автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Исследование методами компьютерного моделирования свойств оценок и статистик критериев согласия по группированным и цензурированным выборкам

Введение.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Основные понятия и определения.

1.2. Вопросы оценивания параметров законов распределений по группированным наблюдениям.

1.3. Вопросы проверки гипотез о согласии с использованием критериев типа %2.

1.3.1. Критерий %2 Пирсона.

1.3.2. Критерий типа %2 Никулина.

1.3.3. Выбор числа интервалов группирования.

1.4. Проблемы оценивания параметров законов распределений по цензурированным выборкам.

1.5. Вопросы проверки гипотез о согласии по цензурированным выборкам

1.6. Выводы.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОПТИМАЛЬНЫХ ¿-ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПО ВЫБОРОЧНЫМ КВАНТИЛЯМ.

2.1. Построение ¿-оценок параметров сдвига и масштаба.

2.2. Выбор квантилей стандартного распределения и вычисление ап (3,., У„ о,.

2.3. Исследование точности оценивания квантилей и ¿-оценок.

2.3.1. Точность ¿-оценок в зависимости от объема выборок

2.3.2. Точность ¿-оценок в зависимости от числа используемых квантилей.

2.4. Пример построения оценок.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КРИТЕРИЕВ ТИПА X2.

3.1. Исследование распределений и мощности критерия типа Никулина.

3.2. Выбор оптимального числа интервалов группирования для критериев согласия типа %

3.3. Исследование распределений статистики %2 Пирсона при проверке сложных гипотез с использованием различных оценок по группированным данным.

3.4. Выводы.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОМП ПО ЦЕНЗУРИРОВ АННЫМ ВЫБОРКАМ.

4.1. Исследование точности ОМП по цензурированным данным.

4.2. Исследование смещения ОМП параметров распределений по сильно цензурированным выборкам.

4.3. Построение несмещенных ОМП по цензурированным выборкам.

4.4. Выводы.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАТИСТИК КРИТЕРИЕВ РЕНЬИ И КОЛМОГОРОВА ПО ЦЕНЗУРИРОВАННЫМ ВЫБОРКАМ.

5.1. Исследование распределений статистики Реньи при проверке простых гипотез о согласии по цензурированным выборкам.

5.1.1. Случай цензурирования I типа.

5.1.2. Случай цензурирования II типа.

5.2. Построение модифицированной статистики Реньи в случае цензурирования I типа.

5.3. Исследование распределений статистики критерия Колмогорова при проверке простых гипотез о согласии по цензурированным выборкам.

5.4. Исследование распределений статистики Колмогорова по цензурированным выборкам при проверке сложных гипотез о согласии.

5.5. Выводы.

Современное состояние и актуальность темы исследований. Методы прикладной статистики успешно применяются в различных отраслях народного хозяйства, практически во всех областях науки. Большинство статей в технических, медицинских, социологических изданиях содержат упоминания о применении статистических методов.

При статистическом анализе данных в различных приложениях необходимо принимать решения, применяя для этого соответствующий аппарат математической статистики. При этом требования к качеству статистических выводов, как правило, очень высоки. Однако имеющиеся теоретические результаты зачастую не удовлетворяют возрастающим требованиям практики. Классические результаты оказываются применимыми при достаточно строгих предположениях, которые на практике очень часто не выполняются. Важен также следующий аспект. Большинство наиболее весомых результатов в математической статистике имеет асимптотический характер. На практике же всегда имеют дело с ограниченными объемами наблюдений. И свойства используемых статистик в таких ситуациях порой существенно отличаются от асимптотических.

Построение статистических закономерностей аналитическими методами представляет собой все более сложную задачу и требует все более совершенного математического аппарата. Поэтому решение многих задач продвигается очень медленно. В последние десятилетия вместе с развитием компьютерной техники интенсивно развиваются компьютерные методы исследования, позволяющие быстро и не менее точно, чем с использованием строгого математического аппарата, находить статистические закономерности [94,95, 105].

В связи с бурным развитием и внедрением персональных компьютеров, особую актуальность приобретает задача обеспечения высокого качества пакетов прикладных статистических программ. Однако, несмотря на определенную насыщенность рынка программными системами статистического анализа, реализуемые в них методы и алгоритмы сильно отстают от последних достижений в области прикладной статистики. Это объясняется тем, что далеко не все результаты вошли в литературу справочного, нормативного и учебного характера и остаются труднодоступными для разработчиков программного обеспечения. Необходимо отметить и то, что в некоторых работах, к сожалению, встречаются ошибки применения статистических методов [122]. Например, в учебниках по "Общей теории статистики" [80, 125] постоянно повторяется одна и та же ошибка: для проверки гипотезы о принадлежности функции распределения выборки параметрическому семейству предлагается использовать критерий типа Колмогорова, при этом параметры теоретического распределения оцениваются по выборке, а процентные точки берутся для классического распределения статистики, полученного в предположении, что параметры точно известны. Дело в том, что в случае, когда параметры определяются по выборке, предельное распределение будет другим, процентные точки его примерно в 1,5 раза меньше, чем для классического распределения статистики критерия Колмогорова [123].

Перспективы программного обеспечения по статистическому анализу данных обсуждались в работах [46, 47], современные проблемы внедрения прикладной статистики поднимались в [122]. Необходимо отметить, что использование ЭВМ и их совершенствование отражается на развитии статистических методов [51, 89, 127], взглядах на точность вычисления оценок [8, 99, 100, 116, 121], расширяет использование статистических методов в приложениях.

