автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование помех отражения и перекрестных наводок в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками

На правах рукописи

Вершинин Евгений Анатольевич

□□а«-. — ¿еД,

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОМЕХ ОТРАЖЕНИЯ И ПЕРЕКРЕСТНЫХ НАВОДОК В МНОГОПРОВОДНЫХ ЛИНИЯХ СВЯЗИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ НАГРУЗКАМИ

05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новокузнецк 2009

003463738

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» на кафедре ЮНЕСКО по НИТ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Афанасьев Константин Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент

Калашников Сергей Николаевич кандидат технических наук, старший научный сотрудник Газизов Тальгат Рашитович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Омский государственный

университет им. Ф. М. Достоевского»

Защита состоится 19 марта 2009 г. в 13-00 на заседании диссертационного совета Д 212.252.02 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет» (ГОУ ВПО «СибГИУ») по адресу: 654007, г. Новокузнецк, Кемеровской обл., ул. Кирова, 42, СибГИУ.

Email: sec_nr@sibsiu.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «СибГИУ».

Автореферат разослан /У февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета > {Х/ф^ / В. Ф. Евтушенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задача распространения сигнала вдоль несогласованных линий связи с линейными и нелинейными нагрузками играет центральную роль в современных технологиях обработки и передачи сигналов. Скоростные аналоговые и цифровые цепи любого уровня интеграции предлагают широкий выбор примеров простых н многопроводных, однородЕгых и неоднородных линий связи, присоединенных к устройствам с различными входными характеристиками. Понижение времени установления уровня амплитуды сигнала подчеркивает важность эффектов распространения и искажения сигналов вследствие воздействия паразитных эффектов, таких как отражения от несогласованностей, перекрестные наводки и скин-эффект, которые являются наиболее значимыми в большинстве приложений. С другой стороны, присоединение нелинейных устройств сокращает допустимый интервал искажения сигнала, что повышает чувствительность систем, характеризующихся процессами распространения. В результате в последние годы, особенно учитывая уровень развт-ия вычислительной техники, все чаще для анализа и прогнозирования поведения цепей используется численный эксперимент. Так, в настоящее время наиболее полно разработаны программы моделирования линейных радиотехнических устройств с сосредоточенными параметрами в частотной области, которые позволяют рассчитать амплитудно-частотные и фазо-часготные характеристики, входные и выходные импедансы, гарантировать устойчивость в малосигнальном режиме. Достаточно хорошо разработаны программы моделирования нелинейных аналоговых и цифровых схем, позволяющие определять параметры переходных процессов в низкодобротных цепях при воздействии одиночных импульсов и гармонических, как правило, не модулированных сигналов. Хорошо отлажены методы моделирования параллельных линий с распределенными параметрами без потерь, нагруженные на произвольные цепи при воздействии одиночных тестовых сигналов. Существует ряд подходов, основанных на смешанных методах, дающих приемлемые результаты моделирования линий с распределенными параметрами и потерями в нелинейных цепях.

Однако, учитывая особенности существующих методов, в которых часть решения проводится аналитически, анализ многопроводных линий сопряжен с громоздкими выкладками, что затрудняет решение практических задач, особенно если поведение оконечных устройств не может быть описано стандартными аналитическими функциями. Следует отметить, что такие средства, как Spice, достаточно дорогостоящи и зачастую ненадежны при анализе многопроводных линий. Поэтому моделирование процессов в

линиях связи с нелинейными нагружающими цепями является актуальной научной и практической задачей.

Цель и задачи диссертации. Целью диссертационной работы является разработка алгоритма и комплекса программ для численного моделирования многопроводных линий связи с нелинейными, несогласованными нагрузками. Для достижения цели в работе решаются следующие задачи:

1. Анализ структур многопроводных линий связи и выбор объекта моделирования.

2. Разработка математической модели многопроводных линий связи с учетом многократности отражений и нелинейности нагружающих цепей.

3. Разработка методики, алгоритма и комплекса программ численного моделирования многопроводных линий связи с нелинейными несогласованными нагрузками.

4. Проверка адекватности и достоверности работы программного комплекса в сравнении с результатами других авторов и экспериментальными данными.

5. Расчет помех отражения и перекрестных наводок в линии связи с нелинейным элементом, вольт-амперная характеристика которого имеет произвольный вид.

Методы выполнения работы. Для достижения указанной цели в работе использованы методы численного моделирования, математической физики, теории линий с распределенными параметрами, матричного анализа, сплайн-аппроксимации.

Научная новизна работы:

■ структурирован новый объект моделирования, представленный в виде многопроводных линий связи, отличающихся наличием сложных нелинейных, несогласованных нагрузок;

«• математическая модель многопроводных линий связи, позволяющая с заданной точностью описывать свойства и особенности многопроводных линий связи с нелинейными, несогласованными нагрузками;

■ алгоритм моделирования многопроводных линий связи с нелинейными, несогласованными нагрузками, основанный на численной схеме Годунова и дополненный граничными условиями для учета многократных отражений и аппроксимацией сплайном с натяжением для описания вольт-амперной характеристики нелинейной нагрузки;

* результаты численного моделирования, представленные в виде рекомендаций по применению программного комплекса для расчета помех отражения и перекрестных наводок в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования заключается в следующем:

■ методы, модели и алгоритмы, предложенные в диссертационной работе, могут быть использованы в пакетах прикладных программ фирм,

разрабатывающих программное обеспечение для анализа и проектирования узлов печатных плат;

■ реализованный модуль сплайн-аппроксимации может быть использован для исследования выходных характеристик устройств, содержащих нелинейные элементы и выполняющие функции преобразования входного сигнала;

■ разработанный программный комплекс может быть использован на предприятиях, выпускающих печатные платы радиоэлектронных устройств на этапе проектирования при анализе соединений элементов, в том числе в узлах защиты от перенапряжения и стабилизации. Реализация результатов работы:

* результаты работы были использованы при выполнении гранта Министерства образования и науки Российской Федерации № 4828 в рамках федеральной программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (2005 - 2006 гг.);

■ программный комплекс внедрен в НИИ «ЭТОСС» (г. Томск) для использования в проекте 50/08 ДФ «Библиотеки моделей и интегрированная интеллектуальная программная среда для автоматизированного проектирования СВЧ монолитных интегральных схем на основе гетероструктурных нанотехнологий». Достоверность реализации программного комплекса подтверждается справкой об использовании.

Предмет защиты и личный вклад автора. На защиту выносятся:

■ объект моделирования - многопроводные линии связи с нелинейной, несогласованной нагрузкой;

■ математическая модель многопроводных линий связи с нелинейной, несогласованной нагрузкой;

■ алгоритм моделирования, реализованный в виде комплекса программ;

■ результаты численного моделирования.

