автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Статистическая обработка экспериментальных данных с учетом различных типов симметрии распределения

На правах рукописи

Зенкова Жанна Николаевна

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ С УЧЕТОМ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 2005

Работа выполнена в Томском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Дмитриев Юрий Глебович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Воробейников Сергей Эрикович

доктор физико-математических наук, профессор

Полигцук Юрий Михайлович

Ведущая организация:

Томский политехнический университет

Защита состоится:

29 декабря 2005 г. на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 624050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться

в научной библиотеке Томского государственного университета. Автореферат разослан " ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.т.н., профессор

zooe-A 22.59234

tqm

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При обработке статистических данных возникает необходимость построения оценок вероятностных характеристик случайных величин, являющихся функционалами от неизвестных распределений. В ситуации, когда функциональный вид искомого распределения неизвестен, и проблему нельзя свести к параметрическому оцениванию, применяют непараметрические оценки, получаемые путем подстановки в искомый функционал эмпирической функции.

На практике имеют место случаи, когда в условиях непараметрической априорной неопределенности существует дополнительная информация о функции распределения исследуемой случайной величины, например, ее непрерывности, симметричности, моментах и пр. Источником этой информации могут служить условия эксперимента, теоретические выводы, физический смысл анализируемой случайной величины и т.д. Следовательно, возникают вопросы учета имеющейся дополнительной информации при построении непараметрических оценок распределений, функционалов от них, критериев проверки гипотез, а также исследовании свойств получаемых при этом статистик.

Задачи привлечения априорной информации при статистической обработке данных рассматривались в работах Ю.Н. Тюрина, E.F. Schuster, D. Hinkley, Б.Я. Левита, Ю.А. Кошевника, В.Н. Пугачева, Ф.П. Тарасен-ко, Ю.Г. Дмитриева, Г.М. Кошкина, Ю.К. Устинова. Однако в этих работах предполагалось знание полной выборки. На практике часто возникают ситуации, когда выборка является неполной, а именно урезанной (усеченной) или цензурированной. Данные такого рода встречаются в теории надежности, при проведении медицинских, биологических, демографических, экономических исследований и пр. Значительный вклад в решение проблем обработки неполных выборок внесли В.М. Скрипник, А.Е. Назин, Ю.Н. Благовещенский, Ю.Г. Приходько, A.C. Агапов, Б.Ю. Лемешко, М.С. Тихов и др.

В связи с тем, что цензурирование и урезание приводят к существенным потерям информации, необходимость в использовании дополнительных сведений о распределении становится особенно актуальной. Кроме того, проведение многих экспериментов затратно или требует много времени для получения результатов, поэтому возникает задача привлечения априорных сведений о распределении для сокращения количества испытаний и продолжительности опытов.

Все вышесказанное показывает актуальность работы, посвященной проблеме привлечения априорной информации о различных типах симметрии распределения при построении статистических процедур обработки данных как для полных, так и для цензурированных и урезанных выборок.

Цель работы. Целью исследований является построение статистических процедур обработки как полных, так и неполных (цензурированных и урезанных) выборок с использованием информации о различных видах симметрии функции распределения, а также анализ их свойств.

Методика исследования. При решении поставленных задач применялись методы математического анализа, функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики, имитационного моделирования.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- предложены новые классы распределений, обладающие свойствами симметрии различного характера;

- разработаны методы привлечения информации о различных видах симметрии в построении статистических процедур как для полных, так и для цензурированных и урезанных выборок;

- предложены модифицированные с учетом различных видов симметрии критерии согласия Колмогорова;

- изучены свойства модифицированных критериев, а также оценок неизвестной функции распределения как для полных, так и для цензурированных и урезанных выборок.

Практическое значение работы заключается в том, что предложенные статистические процедуры могут значительно сократить затраты финансовых средств и времени на эксперимент, улучшить качество классических оценок и критериев, восполнить потерю информации, возникающую при усечении и цензурировании, эффективнее планировать проведение натурного эксперимента.

Апробация работы

Работа докладывалась и обсуждалась на научных семинарах кафедры теоретической кибернетики факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ, а также на следующих научных конференциях и симпозиумах:

Научно-практический семинар "Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления"(Новосибирск, 2001); III Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002, Осенняя

сессия); Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование"(Анжеро-Судженск, 2002); X юбилейный симпозиум по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике (Томск, 2002); II Сибирская научная школа-семинар с международным участием "Проблемы компьютерной безопасности и криптография". - SYBECRIPT'03 (Томск, ТГУ, 2003); IV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003, Осенняя сессия); VIII Всероссийская научно-практическая конференция "Научное творчество молодежи" (Томск, 2004); V Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, Осенняя сессия); III Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2004); Международная конференция, посвященная 70-летию профессора Г.А. Медведева (Минск, 2005); IV Сибирская научная школа-семинар с международным участием "Проблемы компьютерной безопасности и криптография". - SYBECRIPT'05 (Томск, 2005); VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (С.-Петербург, 2005); I Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (Томск, 2005); VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2005, Осенняя сессия); IV Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2005).

По результатам выполненых исследований опубликовано 15 печатных

работ.

Структура диссертации. Работа состоит го введения, четырех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Объем диссертации без приложений — 137 страниц. Объем приложений — 42 страницы, в них содержится 83 рисунка. Количество цитируемых источников — 89.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится обзор работ по рассматриваемым проблемам, дается общая характеристика диссертационной работы.

В первой главе вводится понятие З^-неравноплечной симметрии к-го порядка функции распределения F(x), х € R.

Определение. Будем говорить, что ф.р. F(x), х f R, обладает свойством -иеравиоплечиой симметргш к-го порядка относительно вектора центров ~Ü - (cj,.... г>). где для г — 0. Л; — 1 г, < сг+ь с и местными весами (ри...,рк), где р3 = F(r^) = F{c3 + 0), j = l,k, p0 = F(c0) = 0, pk+1 = F {ck+i) ~ 1. если она удовлетворяет условию: для j — 1. к и х <

F (max {j-, ЗД}) - pJ+1 (min {т, S,^)} + 0). (1)

Pj

где для j = l, к функции S}(x), x < c}+\, непрерывны, монотонно убывающие и удовлетворяют требованиям

(S,)"1 (ж) = Sj(x), Sj{c3) = с,, Sj{cj+1) = со, j = ТЛ

При к — р\ = \ vi S\{x) — 2с\ — х получим обычную симметрию относительно центра с\

F(x) = 1 — F(2c.\ — z + 0). (2)

В работе найден вид функций Sj(х), j = 1,к, для непрерывно возрастающих функций распределения. Показано, что логнормальное, равномерное, экспоненциальное и треугольное распределения обладают свойством Sp -неравноплечной симметрии fc-ro порядка. В частности, для треугольного распределения с параметром с 6 [0,1] функции S}(x), определяются следующим образом: для Ck = с, pk = F(c), р} = j = 1, к — 1

*е[0,с,],

SAX) = I—^ _J

Sfc(x) = <---— : х € 10. с ; -- : х€(с,1 .

{ Рк 1 -Рк )

Во второй главе построена оценка неизвестной функции распределения F(x), х £ R, модифицированная с учетом свойства 5^-неравноплечной симметрии к-го порядка.

Пусть X — {Xi,..., ХЛ'} выборка из распределения F(x), тогда оценка F(x) с учетом свойства (1) строится по формуле

Fsn{x) = U™(x), (3)

где функция U^(x) строится путем последовательного применения к раз следующей формулы: для j — 1, к

¡и^Цх), х<с„

U^(x)=l Pj±1^Piub-l){s{x)+oh xe{CvCj+ll

I Р]

U(°\x) = p-[Ff,(x), где Fft(x) — эмпирическая функция распределения, построенная на основе S^- неравноплечно к-симметризованной выборки X* = {XI, получаемой путем последовательного применения

к раз формулы

X? = min Sk.J+1 } , j = 1Д,

где для i = l^N Х}0) = Хг, X* = Х,(к).

Теорема1. Оценка F^(x) является несмещенной, ее дисперсия определяется формулой

D F$(x) = D Uw{x),

строится путем последовательного применения к раз следующей формулы:

D^,)(«) = {lb1?£D^-i,(Sj(s) + 0)| х е (Cj>cj+i], i = 1'k

где Wi0){x) = N~1F(x){p-L - F{x)). При этом

NM (F$(x) - F(x)f = 0, i e R.

