автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.13, диссертация на тему:Исследование и разработка алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в каналах связи

00347363 1

На правах рукописи

Шатилов Сергей Валерьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕГАУССОВСКИХ СИГНАЛОВ В КАНАЛАХ СВЯЗИ

Специальность 0 5.12.13 -«Системы, сети и устройства телекоммуникаций»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Самара - 2009

1 о пгом гт

003473631

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Поволжский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики (ГОУВПО ПГУТИ)

Ведущая организация: Самарский государственный университет.

Защита состоится «1» июля 2009 г. в 12-00 часов на заседании диссертационного совета Д219.003.02 при Поволжском государственном университете телекоммуникаций и информатики по адресу: 443010 г. Самара, ул. Льва Толстого, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО ПГУТИ.

Автореферат разослан «29» мая 2009 г.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Карташевский В.Г.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

доцент Горячкин О.В.

кандидат технических наук, Чичева М.А.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д219.003.02, доктор технических наук, доцент

Мишин Д.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Построение высокоскоростных систем передачи дискретных сообщений, использующих стохастические каналы связи, является весьма актуальным ввиду того, что количество передаваемой по каналам связи информации непрерывно увеличивается. Так, все увеличивающийся объем подлежащих передаче данных диктует необходимость использования для этого не только специально выделенных каналов, но и каналов ухудшенного качества (с коммутацией), а также радиоканалов различного вида

При скоростной передаче дискретных сообщений по стохастическим каналам связи возникают множество проблем, связанных с учетом различного рода аддитивных помех. Например, при использовании каналов связи коротковолнового диапазона особенно характерна ситуация присутствия в них сосредоточенных по спектру помех, являющихся негауссовскими случайными процессами. Наличие этих помех обусловлено, например, большим числом радиосредств, одновременно работающих в канале на близких частотах.

Недостаточность априорных сведений о свойствах сосредоточенных помех в месте приема приводит к построению адаптивных устройств. Решению задачи преодоления априорной неопределенности были посвящены работы Б.Р.Левина, Р.Л.Стратоновича, Я.З. Цыпкина, В.Г.Репина, Г.П. Тартаковского, В.В. Шахгильдяна, Ю.Г. Сосулина. Среди зарубежных ученных, изучающих данную проблему, стоит особо выделить В. Widrow, Walach Е, S. Haykin, Т. Kailath, А.Н. Sayed, N. R. Yousef, Т. Y. Al-Naffouri, V.H. Nascimento, M. Rupp, S. C. Douglas, T. H.-Y. Meng.

Существует множество работ посвященных адаптивной фильтрации сигналов, в которых рассматривается алгоритм наименьших средних квадратов и алгоритмы, являющиеся его модификацией, а также исследуются ачгоритмы с переменным шагом адаптации. В последнее время интерес многих исследователей связан с синтезом оптимальной функции ошибки, позволяющей реализовать алгоритм адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов с высокими качественными показателями.

В данной работе, основываясь на широко применяющейся сегодня теории кумулянтного анализа, решается задача разработки и анализа новых алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в каналах связи.

Цель работы. Разработка алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в каналах связи. Анализ точности фильтрации и скорости сходимости процесса адаптации.

Основные задачи исследования.

анализ алгоритмов адаптивной фильтрации случайных сигналов; исследование методов представления марковских случайных процессов с использованием кумулянтного анализа;

- разработка алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов;

статистическое моделирование алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов; исследование характеристик алгоритмов фильтрации.

Методы исследования. Основные теоретические и экспериментальные исследования диссертационной работы выполнены с применением методов теории вероятностей, математической статистики, имитационного моделирования и вычислительных методов, реализованных в пакете Matlab.

Научная новизна работы.

- выполнено обобщение методов вычисления кумулянтов в задачах представления негауссовских марковских случайных процессов;

- предложен метод формирования оптимальной функции ошибки (управляющего сигнала) в алгоритме адаптивной фильтрации негауссовских сигналов;

предложен алгоритм адаптивной фильтрации негауссов^к сигналов на основе комбинации алгоритма наименьших средних квадратов и алгоритма, минимизирующего среднее значение четвертой степени сигнала ошибки;

- выполнен анализ характеристик предложенного алгоритма адаптивной фильтрации негауссовской фильтрации.

Основные положения, выносимые на защиту.

- методы представления марковских стационарных процессов с использованием кумулянтпого анализа;

- алгоритм адаптивной фильтрации негауссовких сигналов на основе комбинации алгоритма наименьших средних квадратов и алгоритма, минимизирующего среднее значение четвертой степени сигнала ошибки;

- результаты анализа алгоритмов адаптивной фильтрации.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

Разработанные в диссертации алгоритмы адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов целесообразно применять в связи, радиолокации, гидролокации, сейсмологии, навигации, биомедицинской электроники. В частности, рассмотренные алгоритмы целесообразно использовать при разработке приемных устройств декаметрового диапазона, осуществляющих фильтрацию узкополосных (сосредоточенных) помех в сочетании с разнесенным приемом.

Результаты диссертационной работы внедрены в ФГУП СОНИИР (г. Самара) при реализации ОКР «Объект-С» и «Оптима-С», что подтверждено актом внедрения, представленным в приложении. В приложении так же представлен акт внедрения результатов работы в учебный процесс по кафедре «Теоретических основ радиотехники и связи» ПГУТИ.

Апробация работы. Основное содержание работы докладывалось и обсуждалось на XIII, XIV и XV Российской научно-технической конференции ПГУТИ (Самара, 2006г., 2007г. и 2008г.),- на VII и VIII Международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» (Уфа, 2007г.), на IX и X Международной конференции «Цифровая об-

работка сигналов и ее применение» (Москва, 2007г. 2008г.), XIII и XIV Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2007г. и 2008г.), VI Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Казань, 2007г.), VII и VIII Всероссийском Симпозиуме по Прикладной и Промышленной Математике (Йошкар-Ола, 2006г. и Сочи-Адлер, 2007г.) и представлены на мультиконференции SCI 2007, Orlando, Florida, USA.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 работы из перечня, рекомендованного ВАК РФ для публикации результатов диссертационных исследований, 5 тезисов, 4 публикаций трудов и докладов на международных научных конференциях.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Основная часть работы содержит 167 страниц машинописного текста, 53 рисунка, 17 таблиц. Список литературы включает 120 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи работы, представлены основные научные результаты диссертации, положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации работы.

В первой главе даны определение и классификация адаптивных систем, приведены основные характеристики адаптивных алгоритмов, приведен вывод обобщенного закона сохранения весовых коэффициентов фильтра соседних итераций, на основе этого закона рассмотрены и представлены основные характеристики класса алгоритмов с нелинейной функг(ией ошибки, класса нормализованных алгоритмов, класса алгоритмов аффинных проекций, произведен обзор алгоритмов с переменным шагом адаптации, рассмотрены рекурсивные алгоритмы наименьших квадратов и алгоритмы, реализующих адаптивную фильтращю в частотной области.

Обобщенный алгоритм адаптивной фильтрации может быть задан выражением

W(* + l) = W(¿) + /iC(*)X(ifc)e(*),

или

W(jfc + l) = W(A) + //X(*)U(¿fc)e(Jfc). где ц - шаг адаптации, С(к)е Л/,., [Л] и U (к)е MU[R] - весовые матрицы, X(Аг) = [^х(АЛ) \{kL-D) ... x(kL - (К - 1)£>)] - матрица входного сигнала, х (££) = [х (AL) x(kL-1) ... x(kL-M + 1)] - вектор входного сигнала, W(¿) = £w0 (к) w, (&) ... - вектор весовых коэффициентов фильтра.