Основные научные и практические результаты диссертации получены автором лично. В работах [1,4-9] автор участвовал в разработке и реализации численных алгоритмов, проведении численных расчетов, анализе и интерпретации результатов. В работах [2,10,11] автор участвовал в процессе постановки задачи и разработке алгоритма аппроксимации вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. В работе [3] автор участвовал в процессе постановки задачи и разработке алгоритма анализа помех отражения в многосегментных линиях связи.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на: Всероссийской научно-практической конференции «Недра Кузбасса Инновации» (Кемерово, 2006-2008); Международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления» (Томск, 20042006); Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (Томск, 2006,2008);

Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (Анжеро-Судженск, 2003, 2005, 2006); Международной научной, студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2003); А также регулярно на семинарах «Численные методы решения задач механики сплошной среды» кафедры ЮНЕСКО по НИТ КемГУ под руководством профессора К Б. Афанасьева (Кемерово, 2003-2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК для предоставления основных результатов диссертации, 8 публикаций в трудах и материалах конференций, 6 публикаций в тезисах конференций. Общий объём публикаций - 4.62 печ. л.; объём, принадлежащий лично автору, -3.55 печ. л.

Структура и объём работы. Диссертация состоигг из введения, четырех глав, заключения и приложений. Работа содержит 114 страниц текста, 8 таблиц, 31 рисунок, список использованных источников из 118 наименований и приложения на 1 странице.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, изложено краткое содержание работы, сформулированы цели и задачи исследования, а также выносимые на защиту результаты.

Глава 1. Методы анализа многопроводных линий связи и аппроксимация вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Первая глава посвящена анализу близких по тематике публикаций. Приведены необходимые допущения, при которых процессы в линиях связи могут быть описаны системой телеграфных уравнений. Проведен обзор методов решения телеграфных уравнений в частотной и временной областях, предлагаемых различными авторами. Отмечены их достоинства и недостатки. Приведен обзор различных вариантов аппроксимаций вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Показано место данной работы в общем ряду исследований, посвященных вопросам, затронутым в диссертации. Выделен объект исследования.

Задача I: На основе анализа литературы выбрать объект моделирования, сформулировать цели и задачи диссертационной работы.

В общем виде телеграфные уравнения могут быть выведены из уравнений Максвелла, записаны как следствие теоремы взаимности электротехнических цепей или получены из законов Кирхгофа предельным переходом от уравнений цепи с сосредоточенными параметрами к уравнениям для структуры с распределенными параметрами. При этом должны выполняться следующие допущения:

■ многопроводная линия считается однородной по ее длине, а на концах она нагружена произвольными цепями. Если вдоль линии имеются

неоднородности, то ее можно разбить на ряд однородных участков, а влияние неоднородносгей учесть, вводя соответствующие эквивалентные цепи или описывая поведение параметров линий связи некоторой функциональной зависимостью;

■ геометрические размеры структуры в поперечном сечении малы по сравнению с длиной волны сигнала, проходящей по ней;

■ длина линии намного превышает расстояние между ее проводниками. С учетом этих допущений многопроводная линия связи описывается

системой дифференциальных уравнений в частных производных во временной области и системой обыкновенных дифференциальных уравнений в частной области:

& а (1)

дх 81

где Я,Л,С,С - матрицы сопротивлений, индуктивностей, емкостей и проводимостей, соответственно. Первая пара слагаемых в системе (1) описывает процесс распространения электромагнитного поля, вторая -взаимодействие между проводниками.

Если нагружающие цепи состоят из генераторов и инвариантных во времени сопротивлений, то будут справедливы следующие граничные условия:

и(0,!)=и,( 0,/)-Л,/(0,г),

У(М)=Я„/(/,().

В частотной области система (1) будет иметь вид: их

где X, Г - матрицы полных сопротивлений и проводимостей соответственно, » - угловая частота.

Граничные условия для системы (3) будут: ЩО, О=V, (0, г) - «,/(0,/), £/(/,/)=Д„/(/,г),

где - напряжение источника питания, - внутреннее сопротивление источника питания, Кл - напряжение нагрузки.

Решение уравнений (1) и (3) может быть получено пошаговым во времени методом, методом характеристик — во временной области; методом Э-параметров, обобщенным методом характеристик, методом нормальных волн - в частотной области.

В завершении первой главы приведена классификация нелинейных нагрузок и методы задания нелинейного поведения функций, выражающих вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.

В результате проведенного анализа отмечено:

1. Основная трудность, касающаяся анализа многопроводных линий связи, заключается в том, что необходимо решать систему связанных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка во временной области и систему связанных обыкновенных дифференциальных уравнений в частотной области. Эта трудность может быть разрешена использованием преобразования, диагонализирующего матрицы ЬС и СЬ во временной области и Ъ\ и \Ъ в частотной. Однако, не существует сформулированных в ■ общем виде необходимых и достаточных условий существования матрицы, диагонализирующей матрицы 7Х и У2.

2. Каждый метод имеет свои недостатки и особенности: пошаговый во времени метод требует много машинного времени и непригоден для анализа линий с частотно-зависимыми параметрами, поскольку в этом случае для каждого проводника необходимо использовать сложные эквивалентные цепи. Классический метод характеристик не позволяет учесть потери в линии. Частотные методы вычислительно затратны даже для небольшого числа проводников, поскольку используют различные аппроксимации вторичных параметров линий с последующим преобразованием Фурье (которое в ряде случаев не применимо), а также свертку для получения решения во временной плоскости.

3. Количество значений вольт-амперных характеристик строго ограничено и в основном выражается табличной зависимостью. Для их задания используются несколько основных аппроксимаций: полиномиальная, аппроксимация трансцендентными функциями и кусочно-линейная, но этого может быть не достаточно.

В результате выделен объект исследования в виде многопроводной линии связи с нелинейными несогласованными нагрузками, показана актуальность данной работы. Сделан вывод о необходимости создания численного алгоритма. В конце первой главы сформулированы цель и задачи диссертационной работы.

Глава 2. Численные модели для анализа перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейной нагрузкой. Данная глава посвящена описанию метода Годунова для использования его в задачах теории цепей с распределенными параметрами. Описан процесс получения разностной схемы метода Годунова для анализа распространения волны напряжения в многопроводной линии связи. Для задания нелинейных граничных условий, имеющих в функциональном поведении особенность типа С", предложено использовать экспоненциальный сплайн с натяжением.

Задача 2. Дано: 1) объект в виде многопроводной линии связи с несогласованными нагрузками, которая описывается телеграфными уравнениями (1); 2) метод Годунова, изложенный для системы дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, описывающих распространение звуковых волн в среде, в терминах скорости среды и давления; 3) совокупность падающих и отраженных волн, а также нелинейная зависимость между искомыми функциями на концах линии, отличающая задачи теории цепей от задач акустики; 4) способ аппроксимации математических функций сплайном с натяжением, предложенный в работе Маккартина.

