автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные и аналитические методы исследования задачи рассеяния на метрических графах

404604123

На правах рукописи

Дедок Василий Александрович

ЧИСЛЕННЫЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ НА МЕТРИЧЕСКИХ ГРАФАХ

05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 ИЮН 2010

Томск 2010

004604123

Работа выполнена в лаборатории волновых процессов Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бондаренко Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кистенев Юрий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Шаповалов Александр Васильевич

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 24 июня 2010 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корп. 2, ауд. 102.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью организации, просим направлять по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ученому секретарю ТГУ Буровой Н.Ю.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 20 мая 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.08 доктор технических наук, профессор

А.В. Скворцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Возникновение интереса к дифференциальным задачам на графах is первую очередь связано с возможными практическими применениями. Так, одна из наиболее простых математической моделей молекулы дастся обыкновенным дифференциальным оператором на графе, изображающем молекулу, с самосопряженными условиями в вершинах графа. Такой подход применялся в работах Б.С. Павлова, М.Д. Фаддеева, Н.И. Герасименко. Рассматриваемая ими модель рассматрив&тась при расчете электронных колебаний сложной молекулы в рамках модели свободных электронов. Расширение модели путем присоединения к компактной части графа бесконечных лучей, позволяет получить гибкую математическую конструкцию, которая, будучи одномерной, воспроизводит свойства многомерных объектов. К. Rudenberg и C.W. Scherr эффективно использовали данную модель при проведении численных экспериментов. Ю.В. Мельниковым и B.C. Павловым рассматривалось возможное применение задачи рассеяния на графах в проектировании микроэлектронных устройств. Применимость данной модели к физическим задачам исследования распространения волн в тонких структурах, мезоскопических средах, задачах акустики, оптики, сверхпроводимости исследовали P. Kuchment, V. Adamyan, Е. Akkermans, A. Comtet, J. Desbois, G. Montambaux, C. Texier, S. Alexander, P. Exner, A. Figotin, Т. Kottos.

Обратные задачи для дифференциальных уравнения впервые рассматривал М. К ас в классической работе о восстановлении формы барабана. В дачь-нейшем, к этой теме не раз обращались В. Gutkin, U. Sniilanski, P. Kurasov, F. Stenberg. Однако получить точные аналитические результаты оказывается возможным только и ряде частных случаев. Исследования, связанные с получением аналога уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко в ряде некоторых частных случаях простых графов связаны с именами следующих ученых: В.А. Марченко, I. Trooshin, К. Mochizuki. Однако их результаты могут быть применены для конечного набора частных случаев.

Рассматриваемая модель оказалась очень интересна и с теоретической точки зрения, J.-P. Roth, Н.Р. МсКеал, I.M. Singer, R. Carlson исследовали спектральные свойства оператора, С.П. Новиковым рассматривался дискретный оператор Шредингера на графах и связь этого объекта с симплек-тической геометрией.

Исследования по тематике диссертационной работы связаны с изучением сред, физическая структура которых обладает свойством масштабной инвариантности или наличием линейных размеров всех порядков. В частности, материалы, мезоскопическая структура характеризуется свойством масштабной инвариантности 5-10 порядков, обладают уникальными физи-

носкими свойствами, обусловленные наличием внутреннего самоподобия. В связи с этим особенно актуальной становится задача построения математических моделей данных сред, а так же достоверной проверки адекватности данных моделей.

Как было уже замечено, прямое; применение аналитических методов для исследования этих сред на мезоуровпе сопряжено с высокой сложностью возникающих задач, что приводит к необходимости разработки эффективных численных алгоритмов или конструктивных аналитических методов, служащими основой для численного изучения свойств моделей.

Цель работы заключается в разработке методов построения аналитических решений прямых и обратных задач для уравнения Шредипгера на метрических графах произвольной структуры, а так же численном исследовании асимптотических свойств решений этих задач.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать метод вычисления спектральных данных и данных рассеяния для уравнения Шредипгера на компактных и некомпактных графах при операциях составления сложных графов из более простых подграфов.

2. Исследовать применимость разработанного метода для вычисления данных рассеяния для уравнения Шредипгера fia последовательных итерациях самоподобного графа Серпинского.

3. Разработать конструктивный алгоритм для решения задачи оптической томографии с точечными неоднородностями соответствующей восстановлению метрической и топологической структуры полного графа по данным рассеяния для оператора Шредипгера на нем. Проанализировать взаимное соответствия моделей рассеяния и квантового случайного блуждания.

4. Исследовать характеристики антирезонансиых и локализованных состояний методом компьютерного моделирования на последовательных итерациях самоподобных графов (например графа Серпинского).

5. Исследовать асимптотические свойства вероятности возвращения частицы, представляющую собой меру локализации, в модели квантового случайного блуждания на решетках разных размерностей с помощью компьютерного моделирования.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы математической физики, дифференциальных уравнений, математического моделирования.

Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:

1. Впервые разработан метод спектральной хирургии квантовых графов, состоящий в описании преобразований данных рассеяния и спектральных данных при операциях композиции. Данный метод отличается от существующих "правил Кирхгофа для квантовых графов" отсутствием необходимости определения сложной операции произведения по ребрам, а так же возможностью описания преобразования спектра, а не только данных рассеяния. Разработанный метод позволил впервые получить нелинейное соотношение на коэффициенты матрицы рассеяния для оператора Шредингера на последовательных итерациях конечно-разветвленного графа Серпинского.

2. На основе формулы следа для уравнения Лапласа на компактном графе доказана теорема разложения по путям для данных рассеяния оператора Шредингера на некомпактых графах. Данный результат позволил решить задачу оптической томографии с точечными неоднородностя-ми, соответствующую восстановлению метрической и топологической структуры полного графа по данным рассеяния для оператора Шредингера на нем. Вторым применением этого результата явилось доказательство взаимного соответствия моделей задачи рассеяния и квантового случайного блуждания.

3. С помощью компьютерного моделирования процесса рассеяния на самоподобном графе Серпинского, основанного на разработанном методе спектральной хирургии, были описаны характеристики антирезонансных состояний. В отличие от аналитического подхода, метод прямого моделирования позволил проанализировать свойства коэффициентов матрицы рассеяния на итерациях существенно большего порядка графа Серпинского, представляющего большой интерес, как одной из математической модали мезоуровня. Результаты моделирования позволили сформулировать гипотезу локализации для конечно-разветвленного графа Серпинского.

4. Методом математического моделирования были проанализированы асимптотические свойства вероятности возвращения частицы в модели квантового случайного блуждания на решетках разных размерностей. Численно предсказан и аналитически подтвержден квантовый аналог теоремы Пойа о возвратности квантового случайного блуждания на прямой. Результат моделирования на решетках больших размерностей для различных матриц Адамара позволил сформулировать ряд гипо-

тез, описывающих асимптотические свойства вероятности возвращения, представляющую собой меру локализации.

Теоретическая значимость работы. В работе разработана техника спектральной хирургии квантовых графов, впервые позволившая конструктивно подойти к задаче вычисления данных рассеяния на объектах произвольной сложности. Это позволит получить решения принципиально нового класса задач па объектах с самоподобной структурой.

