автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Геометрические методы анализа сложного поведения в динамических моделях с негладкими нелинейностями

На правах рукописи

¿¿съе^З,--

ии34ьЭ134 Жежерун Андрей Александрович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛОЖНОГО ПОВЕДЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ С НЕГЛАДКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 4 идя 23.09

Ярославль - 2009

003469134

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Самарского государственного областного университета (Наяновой)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Щепакина Елена Анатольевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Колесов Андрей Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор Семёнов Михаил Евгеньевич

Ведущая организация: Институт проблем передачи информации

(ИППИ) РАН им. A.A. Харкевича

Защита состоится 29 мая 2009 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.05 в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Полушкина роща, д. 1.

Автореферат разослан «' » апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глызин С.Д.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Диссертация посвящена анализу сложного поведения в динамических моделях с гистерезисными нелинейностями, а также в моделях с сингулярными возмущениями.

Модели с гистерезисными элементами часто возникают при решении задач физики, механики, экономики и др. Основы математической теории систем с гистерезисом, трактующей гистерезисные нелинейности как операторы или преобразователи с пространствами состояний, были созданы в 70-80-х годах прошлого века М.А. Красносельским и его коллегами. Предложенное единое математическое описание, охватывающее многие феноменологические модели гистерезиса и нелокальной памяти, позволило развить эффективные методы качественного и численного исследования моделей с гистерезисными элементами. Математические модели таких сложных систем, как правило, одновременно включают дифференциальные уравнения и операторные соотношения между частью переменных; их исследование, в основном в случае простых гистерезисных операторов типа реле и люфтов, берет свое начало в классических работах по теории управления и теории колебаний. Теория гистерезиса и ее приложения подробно изучена в работах М. Брокате, А. Визинтина, М.А. Красносельского, П. Крейчи, И. Майергойза, A.B. Покровского и других авторов.

В настоящее время свойства различных классов гистерезисных операторов достаточно хорошо изучены, включая непрерывность и липшице-вость в функциональных пространствах, монотонность и др.; к важным общим свойствам относится физическая реализуемость, то есть независимость значений оператора от будущего, и коммутативность с монотонными преобразованиями времени: при изменении скорости изменения входа точно так же меняется скорость изменения выхода. В то же время вопросы, относящиеся к различным аспектам динамики систем с гистерезисом и, в том числе, колебаниям и бифуркациям, остаются открытыми. Их изучение осложняется тем, что гистерезисные операторы не обладают свойством дифференцируемости и могут иметь сложные пространства состояний. К таким операторам относится оператор Прейсаха, возникающий при моделировании электронных осцилляторов с ферромагнитными элементами, а также в гидрологических моделях проникновения осадков в почву, которые изучаются в настоящей работе. Подобные вопросы рассматривались также в работах B.C. Козякина, М.А. Красносельского, A.M. Красносельского, H.A. Кузнецова, Д.И. Рачинского, М.Е. Семёнова и др.

Другим типом широко используемых на практике динамических моде-

лей являются модели с сингулярными возмущениями. Такие модели применяются для анализа аэрокосмических, электрических, электромеханических, энергетических, роботехнических, химических, биохимических, биологических, экономических и др. систем. Первые результаты по теории сингулярно возмущенных систем получены А.Н. Тихоновым. Дальнейшее развитие теория получила в работах Д.В. Аносова, В.Ф. Бутузова, A.B. Васильевой, М.И. Вишика, В.М. Волосова, С.А. Ломова, JI.A. Люстерни-ка, С.А. Кащенко, H.H. Моисеева, Б.И. Моргунова, Е.Ф. Мищенко, Р. Е. О'Молли, Н.Х. Розова, Ф. Хауэса, К. Чанга и многих других авторов.

Поток публикаций, посвященных теории и приложениям сингулярно возмущенных систем, непрерывно растет. При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа. Большинство статей и монографий по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования системы. Для решения таких проблем представляется целесообразным привлекать не только асимптотические, но и геометрические методы анализа. Геометрический подход является более оправданным и в случае наличия в моделях негладких нелинейностей, которые делают построение асимптотических разложений затруднительным.

Геометрическая теория динамических систем находит свои истоки в работах А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова. Большое распространение получил метод интегральных многообразий, связанный с изучением целых классов решений. Основы теории интегральных многообразий были заложены в работах H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского. Основные результаты по теории интегральных многообразий изложены в фундаментальной монографии Ю.А. Митропольского и О.Б. Лыковой. Для исследования сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений метод интегральных многообразий применялся в работах Я.С. Бариса, К.В. Задира-ки, Ю.А. Митропольского, Ю.И. Неймарка, В.А. Соболева, В.В. Стрыгина, В.И. Фодчука, Д. Хенри и других авторов.

Важным объектом в моделях с сингулярными возмущениями являются траектории-утки, которые проходят сначала вблизи притягивающей части медленной поверхности модели, а затем продолжают движение в течение некоторого времени вдоль отталкивающей части медленной поверхности. Траектории такого типа применяются для решения задач биологии, механики, химии, экономики и электроники. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах В.И. Арнольда,

Г.Н. Горелова, Ю.С. Ильяшенко, А.Ю. Колесова, Ю.С. Колесова, Е.Ф. Мищенко, А.Н. Покровского, Н.Х. Розова, В А. Соболева, Е.А. Щепакиной и ДР.

В настоящей работе предлагается новый геометрический метод анализа периодических и хаотических траекторий-уток в моделях с сингулярными возмущениями, основанный на теории вращения векторного поля. Данный метод позволяет обойти трудности, связанные с наличием в моделях негладких нелинейностей. В качестве примера изучается электронный генератор шума. Основное внимание уделяется периодическому и хаотическому поведению.

Цель диссертационной работы

Основной целью данной работы является разработка геометрических методов анализа сложного поведения в различных динамических моделях. Для модели электрошюго осциллятора с гистерезисным элементом доказывается существование бифуркации Андронова-Хопфа и непрерывных ветвей периодических решений. Для модели проникновения осадков в почву доказывается существование и единственность решений и разрабатывается численный алгоритм их построения. Для модели электронного генератора шума с сингулярными возмущениями и негладкими элементами доказываются теоремы о существовании и локализации периодических и хаотических траекторий-уток.

Методы исследования

В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории гистерезиса, численные методы исследования сложных явлений нелинейной динамики, идеи теории сингулярных возмущений. Алгоритмы для численных расчетов были реализованы с помощью компьютера.

Научная новизна

В представленной диссертационной работе впервые получены следующие результаты.

1. Доказаны новые теоремы о бифуркациях Андронова-Хопфа и существовании непрерывных ветвей циклов в системах операторно-диф-ференциальных уравнений с оператором Прейсаха под производной. Предложен численный алгоритм построения ветвей циклов для таких

систем. Полученные математические результаты продемонстрированы на примере модели электронного осциллятора с гистерезисной индуктивностью.

2. Доказаны существование и единственность решений дифференциальных уравнений с оператором Прейсаха под производной и разрывной по времени правой частью. Разработан алгоритм численного решения таких уравнений. Алгоритм продемонстрирован на примере модели проникновения осадков в почву.

3. Предложен метод локализации периодического и хаотического поведения траекторий-уток в сингулярно возмущенных системах обыкновенных дифференциальных уравнений с негладкими нелинейностя-ми. Полученные математические результаты продемонстрированы на примере модели электронного генератора шума.

4. Результаты о существовании определенных типов сложного поведения в моделях с сингулярными возмущениями обобщены на случай моделей с числом медленных переменных более двух.

Теоретическая и практическая ценность

Математические результаты диссертации позволяют производить качественное исследование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с негладкими нелинейностями, а также операторно-дифференциальных уравнений. Разработанные методы локализации сложного поведения могут быть использованы для моделирования и расчета явлений различной природы, так как имеют универсальный характер. Результаты численного исследования моделей гидрологии, рассмотренных в диссертации, имеют практическое значение, так как могут быть использованы для определения динамики процесса проникновения воды в почву в зависимости от интенсивности осадков. Результаты исследования электронных схем могут быть использованы для выбора определенных режимов функционирования этих схем, важных с точки зрения конкретных практических задач.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на международных конференциях по разнотемповым процессам и гистерезису МШ1РНУ8-2006 (г. Корк, Ирландия, апрель 2006 г.) и М1Л1РНУ8-2008 (г. Корк, Ирландия, апрель 2008 г.), международном симпозиуме по гистерезису и микромагнитному

моделированию (НММ-07, г. Неаполь, Италия, июнь 2007 г.), на генеральной ассамблее Европейского Геофизического Союза (EGU-2008 General Union, г. Вена, Австрия, апрель 2008 г.), на X международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, июнь 2008 г.).

