автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение прямых и обратных задач теплообмена в цилиндрических и сферических сопряжениях

На правах рукописи

КОНДАКОВ Айсен Алексеевич

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ СОПРЯЖЕНИЯХ

Специальность 05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск - 2005

Работа выполнена в Институте неметаллических материалов Сибирского отделения РАН

Научный руководитель: доктор технических наук Старостин Н.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Вабшцевич П.Н. доктор технических наук, профессор Бондарев Э.А.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН, г. Москва

Защита состоится в /У часов на заседании диссертаци-

онного совета Д 212.306.04 в Якутском государственном университете по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского, 48.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета.

Автореферат разослан

<М » б^тХ^Л 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Яковлев Б.В.

¿Мб /¿4 е>Х

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одним из наиболее важных триботехниче-ских параметров в опорах скольжения является мощность трения, характеризующая затраты механической энергии на трение. Сравнительным анализом значений мощности трения определяются наиболее работоспособные материалы для пар трения, подбираются оптимальные конструктивные параметры для обеспечения их надежной работы. В то же время непосредственный замер мощности трения весьма затруднен. Это связано со сложностью, а зачастую и невозможностью, размещения громоздких торсионных приборов замера мощности трения в стендовых установках. Данная проблёма еще более усугубляется при определении мощности трения в подвижных сопряжениях эксплуатируемой техники. Перспективным является разрабатываемый в ИНМ СО РАН метод тепловой диагностики трения, позволяющий определять мощность трения по температурным данным. Метод основан на известном факте, согласно которому практически вся энергия, затрачиваемая на трение, трансформируется в теплоту. Определение мощности трения сводится к определению фрикционной мощности тепловыделения путем решения граничной обратной задачи. При этом точность восстановления временной зависимости мощности тепловыделения во многом определяется адекватностью используемой математической модели теплового процесса в трибосоп-ряжении.

В условиях ужесточения режимов и условий эксплуатации техники при тепловой диагностике трения возникает необходимость учитывать зависимость теплофизических свойств полимерных антифрикционных материалов от температуры. Несмотря на большое количество работ по решению нелинейных обратных задач, актуальной остается проблема построения эффективных алгоритмов решения нелинейных граничных обратных задач в многомерных постановках. В данной работе рассматриваются наиболее распространенные в технике цилиндрические и сферические сопряжения.

Целью работы является разработка численных алгоритмов решения нелинейных прямых и граничных обратных задач теплообмена в цилиндрических и сферических сопряжениях для восстановления функции фрикционного тепловыделения и соотвественно мощности трения по температурным данным.

Для достижения намеченной цели поставлены задачи:

- Разработка эффективного алгоритма решения граничной обратной задачи по восстановлению мощности фрикционного тепловыделения и соответственно момента силы трения в цилиндрических сопряжениях по температурным данным с учетом зависимости ^^йсгвот

I от темпе-

БИБЛИОТЕКА | С Петербург 6 С/У Д

о,

ратуры, его реализация в виде программы для проверки эффективности нелинейной тепловой диагностики трения;

- Математическое моделирование теплового процесса и разработка алгоритма восстановления мощности фрикционного тепловыделения в сферических сопряжениях по температурным данным и его численная реализация для проведения вычислительных и натурных экспериментов;

- Экспериментальная проверка эффективности нелинейной тепловой диагностики трения в цилиндрических сопряжениях и восстановление мощности фрикционного тепловыделения в шаровой опоре автомобиля с помощью разработанного метода нелинейной тепловой диагностики трения в сферических сопряжениях.

Работа выполнена в рамках научно-исследовательской темы 2.3.3. «Разработка методов расчета триботехнических параметров для систем опор скольжения из полимерных композиционных материалов», 2002-2004 гг., № гос. регистрации 01.200.200045 и при финансовой поддержке гранта Президента Республики Саха (Якутия) для молодых ученых и специалистов на 2004 г.

Научная новизна:

- Для описания нестационарного температурного поля в цилиндрических сопряжениях предложена квазитрехмерная математическая модель, содержащая одномерное и двумерное уравнения теплопроводности, связанные условием тепловыделения на границе контакта;

- На основе метода итерационной регуляризации разработан алгоритм решения нелинейной граничной обратной задачи по определению функции тепловыделения в цилиндрических сопряжениях, устойчивый к погрешностям в замерах температуры;

- Поставлена и решена граничная обратная задача в нелинейной постановке для сферического сопряжения с фрикционным тепловыделением.

Научная и практическая значимость работы:

Разработан метод нелинейной тепловой диагностики трения в подвижных сопряжениях и комплекс программ для регистрации и обработки температурных данных, позволяющие восстанавливать мощность трения в опорах скольжения эксплуатируемой техники. Метод использовался для восстановления мощности трения в шаровой опоре автомобиля ВАЗ 2106. Разработанный метод нелинейной тепловой диагностики трения позволит повысить информативность испытаний узлов трения машин и механизмов и достоверность контроля технического состояния опор скольжения.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов обеспечивается применением апробированного метода итерационной регуляризации при решении граничных обратных задач, проведением вычисли-

тельных экспериментов по исследованию устойчивости решений к погрешностям в температурных данных. Правомерность принятых допущений в предложенной математической модели теплового процесса в цилиндрических сопряжениях и погрешность метода тепловой диагностики трения установлена сопоставлением экспериментальных и теоретических значений момента силы трения, полученных непосредственным измерением и восстановленных по температурным данным.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные положения диссертации докладывались и обсуждались на I и II Евразийских сим-

► позиумах по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата (Якутск, 2002, 2004); на Республиканской научно-практической конференции «Математика. Информатика. Образование» (Якутск, 2002), на

► научной конференции «VII Лаврентьевские чтения» (Якутск, 2003); на IV Международной конференции: «Inverse Problems: Identification, Design and Control». (Москва, 2003); на IV Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004); на Ш Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов (Якутск, 2005).

Публикации Основное содержание диссертации отражено в 8 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 126 наименований и изложена на 127 страницах, содержит 28 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи исследования. Отмечается вклад в разработку и практическое применение методов решения обратных задач отечественных уче-' ных А.Н.Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, Г.И. Марчука, В.Г. Романова, О.М. Алифанова, Л.А. Коздобы, М.В. Клибанова, A.B. Гончарского, В.П. Танана, В.А. Морозова, А.Л. Бухгейма, ' А.И. Прилепко, Ю.Е. Аниконова, Ф.П. Васильева, А.Г. Темкина, Ю.М. Мацевитого, A.A. Самарского, П.Н. Вабищевича, Э.А. Бондарева и др.