Практическая ценность работы. Разработанный метод позволяет1 существенно упростить численные вычисления данных рассеяния путем замещения части вычислений аналитическими результатами, на порядок увеличить сложность исследуемых объектов при моделировании сред с новыми характеристиками.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждена строгим применением методов теории рассеяния и дифференциального исчисления, а так же сравнением результатов решения задач методами прямого численного моделирования и аналитическими методами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Получены аналитические соотношения, описывающие преобразование спектральных данных и дагшых рассеяния для уравнения Шрединге-ра на компактных и некомпактных графах при операциях составления сложных графов из более простых подграфов. На основе полученных соотношений получено реиормализационное соотношение па коэффициенты матрицы рассеяния для оператора Шредингера для последовательных итераций конечно-разветвленного графа Серпинского.

2. Доказана теорема разложения по путям для данных рассеяния оператора Шредингера на нскомпактых графах. На ее основе разработан конструктивный алгоритм решения задачи оптической томографии с точечными неоднородностями соответствующей восстановлению метрической и топологической структуры полного графа по данным рассеяния для оператора Шредингера на нем. Доказано взаимное соответствие моделей рассеяния на графах и квантового случайного блуждания.

3. Методом компьютерного моделирования процесса рассеяния на последующих итерациях самоподобного графа Серпинского описаны характеристики антирезонансных состояний. Сформулирована гипотеза локализации для конечно-разветвленного графа Серпинского.

4. Методом компьютерного моделирования исследованы асимптотические свойства вероятности возвращения частицы в модели квантового случайного блуждания на решетках разных размерностей. Численно пред-

сказан н аналитически подтвержден квантовый аналог теоремы Пойа о возвратности квантового случайного блуждания на прямой. Результат моделирования на решетках больших размерностей для различных матриц Лдамара позволил сформулировать ряд гипотез, описывающих асимптотические свойства вероятности возвращения, представляющую собой меру локализации.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались в 2003-2009г. в рамках семинаров чл.-корр. В.Г. Романова, чл.-корр. И.А. Тайманова, академика А.А. Боров-кова и проф. A.M. Блохина в Институте математики им. C.JI. Соболева СО РАН, а также на следующих конференциях:

1. На международной конференции "The 7th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology. KORUS-2003". (Ulsan, Republic Korea, 2003);

2. На конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". (Екатеринбург, Россия, 2004);

3. На международной конференции "The 8th Korea-Rusaian International Symposium on Science and Technology. KORUS-2004". (Tomsk. Russia, 2004);

4. На всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых. (Новосибирск, Россия, 2004);

5. На международной конференции "The 9th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology. KORUS-2005". (Novosibirsk, Russia, 2005);

6. На международной конференции АМАДЕ. (Минск, Беларусь, 2006);

7. На международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" посвященной 75-летию академика М.М. Лаврентьева. (Новосибирск, Россия, 2007);

8. На региональной научной конференции молодых ученых "Наука. Техника. Инновации." (Новосибирск, 2002, 2003гг.);

9. На всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука. Техника. Инновации." (Новосибирск, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 1 работа в журнале из перечня ВАК.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 108 наименований. Общий объем диссертации составляет 136 страниц, в том числе основной текст 129 страницы.

Во введении обоснована актуатьность работы, сформулирована цель и задачи диссертационного исследования, изложена его научная новизна, раскрыты теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов, кратко излагается содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена задаче рассеяния на геометрических графах: прямой спектральной задаче и задаче рассеяния, обратной задаче рассеяния и обратной задачей оптической томографии.

Рассматриваются произвольные конечные графы и семейство операторов с каждым направленным ребром Ъ связываются отрезки [0,4] или полубесконечные лучи [0, оо)

Унитарность оператора рассеяния обеспечивают граничные условия вида

a) ф непрерывна в узлах графа

b) сумма производных по всем исходящим дугам в каждой вершине пропорциональна значению волновой функции в этой вершине

В зависимости от типа рассматриваемой проблемы рассматрваются ком-панктные или некомпактные графы. На компактном графе (3 задачу о спектре оператора Ьй называют задачей Штурма-Ли-увилля. Для некомпактного графа определяется матрица рассеяния и рассматривается задача рассеяния.

Основные результаты главы представлены в разделах 1.2 и 1.3, где рассматриваются теорема разложения и обратные задачи для задачи рассеяния.

Рассмотрим некомпактный граф б и задачу рассеяния с нулевым потенциалом на ребрах. Решение на каждом ребре может быть представлено как суперпозиция волн распространяющихся в противоположных направлениях

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

в

ф(х) = Ae~ikx + Beikx.

Обозначим Агь'а, В"1' амплитуды волновой функции на ребрах компактной части, Afxt, соответственно на бесконечных ребрах. Рассматривая каждое внутреннее ребро как пару ребер с противоположными ориентацня-мн, введем 2В х L компонентные векторы

Для компактной части справедливо соотношение

Aint = RBint.

далее

ßinl _ QinlAint ^ QTAexi^

R-lAinl - QinlAint = QTAtxl,

Aint = _ Qintyi qT¿ext^

Btxi - (gext + Q (д-1 - <3int)-1 Aext.

Тем самым мы получили представление для матрицы рассеяния S, связывающую входящие и исходящие амплитуды

Btxt = SA**, S = Qext + Q (Д"1 - Qint)QT, S = Qext + QRQT + QRQintRQT + ...+ QR(QintR)nQT + ....

Каждый член в этой сумме представляет собой суммы путей длины 0,1, 2 и т.д. Тем самым для рассеяния только в вершинах, имеет место следующая формула суммирования по маршрутам Теорема 1.5.

iA \Ty(fc), если i фз % Г V* J

(Здесь С,j маршрут состоящий из п ребер, начинающийся в вершине i и заканчивающийся в j.)

Обратные задачи состоят в восстановлении характеристик носителя D по некоторым характеристикам решений уравнений Шредингера на нем возникали достаточно давно. Так, еще для частного случая уравнения Лапласа М. Кац рассматривал вместо области D барабан и задавался следующим вопросом: как, имея совершеннейшее ухо, по спектру гармоник определить форму барабана?

Задача восстановления топологической и метрической структуры графа основывается на использовании разложения производной фазы рассеяния

¿т

р

Применение дополнительной информации, извлекаемой из матрицы рассеяния позволяет решить обратную задачу:

Теорема 1.10. Матрица рассеяния 5(Л) некомпактного связного метрического графа определяет однозначно длины ребер компактной части и смежность (в там числе и присоединение полубесконечных ребер) графа при условии что

• граф состоит из конечной и простой компактной части и бесконечных ребер. К каждой вершине люжегп быть приклеено не больше чем одно бесконечное ребро

• длины ребер компактной части, рационально независимы.

• элементы матрицы рассеяния в каждой вершине не обращаются в нуль.

Данный результат имеет практическое применение в решении задачи оптической томографии восстановления среды с точечными неоднородно-стями. Как было показано, данная задача эквивалентна задаче рассеяния на полном графе, вершины которого образованы неоднородностями и источниками-приемниками.

В задаче томографии кроме восстановления структуры графа необходимо восстановить пространственное положение его вершин. Зафиксируем положения уг, ¿=1,2,..., п (п > 4) особых вершин "источников - приемников" волн. Потребуем чтобы они не лежали на одной плоскости. Добавим к ним вершины Хг,г = 1,2,...,т имеющие координаты неоднородностей в среде. Соединим получившееся множество вершин так, чтобы получился полный граф, а к "особым" вершинам приклеим бесконечные ребра.