На рисунке 1 приведены графики нормированных дисперсий ст2(ж) = NDFn(x) (гр. 1) и <rS2(x) = NDFfi(x) для экспоненциального распределения с параметром Л = 0.02 : гр.2 - с учетом симметрии 1-го порядка относительно центра с\ = 50; гр.З - с учетом симметрии 2-го порядка относительно центров ci = 10, С2 — 50.

Показано, что оценка F§(x) в среднеквадратическом смысле лучше обычной эмпирической функции распределения. Найдено точное распределение модифицированной оценки. Вероятности попадания оценки (3) в заданные полосы определяет

0 2* л

0,0^

-гр 1 -IV 2 П> *

Теорема 2. Пусть а(£), г 6 (0,1), - произвольные действительные функции; Р, в непрерывные ф.р., обладающие свойством (1), тогда

Р 0(С(яО) < Р%{х) < а(С!(х)), х е К) = где _ }

(¡„{с, = т ы

для г — 1, N

(j-i+í)\

1Л=1> я,

а* = 1шп |1, тах |о, эир : ЬЦр^) < Р^}}} > 6,* = тах|о,шт|1,ш£|<: Ц(рг1) >Р1^Д}}},

= С*(ж) = пип|1,>

функции Ь\{Ь), получаются путем последовательного применения к

раз формулы

LU(t) = min \Lt(t),P^Pi'L"k{Si-l{t))\ , i = 2J+1, [ Pt ~ Pi-1 J

LU(t) = max (¿r(t),P,-iP,~LZ(g<-l(f))|, i = 2^+T, [ Pi ~ Pi-1 J

l PA+l ~Pk )

Ll(G(X)) = min {«№)),.

I Pk+i ~Pk J

Оценка (3) обобщает предложенную в 1988 Ю.Г. Дмитриевым и Ю.К. Устиновым для случая А; = 1, pi = | оценку

= W + + (4)

¿t

где Fn(x) - эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X.

В третьей главе предложены модифицированные с учетом симметрии (2) оценки неизвестной функции распределения по прогрессивно цензуриро-ванным (цензурирование I типа) и усеченным выборкам. Найдены точные и асимптотические формулы для их математических ожиданий и дисперсий.

Рассматривалась случайная величина т € [О, Т\, с функцией распределения F(t) = Р(т < t), при этом F(t) обладает свойством симметрии (2) относительно центра j.

Оценка F(t) по цензурирований выборке

Пусть (X,/) = {(XuIi), (Х2, /2),(XN, In)} - прогрессивно цензурированная выборка объема N, где для г — 1, ЛГ

10, если X, полная наработка (наработка до отказа), 1, если X, - условная наработка (наработка до цензурирования, неполная наработка),

моменты цензурирования Т}, j — 1 ,тп, - неслучайные, То = 0, Тт = Т. Цензурирование строилось по следующей схеме: для j = 1 , m количество снятых с наблюдения изделий — случайная величина, численно равная доле д3 от числа исправных изделий в конце интервала где 0 < д3 < 1.

ф) =

te [о,7\],

+ £ ItiA(X,), N,> 0,

Ni= 0,

(5)

В частности, если цензурирование однократное, момент цензурирования Ti, то оценка определяется формулой

1 N

Ü EW*,), г , (1-ft) "

N Ni |=1Л=0

г

N'

1£(Тг,Т}.

Здесь /а(я) = {0 : х А; 1 : х £ А} индикаторная функция, г количество полных наработок в интервале [7о, Т{\, N\ количество изделий, за которыми ведется наблюдение в интервале (Ti,T]. Оценка F$(t) для случая тп > 1 здесь не приводится в сил}' громоздкости выражения.

Оценка (5) является асимптотически несмещенной, ее асимптотическая нормированная дисперсия cr«(i) = lim NDF^(t) определяется формулой

^ N—too

( F(t)(l-F(t)), ie^Tj],

— j 9(F(t)-m-FM <6(ТьП

где

при этом р е (0,1).

Модификация оценки (5) с учетом свойства (2) строилась по формуле (4), которая в рассматриваемом случае принимает вид

Ff(t) =

F$(t) + l-F%(T-t + 0)

t е [о, Г].

(6)

Оценка (б) является асимптотически несмещенной, ее асимптотическая нормированная дисперсия ггц(1) = ^¡ш N'DF^ (I) определяется по формуле

JV-юо

т«2/>\ _ 1 (_2 /. \ , * (tmax) 2F(tmin) s

Ц * ' ~ 4 I аЦ\ътах) "г" j "ц\Ыт)

где

гт,п = шт{(, Т-Ь + О}, «тах = тах{г, Т - I + 0}. Заметим, что формула (7) верна и для тп > 1.

Для случая тп = 1 были найдены условия, при которых

(7)

(8)

0,6

0,4 -0,3 0,2 -0,1 -

гр 1

-гр

-гр 3

2,5

7.5

10 1

Рисунок 2

где дисперсия эмпирической функции распределения.

На рисунке 2 приведены графики сг2(<) (гр. 1), а(гр. 2), а^ (¿) (гр. 3) для случая F(í) = * е [0,10], т = 2, Т1 = 2, Г2 = 6.

Оценка F(í) по урезанной выборке

Пусть ХУ = {.Х'!', ..., - выборка, урезанная в момент Т1, объем выборки г - случайная величина. В качестве оценки рассмотрим

0,

£ £ 4о,о М. г >

0, 1,

г = О,

Оценка (9) является смещенной, при этом

МУЦ) = =

О,

т

1

Р

если £ < О, если £ € [О, Т].], если £ > Т\.

£ < О, I е [о,Тх], *>ТЬ

(9)

Г F(t)(p-F(t)) 4(i) = Hin NVF$(t) = ^ • « e 1°' ^

I 0, t > 7i.

ле (4):

УУ ' JV-юо

Модифицированная с учетом свойства (2) оценка строилась по форму-

(10)

при этом для MVs(t) = Ит МF%S(t), cr2yS{t) = lim NT>F%S(t) получим

МУ5(Ь) =

ЛГ-юо

т У

2F{t)-l+p 2V

2р — 1 + F{t) 2р

Тг<1 > Т1 > 1>

4рЗ '

_ I < 1

V1; - F(tm,„)(l-F(tm,n)) _ l-p+2pF(tmm) rn. Т

V , -М 2' J

£ £ {Tmm,Tmax),

где imjn определяется по формуле (8),

Tmm = min{ТиТ - Т,}, Tmal = тах{Ть T-Tj}.

В случае, если р = т.е. момент урезания и центр симметрии совпадают, оценка (10) является асимптотически несмещенной, при этом

<(£) - F (tmm) (1 - 2F (tmin)) < a2(t).

На рисунке 3 приведены графики a2(t) (гр. 1), a2yS(t) (гр. 2) для F(t) = t,te [0,1], Ti = f

Таким образом, в работе выявлены случаи, когда учет априорной информации о симметрии при обработке неполных выборок позволил получить асимптотически несмещенные оценки с асимптотическими нормированными дисперсиями, не превышающими нормированную дисперсию эмпирической функции распределения. Полученная информация может быть использована при планировании натурного эксперимента для повышения эффективности, сокращения затрат и продолжительности эксперимента.

XDF»(t)

Рисунок 3

В четвертой главе предлагаются модификации критерия согласия Колмогорова с учетом S^-неравноплечной симметрии к-го порядка.

Пусть известно, что непрерывная функция распределения F(х), x€R, обладает свойством (1), т.е. F е Ts, где Ts класс всех S^ -неравноплечно симметричных функций распределения. Требуется проверить простую гипотезу

Hq : F(x) = G{x), F,G С Ts, i£R,

против альтернативы вида

tff : F{x) = V(G(x)), F,V,Ge Ts, x&R,

где V(t) функция распределения с носителем [0,1].

Для проверки гипотезы Щ воспользуемся двусторонней модифицированной статистикой Колмогорова

4= sup \FS(x)-G{x) (11)

-00<I<+00

где оценка F^(x) определяется формулой (3).