Достоверность результатов статистического анализа в первую очередь зависит от степени адекватности выбранной модели анализируемым данным. Поэтому обязательным этапом является проверка гипотезы о согласии имеющихся статистических данных с выбранным теоретическим распределением. Очень часто на практике в качестве параметров этого распределения берут оценки параметров, полученные по тем же самым данным. В таком случае речь идет о проверке сложной гипотезы о согласии. В настоящее время существует большое количество работ, посвященных исследованию задач проверки сложных гипотез с использованием различных критериев согласия. Критерии согласия подразделяются на две основные группы: параметрические, к которым относятся критерии типа %2, и непараметрические критерии - это критерии типа Колмогорова - Смирнова, типа со2 и О2 Мизеса, критерии Реньи.

При выборе методов статистического анализа необходимо учитывать форму представления исходных данных, часто определяемую условиями и точностью регистрации. На практике нередко возникает задача обработки группированных или цензурированных наблюдений, особенно при исследовании величин типа "времени жизни". Интерес к таким задачам не снижается, так как появление группированных и цензурированных выборок оказывается естественным и обычно порождается спецификой проведения экспериментов и условиями регистрации наблюдений. Статистическому анализу цензурированных и группированных данных посвящены работы [4, 6, 9-11, 13, 16, 25, 26, 31, 33, 42, 45, 65, 77]. С обработкой цензурированных и группированных данных в задачах надежности связаны работы [21, 24, 28, 33, 35, 43, 52, 67, 69, 79, 124, 126].

Вопросы оценивания параметров распределений, условия существования оценок максимального правдоподобия по группированным и частично группированным данным рассматривались в работах [50, 63, 81]. В [131] рассмотрены различные методы оценивания параметров, предполагающие использование группированных выборок. В [132] получены ¿-оценки параметров сдвига и масштаба, основанные на выборочных квантилях. Этот подход, по сути, также предполагает работу с группированными выборками.

Использование критериев типа %2 предусматривает группирование исходной выборки наблюдений случайной величины. Очевидно, что качество статистических выводов зависит от того, как группируются данные. Сказанное относится и к оцениванию параметров распределений, и к критериям проверки гипотез. Разбиение на интервалы равных вероятностей в критериях согласия впервые предложено в работе [31], и такой вариант группирования в качестве предпочтительного обычно рассматривается в работах теоретического характера. В работах [83, 84, 87] с использованием методов статистического моделирования показано, что при асимптотически оптимальном группировании, при котором минимизируются потери в информации Фишера, мощность критериев у2 Пирсона и отношения правдоподобия максимальна в случае проверки близких конкурирующих гипотез.

Исследованию критериев типа %2 для непрерывных распределений при сложных гипотезах и оценивании параметров по негруппированным наблюдениям посвящены работы [1, 7, 115, 118, 119, 152, 153]. В 1973 году появились работы М.С. Никулина [118, 119], в которых предлагается модификация стандартной статистики параметрического критерия Пирсона. Предложенная Никулиным модифицированная статистика обладает уникальным свойством свободы от распределения при проверке сложных гипотез. При этом параметры распределения оцениваются методом максимального правдоподобия по исходной негруппированной выборке. С момента публикации этих работ прошло более 25 лет, но, не считая работ самого Никулина, нам не известны публикации других авторов, посвященные этой статистике, и, тем более, какие-либо упоминания о результатах использования статистики Никулина в приложениях.

Несмотря на то, что теория проверки гипотез с помощью критериев типа %2 развивается уже давно, и, казалось бы, все вопросы решены, вопрос выбора оптимального числа интервалов группирования до сих пор остается открытым. В [41, 48, 68, 146, 151, 155] и других работах приводятся рекомендации по выбору числа интервалов, исходящие из того, чтобы при данном объеме выборки как можно лучше приблизить плотность распределения её непараметрической оценкой (гистограммой). Но ни в одних из рекомендаций, за исключением [66], не подходят к выбору числа интервалов при близких альтернативных гипотезах с позиций построения наиболее мощного критерия согласия.

Цензурированные выборки известны в математической статистике уже давно [133], однако сначала они не привлекали широкого внимания специалистов. В начале 60-х годов после выхода работы [27] задачи прикладного статистического анализа цензурированных выборок становятся предметом активного внимания специалистов по математическим методам теории надежности. Промежуточные итоги всех этих исследований были подведены в работе [15], в которой проблема анализа цензурированных выборок рассматривается с точки зрения общей теории математической статистики. К отечественным работам, посвященным вопросам параметрического и непараметрического оценивания по цензурированным выборкам, относятся [49, 55, 59, 124, 133, 134, 136]. Вопросы оценивания параметров по цензурированным наблюдениям также рассматривались в [53, 54, 58, 60, 61, 139-145]. Обширную библиографию работ по обработке цензурированных выборок можно найти в [117, 133, 134]. Следует отметить, что внедряемые результаты теоретических исследований в основном относятся к задачам оценивания распределений как в параметрической, так и в непараметрической форме. Существует большое количество работ, посвященных оцениванию параметров распределений по цензурированным выборкам методом максимального правдоподобия: [18, 32, 42, 45, 58, 78, 90, 133, 136] и другие. Показано, что цензурирование всегда приводит к потере эффективности оценок и, более того, распределения ОМП при сильной степени цензурирования оказываются асимметричными, а сами оценки смещенными.