Результаты обсуждались на научных семинарах кафедры прикладной математики университета г. Корк (Ирландия) и семинарах кафедры прикладной метематики СГОУН.

Публикации

По теме диссертациошюй работы опубликовано 14 работ, в том числе 6 статей в изданиях из списка ВАК и из международного списка Science Citation Index Expanded, 4 статьи в других международных научных журналах, 2 препринта и 2 тезисов докладов. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, 1 приложения и списка литературы из 115 наименований. Объем диссертации — 123 страницы.

Краткое содержание работы

В первой главе приводятся основные факты из теории систем с гистерезисом, теории сингулярных возмущений и теории хаотического поведения. Приводится определение оператора Прейсаха и рассматриваются его основные свойства. Для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений рассматривается понятие траекторий-уток. Наконец, приводятся основные определения и теоремы, связанные с динамическим хаосом.

Во второй главе изучается поведение решений в динамических моделях, состоящих из дифференциального уравнения и гистерезисного входно-выходного соотношения. Сначала рассматривается модель электронного осциллятора ван дер Поля с ферромагнитным сердечником в катушке индуктивности. Электронная схема, реализующая такой осциллятор, состоит из LCR-контура и цикла отрицательной обратной связи, который может быть построен либо на основе триода, как в классической модели, либо

туннельного диода. Наличие ферромагнитного сердечника приводит к ги-стерезисной зависимости между магнитной индукцией В и магнитным полем Н, которая моделируется с помощью оператора Прейсаха. Уравнения, описывающие такой осциллятор, имеют вид

(х + аРх)' = у, у' = к,\х + к2у - к3у3. (1)

Особое внимание уделяется случаю = 0, когда правая часть уравнения линейная. Рассмотрим следующее обобщение уравнения (1) с линейной правой частью:

(г + сТх)' = А(А)г, х = М, геК*. (2)

Здесь с помощью штриха обозначается производная по времени; V — ~ оператор Прейсаха; А(А) — квадратная матрица порядка N, гладко зависящая от скалярного параметра А; вход х = х(£) нелинейности Прейсаха связан с фазовой переменной 2 = г{Ь) при помощи скалярного произведения (•,-} в Предполагается, что векторы Ь, с € Мдг удовлетворяют соотношению {Ь, с) > 0. Каждое начальное условие ^(¿о) — 2о и начальное состояние г;(¿о) = Щ нелинейности Прейсаха определяют единственное решение 2 (4) системы (2), продолжимое на бесконечный промежуток £ > ¿о и непрерывно зависящее от 20,770• Непрерывное решение г{Ь) может быть не везде дифференцируемым, но удовлетворяет уравнению везде, то есть функция + сРх'\р) непрерывно дифференцируема. Заметим, что 2 — 0 является решением системы (2) при каждом значении параметра А.

Для уравнения (2) получены локальные теоремы о бифуркации Анд-ронова-Хопфа из состояния равновесия и из бесконечности и условия, гарантирующие существование глобальной ветви циклов, соединяющей состояние равновесия и бесконечность. При этом используются следующие слабые определения бифуркаций: Ао называется точкой бифуркации Анд-ронова-Хопфа из нулевого положения равновесия (бесконечности), если система имеет сколь угодно малые (большие) циклы при некоторых значениях А, сколь угодно близких к Ао-

Теорема 1. Пусть матрица Л(А) имеет пару простых собственных значений и(А) ± гг>(А). Пусть и(0) = 0, и'(0) Ф 0, г>(0) > 0, и пусть числа гтто(О) не являются собственными значениями матрицы >1(0) при п = 0, ±2, ±3,... Тогда Ао = 0 — это точка бифуркации Андронова-Хопфа из нулевого положения равновесия системы (2).

Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 точка Ао = 0 бифуркации из положения равновесия — это также точка бифуркации Андронова-Хопфа системы (2) из бесконечности.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда найдется такое а > 0, что при 0 < ||с|| < а система (2) имеет непрерывную ветвь циклов, соединяющую бифуркации Андронова-Хопфа из нулевого положения равновесия и из бесконечности при До = 0.

Доказательство теорем 1-3 основано на сведении задачи о циклах системы (2) к задаче о неподвижной точке построенного специальным образом вполне непрерывного оператора В. Существование неподвижной точки у оператора В устанавливается с помощью теории вращения векторных полей для теорем 1 - 2 и с помощью принципа сжимающих отображений для теоремы 3.

Далее рассматривается гидрологическая модель проникновения осадков в почву. Модель состоит из обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с гистерезисной засисимостью между переменными. Как и ранее, гистерезис представлен в виде оператора Прейсаха. Особенностью модели является наличие разрывов по времени в правой части, возникающих в те моменты, когда осадки начинаются или прекращаются, а также при изменении их интенсивности.

где x(t) и y(t) — вход и выход оператора Прейсаха V с переменным состоянием 7](t), функция f(t, х) непрерывно дифференцируема по t и х, а функция g(t) непрерывно дифференцируема, за исключением точек Т = {г,}, в которых определены и ограничены значения д(т{ — 0), д(т{ + 0), д'(ъ — 0), и д'(т{ + 0), но g(t) или g'(t) могут иметь ограниченные разрывы в т1. Также предполагается, что любой ограниченный интервал содержит конечное число точек ц.

Разрывы по времени в правой части уравнений вида (3) приводят к возникновению локальных сингулярностей. Поэтому в настоящей работе разработаны специальные методы численного построения решений уравнений этого вида, а также доказаны теоремы о существовании и единственности их решений. Кроме того, отдельная теорема описывает поведение решения в окрестности справа от точек г,.

Теорема 4. Пусть для £» € Т выполнено неравенство F(t* — 0,x*)F(i, + О, гс») < 0. Тогда решение x(t) имеет неограниченную правостороннюю производную в точке £«, и существуют такие 5 > 0 и С > 0, что при любых £* <t < t* + 6 выполнено неравенство

y'(t) = f(t,x(t))+g(t)=F(t,x(t)),

y(t) = 7>fo(t)]z(t),

(3)

IF I

(x(t) ~ x,) - sgn(F*) !(t-t,)i-ii <C{t-U)

(4)

где

F* = F{t„ + 0,x„), = fi(x*,x*), x*=z(t„).

Также предлагаются явные формулы для оценки констант С и S.

Теорема 4 была использована для разработки численного алгоритма построения решений задачи (3). Проведен ряд численных экспериментов с использованием данных измерений количества осадков и других гидрологических величин на участке почвы в Керри, Ирландия. Результаты моделирования сравниваются с данными о содержании воды в почве, полученными на том же участке.

Третья глава посвящена геометрическому методу локализации и строгого анализа периодических траекторий-уток и хаотического поведения в моделях с сингулярными возмущениями и кусочно-линейными элементами. Предлагаемый геометрический метод позволяет преодолеть трудности, возникающие при изучении негладких моделей с помощью традиционных методов «chasse an canard». Разработанный подход применим к целому ряду динамических моделей и позволяет установить наличие периодических и хаотических решений, каждое из которых является траекторией-уткой. Метод обеспечивает топологическую устойчивость таких периодических траекторий: они сохраняются, когда рассматриваемая модель подвергается слабым возмущениям. В то же время, эти траектории не обязательно являются устойчивыми по Ляпунову, но стандартные алгоритмы контроля с помощью обратных связей позволяют стабилизировать такие решения.

В качестве примера рассмотрен электронный генератор шума Кияшко-Пиковского-Рабиновича, который представляет собой модификацию генератора ван дер Поля с туннельным диодом, включенным параллельно с индуктивностью. Уравнения, описывающие работу генератора, имеют вид

i = (Т - (У ~ а)2){х + vi) - гл(г + ы+ у-а), y = (x + vi)/rA, (5)

ez - х+ |z|,

где е — малый параметр. Рассмотрим быстро-медленную систему дифференциальных уравнений, обобщающую уравнения модели (5).

