автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Масштабирующие функции и вейвлеты с коэффициентом масштабирования N>2

На правах рукописи

Подкур Полина Николаевна

МАСШТАБИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ И НЕЙВЛЕ ГЫ С КОЭФФИЦИЕНТОМ МАСШТАБИРОВАНИЯ N>2

Специальность 05 13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ 003 161633

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул 2007

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Смоленцев Николай Константинович

Официальные оппоненты. доктор физико-математических наук,

профессор

Славский Виктор Владимирович

Защита, диссертации состоится 13 ноября 2007 года в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 005 04 при ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу 656049, г Барнаул, пр Ленина, 61, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу 656049, г Барнаул, пр Ленина, 61.

Автореферат разоспан 10 октября 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

кандидат физико-математических наук, доцент

Кизбикенов Кажимурат Оспанович

Ведущая организация

ГОУ ВПО «Томский государственный университет»

профессор

С А Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы В последние десятилетия функции с графиком типа небольшой волны (вейвлеты) успешно используются для разложения сигналов [1,4] Хотя понятия вейвлета и вейвлет-разложения являются сравнительно новыми, теория вейвлетов представляет большое и перспективное научное направление. На русском языке изданы переводы трех монографий классиков теории вейвлетов, И Добеши, К Чуй и С Малла [3, 5,10] Издано несколько книг отечественных авторов по теории вейвлетов [6-9]

В теории вейвлетов основную роль играют, так называемые, масштабирующие функции Для коэффициента масштабирования 2 известно достаточно много примеров масштабирующих функций, имеются методы их построения [3, 9] Ситуация значительно сложнее для произвольного целочисленного коэффициента масштабирования N>2 В этом случае теория вейвлетов не получила пока должного развития, хотя некоторые общие результаты получены в работах [3, 13-15] Однако необходимость в такой теории имеется В задачах экономического происхождения, где отсчеты времени обладают определенной периодичностью, требуются вейвлеты именно с коэффициентом масштабирования N>2 Таким образом, тема диссертации является современной и актуальной

Цель работы

1 Получение теоретических [результатов для построения новых масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2

2 Построение достаточно большого числа масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2 Разработка методов построения вейвлетов на основе Л-сплайнов и программ для нахождения вейвлетов и фильтров восстановления

3 Нахождение новых применений вейвлет-анализа с коэффициентом масштабирования N>2 Разработка соответствующих комплексов программ вейвлет-анализа

Методы исследования В работе использованы методы математического и функционального анализа, методы программирования в среде Maple, MATLAB и на Borland С++ Builder

На защиту выносятся следующие положения

1 Построение новых примеров масштабирующих функций Доказательство //-масштабируемости 5-сплайнов Построение вейв-летов с коэффициентом масштабирования N>2 Метод построения вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2 на основе 3-сплайнов и метод нахождения фильтров восстановления Метод построения ортогональных вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2 и с компактным носителем

2 Разработка методов вейвлет-анализа с коэффициентом масштабирования N>2 для исследования временных рядов, возникающих в экономике Получение новых числовых характеристик кар-диосигналов, которые существенно отличаются от традиционных

3 Комплекс программ для вычисления масштабирующих фильтров вейвлетов и построения вейвлетов в ортогональном случае, для вычисления фильтров вейвлетов и фильтров восстановления на основе 5-сплайнов, для вейвлет-анализа временных рядов с разными временными периодами, для вейвлет-анализа кардиосиг-налов

Научная новизна работы Результаты, полученные в диссертации являются новыми и получены лично автором, либо в соавторстве с научным руководителем. Результаты носят как теоретический, так и практический характер

Практическая ценность работы Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории вейвлетов и ее приложениям. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для построения новых вейвлетов, новых вейвлет-фильтров разложения и восстановления, для вейвлет-анализа данных экономического и медицинского происхождения

Апробация работы Результаты работы докладывались на III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 2004, на V Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике», Новочеркасск, 2005 г, на IV Всероссийской научно-практической конференции «Информационные недра Кузбасса», Кемерово, 2005 г; на седьмой Всероссийской научно-практической конференции «Новые достижения в. развитии

электрокардиографии», ГУ НИИ кардиологии Томского научного центра СО РАМН «Тюменский кардиологический центр», Тюмень, 2005 г, на региональной конференции по математическому образованию на Алтае» Барнаул, 2006 г, на Всероссийской научно-гсхнической конференции кНовые материалы и технологии в машиностроении», Рубцовск Алтайского края, 2006 г Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре кафедры математического анализа КемГУ, на семинаре кафедры высшей и прикладной математики РГТЭУ (Кемеровский институт), на семинарах Барнаульского государственного педагогического университета и Томского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах

Структура и объем работы! Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложений Объем диссертации -233 стр. основного текста - 187 стр и приложений - 46 стр Список литературы - 43 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается небольшой обзор литературы по геме исследования и кратко излагаются полученные результаты

В первой главе даны основные понятия ^/-масштабирующих функций для любого натурального N> 1 и соответствующего крат-иомасштабного разложения пространства L2{R) В первом параграфе введены основные понятия и доказаны некоторые теоремы (теоремы 1 1 2 и 1 1 3), которые являются обобщениями известных теорем для N-2 [3, 9]

Определение 1.1.1. Функция ср(х) е Z2(R) называется N-масштабирующей, если она может быть представлена в виде

(р{х) hncp(Nx - п) , (11)

neZ

где числа h„, п& Z удовлетворяют условию У 7 1 hn |2 <оо Равенство (1 1) называется масштабирующим уравнением Набор hn коэффициентов разложения в уравнении (11) называется масштабирующим фильтром

Сделаем преобразование Фурье масштабирующего соотношения (1 1),

будем называть частотной функцией масштабирующей функции

Ф)

Во втором параграфе первой главы построены примеры Аг-масштабирующих функций, которые являются //-кратными аналогами хорошо известных для Л-2 [3, 9], масштабирующих функций Хаара, Котелъникова-Шеннона, Мейера и сплайнов. Кроме общеизвестной функции Хаара, остальные примеры являются новыми Следуя работе [14], определены вырожденные /^-масштабирующие функции Кантора Основные результаты параграфа заключаются в доказательстве Лг-масштабируемости функции Котельникова-Шеннона (теорема 1 2 1) и N масштабируемости Л-сплайнов (теорема 12 2)

Теорема 1.2.2 В-сплайны <рр(х) порядка р являются Ы-мааитабирующими функциями для любого целого N>1 При этом правая часть масштабирующего соотношения

(р{х) - Ьк(р(1^х - к) является конечной суммой В случае

нечетного р коэффициенты /гк находятся по формуле

где суммирование производится по всем мулътииндексам а=(щ, ал, , ам„\), удовлетворяющим двум условиям

\а\ ~ ссо + «1 + + адм =р+1,

+ 2аг + .+ (^-1)с%-1 - (М-1) (р+1)/2 = к, индекс к меняется отк = -(Аг'-1)(р+1)/2 до к = (АМ)(р+1)/2

Функцию

(12)

(1 3)

В случае четного р, коэффициенты hk находятся по той же формуле (1 3), где суммирование производится по всем мультиин-дексам а=(ао, а, , , удовлетворяющим двум условиям \а\ - ао н- «1 + + aNA = р+1, ах +2а2 + . + (N-X)aNA ~ (N-1)р!2 = к,

индекс к меняется от к = ~-(N- -\)p/2 до к = (N—1 )(р/2 +1)

Вторая глава посвящена построению вейвлетов для случая произвольного целочисленного коэффициента масштабирования N>2 Как известно [3, 9], в ортогональном случае целочисленные сдвиги {(р0 п (х) = <р(х ~п), п € Ъ) масштабирующей функции <р(х)

образуют ортонормированный базис подпространства V0 в ¿2(R) Масштабирующей функции ср(х) соответствует AM вейвлетов i/(x), , if/A(x), которые порождают ортонормированный базис Z2(R) в том смысле, что система функций

{у]п(х) = ^y/k(NJх- п), п е Z, j е Z, к = 1,2, .,N-1}

образует ортонормированный базис пространства //(R) Вейвлеты выражаются через масштабирующую функцию (fix) следующим образом

= r*Zgkn<P(Nx-n), к = 1,2, ..,N-1,

п

где коэффициенты {gkn} , к = 1, 2, , N-1, называются фильтрами

вейвлетов Определим соответствующие вейвлетам у/(х) частотные функции

Нк{со) = ^^п8кпе-т\ £=1,2,. ,N-1 (14)

В случае параметра масштабирования N-2 известно много методов построения ортогональных вейвлетов [3] Для произвольного значения N>2 в работе [13] указан способ построения вейвлетов цНх), , Ц/'Л{х) при известной масштабирующей функции (р{х) Однако по существу задача построения //-масштабирующих функций и вейвлетов в ортогональном случае до сих пор не решена, поскольку нет методов построения jV-масштабирующей функции (fix).

