автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Гарантированные решения в игре с побочными платежами

На правах рукописи

тгз ОД

, - г_.. / 2 а Ш

ВЕЛЬСКИХ Юлия Анатольевна

ГАРАНТИРОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ В ИГРЕ С ПОБОЧНЫМИ ПЛАТЕЖАМИ

Специальность 05.13.17 - теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена на кафедре математики и механики Московского факультета в Российском заочном институте текстильной и легкой промышленности.

Научный руководитель:

Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор ЖУКОВСКИЙ В.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент МОХОНЬКО Е.З.

кандидат физико-математических наук, доцент МАТВЕЕВ В.А.

Ведущая организация - Международный научно-

исследовательский институт проблем управления

Защита диссертации состоится " " 2000 г.

в /Учасов на заседании Диссертационного совета К 053.01.16 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МИГУ, ауд./^У.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Mill У по адресу: 119435, Москва, ул. М. Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан " ¿У" 2000 года

Ученый секретарь Диссертационного совета ЧИКАНЦЕВА Н.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из отличительных особенностей

человеческой деятельности был и остается обмен информацией. Общение людей, их взаимоотношения с внешним миром, их производственная, научная и общественная деятельность тесно связаны с информационными процессами — процессами восприятия, передачи, обработки, поиска, хранения и отображения информации. В настоящее время, когда информация становится жизненно важным ресурсом, когда информационная деятельность определяется как приоритетная в процессе развития цивилизации и когда эта деятельность опирается на современные достижения компьютерной техники, становится очевидной необходимость всестороннего фундаментального исследования понятий информации, процессов ее представления, обработки, хранения и передачи. В этом отношении на первый план выдвигаются задачи строгой формализации этих понятий, нахождение эффективных алгоритмов обработки и анализа информации, принятие на их базе наиболее рациональных решений, генерации новых знаний. Основой решения здесь считаются математические методы, в частности те достижения, которые накоплены в одном из важпейших научных направлений — математической теории игр.

В последние десять - пятнадцать лет наблюдается стремительное повышение интереса к теории игр и значительное возрастание ее роли. Это объясняется в первую очередь тем, что без нее в настоящее время уже немыслима современная экономическая теория, причем область применения теории игр постоянно расширяется. Теория игр прошла путь от весьма формализованной теории до одного из важнейших инструментов решения большого многообразия задач, возникающих в экономике, политике, социальных науках. Теория игр изучает математические модели принятия оптимальных; решений в условиях конфликтов. Под конфликтом при этом понимается всякое явление, в котором участвуют различные стороны, наделенные собственными интересами и обладающие определенными возможностями действий. Теория игр, появившаяся как математическое описание экономических проблем, но получившая самостоятельное развитие внутри математики, является ныне важным инструментом для исследования конфликтов не только экономического содержания, но также процессов принятия решений в условиях лишь модельно сходных с конфликтами. Сюда относятся военные, дипломатические и правовые вопросы, а также игровые модели принятия решений в планировании, прогнозировании, технике, экологии, медицине.

Игры, как правило, классифицируются следующим образом: коалиционные игры, в которых принимающие решения игроки объединяются фиксированные

коалиции, члены которых, могут свободно обмениваться информацией и принимать полностью согласованные решения; бескоалиционные игры, если каждая коалиция состоит только из одного игрока; кооперативные игры, если допускается временное объединение игроков в любые коалиции для принятия совместных решений и, возможно, с последующим перераспределением полученных выигрышей (побочные платежи). Предметом исследования в настоящей работе являются кооперативные игры, в которых допускается передача части выигрыша от одного игрока другому (игры с побочными платежами).

Теория кооперативных игр с побочными платежами возникла в начале XX века (монография Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение". М.: Наука, 1970 (1944)) и активно развивается до настоящего времени в работах многочисленных последователей. В таких играх, во-первых, разрешены побочные платежи, во-вторых, выигрыши игроков обладают свойством трансферабельности, т.е. измеряются в одной шкале и могут передаваться без потерь. Для этих игр характерна множественность принципов (критериев) оптимального поведения игроков. Однако можно указать некоторые свойства, присущие большинству из них: коллективная рациональность (единогласное одобрение всеми игроками) и индивидуальная рациональность (согласие каждого игрока). Решения, удовлетворяющие обоим требованиям, называются дележами. Рассмотрению последних (для игр в нормальной форме) и посвящена первая глава диссертации.

Как уже было указано, кооперативные игры с побочными платежами введены в рассмотрение фон Нейманом и О. Моргевштерном. Основные результаты этого направления получены в работах Р.Аумана, Л. Биллера, Э. Калаи, М. Машлера, Э. Мулена, Ж.-П. Обена, Б.Пелега, И. Розенмюллера, X. Скарфа, Дж. Харшаньи, Д. Шмайдяера, М. Шубика и др. Значительный вклад в развитие теории кооперативных игр внесли О.Н. Бондарева, В.А. Васильев, Э.Й. Вилкас, В.Б. Вилков, H.H. Воробьев, В.А. Горелик, Г.Н. Дюбин, Т.Е. Кулаковская, И.С. Меньшиков, В.В. Морозов, Н.И. Наумова, JI.A. Петросян, С.Л. Печерсхий, А.И. Соболев, Е.Б. Яновская и др. Однако в этих работах не учитывалось влияние помех, возмущений, ошибок измерений и другого вида неопределенностей, о которых известны лишь границы изменений. Подобные неопределенности: присущи многим прикладным задачам, в частности математическим моделям экономики (срыв и изменение номенклатуры поставок, непредсказуемое изменение спроса, неожиданное появление на рынке других товаропроизводителей и т.д.). Учет таких неопределенностей является новым фактором в теории игр. Одно из направлений

этой теории — бескоалиционные игры при неопределенности — исследовалось в работах В.В. Жуковского1 и его учеников А.Е. Бардина, Л.В. Бирюковой, К.С. Вайсмана, Г.П. Житомирского и Л.В. Смирновой. Первые работы по кооперативным играм с побочными платежами и при неопределенности принадлежат В.А. Горелику и О.В. Лариной2, в которых на основе интервального подхода введена интервальная характеристическая функция и с ее помощью исследованы основные решения кооперативной игры. С 1996 г. Е.Н. Оплетаевой начато построение теоретических основ кооперативных игр без побочных платежей и при неопределенности, базирующихся на подходах теории многокритериальных задач при неопределенности3. Максиминный подход использован также в настоящей диссертации, посвященной гарантированным дележам и С-ядру в кооперативных играх с побочными платежами и при неопределенности.

Применение максиминного подхода, позволяющего учесть неполноту информации и. другого вида неопределенности, в кооперативных играх является новым направлением, актуальным как с точки зрения развития теоретической информатики, так и для создания более адекватного математического аппарата при анализе прикладных задач.

Целью работы является формализация и исследование свойств дележей и С-ядра в кооперативных играх с побочными платежами и при неопределенности. При этом предполагается, что о неопределенных факторах иззестны лишь границы изменений, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. Исследования ограничены игрой трех лиц с целью наглядной геометрической интерпретации. Рассмотрено приложение к математической модели рынка неделимого товара при неопределенности.

Объектом исследования является теория кооперативных игр.

Предмет исследования — кооперативные игры трех лиц с побочными платежами и при неопределенности.

Проблема заключается в определении понятий решения кооперативной игры с побочными платежами и при учете неопределенных факторов.

В основу исследования положена следующая гипотеза: на основе принципа

1Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997. 461 с.

2Горелик В.А., Ларина О.В. Кооперативные игры с интервальной характеристической функцией // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 1993. С. 75-91.

3Zhukovskiy V.I., Salukvadze М.Е. The Vcctor-Valued Maximin. N.Y. ets: Academic Press, 1994. 404 p.

гарантированного результата можно определить понятия гарантированного дележа и гарантированного С-ядра для кооперативных игр с побочными платежами и при неопределенности, получить условия их существования.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

— формализовать понятие гарантированного дележа, исследовать его свойства, условия существования;

-— определить понятие гарантированного С-ядра, получить условия его существования;

— для дифференциальной кооперативной линейно-квадратичной игры при неопределенности ввести понятие приемлемого гарантированного дележа, выяснить "коэффициентные" условия его существования и построить явный вид;

— рассмотреть возможные приложения к конкретным экономическим задачам и линейно-квадратичным играм.

Методологическую основу работы составляют современные методы и подходы теории многокритериальных задач, теории игр, выпуклого анализа, динамического программирования.

Научная новизна. Отличие данной работы состоит в том, что в ней предложен новый подход к кооперативным играм с побочными платежами и при неопределенности, а именно: предлагается понятие гарантированного дележа, основанное на максимине суммарного выигрыша, что позволяет игрокам (при реализации любой возможной неопределенности) гарантированно обеспечить себе некоторые "пороговые" выигрыши. Одновременно исследован случай, когда неопределенность формируется на основе "знания" выбранной игроками ситуации. В обоих случаях установлены условия существования, а также предложены способы распределения побочных платежей.

