автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Конструирование непрерывных поверхностей по частично неопределенным исходным данным для решения прикладных задач наземной навигации

На правах рукописи

УДК 515.2

ЮГРИНА Елизавета Ивановна

КОНСТРУИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПО ЧАСТИЧНО НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИСХОДНЫМ ДАННЫМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ НАЗЕМНОЙ НАВИГАЦИИ

Специальность: 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная

графика»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва — 2004

Диссертация выполнена на кафедре прикладной геометрии Московского авиационного института (Государственного технического университета).

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор ЯКУНИН Вячеслав Иванович.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор ТУЗОВ Александр Дмитриевич;

кандидат технических наук, доцент ШОЛОХОВ Алексей Викторович.

Ведущая организация: 4 ЦНИИ МО РФ.

Защита состоится « »_2004 г. в_часов

на заседании диссертационного совета Д 212.125.13 при Московском авиационном институте (Государственном техническом университете) по' адресу: 125993, г. Москва А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Автореферат разослан 2004 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ ДИССЕРТАЦИОННОГО СОВЕТА

кандидат технических наук, доцент

>П. В. МАРКИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В течение всего периода своего развития человечество активно собирало информацию о различных параметрах поверхности Земли. Эта информация использовалась для наземной и морской навигации, прокладки дорог, строительства различных сооружений и др. В последние десятилетия, благодаря быстрому развитию науки и техники, в арсенале человечества появились новые знания и инструментальные средства для получения и использования этой информации. Однако до сих пор ряд задач остаются не до конца решенными. К ним относится и задача перемещения различных транспортных средств вне дорог. Для решения этой задачи важно наличие информации о рельефе местности. В настоящее время существует большое количество научных и инструментальных средств, называемых геоинформационными системами (ГИС), которые позволяют по электронной карте местности определять геометрические характеристики различных участков. Но для решения специфических задач определения геометрических характеристик проходимости маршрутов движения вне дорог, для обеспечения перемещения транспортных средств специального назначения в условиях ограничений по времени эти инструментальные средства пригодны лишь малой степени. Это вызвано тем, что методы, используемые в существующем научно-методическом аппарате моделирования поверхностей участков местности, не в полной мере обеспечивают решение данной задачи и не позволяют получить .необходимую точность и минимальное время формирования модели. Поэтому возникает необходимость решения ряда научных задач, связанных с созданием новых методов построения моделей топографических поверхностей и определения их геометрических характеристик. Сложность решения указанных научных задач усугубляется тем, что в настоящее время отсутствуют крупномасштабные электронные карты и их создание сопряжено с рядом объективных трудностей. Существующие методы моделирования поверхностей слабо адаптированы для решения задач построения топографических поверхностей по частично неопределенным дискретным исходным данным, имеющимся в современных электронных картах местности, и не отвечают возрастающим требованиям ряда практических задач наземной навигации.

Поэтому проблема создания новых методов моделирования топографических поверхностей и определения по этим моделям различных геометрических характеристик участков местности для решения практических задач, особенно военного назначения, является ак

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА | СПспр| 09

Изложенное выше позволило сформулировать цель работы, состоящую в разработке методов и методик моделирования поверхности участков местности и определения их специальных геометрических характеристик для решения прикладных задач наземной навигации.

Цель исследования достигается решением следующих основных задач:

- провести анализ существующих систем моделирования и визуализации поверхностей для определения специальных геометрических характеристик участков местности;

- синтезировать метод конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности;

- разработать методику оценки степени адекватности модели исходному участку местности;

- разработать рекомендации по определению локальных дифференциальных характеристик геометрических моделей топографических поверхностей;

- разработать методику оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств специального назначения (МТССН) по неразведанной местности;

- разработать методику определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности.

Методика исследований. Поставленные в работе теоретические и прикладные задачи решаются синтетическими методами теории изображений, проективной и алгебраической геометрии с использованием теории алгебраических кривых и поверхностей, специальных разделов вычислительной математики и программирования. Конструируемые поверхности исследуются графоаналитическими методами.

Теоретической основой для разработки способов конструирования алгебраических кривых линий и поверхностей послужили исследования Н.Ф. Четверухина, И.И. Котова, С.А. Фролова, А М. Тевлина, В.Е. Михайленко, В.А. Бусыгина, Н.Н. Рыжова, В С. Обуховой, В.А. Осипова, Г.С. Иванова, А.В. Павлова, А.Л. Подгорного, К,М. Наджарова, Л.Г. Нартовой, Ю.С. Завьялова, А.Д. Тузова, В.И. Якунина, С. Хелгасона, Д. Роджерса, Дж. Адамса и Др.

Научная новизна исследований заключается в следующем:

- синтезирован метод сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным дан-

ным цифровой модели местности;

- разработана методика оценки степени адекватности модели поверхности моделируемому исходному участку местности;

- разработана методика оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств специального назначения по неразведанной местности на основе использования метода конструирования поверхности участка местности;

- разработана методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности.

Практическая ценность работы заключается в том, что за счет применения разработанного научно-методического аппарата удалось, в среднем, в 8,4 раза снизить трудоемкость процесса определения параметров маршрутов движения. При этом точность работ по определению профильной проходимости произвольных маршрутов движения и определению зон видимости в горных условиях была повышена на 42%, а время, затрачиваемое на определение зон видимости, уменьшено в среднем в 17,2 раза. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности.

2. Методика оценки степени адекватности модели поверхности реальному исходному участку местности.

3. Методика оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств специального назначения (МТССН) по неразведанной местности.

4. Методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности.