Требуется: разработать математическую модель многопроводных линий связи с учетом многократности отражений и нелинейности нагружающих цепей. Для этого необходимо: представить метод Годунова в терминах теории цепей; вывести расчетную схему; описать граничные условия, учитывающие совокупность падающих и отраженных волн и нелинейности нагрузок; использовать экспоненциальный сплайн с натяжением для аппроксимации нелинейностей.

Метод Годунова, предназначенный для решения гиперболических систем уравнений, широко используется для решения задач газовой динамики, теории мелкой воды, магнитной гидродинамики и механики твердого деформируемого тела. Однако примеры использования в задачах теории цепей с распределенными параметрами автору неизвестны. Поскольку метод Годунова основывается на законах сохранения материи и энергии, то он является наиболее обоснованным с физической точки зрения. Учитывая, что телеграфные уравнения могут быть получены из законов Кирхгофа, где первый закон, описывающий поведение напряжения в замкнутой цепи, является законом сохранения энергии, а второй, говорящий о равенстве суммы втекающих и вытекающих токов для каждого узла цепи, законом сохранения заряда, то для решения телеграфных уравнений может быть применен метод Годунова Во временной области телеграфные уравнения имеют вид:

dU(x,t) = df(x,t) дх dt

dl(x,t)^c dU(x,Q (5)

дх et '

что соответствует общей записи системы уравнений гиперболического типа, рассматриваемой Годуновым: . ди пди .

■VÄäT0' w

где а к в матрицы соответствующих коэффициентов. Поскольку л и в -симметрические матрицы, причем матрица а — положительно определена,

то систему (5) можно привести к каноническому виду с диагональной матрицей А/:

—+М— = 0, п)

д( дх {П где у=Л"'» - вектор - функция, Л"' - невырожденная матрица. Данная

система распадается на т* независимых уравнений для отдельных компонент у"":

ду"" ду,т> Л

- + Я,-

(8)

а " дх

Компоненты у'"'носят название римановых инвариантов и сохраняют постоянные значения вдоль характеристик дх /Л = /;„. Система (8) сводится к следующим расчетным формулам:

Г, Л г

-

(9)

которые верны, если шаг г подчинен ограничению:

-шк^^Х. (10)

Условия, учитывающие многократные отражения, для амплитуд падающих и отраженных волн на нагрузке 11п и генераторе выраженные через коэффициенты отражения, имеют вид:

Ш(/) =

0

£[1+(1+— )£0у<*П, (11)

Цг м

о

/«(0=

£[!+(!+— (12)

где 11п, 1п, - амплитуды падающих и отраженных волн на нагрузке и

генераторе, ^Щ^У = ъТю "

коэффициенты отражения от нагрузки и генератора по напряжению и току соответственно.

Поскольку сопротивление нагрузки Ъл может бьггь нелинейной функцией, то для ее аппроксимации предлагается использовать экспоненциальный сплайн с натяжением.

Вид сплайна с натяжением определяется решением совокупности краевых задач на интервалах (»= 1,...,ЛГ):

[Я4-р'Э1} т = 0, т (*,) = /„ х (*„.,) = /м, х'(х,) = т' т'(*ы) = т,'+1, (13)

где т' и С выбраны так, чтобы фг) е С1 [д, Ь]. Решением является функция:

1 (14)

р, мра)

где т," (7=1,..,#+1) определяются решением системв1 уравнений с трехдиагональной матрицей: + е,т' = 6,,

е^и + (4-1+4 К + = *>, (' = 2,..., Л'), (15)

где

А = (Л^1_Ла); а =/.(6)_(/лч,-Л). (<=2,...,лг);

л, Лдг л, Л,.,

С, = сЬ(дй), ^=±[-££--1 р; {¡>чрм л,

■-У1--(-1.-.Л0.

р,2 1а

Расчет проводится следующим образом:

1. Строится интерполяционная кривая, соответствующая р=0 для всех ¡, т. е. определяется кубический сплайн, играющий роль нулевого приближения.

2. Проверяется выполнение неравенств т\Ь. >0 (¡=¡,...,N+1).

3. Если обнаруживаются ложные точки перегиба, с помощью итераций обеспечивается выполнение неравенств т)^>0 (¡=1,...,Ы+1).

Построенные указанным способом экспоненциальные сплайны обеспечивают четвертый порядок аппроксимации интерполируемой функции.

В результате получена математическая модель линии связи с нелинейными, несогласованными нагрузками, поведение которых аппроксимируется экспоненциальным сплайном с натяжением.

Глава 3. Алгоритм анализа перекрестных наводок и помех, отражения в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками. Глава содержит описание и блок-схему алгоритма, совмещающего метод Годунова и экспоненциальный сплайн для расчета перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейными, несогласованными нагрузками. Выполнено сравнение с известными работами других авторов и экспериментом. Проведено сравнение результатов аппроксимации кубическим сплайном и сплайном с натяжением математических функций и вольт-амперных характеристик нелинейных элементов.

Задача 3. Дано: 1) численная схема для вычисления токов и напряжений в многопроводных линиях связи (9); 2) граничные условия для несогласованных нагрузок, учитывающие многократность отражений (11, 12); 3) функция (14), аппроксимирующая нелинейность в вольт-амперной характеристике нагружающего элемента.

Требуется: разработать алгоритм анализа перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками, аппроксимируемыми экспоненциальным сплайном с натяжением. Провести сравнение с работами других авторов и экспериментальными измерениями.

Для сравнения с расчетами других авторов рассмотрим двухпроводную линию со следующими значениями параметров (рис. 1): длина 1=0,3048 м; 1Л 1=1,22=494,6 нГн/м, Ы2=Ь21=63,3 нГн/м; С11=С22=62,8 пФ/м, С12=С21=-4,9 пФ/м; параметры элементов цепей: Л 1=50 Ом, Л2=113=Л4=100 Ом:

Рис. 1: а) помеха в агтнвной линии, б) нзводаа в пассивном проводнике, в) результаты из работы Djordjevic, A.R. Analysis of time response of lossy multiconductor transmission line network [text]/A.R. Djordjevic, Т.К. Sarkar// IEEE Transaction microwave theory and techniques. - 1987. - Vol. 35. - No. 10. - PP. 898908.

Результаты полностью совпадают с графической точностью в рассматриваемом временном интервале. Четко прослеживается связанность линий наличием не нулевого уровня напряжения на пассивной линии. Длительность импульса в активной линии и помех в пассивной линии также совпадает с приемлемой точностью.