Формализуется также гарантированное С-ядро, исследованы его свойства, в частности (на основе теоремы Кахутани) установлены условия непустоты гарантированного С-ядра при обычных для теории игр ограничениях.

Для дифференциальной линейно-квадратичной позиционной кооперативной игры с побочными платежами и при неопределенности предложено новое понятие — динамически приемлемый гарантированный дележ. Установлены "коэффициентные" условия его существования и при выполнении этих условий найден его явный вид.

Практическая значимость работы. Предложенный максиминный подход в теории кооперативных игр при неопределенности может быть применен к различным прикладным задачам экономики, экологии, механики. В качестве

приложения в диссертации исследована одна математическая модель рынка с продавцом и двумя покупателями при учете колебания предварительной цены товара. Отмстим также, что разработка (на основе предложенного подхода) экономико-математических моделей позволит, во-первых, дать более адекватное реальности описание процессов принятия решений, во-вторых, получить эффективные решения в сфере планирования и управления.

Основные положения, выносимые на защиту:

• формализовано понятие гарантированного дележа для кооперативной игры с побочными платежами и при неопределенности, выявлены свойства и условия существования;

• введено понятие гарантированного С-ядра и установлены условия его существования;

• построено гарантированное С-ядро б одной модели рынка неделимого товара при неопределенности;

• на основе динамического программирования, объединенного с методом функций Ляпунова, найден явный вид динамически приемлемого гарантированного дележа в дифференциальной линейно-квадратичной позиционной кооперативной игре с побочными платежами и при неопределенности.

Апробация работы. Результаты исследований, представленные в работе, прошли апробацию на международных конференциях: "Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty" (Орехово-Зуево, 1996), "Математика. Экономика. Экология. Образование" (Ростов-на-Допу, 1999). Кроме того, основные результаты работы докладывались на IX Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (1998) и Воронежской зимней математической школе " Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1999), на аспирантском семинаре кафедры математики и механики РосЗИТЛП и на научно- методическом семинаре кафедры информатики и дискретной математики МПГУ.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 7 печатных работ. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 10 параграфов, изложенных на 156 страницах машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ российских и зарубежных авторов по рассматриваемому вопросу, обоснована актуальность выбранной темы исследований,

определена дель работы, выдвинута гипотеза, положенная в основу исследований, сформулированы задачи, решение которых необходимо для реализации поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы, указана методологическая основа исследований, научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, приведено краткое содержание по главам и основные результаты.

Первая глава ("Гарантированные дележи") состоит из пяти параграфов. В них формализуется понятие гарантированного дележа для кооперативной игры трех лиц с побочными платежами а при неопределенности, устанавливаются свойства, особое внимание уделено условиям существования.

Вначале рассматривается игра в чистых стратегиях и неопределенностях

( {1,2,3}, Ш<=1,2,3, У, 2,3 >• (1)

Здесь 1, 2 и 3 - порядковые номера игроков, стратегии г-го игрока я,- 6 Xi С R"' (R"¡ - п;-мерное евклидово пространство). В результате согласованного выбора игроками своих стратегий складывается ситуация х — (xi, £2,1:3) 6 X = Xi X Х2Х х Х3 С R™ (п — щ + щ + 7*-з). Независимо от действий игроков реализуется некоторая неопределенность у € У С R"1. Подчеркнем, что неопределенностью может быть любая точка у из заданного множества У С Rm. При этом предполагается, что отсутствуют какие-либо статистические характеристики, а игрокам известна липа область возможных значений У. На произведении X х Y определена функция выигрыша ¿-го игрока /{(к, у). Значение функции выигрыша fi[x,y) на реализовавшейся (в результате действий игроков и появившейся неопределенности) паре (г,!/) есть предварительный выигрыш i-го -игрока. На втором этапе игры полученные предварительные выигрыши игроки могут перераспределять между собой.

Определение 1. Пару (г*,/") EXxR1 назовем гарантированным решением игры (1), если существует неопределенность уя <Е Y такая, что выполнены следующие два условия:

Io) пара (х*,ув) 6 X х Y является седлоеой точкой в антагонистической -игре

r.=(X,Y, ¿/¡(г,У)), ;=i

то есть

i,fi(x,ye) <Efi(x',y9) = ¿Я < £/<(**,»), Vz 6 х,у е У; ¡=i >=1 ¡=i ¡=i

2°) аналог условиж индивидуальной рациональности -

При этом тройку = (У®,у®, Л*) назовем гарантированным дележом о игре (1), ах* - ситуацией, реализующей этот дележ.

Подразумевая в игре (1) информационную дискриминацию игроков, вместо (1) будем рассматривать также следующую кооперативную игру трех лиц с побочными платежами и при "информированной" неопределенности

Здесь С 11"' - множество стратегий х; у г-го игрока (г = 1, 2, 3), Vх - множество неопределенностей у(-) = {у{х) | х € X}; в отличие от (1) будем считать, что при любых х € X, у(') 6 Ух для функций выигрыша имеет место

Игра происходит следующим образом. На основе совместных переговоров игроки выбирают и используют свои стратегии х; 6 X; (г = 1,2,3), в результате образуется ситуация х = (г1,Е2,з;з) € X. В связи с информационной дискриминацией игроки обладают правом первого хода — она сообщают выбранную ситуацию х "фиктивному игроку". Тот на основе "знания" ситуации х формирует неопределенность у{х) (в виде функции от х, принадлежащей множеству У-*). На полученных в результате ь.арах (х,у(•)) е X х Ух определены функции выигрыша игроков fi{x,y(x)) (г = = 1,2,3). На содержательном уровне задача игроков в игре (3): ориентируясь на возможность реализации любой неопределенности у(-) € Ух, совместно выбрать свои стратегии таким образом, чтобы добиться возможно большего значения суммарного выигрыша.

Определение 2. Пару (г*,/") € X х И3 назовем гарантированным решением игры (3), если существует неопределенность уэ(-) € Ух такая, что выполнены следующие условия:

1°) аналог условия коллективной рациональности —

({1,2,3}, ■№};=!,гз, УХ, Ш*.»)Ь=1.2,з}.

(3)

/<(*,у) = /<(*,у(х)) (¿ = 1,2,3).

3 3

шах шт У; Ми, г(и)) = шш У2 /,(х*, г) =

з

= шах £ = Е /«(*•. И**)) = Е //;

чех ,=1 ,'=] ¡=1

2°) аналог условия индивидуальной рациональности —

/? > max min /i(«i,U2,«3,j/(mb«2,«3)) = /?[у"(-)]-

(uj.mJgAjXA!

(ij,* =1,2,3; i,j фк-,

Щи этом тройку f1 = (f\,f",fl] назовем, гарантированным, дележом, о игре fSj, ах" - ситуацией, реализующей этот дележ.

Далее в диссертации приводятся понятия слейгеровской (векторяой), ларетовской, борвейновской и джоффрионовской гарантий (из теории многокритериальных задач при неопределенности3). Выявлена связь гарантированных дележей с векторной гарантией, а также установлена внутренняя устойчивость множества гарантированных дележей. Рассмотрены также свойства гарантированных решений, связанные со специальными аффинными преобразованиями функций выигрыша и с соответствующим изменением аналога условия индивидуальной рациональности.

Существование гарантированных решений игр (1) и (3) установлено яри обычных для теории игр ограничениях, а доказательство основано на ряде фактов из теории антагонистических игр, касающихся существования седловых точек в чистых стратегиях, парах стратегия-контрстратегия и смешанных стратегиях. Центральную роль в доказательство существования гарантированных решений выполняют следующие леммы о распределении гарантированного суммарного выигрыша.

Лемма 1. Имеетп место неравенство

з

/ЙШж^"'2^))^ 2 max min }{(иии5,ик,ув(п)), UEX г—1 и,' iA; (tij,uk)€X j xXk

(i,j,k= 1,2,3; хфз)

3

где вектор-функция у'(-) € Yx определена в (4), a F(x,y) = £

i=2

Лемма 2. Пусть (х",уя) ёХхУ — седловая точка в игре Г0. з

Тогда для значения J2Ji{x'iy3) игры, Га существуют три числа (/f,/f,/|) »=1

такие, что

а з

1=1 1=1

и одновременно выполняется (2).

Теорема 1, Предположим, «¿то в игре (I)

1°) множества X; (t = 1,2,3) и У — выпуклые компакты,

2°) функции выигрыша fi{x, у) (г = 1,2,3) непрерывны на X xY, з

3°) сумма fi(%, у) выпукла по у при каждом х € X и вогнута по х при всяком i=l

yeY.