Точное распределение статистики (11) определяется следующим образом: для у > 0

Р {¿N < У } = NU (12)

(max{Q,min{l,^}-min{l,jy}}) (j-i + 1)!

i-'+il

•det где для г = 1, N

fc, = max {о,min {l, ^ + , = min {l,max{о, ^ - ,

значение yi получается путем последовательного применения к раз формулы

у, = min | у,+1,----ум [, i = ТД, Ук+i = У-

l Pi+i - Vi J

Следствие 1. При V(t) = t из (12) вытекает формула для вычисления распределения модифицированной статистики при гипотезе Щ, при этом распределение статистики (11) не зависит от F(x), т.е. модифицированный критерий является непараметрическим.

Следствие2. При гипотезе Щ точное распределение статистики dfi связано с распределением статистики Колмогорова

ds = sup | Fn(x) - G(x) | zeR.

соотношением

где

P(d$N<y\H$)=p(dN<^\ Я05) , y> О,

* A i pi(P»+I -pj)\ p = Дтах|Р1. --)■

Пусть

Щ: х) = У*{в{х)), хеЯ, где функция распределения

Г(г)=гшп {1,2*1^)}, <€[0,1].

Теорема 3. Если р3 = для ] — 1 ,к, то мощность модифи-

цированного критерия проверки гипотезы Щ, основанного на статистике связана с мощностью обычного критерия согласия Колмогорова формулой

ж* — Р (4 > у % | я?) = Р№>Уа I ЯГ) = щ,

w

-*- W W, -^-Wj

Рисунок 4

где

Уа = 2kySa-

В качестве примера рассмотрим гипотезу

Н0 : F(x) = R(x) = х, ж € [0,1], против альтернативы

Hi : F(x) = V{x), х е [0.1],

где для а > 0

(2х)" + 1 — (1 — 2х)а ^ 0<х<1;

V" , (2 - 2ж)° + 1 - (2х - 1)" 1 2

В случае а — 1 К(я) = х.

Было показано, что функции распределения R(x) и V(z) обладают свойством (1), где к = 2, pi = cj = рг = с2 = На рисунке 4 приведены графики зависимости мощностей от показателя степени а при а = 0.05,

N = 17: IV - график мощности обычного критерия Колмогорова, \¥1 - график мощности критерия, модифицированного с учетом симметрии (1) первого порядка относительно центра И^ - график мощности критерия, модифицированного с учетом симметрии (1) второго порядка относительно центров 1 1 4' 2В приложениях приведены графики дисперсий модифицированных оценок для полных и неполных выборок, графики мощностей модифицированных критериев и пр.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты:

1. Введение в статистическую практику класса функций распределения, обладающих свойством 5р^-неравноплечной симметрии к-го порядка, обобщающего известные классы симметричных распределений.

2. Статистические оценки функции распределения для класса неравноплечно к-го порядка симметричных функций распределения.

3. Результаты анализа свойств модифицированных оценок, их точное распределение и вероятности попадания в заданные полосы.

4. Статистические оценки функции распределения для симметричных функций распределения и анализ их свойств для цензурированных и урезанных выборок.

5. Модифицированные статистики Колмогорова для класса функций распределения, обладающих свойством 5^-неравноплечной симметрии к-го порядка, исследование свойств статистик.

6. Модифицированные критерии Колмогорова, исследование их мощ-ностных свойств.

Публикации по работе

Результаты работы были опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Критерии согласия Колмогорова для симметричных распределений // Вестник ТГУ. - 2003. - Л"5 6. - С. 265-269.

2. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Модифицированная с учетом -симметрии эмпирическая функция распределения // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 2002. - Томск, 2002. - С. 368370.

3. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Непараметрические критерии согласия для распределений из априорных классов // Материалы научно-практического семинара "Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления". Новосибирск. 12-14 июня 2001. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2001. - С. 93-94.

4. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. О неравноплечной симметрии к-го порядка функций распределения // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 2004. - Томск: ТГУ, 2004. - С. 12-14.

5. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. О симметрии распределений // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции "Научное творчество молодежи. "Анжеро-Судженск. 16-17 апреля 2004.

Томск: Изд-во Том.ун-та, 2004. - Ч. 1,- С. 29-30.

6. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об одной оценке симметричной функции распределения по цензурированной выборке // Материалы IV Всероссийской научно-практической конференция "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 2005. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. 4.2. - С. 8-10.

7. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об оценивании симметричного распределения по цензурированной выборке // Труды X юбилейного симпозиума по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике. Томск. 2002. - Томск: Изд-во НТЛ, 2004. С. 22-30.

8. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об оценивании симметричной функции распределения по полным наработкам цензурированной выборки // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т.12, вып. 2. С. 349-350.

9. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Оценка симметричной функции распределения но цензурированной выборке // Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и их приложения: сб. науч ст. между-нар. конф., посвящ. 70-летию профессора, д-ра физ.-мат. наук Г.А. Медведева. Минск, 21-25 февр.2005 г. / редкол.: H.H. Труш (отв. ред.) [и др.]. Мн.: Б ГУ, 2005. - С. 78-86.

10. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Оценки симметричной функции распределения по усеченным и цензурированным выборкам // Вестник ТГУ. - 2005. - № 14. - С. 291-296.

11. Зенкова Ж.Н. Sp-неравноплечная симметрия логнормального распределения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004.

Т.11, вып. 4. - С. 812-813.

12. Зенкова Ж.H. Модифицированный критерий Колмогорова. Инноватика-2005 // Сборник материалов I Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск. 2-3 июня 2005. / Под. ред. А.Н.Солдатова, C.B. Квеско. - Томск: ТГУ, 2005. - С. 32-35.

13. Зенкова Ж.Н. Модифицированный критерий согласия Колмогорова для неравноплечно-симметричных распределений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т. 9, вып. 3. - С. 612-613.

14. Зенкова Ж.Н. Неравноплечная симметрия fc-ro порядка непрерывной возрастающей функции распределения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12, вып. 4. - С. 812-813.

15. Зенкова Ж.Н. Оценка функции распределения по прогрессивно цен-зурированной выборке с учетом симметрии // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2003. - Т.10, вып. 3. - С. 651-652.

•2567?

РНБ Русский фонд

2006-4 29186

Подписано к печати

Формат 60x90/16. Бумага листовая для офисной техники Selectcopy. Гарнитура тайме. Печать лазерная. Усл.печ.л. 1.

Заказ № £5"ff /'f

Тираж 120 экз.

Отпечатано с оригинал шкета в ООО "PROMO". Издательство PROMO.

634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, НИИ ПММ, блок "С".

Издательство "PROMO". 2005 г., г. Томск

Список используемых сокращений

Введение

Глава 1. О различных видах симметрии распределений

1.1. Введение

1.1.1. Условно-инвариантные распределения

1.1.2. -симметричность условно-инвариантного распределения вероятностей

1.1.3. Неравноплечная симметрия

1.2. Sp -неравноплечная и б^-равноплечная симметрия функции распределения

1.3. Симметрия к-го порядка

1.4. Неравноплечная симметрия к-го порядка

1.5. Spc -неравноплечная симметрия к-го порядка

1.6. Sp -равноплечная симметрия к-го порядка

1.7. Выводы

Глава 2. Оценки функции распределения с учетом знания симметрии

2.1. Введение

2.1.1. Проектирование в классы 5а-симметричных распределений с известным центром а

2.1.2. Оценка неравноплечно симметричной функции распределения

2.1.3. Оценка равноплечно симметричной функции распределения

2.2. Оценка функции распределения, модифицированная с учетом Sp -неравноплечной симметрии к-го порядка

2.3. Оценка функции распределения, модифицированная с учетом симметрии к-го порядка

2.4. Выводы

Глава 3. Оценки симметричной функции распределения по прогрессивно цензурированным и урезанным выборкам

3.1. Введение

3.2. Асимтотическая несмещенность оценки F$(t)

3.3. Дисперсия оценки F%(t)

3.4. Оценка функции распределения, построенная по усеченной выборке

3.5. Оценка функции распределения с одинаково взвешенными полными наработками

3.6. Оценка функции распределения с учетом неполных наработок

3.7. Оценка симметричной функции распределения по цензури-рованной выборке

3.8. Оценка симметричной функции распределения по усеченной выборке

3.9. Оценка симметричной функции распределения с одинаково взвешенными полными наработками

3.10. Оценка симметричной функции распределения с учетом неполных наработок

3.11. Выводы

Глава 4. Критерии согласия Колмогорова для симметричных распределений

4.1. Введение

4.2. Модифицированный критерии согласия Колмогорова с учетом Sp^-неравноплечной симметрии к-го порядка

4.2.1. Модифицированный критерии согласия Колмогорова с учетом Sp -равноплечной симметрии к-то порядка

4.2.2. Мощность модифицированного с учетом S^-равноплечной симметрии к-то порядка критерия согласия Колмогорова

4.2.3. Примеры

4.2.3.1. Равноплечная симметрия fc-го порядка

4.2.3.2. Неравноплечная симметрия к-го порядка

4.3. Выводы

Актуальность работы. При обработке статистических данных нередко возникает необходимость построения оценки неизвестной функции распределения исследуемой случайной величины, а также задача проверки гипотез согласия. В ситуации, когда функциональный вид искомого распределения неизвестен, и проблему нельзя свести к параметрическому оцениванию, применяют непараметрические оценки функции распределения, а также непараметрические критерии согласия.

