) > 1! (uzo), то это стационарное качение имеет тип центра, т.е. близкие к нему способы качения являются периодичсс-'кими ("виляния"), длина волны которых при уменьшении амплитуды стремится к

х. = гщгщй^г'/т (U20) - н '(и10)]'^ ,

Если х:е Н (uio) < Н (U2Q), то стационарное качение неустойчиво (имеет тип седла).

В разделе 2.2 более подробно исследуется интересный для приложений случай качения двойного конуса Q по параллельным прямым или по соосным окружностям. [2,3] Обозначим через h , \ высоты круглых конусов, а через q - радиус их общего основания. Тогда при качении Q по параллельным прямым с малой амплитудой виляния длшш волны виляния асикптотичвски равна

К = 2^21^^(^+^-21)1 "2/(ht+h2).

Эта формула при 1^= h2 хорого известна в равносильной форме (формула Клингеля ).

Пусть теперь hi=h2=h, q < h, а качение двойного конуса происходит по соосным окрукностям радиусов R-1 и Рл.1 (о s 1 п), причем плоскости этих окружностей удалены друг от друга к-i pas-

стояние а > о, причем а+1>о. Тогда для возможности стационарного качения, при котором обе точки контакта расположен!! по одну сторону от общей оси направляющих, необходимо и достаточно, чтобн

21.(1\2+ч2)^2 < (н+1)(41г+-а2)1Х2

Если это условие выполнено, то движения, близкие к стационарному, являются периодическими, длина волга которых асимптотически равна

и Ь "(и -и )2 - о" (и +и )2

д. = 2ir.ll +-¡2. ¡[--20 -4 10 2Р---З1-'2

Ъ э(и -п ) - Ьг(и -и ) - о2 (и ---и

4 го ю ' 4 го ю ' ч у ¡с го

где

и -----{(-1 (1Ы) ((41гна2) (1г2й2+1гч2 Г"

+212яг 1 - 2112Ш (.=1,2).

Отсюда для фиксированных а, 1, и, я при и ■• получаем поправку для длины волны виляния, учитквающум искривление направляли:

А. = 2тсГ1а ) 11'г(1-1/Н) + 0 (1 /В2), 0,5(412+аг)1/2.

Глава з посвящена качению, при котором одна или оба направляющие представляют собой поверхности [ 4,6,7] здесь изложение более краткое, так как оно во многом аналогично проведенному в главах 1 и 2.

В разделе 3.1 рассмотрен случай, когда обе направляющие э2 вместо Ь1, Ь2) - это ориентированные достаточно гладкие повер-<кости с уравнениями

V ? = ^'Я^ (4=1,2).

Выбрав как-либо параметр качения а.получаем восемь функций

• аир. (а), ч^а), ^ (а), у. (а) (1=1,2),

которые долпш удовлетворять пяти дифференциалышм уравнениям (штрих у' р^, г[. , а, V' означает производную по а)

|Йц(и1,у1 Пт+^а^ )у.|= 41. '

[^(и, .V, )иг+§у (и. ,У. )У. 1 • [|(и3 ,У2 )-в(и4 )1 =

" [?ир(Р< 'РЛ^^^ '1, 1 Ь*» (Р, ,4, )] (-1 ,2),

16иЧ )1Д1' К ■ 11и'(иг Л . V, )У2 ] =

Кроме того, должны удовлетворяться четыре конечные уравнения:

Г\ • 1§(и, ,у2 )-|(и4 ) 1 = -й • [?,2 (ра ,ч2 )-?4 (р4 ) ],

где п^ - гг^ (р^ ^) - единичный вектор .внешней нормали к в точке: & .

-..Таким; Образом, из восьш" р; 'игьвожно произ-*-

волыю_ изменять лишь 8-4=4, т.е. конфигурационное пространство 1) и здесь оказывается, вообще говоря, четырехмерным. В диссертации описана процедура (в общем случае достаточно громоздкая), которая дает возможность связать скорости изменения криволинейных координат со скоростью поворота катящейся поверхности.

В некоторых случаях задача о кячзпии по двум поверхностям непосредственно сводится к задаче о качении по двум линиям. Так будет, в частности, если 0 1гредставляет' собой сферу или плоскость.

Как и в разделе 2.1* возможно пошшлзшэ размерности пространства Б. Более подробно, разбирается случай качения поверхности зращения (12) по паре щышэдрическиХ поверхностей с произвольным ¡ечением и параллёлышяч Ьерззумздамп Г 4, « Р'гшпсаи Шд сэотвэт-•двущей система диффэращкалтчх я койудш : у^'ьЪпчй, сятределя-вдих процесс качения. Из нее Ьикщ;г!ся ¿лл-ека конечных уравнений , определяющих стационарное качение, а также указывается про-едура, позволяющая выяснить устойчивость такого качения и вычисли» длину волны виляний малой амплитуда в устойчивом. случае.

Если Б , 52 - круглые шшшдры одшакового радиуса И, а 0 -войной конус с параметрами 1), ц, эти вычисления, доводятсл дс энца. Обозначим через 21 расстояние моаду точка,® контакта 0 с эверхностями 3^1 ъг при стационарном качении. Тогда предел довыш )лны виляния при стремлении амгглитуда виляния к нулю равен

. , Л --- ая11№-1)/(1+ 2 ..,)!