Результаты диссертационной работы были апробированы:

- на пяти Межведомственных научно-технических конференциях (Серпуховский военный институт ракетных войск, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003 год);

- на научном семинаре (Москва, МАИ, кафедра Прикладной геометрии, 2002 год);

- на научных семинарах (Серпуховский военный институт ракетных войск, кафедра Инженерной графики, кафедра Систем прицеливания и наземной навигации 2003 год);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ, в

которых отражены основные теоретические и прикладные результаты исследований.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы из 116 наименований. Диссертация объемом 124 страницы включает 27 рисунков и одно приложение.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации обоснована актуальность выбранной темы, раскрыты цель и содержание поставленных задач, указаны применяемые методы исследования, показана научная новизна и практическая значимость работы, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведен анализ возможности практического применения методов инженерной геометрии и компьютерной графики в области решения топогеодезических и навигационных задач, рассмотрены существующие методы решения этих задач. Проведен анализ существующих систем моделирования и визуализации поверхностей для определения геометрических характеристик участков местности. В ходе анализа выявлены положительные и отрицательные стороны этих систем для решения теоретических и практических задач, поставленных в данной работе. На основе проведенного анализа сделаны выводя об ограниченной возможности использования существующих систем моделирования сложных произвольных поверхностей и необходимости разработки новых методов моделирования поверхностей различных участков местности для решения поставленных задач.

Во второй главе, на основе анализа существующих методов конструирования поверхностей и применения различных способов аппроксимации и интерполяции, обоснован выбор структуры разрабатываемого метода конструирования поверхности участка местности. Проведено исследование точности аппроксимации профилей поверхностей участков местности полиномами различных степеней. Результаты исследования показали, что оптимальным, с точки зрения точности аппроксимации сложной топографической поверхности и вычислительных затрат, является полином 9-й степени. Обосновано использование кубических сплайнов для интерполяции коэффициентов аппроксимирующих полиномов.

Структурная схема алгоритма, разработанного метода сглаженных коэффициентов для конструирования топографической поверхности по частично неопределенным дискретным исходным данным, приведена на рис. 1.

При формировании поверхности по исходным дискретным данным первоначально вводятся значения высот, выбираемых из исходных данных цифровой модели местности г,., шаг координатной сетки . т,п, где

¡=1,м;] = 1,п. Далее производится вычисление коэффициентов ис-

пользуя полином степени к:

Вычисление п

ИЗ :,.)=Ьо,

»=«

где</ = 0.*,у = 1,и )

оЛ = с5рПт-(с1? )

I ^-

к

•н

т

Рис. 1.Структурная схема алгоритма метода сглаженных коэффициентов для конструирования топографической поверхности

Последовательно интерполируя полученные коэффициенты через заданный интервал значений кубическими сплайнами ву = сирНпе(аЧ:<), получим модель поверхности участка местности по исходным дискретным данным, уравнение которой можно записать в следующем виде:

Значения высот поверхности вне узловых точек можно определить путем введения координат х,у в алгоритм формирования модели участка поверхности заданного района местности.

На рис. 2. приведены результаты моделирования поверхности участка местности с использованием метода сглаженных коэффициентов.

Для оценки адекватности модели реальному участку местности введено

понятие коэффициента масштабируемости модели и разработана методика его количественной оценки. С применением данной методики проведено исследование степени эмпирической валидности ряда моделей местности, полученных при использовании ряда существующих методов моделирования, при различных коэффициентах масштабируемости.

Рис. 2 График результатов моделирования участка местности

Задача состоит в том, чтобы определить отклонение значений высот точек местности, полученных в результате моделирования, от значений высот тех же точек исходной матрицы Z. Для решения данной задачи предлагается строить модель участка местности не по всем исходным данным, а только по данным, выбираемым из исходной матрицы с шагом, определяемым коэффициентом к. Этот коэффициент назовем коэффициентом масштабируемости модели.

На рис. 3 представлена структурная схема разработанной методики определения степени адекватности модели исходному участку местности.

Исходными данными для этой методики являются:

| }, где 1 = 1, и - множество матриц, описывающих различные участки местности. Для получения статистически значимой оценки точности, количество этих матриц должно быть больше или равно 10;

- дискретные значения координатной сетки, в узлах которой производятся измерения;

к = - коэффициент масштабируемости, изменяется от 1 до ;

V - параметр, характеризующий заданную точность, которую необхо-

димо получить при моделировании поверхности участка местности.

После определения исходных данных и установки счетчиков циклов по к и / происходит формирование матрицы высот 1-го участка местности с коэффициентом масштабируемости к. По этой матрице заданным методом строится модель участка местности

Результатом работы по данной методике является вывод о пригодности использованного метода моделирования в указанных условиях и максимально возможное значение коэффициента масштабируемости при заданном параметре точности моделирования.

По этой модели определяются значения высот во всех точках, координаты которых совпадают с координатами исходной матрицы высот данного

#

участка местности. Эти значения сведены в матрицу'

. Сравнительный

анализ этой и исходной матрицы позволяет количественно оценить степень их различия, что вместе с параметром требуемой точности является показателем адекватности моделирования. В качестве оценки степени различия предлагается использовать величину стандартного отклонения:

I | я т *

5*" агАТ • >")1 •

(3)

Далее, в соответствии с разработанной методикой, производится описанный выше комплекс вычислений для всех остальных поверхностей участков местности, указанных в исходных данных.

Для каждого из этих участков местности определяется стандартное отклонение 5/ и по ним определяется среднее значение стандартного отклонения для использованного метода моделирования при заданном коэффициенте масштабируемости к. '

Если полученное значение $'>у и значение У =1, то полученная модель не пригодна и необходимо изменить метод моделирования или параметры модели. Если Х(>» в значение к >1, то нужно вернуться к последнему коэффициенту масштабируемости при котором не выполнялось условие Я1 >у. Полученный коэффициент масштабируемости и будет максимальным для данного метода моделирования при заданной величине параметра точности V.

Рис. 3. Структурная схема методики определения степени адекватности модели реальному участку местности

Для проверки адекватности метола сглаженных коэффициентов, разработанного во второй главе, и его сравнения с известными методами интерполяции поверхностей, были проведены вычисления с использованием 11 различных по рельефу участков местности, соответствующих указанным выше ограничениям. Полученные в результате моделирования средние значения стандартного отклонения для коэффициентов масштабируемости к от 1 до 10, сведены в таблицу.