На практике имеют место ситуации, когда в условиях непараметрической априорной неопределенности существует дополнительная информация о функции распределения исследуемой случайной величины, например, ее непрерывности, симметричности, моментах и пр. Источником этой информации могут служить условия эксперимента, теоретические выводы, физический смысл анализируемой случайной величины и т.д. Следовательно, возникают вопросы учета имеющейся дополнительной информации при построении непараметрических оценок функционалов от распределений и критериев проверки гипотез, а также исследовании свойств получаемых при этом статистик.

Рассматриваемая проблема становится еще более важной в случае, если выборка является неполной, а именно урезанной (усеченной) или цензури-рованной. Данные такого рода встречаются в практической работе довольно часто, особенно в теории надежности, при проведении медицинских, биологических, демографических, экономических исследований и пр. Цензурирование и урезание приводят к существенным потерям информации, поэтому необходимость в привлечении дополнительных сведений о распределении становится особенно актуальной.

Кроме того, проведение многих экспериментов затратно или требует много времени для получения результатов, поэтому возникает задача привлечения априорных сведений о распределении для сокращения количества испытаний и продолжительности опытов.

Все вышесказанное показывает актуальность работы, посвященной проблеме привлечения априорной информации при построении статистических процедур обработки данных как для полных, так и для цензурированных и урезанных выборок.

Состояние проблемы. Задачи привлечения априорной информации рассматривались в работах Ю.Н. Тюрина [60,61], E.F. Schuster [83, 84], Ю.Н. Тюрина [60,61], E.F. Schuster [83, 84], D. Hinkley [70], Б.Я. Левита [44], Ю.А. Кошевника [41,42], В.Н. Пугачева [49], Ф.П. Тарасенко[27, 28], Ю.Г. Дмитриева [12-33], Г.М. Кошкина [25,26], Ю.К. Устинова [33].

В [33] предложен метод проекций, который заключается в том, что по имеющейся априорной информации в классе всех распределений V выделяет

• ся априорный класс Vя - подкласс распределений, удовлетворяющий данным свойствам. Затем строится проектор П : V —у Vя на априорный класс, являющийся отображением V на Vя, неподвижным на Vя. Статистическая оценка распределения Р строится путем применения проектора П к эмпирическому распределению Pn, отвечающему выборке объема N. Оценкой распределения Р является проекция ПР#. В работе Ю.Г. Дмитриева и Ю.К. Устинова получены оценки распределения с учетом дополнительной информации о квантилях распределения, известном математическом ожидании, непрерывности случайной величины, ^"-симметрии с известным и неизвестным центром сим

Щ метрии, а также различных сочетаний данных априорных сведений. Получаемые модифицированные оценки функции распределения легли в основу модифицированных статистик Колмогорова, свойства которых также изучены в [33].

Априорная информация о симметрии случайной величины использовалась при оценивании функции распределения и построении критериев согласия в работах E.F. Schuster [83 ,84], D. Hinkley [70], А.А. Гущина [10], Ю.Г. Дмитриева и Ю.К. Устинова [33], В.П. Шуленина [62]. В [75] рассматривался вопрос оценивания симметричной плотности распределения. Ю.А. Ко-шевник в работах [41,42] анализировал асимптотические свойства оценок симметричных функций распределения.

В настоящее время в литературе большое внимание уделяется обработке неполных данных, в частности цензурированных и урезанных. Существенный вклад в развитие данного направления внесли В.М. Скрипник [4,50], А.Е. На-зин [4,50], Ю.Н. Благовещенский [3-8], Ю.Г. Приходько [4], А.С. Агапов [1,2], Б.Ю. Лемешко [11,45,46], М.С. Тихов [57-59] и др. Литература, посвященная этой теме, охватывает очень широкий спектр задач статистической обработки данных [9, 43, 63, 68, 69, 72, 77, 78, 80, 81, 85-89], однако работ, касающихся вопроса привлечения априорной информации, мало. Ряд публикаций посвящен учету дополнительной информации о надежности компонент системы при оценивании показателей надежности всей системы [47,51]. В [48] по однократно цензурированной выборке строятся точечные и интервальные оценки вероятности безотказной работы системы, а также среднего времени безотказной работы системы по результатам испытаний и эксплуатации с учетом вероятностей безотказной работы компонент системы.

В [65] предлагались процедуры, повышающие эффективность статистического оценивания функции выживания случайной величины У по цензурированной справа выборке за счет привлечения информации о зависимой случайной величине X, которая наблюдалась полностью. В работах [64, 66, 67, 74, 76, 79, 82] также рассматривались вопросы привлечения информации о зависимой случайной величине при построении различных статистических процедур по цензурированным и усеченным данным, а также данным с пропусками. В [71] строится оценка функции распределения времени жизни с привлечением информации о времени цензурирования.

В работах Ю.Г. Дмитриева и С.С. Таримы [29-32, 52-56] привлечение априорной информации осуществлялось на основе данных с пропусками, построены оценки вероятностей событий с учетом знания вероятностей полной группы событий, обобщен метод коррелированных процессов на случай оценивания вероятностей заданных событий с учетом оценок вероятностей других событий для неполных данных.

Вопрос привлечения априорной информации о симметрии функции распределения случайной величины при работе с цензурированными и усеченными данными в литературе не освещался.

Целью работы является построение статистических процедур обработки как полных, так и неполных (цензурированных и урезанных) выборок с использованием информации о различных видах симметрии функции распределения, а также анализ их свойств.

Методика исследования. При решении поставленных задач применялись методы математического анализа, функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики, имитационного моделирования.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты:

1. Введение в статистическую практику класса функций распределения, обладающих свойством Sp -неравноплечной симметрии к-го порядка, обобщающий известные классы симметричных распределений.

2. Статистические оценки функции распределения для класса Spc -нерав-ноплечно к-го порядка симметричных функций распределения и анализ их свойств как для полных, так и для неполных выборок. Вероятности попадания модифицированных оценок в заданные полосы.

3. Модифицированные статистики Колмогорова для класса функций распределения, обладающих свойством Sp -неравноплечной симметрии к-го порядка, исследование свойств статистик.

4. Модифицированные критерии Колмогорова, исследование их мощ-ностных свойств.

Теоретическое значение работы заключается в том, что в ней предложены: новые классы распределений, обладающие свойствами симметрии различного характера; методы привлечения информации о различных видах симметрии в построении статистических процедур как для полных, так и для неполных выборок; изучены свойства модифицированных критериев, а также оценок неизвестной функции распределения как для полных, так и для цензурированных и усеченных выборок.

Практическое значение работы заключается в том, что предложенные статистические процедуры могут значительно сократить затраты финансовых средств и времени на эксперимент, улучшить качество классических оценок и критериев, восполнить потерю информации, имеющую место при усечении и цензурировании, эффективнее планировать проведение эксперимента.

Краткое изложение содержания работы

В первой главе вводится понятие б^-неравноплечной симметрии к-го порядка функции распределения F(x), х Е R.

