автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное исследование задач динамики деформируемых сред сеточно-характеристическими методами

Введение

Глава I. Сеточно-характеристические методы для численного решения нестационарных систем уравнений гиперболического типа.

1.1. (^точно-характеристический метод

1.2. Построение расчетных формул на границах области интегрирования.

1.3. Построение расчетных формул на контактных границах (или поверхностях раздела сред)

1.4. Сеточно-характеристические гибридные разностные схемы.

1.5. Оптимальные сеточно-характеристические гибридные разностные схемы для численного решения задач ЩЦС.

1.6. Разностные схемы расщепления.

Глава 2. Основные уравнения динамики деформируемых сред

2.1. Основные уравнения динамики упругопластических и упруговязкопластических повреждающихся сред с конечными деформациями

2.2. Уравнения динамики деформируемых сред в подвижных системах координат

2.3. Используемые реологические модели деформируемых сред.ИЗ

2.4. Уравнения состояния деформируемых сред.

2.5. Математические модели, описывающие разрушение деформируемых сред.

Глава 3. Волновые процессы в деформируемых средах, Задачи о соударении жестких и деформируемых ударников с деформируемыми монолитными преградами.

3.1. Волновые процессы в монолитных упругих и упруго-пластических средах.

3.2. Волновые процессы в слоистых упругих и упруго-пластических средах.

3.3. Волновые процессы в упруго-вязкопластических и вязко-упругих наследственных средах

3.4. Соударение жестких ударников с деформируемыми монолитными преградами.

3.5. Соударение осесимметричных деформируемых тел

Глава 4. Численное решение задач о соударении осесимметричных ударников со слоистыми преградами.

4.1. Соударения жестких тел вращения с двух-трехслойными преградами.

4.2. Расчет поведения многослойных деформируемых конструкций под воздействием ударных нагрузок

Глава 5. Численное решение пространственных задач о поведении деформируемых сред под воздействием динамических нагрузок.

5.1. Задача о соударении жесткого сферического ударника с упругопластической преградой (монолитной и двухслойной)

5.2. Расчет трехмерных ударно-волновых процессов с помощью гибридной сеточно-характеристической схемы.

5.3. Дифракция волн сжатия на щели или жестком препятствии

Глава 6. Контактные задачи газо-гидро-упругопластичности

6.1. Сверхзвуковое обтекание сферической оболочки потоком идеального газа

6.2. Сверхзвуковое обтекание сферической оболочки потоком вязкого теплопроводного газа.

6.3. Задача волновой литотрипсии

6.4. Взрыв на границе вода - лед.

6.5. Расчет напряженно-деформированного состояния осе-симметричного канала при движении по нему поршня.

6.6. Задача о воздействии сжатой плазмы на электроды рельсотрона (задача решалась совместно с А.И.Лобановым

Глава 7. Взаимодействие направленных потоком энергии с деформируемыми средами

7.1. Проблема математического моделирования процессов взаимодействия излучения с веществом

7.2. Воздействие распределенного импульса давления на оболочки конечной толщины, моделирующего действие

7.3. Воздействие ОКГ малой мощности на прозрачные и непрозрачные деформируемые среды

7.4. Воздействие пучков заряженных частиц на твердые деформируемые тела

7.5. Воздействие направленных мощных потоков коротковолнового излучения на деформируемые цилиндрические оболочки конечной толщины

При численном решении современных задач механики сплошных сред приходится иметь дело со все более усложняющимися математическими моделями. Как правило, это многомерные нелинейные уравнения в частных производных, с заранее неизвестными и подлежащими определению границами области интегрирования, с разры вами или зонами больших градиентов внутри этих областей и т.д. Сложность этих задач такова, что их решение невозможно без использования хорошо развитого аппарата численных методов и мощных ЭВМ. Имея во многом сходство с физическим экспериментом в том смысле, что в численный эксперимент может быть заложена близкая к реальности математическая модель без значительных уп рощений, с помощью численных методов можно получить количественные характеристики исследуемых процессов в широком диапазоне определяющих задачу параметров, а нередко - и в области режимов, недоступных для натурных и лабораторных исследований. Результаты численных исследований, так же, как и эксперимент, являются источником фактического материала, на основании которого может быть проведен детальный теоретический анализ процес са, построены более простые модели, инженерные методики и т.д.

Численному моделированию нестационарных процессов в механике деформируемых сред в последние годы уделяется большое вни мание. Связано это со следующими причинами:

- увеличивающимся количеством технических приложений ;

- расширяющимися возможностями современных ЭВМ (память, быстродействие, математическое обеспечение, интерфейс) ;

- выеоквй ценой натурных, а также лабораторных эксперимен тов, их весьма ограниченными возможностями в исследовании конк ретных физико-механических процессов, а порой и невозможностью их проведения ;

- необходимостью построения оптимальных, в определенном смысле, ударопрочных конструкций, что проще сделать путем численного, а не натурного моделирования процессов ;

- разработкой и реализацией адекватных реологических моделей деформируемых сред ;

- развитием эффективных численных методов для решения задач механики (физики) сплошных сред ;

- возможностью численного исследования сложных комплексных задач, в которых необходимо совместно решать уравнения механики деформируемого твердого тела, газогидродинамики, динамики плазмы и т.д.

Приведем основные приложения, инициирующие развитие численных методов решения динамических задач механики сплошных сред:

- изучение поведения конструкций при ударных воздействиях ;

- изучение поведения конструкций при взрывных нагрузках ;

- лазерная или импульсная обработка металлов (технологические задачи) ;

- изучение поведения конструкций при действии электромагнитного излучения;

- изучение поведения конструкций при воздействии пучков заряженных частиц;

- аэродинамическое воздействие на оболочки летательных аппаратов ;

- исследование прочностных характеристик стенок каналов, при движении по ним поршней под действием взрыва или сжатой плазмы ;

- взрывное нагружение грунтов ;

- сейсмологические задачи ;

- разработка медицинской техники, основанной на ударно-волновых процессах.

Вследствие разработки мощной вычислительной техники, в последние 10-20 лет появилась возможность численного решения сложных неодномерных задач в постановке, близкой к реальности, при различных предположениях о реологии материала, геометрии среды, внешних воздействиях и т.д., т.е. возможность моделирования и исследования реальных физических и технических процессов.

Круг задач и диапазон изменения параметров процессов, интересующих практику, чрезвычайно широк. Это делает затруднительным создание единого универсального метода, способного моделировать любые технологические процессы в сплошных средах. Так, например, для численного решения стационарных, квазистационарных (характерное время процесса много больше характерного акустического времени) и волновых задач необходимо использовать различные численные методы (например, метод конечных элементов, неявные и явные разностные схемы, соответственно).

Отметим наиболее существенные моменты, оказывающие влияние на выбор численного метода для решения той или иной задачи:

- характер процесса (стационарный, квазистационарный, волновой) ;

- характер деформаций среды (большие или малые деформации) ;

- реология материала: линейная, нелинейная, учитывающая вязкие свойства среды, наследственная (с памятью) и т.д. (можно сказать по-другому: определяющие уравнения: дифференциального типа без учета временных эффектов ; учитывающие влияние скорости деформации ; интегро-дифференциального типа, учитывающие всю историю деформации) ;

- характер области интегрирования.

Охарактеризуем коротко каждый из упомянутых факторов. Разделение процессов на волновые и неволновые связано с характерной скоростью изменения состояния среды: если процесс имеет волновой характер, то на отрезке ^ за время ( с скорость звука в среде) происходит заметное изменение параметров состояния (давление, напряжение, скорости, температура, деформация и т.д.). В этом случае численный метод должен удовлетворительно отражать локальные свойства аппроксимируемых дифференциальных уравнений :, в частности, учитывать область зависимости, обеспечивать удовлетворительное описание течений в большими градиентами параметров среды, разрывов, возможность построения корректных вычислительных алгоритмов на границах области интегрирования и поверхностях раздела сред. Обычно предпочтение отдается прямым, в которых характеристическая сетка выстраивается в процессе расчета и обратным характеристическим методам, а также построенным на их основе гибридным схемам и схемам повышенного порядка аппроксимации, наиболее близким, в определенном смысле, к монотонным. Далее, как правило, речь будет идти об обратных характеристических методах (заранее задается система узловых точек и способ интерполирования). Эти подходы и их развитие использованы в настоящей работе.

Отметим наиболее общие свойства дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и их характеристик:

- подобные уравнения, как правило, описывают нестационарные, волновые физические процессы и распространение малых возмущений (волнового фронта), что непосредственно связано с характеристическими многообразиями ;

- для линейных уравнений характеристики могут быть построены а'р^огс , независимо от искомого решения исходного дифференциального уравнения, что позволяет построить аналитиче ские решения типа Даламбера, Пуассона, Кирхгофа, или введением характеристической сетки легко получать численные решения ;

- для нелинейных уравнений возможно пересечение характери стик в местах возникновения разрывов, что облегчает исследование подобных особенностей и их численное определение ;

- характеристики позволяют изучить корректность постановки начальных и краевых условий задач для уравнений в частных производных и, в частности, определить необходимое количество граничных условий.

Для решения динамических "неволновых" задач обычно исполь зуются неявные разностные схемы, причем учет характеристических свойств систем уравнений и в этом случае оказывается полез ным. Отметим среди них неявные схемы расщепления, предложенные в работах Н.Н.Яненко, В.М.Ковени. Основное же достоинство неяв ных схем - безусловную устойчивость и возможность выбора большого временного шага - нельзя использовать в волновых задачах, т.к. явные схемы в этом случае оказываются экономичнее и точнее. Стационарные задачи обычно решаются итерационными методами или методом конечных элементов.

Значительные затруднения при численном решении рассматриваемых задач вызБтают большие деформации в среде. При исследовании процессов с малыми деформациями вопрос об использовании эйлерового или лагранжевого подхода является не принципиальным, т.к. в этом случае не возникает проблем, связанных с перемещением узлов материальных частиц или узлов расчетной сетки. При описании умеренных деформаций, преимущества лагранжевого описания движения среды представляется очевидным. Это обу словлено следующими причинами:

- лагранжевва расчетная сетка, неразрывно связанная с дви жением частиц среды, позволяет легко следить за границами области интегрирования и проводить расчеты параметров на границах с высокой точностью ;

- возможность следить за точками контактных границ (поверхностей раздела сред) ;

- возможность следить за локальными особенностями течения (например, за разрушенными частицами) ;

- отсутствие конвективных членов в уравнениях механики сплошных сред ;

- зависимые переменные (векторы, тензоры) могут быть отнесены к лагранжевой системе координат, что позволяет записывать уравнения в форме Дагранжа, а можно взять уравнения в форме Эйлера, но проводить расчеты на лагранжевой сетке, вычисляя эйлеровы координаты узлов (этот подход удобнее и используется в работе) ;

- возможность рассчитывать плотность среды с помощью простого уравнения неразрывности в форме Дагранжа.

При больших деформациях среды и, соответственно, искажениях лагранжевой сетки, расчеты на больших временных промежутках оказываются затруднительными (значительное уменьшение временного шага вплоть до невозможности продолжать счет). В этом случае обычно используется следующий выход: построение новой лагранжевой сетки и переинтерполяция на нее известных параметров среды. При этом, однако, во-первых, задача построения новой сетки может оказаться достаточно трудной и потребовать значительных затрат машинных ресурсов ; во-вторых, при переинтерполяции могут нарушаться законы сохранения массы, импульса, энергии.

Основными достоинствами использования эйлерового подхода являются стабильность временного шага и регулярность разностной сетки ; недостатками - трудности, возникающие при построении вычислительного алгоритма на границах области интегрирования и поверхностях раздела сред, и при необходимости следить за локальными особенностями течения. В этом случае используется мар-керование границ, материальных точек и т.д.

Интересным, в смысле преодоления указанных трудностей, представляется подход, предложенный Харлоу (метод частиц в ячейках), совмещающий, в определенной степени, преимущества эй-лерового и лагранжевого подходов.

В настоящей работе, наряду с традиционными подходами, предлагается использовать подвижные координаты, связанные с границами области интегрирования, представляющиеся более удобными при расчете задач с большими деформациями. Уравнения механики сплошных сред записываются в произвольно движущейся системе координат ; узлы сетки движутся с определяемыми по ходу решения задачи (аналитически или численно) скоростями ; криволинейная сетка отображается на прямоугольник, в котором проводятся расчеты. При этом скорости узлов можно выбирать из требований минимального отклонения от равномерной ортогональной сетки, требования адаптации сетки к решению (сгущение узлов в областях больших градиентов) и т.д. Требования, предъявляемые к разностной сетке, можно сформулировать в виде вариационных принципов, что приводит к необходимости параллельно с решением основной задачи численно решать систему уравнений в частных производных эллиптического типа для определения скоростей узлов и их координат.

Отметим также, что учет конечных деформаций в твердых деформируемых телах приводит к необходимости вводить в рассмотрение эмпирические или теоретические уравнения состояния, производные типа Яуммана.