Стандартнееотклонение 5*

N СтуАнчятая ИНГСрИОЛЯИИЯ Линсйюш »нтсриплшииа Стайн-нтерполяцмя Итгрполяци* мнаго-ч1сн.|мн *)рмнта Метал сгмжсмных ■(пффниненпя

*=| 0 0 0 0 0,014

к~2 0.073 0,0417 0,0447 0.0436 0,047

3 0.102 0.08 0.0624 0,0642 0,0643

*=4 0.124 0,098 0,0729 0,0695 0,072

к~Ъ 0.147 0,133 0,121 0,1112 0.088

к=6 0.183 0,131 0,136 0,118 0,0983

*=7 0.2 0.173 0.161 0,1534 0,129

к-% 0.232 0.216 0,174 0,167 0,135

А-9 0296 0,272 0,217 0.198 0,154

*=10 0.3814 0,338 0,26 0,233 0,194

По результатам исследований, проведенных во второй главе, сделаны выводы о возможности применения разработанного метода для более качественного решения задач наземной навигации.

В третьей главе, на основе анализа существующих методов определения локальных геометрических и дифференциальных характеристик, разработаны рекомендации по применению этих методов для определения следующих характеристик сложных топографических поверхностей:

- касательной плоскости в данной точке исследуемой поверхности;

- коэффициентов 1-ой и 2-ой основных квадратичных форм поверхности;

- кривизны кривой на поверхности;

- главных кривизн и построения индикатрисы Дюпена в заданных точках.

Разработаны рекомендации по практическому использованию методов определения локальных дифференциальных характеристик сложных топографических поверхностей при решении задач наземной навигации.

В четвертой главе, на основе разработанного метода сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности и рекомендаций по определению локальных геометрических и дифференциальных характеристик сложных поверхностей, разработаны две методики.

Первая - методика оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения МТССН по неразведанной местности. На рис. 4 представлена структурная схема алгоритма разработанной методики определения проходимости маршрута движения.

Рис. 4. Структурная схема алгоритма методики определения проходимости маршрута движения

Исходными данными для этой методики являются: электронная карта местности тарзначения параметров а^Р^.Щ^л^г** профильной

проходимости транспортных средств для которых формируется маршрут движения (рис. 5); требуемый шаг сетки а для определения этих параметров и координаты множества точек предполагаемых маршрутов движения

Рис. 5. Параметры профильной проходимости Критерий оценки возможности перемещения МТССН по тому или иному маршруту движения сформулирован следующим образом: на предполагаемом маршруте движения величины углов наклона участка местности в продольном и поперечном направлении а^, р^ должны быть не более, а радиусы продольного и поперечного закругления поверхности не

менее допустимых для двигающегося по этому маршруту МТССН.

На рис. 6 приведены результаты, полученные при использовании разработанной методики определения проходимости маршрута движения.

Рис. 6. Результаты определения параметров предполагаемых маршрутов движения

Вторая - методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности. Исходными данными для решения этой задачи являются: электронная карга местности таржж ; координаты точки ^»„¿..У,,,,«, из которой ведется наблюдение; требуемый рад иуси величина угла сектора зоны наблюдения .

Критерием видимости точки на поверхности земли из точки наблюдения является условие превышения или равенства координаты точки, лежащей на луче зрения, над координатой г„ точки, находящейся на поверхности. То есть точка на поверхности участка местности видна, если соблюдает-

ся условие г >г„.

Структурная схема алгоритма методики определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности приведена на рис. 7.

Рис. 7. Структурная схема алгоритма определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности

На рис. 8 приведены результаты, полученные при использовании разработанной методики определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности.

Рис. 8. Пример определения зон видимости по разработанной методике Применение метода сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности в составе, разработанных нами методик, дает возможность получить более точные результаты при меньших затратах времени и ресурсов. Методика оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения МТССН по неразведанной местности в полном объеме обеспечивает решение задач определения проходимости в 8,4 раза быстрее, чем по существующей методике. Методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности позволяет решать задачи по определению границ зон видимости в среднем на 42% точнее и в 17,2 раза быстрее, чем с помощью имеющихся методик.

В диссертационной работе, посвященной конструированию непрерывных поверхностей по частично неопределенным исходным данным для решения прикладных задач наземной навигации, получены следующие основные результаты:

1. Разработан метод сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели этого участка, который позволяет увеличить точность моделирования поверхностей (в среднем на 16,7%).

2. Разработана методика оценки степени адекватности модели поверхности моделируемому исходному участку местности. Эта методика позволила эмпирически обосновать валидность предлагаемого метода сглаженных

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели этого участка.

3. Разработана методика оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств специального назначения (МТССН) по неразведанной местности. Данная методика позволяет уменьшить время решения задач определения проходимости МТССН в 8,4 раза

4 Разработана методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности, позволяющая решать задачи по определению границ зон видимости в среднем на 42% точнее и в 17,2 раза быстрее, чем с помощью имеющихся методик.

Результаты настоящей диссертационной работы внедрены в учебный процесс Серпуховского военного института ракетных войск и в руководящие документы по организации и проведению маневренных действий частей и подразделений ракетных войск.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Бусыгин ВА., Югрина Е.И. Анализ возможности применения геоинформационных систем общего назначения для решения задачи определения оптимального маршрута движения транспортных средств специального назначения. // Научно-технический сборник XX Межведомственной НТК СВИ РВ. Часть З.Серпухов 2001.-с. 157-161.

2. Бусыгин В.А., Югрина Е.И, К исследованию локальных геометрических и дифференциальных характеристик сложных поверхностей для определения рациональных маршрутов движения транспортных средств специального назначения. // Научно-технический сборник XX Межведомственной НТК СВИ РВ Часть 3. - Серпухов. 2001. - с. 154-157.

3. Бусыгин В.А., Югрина Е И. Метод сглаженных коэффициентов для формирования поверхности участка местности по частично неопределенным дискретным исходным данным. // Сборник трудов XXII Межведомственной НТК СВИ РВ. Часть 4. - Серпухов. 2003. - с. 167-170.

4. Югрина Е.И. Геометрические аспекты задачи поиска маршрута движения транспортных средств специального назначения по неразведанной местности. // Тезисы доклада XVIII Межведомственной НТК СВИ РВ. - Серпухов. 1999.-с. 185-188.

5. Югрина Е.И. Методика аналитического конструирования поверхности позиционного района полка по дискретным исходным данным. // Итоговый отчет по ФП НИР «Птерозавр». - Серпухов. 1999. - с. 134-153.

-176. Югрина Е.И. К вопросу аналитического конструирования поверхности для прокладки маршрута движения транспортных средств специального назначения по дискретным исходным данным местности // Научно-технический сборник XIX Межведомственной НТК СВИ РВ - Серпухов 2000. с. -290-297.