Используя предыдущий результат, восстановим длины компактной части графа гю данным рассеяния. Таким образом, мы получим расстояния от каждой вершины "неоднородности" до вершин "источников-приемников". Эти расстояния однозначно определят положение "неоднородности" в пространстве как точку пересечения четырех сфер с радиусами в вершинах "источниках-приемниках" соответствующих радиусов.

Во второй главе рассматриваются 2 категории прямых задач:

1' 2'

G'

G" 2"

Рис. 1: Склеиваемые графы G' и G".

1 2' ~ 1" 2"

G ! '

Рис. 2: Полученный граф G.

прямая задача рассеяния для некомпактного графа - конструирование матрицы рассеяния сложных графов используя данные рассеяния более простых подграфов и

прямая, спектрального задача - аналогичная задача для вычисления спектра оператора Лапласа при аналогичных условиях.

Задачу конструирования сложных графов удобно разбит!, на более простые операции по масштабированию и склейке подграфов. Операция по масштабированию состоит в линейном изменении в 7 раз размеров компактной части, операция склеивания состоит в замене одного или большего числа полубесконечных ребер конечными. На примере двух графов данная операция может быть проиллюстрирована рис. 1 и 2.

Данные процедуры могут быть дополнены операцией, обратной склеиванию и упрощающей структуру графа, разрезанию. Данная операция позволяет, например, получить из графов G и G' граф G".

Решение задачи рассеяния на масштабированном графе соответствует масштабированию энергетического параметра k: Sj(k) — S^k).

Задача преобразования данных рассеяния при операциях склеивания алгоритмически состоит во введении оператора переноса, сопоставляющего решению на одном ребре решение на другом.

Построим операторы SC'rl и SC"T сопоставляющие решению на нравом ребре графа G' решение на левом ребре и решению на левом ребре G" решение на правом соответственно. Они имеют вид

SCL =

— Я' т'-1 л22-г 12

гр/-1 ЛХ2

Т' ГУ !У Т'—Х П1 Т'

Â2X — пХХп221Х2 П1И1

ч-Х 12

sc;'r =

ЯП грП-Х 11J21

rptt-X J21

Тп Г>11 Ull rpH-X T)H rp/r-x V2~~ n\Xn2212X ■fi'22J21

Рис. 3: Переход к следующей итерации. Задача с падающей слева волной приводит к соотношению:

Яп = - е1к1Е!иЕ!2.2В![, + е-шД'п) / {е~ш - еш Щ^),

Рассматривая падающую справа волну получим соотношение на остальные коэффициенты:

К22 = (£ - е^ВД'г + е~шВ,22) / (е-'ы - ещВД2),

Аналогичным образом вычисляются и данные рассеяния в случае разрезания графов.

Применение техники операторов переноса дает нам систему уравнений, описывающих соотношение между данными рассеяния свободной частицы на последующих итераций графа Серпинского:

Я! {к) = Я(*/3) + [Ь!(Л:/3)е^/3 + а2{к/3)]Т(к/3),

т'(к) = Ык/з) + ь3{к/зук'3]т(к/з).

где

—Тёк(е'к11 - 1) , -Тёк(е{кВ2 - ёкТ2 - Я)

01 =--Ъ-=-Ъ-'

-Теш{е{кИ2 - ёкТ2 - Я) , -Т(е{кЯ - 1) а2=---, Ь2 =---,

^гкгр2

И = -ешТ3 + ешВ2Т - ешВТ - ешЕТ2 + е^кВ3 - е21кВ? - е*Е + 1.

Решение спектральной задачи для оператора Лапласа основано на атго-ритмическом описании преобразований секулярного уравнения-.

йеЬгА1в{к) = йе1{АХ{к) + гугкВУ{к)) = 0.

В случае операции масштабирования графов выражение для с.екулярного уравнения принимает наиболее простой вид. Пусть граф &'7 получается пз С путем растяжения в 7 раз, Ас,, Вс, матрицы граничных условий оператора Лапласа. Тогда секулярное уравнение для оператора Лапласа на графе <?7 имеет вид

д,е1га-,(к) =

/ I О О Ас О I I

\ 0 е-*у/куа

+ i

\/кВс,

Используя подходящую перенумерацию ребер компактной части можно получить следующее описание преобразования секулярного уравнения:

Теорема 2.19 Пусть графы СУ, (71 и С2, состоящие из компактной части и двух полубесконечных ребер, таковы, что С получается путем склейки графов С1 и С2 ребром длины I или что тоже самое, что С1 получается путем разрезания С? по ребру длины I, А, А1, А2, В, В1, В2 матрицы граничных условий операторов Лапласа на соответствующих графов. Тогда секулярное уравнение detZ(k) = 0, определяющее спектр оператора Лапласа графа С? при операции склеивания графа имеет выражение:

( В1 о о о \

о в2 о о 0 0 0 0

в(к) =

( А1 О

о а2

о о

\ о о

0 \

о

0 о

1 -1

о о у

Х(к) + ъ\/к

¥{к)

\ о 0 11/

= о.

Таким образом, мы получили описание преобразований спектра при основных операциях хирургии квантовых графов: масштабировании и склеивании.

Третья глава посвящена исследованию проблемы локализации в моделях квантового блуждания, а так же доказательству квантового аналога теоремы Пойа.

Квантовое обобщение случайного блуждания рассматривает квантовую частицу, обладающей дополнительной степенью свободы и характеризуется

Ф(п,{) — ^ ^^ двукомпонентный вектор амплитуд в ячейке с номером п во время Поведение во времени функции Ф Задается следующим преобразованием:

Ада.наровс.кое случайное блуждание случайное блуждание, задающееся правилами:

Ф|>М + 1) = ( +

= М+Ф(п -1,0 + М_Ф(тг + 1, £),

для соответствующим образом определенных матриц М+ и М_.

В более удобном для использования виде эволюция квантового блуждания в общем случае может быть записана как:

Мерой локализации в дайной задаче может являться вероятность возвращения в исходную точку

Р(0,*) = |Фь((М)|а+|Фд(0,<)|2.

Пусть в = 0. Тогда Р(0,¡") = 0 для всех ( > 1 « любого :начального состояния, квантовой частицы Ф(0,0).

Пусть в = 7Г. Тогда Р(пЛ) — 0 йдя всех t > I, любого п (\п\ > 2) и любого начального состояния квантовой частицы Ф(0,0).

Результаты для промежуточных случаев получаются переходом к образу Фурье:

Вычислим преобразование Фурье волновой функции Ф(п,£ + 1): 00

Ф(к, г + 1) = £ (М_9Ф(п -1,0 + М+вЩп + 1, *))ей" =

П=— 00

еаЖ_йФ(М) + е-,'А'М+<,Ф(М) = МвФ(М),

где

_ ■ е " сое | е " 81П 2

е"вш§ -ейсов|

Используя эту формулу t + l раз, получаем

Ф(М + 1) = А^+1Ф(А,0) или Ф {к, г) = Мд$!(к, 0).

Эволюция данных блуждания описывается обратным преобразованием Фурье:

Ф(п,«) = Г М${к,0)е-*'Чк

2тг

Вычисление быстроосциллирующнх интегралов основано на применении техники стационарной фазы. Данный метод дает следующий результат:

Ро(ОЛ) = |аФ/л(0,г) + 0ФиМ2 + |оФД1(0,0 +/?ФД2(0,012 =

С№

г

, ¿7Г Ьв 7Г , .