Таблица 1. Адаптивные алгоритмы

Алгоритм К 1 д с(*)/и(*)

ШБ К = 1 £ = 1 0 = 1 С(*)=1

ЫШБ К = 1 £ = 1 £> = 1 и(А) = [1/||2(А)12]1

£ - ЫЬМЭ К = 1 £ = 1 £> = 1 или С{А) = (*1+ *(*)/ (А))"' I

АРА к±м ¿ = 1 0 = 1 и(*)=(хг (*)*(*))"

ВЫОЯ-ШБ К = 2 £ = 1 0 = 1 и(*)-(Х'(*)Х(*))"

Я-АРА к<м ¿ = 1 £> = 1 и(£) = (е! х X1 (А)Х (А))"' или С(А) = (Л + Х(/с)Х7'(А))"'1

МШЭ-ОСР к<.м £ = 1 £>> 1 и(*) = (*)х (*))■'

ОЯ-ШБ КйМ 1 = 1 0 = 1 С(«)=1

тм 1 Ю К -1 ¿ом £> = 1 С(») = 1

N011-ШБ к<,м 1 = 1 £> = 1 и(А) = ^аё{1/||^)12.....1/|Л(А-ЛГ + 1)|2|

ВКШБ ЛГ = £ £оЛ/ £> = I

ЭАР к £ £> = 1 и(А) = ^{г! + {Рт\т(к) X (А)}}"'

И-Э К = 1 Ь = 1 0 = 1 С (и) С(*) = (экспонеш = [Х(*)Х'(*)]" или .'"0 J шальное взвешивание)

ТОАР К = 1 1 = \ £> = 1 С(*) = Г{() С(А) = г|сПае а§[;ГХ(А)Х'(А)]}~У или '¿^УО/Мг])' Г .1-0 -1)

Основываясь на анализе характеристик алгоритмов адаптивной фильтрации (табл. 1), рассмотренных в первой главе, можно сделать вывод, что все адаптивные алгоритмы являются модификацией алгоритма наименьших средних квадратов, который после завершения процесса адаптации в стационарном

состоянии реализует винеровскую оценку сигнала. Данная оценка является оптимальной, если оцениваемой сигнал и сигнал помехи имеют гауссовскую плотность вероятности. Реализация винеровской оценки основано на использовании только статистик первого и второго порядка, т.е. математического ожидания и дисперсии. При адаптивной фильтрации сигнала с негауссовской плотностью вероятности алгоритмы, представленные в первой главе, реализуют псевдобайсовскую оценку, которая эквивалентна по структуре винеровской, так как при ее реализации плотность сигнала аппроксимируется гауссов-ской плотностью. Следовательно, оценка негауссовских сигналов, осуществляемая такими алгоритмами является не оптимальной и приводит к большим значениям среднеквадратической ошибки (СКО).

Повысить точность адаптивной фильтрации можно, если при выводе алгоритма учитывалась бы помимо информации заложенной в статистиках первого и второго порядка информация, характеризующая негауссовостъ оцениваемого сигнала. В диссертации в качестве такой информации были взяты кумулянты.

Во второй главе дается кумулянтное описание случайных величин, описаны основные их свойства, рассмотрены модельные распределения и на задаче оценивания моментов негауссовского случайного процесса показана эффективность использования кумулянтов порядка выше второго.

Основные преимущества кумулянтного описания случайных величин заключаются в следующем:

- кумулянты, в.отличие от моментов, а также и от так называемых квазимоментов, имеют четко выраженный самостоятельный статистический смысл и могут быть заданы в определенной степени независимо друг от друга, являясь в этом плане некоторыми «нормальными координатами» статистического описания;

учет кумулянтов высших порядков позволяет просто описать любую степень негауссовости случайных величин и процессов; конечному набору кумулянтов всегда соответствует некоторая «хорошая» вещественная функция, аппроксимирующая вероятностное распределение, в то время как несингулярной функции, все высшие моменты которой равнялись бы нулю, не существует. Это обстоятельство имеет особо важное значение при приближенном представлении вероятностных распределений тех случайных величин и процессов, для которых можно отыскать лишь конечные наборы кумулянтов.

Эффективность использования кумулянтов порядка выше второго была продемонстрирована в задаче оценивания центральных моментов негауссовского случайного процесса. Суть данной задачи заключалась в следующем. Пусть негауссовский процесс, моделируется как выходной сигнал нелинейной системы при подаче на ее вход белого гауссовского шума. Тогда негауссовский процесс может быть описан дифференциальным уравнением:

(¿у,=а{1,у,)Л + Ь{1,у,)п{1)Л,

где п(/) - белый гауссовский шум с интенсивностью V .

При заданном распределении начального условия у0 требуется определить несколько центральных моментов

*,(/) = £[>,], т,(1) = Е[у,-т1(,)] , (¿ = 2,3,...,/).

Для решения поставленной задачи использованы положения теории диффузионных процессов, при этом процесс у, заменяется идеализированным процессом х,, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

сЬс, + ¿>(/,дг,)л(/)Л .

Тогда, решение поставленной задачи, основываясь на плотности вероятности процесса л-,, определяемой дифференциальным уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова

др{их) а у За (¿> (<, л;) р (<,*))

—1—- =--1аи,х)ри,х)) +--1-:-,

д! дхк к " 2 8хг

сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений для кумулянтов. Вывод данной системы основан на определении кумулянтов и плотности вероятности процесса х,.

Во второй главе получена система интегро-дифференциальных уравнений для кумулянтов, являющаяся обобщением ранее существовавшего результата, а именно, получены рекуррентные формулы, позволяющие учитывать функцию Ь(1,х,) общего вида при выводе соответствующей системы, в то время

как ранее были получены рекуррентные формулы только для Ь(с, х,) = 1 .

Количественно эффективность использования кумулянтов порядка выше второго подтверждена на примере вычисления дисперсии трех типов случайных процессов:

- для случайного процесса, являющегося нелинейным преобразованием белого гауссовского шума, с параметрами

ошибка в вычислении дисперсии при гауссовской аппроксимации плотности вероятности (учете только первых дух кумулянтов) составляет 22%, а при учете четырех кумулянтов 1 %; для случайного процесса, являющегося нелинейным преобразованием белого гауссовского шума, с параметрами ч (ах* х 2:0 ,, , , Iих,, х,<0

ошибка в вычислении дисперсии при гауссовой аппроксимации распределения составляет 48%, а при учете четырех кумулянтов 22%;

- для случайного процесса, являющегося безынерционным кубическим преобразованием нормального марковского процесса, ошибка в вычислении дисперсии при гауссовой аппроксимации распределения составляет 59%, а при эксцессном приближении 13%.

Основываясь на полученных результатах второй главы можно считать, что актуальной задачей является преобразование рабочей функции адаптивного фильтра таким образом, чтобы она учитывала при оптимизации средне-квадратического сигнала ошибки кумулянты более высокого порядка, чем второй, что позволит повысить точность оценок, даваемых адаптивной фильтрацией.

В третьей главе рассмотрено устройство адаптивного подавления помех, рассмотрен адаптивный алгоритм, основанный на применении кумулянтов порядка выше второго.

В главе приведен адаптивный алгоритм, использующий оптимальную функцию ошибки вида

где р(х) - плотность оцениваемого сигнала. Эта функция была получена в

результате решения вариационной задачи [1], заключающейся в минимизации значения СКО оцениваемого сигнала в стационарном состоянии при постоянной скорости адаптивного процесса. Эта задача определяется выражениями

В третьей главе получен адаптивный алгоритм фильтрации сигналов с любыми видами распределений, который является обобщением ранее существовавшего алгоритма, предназначенного для фильтрации сигналов с четными функциями распределений. Полученный алгоритм основан на представлении плотности вероятности, входящую в оптимальную функцию ошибки в экс-цессным распределением и разложением дроби в ряд Тейлора. В этом случае оптимальная функция ошибки определяется выражениями

™ ¡/2(у)р(у)Ф

при условии

][МЛ(/2 (у) + /(у)Г (у)) - 2а„\/- (у)]р(у)ау = С .

/ор, (■*)асо+ с,Л + С2хг + с,х' +с4х4,

с0 = -АХ . с, = (А,А* + А] - 244 К2.

с.

