автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Гарантированная идентификация стохастических динамических систем с мешающими параметрами

рг б Ой

2 4 М1Р 1995

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ '

На правах рукописи УДК 519.91

ДМИГРИШО Алексей Александрович

1АРШИРОВАННАЯ ОДШШ.1КАЦИ4 СТОХАСТИЧЕСКИХ Д№1ШЧБСКИХ СИСТЕМ С ЫШШЦИЭД ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 06.13,16 -техники, математического иеских методов в научных

Применение вычислительной моделирования и математике следованиях

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Томск 199а

г'абоза вшолаена в Томском государственной университете'

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор а.¿.Конев

официальные оппоненты! доктор физико-математических наук профессор п.С.Дёиин

кандидат физико-математииеских наук доцент Ю.К.Устинов

Ведущая организация: Институт математики Сибирского отделения Российской академии наук

. Защита состоится II мая 199Ь г. в часов на заседа-

нии специализированного Совета Д мэЗ.ЬЗ.оЗ Томского государственного университета (634/50, Томск, Ьи, пр. Ленина, Зо).

С диссертацией1 шшо ознакомиться в науодой библиотеке Томского государственного университета.

автореферат разослан. «• ~7 " алур&Л-Д_ 1У9а г.

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат технических наук доцент

6Л

у! Б.К.Тривоженко

I

- 3 -

Актуальность теш, одной из основных задай статистической ) б рабе тки стохастических динамических систем, которая имеет широкие приложения при решении проблем автоматического управления, {мльтр&ции и предсказания, является задача .идентификации. ¿5 качестве двух её составлявших выступают определение модели иэуаа-лаого объекта, выделение инЬорматишых переменных и их оценива-ше, поскольку для обширного класса стохастических систем хорошую аппроксимацию обеспечивают линейные параметрические модели, зедуаую роль на этапе идентификации приобретает задача статисти-»еского оценивания целевых параметров недельной системы по наблюдениям за реальней, иод целевьыи параметрами подразумеваются те, готсрые связаны с интересующими исследователя характеристиками 1эуоаемсй системы. Кроме них в модели ыогут присутствовать мешающие паоаметры, соответствующие, например, неточностям описания :ак самой системы, так и среды её функционирования. Наличие меша-|щих параметров вызывает неопределенность, препятствующую форын-юванию значимых выводов относительно целевых параметров, .Устра-ение этой неопределенности составляет специфику статистического цениванич в присутствии мешающих параметров.

важным примером сформулированной проблемы служит оценивание моделях, задаваемых стохастическими разностными уравнениями, ним относятся широко используемые на практике модели авторегрес-ионного типа, наиболее часто для решения задачи оценивания пара-етров этих моделей в современной литературе применяется асишто-ический подход, I) рамках данного подхода устанавливаются свойст-а решающее правил (в тоы числе, свойство независимости от мешаю-их паоаметров) при объеме наблюдений, стремящемся к бесконечное-и. Лри этом, как показывают исследования Г.Данцига (А'^Ы.МАТН, :>ТА"Т1->Т . - 19^, -V. II, - . , в случае конечного

иксированного размера_выборки реализуются ситуации, когда не су-аствует процедур, позволяющих оценить с заданной точностью целе-зй параметр в присутствий мешающего, лежду тем, в реальных иссле-)ваниях несомненную ценность имеют методы, которые дают возмож-)сть произвести оценивание с гарантированной точностью по реали-1ции процесса измерений конечной длины, первые шаги на пути изу-гния решающих правил с фиксированным качеством были сделаны в

работах ¿.¿.Конева, ¿.3.Борисова и С.и.11ергамешцикова. й назван-Н1!х работах и ряде других с использованием подходов последовательного анализа получены результаты по гарантированному сценява-нив и классификации для большого числа авторегрессионных и родственных моделей. Существенным, однако, являлось предположение о том, что все нецелевые параметры, характеризующие свойства помех в. этих моделях, либо известны точно либо принадлежат известным -ограниченным множествам, й связи с этим, актуальной является задача идентификации в 0бщей постановке, приближенной к условиям реального эксперимента, - при малой априорной информации о мешающих параметрах либо её полном отсутствии требуется по выборке коне оного объема произвести выводы относительно целевых параметров моделей авто регрессионно го типа с произвольны.! наперёд задшшш качеством.