2«*(-----) (а-Н/3)

г

„ . , ¿7Г 7Г . ,

28ш(у----)(а + г/9)

+0(г2) = ® + 0(Г2).

Тем самым, квантовое случайное блуждание является слабо локализованным. Этот факт является центральным результатом главы 3, который мы назвали квантовым аналогом теоремы Пойа (Теорема 3.29).

Далее в последней главе численно исследуется квантовое случайное блужг дание, приводятся гипотезы локализации:

• Асимптотика вероятности возвращения квантовой частицы в начало координат не зависит от начальных условий.

• В большинстве случаев параметра квантовое блуждание невозвратно. В заключении к диссертации приведены основные результаты работы:

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дедок В.А. Спектральная хирургия квантовых графов / Бон-даренко А.Н., Дедок В.А. // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2004. — №4(20). — С. 16-28.

2. Дедок В.А. Квантовая теорема Пойа / Бондаренко А.Н., Дедок В.А. // Сибирские электронные математические известия. 2009. Т.С. С. 199 210.

3. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера на полных графах / Бондаренко А.Н., Дедок В.А. // Наука. Техника. Инновации: Материалы докладов региональной научной конференции молодых ученых. Новосибирск, 2002. 4.1. С. 189 190.

4. Дедок В. А. Хирургия квантовых графов / Бондаренко А.Н., Дедок В.А. // Наука. Техника. Инновации: Материалы докладов региональной научной конференции молодых ученых. Новосибирск, 2003. 4.1. С. 218 219.

5. Дедок В.А. Локализация Андерсона в самоподобных структурах / А.Н. Бондаренко, В.А. Дедок. // Наука. Техника. Инновации: Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск,

2004. 4.1. С. 208 209.

6. Дедок В.А. Квантовая теорема Пойа и локализация Андерсона / А.Н. Бондаренко, В.А. Дедок. // Наука. Техника. Инновации: Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск,

2005. 4.1. С. 273 274.

7. Дедок В.А. Задача рассеяния на бесконечных самоподобных графах / А.Н. Бопдарннко, В.А. Дедок. // Наука. Техника. Инновации: Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск, 2006. 4.1. С. 189 191.

8. Дедок В.А. Хирургия квантовых графов: преобразование спектра / А.Н. Боидаренко, В.А. Дедок. // Наука. Техника. Инновации: Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск, 2007. 4.1. С. 118 119.

9. Дедок В.А. Квантовое случайное блуждание на плоскости: численное исследование вероятности возвращения / А.Н. Бондарепко, В.А. Дедок. // Наука. Техника. Инновации: Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск, 2009 . 4.1. С. 17 19.

10. Dedok V.A. inverse scattering problem on quantum graphs in optical tomography technology / A.N. Bondarenko, V.A. Dedok // Proceedings KORUS 2003. University Ulsan, Korea, June 28 - July 6, 2003. v.3. P. 105 110.

11. Dedok V.A. Surgery of quantum graphs / A.N. Bondarenko, V.A. Dedok // Proceedings KORUS 2004. Tomsk Polytechnic University, Russia, June 26 - July 3, 2004. v. 2. P. 108 111.

12. Dedok V.A. Anderson Localization in 1-D Quantum Random Walk / A.N. Bondarenko, V.A. Dedok // Proceedings KORUS 2005. Novosibirsk State Technical University, Russia, June 26 - July 2, 2005. v.l P. 27 32.

Отпечатано в ООО «Бухгалтер плюс» г. Новосибирск, ул. Авиастроителей, д. 5/1 Телефон/факс: (383) 265-80-39 Тираж 125 экз.

Введение

1. Задача рассеяния на графах

1.1. Одномерная задача рассеяния. Определение и основные свойства

1.1.1. Прямая задача рассеяния.

1.1.2. Свойства данных рассеяния.

1.1.3. Матрица рассеяния.

1.2. Прямая задача рассеяния на графах.

1.2.1. Определения и обозначения.

1.2.2. Задача Штурма-Лиувилля на компактных графах

1.2.3. Задача рассеяния на некомпактных графах.

1.2.4. Матрица рассеяния.

1.2.5. Произвольные граничные условия обеспечивающие унитарность оператора рассеяния

1.2.6. Функция Грина.

1.2.7. Одномерное рассеяние для ступенчатого потенциала

1.2.8. Свободное рассеяния на графе. Моделирование и доказательство теоремы о разложении.

1.2.9. Рассеяние на произвольном графе.

1.3. Обратная задача рассеяния на некомпактных графах

1.3.1. Обратная задача рассеяния. Неединственность решения.

1.3.2. Доказательство существования решения.

1.3.3. Задача лазерной томографии.

2. Спектральная хирургия квантовых графов

2.1. Самоподобные графы. Моделирование рассеяния на конечно-разветвленном графе Серпинского.

2.1.1. Графы Серпинского.

2.1.2. Конечно-разветвленный граф Серпинского.

2.2. Определение оператора рассеяния.

2.3. Спектральная хирургия квантовых графов - 1. Преобразование данных рассеяния.

2.3.1. Склейка графов

2.3.2. Вычисление данных рассеяния дифференциальным способом.

2.3.3. Склейка произвольных графов.

2.3.4. Разрезание графов.

2.4. Задача рассеяния для графа Серпинского.

2.5. Спектральная хирургия квантовых графов - 2. Преобразование спектра.

Локализация Андерсона в различных моделях

3.1. Результаты компьютерного моделирование локализации на конечно-разветвленном графе Серпинского.

3.2. Модель случайного блуждания квантовой частицы

3.2.1. Классическое случайное блуждание.

3.2.2. Дискретное случайное блуждание на прямой квантовой частицы.

3.2.3. Параметризация случайного блуждания. Переход от блуждания Адамара к общему случаю.

3.2.4. Эволюция одномерного блуждания квантовой частицы

3.3. Квантовое блуждание и задача рассеяния. Доказательство соответствия двух моделей.

3.4. Возвратность блуждания квантовой частицы.

3.4.1. Классические марковские цепи.

3.4.2. Локализация в моделях квантового случайного блуждания и задачи рассеяния.

3.4.3. Численное моделирования вероятности возвращения квантовой частицы.

3.4.4. Метод стационарной фазы для асимптотики вероятности возвращения квантовой частицы

3.5. Квантовая теорема Пойа. Классификация возвратных состояний блуждания квантовой частицы.

3.6. Компьютерное моделирование двумерного блуждания квантовой частицы

Возникновение интереса к дифференциальным задачам на графах в первую очередь связано с возможными практическими применениями. Так. одна из наиболее простых математической моделей молекулы дается обыкновенным дифференциальным оператором на графе, изображающем молекулу, с самосопряженными условиями в вершинах графа [14, 15, 20]. Такой подход применялся в работах B.C. Павлова, М.Д. Фаддеева, Н.И. Герасименко [16, 17, 32, 33]. Рассматриваемая ими модель рассматривалась при расчете электронных колебаний сложной молекулы в рамках модели свободных электронов [26]. Расширение модели путем присоединения к компактной части графа бесконечные лучи, позволяет получить гибкую математическую конструкцию, которая будучи одномерной воспроизводит свойства многомерных объектов. К. Rudenberg и C.W. Scherr [100, 101] эффективно использовали данную модель при проведении численных экспериментов. Ю.В. Мельниковым и B.C. Павловым [94] рассматривалось возможное применение задачи рассеяния на графах в проектировании микроэлектронных устройств. Применимость данной модели к физическим задачам исследования распространения волн в тонких структурах, мезо-скопических средах, задачах акустики, оптики, сверхпроводимости исследовали P. Kuchment, V. Adamyan, Е. Akkermans, A. Comtet, J. Desbois, G. Montambaux, C. Texier, S. Alexander, P. Exner, A. Figotin, T. Kottos [43, 44],[49], [58]-[66],[68],[76]-[79],[82]-[86],[107].