7. Югрина Е И. Метод конструирования участка поверхности по частично неопределенным исходным данным. // Сборник трудов XXI Межведомственной НТК СВИ РВ. Часть 3. - Серпухов. 2002. - с. 161-166.

8. Югрина Е И.. Исследование локальных геометрических характеристик поверхности для определения проходимости транспортных средств в заданном районе. // Сборник трудов XXI Межведомственной НТК СВИ РВ. Часть 3. -Серпухов. 2002. - с. 166-169.

9. Югрина Е.И.Использование метода сглаженных коэффициентов для конструирования поверхностей участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности. //Итоговый отчет по НИР «Адаптация 412». - Серпухов 2003. - с. 68-89.

10 Югрина Е.И. Методика оперативного определения проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств по неразведанной местности. // Сборник трудов XXII Межведомственной НТК СВИ РВ. Часть 4. - Серпухов. 2003. - с. 188-193.

11. Югрина Е.И. Методика оценки степени адекватности модели исходному участку местности. // Сборник трудов XXIII Межведомственной НТК СВИ РВ. Часть 3. - Серпухов. 2004. - с. 129-131.

Зак. 412 Тираж 100

Издательско-полиграфический комплекс СВИРВ

04" 1 46 2 7,

Введение

Глава 1. Анализ состояния вопроса и определение направления исследований

1.1. Анализ подходов по практическому применению инженерной геометрии и компьютерной графики в области решения топогеодезиче-ских и навигационных задач.

1.2. Анализ существующих систем моделирования и визуализации поверхностей для определения геометрических характеристик участков местности

Выводы по первой главе.

Глава 2. Метод сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по дискретным данным

2.1. Анализ существующих методов конструирования поверхностей

2.2. Разработка метода сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности.

2.2.1. Аппроксимация дискретных обводов полиномами высоких степеней.

2.2.2. Анализ способов интерполирования дискретного обвода

2.2.3. Разработка алгоритма метода конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности.

2.3. Разработка методики оценки степени адекватности модели исходному участку местности

Выводы по второй главе

Глава 3. Определение локальных дифференциальных характеристик моделей топографических поверхностей.

3.1. Построение индикатрисы Дюпена и определение типа точки на модели топографической поверхности.

3.2. Выбор способа определения локальных дифференциальных характеристик поверхностей участков местности.

Выводы по третьей главе.

Глава 4. Решение задач наземной навигации на основе геометрического моделирования топографических поверхностей методом сглаженных коэффициентов .•.

4.1. Определение основных параметров проходимости многоосных транспортных средств специального назначения.

4.2. Методика оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения МТССН по неразведанной местности

4.3. Методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности.

Выводы по четвертой главе.

Конструирование поверхностей и их описание с помощью средств прикладной геометрии играют важную роль во многих отраслях науки и техники. Очевидными примерами^ этого являются; разработка иг производство автомобильных кузовов, корабельных корпусов, авиационных фюзеляжей и крыльев и т.п. В этом случае сущность.конструирования либо по функциональным, либо по эстетическим причинам составляет форма или геометрия* поверхности. Не меньшее значение имеет использование прикладнойгеометрии»в военной«сфере. Новое и перспективное вооружение, возрастающие боевые возможности г войск и сил потенциальных противников значительно усложняют выполнение, задач по применению и обеспечению войск. Концепция i противника на проведение первых наземно-воздушных операций, предполагающих расчленение войск, срыв перегруппировки и подвоза - материальных средств, предъявляет новые требования к обеспечению маневра силами и средствами в динамично меняющихся условиях окружающей обстановки.

История войн и опыт, полученный в ходе проведения войсковых учений, свидетельствуют [4, 16, 37, 51], что умелое использование особенностей рельефа местности способствует успеху в выполнении боевых задач; более эффективному применению оружия? и боевой техники.

В бою войска передвигаются там^ где это необходимо по условиям обстановки и где позволяют условия местности. Поэтому определение возможности передвижения транспортных средств специального назначения (ТССН) вне дорог имеет особо важное значение: На проходимость местности вне дорог большое влияние оказывает характер рельефа; почвогрунтов i и растительности,. наличие естественных ^искусственных препятствий (болот, рек, озер и др.). Рассмотрение вопросов передислокацииi подразделений транспортных средств специального назначения (ТССН) в условиях огневого воздействия противника выявляет противоречие между необходимостью обеспечения увеличения средней скорости движения этих транспортных средств по неразведанной местности вне существующей дорожной сети и отсутствием методов оперативного определения геометрических характеристик поверхностей участков местности в полосе предполагаемого маршрута движения. Это противоречие порождает научную проблему оперативного автоматизированного определения характеристик внутренней и внешней геометрии: поверхности участков местности в условиях недостатка геодезической информации для моделирования земной поверхности с точностью, достаточной для определения параметров * проходимостиТССН [17, 40, 98]. В плане решения указанной научной проблемы можно сформулировать = ряд научных задач, обеспечивающих создание научно-методического аппарата оперативного определения геометрических характеристик маршрута движения ТССН в условиях недостаточности и частичной неопределенности геодезической информации с учетом существующих средств и обоснование с его помощью рекомендаций по прокладке маршрутов движения мобильных средств специального назначения по неразведанной местности. Решение этих задач в данной работе подтверждает актуальность проводимых нами исследований.

Существующие методы, прокладки маршрута движения ТССН требуют значительных материальных и временных затрат на разведку местности, по которой предполагается осуществлять движение. Поэтому, с целью сокращения этих затрат, можно использовать математическое описание местности и маршрутов движения, что является необходимым условием для оптимального решения навигационных задач. Построению математических моделей поверхности отдельных участков местности посвящено большое количество научных работ различных авторов [9, 22, 81, 94, 95, 103 и др.], но предлагаемые ими методы и подходы не в полной мере обеспечивают решение задач моделирования и определения геометрических характеристик геоповерхностей по параметрам точности и оперативности.

