автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы решения обратных задач фильтрации в трещиновато-пористых средах

На правах рукописи

2 7 АЫ 20иу

Абдуллин Адель Ильдусоеич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

□03475809

003475809

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики и машиностроения Казанского научного центра РАН

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Хайруллин Мухамед Хшьмиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Лапин Александр Васильевич

доктор технических наук, профессор Федяев Владимир Леонидович

Ведущая организация: Научно-исследовательский вычислительный

центр Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится «25» сентября 2009 г. в т 7 часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 10, зал заседаний Ученого совета

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослан <Ц\ » августа 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор

физико-математических наук, профессор ^'(^х-сС/А^ П.Г. Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Важным этапом в исследовании математических моделей подземной гидромеханики является решение обратных задач. Математическая постановка многих обратных задач состоит в определении неизвестной функции, которая либо является коэффициентом дифференциального уравнения, либо входит в краевые или начальные условия по дополнительной информации о решении рассматриваемой задачи. Методы решения обратных задач позволяют оценивать состоятельность рассматриваемых моделей и определять их неизвестные характеристики по геолого-промысловой информации, поступающей в процессе эксплуатации месторождения. Проблемы, связанные с интерпретацией на ЭВМ геолого-промысловой информации, приводят к некорректным математическим задачам. Решение некорректно поставленных задач требует применения специально разработанных регулярнзирующих алгоритмов.

Отличительной чертой обратных задач подземной гидромеханики, связанных с исследованием математических моделей реальных процессов фильтрации в пористых средах, является то, что характер дополнительной информации определяется возможностями промыслового эксперимента. Другим фактором, который необходимо учитывать при их решении, является наличие погрешностей в экспериментальных данных.

В диссертационной работе рассматриваются задачи определения фильтрационных параметров трещиновато-пористых сред на основе методов регуляризации. В качестве исходной информации для решения обратных задач используются результаты нестационарных гидродинамических исследований вертикальных (ВС) и горизонтальных скважин (ГС).

Цель работы

• Разработка вычислительных алгоритмов для интерпретации результатов нестационарных гидродинамических исследований вертикальных и горизонтальных скважин в трещиновато-пористых пластах.

Основные задачи исследования

• Численное решение коэффициентных обратных задач фильтрации в трещиновато-пористых средах.

• Разработка и программная реализация алгоритмов для интерпретации результатов гидродинамических исследований ВС и ГС на нестационарных режимах фильтрации.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

1. На основе методов регуляризации разработаны вычислительные алгоритмы для интерпретации результатов гидродинамических исследований вертикальных и горизонтальных скважин при нелинейно-упругом режиме фильтрации.

2. Создан вычислительный алгоритм для оценки состояния призабойной зоны вертикальной скважины в трещиновато-пористом пласте по результатам гидродинамических исследований.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных исходных математических моделей фильтрации, общетеоретических концепций, касающихся некорректных задач, проведением тестовых расчетов и хорошим согласованием с результатами интерпретации кривых изменения давления графоаналитическими методами.

Практическая ценность

1. На основе метода дескриптивной регуляризации построены вычислительные алгоритмы, которые позволяют оценить зависимость фильтрационных параметров трещиновато-пористого пласта от давления.

2. Оценка скин-эффекта позволяет установить необходимость проведения обработки призабойной зоны и оценить ее эффективность.

3. Предложенный диагностический признак может использоваться для идентификации нелинейно-упругого режима фильтрации в трещиновато-пористых средах.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработаны вычислительные алгоритмы на основе методов регуляризации для интерпретации результатов нестационарных гидродинамических исследований вертикальных скважин, эксплуатирующих трещиновато-пористые пласты.

2. Создан вычислительный алгоритм на основе метода дескриптивной регуляризации для определения зависимости проницаемости трещин от давления при фильтрации жидкости к ГС в трещиновато-пористых средах.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

> Итоговых научных конференциях Казанского научного центра РАН, секция «Механика и машиностроение» (Казань, 2008-2009 гг.),

У VI Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы

решения задач математической физики» (Казань, 2006 г.), У VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому

моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006 г.), У VII Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2007 г.), У Международной научно - практической конференции «Повышение нефтеотдачи пластов на поздней стадии разработки нефтяных месторождений и комплексное освоение высоковязких нефтей и природных битумов» (Казань, 2007 г.),

> VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому

моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007 г.), У VI школе-семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008 г.), У IV Всероссийской школе-конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2008 г.), У VII молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения-2008" (Казань, 2008 г.),

У IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации, включая 5 таблиц и 52 рисунка, составляет 108 страниц машинописного текста. Список использованной литературы включает 130 наименований отечественных и зарубежных авторов.

Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в 12 работах, в числе которых 3 статьи в научных журналах из списка, рекомендованного ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и основные задачи исследования, раскрывается научная новизна и практическая ценность, кратко излагается основное содержание работы по главам.

В первой главе дается обзор литературы, посвященной методам определения фильтрационных параметров пластов по результатам гидродинамических исследований вертикальных и горизонтальных скважин. Анализируются результаты лабораторных экспериментов, где изучается характер изменения проницаемости в зависимости от давления. Дается краткий обзор литературы по численным методам решения коэффициентных обратных задач.

При интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин графоаналитическими методами, как правило, предполагается однородность пласта по фильтрационным свойствам. Встречающиеся на практике пласты можно лишь в первом приближении считать однородными. Значительная часть месторождений нефти и газа приурочена к карбонатным коллекторам, имеющим сложную трещиновато-пористую структуру. Трещиновато-пористая среда представляет собой совокупность пористых блоков, отделенных между собой трещинами. Фильтрация слабосжимаемой жидкости в трещиновато-пористой среде описывается в рамках модели двух взаимопроникающих континуумов (модель Г.И.Баренбалатта, Ю.П.Желтова, И.Н. Кочиной). Предполагается, что движение жидкости к скважине происходит по системе трещин, а основной запас флюида содержится в пористых блоках.

