автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численный анализ одного класса несобственных задач с приложениями к управлению производством

07 9'«

Академия наук Украинской ССР Ордена Ленина Институт кибернетики имени В. М. Глушкова

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО КЛАССА НЕСОБСТВЕННЫХ ЗАДАЧ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К УПРАВЛЕНИЮ ПРОИЗВОДСТВОМ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

На правах рукописи

МОШЕЕВ Леонид Иосифович

УДК 519.85 + 330.115

Киев 1991

, \

Работа выполнена в ордена Ленина Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ЯРОВИЦКИИ Н. В.

Научный консультант: кандидат физико-математических наук,

доцент МИРЗОАХМЕДОВ Ф.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

ЛИТВИНОВ В. В.,

кандидат технических наук, доцент КИЧОР В. П.

Ведущая организация: Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченко.

Защита состоится «-» - 19 г. в -

часов на заседании специализированного совета К 016.45.05 при Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР по адресу:

252207 Киев 207, проспект Академика Глушкова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-техническом архиве института.

Автореферат разослан «-»- 19-У/г.

Ученый секретарь специализированного совета

РЕВЕНКО В. Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теым. Данная работа посвящена численному анализу несобственных задач линейного программирования (НЗ ЛИ) и их приложениям к управлению производством, хотя такие задачи могут ' возникнуть при описании и других экономических объектов. 3 связи с этим возникла проблема оптимальной (с наименьшими затратами) "развязки" (коррекции) несобственности с использованием обоснованных процедур. Несобстзенность (противоречивость) присуща математической модели реальной производственно-экономической системы (ПЭС), поэтому классическое положение о там, что всякая экономико-математическая модель непременно должна быть непротиворечивой, не оправдало себя.

Процедуры коррекции предъявляют особое требование к информационному обеспечению модели. Многие адекватные математические модели оказывались невостребованными лишь по той причине, что были неизвестны источники информации для них. Даже если допустить, что такая информация будет в конце концов получена, то возникает вопрос ее использозания: либо использоежъ ее как абсолютно достоверную, что предполагают детерминированные модели, либо - как приближенную, что делает неэффективным и даже сомнительным использование детерминированных моделей управления производством. Если исходную информацию о параметрах модели считать абсолютно точной, то это будет огрублением действительности, поскольку такая точность недостижима в принципе. Если ' исходную информацию считать случайной, то приходим к стохастическим постановкам задач управления производством. Исследования в этом направлении - дальнейшее развитие ирей теории противоречивых моделей экономики по пути наиболее полного и адекватного использозания неточно заданной исходной информации.

Особенно актуален численный анапиз несобственных задач в современных условиях хозяйствования, т.е. в условиях рынка и свободного предпринимательства, когда суммарный доход ПЭС напрямую зависит от ее способности гибко реагировать на изменяющиеся внешние условия и адаптироваться к ним с минимальными потерями. Здесь положительную роль сыграет учет случайного характера исходной информации. Поэтому важно в настоящее время иссле-

довть проблему несобственное™ в рамках стохастического программирования .

Ядром всех исследований должно быть сэответствуюцее программное обеспечение, разработанное для современных персональных компьютеров, совместимых с IBM ?С/AT/XT, завоевывающими все более широкую популярность и проникающими в многочисленные сферы человеческой деятельности.

Основные цели работы. Перзчисленные проблемы определили основные цели настоящей диссертации, которые можйо сформулировать следующим образом:

1) исследование процедур аппроксимации противоречивых моделей задачами линейного программирования применительно к управлению производством; /

2) теоретическое обоснование полученных результатов;

3) проведение численных экспериментов с некоторыми из аппроксимирующих моделей;

4) сведение противоречивых моделей к задачам недифференци-руемой оптимизации;

5) сведение противоречивых моделей к одно- и деухэтапным задачам стохастического программирования;

6) формулировка новых постановок задач управления производством в условиях рынка;

Т) создание программного обеспечения решения задач управления производством для персонального компьютера IBM PC/AT.

