автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Формообразование параллельных поверхностей и вычисление их интегральных характеристик способами геометрического моделирования

РГб од

1 4 ЛВГ 19.95

М1Н1СТЕРСТВО ОСВ1ТИ УКРАГНИ

КШВСЬКИИ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХШЧНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ БУД1ВНИЦТВЛ I АРХ1ТЕКТУРИ

ФОРМОУТВОРЕННЯ ПАРАЛЕЛЬННХ ПОВЕРХОНЬ ТА ОБЧИОЛЕННЯ IX ШТЕГРАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАСОВАМИ ГЕОМЕТРЙЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

05.01.01 - Прикладка геомБтрш, комп'ютерна графжа, дизайн та ергономгка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацп на здобугтя вченого ступеня кандидата техшчних наук

На правах рукопису УДК 515.2+629.7

БОН ДАР Дмитро Вадимович

КИГВ 1995

Дисертащею е рукопис.

Роботу виконано в Харю'вському 'пол1'техшчному ушвер-ситетк

Науковий кер!вник — доктор техшчних наук, професор кафед.ри НГГ ХПУ Куценко Л. М.

Офдайш опонсити:

Доктор техшчних наук, професор Павлов А. В.

Кандидат техшчних наук, професор Слдлецька Н. I.

Провщна оргашзащя—Харивськнй в1йськовий ушверснтет.

Захист В1дбудеться 19эГ"р. о 13 го-

дин! на засщанш спещал1зовано! вче1/л ради Д 068.05.03 в Кшвському технкному ушверситет1 будьвництва 1 арх1тектури за адресою: 252037, Ки"1В-37, Повпрофлотський проспект, 31, ауд. 319.

3 дисертащею можна ознайомитися з б1блштещ КиТвського державного техшчного ушверситету буд!вництва I арх1тек-тур-и.

Автореферат розшлано т. 199 Гр.

Вчений секретар спещал1зовано1 ради Д 068.05.03 кандидат техшчних наук, доцент

В. О. Плоский

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОЕОТИ

Актуальн1сть. Сучасна прикладна гбонатрЫ дае змогу розв'язувати досить широко коло ✓ 1нжэшрно-тохн1чних проблем. ■ Проте запиги практики примушують цв коло задач ■ пост1Шю розишрювати. Зокрема, 1нтерес викликають геометрнчн! досл№ення В галуэ! гйтерогешшх слотом рэчовнн.' Нагадаемо, що гетерогенной наэивэвться макроскол1чно-неоднор!дна ф!эико-х1м1чна система, що складаеться з двох р1зних за 'властивостями речовин, ■ як1 розмежован1 доякою розпод1льчою поверхнею. Геомэтрична форма розпод1льчо! повархн1 може зм1нюватись в простор! внасл1док зм1нн в „ ч а с 1 ф1зико-х!м1чних властивостей складових частин речов1Ш на маж1 Хх розпод1лу. В дан!й робот! йтимвться Л1ШО про гетерогенн1 системи, граф1чним проявом реакцДй яких е с1н'я паралельних (екв!дистантних) розпод1льчих поверхонь. С1м'ю паралельних поверхонь (СИЛ) доц!ль"ко внбрати предметом досл1дкень прикладноХ геометр!!.

Вивчення конкретно1 гетерогенноХ системи зд!йснюеться шляхом •розв'язання гранично! задач! математичноХ ф!зики. Для цього складають в1дпов1дне диференц!йнв р1вняння зг!дно одн!вю з теор!й, що описув властивост! гетерогенно! системи. Розв'язуючи це р!вняння, знаходять с1м*ю його !нтегральних поверхонь, яку 1. ототокнюють з СПП.

Але розв'язок реально! задач1 значно складн!ший, адже кр1м опису динам1ки зм!ни геомэтричноХ форми розподХльчоХ поверхн1, щв шобх!дно вм1ти знаходити ! XI, деяк1 !нтегральн! характеристики. Ыова йде про миттзву плоду роэггод!льчо1 поверхн1 та миттевий (в той же момент часу) об'ем, що обмажаний ц!ею повэрхною. В загальноыу випадку алгоритми знаходкення площ поверхонь значно складн1ш1, пор!вняно з алгоритмами обчислення в1щтов!днмх об'ем!в. Проте, практику ц1кавить розрахунок саме миттевих площ розпод1льчих поверхонь, до того' * з . можлив_1стю бронювання фрагмент1в цих поверхонь. Цэ пояснювться тим, \ що у прояв1 гетерогенноХ реакцИ використовуеться саме ефект зм!ни • миттевоХ площ! розпод1льчоХ поверхн!. I лише завдяки броиованню можна (досягти нёобх1дного для практики закону зм1ни площ