х = f(x,у, z),

y = g(x,y,z), (6)

ez = х 4- \z\.

Здесь x, y, z — скалярные функции времени, е — малый положительный параметр, и j, g — скалярные функции. Будем обозначать решения этой

системы через wE(t,lQ,X0,y0, zQ), wE — (x£,yE,ze), где начальные условия заданы в виде x(to) = Xo,y{to) = yo,z(to) = го-

Подмножество фазового пространства, на котором производная z быстрой переменной равна нулю, называется медленной поверхностью системы (6). В данном случае медленная поверхность состоит из двух частей: притягивающей полуплоскости Ра и отталкивающей полуплоскости Рг.

Ра = {(х,у,х):х< 0}, (7)

Рг = {(®,1/,-г):я<0}. (8)

Кривая разворота, разделяющая притягивающую и отталкивающую полуплоскости, имеет вид

¿ = {(0,2/,0)}. (9)

Траектории, проходящие сначала в малой окрестности притягивающей части медленной поверхности и продолжающие движение в течение некоторого времени вдоль ее отталкивающей части, называются траекториями-утками. Нас интересует поведение траекторий именно такого типа.

Рассмотрим вспомогательные уравнения, описывающие динамику системы вблизи медленных полуплоскостей (7) и (8) при е —> 0.

Х = fa(x,y) = f(x,y,x), ^

у = 9а{х,у) = д(х,у,х),

и

x = fT(x,y) =f{x,y,~x), У = 9г{х, у) = д(х, у, -х),

Введем обозначения wa(t,t0,xo,yo) и wr(t,to,xo,yo) для решений вспомогательных систем (10) и (11) соответственно, wa = (ха,уа), wr = (xr,yr), с начальными условиями x(to) = xa,y(to) = уо- Через w*(t), w* = (х*,у*) будем обозначать решение системы (10), удовлетворяющее начальному условию х(0) — у(0) = 0, а через w*(t), w* = (х*,у*) решение системы (11) с тем же самым начальным условием. Будем предполагать, что система (6) удовлетворяет следующим условиям.

Условие 1. Функции f и д из правой части (6) ограничены на всем пространстве R3 и удовлетворяют везде условию Липшица с константой А.

\f(x,y,z)\,\g(x,y,z)\<M, \f(X2,y2,Z2) - f(xi,yltZi)\ < Л(|х2 -III + ¡У2 У\| + |z2 - Zl|).

Условие 2. Выполнены соотношения

/(0,0,0)= 0, 5(0,0,0) > 0, у • /(0,2/, 0) < 0.

Условие 2 обеспечивает существование такого конечного временного интервала (Г0,Тг) Э 0, что

х*аЦ) < 0 для Та < Ь < 0, х*г(Ь) <0для0<4 <ТГ.

Кроме того, условие 2 ограничивает область возможного пространственного положения траекторий-уток системы (6): такие траектории проходят сперва вблизи притягивающей полуплоскости (7) на интервале Ьа < Ь < 0, а затем вдоль отталкивающей полуплоскости (8) при 0 < < < Для того, чтобы произошло переключение между этими двумя движениями, такая траектория должна следовать сначала в малой окрестности кривой

г« = {(х:(*ш«),*:(*))}срв (13)

при отрицательных значениях времени, а затем в окрестности кривой

гг = {(г;((),у;й,-а))}Срг (14)

при положительных значениях времени. При этом траектории-утки проходят вблизи начала координат, где кривые Г0 и Гг встречаются при £ = 0. С помощью стандартных методов легко увидеть, что такие утки существуют на любом временном интервале [¿а, £г] с (Та, Тг), где ¿а < 0 < 4Г, если е > 0 достаточно мало.

Для существовании в системе (6) периодических уток нужны дополнительные условия. Вышеприведенный аргумент показывает, что периодические траектории-утки должны иметь отрезок быстрого движения из малой окрестности некоторой точки на кривой Гг в малую окрестность кривой Га; такое движение, следовательно, почти вертикально (т.е. почти параллельно оси г). Говоря более точным языком, если существует предел периодических траекторий при е —► 0, то соответствующая предельная кривая с необходимостью имеет вертикальный отрезок, соединяющий кривые Гг и Га. Следующее условие обеспечивает возможность таких вертикальных прыжков.

Условие 3. Траектории ю*(£) и гу*(£) систем (10) и (11) пересекаются, то есть существуют числа г и с, такие что

х*а(т) = х*Г(а) = х\ у*а{т) = у*г(а) = у*

где

Та < т < 0 < а < Тг. Это пересечение должно быть трансверсальным, то есть

А = !а{х\у*)дТ{х\у*) - и(х*,у*)9Лх*,У*) Ф О-

Следующая теорема устанавливает существование периодической траектории-утки в системе (6) при выполнении условий 1-3.

Теорема 5. При каждом достаточно малом е > 0 система (6) имеет периодическое решение. Минимальный период Тт\п этого решения приближается к а — т при £ —* 0.

Показано, что периодическая утка проходит через малую окрестность точки (х*,?/,0), причем диаметр этой окрестности стремится к нулю при е стремящемся к нулю.

Метод доказательства теоремы 5 заключается в сведении задачи о нахождении периодических траекторий системы дифференциальных уравнений к задаче о неподвижных точках вспомогательного оператора \¥. полученного модификацией отображения Пуанкаре системы (6). На специально выбранном множестве П неподвижные точки этого оператора соответствуют периодическим траекториям-уткам исходной системы. Далее доказывается, что величина 7(/ — IV, П), представляющая из себя вращение векторного поля I — V/ на множестве П, отлична от нуля. В соответствии с теорией вращения векторного поля отсюда следует существование особой точки у отображения I - IV, или что то же самое, существование неподвижной точки у IV, из чего вытекает утверждение теоремы.

Для применения теории вращения векторных полей к анализу хаотического поведения траекторий-уток были совмещены схема П. Згличинского и метод топологического отслеживания траекторий. Особо отметим тот факт, что полученные в настоящей работе результаты не требуют проведения части доказательств на компьютере, в отличие от типичных приложений упомянутой выше схемы.

Чтобы траектории-утки вели себя хаотически, они должны иметь несколько участков быстрого движения из малой окрестности некоторой точки кривой Гг в малую окрестность кривой Га. Как и у периодических уток, это быстрое движение почти вертикально, то есть почти параллельно оси л. Следующее условие обеспечивает возможность таких вертикальных прыжков.

Условие 4. Траектории w*(t) и w*(t) систем (10) и (11) дважды пересекаются, то есть существуют Тх, т2, а2, такие что

Х*а(п) = xfrl) = х\, у*а(тi) = j£(<Ti) = yl х*а{т2) = х*{а2) = х2, у*(т2) = у*(а2) =

причем

Та < Ti, т2 < 0 < ах < а2 < Тг.

Моменты времени Тх и т2 могут идти в любом порядке, потребуем только, чтобы Тх ф т2.

Кроме того, эти пересечения должны быть трансверсальны.

Ах = /a(®i,l/x)$r(*i.!/i) - fr{x\,y*x)ga{x\,y*x) ф О, М = /а{х2,у2)9г(х*2,у2) - fr(x2,y*2)ga{x*2,у2) ф 0.

Следующая теорема устанавливает существование хаотического поведения в системе (6) при выполнении условий 1-4.

Теорема 6. Если а достаточно мало, то существуют множества Пг э (х*, у*), г = 1,2, такие что для каждого достаточно малого е > 0 отображение Пуанкаре V системы (6) является {П.х,П2}-хаотическим.

Теорема 6 также обобщается на случай, когда количество пересечений кривых w*(t) и w*(t) равно К > 2. Доказательство теоремы 6 проводится по тому же методу, что и для теоремы 5.

В четвертой главе геометрический метод анализа траекторий-уток распространяется на модели с негладкими возмущениями. Роль таких возмущений могут выполнять, например, малые шумы. Рассматриваются системы вида

(15)

еу = Y(x, у, е) + Y{x, у, z, е),

где

х € R2, ye R1,

а е > 0 — малый параметр. Будем предполагать, что правая часть системы (15) удовлетворяет следующему условию.