Процесс разработки нефтегазовых месторождений практически всегда сопровождается изменением объема скелета горной породы и насыщающей эту породу жидкости в процессе изменения давления в пласте. Промысловые и лабораторные исследования свидетельствуют о зависимости фильтрационных свойств трещиновато-пористых пластов от давления. Экспериментальные исследования1 по определению зависимости коэффициента проницаемости пласта от давления показали, что она, как правило, хорошо аппроксимируется монотонными и выпуклыми функциями.

Во второй главе приводятся постановки и методы решения коэффициентных обратных задач определения фильтрационных параметров трещиновато-пористых сред на основе методов регуляризации. Решение задачи определения зависимости проницаемости трещин от давления ищется в классе монотонных и выпуклых функций.

Прямая задача нестационарной фильтрации жидкости к вертикальной скважине в круговом пласте состоит в нахождении полей давлений в трещинах и пористых блоках, удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений в частных производных:

' Добрынин В.М. Деформация и изменения физических свойств коллекторов нефти и газа. -М.:Недра, 1986.-336с.

4

dt ¡i r &) p

а и

(1)

с начальными и граничными условиями: А(ЛО) = й(Г,0) = /(Г), 2

(2)

Здесь р1 - давление, Д* - коэффициент упругоемкости (индекс 1 соответствует трещинам, 2 - пористым блокам); рк - давление на контуре питания; /(г)-начальное распределение давления в пласте; гс— радиус скважины; Лк — радиус контура питания; Н- толщина пласта; /л- вязкость жидкости; а- параметр пе-

др.МПа

ТТЛ]-I I ИИЩ-1 I nuil]—I I I lllllj-1 I I lllllj

Ю-3 10'2 10'1 10° 101 10г Рис.1. КВД: к = const, Др - перепад давления на скважине

t,4ac

тшц 103

На рис.2 приводятся графики логарифмических произ-

водных изменения давления при к - к(р) и к = const. Численное дифференцирование дискретных значений изменения давления проводится с помощью метода, предложенного D.Bourdet2.

На графиках производных давления в билогарифмических

ретока жидкости между блоками и трещинами; 0(() — дебит.

На рис.1 приводится кривая восстановления давления (КВД) в полулогарифмических координатах при постоянной проницаемости трещин. В этом случае кривые восстановления и падения давления (КПД) совпадают и имеют два параллельных прямолинейных участка. При нелинейно-упругом режиме фильтрации параллельность этих участков на графиках изменения давления нарушается.

10-

1 -

0.1 -

0.01

tap/at, МПа

t,4ac

■птт,

ГТТТТИ]-1 I I 1|||||-1 I I lllllj-1 I MIIIIJ-1 I I I Illl|-г

10~3 1СГ2 10"' 10° ю' 10* 10: Рис.2. Логарифмические производные давления: 1- КПД и КВД: к = const; 2- КВД: к = к(р);.

3- КПД: к = к(р).

' Bourdet D. et. al. Interpreting well tests in fractured reservoirs // World Oil. - 1983. -P.77-87.

5

координатах, имеется типичный для трещиновато-пористого пласта изгиб, характеризующий переток жидкости между блоками и трещинами. При к = const асимптоты кривых производных давления параллельны оси абсцисс, при нелинейно-упругом режиме фильтрации асимптоты имеют наклон. Таким образом, несимметричность процессов изменения давления при остановке и пуске вертикальной скважины является диагностическим признаком нелинейно-упругого режима фильтрации. С увеличением перепада давления Ар несимметричность кривых восстановления и падения давления проявляется сильнее.

Далее рассматривается обратная задача определения фильтрационных параметров трещиновато-пористого пласта, эксплуатируемого вертикальной скважиной. В качестве исходной информации для решения обратной задачи используются кривые восстановления или падения давления. Задача состоит в определении коэффициента проницаемости трещин к(р,), исходя из минимума функционала

г

J=^{t)-pB(t))2dt, (3)

о

где ф(t) - наблюдаемое давление на скважине, рв (t) = p^rj)^ - решение

краевой задачи (1)-(2).

Численное решение обратной задачи (1)-(3) с учетом ограничений на искомую функцию, определяется из минимума функционала невязки (3):

inf J (к), (4)

keD '

где!) - множество допустимых функций, удовлетворяющих условиям: О <ктп<к<к^, к'р(р) > 0, к'рр{р) > 0 ,ре [р^,ртЛ (5)

Рт „ >/>„,„*. к. = const > 0.

г min 'ж шах ' nun ' max

Итерационный процесс для минимизации функционала (3) проводится с помощью метода сопряженных градиентов с проекцией на множество монотонных и выпуклых функций. Градиент функционала имеет вид

(yj,8k) = 2n f [I 1 Skrdrdt, где у/, - решение сопряженной задачи:

оI дг дг J

ßi%= --(^ - Щ\ге < г < Ät,0 <t <Т, ot ц

ц дг

Численное решение обратной задачи основывается на методе дескриптивной регуляризации , особенностью которого является учет априорной информации об искомом решении. Предполагается, что для р е [р„,_,, рт)

т = + Р РтЛ (К -к^), т = 1,...,М. Рт'Рт-1

Дискретным аналогом (5) является множество сеточных функций Е>: к = {кь...,кт,...км), кт = к(рт), определенных в узлах сетки

<°<г = {Рт'Ртш = Ро< Р\-< Рм = Рш^'Рш ~ Р,п-\ = О на отрезке [дгап,,ртах], и удовлетворяющих условиям:

Ъ<кта<кт<к^, т = 0,М, (6)

(и-^)^О, т = О,А/-1, (7)

ктА~кт _кт-кт\^ «г=уЙМ. (8)

Сходимость вычислительного алгоритма исследовалась на модельных задачах при различных начальных приближениях к0 и разбиениях о>а. Расчеты показали, что для достижения заданной точности £ = 1(Г6 требуется 15-20 итераций. Для проверки устойчивости предложенного алгоритма в исходные данные ф(0 вводились случайным образом погрешности в пределах 5=±0.05МПа, что соответствует погрешностям измерительных приборов.