Введение таких производных, а также учет рада физико-механических процессов (континуальное разрушение, теплопроводность, лучистая теплопроводность, вязкость) необходимо проводить с использованием схем расщепления по физическим процессам (очевидно, если твердое тело испытывает фазовое превращение, т.е. переходит в жидкость, газ, плазму, то производные типа Яуммана отсутствуют). Например, учет вязких свойств деформируемого твердого тела, приводит к появлению эффектов "жесткости" в системе дифференциальных уравнений, в этом случае обычно используются неявные схемы ; введение производной Яуммана может привести к потере гиперболичности при нагружении, близком к чистому сдвигу, что можно обойти, используя схемы расщепления. Жесткость в системе уравнений может появиться также при использовании кинетических моделей разрушения и использовании наследственных реологий типа Ю.Н.Работнова (в этом случае появляются дополнительные трудности, связанные с необходимостью запоминания истории деформирования). Отметим, что при реализации моделей линейной и нелинейной теории упругости, пластического течения Прандтля-Рейсса, деформационной пластической теории А.А.Ильюшина, "жесткость" в системе не возникает.

Отметим также следующий факт. Строго говоря, разрывные решения, ударные волны, в рамках реологии Прандтля-Рейсса не определены однозначно, в отличие от реологий вязко-упругой или вязкоупругопластической среды. Однако возможность эффективного использования этой модели в численных расчетах показывает большой опыт численных исследований пластических течений (а также сопоставления с экспериментальными данными).

Особенности области интегрирования также могут оказать влияние на выбор численного метода. Например, если размер области интегрирования по одной координате, существенно превышает размер по другой координате, целесообразно использовать в динамических задачах явно-неявные схемы (явные по координате с наибольшим и неявные по координате с наименьшим размерами) если, конечно, можно пренебречь волновыми процессами по "неявному" направлению [ 251 . Если в задаче взаимодействуют две области интегрирования, то имеет смысл решать задачу с вьщелением контактного разрыва; в этом случае более эффективными являются методы, учитывающие характеристические свойства системы уравнений в частных производных гиперболического типа [ 7,98 ] . При численном решении стационарных задач со сложными областями интегрирования, удобным оказывается метод конечных элементов[ 153-155] .

Рассмотрим некоторые численные методы и реологические модели, используемые при численном решении нестационарных задач механики сплошных сред (МСС), в том числе механики деформируемых сред, а также характерные задачи и приложения, рассматриваемые с помощью численных подходов.

I. Разностные схемы, используемые для численного решения задач динамики сплошных сред.

Подробный обзор разностных схем, применяемых для оделенного исследования нестационарных процессов в сплошных средах и их свойств, дается в работах [1-7 ] .

Отметим среди них наиболее известные схемы Лакса [ 8 ] , Ку-ранта-Изаксона-Риса[ 9 1 , Ландау-Меймана-Халатникова [ 10 ] , Лак-са-Вендроффа [ II ] , Рихтмайера [ 2 ] , Г'одунова-Забродина-Проко-пова [ 12,13 ] , Мак-Кормака [14] , Русанова [19] , Валакина [20], Бурнштейна-Мирина [ 18 ] , Уорминга-Кутлера-Ломакса [ 1б] , Тушевой [ 21 ] , гибридные схемы [22-24,27-28] , схемы, наиболее близкие, в определенном смысле, к монотонным [ 25-26 ] , использующие различные операторы сглаживания [ 29-31 ] .

Одними из первых работ по моделированию нестационарных задач ЩС были расчеты Уилкинса 132 ] и Майнчена, Сака [ЗЗ] , в которых рассматривались упругопластические течения при помощи разностной схемы второго порядка аппроксимации типа Рихтмайе-ра [2 ] . В работе [32] применялась аппроксимация производных при помощи интегральных формул, в [зз] - обычная разностная аппроксимация ; расчеты проводились в лагранжевой системе координат. В дальнейшем подход, предложенный в [33] использовался при расчетах поведения грунтов при действии взрывных нагрузок [34], в [ 32 ] - при моделировании ударно-волновых процессов в твердых деформируемых телах [35-56 ] . Довольно широкое распространение для численного решения динамических задач ВДС получила немонотонная разностная схема Лакса-Вендроффа с использованием искусственной вязкости. Так, для решения плоских задач теории упругости она использовалась в работе Клифтона [б?] , в [58] была применена к решению осесимметричных задач, в [59] распространена на случай пространственных задач. В работе [60] эта схема использовалась для численного исследования динамических упруго-вязкопластических задач, в [б1 1 с ее помощью рассматривались задачи деформационной теории пластичности [ 62 ] . Для моделирования некоторых нестационарных процессов в ВДС в работах [63-68 ] использовалась схема второго порядка аппроксимации "крест" (типа Лакса-Вендроффа) со сглаживанием численного решения на верхнем слое. Пример применения схем расщепления представлен в [68-69] (теория разностных схем расщепления, в приложении к задачам газовой динамики, представлена в работах [70-72 ] ), явно-неявных - в [73] , гибридных - в [24 ] . Некоторые разностные методы численного решения задач механики деформируемого твердого тела (ВДТТ) приведены в [ 74 ] .

2. Численные методы, учитывающие характеристические свойства уравнений МСС

Фундаментальным понятием для систем уравнений в частных производных гиперболического типа являются их характеристические свойства. Использование характеристической записи исходных уравнений при построении конкретных численных методов (т.е. аппроксимация не исходных уравнений, а эквивалентных им условий совместности вдоль некоторых характеристических направлений) позволяют наиболее естественным образом строить вычислительные алгоритмы на границах области интегрирования и поверхностях раздела сред (контактных границах), сближать области зависимости решений дифференциального и разностного уравнений, учитывать физику задач (распространение разрывов вдоль характеристик) и т.д. Эти - характеристические - использующие характеристическую сетку - методы широко и успешно использовались при численном решении задач газовой динамики [ 75-80 ] .

В работе [81 ] отмечалась перспективность развития метода характеристик [82] , причем, принципиальное значение имел также предложенный метод расчета граничных точек [ 83 ] ; на основе би~ характеристического метода были проведены расчеты пространственного обтекания притуплённых конусов для реальных условий полета [ 84 ] . Этот метод, как и другие подходы, обзор которых дан в 79 ] , строго говоря, не является прямым методом характеристик, а использует условия совместности в разностной форме для фиксированной сетки. Анализ характеристических свойств уравнений газовой динамики привел к формулировке обратного метода характеристик на основе известных понятий и терминов теории разностных схем. Эти идеи были опубликованы в работах [235,7] , в которых было показано, что используя определенные комбинации условий совместности для многомерной гиперболической системы, можно построить численные схемы типа обратного метода характеристик первого и второго порядков аппроксимации. Причем, они являются естественным обобщением одномерной разностной схемы [9] и обладают высокой эффективностью при конкретных расчетах. Предложенные схемы описываются в терминах метода сеток и называются сеточно-характеристическими методами. Это позволило провести известными способами исследование соответствующих схем на устойчивость, аппроксимацию, монотонность. Проведенный в [25] анализ для простейшего уравнения переноса показал, что разностная схема первого порядка точности сеточно-характеристического метода имеет наименьшую аппроксимационную вязкость среди явных разностных схем для простейшего сеточного шаблона (там же было показано, что этим свойством обладают и схемы первого порядка сеточно-характеристического метода и в общем случае). В [25] был разработан новый аппарат исследования разностных схем - их анализ в пространстве неопределенных коэффициентов, что позволило расширить возможности и рассмотреть разностные схемы для произвольного шаблона, в том числе и метода высокого порядка точности [2б]. Понятно, что достоинства любого численного метода проявляются в полученных с его помощью результатах, а также возможности его практического использования ; данный метод вьщержал испытания временем, а также количеством задач и приложений, рассмотренных с его помощью. С использованием СХМ проведено численное исследование ряда задач газовой динамикиI 7,82-83,85,84] , задач лазерного термоядерного синтеза (ЛТС), или динамики плазмы [4,87] ВДС [24,69,88-104] , связанных задач газ о гидродинамики и ЩЦТТ [105-108] . Характеристические свойства системы уравнений гиперболического типа (с использованием схемы Лакса-Вендроффа) использовались для численного решения динамических задач теории упругости в работах [57-61 ] . Дальнейшее развитие этот подход получил в работах [109-113 ] ; в [Ш-112] рассматривались задачи об ударе жестким бойком по деформируемым преградам, в [ ИЗ ] - в одномерном приближении исследовалась связанная задача термоупругости для слоя с учетом конечной скорости распространения тепла.

В [ 114 ] предложены два варианта прямых характеристических схем для решения нестационарных задач о течении упруговязко-пластической среды, а в [ 115] рассмотрены задачи о напряженном состоянии цилиццров с вырезами. Кроме прямого, на базе монотонной разностной схемы Лакса, обладающей значительной аппроксима-ционной вязкостью, был разработан обратный метод характеристик, основанный на приведении исходной системы уравнений для упруго-пластической среды к форме, содержащей производные только вдоль бихарактеристик [ 116-117] , использовавшийся в работах [118-119] и др.

Среди методов, учитывающих характеристические свойства гиперболических систем уравнений, следует отметить близкий к СХМ метод Годунова (или распада разрыва), изложенный в работах [хз! [120 ] , который также использовался, в основном, для решения одномерных задач в [121-124 ]. В этих работах данный метод использовался для расчета уравнений МДТТ с релаксацией касательных напряжений [125] . В [122] рассматривались задачи об импульсном нагреве и импульсном нагружении внешним давлением металлических пластин, в [124 ~ задача об импульсном нагреве проводников электрическим током.

Заметным продвижением в развитии сеточно-характеристичес-ких методов представляется разработка аппарата исследования разностных схем на основе их анализа в пространстве неопределенных коэффициентов и построения с его помощью наиболее близких, в смысле евклидовой нормы, к монотонным схемам, сеточно-характеристических методов высокого порядка точности в работах Холодова A.C. [ 25,26] . На базе этих сеточно-характеристических методов в [24] были предложены и реализованы гибридные схемы для сквозного расчета областей с течениями разрывного характера, эффективность использования которых была показана как в [ 24- ] , так и в настоящей работе. Здесь же, по-видимому, впервые, гибридные схемы применялись в двумерных и трехмерных нестационарных задачах, в частности, теории упругости. Затем они использовались для численного решения многомерных упругопластических задач в данной работе. Использование СХМ, метода Годунова, гибридных сеточно-характеристических схем и схем повышенного порздка точности, наиболее близких к монотонным, представляется наиболее эффективным и перспективным направлением в области численных исследований нестационарных, и в частности, ударно-волновых задач. То же относится и к предложенным в [73] явно-неявным и неявным сеточно-характеристическим схемам, которые могут быть использованы при решении квазистационарных задач, либо задач с существенно различными размерами области интегрирования по разным направлениям.

3. Другие численные методы для численного решения задач ЦДС

Отметим, что не все из приводимых далее численных методов применялись для решения задач механики деформируемых сред, однако, все они могут представлять интерес с этой точки зрения. Одна из основных проблем в рассматриваемых задачах - деформации расчетной сетки, которые могут привести к потере ее регулярности, значительному уменьшению временного шага, вплоть до невозможности продолжать расчеты и т.д. Главная задача, которую ставили авторы рассматриваемых методов - разрешение, в той или иной степени, этой проблемы.

Одно из наиболее интересных ее решений предложено Харлоу. Этот метод получил название "Метод частиц в ячейках" и является, по сути, методом расщепления на два этапа: эйлеров ("частицы", на которые разбивается среда, не движутся) и этап перемещения "частиц", являющихся носителями массы, энергии, импульса, что позволяет сохранить в процессе счета эти величины, а также их индивидуальные свойства. Для исследования задач высокоскоростного соударения в гидродинамическом приближении он использовался в работах [ 126,127 ] . Основные его преимущества - выполнение законов сохранения, решение проблемы с большими деформациями среды, т.к. расчеты проводятся на эйлеровой сетке, учет индивидуальных свойств частиц (разрушение, фазовые переходы, разные вещества и т.д.). К недостаткам метода следует отнести необходимость дополнительных затрат памяти ЭВМ вследствие введения частиц (задача как бы приобретает дополнительную размерность), невозможность с достаточной точностью описывать области разрежения из-за малого числа в них частиц, заметные скачки плотности среды.

Другими примерами использования схем расщепления по физическим процессам являются методы F LICK [128] и крупных частиц ['70,129 ] , аппроксимирующих исходную систему уравнений МСС. В [70] представлен пример применения метода крупных частиц для численного решения одномерной упруго-пластической задачи ; в использовалась его модификация для решения двумерной задачи о формировании кумулятивной струи.

СЭЛ (совместный эйлерово-лагранжев метод) достоинства лагранже-вого и эйлеровою подходов. Все расчеты проводятся на фиксированной эйлеровой сетке, а границы области интегрирования и кон

Нох В.Ф. в С X311 также предлагает использовать в методе тактные границы полагаются лагранжевыми, движущимися по эйлеровой сетке. На третьем этапе происходит "сшивание" этих двух типов областей, что представляет собой достаточно трудоемкую процедуру.

В работах [ 132,88,92,118] для преодоления трудностей, связанных с деформациями расчетной сетки предлагается использовать смешанные эйлерово-лагранжевы переменные (эйлеровы по одному, лагранжевы - по другому направлению), что, до определенной степени, помогает продолжать численные расчеты, по сравнению с возможностями лагранжевых сеток.

В работах ¡133-135] ("Метод многих тел" и "Медуза") предлагается не привязываться к обычным регулярным сеткам, а "разбрасывать" узлы по области интегрирования наиболее удобным образом. Каждому узлу, при этом, ставится в соответствие некоторая, обычно шестиугольная, ячейка ; и в такой области производится интегрирование системы уравнений МСС.