Условие 5. Функция X непрерывно дифференцируема, У дважды непрерывно дифференцируема, а функции X и Y непрерывны и малы в равномерной норме.

sup \Х{х,у, z,e)|,sup\Y{x,y,z,e)\ « 1.

Таким образом, не предполагается существования каких-либо оценок на производные функций X и У.

Рассмотрим невозмущенную систему

х = Х{х,у,е), еу = У{х,у,е). (16)

Точка (хс,ус) называется критической для системы (16), если выполнены соотношения

(Х(хс, Ус, 0), У£(хс, ус, 0)) = 0, (17)

У(а:с,ус,0) = 0, (18)

^(®с,Ус,0) = 0. (19)

Это система трех уравнений с тремя неизвестными, поэтому в общем случае естественно ожидать, что у нее имеются решения. Без потери общности можно считать, что критическая точка расположена в начале координат: хс = Ус = 0. Критическая точка называется невырожденной, если выполнены следующие неравенства:

Х(хс,Ус, 0)^0, (20)

У^хс,ус,0)ф0, (21)

У^{хс,ус, 0)/0. (22)

Будем рассматривать только невырожденные критические точки. Отметим, что невырожденность устойчива по отношению к малым возмущениям правых частей (16).

Для изучения периодических траекторий-уток в полной системе (15) рассмотрим сначала утки, проходящие через малую окрестность невырожденной критической точки невозмущенной системы (16). Следующей вспомогательная система описывает сингулярные пределы решений (16), лежащие на медленной поверхности:

х = Х(х,у,0), (х,у)е 30. (23)

Здесь 5о — медленная поверхность системы (15), причем (хо,уо) £ ^о-Уравнения (23) также могут быть переписаны в виде

х = Х(х,у, 0), уУу(х,у,0) =-{Х(х,у,0),¥х(х,у,й)). (24)

В силу (19) эта система имеет особенность в начале координат. Поэтому для существования и единственности решения (24), проходящего через начало координат, требуется дополнительное условие. Чтобы его сформулировать,

введем сначала систему координат {хх,х2,у) в трехмерном пространстве пар (х,у). В этой системе ось XI направлена по градиенту У'((0,0),0,0), а ось Х2 ортогональна л и у. В системе координат (х\,х2,у) градиент У(х1,х2,у,0) в начале координат принимает вид

Г(0,0,0,0) = (€,0,0), € > О, (25)

а система (16) вид

¿1 = (х1,х2,у,0),

¿2 = Х2{хих2,у,0), (26)

У = У{ХЪХ2,У,Ъ). Из соотношений (25) и (17) следует, что

^(0,0,0,0) = 0. (27)

Принимая во внимание невырожденность критической точки в начале координат, мы можем обеспечить выполнение неравенств

Х2(0,0,0,0) > 0, У^ДО, 0,0,0) = С > о, (28)

изменяя, если нужно, направление осей Х2 и у.

Существование уток и единственность решений (24) обеспечивает следующее условие.

Условие 6.

2*4(0,0,0,0)^(0,0,0,0) - о, 0,0)У£„(0,0,0,0) < О, (29) ^(0,0,0,0) >0. (30)

Как и в главе 3, существуют жесткие ограничения на возможное месторасположение траекторий-уток системы (16), проходящих вблизи начала координат: такие утки должны лежать в малой окрестности кривой на протяжении определенного интервала 1а < 0 < £г. Если же утка является периодической, то у нее должен быть интервал быстрого движения из малой окрестности некоторой точки отталкивающей части кривой ш*(£) до малой окрестности притягивающей части кривой «/*(£). Это быстрое движение почти вертикально (то есть почти параллельно оси у). Если существует предел периодических уток при е —» 0, то предельная замкнутая кривая обязана содержать вертикальный отрезок, соединяющий притягивающую и отталкивающую части кривой иЛ(£). Следующее условие обеспечивает существование участков быстрого вертикального движения.

Условие 7. Двумерные кривые Га и Гг, заданные формулами

Га = {**(*): Та < I < 0}, ГР = 0 < Ь < Тг},

пересекаются, то есть существуют такие т и а, что

х*(т) =х*(сг) = х*, Та < т < 0 < а < Тг.

Без ограничения общности можно считать, что у*(т) < у*[<т)- Потребуем также, чтобы

У(х*,у)<0, у*{т) < у < у*(р)-

Кроме того, это пересечение должно быть трансверсально, а именно, вектора х*(т) и х*(а) должны быть линейно независимы. Чтобы упростить рассуждения, дополнительно предположим, что кривые Га и Гг не имеют самопересечений.

Теперь можно сформулировать теорему о существовании периодических уток в системах (16) и (15).

Теорема 7. Пусть выполнены условия 5-7. Тогда существуют £о > 0 и А > 0, такие что для любых е < ео и любых X, У, удовлетворяющих

8ир|Х(ж,у,2,е)|,зир|У(а;,у,2,£)| < А, (31)

система (15) имеет периодическое решение-утку, которое проходит через окрестность Ва(х*,у*), где а —> 0 при £0) А —> 0. Минимальный период Тт-т этого решения стремится ко — т при £о, А —» 0.

Предположим теперь, что существует К > 2 трансверсальных пересечений (я*, у*) кривых Га и Гг. Тогда справедлива теорема о существовании хаотических траекторий-уток.

Теорема 8. Пусть выполнены условия 5-7 с К > 2 пересечениями. Тогда существует семейство попарно непересекающихся множеств Пг Э х*(т{), £о > 0 и число А > 0, такие что при любых е < £о и любых Х,У, удовлетворяющих

вир \Х(х, у, г,е)\, эир |У(а:, у, г, е)| < А,

отображение Пуанкаре V: —► К2 системы (15) является {П.г}-хао-

тичным.

Наконец, рассматривается обобщение на случай динамических моделей с более чем тремя переменными, когда влияние остальных переменных на трехмерную подмодель слабо. Рассматривается система

х = Х(х, у, е) + Х(х, у, z, е),

еу = Y(x,y,£)+Y(x,y,z,e), (32)

z = Z(x,y,z,e).

Здесь

х € R2, у е R1, z £ Rd,

а £ > 0 — это малый параметр. Возмущения Х(х, у, z, е) и Y(x, у, z, е) предполагаются малыми по равномерной норме.

sup \Х(х, у, z, е) |, sup\Y(x, у, z, е)| <С 1.

Как и ранее, никаких ограничений на производные этих возмущений не накладывается.

Показывается, что при выполнении определенных условий система (32) имеет периодическую траекторию-утку, если такая траектория имеется у невозмущенной системы (16). Также приводится результат о существовании у системы (32) хаотических траекторий-уток.

В приложении приведены листинги программ для построения ветвей циклов системы (1) и для решения уравнений типа (3).

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доц. Е.А. Щепакиной, а также проф. А.В. Покровскому, проф. В.А. Соболеву и Д.И. Рачинскому за ценные замечания, плодотворное обсуждение задач и результатов, неоценимое внимание и постоянную поддержку.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в ведущих журналах, рекомендованных ВАК

1. Жежерун А.А. Бифуркация Андронова-Хопфа в системах с оператором Прейсаха. / Жежерун А.А., Кузнецов Н.А., Рачинский Д.И. // Доклады Академии Наук. - 2008. - Т. 422, № 3. - С. 302-306.

2. Appelbe В. Rate-Independent hysteresis in terrestrial hydrology: A vegetated soil model with Preisach hysteresis. / Appelbe В., Flynn D.,

McNamara H., O'Kane P., Pimenov A., Pokrovskii A., Rachinskii D., Zhezherun A. // IEEE Control Systems Magazine. - 2009. - Vol. 29. -P. 44-69.

3. Pokrovskii A. Topological degree in analysis of chaotic behavior in singularly perturbed systems. / Pokrovskii A., Zhezherun A. // Chaos. - 2008. - Vol. 18. - P. 023130-1-12.

4. Appelbe B. Hopf bifurcation in a van der Pol type oscillator with magnetic hysteresis. / Appelbe В., Rachinskii D., Zhezherun A. // Physica B: Cond. Matter. - 2008. - Vol. 403. - P. 301-304.

5. Flynn D. Modeling discontinuous flow through porous media using ODEs with Preisach operator. / Flynn D., Zhezherun A., Pokrovskii A., O'Kane J. P. // Physica B: Cond. Matter. - 2008. - Vol. 403. - P. 440-442.