Основная цель работы состоит в построении и исследовании статистических свойств последовательных процедур оценивания и классификации с заданным качеством в моделях авторегрессискного типа-с мешающими параметрами.

Методы исследования. При радении поставленной задачи используются метода теории вероятностей (предельные теоремы, теория мартингалов), математической статистики (последовательный и асимптотический анализ, статистическая теория временных рядов), а также методы линейной алгебры.

Научная новизна работы, и диссертации сформулирована проблема идентификации с гарантированным качеством в присутствии мешающих параметров, построены последовательные процедуры оценивания и классификации, реалкзущйе реиеняе этой проблемы для моделей авторёгрессиокного типа, йредлоленные процедуры оценивания параметров общей модели авторегрессии обеспечивают оценивание с заданной томностью в среднеквадратическоы смысле при отсутствии априорной информации о ковариационных свойствах помех, ироцедуры классификации работоспособны для обширного класса моделей авто регрессионно го типа. Данные процедуры гарантируют заданное качество различения в смысле вероятности ошибочного радения равномерно по значениям неизвестных векторов средних и ковариационных матриц помех. Проведено исследование асимптотических свойств процедур идентификации. Показано, «то в ряде случаев они ке уступают ло

- о -

своим характеристикам предложенным ранее процедурам, ориентированным на точное знание мешающих параметров. Остановлено, что процедура оценивание параметра авто регрессии с неизвестной дисперсией помех является оптимальной в минимаксном смысле 1 аека-^е Кама и адаптивна по отношению к мешающему параметру.

научная и ценность работы состоит в том, что

полученные оеэультаты характеризуют потенциальные возможности гарантированно?! идентификации в'моделях сс сложной структурой зависимости в присутствии меяаящих параметров, а также допускают широкое применение при построении моделей реальных динамических • объектов.

'■гшробация работы, основные результаты диссертации докладывались на .межреспубликанской кснЬеренции творческой молодежи «Актуальные писблемы информатики" (.линек,' 1992), научной сессии Ученого Совета Оибирсксго ^изико-Тхнического «шститута (Томск, 1993), Региональной конференции »Радиотехнические к информационные системы и устройства" (Томск, 199ч).

Структура и объём работы. Диссертация состоит иэ введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, объём текста диссертации 144 стр., список литературы насчитывает 12И названия, в приложении содержится 9 графиков.

КРлТКой СОДЕНьлЬЛЕ РлБиТИ

ао введении приводится обзор результатов по теме диссертации, обосновывается ее актуальность, (Формулируются задачи исследования. / " .

3 первой главе вьписыв&втся изучаемые модели стохастических динамических систем и.дается постановка задач оценивания и классификации с Фиксированным качеством в моделях с мешающими параметрами. приводится краткий обзор полученных ранее результатов по последовательному оцениванию матричного параметра общей многомерной модели авторегрессии, •

с априорно известной матрицей Ь , определяющей ковариационные свойства и уровень помех.

^ Разделе 1.x рассматривается задача оценивания с гарантированной среднеквадратической точностью параметра Ъ в скалярной

- - б -

авторегрессионной модели первого порядка

x^^trc^ K^l, U)

с метающим параметром <У . Upu этом преддолагается, «то СфО, _оо<Д<<»; образуют последовательность независимых

одинаково распределенных (н.о.р.) случайных величин с Е £j = О ,

; Xq не зависит от и Ех£< со.

Для реаения поставленной задачи используется модификация предложенной ранее последовательной процедуры оценивания Л с известным параметром СГ (Б.З.Борисов, З.В.Конев // Автоматика и телемеханика. - 1977. - 10. - С. 5В-64) по схеме Ч.Стейна (ANN. MATH. STATIST. - 1945. -V. 16. - И. 243-25Ы. d соответствии с этой схемой исходная выборка делится на две части. По первой из них, имеющей фиксированную длину, строится оценка неизвестной дисперсии помех ,

CTU/^S*, g£Äma*Ca, '

' "-К»!