На рис.3 а приводится приближенное решение обратной задачи при наличии погрешности входных данных. На рис.Зб приводятся приближенные решения без учета и с учетом условий на монотонность и выпуклость. Как видно на рис.Зб, учет априорной информации о структуре искомого коэффициента к=к(р) позволяет получить более качественные приближенные решения. В качестве точного решения была взята экспоненциальная зависимость проницаемости трещин от давления к(р) - к0е'я^рк~р) при = 0.1 мкм2 и Л = 0.1МПа'', ^=10МПа.

* Гольдман Н.Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. - М.: Изд-во МГУ, 1999.-294 с.

7

0.1-1 к(р), мкм2

0.09-

0.08-

0.07-

0.06 J

0.1 -i k(p), mkm2

0.09-

0.08-

0.07-

5.5

1

6.5

I

7.5

p, МПа ~1

0.06 J

I

5.5

-Г" 6.5

I

7.5

p, МПа

Рис.3. Модельная задача, а) (о)точное решение; б) (о) точное решение;

(а) приближенное решение (¿> = 0.05). приближенное решение ((5 = 0):

(Д) без учета условий (6)-(8); (□) с учетом (6)-(8).

На рис.4 приводятся результаты интерпретации КВД скважины N1.-140 с помощью предложенного алгоритма. Оценка проницаемости трещин по графоаналитическому методу А.Бана4 составляет ¿ = 0.21мкм2. Это значение согласуется с вычисленной зависимостью проницаемости трещин от давления (рис.4б).

10-

Др.Эр/ЭЫ МПа

10

0.24-,

0.2-

0.16-

0.12-

т-

t,4ac

0.08

k(p), мкм2

/

р, МПа

101

18

19

20

Г

16 17 Рис.4. Скважина №,-140. а) о- истинная, □- вычисленная б) • - вычисленная зависимость

кривая восстановления давления. проницаемости трещин от давления.

Далее в этой главе рассматривается задача оценки степени загрязнения (скин-эффект) призабойной зоны вертикальной скважины в трещиновато-пористом пласте. Причиной возникновения скин-эффекта являются фильтраци-

4 А.Бан и др. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкостей. -М.: Гостоптехиздат, 1962,- 271 с.

8

онные характеристики призабойной зоны, зачастую существенно отличающиеся от соответствующих свойств окружающего пласта. Загрязнение прилегающей к стволу скважины области пласта, приводящее к необратимому ухудшению фильтрационных свойств и значительным потерям пластовой энергии при движении флюидов из пласта в скважину, формируется при бурении скважины, цементировании, перфорации, освоении и эксплуатации.

Задача оценки состояния призабойной зоны сводится к задаче определения кусочно-постоянной функции проницаемости к{г) = {ks,rc < г < rs; k,rs < г < Rk},

исходя из минимума функционала (3), где рв (г) = pl (>v)| _ - решение краевой

задачи нестационарной фильтрации (1)-(2), когда проницаемость не зависит от давления. Здесь ^и к — проницаемости трещин призабойной и удаленной зон соответственно (рис.5).

На рис.6 приводятся диагностические графики при ухудшенной и улучшенной проницаемости призабойной зоны вертикальной скважины, эксплуатирующей трещиновато-пористый пласт. Скин-эффект определяется соотношением

i 1 \

S =

1-1

ьД

Величина 5 будет положительной, если проницаемость призабойной зоны меньше проницаемости внешней зоны и отрицательной в противном случае.

Др,5рIdlnt, МПа

Рис.5. Рис.6.

Модель кругового кусочно-неоднородного пласта. Влияние призабойной зоны на КВД.

1-призабойная зона, Н-удаленная зона; в трещиновато-пористом пласте

Г5 - радиус призабойной зоны. 1- кх = к {8=0); 1- кх>к (5<0):

3- к3< к

В случае загрязнения призабойной зоны начальный участок кривой производной давления лежит выше соответствующего участка графика производной

10 -а

1-

0.1 -

0.01

Ар,др/гм, МПа

для однородного пласта, и соответственно, ниже при улучшенном состоянии призабойной зоны (рис.6). Решение обратной задачи основывается на методе итерационной регуляризации. Градиенты функционала невязки имеют вид:

5 I1 дг дг о г.

™г

"ТТТТТТТ]-1111

1,час

I I 11Ш1|

> * дг дг

0 г.

10"' 10"' 10й 101 ю2

Рис.7. Скважина №4788.

истинная, ■- вычисленная КВД.

103

где - решение соответствую-

щей сопряженной задачи. Итерационный процесс для минимизации функционала невязки строится на основе градиентных методов.

На рис.7 представлен результат интерпретации кривой восстановления давления, снятой со скважины №4788 (ОАО «Татнефть»). Отрицательное значение скин-эффекта (5=-3.3) свидетельствует об образовании улучшенной призабойной зоны после проведения кислотной обработки скважины.

В последние годы при разработке нефтегазовых месторождений широко используются горизонтальные скважины. Процессы притока жидкости к горизонтальной скважине при восстановлении (падении) давления существенно отличаются от аналогичных процессов для вертикальных скважин и имеют более сложный характер, обусловленный увеличенной областью дренажа, влиянием ближайших границ - кровли и подошвы пласта.

дУ,

/

/ с

ВУ,

Рис.8. Схема ГС.

В третьей главе приводится постановка и метод решения коэффициентной обратной задачи, возникающей при интерпретации результатов гидродинамических исследований горизонтальных скважин.

Прямая задача нелинейно-упругого режима фильтрации жидкости к ГС в трещиновато-пористом пласте (рис.8) состоит в нахождении функций давлений р, = pXx,y,z,t) (i = 1,2), удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений в частных производных:

а М ^ (9)

при следующих начальных и граничных условиях:

pl(x,y,z,0) = p2(x,y,z,0) = pk, (10)

(*,й) Ц=0,дЦ=Л, (11)

(w.ñ))^ = q{x,y,z,t). (12)

Здесь w = - скорость фильтрации жидкости в трещинах, ñ - единич-

ный вектор нормали, Sc - поверхность ГС; dV - 8V] u3K2- внешняя граница области фильтрации V, q(x,y,zj)- приток жидкости, приходящийся на единицу поверхности ствола ГС при заданном дебите Q= jq(x,y,z,t)dcr. Предполагается, что давление по стволу скважины является постоянным.