Необходимость проверки адекватности выбранного вида распределения выборочным данным при анализе надежности по цензурированным выборкам явно определяется в ГОСТ 27.504-84. Очевидно, что при цензурировании наблюдений снижается способность критериев согласия различать близкие законы распределения. В среде специалистов по надежности, которым наиболее часто приходится сталкиваться с проблемами обработки сильно цензурированных выборок, сложилось даже мнение о бесперспективности различения моделей законов распределений, используемых в задачах надежности и контроля качества, с помощью критериев согласия [72]. В случае проверки простых гипотез для проверки согласия при цензурированных наблюдениях могут использоваться критерии Реньи, модифицированные критерии Колмогорова, Смирнова, Крамера-Мизеса и критерий Мозеса [128]. Вывод предельных распределений статистик данных критериев можно найти в работах [2, 30, 37, 38, 114, 135, 137], на основании полученных асимптотических формул составлены необходимые для практики таблицы. Однако нам не известно ни одной публикации, в которой были бы даны конкретные рекомендации по использованию этих критериев для проверки согласия по цензурированным выборкам при ограниченных объемах наблюдений. В случае проверки простых гипотез перечисленные непараметрические критерии являются свободными от распределения. Очевидно, что при проверке сложных гипотез данные критерии теряют это свойство. Поэтому необходимы соответствующие исследования распределений статистик этих критериев при проверке различных сложных гипотез с целью построения моделей предельных распределений.

При проверке сложных гипотез предельные распределения статистик непараметрических критериев согласия существенно зависят от вида закона распределения, с которым проверяется согласие и применяемого метода оценивания. Для случая полных выборок в работах [91, 92] построены аппроксимации предельных распределений минимумов статистик непараметрических критериев согласия и распределений статистик при использовании метода максимального правдоподобия. Эти результаты наиболее подробно изложены в [93].

Цель и задачи исследований. Основной целью диссертационной работы является дальнейшее развитие на основе использования компьютерного моделирования прикладных методов статистического анализа наблюдений одномерных непрерывных случайных величин, обеспечивающих качественные выводы при группированных и цензурированных наблюдениях.

Для достижения поставленной цели предусмотрено решение следующих задач:

- исследование статистических свойств оптимальных ¿-оценок по выборочным квантилям;

- исследование распределений статистики типа %2 Никулина;

- исследование функции мощности критериев %2 Пирсона и Никулина в зависимости от объема выборки и числа интервалов группирования;

- исследование предельных распределений статистики критерия у? Пирсона при проверке сложных гипотез с использованием различных оценок по группированным данным;

- построение поправок, ликвидирующих смещение при оценивании параметров по цензурированной выборке методом максимального правдоподобия;

- исследование распределений статистик критериев типа Реньи и типа Колмогорова в зависимости от объема выборки и степени цензурирования.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался аппарат теории вероятностей, математической статистики, вычислительной математики, математического программирования, статистического моделирования.

Научная новизна диссертационной работы заключается в:

- результатах исследования распределений статистики х2 Пирсона при различных методах оценивания параметров законов по группированным данным; 2

- результатах исследования мощности критериев типа % в зависимости от числа интервалов;

- построении поправок на смещение оценок максимального правдоподобия параметров распределений по сильно цензурированным выборкам;

- построении законов распределения, аппроксимирующих предельные законы распределения статистики критерия типа Колмогорова при проверке сложных гипотез по цензурированным выборкам.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Результаты исследования распределений статистики типа %2 Никулина в зависимости от способа группирования данных.

2. Сравнительный анализ по мощности критериев типа %2 и непараметрических критериев Колмогорова и со2 Мизеса.

3. Результаты исследования мощности критериев типа %2 в зависимости от числа интервалов группирования.

4. Результаты исследования распределений статистики критерия % Пирсона при использовании различных оценок по группированным данным.

5. Применение поправок, полученных с использованием метода статистического моделирования, для построения несмещенных ОМП по сильно цензурированным выборкам.

6. Результаты исследований и практические рекомендации к применению критериев Реньи и Колмогорова для проверки простых гипотез о согласии по цензурированным выборкам.

7. Результаты исследования распределений статистики типа Колмогорова при проверке сложных гипотез и вычислении ОМП по цензурированным выборкам.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается:

- применением аналитических методов исследования свойств оценок и критериев;

- подтверждением аналитических выводов и рекомендаций результатами статистического моделирования.

Личный творческий вклад автора заключается в проведении исследований, обосновывающих основные положения, выносимые на защиту. Практическая ценность и реализация результатов. Часть результатов исследований критериев типа %2 были использованы при разработке рекомендаций по стандартизации Р 50.1.033-2001 [129]. Сформированные поправки на смещение ОМП параметров распределений по сильно цензурированным выборкам для конечных объемов выборок позволяют получать статистически несмещенные оценки, по точности не уступающие ОМП. Полученная модификация статистики Реньи позволяет получать корректные выводы при проверке простых гипотез о согласии при небольших объемах выборки. Получены модели, аппроксимирующие предельные распределения статистики критерия типа Колмогорова (при проверке сложных гипотез по цензурированным выборкам).