Разработанный в данной работе метод математического моделирования поверхностей позволит решать ряд задач, связанных с определением геометрических характеристик проходимости участков местности, по которым предполагается прокладывать маршрут движения TGGH. Для получения этих характеристик требуется решить задачи внутренней геометрии поверхности, позволяющие определять единичные векторы некоторого ортогонального базиса произвольной» кривой или поверхности в трехмерном пространстве. Решение приведенной выше задачи позволит более точно описать поверхность и определить участки местности, удовлетворяющие условиям проходимости TCGH. Кроме того, разработанный метод может использоваться > для моделирования участков местности с целью определения зон видимости, что обеспечит более эффективное проведение визуальной разведки, целеуказания; решение вопросов обеспечения бесперебойной связи в различных условиях боевой обстановки.

Цель работы. Разработка методов и методик моделирования, поверхности участков местности и определения их специальных геометрических характеристик для решения прикладных задач наземной навигации.

Цель исследования достигается решением следующих основных задач:

- провести; анализ существующих систем моделирования и визуализации1; поверхностей для определения специальных геометрических характеристик участков местности;

- синтезировать метод конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности;

- разработать методику оценки степени адекватности модели исходному участку местности;

- разработать рекомендации по применению методов определения локальных дифференциальных характеристик сложных топографических поверхностей;

- разработать методику оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств специального назначения (МТССН) по неразведанной местности;

- разработать методику определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности.

Методика исследований: Поставленные в работе теоретические и прикладные задачи решаются синтетическими методами теории изображений, проективной и алгебраической геометрии с использованием теории алгебраических кривых и поверхностей, специальных разделов вычислительной математики и программирования. Конструируемые поверхности исследуются графоаналитическими методами.

Теоретической основой для разработки способов конструирования алгебраических кривых линий и поверхностей послужили исследования Н.Ф. Четве-рухина, И.И: Котова, С.А. Фролова, A.M. Тевлина, В.Е. Михайленко, В1 А. Бусыгина, Н.Н. Рыжова, B.C. Обуховой, В.А. Осипова, F.C. Иванова, А.В. Павлова, A.JII Подгорного, К.М; Наджарова, JI.F. Нартовой, Ю.С. Завьялова, А.Д. Ту-зова, В.И. Якунина, С. Хелгасона, Д. Роджерса, Дж. Адамса и др.

Научная новизна исследований заключается в следующем:

- синтезирован, метод сглаженных коэффициентов для; конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности;

- разработана методика оценки степени адекватности модели поверхности моделируемому исходному участку местности;

- разработана методика оперативного определения< профильной проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств специального назначения по неразведанной местности на основе использования метода конструирования поверхности участка местности;

- разработана методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности.

Практическая ценность работы заключается в том, что за счет применения разработанного научно-методического аппарата удалось, в среднем, в 8,4 раза снизить трудоемкость процесса определения параметров маршрутов движения. При этом точность работ по определению профильной проходимости произвольных маршрутов движения и определению зон видимости в горных условиях была повышена на 42%, а время, затрачиваемое на определение зон видимости, уменьшено в среднем в 17,2 раза.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по'частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности.

2. Методика оценки степени адекватности модели поверхности реальному исходному участку местности.

3. Методика оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств специального назначения (MTGCH) по неразведанной местности.

4. Методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности.

Результаты диссертационной работы были апробированы:

- на пяти Межведомственных научно-технических конференциях (Серпуховским военный институт ракетных войск, 1999, 2000, 2001; 2002, 2003 год); - на научном семинаре (Москва, МАИ; кафедра Прикладной геометрии, 2002 год);

- на научном семинаре (Серпуховский военный институт ракетных войск, кафедра Инженерной графики, 2003 год);

- на научном; семинаре (Серпуховский военный институт ракетных войск, кафедра Систем прицеливания и наземной навигации, 2003 год).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы из 116 наименований. Диссертация объемом 124 страницы включает 27 рисунков и одно приложение.

Выводы по четвертой главе

Исследования, проведенные в главе 4, позволяют сделать следующие выводы:

1. Применение в составе разработанных методик метода сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности, дает возможность получить более точные результаты при меньших затратах времени и ресурсов.

2. Разработанная в данной главе методика в полном объеме обеспечивает решение задач оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения МТССН по неразведанной местности. Время решения этих задач, благодаря применению данной методики, удалось уменьшить в 8,4 раза.

3; Методика определения зон видимости; для решения тактических задач в условиях горной местности позволяет решать задачи по определению границ зон видимости в среднем на 42% точнее и в 17,2 раза быстрее, чем с помощью имеющихся методик.

4. Апробация разработанного научно-методического аппарата на научных семинарах в Серпуховском военном институте ракетных войск, показывает его обоснованность и рациональность, а его практическое применение обеспечивает положительный эффект.

- 109-ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведенных в диссертационной работе исследований можно сделать следующие обобщенные выводы:

1. Проведенный анализ существующих систем и методов моделирования и визуализации поверхностей с целью определения геометрических характеристик участков местности показал, что их применение для решения специализированных задач наземной навигации нецелесообразно. Это обусловлено применением в них упрощенных методов аппроксимации и интерполяции исходных дискретных данных.

Широко используемый в большинстве существующих комплексов ГИС метод линейной интерполяции не обеспечивает требуемой точности отображения поверхности участка местности. Поэтому, принимая во внимание преимущества и недостатки существующих геоинформационных систем, можно сделать вывод о том, что существует объективная необходимость постановки и решения задачи разработки метода моделирования поверхности произвольных участков местности.

Основными требованиями к этому методу моделирования поверхности являются:

- получение адекватной по критерию точности модели участка местности по дискретным исходным данным в условиях их частичной неопределенности;

- определение по полученной модели ряда геометрических характеристик (таких как уклоны и кривизны) в любой точке моделируемой поверхности.

Исходя из поставленной задачи — конструирование моделей поверхностей произвольных участков местности для решения задач наземной навигации, был проведен анализ существующих методов интерполяции дискретных исходных данных. Результаты анализа позволяют сделать вывод о том, что существующие методы не в полной мере отвечают специфическим требованиям решаемых задач по определению геометрических характеристик маршрутов движения, определения зон видимости и т.п.

2. В ходе работы были сделаны предположения о том, что если дискретные исходные данные аппроксимировать вдоль одной из координат полиномами высоких степеней, а затем коэффициенты полученных полиномов интерполировать сплайнами, то полученный алгоритмический метод, названный методом сглаженных коэффициентов, позволит более успешно решать поставленные задачи наземной навигации.