Метода исследования. Математическим аппаратом для исследования противоречивых моделей управления производством являются теория и численный анализ несобственных задач линейного и нелинейного программирования. При исследовании противоречивых моделей большую роль играет теория двойственности, с помощью которой получены новые результаты в области несобственных задач.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующих основных положениях, выносимых на защиту:

1) разработка детерминированных и стохастических экономико-математических моделей управления производством, приспособленных к автоматической "развязке" противоречивости системы ограничений;

2) проведение численных экспериментов с исследуемыми моделями ;

3) теоретическое обоснование полученных результатов;

4) формулировка новых постановок задач управления производством в условиях рынка;

5) создание программного обеспечения решения задач управления производством, разработанного на языке ФОРТРАК-77. для персонального компьютера IBM РО/АТ.

Практическая ценность. Практическая иенность результатов' диссертационной работы заключается в том, что предлагаемые в настоящой диссертационной работе детерминированные и стохастические экономико-математические модели могут быть эффективным инструментом при решении- производственно-экономических задач в новых условиях хозяйствования. Кроме того, разработанное программное обеспечение для современных персональных компьютеров IBM РС/АТ/ХТ и совместимых с ними позволяет осуществлять автоматическую коррекцию модели в случав ее противоречивости.

Результаты диссертации были использованы при управлении производством в Душанбинском производственном кожевенно-обувком объединении и при создании автоматизированной системы управления на Ордконикидзеабадском ремонтно-механическом заводе.

Апробация работы. Основные положения настоящей диссертационной работы докладывались и обсуждались на Республиканском семинаре "Применение экономию-математических методов и вычислительной техники в моделировании экономических систем" (г.Душанбе, 23 декабря 1987 г.), на Республиканском семинаре-совеща-юга "Применение экономико-математических методов в планирований и управлении народным хозяйством республики" (г.Душанбе, 26-28 апреля 1988 г.), на Всесоюзной научной конференции "Проблемы управления НТП в условиях радикальной экономической реформы" (г.Душанбе, 19-20 октября 1989. г.), на 11-м Всесоюзном совещании по проблемам управления (г.Ташкент, сентябрь 1989 г.), на Республиканском научно-практическом семинаре "Диалоговая оптимизация планово-управленческих решений и проблемы внедрения ее в практику" (г.Киев, 3-5 октября 1989 г.), на Всесоюзном семинаре "Распознавание и оптимальное управление развитием систем" (п.г.т. Славскоэ, Львовская обл., 28 февраля - 7 марта 1989 г.), на б-й Всесоюзной школе-семинаре молодых ученых "Проблемы кибернетики" (г.Киев, май 1989 г.), на Всесоюзном семинаре "Моделирование развивающихся систем с изменяющейся структурой" (п.г.т. Славское,

Львовская обл., 12-21 марта 1990 г.), на Всесоюзном научно-практическом семинаре "Моделирование и исследование устойчивости физически процессов" (г.Киев, 22-24 мая 19С0 г.), на Т-й Всесоюзной школе-семинаре молодых ученых "Проблемы кибернетики" (г.Киев, 28 мая - 1 июня 1990 г.), на 17-й Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" (г.Новороссийск, 2-6 октября 1990 г.), на Т-й Всесоюзной научной конференции "Математическое программирование и 'приложения" (г.Свердловск, 25 февраля - 1 марта 1991 г.), на семинаре кафедры эконо1к!Ической кибернетики Киевского госуниверситета, на специализированных семинарах отдела региональных систем и отдела математических методов исследования операций Института "кибернетики им. В.М.Глущкова АН УССР.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных раЗот.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 128 наименований. Общий объем диссертации 141 страница, в том числе 16 рисунков и 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показйна актуальность темы исследования, приведены основные цели работы, кратко описано содержание диссертации.

Первая глава посвящена "развязке" противоречивости системы ограничений исходной задачи линейными дьтерминированными моделями управления производством.