елемент1в СИП. ' -

В основ1 в!домих чисельних метод1в обчислення площ поверхонь 1 об'вм1в т1л е формули дифвренц!йно1 геоМетр1Х та .1нтегрального числения, Ало використовувати ц! формули не зав'жди эручно, адже вони розрахован! на математично глади! поверхн!, що описан! в

параметричному вигляд1. Розпод1льч1 поверхн1, як1 зустр1чак>тъся . на практиц!, часто ие в!дпов1дають цим вимогам. Тому виникла потреба розробити для ЕОН ун!версальн1 алоритми опису формоутворення СШ1 та обчислэння 1х 1нтэгрвльних характеристик. Застосовуючи Н-функц11, Куценко Л.М. запропонував метод розв'язку ц!е! задач1 у випадку ф1гур на. площин!, а. такок для поверхонь обертання без врахування ■ фактору брокювання 1х ' фрагменПв. Алэ доса1д впровадження методу вкаэув на необх1дн1сть продовження цих досл!джень з обов'язковим врахувакням випадку Оронювання.

Мета роботи полягав в створенн1 теоретично! та алгоритм!чно1 бази для геометричного моделювання формоутворения с1м'1 паралельних Поверхонь з можлив1стю Оронювання Хх фрагмент!в, а також для обчисленш миттевих площ розпод!льчих поверхонь 1 миттешх об'ем1в т1л, що-обмежен1 цими поверхнями.

Для досягнення головно! . мети досл!джень у дисертацП . поставлен! так1 основн! задач!:

- проанал!зувати можлив1 метода геометричного моделювання паралельних поверхонь;

розробити графо-анал1тичний метод геометричного моделювання формоутвораняя СПП;

- знайти .геомэтричне тлумачення, шо придатне у випадку бронювання елемент1в СПП;

V довести залежн1сгь м1ж1нтегральними характеристиками СПП;

- Навести приклада поверхонь, для яких !нтегральн! характеристики обчислюготься точно;

- скласти загалъний комп'ютерний алгоритм знаходження залежност! в1д часу 1нтегралыжх характеристик СПП;

- розв'язати тестов! приклада; •

- знайти впостер1орну оц!нку похибки розрахунк!в;

- розв'язати рв8льн1 задач! у галуз! гетерогенних систем.

. Методика досл!джэнь; Як основний у робот1 застосовуеться математичний апарат Н-функц1й, що дае змогу описувати геомегричн! об'екти у непараметричному (неявному) вигляд!. Також зэстосовуються 0СН0ВН1 положения прикладно1 геомэтрН поверхонь та моделювання геометричних перетворень.

Теоретичною базою для проведения досл1даень послукили роботи вчених:

- в галуз1 теоретичних досл!даень властивостей паралольних множин Я.ШтеЙнера, А.Ф.Тота, В. Бляшке, Г.Хадв1гера, Г.МЗлковського, А.Лебега, Л.А.Сантало;

- в галуз1 геометричного та аналогичного модолювашш - паралельких (акв1дистантш1х) 'повврхонь В.Л.Гвачоьа, А;В.Павлова,

В.С.Обухово1, Ю.Г.Стояна, Ю.1.Бадаева, Л.В.Марк1на, В.Г.Клименка, С1длэцько1 НЛ., 1.0.4ер!шиха;

- в галуз1 розраху!1к1в конкретних гетврогвшгах систем А.М.В1щщького, ЬХ.Фахрутдшова, ДЛ.Абугова, Б.Г.ерох1на, Я.Б.Зельдовича, М.Ф.Дюнзе,. Я.М.Шап1ро, Ж.Вандеркиркхове..

Наукову новизну роботи складають: '

- мотод геометричного моделювання формоутворення с1м'1 паралельюн розпод!льчих повврхонь за допомогою . торсово1 поверхн1 р1вного схилу (ТПРС);

- метод геометричного моделювання бронювашм фрагмент!в рйэпод1льчо1 повэрхн1 на основ! узагалънено1 торсовэ! поверхн1 р1вного схилу (УТПГС);

- доведения дафаренцШю! залекност1 м1ж 1нтегральшшн характеристиками СПП з негладкими елементами;

- знайден1 функц1ональн1 залежност1 в!д часу значень миттевих площ та о0'ем1в СПП для деяких конкратннх повврхонь.