Для подтверждения правильности данного предположения был проведен ряд вычислительных экспериментов. Результаты, полученные в ходе первого эксперимента, позволили сделать вывод о том, что для аппроксимации исходных данных по профилям различных участков местности, наиболее подходят полиномы 9 степени. Они позволяют получить результаты, удовлетворяющие требованиям по точности и необходимым вычислительным ресурсам. А для интерполяции коэффициентов аппроксимирующих полиномов по критерию точности целесообразно применение кубических сплайнов.

В ходе второго эксперимента, проведенного по разработанной методике определения степени адекватности построенных моделей исходному участку местности, были получены результаты, позволяющие сделать частные выводы о пригодности различных методов моделирования для решения задач наземной навигации.

Во-первых, при коэффициентах масштабируемости от 1 до 5, меньшую погрешность дают методы интерполяции сплайнами, многочленами Эрмита и линейной интерполяции. Но большие трудности в создании электронных карт большого масштаба для протяженных участков местности не позволяет использовать данные методы моделирования с такими коэффициентами масштабируемости. Более приемлемыми, с практической точки зрения, являются модели, имеющие большую точность при коэффициентах масштабируемости от 5 до 8. В этом случае более точные результаты, при заданных ограничениях, дает разработанный метод сглаженных коэффициентов.

Во-вторых, метод сглаженных коэффициентов: в рабочем диапазоне коэффициентов масштабируемости позволяет увеличить точность моделирования поверхностей участков местности на 16,7%.

3. Анализ особенностей топографических поверхностей показал, что их моделирование с приемлемой для решения практических задач точностью на основе аналитического способа задания, а именно, в виде F(x, у, z)=0, затруднено. Следовательно, использование известных методов определения кривизн и углов наклона касательных непосредственно в произвольных точках этих поверхностей невозможно.

Для решения; этих задач целесообразно использовать соприкасающиеся поверхности, которые позволяют известными < методами определять геометрические характеристики исследуемых топографических поверхностей в точках соприкосновения: Так как по определению соприкасающихся поверхностей они имеют общие с исследуемой топографической поверхностью касательные плоскости и кривизны.

Для определения геометрических характеристик топографических поверхностей, построенных на основе разработанного во второй главе методам сглаженных коэффициентов, был выбран соприкасающийся эллипсоид. Этот выбор обоснован тем, что эллипсоид является центральной поверхностью второго порядка и позволяет, в зависимости от решаемых практических задач, определять кривизну в точке соприкосновения различными методами.

Построение соприкасающегося, эллипсоида в исследуемой точке: топографической поверхности позволяет определить кривизну поверхности в этой) точке в любом направлении?(при рассечении' поверхности горизонтально проецирующими плоскостями). Однако, при решении задач по определению радиусов закругления для проверки проходимости маршрутов движения многоосных транспортных средств специального назначения, во многих случаях достаточно выбрать горизонтально проецирующие плоскости, проходящие через оси эллипсоида. Это позволяет значительно упростить вычисление исследуемых параметров.

-112В соответствии с общей научной задачей, решаемой в диссертационной работе, разработаны рекомендации по выбору конкретного способа определения локальных дифференциальных характеристик поверхностей в зависимости от особенностей решаемой практической задачи (проверки проходимости маршрутов движения транспортных средств специального назначения, определения зон видимости и т.п.) и характера участков местности.

4. Применение в составе разработанных методик метода сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности, дает возможность получить более точные результаты при меньших затратах времени и ресурсов.

Первая из разработанных методик, в полном объеме обеспечивает решение задач оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения МТССН по неразведанной местности. Время решения этих задач, благодаря применению данной методики, удалось уменьшить в 8,4 раза.

Вторая методика — методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности, позволяет решать задачи по определению границ зон видимости в среднем на 42% точнее и в 17,2 раза быстрее, чем с помощью имеющихся методик.

5. Получаемый в результате практического применения полученных результатов исследования положительный эффект позволяет сделать вывод о правильности принятых в ходе исследования научных и инженерных решений; их обоснованности и рациональности.

6. Практическая значимость работы заключается в том, что благодаря применению разработанного метода и методик удалось значительно снизить затраты времени в процессе проверки параметров проходимости маршрутов движения и увеличить точность выполнения работ по определению зон видимости в горных условиях. Кроме того, использование разработанного научно-методического аппарата позволит снизить расход ресурса основных агрегатов

-113

МТССН и уменьшить расход горюче-смазочных материалов.

7. Основными результатами диссертационной работы являются:

- метод сглаженных коэффициентов для конструирования поверхности участка местности по частично неопределенным исходным данным цифровой модели местности;

- методика оценки степени адекватности модели поверхности моделируемому исходному участку местности;

- методика оперативного определения профильной проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств специального назначения (МТССН) по неразведанной местности;

- методика определения зон видимости для решения тактических задач в условиях горной местности.

1. Аксенов П.В. Многоосные автомобили. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение. 1989. - 280 с.

2. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Наука. 1990. 672 с.

3. Андрианов В. Инструментарий ГИС. // Компьютерра. 1999. № 44. - с. 28-31.

4. Антонов Д.А. Расчет устойчивости движения многоосных автомобилей.-М.: Машиностроение. 1984. 168 с.

5. Афонин И.М. Геометрическое моделирование волновых процессов на поверхности жидкости: Диссертация канд. техн. наук. М., 1998. -177 с.

6. Бакельман И.Я., Вернер А.П., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». — М.: Наука. 1973. 440 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т. 1. М.: Наука, 1975. — 631 с.

8. Бубенников А.В. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1985. -288 с.

9. Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. — М.: Высшая школа, 1973. 415 с.

10. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учебник для вузов. — 4-е изд., перераб. и доп. Ростов-на-Дону, «Феникс». 1997. - 288 с.

11. Бусыгин В.А. Теоретическая механика. Часть 1. Статика. Кинематика. Серпухов. 2000. - 428 с.

12. Вальков К.И. Курс начертательной геометрии. — JL, 1971.-101 с.

13. Виноградов И. М. Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1986. - 173 с.

14. Военная топография. Под редакцией Б.Е. Вызова. М.: Военное издательство, 19941 - 384 с.