6. O'Ceallaigh S. Algorithm for linear stability analysis in systems with Preisach hysteresis. / O'Ceallaigh S., Pimenov A., Pokrovskii A., Rachinskii D., Zhezherun A. // Physica B: Cond. Matter. - 2008. - Vol. 403. -P. 305-307.

Другие публикации

7. ГЦепакина E.A. Смена устойчивости в кусочно-линейных системах с быстрыми и медленными переменными. / Щепакина Е.А., Жеже-рун А.А. // Тезисы докладов X международного семинара им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». - Москва, 3-6 июня 2008 г. - С. 368-370.

8. Жежерун А.А. Хаотическое поведение в кусочно-линейных системах. / Жежерун А.А. // Тезисы докладов международного семинара «Нелинейное моделирование и управление». - Самара, 22-25 июня 2004 г. - 1с.

9. Zhezherun A. Numerical simulations of hysteretic discontinuous flow through porous media. [Online preprint] / Zhezherun A. - Preprints of SMAMS. - 2009. - 6 p. - URL: http://euclid.iicc.ie/appliedmath/ preprints/SMAMS_01_09.pdf.

10. Pokrovskii A. V. Topological methods in analysis of periodic and chaotic canard-type trajectories. [Online preprint] / Pokrovskii A.V., Pokrovskiy A.A., Zhezherun A. - arXiv:0805.0368vl [math.DS]. - 2008. - 41 p. -URL: http : //arxiv. org/abs/0805.0368vl.

11. Flynn D. Numerical solution of ODEs involving the derivative of a Preisach operator and with discontinuous RHS. / Flynn D., O'Kane J. P., Zhezherun A. // J. Phys.: Conf. Ser. - 2006 - Vol. 55. - P. 63-73.

12. Pokrovskii A. Differentiability of evolution operators for dynamical systems with hysteresis. / Pokrovskii A., Power T., Rachinskii D., Zhezherun A. // J. Phys.: Conf. Ser. - 2006. - Vol. 55. - P. 171-190.

13. Zhezherun A. ODEs with Preisach operator under the derivative and with discontinuous in time right-hand side. / Zhezherun A., Flynn D. // J. Phys.: Conf. Ser. - 2006. - Vol. 55. - P. 232-242.

14. Zhezherun A. Chaotic behavior in piecewise-linear Linz-Sprott equations. / Zhezherun A. // J. Phys.: Conf. Series. - 2005. - Vol. 22. - P. 235-253.

Подписано в печать 10.04.09 Формат 60 х 84 Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 293.

Отпечатано в типографии СамГТУ. 443110, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Введение

Глава 1. Сложное поведение в динамических моделях

1.1 Гистерезис и оператор Прейсаха.

1.2 Вращение векторного поля.

1.3 Модели с сингулярными возмущениями и траектории-утки.

1.4 Хаотическое поведение.

Глава 2. Динамические модели с гистерезисом

2.1 Электронный осциллятор с гистерезисом.

2.2 Бифуркации Апдроиова-Хопфа и ветвь циклов.

2.3 Численный расчет ветвей циклов и примеры.

2.4 Гидрологическая модель с гистерезисом.

2.5 Поведение решений в точках разрыва.

2.6 Численные эксперименты.

2.7 Доказательство теорем 2.1-2.3.

2.8 Доказательство теоремы 2.4.

Глава 3. Траектории-утки в кусочно-линейных моделях

3.1 Введение.

3.2 Электронный генератор шума.

3.3 Описание математической модели.

3.4 Периодические траектории-утки.

3.5 Хаотические траектории-утки.

3.6 Пример и численный анализ модельной задачи.

3.7 Периодические утки в генераторе шума

3.8 Замечания.

3.9 Доказательство теорем 3.1 и 3.2.

Глава 4. Модели с негладкими малыми возмущениями

4.1 Введение

4.2 Периодические траектории-утки.

4.3 Хаотические траектории-утки.

4.4 Пример.

4.5 Системы высших размерностей

4.6 Доказательства.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Диссертация посвящена анализу сложного поведения в динамических моделях с гистерезисными нелинейностями, а также в моделях с сингулярными возмущениями.

Модели с гистерезисными элементами часто возникают при решении задач физики, механики, экономики и др. Основы математической теории систем с гистерезисом, трактующей гистерезисные нелинейности как операторы или преобразователи с пространствами состояний, были созданы в 70-80-х годах прошлого века М.А. Красносельским и его коллегами. Предложенное единое математическое описание, охватывающее многие феноменологические модели гистерезиса и нелокальной памяти, позволило развить эффективные методы качественного и численного исследования моделей с гистерезисными элементами. Математические модели таких сложных систем, как правило, одновременно включают дифференциальные уравнения и операторные соотношения между частью переменных; их исследование, в основном в случае простых гистере-зисных операторов типа реле и люфтов, берет свое начало в классических работах по теории управления и теории колебаний. Теория гистерезиса и ее приложения подробно изучена в работах М. Брокате, А. Визинтина, М.А. Красносельского, П. Крейчи, И. Майергойза, А.В. Покровского pi других авторов [29, 59, 81, 85, 110].

В настоящее время свойства различных классов гистерезисных операторов достаточно хорошо изучены, включая непрерывность и липшицевость в функциональных пространствах, монотонность и др.; к важным общим свойствам относится физическая реализуемость, то есть независимость значений оператора от будущего, и коммутативность с монотонными преобразованиями времени: при изменении скорости изменения входа точно так же меняется скорость изменения выхода. В то же время вопросы, относящиеся к различным аспектам динамики систем с гистерезисом и, в том числе, колебаниям и бифуркациям, остаются открытыми. Их изучение осложняется тем, что гистерезисные операторы не обладают свойством дифференцируемости и могут иметь сложные пространства состояний. К таким операторам относится оператор Прейсаха, возникающий при моделировании электронных осцилляторов с ферромагнитными элементами, а также в гидрологических моделях проникновения осадков в почву, которые изучаются в настоящей работе. Подобные вопросы рассматривались также в работах B.C. Козякина, М.А. Красносельского, A.M. Красносельского, Н.А. Кузнецова, Д.И. Ра-чинского, М.Е. Семёнова и др. [24, 25, 27, 79, 80, 98].

Другим типом широко используемых на практике динамических моделей являются модели с сингулярными возмущениями. Такие модели применяются для анализа аэрокосмических, электрических, электромеханических, энергетических, роботехниче-ских, химических, биохимических, биологических, экономических и др. систем. Первые результаты по теории сингулярно возмущенных систем получены А.Н. Тихоновым. Дальнейшее развитие теория получила в работах Д.В. Аносова, В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильевой, М.И. Вишика, В.М. Волосова, С.А. Ломова, JT.A. Люстерника, С.А. Кащенко, Н.Н. Моисеева, Б.И. Моргунова, Е.Ф. Мищенко, Р. Е. О'Молли, Н.Х. Розова, Ф. Хауэса, К. Чанга и многих других авторов [1, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 20, 33, 35, 44, 46, 90].

Поток публикаций, посвященных теории и приложениям сингулярно возмущенных систем, непрерывно растет. При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа. Абсолютное большинство статей и монографий по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования системы. Для решения таких проблем представляется целесообразным привлекать не только асимптотические, но и геометрические методы анализа. Геометрический подход является более оправданным и в случае наличия в моделях негладких нелинейностей, которые делают построение асимптотических разложений затруднительным.

Геометрическая теория динамических систем находит свои истоки в работах А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова [30, 38]. Большое распространение получил метод интегральных многообразий, связанный с изучением целых классов решений. Основы теории интегральных многообразий были заложены в работах Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Мит-ропольского [6, 7]. Основные результаты по теории интегральных многообразий изложены в фундаментальной монографии Ю.А. Митропольского и О.Б. Лыковой [31]. Для исследования сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений метод интегральных многообразий применялся в работах Я.С. Бариса, К.В. Задираки, Ю.А. Митропольского, Ю.И. Неймарка, В.А. Соболева, В.В. Стрыгина, В.И. Фодчука, Д. Хенри и других авторов [3, 4, 13, 14, 17, 32, 36, 42, 43, 45].

