автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамика многомассовой упруго-демпферной системы с разрывными связями

ФРИДМАН Александр Владимирович

На правах рукописи /1- ^¿с^^^-

ДИНАМИКА МНОГОМАССОВОЙ УПРУГО-ДЕМПФЕРНОЙ СИСТЕМЫ С РАЗРЫВНЫМИ СВЯЗЯМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о 9 ДПР 2009

Санкт-Петербург - 2009

003466436

Работа выполнена на кафедре «Механика и процессы управления» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель

- доктор физико-математических наук,

профессор Пальмов Владимир Александрович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Бригадное Игорь Альбертович

- доктор технических наук,

профессор Сливкер Владимир Исаевич

Ведущая организация

- Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится 29 апреля 2009 г. в 16 час. на заседании диссертационного совета Д 212.229.13 ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" по адресу: 195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 29, корпус 1, ауд. 41.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке

ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет".

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета д.т.н., проф.

Б. С. Григорьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

На практике нередко встречаются задачи о колебаниях машин и механизмов со сложной разветвленной структурой. Примером может служить двигатель внутреннего сгорания (ДВС) большой мощности, состоящий из нескольких роторов, соединенных зубчатыми колесами.

При исследовании динамики систем с разветвленной структурой могут возникать трудности при составлении алгоритма расчета и при реализации вычислительного процесса. Но сложность решения задач о колебаниях ДВС большой мощности определяется не только их конструкцией и характером действующих сил. Другой важной причиной, которая существенно осложняет решение задач динамики этих двигателей, является наличие люфтов в соединениях зубчатых колес. Причем, эти люфты не есть ошибки в исполнении колес, они заложены в технологию сборки зубцовых соединений. Вместе с тем, наличие люфтов в соединениях зубчатых колес может существенно менять динамическое поведение коробки зубцовых передач и всего ДВС в целом. Это обстоятельство объясняется возникновением вибро-ударных колебаний, которые могут сопровождаться увеличением в разы динамических усилий в элементах ДВС, повышенным шумом и даже могут приводить к поломке зубцов. С приципиальной точки зрения люфты превращают ДВС с зубчатой системой передач в механическую систему с разрывными связями, а задача о колебаниях такой системы становится нелинейной. К уравнениям колебаний при этом добавляются условия контакта-разрыва для всех зубцовых соединений колес. Эти уравнения и условия определяют движение рассматриваемой механической системы с разрывными связями. Вместе с тем, в процессе движения сама колебательная система, вообще говоря, не остается раз и навсегда заданной, а в ней многократно и во всех зубцовых соединениях контакты могут переходить в их разрывы и наборот.

Длительное время колебания ДВС с учетом люфтов считались не поддающимися расчету. Однако, в последние десятилетия, в связи с развитием вычислительной техники, в исследовательских центрах и на крупнейших моторостроительных предприятиях такие расчеты стали повсеместно выполняться. При этом, насколько известно из литературы, всюду применялся примерно один и тот же подход, основанный на численном решении задачи о нестационарных колебаниях при заданных начальных условиях.

В стационарном режиме работы двигателя внутреннего сгорания на роторы двигателя действуют периодические нагрузки. Экспериментальные исследования показывают, что в этом режиме работы ДВС изменение его вибрационного состояния также носит периодический характер.

Однако, при решении задачи о нестационарных колебаниях ДВС с учетом люфтов методом типа Рунге-Кутты рассчитываемое движение, как правило, не стремится к периодическому, а получается пучек движений, который можно увидеть, например, на фазовой плоскости. Средне-взвешенное значение амплитуд перемещений дисков и усилий в связях используется, обычно, для оценки интенсивности вибрационного и напряженного состояния ДВС. Такой способ решения задачи о динамическом поведении ДВС с учетом люфтов в соединениях зубчатых колес является весьма трудоемким. Это объясняется трудоемкостью метода Рунге- Купы при большом числе искомых функций (по числу масс системы). Кроме того, для получения устойчивого результата обычно требуется выполнить расчет для большого числа (нескольких десятков) циклов работы ДВС.

Поэтому возникает необходимость разработки метода и программы прямого расчета периодических нелинейных колебаний многомассовой упруго-демпферной системы с разрывными связями за один цикл изменения действующих нагрузок. Такой подход, как показывают контрольные расчеты, позволяет на один - два порядка сократить трудоемкость вычислений, что весьма важно при многовариантной разработке конструкции ДВС. Цель работы

Цель работы состоит в том, чтобы

1) предложить математическую модель многомассовой упруго-демпферной системы с разрывными связями, которая была бы адекватна механической модели ДВС большой мощности со сложной разветвленной структурой при наличии люфтов в соединениях зубцовых колес коробки передач;

2) выбрать параметры предложенной математической модели с тем, чтобы обеспечить существование периодических колебаний многомассовой упруго-демпферной системы, которая при наличии разрывных связей становится нелинейной;

3) разработать совокупность методов, которые дают возможность эффективно решать задачу о нелинейных периодических колебаниях указанной системы;

4) с использованием разработанных методов составить комплекс программ расчета периодических колебаний ДВС большой мощности со сложной разветвленной структурой при наличии люфтов в соединениях зубчатых колес коробки передач;

5) выполнить расчет реального ДВС большой мощности с целью доказать высокую эффективность разработанных методов и комплекса программ расчета вибрационного и напряженного состояния ДВС.