Здесь CL и $ - априорные кюшяя к верхняя границы изменения О"2-( &■•=■ Оf ъ—оо при неизвестной дисперсии помех в (2)); tiQ и - неслучайные величины, определяемые ниже; А< - оценка Л по методу наименьших квадратов (KHK) по выборке Хп

^ 2т

%0~ О . Оценка дисперсии Сц называется допустимой, если для некоторого номера Яд и всех выполняется неравенство

supea@£e сгя/6£<£1 , где 0=(Л,сГ); е = .(е=(?ь,<г):

-осхлсоо,

Вторая выборка имеет случайный объём и используется для оценивания целевого параметра ?i . На ее основе конструируется последовательная процедура 1~С(П,Н), А*(гьН)), где Т(Я,Н) - момент прекращения наблюдений, Н) - оценка

параметра Ä , Н - положительный параметр, задающий точность оценивания. Свойства гарантированного оценивания процедуры устанавливает

Теорема I.I.I. Пусть оценка дисперсии (3) является допустимой. Тогда для всех По, Н>0 и 06©

1)х(а/Н)<»/ п.н., .

- г -

Лэ Теоремы 1.1.1 следует, чтс при Н= V«? , <?>0 ."процедура оценивания (V, по выборке конечного объема обеспечивает .

несмещенное оценивание А с заданной среднеквадратической точностью 5 равномерно по значениям как целевого, так и мешающего параметров. ^

Свойство допустимости оценки Од характеризуется в следующих предложениях.

Предложение 1.1.1. Пусть распределение помех в 1Шеет плотность , такую, что 1) «•) , 2) ^(и.) не воз-

растает с ростом 1.3) $ Ли. < со для некоторого

О > О . Тогда допустима, причем можно положить

и

({:= \ , если -б<со , с1~0 , если 6 = со ; - целая

часть числа 2. .

Предложение 1,1.к. х1усть плотность

распределения помех ограничена известноП постоянной у< со . Тогда (X^ допустима и мсгно выбрать

По-з,

где ^ =

(Л определено в предложении 1.1.1. Как видно из предложений 1.1.1 и 1.1.*, построенная последовательная процедура обладает гарантированным свойством для широкого класса распределений шума в модели (¿) (в частности, для гаусссвсксго и равномерного-шумов) и в общем случае не требует при своей реализации знания точного функционального вида распределения помех.

л Теореме 1.1.& исследуется асимптотическое (Н-Х50) поведения среднего объема выборки, требующейся процедуре ("С, Л*) для достижения заданной точности, предположим, что модель {¿¡) устойчива (—1<А<1), со, ¡¿->0, и длина первой выборки 1Ъ~К(Н) является такой монотонной неограниченно возрастающей

_ В -

функцией Н , ото Д(Н)=о(Н>, Тогда в условиях любого из

Предложений 1Д.1 или i.1.2 дяч всех (ЛГ<1 1С

Um, Еяг(ггСН),Н)/Н=бО-лг)) (4,

где р> = 1 , если вьполнены условия Предложения 1.1.1, и ^ = пиц,(6/ау 2xe%í) , если вдаолнены условия Предложения 1.1.Я. »1э соотношения (4) вытекает, «то средний объём выборки B^VCnCH), Н) асимптотически не зависит от метающего параметра О" , а в случае совпадает при Н—?00 со средней длительностью последовательной процедуры, использующей точное знание дисперсии помех

.Раздел 1.2 посвящен построению и исследованию свойств последовательной процедуры оценивания матричного параметра Д в обцей модели Ц) с неизвестной матрицей В> . Предполагается, «то^случайный процесс {Хц/К^О) имеет размерность р ',{£■£,$.'21} -последовательность н.о.р. Ц -мерных случайных векторов с Ее(=0, fí&lüfzzltj i , ъ&аАв^р ; собственные числа

А{ ,.,., Ар матрицы Л.удовлетворяют одному из условий: I) тол» (А{,'|< 1 ; £) НМЛ i> i . Построение процедуры оценивания осуществляется по плану, предложенному при рассмотрении скалярной модели (2). Разобьем исходную выборку на две части, по первой из которых (неслучайного объёма) сконструируем статистику СГ% по формулам (3) с

Здесь А к - оценка ШК. матрицы Л по наблюдениям Ху , , Л0 = 0 ' . d случае общей модели <1) статистика cr¿ представляет собой оценку велиедны 11BIÍ2" ,позтому CL и 6 определяются как нижняя и верхняя «шрйзрше границы для 11В IIя , а условие допустимости приобретает вид: существует такой номер Пр , что для всех

tl^tlp справедливо неравенство SUp^ q Eg [|BÍ12,/o'^<

где (Л,, 0 - множество значений Л и 6 . Ьторая выборка слуаайной длины применяется для оценки матрицы целевых параметров А с использованием статистики С^ . иценизание осуществляется с помощью последовательной процедуры (N(ll, Н), Л*(а,Н)), где NW,H) - момент остановки, Н) - матрица сценок,