Для одинарной линии проведено экспериментальное исследование определения формы отраженного сигнала в кабеле К1 - РК-50-2-21 при двух вариантах нагрузки. Функциональная схема прибора приведена на (рис. 2). Прибор Р4-И-01 содержит следующие основные функциональные узлы: двухканальный аналого-цифровой преобразователь (АЦП), генератор сигналов произвольной формы (ГСПФ), линия задержки (ЛЗ), согласующее устройство (СУ) и ШВ-концентратор:

-О-"

—§)

Входное сопротивление на частоте 25 МГц, 50 ± 50м. Полоса

пропускания по

уровню - 3 дБ, 25 Мгц. Частота дискретизации АЦП . 250 МГц.

Рис. 2. Функциональная схема прибора Длительность

видеоимпульса 2 не. Схема эксперимента: ЛЗ - РК-50-2-21 - длина 22 м, ¿=50 Ом, С = 95 пФ/м, Ь=237.5 нГн/м. Из сопоставления рисунков (3 а) - г)) видно совпадение временных профилей полученных результатов моделирования с данными экспериментального измерения. Отличие в значении амплитуд объясняется наличием потерь у кабеля. Таким образом, разработанная программа позволяет корректно вычислить временной отклик фрагментов межсоединений с учетом взаимовлияний проводников в рамках квазистатического подхода.

,., . .. :е-о? «е-о? ве-о? де-сг 1£-об

шгт

* а

Ряс. 3. Эксперимент: а) сопротивление нагрузки 25 Ом, 6) обрыв линии. Моделирование: в) сопротивление нагрузки 25 Ом> г) обрыв линии

Проведем оценку погрешности для отраженного сигнала в точке с наибольшей амплитудой:

Погрешность моделирования одинарной линии Таблица 1

Амплитуда отраженного сигнала, В Относительная погрешность, %

Эксперимент рис.4 а -0.8749 5.2

Расчет рис.4 в -0.8295

Эксперимент рис.4 б 2.5943 4.1

Расчет рис.4 г 2.4883

Из таблицы 1 видно совпадение с приемлемой точностью численных данных, полученных в результате моделирования и эксперимента.

Нелинейные элементы, нагружающие линии связи, могут иметь вольт-амперные характеристики, которые не описываются каноническими кривыми. Для определения этих кривых используем сплайн с натяжением. Для демонстрации его возможностей проведем сравнение результатов аппроксимации кубическим сплайном и сплайном с натяжением на ряде примеров:

1. Кривая х3+/=(5+38ш(4^)): (рис. 4):

Рис. 4 Кривая X2 + у1 — (5 + 3 БШ^^)))1 а) кубический сплайн, 6) экспоненциальный

2. Вольт-амперная характеристика выпрямительного диода (рис. 5):

Рис. 5 Вольт-амперная хараггеркстика выпрямительного диода

N = 20

Абс. (А) 0.002

Отн. (<5) 0.1%

Лбе ,(А(куб.с.)) 0.126

Отн. (5(куб.с.)) 6,6%

При анализе рисунков видно, что при аппроксимации кривых кубическим сплайном видны ложные осцилляции, которые могут быть причиной неверного решения задач распространения сигналов в линиях связи при нелинейных нагрузках. В таблице 2 представлены относительная и абсолютная погрешности сплайнов.

Объединяя модуль анализа много про водных линий связи с линейными нагрузками и модуль сплайн-аппроксимации, получим программный комплекс, позволяющий анализировать многопроводные линии связи с линейными и нелинейными нагрузками. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 6.

Рис. 6 Блок-схема алгоритма анализа перекрестных наводок и помех отражения в мкагопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками

В результате разработан алгоритм анализа перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейной, несогласованной

нагрузкой. Проведена проверка адекватности модулей

программного комплекса на тестовых примерах в сравнении с работами других авторов (рис. I, 4, 5; таблица 2) и экспериментом (рис. 3; таблица I). Таким образом, разработанный программный

комплекс может быть использован для анализа перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками.

Глава 4. Моделирование перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи, нагруженных на нелинейные элементы. Глава посвящена моделированию

перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи для различных нелинейных вольт-амперных

характеристик. Выполнен • анализ воздействия способа аппроксимации

и надежности функционирования многопроводных линий связи с различными нелинейными нагрузками. Проведено моделирование линии связи, нагруженной со стороны генератора на полупроводниковые ограничители с различными вольт-амперными характеристиками при воздействии различных сигналов.

Задача 4. Дано: 1) объект в виде двухпроводной связанной линии с нелинейной нагрузкой, заданной в табличном виде (параметры линии описаны в главе 3; 2) алгоритм, реализованный в виде комплекса программ на языке Fortran.

Требуется: оценить влияние способа аппроксимации нелинейности на перекрестные наводки и помехи отражения. Провести моделирование линии связи, нагруженной со стороны генератора на полупроводниковые ограничители с различными вольт-амперными характеристиками.

На (рнс. 7) приведены два варианта вольт-амперных характеристик нелинейных элементов, расположенных в начале активной линии сразу после источника:

0.03 0.025

1

¿0.013 £ 0.01

0.006

0.2 0.4 0.« 04 WOUhV

б)

Рис. 7. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов нагружающих цепей: а) диод б) произвольная характеристика с разрывом производной

На (рис, 8, 9) представлены результаты моделирования отражения трапециевидного сигнала от несогласованной нагрузки в двухпроводной линии связи:

б) пассивная линия

6) пассивная линия

На (рис. 8 а) при аппроксимации кубическим сплайном видны незначительные изменения формы напряжения в начале (и 1 (х,Ц) и в конце (Ш(х,1)) линии. На пассивной линии изменения формы более значительны, у дальней помехи (рис. 8 б) - Ш(х,1)) появились ложные осцилляции. Так, наибольшее колебание происходит в области от 2 не до 3 не. Пик скачка равен -55.7*10"3 В., спад -31.9*10"' В. Учитывая, что максимальное значение при линейной нагрузке равно -32.9 Ч0"3, то уровень осцилляций составит 72.7 %. Для экспоненциального сплайна это значение составляет не более 5 %. Таким образом, при использовании кубического сплайна о достоверности получаемых результатов говорить нельзя. Напротив, при использовании экспоненциального сплайна с натяжением ложных осцилляций не происходит. Если поведение функции нелинейной вольт-амперной характеристики (рис. 7 б) не описывается гладкой функцией, тогда получим:

Рис. 10. Эпюры напряжения для разрывной IIАХ, при использовании кубического сплайна

Четко прослеживаются ложные осцилляции при использовании кубического сплайна (рис. 10 а, б). Использование сплайна с натяжением привело к более гладкой зависимости без осцилляций (рис. И а, б), однако, учитывая особенное поведение вольт-амперной характеристики, форма сигнала в активной линии и наводок на пассивной линии изменилась.