Научная новизна

В данной работе предлагается новый подход к решению нелинейной задачи о колебаниях многомассовой упруго-демпферной системы с разрывными связями. А именно: рассматриваются периодические колебания такой системы за один период изменения действующих внешних сил (за один цикл работы двигателя). Ставится задача разработки эффективного метода решения задачи в такой постановке. С этой целью выбирается адекватная модель разрывного звена, которая допускала бы существование периодических колебаний рассматриваемой механической системы. Вводится обобщенная операторная запись нелинейных уравнений колебаний, для решения которых используется итерационный метод Ньютона-Канторовича. На каждом шаге итерационного процесса решается линеаризованное уравнение, причем, линеаризация параметров механической системы облегчается тем, что выбранная модель разрывного звена допускает простое аналитическое дифферецирование. Решение линеаризованного уравнения представляется в виде гармонического ряда, благодаря чему выполняются условия периодичности и требование двухкратного дифференцирования координатных функций. Для определения коэффициентов ряда - амплитуд гармонических колебаний - применяется метод Галеркина (проекционный метод). Поскольку ДВС большой мощности состоит из нескольких роторов, соединенных с помощью зубчатых колес, то и механическая схема двигателя имеет сложную разветвленную структуру. Путем введения фиктивных элементов с нулевой массой и нулевой жесткостью исходная механическая система превращается в цепную. Это позволяет применить для решения системы алгебраических уравнений, которая получается по методу Галеркина, весьма эффективный модифицированный метод векторной прогонки. В работе дается доказательство существования периодического решения задачи о нелинейных периодических колебаниях выбранной модели многомассовой упруго-демпферной системы с разрывными связями, а также доказательство сходимости предложенных методов решения поставленной задачи.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обеспечивается приведенными доказательствами корректности поставленной задачи и применяемых методов ее решения, а также результатами контрольных расчетов. Практическая ценность

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные методы и комплекс программ позволяют почти мгновенно оценить вибрационное состояние ДВС большой мощности со сложной структурой при наличии люфтов в соединениях зубчатых колес коробки передач. Эти результаты могут быть использованы при проектировании ДВС большой мощности и, в частности, при выборе метода гашения его вибраций. Методы исследования

Методы решения рассматриваемой проблемы основаны на методах теории нелинейных колебаний и прикладных методах функционального анализа. Апробация работы

Основные результаты работы представлены на международной конференции Американского общества инженерной механики (ACME) - Internal combustion engine division (ICED), April 27-30,2008, Chicago, Illinois, USA. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Она изложена на 128 страницах текста, включая 18 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 33 наименования. Публикации

По теме диссертации опубликовано четыре работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткую характеристику рассматриваемой в диссертации научной проблемы и связанные с этой проблемой конкретные задачи теории нелинейных колебаний сложных механических систем. Обсуждаются основные подходы к решению указанных задач, а также имеются ссылки на работы по тематике диссертации и на использованные источники.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению вынужденных периодических колебаний многомассовой упруго-демпферной системы сложной структуры. Конкретно

имеется в виду механическая модель ДВС большой мощности. В данной главе колебательная система предполагается линейной, то есть считается, что в соединениях зубчатых колес коробки передач ДВС отсутствуют люфты. Предлагается модификация метода векторной прогонки, пригодная для решения задачи о колебаниях систем сложной структуры.

ДВС большой мощности состоит из нескольких валов, связанных между собой зубчатыми колесами. На каждом валу имеется только одно зубчатое колесо. Двигатель обычно представляется как система тонких абсолютно жестких дисков, совершающих крутильные колебания относительно собственных осей. Эти диски соединяются торсионами - упругими связями, работающими на кручение. К числу дисков относят и зубчатые колеса, упругая связь которых определяется упругостью зубцов. Условная схема ДВС большой мощности изображена на рис. 1.

Рис. 1. Динамическая модель двигателя внутреннего сгорания.

На этом рисунке диски изображены кружками, а упругие связи - пружинками. Искомыми неизвестными в задаче о колебаниях ДВС являются угловые перемещения дисков. Однако, при составлении уравнений колебаний в качестве неизвестных удобнее принять окружные перемещения дисков на радиусе соответствующего зубчатого колеса. Это позволяет наряду с учетом упругости валов принимать также во внимание упругость зубцов. В дальнейшем окружные перемещения дисков именуются просто перемещениями, и уравнения крутильных колебаний преобразуются в уравнения относительно этих перемещений, с соответствующим пребразованием инерционных и демпферных

параметров механической модели ДВС. Также внешние крутящие моменты заменяются окружными усилиями, приложенными к дискам на радиусе соответствующего зубчатого колеса. Таким образом, механическая модель ДВС замещается многомассовой упруго-демпферной системой.

Далее осуществляется преобразование механической системы со сложной разветвленной структурой, типа изображенной на рис. 1, в систему цепного вида. Для этого указанная сложная структура представляется в виде основной цепи с боковыми ответвлениями, и вводятся фиктивные элементы с нулевой инерцией и нулевой жесткостью, позволяющие ввести сквозную нумерацию узлов (рис. 2).

Рис. 2. Динамическая модель ДВС. Расчетная схема.

Номера узлов: 11,14,15,23,24-зубчатые колеса; 9,17,30-демпферы; 1 - реактивная нагрузка; 8,12,16-фиктивные узлы. Черные кружки соответствуют узлам основной цепи, белые - боковым ответвлениям.

Уравнение колебаний и условия периодичности цепной системы в векторно-матричной форме могут быть представлены в виде:

Ах = 0, А = ~Мх - Вх - Л* + q,

(1)

Лх =й'Сйх = £>*/, / = с1, / = £>* ,

(2)

х(0 ) = *(Г) , i(0) = i (Г), (3)

где х(1) - искомая вещественная векторная функция времени, х(!) = (хД/)) - вектор-столбец, *,(/)- перемещение ^ - ой массы, 1 < 5 < £, полное число масс механической системы, норма ||лг|| = ^ (х,х), Т - период колебаний, для простоты выкладок осуществляется переход к безразмерному времени и принимается Т = 2к, * -безразмерное время, 0<1<Т\ М = (т!) - диагональная матрица инерции, т1 — масса «-того узла; В = - диагональная матрица внешнего трения, Ьг — коэфициент

внешнего трения (силы внешнего трения приложены к массам); С = Л'а^(с1) -диагональная матрица жесткости, с, - жесткость связи $ -ой и 5 + 1 масс; д = £/(?) = вектор-столбец внешних сил;

Матрица, используемая для вычисления конечных разностей: £>=(^) ; .$,/ =1,2,..., 5 , где (с/,у) = -1 , если $=./'; = 1 , если у =5 + 1 ; (й/[() = 0 , если 5 #} и

] ^ л +1 ; В - сопряженная матрица.