Важным объектом в моделях с сингулярными возмущениями являются траектории-утки, которые проходят сначала вблизи притягивающей части медленной поверхности модели, а затем продолжают движение в течение некоторого времени вдоль отталкивающей части медленной поверхности. Траектории такого типа применяются для решения задач биологии, механики, химии, экономики и электроники. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах В.И. Арнольда, Г.Н. Горелова, Ю.С. Ильяшепко, А.Ю. Колесова, Ю.С. Колесова, Е.Ф. Мищенко, А.Н. Покровского, Н.Х. Розова, В.А. Соболева, Е.А. Щепакиной и др. [2, 5, 15, 22, 37, 40, 41, 47, 48, 49, 50, 51, 74, 104].

В настоящей работе предлагается новый геометрический метод анализа периодических и хаотических траекторий-уток в моделях с сингулярными возмущениями, основанный на теории вращения векторного поля. Данный метод позволяет обойти трудности, связанные с наличием в моделях негладких нелинейно стей. В качестве примера изучается электронный генератор шума. Основное внимание уделяется периодическому и хаотическому поведению.

Цель диссертационной работы

Основной целью данной работы является разработка геометрических методов анализа сложного поведения в различных динамических моделях. Для модели электронного осциллятора с гистерезисным элементом доказывается существование бифуркации Андронова-Хопфа и непрерывных ветвей периодических решений. Для модели проникновения осадков в почву доказывается существование и единственность решений и разрабатывается численный алгоритм их построения. Для модели электронного генератора шума с сингулярными возмущениями и негладкими элементами доказываются теоремы о существовании и локализации периодических и хаотических траекторий-уток.

Методы исследования

В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории гистерезиса, численные методы исследования сложных явлений нелинейной динамики, идеи теории сингулярных возмущений. Алгоритмы для численных расчетов были реализованы с помощью компьютера.

Научная новизна

В представленной диссертационной работе впервые получены следующие результаты.

1. Доказаны новые теоремы о бифуркациях Андронова-Хопфа и существовании непрерывных ветвей циклов в системах операторно-дифференциальных уравнений с оператором Прейсаха под производной. Предложен численный алгоритм построения ветвей циклов для таких систем. Полученные математические результаты продемонстрированы на примере модели электронного осциллятора с гистерезис-ной индуктивностью.

2. Доказаны существование и единственность решений дифференциальных уравнений с оператором Прейсаха под производной и разрывной по времени правой частью. Разработан алгоритм численного решения таких уравнений. Алгоритм продемонстрирован на примере модели проникновения осадков в почву.

3. Предложен метод локализации периодического и хаотического поведения траекторий-уток в сингулярно возмущенных системах с негладкими нелинейностями. Полученные математические результаты продемонстрированы па примере модели электронного генератора шума.

4. Результаты о существовании определенных типов сложного поведения в моделях с сингулярными возмущениями обобщены на случай моделей с числом медленных переменных более двух.

Теоретическая и практическая ценность

Математические результаты диссертации позволяют производить качественное исследование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с негладкими нелинейностями, а также операторно-дифференциальных уравнений. Разработанные методы локализации сложного поведения могут быть использованы для моделирования и расчета явлений различной природы, так как имеют универсальный характер. Результаты численного исследования моделей гидрологии, рассмотренных в диссертации, имеют практическое значение, так как могут быть использованы для определения динамики процесса проникновеиия воды в почву в зависимости от интенсивности осадков. Результаты исследования электронных схем могут быть использованы для выбора определенных режимов функционирования этих схем, важных с точки зрения конкретных практических задач.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на международных конференциях по раз-нотемповым процессам и гистерезису MURPHYS-2006 (г. Корк, Ирландия, апрель 2006 г.) и MURPHYS-2008 (г. Корк, Ирландия, апрель 2008 г.), международном симпозиуме по гистерезису и микромагнитному моделированию (НММ-07, г. Неаполь, Италия, июнь 2007 г.), на генеральной ассамблее Европейского Геофизического Союза (EGU-2008 General Union, г. Вена, Австрия, апрель 2008 г.), на X международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, июнь 2008 г.).

Результаты обсуждались на научных семинарах кафедры прикладной математики университета г. Корк (Ирландия) и семинарах кафедры прикладной метематики СГОУН.

Публикации

По теме диссертационной работы Жежеруна А.А. опубликовано 14 работ, в том числе 6 статей в изданиях из списка ВАК и из международного списка Science Citation Index Expanded [16, 55, 56, 70, 87, 96], 4 статьи в других международных научных журналах [69, 95, 114, 115], 2 препринта [97, 113], 2 тезисов докладов [52, 53]. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, 1 приложения и списка литературы из 115 наименований. Объем диссертации — 123 страницы.

Заключение

В работе изучены геометрические методы анализа сложного поведения в динамических моделях с гистерезисным оператором Прейсаха, а также в моделях с сингулярными возмущениями.

Теория вращения вектоного поля применена к анализу бифуркаций Андронова-Хопфа в электронном осцилляторе с ферромагнитным гистерезисом в индуктивном элементе. Полученные результаты обобщены на класс систем, состоящих из главной линейной части и гистерезисной нелинейности. Предложены признаки рождения ветвей циклов из состояния равновесия и из бесконечности. При дополнительных предположениях удается проследить глобальную ветвь циклов, соединяющую состояние равновесия и бесконечность. Кроме того, рассмотрена модель проникновения осадков в почву, также содержащая гистерезисный элемент, и разработан алгоритм численного построения решений этой модели.

Также в работе предложена новая схема изучения периодических траекторий-уток в сингулярно возмущенных системах. Основная идея этой схема заключается в в сведении задачи о нахождении периодических траекторий динамической модели к задаче о неподвижных точках модифицированного специальным образом отображения Пуанкаре, после чего используется аппарат вращения векторного поля.

Применение геометрических методов позволяет обойтись без построения асимптотических представлений траекторий, что делает возможным анализ ситуаций, где нахождение таких представлений затруднительно. В частности, получен результат о существовании периодических уток в системах с негладкими малыми возмущениями правых частей. Найденные таким образом утки топологически устойчивы, однако могут не быть устойчивыми по Ляпунову, поэтому для использования в приложениях необходима стабилизация этих траекторий.

1. Аносов Д.В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. / Аносов Д.В. // Матем. сб. - 1960. - Т, 50, № 3. - С. 299-334.

2. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. // Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. - Т. 5. - С. 5-218.

3. Барис Я.С. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий. / Барис Я.С., Фодчук В.И. // Укр. матем. журн. 1970. - Т. 22, № 1. - С. 3-11.

4. Барис Я.С. К принципу сведения для сингулярно возмущенной системы. // Дифферент уравнения. 1979. - Т. 15, № 8. - С. 1390-1394.

5. Бобкова А.С. Проблема «выживания уток» в трехмерных сингулярно возмущенных системах с двумя медленными переменными. / Бобкова А.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. // Математические заметки. 2002. - Т. 71, № 6. - С. 818-831.

6. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: Изд-во АН УССР, 1945.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.

8. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990.

10. Васильева А.Б. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией. / Васильева А.Б., Кащенко С.А., Колесов Ю.С., Розов Н.Х. // Матем. сб. 1986. - Т. 130, № 4. - С. 488-499.

11. Вишик М.И. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений. / Вишик М.И., Люстерник Л.А. // Докл. АН СССР. -1958. Т. 121, № 5. - С. 778-781!

12. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971.

13. Воропаева Н.В., Соболев В.А. Декомпозиция многотемповых систем. Самара: CMC, 2000.

14. Гольдштейн В.М., Соболев В.А. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем. Новосибирск: Ин-т математики АН СССР. Сиб. отд-ние, 1988. - 154 с.

15. Горелов Г.Н., Соболев В.А., Щепакина Е.А. Сингулярно возмущенные модели горения. РАЕН, Самара: СамВен, 1999.

16. Жежерун А.А. Бифуркация Андронова-Хопфа в системах с оператором Прейсаха. / Жежерун А.А., Кузнецов Н.А., Рачинский Д.И. // Доклады Академии Наук.- 2008. Т. 422, № 3. - С. 302-306.

17. Задирака К. В. О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно возмущенной дифференциальной системы // Укр. матем. журн. 1965. - Т. 17, Ns 1. -С. 47-63.

18. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. / Пер. с англ. Коноиепко А. при уч. Ферлегера С. М.: Изд-во «Факториал», 1995.- 768 с.