(6444 -б442-243)(245)"',

(24 (4 442 - 4 4 - 444) +126л] 4 + 643) (64')"',

с„ =(5(ЛЛ4' -А,АЛ +ЛЛ4 + 444+

^ 8Х| ' Гк\ 2 3 4 24^

Суть разработанного адаптивного алгоритма заключается в объединении двух алгоритмов: алгоритма наименьших квадратов (ЬМБ) и алгоритма минимизирующий четвертую степень среднего значения сигнала ошибки (ЬМР). Причем, на начальном этапе адаптивного процесса работа нового алгоритма определяется ЬМБ алгоритмом, а по мере уменьшении значения отсчетов сигнала ошибки ЬМИ алгоритмом. Данный принцип работы адаптивного алгоритма можно получить при выборе функции ошибки вида

г {к)

Причем, выбор функции g(e(k)), определяет соответствующий адаптивный алгоритм. Так, в начале адаптации, когда наблюдаются большие значения сигнала ошибки, функция g(e(fc)) должна принимать малые значения, т. е.

должно выполняться неравенство е1 (к)>> . При этом функция ошиб-

ки

/(е(к),ег(к),е>(к))*е(к) будет соответствовать функции ошибки ЬМБ алгоритма. По мере уменьшения сигнала ошибки должно выполняться неравенство е2 (к) g (е (к)), тогда

е^ (к)

что, если за шаг адаптации принять ц, = —-г-—-, будет соответствовать

*(«(*))

функции ошибки ЬМР алгоритма.

В качестве функции g(e(k)) была примята следующая функция

которая соответствует выше описанным рассуждениям, причем параметр А этой функции определяет сходимость и минимальное значение СКО оценки сигнала в стационарном состоянии.

В четвёртой главе приведен метод и результаты моделирования рекурсивных оценок кумулянтов негауссовских процессов, рассмотрено моделиро-

вание алгоритмов, использующих кумулянты порядка выше второго, описано моделирование комбинированного алгоритма и моделирование разработанного алгоритма адаптивной фильтрации.

В четвертой главе для реализации соответствующих адаптивных алгоритмов предложены оценки кумулянтов негауссовских случайных процессов, которые были основаны на применении двух входных сигналов устройства подавления помех: сигнала с1 (г), содержащего информационный сигнал 5 (/')

и помеху п (;) , и сигнала л1 (/), коррелированного с помехой п (/) . Данные оценки определяются выражениями

Х\ (к) = (к) + М\ (к -1)] - -^[ш;' (А) + м;' (4 -1)],

К{к)Л[км!{к) + м1(к-\)}-з(х;)г,

где Щ (к) = I(0 -1|>12 (/), Щ (к) л ^ (/),

л 1=0 * /«О 1=0

Я' «=} (0--1 ('МО'+1(0 •

К 1=0 /=0 1=0

Эффективность выше указанных оценок кумулянтов негауссовских процессов при больших значениях выборки подтверждена результатами имитационного моделирования.

В главе методом моделирования на ЭВМ проведена проверка адаптивной фильтрации четырех случайных процессов алгоритмом, учитывающим 3-й кумулянт, алгоритмом, учитывающим 3-й и 4-й кумулянты, алгоритмом, учитывающим истинные значения 3-го и 4-го кумулянтов. Показано, что

учет кумулянтов порядка выше второго при корректировании весовых коэффициентов фильтра приводит к меньшим значениям СКО оценок негауссцвских случайных процессов, а именно, чем больше количество кумулянтов используются, тем меньше значения СКО (табл. 2 и 3);

значение СКО оценок негауссовских случайных процессов получаемых алгоритмами, учитывающими кумулянты порядка выше второго, значительно меньше значений СКО оценок ЬМЗ алгоритма; алгоритмы, использующие эмпирические оценки кумулянтов, сходятся к стационарному состоянию медленнее по сравнению с алгоритмом ЬМБ и алгоритмом, использующим точные значения кумулянтов случайного процесса, что обусловлено большим значением СКО оценок кумулянтов в начале процесса адаптации из-за малых значений объема выборки.

сов на фоне БГШ

Функции ошибки адаптивного алгоритма

Случайный процесс с распределением /М') /{еЛ'Я!)

г. 4. 4-,

гауссовским 0.498 0.498 0.539 0.539 0.501 0.501 0.1576 0.1576

равномерным 1.5141 0.5047 0.923 0.3077 0.6834 0.2278 0.5061 0.1687

релеевским 0.2099 0.4891 0.1628 0.3794 0.1072 0.2497 0.0756 0.1762

показательным 2.048 0.512 1.4604 0.3651 0.8744 0.2186 0.7567 0.1891

Таблица 3. Среднее и относительное значение СКО оценок случайных процес-

сов на фоне действия гауссовского случайного процесса

Случайный процесс с распределением Функции ошибки адаягивного алгоритма

/(ел'я;)

4™ <г„

гауссовским 0.498 0.498 0.539 0.539 0.501 0.501 0.1576 0.1576

равномерным 1.5141 0.5047 0.923 0.3077 0.6834 0.2278 0.5061 0.1687

релеевским 0.2099 0.4891 0.1628 0.3794 0.1072 0.2497 0.0756 0.1762

показательным 2.048 0.512 1.4604 0.3651 0.8744 0.2186 0.7567 0.1891

Проведено моделирование комбинированного алгоритма, основанного на ЬМБ алгоритме и алгоритме, учитывающем истинные значения 3-го и 4-го кумулянтов. Показано, что такое сочетание алгоритмов позволяет осуществить быструю сходимость к оценке случайного процесса, даваемой ЬМБ алгоритмом в стационарном состоянии, а потом ее улучшение алгоритмом, учитывающим 3-й и 4-й кумулянт.

Проведено моделирование разработанного адаптивного алгоритма. Показано, что

значения СКО оценок негауссовских случайных процессов, получаемых в результате адаптивной фильтрации разработанным алгоритмом при значении параметра А е [10,30], меньше значений СКО оценок ЬМ8 алгоритма и алгоритма, учитывающего истинные значения 3 и 4 кумулянтов (табл. 4);

разработанный алгоритм сходится медленнее к стационарному состоянию по сравнению с другими рассмотренными адаптивными алгоритмами (рис. 1-4);

параметр А влияет как и на скорость сходимости, так на и точность оценок разработанного адаптивного алгоритма. Чем меньше значение параметра А, тем быстрее алгоритм сходится к стационарному состоянию, но при этом увеличивается значение СКО оценки случайного процесса. Напротив, чем больше значение параметра А, тем медленнее сходится алгоритм, но в стационарном состоянии получаются более точные оценки случайного процесса.

сов на фоне БГЩ

Функции ошибки адаптивного алгоритма Случайный процесс с распределением

гауссовским равномерным. реле-евским показательным

0.4571 1.4445 0,2014 2.0029

4. 0.4571 0.4816 0.4692 0.5007

4т. 0.1732 0.5337 0.0750 0.7895

4. 0.1732 0.1846 0.1747 0.1974

С. 0.2012 0.7560 0.0509 1.1353

А = \ 4. 0.2012 0.252 0.1185 0.2838

А= 5 4.т. 0.0647 0.2416 0.014 0.8650

4.. 0.0647 0.0805 0.0326 0.2163

/1=10 0.0327 0.1118 0.0069 0.7598

/{е,е',е',А) 4. 0.0327 0.0373 0.016 0.19

А = 20 4.„ 0.0162 0.0442 0.0217 0.6159

4. 0.0162 0.0147 0.0506 0.154

А = 30 4т. 0.0179 0.0212 0.0638 0.5609

4, 0.0179 0.0071 0.1486 0.1402

А = 40 е.. 0.0337 0.0115 0.1232 0.5046

4. 0.0337 0.0038 0.287 0.1252

ш

I

¡»ЛАчм-ил-к:

Ше (ВДприА-м

1000 2000 3000 4000 5000 к

Рис. 3

1000 2003 т «¡00 5000

Рис.4

В четвертой главе методом моделирования на ЭВМ была получена функциональная зависимость СКО оценок стационарных негауссовских случайных процессов, даваемых предложенным алгоритмом адаптивной фильтрации, от отношения сигнал/шум.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Для повышения точности адаптивной фильтрации стационарных случайных процессов с распределением любого типа предложен алгоритм, основанный на применении кумулянтов порядка выше второго. Результаты статистических испытаний подтверждают эффективность предложенного алгоритма, например, при отношении сигнал/шум равном 0 дБ погрешность оценивания негауссовских процессов может составлять до 20%, при этом погрешность ЬМЭ алгоритма может составлять до 51%;

2. Разработан алгоритм адаптивной фильтрации стационарных негауссовских случайных процессов на основе комбинации алгоритма наименьших средних квадратов и алгоритма, минимизирующего среднее значение четвертой степени сигнала ошибки;

3. Проведено моделирование методом статистических испытаний разработанного алгоритма адаптивной фильтрации стационарных негауссовских случайных процессов. Результаты моделирования подтверждают эффективность разработанного алгоритма, например, минимальные значения СКО оценок, получаемые при адаптивной фильтрации случайного процесса с равномерным распределением ,при значениях параметра алгоритма/4=30 и ,4=40 составляет 1%, при этом СКО оценки алгоритма, основанного на применении 3-го и 4-го кумулянтов, составляет 18%.

Литература

1. Al-Naffouri, T. Y., Zerguine, A., Bettayed, M. A unifying view of error nonlin-earities in LMS adaptation / T. Y. Al-Naffouri ,A. Zerguine, M. Bettayed //Acoustic, speech and signal processing. - 1998- №3. - P. 1697-1700.

Список трудов

1. Шатилов, C.B. Адаптивная фильтрация негауссовских процессов / C.B. Шатилов // Тезисы докладов XIII Российск. научн. конф. профессорско-преподавательского состава ПГАТИ. - ПГАТИ, Самара, 2006. - С. 16-17.

2. Шатилов, C.B. Применение кумулянтного анализа при построении псев-добайесовкой оценки / C.B. Шатилов // Тезисы докладов VII Международной НТК «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций». -Самара, 2006.- С. 65-66.

3. Шатилов, C.B. Использование статистик высокого порядка при оптимальном оценивании / C.B. Шатилов // Тезисы докладов XIV Российск. научн. конф. профессорско-преподавательского состава ПГАТИ. - ПГАТИ, Самара, 2007. - С.55-56.

4. Агеев, A.B. Построение эмпирической псевдобайесовской оценки с использованием статистик высокого порядка / A.B. Агеев, C.B. Шатилов // Тезисы докладов Седьмого Всероссийского Симпозиума по Прикладной и Промышленной Математике. - Йошкар-Ола, 2007 - С. 370-371.

5. Шатилов, C.B. Построение псевдобайесовской оценки с использованием кумулянтов третьего порядка / C.B. Шатилов // Труды 9-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA-2007). - Москва, 2007. - С. 75-77.

6. Карташевский, В.Г. Псевдобайесовская фильтрация негауссовского сигнала / В.Г. Карташевский, C.B. Шатилов // Тексты докладов XIII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». - Воронеж, 2007. - С. 859-863.

7. Ageev, A.V. Calculation the central moment of stochastic process by using cumulant / A.V. Ageev, V.G. Kartashevsky, S.V. Shatilov // Proceeding of 11th World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics (SCI 2007), Vol.VII, 2007, Orlando, Florida, USA, P.213-216.

8. Шатилов, C.B. Приближенное вычисление центральных моментов негауссовского случайного процесса /C.B. Шатилов // Труды VI Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». - Казань, 2007. - С. 351-352.

9. Шатилов, C.B. Использование статистик высокого порядка при решении задачи оценивания характеристик негауссовского случайного процесса / C.B. Шатилов // Тезисы докладов 8-й Международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций». - Уфа, 2007. - С. 108-110.

10. Шатилов, C.B. Об эффективном использовании кумулянтов при решении задачи оценивания характеристик негауссовского случайного процесса 1 C.B. Шатилов // Тезисы докладов Восьмого Всероссийского Симпозиума

по Прикладной и Промышленной Математике. - Сочи-Адпер, 2008. - С. .377-378.

11. Шатилов, C.B. Применение кумулянтов при оценивании центральных моментов негауссовского случайного процесса / C.B. Шатилов // Инфо-коммуникационные технологии. - 2008. - Т.б, №1. - С. 16-19.

12. Шатилов, C.B. Использование кумулянтов при решении задачи оценивания характеристик негауссовского случайного процесса / C.B. Шаталов // Тезисы докладов XV российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ.

- Самара, 2008. - С.79-80.

13. Шатилов, C.B. Применение кумулянтов при оценивании центральных моментов негауссовского случайного процесса / C.B. Шатилов // Труды 10-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA-2008). - Москва, 2008. - С. 162-163.

14. Карташевский, В.Г. Обзор современных алгоритмов адаптивной фильтрации / В.Г. Карташевский, C.B. Шатилов // Труды XIV Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». - Воронеж, 2008 - С. 968-974.

15. Козырева, Н.И. Метод вычисления обратного преобразования лапласа при решении уравнения линдли / Н.И. Козырева, C.B. Шатилов // Труды 11-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA-2009). - Москва, 2009. - С. 225-226.

16. Агеев, A.B. Прием сигналов дискретных сообщений при пакетной передаче в каналах с рассеянием / A.B. Агеев. В.Г. Карташевский, C.B. Шатилов I! Труды LXIII-й Научной сессии, посвященной Дню Радио.-Москва, 2008.-С. 394-396.

17. Карташевский, В.Г. Помехоустойчивость приема сигналов ФМ-4 в канале с памятью / В.Г. Карташевский, C.B. Шаталов П Труды XV Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь».

- Воронеж, 2009. - С.745-749.

18. Шатилов, C.B. Применение кумулянтов при оценивании моментов негауссовского случайного процесса / C.B. Шатилов // Радиотехника - 2009. -(в печати).

Отпечатано фотоспособом в соответствии с материалами, представленными заказчикам Подписано в печать 21.05.09г. Формат 60x84'/|6 Бумага писчая№1 Гарнитура Тайме Заказ408.

_Печать оперативная .Усл. печ. л 0.94. Уч. изд. л.0.89. Тираж 100 экз_

Отпечатано в издательстве учебной и научной литературы Поволжского государственного университета

телекоммуникаций и информатики 443090, г. Самара, Московское шоссе 77. т. (846) 228-00-44

ВВЕДЕНИЕ.

1. ТЕОРИЯ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Понятие и классификация адаптивных систем.

1.2. Концепция адаптивной обработки сигналов.

1.3. Алгоритмы адаптивной фильтрации.

1.3.1. Закон сохранения энергии весовых коэффициентов соседних итераций.

1.3.2. Класс адаптивных алгоритмов с нелинейной функцией ошибки.

1.3.3. Класс нормализованных адаптивных алгоритмов.

1.3.4. Класс адаптивных алгоритмов аффинных проекций.

1.3.5. Адаптивные алгоритмы с переменным шагом адаптации.

1.3.6. Рекурсивные алгоритмы наименьших квадратов.

1.3.7. Адаптивная фильтрация в частотной области.

1.4. Выводы.

2. КУМУЛЯНТНОЕ ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

2.1. Определение кумулянтов и их свойства.

2.2. Модельные распределения.

2.3. Использование кумулянтного анализа в задачах оценивания параметров случайного процесса.

2.3.1. Дифференциальные уравнения для кумулянтов.

2.3.2. Пример 1.

2.3.3. Пример 2.

2.3.4. ПримерЗ.

2.4. Выводы.

3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕГАУССОВСКИХ СИГНАЛОВ.

3.1. Концепция адаптивного подавления помех.

3.2. Адаптивный алгоритм фильтрации негауссовских сигналов, основанный на применении кумулянтов.

3.3. Разработанный адаптивный алгоритм фильтрации негауссовских сигналов.