В1рог1дн1сть та обгрунтован1сть одержаних рвзультат!в п1дтвёдкуеться розрахукками тэстових , приклад1в та задач з розв'язком, що прогнозуеться; а такок розрахунками реальних повврхонь в цроцес1 впровадкення методу в практику.

Практична значения дисертацИ полягав в разробщ алгорнтм!в формоутворення СПП для широкого класу р<гзпод1льчих повэрхонь, а. такок обчислення 1нтегральних характеристик СПП для розпод!льчих повврхонь з можливЮтю Оронювання 1х фрагмент 1в.

.■ На захист вкносяться положения, що визначають наукову новизну" результат1в досл!джень. . '

Рэал1зац1я роботи виконана в 1нститут1 проблем машинобудування АН Укра1ни, а такок в НД1 Х1ммаш. Реал1зац1я п1дтверджубться доводками про використвння запропонованно1 у poбoтi методики. •

Обсяг публ!кац1й за темою дисертацИ складае б нойменувйнь.

АпробаЩя роботи, 0сновн1 положения дисертацШю! роботи допов!дались та обговорювались на • Всеукра1нськ1й

науково-методичнШ конференцИ "Геометричнв ' моделювання. 1нкеиерна та комп'ютерна граф1ка", а також на наукових сем1нара* деякнх граф1чшм кафедр нищих техн1чних навчальних заклад1в УкраХни (у KiilBi, М?л1топол1, Харков!).

Структура i обсяг роботи. Дисертац1я складаеться 1з ветупу, чотарьох глав, висновк1в, списку л1торатури 1з 120 наЛменувань, 4 додатк1в. Робота м!стить 96 стор1нок машинописного тексту та 38 рисунк1в.

■ ' 3MICT РОБОТИ

У всгуп! обгрунтована актуалыИсть доСл1дквнь, сЗомульоваи^ мета та задач1 роботи, 11 наукова новизна та практичне значения.

В пэршЗй глав! дис.ертацИ формулюеться геомерична задача досл1даень у галуз1 гетерогенних систем речовин.-Вназуаться на можлив1сть И розв'язання шляхом вивчення властивостеЯ clM'l паралельних ловврхонь (СПП).

Розглянуто макроскоп1чно-неоднор1дау ф1зико-х1м1чну систему И = A U В, що складаеться э двох р1эних за властивостями речовин А 1 В, як1 розмезкован! в момент часу t=0 розшд1льчою ловерхнею Г0= А П В. Позначимо площу поверхн1-Г0 черзз S(O), а об'ем А через V(0). Геометрнчнэ форма повврхн! Г0 може змХнюватись в npocmopl внасл1док зм1ни в час1 ф!зико-Лм1чшх влзсгивостей частин A i В (иа меж1 1х розпод1лу Г0). Нвхай для в'изначеност1 об'ем рвчовини А зб1лыиу8ться за рахунок зменшення об'ему речовини В. Тод! через пром1жок часу t розпод1льчв гтовэрхня

займе нове'положения Г^. Плоту поверх«! rt позначимо через Sit), а об'ем зм1нено1 частют А через V(t). В дасергацП розглядаоться лише задач1, для яких маа Mícue пряпущчння, що ловархня I'j. будэ .пэралелыюю (екв1дистантною) поверхн! rQ. Тобто поверхня Гг.будэ входити в множину граничних гочок об'еднання bcíx куль рад1уса t з цэнрами на поверад1 г0.

Корвктн1сть такого прияущэння . пояснюеться так. Для к1льк1с!юго 8Нол1зу гетерогенно! система склэдяють в1длов1дне диферонцЧйне рШшння згШга певно1 ф1зико-х1м1чно1 . теорП (налриклад, зПдно теорП Зельдовича Я.Б.). Звичайно геторогенне система описусться за допомогою хвильовэго р1вняння

п.)