В первой главе рассматривается общая постановка прямой задачи определения нестационарного температурного поля для системы тел с тепловыделением на границе контакта. Обсуждаются постановки прямой задачи теплообмена для тел, движущихся относительно друг друга с трением. Общая задача восстановления мощности трения в системе контактирующих тел по замерам температуры сформулирована в виде граничной обратной задачи теплообмена, особенностью которой является неустойчивость ее решения к

погрешностям в температурных данных. На основе анализа общих постановок прямых и граничных обратных задач показана необходимость использования упрощенных постановок тепловых задач в подвижных сопряжениях для восстановления мощности трения в реальных узлах трения.

Приводится обзор методов решения обратных задач. Отмечается универсальность метода итерационной регуляризации и возможность решения с помощью этого метода нелинейных многомерных граничных обратных задач в различных постановках.

Вторая глава посвящена разработке нелинейной тепловой диагностики трения в цилиндрических сопряжениях. Рассматривается задача определения функции тепловыделения в полимерном подшипнике скольжения, для которого характерны многие особенности контактного взаимодействия в цилиндрических сопряжениях. Результаты, полученные для подшипников скольжения, легко распространяются на другие цилиндрические сопряжения.

На рис. 1 представлена схема подшипника скольжения из полимерного антифрикционного материала. Общая постановка задачи тепловой диагностики трения показывает, что использование полной трехмерной модели нестационарного теплообмена при восстановлении тепловыделения и, соответственно, мощности трения по замерам температуры практически реализовать невозможно, поскольку необходимо иметь замеры температуры для достаточно большого количества точек некоторой поверхности в окрестности зоны контакта. Чтобы уменьшить необходимое количество точек замера температуры, в работе предлагается использовать квазитрехмерные математические модели теплового процесса, в которых основополагающим является плоская модель, построенная при следующих допущениях:

1. Распределение температуры в подшипнике симметрично относительно оси нагружения;

2. Распределение температуры по длине подшипника однородно;

3. Теплообмен с торцов подшипника пренебрежимо мал.

Нестационарное температурное поле во втулке с обоймой описывается

двумерным уравнением теплопроводности

гг<г<гъ, г3<г<г4, 0<^<гг, 0<<</т; с начальным условием

Т(г, ф,0) = Т0, (2)

в зоне контакта при < <р0 записывается условие теплового контакта с валом:

ш п ОГ

<1<р, (3)

г=г2

Дг2,<Р,0=Щ) , (4)

где Т, и - температуры подшипника и вала, С,, Л,- теплофизические характеристики материалов вала и элементов подшипника; 51 - площадь поперечного сечения вала, схг коэффициент теплообмена вала со средой.

На свободных поверхностях втулки и обоймы задаются условия конвективного теплообмена. На границе втулки и обоймы - условия идеального теплового контакта. По оси приложения нагрузки задается условие симметрии температурного поля.

Если функция тепловыделения известна, прямая двумерная задача решается численно методом конечных разностей сведением задачи к цепочке одномерных и с использованием метода прогонки.

Граничная обратная задача восстановления момента силы трения формулируется следующим образом: Требуется определить функцию Q(t) и момент силы трения М(/), связанные формулой М{()=0,{()г11\г, из системы уравнений (1)-(4) с граничными и начальными условиями при известной температурной информации во втулке:

= /(<*>,Л г2<Л<г3, 0<^<<2>0, у=1,..„и. (5)

В экстремальной постановке задачи в качестве меры уклонения рассчитанных температур Т^.щЛ) от измеренных Л <рр /) выбрана среднеквадратичная невязка

£(6)

7=1 О

Тогда обратная граничная задача формулируется следующим образом. Требуется минимизировать функционал (6) при ограничениях в виде системы уравнений (1)-(4). Функция Q(t) служит управлением.

Разработан алгоритм восстановления функции {3(0 методом сопряженных градиентов. Используя сопряженную краевую задачу, получена формула для определения градиента функционала (6):

■/'(2(0)=^- (7)

гг

Процесс уточнения приближенного решения завершался по условию итерационной регуляризации, согласуя значение невязки с количественной характеристикой погрешности температурных данных, т.е. при выполнении

'я

условия: /[£?(/)] 3} = }ст2(г>//, (8)

где ег2(0 - дисперсия функции /(0,/), при предположении, что ошибка аппроксимации краевой задачи 8а « дт и ею можно пренебречь.

Функция Q(f) восстанавливалась, используя температурные данные Г(.Л,= f{<р],/), 0 < <р < <рй, ] = 1,...,и, полученные из решения прямой задачи при заданной модельной функции £>(0. Вычислительными экспериментами показана устойчивость решения, полученного разработанным алгоритмом, к погрешностям в температурных данных. На рис. 2 представлено решение граничной обратной задачи, полученное при погрешности, распределенной по нормальному закону с единичной дисперсией и нулевым математическим ожиданием и составляющей 5 % от максимальной температуры.

Расчеты проводились для подшипника скольжения, представленного на рис.1, при следующих геометрических размерах: гх = 0,012; г2 = 0,013; гъ =0,016; г4 = 0,032 м; (р0 =12°. Втулка в подшипнике выполнена из наполненного фторопласта, для которого зависимости теплофизических свойств от температуры имеют вид:

^ = 0,07(Г -100)/150 + 0,35 (Вт/(м °С)), С2 =(6-10-3(7,-30) + 3)-106 (Дж/(м3-°С)). Материалом для вала и обоймы служит сталь:

Д, =Я3 = 30,5(Г-100)/150 + 55,5 (Вт/(м-°С)),

С, =С3 = (1,2 • 10_3 (Г - 30) + 3,7) • 106 (Дж/(м3-°С)).

_ Рис. 2. Восстановление функции интенсив-

ис. . схема узла трения. Ности тепловыделения по возмущенным тем-1 - вал; 2 - втулка; 3 - обойма пературным данным: 1 -модельная функция 0(0; 2

- точные температурные данные; 3 - восстановленная функция по точным температурным данным; 4 - возмущенные температурные данные; 5 - восстановленная функция 0(0 по возмущенным температурным данным

В третьей главе излагается метод нелинейной тепловой диагностики трения для сферических сопряжений. Рассматривается шаровая опора, схема которой приведена на рис.3. Здесь металлический шаровой палец 1 совершает колебания с малой амплитудой и высокой частотой по поверхности вкладыша 2 из полимерного композиционного материала. Вкладыш жестко соединен с металлическим корпусом 3.

Рис.3. Схема шаровой опоры: 1 - палец;2 -

антифрикционный вкладыш; 3 - корпус

При допущении симметрии температурного поля шаровой опоры относительно оси нагружения, нестационарное температурное поле в шаровой опоре описывается двухмерным уравнением теплопроводности в сферической системе координат с источником:

дг

,дТ\ 1 д(,,-. дТ\

+ — Л,(7>п <р— + дг) г &\гмрд(р\ д<р)

+ 0. 4ЛЯ,2зш2(?>/2) '

1 = 1,2,3; 0<*<Гт; 0й<рйтг,

(9)

в котором индекс /=1 относится к материалу шарового пальца, ¿=2- к полимерному композиционному материалу, /=3 - к материалу корпуса; 0{(р,/} - функция интенсивности тепловыделения в зоне контакта шарового пальца и вкладыша;

' [0, х*0, [1, Фъ<(р<л.