3.4. Выводы.

4. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ АС.

4.1. Моделирование стационарных СП.

4.1.1. Моделирование гауссовских стационарных СП.

4.1.2. Моделирование негауссовских стационарных СП.

4.2. Моделирование процесса оценок кумулянтов негауссовских СП.

4.3. Моделирование процесса оценки негауссовского СП адаптивными алгоритмами, использующие кумулянты порядка выше второго.

4.4. Моделирование процесса оценки негауссовского СП разработанным адаптивным алгоритмом.

4.5. Выводы.

Актуальность темы

Построение высокоскоростных систем передачи дискретных сообщений, использующих стохастические каналы связи, является весьма актуальным ввиду того, что количество передаваемой по каналам связи информации непрерывно увеличивается. Так, все увеличивающийся объем подлежащих передаче данных диктует необходимость использования для этого не только специально выделенных каналов, но и каналов ухудшенного качества (с коммутацией), а также радиоканалов различного вида.

При скоростной передаче дискретных сообщений по стохастическим каналам связи возникают множество проблем, связанных с учетом различного рода аддитивных помех. Например, при использовании каналов связи коротковолнового диапазона особенно характерна ситуация присутствия в них сосредоточенных по спектру помех, являющихся негауссовскими случайными процессами. Наличие этих помех обусловлено, например, большим числом радиосредств, одновременно работающих в канале на близких частотах.

Недостаточность априорных сведений о свойствах сосредоточенных помех в месте приема приводит к построению адаптивных устройств. Решению задачи преодоления априорной неопределенности были посвящены работы Б.Р.Левина, Р.Л.Стратоновича, ЯЗ. Цыпкина, В.Г.Репина, Г.П, Тартаковского, В.В. Шахгильдяна, Ю.Г. Сосулина. Среди зарубежных ученных, изучающих данную проблему, стоит особо выделить В. Widrow, Walach Е, S. Haykin, Т. Kailath, А.Н. Sayed, N. R. Yousef, Т. Y. Al-Naffouri, V.H. Nascimento, M. Rupp, S. C. Douglas, T. H.-Y. Meng.

Существует множество работ посвященных адаптивной фильтрации сигналов, в которых рассматривается алгоритм наименьших средних квадратов и алгоритмы, являющиеся его модификацией, а также исследуются алгоритмы с переменным шагом адаптации. В последнее время интерес многих исследователей связан с синтезом оптимальной функции ошибки, позволяющей реализовать алгоритм адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов с высокими качественными показателями.

В данной работе, основываясь на широко применяющейся сегодня теории кумулянтного анализа, решается задача разработки и анализа новых алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в каналах связи.

Цель работы

Разработка алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в каналах связи. Анализ точности фильтрации и скорости сходимости процесса адаптации.

Основные задачи исследования

- анализ алгоритмов адаптивной фильтрации случайных сигналов;

- исследование методов представления марковских случайных процессов с использованием кумулянтного анализа;

- разработка алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов;

- статистическое моделирование алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов; исследование характеристик алгоритмов фильтрации.

Методы исследования

Основные теоретические и экспериментальные исследования диссертационной работы выполнены с применением методов теории вероятностей, математической статистики, имитационного моделирования и вычислительных методов, реализованных в пакете Matlab.

Научная новизна работы

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- выполнено обобщение методов вычисления кумулянтов в задачах представления негауссовских марковских случайных процессов;

- предложен метод формирования оптимальной функции ошибки (управляющего сигнала) в алгоритме адаптивной фильтрации негауссовских сигналов;

- предложен алгоритм адаптивной фильтрации негауссовких сигналов на основе комбинации алгоритма наименьших средних квадратов и алгоритма, минимизирующего среднее значение четвертой степени сигнала ошибки;

- выполнен анализ характеристик предложенного алгоритма адаптивной фильтрации негауссовской фильтрации.

Основные положения, выносимые на защиту

- методы представления марковских стационарных процессов с использованием кумулянтного анализа;

- алгоритм адаптивной фильтрации негауссовких сигналов на основе комбинации алгоритма наименьших средних квадратов и алгоритма, минимизирующего среднее значение четвертой степени сигнала ошибки;

- результаты анализа алгоритмов адаптивной фильтрации.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

Разработанные в диссертации алгоритмы адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов целесообразно применять в связи, радиолокации, гидролокации, сейсмологии, навигации, биомедицинской электроники. В частности, рассмотренные алгоритмы целесообразно использовать при разработке приемных устройств декаметрового диапазона, осуществляющих фильтрацию узкополосных (сосредоточенных) помех в сочетании с разнесенным приемом.

Результаты диссертационной работы внедрены в ФГУП СОНИИР (г. Самара) при реализации ОКР «Объект-С» и «Оптимум-С», что подтверждено 8 актом внедрения, представленным в приложении. В приложении так же представлен акт внедрения результатов работы в учебный процесс по кафедре «Теоретических основ радиотехники и связи» ПГУТИ.

Апробация работы

Основное содержание работы докладывалось и обсуждалось на XIII, XIV и XV Российской научно-технической конференции ПГУТИ (Самара, 2006г., 2007г. и 2008г.), на VII и VIII Международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» (Самара, 2006г. Уфа, 2007г.), на IX и X Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва, 2007г. 2008г.), XIII и XIV Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2007г. и 2008г.), VI Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Казань, 2007г.), VII и VIII Всероссийском Симпозиуме по Прикладной и Промышленной Математике (Йошкар-Ола, 2006г. и Сочи-Адлер, 2007г.) и представлены на мультиконференции SCI 2007, Orlando, Florida, USA.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 работы из перечня, рекомендованного ВАК РФ для публикации результатов диссертационных исследований, 5 тезисов, 4 публикаций трудов и докладов на международных научных конференциях.

Структура и объём работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Основная часть работы содержит 167 страниц машинописного текста, 53 рисунка, 17 таблиц. Список литературы включает 118 наименований.

4.5. Выводы

В данной главе описаны компьютерные эксперименты:

- моделирование процесса оценки центрированного негауссовского СП адаптивными алгоритмами, использующие кумулянты порядка выше второго;

- моделирование процесса оценки центрированного негауссовского СП разработанным адаптивным алгоритмом, осуществляющего корректирование весовых коэффициентов-фильтра при учете сигнала ошибки, его квадрата и куба.

Для реализации адаптивной фильтрации центрированных негауссовских СП алгоритмами, учитывающих кумулянты порядка выше второго, предложен метод их оценивания. Эффективность предложенного метода оценки кумулянтов была подтверждена компьютерными экспериментами.

Проведено моделирование алгоритма, учитывающего 3 кумулянт, алгоритма, учитывающего 3 и 4 кумулянты, алгоритма, учитывающего истинные значения 3 и 4 кумулянтов. Показано, что СКО оценок негауссовских СП на фоне действия гауссовских помех алгоритмами, функционирование которых основано на учете кумулянтов порядка выше второго, имеют меньшие значения по сравнению СКО оценок, даваемых алгоритмом наименьших средних квадратов.

Проведено моделирование комбинированного алгоритма, основанного на LMS алгоритме и алгоритме, учитывающего истинные значения 3 и 4 кумулянтов. Показано, что такое сочетание алгоритмов первоначально позволяет осуществить быструю сходимость, обусловленную сходимостью адаптивного процесса LMS алгоритма, а затем коррекции винеровской оценки, обусловленной адаптивным процессом алгоритма, учитывающего 3 и 4 кумулянт.

Проведено моделирование разработанного адаптивного алгоритма, корректирование весовых коэффициентов фильтра которого основано на использовании сигнала ошибки, а также его квадрата и куба. Показано, что данный алгоритм при определенных значениях его параметра А, производит оценки стационарных негауссовских СП с меньшим значением СКО по сравнению с LMS алгоритмом и с алгоритмами, учитывающие кумулянты порядка выше второго. Поэтому, основываясь на полученных результатах, применение разработанного алгоритма при решении практических задач оценивания негауссовских СП предпочтительнее не только из-за меньших значений СКО даваемых им оценок, но из-за его более простой вычислительной сложности, что является одним из важных факторов выбора адаптивных алгоритмов при решении соответствующих задач на практике.