Тогда п игре (1) существует гарантированное решение (x",fs) (определение 1).

Теорема 2. Предположим,, что в игре (3) с "информированной" неопределенностью

1°) множества Л*; (г = 1,2,3) и Y — компакты,

2°) функции выигрыша fi{x, у) непрерывны, на X X Y.

Тогда о игре (3) существует, гарантированное решение (x*,fB) (определение 2).

Установлены также условия существования гарантированных решений для смешанного и квазисмешаиного расширений игры (1).

Далее в работе рассматриваются способы распределения побочных платежей как для игры (1), гак л для ее смешанного и квазисмсшанного расширений, а также для игры (3) с "информированной" неопределенностью.

В качестве приложения найден явный вид гарантированного дележа в игре (1) с линейно-квадратичными функциями выигрыша и предложен алгоритм построения гарантированного решения в игре (3) с "информированной" неопределенностью.

В этом случае рассматривается линейно-квадратичная кооперативная игра трех лиц с побочными платежами и при неопределенности

( {1,2,3}, {R."'},=1,2,з, R™, {M*,y)}i=i.t.з }• (5)

Здесь множеством стратегий x¡ у г'-го игрока является евклидово пространство В."' размерности n¡ (г = 1,2,3); ситуации х = (ii,x2,í3) € R" (п = n¡ + п2 + п3); множество неопределенностей у совпадает с R*1*; функция выигрыша г-го игрока линейно-квадратична:

з з

М*,у) = J2xiA'¡xi + 2<B'V + У>С<У + (* = 1.2,3). (б)

j=i ¿=i

В (6) постоянные сямметрячные матрицы A¡¿, C¡ размерности n¡ х m x то соответственно, n-¡, X от-ыатрицы В; и 71-,-векторы a¡j постоянны; штрих сверху означает операцию транспонирования; А > 0(< 0) означает, что квадратичная форма z'Az определенно положительна (отрицательна).

Используем следующие обозначения:

Ai = ¿ Ац, В = ¿ Bi, С = ¿ С,, = ¿ a ¡i.

j=1 3=1 j'=i 3=1

Ai = Ai - BC~lB', Di = Л1 - 2BiC^B' ■+ BC^CiC^B', К = С~1В'М'\ bi = Oü + BiKa-i (i = 1,2,3).

Утверждение 1. Пргдположим, что в игре (5) выполняются условия: а<0, ]|а,-|| ^ 0 (» = 1,2,3), с> о,

АЦ < 0, Ац > о, а13 >0, Ли > О, А22 < 0, Ац > О, Л31 > 0, Аы > 0, Азз < о,

з

-^М"1«! - а'2А?аг - а'ьА^аз > ^-¿¡Л!1^ - а\2А£аа - + а\К'С&щ).

¡=1

Тогда ситуациях", реализующая: дележ ¡3, имеет вид

х* = (х\,х\,х*3) = (-М"1аь-Л21о3,-^з1а3), соответствующая неопр еделенность

Уа = Каъ

а гарантированный дележ ¡3 = , , /з) определяется следующим образом 1,2,3; «,/ ^ А;

1°) ем» /,* > 0 (г = 1,2,3), то /? 6 [У,*, -Р* - (// + Я)], /| € [£,*'•-(/?+/;)],

Я = +-//)];

2°) если среди чисел /;* есть отрицательные, то = /? — ДГ— 1 (г = 1,2,3), г<)е

Я € п 6 [/;.•**-(//+£)], Я = ^-(Л3+//)], М = тахз{|/;*|},

£ = /г + м + 1, р« = + 3(м + 1),

при этом максимииы

/,* = шах ппп =

= -Ь^а ^ - «й-^1«« - <4 АдОЙ + ¿4 К'СгКаI <г = 1,2, 3) ц наибольши-й гарантированный суммарный выигрыш

^ = = ^ £/<(*. Vе) =

= ~а[М'1а1 — а^А^аз -

Аналогичный результат получен и для линейно-квадратичной игры с " информированной" неопределенностью.

Вторая глава ("Гарантированное С-адро1') включает два параграфа. В них определяется гарантированное С-ядро в кооперативной игре трех лиц с, побочными платежами и при неопределенности и исследуются его свойства.

Напомним, -что любое непустое подмножество S из N = {1,2,3} называется коалицие-й и в игре (1) коалициями будут

S| = {1}, Si ={2}, 5з = {3}, 54 = {1,2}, S¡ = {2,3}, Se = {l,3}, S7 = {1,2,3};

при этом стратегией коалиции S = {¿i,...,¿,}, ir 6 N (г = 1,...,.«), является набор

= S Xs = П ís(x,y) = £ fá{x'V) — суммарная функция

jes jeí

выигрыша коалиции S.

При формализации гарантированного С-ядра следуем "аналогу векторной ссдловой точки" из 3, используя при этом понятие гарантированного дележа, формализованное определением 1. Именно, пусть в игре (1) реализовалась некоторая неопределенность у* € У. Естественно, что коалиция S в этом случае рассчитывает получить выигрыш не меньший, чем v(S,y*), такой, что

Е /H*s,4S\s>y') £ = £ /«(«S'.Snvs.!/*) < Е /¡(4S,^N\S,3/*),

í es х ¡es 4 ¡es (7)

€ Xs, xn\s £

Число v(5,y*) — это наибольший гарантированный выигрыш коалиции S в игре (1) при фиксированной неопределенности у' £ У.

Гарантированный дележ = (/í^/í^i/J1') доминирует гарантированный дележ = (/í2>,/l2),/i2)) по коалиции S ф {¿} (t = 1,2,3),± N, в игре (1), если

ies

где v(S, y") определено в (7) при у* = у®, а у9 задано в определении 1.

Гарантированный дележ /'*' доминирует гарантированный дележ если

существует коалиция S такая, что ¡^ доминирует /'2' по коалиции S.

Определение 3. Множество недоминируемых гарантированных дележей е игре (1) назовем гарантированным С-ядром.

Все множество дележей из гарантированного С-ядра обозначим Фс[у8]. Любой вектор /с = (fi >f?) £ удовлетворяет:

условию индивидуальной рациональности в игре (1) при фиксированной неопределенности у = ув £ Y, если

/f > шах min ^(щ,щ,ик,уя)-у({,уя)\

u¡€Xi (uj,iti)6AjXAfc

(i,j,k = 1,2,3; i,j ф к, i ф j)

условию коалиционной рациональности, если

fi+ff>, шах minlfi(ni,uj,uk,y^)+fj(ui,u.j,uk,y'))] = t!({i,j},ya); {i,j,k= 1,2,3; хфз)

условию коллективной рациональность, если

"eJC ¿=1 з

здесь и далее обозначено F{x,y) = £ /«(г>у)-

•=1

На основе теоремы Какутани установлены следующие условия существования гарантированного С-ядра.

Теорема 3. Пусть в игре (1)

1°) множества Xi = П [<*!'\Pi''] (постоянные а[Л < /З-3' и i = 1,2,3), множество У — выпуклый компакт,;

2°) функции fi(x,y) (i = 1,2,3) непрерывны на X х Y, строго вогнуты, по х, являются неубывающими по каждой компоненте г,- = (х-1',...,®'"1') (г = 1,2,3) при всяком у 6 У и выпуклы по у при любом х € X.

Тогда гарантированное С-ядро непусто.

Установлено также (§6) существование гарантированного С-ядра и для трех частных видов игры.

В качестве приложения в § 7 проводится построение С-ядра в математической модели рынка неделимого товара при учете колебания предварительной цены товара.

Третья глава ("Дифференциальная линейно-квадратичная игра") содержит три параграфа. В них формализуется понятие динамически приемлемого гарантированного дележа в дифференциальной линейно-квадратичной позиционной кооперативной игре трах лиц с побочными платежами и при неопределенности, а также устанавливаются "коэффициентные" условия его существования и при выполнении таких условий найден явный вид.

Именно, рассматривается дифференциальная игра трех лиц

Г(г„*,) = ({1,2,3},Е,{И;};=глз, Z,{Ji(U,Z,t„x,)}fclA3), (8)

где изменение управляемой динамической системы g описывается обыкновенным линейным векторным дифференциальным уравнением

з

х = + +z, x(t,) = г», (9)

¿=1

время < £ [£,, г9), фазовый вектор а; = (а^,... ,х„) £ 11"; начальная позиция (4„,х,) С £ [<.,»9) х И", момент окончания игры $ = сапа1 > 0, управляющие воздействия г-го игрока и; € И" («' = 1,2,3) и неопределенности г £ й-", элементы п х п-матрицы А(±) предполагаются непрерывными (А(-) £ С„Хп[0,15])- Множество I/,- стратегий £/; игрока г есть

= {{/; -г Т1;(МЫ*> г) = УС?,(-) € С„х„[0,!)]} (» = 1,2,3);

ситуации и = (1^1, Уг, Уз) Е.Ы —Ых У.Ыг х Ыз; множество 2 неопределенностей 2 есть 2= {2 + г(1,х,и)\г{1,х,и) = Р(ф, 6 С„х„[М], ¡/ги(м), У € И}.