(10)

На свободных поверхностях задаются условия третьего рода, на границе полимерного вкладыша и корпуса опоры задано условие идеального теплового контакта. Начальное распределение температуры известно.

Разработан численный алгоритм решения прямой задачи для определения нестационарного температурного поля в шаровой опоре при известной функции интенсивности тепловыделения 6(^0-Вычислительными экспериментами показана эффективность предлагаемого алгоритма решения прямой задачи и возможность его использования для тепловой диагностики трения в сферических сопряжениях.

Для постановки задачи восстановления мощности трения задаются замеры температуры по окружности при фиксированном радиусе /? во внутренних точках вкладыша, в окрестности зоны трения:

Обратная граничная задача определения функции интенсивности тепловыделения 6(^.0 в экстремальной постановке формулируется следующим образом. Требуется минимизировать функционал

на решениях уравнения (9) с граничными и начальным условиями.

Разработан алгоритм решения поставленной задачи методом итерационной регуляризации на основе градиентных методов минимизации функционала. Используя необходимое условие минимума функционала Лагранжа, получена сопряженная краевая задача, с помощью которой выведена формула для определения градиента функционала. Вычислительными экспериментами показана эффективность разработанного алгоритма для решения обратной задачи. Вид восстанавливаемой функции (2(<р,1) представлен на рис.4. Результаты восстановления функции 0(<р,1) представлены на рис.5 и рис.6. Восстановленные зависимости функции интенсивности тепловыделения по временной переменной имеют наибольшие отклонения от точных значений не только в конце временного интервала, но и в точках разрыва производной. Поскольку зависимость функции интенсивности тепловыделения по угловой переменной не имеет разрывов производной, то и точность восстановления функции по этой переменной выше. Для исследования устойчивости алгоритма восстановления функции интенсивности тепловыделения к возмущениям температурных данных проведены соответствующие численные расчеты, результаты которых приведены на рис.7 и рис.8.

(П)

(12)

Рис.4. Модельная функция

интенсивности тепловыделения <3(«М)

80

-у--- - —

} з;

' 1 1'\\\\

i

1

Рис.6. Сравнение модельной (1 - 4) и восстановленной (Г- 4') функции <3(ф,0 по времени при различных углах: 1,1' -

9=45°; 2,2' - <р=90°; 3,3' - ср=135°; 4,4' -

Ф=180°

Ф.пяа

Рис.5. Сравнение модельной (1 - 4) и восстановленной (1'- 4') функции <К<рД) по углу в различные моменты временя: 1,1'-1 = 0 мин., 2, V- г = 5 мин., 3,3'-1 = 10 мин., 4,4'-1 = 15 мин

[■0-50 ■ 50-100 Н100-150 450-200 ■ 200-250] Рис.7. Восстановленная по возмущенным температурным данным функция интенсивности тепловыделения <3(ф,0

а,

Вт/м

45 60 75 90 105 120 118 150 град

Рис.8. Сравнение модельной и восстановленной по возмущенным данным функция интенсивности тепловыделения по углу в различные моменты времени: 2,2'-1 = 2 мин., 3,3'-1 = 3 мни., 5,5'-1 = 5 мни., 10,10'- г = 10 мин., 12,12'^= 12 мин., 18,18'- г = 18 мин. Максимальный уровень возмущения температурных данных равнялся 0,5 °С

В четвертой главе рассматриваются вопросы нелинейной тепловой диагностики в реальных сопряжениях. Определение теплоты, выделившейся в результате трения, и соответственно мощности трения с использованием плоской математической модели приведет к существенным погрешностям. В подшипнике скольжения значительная часть теплоты отводится по длине металлического вала, что не учитывается при использовании плоской модели. В то же время, для решения трехмерной граничной обратной задачи необходимо обеспечить замеры температуры на некоторой поверхности внутри одного из элементов, что практически невыполнимо из-за возможного нарушения целостности материала и искажения температурного поля. Поэтому для тепловой диагностики трения необходимо построить такую математическую тепловую модель для цилиндрического сопряжения, использование которой значительно сократит количество точек замера температуры, необходимое для восстановления момента силы трения. Кроме того, математические модели должны быть построены при предположениях, не ограничивающих практическое применение.

Чтобы уменьшить количество точек замера температуры, необходимое для восстановления функции интенсивности тепловыделения в узле трения (рис.9) предложено использование упрощенных трехмерных тепловых моделей нестационарной теплопроводности. Суть упрощения сводится к следующему. Учитывая кинематические, геометрические и теплофизические параметры, особенности распределения температуры в узле трения, трехмерное температурное поле описывается системой одномерного и

двумерного уравнений теплопроводности. Уравнение теплопроводности для вала:

стя (г)

ди ^ д

д1 дг + ©(г)

Ш

дг

<1<р

г=Л

(13)

(г) =

и = и{г,{), 0<г<Ь, О<t<tm, [1, г б Л [О, '

где 5(г) и Р(г) - функции площади и периметра сечений вала, А - множество точек зоны контакта вала с втулкой.

Уравнение теплопроводности для втулки с корпусом:

С,(Г>—= -—

' д1 гдг

гЛ,(Т)

дТ дг

г2 дср( д<р_

, ¡ = 2,3;,

(14)

0</<^я, <г<Л3, О<(р<ж. Условие сопряжения вала со втулкой

(15)

На свободных поверхностях элементов сопряжения и концах вала задаются обычные граничные условия.

Рис.9. Схема подшипника скольжения

На основе разработанного алгоритма решения граничной обратной задачи в плоской постановке, построен алгоритм определения функции интенсивности тепловыделения с использованием квазитрехмерной модели. Вычислительными экспериментами установлена эффективность

восстановления по разработанному алгоритму функций тепловыделения как непрерывных, так и с разрывами производных.

Эффективность восстановления момента силы трения в полимерном подшипнике скольжения проверена экспериментально. На рис.10 приведены значения момента силы трения в подшипнике скольжения, полученные непосредственным измерением и рассчитанные по разработанному алгоритму. Отклонения между значениями момента трения, полученными различными методами не превышают 10-15 %, что свидетельствует о пригодности разработанного метода для практического восстановления мощности трения.

С целью практической апробации метода нелинейной тепловой диагностики трения в шаровых опорах был проведен эксперимент по восстановлению мощности трения в шаровой опоре передней подвески автомобиля ВАЗ-2106 - «Жигули».

В качестве образца испытуемой шаровой опоры было выбрано изделие известной российской фирмы «Трек» - верхняя шаровая пора передней подвески автомобиля ВАЗ-2106.

На рис.11 представлены результаты восстановления функции тепловыделения при натурных испытаниях шаровой опоры автомобиля.