В проекциях уравнение (1) и условия периодичности (3) записываются так

{Лх),=0 , (4)

(Ах\ =-т, х,-Ъ, х, -с,., (дт, -х,.,) + с,(х„х-х, ) + д,, (5)

*,(0) = *,(Г) , М°) = *.(Г), я = 1,2.....5 (6)

при граничных условиях, соответствующих условиям закрепления на рис.2.:

£,.,[*,(')-*,-!(')] =0 . ^ = 1 и *,(/) = 0 , 4 = 5 + 1 (7)

(мягкое закрепление при .V = 5 + 1 предпринято для того, чтобы сделать определенным перемещение механической системы как жесткого целого).

Приближенное решение уравнения (4), (5) при условиях (6), (7) отыскивается в виде гармонического ряда

*.(')= 2 <е>" • ' = 1.2,-..,5 (8)

1Г=-Л'

Для определения комплексных амплитут а" гармонических составляющих колебаний используются проекционные условия Галеркина (вопрос о сходимости метода Галеркина в рассматриваемой задаче обсуждается в главе 5):

1 2"

— ¡(Ах),е'ша=0 , 5 = 1,2,...,5 ; «=-ЛГ,...Д...,ЛГ (9)

Подставляя сюда ряд (8) с учетом условий (6), (7), получаем:

Т.а. + С.а,„ +р,= 0 , ¿ = 1 , (10)

С^в,.1+Г/в, + С,в„1+ р,= 0 , «=2,3,..., 5-1, (11)

+ Л = 0 • • (12)

где С,.,, Г„ С, - квадратные матрицы порядка 2АЧ1 , а, =(о") , р,= (р") , п - - N,..., 0,..., N , - векторы-столбцы,

2 п '

Система алгебраических уравнений (10), (11), (12) состоит из блоков, которые в свою очередь образуют блочную трехдиагональную матрицу, и эта правильная форма матрицы позволяет применить метод последовательного исключения неизвестных векторов аг (прямая векторная прогонка) с последующим восстановлением их значений (обратная прогонка). Предлагаемая модификация метода прогонки заключается не только в том, чтобы ввести фиктивные узлы и сквозную нумерацию узлов, но и в том, чтобы в процессах прямой и обратной прогонки, используя промежуточные разультаты, выполнять условия равновесия и непрерывности перемещений в узлах, имеющих боковые ответвления. В результате удается распространить эффективный метод прогонки на случай механической системы со сложной разветвленной структурой.

После определения по формуле (8) строится перемещение хД/) для всех

.г = 1,2,...,£ , и могут быть вычислены усилия в упругих связях

(возвращаясь к задаче о крутильных колебаниях, можно получить угловые перемещения дисков, разделив .г, (/) на радиус соответствующего зубчатого колеса и определить крутящие моменты, умножив /ДО на этот радиус).

Во второй главе рассматриваются вынужденные нелинейные периодические колебания многомассовой упруго-демпферной системы с разрывными связями. Уравнение колебаний, аналогичное уравнению (1), (2), но нелинейное, можно записать в виде:

при условиях периодичности (3).

Все отличие уравнений (15), (16) от уравнений (1), (2) состоит в том, что на место линейной зависимости / = с/ в формуле (2) становится нелинейная зависимость / = /(/). При этом в уравнении (15), (16) пишется Л(х) вместо Кх , как это было в уравнении (1), (2), для того, чтобы указать на нелинейный характер функции Я(х) . Отметим, что

(14)

А(х) = 0 , А(х) = -Мх-Вх - Я(х) + д / = /(/), 1 = йх ,

(15)

(16)

/ = (/,) и / = (/,), 1 < I < 5 так, что нелинейная зависимость в формуле (16) имеет место для каждой проекции:

/,=/.(0 (17)

Идеальный вид функции (17) в соединении зубцовых колец с люфтом представлен на левом рисунке 3.

/Т

л

Рис.3, Зависимость контактного усилия от взаимного перемещения зубцов при наличии люфта в зубцовом соединении ДВС, — размер люфта.

Но в данной работе, для того, чтобы обеспечить существование периодического решения, предполагается, что и в случае отсутствия контакта между смежными зубцами сохраняется, пусть как угодно слабая, упругая связь. Физически ясно, что сохранение очень слабой связи зубцов при разрыве их контакта не может существенно изменить картину вибраций двигателя внутреннего сгорания. Но это допущение существенно используется при доказательстве существования периодического решения задачи о колебаниях ДВС при наличии люфтов в зубцовых соединениях в случае действия периодических внешних нагрузок.

Второе предположение касается узкой зоны перехода от разрыва к контакту и наоборот. В этой зоне при идеальной зависимости контакного усилия от относительного перемещения зубцов происходит скачкообразное изменение жесткости зубцового соединения от нулевого значения до величины, определяемой упругими свойствами зубцов. В действительности такого скачка не происходит, поскольку зубцы имеют выпуклую

поверхность, и при контакте жесткость зубцового соединения нарастает (или убывает) плавно, аналогично тому, как это имеет место в задаче Герца. Это обстоятельство позволяет сгладить переход между состояниями разрыва и контакта, что также существенно используется при доказательстве существования периодического решения. На основании сказанного используемая в работе зависимость контактного усилия от взаимного расположения зубцов приобретает вид, изображенный на правом рисунке 3, и соответствующее аналитическое выражение для этой зависимости будет таким

, |/,|<0.4Л„

с\1! +2.5-()ЛИ^п(1,))2 •*&*(/,);ОЛЬ, <|/51£0.6 К ' = 1 К

(¿^{¿-¿.жи-^ц,) ,|/,|>о.бА,

где с|=с, и с21=вс1 , £ = 0.03-0.05.