"Партия" дифференциальной игры (8) развивается следующим образом.

Игроки, действуя сообща, выбирают свои стратегии 17{ -г (£, ж) = С)](1)х, 11{ £ (г = 1,2,3). В результате реализации этих стратегий образуется ситуация

и = {иии2м -г «•(*, г) = («гког.дко®,

Независимо от их выбора, на управляемую систему 2 действует некоторая неопределенность 2 -Ь и), 2 £ .2, и = м*(£,г), г*(<, е,и*({,х)) = Р"(4)х.

Затем строится решение < < < г?, системы 2 при 11« =

(г = 1,2,3) и г = ,Р*(£)х и находятся реализации = г(4)) (г =

= 1,2,3), г[г] = «•(¿,я(/),и*(«,г(<))); на наборах (г(■),?«![•],гг2['],из['], г[-]) = = £ ['»)'']} определена функция выигрыша ¡-го игрока

г 3

/¿(С/, г, 4„ г.) = г'(>94- /{£ «ДО + г'й£;г[«]}Л (г = 1,2, 3),

и ¿=1

где ге х п-матрицы С;, постоянны и симметричны. Далее используется вектор

Определение 4. Пару (V = (.^(¡„х«), /|(4„, х,), .7|(4,, ж.))

назовем гарантированным решением игры (8) с начальной позицией (4»,х*) £ [0,#)х хИ.", если существует неопределенность 2* £ 2 такая, что выполнены: 1°) аналог условия коллективной рациональности:

£ Ми, г-, и, х») < £ци\г\ь„ х.) = £ з?{и,х.) < ¡=1 ¿=1 «=1

з

2°) условие, индивидуальной рациональности:

JHtr.x,) > шах min Ji(Ui, U2, U3, Z, t,,x,).

(t,j,fc = l,2,3;t,j ^ k;iyij)

Тогда вектор Jg(t,,x») G Ii3 назовем гарантированным дележом в игре с начальной позицией (¿*,я„).

Через ¿}[i„ г.] обозначим все множество гарантированных дележей игры (8), ж* (¿), i, <t< â, — решение (9) при и = u*(t,x), z = z*(i,z,u), U* ~u'(t,x), Z" -f z"(t,x,u) ж

з

Fi(t,x,u,z) = J2u'jDauj (i = 1,2,3),

j=1

3

= (10) •=i

э 3

52MO, z, t, »•(«)) = Уаг [ £ Щи, z, t, x-(t)) ).

•=i ¿=1

Определение 5. Вектор Is{t,t,,x,) = (/f(f,f», ж»),Tf (f,É,, v,),ll(t,t,,x,)) назовем динамически приемлемым гарантированным дележом в игре (8) с начальной позицией (t,,x„), если существует непрерывная на отрезке вектор- функция

ß(t) е В = {ß{t) = > о (г = 1, 2,3), ¿ft(t) = 1, Vi G

i=l

такая, что для

t

Q,(i) = I A(r)f(r)x'(r);«'[T])z'[r])dr (i = 1,2, 3) i.

имеет место включение

P(t,t„x,) G {a(i) H-Z)[i,®*(i)l. Vi € [i.,!?]},

где вектор-функции «*[r] = u*(r, x*(r)), 2*[i] = 2"(t, z*(r)); скалярные функции «<(•), Fi(-) и F(') олределеныв (10); D[i,a;*(i)] - множество гарантированных дележей в текущей игре T(t,x*[t)) (которую получаем из (В) заменой (¿„я») —► (t,x"{t))), вектор a(t) = (ai(i),a2(i)> «зО)), а a(i)4-£>[i,a*(t)] означает множество всех векторов a(t) + d(i), где d(t) € ö[i,3*(i)].

Для нахождения "текущего" (при всех t G [t„ i3j) гарантированного суммарного выигрыша и "текущих" индивидуальных (максиминных) выигрышей рассмотрим следующую дифференциальную кооперативную игру с побочными платежами

r(t,z"(t)) = { {1,2,3}, {g ; (t.,a.) (t,x'(t))}, {Щыхм,

z, (и)

Утверждение 2. Предположим, что для игры (8) выполнены требовании

з з

Di = Y.D»< 0 («'=1,2,3), L = 5>->0, i=1 >=1

¿D^ + i'^O, £ = ¿^>0 (12)

i=l i=l

«imi^O.

Тогда при всех t G [i,,t9] в каждой "текущей" игре Г(£,г*(<)) из (11) 1°) гарантированный суммарный выигрыш

>=1

и является непрерывной функцией времени t; 2°) пара (U*, Z'} из

j2Ji(U,Z',t,x'(t))<v[xm(t)]<'22Ji(ir,Z,t,i:'(t)), VUeU,Ze2, i=l t=l

отвечает требованию аналога условия коллективной рациональности из определения

3°) если в игре (8) реализовалась любая другая ■неопределенность Z G Z, отличная от Z*, то у -каждого игрока появляется возможность получения побочного платежа не меньшего, чем при реализации Z*.

Утверждение 3. Предположим, что для дифференциальной игры (8) выполняются условия (12), а также

Da < 0, Д> > О, Li > О, {г, г = 1,2,3; \фт)

«IWI^o.

з

Тогда максимины w[c*(i)l = max min X! Ji(U, Z,t,x*(t)), r><[:c*(i)] =

и z ;=i

= max Ji(U,Z,t,x*{t)) (i = 1,2,3) существуют, непрерывны на {£,, i9], при

этом

v[x'(t)] > 0, Vi е ¡t„ Л], з

а также Vi[i'(t)] > 0, Vi € если С; > О и £ D"-1 + Lf1 > О,

1

или г<[а;*(<)] < о, £ [¿,,19], если С; < 0, и £ £>г.1 + X,"1 < О.

.7=1

Утверждение 4. Предположим, что в игре (8)

1°) выполнены требованшг утверждений 2,3, а также условия

С; > О, С3- < О, Ск < 0, (»,к = 1,2,ф Ь;» / У); 2°) матрицы

з з

£ Д}1 + ¿Г1 > О, Е £>Г/ + ¿Г1 < О; ¿=1 ¿=1

(г = у, к; г,], к = 1,2,3; » ^ к\ ] ф к) тогда вектор динамически приемлемых гарантированных дележей имеет вид

Г

/?(«,«., 8.) = в4(4) + /?,(*)[$>(«*(*)) + / ^(т,г-(т),и*[г],г*[г])^г],

где

«¡(«) = IШР{т,х'(т),и'[т1г*[т})<1т (¿ = 1,2,3), и

а непрерывные функции /3;(£), £ 6 определяются следующим способом:

— выбирается непрерывная функция

— используя строится непрерывная

&(£) е [0,1 -/ЗД],

— с помощью найденных $(<) и /?;(<) определяется

В диссертации также установлены способы построения динамически приемлемых гарантированных дележей (аналогичные утверждению 4) для двух случаев: 1°) С; < 0, Сй > 0, Си > 0 (г, ¿, А: = 1,2,3; г ^ у,Лт; ; ф к)-, 2°) С;> 0(г= 1,2,3).

В заключении перечисляются основные результаты работы, а также обсуждаются возможные области их применения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вельских Ю.А., Цветкова H.A. Дележи в одной игре трех лиц // Сложные управляемые системы. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1996. С. 56-59.

2. Belskikh J. A. The Payments in the Cooperative Game of Three Persons / / Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty. Abstracts. Moscow: RCITLI, 1996. P. 15.

3. Вельских Ю.А. Одна игра с побочными платежами и при неопределенности // Воронежская зимняя математическая школа " Современные методы теории функций и смежные проблемы": Тез. докл. Воронеж, 1999. С. 37.

4. Вельских Ю.А. Существование гарантированного дележа в игре с информационной дискриминацией игроков // IV Российская университетско-ажадемическая научно- практическая конф: Тез. докл. Ижевск, 1999. С.35-36.

5. Вельских Ю.А. . Гарантированный дележ в игре с информационной дискриминацией игроков // Управление сложными системами. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1999. С. 10-14.

6. Оплетаева E.H., Вельских Ю.А. С-ядро в одной линейно-квадратичной игре при неопределенности // Управление сложными системами. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1999. С. 24-29.

7. Belskikh Л.A. Side Payments for Differential Game under Uncertainty // VII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование": Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1999. С. 224-225.