дэ Ф(х,у,2,г) - функЩя, що характеризуз гвтерогенний процес. Для поверхн1 Г0, яка описана р-1внянням Ф(х,у,г,0)=0 1 мае - складну (негладку) геомэтричну форму, розв'язашш -хвильового р1вняння пов'язане з в1домими труднощами. . Тому намагаються спросгити цей розв'язок шляхом деяких припущань. Так, якщо параметр часу г мокна вилучити з функцП Ф, то р!вняння (1) мокна звести до р!вняняя эйконалу

Тут F(x,y,z) - фукц1я, поверхнями р1вня F=conat яко! будугь МИТТ8В1 "фази розвитку" гетерогенно! системи, причому, поверхн! р!вння будут1м1ж собою паралельними. Цэй факт мае м!сце тому, що эйконал (2) тХсно шзв'язанний з град1ентом функЩ? Р. Тобто вектором {Fj.Fy.Fp, у напрям1 якого функц1я F(x,y,z) зазнае найб!лъшого зростання (це е непрямом поширення хвил1 .гетерогенного процесу).

Таким чином ф1зико-х1м1чну задачу внвчення гетерогенно! . системи речовин Едавться звести до суто геометрично1 задач! досл!дкення СПП. А це, в свою чергу, дозволяв наочно тлумачити фактор бронювання фрагмент1в цих повархонь. П1д бронюванням поверхн1 Г0 розум!ють пэвн1 м1ри по захисту 11 фрагмент!в в1д

реакц11 гетерогенно! системи. Внасл1док цього заброньован1 фрагмента н§ будуть брати участ1 у формаутворенн1 СПП. I це дае амогу одэржувати р!зноман1тн1 S(t) i V<t) для одн!в! 1 Tlel ж ■ поверхн! Г0, що мае валике практична значения.

■ Геометрична постановка задач!,; Для задано1 в простор! Е3 поверхн! Г0 огшейти сХм'ю 1й паралельних повархонь' Г^, маючи на уваз1 м6жлив1стъ бронювання фрагмент1в Г0. Знайтй функц!» S(t), що являв собою залежнЮть в час1 t аначень миттевих площ с1м'1, а також знайти функЩа V(t), що описув закон зм1ни в час1 об'ем!в, як! обмежен1 поверхнями Г^. '

В дисертацИ наведено точний розв'язок задач1 у виладку, коли поверхня Г0 е математцчно гладкою 1 незаОроньованою. Показано, що наявн!ств точного розв'язку не вир!шуз проблеми в

(Fp2+ (Р^)2=1

(2)

ц1лому, адже в одержаних формулах в вирази, обчислення яких для реэльних поверхонь нев!рог1дно. До тогож у випадку негладких поверхонь, а гакож у випадку бронювання, цей розв'язок (п1дх!д) нэ придатний зовс!м.

■ В дисертацИ проведено критичний анал1з 1нших .можливих метод1в геометричного моделювання СПП. Серед них назван!., метода:

- знаходження сумм М!нковського; •

- опису за допомогою ганге нцШюго р!вняння;

поточковий метод знаходження екв!дистанти (як для верстат!в з Ч11К);

- еволюти-евольвенти;

- знаходження обв1дно! с1м'1 куль з центрами на задан1й поверх« 1;

- знаходження град1енту.

Показан! недол!ки иих метод1в у випадку опису поверхн! з бронюванням.

Серед метод1в обчислення 1нтегральних характеристик назван!:

- формула Шгейнера . •

7(1) = ^ » Г3 + МП2 4 Б(0)*1 + У{0)

Тут М - !нтеграл середньо! криви-ни поверхн! Г0>

- опису в тангенц1йн1й (полярн!й) форм!;

- поточковим сп!вв!дношенням.

В!дзначено, що з використанням Н-функц1й загальний метод формоутворення СИП та обчислення 1х 1нтегральних характеристик запропонував Нуценко Л.'М. Показано, що на основ! цього методу в можлив!сть розробити новий метод, як1й буде ефективним для випадку бронювання елемент1в СПП.

В друг!й глав! дисертацИ наведено теоретичй! основи запропонован-ого .способу формоутворення паралельюи поверхонь з умовою 1х бронювання та обчислення !нтегральних характеристик елеменПв СШГ.

1дея способу формоутворення СПП в дасертацИ пояснюеться на приклад!, ф1гури А на площин1 Оку, яка обмежена контуром Г0 (дай контур- в аналогом.поверхн! Г0 в простор! Е3). Побудуемо обе!дну с1мейства прямих кругових конус!в, вершини яких розташован! на Г , а в!сь направлена по .нормал! до площини Оху ( рис.1).