- у -

Н - параметр точности, лыеет место

Теорема l.ü.i. йредпо лежим, что статистика Од. допустима. Тогда при всех М^По / Н>0 и

1) N (П/Н) < оо n.Hv ее И Л* i »t/ н)—Л « С/Н i

где С - постоянная, не зависящая ст Н , А и В ,

.Условия на расп:>еяеление помех £к э общей модели (1)^ обес-печиваюцие допустимость Сд. , а также точные формулы для Ид и ßft , содержит

предложение iЯ. 1. иусть плотность ■jlti) , U6R^, помех в (1) обладает свойствами: i) f (&> = f (— U.) , для любого С>0 множество { U.: f Си) ^ с ) выпукло, для некоторого у< со и всех выполняются неравенства

ftuo^u,)« Xh.K(uv..>,uK-1,aK+tJ.t.Ju<j); (5)

q.f

где hfr эааают плотности иаспределений в пространстве Я Тогда Cß допустима, причем можно положить

где J^mvc (znpqy1 (Г е£ ) , d опре-

делено в .юедложении l.x.i. ьели имеют распределение Ж (О, Г<|), справедливо следующее утешение:

ZfrS ? t*ax(nu.,cl)F/lltl)cLu>,

где Fn (Ul - плотность распределения закона X1 с /7. степенями, свободы,

из Теоремы 1.2.1 и предложения 1.1.2 следует, 4tq предложенная процедура (N/Л*) обеспечивает оценивание матри^ого параметра Л в (1) при неизвестной матрице В с заданной среднеквад-ратииесксй точностью как для гауссовсксго, так и негауссовского распределения помех. Условие (Ь), определяющее требования на распределение шума £ц, выполняется, например, для всех многомерных плотностей, представляющих собой произведение ограниченных одномерных плотностей.

Асимптотическая формула для средней длительности последовательной процедуры (N/Л*) выписывается в Теореме l.fc.2. Шзскояь-

ку при выводе формулы рассматривается случай устойчивой матрицы Л (т.е. тЛСС(Л^|<1 ), в Теореме 1.2.2 исследуется процедура упрощенной конструкции.

Теорема 1.2.2. Пусть

1) матрица Д устойчива,

ЕИб^Г r<», fOO,

2) длина первой выборки П=-а(Н) является монотонной неограниченно возраотающей функцией H t такой, «то

(i(H)~diltbH)t н—

3) выполнены условия Предложения 1.2.1. Тогда

Um ^NiftCHbHJ/Hs pimVbuF, (о) .

Н-^оо

' 00 К. fi К.

где р = ЛИ Л БВчЛ ) - положительно опоеделенная мат-

л 2 \

рица, р = nun- ( ь/д.; UKepq^ J в общих условиях'Предложения 1.2,1, , если шум является гауссовским.

Так как матрица ß входит как в числитель, так в в знаменатель правой части Со), то из Теоремы 1.2.2 вытекает, что средняя длительность EgNCfUH), Н) последовательной процедуры оценивания будет асимптотически независима от неизвестных ковариационных свойств помех в подели (I), например, когда ß известна с точностью до неопределенного множителя, т.е. В-С В ., где 0 - неизвестен, а В - априорно заданная матрица. Так же, как и в случае скалярной модели (2), при (гауссовский шум) средняя длительность предлагаемой процедуры, не использующей информацию о• матрице В » асимптотически ÎH-—г со) совпадает со средней длительностью процедуры, ориентированной на точное знание интенсивности помех {6 = {( ß i\ * ) .

В Разделе 1,3 обсуждаются результаты численного моделирования рассмотрению: процедур оценивания целевых параметров в моделях (1) и (2). Полученные данные свидетельствуют, ото выборочное средиеквадратическое уклонение и выборочная средняя длительность последовательных процедур в случае неизвестного" уровня помех в (I), (2) не отлиааатся существенно от аналогичных характеристик изуаашкхся ранее процедур, пользующихся точными значениями меша-пщих параметров»

- и -

¿¡торач глава диссертации посвящена репению задачи классификации моделей авторегрессионного типа с фиксированной вероятностыз ошибки по выборке конечной длины, ос введении ко второй главе содержится краткий обзор работ по классификации и проверке гипотез в моделях со сложной структурой зависимости, выписывается последовательная процедура различения простых гипотез относительно структуры случайного процесса общего вида. Далее приводится план применения рассмотренной процедуры к решению конкретных задач классификации моделей авторегрессии с переменными паракетсами, авторегрессии с аддитивными помехами наблюдений и авторегрессии— скользящего среднего в присутствии мешающих параметров.