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на Российской НТК "Информатика и проблемы телекоммуникаций" (Новосибирск, 1999, 2000); Новосибирской межвузовской НТК магистрантов и аспирантов на английском языке "Молодые исследователи XXI столетия" (Новосибирск, 2000); Четвертом Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000); V международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2000" (Новосибирск, 2000); Международной НТК "Информационные системы и технологии ИСГ2000" (Новосибирск, 2000); Всероссийской НТК "Информационные системы и технологии ИСТ 2001" (Нижний Новгород, 2001); Международной НТК "Информатика и проблемы телекоммуникаций" (Новосибирск, 2001, 2002); Региональной НТК "Наука. Техника. Инновации" (Новосибирск, 2001, 2002); VI международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2002" (Новосибирск, 2002). Исследования по теме диссертации явились составной частью работ, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 00-01-00913) и грантом Минобразования РФ (проект № Т 02-3.3-3356).

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 22 печатных работах и 1 отчетепо НИР.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав основного содержания, включая 46 таблиц и 31 рисунок, заключения, списка использованных источников и 3 приложений.

5.5. Выводы

1. Результаты статистического моделирования показали, что распределения статистик типа Реньи существенно зависят от степени и структуры цензурирования. В случае цензурирования I типа достаточно хорошее согласие эмпирических распределений статистики Реньи с предельным законом L(S) достигается только при п > 500 и степени цензурирования а, близкой к 0,5.

2. Получена эмпирическая поправка для статистики Реньи. Распределения модифицированной статистики существенно быстрее сходятся к предельному закону Ь(5) (в меньшей степени зависят от объема выборки п) как при малой, так и при высокой степени цензурирования.

3. Показано, что в случае цензурирования II типа параметр а в выражении для статистики Реньи следует вычислять как вероятность попадания в интервал цензурирования, т.к. при а < 0,9 распределения статистики Реньи лучше согласуются с предельным законом , чем в случае, когда в качестве а берется отношение количества цензурировании* наблюдений к полному объему выборки.

4. Найдены минимальные объемы выборки п, при которых достигается хорошее согласие распределения статистики Колмогорова с соответствующим предельным при проверке простых гипотез по цензурированным выборкам для различных значений степени цензурирования а.

5. Исследованы распределения статистики Колмогорова при проверке сложных гипотез с использованием ОМП по цензурированным выборкам. Для ряда законов распределения, соответствующих проверяемой гипотезе, методами компьютерного моделирования и анализа статистических закономерностей построены аппроксимации предельных распределений статистики Колмогорова.

129

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными целями исследований получены следующие основные результаты:

1. Методами статистического моделирования исследованы распределения оптимальных ¿-оценок по выборочным квантилям. Показано, что оптимальные /--оценки практически не уступают по точности ОМП по группированным данным, имея при этом значительное преимущество в простоте вычислений.

2. Экспериментально исследованы распределения статистики типа Никулина. Показано, что критерий превосходит по мощности критерий Пирсона при проверке сложных гипотез и в этом отношении близок к непараметрическим критериям согласия. Распределения статистики, предложенной Никулиным, практически не зависят от способа группирования данных.

3. Впервые показано, что при проверке близких конкурирующих гипотез мощность критериев типа %2 можно максимизировать за счет выбора числа интервалов. С ростом числа интервалов мощность падает. Оптимальное число интервалов, как правило, оказывается ниже значений, задаваемых различными эмпирическими формулами.

4. Показано, что предельным распределением статистики критерия х2 Пирсона будет являться %2кт, -распределение не только при использовании оценок минимума %2 или ОМП по группированным данным, но и при использовании ряда других состоятельных оценок по группированным данным, в том числе оптимальных ¿-оценок по выборочным квантилям.

5. Проведено экспериментальное исследование эффективности оценивания по цензурированным выборкам по отношению к оцениванию по полным выборкам.

6. Получены оценки математических ожиданий смещений ОМП как эмпирические функции от объема выборки и степени цензурирования. Показано, что использование полученных величин в качестве поправок позволяет существенно уменьшить смещение оценок.

7. Исследованы распределения статистики двустороннего критерия Реньи при проверке простых гипотез. Показано, что эти распределения существенно зависят от степени и структуры цензурирования. Получена эмпирическая поправка для статистики Реньи, снижающая зависимость распределения статистики от объема выборки как при малой, так и при высокой степени цензурирования. Сформулированы рекомендации к использованию критерия Реньи для проверки простых гипотез о согласии по цензурированным выборкам.

8. Исследованы распределения статистики типа Колмогорова при проверке простых и сложных гипотез по цензурированным выборкам. Найдены минимальные объемы выборок, при которых достигается достаточная близость распределений статистики к соответствующим предельным. Для ряда законов, соответствующих проверяемой гипотезе, с использованием методов компьютерного моделирования построены аппроксимации предельных распределений статистики типа Колмогорова при проверке сложных гипотез и оценивании параметров закона методом максимального правдоподобия.

Результаты, сформулированные в п.п. 2-4, использованы при разработке рекомендаций по стандартизации [129]. Разработанное программное обеспечение, используется при проведении научных исследований и в учебном процессе. Результаты и программное обеспечение включены в программную систему "Интервальная статистика" (ISW), развиваемую на кафедре прикладной математики НГТУ.

1. Aguirre N., Nikulin M. Chi-squared goodness-of-fit test for the family of logistic distributions // Kybernetika. 1994. V. 30. № 3. -P.214-222.

2. Anderson T.W., Darling D.A. Asymptotic theory of certain "goodness of fit" criteria based on stochastic processes // Ann. Math. Statist. 1952. V. 23. - P. 193212.

3. Barr D.M., Davidson T. A Kolmogorov-Smirnov test for censored samples. Tech-nometrics, 1973. V. 15. N. 4.

4. Billman B.R., Antle C.E., Bein L.J. Statistical inference from censored Weibull samples // Technometrics. 1972. V. 14. P. 831-840.