В результате анализа рисунков (рис. 10, 11) можно заключить, что при аппроксимации нелинейных характеристик кубическим сплайном возникают ложные осцилляции достаточно большой амплитуды, в то время как экспоненциальный сплайн дает верные зависимости. Необходимо отметить, что наибольшее воздействие оказывается на пассивную линию, в частности, на наводку на дальнем конце пассивного проводника. Изменение формы сигналов можно интерпретировать как изменение их частотного спектра. Показано, что причиной может быть не только воздействие нелинейности, но и вид аппроксимации, то есть качество аппроксимации напрямую влияет на достоверность получаемых результатов. Сформулируем рекомендации по применению программного комплекса для расчета помех отражения и перекрестных наводок в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками:

■ в область применения метода не входят линии с частотно-зависимыми параметрами;

■ структура линии связи должна содержать параллельные проводники, однородные по поперечному сечению;

■ нелинейный элемент должен быть пассивным и не инерционным;

■ для аппроксимации вольт-амперных характеристик рекомендуется использовать, реализованный в виде программного модуля сплайн с натяжением;

■ для выбора шага по времени используется условие —шах | д. 1, при этом

желательно чтобы длительность импульса была не менее 100г;

■ значения переменных являются размерными и задаются в отдельном файле параметров.

Таким образом, с помощью разработанного программного комплекса могут быть рассмотрены узлы радиоэлектронных устройств, содержащих многопроводную линию связи, на границе которой могут находится: делители напряжения на активных сопротивлениях, узлы стабилизации, диодные ограничители напряжения, логические вентили и т. д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

1. В ходе обзора литературы были рассмотрены и проанализированы различные структуры многопроводных линий связи. Выявлено, что анализ многопроводых линий связи со сложными нелинейными, несогласованными нагрузками является новой, актуальной н практически значимой задачей.

2. Обзор существующих методов показал, что для создания математической модели выбранного объекта наиболее близким является, метод Годунова, разработанный для задач газовой динамики. Однако, чтобы учесть многократные отражения от несогласованных нагрузок, для данного метода необходимо применить не характерные граничные условия. Поскольку нагрузки могут содержать различные нелинейные элементы, необходимо решить задачу аппроксимации. В результате получена математическая модель, позволяющая с заданной точностью описывать свойства и особенности многопроводных линий связи с нелинейными, несогласованными нагрузками.

3. Реализован алгоритм на языке Fortran для проведения численных экспериментов по расчету перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи со сложными нелинейными, несогласованными нагрузками.

4. Сравнение проводилось с расчетами других авторов и экспериментальными данными. На примерах продемонстрировано влияние вида сплайн-аппроксимации нелинейной характеристики нагружающего элемента на получаемые результаты. Показано, что погрешность результатов моделирования при аппроксимации кубическим сплайном может достигать 72,7 %. Аппроксимация сплайном с натяжением дает погрешность 4,5 %. В результате проведенных тестирований сделан вывод о достоверности аппроксимаций экспоненциальным сплайном с натяжением и работоспособности разработанного программного комплекса в целом.

5. Установлено, что расхождение экспериментальных данных и результатов моделирования, полученных с помощью программного комплекса, составляет (3 + 7) %, в зависимости от нагрузки, что позволяет использовать программный комплекс в решении задач диагностики цепей, содержащих линейные и нелинейные элементы.

6. Сформулированы требования и рекомендации к области применения разработанного программного комплекса. Эти требования накладывают ограничения на выбор матриц параметров и оконечных нагрузок при анализе помех отражения и перекрестных наводок в многопроводных линиях связи с нелинейными несогласованными нагрузками.

7. Программный комплекс используется при выполнении проекта 50/08 ДФ «Библиотеки моделей и интегрированная интеллектуальная программная среда для автоматизированного проектирования СВЧ монолитных интегральных схем на основе гетероструктурных нанотехнологий».

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Журналы, рекомендованные ВАК:

1. Афанасьев, К. Е Моделирование помех отражения в многопроводных линиях связи [текст] / К. Е. Афанасьев, Е. А. Вершинин // Вычислительные Технологии. - 2006. - Т. 11, Спец. Выпуск. - С. 117 - 127.

2. Афанасьев, К. Е. Об аппроксимации характеристик нелинейных элементов с помощью экспоненциального сплайна с натяжением [текст] / К.Е. Афанасьев, Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - №19. - С. 68-74.

3. Афанасьев, К. Е. Анализ временного отклика в несогласованных многосегментных линиях связи [текст] / К. Е. Афанасьев, Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Вычислительные Технологии. - 2008. - Т. 13. Спец. Выпуск5.-С. 4-8.

Труды конференций:

4. Вершинин, Е. А. Переходные процессы в линиях связи [текст] / Е. А. Вершинин И Вестник КемГУ. Серия математика. Выпуск 1 (17). Кемерово: Кузбассвузиздат. - 2004. - С. 44-149.

5. Вершинин, Е. А. Переходные процессы в линиях связи [текст] / Е. А. Вершинин // Электронные средства и системы управления: Материалы Международной научно-практической конференции. - Томск: Издательство Института оптики атмосферы СО РАН. - 2004. - Ч. 1. - С. 36-40.

6. Вершинин, Е. А. Моделирование распространения цифровых импульсов в витой паре [текст] / Е. А. Вершинин // Электронные средства и системы управления: Материалы Международной научно-практической конференции. - Томск: Издательство Института оптики атмосферы СО РАН. - 2005. - 4.1. -С. 81-83.

7. Вершинин, Е. А. Сравнение методов Годунова и Рунге-Кутта-Фельдберга при анализе холостого хода в двухпроводной линии [текст] / Е. А. Вершинин // Информационные недра Кузбасса 2006. Труды 5-й Всероссийской научно-практической конференции. - Кемерово: ИНТ. - 2006. - С. 106 - 109.

8. Вершинин, Е. А. Использование метода Годунова для определения отклика в несогласованных линиях [текст] / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов //

Научная сессия ТУСУР - 2006. Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов н молодых ученых. - Томск: В-Спектр. -2006.-С. 22-28.

9. Вершинин, Е. А Использование метода Годунова для определения отклика в несогласованных линиях [текст] / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Информационные недра Кузбасса. ГГ технологии: сборник научных трудов. -Кемерово: ИНТ. - 2007. - С. 275-280.

10. Вершинин, Е. А. Аппроксимация вольт-амперных характеристик нагружающих цепей многосегментных линий экспоненциальным сплайном [текст] / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Информационные недра Кузбасса. ГТ технологии: сборник научных трудов. - Кемерово: ИНТ. - 2008. -С. 294-299.

11. Вершинин, Е. А. Сравнение двух интерполяционных сплайнов при аппроксимации формы входных сигналов и вольт-амперных характеристик [текст] / Е. А. Вершинин, С. Н. Трофимов // Научная сессия ТУСУР - 2008. Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: В-Спектр. - 2008. - С. 37-39.