Определение. Будем говорить, что ф.р. F(x), х Е R, обладает свойством S^-неравноплечной симметрии к-го порядка относительно вектора центров = (ci,., с*), где для г = 0, к — 1 Cj < Cj+i, с известными весами (ръ где pj = F{cj) = F(cj + 0), j = ljc, p0 = F(co) = 0,

Pk+i = F (cfe+i) = 1, если она удовлетворяет условию: для j = 1, к и х < Cj+i

F (max {х, ЗД» = pj+1 - Pj+1~P>F (тиф, ЗД} + 0), (1)

Pj где для j = 1, к функции Sj (х), х < cj+1, — непрерывны, монотонно убывающие и удовлетворяют требованиям

Sj)-1 {х) = Sj{x), х < cj+1, (2)

Sj(cj) = Cj, j = ljc, (3)

Sj{cj+1) = со, j = lTk. (4)

При к = 1, pi = | и S\(x) = 2ci — x получим обычную симметрию относительно центра с\

F(x) = 1 -F(2ci -z + 0). (5)

Если к = 1, то б^-неравноплечную симметрию 1-го порядка будем называть Sp-неравноплечной симметрии., при этом с\ = a, 5i(z) = S*(х),

-F (min {х, = 1-F (max {х, + О). (6)

Если же в (6) pi = то будем говорить об За-равноплечной симметрией [33], при этом с\ — a, Si(x) = Sa(x),

F(x) = l-F(Sa(x) + 0).

Если для j = 1, к pj = 2~(k~i+1\ то имеет место S^ -равноплечная симметрия к-го порядка.

В работе найден вид функций Sj(x), j = 1, к, для непрерывно возрастающих функций распределения. Показано, что логнормальное распределение 5а-равноплечно симметрично, равномерная функция распределения обладает свойством й^-равноплечной симметрии fc-ro порядка, где к - произвольное целое; экспоненциальная и треугольная функции распределения — свойством Spc -неравноплечной симметрии к-го порядка, где к - произвольное целое.

Во второй главе построена оценка неизвестной функции распределения, модифицированная с учетом свойства Sp -неравноплечной симметрии к-го порядка. Доказано, что данная оценка несмещенная и состоятельная.

Показано, что дисперсия модифицированной оценки не превышает дисперсии обычной эмпирической функции распределения, т.е. новая оценка в среднеквадратическом смысле лучше обычной эмпирической функции распределения. Найдено точное распределение модифицированной оценки, а также вероятности попадания ее в заданные полосы.

В третьей главе построены модифицированные с учетом симметрии (5) оценки неизвестной функции распределения по прогрессивно цензурирован-ным (цензурирование I типа) и усеченным выборкам, также найдены точные и асимптотические формулы для их математических ожиданий и дисперсий.

В п. 3.1 приведены оценка неизвестной функции распределения на основе цензурированных выборок для нескольких моментов цензурирования, а также три оценки для случая одного момента цензурирования (две из них строятся по выборке, в которой в момент цензурирования с наблюдений сняты все изделия), получены точные и асимптотические формулы их математических ожиданий и дисперсий.

Оценка на основе усеченной выборки рассматривается в п. 3.4. Найдены точные и асимптотические формулы ее математического ожидания и дисперсии.

В п. 3.5 предлагается оценка, которая строится по полным наработкам цензурированной выборки; цензурирование однократное, однако в отличие от предыдущих случаев, в рассматриваемой оценке все полные наработки имеют одинаковый вес. Найдены точные и асимптотические формулы математического ожидания и дисперсии оценки.

В п. 3.6 рассмотрена оценка, построенная по однократно цензурированной выборке, при этом в качестве неполных наработок используется значение, равное по величине моменту цензурирования. В построении оценки равновесно участвуют как полные, так и неполные наработки. Найдены точные и асимптотические формулы математического ожидания и дисперсии оценки.

Модификации предложенных в п. 3.1 оценок с учетом знания симметрии вида (5) рассмотрены в п. 3.7. Получены точные и асимптотические формулы для их математических ожиданий и дисперсий. Показано, что для многократно и однократно цензурированных выборок при наличии полных наработок во всех наблюдаемых интервалах оценка является асимптотически несмещенной. Найдены условия, при которых нормированная дисперсия модифицированной оценки в асимптотике не превышает нормированной дисперсии обычной эмпирической функции распределения. В п. 3.7 рассмотрены модификации оценок, построенных по выборке, в которой в момент цензурирования с наблюдений сняты все изделия. Показано, что данные оценки являются смещенными, найдены их дисперсии.

Модификация оценки, основанной на усеченной выборке рассмотрена в п. 3.8. Получены формулы для ее математического ожидания и дисперсии. Показано, что в случае, если момент цензурирования совпадает с центром симметрии, оценка является асимптотически несмещенной, при этом ее нормированная дисперсия в асимптотике не превышает нормированную дисперсию обычной эмпирической функции распределения.

В п. 3.9 и 3.10 исследованы модификации оценок, предложенных в п. 3.5 и п. 3.6 соответственно, получены точные и асимптотические формулы их математических ожиданий и дисперсий.

Таким образом, в главе 3 построены модификации оценок неизвестной функции распределения с учетом симметрии (5) на основе цензурированных и усеченных выборок, найдены формулы для математических ожиданий и дисперсий оценок. Показано, что в некоторых случаях модифицированные оценки в асимптотике лучше, т.к. обладают меньшей нормированной дисперсией, чем обычная эмпирическая функция распределения, что говорит о том, что учет симметрии позволяет уменьшить потери информации при цензурировании и усечении для некоторых случаев.

В четвертой главе предлагаются модификации критерия согласия Колмогорова с учетом информации о том, что функция распределения обладает свойством Spc -неравноплечной симметрии к-го порядка. Найдено точное распределение модифицированных статистик для альтернативной и нулевой гипотез, асимптотическое распределение при нулевой гипотезе. Показана их непараметричность, а также точная формула для мощности модифицированного критерия с учетом свойства б^-равноплечной симметрии к-го порядка для альтернатив определенного вида. Приведены примеры, показывающие, что привлечение априорной информации позволяет увеличить мощность критерия Колмогорова.

В приложениях приведены рисунки, иллюстрирующие формулы основной части работы.

Публикации по работе

Результаты работы были опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Критерии согласия Колмогорова для симметричных распределений // Вестник ТГУ. - 2003. - Л*9 6. - С. 265-269.

2. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Модифицированная с учетом ^-симметрии эмпирическая функция распределения // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 2002. - Томск, 2002. - С. 368370.

3. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Непараметрические критерии согласия для распределений из априорных классов // Материалы научно-практического семинара "Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления". Новосибирск. 12-14 июня 2001. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. -2001. - С. 93-94.

4. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. О неравноплечной симметрии k-го порядка функций распределения // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 2004. - Томск: ТГУ, 2004. - С. 12-14.

5. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. О симметрии распределений // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции "Научное творчество молодежи."Анжеро-Судженск. 16-17 апреля 2004. - Томск: Изд-во Том.ун-та, 2004. - Ч. 1- С. 29-30.

6. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об одной оценке симметричной функции распределения по цензурированной выборке // Материалы IV Всероссийской научно-практической конференция "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 2005. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - 4.2. - С. 8-10.

7. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об оценивании симметричного распределения по цензурированной выборке // Труды X юбилейного симпозиума по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике. Томск. Март 2002. - Томск: Изд-во НТЛ, 2004. - С. 22-30.

8. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об оценивании симметричной функции распределения по полным наработкам цензурированной выборки // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т.12, вып. 2. - С. 349-350.

9. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Оценка симметричной функции распределения по цензурированной выборке // Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и их приложения: сб. науч. ст. между-нар. конф., посвящ. 70-летию профессора, д-ра физ.-мат. наук Г.А. Медведева. Минск, 21-25 февр.2005 г. / редкол.: Н.Н. Труш (отв. ред.) [и др.]. - Мн.: БГУ, 2005. - С. 78-86.

10. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Оценки симметричной функции распределения по усеченным и цензурированным выборкам // Вестник ТГУ. -2005. - № 14. - С. 291-296.

11. Зенкова Ж.Н. 5р-неравноплечная симметрия логнормального распределения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т.11, вып. 4. - С. 812-813.

12. Зенкова Ж.Н. Модифицированный критерий Колмогорова. Иннова-тика-2005 // Сборник материалов I Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск. 2-3 июня 2005. / Под. ред. А.Н.Солдатова, С.В. Квеско. - Томск: ТГУ, 2005. - С. 32-35.

13. Зенкова Ж.Н. Модифицированный критерий согласия Колмогорова для неравноплечно-симметричных распределений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т. 9, вып. 3. - С. 612-613.

14. Зенкова Ж.Н. Неравноплечная симметрия к-го порядка непрерывной возрастающей функции распределения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12, вып. 4. - С. 968-969.