Рассмотрим задачу линейного программирования вида

х*=агё стх: Ах < Ь, х > 0 |, (1.1)

где сеЕп; ЬеШ""; ,а1 ей1; х^К". Параметры задачи (1.1)

имеют традиционную производственно-жоноикческую интерпретацию: с - вектор удельных цен на продукцию; А - технологическая матрица ( полного ранга ); Ь - вектор ресурсов; х - вектор уровня производства .

Пусть (1.1 ) - НЗ ЛП 1-го рода. Содержательно это означает, что имеется несоответствие между ресурсными ограничениями. Задача (1.1) некоторым образом может быть параметризована.

Рассмотрим параметризацию в форме

х*=ага яш^ стх: Ах ^ Ь+дЬ^-йЬ , х > 0

гдэ роль параметров играют дЪ+,йЪ~ - векторы прироста и сокращения ресурсов, соответственно (дЬ+,лЬ"е 0^). В качестве критерия (функции качества) аппроксимации выберем функцию

<р(йЬ+',дЬ~)=(г+)тлЬ+-(г~)тлЬ~, (1.2)

где г"1" - вектор затрат на приобретение дополнительной единицы ресурса (г+е К^); г" - вектор дохода от вкономки единицы ресурса (г~€ К"). Тогда, с учетом этой функции, аппроксимирующая задача запишется в виде

х*=агв (г+)тдЬ+-(г")тдЬ : Ах Ь+дЬ+-дЪ ,

х,дЬ+,дй> 0 (1.3)

где хт:=(хт!(дЬ+)т!(дЬ")т) - блочный вектор.

Если лЬ+\лЬ~*с х*, то для (1.1) скорректированной будет . задача нахождения

х*=аг& стх: Ах «г Ь+дЬ+*-дЬ *, х ».О ((.4)

Таким образом, коррекция задачи (1.1) по критерию (1.2) сводится к решению задачи (1.3), а затем (1.4). Следовательно, в данном случае анализ ГО Л1 носит двухэталный характер: вначале. решается задача коррекции модели (на основе параметризации) , а потом ищется решение откорректированной задачи.Эти два этапа, коррекции можно свести в один посредством объединения задач (1.3),(1.4) в задачу нахождения

б

x*=arg иат| стх-(г+)тйЪ++(г")тлЪ : Ах ¡s Ъ+лЬ+-дЬ~,

х,дЬ+,дЬ"> 0 (1.5)

Справедлива следующая

Teopeua I.I. Если (1,1) - ЕЗ ЛИ 1-го рода, то необходимым условием разрешимости (1.5) является выполнение соотношения

г" г+. В случае разрешимости (1.5) •

, ' (дЬ+*)тлЬ"" = 0.

Замечание. Первое утверждение теоремы 1 И не допускает обращения. Однако замена в (1.5) шах на sup делает необходимое условие и достаточным, т.к. в этом случае экстремальное значение целевого .функционала может достигаться на +<».

Задача (i.5) не всегда будет разрешимой, что подтверждает следующая- ' 1

Теорема 1.2. Если (1.1) - КЗ ЛП 1-го рода, то (1.5) либо разрешима, либо НЗ ЛП 2-го рода.

Сформулируем достаточное условие коррекции задачи (1.5).'

Теорема 1.3. Пусть (1.1) - НЗ ЛП 1-го рода, а (1.5), в которой г- г+, - НЗ ЛП 2-го рода. Тогда Э дг+, удовлетворяющий •условию 0 < дг+ с +», -Такой, что, заменяя в задаче (1.5) вектор г+ на вектор г4+дг+, получим ее разрешимость.

Замечание.- В тем случае, когда "соотношение г~ ^ г+ не выполняется, достаточное условие коррекции (1.5) становится и необходимым.