Отказ от канонического построения регулярных расчетных сеток предлагается также в интересном подходе Дьяченко В.Ф. [ 136 ], в свободно-лагранжевом методе Кроули У. - FLAG [ 137] , в [ 138] , где излагаются идеи метода свободных точек.

Интерес для численного моделирования динамических задач ВДС представляет хорошо известный в газовой динамике произвольный лагранжево-эйлеров метод [ 139 ] , предложенный Хёртом С., являющийся, по сути, методом расщепления на два этапа - лагран-жев, на котором, без необходимости введения второго этапа, можно закончить расчет на данном временном слое, и эйлеров, который используется при необходимости перестраивания расчетной сетки. В этом методе вводится скорость движения узла.

Интенсивное развитие при численном решении рассматриваемых задач 1УЩС получил метод конечных элементов - МКЭ, в котором используются идеи известных методов Ритца и Бубнова-Галеркина. Наиболее эффективным использование МКЭ представляется для решения стационарных задач МСС в сложных областях интегрирования (см., например, работы [ 140-142] ), однако метод используется и для численного исследования динамических, в том числе ударно-волновых задач 143-149] . Это приводит к необходимости введения искусственной вязкости вследствие немонотонного характера численного решения в областях разрывов или больших градиентов решения. Главное достоинство МКЭ - возможность достаточно простой реализации вычислительного алгоритма на треугольных сетках, что облегчает, но не решает проблему искажения расчетных сеток. Поэтому при использовании этого метода, например, при численном моделировании процессов высокоскоростного соударения, приходится, как и в любом другом лагранжевом методе, перестраивать сетку с переинтерполяцией на нее параметров течения. Отметим, что в работах [I50-I5I] предложены разные способы построения консервативных, а в [152] - явно-неявных (все элементы разбиваются на группы - "явных" и "неявных") конечноэлементных методов. Теория и практика использования МКЭ подробно изложена в монографиях '153-156 .

Наряду с "традиционными" подходами к численному решению задач ОДС следует отметить и "нетрадиционные", например, метод Пи-кара [157] и его применение к решению одномерных упруго-пластических задач [158 ] .

Использование традиционного лагранжевого подхода к описанию деформирования сплошных сред, как уже отмечалось, приводит к необходимости периодического перестраивания расчетных сеток (о чем подробнее будет сказано далее) и переинтерполяции на них параметров течения ; примеры таких расчетов можно найти в работах [47-48,52,144] . Реализация эйлеровых подходов, а также методов расщепления типа Р ИСК и крупных частиц, использующих эйлерову сетку, предполагает использование метода маркеров [159-161] , суть которого в "маркеровании" положения границ среды (или контактных границ) специальной системой частиц - маркеров, не обладающих массой, которые перемещаются вместе со средой по эйлеровой сетке, либо метода концентраций [162-164] . В последнем случае вводится функция заполнения Р равная I в точке, занятой средой и 0 при ее отсутствии в этой точке. Средняя величина Р в каждой ячейке (после дискретизации среды) равна степени ее заполненности жидкостью ; ячейки с 0 р <С { содержат свободную границу. Функция заполненности вводится для определения положения границы ; ее изменение во времени определяется уравнением гДе 1 > X ~ независимые переменные (время и координаты), 1У - скорость среды в точке.

Значительное продвижение при численном исследовании нестационарных процессов с большими деформациями связано с развитием более общего, чем лагранжев и эйлеров, подхода - метода подвижных сеток, разработанного для решения газодинамических задач в [120] и задач ВДС - в [165,88-89] . Его суть заключается в представлении уравнений МСС не в традиционных формах Эйлера или Лаг-ранжа, а в подвижной системе координат, в которой точки движутся с заданными, либо находящимися из решения задачи скоростями). Расчеты при этом ведутся в прямоугольной (вообще говоря, в некоторой фиксированной) области интегрирования, а учет деформаций ячеек проводится с помощью вычисления в каждой точке компонент матрицы Якоби ; скорости узлов сетки находятся аналитическим либо численным путем по ходу решения задачи. Этот подход

- 23 развивался и реализовался также в работах 1119,143 ].

4. Построение расчетных сеток для численного решения задач МСС •

К настоящему времени сформировалось направление вычислительной математики, занимающееся разработкой методов построения расчетных сеток - см., например, работы [120,140,166-178] . Подробный обзор по этой проблематике представлен в [172] .

Построение расчетной сетки означает нахождение координат узлов или пересечения координатных линий криволинейной системы координат, связанной с границами области. Такая система позволяет определить численное решение системы уравнений ЕСС в обычной прямоугольной (либо фиксированной) области интегрирования.

Наиболее простой способ построения сетки заключается в объединении отдельных, априорно заданных сеток для отдельных подобластей, из которых состоит рассматриваемая область. Мы будем рассматривать более сложные алгоритмы, которые можно разбить на следующие основные:

- построение сеток путем решения систем алгебраических уравнений, соответствующих процедурам вычисления координат узлов посредством интерполяции между заданными поверхностями или границами ; преимущество такого подхода - минимальное количество вычислений, недостаток - наличие изломов координатных линий внутри области интегрирования вследствие отсутствия механизма сглаживания [172,177 ] ;

- использование конформных отображений, что приводит к численному решению уравнений в частных производных [120,177-178] ;

- построение сеток путем решения уравнения Лапласа [166] ("обратные" уравнения Лапласа) либо Пуассона [172,177] ;

- 24

- использование вариационных принципов, что приводит к численному решению экстремальной задачи на безусловную минимизацию некоторого функционала [ 120,140,174 1.

Требования, предъявляемые к расчетным сеткам, могут быть следующими: гладкость, квазиортогональность, способность адаптироваться к решению. Одна из первых работ по построению "гладких" сеток, что по сути означает гладкость преобразования, принадлежит Винслоу [166] , который рассматривал систему уравнений Лапласа, являющейся, вообще говоря, уравнениями Эйлера для функционала, рассматривать который предложено Врэкбилом в работе [171] . Кроме требования "гладкости" сетки, в функционал можно ввести требование ее ортогональности и адаптации к численному решению, что реализуется в работах [ 171-174 1. Причем, в работе [ 174] показывается преимущество непосредственного численного решения задачи на минимизацию функционала и предлагается алгоритм, работающий в весьма сложных случаях. В указанных работах построение сеток производится для решения стационарных задач ; в данной работе указанные алгоритмы предлагается использовать для численного решения нестационарных задач.

5. Определяющие уравнения, использующиеся при численном решении нестационарных задач МДС ; особенности реализации численных методов при использовании различных реологических моделей.

Нестационарные системы многомерных уравнений МСС, которые используются при численном решении задач МДС, приведены, например, в работах [179,125,180-184,114,116-117,88] . Они состоят из уравнений движения, энергии, неразрывности и реологических соотношений, определяющих поведение конкретной среды, и записываемых, как правило, в нестационарной форме. Важным этапом исследований, в этой области явилась разработка теории конечных деформаций в работах Кукуджанова В.Н., Кондаурова В.И. [117,180] причем, в [ 180 ] вводятся нестационарные уравнения для дисторсии и получается замкнутая дивергентная система уравнений МДТТ, что невозможно было сделать при использовании канонических уравнений.

Особенностью численного моделирования в МДС, в отличие от моделирования газодинамике, является наличие значительного числа реологических моделей деформируемых сред, включающих, в том числе, и модели жидкости газа, плазмы, где различие моделей обусловлено разными уравнениями состояния (дополнительные трудности появляются при численном решении задач динамики плазмы, что связано с введением двухтемпературной модели среды и учетом переноса излучения). В известных работах по численному моделированию задач МДС использовались следующие реологические модели деформируемых сред:

- линейно-упругая среда, описываемая обобщенным законом Гу-ка - [181,183-184] ; использовалась в работах: [57-58,64,73,85] и др. ;

- упруго-идеальнопластическая среда Прандтля-Рейсса [182, 184,189 ] ; использовалась в [32,33,37-40,44-52,83-103] и др. ;

- вязко-упругая среда с релаксацией касательных напряжений [l25] ; использовалась в [122-124] и др. ;

- вязкоупругопластическая среда [114] ; использовалась в [114,185] и др. ;

- деформационная теория пластичности [62 ] ; использовалась в [61,112] и др. ;

- наследственная вязко-упругая среда [186-187] ; использовалась в работах [188,69,104 ] ;

- термоупругая среда (модель Дюамеля-Неймана) [181,183,184] использовалась в [88,101,97,100,113 ] и др. ;

- 26

- многофазная среда (твердое тело, жидкость, газ, плазма; фазы не смешаны - в одной точке - одна фаза) - уравнения получены в [99] , использовалась в [97,99-100,102] ; двухфазные среды со смешением фаз рассматривались в работах [190,191] ;

- анизотропная линейно-упругая среда [181,183,184] использовалась в [101 ] и др. ;

- дислокационная модель, учитывающую кинетику образования пластических деформаций [192-195] ; использовалась в перечисленных работах только в одномерных задачах ;

- реология грунтовых пород [196,197] ; использовалась в [ 34,198] .

Нестационарные системы уравнений для указанных реологических моделей (а также для жидкости, газа, плазмы) имеют гиперболический тип, за исключением следующих случаев: необходимости учета теплопроводности, диффузии, переноса излучения или конечных деформаций путем введения, например, производной Яумана (в последнем случае гиперболичность может быть утеряна в областях деформирования, близких к чистоту сдвигу). Обойти эту трудность позволяют схемы расщепления по физическим процессам - на первом этапе решается гиперболическая система уравнений, на втором учитываются процессы, введение которых нарушает ее гиперболичность.

При использовании модели линейно-упругой среды имеем линейную систему уравнений, вязко-упругой (в том числе, наследственной, упруго-вязко-пластической - полулинейную, упруго-пластической - квазилинейную систему ВДТТ. Учет вязкости деформируемой среды приводит к появлению жесткости в нестационарной системе МДТТ, что также обходится с помощью схем расщепления и введения неявности. В работах [97,99,102] для учета процессов теплопроводности и переноса излучения (модель лучистой теплопроводноети) применялась неявная схема расщепления - от исходной системы "отщеплялись" указанные процессы и учитывались на втором этапе.

Аналогичным образом в [69,104] применялась разностная схема расщепления для учета наследственных вязких членов, которые вводились неявным образом.

Для учета разрушения в настоящее время широко используются два подхода: модель мгновенного разрушения (после разрушения, определяемого критерием, некоторые параметры среды, напряжения, изменяются скачком) и континуально-кинетическая модель (или кинетическая модель рассеянного разрушения), в которой постулируется наличие некоторого параметра, количественно характеризующего степень разрушения среды и дается кинетическое уравнение для его определения ; впрочем, первый подход может рассматриваться, как частный случай второго. Модель мгновенного разрушения в механике известна давно, в численной же практике, по-видимому, этот подход впервые применен в [33] , после чего использовался достаточно широко - см., например, [37,48,67,94] и др. Уточнением такой модели является учет накопления повреждений, т.е. разрушение происходит, если некоторая функция (например, интеграл от функции напряжений по времени) превысит значение некоторой экспериментально определяемой константы. Причем, учитывать можно как откольные, так и сдвиговые разрушения, что определяется выбором конкретного критерия. Если используется модель мгновенного откола, то необходимо знать величину так называемого динамического предела прочности (или откольную прочность), определяемую экспериментально в определенных диапазонах скорости деформирования. Подробные обзоры критериев разрушения представлены в работах [199-201] , особенности экспериментального изучения динамического разрушения можно найти в[ 200,202,203] .

Большое число работ в последние годы посвящено построению кинетических моделей рассеянного (континуального) разрушения. По-видимому, первые идеи в этой области были высказаны еще в пятидесятые годы Рахматуллиным Х.А., Работновым D.H., Качаловым Л.М., первые работы по разработке и применению в численной практике конкретных кинетических уравнений для параметра разрушения среды принадлежат Куррану Д.Р., Шоки Д.А., Симену Л., Да-висону Л., Стивенсу АД. [206,207] . В дальнейшем развитие этой проблематики нашлось в работах [208,192,209-211,41,42,95] . В [95] модель рассеянного разрушения развивалась, исходя из энергетических соображений с использованием идеи Гриффитса представленной в работе 212 , в [ 50] предложена одномерная кинетическая двухстадийная модель разрушения, основанная на формуле Жур-кова, учитывающая температурные эффекты. Отметим, что введение в исходную нестационарную систему уравнений МДС еще одного кинетического уравнения, соответствующего учету рассеянного разрушения - может привести к появлению жесткости. Обойти эту трудность можно также, используя схему расщепления - при этом "отщепляется" правая часть кинетического уравнения, вводимая неявно.

Особую область в механике разрушения представляет разрушение хрупких тел (стекло, керамика, скальные породы) ; этой проблеме посвящено большое число работ [197,213-215] и др. Реологические модели таких сред довольно близки к модели упруго-идеаль-нопластической среды ; использовать соотношения Прандтля-Рейсса предлагалось, например в 33] . Развитие этой модели для описания поведения хрупкоразрушаемых тел приводилось в упомянутых работах Григоряна С.С., Слепяна Л.Н., Черепанова Г.П., а также в монографии [34] .