19. Кащенко С.А. Асимптотика релаксационных колебаний в математической модели реакции Белоусова. / Кащенко С.А. // Динамика биологических популяций: Межвуз. сб. Горьк. уп-т, 1987. - С. 51-55.

20. Кащенко С.А. Быстро осциллирующие бегущие волны в системах с малой диффузией. / Кащенко С.А. // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т. 28, № 2.- С. 254-262.

21. Кияшко С.В. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением. / Ки-яшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович М.И. // Радиоэлектроника. 1980. - Т. 25. - С. 336.

22. Колесов А.Ю. Циклы-утки трехмерных релаксационных систем с одной быстрой и двумя медленными переменными. / Колесов А.Ю., Розов Н.Х. // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 2. - С. 180-184.

23. Кононенко Л.И. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий. / Кононенко Л.И., Соболев В.А. // Сиб. матем. журн. 1994. - Т. 35, № 6. - С. 1264-1278.

24. Красносельский A.M. Циклы больших амплитуд в автономных системах с гистерезисом. / Красносельский A.M., Красносельский М.А. // Доклады Академии Наук. 1985. - Т. 283, № 1. - С. 23-26.

25. Красносельский A.M. Нелинейные бифуркации Хопфа. / Красносельский A.M., Кузнецов Н.А., Рачинский Д.И. // Доклады Академии Наук. 2000. - Т. 372, № 4. - С. 455-458.

26. Красносельский A.M. О резонансных уравнениях с неограниченными нелиней-ностями. / Красносельский A.M., Кузнецов Н.А., Рачинский Д.И. // Доклады Академии Наук. 2000. - Т. 373, № 3. - С. 295-299.

27. Красносельский A.M. О непрерывных ветвях циклов в системах с нелинеаризуе-мыми нелинейностями. / Красносельский A.M., Рачинский Д.И. // Доклады Академии Наук. 2003. - Т. 389, № 1. - С. 11-16.

28. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

29. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

30. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.

31. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.

32. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики. Киев: Наукова думка, 1988.

33. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

34. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. -М.: Наука-Физматлит, 1995.

35. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.

36. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1972.

37. Покровский А.Н. «Стая» решений-«уток» сингулярно возмущенной системы 2-го порядка. / Покровский А.Н. // Математическая физика: Межвуз. сб. / Под ред. Матвеева Н.М. Ленинград, 1987. - С. 77-81.

38. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-JL: ГТТИ, 1947.

39. Семёнов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезиснными нелинейностями. Воронеж: ВГУ, 2002. - 104 с.

40. Соболев В.А. Самовоспламенение запыленных сред. / Соболев В.А., Щепаки-на Е.А. // Физика горения и взрыва. 1993. - № 3. - С. 133-136.

41. Соболев В.А. Траектории-утки в одной задаче теории горения. / Соболев В.А., Щепакина Е.А. // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 9. - С. 1175— 1184.

42. Соболев В.А. Геометрия сингулярных возмущений в вырожденных случаях. / Соболев В.А. // Матем. моделирование. 2001. - Т. 13, № 12. - С. 75-94.

43. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988.

44. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / Тихонов А.Н. // Матем. сб. 1952. - Т. 31, № 3. - С. 575-586.

45. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

46. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М.: Мир, 1988.

47. Щепакина Е.А. Интегральные многообразия, траектории-утки и тепловой взрыв. / Щепакина Е.А. // Вестник Самарского гос. университета. 1995. - Спец. выпуск. - С. 49-58.

48. Щепакина Е.А. Периодические колебания в модели каталитического реактора. / Щепакина Е.А. // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1998. - Т. 2, № 4. - С. 108-116.

49. Щепакина Е.А. Критические условия самовоспламенения в пористой среде. / Щепакина Е.А. // Химическая физика. 2001. - Т. 20, № 7. - С. 3-9.

50. Щепакина Е.А. Математическое моделирование теплового взрыва в многофазных средах. / Щепакина Е.А. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8, № 1. - С. 382-383.

51. Щепакина Е.А. Сингулярные возмущения в задаче моделирования безопасных режимов горения. / Щепакина Е.А. // Математическое моделирование. 2003. -Т. 15, № 8. - С. 113-117.

52. Жежерун А.А. Хаотическое поведение в кусочно-линейных системах. / Жежерун А.А. // Тезисы докладов международного семинара «Нелинейное моделирование и управление». Самара, 22-25 июня 2004 г. - 1с.

53. Anisimov I. О. Kijashko-Pikovsky-Rabinovich noise generator: computer simulation and experiment. / Anisimov I. 0., Schur A. V., Siversky Т. V. // Proceedings of VIII workshop «Plasma electronics and new acceleration methods». Kharkov, 2003.

54. Appelbe B. Hopf bifurcation in a van der Pol type oscillator with magnetic hysteresis. / Appelbe В., Rachinskii D., Zhezherun A. // Physica B: Cond. Matter. 2008. - Vol. 403. - P. 301-304.

55. Benoit E. Chasse au canard. // Benoit E., Callot J. L., Diener F., Diener M. // Coll. Math. 1981-1982. - Vol. 31-32. - P. 37-119.

56. The Science of Hysteresis. / Ed. Bertotti G., Mayergoyz I. Academic Press, 2006.

57. Brokate M., Sprekels J. Hysteresis and Phase Transitions. Springer, 1994.

58. Cox. E. A. On Chaotic Wave Patterns in Periodically Forced Steady-State KdVB and Extended KdVB Equations. / Cox E. A., Mortell M. P., Pokrovskii A., Rasskazov O. // Proc. R. Soc. A. 2005. - Vol. 461. - P. 2857-2885.

59. Deimling K. Nonlinear Functional Analysis. Springer, 1980.

60. The first 60 years of Nonlinear Analysis of Jean Mawhin. / Eds. Delgado M., Lopez-Gomez J., Ortega R., Suarez A. World Scientific Publishing, 2004.

61. Deng B. Food chain chaos with canard explosion. / Deng B. // Chaos. 2004. - Vol. 14. - P. 1083-1092.

62. Diamond P. Chaotic dynamics in nonsmooth perturbations of bishadowing systems. / Diamond P., Kloeden P. E., Krasnosel'skii M.A., Pokrovskii A. // Arab J. Math. Sci. 2000. - Vol. 6. - P. 41-74.

63. Durham J. Feedback control of canards. / Durham J., Moehlis J. // Chaos. 2008. -Vol. 18. - P. 015110.

64. Echevarria P. Digital hardware implementation of high dimensional fuzzy systems. / Echevarria P., Martinez M. V., Echanobe J., del Campo I., Tarela J. M. // Applications of Fuzzy Sets Theory, LNCS. Springer, 2007. - Vol. 4578. - P. 245-252.

65. Eleuteri M. Asymptotic behaviour of a Neumann parabolic problem with hysteresis. Preprint] / Eleuteri M., Krejcf P. WIAS preprint No. 1109. - 2006.

66. Flynn D. Application of the Preisach model to soil-moisture hysteresis. / Flynn D., McNamara H., О'Kane J. P., Pokrovskii A. // The Science of Hysteresis / Eds. Bertotti G., Mayergoyz I. Academic Press, 2006. - Vol. 3. - P. 689-744.

67. Flynn D. Numerical solution of ODEs involving the derivative of a Preisach operator and with discontinuous RHS. / Flynn D., O'Kane J. P., Zhezherun A. // J. Phys.: Conf. Ser. 2006 - Vol. 55. - P. 63-73.

68. Flynn D. Modeling discontinuous flow through porous media using ODEs with Preisach operator. / Flynn D., Zhezherun A., Pokrovskii A., O'Kane J. P. // Physica B: Cond. Matter. 2008. - Vol. 403. - P. 440-442.

69. Fujisawa T. Piecewise linear theory of nonlinear networks. / Fujisawa Т., Kuh E. S., // SIAM J. Appl. Math. 1972. - Vol. 22. - P. 307-328.

70. Gol'dstein V. Mediating operation of heterogeneous CSTR. / Gol'dstein V. Panfilov V., Shreiber I. // AIChE Journal. 1996. - Vol. 42. - P. 2273-2278.

71. Gol'dshtein V. Mediating operation of catalytic CSTR to stabilize intermediate steady state. / Gol'dshtein V., Panfilov V. // AIChE Journal. 1997. - Vol. 43. - P. 785-791.