Подп. к печ. 28.09.2000 Объем 1 п.л. 3ак.431 Тир. 100

Типография МПГУ

Введение.

Глава 1. Гарантированные дележи

§1. Формализация гарантированных дележей.

§ 2. Свойства.

§ 3. Существование.

§ 4. Распределение побочных платежей.

§ 5. Линейно-квадратичная игра.

Глава 2. Гарантированное С-ядро

§ 6. Формализация и свойства.

§ 7. Рынок неделимого товара при неопределенности.

Глава 3. Дифференциальная линейно-квадратичная игра

§ 8. Формализация гарантированного дележа.

§9. Коллективная и индивидуальная рациональность.

§ 10. Построение динамически приемлемых гарантированных дележей.

1. В подавляющем большинстве задач экономики, экологии, техники, военного дела, медицины, права и т.д. возникает необходимость сбора, обработки, хранения и передачи информации с целью последующего принятия оптимальных решений. При этом лицо, принимающее решение, оценивая имеющуюся в его распоряжении информацию, зачастую не знает всей информации, связанной с исследуемым событием, не знает законов, которым она подчиняется. Однако анализ информационного явления проводить тем не менее нужно — это требование практики, повседневной жизни. Кроме того, окружающая нас действительность постоянно и многообразно демонстрирует социально-экономические процессы, в которых интересы участников не носят антагонистический характер и далеко не всегда совпадают. Такие процессы отличаются сложностью, неопределенностью, многокритериальностью, возможностью или отсутствием как совместного принятия решений, так и перераспределения выигрышей. Изучение этих процессов необходимо для выработки участниками способов принятия решений по выбору тех или иных параметров процесса на основе имеющейся в их распоряжении информации и требуют специального математического аппарата, пригодного для исследования. В этой связи в последние десять -пятнадцать лет наблюдается стремительное повышение интереса к теории игр и значительное возрастание ее роли.

2. Имеются многочисленные определения теории игр и ее задач. "Теория игр — это теория рационального поведения людей с несовпадающими интересами" [70]; "Теория игр — наука о стратегическом мышлении" [75]; "Теория игр — это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликтов" [10]; "Суть теории игр в том, чтобы помочь экономистам понимать и предсказывать то, что будет происходить в экономическом контексте" [79]. Первые два характеризуют проблематику теории игр, третье подчеркивает математическую природу теории игр, четвертое выделяет роль теории игр в математическом моделировании экономических процессов. Если уж говорить об экономическом контексте, то сейчас уже речь идет не только о применении теоретико - игровых методов к ставшим традиционными проблемам организации промышленности, но и ко всему многообразию экономической проблематики. Так, например, на микроуровне — это модели торга, модели аукционов. На промежуточном уровне изучаются теоретико-игровые модели поведения фирм на рынках факторов производства (а не только на рынке готовой продукции как в олигополии). Теоретико-игровые модели возникают в связи с различными проблемами внутри фирмы. Наконец, на высоком уровне агрегации, с международной экономикой связаны модели конкуренции стран по поводу тарифов и торговой политики: "Аппарат теории равновесия и теории игр послужил основой для создания современных теорий международной торговли, налогообложения и общественных благ, монетарной экономики, теории производственных организаций" [63].

3. Первыми исследованиями игр в экономинеской литературе, по-видимому, следует считать работы [71, 73, 76], в которых рассматривались проблемы производства и ценообразования в олигополии. Однако это были специальные модели, не имеющие существенного значения для осмысления многочисленных проблем, стоящих перед экономистами. В 1944 году вышла монография [88], которая заложила фундамент теории игр и обосновала возможность анализа многих экономических вопросов с помощью теории игр. За прошедшее немногим более полувека время с момента появления этой книги теория игр преодолела различные этапы своего развития и пережила несколько волн интереса к ней. Примерно сорок лет тому назад казалось, что теория игр дает чрезвычайно большие обещания экономике, но, увы, обещания эти оказались во многом лишь обещаниями, хотя в это время был получен ряд глубоких математических результатов, представляющих интерес даже вне экономических приложений. Однако за последние пятнадцать — двадцать лет произошел значительный шаг вперед, и теперь вряд ли можно найти область экономики или дисциплины, связанной с экономикой (такие как финансы, маркетинг и т.д.), в которых основные концепции теории игр не были бы просто необходимыми.

4. Отметим, что в настоящий момент область применения теории игр гораздо шире нежели только в экономическом контексте. Это политические и социальные вопросы, биология и военное дело, экология и многое другое [80, 83, 85, 89, 90, 93 и др.]. Здесь же представляет несомненный интерес теоретико-игровой подход к формированию коалиций [89, 96].

5. Теория игр делится на две части: теория бескоалиционных игр и теория кооперативных игр. В бескоалиционной теории основной единицей анализа является индивидуальный участник, который (в соответствии с четко определенными правилами и возможностями) преследует только свои интересы. Если же участники предпринимают совместные действия, то это делается потому, что такое поведение оказывается в интересах каждого из участников: каждый опасается наказания в случае нарушения договора.

В противоположность этому, в теории кооперативных игр основная единица анализа — это, как правило, группа участников или коалиция. Если игра определена, то частью этого определения является описание того, что каждая коалиция может получить. Именно, кооперативная теория изучает исходы, которые ожидает каждая коалиция, хотя важным является и то, как эти исходы достигнуты. Таким образом, в кооперативной теории решаются фактически два вопроса: как могут образовываться коалиции и каким образом коалиции будут распределять то, чего они достигают. Итак, в кооперативной теории интересуются всевозможными допустимыми исходами. То есть принимается во внимание все, что игроки могут получить, даже если у них нет соответствующих побудительных мотивов. При этом игроки могут вступать в любую коалицию и договариваться о совместных действиях, а значит, и относительно исходов; считается, что игроки должны соблюдать свои обязательства. Условно здесь можно предполагать существование специального механизма, типа суда, который следит за выполнением договоров.

Основы классической кооперативной теории были заложены в [88], а затем развивались в различных направлениях многими авторами, работы которых сыграли решающую роль в развитии теории кооперативных игр. Среди них, безусловно, следует упомянуть Р. Аумана, JL Биллера, Т. Ихииши, Э. Калаи, Р. Майерсона, Э. Мас-Колелла, М. Машлера, Э. Мулена, Дж. Нэша, Ж.-П. Обена, Г. Оуэна, Б. Пелега, X. Петерса, И. Розенмюллера, Э. Рота, X. Скарфа, В. Томсона, С. Харта, Дж. Харшаньи, JI. Шепли, Д. Шмайдлера, М. Шубика. Значительный вклад в развитие теории кооперативных игр внесли О.Н. Бондарева, В.А. Васильев, Э.И. Вилкас, В.Б. Вилков, Н.Н. Воробьев, Ю.Б. Гермейер, В.И. Данилов, Г.Н. Дюбин, Т.Е. Кулаковская, И.С. Меньшиков, O.P. Меньшикова, В.В. Морозов, Н.И. Наумова, JI.A. Петросян, C.JI. Печерский, А.И. Соболев, А.И. Сотсков, C.B. Чистяков, Е.Б. Яновская и др. Обзоры результатов по теории кооперативных игр в [6, 12, 65, 69].

6. Спектр приложения кооперативных игр в настоящее время велик и постоянно расширяется. Кратко перечислим лишь некоторые из них: исследования общего экономического равновесия [9, 17, 81], задача распределения затрат [51, 94], проблемы банкротства и налогооблажения [74, 95, 97], распределение прибыли [78], ценообразование [94], проблемы регулируемой монополии [51], теоретико - игровой подход в кооперативной микроэкономике [84].

7. Наряду с исследованием "статических" кооперативных игр уже во второй половине ХХ-го века начинает развиваться теория динамических кооперативных игр [33, 34, 58]. Она базируется на основных положениях и результатах теории дифференциальных антагонистических игр [37]. Особенностью этих задач является требование динамической устойчивости, введенное профессором Л.А. Петросяном [57].

8. В зависимости от возможности перераспределения выигрышей кооперативные игры делятся на игры с побочными платежами и без побочных платежей (в последних такое перераспределение не допускается). Кооперативные игры с побочными платежами впервые были описаны фон Нейманом в 1928 г. в его ранней работе [87], а в дальнейшем исследовались им совместно с О. Моргенштерном в монографии [88]. Первоначально кооперативная игра трактовалась не как самостоятельная модель конфликта, а лишь как кооперативная форма бескоалиционной игры. В рамках бескоалиционной игры для каждой коалиции рассматривалась антагонистическая игра против объединенных сил всех остальных игроков. Значение такой антагонистической игры приписывается коалиции как ее гарантированный выигрыш. Именно, в игре 14, ШЯОЬек ) каждой коалиции К С К ф N ставится в соответствие число г;(К) = шах тш /г(ж)> где жк = (ж; I г £ К) Е Хк = П Х{. Это число г>(К) можно интерпреек тировать как суммарный выигрыш, который уверенно могут получить игроки из К, если они объединятся в коалицию и будут действовать совместно. При объединении в коалицию игроков интересует суммарный выигрыш этой коалиции. Такое допущение правомерно, если выигрыши игроков сравнимы между собой и могут передаваться от одного игрока другому без изменения своей величины. Моделируя конфликт кооперативной игрой, мы задаем как бы потенциальную силу каждой из коалиций и ограничиваемся только этим, не указывая, какие именно коалиции фактически будут складываться в процессе игры, и как игроки из сложившейся коалиции будут распределять между собой полученный коалицией суммарный выигрыш.