В

ТПРС

t.

Рис. 1

Ця обв1дна являв собою торсову поверхню р!вного схилу (ТПРС). Будемо розглядати лише 11 зовн1шню частину в!дносно ф1гури А.

Таким чином кожн1й ф1гур1 мокна поставите у в1доов1дн1сть даяке "корито", тобю 11 ТПРС,. Побудуемо проекц!ю первр!зу ТПРС с!чною

площиною t=const.

За

Очевидно, гс

ТПРС

що ця проекЩя . б уде кривою Г^,

допомогою

поверхн! в Е3. Для цього сл!д побудувати

мокна формоутворювати 1 паралельн1 в1дпов1дну ТПРС у. чотиривим1рному простор!. В дисертацИ значна увага надаеться анал!тичному опису ТПРС 1 формал!зац!1 цього алгоритму. Для цього первичен! ■ властивост1 ТПРС, сэред яких головною й така.. .• Твердження "11 Функц1я Г(х,у), яка входить до р!вняння -ТПРС, задовольняе р!вняшю ейконала' ' _

О 1

(Fj) + .(F^

1.

Насл1док. Bel дотичн! пло1цини доТПРС утворюють з площиною Оху plBHl кути (наприклад, 45°). ,

Наведено геометричне доведения цього положения ' ( на' яке

вказав Г. Монж). В1дм1чено, що в деяких випадках ТПРС е граф1ком , нормально! функцИ. Показано, як за допомогою Н-функцИ можнй будувати нормальн1 функцИ для певного класу ф1гур.

В робот! пропонубться геомэтричне тлумачення алгоритму огтсу ТПРС за допомогою Н-функц!й. При цьому Г0. на ллощин1 може складатись з в1др1зк1в прямо1 та дуг кола. В простор! Г0 може " складатись з фрагмент!в площин, цил1ндр1в, конус!в, сфер.

Твердження 2. Нехай задано два контури Г^ ! Г^', ТПРС яких описан1 р1вняннямм (х,у) ! г=Р2(х,у) в!дпов!дно. Тод1 р1внянням (г,у) Л Р2<Х>У) Суде описана ТПРС для криво! Г0 ='

Надано гесметричне тлумачвння цього положения (аналога теореми Рвачэва.для нормально! . функцИ). Знайдено геомэтричне пояснения нЮито протир1ччю - наявносП в ц1й теорем! "непарних" знак1в Р-кон'шкц11 Л та-лог1чного об'еднання и.

Тверджеяня 3. Граф!к функцИ t=J'1(xfy) Л ^(х.у) скйадавться з частан граф1к!в фунхц1й 4=^ (х,у) 1 г=Р2(х,у), як1 "осв!тлен1" даерелом св1тла в додэтньому напрям! ос1 ог (пом1чено, що цэ в напрям "стр1ли" Л).

Шй прийом ( ! аналог!чний Яому для й-диз'юнкцИ) дозволяв геометрично наочно' будувати р1вняння ТПРС кривих. Набута формал1зад1я процвсу консгруювання анал1тичного виразу дозволяэ описувати ТПРС 1 для поверхонь. Причому будувати саму ТПРС як Пперповврхню в чотиривим!рному простор1 не потрЮно.

Наприклад, множину поверхонь, як1 Оудугь паралельними прямому круговому ц!л1ндру рад1уса И 1 Висоти Н, • молена описати р!внянням

I = (((х^у2)0,5-!*)2 + (|г| - |)2]0-5 А 1((хг+/)°-5-Кг) V

н (х^у2)0'5 -В -1+121

V (121 - й) V :--2--] . 13)

У?

В дисертвцИ показано, ко для пояснения шла як у бронпвання фрагмент1в Г0 також сл1д поОудуйати повзр'нк р1внсго еххлу. Алз незвйчайну, бо фрагментами 11 мокуть бути горизонтально-проекц!ююч! цкл1ндричн1 поверхн!. Таку поверхню щзопонувтьоя називати узагальненою торсовой пооерхпога р!внсго схилу (1'ТПРС). Наприклад, на рис.2а зображено УТПРС для кола, у якого фрагмент

ю

дуги заброньовано. В1дпов1дн1 паралэльн1 крив1 зобр*ажвн1 на рис.26.