10-40 В 40-80 □ 80-120 □ 120-160

Рис.10. Сравнение экспериментальных и

восстановленных данных: Рнс11 фуНКЩП1 интенсивности^ тепловы-

Ме, М1 - непосредственно измеренные я деления „ шаровой опоре

восстановленные значения моментов

силы трения; Т], Т2 - измеренные

температуры; Т'), Т'г -вычисленные

температуры по восстановленному

моменту трения

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. На основе математического моделирования тепловых процессов, разработки и реализации численных методов решения квазилинейных многомерных прямых и обратных задач теплопроводности разработан эффективный метод нелинейной тепловой диагностики трения в цилиндрических и сферических сопряжениях.

2. Разработанный алгоритм и комплекс программ могут быть использованы для восстановления мощности трения в подвижных сопряжениях эксплуатируемой техники.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Старостин Н.П., Кондаков A.C., Кондаков A.A. Нелинейная тепловая диагностика в подшипниках скольжения // Труды I Евразийского симпозиума «EUROASTRENCOLD-2002». - Якутск, 2002,- часть IV.-С. 170-183.

2. Старостин Н.П., Кондаков A.C., Кондаков A.A. Восстановление момента силы трения в полимерном подшипнике скольжения по замеру температуры // Трение и износ, 2002. - Т.23, №5, -С. 498-508.

3. Старостин Н.П., Кондаков A.A. Анализ теплового состояния шаровой опоры. Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции «Математика. Информатика. Образование». -Якутск, 2002. -С. 47.

4. Кондаков A.A. Идентификация мощности трения в шаровой опоре по температурным данным // Сборник статей научной конференции «VII Лаврентьевские чтения». - Якутск, 2003. -Т. I. -С. 56-63.

5. N.P. Starostin, A.A. Kondakov. Reconstruction Of Friction Power In a Ball Bearing Temperature Data. // 4-th International conference: Inverse Problems: Identification, Design and Control. - Moscow, 2003. (Papers/7_3.pdf.) PP. 111-114.

6. Старостин Н.П., Кондаков A.A. Восстановление мощности трения в шаровой опоре по температурным данным // Труды И Евразийского симпозиума по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата - Якутск, 2004. -Часть IV. -С. 176-183.

Старостин Н.П., Кондаков A.A. Восстановление мощности трения в шаровой опоре по температурным данным // Тезисы докладов IV Международной конференции по математическому моделированию. -Якутск, 2004. -С 87.

Кондаков A.A. Моделирование тепловых процессов и диагностика трения в цилиндрических и сферических сопряжениях // Тезисы докладов Ш Всероссийской школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка». — Якутск, 2005. -С. 55.

Подписано в печать 25.10.2005. Формат 60х 84/16. Бумага тип. №2. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,56. Тираж 100 экз. Заказ 29г. Издательство ЯГУ, 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

Отпечатано в типографии издательства ЯГУ

í

I

I ! í к. V

t

i

Щ

i

í

»

^21095

РНБ Русский фонд

2006-4 18608

® Стр.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА.

1.1. Математическое моделирование тепловых процессов в подвижных сопряжениях.

1.2. Деление задач теплообмена на прямые и обратные.

Классификация обратных задач.

1.3. Задача восстановления мощности трения как обратная задача теплопроводности.

1.4. Методы решения обратных задач.

Выводы к главе I.

Глава II. ТЕПЛОВАЯ ДИАГНОСТИКА ТРЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

СОПРЯЖЕНИЯХ.

2.1. Определение нестационарного температурного поля в подшипнике скольжения с учетом зависимости теплофизических свойств от температуры.

2.2. Алгоритм решения граничной обратной задачи методом итерационной регуляризации.

2.3. Устойчивость алгоритма восстановления функции интенсивности тепловыделения к погрешностям в температурных данных.

Выводы к главе II.

Глава III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ПРОЦЕССА

И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПО ЗАМЕРАМ ТЕМПЕРАТУРЫ ФУНКЦИИ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯВ ШАРОВЫХ ОПОРАХ.

3.1. Постановка задачи определения нестационарного температурного поля в шаровой опоре.

3.2. Численный алгоритм решения прямой задачи.

3.3. Алгоритм определения функции интенсивности тепловыделения методом итерационной регуляризации.

3.4. Решение модельной граничной обратной задачи.

Выводы к главе III.

Глава IV. ТЕПЛОВАЯ ДИАГНОСТИКА ТРЕНИЯ ПРИ НАТУРНЫХ

ИСПЫТАНИЯХ УЗЛОВ ТРЕНИЯ.

4.1. Квазитрехмерная математическая тепловая модель для подшипника скольжения.

4.2. Определение функций тепловыделения с использованием квазитрехмерной математической модели.

4.3. Экспериментальная проверка эффективности восстановления момента силы трения в подшипнике скольжения.

4.4. Восстановление мощности трения в шаровой опоре автомобиля.

Выводы к главе IV.

Практика эксплуатации различного рода машин и механизмов в суровых климатических условиях Крайнего Севера показывает, что их работоспособность значительно снижается под воздействием низких температур и резких температурных перепадов. При этом значительная часть неисправностей техники связана с низкой надежностью триботехнических систем, в том числе опор скольжения. Анализ надежности трибосопряжений показывает, что основной причиной в данном случае является резкое повышение вязкости, а зачастую и застывание применяемых смазочных масел и спецжидкостей, в результате чего значительно повышается мощность трения, износ сопрягаемых деталей. Все это приводит к преждевременному выходу из строя машин и механизмов.

В Институте неметаллических материалов СО РАН ведутся работы по реализации комплексного подхода по созданию триботехнических систем, работоспособных в условиях холодного климата, включающего такие наиболее важные аспекты как материаловедческий, конструкторский, технологический, расчетный и испытательный [107-111,118-120].

Проектирование узлов трения, обеспечивающее их работоспособность и надежность, во многом определяется научно обоснованным выбором триботехнических параметров пар трения. Обоснованный выбор триботехнических параметров и достоверное прогнозирование их изменения при различных эксплуатационных режимах наиболее эффективно реализуются при рациональном сочетании теоретических и экспериментальных работ. Математическое моделирование процессов трения позволяет решить круг задач, связанных с выбором наиболее работоспособного материала, с прогнозированием долговечности узлов трения, с изучением механизмов и причин возникновения критических состояний, с выбором рациональных конструктивных решений и параметров, обеспечивающих работоспособность в широком диапазоне режимов. Значительный вклад в этой области внесли отечественные ученые: Крагельский И.В. [62,63], Чичинадзе А.В. [112-114], Буше Н.А. [37,113], Белый В.А.[27], Ворович И.И. [41], Александров В.М. [4], Евдокимов Ю.А. [48], Коровчинский М.В.[57], Гаркунов Д.Н. [42], Коваленко Е.В. [3], Горячева И.Г.[46], Балакин В.А. [26,117], Михин Н.М.[70], Костец-кий Б.И. [59-61], Черский И.н: [30,107], Богатин О.Б. [30-33,118-120], Мыш-кин Н.К. [73], Петроковец М.И. [73], Богданович П.Щ34] и другие.