Другой непростой аспект численного моделирования нестационарных процессов в деформируемых средах в широком диапазоне температур и давлений - описание фазовых переходов - полиморфных, плавления, сублимации, испарения, ионизации. Уравнения МСС для многофазных сред получены в [191] , полиморфные переходы рассматривались в работах [216-217,190,191,218] . Однако, надежной и хорошо обоснованной (теоретически или экспериментально) кинетической модели полиморфных фазовых переходов, по-видимому, пока не существует, как нет и надежных данных об условиях таких переходов и изменении при этом прочностных константматериала. Предложенные в [217,190] кинетические уравнения разрабатывались на одномерных и немногочисленных экспериментах ; кроме того, их чистая эмпиричность ставит под вопрос универсальность моделей. Процесс испарения на поверхности воды, облучаемой лазером, с учетом условий типа Ренкина-Гюгонио на поверхности фазового перехода, рассматривался в работах [220,221,241-244] , где рассматривалась только газодинамическая часть задачи, а условия на поверхности перехода использовались как граничные. В [222,245, 246] подобным образом рассматривался фазовый переход на границе металла, нагреваемого лазерным лучем.

На сегодняшний день наиболее корректно решенными задачами о фазовых переходах являются задача Стефана (см., например, [з] ) о движении фронта плавления (задача квазистационарная с точки зрения волновых процессов) и задача с априорным разделением фаз, что имеет место, например, в случае "мгновенного" (относительно характерного акустического времени) энергопоглощения [99,100, 102] (В этих задачах не требуется знание кинетики фазового перехода). Что же касается динамических фазовых переходов, то из-за отсутствия надежных указанных моделей, оправдывает себя простейший подход, основанный на знании эмпирического критерия перехода - критическое давление для полиморфного перехода, критическая температура (вообще говоря, зависящая от давления) для плавления и т.д. Кроме того, возможным представляется использование широкодиапазонных уравнений состояния (УС) [ 223-225 ] .

Необходимость использования УС деформируемой среды (в газодинамическом смысле, т.к. в МДТТ, вообще говоря, уравнением состояния является вся система реологических соотношений) возникает при численном моделировании процессов со значительными диапазонами изменений давлений и температур. В случае, если изменениями температуры можно пренебречь, в качестве УС можно использовать эмпирические, полученные из ударных адиабат материалов, и представленные в [ 227 ] . Если изменения температуры оказывают заметное влияние на ход процесса, то можно использовать уравнения состояния типа Ми-Грюнайзена [ 228,229 ] , причем, до определенной степени точности, в УС, предложенном в [ 229 ] , учитываются фазовые переходы. Преимущество этих УС в простоте их вида и реализации в численных расчетах.

Отметим, что математическая теория фазовых переходов в твердых деформируемых телах разработана в [ 230 ] ; использование результатов этой работы в дальнейшем (при численном моделировании динамических процессов в МДС) представляется наиболее перспективным направлением в решении этой проблемы.

6. Задачи и приложения МДС, рассматриваемые с помощью численного моделирования.

6.1. Волновые процессы в деформируемых твердых средах.

Эти задачи численно исследовались во многих работах. Так, изучение распространения упругих волн проводилось в [53,57-59, [73,88,24,90,99,109,74,110,111,64] , упруго-пластических - в [32,33,36,54,63-67,88 100,116,117] , в том числе с учетом кинетики образования пластических деформаций (теория дислокаций) в [192-195] , откольных явлений в [33,38,41,42,50,51] , полиморфных фазовых переходов - в [217,190,191,401 . Волновые процессы в вязко-упругих и вязко-упруго-пластических средах (релаксационные модели) рассматривались в работах [ 114,122,123] , в наследственных вязко-упругих средах - в [188,69,104 1 . Интересные механические явления наблюдаются при распространении упругих или упруго-пластических волн в многослойных средах (затухание, запирание, кумуляция, лицевые отколы и т.д.) ; эти процессы изучались в работах [43,45-46,98,126,219,231-232] .

Задачи о распространении волн в цилиндрических или сферических оболочках конечной толщины (в том числе, с учетом отколов) численно рассматривались в [88,90,94,53,117,233-234] .

6.2. Задачи о соударении.

Этой теме также посвящено значительное количество расчетных работ [ 37-39,47-49,52,55-56,67,88-93,98,Ш-П2,116-119,126-127, 139,143-149,165,205 ]. При численном моделировании процессов в соударения возникают две проблемы: первая связана с необходимостью достаточно точно описывать волновые процессы, что разрешается с помощью характеристических подходов к построению вычислительного алгоритма, вторая - с трудностями, обусловленными значительными деформациями соударяющихся тел. Обычно при численном решении этих задач используются лагранжевы сетки с периодической перестройкой, эйлеровы - с маркерованием границ, смешанные лаг-ранжево-эйлеровы методы, методы частиц или подвижные координаты. Вообще говоря, в задачах соударения возникает еще один сложный вопрос, вызванный необходимостью решения задач с выделением контактного разрыва на границе преграда-ударник или в случае слоистых преград. Эти вопросы рассматриваются в данной работе. б.З. Задачи о взаимодействии излучения или пучков заряженных частиц с деформируемыми твердыми телами.

Эта тема для численного моделирования в рамках моделей МДС относительно нова. В первых работах в этой области действие лазерного излучения моделировалось импульсом напряжения (см., например, [ 88,94j и др. Однако, такое моделирование должно корректироваться с помощью экспериментов ; кроме того, в ряде случаев (рентген, пучки заряженных частиц) оно неправомочно. Моделирование последних задач необходимо проводить в полной физической постановке, т.е. учитывать объемное поглощение энергии, нагревание твердого тела, плавление, сублимацию, ионизацию и т.д., для чего используется широкодиапазонная система уравнений МСС, полученная в [99] и применявшаяся в расчетах [99-100,102,97J . Численное решение термоупругих задач с объемным энергопоглощением, что имеет место в лазерных кристаллах, проводилось в [88, IOQ-IOl] . В более простой постановке, в одномерном случае, подобные задачи рассматривались в [ 236-237] . В [ 97] рассматривались задачи о медленном (по сравнению с характерным акустическим временем) нагревании металлической пластины с расчетом ее напряженного состояния на установление и о многократном ее лазерном облучении с учетом теплопроводности (время каждого импульса порядка акустического, суммарное же время облучения - порядка теплопроводного). В работе [102] распределение фаз в области интегрирования считалось заданным априорно, расчеты проводились с учетом переноса излучения в приближении лучистой теплопроводности.

6.4. Связанные задачи о сверхзвуковом обтекании деформируемых оболочек конечной толщины

Примеров численного исследования задач этого типа немного.

Так, в простейшей одномерной постаноке, без учета напряженного состояния оболочки, связанная задача обтекания теплопроводной оболочки рассматривалась в [238] . В работе [Юб] численно решалась задача об обтекании потоком сверхзвукового идеального газа деформируемой оболочки конечной толщины ; в [lO?l газ, обтекающий сферическую теплопроводную деформируемую оболочку полагался вязким и теплопроводным.

6.5. Гидроупругие задачи.

Примеров численного решения этих задач также немного (отметим, что твердые деформируемые тела могут быть не только упругими - упругопластическими, вязкоупругими и т.д.). В [239-240] рассматривались задачи об ударе тонкостенных конструкций о поверхность воды в приближении теории оболочек. В [105] исследовались задачи о разрушении почечных камней в жидкости, в настоящей работе - о разрушении взрывом льда, контактирующего с водой. б.6. Задачи о воздействии внутренних взрывных нагрузок на стенки каналов с движущимся поршнем.

В двумерной постановке задачи о поведении стенок осесим-метричного канала с движущимся по нему поршнем под воздействием взрывной нагрузки и плоского канала под действием сжатой плазмы рассматриваются в данной работе и в [юз] . Похожие, в определенном смысле задачи, рассматривались в [ 63-66 1 .

6.7. Нестационарные трехмерные задачи ЩС.

Для численного решения этих задач наиболее целесообразным представляется использование сеточно-характеристических методов, что и было реализовано в [l03] и данной работе. С помощью метода [32] трехмерные задачи решались в работах I39,491 , МКЭ -в [147-149], схемы "крест" - в [109] ;в [145] трехмерная задача о "косом" соударении численно решалась в плоском приближении.

6.8. Задачи о воздействии взрывных нагрузок на преграды и конические облицовки #

Эти задачи рассматривались в работах [116-119,209,130,38] и др.

Детонирующее вещество либо рассматривается как сплошная среда с заданным уравнением состояния, либо его воздействие на деформируемое тело моделируется поверхностной нестационарной нагрузкой.

6.9. Задачи о поведении грунтов под действием взрывных нагрузок

Примеры численного решения таких задач приведены в [з4 [198] и данной работе. Их особенность состоит в использовании реологических моделей грунтовых сред, разработанных в [196-197], [34] .

7. Содержание работы, ее практическая значимость, актуальность, новизна.

Работа состоит из вводной части, введения, включающего шесть обзоров

- разностных схем для численного решения задач МСС ;

- численных методов, учитывающих характеристические свойства уравнений МСС ;

- численных методов для решения задач ВДС ;

- методов построения разностных сеток ;

- реологических моделей, описывающих поведение деформируемых сред ;

- задач и приложений ВДС, рассматриваемых с помощью численного моделирования ; семи глав, в которых рассматриваются:

- численные методы, используемые в работе ;

- определяющие уравнения ВДС ;

- волновые процессы в деформируемых средах ;

- задачи соударения ;

- задачи взаимодействия излучения, пучков заряженных частиц с деформируемыми телами ;

- задачи о поведении каналов под внутренним воздействием взрывной нагрузки или сжатой плазмы ;

- связанные задачи обтекания деформируемых оболочек конечной толщины ; заключение, в котором приведены основные выводы и результаты, полученные в работе, подробный список литературы по теме диссертации.

Актуальность и практическая значимость работы подробно рассмотрены в вводной части, ее новизна состоит в следующем:

- для численного решения задач ВДС разработан СХМ, ранее применяемый для решения задач гидродинамики ;

- для численного решения одномерных и двумерных задач ВДС разработаны и реализованы гибридные сеточно-характеристические схемы ;

- для численного решения задач ВДС разработан и реализован метод подвижных сеток,включающий, как частные случаи, лагранжев и эйлеров подходы ;

- метод подвижных сеток реализован в соединении с современными методами построения сеток ;

- для численного решения задач ВДС разработаны и реализованы разностные схемы расщепления по физическим процессам, позволяющие учесть вязкие свойства среды, разрушение, конечные деформации, теплопроводность, перенос излучения;

- получена широкодиапазонная система уравнений МДС, учитывающая возможность наличия в области интегрирования нескольких фаз (твердое тело, жидкость, газ, плазма) ; используется система уравнений МДТТ в конечных деформациях ;

- предложен и реализован алгоритм расчета параметров среды в точках, принадлежащих поверхностям раздела сред (задача с выделением контактного разрыва) ; проведено численное исследование влияния решения задачи с выделением контактного разрыва в изучении ударно-волновых процессов ;

- СХМ разработан для численного решения нестационарных трехмерных задач МДС ;

- гибридная сеточно-характеристическая схема разработана для численного решения нестационарных задач МДС ;

- с помощью СХМ получено численное решение трехмерных задач о "косом" ударе жестким бойком по монолитной и двухслойной преграде и об обтекании параллелепипедо-образной щели, а также упругого препятствия в грунтовых средах ;

- разработан и реализован численный алгоритм для решения задач с реологией среды релаксационного типа (вязко-упругая либо упруго-вязко-пластическая среда), что приводит к появлению жесткости в системе уравнений МСС ;

- разработан и реализован численный алгоритм решения нестационарных одномерных и двумерных задач наследственной теории вязко -упругости ;

- разработан численно-аналитический метод расчета процессов соударения жесткого тела вращения с деформируемой преградой, позволяющий, в отличие от обычных инженерных методов, учитывать

- 37 волновые процессы в преграде ;

- с помощью СХМ и гибридной схемы получено численное решение задач о соударении деформируемых тел, а также жесткого тела и деформируемой преграды;

- с помощью СХМ и гибридной схемы численно исследованы процессы распространения волн в деформируемых многослойных конструкциях ;

- с помощью СХМ и гибридной схемы получено численное решение задач о взаимодействии монохроматического излучения с преградами и цилиццрическими (в том числе, слоистыми) деформируемыми оболочками ;

- с помощью СХМ численно исследованы задачи о взаимодействии пучков заряженных частиц с лазерными кристаллами и металлическими преградами ;

- получено численное решение совместных гидроупругих задач (о разрушении почечных камней в жидкости, о взрыве на границе лед-вода) сеточно-характеристическим методом ;

- численно исследованы задачи о воздействии ка стенки каналов с движущими поршнями, взрывной нагрузки и сжатой плазмы ;

- получено численное решение совместной задачи об обтекании деформируемых оболочек потоками идеального и вязкого теплопроводного газов ;

- при численном решении указанных задач, получены интересные теоретические и практические результаты, подробно описанные в соответствующих разделах.

Заключение

В заключений приведем основные результаты диссертационной работы.

1. Сеточно-характеристический метод (СЖ) разработан и реализован для численного решения одно- и двумерных задач механики деформируемого твердого тела, широкодиапазонных (по температуре и давлению) задач механики деформируемых сред (МДС).

2. Разработаны и реализованы гибридные сеточно-характерис-тические схемы (ГСХС) для численного решения задач МДС.

3. Разработан и реализован численный подход, позволяющий использовать для решения задач МДС подвижные разностные сетки (в том числе лагранжевы, эйлеровы, смешанные, "привязанные" к границам и т.д.) с возможностью использования квазиортогонаяьных расчетных сеток.