5. Bloch D. A note on the estimation of the location parameter of the Cauchy distribution. J. Amer. Statist. Ass. 61 (1966). P. 852-855.

6. Boardman T.J. Estimation in compound exponential failure models when the data are grouped // Technometrics, 1973. V. 15. P. 271-277.2

7. Chernoff H., Lehmann E.L. The use of maximum likelihood estimates in % testfor goodness of fit // Ann. Math. Stat., 1954. V. 25. P. 579-586.

8. Chimitova E.V. Influence of estimation precision on distributions of nonparamet-ric test statistics for composite hypothesis testing // First Graduate School Inter-University Scientific Conference. Abstract booklet. Novosibirsk, 2000. P. 9-10.

9. Cohen A.C. Multi-censored sampling in the three parameter Weibull distribution // Technometrics, 1975. V. 17. P. 347-351.

10. Cohen A.C. Progressively censored sampling in the three parameter log-normal distribution //Technometrics, 1976. V. 18. P. 99-103.

11. De Grutolla V., Logakos S.W. Analysis of doubly-censored survival data, with application to AIDS // Biometrics, -1989. V. 45. № 1. P. 1-11.

12. Durbin J. Kolmogorov-Smirnov tests when parameters are estimated // Lect. Notes Math. 1976. Vol. 566. P. 33-44.

13. Dwyer P.S. Grouping metohds // Ann. Math. Stat., 1942. V. 13. № 2. P. 138155.

14. Eisenberger J., Posner E.C. Systematic statistics used for data compression in space telemetry. J. Amer. Statist. Ass. 60 (1965). P. 97-133.

15. Gill R.D. Censored and stochastic integrals // Mathematical centre tracts, 124. -Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1980. 172 p.

16. Grundy P.M. The fitting grouped truncated and grouped censored normal distributions // Biometrika, 1952. V. 39, № 1/2. P. 252-259.

17. Gupta S.S., Gnanadesikan M. Estimation of the parameters of the logistic distribution. Biometrika, 53 (1966). P. 565-570.

18. Halperin M. Maximum likelihood estimation in trancated samples // The annals of mathematical statistics, 1952. V. 23. P. 226-238.

19. Hampel F.R. The influence curve and its role in robust estimation // J. Amer. Statist. Ass., 1974. V. 69. - № 346. - P. 383-393.

20. Hassanein K.M. Analysis of extreme-value data by sample quantiles for very large samples. J. Amer. Statist. Ass. 63 (1968). P. 877-888.

21. Hsieh H.K. Average type-II censoring times for the 2-parameter Weibull distribution // IEEE Trans. Reliab., 1994. V. 43. № 1. p. 91-96.

22. Ishii Goro. Kolmogorov-Smirnov test in life-test // Ann. Inst. Stat. Math. 1958. Vol. 10, No. 1.-P. 37-46.

23. Ishii Goro. On the exact probabilities of Renyi's tests // Ann. Inst. Stat. Math. 1959. Vol. 11, No. 1.-P. 17-24.

24. Jiang S., Kececioglu D. Maximum likelihood estimates from censored data for mixed Weibull distributions // IEEE Trans. Reliab., 1992. V. 41. N. 2. P. 248255.

25. Kale B.K. A note on the loss information due to grouping of observations // Biometrika, 1964. V. 51, № 3/4. P. 495-497.

26. Kale B.K. Approximations to the maximum-likelihood estimator using grouped data II Biometrika, 1966. V. 53, № 1/2. P. 282-285.

27. Kaplan E.L., Meier P. Nonparametric estimation from incomplete observations // J. Amer. Stat. Assoc. 1958. V. 53.

28. Kendall P.J., Anderson R.L. An estimation problem in life-testing // Technomet-rics, 1971. V. 13.-P. 289-301.

29. Koziol J.A., Byair P.D. Percentage points of the asymptotic distributions of one and two sample K-S statistics for truncated or censored data // Technometrics, 1975. V. 17. N. 4.-P. 507-510.

30. Koziol J.A., Green S.B. A Cramer von Mises statistic for randomly censored data // Biometrika, 1976. V. 63. N. 2.

31. Mann H.B., Wald A. On the choice of the number of class intervals in the application of the chi square test//Ann. Math. Stat., 1942. V. 13. P. 306-317.

32. Mc Cool J.E. Inference on Weibull Percentiles and shape parameter from maximum likelihood estimates // IEEE Transactions on Reliability. V. R-19, N 1, 1970. P. 2-9.

33. Michako D. Chi-square test-of-fit for location-scale families using type-II censored data // IEEE Trans. Reliab., 1993. V. 42. № 1. P. 76-80.

34. Mohamed E.A. On the problem of estimation of three parameter log-normal distribution in case of grouped data //AMSE rev., 1989. V. 11. № 2. P. 53-64.

35. Nachas J.A., Kumar A. Rebiliaty estimation using doubly-censored field data // IEEE Trans. Reliab., 1993. V. 42. № 2. P. 268-279.

36. Ogawa J. Contributions to the theory of systematic statistics. I. Osaka Math. J. 3 (1951).-P. 175-213.

37. Pettitt A.N., Stephens M.A. Modified Cramer von Mises statistics for censored data // Biometrika, 1976. V. 63. N. 2.

38. Renyi A. On the theory of order statistics // Acta Mathem. Acad. Sci. Hung. 1953. Vol. 4.-P. 191-232.

39. Sarndal C.E. Estimation of the parameters of the gamma distribution by sample quantiles. Technometrics. 6 (1964). P. 405-414.