Спектральные свойства оператора Лапласа на конечных графах изучаются довольно давно [35]-[38]. Jean-Pierre Roth [99] методом интегрирования теплового ядра получил знаменитую формулу следа. Иногда вместо графа используется термин пространственная сеть, для которых изучаются вопросы неосцилляции [27]-[31]. Свойства лапласиана, описывающего свободные электроны на сетках, составленных из одномерных проводов исследовались при изучении свойств органических молекул [100, 101]. Позднее этот подход нашел свое применение в изучении суперпроводящих сетей [44], поведения неупорядоченных систем в магнитном поле [95]. Было показано [76, 77, 105, 106], что оператор Лапласа на графах имеет отношение к проявлению квантового хаоса. В этих работах основной интерес представляет спектр энергий уравнения Шрёдингера, определенного на каждом ребре, с соответствующими граничными условиями в вершинах [18, 19]. Эти граничные условия можно интерпретировать как правила Кирхгофа для квантовых графов [75].

Обратные задачи для дифференциальных уравнения впервые рассматривал М. Кас [73] в классической работе о восстановлении формы барабана. В дальнейшем, к этой теме не раз обращались В. Gutkin, U. Smilansky, P. Kurasov, F. Stenberg [39, 40, 46, 55, 69, 70, 71]. Однако получить точные аналитические результаты оказывается возможным только в ряде частных случаев. Исследования, связанные с получением аналога уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко в ряде некоторых частных случаях простых графов, связаны с именами следующих ученых: В.А. Марченко, I. Trooshin, К. Mochizuki [92]. Однако их результаты могут быть применены для конечного набора частных случаев.

Рассматриваемая модель оказалась очень интересна и с теоретической точки зрения, J.-P. Roth, Н.Р. McKean, I.M. Singer, R. Carlson [56, 57, 93, 99] исследовали спектральные свойства оператора, С.П. Новиковым [21]-[24],[97] рассматривался дискретный оператор Шредингера на графах и связь этого объекта с симплектической геометрией.

Исследования по тематике диссертационной работы связаны с изучением сред, физическая структура которых обладает свойством масштабной инвариантности или наличием линейных размеров всех порядков. В частности, материалы, мезоскопическая структура характеризуется свойством масштабной инвариантности 5-10 порядков, обладают уникальными физическими свойствами, обусловленные наличием внутреннего самоподобия [88, 89]. В связи с этим особенно актуальной становится задача построения математических моделей данных сред, а так же достоверной проверки адекватности данных моделей.

Еще одним объектом рассматриваемым в диссертации, интересным как самим по себе, так и в связи с возможными физическими приложениями, является модель квантового случайного блуждания [80, 81, 96, 90, 91, 104]. Разрабатываются квантовые аналоги классических численных алгоритмов на основе этой модели, призванные существенно ускорить получение результата. Кроме того, изучается связь моделей квантового случайного блуждания и задачи рассеяния [67].

Как было уже замечено, прямое применение аналитических методов для исследования этих сред на мезоуровне [41] сопряжено с высокой сложностью возникающих задач, что приводит к необходимости разработки эффективных численных алгоритмов или конструктивных аналитических методов, служащими основой для численного изучения свойств моделей.

Как уже отмечалось актуальность работы связана с возможными практическими применениями решений дифференциальных задач на графах. Трудности, связанные с применением аналитических методов решения прямых задач для неоднородных сред на мезоуровне, приводят к необходимости применения аналитических методов совместно с численными экспериментами, чему способствуют и высокие темпы развития компьютерной техники.

В связи с вышеизложенным цель диссертационной работы заключается в разработке методов построения аналитических решений прямых и обратных задач для уравнения Шредингера на метрических графах произвольной структуры, а так же численном исследовании асимптотических свойств решений этих задач.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

1) Разработать метод вычисления спектральных данных и данных рассеяния для уравнения Шредингера на компактных и некомпактных графах при операциях составления сложных графов из более простых подграфов.

2) Исследовать применимость разработанного метода для вычисления данных рассеяния для уравнения Шредингера на последовательных итерациях самоподобного графа Серпинского.

3) Разработать конструктивный алгоритм для решения задачи оптической томографии с точечными неоднородностями соответствующей восстановлению метрической и топологической структуры полного графа по данным рассеяния для оператора Шредингера на нем. Проанализировать взаимное соответствия моделей рассеяния и квантового случайного блуждания.

4) Исследовать характеристики антирезонансных и локализованных состояний методом компьютерного моделирования на последовательных итерациях самоподобных графов (например графа Серпинского).

5) Исследовать асимптотические свойства вероятности возвращения частицы, представляющую собой меру локализации, в модели квантового случайного блуждания на решетках разных размерностей с помощью компьютерного моделирования.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы математической физики, дифференциальных уравнений, математического моделирования.

Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:

1) Впервые разработан метод спектральной хирургии квантовых графов, состоящий в описании преобразований данных рассеяния и спектральных данных при операциях композиции. Данный метод отличается от существующих "правил Кирхгофа для квантовых графов" отсутствием необходимости определения сложной операции произведения по ребрам, а так же возможностью описания преобразования спектра, а не только данных рассеяния. Разработанный метод позволил впервые получить нелинейное соотношение на коэффициенты матрицы рассеяния для оператора Шредингера на последовательных итерациях конечно-разветвленного графа Серпинского.

2) На основе формулы следа для уравнения Лапласа на компактном графе доказана теорема разложения по путям для данных рассеяния oneратора Шредингера на некомпактых графах. Данный результат позволил решить задачу оптической томографии с точечными неоднород-ностями, соответствующую восстановлению метрической и топологической структуры полного графа по данным рассеяния для оператора Шредингера на нем. Вторым применением этого результата явилось доказательство взаимного соответствия моделей задачи рассеяния и . квантового случайного блуждания.

3) С помощью компьютерного моделирования процесса рассеяния на самоподобном графе Серпинского, основанного на разработанном методе спектральной хирургии, были описаны характеристики антирезонансных состояний. В отличие от аналитического подхода, метод прямого моделирования позволил проанализировать свойства коэффициентов матрицы рассеяния на итерациях существенно большего порядка графа Серпинского, представляющего большой интерес как одной из математической модели мезоуровня. Результаты моделирования позволили сформулировать гипотезу локализации для конечно-разветвленного графа Серпинского.

4) Методом математического моделирования были проанализированы асимптотические свойства вероятности возвращения частицы в модели квантового случайного блуждания на решетках разных размерностей. Численно предсказан и аналитически подтвержден квантовый аналог теоремы Пойа о возвратности квантового случайного блуждания на прямой. Результат моделирования на решетках больших размерностей для различных матриц Адамара позволил сформулировать ряд гипотез, описывающих асимптотические свойства вероятности возвращения, представляющую собой меру локализации.