Подписано к печати 16.02.2009 г. Формат 60x84' /[*. Печать офсетная. Бумага офсетная № I. Печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ №

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» 650043, г. Кемерово, ул. Красная, 6. Отпечатано в типографии издательства «Кузбассвузиздат» 650043, г. Кемерово., ул. Ермака, 7.

1 ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МЕТОДЫ АНАЛИЗА МНОГОПРОВОДНЫХ ЛИНИЙ СВЯЗИ И АППРОКСИМАЦИЯ ВОЛЬТ-АМПЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

1 Методы анализа многопроводных линий передачи.

1.1 Условия формулировки телеграфных уравнений.

1.2 Исходная система телеграфных уравнений.

1.3 Решение пошаговым по времени методом.

1.4 Метод нормальных волн во временной области.

1.5 Метод характеристик.

1.6 Метод нормальных волн в частотной области.

2 Методы анализа нелинейностей.

2.1 Классификация нагрузок.

2.2 Аппроксимации нелинейных вольт-амперных характеристик

Задача распространения сигнала вдоль несогласованных линий передачи с линейными и нелинейными нагрузками играет центральную роль в современных технологиях обработки и передачи сигналов. Скоростные аналоговые и цифровые цепи любого уровня интеграции предлагают широкий выбор примеров простых и многопроводных, однородных и неоднородных линий передачи, присоединенных к устройствам с различными входными характеристиками. Понижение времени установления уровня амплитуды сигнала подчеркивает важность эффектов распространения и искажения сигналов вследствие воздействия паразитных эффектов, таких как потери, отражения, перекрестные наводки и скин-эффект, которые являются наиболее значимыми в большинстве приложений. С другой стороны, присоединение нелинейных устройств сокращает допустимый интервал искажения сигнала, что повышает чувствительность систем, характеризующихся процессами распространения. В результате в последние годы, особенно учитывая уровень развития вычислительной техники, все чаще для анализа и прогнозирования поведения цепей используется численный эксперимент. Так, в настоящее время наиболее полно разработаны программы моделирования линейных радиотехнических устройств с сосредоточенными параметрами в частотной области, которые позволяют рассчитать амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики, входные и выходные импедансы, гарантировать устойчивость в мало сигнальном режиме. Достаточно хорошо разработаны программы моделирования нелинейных аналоговых и цифровых схем, позволяющие определять параметры переходных процессов в низкодобротных цепях при воздействии одиночных импульсов и гармонических, как правило, не модулированных сигналов. Хорошо отлажены методы моделирования параллельных линий с распределенными параметрами без потерь нагруженные на произвольные цепи при воздействии одиночных тестовых сигналов. Существует ряд подходов, основанных на смешанных методах, дающих приемлемые результаты моделирования линий с распределенными параметрами и потерями в нелинейных цепях. Однако, учитывая особенности существующих методов, в которых часть решения проводится аналитически, анализ многопроводных линий сопряжен с громоздкими выкладками, что затрудняет решение практических задач, особенно если поведение оконечных устройств не может быть описано стандартными аналитическими функциями. Следует отметить, что такие средства как Spice достаточно дорогостоящи и зачастую ненадежны при анализе многопроводных линий. Поэтому моделирование процессов в линиях передачи с нелинейными нагружающими цепями является актуальной научной и практической задачей.

Цель и задачи диссертации. Целью диссертационной работы является разработка алгоритма и комплекса программ для численного моделирования многопроводных линий связи с нелинейными несогласованными нагрузками.

Для достижения цели в работе решаются следующие задачи:

1. Анализ структур многопроводных линий связи и выбор объекта моделирования.

2. Разработка математической модели многопроводных линий связи с учетом многократности отражений и нелинейности нагружающих цепей.

3. Разработка методики, алгоритма и комплекса программ численного моделирования многопроводных линий связи с нелинейными несогласованными нагрузками.

4. Проверка адекватности и достоверности разработанной модели на тестовых примерах, результатах других авторов и экспериментальных данных.

5. Расчет помех отражения и перекрестных наводок в линии связи с нелинейным элементом, вольт-амперная характеристика которого имеет произвольный вид.

Методы выполнения работы. Для достижения указанной цели в работе использованы методы численного моделирования, математической физики, теории линий с распределенными параметрами, матричного анализа, сплайнаппроксимации.

Научная новизна работы:

• структурирован новый объект моделирования, представленный в виде многопроводных линий связи, отличающихся наличием сложных нелинейных, несогласованных нагрузок;

• математическая модель многопроводных линий связи, позволяющая с заданной точностью описывать свойства и особенности многопроводных линий связи с нелинейными, несогласованными нагрузками;

• алгоритм моделирования многопроводных линий связи с нелинейными, несогласованными нагрузками, основанный на численной схеме Годунова и дополненный граничными условиями для учета многократных отражений и аппроксимацией сплайном с натяжением для описания нели-нсйностей различного типа;

• результаты численного моделирования, представленные в виде рекомендаций по применению программного комплекса для расчета помех отражения и перекрестных наводок в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования заключается в следующем:

• методы модели и алгоритмы, предложенные диссертационной работе могут быть использованы в пакетах прикладных программ фирм, разрабатывающих программное обеспечение для анализа и проектирования узлов печатных плат;

• реализованный модуль сплайн-аппроксимации может быть использован для исследования выходных характеристик устройств, содержащих нелинейные элементы и выполняющие функции преобразования входного сигнала

• разработанный программный комплекс может быть использован на предприятиях, выпускающих печатные платы радиоэлектронных устройств на этапе проектирования при анализе соединений элементов, в том числе в узлах защиты от перенапряжения и стабилизации.

Реализация результатов работы:

• результаты работы были использованы при выполнении гранта Министерства образования и науки Российской Федерации № 4828 в рамках федеральной программы "Развитие научного потенциала высшей шко-лы"(2005 - 2006 гг.);

• программный комплекс внедрен в НИИ "ЭТОСС"(г. Томск) для использования в проекте 50/08 ДФ "Библиотеки моделей и интегрированная интеллектуальная программная среда для автоматизированного проектирования СВЧ монолитных интегральных схем на основе гетерострук-турных нанотехнологий". Достоверность реализации программного комплекса подтверждается справкой об использовании.

Предмет защиты и личный вклад автора. IIa защиту выносятся:

• объект моделирования - многопроводная линия связи с нелинейной, несогласованной нагрузкой;

• математическая модель многопроводной линии связи с нелинейной, несогласованной нагрузкой;

• алгоритм моделирования, реализованный в виде комплекса программ;

• результаты численного моделирования.