Функция /Д/,) дважды дифференцируема. Причем /,'(1г) ~ первая производная от /Д/,) по 1г - представляет собой непрерывную, положительную кусочно-линейную функцию //(/,)> 0, а вторая производная /)"(/,) - функция ступенчатая, ограниченная. Отметим, что функция /Д'<) не разлагается в ряд Тейлора (поскольку уже третья производная содержит дельта-функции), но это и не требуется для доказательства существования периодического решения и сходимости предлагаемых методов решения задачи о периодических колебаниях.

Третья глава посвящена построению алгоритма решения задачи о периодических колебаниях многомассовой упруго-демпферной системы с помощью итерационного метода Ньютона-Канторовича. Начнем с вычисления первой и второй производных от векторной функции А (*) по векторной функции х :

12 , л- Л

а1 ах

А\х) = -Я\х), = (20)

аI

- # ¿2/ ¿7,

Проекции функции и —то есть и , получаются путем

дифференцирования правой части формулы (17). Их выражения здесь не приводятся, но

с/2 Г

имеются в диссертации. В частности, оказывается, что норма ||—ограничена, и на этом основании в главе 4 дается оценка:

||Л"(*)|| 5 К<® (21)

и используется неравенство (Л.В. Канторович):

1М(* + А) -А(х)~ А'(х) ДII < ^ирЦ А"(х) || || Д ||2 , (22)

которое служит доказательством того, что А'(х) является сильной производной (производной Фреше) функции А(х) в точке х. При малом А приближенно положим

|М(х + Д)-Л(;с)-/Г(;с)Д|| = 0 , (23)

что может быть, только если

А(х + А) = А(х) + А'(х) А (24)

Эта формула используется для получения итерационного алгоритма метода Ньютона-Канторовича. В качестве начального (нулевого) элемента итерационного процесса выбирается л: = дг0 — векторная, 5 - мерная, непрерывная, дважды дифференцируемая

функция времени, удовлетворяющая условиям периодичности (3). При этом принимается в качестве первого приближения

*1=*о + До. (25)

так что будет

А(х1) = А(х0) + А'(х0)А0 (26)

и приближенно предполагается, что уже в первом приближении выполняется уравнение (15). Получается, что

А(х0) + А'( дг„)(лг,-лг„) =0, (27)

поскольку, согласно (25), Д0 = дг, -х„, и далее (п - номер приближения):

+ = 0 (28)

Иначе

Л'К)Л„=<7„> А» =*»♦,-*„ > . (29)

Л'(*„) = -М^-В^-Щх.) (30)

Л А

Глава 4 посвящена исследованию существования периодического решения нелинейного уравнения (15) и сходимости итерационного процесса Ньютона-Канторовича при отыскании этого решения.

Предполагается, что силы внешнего трения действуют на все без исключения массы, и все коэффициенты трения положительны Ь1 > Л„.|П > 0 Кроме того, предполагается, что, согласно правому рисунку 3, минимальная жесткость всех связей положительна. При этих допущениях показывается, что для всех х из области определения оператора А:

\\Л'х\\> //1М1 , //>0, (31)

что означает существование обратного ограниченного оператора

Г=(А'У\ ||Г(х)|| < Н < <х> (32)

Кроме того, показывается, что в силу ограниченности нормы || 1| (за счет

Ш

сглаживания графика на правом рисунке 3) справедлива, как уже сказано, оценка (21). Теперь может быть использована

Теорема (Л.В. Канторович). Введем векторную функцию дг0 из области определения оператора А(х), для которой

Г0=Г(х0) , || Г0|| < Я0 < со , (33)

и предположим, что 5 0, удовлетворяющее неравенству:

50 >||Г0Л(*0)|| , (34)

достаточно мало для того, чтобы выполнялось неравенство:

А0=Я050К<1 (35)

при К , удовлетворяющему условию (21). Тогда:

1). Нелинейное уравнение (15) имеет решение х' , которое находится в области вблизи х0 , определяемой неравенством

(36)

«л

2). Последовательные приближения хп , вычисляемые по рекуррентной формуле (28) или (29), сходятся кх' ,и быстрота сходимости оценивается неравенством

< -1г(2Л0)2"-'50 (37)

Глава 5 содержит изложение метода Галеркина - проекционного метода - для приближенного решения линеаризованного уравнения (29). Подход к решению этого уравнения (при наличии люфтов) в принципе такой же, как и к решению линейного уравнения (1) в первой главе (при отсутствии люфтов). А именно: механическая система со сложной структурой преобразуется в цепную, используется процедура Галеркина с представлением периодического движения в виде гармонического ряда, коэффициенты

которого определяются методом прогонки. Отличие заключается только в вычислении интегралов

2ч

0е-'1"-т)'Л , ¿ = 1,2,...,5' ; п,т = -Ы,...,М , (38)

о

содержащих значения жесткостей упругих связей с (/) , поскольку эти жесткости являются элементами диагональной матрицы С(лг(/)) в формуле (19). Матрица (38) имеет специальную структуру. А именно, каждая следующая по номеру строка равна предыдущей, смещенной на одну клетку вправо. Такая матрица является частным случаем матрицы Теплитца (ТоерШг). Для того, чтобы сформировать матрицу Теплитца, достаточно для каждого 5 подсчитать элементы только первой строки матрицы, а остальные строки получатся автоматически за счет использования специальной команды, например, на языке МаЛаЬ следует только набрать команду "Юсрйг" и указать размерность матрицы.

Далее данная глава содержит также доказательство сходимости метода Галеркина при решении линеаризованного уравнения (29). Для этого дифференциальное уравнение преобразуется в интегральное уравнение, являющееся частным случаем уравнения с вполне непрерывным оператором, для которого сходимость метода Галеркина доказана (С.Г. Михлин).