¡1. Разделе 1 исследуется многомерная модель авторегрессии с переменными параметрами

Хк=А(к/01)Х|с_1 + а(02)£|^; къь (7)

где { Х(с, К^О} и К2-1} определяются так же, как к в мо-

дели (1) (см. Раздел 1.2); р< кыЛ С10) - р ; Целевой параметр структуры, принимающий значения из шюжества = -

{б^11, 0 }, 5 < <*> ; Вх - меняющий параметр, задающий ковариационные свойства помех в (7), б2 6 02. ^ ©г С Я . Требуется построить последовательную процедуру, которая гарантирует выбор истинного значения (классификацию моделей (7)1 с заданной зероятностьв ошибки, не зависящей от значений мешающего пара-метоа 02»

При конструировании соответствующей процедуры классификации воспользуемся двувкбо речной схемой, рассмотренной в первой главе диссертации. Разделил! выборку на две части. Но наблюдением первой выборки с неслучайным объёмом построим статистику СГ^ , которая используется з дальнейшем для оценивания

где - весовой множитель, П-'?Н-о . Будем называть статистику [Ь) допустимой, если существует номер ¡Тд , такой, что для всех

И&Ио выполняется неравенство

'Ле 9- ( ви в'3.)/ 0= X. (£>% • вторая выборка имеет случайся объём и используется для построения последовательного реяав-<его лрззила (ТГ(Г1, Н), Ц>Ш,Н» . Здесь ТЦ^Н) - длительность

- -

процедуры, <f(fl,H) - решающая статистика и Н - положительный параметр точности. Свойства последовательной процедур С "С£П-,Н ipifl, Н)) описывает

Теорема 2.1.1. иредположим, что еьпслнонъ.' условия иоедлокенич 1.2.1 и для всех 1 é L<j& S расходятся ряды 22 II V¿j (О II где V¿j(K)=A{К, е^')-А (К, б^-" ) . Тогда статистика Ы является допустимей и,для'всех , Н70 и 0é0

и -сса/Н)<со п.н. b)p0{<f>t^H)^e1>é4ís-i)/CH+4).

Кая видно из Теоремы 2,1.1, при Н = 4( ($-1)/£-1 )/£>0, предложенная последовательная п;сцедуоа классификации гарантирует различение моделей авто регрессии (7) с ьацанней ве .ючтностыэ ошибочного ранения ó по виберне конечной длины, при этем условие расходимости рядов 22 характеризует суммарное (на

неограниченном интервале времени) различие динамических функций A(t4,8<j) , отвечающих альтернативным моделям наблюдаемого процесса . Условие заведомо выполняется, если не зависят от времени.

При исследовании средней длительности процедуры классификации ftTjtp; рассматривается случай псблгеглвщихся" моделей (vi, который является наиболее интересиьм в той ситуации, когда динамические функции AíK/9-j) изменяются с ходом времени. Лредполага-ется, что

1) Vij (K>=t(K)Uij ,ГДе г(К)^0 при К-»«>,

2) в i") ■—А ) К—и матрица А является устойчивой в том смысле, что все её собственные числа по модулю меньше единицы.

1]ри дополнительных условиях как на последовательность {х(Ю, К21} так и на скорость сходимости А , обеспечивающих

справедливость соответствующих вариантов усиленного закона больших чисел, в Теореме ¿.1.3 устанавливается общая асимптотическая формула для среднего объема выборки EqTOUН),Н) при J частном случае TlUs k~v, 0¿y£i/Z , из Теоремы 2.1,3 следует, что если V<.1/2. , то

¿un Еа С х íп <н>, Н)) 1~2v/H = 11-2v)с,

V Н->°° °

а при Vs.1/2.

Здесь С - постоянная, не зависящая от И и V , функция Я(Н) удовлетворяет требованиям Теоремы 1.1.2.