Как было показано выше, 5-сплайны (р{х) являются М-масштабируемыми функциями, однако они не порождают ортогональные системы {д>0 п(х)-<р(х-п),п^71} сдвигов В этом случае задача построения вейвлетов значительно сложнее и для N>2 не была решена Работы автора [22], [25], [27], [28], [29] посвящены решению этой задачи

В первом параграфе данной второй главы определяются вейвле-ты для N>2 Подробно рассмотрено разложение и восстановление сигнала в неортогональном случае. Основной результат первого параграфа есть теорема 2 12, которая устанавливает достаточные условия на фильтры для точного восстановления сигнала

Пусть = — формальный степенной ряд, соответ-

ствующий дискретному сигналу {ап} Пусть Н0(г) — и

" " передаточные функции фильтров раз поженил

{/гя} и }, к = 1, 2, , N-1 Тогда разложение этими фильтрами сигнала {ап} определяется умножением [9] Х0(г) = Н0(2)Х(2), Хк{г) = Нк{2)Х{г), к= \,2,..,М-\.

При вейвлет-разложен ии необходимо еще провести Л'-адическую децимацию, т.е. выборку в Хк(г) элементов с номерами А1т, что приводит к серии рядов Ак{2Ы) Восстановление сигнала производится другими фильтрами Ск (г) = Хо,^« » ^ = 1, 2, . ., N-1 На уровне степенных рядов это означает следующее-

Теорема 2.1.2 Если матрица фильтров вейвлет-разложенш

/ я0оо н0{р2) ... я0(рл'-12)л

Н&) Н1 (рг) -

1

л/ЛГ

Н (р г)

(1 5)

—12яг/ N

невырождена при г = е 1 , где р — е восстановление сигнала фильтрами йк{2г), к = О, 1, 2 матрица которых

то возможно точное

С<2) -

1

л/ЛГ

Со (2)

0^2)

(г) в^Срг)

ЛГ-1,

(16)

является транспонированной к обратной матрице Н(г) 1 исходных фильтров

В параграфах со второго по шестой второй главы для коэффициента масштабирования N>2 дается построение вейвлетов Хаара, Кантора, Котельникова-Шенноеа, Мейера и вейвлетов для случая, когда N является степенью двойки, Ы=2к Показана неоднозначность выбора вейвлетов Хаара и Кантора, обсуждается смысл вейв-лет-разложения при помощи вейвлетов Хаара и Кантора Найдены частотные функции вейвлетов, Получено выражение для коэффициентов масштабирующего фильтра и фильтров вейвлетов

Седьмой параграф представляет основное содержание второй главы Для ^-сплайна <р(х) найдены вейвлеты ц}(х), . , цР'\х), с полиномиальными частотными функциями, которые обеспечивают /'/-канальное разложение сигнала с возможностью его точного восстановления Основное содержание параграфа представляют теоремы 272и273и метод построения фильтров вейвлетов и фильтров восстановления

Пусть <р(х) - заданная 2?-сплайновая функция и Н0(г) - ее частотная функция При построении фильтров разложения Н\{г), , должно выполняться условие невырожденности, матрицы Щг) (указанной в теореме 2 1 2.) Эта матрица очень специфична. Оказывается, что от этого специального вида матрицы Н(г) можно избавиться следующим преобразованием [13]

Обратное преобразование определяется формулой

Нк{г) = ^'Ак^) (18)

;=о

В этом выражении матрица А(гм) является уже произвольной невырожденной матрицей с полиномиальными элементами Таким образом, достаточно задать матрицу А(ы) и тогда Н(г) находится по форму пе (1 8) Если известна масштабирующая функция, то в матрице А(м>) можно считать заданной первую строку

Задача заключается в том, чтобы образовать остальные строки матрицы Рассмотрим имеющуюся первую строку,

а(1'У) — (КА00(1м)г,А01(м/),.. ,Поскольку каждый элемент первой строки матрицы А(ы) является многочленом, она может быть представлена в виде

а(м) -- м>~к (а0 + с^м- + • + ос ), где «ь, аь , агЛ - g век-

торов из С" и А: - некоторое целое чисто Доказаны следующие теоремы

Теорема 2.7.2 Пусть (р{х) -В-сплайн порядкар < Ми Н^г) - его частотная функция Если

является разложением первой строки

а(м>) ~(А0 0(м?),А01(и>), ..,А0Ы_1 полученной преобразованием (17) частотной функции Н0(г), тогда сумма векторов-коэффициентов есть вектор с одинаковыми координатами,

а()+щ+- - + ар=~(1,1, .,1) (19)

Теорема 2.7.3 Пусть а = («о, аи , - g линейно независимых векторов из иръ{м>), р\(уи), . , р%-\(уу) - некоторые многочлены, ни один из которых не обращается в нуль на единичной окружности г = еи Тогда существует полиномиальная матричная петля Л(у;) на группе ОЬ(Ы,С) такая, что первая строка матрицы

А(м>) есть м>"> (и;)

Следствие 2.7.4 Пусть Н0{/) есть полином и пусть N>2 Предположим, что

\H0(z) |2 +\H0(zp) I2 +• • + I H0(ZPN1) |2^ 0, (1.10) для всех zeS1, где p — е~'2жШ .