В главе 6 приводится краткое описание пакета программ, составленных на основании разработанного алгоритма решения задачи о периодических колебаниях многомассовой упруго-демпферной системы с разрывными связями. На рисунке 4 представлен один из результатов расчета динамики реального ДВС большой мощности.

Рис. 4. Момент, действующий на колесо 11 при отсутствии и наличии люфтов в зубцовых

соединениях.

Из этих графиков видно, что при учете люфтов в зубцовых соединениях получающееся расчетное значение момента, действующего на колесо 11 (рис. 2) примерно в четыре раза превышает его же значение при отсутствии люфтов.

Заключение содержит формулировку результатов, выносимых на защиту. Список работ, опубликованных по теме диссертации.

1. Фридман, А.В. Эффективный метод расчета периодических колебаний многомассовон упругой системы с разветвленной структурой / А.В. Фридман // Научно-технические ведомости СПбГПУ.-4-1/2007. -Т.1.-С. 151-154.

2. Фридман, А.В. Метод расчета периодических колебаний двигателя внутреннего сгорания большой мощности при наличии люфтов в соединениях зубчатых колес / А.В. Фридман // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2008. - № 2. - С. 1721.

3. Фридман, А.В. Нелинейные периодические колебания многомассовой механической системы с разрывными связями / А.В.Фридман, О.В. Привалова // Вычислительная математика и механика: Тр. СПбГТУ. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2006. -№498. - С. 198-205.

4. Fridman, A. Method of Computation for Periodic Oscillations of a High Power Density Internal Combustion Engine Drive Train in the Presence of Backlash / A. Fridman, O. Privalova, I. Piraner // Proceedings of ASME Internal Combustion Engine Division 2008 Spring Conference ICES2008. - Chicago, Illinois, USA. - 2008. - 6 p.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 12.03.2009. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100. Заказ 069.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ . .,.

1. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОМАССОВОЙ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА МАТРИЧНОЙ ПРОГОНКИ.

2. ВЫНУЖДЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОМАССОВОЙ СИСТЕМЫ С РАЗРЫВНЫМИ УПРУГИМИ СВЯЗЯМИ. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЫВА.

3. МЕТОД НЫОТОНА - КАНТОРОВИЧА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ МНОГОМАССОВОЙ УПРУГО-ДЕМПФЕРНОЙ СИСТЕМЫ.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ И ОЦЕНКА СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА НЫОТОНА- КАНТОРОВИЧА.

5. О МЕТОДЕ ГАЛЕРКИНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ.

6. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ДВИГАТЕЛЯ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ.

6.1. Алгоритм расчета.

6.2. Исходные данные и результаты расчетов.

На практике нередко встречаются задачи о колебаниях сложных машин и механизмов, которые адекватно могут рассматриваться как мпогомассовые упруго-демпферные системы с разветвленной структурой. Примером может служить двигатель внутреннего сгорания (ДВС) большой мощности, состоящий из нескольких роторов, соединенных зубчатыми колесами. Двигатель обычно представляется как система топких абсолютно жестких дисков, совершающих крутильные колебания относительно собственных осей. Эти диски соединяются торсиопами - упругими связями, работающими па кручение. К числу дисков относят и зубчатые колеса, упругая связь которых определяется упругостью зубцов.

Условная схема такого двигателя изображена па рис. 1. На этом рисунке диски условно изображены кружками, а упругие связи - пружинками. Соответствующая схема расположения зубчатых колес приведена па рис. 2.

При исследовании динамики систем с разветвленной структурой могут возникать трудности при составлении алгоритма расчета и при реализации вычислительного процесса. Но сложность решения задач о колебаниях ДВС большой мощности определяется не только их конструкцией и характером действующих сил. Другой важной причиной, которая существенно осложняет решение задач динамики этих двигателей, является наличие люфтов в соединениях зубчатых колес. Причем, эти люфты не есть ошибки в исполнении колес, они заложены в конструкцию, так как иначе зубцовые соединения не собрать. Вместе с тем, наличие люфтов в соединениях зубчатых колес может существенно менять динамическое поведение коробки зубцовых передач и всего ДВС в целом. Это обстоятельство объясняется возникновением виброударных колебаний, которые могут сопровождаться увеличением в разы динамических усилий в элементах ДВС, повышенным шумом и даже могут приводить к поломке зубцов. С прицигшальной точки зрения люфты превращают ДВС с зубчатой системой передач в механическую систему с разрывными связями, а задача о колебаниях такой системы становится нелинейной.

Рис. 1. Динамическая модель двигателя внутреннего сгорания.

Рис. 2. Коробка передач ДВС.

К уравнениям колебаний при этом добавляются условия контакта-разрыва для всех зубцовых соединений колес. Эти уравнения и условия определяют движение рассматриваемой механической системы с разрывными связями. Вместе с тем, в процессе движения сама колебательная система, вообще говоря, не остается раз и навсегда заданной, а в ней многократно и во всех зубцовых соединениях контакты могут переходить в их разрывы и наборот.

Длительное время колебания ДВС с учетом люфтов считались не поддающимися расчету [5 - стр 339]. Однако, в последние десятилетия, в связи с развитием вычислительной техники, в исследовательских центрах и на крупнейших моторостроительных предприятиях такие расчеты стали повсеместно выполняться. При этом, насколько известно, всюду применялся примерно один и тот же алгоритм, основанный па численном решении задачи о нестационарных колебаниях при заданных начальных условиях. Иначе говоря, задача о колебаниях мпогомассовой упруго-демпферной механической системы с разрывными связями решается так называемым "методом припасовывания" с использованием процедуры типа Рунге-Кутты [3], [31], [32], [33]. В стационарном режиме работы двигателя внутреннего сгорания па роторы двигателя действуют периодические крутящие моменты. Цикл изменения моментов равен длительности одного или двух оборотов двигателя. Однако, при решении задачи о колебаниях ДВС с учетом люфтов методом типа Рунге-Кутты рассчитываемое движение, как правило, не стремится к периодическому, а получается пучек движений, который можно увидеть, например, на фазовой плоскости. Средне-взвешенное значение амплитуд перемещений дисков и усилий в связях используется, обычно, для оценки интесивпости вибрациоиного и напряженного состояния ДВС. Такой способ решения задачи о дииамическом поведении ДВС с учетом люфтов в соединениях зубчатых колес является весьма трудоемким. Это объясняется, в частности, тем, что для получения устойчивого результата обычно требуется выполнить расчет для большого числа (нескольких десятков) циклов. Кроме того, эта трудоемкость существенно зависит от числа учитываемых степеней свободы (числа масс в замещающей схеме ДВС) и от демпфирования колебаний.