15. Зенкова Ж.Н. Оценка функции распределения по прогрессивно цензурированной выборке с учетом симметрии / / Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2003. - Т.10, вып. 3. - С. 651-652.

Апробация работы

Работа докладывалась и обсуждалась на научных семинарах кафедры теоретической кибернетики факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ, а также на следующих научных конференциях и симпозиумах:

Научно-практический семинар "Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления" (Новосибирск, 2001); III Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002, Осенняя сессия); Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование "(Анжеро-Судженск, 2002); II Сибирская научная школа-семинар с международным участием "Проблемы компьютерной безопасности и криптография". - SYBECRIPT03 (Томск, ТГУ, 2003); IV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003, Осенняя сессия); X юбилейный симпозиум по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике (Томск, 2002); VIII Всероссийская научно-практическая конференция "Научное творчество молодежи" (Томск, 2004); V Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, Осенняя сессия); III Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование "(Анжеро-Судженск, 2004); Международная конференция, посвященная 70-летию профессора, доктора физ.-мат. наук Г. А. Медведева (Минск, 2005); IV Сибирская научная школа-семинар с международным участием "Проблемы компьютерной безопасности и криптография". -SYBECRIPT'05 (Томск, 2005); VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (С.-Петербург, 2005); I Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (Томск, 2005); VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2005, Осенняя сессия); IV Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2005).

4.3. ВЫВОДЫ

Таким образом, из главы 4 можно сделать следующие выводы:

1. Использование информации об Sp -неравноплечной симметрии к-го порядка (1.5.1) неизвестной функции распределения позволяет получить модифицированную статистику Колмогорова (4.2.2), связанную с обычной статистикой Колмогорова соотношением (4.2.4).

2. Точное распределение модифицированной статистики (4.2.2) задается формулой (4.2.5), асимптотическое распределение при нулевой гипотезе определяется через функцию распределения Колмогорова формулой (4.2.9).

3. На основе модифицированной статистики (4.2.2) строится модифицированный критерий проверки гипотез согласия Колмогорова, который является непараметрическим.

4. В случае Sp -равноплечной симметрии к-го порядка (1.3.1) мощность модифицированного критерия Колмогорова определяется формулой (4.2.2.5).

5. Приведены примеры, показывающие, что привлечение априорной информации о различных видах симметрии распределения приводит к увеличению мощности модифицированного критерия в сравнении с обычным критерием Колмогорова.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении данной работы получены следующие результаты:

1. Описаны новые классы распределений, обладающих свойствами симметрии различного вида, а именно Sp -неравноплечной симметрии к-го порядка (1.5.1) и ее частных случаев.

2. Предложены методы, позволяющие привлечь данную информацию при построении статистических процедур. При этом учет дополнительной информации об Sp -неравноплечной симметрии к-го порядка позволил улучшить в среднеквадратическом смысле качество оценивания неизвестной функции распределения.

3. Модифицированная с учетом S^-неравноплечной симметрии к-го порядка оценка (2.2.1) неизвестной функции распределения послужила основой при построении модифицированного критерия проверки гипотез согласия Колмогорова. Показано, что модифицированный критерий является непараметрическим.

4. Для случая Sp -равноплечной симметрии к-го порядка (1.3.1) получена формула мощности модифицированного критерия (4.2.2.5).

5. Приведены примеры, когда модифицированный критерий является более мощным, чем обычный критерий согласия Колмогорова.

6. Предложены методы привлечения априорной информации об обычной симметрии (1.1.1) относительно известного центра неизвестной функции распределения при работе с усеченными и прогрессивно цензурированными выборками (цензурирование типа I). Получены точные и асимптотические формулы для математического ожидания и дисперсий модифицированных оценок.

7. Привлечение информации о симметрии при работе с усеченными и прогрессивно цензурированными выборками привело к сокращению информационных потерь от цензурирования и усечения. Это выразилось в получении асимптотически несмещенных оценок, а также уменьшении дисперсий оценок.

8. Использование дополнительной информации о симметрии функции распределения (1.1.1) при обработке неполных выборок позволяет дать практическому исследователю следующую рекомендацию: в целях сокращения затрат на эксперимент достаточно пронаблюдать только те значения, которые не превышают центра симметрии. Полученная усеченная выборка позволит построить модифицированную оценку (3.8.1), которая является асимптотически несмещенной, при этом ее нормированная дисперсия cryS(t), определяемая формулой (3.8.6), в асимптотике не превышает нормированной дисперсии обычной эмпирической функции распределения (2.2.13).

Автор выражает благодарность преподавателям факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета за полученные в процессе обучения знания. С особой признательностью за проявленные терпение, внимание и помощь при проведении исследований автор благодарит своего научного руководителя Юрия Глебовича Дмитриева.

1. Агапов А.С. Непараметрическая оценка функции надежности по прогрессивно цензурированным выборочным данным // Методы статистического анализа и обработки малого числа наблюдений при контроле качества и надежности приборов и машин. Л., 1974.

2. Агапов А.С. Опыт применения некоторых методов статистической оценки надежности промышленных изделий. Л.: ЛДНТП, 1977.

3. Агеев В.В., Благовещенский Ю.Н. Анализ оценок функции распределения по случайно цензурированной выборке // Статистические методы обработки результатов наблюдений при контроле качества и надежности машин и приборов. Л., 1979.

4. Анализ надежности технических систем по цензурированным выборкам / В.М. Скрипник, А.Е. Назин, Ю.Г. Приходько, Ю.Н. Благовещенский.- М.: Радио и связь, 1988. 184 е.: ил.

5. Баталова З.Г., Благовещенский Ю.Н. О точности оценок ресурсов элементов конструкций методом максимума правдоподобия при случайном усечении длительности наблюдений // Надежность и контроль качества. 1979. № 9. - С. 12-20.

6. Благовещенский Ю.Н. Анализ оценки максимального правдоподобия по случайно цензурированной выборке с малой долей отказов на примере экспоненциального распределения // Заводская лаборатория. 1982. Т. 48. -№ 3. - С.50-52.

7. Благовещенский Ю.Н. Об асимптотической нормальности одного класса статистик для случайно цензурированных справа выборок // Теория вероятностей и ее применения. 1979. - № 3.

8. Благовещенский Ю.Н., Кугель Р.В. О точности определения гамма-процентного ресурса изделий машиностроения // Вестник машиностроения.- 1969. № 3.

9. Гольдина М.Б. Некоторые вопросы оценки надежности по результатам незавершенных испытаний//Надежность и контроль качества. 1978. - № 5.

10. Гущин А.А., Кюхлер У. О восстановлении меры по ее симметризации // Теория вероятностей и ее применения. 2004. - Т. 49. вып. 2.

11. Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Цой Е.Б. Оптимальное группирование, оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов: В 2 ч. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1993. 346 с.

12. Дмитриев Ю.Г. Об условном оценивании функционалов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т.8, вып.1. - С.159-160.

13. Дмитриев Ю.Г. Условное непараметрическое оценивание функционалов // Труды международного семинара. Дрезден.

14. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Критерии согласия Колмогорова для симметричных распределений // Вестник ТГУ. 2003. - № 6. - С. 265-269.

15. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. О симметрии распределений // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции "Научное творчество молодежи."Анжеро-Судженск. 16-17 апреля 2004. Томск: Изд-во Том.ун-та, 2004. - Ч. 1- С. 29-30.

16. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об оценивании симметричной функции распределения по полным наработкам цензурированной выборки // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, вып. 2. - С. 349-350.

17. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Оценки симметричной функции распределения по усеченным и цензурированным выборкам / / Вестник ТГУ. -2005. № 14. - С. 291-296.

18. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М. Использование дополнительной информации при непараметрическом оценивании функционалов плотности / / Автоматика и телемеханика. 1987. - № 10. - С. 47-59.

19. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М., Симахин В.А. и др. Непараметрическое оценивание функционалов по стационарным выборкам. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974. - 93 с.

20. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Комбинированные оценки функции регрессии // Материалы всерос. научно-практич. конфер. Анжеро-Судженск. 19 октября 2001. Анжеро-Судженск, 2001. - Ч. 2. - С. 19.

21. Дмитриев Ю.Г., Тарима С.С. Nonimputational Technique for Parameter Estimation on Missing Data // JSM. Toronto: JSM. - 2004.

22. Дмитриев Ю.Г., Тарима С.С. Оценивание доле по данным с пропусками // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Новосибирск. 2000. Новосибирск: Изд-во Института Математики, 2000. - С. 86.

23. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Статистическое оценивание распределений вероятностей с использованием дополнительной информации. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1988. - 194 с.

24. Зенкова Ж.Н. S^-неравноплечная симметрия логнормального распределения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т.11, вып. 4. - С. 812-813.

25. Зенкова Ж.Н. Модифицированный критерий согласия Колмогорова для неравноплечно симметричных распределений // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т. 9, вып. 3. - С. 612-613.

26. Зенкова Ж.Н. Неравноплечная симметрия к-го порядка непрерывной возрастающей функции распределения / / Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, вып. 4. - С. 968-969.

27. Зенкова Ж.Н. Оценка функции распределения по прогрессивно цен-зурированной выборке с учетом симметрии // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. - Т.10, вып. 3. - С. 651-652.

28. Кендалл М.Ж., Стьюарт А. Статистические выводы и связь: Пер. с англ. М.: Наука, 1973. - 817 с. илл.

29. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1986.

30. Кошевник Ю.А. Об асимптотическом распределении непараметрических оценок функций распределения при условии симметрии // Статистические методы: межвузовский сборник. Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 1978. - С. 39-57.

31. Кошевник Ю.А. Предельные теоремы для непараметрических оценок некоторых симметричных функций распределения // Методы анализа данных, оценивания и выбора. М.: ВНИИСИ, 1984. - С. 55-58.

32. Куллдорф Г. Введение в теорию оценивания по группированным и частично группированным выборкам. М.: Наука, 1966. - 176 с.

33. Левит Б.Я. Об эффективности одного класса непараметрических оценок // Теор. вероятности и ее применения. 1975. - Т. 11, вып. 4. - С. 39-54.

34. Лемешко Б.Ю. О некоторых вопросах оценивания параметров распределений и проверки гипотез по цензурированным выборкам // Методыменеджмента качества. 2001. - Л"® 4. - С.32-38.

35. Лемешко Б.Ю., Гильдебрант С.Я., Постовалов С.Н. К оцениванию параметров надежности по цензурированным выборкам // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. - Т. 67. - № 1. - С. 52-64.

36. Мирный Р.А., Соловьев А.Д. Оценка надежности системы по результатам испытаний ее компонент // "Кибернетика на службу коммунизму". - М.: Энергия, 1976.

37. Прохоренко В.А., Голиков В.Ф. Учет априорной информации при оценке надежности. Минск: Наука и техника, 1979.

38. Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик. М.: Советское радио, 1973.

39. Скрипник В.М., Назин А.Е. Оценка надежности технических систем по цензурированным выборкам / Под ред. А.И. Широкова. Минск: Наука и техника, 1981. - 144 с.

40. Судаков Р.С., Чеканов А.Н. К вопросу об учете предварительной информации в схеме биномиальных испытаний // Надежность и контроль качества. 1974. - ДО1.

41. Тарима С.С. Статистическое оценивание вероятностей с привлечением дополнительной информации. // Вестник Томского государственного университета. 2000. - Томск: Изд-во ТГУ. - с. 87-88.

42. Тарима С.С. Учет вероятностей полной группы событий для оценивания доли // Материалы международной научно-технической конференции "Измерение, контроль, информатизация (ИКИ-2000)". Барнаул. 16-18 мая 2000. Барнаул, 2000. - С. 181.

43. Тихов М.С. Асимптотики статистических оценок по цензурирован-ным выборкам для распределений с правильно меняющимися хвостами // Теория вероятностей и ее применения. 1997. - Т.42, вып. 3. - С.531-552.

44. Тихов М.С. О сокращении длительности испытаний при цензурировании выборки // Теория вероятностей и ее применения. 1991. - Т. 36, вып. 3. - С. 626-629.

45. Тихов М.С. Об оценках показателей качества по неполным выборкам // Надежность и контроль качества. 1996. - №11. - С. 16-24.

46. Тюрин Ю.Н. Линейная модель в многомерной непараметрической статистике // Учен. зап. по статистике. 1974. - Т. 26. - С. 7-24.

47. Тюрин Ю.Н. Об оценивании функции распределения // Теория вероятностей и ее применения. 1970. - Т. 15, вып. 3. - С. 567-568.

48. Шуленин В.П. Использование устойчивых оценок параметра положения для построения оценок симметричных распределений // Математическая статистика и ее приложения. 1981. - Вып. 7. - С. 188-198.

49. Breslow N., Crowley J.A. A large sample study of the life table and prodact estimates under random censorship // Ann. Statist. 1974. - V. 2, № 3.

50. Conniffe D. A comment on the use of auxiliary or surrogate outcome data. // J. Statist. Planning Inf. 1996. - V. 55. - P. 353-359.

51. Cook R.J., Lawless J.F. Some comments of efficiency gains from auxiliary information for right-censored data //Journal of Statistical Planning and Inference. 2001. - V. 96. - P. 191-202.

52. Engel В., Walstra P. Increasing precision or redusing expense in regression by using information from a concomitant variable // Biometrics. 1991. - V. 47.- P. 13-20.

53. Flandre P. On the use of auxiliary data to estimate the survival function and its variance: an application to Acquired Immunodeficiency Syndrome // J. Clin. Epidemiol. 1996. - V. 49. - P. 899-905.

54. Gijbels I., Wang J.L. Strong representations of the survival function estimator for truncated and censored data with applications // J. Mult. Anals. -1993. V. 47. - P. 210-229.

55. Gross, S.T., Lai, T.L. Nonparametric Estimation and Regression Analysis With Left-Truncated and Right-Censored Data // Journal of Statistical Planning and Inference. 1996. - V. 91, № 435. - P. 1166-1202.

56. Hinkley D. On estimating a symmetric distribution // Biometrica. 1976.- V. 63, № 3. P. 680-681.

57. Hu X.J, Lawless J.F. Estimation from truncated lifetime data with supplementary information on covariates and censoring time // Biometrica. GB., 1996. - V. 83. - P. 747-761.

58. Johnson L.G. The statistical treatment of fatigue experiments. Amsterdam: Elsever Publ. Corp., 1964.

59. Kaplan E.L., Meier P. Nonparametric estimation from Incomplete Observations// J. Amer. Statist. Assoc. 1958. - V. 53.

60. Kosorok M.R., Fleming T.R. Using surrogate failure time data to encrease cost effectiveness in clinical trials // Biometrika. 1993. - V. 80. - P. 823-833.

61. Kraft C.H., Lepage Y., vail Eeden C. Estimation of a symmetic density function // Comm. Statist. 1985. - V. 14, № 2. - P. 273-288.

62. Lagakos S.W. Using auxiliary variables for improved estimates of survival time // Biometrics. 1977. - V. 33. - P. 399-404.

63. Lai T.L., Ying Z. Estimating a distribution function with truncated and censored data // Ann. Statist. 1991. - V. 19. - P.417-442.

64. Nelson W. Theory and application of hasared plotting for censored failure data // Technometrics. 1972. - V. 1, № 4.

65. Pan W. Chappell R. A Nonparametric Estimator of Survival Functions for Arbitrarily Truncated and Censored Data // Lifetime Data Analysis. 1998.- V. 4, № 2. P. 187-202.

66. Robins, J.M., Rotnitzky, A. Recovery of information and adjustment for dependent censoring using surrogate markers // AIDS Epidemiology: Methodolo4 gical Issues / Jewell, N., Dietz, K., Farevell. 1992. - Birkhauser-Boston: Boston.- P. 297-331.

67. Schuster E.F. Estimating the distribution function of a symmetric distribution // Biometrika. 1975. - V. 62, № 3. - P. 631-635.

68. Schuster E.F. On the goodness-of-fit problem for continuous symmetric distributions // J. Am. Statist. Assoc. 1973. -г V. 68. - P. 713-714.

69. Takahasi K. Some nonparametric consistent estimates from censored samples // Ann. Inst. Statist. Math. 1970. - V. 22, № 3.

70. Turnbull B.W. Nonparametric estimation of a survivor-ship function with -p doubly censored data // J. Amer. Statist. Assoc. 1974. - V. 69, № 345.

71. Wang M.-C. Nonparametric Estimation From Cross-Sectional Survival Data // Journal of the American Statistical Association. 1991. - Vol. 86, JV® 413.- P. 130-150.