4. Для численного решения задач МДС разработаны и реализованы схемы расщепления по физическим процессам, позволяющие учитывать процессы вязкости, теплопроводности, переноса энергии излучением, конечные деформации, кинетику разрушения. Для случая жестких систем используются неявные схемы.

5. Разработан и реализован численный алгоритм, позволяющий численно решать задачи МДС с выделением контактного разрыва.

6. Предложена энергетическая модель разрушения, основанная на идее Гриффитса.

7. Для численного решения задач МДС реализованы следующие реологические модели деформируемых сред:

- упругая среда (обобщенный закон Гука)

- термоупругая среда (закон Дюгамеля-Неймана)

- упруго-идеальнопластическая среда (модель Прандтля-Рейсса)

- упруго-вязкопластическая среда (модель В.Н.Кукуджанова)

- вязко-упругая среда Максвелла

- наследственная вязко-упругая среда (модель Ю.Н.Работнова)

- грунтовая среда (модель С.С.Григоряна)

- газогидродинамическая среда

- предусмотрен учет переноса энергии излучением (модель лучистой теплопроводности) и теплопроводности среды.

8. Численно получены решения следующих задач о соударении деформируемых тел:

- удар жестким осесимметричным бойком по деформируемой слоистой преграде ;

- удар деформируемых осесимметричных тел по жесткой плоскости ;

- удар деформируемыми осесимметричными телами по деформируемым преградам ;

- численно исследованы волновые процессы и процессы разрушения, происходящие в монолитных и слоистых преградах при соударении деформируемых тел, поведение которых описывается моделями, перечисленными в п. 7. Получены интересные практически и теоретически результаты, описанные в соответствующих разделах работы, предложен численно-аналитический метод расчета процессов проникания.

9. Численно получено решение следующих трехмерных задач:

- удар жестким бойком по деформируемой монолитной преграде под углом ;

- удар жестким бойком по деформируемой двухслойной преграде под углом ;

- о взаимодействии волны сжатия с упругим препятствием или полостью в виде параллелепипеда в двухслойном грунте (один слой мягкий грунт, второй - скальный) - задача дифракции ;

10. Получено численное решение двух связанных задач: об обтекании деформируемой оболочки сверхзвуковым потоком идеального газа и потоком вязкого теплопроводного газа.

11. Получены численные решения задач о воздействии взрывной нагрузки на границе, разделяющей лед и воду и литотрипсии (разрушение почечных камней ударными волнами, возбуждаемыми искровым разрядом в жидкости). Получены режимы работы литотрип-тора, рекомендуемые в медицинской практике.

12. Получено численное решение задач о воздействии продуктов детонации на стенки осесимметричного ствола и о воздействии движущейся сжатой плазмы на стенки канала при движении по ним поршней соответствующих конструкций.

13. Получены численные решения следующих задач о воздействии излучения ОКГ на деформируемые среды:

- задача о воздействии внешнего импульса давления, моделирующего действие лазерного излучения, на цилиндрическую оболочку конечной толщины;

- совместно с ИОФ АН СССР предложен метод определения величины импульса отдачи паров плазмы, образующегося при лазерном воздействии на твердую деформируемую мишень ;

- задача о многоимпульсном воздействии на металлическую пластину лазерного излучения (суммарное время облучения существенно превышает характерное акустическое время) ; решается связанная задача термоупругопластичности с учетом теплопроводных процессов ;

- задача о длительном поверхностном нагревании металлической пластины маломощным лазером (решалась задача Стефана, причем на кадздом временном "теплопроводном" шаге решалась система уравнений ЩС на установление) ;

- задача о воздействии лазерного излучения на номинально прозрачные среды, частично поглощающие излучения.

14. Численно решены следующие задачи о воздействии пучков заряженных частиц на деформируемые тела:

- задача о воздействии электроннного пучка на кристалл сульфида кадмия как уединенном, так и на сапфировой подложке ;

- задача о воздействии РЭП (релятивистского электронного пучка) на металлическую мишень.

15. Численно решены следующие задачи о воздействии коротковолнового излучения на деформируемые тела:

- задача о волновых процессах и процессах разрушения в монолитной цилиндрической оболочке ;

- задача о волновых процессах и процессах разрушения в слоистой цилиндрической оболочке ;

- о распространении "акустически тонкого" импульса, образовавшегося после мощного коротковолнового импульса на толстую оболочку ( ¡1 >> X8 • С , где с - упругая скорость звука, (1В - время воздействия, ¡1 - толщина оболочки).

Получены наиболее важные для данных процессов зависимости величины механической эффективности воздействия от различных определяющих процесс параметров, показано влияние на результаты расчета выбора реологической модели среды и т.д.

- 282

1. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. 687 с.

2. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М. : Мир. 1972. 418 с.

3. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука. 1977. 656 с.

4. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука. 1984. 519 с.

5. Самарский A.A., Попов 3D.П. Разностные схемы в газовой динамике. М.: Наука. 1975. 351 с.

6. Шокин Ю.И., Яненко H.H. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1985.364с.

7. Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука. 1988. 288 с,8. lax P-V- WeA solutions noniineoz lypezÊoîic equations and tüeiz numeiicai computations --Comm. Риге and Qppl. IVati 1951/. тУ.1. N-l.p. 159 193.

8. Coûtant R. IsacsonitfeesM.

9. On tk soivtion oft nonltneai fujpezßoiicdifâezentioleyuaîiops, lg finite diffeiencesi-СоттипЗ. Риге and (Xppi. fVotfi? 1352.?/. 5

10. Годунов C.K. Разностный метод расчета ударных волн. УМН. 1957. 12. вып. I. с. 176-177.

11. B-uiSteln ¿Л., mitin А .Т finer oi cfeidiffeienc e methods foi fttjpeiÉolic e^aütionr Ü.Comput. Pf>y$. <910. v.S. P 541-551

12. Русанов B.B. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. ДАН СССР. 1968. т. 180. 16. с. 1303-1305.

13. Балакин В.Б. 0 методах типа Рунге-Кутта для уравнений газовой динамики.- ЖВМ и МФ. 1970. т. 10. № 6. с. I5I2-I5I9.

14. Тушева Л.А. Об одной неявной схеме 4-го порядка аппроксимации для системы уравнений газовой динамики. -ЧММСС. Новосибирск. 1977. т. 8. № 5. с. I20-I3I.

15. Петров И.Б., Холодов A.C. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа. -ЖВМ и МФ. 1984. т. 24. № 8. с. II72-II88.

16. Холодов A.C. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа. -ЖВМ и МФ. 1978. т. 18. № 6. с. 1476-1492.

17. Холодов A.C. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа. ЖВМ и МФ. 1980. т. 20. № 6. с. I60I-I620.

18. Гольдин В.Я., Калиткин H.H., Шишова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. ЖВМ и МФ. 1965.т. 5. № 5. с. 938-944.28. ßoiiSl. Р.р (book V^.Eiux-QQizecleaf tzanpoit.

19. SfiaSto, a -fiuid han&poii oC^otitm tfialvJolis. J. Сотриt, PßuS Ш. vj. p.3S-69,

20. Von met/man J., Rief, t myei lb. (X met hol /осnurneiicüt caicuiation of ^diodynam<Lc shcis.'J. QppC /%£. i960. V.M.P.M2 -гп

21. Самарский A.A., Арсенин В.Я. 0 численном решении уравнений газодинамики с различными типами вязкости. -ЖВМ и МФ. 1961. т. I. № 2. с. 357-360.

22. Самарский A.A. О регуляризации разностных схем. IBM и МФ. 1967. т. 7. i I. с. 62-93.

23. Уилкинс МЛ. Расчет упругопластических течений. В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. с. 212-263.

24. Майнчен Дж., Сак С. Метод расчета "Тензор".- В кн. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. с. I85-2II.

25. Вовк A.A. (ред.). Поведение грунтов под действием импульсных нагрузок. Киев: Наукова думка. 1984.

26. Уилкинс М., Френч С., Сорем М. Конечноразностная схема для решения задач, зависящих от трех пространственных координат и времени. В сб. Численные методы в механике жидкостей. М. ; Мир. 1973.

27. Коротких Ю.Г. Численный метод исследования поведения упруго-пластических тел при импульсных воздействиях.- В кн. Распространение упругих и упругопластических волн. Алма-Ата: Наука. 1973.

28. Гриднева В.А., Корнеев А.И., Трушков В.Г. Численный расчет напряженного состояния и разрушения плиты конечной толщины при ударе бойками различной формы.- Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № I. с. 146-157.

29. Белов H.H., Корнеев А.И., Николаев А.П. Численный анализ разрушения в плитах при действии импульсных нагрузок ЖПМ и ТФ. 1985. № 3. с. 132-136.- 286

30. Корнеев А.И., Шуталев В.Б. Численный расчет трехмерного напряженного состояния стержня при ударе частью боковой поверхности. Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № I. с. 189-192.

31. Жуков А.В., Корнеев А.И., Симоненко В.Г. Численное моделирование фазовых переходов в ударных волнах. -Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № I. с. 138-143.

32. Рузанов А.И. Численное исследование откольной прочности с учетом микроповреждений.- Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 5.с. I09-II5.

33. Романычева Л.К., Рузанов А.И. Численное исследование отколь-ных разрушений в меди. -ЖПМ и ТФ. 1982. № 4. с. 117-122.

34. Ананьева Л.А., Дорфман Г.Д., Никифоровский B.C., Тетенов Е.В. 0 разрушении многослойных пластин. -ФГВ. 1980. № 5. с. 130-139.

35. Гулидов А.И., Фомин В.М. Численное моделирование отскокаосесимметричных стержней. -ЖПМ и ТФ. 1980. № 3. с. 126-132.

36. Нестеренко В.Ф., Фомин В.М., Ческидов П.А. Затухание сильных ударных волн в слоистых средах. -ЖПМ и ТФ. 1983. № 4. с.130--139.

37. Гулидов А.И. Проникание твердого ударника в деформируемую преграду.- В сб. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы У Всесоюзной конференции. Новосибирск. ИТПМ АН СССР. Ч. I. 1978. с. 59-69.

38. Гулидов А.И. Численное моделирование отскока упруго-пластических тел в трехмерном приближении. -В сб. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы УП Всесоюзной конференции. Новосибирск. ИТДМ АН СССР. 1982.с. 71-79.

39. Аптуков В.Н., Николаев П.К., Поздеев A.A. Модель откольного разрушения с учетом температурных эффектов. ДАН СССР. 1985. т. 283. № 4. с. 862-865.

40. Аптуков В.Н., Каширин В.Ф., Мурзикаев Р.Т., Поздеев A.A., Усачев Б.И., Фонарев A.B. Применение метода Муара в исследовании процесса откольного разрушения. -ДАН СССР. 1968. т. 290. № 2. с. 339-342.

41. Гулидов А.И., Фомин В.М. Модификация метода Уилкинса для решения задач о соударении тел. Препринт № 40. ИТПМ СО АН СССР. Г980.

42. Капустянский С.М., Чуминов Н.И., Шхинек К.Н. О дифракции нестационарной волны на цилиндрической полости произвольного поперечного сечения, расположенной в слоистой среде. Изв. АН СССР. МГТ. № 6 с. 86-92.

43. Котляровский В.А., Румянцева P.A., Чистов А.Г. Расчет удара штампа по грунтовому массиву для различных моделей упруго-пластических сред при плоской деформации. -Изв. АН СССР. МГТ. 1977. № 5. с. 132-147.

44. Угодчиков А.Г., Баженов В.Г., Журавлев Е.А. Анализ импульсного упруго-пластического деформирования многослойных пластин и оболочек.- В сб. Труды ХШ Всесоюзной конференции теории пластин и оболочек. 4.1. Таллин. 1983. с. 72-77.

45. Фонарев A.B. Влияние размеров цилиндрического бойка на напряженно-деформированное состояние преграды при высокоскоростном ударе. Моделирование процессов деформирования твердых тел. Ур. НЦ АН СССР. 1987. с. 55-59.

46. Клифтон Р.Дж. Численное решение неодномерных задач распространения волн в твердых телах.-В сб. Механика. М.: Мир. 1968. № I (107). с. 103-122.

47. Сабодаш П.Ф., Чередниченко P.A. Применение метода пространственных характеристик к решению осесимметричных задач по распространению упругих волн. -ЖПМ и ТФ. 197I. № 4. с. 101-109.

48. Rechst У/, Ж сх numeiieai ¿oiuticn of Tfate.-'bimen&ion&t

49. Jynamio pio&ZemS Easiiciiy TianS AäfflE. 3ez,E,dppi, mtöh, WO. НЧ.

50. Бейда Ю. Двухмерные упруговязкопластические волны. -В кн. Распространение упругих и упругопластических волн. Алма-Ата. Наука. 1973.

51. Рахматулин Х.А., Каримбаев Т.Д., Байтелиев Т. Применение метода пространственных характеристик к решению задач по распространению упругопластических волн. -Изв. АН Каз.ССР. Серия физ.-мат. наук. 1973. № I.

52. Ильюшин A.A. Пластичность M.-J1.: Гостехиздат. 1948. 376с.

53. Каширский A.B., Коровин Ю.В., Одинцов В.А. Движение оболочки при осевой детонации. ЖПМ и ТФ. 1971. АГ» I. с. I68-I7I.

54. Одинцов В.А., Селиванов В.В., Чудов Л.А. Расширение идеально-пластической цилиндрической оболочки под действием продуктов детонации. ЖЛМ и ТФ. 1974. № 2. с. 152-156.