Между тем, экспериментальные исследования показывают, что в стационарном режиме работы ДВС, когда на роторы действуют периодические крутящие моменты, измеиение его вибрационного состояния также носит периодический характер. Поэтому возникает вопрос: нельзя ли отказаться от решения трудоемкой задачи о многоцикловых нестационарных колебаниях и сразу решать задачу о периодических колебаниях за один цикл работы ДВС? В связи с этим спрашивается, во-первых, какие физически обоснованные коррективы требуется ввести в идеальную зависимость контакпого усилия от взаимного перемещения зубцов для того, чтобы задача о периодических колебаниях ДВС при наличии люфтов в зубцовых соединениях допускала бы периодическое решение? Во вторых, каким наиболее эффективным методом эта задача может быть решена?

Ответам на эти вопросы посвящена настоящая работа [27, 28, 29, 30]. Остановимся на ее основных положениях.

1). Идеальная кривая зависимости контактного усилия от взаимного перемещения зубцов представлена на рис 3. При отсутствии контакта между зубцами это усилие равняется нулю.

Рис. 3. Идеальная зависимость контактного усилия от взаимного перемещения зубцов при наличии люфта в зубцовом соединении ДВС.

На рис. 3 f— контактное усилие, ls— относительное перемещение зубцов, hs— размер люфта, S — номер связи; контакт - двусторонний.

В данной работе, для того, чтобы обеспечить существование периодического решения, предполагается, что и в случае отсутствия контакта между смежными зубцами сохраняется пусть как угодно слабая упругая связь. hs

Физически ясно, что сохранение очень слабой связи зубцов при разрыве их контакта не может существенно изменить картину вибраций двигателя внутреннего сгорания. Но это допущение существенно используется при доказательстве существования периодического решения задачи о колебаниях ДВС при наличии люфтов в зубцовых соединениях в случае действия периодических внешних нагрузок.

Второе предположение касается узкой зоны перехода от разрыва к контакту и наоборот. В этой зоне при идеальной зависимости коитакного усилия от относительного перемещения зубцов происходит скачкообразное изменение жесткости зубцового соединения от нулевого значения до величины, определяемой упругими свойствами зубцов. В действительности такого скачка не происходит, поскольку зубцы имеют выпуклую поверхность, и при контакте жесткость зубцового соединения нарастает (или убывает) плавно, аналогично тому, как это имеет место в задаче Герца [12]. Это обстоятельство позволяет сгладить переход между состояниями разрыва и контакта, что также существенно используется при доказательстве существования периодического решения. На основании сказанного используемая в работе зависимость контактного усилия от взаимного расположения зубцов приобретает вид, изображенный на рис. 4.

Рис. 4. Сглаженная зависимость контактного усилия от взаимного расположения зубцов.

2). Задача о нелинейных колебаниях миогомассовой упруго-демпферной механической системы с разрывными связями решается итерационным методом Ньютона-Канторовича [10]. При составлении итерационного алгоритма осуществляется линеаризация исходного нелинейного уравнения колебаний многомассовой упруго-демпферной механической системы, схематизирующей ДВС. Обобщенной искомой неизвестной является векторная функция времени. Число проекций векторной функции равняется числу масс (дисков) механической системы; время меняется в пределах одного периода колебаний рассматриваемой механической системы. Линеаризация уравнения выполняется путем дифференцирования оператора нелинейного уравнения по обобщенной неизвестной. Жесткости зубцовых соединений линеаризованной системы уравнений оказываются, вообще говоря, зависимыми от времени, и эта зависимость изменяется от приближения к приближению при реализации итерационной процедуры Ныотоиа-Капторовича. Поскольку исходная нелинейная связь между усилием в зубцовом соединении и относительным перемещением зубцов записывается в аналитическом виде, то и линеаризованная жесткость может вычисляться по простой аналитической формуле, что существенно облегчает составление линеаризованного уравнения колебаний. Отмстим, что па возможность применения метода Ыыотопа-Капторовича для расчета нелинейных крутильных колебаний валов указано в работе [5 - глава 13].

3). Согласно процедуре Ныотопа-Капторовича каждый шаг итерационного процесса сводится к решению линеаризованного (линейиого) уравнения, о котором говорилось выше. Искомое решение является функцией, дважды дифференцируемой по времени, поскольку в задаче о колебаниях, естественно, учитываются силы инерции. Кроме того, решение должно быть периодической функцией времени, так как ставится задача отыскания именно периодического движения. Указанными свойствами обладают гармонические функции с основным периодом, равным периоду одного цикла работы ДВС. Поэтому приближенное решение отыскивается в виде разложения в конечный ряд по гармоническим функциям времени. При этом, для удобства построения решения, используются экспоненциальные функции с чисто мнимыми степенями. Таким образом, задача сводится к отысканию комплексных амплитуд по числу удерживаемых гармоник для всех степеней свободы (для всех дисков) рассматриваемой механической системы.

Всего требуется определить S векторов с (2N+1) комплексными проекциями, где S - число степеней свободы и (2JV+1) - число гармонических составляющих в разложениях.