Тогда существуют полиномы {Ht(z), i = 1, ., N— 1} такие, что объединенная система {H,(z), 0 < г < N-1} удовлетворяет свойству невырожденности матрицы (1 5) на единичной окружности

z = е~"° Кроме того, если степень полинома H0(z) не превосходит К, тогда полиномы H¡, , H^-i могут быть взяты так, что их степень также не превосходит К

В данном параграфе также предложен метод построения матрицы A(w) по имеющейся первой строке Эффективность метода показана на двух примерах для 5-сплайнов степеней 1 и 2 Дня вычисления фильтров разложения и восстановления для различных значений коэффициента N и степени 5-сплайна р, написана программа на языке Maple, которая приведена в приложении 1 Вычислена серия фильтров вейвлетов и фильтров восстановления для различных значений коэффициента масштабирования N и степени 5-сплайна р N=3, N =5, N=7, N =9, р= 1, р=2, р~3 (таблицы 1-22 Приложения 7)

В восьмом параграфе второй главы дан метод построения ортогональных вейвлетов с компактным носителем для любого N>2 В отличие от методов работы [13], в нашем случае не предполагается заданной масштабирующая функция (fix) - она находится одновременно с вейвлетами. Эффективность этого метода показана на примере построения однопараметрического семейства новых вейвлетов с параметром масштабирования N— 3 Приведены фильтры для ряда значений параметра t (t=0, t= 0 1, t= 1, t=n/6, t=n/A, P=%/3, t=тс/2, t=2it/3, f=7c, t=4тс/3) и найдены соответствующие вейвлеты ф), у/{х) и у/(х)

Для вычисления фильтров ортогональных вейвлетов написана программа на языке Maple, которая приведена в приложении 2 Для построения ортогональных вейвлетов с компактным носителем (р{х), 1/}{х) и у?(х) написана программа на языке MATLAB, которая приведена в приложении 3

Третья глава диссертации посвящена приложениям вейвлетов с коэффициентом масштабирования N для анализа данных эконо-

мического происхождения В качестве примера рассмотрен вейв-лет-анализ 15-минутных данных о ценах и объемах продаж акций компании ЛУКОЙЛ на фондовой бирже ММВБ за 2006 год Для вейвлет-разложения первого уровня использовался параметр масштабирования N-4 (поскольку в часе 15-минутных периодов - 4) Далее, для второго уровня разложения использовался параметр N~8 (поскольку рабочий день составляет 8 часов) Для третьего уровня разложен ия использовался параметр N= 5 (поскольку неделя имеет 5 рабочих дней) Для вейвлет-анализа написаны программы функций вейв тет-разложения и вейвлет-восстановления и написана программа для анализа данных на языке MATLAB (приложение 4) Предложенный новый метод вейвлет-анализа позволил получить новые числовые характеристики акций компании ЛУКОЙЛ

Че гвертан глава посвящена приложениям вейвлетов с коэффициентом масштабирования N=2 для исследования данных медицинского происхождения В качестве примера рассмотрен вейвлет-анализ кардиосигнала Отметим, что до сих пор для анализа кар-диосигнала использовались визуальные методы непрерывного вейвлет-преобразования [11], [12] В данной главе применено дискретное пакетное вей влет-ралложение для изучения высокочастотных компонент кардиосигнала Это позволило получить ряд числовых характеристик высокочастотных компонент, которые дают новую информацию о кардиосигнале. Проанализировано 76 записей кардиосигналов Полученные числовые характеристики показывают их зависимость от состояния больного Поэтому они могут быть использованы как дополнительные характеристики электрической активности сердца

Разработана программа на MATLAB и создано автономное приложение в среде Borland С-н Builder, в которых реализованы данные методы Для написания программы на Borland С++ Builder развиты методы' использования математических библиотек MATLAB при программировании на Borland С++ Builder Описание программы для анализа данных на языке MATLAB приведено в приложении 5 Листинги приложения, написанного в Borland С++ Builder с использованием математических библиотек C/C++ MATLAB, приведены в книге [20]

В разделе «Приложения» содержится описание программ на Maple и MATLAB, используемых в работе и таблицы фильтров

вейвлетов и фильтров восстановления для различных значений коэффициента масштабирования N и степени В-сплайна р N =3, N =5, N--=7, N=9,p=l,p=2,p=3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ основы теории и примеры применения//УФН -1996 -Т 166.-№11 -С 1145-1170

[2] Блаттер К. Вейвлет-анализ Основы теории - М: Техносфера, 2004.-273 с

[3] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам - М , Ижевск РХД, 2001

[4] Дремин И.М., Иванов О.В., Нечетгайло В.А. Вейвлеты и их использование // УФН - 2001 - Т 171 - № 5. - С 465 -501.