Пласт, представляющий собой двухсвязную область фильтрации, покрывается сгущающейся к стволу ГС конечно-разностной сеткой. В результате дискретизации получается система нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений давления. Линеаризованная система алгебраических уравнений решается итерационными методами подпространств Крылова {GMRES, BiCG, BiCGSTAB, TFQMR и их модификаций) в комбинации с некоторыми методиками предобусловливания (Jacobi, ILU(k), SOR). Наиболее эффективной для рассматриваемой задачи оказался метод BiCGSTAB с предобу-словливателем ILU(O).

На рис.9 приводятся КВД, КПД и их производные давления при линейно-упругом и нелинейно-упругом режимах фильтрации жидкости к ГС в трещиновато-пористом пласте.

10 "з Др ,Эр/Э/л(, МПа

10 -з&р.дрШМ.МПа

0.1-

1 -

0.01

^час

тттттт^—гтттггг]—11.......—гттта|—гттттг^ ......^

10"* Ю-3 10"2 Ю-1 10° 10' 102 10® б)КВД

Ю-4 10л 10"2 10'' 10° 10' 102 10! ®)КПД.

Рис.9. КВД и КПД и их производные для ГС: 1 -к = сот1;2,3-к = к (р).

Как видно на рис.9, кривые производных восстановления и падения давлений при кг=к(р) отличаются от соответствующих кривых в случае линейно-упругого режима фильтрации (£=солЛ) и имеют несимметричный характер.

Обратная задача ставится следующим образом: требуется найти оценку коэффициента проницаемости к(р), исходя из минимума функционала (3), где

рй(/) = р^х,)/^,!)^ - решение задачи (9)-(12).

Решение обратной задачи строится на основе метода дескриптивной регуляризации. Выражение для вычисления градиента функционала-невязки имеет вид:

где р{- решение краевой задачи (9)-(12), решение соответствующей сопряженной задачи.

Вычислительный алгоритм тестировался на модельных задачах. Анализ полученных результатов показал, что предлагаемый алгоритм устойчив относительно возмущения входной информации, для достижения заданной точности

г = 1 (Г6 требуется 15-20 итераций.

На рис.10 приводятся приближенные решения коэффициентной обратной задачи без учета и с учетом условий на монотонность и выпуклость. Как видно на рис.Юб, учет априорной информации о монотонности и выпуклости искомого решения позволяет получить более качественные приближения. В качестве точного решения была взята экспоненциальная зависимость проницаемости трещин от давления.

т

(УАк), 8к) = ¡¡(Щ,Уу/,)8ЫУсА,

(13)

О V

Рис.10. Тестирование вычислительного алгоритма, а) б)

(+) точное решение; (+) точное решение;

(-) приближенное решение (о) приближенное решение (<5 = 0):

без учета условий (6)-(8) с учетом условий (6)-(8).

Далее приводятся результаты интерпретации кривой восстановления давления горизонтальной скважины №19875Г (ОАО «Татнефть»), На рис.11а приводятся реальная и вычисленная КВД в полулогарифмических координатах. На рис. 11 б представлена вычисленная зависимость s(p) = к(р) I р.. Изменение проницаемости составляет около 10% при перепаде давления 0.8МПа. Результаты интерпретации гидродинамических исследований подтверждают тот факт, что при малых депрессиях зависимость проницаемости от давления можно считать линейной.

• р, МПа

ТТЛ]

10Г"

гтЧ— 10"

t, час

ю'

s(p), мш^мПас

~i—'—г

64 6S

т

м

7.2

а) истинная, вычисленная КВД; б) ■ зависимость s(p)=k(p)/p Рис.11. ГС №19875.

Интерпретация данной КВД также была проведена в предположении, что проницаемость не зависит от давления (линейно-упругий режим фильтрации). Оценка для s = k! р составила 0.209мкм2/мПа-с, что согласуется с результатами интерпретации при к = к(р).

В заключение приводятся основные результаты диссертации и формулируются выводы.

Основные результаты и выводы

• На основе метода дескриптивной регуляризации разработаны вычислительные алгоритмы для решения коэффициентных обратных задач, возникающих при интерпретации результатов гидродинамических исследований вертикальных и горизонтальных скважин при нелинейно-упругом режиме фильтрации в трещиновато-пористых пластах.

• Создан вычислительный алгоритм для интерпретации кривых восстановления давления, снятых в вертикальных скважинах, который позволяет оценить проницаемость призабойной и удаленной зон на основе метода итерационной регуляризации.

• Путем апробирования регуляризирующих алгоритмов как на модельных задачах, так и при интерпретации фактических данных установлено, что при реальном уровне погрешностей входных данных предложенные алгоритмы дают оценки фильтрационных параметров с достаточной для практики точностью.

Перечень основных публикаций по теме диссертации

Научные статьи, опубликованные в гаданиях, рекомендованных ВАК:

1. Хайруллин М.Х., Абдуллин А.И., Морозов П.Е., Шамсиев М.Н. Численное решение коэффициентной обратной задачи для деформируемого трещиновато-пористого пласта // Математическое моделирование. 2008.Том 20, № 11. С.35-40.

Работы, опубликованные в других изданиях:

2. Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н., Морозов П.Е., Абдуллин А.И., Хисамов P.C., Ахметов Н.З. Оценка состояния призабойной зоны вертикальной скважины в трещиновато-пористом пласте // Нефтяное хозяйство. 2008. №11.С. 110-111.

3. Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н., Морозов П.Е., Абдуллин А.И. Интерпретация гидродинамических исследований скважин, вскрывших трещиновато - пористый пласт // Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений, 2007. № 1. С. 30-32.

4. Абдуллин А.И. Интерпретация результатов гидродинамических исследований скважин в трещиновато-пористом пласте с учетом зависимости фильтрационных параметров от давления // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, 1-3 ноября 2006.С. 34.