В главе методом моделирования на ЭВМ была получена зависимость СКО оценок стационарных негауссовских СП, даваемых рассмотренными алгоритмами адаптивной фильтрации, от отношения сигнал/шум.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе было произведено исследование и разработка алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в каналах связи.

В результате анализа существующих работ по данной тематике, проведенного в ходе диссертационного исследования, показано, что существующие на сегодняшний момент алгоритмы адаптивной фильтрации после завершения процесса адаптации в стационарном состоянии реализуют винеровскую оценку. Данная оценка является оптимальной, если оцениваемый сигнал имеет гауссовскую плотность вероятности. Реализация винеровской оценки основано на применении статистик первого и второго порядков, т. е. математического ожидания и дисперсии. При адаптивной фильтрации сигнала с негауссовской плотностью вероятности алгоритмы, представленные в первой главе, реализуют псевдобайсовскую оценку, которая эквивалентна по структуре винеровской, так как при ее реализации плотность сигнала аппроксимируется гауссовской плотностью. Следовательно, оценка негауссовских сигналов, осуществляемая такими алгоритмами является не оптимальной и приводит к большим значениям СКО.

Для повышения точности адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в диссертационной работе при выводе соответствующих алгоритмов учитывались кумулянты порядка выше второго, являющиеся информацией, характеризующей негауссовость оцениваемых сигналов.

На примерах решения задач оценивания центральных моментов негауссовского случайного процесса было показано эффективность использования кумулянтов. А именно, учет кумулянтов выше второго порядка позволяет значительно повысить точность вычисления центральных моментов по сравнению с результатами, полученными при учете только первых двух кумулянтов.

В целом, по итогам работы можно сформулировать следующие основные полученные результаты:

- выполнено обобщение методов вычисления кумулянтов в задачах представления негауссовских марковских случайных процессов;

- предложен метод формирования оптимальной функции ошибки (управляющего сигнала) в алгоритме адаптивной фильтрации негауссовских сигналов;

- предложен алгоритм адаптивной фильтрации негауссовких сигналов на основе комбинации алгоритма наименьших средних квадратов и алгоритма, минимизирующего среднее значение четвертой степени сигнала ошибки;

- выполнен анализ характеристик предложенного алгоритма адаптивной фильтрации негауссовской фильтрации.

1.Уидроу, Б. Адаптивная обработка сигналов / Б. Уидроу, С. Стринз; пер. с англ. под ред. В. В. Шахгильдяна. - М.: Радио и связь, 1989. — 440 е.: ил.

2. Haykin, S. Adaptive filter theory / S. Haykin. Изд. 3-е. - NJ: Prentice-Hall. - 1996. - P. 989.

3. Haykin, S. Adaptive filters./ S. Haykin // IEEE Transactions on Communications. 1995. - Vol. 7. - P. 547-553.

4. Manolakis, D. G. Statistical and adaptive signal processing: spectral estimation, signal modeling, adaptive filtering and array processing / D. G. Manolakis, V. K. Ingle, S. M. Kogan. MA: Artech house publishers, 2005.-P. 816.

5. Горячкин, О. В. Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи / О. В. Горячкин. — М.: Радио и связь, 2003.-230 е.: ил.

6. Sato, Y. Two extensional applications of zero-forcing equalization method / Y. Sato // IEEE Transactions on Communications. 1975. - Vol. COM-23. -P. 684-687.

7. Godard, D. N. Self-recovering equalization and carrier tracking in a two-dimensional data communication system / D. N. Godard // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 1980. - Vol. COM-27. - P. 1867-1875.

8. Treichler, J. R. A new approach to multipath correction of constant modulus signals / J. R. Treichler, B. G. Agee // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 1983. - Vol. ASSP-31. - P. 459-471.

9. Hatzinakos, D. Blind equalization using a tricepstrum based algorithm

10. D. Hatzinakos, C. L. Nikias // IEEE Transactions on-Communications. —i1991. Vol. COM-39. - P. 669-682.

11. Прокис, Д. Цифровая связь. / Д. Прокис; пер. с англ. под ред. Д. Д. Кловского. М.: Радио и связь, 2000. - 800 е.: ил.

12. Pham, D. Т. Blind separation of mixture of independent sources through a quasi-maximum likelihood approach / D. T. Pham, P. Garrat // IEEE Transactions on Signal Processing. -1997. — Vol. COM-45. P. 1712-1725.

13. Bell, A. J. An information-maximization approach to blind separation and blind diconvolution / A. J. Bell, T. J. Sejnowski // Neural Computation. 1995.-Vol. 6.-P. 1129-1159.

14. Сейдж, Э. Теория оценивания и ее применение в^ связи и управлении / Э. Сейдж, Мейлс; пер. с англ. под ред. Б.Р. Левина — М.: Связь, 1976.-496 с.

15. Грант, П. М. Адаптивные фильтры / П. М. Грант, К. Ф. Н. Коуэн, Б. Фридлендер, Д. Р. Трейчлер, Д. М. Тернер, Э. Р. Феррара, П. Ф. Адаме ; пер. с англ. под. ред. Коуэна К. Ф. Н. и Гранта П. М. М.: Мир, 1988.-392 е., ил.

16. Айфичер, Э. С. Цифровая обработка сигналов: практический подход / Э. С. Айфичер, Б. У. Джервис. Изд. 2-е — М.: Издательский дом «Вильяме», 2004. - 992 е.: ил.

17. Zaknich, A. Principles of adaptive filters and self-learning systems. / A. Zaknich. Springer, 2005. - P. 397.

18. Nascimento, V.H. On the learning mechanism of adaptive filters / V.H. Nascimento, A.H. Sayed // IEEE Trans. Signal Process. Vol. 48(6), -P. 1609 (2000).

19. S. Haykin, B. Widrow, Energy conservation and the learning ability of LMS adaptive filters, In Least-mean-square adaptive filters: New Insights, pp. 79-104, Wiley, NY, 2003.

20. Widrow, B. Adaptive switching circuits / B. Widrow, M. E. Hoff // IRE WESCON Convention Record. 1960. - P. 96-104.

21. Sayed, A. H. A state-space approach to adaptive RLS filtering / A. H. Sayed, T. Kailath // IEEE Signal Processing Magazine. 1994. - Vol. 11, № 3. — P. 18-60.

22. Morf, M. Square root algorithms for least squares estimation / M. Morf, T. Kailath // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1975. — Vol. AC-20, № 4. P. 487-497.

23. Lee, D. T. L. Recursive least-square ladder estimation algorithms / D. T. L. Lee, M. Morf, B. Friedlander // IEEE Transactions on Circuits And Systems.- -1981.- Vol. CAS-28, № 6. P. 467-481.

24. Lev-Ari, H. Least squares adaptive lattice and transversal filters: A unified geometrical theory / H. Lev-Ari, T. Kailath, J. Cioffi // IEEE on Information Theory. 1984. - Vol. IT-30, № 2. - P. 222-236.

25. Honig, M. L. Adaptive Filters — Structures, Algorithms and Applications / M. L. Honig, D. G. Messerschmitt. — Kluwer Academic Publishers, 1984.

26. Nascimento, V. H. Analysis of the hierarchical LMS algorithm / V. H. Nascimento // IEEE Commun. lett. 2003. - Vol. 10, № 3. - P. 78-81.

27. Woo, T.-K. Fast hierarchical least mean square algorithm / T.-K. Woo // IEEE Signal Processing lett. 2001. - Vol. 8. - P. 289-291.

28. Nascimento, V. H. HRLS: A more efficient RLS algorithm for adaptive FIR filtering / V. H. Nascimento // IEEE Commun. lett. 2001. -Vol. 5.-P. 81-84.