Основные научные и практические результаты диссертации получены автором лично. В работах [110], [104] - [109] автор участвовал в разработке и реализации численных алгоритмов, проведении численных расчетов, анализе и интерпретации результатов. В работах [111,117,118] автор участвовал в процессе постановки задачи и разработке алгоритма аппроксимации вольтампер-ных характеристик нелинейных элементов. В работе [111] автор участвовал в процессе постановки задачи и разработке алгоритма анализа помех отражения в многосегментных линиях связи.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на: Всероссийской научно-практической конференции "Недра Кузбасса. Ин-новации"(Кемерово, 2006-2008); Международной научно-практической конференции "Электронные средства и системы управлсния"(Томск, 2004-2006); Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Научная сессия ТУСУР"(Томск, 2006, 2008); Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое модслирование"(Анжеро-Судженск, 2003, 2005, 2006); Международной научной, студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2003); А также регулярно на семинарах "Численные методы решения задач механики сплошной среды"кафедры ЮНЕСКО по НИТ КемГУ под руководством профессора К. Е. Афанасьева (Кемерово, 2003-2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК для предоставления основных результатов диссертации, 8 публикаций в трудах и материалах конференций, 6 публикаций в тезисах конференций. Общий объём публикаций - 4.62 печ. л., объём, принадлежащий лично автору, - 3.55 печ. л.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Работа содержит 114 страниц текста, 8 таблиц, 31 рисунок, список использованных источников из 118 наименований и приложение на 1 странице.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

• В ходе обзора литературы были рассмотрены и проанализированы различные структуры многопроводных линий связи. Выявлено, что анализ многопроводых линий связи со сложными нелинейными, несогласованными нагрузками является новой, актуальной и практически значимой задачей;

• обзор существующих методов показал, что для создания математической модели выбранного объекта наиболее близким является метод Годунова, разработанный для задач газовой динамики. Однако, чтобы учесть многократные отражения от несогласованных нагрузок, для данного метода необходимо применить не характерные граничные условия. Поскольку нагрузки могут содержать различные нелинейные элементы, необходимо решить задачу аппроксимации. В результате получена математическая модель, позволяющая с заданной точностью описывать свойства и особенности многопроводных линий связи с нелинейными, несогласованными нагрузками;

• Реализован алгоритм на языке Fortran для проведения численных экспериментов по расчету перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи со сложными нелинейными, несогласованными нагрузками;

• сравнение проводилось с расчетами других авторов и экспериментальными данными. Кроме того, на примерах продемонстрировано влияние качества аппроксимации нелинейной характеристики нагружающего элемента на получаемые результаты. Показано, что ошибка может достигать 70% и больше. Для экспоненциального сплайна это значение составляет 4.5%. В результате проведенных тестирований сделан вывод о достоверности аппроксимаций экспоненциальным сплайном с натяжением и работоспособности разработанного программного комплекса в целом; установлено, что расхождение экспериментальных данных и результатов моделирования, полученных с помощью программного комплекса, составляет 3% - 7%, в зависимости от нагрузки, что позволяет использовать программный комплекс в решении задач диагностики цепей, содержащих линейные и нелинейные элементы;

Сформулированы требования и рекомендации к области применения разработанного программного комплекса. Эти требования накладывают ограничения на выбор матриц параметров и оконечных нагрузок при анализе помех отражения и перекрестных наводок в многопроводных линиях связи с нелинейными несогласованными нагрузками; данный программный комплекс используется при выполнении проекта 50/08 ДФ "Библиотеки моделей и интегрированная интеллектуальная программная среда для автоматизированного проектирования СВЧ монолитных интегральных схем на основе гетероструктурных нанотехно-логий".

1. ДЖОРДЖЕВИЧ, А.Р. Временные характеристики многопроводных линий передачи текст. / А.Р. Джорджевич, Т.К. Саркар, Р.Ф. Харрингтон // ТИИЭР. - 1987. - Т.75. - №6. - С.7-29.

2. PAUL, C.R. A Brief History of Work in Transmission Lines for EMC Applications text. / C.R. Paul // IEEE Transactions on electromagnetic compability. 2007. - Vol. 49. - No. 2. -PP. 237-252.

3. МЕЩАНОВ, В.П. Автоматизированное проектирование направленных от-ветвителей СВЧ текст. / В.П. Мещанов, А.Л. Фельдштейн // М.: Связь. 1980. - 144 с.

4. Джонсон, Г.В. Высокоскоростная передача цифровых данных: высший курс черной магии текст. / Г.В. Джонсон // Москва: Издательский дом "Вильяме". 2005. - 1024 с.

5. ЗЕВЕКЕ, Г.В. Основы теории цепей текст. / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин // М JL: гос. энергетич издат. - 1963. - 750 с.

6. Brandao Faria, J.A. Multiconductor transmission line structures: Modal analysis techniques text. / J.A. Brandao Faria // New York: Wiley. 1993. -214 PP.

7. СМИРНОВ, В.И. Курс высшей математики текст. / В.И. Смирнов // М.: Наука. 1974. - Т.2. - 656 С.

8. ТИХОНОВ, А.Н. Уравнения математической физики текст. / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский // М.: Наука. 1977. - 736 с.26. фарлоу, С. Уравенния с частными производными для научных работников и инженеров текст. / С. Фарлоу // М.: Мир. 1985. - 384 с.

9. Gustavsen, B. Simulation of Internal Overvoltages on Transmission Lines by an Extended Method of Characteristics Approach text. / B. Gustavsen, J. Mahseredjian // IEEE Transactions on power delivery . 2007. - Vol. 22. -No. 3. - PP. 1736-1742.

10. Antonini, G. A Dyadic Green's Function Based Method for the Transient Analysis of Lossy and Dispersive Multieonductor Transmission Lines text. / G. Antonini // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2008.- Vol. 56. No. 4. - PP. 880-895.

11. Yang, X. Efficient Computation of Double Scries for the Planar Circuit Analysis via APA-E Algorithm text. / X. Yang, Z. Li // IEEE Microwave and guided wave letters. 2000. - Vol. 10. - No. 5. - PP. 174-176.

12. GRIFFITH, J.M. Time-Domain Simulation of Interconnects With Suspension Example text. / J.M. Griffith // IEEE Transactions on Magnetics. 2002. -Vol. 38. - No. 4. - PP. 1825-1829.

13. Xu, Q. Time-Domain Modeling of High-Speed Interconnects by Modified Method of Characteristics text. / Q. Xu, Z.-F. Li, P. Mazumder, J.-F. Mao // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2000. - Vol. 48. - No. 2. - PP. 323-327.

14. Dounavis, A. Efficient Sensitivity Analysis of Lossy Multiconductor Transmission Lines With Nonlinear Terminations text. / A. Dounavis, R. Achar, etc. // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2001. -Vol. 49. - No. 12. - PP. 2292-2299.

15. Chine a, A. A Passivity Enforcement Scheme for Delay-Based Transmission Line Macromodels text. / A. Chinea, S. Grivet-Talocia // IEEE Microwave ang wireless components letters. 2007. - Vol. 17. - No. 8,. - PP. 562-564.