Теоретическая значимость работы. В работе разработана техника спектральной хирургии квантовых графов, впервые позволившая конструктивно подойти к задаче вычисления данных рассеяния на объектах произвольной сложности. Это позволит получить решения принципиально нового класса задач на объектах с самоподобной структурой.

Практическая ценность работы. Разработанный метод позволяет существенно упростить численные вычисления данных рассеяния путем замещения части вычислений аналитическими результатами, на порядок увеличить сложность исследуемых объектов при моделировании сред с новыми характеристиками.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждена строгим применением методов теории рассеяния и дифференциального исчисления, а так же сравнением результатов решения задач методами прямого численного моделирования и аналитическими методами.

Положения, выносимые на защиту:

1) Получены аналитические соотношения, описывающие преобразование спектральных данных и данных рассеяния для уравнения Шрединге-ра на компактных и некомпактных графах при операциях составления сложных графов из более простых подграфов. На основе полученных соотношений получено ренормализационное соотношение на коэффициенты матрицы рассеяния для оператора Шредингера для последовательных итераций конечно-разветвленного графа Серпинского.

2) Доказана теорема разложения по путям для данных рассеяния оператора Шредингера на некомпактых графах. На ее основе разработан конструктивный алгоритм решения задачи оптической томографии с точечными неоднородностями соответствующей восстановлению метрической и топологической структуры полного графа но данным рассеяния для оператора Шредингера на нем. Доказано взаимное соответствие моделей рассеяния на графах и квантового случайного блуждания.

3) Методом компьютерного моделирования процесса рассеяния на последующих итерациях самоподобного графа Серпинского описаны характеристики антирезонансных состояний. Сформулирована гипотеза локализации для конечно-разветвленного графа Серпинского.

4) Методом компьютерного моделирования исследованы асимптотические свойства вероятности возвращения частицы в модели квантового случайного блуждания на решетках разных размерностей. Численно предсказан и аналитически подтвержден квантовый аналог теоремы Пойа о возвратности квантового случайного блуждания на прямой. Результат моделирования на решетках больших размерностей для различных матриц Адамара позволил сформулировать ряд гипотез, описывающих асимптотические свойства вероятности возвращения, представляющую собой меру локализации.

Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались в 2003-2009г. в рамках семинаров чл.-корр. В.Г. Романова, чл.-корр. И.А. Таймапова, академика А.А. Боровкова и проф. A.M. Блохина в Институте математики им. C.JI. Соболева СО РАН, а также на следующих конференциях:

1) На международной конференции "The 7th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology. KORUS-2003". (Ulsan, Republic Korea, 2003);

2) На конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". (Екатеринбург, Россия, 2004);

3) На международной конференции "The 8th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology. KORUS-2004". (Tomsk. Russia, 2004);

4) На всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых. (Новосибирск, Россия, 2004);

5) На международной конференции "The 9th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology. KORUS-2005". (Novosibirsk, Russia, 2005);

6) На, международной конференции АМАДЕ. (Минск, Беларусь, 2006);

7) На международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" посвященной 75-летию академика М.М. Лаврентьева. (Новосибирск, Россия, 2007);

8) На региональной научной конференции молодых ученых "Наука. Техника. Инновации." (Новосибирск, 2002, 2003гг.);

9) На всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука. Техника. Инновации." (Новосибирск, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 1 работа в журнале из перечня ВАК.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 108 наименований. Общий объем диссертации составляет 136 страниц, в том числе основной текст 129 страницы.

Заключение

На основе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие теоретические и практические результаты.

1) Получены аналитические соотношения, описывающие преобразование спектральных данных и данных рассеяния для уравнения Шредингера на компактных и некомпактных графах при операциях составления сложных графов из более простых подграфов. На основе полученных соотношений получено ренормализационное соотношение на коэффициенты матрицы рассеяния для оператора Шредингера для последовательных итераций конечно-разветвленного графа Серпинского.

2) Доказана теорема разложения по путям для данных рассеяния оператора Шредингера на некомпактых графах. На ее основе разработан конструктивный алгоритм решения задачи оптической томографии с точечными неоднородностями соответствующей восстановлению метрической и топологической структуры полного графа по данным рассеяния для оператора Шредингера на нем. Доказано взаимное соответствие моделей рассеяния на графах и квантового случайного блуждания.

3) Методом компьютерного моделирования процесса рассеяния на последующих итерациях самоподобного графа Серпинского описаны характеристики антирезонансных состояний. Сформулирована гипотеза локализации для конечно-разветвленного графа Серпинского.

4) Методом компьютерного моделирования исследованы асимптотические свойства вероятности возвращения частицы в модели квантового , случайного блуждания на решетках разных размерностей. Численно предсказан и аналитически подтвержден квантовый аналог теоремы Пойа о возвратности квантового случайного блуждания на прямой. Результат моделирования на решетках больших размерностей для различных матриц Адамара позволил сформулировать ряд гипотез, описывающих асимптотические свойства вероятности возвращения, представляющую собой меру локализации.

1. Бондаренко А.Н. Техника фейнмановских диаграмм для уравнения Лшшмана—Швингера с сингулярным потенциалом // Сиб. ж. инд. мат. 2003. - Т. VI, №4(16), С. 3-10.

2. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Спектральная хирургия квантовых графов // Сиб. ж. инд. мат. 2004. - Т. VII, №4(20), С. 16-28.

3. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Обратная задача рассеяния на графах. // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". — Екатеринбург, 2004. С. 106.

4. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера, на полных графах. // Материалы региональной науч. конф. молодых ученых "Наука, Технологии, Инновации" — Новосибирск, 2002, 4.1. С. 189-190.

5. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Хирургия квантовых графов. // Материалы всероссийской иауч. конф. молодых ученых "Наука, Технологии, Инновации" — Новосибирск, 2003, 4.1. С. 218-219.

6. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Локализация Андерсона в самоподобных структурах. // Материалы всероссийской науч. конф. молодых ученых "Наука, Технологии, Инновации" — Новосибирск, 2004, 4.1, С. 208-209.

7. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Квантовая теорема Пойа и локализация Андерсона. // Материалы всероссийской науч. конф. молодыхученых "Наука, Технологии, Инновации" Новосибирск, 2005, 4.1, С. 273-274.

8. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Задача рассеяния на бесконечных самоподобных графах. // Материалы всероссийской науч. конф. молодых ученых "Наука, Технологии, Инновации" — Новосибирск, 2006, 4.1, С. 189-191.

9. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Хирургия квантовых графов: преобразование спектра. // Материалы всероссийской науч. конф. молодых ученых "Наука, Технологии, Инновации" — Новосибирск, 2007, 4.1, С. 118-119.

10. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Квантовое случайное блуждание на плоскости: численное исследование вероятности возвращения. // Материалы всероссийской науч. конф. молодых ученых "Наука, Технологии, Инновации" — Новосибирск, 2009, 4.1, С. 17—19.

11. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Квантовая теорема Пойа. // Сибирские электронные математические известия. — 2009. — Т.б, С. 199-210.

12. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1972.