Запропоновано метод опису УТПРС р1вняннями виду Ф(х,у,гД)=0. При цьому наголошуеться, що з цього р1вняння принципово не можна вилучити параметр t, тобто неможливо floro перетворити в р1вняння F(x,y)-t=0. 1накшв цэ було. б протир1ччям до означения функцИ в розум1нн1 Дирихле-ЛобачеВського. Тобто цим була 6 порушена однозначн!сть означення граф1ка функцИ.

В дисертацИ досягну то р1вння формал1зац11, при якому УТПРС можна описувати 1 для поворхонь 1з Er. без побудови самих УТПРС. Навед9н1 приклада опису УТПРС для деяких поверхонь, в тому числ1 1 для поверхонь обертання. ,. ■

В дисертацИ роэв'язанэ питания обчислрння 1нтегральних характеристик СШ.

Твердження 4. Нехай т1ло Мд^.утворене рухом поверхн1 Тъ при О $ t $ At, тобто шляхом "зам1тання" точок простору Е3. Тод1

• Um üjUi=s(t), At-0 •

де U(t) - об'ем т1ла M¿t, a S(t) - площа поверхн1 Г0<

Насл1док. Якщо при t € tO,T] площ1 елемент1в СПП зм1нюються в час1 за законом S(t) i СПП утворюють миттвв1 об'еми, як! можна описати за допомогою функцИ U(t), то ¿>U(t) _ g^).

Ii

В'дисвртацП наведено ф1зичну !нтерпрвгац1ю Ц1е1 залэжност1. на приклад1 р1дини, що вит1кае з посудини, ст1нки яко! мають форму ТПРС ( чи УТПРО). Також розкритий зв'язок ulel залежност1 з в!домою формулою Остроградського, яка допомагае взаемо виразити поверхнев1 та об'емн! !нтеграли.

Наведен1 тестов1 приклада перев!рки знайдено! залежност1. Так, для прямого кругового конуса рад!уса R i висоти Н магимемо

V(t)=|Et3+|t2Hcos2a+2Ra+icR+R3ln2a]t2-)icRtHcosa+R+Rslnan+^R2H;

S(t) = 4ict2+u[2Hcos2a+2Ra+itR+Esin2an+,icR[Hcosa+R4R3lria]..

Тут a=arctg д.

В трэт!й глав! розглядаеться алгор1тм1чне вт!лення

запропонованого методу формоутворення СПП та обчислення 1нтегральних характеристик.

В загальному виладку алгоритм обчислення 1нтегральних характеристик мае такий~вигляд.

Крок 1. С!м*я паралальних поверхонь описуеться аа допомогою функцИ t=P(x,y,z) (випадок без бронювання): або <i(x,y,s,t)=0 (вшхадок з бронмванням фрагментов Г0) .•

Крок 2. Описана СПП "занурюеться" в рецепторний Д-куб. Крок 3. Шляхом п!драхунку рецепторних.' вузл1в наближено обчислюеться N значень функцИ

Крок 4. За допомогою формул чисельного диференц!ювання знаходиться N значень функцИ SA(t).

Крок 5. Починаючи з другого кроку зробити тек саме для ДзД/2-куба. Знайти N значень функцИ SA/2(t). Крок 6. Обчислення зак1нчити, якщо

• |SA - SA/21 < е. . Вказано на - недопустим! випадки для запропонованого алгоритму. А сама'rt не повинн! "злипатися" (рис.За). Адка в цьому виладау функц!я S(t) буде розривною (рис. 36).

о

V(t)

s(t) . SCO

X h, t -L--в-

Рис.За

Рис.36

Для забезгтечэння алгоритму було вибранИ формули чисельного диференц1ювання. Проанал1зована величина похибки, яка виникла внасл1док неточного обчислення функцП в одному з вузл1в. Побудован1 залекност1 сумарно! похибки формули в1д похибки обчислешя в одному з вузл1в.

Для випробування запропонованного алгоритму. п1дготовлен1 T9CTOB1 приклада, для яких можна noöyдувати р1вняння СПП, а також точно п!драхувати значения функц1й U(t) i S(t). Так, для прямого кругового цил1ндра маемо р1вняння (3). 1нтегральн1 характеристики можна обчислити за формулами

U(t) = ^t3+7t t TcR-f-H ] t2+2TCR С R+H J S(t) = 4itt2+2TctitR+H]U2icR[R+H].