Одним из наиболее важных триботехнических параметров в опорах скольжения является мощность трения, характеризующая затраты механической энергии на трение. Сравнительным анализом значений мощности трения возможно определение наиболее работоспособных материалов для пар трения, подбор наиболее оптимальных конструктивных параметров для обеспечения их надежной работы. В то же время непосредственный замер мощности трения весьма затруднен. Это связано со сложностью, а иногда невозможностью размещения громоздких торсионных приборов замера мощности трения в стендовых установках. Данная проблема еще более усугубляется при необходимости определения мощности трения в эксплуатируемой технике.

Задача восстановления мощности трения относится к классу так называемых обратных задач теплообмена. Выданной задаче необходимо по следствию, т.е. по температурным данным восстановить причинную характеристику - мощность трения. Особенностью обратных задач является их некорректность, т.е. неустойчивость к малым погрешностям в исходных данных, что требует привлечения специальных методов решения.

Отечественные ученые: Тихонов А.Н.[104,105], Лавреньтьев М.М. [64], Иванов В.К.[51], Марчук Г.Щ66], Романов В.Г.[81], Алифанов О.М. [5-22], Коздоба JI.A. [54], Клибанов М.В.[51-53], Гончарский А.В. [45], Тана-на В.Щ102], Бухгейм А.Л.[36], Прилепко А.И. [79], Аниконов Ю.Е.[23], Васильев Ф.П. [40], Темкин А.Г. [103], Мацевитый Ю.М. [67,68], Самарский А.А., Вабищевич П.Н. [84,85,16,38], и др. внесли большой вклад в развитие методов решения обратных задачи и их практическое применение в таких областях как авиационная и ракетно-космическая, в энергетике, металлургии, геофизике, материаловедении и т.д. В нашей Республике Саха (Якутия) в задачах фильтрации, течения грунтовых вод, идентификации теплофи-зических характеристик грунта, добычи, транспортировки нефти и газа применяют методы решения обратных задач Васильев В.И. [39], Бондарев Э.А. [25], Павлов А.Р. [74], Пермяков П.П.[77,78], Павлов Н.Н. [75], Тихонова О.А.[ 106]. В то же время применение обратных задач в трибологии пока весьма ограничено. Имеются единицы работ по трибологии, в которых применяются методы обратных задач. Например, в работе [29] функция интенсивности линейного изнашивания в подшипниках скольжения идентифицируется по замерам смещения вала. Также стоит отметить, что сдерживающим фактором в практическом применении обратных задач до конца XX века было ограничение вычислительных возможностей компьютерной техники. В настоящее же время современные персональные ЭВМ позволяют решать обратные задачи в многомерных постановках, что влечет за собой более широкое практическое применение обратных задач.

Разработанный и теоретически обоснованный в Институте неметаллических материалов СО РАН метод тепловой диагностики трения позволяет идентифицировать мощность трения по температурным данным [87-100,118120,123-126]. Данный метод основан на допущении, согласно которому практически вся энергия, затрачиваемая на трение, трансформируется в тепло (от 93% для мягких алюминиевых сплавов, практически до 100% для закаленной стали) [60,61]. Суть метода заключается в том, что при проведении испытаний узлов трения на стендовой установке или непосредственно на эксплуатируемой технике, на известном расстоянии от зоны трения устанавливаются термодатчики (термопары), регистрирующие температуру в окрестности зоны трения. Далее решением граничной обратной задачи теплообмена производится восстановление фрикционного тепловыделения и соответственно значения мощности трения. А так как производить замер температуры в узлах трения гораздо проще, чем устанавливать в них громоздкие механические торсионные приборы непосредственного замера мощности трения, то получение информации о затратах на трение становится более простой задачей. Таким образом, метод тепловой диагностики узлов трения может широко применяться при проектировании узлов трения, при оценке технического состояния узлов трения машин и механизмов, а также для повышения информативности при испытаниях узлов трения, как на стендовых испытательных установках, так и на эксплуатируемой технике.

Несмотря на экспериментальное подтверждение, для успешного использования метода тепловой диагностики трения, с целью диагностики технического состояния узлов трения машин и механизмов, требуется его развитие на случай зависимости теплофизических свойств материалов от температуры. Это обусловлено, в первую очередь, широким диапазоном температур эксплуатации полимерных узлов трения от -195 до 230 °С, в котором тепло-физические свойства материалов значительно изменяются. Таким образом, актуальной является проблема разработки нелинейного метода тепловой диагностики трения, учитывающего в математических моделях зависимость теплофизических свойств от температуры.

Кроме того, существующие стенды для натурных испытаний сферических сопряжений (шаровой опоры) не позволяют получать данные об изменении мощности трения в процессе его эксплуатации, что существенно снижает информативность проведения испытаний. Поэтому актуальной является разработка метода тепловой диагностики трения для одних из наиболее распространенных в технике сопряжений - сферических.

В данной работе рассматривается развитие метода тепловой диагностики трения на случай нелинейной постановки задачи для цилиндрических сопряжений, а также впервые поставлена и решена задача тепловой диагностики трения для сферических сопряжений.

Как будет показано ниже, нелинейность математической модели существенно повышает точность восстановления функции мощности трения. Разработанные модели в цилиндрических и сферических координатах и разработанное на их основе программное обеспечение позволяет выполнять расчеты восстановления мощности трения для различных узлов трения. В частности, в работе приводятся расчеты мощности трения для подшипника скольжения и шаровой опоры автомобиля. В работе рассматриваются опоры скольжения "сухого" трения. Однако разработанный метод тепловой диагностики трения может применяться для восстановления мощности трения и при граничном трении.

Цель работы. Разработка численных алгоритмов решения нелинейных прямых и граничных обратных задач теплообмена в цилиндрических и сферических сопряжениях для восстановления функции фрикционного тепловыделения и соответственно мощности трения по температурным данным.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

- Разработка эффективного алгоритма решения граничной обратной задачи по восстановлению мощности фрикционного тепловыделения и соответственно момента силы трения в цилиндрических сопряжениях по температурным данным с учетом зависимости теплофизических свойств от температуры, его реализация в виде программы для проверки эффективности нелинейной тепловой диагностики трения;

- Математическое моделирование теплового процесса и разработка алгоритма восстановления мощности фрикционного тепловыделения в сферических сопряжениях по температурным данным и его численная реализация для проведения вычислительных и натурных экспериментов;

- Экспериментальная проверка эффективности нелинейной тепловой диагностики трения в цилиндрических сопряжениях и восстановление мощности фрикционного тепловыделения в шаровой опоре автомобиля с помощью разработанного метода нелинейной тепловой диагностики трения в сферических сопряжениях.