13. Боровских А.В., Копытин А.В. О распространении волн по сети // Сб. статей аспирантов и студентов матем. ф-та ВГУ. — 1999. — С. 21-25.

14. Вольперт А.И. Дифференциальные уравнения на графах // Матем. сборник. 1972. - Т.88, №4, С. 578-588.

15. Герасименко Н.И., Павлов Б.С. Задача рассеяния на некомпактных графах // Теоретическая и математическая физика. — 1988. — Т.74, №3, С. 345-359.

16. Герасименко Н.И. Обратная задача рассеяния на некомпактных графах // Теоретическая и математическая физика. — 1988. — Т. 75, №2, С. 187-200.

17. Дабагян Ю. Статистические свойства спектров квантовых графов // Письма в ЖЭТФ. 2006. - Т.83, №12, С. 685-690.

18. Дабагян Ю. Аналитическое описание статистики спектров квантовых графов // Теоретическая и математическая физика. — 2008. — Т.156, №1, С. 38-66.

19. Мерков А.Б. Эллиптические уравнения второго порядка на графах // Матем. сборник. 1985. - Т.127, №4, С. 502-518.

20. Новиков С.П. Оператор Шредингера и топология // УМН. — 1997. — Т.52, №6, С. 177-178.

21. Новиков С.П. Уравнение Шредингера и симплектическая геометрия // Студенческие чтения МК НМУ 1998. - С. 210-217.

22. Новиков С.П., Шварц А.С. Дискретные лагранжевы системы на графах. Симплекто-топологические свойства // УМН. — 1999. — Т.54, №1, С. 257-258.

23. Новиков С.П. Дискретный оператор Щредингера // Труды математического ин-та им. В.А. Стеклова. — 1999. — Т.224, С. 275 -290.

24. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

25. Павлов Б.С., Фаддеев М.Д. Модель свободных электронов и задача рассеяния // Теоретическая и математическая физика. — 1983. — Т.55, №2, С. 257-269.

26. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О краевой задаче на графе // Дифферент уравнения. — 1988. — Т.24, №4, С. 701-703.

27. Покорный Ю.В., Прядиев B.JL, Аль-Обейд А. Об осцилляционности спектра краевой задачи на графе // Матем. заметки — 1996. — Т. 60, №3, С. 468—470.

28. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев B.JL, Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.

29. Покорный Ю.В., Прядиев В.Л. Некоторые вопросы качественной теории Штурма-Лиувилля на пространственной сети // УМН — 2004. — Т. 59, №3(357), С. 115—150.

30. Покорный Ю.В., Покорная И.Ю., Прядиев В.Л., Рябцева Н.Н. Об интегрировании в вариационных неравенствах на пространственных сетях // Матем. заметки 2007. — Т. 81, №6, С. 904—911.

31. Фаддеев Л.Д. Свойства б'-матрицы одномерного уравнения Шрёдин-гера // Труды МИАН. 1964. - Т.73, С. 314-336.

32. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для математиков. — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

33. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987.

34. Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. Квазиклассический спектр оператора Шрёдингера на геометрическом графе // Матем. заметки — 2007. — Т. 82, №4, С. 606—620.

35. Чехов Л.О. Спектральная задача на графах и L-функции. // УМН.- 1999. Т.54, №6, С. 109-148.

36. Чехов Л.О., Пузырникова Н.В. Интегрируемые системы на графах. // УМН. 2000. - Т.55, №5, С. 181-182.

37. Чехов Л.О. Интегрируемые деформации систем на графах с петлями. // УМН. 2002. - Т.57, №3, С. 169-170.

38. Юрко В.А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах // Матем. заметки — 2006. — Т. 79, №4, С. 619- 630.

39. Юрко В.А. Восстановление операторов Штурма-Лиувилля по спектрам на графе с циклом // Матем. сб. — 2009. — Т. 200, №9, С. 147— -160.

40. Adamyan V. Scattering matrices for microschemes. Operator Theory and Complex Analysis. (Operator Theory: Advances and Applications V. 59) (Basel: Birkhauser), PP. 1—10.

41. Aizenman M., Schenker J.H., Friedrich R.M., Hundertmark D. Constructive fractional-moment criteria for localization in random operator // Physica A. 2000. - V. 279, 5, PP. 369-377.

42. Akkermans E., Comtet A., Desbois J., Montambaux G. and Texier C. Spectral determinant on quantum graphs // Ann. Phys. — 2000. — V. 284, PP. 10—51.

43. Alexander S. Superconductivity of networks. A percolation approach to the effect of disorder // Phys. Rev. В 1983. - V. 27, PP. 1541-1557.

44. Anderson P.W. Absence of Diffusion in Certain Random Lattices // Phys. Rev. — 1958. V.109, 5, PP. 1492-1505.

45. Band R., Oren I., Smilansky U. Nodal domains on graphs How to count them and why? // arXiv:math-ph/0711.3416

46. Beam J.E . Multiply reflection in potential-barrier scattring // Am. J. Phys. 1970. - V. 38, PP. 1395—1401.

47. Berry B.V., Klein S. Transmission mirrors: rays, waves and localization // Eur. J. Phys. 1997. - V. 18, PP. 222-228.

48. Bodyfelt J. D., Zheng M. C., Kottos Т., Kuhl U., Stockmann H.-J. Probing Localization in Absorbing Systems via Loschmidt Echos // Phys. Rev. Lett. 2009. - V. 102. PP. 253901.

49. Bondarenko A.N. Feynman diagrams for Lipman Schwinger equation with singular potential. // Proceedings of 6th Korea—Russia International

50. Symposium on Science and Technology KORUS'02, June 24 — 30, 2002 at Novosibirsk State Technical University. — Novosibirsk, Russia, 2002. — vol. 1, P. 240—245. (Техника фейнмановских диаграмм для уравнения Липимана Швингера с сингулярным потенциалом)

51. Bondarenko A.N., Dedok V.A. Quantum antiresonant regions on finitely-ramified Sierpinsky gasket. // Proceedings AMADE-2006. Belarusian State University, September 13 19 — Belarus, 2006. — P. 26.

52. Breuer J., Forrester P.J., Smilansky U. Random discrete Schrodinger operators from random matrix theory // J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. V. 40, PP. F161-F168.

53. Carlson R. Adjoint and self-adjoint operators on graphs // Electron. J. Diff. Eq. 1998. - No. 06, PP. 1-10.

54. Carlson R. Inverse eigenvalue problems on directed graphs // Trans. Am. Math. Soc. 1999. - V. 351, PP. 4069—4088.

55. Cheon Т., Exner P., Turek O. Spectral filtering in quantum Y-junction // J. Phys. Soc. Japan 2009. - V. 78, PP. 124004.

56. Cheon Т., Exner P., Turek O. Approximation of a general singular vertex coupling in quantum graphs // Ann. Phys. — 2010. — V. 325, PP. 548— 578.

57. Duclos P., Exner P., Turek O. On the spectrum of a bent chain graph // J. Phys. A. 2008. V. 41, PP. 415206.

58. Exner P. Lattice Kronig-Penney models // Phys. Rev. Lett. — 1995. — V. 74, PP. 3503-3506.

59. Exner P. Contact interactions on graph superlattices // J. Phys. A. — 1996. V. 29, PP. 87-102.

60. Exner P., Nemcova K. Leaky quantum graphs: approximations by point interaction Hamiltonians // J. Phys. A. — 2003. — V. 36, PP. 10173— 10193.