[5] Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов - М Мир, 2005. -617 е., ил.

[6] Новиков JI.B. Основы вейвлет-анализа сигналов учебное пособие - СПб Изд-во ООО «МОДУС+», 1999. - 152 с.

[7] Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Сяопина М.А. Теория всплесков -М Физматлит, 2005 -616 с

[8] Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков учебное пособие - СПб Изд-во СПбГТУ, 1999 - 132 с.

[9] Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB -М ДМК Пресс, 2005 -303 с

[10] Чуй К. Введение в вэйвлеты - М Мир, 2001. - 412 с , ил.

[И] Ishikawa Y., Mochimaru F. Wavelet Theory-Based Analysis

of High-Frequency, High-Resolution Electrocardiograms. A New Concept for Clinical Uses И Progress m Biomedical Research - 2002 -Vol 7, No 3 -P 179-184.

[121 Ishikawa Y. Wavelet Analysis for Clmicial Medicine Chapter 6 SAECG (Signal Averaged ECG) which was seen from Wavelet Analysis - Supplement - original color images (http //www umet or.jp/~ishiyasu/ch6/mdex html)

[13] Bratteli O., Jorgensen P. E. T. Wavelet filters and rnfmite-dimensional unitary groups // Международный электронный научный журнач arXiv org, USA. arXiv org math FA/0001171, 2000 - 30 P.

[14] Jorgensen P.E.T. Matrix Factorizations, Algorithms, Wavelets //Notices Amer Math Soc.-2003 - Vol 50, no 8 -880 894 P

[15] Vaidyanatban P.P. Multirate Digital Filters, Filter Banks, Polyphase Networks, and Applications- A Tutorial // Proceedings of the IEEE - 1990 -Vol. 78, No 1 - 65-93 P

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[16] Подкур ПЛ., Смоленцев Н.К. Вейвлет-анализ высокочастотных компонент кардиосигнала // Информационные технологии и математическое моделирование материалы III Всероссийской научно-практической конференции - Анжеро-Судженск, 2004 - С 90-92

[17] Подкур ПЛ. О высокочастотных компонентах кардиосигнала // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике материалы V Международной научно-практической конференции - Новочеркасск, 2005 - С 19-26

[18] Подкур ПЛ. Пакетные вейвлет-коэффициенты кардиосигнала // Информационные недра Кузбасса труды IV Всероссийской научно-практической конференции - Кемерово, 2005 -С 221-222

[19] Подкур ПЛ. О высокочастотных компонентах кардиосигнала // Новые достижения в развитии электрокардиографии: материалы седьмой Всероссийской научно-практической конференции ГУ НИИ кардиологии Томского научного центра СО РАМН Тюменский кардиологический центр - Тюмень, 2005 - 3 с.

[20] Подкур M.JI., Подкур ПЛ., Смоленцев Н.К. Программирование в среде Borland С++ Builder с математическими библиотеками MATLAB C/C++. - Москва ДМК Пресс, 2006 - 496 с. ил , CD

[21] Подкур ПЛ. О некоторых типах вейвлетов с параметром масштабирования 3//Вестник КемГУ -2006 -№3(27) - С 21-25

[22] Подк> р ПЛ. Об ^-масштабируемости ^-сплайнов // Вестник КузГТУ. - 2006 -№6(57).- С 8-10

[23] Подкур ПЛ. TV-масштабируемость 5-сплайнов // Тезисы региональной конференции по математическому образованию на Алтае - Барнаул, 2006 - С 24-27.

[24] Подкур П.Н. О построении фильтров N-канального вейвле-тов-разложения и восстановления на основе В-сплайнов // Новые материалы и технологии в машиностроении тезисы Всероссийской научно -технической конференции - Рубцовск, 2006 -С 16-18

[25] Подкур П.Н О построении вейвлетов с коэффициентом масштабирования N на основе ^-сплайнов // Электронный научный журнал «Исследовано в России», 014, 128-138, 2007. (http /'Miumal.ape relarn.ru/articles/2007/ 014 pdf)

[26] Подкур П.Н. Построение вейвлетов с коэффициентом масштабирования N на основе Zî-силайнов // Вестник КемГУ - 2006 -№4(28) -С 19-24

[27] Подкур П.Н. О построении некоторых типов вейвлетов с коэффициентом масштабирования N // Электронный научный журнал «Исследовано в России», 093, 965-974, 2007 (http-//zhumal аре relam ru/articles/2007/093 pdf)

[28] Podkur P.N., Smolentsev N.K Construction of some types wavelets with coefficient of scaling N I ! Международный электронный научный журнал arXiv.org, USA arXivorg math FA/0612573, 2006 - 19 P

[29] Podkur P.N., Smolemtsev N.K About construction of orthogonal wavelets with compact support and with scaling coefficient N II Международный электронный научный журнал arXiv org, USA. arXiv.0705 4150vl [math FA], 2007 - 15 P.