16. Lau, F.C.M. Transient analysis of lossy coupled Transmission line in a lossy medium using the waveform relaxation method text. / F.C.M. Lau, E.M. Deeley // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1995. - Vol. 43. - No 3. - PP. 692-697.

17. Lau, F.C.M. Improvements in the Waveform Relaxation Method Applied to Transmission Lines text. / F.C.M. Lau, E.M. Deeley // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1995. - Vol. 43. - No 5. - PP. 1201-1203.

18. Lau, F.C.M. Speed Improvement in the Transient Analysis of Transmission Lines text. / F.C.M. Lau, M. Yip // Proceedings of EEE Asia Pacific

19. Conference on Circuits and Systems '96, Seoul, Korea. 1996. - PP. 8588.

20. Mao, J.-F. Analysis of time response of nonuniformly coupled multiconductor transmission lines with frequency-dependent losses text. / J.-F. Mao, Z.-F. Li // Electronics Letters 10th October. 1991. - Vol. 27. - No. 21. - PP. 1941-1943.

21. DOUNAVIS, A. A General Class of Passive Macromodels for Lossy Multiconductor Transmission Lines text. / A. Dounavis, R. Achar, etc. // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 2001. - Vol. 49. - No. 10. - PP. 1686-1696.

22. PAUL, C.R. Decoupling the Multiconductor Transmission Line Equations text. / C.R. Paul // IEEE Transaction microwave theory and techniques.- 1996. Vol. 44. - NO. 8. - PP. 1429-1440.

23. Djordjevic, A.R. SPICE-Compatible Models for Multiconductor Transmission Lines in Laplace-Transform Domain text. / A.R. Djordjevic // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1997. - Vol. 45. - No. 5. - PP. 569-579.

24. AbuShaaban, M. Modal Circuit Decomposition of Lossy Multiconductor Transmission Lines text. / M. AbuShaaban, S.O. Scanlan // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1996. - Vol. 44. - No 7. - PP. 1046-1056.

25. Blazeck, T. S. Transient analysis of lossy multiconductor transmission lines in nonlinear circuits text. / T. S. Blazeck, R. Mittra // IEEE Transaction on components, hybrids and manufacturing technology. 1991. - Vol. 14. - No 3. - PP. 618-627.

26. Зелях, э.В. Анализ передачи через необратимый четырехполюсник методом падающих и отраженных волн текст. / Э.В. Зелях // Радиотехника.- 1979. № 8. - С. 59-64.

27. Schutt-Aine, J.E. Nonlinear transient analysis of coupled transmission lines text. / J.E. Schutt-Aine, R. Mittra // IEEE Transaction Circuits and Systems.- 1989. Vol. 36. - No. 7. - PP. 959-967.

28. SCHUTT-Aine, J.E. Scattering Parameter Transient Analysis of Transmission Lines Loaded with Nonlinear Terminations text. / J.E. Schutt-Aine, R. Mittra // IEEE Transaction microwave theory and techniques. 1988. - Vol. 36. -No. 3. - PP. 529-536.

29. KOMURO, T. Time domain analysis of lossy transmission lines with arbitrary terminal networks text. / T. Komuro // IEEE Transaction Circuits and Systems. 1991. - Vol. CAS-38. - PP. 1160-1164.

30. Gu, Q. Analysis of transients in frequency-dependent interconnections and planar circuits with nonlinear loads text. / Q. Gu, D.M. Sheen, S.M. Ali // IEE Proceedings-H. 1992. - Vol. 139. - No. 1. - PP. 38-44.

31. CHANG, F.-Y. Waveform relaxation analysis of nonuniform lossy transmission lines characterized with frequency-dependent parameters text. / F.-Y. Chang

32. IEEE Transaction circuit and systems. 1991. - Vol. CAS-38. - PP. 14841500.

33. АНДРЕЕВ, B.C. Теория нелинейных элетрических цепей текст. / B.C. Андреев // М.: Радио и связь. 1982. - 280 с.

34. Савин, С.К Об аппроксимации нелинейных характеристик текст. / С.К. Савин // Радиотехника. 1971. - № 3. - С. 89-90.

35. Савин, С.К Аппроксимация характеристик нелинейных элементов по методу средних текст. / С.К. Савин // Радиотехника. 1973. - № 4. - С. 95-98.

36. Бобков, A.M. Аппроксимация характеристик нелинейного безинерцион-ного элемента текст. / A.M. Бобков, Н.Н. Яковлев // Радиотехника. -1986. № 5. - С. 25-26.

37. Кочанов, Н.С. Об аппроксимации заданных временных функций с помощью экспоненциальных полиномов текст. / Н.С. Кочанов // Радиотехника. 1965. - № 5. - С. 10-19.

38. ГОЛЬДИН, С.М. Аппроксимация характеристик четырехполюсников с комплексной нелинейностью текст. / С.М. Гольдин, Г.Н. Морозова // Радиотехника. 1973. - № 6. - С. 40-47.

39. ШКВИРЯ, В.И. Аппроксимация амплитудной характеристики детектора на операционном усилителе текст. / В.И. Шквиря, A.A. Письменецкий // Радиотехника. 1976. - № 8. - С. 91-93.

40. Численное решение многомерных задач газовой динамики текст. / Под ред. С.К.Годунова // М.: Наука. 1976. - 400 с.

41. Маккартни, Б.Дж. Применение экспоненциальных сплайнов в вычислительной гидродинамике текст. / Б.Дж. Маккартни // Аэрокосмическая техника. 1984. - Т.2. - №4. - С. 13-20.

42. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений текст. / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер // М.: Мир. 1980. - 270 с.

43. Де Бор, К. Практическое руководство по сплайнам текст. / К. Де Бор // М.:Радио и связь. 1985. - 304 с.

44. Вершинин, Е.А. Использование метода Годунова для определения отклика в несогласованных линиях текст. / Е.А. Вершинин, С.Н. Трофимов // Информационные недра Кузбасса. IT технологии: сборник научных трудов. Кемерово: ИНТ. - 2007. - С. 275-280.

45. Афанасьев, К.Е. Моделирование помех отражения в многопроводных линиях связи текст. / К.Е. Афанасьев, Е.А. Вершинин // Вычислительные Технологии. 2006. - Т. 11, Спец. Выпуск. - С. 117-127.

46. АФАНАСЬЕВ, К.Е. Анализ временного отклика в несогласованных многосегментных линиях связи текст. / К.Е. Афанасьев, Е.А. Вершинин, С.Н.

47. Трофимов // Вычислительные Технологии. 2008. - Т. 13. Спец. Выпуск 5. - С. 4 - 8.

48. Афанасьев, К.Е. Об аппроксимации характеристик нелинейных элементов с помощью экспоненциального сплайна с натяжением текст. / К.Е. Афанасьев, Е.А. Вершинин, С.Н. Трофимов // Вестник Томского государственного университета. 2006. - №19. - С.68-74.