Л Разделе '<-.'<. изучается задача классификации с фиксированными вероятностями ошибок гауссовских моделей авторегрессии, наблюдаемых э обстановке помех. Лусть р -мерный процесс измерений {Ук;Кб2.} удовлетворяет системе стохастических разностных уравнений *

гк- б(к/в) = в(в1)(хк-с1«/е)) + Я(е1)ч<,

где Х/< - р -мерный процесс состояния динамической системы; . сИК,В)г -6 (К/ в) - р-ыернке вектора средних значений Хк , У к. » АГВ^), 0.(9^) и - детерминированные матричные

функции согласованных" размеров, *ииЦ (2 £•):=• р/ сШ^ВС'^О, А(ш) - устойчивая матрица; К&2. У, - независи-

мые последовательности н.о.р. случайных-векторов, распределенных по законам ЛГ(0, Ту), Л/(0,1х.) соответственно;' р£- ГМЬСЦ^). Далее, 9%) , причем 9] и 0£ определяются так лее, как и .

в Разделе 2.1, 0^ - целевой, а 0.2. - метающий параметр. Предположим также, что векторные функции &(&/&) и В[К,в) допускавт представления

в(к,в) = в1(К,вх)Ч-В2(к/вг)-1- 63СК,91). Пи).

Ьдесь СЦ О), б ■¡С') - векторный многочлены аргумента К. степени ; , ) - периодические функции аргумента К с целым

периодом (¿^ »• &з (• ) » 6^(0 - известнее функции К и . Зада- , ча состоит з построении последовательной процедуры оценивания дискретного параметра структуры 0^ с гарантированной вероятностью зшибки по конечной реализации процесса измерений У« . Точность тринимаемого решения не должна зависеть, от ыеаающего параметра $2.« определяющего полиномиальные и периодические тренде в векторах средних (11".

С цельп устранения метающего параметра на первом пате произведите сглажизание измерений У^ с помощью оператора

(< —» Д ~ разностный оператор, В> - спера-

тор обратного сдвига, Д=1— В, ВУк.= У«-"! • ^ втором шаге по сглаженным наблюдениям = строится п^гледсвателйная

Процедура классификации' (.ТШ), ф(Н)> , Т(Н) - момент остановки, !|>(Н) - рещающач статистика, Н - параметр точности. л основе процедуры лешт последовательный вариант метода наименьшей ошибки предсказания, реализуемый с использованием теоремы о, нормальней корреляции. Обозначим №¿=£¿(1А/^ / , индекс Ь ука-

зывает на то, что усреднение гьхиэведится по распределению, соответствующему брб^1,

Теорема Пусть для всех 1 с веиоятностью а рас-

ходятся ряды X. 11 т^ (К) II2". '1огда при всех Н>0, б£ 0

1)Г(НХ«> П.Н./ к) Ре{ фШ)ф 4(5-1)/(Н+4).

Теорема <¿.«..1 свидетельствует о том, что предложенная процедура обеспечивает решение поставленной задачи классификации с про из-, вольной наперед заданной вероятностью ошибки независимо от значений ыещомцего параметра в^ .

Цереходя к изучении асимптотического поведения ( Н— средней длительности последовательной процедуры класси{мкации, предположим, ото функция в (1о) удовлетворяет любому

из условий:

1) для всех 9) £ 01 63 {Ку0^) является периодической с произвольным целым периодом,

2) для всех существует и конечен -&П. (К.0ч) -

1 к.-»» 1

Ииеет место

Теорема к,к.11усть выполняется требование Теоремы к.к.1, Тогда для всех 66. 0

Хт. Епи(Н)/Н = с.

где С - постоянная, зависящая только от известных функций АС->,В(->, (21-), и последовательности { К

Раздел «¡.3 посвящен построению процедуры гарантированной классификации моделей общего вида

ук = в £ в,) х я + е и, в) я (©д. > к,

хк = дсе1)\к_1 + <кк,е)н-асе2)£к; (А1)

где Х^ н Уд - р-мерные процессы состояния динамической системы

. - lo -

к измерекий; матрицы А('), BC~)/QC•) и RC-} и сектора Д-С') , бС1) определяются так же, как и в Разделе 2,2; {£к/ К? О Í Ч К i К v 1} - независимые последовательности случайных векторов размерностей CJ и Ъ , причем {*1к/ l^t О составляют н.о.р. последовательность'с Е»1)=0/ Е^ (¡^'з ', a {¿^КЯ}'

могут представлять собой как последовательность н.о.р. случайных векторов, так и процесс скользящего среднего. Таким образом, модель (11) включает в себя модели авторегрессии с аддитивным шумом и авторегрессии - скользящего среднего, также наблюдаемую с помехой. Параметр 9j является целевым и принимает конечное число значений, a является мешающим параметром. При этом, в силу того, что 92. входит в вектора &(■) , 6С■) и в матрицы £?(),£(•) в Разделе 2.3 ставится общая задача классификации с гарантированной вероятностью сшибки моделей (11) с неизвестными векторами средних и неизвестными ковариационными матрицами помех состояния и измерений.