29. Al-Naffouri, Т. Y. Transient analysis of data-normalized adaptive filters / T. Y. Al-Naffouri, A. H. Sayed // IEEE Trans. Signal Processing. -2003.-Vol. 51, №3. -P. 639-652.

30. Tarrab, Ml Convergence and performance analysis of normalized LMS algorithm with uncorrelated Gaussian data / M. Tarrab, A. Feuer // IEEE Trans. Inform. Theory. -1988. Vol. 34. - P. 680-690.

31. Rupp, M. The behavior of LMS and NLMS algorithms in the presence of spherically invariant processes / M. Rupp // IEEE Trans. Signal Processing. 1993.-Vol. 41.-P. 1149-1160.

32. Slock, D. Т. M. On the convergence behavior of the LMS and normalized LMS algorithms. / D. Т. M. Slock // IEEE Trans. Signal Processing. 1993. - Vol. 41. - P. 2811-2825.

33. Bershad, N. J. Behavior of the s -normalized LMS algorithms with Gaussian inputs / N. J. Bershad // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. -1987 Vol. ASSP-35. - P. 636-644.

34. Al-Naffouri, T. Y. Analysis of the normalized LMS algorithms with Gaussian inputs / T. Y. Al-Naffouri, A. H. Sayed // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. 1986. - Vol. ASSP-34. - P. 793-806.

35. Douglas, S. C. Normalized data nonlinearities for LMS adaptation / S. C. Douglas, T. H.-Y. Meng // IEEE Trans. Signal Processing. -1994. Vol. 42.-P. 1352-1365.

36. Hyun-Chool Shin. Mean-Square performance of a family of affine projection algorithms / Hyun-Chool Shin, A. H. Sayed // IEEE Trans. Signal Processing. 2004. - Vol. 52. - P. 90-102.

37. Abadi, M. S. E. Mean-square performance of adaptive filter algorithms in nonstationary environments / M. S. E. Abadi, J. H. Husoy // International journal of signal processing. 2007. - Vol. 4, № 3. p. 182188.

38. Ozeki, К. An adaptive filtering algorithm using an orthogonal projection to an affine subspace and its properties / K. Ozeki, T. Umeda // Electron. Commun. Jpn. 1984. - Vol. 67-A, №.5. - P. 19-27.

39. Bershad, N. J. A stochastic analysis of the affine projection algorithm for gaussian autoregressive inputs / N. J. Bershad, D. Linebarger, S. McLaughlin // ICASSP: proc. UT: Saly Lake City, 2001. - P. 3837-3840.

40. Walach, E. The least mean fourth (LMF) adaptive algorithm and its family / Walach E., Widrow B. // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1984. — Vol. IT-30, № 2. P. 275-283.

41. Nascimento, V. H. Analysis of the least mean fourth algorithm based on Gaussian distributed tap weights / V. H. Nascimento, J. С. M. Bermudez, // EUSIPC02000. Tampere, Sept. 2000.

42. Hbscher, P. I. An improved statistical analysis of the least mean fourth (LMF) adaptive algorithm / P. I.Hbscher, J. С. M. Bermudez // IEEE Trans. Signal Processing. -2003. Vol. 51, № 3. - P. 664-671.

43. Nascimento, V. H. When is the least-mean fourth algorithm mean-square stable? / V. H. Nascimento, J. С. M. Bermudez // IEEE International conference on Acoustics, Speech and Signal Processing 2005. -2005. — Vol. IV.-P. 341-344.

44. Nascimento, V. H. Probability of divergence for the least-mean fourth (LMF) algorithm / V. H. Nascimento, J. С. M. Bermudez'// IEEE Trans, on Signal Proces. 2006. - Vol. 54, №4.-P. 1376-1385.

45. Chambers, J. A. Least mean mixed-norm adaptive filtering / J. A. Chambers, O. Tanrikulu, A. G. Constantindes // Electron. Lett. — 1994. -Vol. 30; №. 19. P. 1574-1575.

46. Chambers, J. A. Convergence and steady-state properties of the least mean mixed-norm (LMMN) adaptive algorithm / J. A. Chambers, O. Tanrikulu // Inst. Elect. Eng., Vis., Image signal process. June. 1996. — Vol. 143, №3.-P. 137-142.

47. Shin, H.-C. Mean-square performance of data-reusing adaptive algorithms / H.-C. Shin, W.-J. Song, A. H. Sayed // IEEE Signal Processing Lett. 2005. - Vol. 12, № 12.-P. 851-854.

48. Apolinario, J. Convergence analysis of the binormalized data-reusing LMS algorithm / J. Apolinario, M. L. Campos, P. S. R. Diniz // IEEE Signal Processing. 2000. - Vol. 48. - P. 3235-3242.

49. Schnaufer, B. A. New data-reusing LMS algorithms for improved convergence / B. A. Schnaufer, W. K. Jenkis // Int. Symp. Circuits Systems. 1998.-P. 1584-1588.

50. Duttweiler, D. L. Adaptive filter performance with nonlinearities in the correlation multiplier / D. L. Duttweiler // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. 1982. - Vol. ASSP-30. - P. 578-486.

51. Gibson, J. MVSE adaptive filtering subject to a constraint on MSE / J. Gibson, S. Gray // IEEE Trans. Circuits Syst. 1988. - Vol. 35. - P. 603608.

52. Sethares, W. Adaptive algorithms with nonlinear data and error function / W. Sethares // IEEE Signal Processing. 1992. - Vol. 40. - P. 2199-2206.

53. Mathews, V. Improved convergence analysis of stochastic gradient adaptive filters using the sign algorithm / V. Mathews, S. Cho // IEEE

54. Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. 1987. - Vol. ASSP-35. - P. 450-454.

55. Bershad, N. J. On error saturation nonlinearities in LMS adaptation / N. J. Bershad // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. 1988. -Vol. 36.-P. 440-452.

56. Bershad, N. J. Saturation effects in LMS adaptive echo cancellation for binary data / N. J. Bershad, M. Bonnet // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. 1990. - Vol. 38. - P. 1687-1696.

57. Eweda, E. Comparison of RLS, LMS, and sign algorithms for tracking randomly time-varying channels / E. Eweda // IEEE Signal Processing. — 1994. Vol. 42. - P. 2937-2944.

58. Claasen, T. Comparison of the convergence of two algoritms for adaptive FIR digital filters / T. Claasen, W. Mecklenbrauker // IEEE Trans. Circuits Syst. -1981. Vol. CAS-28. - P. 510-518.

59. Florian, S. Performance analysis of the LMS algorithm with a tapped delay line (two-dimensional case) / S. Florian, A. Feuer // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. -1986. Vol. ASSP-34. - P. 15421549.

60. Douglas, S. C. Exact expectation analysis of the LMS algorithm filter / S. C. Douglas, W. Pan // IEEE Signal Processing. Vol. 43. - P. 28632871.

61. Nascimento, V. H. Stability of the 1ms adaptive filter by means of a state equation / V. H. Nascimento, A. H. Sayed, // Annual Allerton Conf. Commun., Contr., Comput. 1998. - P. 242-251.

62. Gardner, W. A. Learning characteristic of stochastic-descent algorithms: A general study, analysis, and critique / W. A. Gardner // IEEE Signal Processing. 1984. - Vol. 6, № 2. - P. 113-133.

63. Feuer, A. Convergence analysis of LMS filter with uncorrelated Gaussian data / A. Feuer, E. Weinstein // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. 1985. - Vol. ASSP-33.

64. Husoy, J. H. A unified framework for adaptive filtering / J. Ы. Husoy // NORSING: proc. Bergen, Norway, Oct. 2003.

65. Sharma, R. Asymptotic analysis of stochastic gradient-based, adaptive filtering algorithms with general cost functions / R. Sharma, William A. Sethares, J. A. Bucklew // IEEE Signal Processing. 1996. - Vol. 44, № 9. -P. 2186-2194.

66. Sethares, W. A. Adaptive algorithms with nonlinear data and error functions / W. A. Sethares // IEEE Signal Processing. 1992. — "Vol. 40, № 9.-P. 2199-2206.