Работа выполнена в рамках научно-исследовательской темы 2.3.3. «Разработка методов расчета триботехнических параметров для систем опор скольжения из полимерных композиционных материалов», 2002-2004 гг., № гос. регистрации 01.200.200045 и при финансовой поддержке гранта Президента РС(Я) для молодых ученых и специалистов на 2004 г.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения, изложена на 127 страницах, содержит 28 рисунков и списка использованной литературы, включающего 126 наименований.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [55,56,93,94,95,97,98,125].

Выводы к главе IV.

Разработан и программно реализован численный алгоритм определения температурного поля в подшипнике скольжения с использованием квазитрехмерной математической тепловой модели с учетом зависимости теплофизических свойств от температуры.

Показана возможность обобщения разработанного алгоритма восстановления момента силы трения в цилиндрических сопряжениях с использованием плоской модели на случай использования квазитрехмерной модели.

На основе проведения натурных и вычислительных экспериментов, а также сравнения экспериментальных и расчетных значений момента силы трения установлена эффективность нелинейной тепловой диагностики трения в цилиндрических сопряжениях.

Впервые в условиях эксплуатации автомобиля разработанным методом нелинейной тепловой диагностики трения восстановлена мощность тепловыделения трения в шаровой опоре.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе математического моделирования тепловых процессов, разработки и реализации численных методов решения квазилинейных многомерных прямых и обратных задач теплопроводности разработан эффективный метод нелинейной тепловой диагностики трения в цилиндрических и сферических сопряжениях.

2. Разработанный алгоритм и комплекс программ могут быть использованы для восстановления мощности трения в подвижных сопряжениях эксплуатируемой техники.

1. Азима Ю.И., Беляев Ю.И., Кулаков М.В: О применении консервативного разностного уравнения для определения нестационарных тепловых потоков // ИФЖ.- 1984.- Т. 46.- № 4.- С. 670-676.

2. Алдошин Г.Т., Голосов А.С., Жук В.И. Решение обратной задачи нестационарной теплопроводности для пластины // Тепломассоперенос. -Минск: Наука и техника, 1968.-Т. 8. С. 186-198.

3. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. Москва: Наука, 1986. - 336 с.

4. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. Москва: Наука, 1983. - 488 с.

5. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. Москва: Машиностроение, 1979. - 216 с.

6. Алифанов О.М. О методах решения некорректных обратных задач // ИФЖ. 1983. - Т. 45. - № 5.- С. 742-752.

7. Алифанов О.М. Об одном способе учета априорной информации при решении некорректных обратных задач // ИФЖ. 1985. - Т.49. - № 6 - С. 925-932.

8. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена в исследовании тепловых процессов и проектировании технических систем // ИФЖ. 1977. - Т. 33. - № 6. - С. 972-981.

9. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М: Машиностроение, 1988.-280 с.

10. Алифанов О.М. Определение тепловых нагрузок из решения нелинейной обратной задачи // ТВТ. 1977. - Т. 15. - № 3. - С. 598-605.

11. Алифанов О.М. Решение обратной задачи теплопроводности итерационными методами //ИФЖ. 1974. - Т. 26. - №4. - С. 682-689.

12. Алифанов О.М., Артюхин Е.А. Регуляризованное численное решение нелинейной обратной задачи теплопроводности // ИФЖ. 1975. - Т. 29. -№1.- С. 159-164:

13. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1988. - 288 с.

14. Алифанов О.М., Балашова И.Е. Выбор приближенного решения обратной задачи теплопроводности // ИФЖ. 1985. - Т. 48. - № 5. - С. 851-860.

15. Алифанов О.М., Вабищевич П.Н., Михайлов В.В. и др. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем. М: Логос, 2001. -400 с.

16. Алифанов О.М., Геджадзе И.Ю. Об одном методе оперативной идентификации тепловых нагрузок // ИФЖ. 1998. Т. 7, №1. G. 30-40.

17. Алифанов О.М., Егоров Ю.В. Алгоритмы и результаты решения граничной обратной задачи теплопроводности в двумерной постановке // ИФЖ. 1985. - Т. 48. - № 4. - С. 658-666.

18. Алифанов О.М., Керов Н.В. Определение параметров внешнего теплового нагружения из решения двумерной обратной задачи теплопроводности // ИФЖ. 1981. -Т. 41. - № 4. -G. 581-586.

19. Алифанов О.М., Михайлов В.В. Решение по замерам температуры нелинейной обратной задачи теплопроводности итерационным методом // ИФЖ. 1978. - Т. 35. - № 6. - С. 1123-1129.

20. Алифанов О.М., Румянцев С.В. Об устойчивости итерационных методов решения линейных некорректных задач // ДАН GCCP. 1979. - Т. 248. -№6.-С. 1289-1291.

21. Алифанов О.М., Румянцев С.В. Регуляризующие градиентные алгоритмы для решения обратных задач теплопроводности //ИФЖ. 1980. - Т. 39.-№2.-С. 253-258.

22. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978.- 120 с.

23. Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Об оптимальном выборе шагов спуска в градиентных методах решения обратных задач теплопроводности // ИФЖ. 1980. - Т. 39. - № 2. - С. 264-269.

24. Бабе Т.Д., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Идентификация моделей гидравлики. Новосибирск: Наука, 1980. -160 с.

25. Балакин В.А., Сергиенко В.П. Тепловые расчеты тормозов и узлов трения. Гомель: ИММС НАНБ, 1999. - 220 с.

26. Белый В.А., Свириденок А.И., Петроковец М.И., Савкин В.Г. Трение и износ материалов на основе полимеров. Минск: Наука и техника, 1976. - 432 с.

27. Богатин О.Б., Каниболотский М.А. Исследование и идентификация процесса изнашивания втулки подшипника скольжения // Трение и износ. -1980. Т.1. - №3. - С.533-542.

28. Богатин О.Б., Моров В:А., Черский И.Н. Основы расчета полимерных узлов на трение и износ. -Новосибирск: Наука, 1983. -214 с.

29. Богатин О.Б., Старостин Н.П. Идентификация эффективного коэффициента теплопроводности композиционных покрытий // Трение и износ.1988.-Т.9.-№4.-С. 642-646.

30. Богатин О.Б., Старостин Н.П., Черский И.Н. и др. Экспериментальная оценка эффективности восстановления моментов трения в системе не-смазываемых подшипников по замерам температур // Трение и износ.-1991.-Т.12.-ЖЗ.-С. 442-445.

31. Богатин О.Б., Черский И.Н., Тихонов А.Г. Термоупругая контактная задача для двух цилиндров с учетом тепловыделения на контакте // 1-я конференция по механике: Сб. докл. (I. КМ. 87). Прага, 1987. -С. 285288.

32. Богданович П.Н., Прушак В.Я. Трение и износ в машинах. Минск: Вышэйшая школа, 1999.,-376 с.

33. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. Москва: Ротапринт ВЦ МГУ, 1969. Вып. 2. -299 с.