• Задачу (1.1) можно свести к задаче нахождения

х*=аг# тшг| етх-(г+)тдЪ++ (г )тдЬ : Ах ^ Ь+дЬ+-лЬ~,

-дЪ дЬ+-дЬ~€ дЪ, х,дЬ+,дЬ> 0 (1.6)

где дЬ.дЬ - векторы нижней границы ■ сокращения и верхней границы прироста ресурсов соответственно (дЪ.дБ е К™):-

Наряду с задачей (1.6) рассмотрим задачу, заключающуюся в нахождении

x*=arg стх-(г+)тдЪ++(г~)тдЪ": Ах ^ Ь+лЪ+-дЬ~,

О ^ дЬ+^ дЪ, 0 ^ дЪ"< дЪ, х > О (1.Т)

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.4. Задачи (1.6),(1.Т) эквивалентны тогда и только тогда, когда выполняется соотношение г~ < г+, в предположении, что (1.1) - НЗ ЛП 1-го рода.

Теореиа 1.5. Если (1.1) - КЗ ЛП 1-го рода, то (1.6) либо' разрешима, либо НЗ ЛП 1-го рода, либо НЗ ЛП 3-го рода, а (1.Т) либо разрешима, либо ДЗ ЛП 1-го рода.

Следствие. Если (1.7), в которой соотношение г" < г+ не выполняется, - НЗ ЛП 1-го рода, то (1.6) - НЗ ЛП 3-го рода, в предположении, что (1.1) - НЗ ЛП 1-го рода.

Рассмотрим задачу, являющуюся частным случаем (1.Т), которая заключается в нахождении

x*=arg стх-(г+)тдЬ++(г~)тдЬ~: Ах j* Ь+дЬ+-дЪ~,

О « дЬ+^ дЪ, х,дЪ~ > 0 (1.8)

В теореме 1.3 упоминалось о том, как скорректировать задачу (1.5), если она оказалась КЗ Ж 2-го рода, но ничего не говорилось о том, как определить величину дг+.

Теорема 1.6. Пусть (1.1) - НЗ ЛП 1-го рода, а (1.5) -• НЗ ЛП 2-го рода. Тогда Э такой, что (1.8) - разрешима. При этом дг+= V*, где v*c и*. Здесь и*- вектор двойственных-оценок в оптимальном решении задачи (1.8). •

Теперь моасно сформулировать достаточное условие разрешимости задачи (1.5).

Следствие. Если (1.1) - ИЗ ЛП 1-го рода, а дЬ с х , где

■

х - решение задачи (1.8) , то достаточным условием разрешимости (1.5) является выполнение соотношения

дЬ4*- дЬ < 0.

Содержательно модель (1.5) отличается от последующих моделей тем, что ее использование подразумевает неограниченное пополнение ресурсов в случае их возможного дефицита.

Изучим еще один подход к аппроксимации задачи (1.1) .который послужит "мостом" для перехода к стохастическим моделям.

Рассмотрим задачу, заключающуюся а нахождении

x*=arg дш^ ст х~ (г+)7дЬ++ (г-)тдЬ~ -(дг+)т у; Ах < Ь+дЬ+-дЬ~,

дЬ+- у < Ab, О < ДЬ~£ дй. Х,йЬ+,у i О (1.9)

где у - вектор коррекции верхней границы прироста ресурсов (у е Оф; дг+- вектор коррекции удельных затрат на приобретение •дополнительной единицы ресурса (лг+ е D^); хт :=(хт! (дЬ+)т I (дЬ~)т!ут).

Имеют место следующие утверждения. - .

Геореыа 1.7. Если(1,1) - КЗ ЛИ 1-го рода, та (1.9) либо разрешима,- либо НЗ ЛП 2-го рода.

Теореиа 1.8. .Если (1.1) - КЗ ЛП 1-го рода, то достаточным условием разрешимости (1.9) является разрешимость (1.6).

На практике для определения оптимального уровня производства часто используется модель, заключающаяся в нахождении

x*-arg тюх £ стх: Ах 4 b, х 4 х < х (1.10)

где х < х. Здесь х, х - векторы нижних и верхних границ уровня производства соответственно (х, х е К^).