55. Одинцов В.А., Селиванов В.В., Чудов Л.А. Расширение толстостенной цилиндрической оболочки под действием взрывной нагрузки. Изв. АН СССР. ¡VITT. 1975. № 5. с. I6I-I68.

56. Одинцов В.А., Селиванов В.В., Чудов Л.А. Движение упругопла-стической оболочки с фазовым переходом под действием продуктов детонации.- Изв. Ж СССР. ШТ. 1974. № 3. с. 139-144.

57. Меньшиков Г.П., Одинцов В.А., Чудов Л.А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту. -Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № I. с. 125-130.

58. Васильковский С.Н. Применение метода расщепления к решению основных краевых задач динамической теории упругости в напряжениях. -В кн. Распространение упругих и упруго-пластических волн. М.: Наука. 1973. с. 107-III.

59. Иванов В.Д., Петров И.Б., Суворова 10.В. Численное решение двумерных динамических задач наследственной теории вязкоуп-ругости. -МКМ. 1989. № 3. с. 419-424.

60. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. -М.: Наука. 1982 . 391 с.

61. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. -Новосибирск.: Наука. CO. 1981. 304 с.

62. Марчук Г.И. Методы расщепления. -М.: Наука. 1988. 263 с.

63. Иванов В.Д., Холодов A.C. Об использовании сеточно-характе-ристических схем с положительной аппроксимацией для решения линейных задач теории упругости. -М.: Деп. ВИНИТИ. 1978. 4.07.78 № 2826-78.

64. Горский Н.М., Коновалов А.Н. Численные методы решения динамических задач теории упругости. -Тр. Ш Всесоюзн. конф. по численным методам в теории упругости и пластичности. -Новосибирск. Ч. I. 1974. с. 12-28.

65. Русанов В.В. Характеристики общих уравнений газовой динамики. ЖВМ и МФ. 1983. т. 3. № 3. с. 508-527.- 290

66. Жуков А. И. Применение метода характеристик к численному решению задач газовой динамики. Тр. ШАН СССР. i960. № 58.с. 5-149.

67. Coßuin /V , Voipß C.l.The m ei Hoof о/ cUiacleziSlic 5 In Ifie thzee- d-LmenSional staiionaiLj So peisonicftou) оf a C0mpie$3t.££e да 8. Pzoc . Symp ■ Ofppi.maiß. ¡9li9.vA.Nl р.м- H9.

68. Подладчиков D.H. Метод характеристик для расчета пространственных сверхзвуковых течений газа. Изв. АН СССР. Механикаи машиностроение. 1965. № 4. с. 3-12.

69. Чушкин П.И. Метод характеристик для численного расчета пространственных сверхзвуковых течений. М.: ВЦ АН СССР» 1968. 121 с.

70. Борисов В.М., Михайлов И.Ё. Расчет экстремальной формы сверхзвуковой части пространственных течений газа. ЖВМ и Ж. 1969. т. 9. f 2. с. 313-325.

71. Белоцерковский О.М. (ред.). Численные методы решения задач механики сплошных сред. Цикл лекций, прочитанных в Летней школе по численным методам. Киев. М.: ВЦ АН СССР. 1966.

72. Магомедов K.M. Метод характеристик для численного расчета пространственных течений газа. ЖВМ и МФ. 1969. т. 6. № 2. с. 313—325.

73. Магомедов K.M. О расчете искомых поверхностей в пространственных методах характеристик. ДАН СССР. 1966. т. 171. № 6. с. 1297-1300.

74. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1973. 400 с.

75. Белоцерковский О.М., Демченко В,В., Косарев В.И., Холодов A.C. Численное моделирование некоторых задач лазерного сжатия оболочек ЖВМ и Mi. 1978. 18. № 2. с. 420-444.

76. Петров И.Б., Холодов A.C. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела се-точно-характеристическим методом. -ЖВМ и МФ. 1984. т. 24. №5. с. 722-739.

77. Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов A.C. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопла-стическую преграду. -ЖПМ и ТФ. 1984. № 4. с. 132-139.

78. Петров И.Б. Численное исследование неодномерных задач динамики твердого деформируемого газа. -В сб. Методы управления и обработки информации. -М.: МФТИ. 1982. с. 32-36.

79. Кондауров В.И., Петров И.Б. Численное исследование процесса внедрения жесткого цилиндра в упругопластическую преграду.-В сб. Численные методы в механике твердого деформируемого тела. -М.: ВЦ АН СССР. 1984. с. II5-I32.

80. Петров И.Б. Численное исследование волновых процессов в слоистой преграде при соударении с жестким телом вращения. -Изв. АН СССР. МТТ. 1985. 1985. № 4, с. 125-129.

81. Петров И.Б., Тормасов А.Г. Численное изучение волновых процессов в слоистых средах. В сб. Методы математического моделирования и обработки информации. -М.: МФТИ. 1987.с. 101—105.

82. Петров И.Б. Волновые и откольные явления в слоистых оболочках конечной толщины. Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 4. с.118--124.

83. Кондауров В.И., Петров И.Б. Расчет процессов динамического деформирования упруго-пластических тел с учетом континуального разрушения. ДАН СССР. 1985. т. 285. № 6. с. 1344-1347.

84. Коротин П.Н., Петров И.Б. Численное исследование импульсных тепловых воздействий на металлы. -В сб. Современные проблемы физики и ее приложения. М.: ВИНИТИ. 1987. с.44-45.

85. Петров И.Б., Тормасов А.Г., Холодов A.C. О численном изучении нестационарных процессов в деформируемых средах многослойной структуры. -Изв. АН СССР. МТТ. 1989. f 4. с. 89-95.

86. Коротин П.Н., Петров И.Б., Холодов A.C. Численное решение некоторых задач о воздействии тепловых нагрузок на металлы. Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 5. с. 63-69.

87. Коротин П.Н., Петров И.Б., Холодов A.C. Численное моделирование поведения упругих и упруго-пластических тел под воздействием мощных энергетических потоков. ММ. 1989. т. I. № 7. с. I-I2.

88. Богданкевич О.В., Костин H.H., Крюков И.В., Кудеяров Ю.А., Петров И.Б., Шустов A.B. Термоупругое разрушение полупроводниковых кристаллов при воздействии интенсивных электронных пучков. Физика и химия обработки материалов. 1988. № 3.с. 32-38.

89. Коротин П.H., Петров И.Б., Острик A.B. Численное исследование волновых процессов при объемном энергопоглощении в мишенях конечной толщины. ДАН СССР. 1989. т. 308. № 5.с. 1065-1066.

90. Петров И.Б., Тормасов А.Г. О численном решении пространственных задач соударения. ММ. 1990. т. 2. № 2. с. 58-72.

91. Иванов В.Д., Петров И.Б., Суворова Ю.В. Расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах. MK1V1. 1990. № 4.

92. Жуков Д.С., Петров И.Б., Тормасов А.Г. Численное и экспериментальное изучение разрушения твердых тел в жидкости. Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 3,с I92-Ï99

93. Коротин П.Н. , Петров И.Б. , Пирогов В.Б., Холодов A.C. О численном решении связанных задач сверхзвукового обтекания деформируемых оболочек конечной толщины. IBM и МФ. 1987. т. 27. № 8. с. 1233-1243.

94. Коротин П.Н. , Петров И.Б., Утюжников C.B. Расчет поведения деформируемых оболочек под действием аэродинамических и тепловых нагрузок. Моделирование в механике. 1988. № 6.т. 2(19). с. 62-68.

95. Косарев В.И., Лобанов А.И., Петров И.Б., Пыркова O.A., Холодов A.C. Расчет напряженного состояния плоского канала, находящегося под воздействием сжатой плазмы. НТО МФТИ. 1989. 02900030431. 86 с.

96. Чебан В.Г., Навал И.К., Сабодаш П.Ф. , Чередниченко P.A. Численные методы решения задач динамической теории упругости. Кишинев Штица. 1976. 226 с.

97. Григорян С.С., Чередниченко P.A. Распространение в слоистом полупространстве упругих волн, вызванных поверхностной- 294 динамической нагрузкой. -Изв. АН СССР, МТТ. 1976. № I. с. III—118.

98. Римский B.K., Сабодаш П.Ф. Численное моделирование динамической контактной (смешанной) задачи об ударе тупым клином по слоистой плите. -Изв. Ж СССР. МТТ. 1981. 1° 2. с.29-38.

99. Римский В.К. Поперечный удар вращающимся цилиндром по многослойной упругопластической плите с полостями. -Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 5. с. 77-84.

100. ИЗ. Навал И.К., Сабодаш П.Ф. Численное решение динамическойсвязанной задачи термоупругости для слоя, с учетом конечной скорости распространения тепла. -Изв. АН СССР. МТТ. 1976. №4. с. 108-114.

101. Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твердых телах. -Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ АН СССР. в. 6. 1976. 67 с.

102. Веденяпин E.H., Кукуджанов В.Н. О распространении волн в осесимметричном упруго-пластическом теле. -В кн. Пластическая деформация легких сплавов. М.: Металлургия. 1978.с. I06-II3.

103. Кондауров В.И., Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач динамики упруго-пластических сред. -В сб. Избранные проблемы прикладной механики. М.: Наука. 1974.с. 421-430.

104. Заппаров К.И., Кукуджанов В.Н. Решение нестационарных задач динамики упругопластической среды методом подвижных сеток.-В сб. Численные методы в механике твердого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР. 1984. с. 65-86.

105. Заппаров К.И. , Кукуджанов В.Н. Математическое моделирование задач импульсного деформирования, взаимодействия и разрушения упругопластических тел.- М. ЙПМех. АН СССР. Препринт 1986. fa 280 . 67 с.

106. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.И., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -М.: Наука. Г976. 400 с.

107. T. Афанасьев C.B., Баженов В.Г. 0 численном решении одномерных нестационарных задач упруго-пластического деформирования сплошных сред методом Годунова. -В сб. Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1985. Горький: ГГУ. № 31. с. 59-65.

108. Роменский Е.И. Разностная схема Годунова для одномерных релаксационных уравнений термоупругости. -В сб. Вычислительные проблемы в задачах математической физики. Новосибирск: Наука. СО. Г988. с. Ю1-П5.

109. Мержиевский A.A. Метод расчета течений вязкоупругой среды. -Динамика твердого тела. 1980. № 5. с. 141-151.

110. Доровский В.Н., Искольдский. A.M., Роменский Е.И. Динамика импульсного нагрева металла током и электрический взрыв проводников. ЖПМ и ТФ. -Г983. № 4. с. ГО-25.

111. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. -М.:Наука. 1978. 303 с.

112. Oentiy R.G. maitin It Daty BJ. dn tutmctndi.ffeiencintj metßod fot unsteady co/v/pzcssíéâe flou) piogeemS,- J Comput. PfyS. 1966.i. ÑU. ?• M-ui

113. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод "крупных частиц" для газодинамических расчетов. -ЖВМ и МФ. 1971. т. II. № I. с. 182-207.

114. Ях К. Численный анализ классической и обратной кумуляции.-ЖПМ и ТФ. 1987. № 2. с. 123-129.

115. Нох В.Ф. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. -В кн. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. с. 128-184.

116. Франк P.M., Лазарус Р.В, Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа. -В кн. Вычислительные методыв гидродинамике. М.: Мир. 1967. с. 55-75.

117. Ра ¿ta J. R. Шат ¿. Heit'L&tic пи metí cat v)oii in Some ргоёбетЗ of f¡ y dюdyna mic Smaí&,

118. TaBUb Oílds Comput. Í953. Í3.

119. Улам С. Устойчивость при расчетах по методу многих тел. -В сб. Гидродинамическая неустойчивость, ред. Биркгофф, Белман, Линь. Перевод. -М.: Мир. 1964.

120. Глаголева Ю.П., Жогов Б.М., Кирьянов Ю.Ф., Мальшаков В.Д., Нестеренко Л.В., Подливаев И.Ф., Софронов И.Д. Основы ме~- 297 тодики "Медуза" -Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1972.

121. Дьяченко В.Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными. -ЖВМ и МФ. 1965. т. 5. № 4. с. 680-688.

122. Кроули У. FLU свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях. -В кн. Численные методы в механике жидкостей. М.:Мир. 1973. с. 135-145.

123. Бабенко К.И. (ред.). Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука. 1979. 293 с.

124. Хёрт С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод.-В кн. Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир. 1973. с. 156-164.

125. Иваненко С.А. Построение криволинейных сеток и их использование в методе конечных элементов для решения уравнений мелкой воды. -Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ1. АН СССР. 1985. 61 с.

126. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. М.: ИЕМех АН СССР. 1988. Препринт № 280. 63 с.

127. Буланцев Г.М., Корнеев А.й., Николаев А.П. О рдаошетирова-нии при ударе. -Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 3. с. 138-143.

128. Дремин А.Н., Хорев И.Е., Горельский В.А., Толкачев В.Ф. Кинетические механизмы лицевого разрушения пластин. -ДАН СССР. т. 290. № 4. с. 848-852.

129. Горельский В.А., Хорев И.Е. , Югов Н.Т. Динамика трехмерного процесса несимметричного взаимодействия деформируемых тел с жесткой стенкой. ЖПМ и ТФ. 1985. № 4. с. II2-II8.

130. Дремин А.Н., Хорев И.Е., Горельский В.А., Югов Н.Т. Численное исследование трехмерных задач разрушения цилиндрических тел в условиях несимметричного динамического контакта. -ДАН СССР. 1986. т. 228. № 6. с. I33I-I334.