Таким образом, кооперативной игрой называется пара Г = ( N5 г>(-) ), где N — {!,•••,ТУ} — множество порядковых номеров игроков, а у(-): 2м —К — вещественная функция, называемая характеристической функцией игры.

В кооперативных играх с побочными платежами решением обычно называют оптимальные в некотором смысле схемы распределения между игроками общего (суммарного) выигрыша г;(]М) = шах £ /г(ж), где ситуация х = (х\, • • •, ждг) 6 X = П Различные идеи, которые положены в основу таких распределений, моделируют некоторые интуитивные представления о "разумных" дележах и называются принципами оптимальности для кооперативной игры. Формально в качестве принципа оптимальности можно принять произвольное отображение ставящее в соответствие каждой игре Г = ( 14, у(-) ) множество <р(Г) С К/^. Иными словами, решением называется некоторый набор векторов, каждый из которых понимается как вектор окончательных выигрышей игроков в данной игре. Обычно отображение ср не задается явно, а вводится аксиоматически посредством воплощающих черты оптимальности требований, которым должно удовлетворять множество у (Г). При этом естественно возникает вопрос о существовании непустого множества <£>(Г) с требуемыми свойствами.

В теории кооперативных игр с побочными платежами рассматривалось довольно большое число различных принципов оптимальности. Один из них — дележ = (/^, • • •, /$■), вводимый условиями: коллективной рациональности £ // = г* гек индивидуальной рациональности // > •и(г), г Е N.

Дележ /М = доминирует дележ /(2) = (/}2), • • •,/]?), если существует коалиция К такая, что /}1} < *(К), /¿1} > /|2) (г 6 К). гек

Естественным принципом оптимальности является С-ядро — множество тех дележей, которые не доминируются другими дележами. Это понятие введено фон Нейманом и Моргенштерном [88] и развито Джиллисом [77]. Центральным здесь является

Утверждение: чтобы дележ = (/^, • • •, /$■) принадлежал С-ядру игры с побочными платежами необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции К С N

Е/?>«(к). гек

Другой принцип оптимальности впервые определен опять-таки в монографии [88] и поэтому назван ИМ- решением — это множество дележей, которые не доминируют друг друга (внутренняя устойчивость), любой дележ, не входящий в ИМ-решение, доминируется каким-либо дележом из ИМ-решения (внешняя устойчивость).

Очевидно, если игра имеет непустое С-ядро и ЫМ- решение, то С-ядро содержится в ЛГМ-решении.

Достаточно подробный обзор результатов, касающихся С- ядра и ИМ-решения и связи между ними, можно найти в [65, с. 208-209], работам русских ученых по кооперативным играм посвящен обзор [6].

Следующим принципом "справедливого" распределения суммарного выигрыша игроков является введенное Шмайдлером [91] понятие п-ядра. Наконец, одно из наиболее важных решений представляет собой введенный в работе [92] вектор Шепли. Это понятие, также как и арбитражная схема Нэша [86], определяется с помощью набора аксиом, из которых находится вид некоторой функции, задающей решение кооперативной игры. Отметим также докторскую диссертацию С.Л. Печерского [60], где предложены новые системы аксиом для традиционных классов игр, исследованы новые классы кооперативных игр, их решения и свойства. Таков далеко не полный перечень работ по кооперативным играм с побочными платежами. Однако во всех работах данного направления не учитывались неопределенности.

9. Особое место среди условий, в которых приходится принимать решения, занимает наличие неопределенностей (помех, возмущений, ошибок измерения, запаздывания в каналах передачи информации и т.д.). Это особое положение определяется, в первую очередь, практической важностью, ибо необходимость принимать решения (для которых не удается полностью учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние) встречается в подавляющем большинстве областей техники, экономики и социальных наук. Отказаться в такой ситуации от принятия решений большей частью бывает просто невозможно. Одновременно с тем необходимо стремиться к оптимальному использованию имеющейся информации относительно поставленной задачи, чтобы, взвесив все возможные варианты решений, постараться найти среди них наиболее предпочтительный.

Причины появления неопределенных факторов могут быть весьма разнообразными (см. [28, 39, 98]). В формальном отношении можно выделить два вида неопределенностей [15]:

1. стохастическая неопределенность, когда неизвестный фактор является случайной величиной, о которой известен лишь класс возможных законов распределения;

2. не стохастическая неопределенность, когда для неизвестных величин заданы лишь области их изменения.

В теории принятия решений существует несколько принципов, на основе которых могут быть построены оптимальные решения в задачах с нестохастической неопределенностью. К ним относятся: принцип гарантированного результата (принцип Вальда), принцип минимаксного сожаления (принцип Сэвиджа), принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурви-ца) и др. Все они были предложены для однокритериальных (скалярных) задач при неопределенности [40]. Однако почти всякая сложная практическая задача принятия решения является многокритериальной. В связи с этим особое значение приобретает активно развивающееся направление теории принятия решений, получившее название "многокритериальные задачи при неопределенности" [2, 28-31, 64, 98]. Основные исследования таких задач ведутся в рамках модификации принципа гарантированного результата [15]. Этот подход получил название "векторного максими-на" и в настоящее время активно разрабатывается в России профессором В.И. Жуковским [98] и его учениками Г.И. Житомирским [26], В.А. Матвеевым [44], В.В. Мухиным [52], И.В. Чернявским [66]. Основой здесь является обобщение понятий максимина и седловой точки антагонистической игры на векторный случай. Буквально в последние годы возникло новое направление — игровые задачи при неопределенности [27]. Однако исследования там ограничиваются бескоалиционным вариантом игры при неопределенности [22-24].

10. Начато исследование кооперативных игр при неопределенности. Играм без побочных платежей и при неопределенности посвящена кандидатская диссертация E.H. Оплетаевой [54]. В ней предложена формализация гарантированных дележей и исследованы их свойства. Формализация основана на двух подходах из теории многокритериальных задач при неопределенности [98]: "аналог векторной седловой точки" и "аналог векторного максимина".

Первые результаты [19] по кооперативным играм с побочными платежами и при неопределенности появились в 1993 году, затем развиты в [20, 38], а также в диссертации О.В. Лариной [39]. В ней определяются и исследуются решения игры в случае, когда характеристическая функция многозначна — может принимать любое значение из отрезка. Подход здесь основан на методах интервального анализа [67, 82].

Основа предлагаемой работы — принцип гарантированного результата, предложенный Ю.Б. Гёрмейером в теории исследования операций [15, 16, 18, 21].

11. Целью работы является формализация и исследование свойств дележей и С-ядра в кооперативных играх с побочными платежами и при неопределенности. При этом предполагается, что о неопределенных факторах известны лишь границы изменений, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. Исследования ограничены игрой трех лиц с целью наглядной геометрической интерпретации. Рассмотрено приложение к математической модели рынка неделимого товара при неопределенности.

Объектом исследования является теория кооперативных игр.

Предмет исследования — кооперативные игры трех лиц с побочными платежами и при неопределенности.

Проблема заключается в определении понятий решения кооперативной игры с побочными платежами и при учете неопределенных факторов.

В основу исследования положена следующая гипотеза: на основе принципа гарантированного результата можно определить понятия гарантированного дележа и С-ядра для кооперативных игр с побочными платежами и при неопределенности, получить условия их существования.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось решить следующие задачи: формализовать понятие гарантированного дележа, исследовать его свойства, условия существования; определить понятие гарантированного С-ядра, получить условия его существования; для дифференциальной кооперативной линейно-квадратичной игры при неопределенности ввести понятие приемлемого гарантированного дележа, выяснить "коэффициентные" условия его существования и построить явный вид; рассмотреть возможные приложения к конкретным экономическим задачам и линейно-квадратичным играм.

Методологическую основу составляют современные методы и подходы теории многокритериальных задач, теории игр, выпуклого анализа, динамического программирования.