Пусть задача (1.10J - КЗ ЛП 1-го рода .Содержательно это, 'может означать, что завышена нижняя граница уровня производства по отношению к ресурсам-или, наоборот, занижены лимиты ресурсов по отношению к нижней границе уровня производства. Задачу (1.10) можно свести к следующей задаче нахождения:

x*y-org mazj стх-(г+)'дЬ++ (г~)7лЬ_- Нтлх - ртдх:

Ах £ b + ДЬ+- дЬ~, 0 < дЬ+ «с дЬ, 0 $ дЬ_£ дЬ,

х - дх ^ х х + дх, х,дх,дх > О | , 0-11)

где х1 :=(хт I (дЬ+)т I (дЬ~ )т I дхт I лхг). Здесь h - в&кюр удельного штрафа за недопроизводство продукции (h € Оф; р - вектор удельных издержек от перепроизводства продукции (р € Вф; дх - вэктор коррекции верхней границы уровня производства (лх е Вф; лх - Виктор коррекции нижней границы уровня производства (лх с пф; х' := (х1 Iax1 !лх().

Справедлива следующая

Теорема Г.9. Ноли (1.10) - НЗ Ml 1-го рода, то необходимым

условием разрешимости (1.11) является выполнение соотношения г" г+.

Вычислительные сложности, связанные о решением рассматриваемых задач линейного программирования, связаны с их большой размерностью. Поэтому применение симплекс-метода для "развязки" противоречивости во многих задачах управления Ьроизводством не приводит к успеху из-за их большой размерности. В то ке время такие задачи обладают специфической структурой, позволяющей использовать для их решетя специальные методы, более эффективные, чем методы линейного программирования, - метода негладкой оптимизации.

Основная идея предлагаемого подхода заключается в сведении аппроксимирующей задачи линейного программирования к новой оптимизационной задаче, в которой ограничения определенным образом учтены в видоизмененном целевом функционале. Такой способ сведения получил название метода штрафных функций.

В подтверждение сказанному рассмотрим задачу линейного программирования (1.9), которая может быть сведена к следующей задаче недифференцируемой оптимизации:

МАХ

I сл -1

3=1

1=1

{ I «V

3=1

13х3

г^лг-

О, min^abj

п г п - '

bi - 1 аихз } + «Ц 1 а13х3 - Ь1 } - дЪ1

3=1 3=1

Xj > о, 3=1.....п.

Аналогично и другие аппроксимирующие задачи линейного программирования, упомянутые выше, можно свести к задачам "вдиф-фервнцируемой оптимизации.

Вторая глава диссертации посвящена аппроксимации НЗ ЛП 1-го рода одно- и двухэтапными моделями стохастического программирования .

Аппроксимируя несобственные задачи детерминированными, ми предполагали, что вся исходная информация о неуправляемых парам« 1--рах аппроксимирующей задачи известна лицу, принимающему рймшо !ЛПР), с гарантированной точностью к моменту пришлют рдапия.

Между тем, имеется рад причин, дающих повод усомниться в правомерности такого предположения. Например, случайный характер имеют спрос на выпускаемую продукцию, цены на нее и ресурсы в условиях рынка, рыночная конъюнктура, влияющая на сбыт продукции, и многое другое.

Рассмотрим задачу (1.9), в которой дЬ=йБ(е), дг+=дг+(е) являются векторами случайных величин на вероятностном пространстве (в,$$,Р), где е € в - множество элементарных событий. Получим следующую стохастическую задачу управления производством, заключающуюся в нахождении оптимального уровня выпускаемой продукции согласно

х*~аг£ иог| стх-(г+)7дЬ++(г~)тдЬ~- М(дг+(е))ту(х,е):

Ах < Ъ+дЬ+-дЪ~, О « дЬ, х,дЬ+> 0 ■ (2.1)

где хт : = (хт I (дЬ+)т ! (дЪ~)т); у(х,еЬ с вероятностью 1 решение другой задачи (при фиксированных х и в), заключающейся в нахождении

у*=аг£ (дг+(е))ту: у > дЪ+-дЬ(е), у » 0 (2.2)

Задача (2.2) называется задачей второго этапа, коррекционной или рекурсивной.