Для решения поставленной задачи используется комбинированная процедура, которая последовательно компенсирует влияние меаа-. еще го параметра сначала в векторах средних, а затем в матрицах Q(0 и R(') . tía первом шаге производится сглаживание наблюдений V/с с использованием оператора — . Далее, выбор-

ка из сглаженных значений V/^ = LY/< делится на две части, по первой из которых (фиксированного объема) конструируется статистика ' n+d~I - ,

где - неслучайный множитель, <¿ - длина сдвига выборки,tlf-tto. Соответствующее определение допустимости статистики (12) аналогично определению, данному в Разделе 2.1. Вторая выборка случайного объема используется для построения решающей процедуры (N(ft,H), ' <?(П.,Н)) , где, как и прегде, N(Н) - момент прекращения наблюдений, ф Ot, Н) .-"решающая статистика и Н - параметр тс-ч-ности. Свойства последовательной процедуры ( ф(Л,Н))

содержит Теорема 2.3.1, з которой устанавливается, что при выполнении ряда требований регулярности ковариационных свойств процесса YK , условий различимости моделей (II) и допустимсти статистики Vjt справедливо следующее утверждение: при всех tl^it-os Н?0 , и 9йО

I) М((г,Н)< оо п.Н,; 2)Ре{ф(л/Н)^б1>$4(6-1)с1с/Н.

где С - универсальная постоянная. л предложении ¿.3,1 показывается, что статистика <Уц является допустимой пои выполнении условий Предложения 1.2. Г, а также выписываются формулы для вели-оин По п Рп , фигурирующих^ (12*. ч

¡1 Разделе 2.4 проводится обсуждение результатов численного моделирования рассмотренных во второй главе последовательных процедур классификации моделей авто регрессионно го типа. -,елью моделирования являлось исследование влияния мешающих параметров на выборочные характеристики процедур, Полученные при моделировании данные подтверждают состоятельность теоретических выводов об устойчивости характеристик последовательных процедур по отношению к выбросам значений мешающих параметре.

Третья глава диссертации посвящена исследованию оптимальных сбойстб предложенной последовательней процедуры оценивания параметра Я в модели авторегрессии (¡с.) с мешающим параметром О . Во введении приводится обзор результатов по характеризации оптимальности статистических решающих правил, а также обсуждение работ, в которых изучалась эффективность оценок параметров моделей авторегрессионного типа в смысле критерия Гаека-Ле лама.

'Л Разделе'3.1 устанавливается вспомогательный результат, касающийся асимптотического распределения последовательной оценки Л*(1,Н! при П,Н~» «? , й Теореме 3,1.1 доказывается, что "денная оценка обладает важным свойством равномерней асимптотической нормальности как по целевому, так и подметающему параметру. Более точно, определим множество

0*= : ии ь О^

где О-С ал <?г оо, £ 0и СГ2 £/{Г ^ , а. и ё - алри-ерше нижняя и верхняя границы для дисперсии помех С2.

Теорема ЗЛ.ЦПусть распределение помех ¿к. 0 модели (2) удовлетворяет условиям Предложения 1,1.1 и длина первой, выборки П~П(Н) является такой монотонной неограниченно возрастающей функцией Н , «то П2(Н)^о(Н)/ Тогда

От, иир |рА{\/Ги*Си(Н)/Н)-Л)ёи,}-Ф(и>|=0, (13)

где ФСчУ - функция распределения закона (^,1). Результат, сходный с утверждением Теоремы 3.1.1, был получен впервые в работе Т.л.лая и Д.Сигмунда (ANN . STATIST . - 19b3."

- V . II. -Р. 4.7Ь-4ьд) к устанавливал, что последовательная модификация сценки лпК асимптотически нормальна равномерно относительно параметра Л в модели (2), принимающего значения из отрезка .С -1,1] .