34. Бухгейм A.JI. Многомерные обратные задачи // Некорректные задачи математической физики и анализа.- Новосибирск: Наука, 1984. С. 3135.

35. Буше Н.А., Копытько В.В. Совместимость трущихся поверхностей. -Москва: Наука, 1981 .- 127 с.

36. Васильев В.И., Попов В.В., Тимофеева Т.С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.-128 с.

37. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. Москва: Наука, 1981.-400 с.

38. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. Москва: Наука, 1974.- 456 с.

39. Гаркунов Д.Н. Триботехника. Москва: Машиностроение, 1985. 424 с.

40. Гилязов С.Ф. Об устойчивом решении линейных операторных уравнений I рода методом наискорейшего спуска // Вестн. МГУ. 1980. - Сер. 15.-№3.-С. 26-32.

41. Гинкул С.И., Соколов А.К. О решении обратной задачи теплопроводности дискретным удовлетворением краевых условий // Математическое моделирование и оптимизация процессов тепломассообмена в установках пром. теплоэнерг. Иваново, 1983 - С. 51-54.

42. ГончарскийА.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г., Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978. - 336 с.

43. Горячева И.Г. Контактные задачи в трибологии. Автореферат на соискание уч. степ. д.ф.-м.н.-Москва, 1987 30 с.

44. Дерягин Б.В. Что такое трение ? Москва: АН СССР, 1963. - 230 с.

45. Евдокимов Ю.А., Колесников В.И., Тетерин А.И. Планирование и анализ экспериментов при решении задач трения и износа. Москва: Наука, 1980.-228 с.

46. Иванов В.А. Теплофизические характеристики наполненных фторопластов // Вязкоупругие свойства полимеров при низких температурах: -Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1979. С. 105-117.

47. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода //ЖВМ и МФ . 1966. - Т.6. - № 6. - С. 1089-1093.

48. Клибанов М.В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения -1984.-Т. 20, №11.-С. 1947-1952.

49. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений // Сибирский мат. Журнал. 1986. - Т. 27, №5. -С. 83-94.

50. Клибанов М.В. Обратные задачи в «целом» и карлемановские оценки // Дифференциальные уравнения 1984. - Т. 20, №6. - С. 1035-1041.

51. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач тепло-переноса. Киев: Наукова думка, 1982. - 360 с.

52. Кондаков А.А. Идентификация мощности трения в шаровой опоре по температурным данным // VII Лаврентьевские чтения. Сборник статей. -Якутск: 2003. Том I. С. 56-63.

53. Коровчинский М.В. Основы теории термического контакта при локальном трении // Новое в теории трения. Москва: Наука, 1968.

54. Костецкий Б.В., Натансон М.Э., Бершадский Л.И. Механохимические процессы при граничном трении. Москва: Наука, 1972. - 170 с.59., Костецкий Б.И. Трение, смазка и износ в машинах. Киев: Техника, 1970.-396 с.

55. Костецкий Б.И., Линник Ю.И. Энергетический баланс при внешнем трении металлов // Машиноведение. 1968. - № 5. - С. 82-94.

56. Костецкий Б.И., Линник Ю.И. Энергетический баланс при внешнем трении металлов // ДАН СССР. 1968. - Т. 183. - № 5. - С. 42-46.

57. Крагельский И.В. Трение и износ. Москва: Машиностроение, 1968. -420 с.

58. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ. Москва: Машиностроение, 1977. - 528 с.

59. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 92 с.

60. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Москва: Наука, 1977.- 456 с.

61. Мацевитый Ю.М;, Прокофьев В.Е. Моделирование нелинейных процессов в распределенных системах. Киев: Наукова думка, 1985. - 304 с.

62. Мацевитый Ю.М., Прокофьев В.Е., Широков B.C. Решение обратных задач теплопроводности на электрических моделях. Киев: Наукова думка, 1980. - 132 с.

63. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. Москва: Энергия, 1973.-320 с.

64. Михин Н.М. Внешнее трение твердых тел. Москва: Наука, 1977. - 219 с.

65. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. Москва: Наука, 1966. - 432 с.72; Моисеев Н.Н., Иванилов, Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М: Наука, 1978.-352 с.

66. Мышкин Н.К., Петроковец М.И. Трибология. Принципы и приложения. Гомель: ИММС НАНБ, 2002. - 308 с.

67. Павлов А.Р. Математическое моделирование процессов тепломассопе-реноса и температурных деформаций в строительных материалах при фазовых переходах. Новосибирск: Наука, 2001. - 176 с.

68. Павлов Н.Н., Якушева Н.В. Численные методы решения некоторых обратных задач гидравлики и качества воды // Математические заметки ЯГУ. 1999. Т.6, Выпуск 2.-С. 121-130

69. Пахаренко В.А., Зверин В.Г., Привалко В.П., Петрушенко Е.Ф., Демченко С.С., Тладченко А.Н. Теплофизические и: реологические характеристики и коэффициенты трения наполненных термопластов. Киев: Нау-кова думка, 1983. - 279 с.

70. Пермяков П.П. Идентификация параметров математической модели те-пловлагопереноса в мерзлых грунтах. Новосибирск: Наука, 1989. - 86 с.

71. Пермяков П.П., Аммосов А.П. Математическое моделирование техногенного загрязнения в криолитозоне. Новосибиск: Наука, 2003. - 224 с.

72. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала // Мат. заметки. -1973. Т.14. - Вып. 5. - С.755-765.

73. Пшенников Ю.А., Федюкович А.К., Хрусталев Ю.В. Об одном алгоритме решения граничной обратной задачи теплопроводности // Теплообмен и гидродинамика. Красноярск, 1983. - С. 38-43.

74. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М: Наука. — 264 с.

75. Румянцев С.В. Способы учета априорной информации в регуляризую-щих градиентных алгоритмах // ИФЖ. 1985. - Т. 49. - № 6. - С. 932-936.

76. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва: Наука, 1977. 656 с.

77. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики // Фундаментальные основы математического моделирования. Москва: Наука, 1997. - С.5 - 97.

78. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М: Изд-во «Едиториал УРСС», 2004. -480 с.

79. Самарский А.А., Тулин А.В. Численные методы. М: Наука, 1989. -432 с.

80. Старостин Н.П. Идентификация затрат механической энергии на трение в опорах скольжения по замерам температуры 7/ Труды I Российской Национальной конференции по теплообмену. Москва, 1994.- Т.Ю.-Часть 2.- С. 104-109.

81. Старостин Н.П. Идентификация затрат механической энергии на трение в направляющих скольжения по температурным данным// Идентификация динамических систем и обратные задачи. Доклады Международной конференции. Санкт-Петербург, 1994,- С. 61 - 69.

82. Старостин Н.П. Кондаков А.С. Тепловая диагностика трения в цилиндрических сопряжениях. I. Алгоритм итерационного решения граничной обратной задачи // Инженерно-физический журнал. 2001.Т. 74, №2. С.13-17.