Линейная двухэтапная стохастическая задача управления производством с простой рекурсией (2.1),(2.2) удачно описывает, реальную ситуацию, складывающуюся при управлении производством. В самом деле, допустим, что на первом этапе ЛПР известно о возможности дополнительного приобретения ресурсов, но не известно, до каких границ эти ресурсы можно закупать. Тогда принимается решение на основе имеющейся неполной исходной информации, а затем, по мера поступления информации относительно верхних границ прироста ресурсов дБ(е), принятое ранее решение уточняется -корректируется.

Из задачи (2.1), (2.2) нетрудно видеть, что наблюдать при каждом е значение (дг+(е ))ту(х,е) не представляет труда и позволяет использовать для ее решения прямые метода стохастического программирования.

Особенностью задачи (2.1), (2.2), в отличие от традиционных постановок линейных двухэталных стохастических задач управления производством, является та, что уровень производства х может не существовать в силу того, что задача первого этапа (2.1) может

оказаться НЗ ЛИ 2-го рода. Однако вше при рассмотрении детерминированных задач обсуждались процедуры обхода этой ситуации, которые могут быть использованы и в данном случае.

Изучим подход, позволяющий избежать этого явления, а именно - вместо задачи (2.1) рассмотрим задачу нахондения

х*=агз иш| стх-(г+)тлЬ++(г~)7лЬ_- М(,ьг+(е))ту(х,е):

Ах « Ъ+лЬ4~дЬ~, О дЬ~< дЪ, х « X < X, др4» 0 |. (2.3)

Область х ^ х < х позволяет избежать ситуации несобстьен-ности 2-го рода, которая может возникнуть при решении задачи первого этапа (2.1).

Другое преимущество задачи (2.2), (2.3) заключается в том, что она описывает более общий случай процесса принятия решения, чем задача (2.1), (2.2), так как в практике ¡травления производством наличие нижних х и верхних х границ уровня производства - довольно частое явление.

■ Рассмотрим более общую задачу нахождения

. х*-аг§ с7х-(гт)тдЬ++(г")тйЬ""- 1гтйх - ртдх -

- М(г.г+(е))ту(х,е): Ах ^ Ъ+дЬ4-д1Г, 0 ^ дЬ-^ дЬ, х - дх ^ х ^ х + дх, х,дЬ4,дх,дх > 0 (2.4)

где хт : = (хт' (дЬ+)т! (дЬ~)т ! дхт! дхт).

Задача (2.2),(2.4) аппроксимирует задачу (1.10) в случав несовместности ее системы ограничений.

Линейная двухэтапная стохастическая задача управления производством (2.2), (2.4) наиболее интересна в практическом отношении, поскольку с ее помощью можно описывать реальные производственно-экономические процессы в условиях рынка и свободного предпринимательства. В самом деле, рассмотрим постановку задачи, которой может удовлетворять модель (2.2),(2.4).

На период [0,Т5 заключен договор мекду производителем (ПЗС) и потребителем (заказчиком) на выпуск продукции в количестве от х до х по удельной оптовой цене с . При этом, если продукции будет произведено меньше нижней границы заказа х, т.е. к концу периода_Т ПХ не выполнит езятого на себя обязательства, то вынуждена будет подвергнуться штрафу Ь. за каждую единицу недопроизведенной продукции. Если же продукции будет произведено больше верхней границы заказа х, то ПЗС понесет удельные из-

держки р . связанные с затратами на хранение и (или) порчей готовой продукции. На производство своей продукции по технологии А ПЭС расходует ресурсы, которыми невозможно запастись впрок сразу на весь период Т по различным причинам. Начальный запас ресурсов ПЭС составляет величину Ь к началу периода Г. Если в процессе производства продукции потребуются дополнительные ресурсы дь! то ПЭС мокет их приобрести у своего поставщика по удельной ценз г+ , но не более некоторой пороговой случайной величины дЬ(е) , которая заранее не известна, но у ПЭС накоплена статистика за ряд прошлых лет относительно этой величины. Если же после поставки дополнительных ресурсов некоторых из них все ке окажется недостаточно, то ПЭС непокрытый дефицит ресурсов может .восполнить на рынке по более высокой удельной цене г++дг+(е), которая является случайной величиной. Наряду с недостатком по одним ресурсам у ПЭС к концу периода Т могут возникнуть избытки по другим ресурсам. На этот случай у ПЭС имеется потребитель ее избыточных ресурсов лЬ7 которые можно реализовать ему по удельной цене г~ , но не более некоторой пороговой величины дЬ . Требуется определить производственную программу х на период [0,Т5 с тем, чтобы максимизировать ожидаемый доход ПЭС в условиях одновременного существования заказа и свободных рыночных отношений.