72. Gol'dstein V. Slow/fast models of laser and chemical systems. / Gol'dstein V., Mclnerney J., Shchepakina E., Sobolev V. // Известия РАЕН. Серия МММИУ. -2001. Т. 5, № 1-2. - С. 32-53.

73. Gonzalez-Miranda J. М. Synchronization and Control of Chaos. An introduction for scientists and engineers. Imperial College Press, London, 2004.

74. Haines W. B. Studies in the physical properties of soils. V. The hysteresis effect in capillary properties and the modes of moisture distribution associated therewith. / Haines W. B. // J. Agric. Sci. 1930. - Vol. 2. - P. 97-116.

75. Hartman P. Ordinary Differential Equations. New York: Wiley, 1964.

76. Kennedy M. P. Hysteresis in electronic circuits: A circuit theorist's perspective. / Kennedy M. P., Chua L. 0. // Intl. J. of Circuit Theory and Applications. 1991. -Vol. 19. - P. 471-515.

77. Krasnosel'skii M. A. The method of parameter functionalization in the Hopf bifurcation problem. / Krasnosel'skii M. A., Kozjakin V. S. // Nonlinear Anal. TMA. 1987. -Vol. 11. - P. 149-161.

78. Krejcf P. Hysteresis, Convexity and Dissipation in Hyperbolic Equations. Tokyo: Gakk5tosho, 1996.

79. Krejcf P. Mathematical models of hydrological systems with Preisach hysteresis. Online preprint] / Krejcf P., O'Kane J. P., Pokrovskii A., Rachinskii D. // 2008.- 54 p. URL: http: //www.bcri.ucc. ie/BCRI58. pdf

80. Li T. Y. Period 3 imples chaos. / Li T. Y., Yorke J. A. // Amer. Math. Monthly.1975. Vol. 82. - P. 985-992.

81. Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications. Springer,1976.

82. Mayergoyz I. D. Mathematical Models of Hysteresis and Their Applications: Electro-magnetism. Academic Press, 2003.

83. Mayeri E. A relaxation oscillator description of the burst-generating mechanism in the cardiac ganglion of the lobster, homarus americanus. / Mayeri E. // J. Gen. Physiol.- 1973. Vol. 62. - P. 473-488.

84. O'Ceallaigh S. Algorithm for linear stability analysis in systems with Preisach hysteresis. / O'Ceallaigh S., Pimenov A., Pokrovskii A., Rachinskii D., Zhezherun A. // Physica B: Cond. Matter. 2008. - Vol. 403. - P. 305-307.

85. О'Kane J. P. Hysteresis in hydrology. / O'Kane J. P. // Acta Geophys. Pol. 2005. -Vol. 53. - P. 373-383.

86. O'Kane J. P. The FEST model — a test bed for hysteresis in hydrology and soil physics. / O'Kane J. P. // J. Phys.: Conf. Series. 2005. - Vol. 22. - P. 148-163.

87. O'Malley R. E., Jr. Introduction to singular perturbations. New York: Academic Press, 1974.

88. Ott E. Controlling Chaos. / Ott E., Gerbogi C., Yorke J. A. // Phys. Rev. Lett. -1990. Vol. 64. - P. 1196-1199.

89. Ozkan L. Control of a solution copolymerization reactor using piecewise linear models. / Ozkan L., Kothare M. V., Georgakis C. // IEEE Proc. of the American Control Conference. 2002. - Vol. 5. - P. 3864-3869.

90. Pokrovskii A. V. Topological shadowing and split-hyperbolicity. / Pokrovskii A.V. // Functional Diff. Eq., special issue dedicated to Krasnosel'skii M.A. 1997. - Vol. 4. -P. 335-360.

91. Pokrovskii A. V. Topological degree in locating homoclinic structures for discrete dynamical systems. / Pokrovskii A.V., Szybka S. J., Mclnerney J. G. // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. - Т. 5, № 1-2. - С. 152-184.

92. Pokrovskii A. Differentiability of evolution operators for dynamical systems with hysteresis. / Pokrovskii A., Power Т., Rachinskii D., Zhezherun A. // J. Phys.: Conf. Ser. 2006. - Vol. 55. - P. 171-190.

93. Pokrovskii A. Topological degree in analysis of chaotic behavior in singularly perturbed systems. / Pokrovskii A., Zhezherun A. // Chaos. 2008. - Vol. 18. - P. 023130-1-12.

94. Pokrovskii A. V. Topological methods in analysis of periodic and chaotic canard-type trajectories. Online preprint] / Pokrovskii A.V., Pokrovskiy A.A., Zhezherun A. arXiv:0805.0368vl [math.DS]. - 2008. - 41 p. - URL: http://arxiv.org/abs/0805.0368vl.

95. Pokrovskii A. V. Stable periodic regimes in control systems with monotone nonlinearities. / Pokrovskii A. V., Semenov M. E. / Automation and Remote Control. 1990. - Vol. 51, № 2(1). - P. 158-164.

96. Porter В. Genetic robustification of digital model-following flight-controlsystems. / Porter В., Hicks D. L. // IEEE Proc. of the National Aerospace and Electronics Conf.- 1994. Vol. 1. - P. 556-563.

97. Preisach P. Uber die magnetische Nachwirkung. / Preisach P. // Zeitschrift ftir Physik.- 1935. Vol. 94. - P. 277-302.

98. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback. / Pyragas K. // Phys. Lett. A. 1992. - Vol. 170. - P. 421-428.

99. Handbook of Chaos Control: Foundations and Applications. / Edited by Schuster H. G.- Wiley-VCH, Weinheim, 1999.

100. Shchepakina E. Black swans and canards in laser and combustion models. / Shchepakina E., Sobolev V. // Singular Perturbations and Hysteresis. / Eds. Mortell M. P., O'Malley R. E., Pokrovskii A. V., Sobolev V. A. SIAM, 2005. -P. 207-256.

101. Sekikawa M. Chaos via duck solution breakdown in a piecewise linear van der Pol oscillator driven by an extremely small periodic perturbation. / Sekikawa M., Inaba N., Tsubouchi T. // Physica D. 2004. - Vol. 194. - P. 227-249.

102. Stellardo D. On the complexity of periodic and nonperiodic behaviors of a hysteresis-based electronic oscillator. / Stellardo D., Bizzarri F., Storace M., De Feo O. // Chaos.- 2007. Vol. 17 - P. 043108.

103. Storace M. Synthesis of nonlinear multiport resistors: a PWL approach / Storace M., Julian P., Parodi M. // IEEE Trans. Circuits Syst. I. 2002. - Vol. 49. - P. 1138-1149.

104. Storace M. Towards analog implementations of PWL two-dimensional non-linear functions. / Storace M., Parodi M. // Intl. J. of Circuit Theory and Appl. 2005.- Vol. 33. P. 147-160.

105. Van Bokhoven W. M. G., Piecewise linear analysis and simulation. / Ed. Ruehli A. E. Circuit Analysis, Simulation and Design. Vol. 2 - Elsevier, 1987.

106. Visintin A. Differential Models of Hysteresis. Spriger, 1994.

107. Zgliczynski P. Fixed point index for iterations of maps, topological horseshoe and chaos. / Zgliczynski P. // Topol. Methods Nonlinear Anal. 1996. - Vol. 8. - P. 169-177.

108. Zgliczynski P. Computer assisted proof of the horseshoe dynamics in the Henon map. / Zgliczynski P. // Random Comput. Dynam. 1997. - Vol. 5. - P. 1-17.

109. Zhezherun A. Numerical simulations of hysteretic discontinuous flow through porous media. Online preprint] / Zhezherun A. Preprints of SMAMS. - 2009. - 6 p. - URL: http://euclid.ucc.ie/appliedmath/preprints/SMAMS0109.pdf.

110. Zhezherun A. Chaotic behavior in piecewise-linear Linz-Sprott equations. / Zhezherun A. // J. Phys.: Conf. Series. 2005. - Vol. 22. - P. 235-253.

111. Zhezherun A. ODEs with Preisach operator under the derivative and with discontinuous in time right-hand side. / Zhezherun A., Flynn D. // J. Phys.: Conf. Ser. 2006. - Vol. 55. - P. 232-242.