72. Woodroofe M. Estimating a distribution function with truncated data // Ann. Statist. 1985. - V. 13. - P. 163-177.

73. Woodroofe M. Maximum likelihood estimation of a translation parameter for a truncated distribution // Ann. Math. Statist. 1972. - V. 43. - P. 113-122.

74. Рисунок 1.1 Графики ф.р. G(x) при Ь = 5,а = р = 0.2, 0.5, 0.7

75. Рисунок 1.2 Графики плотностей распределений д{х) при 6 = 5, а — р = 0.2, 0.5, 0.7

76. Рисунок 1.3 Графики ф.р. G(x) при b = 1, 3, 5, а = р = 0.5

77. Рисунок 1.4 Графики плотностей распределений д(х) при b = 1, 3, 5, а = р =i л. U2 U3 « III |

78. Рисунок 1.7 Графики ф.р. Щх), U^(x), UW(x) для а = 3, pi = 0.3, pi = 0.8.0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1х

79. Рисунок 1.8 Графики плотностей распределений и(х), и^(х), и^(х) для а = 3, pi = 0.4, Р2 = 0.7.

80. Рисунок 2.1 Графики сг2(х) - без учета симметрии, сг2(х)- с учетом неравноплечной симметрии относительно центра Ci = 0.3 для ф.р. U^(x), х € 0,1., pi = 0.3, а = 2 (треугольная ф.р.)л»

81. Рисунок 2.2 Графики сг2(х) <т2(х) - с учетом симметрии 1-го порядка относительно центра Сг = 0.8, (Tj (х) - с учетом симметрии 2-го порядка относительно центров Ci = 0.16, с2 = 0.8 для ф.р. t/(2)(z)> a; G 0,1., = 0.16, рг = 0.8, а = 2

82. Рисунок 2.3 Графики ст2(х) (к = 0), о^Дя) (к = 1,а = 30), а|„(я) (к = 2, сг = 5, с2 = 30) для F(x) = 1 - еЛг, х > 0, А = 0.05

83. О 5 10 15 20 25JO35 40 45 50 55 601с-0 -К-1 .к-Д

84. Рисунок 2.4 Графики <т2(х) (к = 0), a2Sl(x) (к = 1, сх = 35), сг|8(х) (/с = 2, сг = 20, с2 = 35) для F(x) = 1 - еЛ®, а: > О, Л = 0.025

85. Рисунок 2.5 Графики <т2{х), ofifa)» а1г(х)^ as3(x) ДОя ^(х) = ж> х е Ч

86. Рисунок 2.6 Графики а2(х), сгд^х), ст|2(х) для ф.р. У(ж), определяемой формулой (1.3.5), для а = 51. MF£(t)-t-----MF£(t)

87. Рисунок 3.1 Графики МF%(t), M(t) для F{t) = t,t<E 0,1., N = 4, р = 0.6, д = 0.21. MF£(t)

88. О ОД 02 03 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 t1.t -—mj^O)

89. Рисунок 3.2 Графики MF$(t), M(t) для F(t) =t,t£ 0,1., N = 5, p = 0.1, g = 0.8t —MFsm t

90. Рисунок 3.3 Графики MJ$(t), M(t) для F(t) = t,te 0,1., ЛГ = 2, p = 0.2, g = 0.2- t----MF„"(t) t

91. Рисунок 3.4 Графики MF$(f), M{t) для F(t) = t,t e 0,1., N = 6, p = 0.8, p = 0.4-NDrg(t).g get) 1

92. Рисунок 3.5 Графики N~DF$(t), = t, t € 0,1., N = 9, g = 0.4, p = 0.2ndFh (t)-----oS(t) |

93. Рисунок 3.6 Графики NT>F%(t), a\{t) дая Ft) =t,t€ [0,1., N = 4, g = 0.1, p = 0.9

94. О 0,1 0,2 0,3 040506 0.7 0,8 0,9 11.NDFgM-----a 1(f) \

95. Рисунок 3.7 Графики NDF%(t), a2Jt) для F(t) = f, t € 0,1., N = 6, g = 0.9, p = 0.9oj©0 0,1 0,2 0,3 040506 0.7 0,8 0,9 11. NDFgft)-----o£(t)|

96. Рисунок 3.8 Графики NDF$(t), a24{t) для F{t) =t,t€ 0,1., N = 12, g = 0.9, p = 0.91. МП91. О ОДЗ 0^5 0,75 1t —- ^Fjj(t) -M*(t)

97. Рисунок 3.9 Графики M*(t), MF^(t) для F(t) = t, t e 0,1., N = 50, g = 0.6, p = 0.2 M - 80001. M*(t)0 ОД5 OJ 0,75 1- —. t !MF*(t) -M*(t) |

98. Рисунок 3.10 Графики M*(t), MFf,(t) для F(t) = t,t 6 0,1., N = 50, g = 0.4, p = 0.6 M = 8000o*(t)0 ОД 0,4 0,6 0,8 11. NCT*(t)- o*3(t) .

99. Рисунок 3.11 Графики NDF%(t), cr*2(t), a\{t) для F{t) = t, t e 0,1., N = 400, g = 0.3, p = 0.3, M = 80001. C*"(t)1. О 0,25 0,5 0,75 1 11 —*— NDF* (t)- CT*1») .ai(t)

100. Рисунок 3.12 Графики JVDFj^(t), a*2(t), <тЦЬ) для F(t) = t, t e 0,1., N = 50, g = 0.8, p = 0.6, M = 80001. О 0,25 0,5 0,75 11.—•— N6F*©—- o*a(t) -----ci®

101. Рисунок 3.13 Графики NDF^(t), (T*2(t), a\(t) для F{t) = t, t G 0,1., N = 50, g = 0.8 p = 0.8, M = 8000a*3©0 0Д5 0^50,75 1- a*3») .oioTl

102. Рисунок 3.14 Графики o*2(t), al(t) для F(t) = t,te 0,1., N = 50, g = 0.4, p = 0.8t-M**(t)

103. Рисунок 3.15 График M**{t) для F(t) = t,t€ 0,1., g = 0.2, p = 0.11. M**(t)t-M**(t)

104. Рисунок 3.16 График M**(t) для F{t) = t,te 0,1., g = 0.7, p = 0.60,05 1. ОД0,4- a**2(t)0,60,81 to2(t)- NDF**(t)

105. Рисунок 3.17 Графики <r**2(t), <r2(t), NDFtf(t), для F(t) = t, t € 0,1., g = 0.2, p = 0.1 N = 100, M = 10000a5(t) 030,2 1 1 1 1 1 1 1 i s N N N N N N >^^ S, Ш \ / \ 0,1oj0,40,60,8a**2(t)1. C2(t)-NDFg*(t)1 t

106. Рисунок 3.18 Графики <r**2(t), a2(t), NHF£(t), для F{t) = t, t € 0,1., g = 0.4, p = 0.6 N = 100, M = 10000aJ(t)1. О ОД 0,40!б 0,8 1 t- q**2(t) .q2(t) —— NDF**(t)

107. Рисунок 3.19 Графики c**2{t), a2(t), NBF^*(t), для F(t) = t, t e 0,1., g = 0.7, p = 0.3, N = 100, M = 10000a2(t)0 0,2 0,40^6 0,8 1 t-q**2(t) .qa(t) —«— NDF**(t)

108. Рисунок 3.20 ^рафики a**2(t), a2(t), NDF£(t), для F(t) = t,te 0,1., g = 0.3, p = 0.7, N = 100, M = 100005\t)1. О 0,2 0,4 0,6 0,8 1о*® — о?р)

109. Рисунок 3.21 Графики a2(t), crff{t) для F(t) = f, t e 0,1., при p = 0.3, g = 0.3o2(t)0 0 ,2 0,4 0,6 0,8 1g\t) — <rg<t)|

110. Рисунок 3.22 Графики a2(t), для F(t) = t, t € 0,1., при p = 0.6, g = 0.6

111. Рисунок 3.23 Графики cr2(t), для F(t) = t, t € 0,1., при p = 0.6, g = 0.91. F(t) 10,8 0,6 0,4 0,2 00 1 2 3 45 б 7 8 9 101. F(t)-Fg(t)

112. Рисунок 3.24 Графики функций F$(t) и F(t) = 0.11, t € 0,10.ч., при N = 50, Tx = 2ч Т2 = 6ч., д1=д2= 0.5