5. Абдуллин А.И., Морозов П.Е. Моделирование притока жидкости к горизонтальной скважине в трещиновато-пористом пласте // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан. Мат. Об-ва, 2006. Т. 33. С. 75-83.

6. Морозов П.Е., Абдуллин А.И. Моделирование нестационарной фильтрации жидкости к горизонтальной скважине в анизотропном трещиновато-пористом пласте // Материалы VII Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". Казань, 21-24 сентября, 2007. С. 208-212.

7. Абдуллин А.И. Определение коэффициента проницаемости трещин при нелинейно-упругом режиме фильтрации в трещиновато-пористом пласте// VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 27-29 ноября 2007.С. 26-27.

8. Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н., Морозов П.Е„ Абдуллин А.И. Интерпретация гидродинамических исследований скважин в деформируемом трещиновато-пористом пласте // Материалы Международной научно-практической конференции «Повышение нефтеотдачи пластов на поздней стадии разработки нефтяных месторождений и комплексное освоение высоковязких нефтей и природных битумов». Казань, 2007. С. 609-613.

9. Абдуллин.АИ. Нелинейно-упругий режим фильтрации в трещиновато-пористом пласте // Материалы докладов VI Школы-семинара молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова, Казань 2008г. С. 326328.

10. Абдуллин А.И. Численные методы решения обратных задач для насыщенных трещиновато-пористых сред // IV Всероссийская школа-конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2008 г.). С.23-24.

11. Абдуллин А.И. Численное решение обратной задачи трехмерной

фильтрации в деформируемом трещиновато-пористом пласте // IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Кемерово, 2008. С. 29-30.

12.Абдуллин А.И. Численное решение обратной задачи нестационарной фильтрации в деформируемой трещиновато-пористой среде // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. Казань: Изд-во Казан. Университета, 2008. Т. 37. С. 5-7.

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии издательства Казанского государственного университета Тираж 100 экз. Заказ 9/8

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 233-73-59, 292-65-60

Введение

Глава 1. Гидродинамические исследования скважин и пластов

1.1. Методы исследования вертикальных скважин

1.2. Методы исследования горизонтальных скважин

1.3. Гидродинамические исследования скважин с учетом зависимости фильтрационных параметров пласта от давления

1.4. Оценка степени загрязнения околоскважинной зоны пласта

1.5. Моделирование процесса фильтрации в трещиновато-пористой среде

1.6. Оценка фильтрационно-емкостных параметров нефтегазоносных пластов на основе методов регуляризации

Глава 2. Оценка фильтрационных параметров трещиновато-пористого пласта по результатам гидродинамических исследований вертикальных скважин

2.1. Зависимость фильтрационных параматеров пласта от давления 35 2.1.1 .Численные результаты

2.2. Интерпретация результатов гидродинамических исследований скважин в зонально-неоднородном трещиновато-пористом пласте 54 2.2.1 .Численные результаты

Глава 3. Интерпретация результатов нестационарных гидродинамических исследований горизонтальных скважин

3.1. Численное моделирование притока флюида к горизонтальной скважине

3.1.1 Анализ кривых изменения давления и их производных

3.2. Постановка и решение обратной задачи

3.3. Численные результаты

Актуальность темы

Важным этапом в исследовании математических моделей подземной гидромеханики является решение обратных задач. Математическая постановка многих обратных задач состоит в определении неизвестной функции, которая либо является коэффициентом дифференциального уравнения, либо входит в краевые или начальные условия по дополнительной информации о решении рассматриваемой задачи. Методы решения обратных задач позволяют оценивать состоятельность рассматриваемых моделей и определять их неизвестные характеристики по геолого-промысловой информации, поступающей в процессе эксплуатации месторождения. Проблемы, связанные с интерпретацией на ЭВМ геолого-промысловой информации, приводят к некорректным математическим задачам. Решение некорректно поставленных задач требует применения специально разработанных регуляризирующих алгоритмов.

Отличительной чертой обратных задач подземной гидромеханики, связанных с исследованием математических моделей реальных процессов фильтрации в пористых средах, является то, что характер дополнительной информации определяется возможностями промыслового эксперимента. Другим фактором, который необходимо учитывать при их решении, является наличие погрешностей в экспериментальных данных.

В диссертационной работе рассматриваются задачи определения фильтрационных параметров трещиновато-пористых сред на основе методов регуляризации. В качестве исходной информации для решения обратных задач используются результаты нестационарных гидродинамических исследований вертикальных (ВС) и горизонтальных скважин (ГС).

Цель работы

• Разработка вычислительных алгоритмов для интерпретации результатов нестационарных гидродинамических исследований вертикальных и горизонтальных скважин в трещиновато-пористых пластах.

Основные задачи исследования

• Численное решение коэффициентных обратных задач фильтрации в трещиновато-пористых средах.

• Разработка и программная реализация алгоритмов для интерпретации результатов гидродинамических исследований ВС и ГС на нестационарных режимах фильтрации.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

1. На основе методов регуляризации разработаны вычислительные алгоритмы для интерпретации результатов гидродинамических исследований вертикальных и горизонтальных скважин при нелинейно-упругом режиме фильтрации.

2. Создан вычислительный алгоритм для оценки состояния призабой-ной зоны вертикальной скважины в трещиновато-пористом пласте по результатам гидродинамических исследований.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных исходных математических моделей фильтрации, общетеоретических концепций, касающихся некорректных задач, проведением тестовых расчетов и хорошим согласованием с результатами интерпретации кривых изменения давления графоаналитическими методами.

Практическая ценность

1. На основе метода дескриптивной регуляризации построены вычислительные алгоритмы, которые позволяют оценить зависимость фильтрационных параметров трещиновато-пористого пласта от давления.

2. Оценка скин-эффекта позволяет установить необходимость проведения обработки призабойной зоны и оценить ее эффективность.

3. Предложенный диагностический признак может использоваться для идентификации нелинейно-упругого режима фильтрации в трещиновато-пористых средах.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработаны вычислительные алгоритмы на основе методов регуляризации для интерпретации результатов нестационарных гидродинамических исследований вертикальных скважин, эксплуатирующих трещиновато-пористые пласты.