67. Yousef, N. R. A unifed approach to the steady-state and tracking analyses of adaptive filters / N. R. Yousef, A. H. Sayed // IEEE Signal Processing.-2001.-Vol. 49, №. 2.-P. 314-324.

68. Al-Naffouri, T. Y Transient analysis of adaptive filters with error nonlinearities / T. Y Al-Naffouri, A. H. Sayed // IEEE Trans. Signal Processing.-2003.-Vol. 51, №3.-P. 653-663.

69. Sayed, A. H. A time-domain feedback analysis of adaptive algorithms via the small gain theorem / A. H. Sayed, M. Rupp // SPIE. 1995. - Vol. 2563.-P. 458-469.

70. Sayed, A. H. A time- domain feedback analysis of filtered-error adaptive gradient algorithms / A. H. Sayed, M. Rupp, // IEEE Trans. Signal Processing. 1996. - Vol. 44. - P. 1428-1439.

71. A. H. Sayed, M. Rupp, Robustness issues in adaptive filtering, in DSP Handbook, Boca Raton, FL: CRC, 1998, ch. 20.

72. Sayed, A. H. On the convergence of blind adaptive equalizers for constant-modulus signals / A. H. Sayed, M. Rupp // IEEE Trans. Commun. 2000. - Vol. 48. - P. 795-803.

73. Карташевский, В. Г. Обзор современных алгоритмов адаптивной фильтрации / В. Г. Карташевский, С.В. Шатилов // Труды XIV международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». — Воронеж, 2008. — С. 968-974.

74. Jones, S. К. Analysis of error-gradient adaptive linear estimators for a class of stationary dependent processes / S. K. Jones, R. K. Cavin, W. M. Reed // IEEE Trans. Inform. Theory. 1982. - Vol. IT-28. - P. 318-329.

75. Gay, S. L. Acoustic signal processing for telecommunication / S. L. Gay, J. Benesty. 2 edition - Springer, 2000. - P. 333.

76. Mathews, V. J. A stochastic gradient adaptive filter with gradient adaptive step size / V. J. Mathews, Z. Xie // IEEE Signal Processing. -1993.-Vol. 41.-P. 2075-0287.

77. Kanemasa, A. An adaptive-size sign algorithm for fast convergence of a data echo canceller / A. Kanemasa, K. Niwa // IEEE Trans. Commun. — 1987.-Vol. 35.-P. 1102-1108.

78. Kwong, R. H. A variably step-size LMS algorithm / R. H. Kwong, E. W. Johnston // IEEE Signal Processing. 1992. - Vol. 40. - P. 1633-1642.

79. Aboulnasr, T. A robust variable step-size LMS-type algorithm: Analysis and simulations / T. Aboulnasr, K. Mayys // IEEE Trans. Signal Processing. 1997. - Vol. 45. - P. 631-639.

80. Mader, A. Step-size control for acosustic echo cancellation filters -An overview / A. Mader, H. Puder, G. U. Schmidt // IEEE Trans. Signal Processing. 2000. - Vol. 45. - P. 1697-1719.

81. Shin'ichi Koike A class of adaptive step-size control algorithms for adaptive filters / Shin" ichi Koike // IEEE Trans. Signal Processing. 2002. -Vol. 50, №6.-P. 1315-1326.

82. Сейдж, Э. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении / Э. Сейдж, Дж. Меле; под. ред. Б.Р. Левина М.: Сов. радио, 1976.-496 с.

83. Bierman, G. J. Factorization methods for discrete sequential estimation / Bierman, G. J. — NY: Academic Press., 1977. — P. 256.

84. Morf, M. Square root algorithms for least squares estimation / M. Morf, K. Kailath // IEEE Transsac. on Automatic Control. 1975. - Vol. AC-20, № 4. - P. 487-497.

85. А. Н. Sayed, К. Kailath, Recursive Least-square adaptive filters, in DSP handbook, ch. 21, CRC Press., 1998.

86. Lawson, C. L. Solving Least-square problems / C. L. Lawson, R. J. Hanson. Society for Industrial Mathematics, 1987. - P. 350.

87. Shynk, J. J. Frequency-domain and multirate adaptive filtering / J. J. Shynk // IEEE SP magazine. 1992. - P. 14-37.

88. Карташевский, В.Г. Псевдобайесовская фильтрация негауссовского сигнала / В.Г. Карташевский, С.В. Шатилов // Тексты докладов XIII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж, 2007. — С. 859-863.

89. Малахов, А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразование / А.Н. Малахов. — М.: Сов. радио, 1978.-376 с.

90. Кендалл. М., Стьюарт, Теория распределений / М. Кендалл, Стьюарт; перв. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Наука, 1966. — 588 с. с ил.

91. Шатилов, С.В. Приближенное вычисление центральных моментов негауссовского случайного процесса / С.В. Шатилов // Труды VI Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Казань, 2007. — С. 351-352.

92. Шатилов, С.В. Об эффективном использовании кумулянтов при решении задачи оценивания характеристик негауссовского случайного процесса / С.В. Шатилов // Тезисы докладов Восьмого Всероссийского

93. Симпозиума по Прикладной и Промышленной Математике. Сочи-Адлер, 2008. - С. 377-378.

94. Шатилов, С.В. Применение кумулянтов при оценивании центральных моментов негауссовского случайного процесса / С.В. Шатилов // Труды 10-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA-2008). — Москва, 2008. — С. 162-163.

95. Тихонов, В.И. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов / В.И. Тихонов, Н.К. Кульман. — М.: Сов. Радио, 1975. -704 с.

96. Пугачев, B.C. Теория стохастических систем / Пугачев B.C., Синицын И.Н. М.: Логос, 2004. - 1000 с.

97. Дашевский, М.Л. Приближенный анализ нелинейных, нестационарных динамических систем / М.Л. Дашевский, Р.Ш. Липцер // Автоматика и телемеханика. 1967. — №8. — С. 33-43.

98. Дашевский, М.Л. Приближенный анализ точности нестационарных нелинейных систем методом семиинвариантов / М.Л. Дашевский // Автоматика и телемеханика. 1967. — №11. — С. 62-81.

99. Шатилов, С.В. Применение кумулянтов при оценивании центральных моментов негауссовского случайного процесса / С.В.

100. Шатилов // Инфокоммуникационные технологии. 2008. - Т.6, №1. -С. 16-19.

101. Mathes, J.H. Numerical methods using matlab / J.H. Mathes, K.D. Fink Prentice Hall, 1999. - 662 c.

102. Миронов, M.A. Марковские процессы / M.A. Миронов, В.И. Тихонов. М., Сов. Радио, 1977. - 488 с.

103. Шатилов, С.В. Применение кумулянтов при оценивании моментов негауссовского случайного процесса / С.В. Шатилов // Радиотехника. — 2009. (в печати).

104. Бахвалов Н.С. Численные методы / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельников Г.М. 4-е изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. -636 с.

105. Шатилов, С.В. Адаптивная фильтрация негауссовских процессов / С.В. Шатилов // Тезисы докладов XIII Российск. научн. конф. профессорско-преподавательского состава ПГАТИ. ПГАТИ, Самара, 2006. - С.16-17.

106. Карташевский, В.Г. Обработка пространственно-временных сигналов в каналах с памятью / В.Г. Карташевский. М.: Радио и связь, 2000. - 272 е.: 78 ил.

107. Быков, B.B. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике / B.B. Быков. М.: Советское радио, 1971. — 328 с.

108. Вентцель, А.Д. Курс теории случайных процессов / А.Д. Вентцель. Изд. 2-е, доп. - М.: Наука, Физматлит, 1966. - 400 с.

109. Поляк, Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах / Ю.Г. Поляк. М. : Советское радио, 1971 - 400 с.

110. Левин, Б.Р. Теоретические основы статистической радиофизики / Б.Р. Левин. М.: Советское радио, Т.1. - 1969. - 728 с.