4). Для составления системы алгебраических уравнений относительно указанных векторов, представляющих собой, как уже сказано, совокупность амплитуд гармонических составляющих периодического движения, используется метод Галеркипа, именуемый иначе проекционным методом. Получаемая таким путем общая матрица состоит из блоков - квадратных матриц порядка (27V+1). Эти квадратные матрицы обладают важным свойством: каждая следующая по номеру строка получается из предыдущей путем смещения ее на одну ячейку вправо. Такая матрица является частным случаем матрицы Теплица [Toeplitz]. Для ее формирования достаточно вычислить только элементы первой строки, и тогда элементы всей матрицы могут быть получены моментально с помощью, например, программы "toeplitz" при использовании языка MatLab.

6). Поскольку при использовании итерационного метода Ныотона-Канторовича полученную систему алгебраических уравнений высокого порядка требуется решать многократно, весьма важным является выбор эффективного метода решения этой системы уравнений.

Известен и широко используется при решении задач о периодических колебаниях механических систем так называемый метод прогонки [7], который является частным случаем метода последовательного исключения неизвестных Гаусса. Этот весьма эффективный метод непосредственно применим только к механическим системам цепного вида (рис. 5).

Рис. 5. Цепная система.

Если последовательно пронумеровать узлы цепной системы, то окажется, что каждый узел связывается только с предыдущим и последующим узлами. В цеппой системе процедуру исключения неизвестных удобно производить в определенном порядке: двигаясь вдоль цепи, сначала определять динамическую жесткость пройденной части системы (прямая прогонка), а затем, перемещаясь в обратном направлении, вычислять величины самих характеристик колебаний (обратная прогонка). Для этого могут использоваться удобные рекуррентные формулы. Первоначально метод прогонки, иначе называемый методом цепных дробей, в применении к расчету крутильных колебаний валов был предложен Терских В.П. [26].

Но метод Терских был предложен для одпочастотиых гармонических колебаний, а как уже сказано, действующие па роторы ДВС крутящие моменты и отыскиваемые колебания являются не гармоническими, а периодическими, то есть полигармопическими функциями времени. Ограничиваясь при реальных расчетах конечным числом гармонических составляющих колебаний, приходим к задаче относительно векторных неизвестных, размерность которых определяется числом удерживаемых гармоник. И в этом случае могут быть применены рекуррентные формулы так называемой векторной прогонки.

Вместе с тем, для механических систем со сложной структурой методы типа прогонки не могут быть использованы непосредственно. Можно прямо решать получаемую систему алгебраических уравнений высокого порядка, равного 5'(2Лг+1). Но при большом числе степеней свободы и учитываемых гармоник расчеты с использованием таких матриц являются значительно более трудоемкими, чем в случае цепных систем, для которых применимы методы прогонки. Это важно учитывать в многовариантпых расчетах и особенно при рассмотрении задач с нелинейными связями, когда надо многократно решать линеаризованные уравнения при осуществлении итерационных процессов.

В настоящей работе предлагается такая модификация метода векторной прогонки [27], которая пригодна для решения задач о колебаниях мпогомассовых механических систем со сложной структурой, типа той, которая изображена на рис. 1. Эта модификация основывается на том, что указанная сложная структура представляется в виде основной цепи с боковыми ответвлениями, и вводятся фиктивные элементы с пулевой ииерцией и нулевой жесткостью, которые превращают разветвленную механическую систему в цепную. Для полученной цепной механической системы вводится сквозная нумерация ее элементов (рис. 6), и решение получаемой системы линейных алгебраических уравнений осуществляется методом типа прогонки.

Отличие предлагаемой модификации метода прогонки, кроме введения фиктивных элементов, заключается в том, что в процессе как прямой, так и обратой прогонки выполняются условия присоединения боковых ответвлений в исходной разветвленной модели к ее основной цепи.

В процессе прогонки приходится S раз обращать матрицу (2A^+1) порядка, что значительно менее трудоемко, чем даже один раз обратить полную матрицу порядка 5'(2jY+1).

Рис. 6. Динамическая модель ДВС. Расчетная схема. Номера узлов: 11, 14, 15, 23, 24 - зубчатые колеса, 9, 17, 30 - демпферы, 1 - реактивная нагрузка, 8, 12, 16 — фиктивные узлы. Черные кружки соответствуют узлам основной цепи, белые - боковым ответвлениям.

7), Известен способ Сорокина учета внутреннего трения в материале при гармонических колебаниях, который сводится к введению комплексного модуля упругости [25, 20]. В рассматриваемом случае полигармонических колебаний этот способ в данной работе формально применяется к каждой гармонике в отдельности, и полученные результаты складываются. Такой подход, по крайней мере, не противоречит способу Сорокина, когда одна из гармоник становится превалирующей.

Расчет колебаний ДВС, схема которого изображена на рис. 6, с помощью пакета программ, разработанных на основании предложенного метода, выполняется в течение нескольких секунд, то есть практически мгновенно, в то время как расчет широко используемым методом Рунге-Кутты может занимать несколько десятков минут, что существенно при выполнении многовариантных расчетов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате:

- выбора адекватной модели механической упруго-демпферной системы с разрывными связями,

- применения метода Ныотона-Канторовича для решения рассматриваемой нелинейной задачи с использованием аналитической формулы для линеаризованной жесткости упруго-демпферной связи,

- представления решения линеаризованного уравнения в виде конечного гармонического ряда,

- использования метода Галеркина для составления блочной системы алгебраических уравнений относительно амплитуд гармонических колебаний,

- вычисления элементов матричных блоков с помощью эффективной программы "toeplitz",

- превращения сложной механической системы с разветвленной структурой в цегшую систему за счет введения дополнительных элементов с нулевой массой и жесткостью,

- решения полученной системы алгебраических уравнений с матрицей ленточного вида методом типа прогонки в настоящей работе предложен эффективный метод решения задачи о нелинейных колебаниях механической упруго-демпферной системы с разрывными связями, который, в частности, может быть применен к расчету колебаний (вибраций) ДВС при наличии люфтов в соединениях зубчатых колес.