2. Создан вычислительный алгоритм на основе метода дескриптивной регуляризации для определения зависимости проницаемости трещин от давления при фильтрации жидкости к ГС в трещиновато-пористых средах.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

Итоговых научных конференциях Казанского научного центра РАН, секция «Механика и машиностроение» (Казань, 2008-2009 гг.),

VI Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики» (Казань, 2006 г.),

VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006 г.), VII Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2007 г.),

Международной научно - практической конференции «Повышение нефтеотдачи пластов на поздней стадии разработки нефтяных месторождений и комплексное освоение высоковязких нефтей и природных битумов» (Казань, 2007 г.),

VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007 г.),

VI школе-семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008 г.),

IV Всероссийской школе-конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2008 г.),

VII молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения-2008" (Казань, 2008 г.),

IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации, включая 5 таблиц и 52 рисунка, составляет 108 страниц машинописного текста. Список использованной литературы включает 130 наименований отечественных и зарубежных авторов.

Заключение

1. На основе метода дескриптивной регуляризации разработаны вычислительные алгоритмы для решения коэффициентных обратных задач, возникающих при интерпретации результатов гидродинамических исследований вертикальных и горизонтальных скважин при нелинейно-упругом режиме фильтрации в трещиновато-пористых пластах.

2. Создан вычислительный алгоритм для интерпретации кривых восстановления давления, снятых в вертикальных скважинах, который позволяет оценить проницаемость призабойной и удаленной зон на основе метода итерационной регуляризации.

3. Путем апробирования регуляризирующих алгоритмов как на модельных задачах, так и при интерпретации фактических данных установлено, что при реальном уровне погрешностей входных данных предложенные алгоритмы дают оценки фильтрационных параметров с достаточной для практики точностью.

1. Абдуллин А.И., Морозов П.Е. Моделирование притока жидкости к горизонтальной скважине в трещиновато-пористом пласте // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан. Мат. Об-ва, 2006. Т. 33. С. 75 83.

2. Абдуллин.АИ. Нелинейно-упругий режим фильтрации в трещиновато-пористом пласте.//Материалы докладов VI Школы-семинара молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова, Казань 2008г. С. 326-328.

3. Абдуллин А.И. Численное решение обратной задачи трехмерной фильтрации в деформируемом трещиновато-пористом пласте.// IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Кемерово, 2008. С. 29-30.

4. Абдуллин А.И. Численное решение обратной задачи нестационарной фильтрации в деформируемой трещиновато-пористой среде.// Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. Казань: Изд-во Казан.

5. Университета, 2008. Т. 37. С. 5-7.

6. Алиев З.С., Шеремет В.В. Определение производительности горизонтальных скважин, вскрывших газовые и газонефтяные пласты. М.: Недра, 1995.- 131 с.

7. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. -М.: Недра, 1982.-407 с.

8. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. - 286 с.

9. Ю.Алифанов О.М., Вабищевич П.Н., Михайлов В.В. и др. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем. М.: Логос, 2001.-400 с.

10. П.Афанасьева А.В., Горбунов А.Т., Шустеф И.Н. Заводнение нефтяных месторождений при высоких давлениях нагнетания. — М.: Недра, 1975. — 215 с.

11. Бан А., Богомолова А.Ф., Максимов В.А. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкостей. М.: Гостоптехиздат, 1962. - 271 с.

12. Баренблатт Г.И., Борисов Ю.П., Каменецкий С.Г., Крылов А.П. Об определении параметров нефтяного пласта по данным о восстановлении давления в остановленных скважинах. // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1957.-№11.- С.554-564.

13. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкости и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. - 211 с.

14. Баренблатт Г.И., Максимов В.А. О влиянии неоднородностей на определение параметров нефтяного пласта по данным нестационарного притока жидкости к скважинам. //Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1958. №7. - С. 852-864.

15. Басниев К.С. Разработка месторождений природных газов, содержащих неуглеводородные компоненты. -М.: Недра, 1986.-183 с.

16. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Каневская Р.Д., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006.- 488 с.

17. Басович И.Б. Определение переменной проницаемости пласта в случае радиальной симметрии по опытным откачкам из центральной скважины. // Прикл. мат. и мех. 1974, т.З, №3. - С.514-522.

18. Березин. И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматиз, т.2, 1960.-620 с.

19. Бойко B.C. Разработка и эксплуатация нефтяных месторождений. М.: Недра, 1990.-432 с.

20. Борисов Ю.П., Пилатовский В.П., Табаков В.П. Разработка нефтяных месторождений горизонтальными и многозабойными скважинами. М.: Недра,1964. - 350 с.

21. Бузинов С.Н., Умрихин И.Д. Гидродинамические методы исследования скважин и пластов. М.: Недра, 1973. — 246 с.

22. Бузинов С.Н., Григорьев А.В., Егурцов Н.А. Исследование горизонтальных скважин на неустановившихся режимах. //Тезисы 3-го Международного семинара: Горизонтальные скважины. М.: 2000. - С.25.

23. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974. -230 с.

24. Бухгейм А.Л., Клибанов М.В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач. // Докл. АН СССР. 1981. Т.260, №2. С.269-272.

25. Вабищевич П.Н., Денисенко А.Ю. Численное решение коэффициентной обратной задачи для нелинейного параболического уравне-ния.//Математическое моделирование, т.1, №8, 1989. -С.116-126.

26. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1980.-519 с.

27. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981.-400 с.

28. Вахитов Г.Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеводоносных пластов методом конечных разностей. М.: Гостоптехиздат, 1963. — 216 с.

29. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984.- 111с.

30. Голубев Г.В., Данилаев П.Г., Тумашев Г.Г. Определение гидропровод-ности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. — Казань, КГУ, 1978.- 176 с.

31. Голф Рахт Т.Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки трещиноватых коллекторов. - М.: Недра, 1986. - 608 с.

32. Гольдман H.JI. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. -М.:Изд-во МГУ, 1999. 294с.

33. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978. - 335с.

34. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: Изд-во Казанского математического общества, изд-во УНИПРЕСС, 1998.-127с.

35. Дахнов В.Н. Интерпретация результатов геофизических исследований разрезов скважин. М.: Гостоптехиздат, 1962. - 547 с.

36. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. -206 с.

37. Дияшев Р.Н., Костерин А.В., Скворцов Э.В. Фильтрация жидкости в деформируемых нефтяных пластах. Казань: Издательство Казанского математического общества, 1999. -238 с

38. Дияшев Р.Н. Некоторые принципиальные вопросы оценки эффективности применения горизонтальных скважин. // Материалы семинарадискуссии: Разработка нефтяных месторождений горизонтальными скважинами. Альметьевск, 1996. С.72-81.

39. Добрынин В.М. Деформация и изменения физических свойств коллекторов нефти и газа. М.: Недра, 1970. - 289с.

40. Ентов В.М. Об исследовании скважин на нестационарный приток при нелинейном законе фильтрации. М.: Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и маш., №6, 1964. - С. 160-164

41. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.

42. Коллинз Р. Течение жидкости через пористые материалы. М.: Мир, 1964.-350 с.

43. Коротаев Ю.П. Избранные труды. -М.: Недра, 1996. -Т.1. -301 с.

44. Котяхов Ф.И. Основы физики нефтяного пласта. М.: Гостоптехиздат, 1956.-367 с.

45. Кричлоу Г.Б. Современная разработка нефтяных месторождений. Проблемы моделирования. М.: Недра, 1979. - 303 с.

46. Крылов А.П., Баренблатт Г.И. Об упруго-пластическом режиме фильтрации. М.: Изв. АН СССР, ОТН, № 2, 1955. 30с.

47. Кульпин Л.Г., Мясников Ю.А. Гидродинамические методы исследования нефтегазоводоносных пластов. М.: Недра, 1974. - 200 с.

48. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П., Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 286 с.

49. Лапин А.В. Итерационные методы решения сеточных вариационных неравенств — Казань: Издательство Казанск. гос. ун-та, 2008.-132 с.

50. Лейбензон Л.С. Подземная гидрогазодинамика. T.III. М.-Л.: Гостех-издат, 1947.- 184 с.

51. Лещий К.П., Мончак Л.С., Писоцкий И.И. Влияние горного давления на проницаемость пород Долинского месторождения. "Новости нефтяной техники". Сер. "Нефтепромысловое дело", №2, 1962. -С.27-29.

52. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов нефтяных месторождений. М.: Наука, 1976. - 164 с.

53. Маскет М. Течение однородной жидкости в пористой среде. М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949. - 628 с.

54. Мешков В.М., Нестеренко М.Г., Ледяев Е.А. Анализ технологий исследования скважин с горизонтальными стволами // Нефтяное хозяйство. — 2001. —№9. — с.93-94.

55. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н. Этюды о моделировании сложных систем нефтедобычи. Нелинейность, неравновесность, неоднородность. -Уфа: Гилем, 1999. -464 с.

56. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.-352 с.

57. Молокович Ю.М., Марков А.И., Давлетшин А.А., Куштанова Г.Г. Пье-зометрия окрестности скважин. Теоретические основы. Казань, ДАС, 2000. - 203 с.

58. Морозов В.А. Некоторые особенности численного решения интегральных уравнений методом дескриптивной ре1уляризации. В кн.: Численный анализ на ФОРТРАНе. Методы и алгоритмы. М.: Изд-во МГУ, 1979. -С.41-49.

59. Морозов В.А., Гольдман H.JL, Самарин М.К. Метод дескриптивной регуляризации и качество приближенных решений.// ИФЖ, т.ЗЗ, №6, 1977. -С.1117-1124.

60. Морозов В.А., Гольдман H.JI., Малышев В.А. Метод дескриптивной регуляризации в обратных задачах.// ИФЖ, т.65, №6, 1993. -С.695-702.

61. Муслимов Р.Х., Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н., Гайнетдинов. P.P., Фархуллин Р.Г. Интерпретация кривой восстановления давления на основе теории регуляризации. // Нефтяное хозяйство. 1999. — № 11. — С.19-20.

62. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. -М: Недра, 1970. 335 с.

63. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996.- 448с.

64. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. — М.: Наука, 1977. 664 с.

65. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1983. 616 с.

66. Самарский А.А., Николаев С.Е. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-352 с.

67. Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений. Под ред. Гиматудинова Ш.К. -М.: Недра, 1983.-456 с.

68. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1990. 230 с.

69. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-287 с.

70. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. - 230 с.

71. Форсайт Д.Ж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. - 166 с.

72. Хайруллин М.Х., Хисамов Р.С., Шамсиев М.Н., Фархуллин Р.Г. Интерпретация результатов гидродинамических исследований скважин методами регуляризации. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. -172 с.

73. Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н., Морозов П.Е., Абдуллин А.И. Интерпретация гидродинамических исследований скважин, вскрывших трещиновато — пористый пласт // Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений, 2007. №1. — С. 30- 32.

74. Хайруллин М.Х., Абдуллин А.И., Морозов П.Е., Шамсиев М.Н. Численное решение коэффициентной обратной задачи для деформируемого трещиновато-пористого пласта.// Математическое моделирование. 2008.Том 20, № 11. С.35-40.

75. Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н., Морозов П.Е., Абдуллин А.И., Хисамов Р.С., Ахметов Н.З.Оценка состояния призабойной зоны вертикальной скважины в трещиновато-пористом пласте.// Нефтяное хозяйство. 2008. №11.-С. 110-111.

76. Хисамов Р.С., Сулейманов Э.И., Фархуллин Р. Г., Никашев О.А., Гу-байдуллин А.А., Ишкаев Р.К., Хусаинов В.М. Гидродинамические исследования скважин и методы обработки результатов измерений. М.:1. ВНИИОЭНГ, 1999. 226 с.

77. Чарный И.А. Подземная гидромеханика. — М.: Гостоптехиздат, 1963. — 396 с.