Научная новизна. Оличие дайной работы состоит в том, что в ней предложен новый подход к кооперативным играм с побочными платежами и при неопределенности, а именно: предлагается понятие гарантированного дележа, основанное на максимине суммарного выигрыша, что позволяет игрокам (при реализации любой возможной неопределенности) гарантированно обеспечить себе некоторые "пороговые" выигрыши. Одновременно исследован случай, когда неопределенность формируется на основе "знания" выбранной игроками ситуации. В обоих случаях установлены условия существования, а также предложены способы распределения побочных платежей.

Далее формализуется гарантированное С-ядро, исследованы его свойства, в частности (на основе теоремы Какутани) установлены условия непустоты гарантированного С-ядра при обычных для теории игр ограничениях.

Для дифференциальной линейно-квадратичной позиционной кооперативной игры с побочными платежами и при неопределенности предложено новое понятие — динамически приемлемый гарантированный дележ. Установлены "коэффициентные" условия его существования и, при выполнении этих условий, найден его явный вид.

Практическая значимость работы. Предложенный максиминный подход в теории кооперативных игр при неопрелеленности может быть применен к различным прикладным задачам экономики, экологии, механики. В качестве приложения в диссертации исследована одна математическая модель рынка с продавцом и двумя покупателями. Отметим также, что разработка (на основе предложенного подхода) экономико-математических моделей позволит, во-первых, дать более адекватное реальности описание процессов принятия решений, во-вторъщ получить эффективные решения в сфере планирования и управления.

Основные положения, выносимые на защиту:

• формализовано понятие гарантированного дележа для кооперативной игры с побочными платежами и при неопределенности, выявлены свойства и условия существования;

• введено понятие гарантированного С-ядра и установлены условия его существования;

• построено гарантированное С-ядро в одной модели рынка неделимого товара при неопределенности;

• на основе метода динамического программирования, объединенного с методом функций Ляпунова, найден явный вид динамически приемлемого гарантированного дележа в дифференциальной линейно-квадратичной позиционной кооперативной игре с побочными платежами и при неопределенности.

12. Перейдем к краткому изложению содержания диссертации, которая состоит из трех глав, разбитых на 10 параграфов.

В первой главе (§§1-5) формализуется понятие гарантированного дележа и исследуются его свойства в игре трех лиц с побочными платежами и при неопределенности.

Именно, в § 1 определяется понятие гарантированного дележа для игры в "чистых" стратегиях и неопределенностях и для игры с "информированной" неопределенностью; рассматривается геометрическая интерпретация введенных решений.

§ 2 посвящен исследованию свойств множества гарантированных дележей и ряду свойств гарантированных решений.

В §3 на основе фактов из теории антагонистических игр, касающихся существования седловых точек, установлены условия существования гарантированного решения и в § 4 предложен возможный способ распределения побочных платежей.

Наконец, в § 5 для линейно - квадратичной игры найдены "коэффициентные" условия существования гарантированных решений при "чистой" и "информированной" неопределенности.

Содержание второй главы (§§ 6-7) составляет формализация и исследование свойств гарантированного С-ядра в играх с побочными платежами и при неопределенности.

В § 6 определяется С-ядро, рассмотрены его свойства, с помощью теоремы Какутани для класса игр установлено сушествование такого решения.

В следующем § 7 рассматриваются игры, в которых функции выигрыша "разделены" по ситуациям и неопределенностям, предложен алгоритм построения гарантированного С-ядра и это решение "геометрически" построено для одной математической модели рынка неделимого товара.

Третья глава (§§8-10) посвящена построению динамически приемлемого дележа в дифференциальной линейно - квадратичной позиционной кооперативной игре с побочными платежами и при неопределенности.

В §8 формализуется динамически приемлемый гарантированный дележ, предложена "игровая"интерпретация такого решения.

Далее в § 9 на основе метода динамического программирования, объединенного с методом функций Ляпунова, находятся "коэффициентные" условия существования "текущего" гарантированного суммарного выигрыша и "текуших" индивидуальных максиминов; затем при выполнении таких условий строится их явный вид.

Наконец, в § 10 установлен явный вид динамически приемлемых гарантированных дележей.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [99 - 105].

Основные результаты

1) Определено понятие гарантированного дележа в КИПН в двух случаях: неопределенностями являются точки заданного подмножества евклидова пространства; неопределенности формируются в виде функций от выбранных игроками ситуаций.

Выяснены свойства гарантированных дележей, в частности, установлено их существование при обычных (в теории игр) ограничениях.

2) Предложены способы распределения побочных платежей, которые реализованы для линейно-квадратичной КИПН.

3) Формализовано понятие гарантированного С-ядра в КИПН; в качестве приложения построено С-ядро в одной математической модели рынка неделимого товара при ограниченном колебании предварительной цены товара.

4) На основании теоремы Какутани установлены условия непустоты гарантированного С-ядра в КИПН; далее эти условия ослаблены для КИПН с "разделенными" (по ситуациям и неопределенностям) функциями выигрыша игроков.

5) В связи с требоваванием динамической устойчивости для дифференциальной позиционной линейно-квадратичной КИПН введено понятие динамически приемлемого гарантированного дележа. Установлены "коэффициентные" условия его существования и, при выполнении таких условий, найден явный вид.

В настоящее время математические модели принятия оптимальных решений играют все более важную роль в анализе многих задач экономики, экологии, военном деле, медицине, праве и т.д. Как правило, в таких моделях возникает необходимость учета влияния неопределенных факторов, возникающих за счет недостаточной изученности происходящих процессов, нечеткости знания целей, неосведомленности о действиях других участников конфликта и т.д. Предложенный максиминный подход позволяет при кооперативном варианте задачи обосновано учесть эффект влияния неопределенностей, что представляется весьма важным для построения более адекватных моделей реальных конфликтов и для их исследования.

Заключение

Кооперативные игры — одно из наиболее развивающихся направлений теории игр. Спектр приложений кооперативных игр весьма велик и постоянно расширяется, особенно в экономике. Это исследования общего экономического равновесия, задача распределения ресурсов, затрат и прибыли, проблемы банкротства и налогообложения, ценообразование, проблемы регулируемых монополий, конкуренция стран по поводу тарифов и торговой политики, ряд задач маркетинга и т.д. Настоящая работа посвящена КИПН — кооперативным играм с побочными платежами и при учете действий неопределенностей (скачки спроса, изменение номенклатуры и срыв поставок, неожиданное появление конкурентов, новых технологий и т.п.), о которых известны лишь границы изменений, а какие-либо статистические характеристики отсутствуют. На наш взгляд, КИПН представляют более адекватный аппарат для описания реальных задач экономики нежели классическая теория.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М: Мир, 1967. 479 с.

2. Бардин А.Е. Векторный риск: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. СПбГУ, 1993. 14 с.

3. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: Физматгиз, 1961. 126 с.

4. Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики, 1963.10. С. 119-139.

5. Бондарева О.Н. О теоретико-игровых моделях в экономике. Ленинград: ЛГУ, 1974. 40 с.

6. Бондарева О.Н., Вилков В.Б., Кулаковская Т.Е., Наумова Н.М., Соколина H.A. Обзор советских работ по теории кооперативных игр // Исследование операций и статистическое моделирование. Сб. науч. тр. Ленинград: ЛГУ, 1977. Вып. 4. С. 81-126.

7. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховс-кий В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: ВГУ, 1986. 104 с.

8. Вайсман К.С. Равновесие по Бержу: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. СПбГУ, 1995. 15 с.

9. Васильев В.А. Модели экономического обмена и кооперативные игры. Новосибирск: НГУ, 1984.

10. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984. 495 с.

11. Воробьев H.H. Развитие теории игр // см, русский перевод 88. С. 631-694.

12. Воробьев H.H. Современное состояние теории игр // Успехи ма-тем. наук, 1970. 25, вып.2. С. 81-140.

13. Воробьев H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985. 271 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

15. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. 383 с.

16. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. 327 с.

17. Гильденбранд В. Ядро и равновесие в большой экономике. М.: Наука, 1986.

18. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982. 145 с.

19. Горелик В.А., Ларина О.В. Кооперативные игры с интервальной характеристической функцией // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 1993. С. 75-91.

20. Горелик В.А., Ларина О.В. Метод покрытий для кооперативных игр с интервальной характеристической функцией // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 1996. С. 51-60.

21. Горелик В.А., Ушаков H.A. Исследование операций. М.: Машиностроение, 1986.

22. Дифференциальные игры со многими участниками. Указатель литературы за 1968—83. / Под ред. В.И. Жуковского, Д.Т. Дочева. Болгария, Русе: Центр по Математике, 1985. 114 с.

23. Дифференциальные игры со многими участниками. Указатель литературы за 1984—88. / Под ред. В.И. Жуковского, В.Н. Ушакова. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. 139 с.

24. Дифференциальные игры со многими участниками. Указатель литературы за 1989-94. / Под ред. В.И. Жуковского, В.И. Ухоботова. Челябинский госуниверситет, 1995. 123 с.

25. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981. 336 с.

26. Житомирский Г.И. Конфликтные динамические задачи: Авто-реф. дис. . канд. физ.-матем. наук. ЛГУ, 1989. 16 с.

27. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997. 461 с.

28. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: Международный НИИ проблем управления, 1990. 112 с.

29. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1988. 132 с.

30. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Многокритериальные задачи управления в условиях неопределенности. Тбилиси: Мецниереба, 1991. 128 с.

31. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Оптимизация гарантийв многокритериальных задачах управления. Тбилиси: Мецниереба, 1996. 475 с.

32. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Б. Некоторые игровые задачи управления и их приложения. Тбилиси: Мецниереба, 1998.

33. Жуковский В.И., Тынянский Н.Т. Равновесные управления многокритериальных динамических систем. М.: МГУ, 1984. 224 с.

34. Жуковский В.И., Чикрий A.A. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова Думка, 1994. 320 с.

35. Красовский H.H. Управление динамической системой. М: Наука, 1985. 520 с.

36. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений // в 43. С. 475-514

37. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

38. Ларина О.В. Интервальные задачи в кооперативных играх // III Межд. конф. женщин-математиков. Тез. докл. Воронеж, 1995. С. 134.

39. Ларина О.В. Кооперативные игры с интервальной характеристической функцией: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. МПГУ, 1997. 16 с.

40. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. М.: Иностр. лит-ра, 1961. 642 с.

41. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1969. 312 с.

42. Макаров В.А., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики. М.: Наука, 1973.

43. Малкин Н.Г. Теория устойчивости движения. М: Наука, 1966. 530 с.

44. Матвеев В.А. Многокритериальная позиционная задача для параболической системы: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. Екатеринбург, УрГУ, 1992. 16 с.

45. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Высш. шк., 1986. 287 с.

46. Мохонько Е.З. Информация и воспринимающие системы. М.: ВЦ РАН, 1992.

47. Мохонько Е.З. О дифференциальной игре с неточным знанием терминального выигрыша. М.: ВЦ РАН, 1994.

48. Мохонько Е.З. Управление информационными потоками в неантагонистических динамических играх. М.: ВЦ РАН, 1992.

49. Мохонько Е.З. Динамика информационных процессов в неантагонистических играх: Дис. . докт. физ.-матем. наук. М: ВЦ РАН, 1997.

50. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985. 199 с.

51. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. М.: Мир, 1991. 464 с.

52. Мухин В.В. Парето-оптимальные гарантии в динамических системах: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. М: Ун-т Дружбы народов, 1990. 14 с.

53. Обен Ж.П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988. 264 с.

54. Оплетаева E.H. Гарантированные дележи в игре без побочных платежей: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. СПбГУ, 1999. 14 с.

55. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.

56. Парод и М. Локализация характеристических чисел матриц и их приложения. М.: ИИЛ, 1960.

57. Петросян J1.A. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вестник ЛГУ, 1977.19. С. 46-52.

58. Петросян J1.A., Данилов H.H. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск.: Томск. Ун- т., 1985. 276 с.

59. Петросян JI.A., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998. 304 с.

60. Печерский СЛ. Аксиоматический метод в теории кооперативных игр. Автореф. дис. . докт. физ.-матем. наук. М: РАН ЦЭМИ, 1998. 31 с.

61. Печерский СЛ., Соболев А.И. Проблема оптимального распределения в социально-экономических задачах и кооперативные игры. Ленинград: Наука, 1983. 176 с.

62. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с.

63. Соболев А.И. Кооперативные игры // Проблемы кибернетики, 1982. Вып. 39. С. 201-222.

64. Чернявский И.В. Гарантии в многокритериальных задачах: Ав-тореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. МГУ, 1988. 13 с.

65. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. М.: Наука, 1972.

66. Aumann R.J. Acceptable Points in General Cooperative N- person Games // Contributions to the Theory of Games. Princeton: Princeton Univ., 1959. P.287-324.

67. Aumann R.J. A Survey of Cooperative Games Without Side Payments // Essays in Mathematical Economics. Princeton University, 1967. P.3-27.

68. Aumann R.J. Lectures on Game Theory. San Francisco: Westview Press. 1989.

69. Bertrand J. Théorie mathématique de la richesse sociale // Journal des Savants. 1883. P.499-508.

70. Billera L.J. Some Theorems on the Core of an n-Person Game Without Side Payments // SIAMJ. Appl. Math. 1970.3. P.567- 579.

71. Cournot A. Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses. Paris, 1938.

72. Dadan N., Volij O. Bilateral Comparisons and Consistent fair Division Rules in the Context of Bankruptcy Problems.Hebrew University of Jerusalem, mimeo, February, 1994.

73. Dixit A., Nalebuff B. Thinking Strategically: The Competitive Edge in Business, Polities and Everyday Life. N.Y.: Norton. 1991.

74. Edgeworth F. La Théoria pura del monopolio // Giornale degli Economisti. 1897. P.13-31.

75. Gillies D.B. Solution to General Non-Zero-Sum Games // Contribution to the Theory of Games. Princeton University Press. 1959. V.40. P.47-53.

76. Herrero C., Maschler M., Villar A. Personal Rights and Collective Ownership: the Rights-Egalitarian Solusion. University of Alicante, mimeo. 1995.

77. Kreps D. Game Theory and Economic Modelling. Oxford: Clarendon Press, 1990.

78. Maynard Smith J. The Theory of Games and Evolution in Animal Conflicts // Journal of Theoretical Biology. 1974. 47, N3. P.209-221.

79. Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Microeconomie Theory. Oxford University Press. 1995.

80. Moore R.E. Interval Analysis. N.Y.: Prentice-Hall. 1966.

81. Moulin H. Game Theory for Social Sciences. N.Y.: University Press, 1995.

82. Moulin H. Cooperative Microeconomics: a Game Theoretic Introduction. Princeton University Press and Prentice-Hall. 1995.

83. Moulin H. The Strategy of Sosial Choice. Advanced Textbooks in Economics, n. 18. Amsterdam: North-Holland. 1983.

84. Nash J.E. The Bargaining Problem // Econometrica, 1950. 18. P.155-162.

85. Neumann J. Zur Theorie der Gesellshaftsspiele // Math. Ann. 1928. Bd. 100. S.295—320.

86. Neumann J. Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press, 1944. (Русский перевод: Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.)

87. Ordeshook P. Game Theory and Political Theory: An Introduction. Cambridge University Press, 1986.

88. Rawis J. Theory of Justice. Harvard University Press, 1971.(Русский перевод: Дж. Ролз. Теория справедлмвости. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1995.)

89. Schmeidler D. The Nucleolus of a Characteristic Function Game. Jerusalim: The Hebrer University, 1966.

90. Shapley L.S. A Value for n-Percon Games // Ann. Math. Studies. Princeton. 1959. 28. P.307-317.

91. Shubik M. Game Theory in the Social Scinces: Princeton Univercity Press, 1984.

92. Tirole J. The Theory of Industrial Organisation. Cambridge. The MIT Press, 1988.

93. Thomson W. The Axiomatic Analysis of Bunkruptcy and Taxation Problems. University of Rochester, 1995.

94. Van Deemen Ad.M.A. Coalition Formation and Social Choice. Dorderecht: Kliwer Academic Publishers, 1997.

95. Young P. Equity: how Groups Divide Goods and Burdens Among their Members. Princeton University Press, 1994.

96. Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The Vector-Valued Maximin. N.Y. ets: Academic Press, 1994. 404 p.

97. Вельских Ю.А., Цветкова H.A. Дележи в одной игре трех лиц // Сложные управляемые системы. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1996. С. 56-59.

98. Вельских Ю.А. Одна игра с побочными платежами и при неопределенности // Воронежская зимняя математическая школа " Современные методы теории функций и смежные проблемы": Тез. докл. Воронеж, 1999. С. 37.

99. Вельских Ю.А. Существование гарантированного дележа в игре с информационной дискриминацией игроков // IV Российская университетско-академическая научно- практическая конф: Тез. докл. Ижевск, 1999. С.35-36.

100. Вельских Ю.А. Гарантированный дележ в игре с информационной дискриминацией игроков // Управление сложными системами. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1999. С. 10-14.

101. Оплетаева Е.Н., Вельских Ю.А. С-ядро в одной линейно-квадратичной игре при неопределенности // Управление сложными системами. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1999. С. 24-29.

102. Belskikh J.A. Side Payments for Differential Game under Uncertainty // VII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование": Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1999. С. 224-225.

103. Belskikh J.A. The Payments in the Cooperative Game of Three Persons // Multiple Criteria and game problems under uncertainty. Abstracts. Moscow: RCITLI, 1996. P. 15.