У випадку, коли у цього цил1ндра пов9рхн1 з торц1в заброньовано, маемо:

а) р1вняння СШ •

®(x,y,z,t)=[((|)2-z2)A(R+t-(x2+y2j°'5)iV

tt-(((x2+y2)0-5-Rj2+(|z|-|)2)0,5]=0.

б) формули для обчислэння 1нтегральних характеристик

U(t) = Сги^Н+тсН) t2+2liRHt+TtR2H;

S(t) = 2TCt2n;R+H]t+2ltRH.

5

p%

A/H Ь/l . Д: H/50

+

А

За допомогою цих тестових приклад1в зроблена апостер1орна оц1нка похибки ■ р poopax.VHiciB в залог -ноет! в1д д-дискрат-кост! растру (рио.4>. Шказзко, ир середня похибка буле в межах 10%.

■Рис.4

В чатвэрт1й глав! наводятьоя пршслоди застосування методу формоутвороння СПП та обчислення 1х 1нтегральних характеристик для розв'язакня задач 1нженерно1 практики. Наголошуеться, що в дисертацИ розглядаються лише геометричн! (а на ф!зико-х1м1чн!) прояви -реакцИ розглянутих гетерогенних систем. А сама, предметом досл!джень роботи е питания геометричного моделювання формоутворення СШ з можлив!стю бронювання 1х фрагмент1в, а також питания обчислення 1нтегральних характеристик цих геометричних об1ект1в. При цьому припущення про паралельн1сть поверхонь тут сл!д розглядати як ■ можлив1сть "геометричного" вибору першого наближення загального розв'язку задач1 розрахунку гетерогенно1 система речовин. .

Задача 1. Досл1дити к1нетику окисления в агресивному середовищ! (газ!) А вибору В, який виготовлено (як приклад) 1з зал!за i який обмежений поверхнеюТ0. Внасл1док ржав1ння зал1за геометрична форма'поверхн1 Г0 мае зм1нювата.сь. Причому к!льк!сть 1рж1 в момент часу t залежатиме в1д миттево! площ! S(t) поверхн1 Г,,. Необх1дно побудувати граф!к залекност1 S(t). Кр!м того, для обчислення маси вибору В. ще потр!бно знайти i функц1ональну залежн1сть U(t), що описуе в час1 зм1ну його об'ему.

На рис.Ба зображено приклад поверхн1 Г0>' у яко1 фрагмента . I i II забреньован!. На рис. 5ö зображен1 графики знайдецих залеадостей S(t) 1 U(t).

Задача 2. Бивчити к!нетику гетерогенно1 х1м1чно! реац11 твердо! речовини В, що обможена поверхнею Г0 ! закурена d розчин А. Внасл!док х1м1чно! реакцИ геометрична форма поверхн! Г0 буде зм1нюватись. Причому активя1сть речовини В в розчин! А в момент часу t залекатима в1д миттево1 площ! S(t) поверхн! rQ. Необх1дно побудувати граф1к залеяшост1 S(t). Для обчислення маси шлак1в щв потр1бнэ 1 функц!я U{t) зм1ни в час! об'ему речовини В.

В1д першо! дя задача в!др!зняеться тим, що в н1й необх!дно врахуваги нвэм1нний об'ем розчину А, який, до тогож п1д д!ею ваги опусказться вниз. На рис.. 6а зображено поверхню Г0, у яко! фрагмент I може бути заброньов'ано. Розчин А мае форму прямого кругового цил!ндра рад1уса R ! висоти Н. (Гобго розчин вступаэ в реакц1ю з ст!нками цил1ндра, "розЯДахяи" !х). Через час t розчин займе положения, яке зобракено на рис. 6а штриховою л!н!<зю.-На рис. 66 зображен! граф!ки залежностей S(t>) ! U(t).

Задача 3. Розрахувати геометричну форму заряду двигуна на. твердому палив1. Мавться на уваз!, що речовина В заряду обмекена активною ловерхнею Г0, яка в момент часу t=0 п1дпалювться. Речовинош А тут е пов1тря. Тод1 функц1я тяги двигуна Ictqtho залежить в1д функцИ S(t), toöto в!д закону зм1ни в час1 t величиш шющ1 гор1ння поверхн1 Г^. Побудувати граф1к залекност1 S(t). Для 0ал1стичних розрахунк1в щв потр1Сна 1 функц1я змХни об'ему (маси) речовини U(t). .