61. Exner P., Helm M., Stollrnann P. Localization on a quantum graph with a random potential on the edges // Rev. Math. Phys. — 2007. — V. 19, PP. 923—939.

62. Exner P., Post O. Approximation of quantum graph vertex couplings by scaled Schrodinger operators on thin branched manifolds // J. Phys. A. 2009. - V. 42, PP. 415305.

63. Exner P., Lipovsky J. Resonances from perturbations of quantum graphs with rationally related edges // J. Phys. A. — 2010. — V. 43, PP. 105301.

64. Feldman E., Hillery M. Quantum walks on graphs and quantum scattering theory // preprint: :quant-ph/0403066.

65. Figotin A. and Klein A. Localization of Classical Waves I: Acoustic Waves. // Commun. Math. Phys. 1996. - V. 180, PP. 439-482.

66. Harrison J. M., Smilansky U., Winn B. Quantum graphs where back-scattering is prohibited //J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. — V. 40. PP. 14181-14193.

67. Gavish U. Smilansky U. Degeneracies in the length spectra of metric graph //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. - V. 40, PP. 10009-10020.

68. Gutkin В., Smilansky U. Can one hear the shape of a graph? //J. Phys. A. 2001. - V. 34, PP. 6061-6068.

69. Ishii K. Localization of Eigenstates and Transport Phenomena in the One-Dimensional Disordered System // Prog. Theor. Phys. Suppl. — 1973. No. 53, PP. 77-138.

70. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. — 1966. V. 73, PP. 1-23.

71. Karageorge P.D., Smilansky U. Counting nodal domains on surfaces of revolution // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. - V. 41, PP. 205102.

72. Kempe J. Quantum random walks: an introductory overview // Contemporary Physics. — 2009. V. 50. PP. 339-359.

73. Kostrykin V., Schrader R. Kirchhoff's rule for quantum graphs //J. Phys. A. 1999. - V. 32, PP. 595-630.

74. Kottos Т., Smilansky U. Quantum chaos on graphs // Phys. Rev. Lett.- 1997. V. 79, PP. 4794-4797.

75. Kottos Т., Smilansky U. Periodic orbit theory and spectral statistics for quantum graphs // Ann. Phys. — 1999. — V. 274, PP. 76—124.

76. Kottos Т., Smilansky U. Chaotic scattering on graphs // Phys. Rev. Lett.- 2000. V. 85, PP. 968-971.

77. Kottos Т., Schanz H. Statistical properties of resonance widths for open quantum graphs // Waves Random Media — 2004. — V. 14, PP. S91— S105.

78. Kosik J. Two models of quantum random walk // Central European Journal of Physics. 2003. - V.l. №. PP. 556-573.

79. Kosik J. Scattering quantum random walk // Optics and Spectroscopy. 2005. - V. 99, №2, PP. 224-226.

80. Kuchment P. Graph models for waves in thin structures // Waves Random Media. 2002. - V. 12, PP. Rl—R24

81. Kuchment P. Quantum graphs: I. Some basic structures // Waves Random Media. 2004. - V. 14, PP. S107—S128.

82. Kuchment P. Quantum graphs. II. Some spectral properties of quantum and combinatorial graphs //J. Phys. A. — 2005. — V. 38, №22, PP. 4887—4900.

83. Kuchment P., Fulling S., Wilson J. Index theorems for quantum graphs // J. Phys. A: Math. Theor. 2007. - V. 40, PP. 14165-14180.

84. Kuchment P., Kunyansky L. Mathematics of thermoacoustic tomography // European J. Appl. Math. — 2008. — V. 19, PP. 191—224.

85. Kurasov P., Stenberg F. On the inverse scattering problem on branching graps //J. Phys. A. 2002. - V. 35, PP. 101-121.

86. Lin Z., Godaz M. Hierarchy-induced isotropy-anisosotropy transition on a fractal resistor network //J. Phys. A: Math. Gen. — 1996. — V. 29, PP. L217-L222.

87. Lin Z., Cao Y., Liu Y, . Electronic transport properties of Sierpinski lattices in a magnetic field. // Phys. Rev. B. — 2002. — V. 66, PP. 045311.

88. Mackay T.D., Bartlett S.D., Stephanson L.T. and Sanders В. C. Quantum walks in higher dimensions //J. Phys. A: Math. Gen. — 2002. — V.35, PP. 2745-2753.

89. Manouchehri К., Wang J. В. Quantum random walks without walking // Phys. Rev. A. 2009. - V. 80, PP. 060304(R).

90. Trooshin I., Marchenko V. A., Mochizuki K. On inverse scattering on graph // International Conference "Inverse and Ill-Posed Problems of Mathematical Physics", August 20-25, 2007, Novosibirsk, Russia.

91. McKean H. P. Jr, Singer I. M. Curvature and the eigenvalues of the laplacian // J. Diff. Geometry — 1967. V. 1, PP. 43—69.

92. Melnikov Yu.V., Pavlov B.S. Two-body scattering on a graph and application to simple nanoelectonic devices // J. Math. Phys. — 1995.1. V. 36, PP. 2813-2825.

93. Pascaud M., Montambaux G. Persistent currents on networks // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 82, PP. 4512-4515,

94. Nayak A., Vishwanath A. Quantum Walk on the Line (Extended Abstract) // preprint: :quant-ph/0010117.

95. Novikov S. P. Shrodinger operator on graphs and symplectic geometry // preprint: mat h-ph/0004013.

96. Paul Т., Albert M., Schlagheck P., Leboeuf P., PavlofF N. Anderson localization of a weakly interacting one-dimensional Bose gas // Phys. Rev. A. 2009. - V. 80, PP. 033615.

97. Roth J.-P. Le spectre du laplacien sur un graphe. Lecture Notes in Mathematics: Theorie du Potentiel ed A. Dold and B. Eckmann. — Berlin: Springer, PP. 521-539.

98. Ruedenberg K., Scherr C.W. Free-electron network model for conjugated systems. I. Theory. // J. Chem. Phys. 1953. — V. 21., PP. 1565-1581.

99. Scherr C.W. Free-electron network model for conjugated systems. II. Numerical calculations. // J. Chem. Phys. — 1953. — V. 21, PP. 1582— 1596.

100. Schanz H., Smilansky U. Periodic-Orbit Theory of Anderson Localization on Graphs // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84, PP. 1427-1430.

101. Shapira R., Smilansky U. Nodal domains on isospectral quantum graphs: the resolution of isospectrality // J. Phys. A: Math. Gen. — 2006. — V. 39, PP. 13999-14014.

102. Shenvi N., Kempe J., Whaley К. B. Quantum random-walk search algorithm // Phys. Rev. A. 2003. - V. 67, PP. 052307.

103. Smilansky U., Solomyak M. The quantum graph as a limit of a network of physical wires // Contemporary Mathematics. — 2006. — V. 415, PP. 283-292.

104. Smilansky U. Quantum chaos on discrete graphs // J. Phys. A: Math. Theor. 2007. V. 40, PP. F621-F630.

105. Texier C., Montambaux G. Scattering theory on graphs // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - V.34, PP. 10307-10326.

106. Wang W.-M. Localization and universality of Poisson statistics for the multidimensional Anderson model at weak disorder // Invent, math. 2001. V.146, PP. 365-398.