Подписано к печати 08 10 2007 Формат 60/84/16 Уел п л 1 0 Тираж 100 экз Заказ Л 13 О Оперативная полиграфия ГОУ ВПО Кемеровский институт (филиал) «РГТЭУ» 650992 г Кемерово, пр-т Кузнецкий, 39

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАСШТАБИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ.

1.1. Масштабирующие функции с коэффициентом N>2.

1.1.1. Построение масштабирующей функции.

1.1.2. Л^-кратномасштабное разложение.

1.1.3. Кратные коэффициенты масштабирования.

1.2. Примеры ^масштабирующих функций.

1.2.1. Масштабирующие функции Хаара.

1.2.2. Масштабирующие функции Котельникова-Шеннона.

1.2.3. Масштабирующие функции Мейера.

1.2.4. Вырожденные масштабирующие функции Кантора.

1.2.5. Сплайновые масштабирующие функции.

В последние десятилетия функции с графиком типа небольшой волны (вейв-леты) успешно используются для изучения сигналов вместо традиционных (длинных) синусоидальных волн. Теория вейвлетов дает новую более гибкую технику обработки сигналов. Одно из основных преимуществ вейвлет-анализа заключается в том, что он позволяет заметить хорошо локализованные изменения сигнала, тогда как анализ Фурье этого не дает - в коэффициентах Фурье отражается поведение сигнала за все время его существования. Хотя понятия вейвлета и вейвлет-разложения являются сравнительно новыми, они уже нашли широкие применения в обработке сигналов [2] и [7]. На русском языке изданы переводы трех монографий классиков теории вейвлетов, И. Добеши, К.Чуи и С. Малла [6], [10], [33]. В последние годы издано несколько книг отечественных авторов по теории вейвлетов [3]\, [8], [11], [12], [13], [28].

В теории вейвлетов основную роль играют, так называемые, масштабирующие функции [6], [28], [33]. Для коэффициента масштабирования 2 известно достаточно много примеров масштабирующих функций, имеются методы их построения [6], [28], [33]. Ситуация значительно сложнее в случае произвольного целочисленного коэффициента масштабирования N>2. Теория вейвлетов для коэффициента масштабирования N>2 не получила должного развития, хотя некоторые результаты о масштабирующих функциях и вейвлетах получены в работах [6], [34], [35], [39], [43]. Недостаточный прогресс в данном направлении связан с недостаточным числом построенных масштабирующих функций с коэффициентом масштабирования N>2. Однако необходимость в такой теории имеется. В задачах экономического происхождения, где отсчеты времени обладают определенной периодичностью, требуются вейвлеты именно с коэффициентом масштабирования N>2.

Диссертация посвящена построению масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2 и разработке методов их использования для вейвлет-анализа временных рядов с периодичностью по времени. Классическими примерами таких рядов являются массивы данных об объемах, или ценах продаж товарного или фондового рынка. Например, при анализе 15-минутных данных о цене ценной бумаги фондового рынка естественно использовать вейвлеты с параметром масштабирования iV=4 (поскольку в часе таких периодов - 4). Далее, при анализе часовых данных о цене ценной бумаги фондового рынка естественно использовать вейвлеты с параметром N= 8 (поскольку рабочий день состоит из 8 часов). При анализе дневных данных о цене ценной бумаги фондового рынка естественно использовать вейвлеты с коэффициентом N=5 (поскольку неделя работы рынка содержит 5 рабочих дней). Кроме того, при анализе дневных показателей продаж (не обязательно фондового рынка) естественно использовать вейвлеты с параметром N-7 (недельный цикл), с отдельной выборкой данных за выходные дни. Таким образом, тема работы является современной и актуальной.

Основные результаты.

1. Построены новые примеры А'-масштабируемых функций. Показана N-масштабируемость 5-сплайнов.

2. Построены новые примеры вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2.

3. Для любого натурального параметра N предложены новые методы построения неортогональных вейвлетов (фильтров разложения) и дуальных вейвлетов (фильтров восстановления) на основе В-сплайнов. Для нахождения фильтров разложения и фильтров восстановления разработана программа в среде Maple. Используя эту программу вычислена большая серия фильтров вейвлетов на основе 5-сплайнов и фильтров восстановления для разных значений N и степени спояйна р.