Линейную двухэтапную стохастическую задачу управления производством (2.1), (2.2) можно свести к одноэтапной стохастической задаче управления производством в том случав, если ЛИР имеет всю необходимую информацию о случайных параметрах модели к моменту принятия решения. Продемонстрируем процедуру такого сведения. Рассмотрим задачу второго этапа (2.2) в развернутом виде:

т1п

I АГ>)У±

1=1

(2.5)

у^ дЬ^-дЬ1(е), (2.6)

У^ 0, 1=1.....гл. (2.Т)

Решение задачи (2.5)-(2.7) определяется соотношениями

к+

{ дЬ^-дЬ (в), если дЬ1-дЬ. (в) > О, у (х,в)=| 1 1 - 11 (2.8) 1 !. О, если дЬ^-лЬ (в) $ 0, 1=1.....т.

В свою очередь,

3-1 п л

О, если 2 а..-в < 0, 1=1,...,ш, ^ ~ 1

(2.9)

(2.10)

дь 1 , если Ь^ 2 4>

д если 0 < ъ1-|1а±/з < 1 ь 0, если Ь.- 2 ах < о, 1=1

Подставляя лЪ^....., определенные согласно (2.9), в

..1 ш ^

(2.8), а (2.8)-(2.10) - в целевой функционал задачи первого этапа (2.1), получим, что задача (2.1) ,(2.2) эквивалентна следующей одноэтапной стохастической задаче управления производством:

[п та г п

ДСЛ -¿Д г^исо.Д а1Л- V -

- г~шах|о, т1п{дЬ А , Ь^ 2 а1;)х3 -

т , Г п "1

- 14 £ аг*(в)пах|0, тахт, 2 V ~ ДЬ^е^

О, 3=1,...,п.

В третьей главе проводятся численные эксперименты с некоторыми из аппроксимирующих моделей и освещается прикладной аспект полученных результатов.

Пусть для простоты исходными данными будут

'2 3 ' ' и ' ' 5 '

А = -1 1 , Ъ = -11 с = 1

(3.1)

Если воспользоваться ими для рэшения задачи (1.1), то программа выдаст сообщение:

"ограничения несовместны". Нетрудно проверить, что задача (1.1 ) с исходными данными (3.1) будет НЗ ЛП 1-го рода. Добавим к (3.1) следующие данные:

Г 3

г+ =

г =

1

1.5

(3.2)

и воспользуемся ими для решения аппроксимирующей задачи (1.5). На этот раз программа выдаст сообщение:

"функция не ограничена". Действительно, (1.5) для (3.1 ),(3.2) будет НЗ Ж 2-го рода. Теперь'к исходным данным (3.1), (3.2) добавим следующие:

дЬ

(3.3)

и воспользуемся ими для решения (1.8). Получим следующее решение:

9 1

х* =

Г11 .5"

О

[3.25' 1 .5

дЬ

О

ГО. 25'

дЬ"

Ч о ' 0.5

(3.4)

Р = 31.25.

Корректируя вектор г+ на величину дг+, которая равна V*. оставляя без изменения вектор г", компьютер выдаст результат:

г+ =

3.25'

Г =

' 1

1 .5

(3.5)

Теперь, решая (1.5) для исходных данных (3.1), (3.5), получим:

х =

и* =

11

О

Г3.25) 1.5

дЬ

Р = 29.

дЬ"

(3.6)

*

и

т

Итак, "развязку" противоречивости модели (1.1) для исходных данных (3.1) можно осуществить как посредством использования аппроксимирующей модели (1.5) с исходными данными (3.1), (3.5), так и посредством использования аппроксимирующей модели (1.8) с исходными данными (3.1)-(3.3). Сравним при этом полученные результаты (3.4),(3.б) и дадим им содержательную интерпретаций в производственно -экономической терминологии.