15. Воинские автомобильные перевозки. Учебное пособие для офицеров. -М.: МО СССР, 1975. 156 с.

16. Вопросы прикладной геометрии. Труды МАИ. М., 1972. Выпуск № 246.

17. Выгодский М.Я. Дифференциальное исчисление. Т. 1. М.: Наука, 1965.-591 с.

18. Высшая математика. Методическое пособие для самостоятельной работы курсантов. Под редакцией Ускова Л.Ф. Серпухов: СВИ РВ, 1997.-221 с.

19. Гаврилов А.В., Иванов В.И., Филатов В.Н. ГИС контроля и слежения за перемещением транспортных средств. // Геодезия и картография. 1997. № 3 -е. 41-42.

20. Григолюк Э.И., Мамай В;И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука. Физматлит. 1997. - 272 с.

21. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. — М.: Физматгиз. 1963. 400 с.

22. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. - 759 с.

23. Евстафьев О.В., Милич В.Н., Каримов Р.Г. Опыт GPS -измерений на сверхдлинных базах для передачи координат. // Геодезия и картография. 1997.№2.-с. 34.

24. Елюшкин В.Г., Долгов Е.И., Яблонский Л.И. Проблемы обеспечения топогеодезической информацией тактических звеньев управления войсками. // Военная мысль. 2001. № 4. - с. 20 - 24.

25. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М.: Физматгиз, 1963, - 159 с.

26. Ефимов Н.В., Розендор Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970. - 528 с.

27. Жалковский Е.А., Пьянков Г.А. О концепции ГИС СНГ. // Геодезия и картография. 1997. №4. с. 25.

28. Жигилей B.C. Основы теории планирования многофакторных испытаний.-Л. 1982.-107 с.

29. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

30. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 222 с.

31. Зозулевич Д.М. Машинная графика в автоматизированном проектировании. М.: Машиностроение, 1976.

32. Зоткин С.А., Зайчик Е.М., Кубасов И.А. О применении геоинформационных технологий в управлении войсками (силами). // Военная мысль. 1999.-№2.-с. 34-36.

33. Иберла К. Факторный анализ / Пер. с нем. — М.: Статистика, 1980. — 398 с.

34. Иванов В.И, Маркус А.И. Оценка местности в автоматизированных системах управления войсками. // Военная мысль. 1999. № 6. - с. 5356.

35. Иванов В.Н. Три измерения ГИС. // Компьютерра. 2001. № 46 . с. 1115.

36. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М.: Машиностроение, 1987.- 192 с.

37. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. М.: «Машиностроение». 1998. 158с.

38. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение. - 1995. -224 с.

39. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. — М.: Машиностроение, 1998. 150 с.

40. Иванченко В. Зрелище мира земного.// Компьютерра. 1999. № 44. — с. 21.

41. Иванченко В. Иконография Земли как сумма технологий.// Компьютерра. 1999. № 44. - с. 22, 25-27.

42. Игнациус Г.И. Проективная геометрия. М.: Знание. 1966. 48 с. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. — М.: Наука. 1968. -232 с.

43. Калинин А.С. CADy Создание геодезической основы проектирования. // Компьютер Пресс. 1997. № 5, 6. - с. 260 - 265, с. 233 - 239. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. — М.: Мир. 2001. — 575 с.

44. Колесов А., Павлова О. Продукты фирмы Golden Software. // Компьютер Пресс. 1999. № 2. с. 1 - 7.

45. Колесов А., Павлова О. Продукты фирмы Golden Software. // Компьютер Пресс. 1999. № 4. с. 1-5.

46. Колесов А., Павлова О. Продукты фирмы Golden Software. // Компьютер Пресс. 2000. № 2. с. 1 - 5.

47. Колпаков А.В. Организация автомобильных перевозок. Ч. 1. — Серпухов, 1999.-126 с.

48. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1978. - 831 с.- 11853. Королев Ю. Рисуем карту. // Компьютерра. 1999. № 44. - с. 32-34.

49. Котов И.И. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа. 1970. -382 с.

50. Кулагин В.П., Цветков В.Я. Геоинформатика и информационные технологии. // Геодезия и картография. 2002. №3. — с. 42.

51. Линник В.Г. Построение геоинформационных систем в физической географии. М.: изд-во МГУ, 1990. 80 с.

52. Литвинов А.С., Фаробин Я.Е. Автомобиль. Теория эксплуатационных свойств. М.Машиностроение. 1989. - 237 с.

53. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Сплайн-апроксимация функций. М.: Высшая школа. 1983. - 80 с.

54. Маневич В.А., Котов И.И., Зенгин А.Р. Аналитическая геометрия с теорией изображений. М.: Высшая школа. 1969. — 304 с.

55. Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. 845 с.

56. Мусхешвили Н.И. Курс аналитической геометрии. — М.: Высшая школа. 1967.-655 с.

57. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М.: Физматгиз. 1962.-344 с.

58. Нартова Л.Г. Основы проективной геометрии. М. 1983. 42 с.

59. Начертательная геометрия на базе ЭВМ. Под ред. Якунина В.И. М.: МАИ, 1981.-81с.

60. Основные положения по созданию и обновлению топографических карт масштабов 1:10000, 1:25000, 1:50000, 1:100000, 1:200000, 1:500000, 1:1000000. М.: РИО ВТС, 1984. 50 с.

61. Отчет по научно-исследовательской работе № ВК-175. Исследование локальных дифференциально-геометрических характеристик сложных поверхностей. Серпухов. 1977. - 80 с.

62. Отчет по научно-исследовательской работе № ВК-7904. Расчет управ- 119ляемых координат манипулятора. — Серпухов. 1981. — 55 с.

63. Перков А.Н. Разработка и исследование методов адаптивного синтеза изображения рельефов местности. Диссертация канд. техн. наук Начертательная геометрия. С. — Петербург, 1998 - 131 с.

64. Побединский Г.Г., Базина М.А., Втюрин А.В. Разработка системы визуализации электронных карт. // Геодезия и картография. 2002. №3. — с. 21.

65. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука. 1969. -176 с.

66. Подготовка офицеров запаса Сухопутных войск: Учебное пособие\ А.И. Кириллов, В.П. Кузнецов, В.И Агафонов и др.; Под ред. Ю.А. Науменко. М.: Воениздат. 1989. - 448 с.

67. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение.— М.: Мир, 1989.-471 с.

68. Прим Р. К. Кратчайшие связывающие сети и некоторые обобщения // Кибернетический сборник. № 2.-— М.: ИЛ, 1961. с. 95—107.

69. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М., Л.: ГИТТЛ. 1950.- 428 с.

70. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. -М.: Мир, 2001.-604 с.

71. Руководство по фототопографическим работам при топогеодезическом обеспечении войск. Ч. 1. М.: РИО ВТС, 1984. 270 с.

72. Рыжов Н. Н. О построении кратчайшей линии на топографической поверхности // Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. — М.: МЭИ, 1958. — с. 255-259.

73. Сакиева М.К. Геометрическое моделирование конфигурации инженерных сетей (на примере нефте-газопроводов): Диссертация канд. техн. наук. — М., 2002.- 128 с.

74. Сальков Н.А. Геометрическое и программно-математическое моделирование линейных и поверхностных форм автомобильных дорог: Диссертация канд. техн. наук. М., 1990. - 120 с.

75. Современная математика для инженеров, под ред. Беккенбаха Э.Ф., -Л., 1958.-265 с.

76. Современный курс начертательной геометрии: учебник для инженерно-технических вузов/ Л.Г. Нартова, A.M. Тевлин, B.C. Полозов, В.И. Якунин; под ред. Л.Г. Нартовой и A.M. Тевлина. М.:МАИ, 1996. — 256 с.

77. Справочник по прикладной статистике. В 2-х кн. / Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1989.

78. Теоретические основы автоматизированных систем обучения. Под ред. В.В. Мачулина. М.: МО СССР, 1989. - 278 с.

79. Труды межвузовского семинара по начертательной геометрии М:, 1959.- 116 с.

80. Труды Московского Научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике III. Труды института. Выпуск № 242. М„ 1972. - 94 с.

81. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск, Высшая школа, 1968.-243 с.

82. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304 с.

83. Харман Г. Современный факторный анализ. — М.: Статистика, 1972. -486 с.

84. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.-М.: мир. 1964. — 534 с.

85. Цветков. В.Я. Геоинформационные системы и технологии. — М.: «Финансы и статистика». 1998. 287 с.

86. Цветков В.Я. Геоинформационные системы и технологии(учебное пособие). М.: МИИГАКиК, 1996. - 112 с.

87. Чекалин А.А. Моделирование поверхностей сложной формы на основеинтегродифференциальных сплайнов: Диссертация канд. техн. наук. -М., 1998.-123 с.

88. Четверухин Н.Ф. Теоретические основания начертательной геометрии. Часть 1. Мировоззренческие вопросы в преподавании геометрии. М. 1971.-84 с.

89. Четверухин Н.Ф. Теоретические основания начертательной геометрии. Часть 2. Геометрические преобразования и основные теоремы начертательной геометрии. М., 1973. — 92 с.

90. Четверухин Н.Ф., Левицкий B.C., Прянишникова З.И., Тевлин A.M., Федотов Г.И. Начертательная геометрия — М.: Высшая школа, 1963. -420 с.

91. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М., 1963.-539 с.

92. Югрина Е.И. Метод конструирования участка поверхности по частично неопределенным исходным данным. // Сборник трудов XXI Межведомственной НТК СВИ РВ. Серпухов. 2002. - с. 161-166.

93. Югрина Е.И. Геометрические аспекты задачи поиска маршрута движения транспортных средств специального назначения по неразведанной местности. // Тезисы доклада XVIII Межведомственной НТК СВИ РВ. -Серпухов. 1999.-с. 185-188.

94. Югрина Е.И. Методика аналитического конструирования поверхности позиционного района полка по дискретным исходным данным. // Итоговый отчет по ФП НИР «Птерозавр». Серпухов. 1999. - с. 134-153.

95. Югрина Е.И. Исследование локальных геометрических характеристикповерхности для определения проходимости транспортных средств в заданном районе. // Сборник трудов XXI Межведомственной НТК СВИ РВ. Серпухов. 2002. - с. 166-169.

96. Югрина Е.И. Методика оперативного определения проходимости произвольных маршрутов движения многоосных транспортных средств по неразведанной местности. // Сборник трудов XXII Межведомственной НТК СВИ РВ. Серпухов. 2003.- с. 188-193.

97. Якунин В. И. Современные проблемы и перспективы научных исследований в прикладной геометрии // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач.-— Омск: ОМ-ПИ, 1986. с. 12—14.

98. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. М.: МАИ, 1980. — 84 с.

99. Adams J.A. A Comparison of Methods for Cubic Spline Curve Fitting. Сотр. Aid. Des., Vol. 6, 1974. pp. 1-9.

100. Boor de C. A practical guide to splines. New York-Heidelberg-Berlin: Springer Verlag. 1978. 392 p.

101. Brewer J.A., Anderson D.C. Visual Interaction with Overhauser Curves and Surfaces. Сотр. Graph., Vol. 11, 1977. pp. 132-137.

102. Charcot P., Gregory J. A Pentagonal Surface Patch for Computer Aided

103. Geometric Design. Сотр. Aid. Geom. Des., Vol. 1 pp. 87-94, 1984.

104. Coons S.A. Surfaces for computer aided design of space forms. Report MAC-TR-41, Project MAC, M. I. Т., 1967. 105 p.

105. Forrest A.R. The Twisted Cubic Curve: A Computer Aided Geometric Design Approach. Сотр. Aid. Des., Vol. 12, 1980. pp 165-172.

106. Ferguson J.C. Multivariable Curve Interpolation. J. ACM, Vol. 2, April 1964. pp. 221-228.

107. Geographic Information systems (GIS) based on Jupiter Technology. // Intergraph software solutions. April 1996. - 36 p.

108. Nutbourne A.W. A cubic Spline Package Part 2 — The Mathematics. Сотр. Aid. Des., Vol. 5, No. 1, January 1973.

109. Xia J.C., Varshney . Dynamic view-depended simlification for polygonal models //Proceedings IEEE Visualization '96. S. Francisco, CA.-R. Yagei and Nielson (Eds.). - 1996. - pp. 327-334.