131. Хорев'И.Е., Горельский В.А., Залепугин С.А., Толкачев В.Ф. Исследование деформирования и кинетики разрушения контактирующих тел при несимметричном динамическом взаимодействии. -ФГВ. 1983. т. 19. № 5. с. I19-123.

132. V. ¿. Gezmctntj Symp- Сотр. Ole(jozitfimS in FE/V.massachu- setts -Int. Techn. /976.

133. Hughes T.I. Un WK. ImpUcit- ExpHcit finite Etements In Tzansiení Ona£ijSi$ Pazt l.U. J. dpp£. mech. A ¿mí. №1. v.tt.póll-m

134. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1375.

135. Стренг Г.» Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Ы.: Мир. IS77.

136. Сагерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир. 1979. 392 с.156. ¿арчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекдионно-сеточные методы. М.: Наука. 1981. 416 с.

137. Рождественский Б.М. Метод Пикара как метод численного решения задач математической физики . ЧММСС. 1974. т.5. Л 2. с. 96-107.

138. Пинский А.Р., Рузаноз А.И. Применение метода Пикара к решению нестационарных упруго-пластических задач. Прикладные проблемы прочности. 1976. в. 5. с. 53-58.

139. Haiiow F. Я? y/eich М. flume ilea £ coícu ¿ation*, of time dependent tfiScouS incampiesSiBEe

140. PLovy un fíu-ícf vJUt fitee Suiface- Phus ,

141. Feu id 3. 1965. y.8 Р&Ш-Л1М. Im-Hitt C-W, riacho E$ Íb-<D. Impiotfed fiee bulface Éoundaiy conditionsfob nuтег-ico £ -Lneompze 38-LÊ Pe fictif CaícueatLonS.- J. Сотр. Pf> yS. 1974.1. N2 3- p. ЦЪЦ~ ЦЦ%.

142. Николе В. Дальнейшее развитие метода маркеров и ячеек длятечений несжимаемой жидкости. -В кн. Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир. 1973. с. 165-173. ■

143. H^bt С.Ж Déchois fb.'V. Volume of F ¿u-í d CV OF)method -in the dgnom-ice of fzee Bound a¿ies.~ -J. Сотр. Рйул. mi. v.39. HU. р. ¿01-2Z5.

144. Hut nichois fl.0. adding timiUd compiZS-Si&iCtiy to imcompze SSiête fujdzocode J. Compot. Phyi.mo. чу.ъи. ñ-ó. p. зео-1/оо.

145. Витюков B.B., Киселев В.П. Численное моделирование движения вязкой несжимаемой жидкости методом концентраций. Препринт ИАЭ 42Л/16. 1968. М. : ЩИМатоминформ. 21 с.

146. Петров И.В. Численное исследование процессов проникания с помощью подвижных расчетных сеток. Деп. ВШИТМ. 8.01.1982. № 102-82. 34 с.

147. V^inS touf а. гп- Ни m e.iicai Solution of tfiejtJOSÍ êineai Poisson ecjuûtionS ¿n а non- un¿foimtiion^e me si J.Comp. PPajS. 436ÏVLir-¿. р. 149-m.

148. Tfampíon ¿í- F, TfiameS F. C,p ivostin С. W úutornatic numeiicai fleneiation of Sody-fittedcu ъгУь t i neat cooidinate system fot fizEd.contaibing c(ny питЁег ofi aiiitiaiy tu/o dimenSion&e Ecc/tes. J- С от pul. Pfiys. i9?b.v.M. /V?3. Р-Л99-319.

149. Прокопов Г.П. 0 расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами. Препринт• ИШ АН СССР. 1977. № 17.

150. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов 10.Б., Яненко И.К. Применение одного класса квазиконформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами. -ЖВМ и МФ. 1975. № б. с. 1499-1511.

151. Г70. Яненко Н.Н., Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения сеток. -ЧММСС. Новосибирск: Наука. Г977.т. 8. № 4. с. 157-163. 171. ЬгоскйШ J-У- ¿aH%manJ.6. ddaptive Zoning

152. Томпсон Дж.Ф. Методы расчета сеток в вычислительной аэродинамике. Аэрокосмическая техника. 1985. т. 3. № 8.с. 141—171.

153. Дуайер Х.А. Адаптация сеток для задач гидродинамики. Аэрокосмическая техника. 1985. т. 3. № 2. с. I72-T86.

154. Иваненко С.А., Черахчьян A.A. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников. ЖВМ и МФ. 1988. т. 28. № 4.с. 503-514.

155. Г75. Дарьин H.A., Мажукин В.И., Самарский A.A. Конечно-разностный метод решения уравнений газовой динамики с использованием адаптивных сеток, динамически связанных с решением. ЖВМ и МФ. 1988. т. 28. № 8. с. I2I0-I225.- 302

156. Четверушкин Б.H., Шильников Б.В. Об одном алгоритме расчета двумерных задач газовой динамики в переменных Лагранжа. -ЖВМ и МФ, 1985. т. 25. № 3. с. 422-430.

157. Thompson J.F.yWaiJi tЖ О ■ end moStin C.W. Boundaiy- Fitted Cool dinate System foe

158. Потесав 6o£ut-Lon off Pottlai D-ifftienbiae Elution. a RdVituf. Ö. ùf Comput PtqêiiS.Ml

159. O^lzien QcntotrnbZ mappings $ot Inteinai ViSOcuJ FEovf PioBeemS.J.af Comp. P^tfSiCS 1981. v. hi pJ20 'Мб.

160. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М. 1962. 284 с.

161. Кондауров В.И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями. ЖПМ и ТФ. 1982. № 4. с.133-139.

162. Новацкий В.К.Теория упругости. -М.:Мир. 1975. 872 с.

163. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. -М.: Мир. 1978. 307 с.

164. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука. 1987. 246 с.

165. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М. : Наука. 1988. 711 с.

166. Кузьмина B.C., Кукуджанов В.Н. К моделированию откольного разрушения при соударении пластин. -Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 5

167. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука. 1977.

168. Кравчук A.C., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и комопзиционных материалов. -М.: Наука. 1977.

169. Суворова Sû.H., Осокин A.E. Распространение одномерных волн в нелинейных наследственных материалах. Механика полимеров. 1978. № 3. с. 425-429.

170. Качалов Л.М. Основы теории пластичности. -М. : Наука. 1969.

171. Ахмадеев Н.Х., Ахметов H.A., Нигматулин Р.И. Структура ударно-волновых течений с фазовыми превращениями в железе вблизи свободной поверхности. -ЖПВ и ТФ. 1984. № 6.с. 113—119.

172. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. -М. : Наука. 1987. т. I. 464 с. т. П. 359 с.

173. Канель Г.И., Шербань В.В. Пластическая деформация и отколь-ное разрушение железа "Армко" в ударной волне. -ФГВ. 1980. № 4. с. 93-102.

174. Нигматулин Р.И., Холин H.H. К модели упругопластической деформации среды с дислокационной кинетикой пластического деформирования. Изв. АН СССР. МТТ. 1974. № 4. с. I3I-I46.

175. Фомин В.М., Хакимов Э.М. Численное моделирование волн сжатия и разрежения в металлах. ЖПМ и ТФ. 1979. № 5.с. I14-122.

176. Макаров П.В., Платова Т.М., Скрипняк В.А. О пластическом деформировании и микроструктурных превращениях металлов в ударных волнах. -ФГВ. 1983. т. 19. I 5,

177. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов. ГШ. т. ХХ1У. с. 1057-1072.

178. Григорян С.С. Некоторые вопросы математической теории деформирования и разрушения горных пород. ПММ. 1967. т. 31.в. 4. с. 643-669.

179. Говоруха Е.А., Щербатюк В.А. Описание полиморфных фазовых превращений при динамическом воздействии. 1982. т. 283.5. с. III9-II22.- 304

180. Регель В.P., Слуцкер А.И. , Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. -М.: Наука. 1974.

181. Степанов Г.В. Упруго-пластическое деформирование материалов под действием импульсных нагрузок. Киев: Наукова думка. 1979. 268 с.

182. Фадеенко Ю.Н. Временные критерии разрушения взрывом. ШПМ и ТФ. 1977. № 6.

183. Канель Г.И. Сопротивление металлов откольному разрушению. ФГЗ. 198I. № 3.203» Иванов А.Г., Клещевников O.A., Цыпкин В.И., Минеев В.Н. Откол в стали. ФГВ. 198I. № 6.

184. Ахмадеев Н.Х., Нигматулин Р.И. Моделирование откольного разрушения при ударном деформировании. Анализ схемы мгновенного откола. ЖПМ и ТФ. 1980. № 3. с. 120-127.

185. Dair<i$on </., óíeufenS /J.#¿. Continuum mecféuieSoí Spate damo<¡e--J.Oppe.PÍ,ye, 49/г р. 9ЬЬ 99k

186. Глущко А.И. Исследование откола как процесса образования микропор. Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 5. с. 133-140.

187. Сугак С.Г., Канель Г.И., Фортов В.Е., Ни А.Л., Стельмах В.Г. Численное моделирование действия взрыва на железную плиту. ФГВ. 1983. № 2. с. I2I-I28.- 305

188. Канель Г.И., Разоренов С.В., Фрртов В.Е. Кинетика разрушения алюминиевого сплава АМгбМ в условиях откола. ЖПМ и ТФ. 1989. № 6. с. 60-64.

189. Ахмадеев Н.Х. Исследование откольного разрушения при ударном деформировании. Модель повреждаемой среды. ЖПМ и ТФ. 1983. № 4. с. 158-167.212. (¡¡гЩьИ /У. Пе phenomenon of wptme апо/ f to ufin ¿oiiols PklTwnJ, Ro*jioc.MH 1920. p. /66.

190. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука. 1974. 640 с.

191. Слепян JI.H., Троянкина Л.В. Разрушение хрупокого стержня при продольном ударе. Изв. АН СССР. МТТ. 1969. № 2.

192. Николаевский В.Н. Динамическая прочность и скорость разрушения. -В кн. Механика. Новое в зарубежной механике. Удар, взрыв и разрушение. -М.: Мир. 1981. с. 166-208.

193. Ананьин А.В., Дремин А.Н., Канель Г.И. Структура ударных волн в железе. ФГВ. 1973. № 3. с. 437-443.

194. Ананьин А.В., Дремин А.Н., Канель Г.И. Полиморфное превращение железа в ударной волне. ФГВ. 1981. № 3. с. 93-102.

195. Альтшулер Л.В. Фазовые превращения в ударных волнах обзор

196. ФГВ. 1978. № 4. с. 93-103.

197. Ахмадеев Н.Х., Болотнова Р.Х. Распространение волн напряжений в слоистых средах при ударном нагружении (акустическое приближение). ЖПМ и ТФ. 1985. № I. с. 125-133.

198. Зубов В.И., Кривцов В.М., Наумова И.Н., Шмыглевский Ю.Д. Расчет движения паров твердого тела под действием лазерного излучения.-В сб. Динамика излучающего газа. М.: ВЦ АН СССР. 1980. в. 3. с. 76-104.

199. Мажукин В.И., Пестракова Г.А. Численное моделирование процессов поверхностного испарения металла лазерным излучением. Препринт ИПМ АН СССР. М. 1984. № 48. 32 с.

200. Арутюнян Р.В., Болыпов Л.А., Витюков В.В., Кисилев В.П., Таран М.Д. Численное моделирование нагрева, плавления и испарения металлов при импульено-периодическом лазерном воздействии. Препринт ИАЭ им. Курчатова 4121/16. 1985. 24 с.

201. Альтшулер Л.В., Бушман A.B., Жерноклетов М.В., Зубарев В.Н. Леонтьев A.A., Шортов В.Е. Изэнтропы разгрузки и уравнения состояния металлов при высоких плотностях энергии. ЖЭ и ТФ 1980. т. 78. в. 2. с. 741-760.

202. Бушман A.B., Ни A.A., Фортов В.Е. Широкодиапазонное уравнение состояния металлов и гидродинамические расчеты ударно-волновых процессов. -В кн. Уравнения состояния в экстремальных условиях. Новосибирск. ИТПМ. 00 АН СССР. 1981. с. 3-II.

203. Бушман A.B., Фортов В.Е. Модели уравнения состояния вещества. УФН. 1983. т. 140. в. 2. с. 177-232.

204. Калиткин H.H. Квазионное уравнение состояния. ММ. 1989. т. I. № 2. с. 64-108.

205. Орленко Л.П. Поведение материалов при интенсивных динамических нагрузках. -М.: Машиностроение. 1964.

206. Жарков В.Н., Калинин В.Д. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. -М.: Наука. 1968.

207. Калмыков A.A., Кондратьев В.И., Немчинов И.В. 0 разлете мгновенно нагретого вещества и об определении его уравнения состояния по величине давления.и импульса. ЖПМ и ТФ. 1966. № 5. с. 3-16.

208. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Фазовые переходы первого рода в упруговязкопластической среде. Изв. АН СССР. МТТ, 1986.4. с. 130-139.

209. Лаптев В.И,, Тришин Ю.А. Увеличение начальной скорости и давления при ударе по неоднородной преграде. -ЖПМ и ТФ. 1974. № 6. с. 128-132.

210. Забабахин Е.И. Ударные волны в слоистых средах, ЖЭ и ТФ. 1965. т. 49. в. 2. с. 642-646.