Расчет колебаний ДВС, схема которого изображена на рис. 6, с помощью пакета программ, разработанных на основании предложенного метода, выполняется в течение нескольких секунд, то есть практически мгновенно, в то время как расчет широко используемым методом Рунге-Кутты может занимать несколько десятков минут, что существенно при выполнении многовариантных расчетов.

1. Ануфриев, И.Е. MATLAB 7: Наиболее полное руководство / И.Е. Ануфриев, А.Б. Смирнов, Е.Н. Смирнова. СПб.: БХВ - Петербург, 2005. - 1082 с.

2. Михлин, С.Г. Прямые методы в математической физике / С.Г. Михлин. М.; Л.: Fociехиздат, 1950. - С. 308.

3. Бахвалов, Н.С. Численные методы: учеб. пособие для физ.-мат. спец. вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. 4-е изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 636 с.

4. Вибрации в технике: справочник в 6-ти т. / под ред. К.В. Фролова. 2-е изд., испр. и доп. - М.: Машиностроение, 1999. - Т.1. - 504 с.

5. Вибрации в технике: справочник в 6-ти т. / под ред. Ф.М.Диментберга, К.С.Колесникова. М.: Машиностроение, 1980. - Т.З. - 544 с.

6. Диментберг, Ф.М. Колебания машин / Ф.М. Димептберг, К.Т. Шаталов, А.А. Гусаров. М.: Машиностроение, 1964. - 308 с.

7. Дондошанский, В.К. Расчеты колебаний упругих систем на электронных вычислительных машинах / В.К. Дондошанский. М.,Л.: Машиностроение, 1965.-367 с.

8. Дондошанский, В.К. Динамика и прочность судовых газотурбинных двигателей / В.К. Дондошанский. Л.: Судостроение, 1978. - 334 с.

9. Истомин, П.А. Крутильные колебания в судовых установках ДВС / П.А.

10. Истомин. Л.: Судостроение, 1968. - 304 с.

11. Канторович, JI.B. Функциональный анализ и прикладная математика / Л.В.

12. Канторович // Успехи математических наук. 1948. - Т.З. - № 6. - С. 89-185.

13. Коллатц, Л. Функциональный анализ и вычислительная математика: пер. с нем. М.: Мир, 1969. - 447 с.

14. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970. - 939 с.

15. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа. / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1965. - 519 с.

16. Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа: учеб. пособие для университетов по специальности «Математика» / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М.: Высшая школа, 1982. - 271 с.

17. Маслов, Г.С. Расчеты колебаний валов: справочник / Г.С. Маслов. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Машиностроение, 1980. - 151 с.

18. Михлин, С.Г. Прямые методы в математической физике / С.Г. Михлин. -М.; Л.: Гостехиздат, 1950. С. 308.

19. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г.

20. Михлин. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1970. - 512 с.

21. Михлин, С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. 2-е изд., стер. -СПб.: Лань, 2002.-575 с.

22. Мэтыоз, Дж.Г. Численные методы. Использование MatLab / Дж.Г. Мэтыоз. 3-е изд. - М.: Вильяме, 2001. - 713 с.

23. Пальмов, В.А. Колебания упруго-пластических тел / В.А. Пальмов. М.: Наука, 1976. - 328 с.

24. Пановко, Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем / Я.Г.

25. Пановко. М.: Физматлит, 1960. - 193 с.

26. Приближенное решение операторных уравнений / М.А.Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. -М.: Наука, 1969. -455 с.

27. Самарский, А.А. Теория разностных схем: учеб. пособие для вузов / А.А. Самарский. 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1989. - 616 с.

28. Самарский, А.А. Введение в численные методы: учеб. пособие для вузов / А.А. Самарский. 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. - 288 с.

29. Сорокин, Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем / Е.С. Сорокин. М.: Госстройиздат, 1960. - 131 с.

30. Терских, В.П. Крутильные колебания валопровода силовых установок:исследование и методы расчета / В.П. Терских. Л.: Судостроение, 1970. - Т.З. -271 с.

31. Фридман, А.В. Эффективный метод расчета периодических колебаний мпогомассовой упругой системы с разветвленной структурой / А.В. Фридман // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 4-1/2007. - Т. 1. - С. 151-154.

32. Фридман, А.В. Метод расчета периодических колебаний двигателя внутреннего сгорания большой мощности при наличии люфтов в соединениях зубчатых колес / А.В. Фридман // Проблемы машиностроения и надежности машин. -2008. -№ 2. -С. 17-21.

33. Фридман, А.В. Нелинейные периодические колебания многомассовой механической системы с разрывными связями / А.В.Фридман, О.В. Привалова

34. Вычислительная математика и механика: Тр. СПбГТУ. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2006. - №498. - С. 198-205.

35. Fridman, A. Method of Computation for Periodic Oscillations of a High Power Density Internal Combustion Engine Drive Train in the Presence of Backlash / A.

36. Fridman, O. Privalova, I. Piraner // Proceedings of ASME Internal Combustion Engine Division 2008 Spring Conference ICES2008. Chicago, Illinois, USA. -2008. -6p.

37. Houser, D.R. An Experimental Investigation of Dynamic Factors in Spur and Helical Gears / D.R. Houser, A. Seireg // Journal of Engineering for Industry, Trans. ASME, Series B. 1970. - Vol.92. - pp. 495-503.

38. Pfeiffer, F. Hammering in Diesel-Engine Driveline Systems / F. Pfeiffer, W. Prestl // Nonlinear Dynamics. 1994. - C. 477-492.

39. Rodrigues, J. A Geartrain Model with Dynamic or Quasi-Static Formulaition for Variable Mesh Stifihess / J. Rodrigues, R. Keribar, G. Fialek // SAE Paper 2005-011649.