4. Найдены новые методы построения ортогональных вейвлетов с компактным носителем для любого натурального параметра N>2. Используя эти методы построено однопара метрическое семейство масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N=3. Для нахождения масштабирующих фильтров разработана программа в среде Maple. Для построения вейвлетов написана программа на m-языке MATLAB.

5. Разработаны методы использования вейвлет-анализа с коэффициентом масштабирования N>2 для исследования временных рядов, возникающих в экономике.

6. На основе пакетного вейвлет-анализа предложены новые числовые характеристики кардиосигналов, которые существенно отличаются от традиционных (диагностическая значимость этих числовых характеристик требует дополнительных медицинских исследований). Создана автономная программа в среде Borland С++ Builder, реализующая данные методы.

7. Для создания приложения на Borland С++ Builder развиты методы MATLAB использования математических библиотек MATLAB при программировании на Borland С++ Builder.

Новизна результатов. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми и получены лично автором, либо в соавторстве с научным руководителем.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование", Анжеро-Судженск, 2004; на V Международной научно-практической конференции "Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике", Новочеркасск, 2005 г.; на IV Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса", Кемерово, 2005 г.; на седьмой Всероссийской научно-практической конференции "Новые достижения в развитии электрокардиографии", ГУ НИИ кардиологии Томского научного центра СО РАМН «Тюменский кардиологический центр», Тюмень, 2005 г. (тезисы, стендовый доклад); на региональной конференции по математическому образованию на Алтае, Барнаул, 2006 г.; на Всероссийской научно-технической конференции "Новые материалы и технологии в машиностроении", Рубцовск, Алтайского края, 2006 г. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре кафедры математического анализа КемГУ, на семинаре кафедры высшей и прикладной математики РГТЭУ (Кемеровский институт), на семинарах БГПУ (Барнаул) и ТГУ (Томск).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 7 статьях (из них 1 -в журнале, рекомендованном ВАК, 2 - в электронном журнале, рекомендованном ВАК и 2 - в зарубежном электронном журнале) и в 6 тезисах и материалах конференций. Часть результатов опубликована в монографии [18]. Общее количество публикаций по теме диссертации - 14.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложений. Объем диссертации - 233 стр.: 187 стр. основного текста и приложений на 46 стр. Список литературы - 43 наим.

Основные результаты данной главы:

1. Развиты методы получения числовых характеристик кардиосигнала на основе анализа высокочастотных компонент кардиосигнала, предложенные в работе [28].

2. Разработан ряд программ, написанных в среде MATLAB, на Borland С++ Builder создана автономная программа, в которой реализованы данные методы. Для написания программы на Borland С++ Builder развиты методы MATLAB использования математических библиотек MATLAB при программировании на Borland С++ Builder.

3. Проанализировано 76 записей кардиосигналов. Полученные числовые характеристики показывают их зависимость от состояния больного. Поэтому они могут быть использованы как дополнительные характеристики электрической активности сердца.

1. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 2000.

2. Астафьева H. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // УФН. 1996. - Т. 166. - № 11. - С. 1145-1170 (электронный вариант: http://www.ufn.ru/ ufn96/ufn96l l/Russian/r961 la.pdf).

3. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004. -273 с.

4. Воробьев А. С. Электрокардиография. Новейший справочник. М.: Изд-во Эксмо; СПб.: Сова, 2003. - 560 с.

5. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999. - 208 с.

6. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М.; Ижевск: РХД, 2001.

7. Дремин И. М., Иванов О.В.,Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // УФН. 2001. - Т. 171. - № 5. - С. 465-501 (электронный вариант: http://www.ufn.ru/ufn01 /ufn015/Russian/r015a.pdf).

8. Истомина Т.В., Чувыкин Б.В, Щеголев В.Е. Применение теории Wavelets в задачах обработки информации. Пенза, Изд-во Пензенского госуниверситета, 2000. - 188 с.

9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

10. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005.

11. Новиков JL В. Основы вейвлет-анализа сигналов: Учебное пособие. -СПб.: Изд-во ООО "МОДУС+", 1999. 152 с. (электронный вариант доступен по адресу http://gamma.niimm.spb.su/user/dmp/BookNovikov.html).

12. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. -М.:Физматлит, 2005. 616 С.

13. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков: Учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999. 132 с. (электронный вариант: http://gamma.niimm.spb.su/user/dmp/Petukhov/Papers/book.ps.gz).

14. Подкур П.Н. О высокочастотных компонентах кардиосигнала // Материалы V Международной научно-практической конференции "Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике". Новочеркасск, 21 января 2005. - С. 19-26.