40. Saleh A.K.M.J., АН M.M. Asymptotic optimum quantiles for the estimation of the parameters of the negative exponential distribution. Ann. Math. Statist. 37 (1966). -P. 143-151.

41. Sturgess H.A. The choice of classic intervals // J. Am. Statist. Assoc. march 1926.-47 p.

42. Swan A.W. Computing Maximum-likelihood Estimates for parameters of the Normal Distribution from Grouped and Censored Data // J. R. Stat. Soc., Ser. C. 1969. V. 18. № 1. -P. 65-69.

43. Weibull С. Maximum Likelihood Estimation from Truncated, Censored and Grouped Samples // Skandinavisk Akturitidskrift, 1963. B. 46. № 1/2. S. 70-77.

44. Айвазян C.A. Программное обеспечение персональных ЭВМ по статистическому анализу данных (проблемы, тенденции, перспективы отечественных разработок) // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1991. Т. 57. №1. С. 54-58.

45. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: основы моделирования и первичной обработки данных. М.: Финансы и статистика, 1983.-472 с.

46. Алексеева И.У. Теоретическое и экспериментальное исследование законов распределения погрешностей, их классификация и методы оценки их параметров: Автореф. дис. на соиск. учен, степени кан. техн. наук. Л., 1975. - 20 с.

47. Аронов И.З., Бурдасов Е.И. Методы обработки цензурированных данных по надежности. М., Знание, 1983. - 40 с.

48. Артамоновский В.П. Об оценке максимального правдоподобия параметров сдвига и масштаба по группированным выборкам // Теория вероятностей и ее применение. 1988. Т. XXXIII. № 4. С. 759-762.

49. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. -М.: Мир, 1982.488 с.

50. Баскаков В.Н. Обобщенный метод минимального расстояния для цензурированных данных // Надежность и контроль качества, 1995. № 7. С. 37.

51. Баталова З.Г. Анализ точности метода максимального правдоподобия для случайно цензурированных выборок. В кн.: Статистические методы обработки результатов наблюдений при контроле качества и надежности машин и приборов. Л., ЛДНТП, 1979. С. 14-17.

52. Баталова З.Г., Благовещенский Ю.Н. О точности оценок ресурсов элементов изделий методом максимального правдоподобия при случайном усечении длительности наблюдений // Надежность и контроль качества, 1979, № 9. -С. 12-20.

53. Беляев Ю.К. Статистические методы обработки неполных данных о надежности изделий. М., Знание, 1987. - 30 с.

54. Бенинг В.Е. Линейные комбинации порядковых статистик: асимптотические свойства и применение в задачах проверки гипотез // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997. Т.4. - № 3. - С. 497-522.

55. Березовский Е.А., Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. Обеспечение наибольшей мощности применяемых критериев типа // Вестник СибГАУ. Вып. 3. -Красноярск, 2002. С. 78-87.

56. Благовещенский Ю.Н. Анализ оценки максимального правдоподобия по случайно цензурированной выборке с малой долей отказов на примере экспоненциального распределения // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1982. Т. 48. № 3. - С.50-52.

57. Благовещенский Ю.Н. Оценивание и проверка гипотез по неполным выборкам: Автореф. дис. на соиск. учен, степени докт. физ.-мат. наук. Вильнюс, 1987.-30 с.

58. Благовещенский Ю.Н. Оценивание по неполным выборкам. Часть 1. Общая модель // Статистические модели и методы. М., 1984. Вып. 1. С. 4-17.

59. Благовещенский Ю.Н. Оценивание по неполным выборкам. Часть 2. Модель случайного цензурирования справа // Статистические модели и методы. М.,1984. Вып. 1.-С. 17-32.

60. Благовещенский Ю.Н., Самсонова В.П., Дмитриев Е.А. Непараметрические методы в почвенных исследованиях. М.: Наука, 1987. - 96 с.

61. Бодин H.A. Оценка параметров распределений по группированным выборкам//Тр. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1970. - Т. 111.-С. 110-154.

62. Болыпев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.-416 с.

63. Боровков A.A. Математическая статистика. М.: Наука, 1984. - 472 с.2

64. Боровков A.A. О мощности критерия % при увеличении числа групп // Теория вероятностей и ее применение. 1977. Т. XXII. № 2. С.375-378.

65. Бурдасов Е.И., Зарифьянц И.Д., Поспелова З.И. Построение функции интенсивности отказов в случае незавершенных испытаний // Надежность и контроль качества, 1976. № 9. С. 67-71.

66. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. М.: Изд-во стандартов,1985.- 120 с.

67. Буртаев Ю.Ф., Острейковский В.А. Статистический анализ надежности объектов по ограниченной информации. М., Энергоатомиздат, 1995. 240 с.

68. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. редактор Прохоров Ю.В. М., Большая Российская энциклопедия, 1999. - 910 с.

69. Грибкова Н.В., Егоров В.А. О робастных оценках параметра сдвига, являющихся линейными комбинациями порядковых статистик // Вестник ЛГУ, 1978.-№ 13.-С. 24-57.

70. Демидович О.Н. Особенности проверки соответствия опытного распределения теоретическому в задачах надежности // Методы менеджмента качества.- 1999.-№ 11.-С. 29-33.

71. Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Методические рекомендации. Часть I. Критерии типа %2 • ~ Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998.- 126 с.

72. Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Цой Е.Б. Оптимальное группирование, оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов. В 2-х ч. / Ново-сиб. гос. техн. ун-т. Новосибирск, 1993. - 347 с.

73. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979. - 336 с.

74. Епанечников В.А. О точном выражении уровня значимости усеченного одностороннего критерия Колмогорова // Теория вероятностей и ее применения. 1973. Т.18. № 4. - С.827-830.

75. Закс Л. Статистическое оценивание. Пер. с нем. М.: Статистика, 1976. -598 с.

76. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.- 900 с.

77. Ковальков Ю.А., Бойцов Б.В., Череватенко Ю.Л. К вопросу точности оценки закона распределения параметра, используемого для управления надежностью // Надежность и контроль качества, 1976. № 8. С. 62-68.

78. Козлов B.C., Эрлих Я.М., Долгушевений Ф.Г., Подушин И.И. Общая теория статистики. М.: Статистика, 1975.- 368 с.

79. Куллдорф Г. Введение в теорию оценивания по группированным и частично группированным выборкам. -М.: Наука, 1966. 176 с.

80. Леман Э. Проверка статистических гипотез: Пер. с англ. М.: Наука, 1964. -408 с.

81. Лемешко Б.Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюдений -это обеспечение максимальной мощности критериев // Надежность и контроль качества. 1997. - № 8. - С. 3-14.

82. Лемешко Б.Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюдений в критериях согласия // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1998. Т.64. №1 С. 56-64.

83. Лемешко Б.Ю. Группирование наблюдений как способ получения робастных оценок // Надежность и контроль качества. 1997. - № 5. - С. 26-35.

84. Лемешко Б.Ю. Постовалов С.Н. О зависимости предельных распределений2статистик X Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1998. Т.64. №5.

85. Лемешко Б.Ю. Робастные методы оценивания и отбраковка аномальных измерений // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1997. - Т.63. -№ 5. - С. 43-49.

86. Лемешко Б.Ю. Статистический анализ одномерных наблюдений случайных величин: Программная система. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1995. - 125 с.

87. Лемешко Б.Ю., Гильдебрант С.Я., Постовалов С.Н. К оцениванию параметров надежности по цензурированным выборкам // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. Т. 67. -№ 1. С. 52-64.

88. Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. О зависимости распределений статистик непараметрических критериев и их мощности от метода оценивания параметров // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2000. № 3. - С. 61-72.

89. Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. О распределениях статистик непараметрических критериев согласия при оценивании по выборкам параметров наблюдаемых законов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов.1998.-№3.-С. 61-72

90. Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Методические рекомендации. Часть И. Непараметрические критерии. Новосибирск: Изд-во НГТУ,1999.-85 с.

91. Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н., Чимитова Е.В. О распределениях статистики и мощности критерия типа %2 Никулина // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. Москва, 2001. Т.67. №3. С. 52-58.

92. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. Исследование распределений и мощности критерия Никулина // Информатика и проблемы телекоммуникаций. Российская научно-техническая конференция. Материалы конференции. Новосибирск, 1999. С.129.

93. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. К вопросу проверки согласия опытного распределения с теоретическим по цензурированным выборкам // Материалы МНТК "Информатика и проблемы телекоммуникаций". Новосибирск, 2002. С. 125-126.л

94. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. Максимизация мощности критериев типа % II Доклады Сибирского отделения Академии наук высшей школы. 2000. № 2. С.53-61.

95. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. Методика компьютерного моделирования в исследовании статистических закономерностей // Тезисы докладов региональной НТК "Наука. Техника. Инновации" НТИ-2001, 2001. - Т.2. С. 4648.

96. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. О выборе оптимального числа интервалов группирования в критериях согласия типа % II Труды V международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" АПЭП-2000. т. 6, Новосибирск, 2000. С. 21-23.

97. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. О выборе оптимального числа интервалов в критериях согласия типа %2 II Сб. научн. трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - Вып. № 4(21). С. 19-24.

98. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. О выборе числа интервалов в критериях согласия типа %2 // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. № 1. - С.61-67.

99. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. О распределениях статистик критерия Реньи // Материалы VI международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" АПЭП-2002. т. 6, Новосибирск, 2002. С. 39-42.

100. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. Об ошибках и неверных действиях, совершаемых при использовании критериев согласия типа %2 II Измерительная техника. 2002. № 6. С. 5-11.

101. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. Построение оптимальных L-оценок параметров сдвига и масштаба распределений по выборочным квантилям // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. Т.4. - № 2. С. 166-183.

102. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. Статистическое моделирование при исследовании свойств оценок по цензурированным наблюдениям // Информационные системы и технологии. (ИСГ2000). Материалы международной НТК. Т.2., Новосибирск. 2000. С. 312.

103. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В., Гламаздина О.Н. Построение поправок на смещение для ОМП параметров логарифмически нормального распределения // Материалы МНТК "Информатика и проблемы телекоммуникаций". -Новосибирск, 2002. С. 127-128.

104. Мания Г.М. Статистическое оценивание распределений. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1974.-237 с.

105. Мирвалиев М., Никулин М.С. Критерии согласия типа хи-квадрат / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1992. Т. 58. № 3. С.52-58.

106. Миронова Н.Г., Орлов А.И. Одношаговые оценки для параметров гамма-распределения // Надежность и контроль качества, 1988. № 9. С. 18-22.

107. Назин А.Е., Приходько Ю.Г., Скрипник В.М., Явид Ю.Ю. Вопросы обработки статистической информации по цензурированным выборам. (Информационный обзор по материалам зарубежных публикаций). Минск: МВИЗРУ, 1979.-86 с.