(11

сюда при к - о получаем формулу Клингеля , а при Р. -> <» изсодим'к формуле

Л = ^ЩЬ-^^^Сп'^'^Н'^И+оЦ/Ю) (Я - «);

таким образом, X убывает с ростом и и К - о при и -♦ со.

В разделе 3.1 рассматривается смешанный случай качения поверхности 0 по линии Ь=Ь4 и поверхности Б = Б . Здесь искомыми являются

а н- в(а) (=3,(00), р(а) (=р2(а)), а,(а) (=я2(а)), и1(а),\'1(а)

(1 = 1 ,2).

Для них выписывается система из пяти дифференциальных уравнений, аналогичных выписанным выше, и трех конечных уравнений:

Щи^г^-еС^.у,)! = |?2(р,ч)-11(а)|.

ьш. естественном смысле обозначений.

для случая качения поверхности вращения по цилиндру произвольного поперечного сечения и параллельной ему прямой эти уравнения приобретают более конкретный вид, указанный в диссертации. В частности, разбирается случай качения двойного конуса с параметра:® Гх, ч по круглому цилиндру радиуса И и параллельной ему прямой. Для этого случая выведена формула для длина полны мгжяс виляний, аналогичная приведенным выше.

- 19 -Выводы.

В заключении приведем полученные в работе основные рэзуль-

гы:

I. получена новал обобщенная модель качения твердого тела по травляющпм без проскальзывания при любом выводе параметра шния;

2..доказана теорема о локальной разрешимости задачи Кош для Ш системы;

3. развита методика исследования, кинематики такого качения, :щая возможность шяеить качественные особенности качения;

4. найдены условия, при которых четырехмерное пространство можкых положений катящегося тела поникает свою размерность не 2, 3 и 4 единицы, и в этих услоьшзх указан вид системы уравнэ-

качеадя;

Б. найдена полная система когв-п^х сс-У1\:с£&нлй (амэлог пер-иптегралов) во всех указанных случаях; 6, получены явные фориули, характеризующие качение тела вра-ия для простых конфигураций. '■ Публикации по теме .'диссертации:

Енсебаева м.з., |&гаисис А.Д. О качении твердого тела по двум направляющим.//Тез.докл.УН всес.ковф. по качественной теории' дафферотщальшх- уравнений. Рига.-1589.-с.91. Енсебаева М.З. 6 вилянии,колесной .пары на круговом участке пути.- Москва, 1991.-7с.- Рукопись деп. в ЦШТЭН МПС К 5575 :к.д.д.Э1.

Енсебаева М.З. о качешш твердого тела по Круговому пути // Тез.докл.- Всес.научно-тех.конф. "ТРАНССИБ и науно-тех. прогресс на • железнодорожном транспорте",Новосибирск,' 1991,С.56.

Енсебаева.М.З. .Качеште'^"твердого тела по направляющим поверх-

- 20 -

ностям.// Тез.докл. ШШ науч.-тех.конф., Хабаровск, 1991 с.II.

5. Енсебаева М.З. Новая конечная связь для системы уравнени качения твердого тела по двум направляющим. //Математически методы и задачи функционирования транспортных систем. Межву зовский сборник.- М.,1992, С.49-53.

6. Енсебаева М.З., Мышкис Л.Д. О качении жесткой поверхности п двум направляющим. //Дифференциальные уравнения.-1993.-Г.29 - N5- С.755-756.

7. Енсебаева И.З., Мышкис А.Д. Качественные методы исследовани кинематики качения по двум направляющим. //Тез.докл. Межд научн.конф."Качественная теория дифференциальных уравнений" Самарканд, 1993,"С.49.

8. Енсебаева М.З., Мышкис Л.Д. Кинематика качения твердого тел по двум линиям. // Прикладная математика и механика.-1994. Т.58-; Вып.1- С.21-29.

- 21 -

Енсебаева Маржан Зэ1ткызы

КАТТЫ ДЕНЕНШ БЛГЫТТАУШЫ БОШНША ТЕРБЕЛУШШ МАТЕМАТИКАМИ МОДЕЛ1 ТУЯ1ЫРШ.ЩЛМА

Жумыс, тербелуд!н ортурл! кшгоматикалык эд1стер1н зерттеуге, рналган. Тербелу параметр1н кезнелген турдэ тандап алш, катти знен1н сырганамай, ек1 кезкелген багнттауышн бойыша тербелуд1н атематикалнк модел1 курылган. Жумыста, тербелуд1н сапалык ерек-эл1ктер!н аныктайтын, зерттеу эд!стер1 дамытылгаН. Жумыста, ксн-игурациялык кен!ст1кт1н Олшем1н томендетет!н жагдайлардак лассификациясы зкург1з±пген. Есепт1и алгашкы иартын жуиктау зйннша, тербелуд1и жай модель курылган.

Ensebaeva Marsan Zaitovna

ДЕ MATHEMATICAL MODEL OP SOLID STATE ROLLING ALONG THE GUIDEWAYS

ABSTMCT

This work Is devoted to the investigation of variety of lnenatically allowable ways of rolling. The mathematical model f solid state rolling without slip along two arbitrary guldeways 1th various choice of the rolling parameter is treated. The sveloped technique for such rolling gives a possibility to 3veal the quantitative features of rolling. The classification f the cases for reduction of configuration space dimension is -wlded. The simplified model of rolling approximating this task developed.