В Разделе 3.2 предельное соотношение (13* применяется для доказательства асимптотической оптимальности последовательной процедуры ¿"Cit/M; Л^(П/Н)) в смысле Гаека-л'е Кама. предположим, что плотность f(u) распределения пума £ц кусочно-непрерьт-но дифференцируема и обладает конечным информационным количеством ' випера, а этих условиях плотность р(Zf,...,ZW!/J совместного распределения вьйооки ....» X/j, , порожденной моделью (2), при всех и <7ф о обладает свойством локальной асимптоти-

ческой нормальности (JUti). Лтслнение свойства Jhto-дает возможность использовать критерий асимптотической эффективности i'aerca--яе Кама. Определил класс JL последовательных и непоследовательных процедур оценивания параметра Л , с которши будет производиться сравнение. ¿кявчнм в него все процедуры А= { MZ-1 У , где tm ~ юиен? остановки, Я/п - оценка параметра, удовлетворяющие условиям:

1) для всех М^-1 момент^' является марковским относительно процесса { КЪ о} , Bgifn^m,

2) для всех ffl^t оценка измерима относительно . Для каждой процедуры UC зададим асимптотический рпск

RU)=: sup (йть SMV (14,

ffefP я-**3 9&3 ^ '

где - класс распределений помех , включавший закон JPlO/), 1М4г<{, <rt<iff /йа^УуЧш^-^т/а-л*)'рУО. i/собенностьп асимптотического риска (14) является то, что- точная верхняя грань вычисляется как по значениям целёвсго, так и мешил-цего параметров. Подобное определение риска было дано в работе В.^абиана, Дж.Хшнана ( Z..WAH£.SCHeiWL|CH Ке\Т5ТнеОЯ\€.

- 19Ь2. - а. 59. -5 . 4о9-47о) при исследовании свойства адаптации оценок к меоакщим параметрам. НодСерем последовательность

- 1Ъ -

{ Н/и, (И?-О так, чтобы последовательная процедура А = {¿Г(Нт}, А*Шт)),пК1) входила в класс-Лб (здесь для краткости обозначено ТГСПСШ/И) , Л*"СН) =: Л*(иСН^ Н)) . опти-

мальность процедуры Л* в классе М. в смысле асимптотического риска (14) устанавливает

Теорема 3.2.2. Лусть выполнены условия Теоремы 3.1.1 и Е1£(| «с, где [<-> шкс (О, р-4) . Тогда

3 л К ь Ч ь И Л Е а диссертации получены следующие'основные результаты:

1. построены последовательные процедуры оценивания авторегрессионных параметров общей авторегрессио11ной модели, которые по выборке конечного объема гарантируют'заданное качество оценивания равномерно относительно значений мепающих параметров, задающих уровень помех в модели.

2. Сконструированы последовательные процедуры классификации ко-неЧ1Юго числа моделей авторегрессионного типа с заданной вероятность» правильного реаения в присутствии мешающих параметров распределения помех в модели.

3. Найдены статистические характеристики предложенных последовательных решающих процедур, показана независимость предельных свойств процедур от мешающих параметров.

4. Установлена асимптотическая оптимальность последовательной процедуры оценивания параметра авторегрессии с неизвестной дисперсией помех в широком классе последовательных и непоследовательных процедур, использующих точное знание мешающего параметра.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. О последовательном оценивании параметра автсрег^ессии при неизвестной дисперсии помех Ц Актуальные проблемы информатики, Материалы межресп. научно-практ, конф. творческой молодежи. -Минск, 1992. - С,

2. О гарантированном оценивании параметров авто регрессии при неизвестной дисперсии помех // нвтематика и телемеханика. - 1394. -

--

- К» 2. - С. £»7-99 (с а.а.Коневым).

3. Последовательная нлвссифияацил стационарных процессов с неизвестным средним // Раду-о технические и информационные системы и устройства: Материалы рвгиэ». научно-техн. конф. - Томск, 1У94,-

- С. 6-7.

4. и различении многомерны* авто регрессионных процессов при неизвестных ковариационных свойства* помех // ^адиетеяша » электроника. - 1994. - Т. 39. - 10. - С. 1ьо5-1о11 (с ¿.ЗДоиввым).

Заказ Тхрзж 100 экз.

РИС ТГУ , Тойот, 29, Никитина,4.