108. Никулин М.С. Критерий хи-квадрат для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба // Теория вероятностей и ее применение. 1973. Т. XVIII. № 3. С. 583-591.

109. Никулин М.С. О критерии хи-квадрат для непрерывных распределений // Теория вероятностей и ее применение. 1973. Т. XVIII. № 3. С.675-676.

110. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. -Л.: Энергоатомиздат, 1991. 303 с.

111. Орлов А.И. О нецелесообразности использования итеративных процедур нахождения оценок максимального правдоподобия // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1986. Т. 52. № 5. С. 67-69.

112. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистичесих методов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1992. Т. 58. № 1. С. 67-74.

113. Орлов А.И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1985. Т. 51. № 1. С. 60-62.

114. Павлов И.В. Доверительные границы для показателей надежности для цензурированных выборок // Надежность и контроль качества, 1995. № 7. -С. 8-13.

115. Пасхавер И.С., Яблочник A.JI. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1983.- 432 с.

116. Петелин В.А. К вопросу о верхней доверительной границе интенсивности отказов в многократно цензурированной выборке // Надежность и контроль качества, 1990. № 8. С. 5-9.

117. Петрович М.П., Давидович М.И. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ. М.: Финансы и статистика. - 191 с.

118. Приходько Ю.Г. Проверка согласия по цензурированным выборкам // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1982, № 10. С. 56-59.

119. Р 50.1.033-2001. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть

120. Критерии типа хи-квадрат. М.: Изд-во стандартов. 2002. - 87 с.

121. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть1.. Непараметрические критерии. М.: Изд-во стандартов. 2002. - 64 с.

122. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968.-548 с.

123. Сархан А.Е., Гринберг Б.Г. Введение в теорию порядковых статистик. М.: Статистика, 1970. - 414 с.

124. Скрипник В.М., Назин А.Е. Оценка надежности технических систем по цензурированным выборкам. Минск: Наука и техника, 1981. - 144 с.

125. Скрипник В.М., Назин А.Е., Приходько Ю.Г., Благовещенский Ю.Н. Анализ надежности технических систем по цензурированным выборкам. М.: Радио и связь, 1988.- 184 с.

126. Смирнов Н.В. Вероятности больших значений непараметрических односторонних критериев согласия // Труды математического института им. Стекло-ва. Т. 64. Изд-во АН СССР, М., 1961. С. 185-210.

127. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. Томск: Изд-во ТГУ, 1976. -292 с.

128. Таушанов 3., Тонева Е., Пенова Р. Вычисление энтропийного коэффициента при малых выборках // Изобретательство, стандартизация и качество, 1973. № 5. София.

129. Тихов М.С. О предельных законах распределения оценок по цензурированным выборкам // Статистические методы. Пермь, 1984. С. 145-154.

130. Тихов М.С. О предельных распределениях отношения правдоподобия и оценок по цензурированным выборкам // Статистические методы. Пермь, 1986. -С. 95-104.

131. Тихов М.С. О предельных распределениях оценок по двусторонне цензурированным выборкам // Теория вероятностей и ее применение. 1984. Т XXIX. №2.-С. 354-360.

132. Тихов М.С. О сокращении длительности испытаний при цензурировании выборки // Теория вероятностей и ее применение. 1991. Т. XXXVI. № 3. С. 626-629.

133. Тихов М.С. Оценивание показателей качества по неполным выборкам II Надежность и контроль качества, 1996. № 11. С.16-24.

134. Тихов М.С. Оценка показателей безотказности по случайно цензурирований выборке // Надежность и контроль качества, 1993. № 2. С.11-17.

135. Тихов М.С. Статистический анализ по группированным и цензурированным наблюдениям // Статистические методы. Пермь, 1978. С. 122-137.

136. Тонева Е. Аппроксимация распределений погрешности средств измерений // Измерительная техника, 1981. № 6. С. 15-16.

137. Тюрин Ю.Н. О предельном распределении статистик Колмогорова-Смирнова для сложной гипотезы / Известия АН СССР. Сер. Матем. 1984. Т. 48. №6. С. 1314-1343.

138. Тюрин Ю.Н., Саввушкина Н.Е. Критерий согласия для распределения Вей-булла-Гнеденко / Известия АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1984. № 3. -С. 109-112.

139. Тюрин Ю.Н. Исследования по непараметрической статистике (непараметрические методы и линейная модель). Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук.-М.: МГУ, 1985.- 33 с.

140. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984. - 303 с.

141. Ченцов H.H. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. -М.: Наука, 1972. 520 с.

142. Чибисов Д.М. Некоторые критерии типа хи-квадрат для непрерывных распределений // Теория вероятностей и ее применение. 1971. T. XVI. № 1. -С. 3-20.

143. Чибисов Д.М., Гванцеладзе Л.Г. О критериях согласия, основанных на группированных данных // III советско-японский симпозиум по теории вероятностей. Ташкент: Изд-во "Фан", 1975. С. 183-185.

144. Чимитова Е.В. К вопросу проверки сложных гипотез о согласии по цензурированным выборкам // Тезисы докладов региональной НТК "Наука. Техника. Инновации" НТИ-2002, 2002. - Часть 1. С. 93-94.

145. ТТТторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. М.: Мир, 1970. - 368 с.

146. Шуленин В.П. Введение в робастную статистику. Томск: Изд-во Том. унта, 1993.-227 с.