83. Старостин Н.П. Математическое моделирование теплового режима и температурная диагностика трения в системе цилиндрических подшипников скольжения // Математические заметки ЯГУ.- Новосибирск, 1997.-С. 161-170.

84. Старостин Н.П., Донченко В .В., Баланов Г.И. Экспериментальная проверка эффективности температурной диагностики трения в подвижных сопряжениях // Триботехнические материалы и системы для холодного климата. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1987 - С. 42-49.

85. Старостин Н.П., Кондаков А.А. Анализ теплового состояния шаровой опоры // Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции «Математика. Информатика. Образование». -Якутск, 2002. -С. 47.

86. Старостин Н.П., Кондаков А.А. Восстановление мощности трения в шаровой опоре по температурным данным // Труды II Евразийского симпозиума по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата: Часть IV Якутск. 2004. С. 176-183.

87. Старостин Н.П., Кондаков А.А. Восстановление мощности трения в шаровой опоре по температурным данным.// Тезисы докладов IV Международной конференции по математическому моделированию. Якутск, 2004. -С 87.

88. Старостин Н.П., Кондаков А.С. Тепловая диагностика трения в цилиндрических сопаряжениях. II. Вычислительные эксперименты и обобщения // Инженерно-физический журнал. 2002. Т. 75, №5. -С. 125 129.

89. Старостин Н.П., Кондаков А.С., Кондаков А.А. Восстановление момента силы трения в полимерном подшипнике скольжения по замеру температуры // Трение и износ, 2002, т. 23, №5, С. 498-508.

90. Старостин Н.П., Кондаков А.О., Кондаков А.А. Нелинейная тепловая диагностика в подшипниках скольжения // Труды I Евразийского симпозиума «EUROASTRENCOLD-2002».-Якутск, 2002, часть IV, с. 170-183.

91. Старостин Н.П.,- Тихонов. А.Г., Богатин О.Б. Восстановление момента силы трения в подвижных цилиндрических сопряжениях по замерам температуры // ИФЖ. 1993.- Т.65.-№6.- С.730-734.

92. Старостин Н.П., Тихонов А.Г., Моров В.А., Кондаков А.С. Расчет три-ботехнических параметров в опорах скольжения. Якутск: Изд-во ЯНЦ СО РАН, 1999.-276 с.

93. Сурков Г.А., Юревич Ф.Б., Филоненко А.Н., Чупрасов В.В. Определение теплового потока по данным измерения температур внутри датчика // ИФЖ. 1983. - Т. 45. - № 4. - С. 563-566.

94. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений.- М.: Наука, 1981. 157 с.

95. Темкин А.Г. Обратные методы теплопроводности. Москва-Ленинград: Энергия, 1979. - 464 с.

96. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации//ДАН СССР. 1963. - Т. 151. - № 3. - С. 501-504.

97. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -Москва: Наука, 1974. 224 с.

98. Тихонова О.А. Численное решение некоторых обратных задач математической физики // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Якутск: Издательство ЯГУ, 1999. - 16 с.

99. Черский И.Н. Проблемы трения и износа в условиях холодного климата // Исследование триботехнических систем в условиях холодного климата. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1985. - С. 3-21.

100. Черский; И.Н., Богатин О.Б., Борисов А.З. Анализ температурного поля полимерного подшипника скольжения в нестационарный период трения // Трение и износ. -1981. Т. 2. - № 2. - С. 231-238.

101. Черский И.Н., Богатин О.Б., Старостин Н.П. Восстановление моментов трения в системе несмазываемых подшипников по замерам температур // Трение и износ. 1986. - Т. 7. - № 5; - С. 878-887.

102. Черский И.Н., Богатин О.Б., Старостин Н.П. Идентификация тепловой нагрузки в подшипнике скольжения в нестационарный период трения // ИФЖ. 1984: - Т. 47. - № 6. - С. 1000-1006.

103. Черский И.Н., Богатин О.Б., Старостин Н.П., Донченко В.В., Баланов Г.И. Экспериментальная оценка эффективности температурной диагностики трения // ИФЖ. -1987.-Т.57.-№3.- С.442-446.

104. Чичинадзе А.В. Расчет и исследование внешнего трения при торможении. Москва: Наука, 1967. - 232 с.

105. Чичинадзе А.В., Браун Э.Д., Буше Н.А. Основы трибологии (трение, износ, смазка). М.: Машиностроение, 2001. - 664 с.

106. Чичинадзе А.В., Браун Э.Д.,.Гинзбург A.F., Игнатьева 3.В. Расчет, испытание и подбор фрикционных пар. Москва: Наука, 1979. - 268 с.

107. Ярышев Н.А. Теоретические основы измерения нестационарных температур. Ленинград: Энергия, 1967. - 300 с.

108. Alnajem N.M., Ozisik M.N. A direkt analitical approach for solving linear inverse heat conduktion problem // Trans. ASME: J. Heat Transf. 1985.-Vol.107.-N3.-P. 700-703.

109. Balakin V.A, Head flow distribution and combined head-mass transfer processes at the contact interface of a friction pair // J. Eng. Phys. 1981- Vol. 40.- P. 660-665.

110. Bogatin O., Chersky I., Starostin N. Simulation and Identification of Nonsta-tionary Heat Transfer in Nonuniform Friction Contact // Trans. ASME. Journal of Tribology.- 1993.- Vol. 115. №2:- P. 299-306.

111. Bogatin O., Starostin N., Chersky I. Temperature diagnostics of sliding bearing// Proceeding 5 International congress of tribology.-Helsinki; 1989.-Vol.5.-P. 275-279.

112. Busay H.R:, Truillo D.M. Numerical solution to a twodimentional inverse heat conduction problem // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1985. - Vol. 21. - N 2. - P. 349-359.

113. Dropkin D., Karmi A. Natural convection heat transfer from a horisontal cylinder rotating in air // Trans: ASME. - 1957. - Vol. 59. - N 4. - P. 19-27.

114. Starostin N.P. Identification of mechanical energy friction losses in sliding guides from temperature data // Inverse problems in engineering. 1998.-Vol.6.- DD 1-13.

115. Starostin N.P. Heat friction diagnostics in sliding joints// Proceeding of the 4th International conference: Inverse Problem: Identification, Design and Control. Moscow, 2003. - (Papers/ 91 .pdf.) PP.93-98.

116. Starostin N.P., Kondakov A.A. Reconstruction of friction power in a ball bearing from temperature data // Proceeding of the 4th International conference: Inverse Problem: Identification, Design and Control. Moscow, 2003. -PP. 111-114.

117. Starostin N.P., Kondakov A.S. Boundary Inverse Problems of Heat Exchange for Sliding Bearing Control and Diagnostics // Inverse Problems in Engineering, 1999, Vol. 7, -pp. 565-580.