На рис. 7а зображено приклад поверхн1 Г0- Це е поверхня обертання, за винятком II частини, перер!з яко1 мае вигляд я-кутно! з1рки. Фрагмент I поверхн! Г0 моке бути забраньовано.

На рис. 76 зображен! одержан1 граф1ки залежностей S(t) 1 U(t).

• На рис. 7в наведено растров1 зображення СПП, за допомогою яких обчислювалмсь значения функц11 U(t) перед чисельним диференц!юванням.

Рис. 7 а 16

Рис. 7в 17

в и сновки-

В робот1 виконано досл!дження з геометричного моделювання фэрмоутвороння паралельних поверхонь . з можливютю Оронювання 1х фрагмвнт1в, а такок обчислення !нтегральних характеристик елемент!в с!м'1 паралёлышх повехонь (СГШ). При цьому одэржан1 таки результата, що мають наукову та практичну ц!нн1сть.

. 1. Проведено критичний анал1з можливих метод1в геометричного моделювання СПП.

2. РозроОлено . графо~анал!тичний метод геометричного моделювання формоутворення СПП.

3. Знайдено геометричне тлумачення,.яке придатне у випадку Оронювання елемэнт!в СПП.

4. Доведена в загальному вштадку залекн!сть м1ж 1нтегральними'характеристиками СПП-такими як миттевою площаю поверхн1 элемента с!м'1 1 миттевим об'емом, що той обмежуе. ,

б. Наведен1 повархн1, для яких- !нтегральн! характеристики обчислюються точно,.

6. Складено загальний алгоритм знаходження залежност1 в!д часу 1нтегралышх характеристик СПП.

7. Розв'язано ряд тестових приклад!в.

8. Знайдена апостер!орна оц!нка похибки результат^ розрахунк1в.

9. Запропоновано критерШ знаходження величини растру, якйй аабезпечуз необх1дну похибку розрахункХв.

10. Розв'язано реельн! задач! у галуз! гетсрогенних систем.

* .

ОсновнГ положения дисортацП опублХкован! в таких роботах

. I. Бондарь Д.В. Обратная задача геометрического расчета ■ параллельных множеств, на плоскости. - В зб1рц1 "Геометричие моделювання. 1нженерна та комп"ютерна граф1ка" Тези допов1дей-Всеукра1нсьхо1 науково-методично1 конференцП. ХаркГв; ХП1 1993; с.30 '

2. Куценко Л.Н., Бондарь Д.В. Геометрический расчет ин-'теграяьннх-характеристик параллельных множеств. - В зб1рц1

"Геометричне моделювання. 1нжеиерна та комп"ютррна граф1ка" Тези доповГде» Всеукра1нсько1 науково-мстодичио1 конференцП. Харк1в: ХПГ, 1993, с.37 .

3. Бондарь Д.В. О параллельных поверхностях вращения с бронированными участками. - Киев: ГНТБ Украины, 1994

4. Куценко Л.Н., Бондарь Д.В. Интегральные характеристики параллельных множеств. - Киев: ГНТБ Украины, 1994

5. Бондор Д.В., Куценко Л.М. Обчислення Гнтегральних характеристик с1м"1 паралелымх поверхонь у випадку бронювання. -В зб1рц1 "Геометричне моделювання. Гнженерна та комп"ютерна графХка". Тези доповГдей К1жнародно1 науково-методично1 конференцП. ЛьвГв: ЛП1, 199.4, е..

В диссертации рассмотрен метод формообразования семейства парагдалышх поверхностей ( СПП ), а также вычисления их интегральных характеристик - таких как площадь поверхности' элемента семейства и объема пространства, ограничиваемого этим элементом. При этом под параллельной поверхностью понимается граница объединения всех шаров одинакойого радиуса, центры которых расположены на исходной.поверхности. Дот формообразования СПП используют линии уровня торсовой поверхности равного ската. Для случая бронирования фрагментов исходной поверхности предложена , обобщенная торсовая поверхность равного ската. Интегральные характеристики СПП вычисляются на основе Доказанного дифференциального соотношения. "

На базе рассмотренного метода формообразования СПП .и вычисления их интегральных характеристик,разработан иакег прог- ' рамм- для ЭВМ, позволяющих расчитывать геометрические проявления гетерогенных реакций. Реаены тестовые задачи и практические примеры.