78. Чернов Б.С., Базлов М.Н., Жуков А.И. Гидродинамические методы исследования скважин. М.: Гостехиздат, 1960. - 319 с.

79. Черных В.А. Научные основы нестационарных гидродинамических исследований горизонтальных газовых скважин и математические модели пласта, дренируемого системой горизонтальных скважин. — М.: ВНИИ-ГАЗ, 1997.-58 с.

80. Шагиев Р.Г. Исследование скважин по КВД.- М.: Наука, 1998. 304 с.

81. Штингелев Р.С., Васильева B.JI. и др. Гидрогеодинамические расчеты на ЭВМ: Учебное пособие под редакцией Штингелева. — М., Издательство МГУ 1994.-335 с.

82. Щелкачев В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. М.: Гостоптехиздат, 1959. - 467 с.

83. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949. - 524 с.

84. Ambahstha А.К., Zhang M.Y. Iterative and numerical solution for pressure-transient analysis of stress-sensitive reservoirs and aquifers // Computers and Geosciences. 1996, Vol. 22, №6. -P. 601-606.

85. Bourdet D., Ayoub J.A., Whittle T.M, Pirard Y.M. and Kniazeff V. Interpreting well tests in fractured reservoirs.// World Oil. 1983. -P.77-87.

86. Bourdet D., Alagoa A.,. Ayoub J.A. and Pirard Y.M. New type curves aid analysis of fissured zone well tests.// World Oil. 1984. -P.l 11-124.

87. Cao J., Lay J.-H. Numerical experiments of some Krylov subspace methods for black oil model // Computers and Mathematics with Applications, 2002, №44/-P. 125-141.

88. Chavent G. Estimation of functions of a dependent variable. // Banach center publications. Mathematical control theory, 1976, v.l. -P.55-64.

89. Chen W.H., Gavalas G.R., Seinfeld J.H., Wasserman M.L., A new algorithm for automatic history matching // SPE FE, 1974, V.14, №6. -P. 593608.

90. Chen Z.X., Transient flow of slightly compressible fluids through double-porosity, double-permeability systems. // Transport in Porous Media 4 (1989).-P. 147-184.

91. Connon J.R., Duchatean P. An inverse problem for a nonlinear diffusion equations // SIAM J. Appl. Math., 1980, v.39, №2. -P.272-289.

92. Daviau F. et al. Pressure Analysis for Horizontal Wells. SPE Form. Eval. (December 1988). -P. 716-424.

93. Dikken B.J. Pressure drop in horizontal well and its effect on production performance // Journal of Petroleum Technology 1990, v.42, n.ll. -P. 14261433.

94. Deruyck В., Ehlig-Economides C., Joseph J. Testing Design and Analysis.// Oilfield Review. -1992. -P.28-45.

95. Ehlig-Economides C. Use of the Pressure Derivative for Diagnosing Pressure-Transient Behavior.// SPE J. -1988. -P. 1280-1282.

96. Engler Т., Tiab D. Analysis of pressure and pressure derivative without type-curve matching, 5. Horizontal wells test in naturally fractured reservoirs. J. of Petrol. Sc. and Eng., vol.15, 1996.-P. 139-151.

97. Goode P.A., Thambynaygan R.K.M. Pressure drawdown and buildup analysis of horizontal wells in anisotropic media // SPE FE, 1987, Dec. -P. 683 -699.

98. Joshi S.D. Horizontal well technology. PenWell publ. сотр., 1991. -381 p.

99. Kravaris G., Seinfeld J.H. Identification of parameters in distributed parameter system by regularization. // SIAM J. Control and Optimization, 1985, v.23, №2. —P. 217-241.

100. Kuchuk F.J., Goode P.A., Brice B.W. et al. Pressure transient analysis and inflow performance for horizontal wells // JPT, 1990, Aug. -P. 974-1031.

101. Kuchuk F.J. et al. Pressure transient behavior horizontal wells with and without gas cap or aquifer // SPE FE, 1991, Mar. -P. 86-94.

102. Kuchuk F.J., Lenn C., Hook P., Fjerstad P. Performance evaluation of horizontal wells // SPE 39749, 1998. -P. 231-243.

103. Lapin A. and Lapin S. Identification of nonlinear coefficient in a transport equation. // Lobachevskii Journal of Mathematics. Vol. 14, 2004.-P. 69-84

104. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation with nonsquare grid blocks and anisotropic permeability // SPE J., 1983, June. -P. 531-543.

105. Raghavan R., Scorer D.T., Miller F.G. An investigation by numerical methods of the effect of pressure-dependent rock and fluid properties // SPE J. 1972.-P. 267-276.

106. Rosa A.J., Carvalho R.S. A mathematical model for pressure evaluation in an infinite-conductivity horizontal well. SPE Form. Eval. (December 1989). -P.559-566.

107. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. PWS Publishing, Boston, 2000 447 p.

108. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAMS J. Sci. Comput., 1986, №7. -P. 856-869.

109. VanderVorst H.A. Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Comput., 1992, №12.-P. 631-644.

110. Satish Balay and Kris Buschelman and William D. Gropp and Dinesh Kau-shik and Matthew G. Knepley and Lois Curfman Mclnnes and Barry F. Smith and Hong Zhang. Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computation. http://www.mcs.anl.gov/petsc, 2001.

111. Stehfest H. Algorithm 368, numerical inversion of Laplace transforms. Communications of the ACM. 1970. V.13 №1. p. 47-49.

112. Van Everdingen A.F., Hurst. W. The application of the Laplace transformation to flow problems in reservoirs.// «Petroleum Transactions», AIME, December 1949, p.p 305-324.

113. Wan J., Penmatcha V.R., Arabi S., Aziz K. Effects of grid systems on predicting horizontal well productivity // SPE 46228, 1998.

114. Warren J.E., Root P.J. The behavior of naturally fractured reservoir. // SPE J. 1963. Sept. 245-255.

115. Wu Y.-S., Pruess K. Integral solutions for transient fluid flow through a porous medium with pressure-dependent permeability // Int. J. Rock Mech. and Mining Sci., 2000, №37, p. 51-61.