15. Подкур П.Н. Пакетные вейвлет-коэффициенты кардиосигнала // Труды IV Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса". Кемерово, 3-4 февраля 2005. - С. 221-222.

16. Подкур МЛ., Подкур П.Н., Смоленцев Н.К. Программирование в среде Borland С++ Builder с математическими библиотеками MATLAB C/C++. Москва, ДМК Пресс, 2006. - 496 е.: ил., CD

17. Подкур П.Н. О некоторых типах вейвлетов с параметром масштабирования 3 // Вестник КемГУ. 2006, - № 3(27). - С. 21-25

18. Подкур П.Н. Об //-масштабируемости 5-сплайнов // Вестник КузГТУ. -2006,-№6(57).- С. 8-10.

19. Подкур П.Н. JV-масштабируемость 5-сплайнов // Тезисы региональной конференции по математическому образованию на Алтае. Барнаул, 24 ноября 2006. - С. 24-27.

20. Подкур П.Н. О построении вейвлетов с коэффициентом масштабирования N на основе В-сплайнов. // Электронный научный журнал "Исследовано в России", 014, 128-138, 2007. (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/ 014.pdf)

21. Подкур П.Н. Построение вейвлетов с коэффициентом масштабирования N на основе В-сплайнов // Вестник КемГУ. 2006. - № 4(28). - С. 19-24

22. Подкур П.Н. О построении некоторых типов вейвлетов с коэффициентом масштабирования N // Электронный научный журнал "Исследовано в России", 093, 965-974, 2007. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/093.pdf

23. Подкур П.Н. Использование iV-канального вейвлет-разложения для анализа экономических данных // Вестник КемГУ. 2007. - № 2(30). - 6 С. (в печати).

24. Подкур П.Н. О построении некоторых типов вейвлетов с коэффициентом масштабирования NU Вестник НГУ. 2007. - №4. - 15 С. (в печати).

25. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. -М.,ДМК Пресс, 2005,303 с.

26. Смоленцев Н.К., Цыганкова Т.И. О высокочастотных компонентах кардиосигнала. // Труды IV Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса". Кемерово, 3-4 февраля 2005. - С. 231-232.

27. Попечителев Е.П., Кореневский Н.А. Электрофизиологическая и фотометрическая медицинская техника. М.: Высшая школа, 2002. - 303 с.

28. Чуй К. Введение в вэйвлеты. -М.: Мир, 2001.

29. Bratteli О., Jorgensen P. E. T. Wavelet filters and infinite-dimensional unitary groups // Международный электронный научный журнал arXiv.org, USA. arXiv.org: math.FA/0001171,2000. 30 P.

30. Davidson R., Labys W.C., Lesourd J.-B. Wavelet Analysis of Commodity Price Behavior // Comput. Economics. 1998. -V. 11. - P. 103-128.

31. Ishikawa Y., Mochimaru F. Wavelet Theory-Based Analysis of High-Frequency, High- Resolution Electrocardiograms: A New Concept for Clinical Uses // Progress in Biomedical Research. 2002. - Vol. 7, No. 3. - P. 179-184.

32. Ishikawa Y. Wavelet Analysis for Clinicial Medicine. Chapter 6 : SAECG (Signal Averaged ECG) which was seen from Wavelet Analysis -Supplement -original color images, http://www.uinet.or.jp/~ishiyasu/ch6/index.html

33. Jorgensen P.E.T. Matrix Factorizations, Algorithms, Wavelets // Notices Amer. Math. Soc. 2003. - Vol. 50., no. 8. - 880-894 P. (Электронный вариант статьи: http://www.math.uiowa.edu/ ~jorgen/fea-jorgensen.pdf)

34. Mochimaru F., Fujimoto Y. Detecting the Fetal Electrocardiogram by-Wavelet Theory-Based Methods // Progress in Biomedical Research. 2002. -Vol. 7, No. 3. - P. 185-193

35. Podkur P.N., Smolentsev N.K. Construction of some types wavelets with coefficient of scaling N // Международный электронный научный журнал arXiv.org, USA.: arXiv.org: math.FA/0612573, 2006. 19 P.

36. Podkur P.N., Smolentsev N.K About construction of orthogonal wavelets with compact support and with scaling coefficient N // Международный электронный научный журнал arXiv.org, USA. arXiv:0705.4150vl math.FA], 2007,15 P.

37. Vaidyanathan, P. P. Multirate Digital Filters, Filter Banks, Polyphase Networks, and Applications: A Tutorial // Proceedings of the IEEE. 1990. - Vol. 78, No. 1 - P. 65-93

38. В этом разделе приведены листинги и описание программ, используемых в диссертации.