Допустим, что ПЭС имеет на складе 14 ед.ресурса, запасы которого необходимо пополнить для завершения производственного цикла. Это можно сделать двумя путями; либо закупить недостающий ресурс у госсектора по цене 3 руб/1 ед.ресурса, но не более 9 ед., либо следует быть готовым закупить тот же ресурс на рыило по цене не ниже 3.25 руб/1 ед.ресурса, ко уже в неограниченном количестве, если ПЭС настораживает ограничение на дополнительное приобретение ресурса.

Заметим, что 3.25 руб/1 ед.ресурса - равновесная цена ресурса. Таким образом, разновесные цены рыжа на ресурсы ковко вывести из двойственных оценок на них.

На этом примере видна диалектика рынка - ресурс, который доступен в неограниченном количества, имеет удельную цену не нике равновесной, в то время как при удельной цене пике равновесной не обойтись без ограничения на этот ресурс. "

Программное обеспечение решения задач управления производством разработано на языке программирования ФОРТРАН-Т7 для персонального компьютера IBM PC/AT и совместимых с ним.

В заключения приведены основные результаты, полученные в диссертации:

1. Исследованы процедуры аппроксимации противоречивых моделей задачами линейного программирования применительно к управлению производством.

2. Доказаны необходимые и достаточные условия разрешимости аппроксимирующих моделей.

3. Проведены численные эксперименты с исследуемыми аппроксимирующими моделями.

4. Показана возможность сведения линейных аппроксимирующа моделей к задачам недифференцируемой оптимизации.

5. Исследованы процедуры аппроксимации противоречивых моделей одно- и двухэтапными задачами стохастического программирова-

11 »ill,

6. Сформулированы новые постановки задач управления производством в условиях рынка.

Т. Решена одна реальная задача управления производством для Дуианбинского производственного кожевенно-обувного объединения.

8. Разработано программное обеспечение решения задач управления производством для персонального компьютера IBM PC/AT.

В приложениях 1,2 приведены тексты программ и справка о внедрении.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мирзоахмедов О., Ыирзоахмедова Л.В., Мошеев Л.И. Об одном подходе к выбору оптимальной интенсивности водоохранного мероприятия // Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования: Тез. докл. 17. Всесоюз. шк.-семинара, 2-6 акт. 1990 г.- Ростов-на-Дс-ну - Новороссийск, 1990.- С.157.

2. Мирзоахмедов О., Мошеев Л.И. Анализ несобственных задач линейного программирования и их приложения.- Киев, 1990,24- с.-(Препр./ АН УССР. Кн-т кибернетики им.В.М.Глупкова; 90-30).

3. Мирзоахмедов Ф., Мошеев Л.И. Стохастический аналог одного класса несобственных задач линейного программирования // Математические методы принятия решений в условиях неопределенности.- Киев: Ин-т кибернетики им.В.М.Глушкова АН УССР, 1990.- С.65-68.

4-. Мирзоахмедов Ф., Мошеев Л.И. Двойственность для одного класса несобственных задач линейного программирования и их приложения // Кибернетика.- 1990.- N6.- С.31-35.

5. Мирзоахмедов С., Мошеев Л.И. Аппроксимация одного класса несобственных задач двухэталной задачей стохастического программирования с простой рекурсией // Математическое

. программирование и приложения: Тез. докл. науч. конф., 25 февр. - 1 марта 1991 г.).- Свердловск, 1991.- С.105-106.

6. Мирзоахмедов о., Мокеез Jl.Yi., Баринов В.Б. Математические модели развивающейся производственно-экономической системы //

• Распознавание и оптимальное управление развитием систем: Ма-• териалы семинара, Слэеск, 28 февр. - 7 марта 1989 г.- Киев, 1990.- С. 137-1 40 (Деп. 3 ВИНИТИ 22.10.90, N5442-B90).