211. Ковшов А.Н. О дифракции нестационарной упругой волны на цилиндрической полости. Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № 4. с. I15—121.

212. Зеленский A.C., Нещеретов И.П. Учет откольного разрушения в задаче о взаимодействии продольной волны с цилиндрической полостью. Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 5. с. 72-77.

213. Магомедов K.M., Холодов A.C. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений. ЖВМ и МФ. 1969. т. 9. № 2. с. 373-386.

214. Ахмадеев Н.Х. , Сорокин Е.П., Яушева К.К. Откольное разрушение алюминиевых пластин при импульсном тепловом прогреве. ФГВ. 1983. т. 19. № 5. с. I3I-I34.

215. Аптуков В.Н., Поздеев A.A. Деформирование и разрушение плиты при тепловом ударе. ДАН СССР. 1986. т. 286. № I. с. 103-106.

216. Зинченко В.И., Путятина Е.И. Расчет турбулентного пограничного слоя на сфере с учетом сопряженного теплообмена. -В сб. Гиперзвуковые течения при обтекании тел в следах. -М.: МГУ. 1983. с. 102-109.

217. Баженов BJ7., Кочетов A.B., Крылов C.B., Угодчиков А.Г. Высокоскоростной удар упругопластических тонкостенных конструкций о поверхность сжимаемой жидкости. Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 5. с. I6I-I69.- 308

218. Зубов В.И., Кривцов В.М., Наумова И.Н., Шмыглевский Ю.Д. Расчет действия лазера на плоскую преграду и ее пары. ЖВМ и МФ. 1983. т. 23. № 6. с. 1520-1522.

219. Зубов В.И., Кривцов В.М., Наумова H.H., Шмыглевский Ю.Д.0 численном сравнении различных моделей испарения металла. ЖВМ и МФ. 1986. т. 26. № II. с. 1740-Г743.

220. Мажукин В.И., Пестрякова Г.А. Алгоритм численного решения задачи поверхностного испарения вещества лазерным излучением. ЖВМ и МФ. 1985. т. 25. № II. с. 1697-1709.

221. Мажукин В.И., Самохин A.A. О некоторых особенностях математической модели интенсивного поверхностного испарения вещества. ДАН СССР. 1985. т. 281. № 4. с. 830-833.

222. Арутюнян Р.В., Болыпов Л.А., Головизин В.М. , Каневский М.Ф. Чернов С.Ю. Динамика двумерного испарения при воздействии лазерных импульсов на металлы. Поверхность. Физика, химия, механика. 1988. № 6. с. 93-96.

223. Филлипов С.С., Четверушкин Б.Н., Шильников Е.В. Численное моделирование испарения металла электронным пучком. Препринт ИПМ АН СССР. M. 1982. № 187. 24 с.

224. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сб. 1959. т. 47. вып. 3. с. 271-306.

225. Яненко H.H., Ворожцов Е.В., Фомин В.М. Дифференциальные анализаторы ударных волн. ДАН СССР. 1976. т. 227. М. с.50-53.

226. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука. 1973.

227. Аццрианкин Э.й. , Андрущенко В.А., Холин H.H. Алгоритм решения трехмерных задач о волновых нестационарных процессах в конденсированных средах. ЖВМ и МФ.1986.т.26. №5. с.906-913.

228. Аццрианкин Э.й., Андрущенко В.А., Холин H.H. Численное решение задач волновой динамики с использованием матричного процессора EC-I055 M.-IBM и МФ. 1987. т. 27. № 8. с. 1203--I2II.

229. Аццрианкин Э.И., Андрущенко В.А., Холин H.H. Численная методика решения трехмерных нестационарных задач динамики уп-ругопластических сред. ЖВМ и МФ. т. 28. № II. с. I7II-1718.

230. Дэвис Р.Т. Численное решение уравнений гиперзвукового вязкого ударного слоя. Ракетная техника и космонавтика. 1970. № 5. с. 3-13.

231. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.В. Тепловая защита. М.: Энергия. 392 с.

232. Василевский С.А., Тирский Г.А., Утюжников C.B. Численный метод решения уравнений вязкого ударного слоя. IBM и МФ. 1987. т. 27. № 5. с. 741-750.

233. Петров И.Б., Тормасов А.Г., Холодов A.C. Об использовании гибридизированных сеточно-характеристических схем для численного решения трехмерных задач динамики деформируемого твердого тела. ЖВМ и МФ. 1990.

234. Ракитский Ш.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. M. 1979. 208 с.

235. Кукуджанов В.Н,, Острик A.B. Динамические задачи взаимосвязанной термоупругости. -В кн.: Пластичность и разрушение твердых тел. -М.: Наука. 1988. с. 125-130.

236. Иванов В.Д., Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов A.C. Расчет динамического деформирования и разрушения улругопла-етических тел сеточно-характеристическими методами. Математическое моделирование. 1990. № II.

237. Трусдел К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. -М.: Мир. 1975. 592 с.

238. Кондауров В.И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел. Прикл. матем. и механики. 1988. т. 52. вып. 2.с. 302-310.

239. Кондауров В.И. Уравнение релаксационного типа для вязко-упругих сред с конечными деформациями. Прикл. матем. и механика. 1985. т. 49. вып. 5. с. 791-800.

240. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: МГУ. 1978. 287 е.

241. Qzeen к.f. haghdi P.m. d депегаб theoiy at eßastic--p£astic continuum. dzeh. Ration fflecfi,ond dnae. 1965. PW£M.- 311 267.lee E.tf. Eíajíic-peajüc defoimaiior? aifinite si го ín W. ASME: «/ Qppe. meet,-/969. SÉ. ÑU. P. 1-6.

242. Кукуджанов B.H. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред. Успехи механики. 1985. т. 8. № 4. с. 25-65.

243. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругоплас-тические деформации. -М.: Наука. 1986. 232 с.

244. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. -Киев: Наукова думка. 1967. 232с.

245. Пэжина П. Основные вопросы вязко-пластичности. -М.: Мир.176 с.

246. Mrfíbitie J. ¿0CQ¿ appioach of fbüctuie. med

247. Ъетьде and Fatigue. 11/TAm ¿утр. Haifa and Teí- fftrlv. i-k .1uiy- 19&5- tí-X 19&6.p.

248. Канель Г.И., Фортов В.Е. Механические свойства конденсированных сред при интенсивных импульсных воздействиях. Успехи механики. 1987. т. 10. вып. 3. с. 3-82.

249. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. -Новосибирск: Наука. 2985. 228 с.

250. Суворова Ю.Н., Ахундов М.Б. Длительное разрушение изотропной среды в условиях сложного напряженного состояния. Машиноведение. 1986. № 4. с. 40-46.

251. Иванов В.Д., Петров И.Б., Суворова Ю.В. Численное решение двухмерных динамических задач наследственной теории вязко-упругости. Механика композитных материалов. 1989. № 3.с. 419-424.- 312

252. Калиткин H.H. Квазионное уравнение состояния. Математическое моделирование. 1989. т. I. № 2. с. 64-108.

253. Каланов Л.М. Основы механики разрушения. -М.: Наука. 1974. 312 с.

254. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. -Новосибирск: Наука. 1979. 272 с.

255. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. -М.: Наука. 1985.

256. Нестеренко В.Ф., Фомин В.М., Ческидов H.A. Затухание сильных ударных волн в слоистых материалах. ЖПМ и ТФ. 1983.4. с. 130-139.

257. Рыбаков А.П. Отколы в стали при нагружении с помощью взрыва листового заряда ВВ и ударном нагружении. ЖПМ и ТФ. 1977. № I.

258. Тарасов Б.А. О количественном описании откольных повреждений. ЖПМ и ТФ. 1973. № 6.

259. Тарасов Б.А. Сопротивление разрушению пластин при ударном нагружении. Проблемы прочности. 1974. № 3.

260. Иванов А.Г., Новиков С.А., Тарасов Ю.И. Откольные явления в железе и стали, вызванные взаимодействием ударных волн разрежения. ФТТ. 1962. т. 4. I I.

261. Канель Г.И., Сугак С.Г., Фортов В.Е. О моделях откольного разрушения. Проблемы прочности. 1983. № 8. с. 40-44.

262. Златин H.A., Красильщиков А.П., Мишин Г.Н., Попов H.H. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях. -М.: Наука. 1974. 344 с.

263. Зукас Дж. А. , Николас Т., Свифт Х.Ф., Грещук Л.Б., Кур-ран Д.Р. Динамика удара. -М.: Мир. 1985. 296 с.

264. Базилевский А.Т., Иванов Б.А. Обзор достижений механики кратерообразования. В сб. Механика. Новое в зарубежной- 313 механике. Механика образования воронок при ударе и взрыве. -М.: Мир. 1977. с. 172-277.

265. Антуков В.Н. Проникание: механические аспекты и математическое моделирование (обзор). Проблемы прочности. 1990. № 2. с. 60-68.

266. Сагомонян А.Я. Проникание. -М.: МГУ. 1974. 299 с.

267. Тейт А. Теория торможения длинных стержней после удара по мишени. Механика (сб. переводов). 1968. № 5. с. 125-137,

268. Мержиевский Л.А., Титов В.М. Пробивание пластин при высокоскоростном ударе. ЖПМ и ТФ. 1975. № 5. с. 87-92.

269. Витман Ф.Ф., Степанов В.А. Влияние скорости деформации на сопротивление деформированию металлов при скоростях удара Ю2 4- Ю3 м/с. -В кн. Некоторые проблемы прочности твердого тела. -М.: Изд. АН СССР. 1959. с. 207-221.

270. Алексеевский В.П. К вопросу о проникании стержня в преграду с большой скоростью, ФГВ. 1966. № 2. с. 39-45.

271. Рини Т. Численное моделирование явлений при высокоскоростном ударе. -В сб. Высокоскоростные ударные явления. -М.: Мир. 1973. с. 164-219.

272. Лаврентьев М.А. Кумулятивный снардд и принципы его работы. УМН. 1957. 12. вып. 4. с. 41-56.

273. Арен Т.Дж., О'Киф Дж.Д. Ударные эффекты при столкновении больших метеоритов с луной. Механика. Новое в зарубежной механике. в. 12. с. 62-79.

274. Гонсовский В.Л., Россихин Ю.А. 0 распространении импульсной нагрузки в вязкоупругой среде. Тр. НИИ математики Воронежского госуд. унив-та. 1972. в. 6. с. 63-65.

275. Суворова Ю.В. 0 применении интегральных преобразований в одномерных волновых задачах наследственной вязкоупругости.

276. Механика деформируемых тел и конструкций. ~М.: Наука. 1975. с. 464-471.

277. Белов М.А., Богданкевич А.Е. Численное обращение преобразования Лапласа методом асимптотического расширения интервала в динамических задачах вязкоупругости. Механика полимеров. 1976. № 5. с. 43-46.

278. Локшин A.A., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах е памятью. «М.: Наука. 1982. 152 с.

279. Суворова Ю.В., Викторова И.В., Машинская Г.П., Финогенов Г.И., Васильев А.Е. Исследование поведения органопласта при различных режимах нагружения и температур. Машиноведение. 1980.2. с. 67-71.

280. Локшин A.A. Волновые уравнения с сингулярным запаздывающим временем. ДАН СССР. 1978. т. 240. № I. с. 43-46.

281. Работнов D.H. Некоторые вопросы теории ползучести. Вестник МГУ. 1948. № 10. с. 81-91.

282. Roioinozf Y. N. SvfoioiyerY.V- , Osokin A.Y.

283. De/oimation v/offreS in noniineoii fieiecfazymedia. Nontineoi Def огта tion ufcttfes IV1 AM ¿Symposium ШЗ. р.Ш-rfO.

284. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. ИЛ. Москва. 1955. 444 с.

285. Ред. Кобаяси. Экспериментальная механика разрушения. М.: Мир. 1990. I т. 615 с. П т. 551 с.

286. Бреховских Л.M. Волны в слоистых средах. ~М.: Наука. 1975. 343 с.

287. Васильев В.В., Сибиряков A.B. Распространение упругих волн в слоистой полосе. Изв. АН СССР. MÎT» 1985. № I. с. 104-109.

288. Аптуков В.Н., Петрухин Г.И., Поздеев A.A. Оптимальное торможение твердого тела неоднородной пластиной при ударе по нормали. Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № I. с. 165-170.

289. Петров И.Б., Тормасов А.Г. 0 численном исследовании трехмерных задач обтекания волнами сжатия препятствия или полости в упруго-пластическом полупространстве. ДАН СССР. 1990. т. 314. № 4. с. 817-820.

290. Звягин A.B., Сагомонян А.Я. Косой удар по пластине из идеально-пластического материала. Изв. АН СССР. МТТ, № I.с. 159-164.

291. Ландау Л.Л., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. -М. : Наука. 1982.

292. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. -М. : Наука. 1985. 304 с.

293. Головизин В.М., Коршунов В.К., Самарский A.A. Двумерные разностные схемы магнитной гидродинамики на треугольных сетках. ЖВМ и МФ. М.: Наука. 1982. с. 312-320.

294. Фаворский А.П. Об использовании вариационных принципов в численном моделировании. -В кн. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. -М.: Наука. 1982. с. 312-320.

295. Косарев В.И., Лобанов А.И. К расчету движения плазмы с учетом диффузии азимутального магнитного поля. -М.: МФТИ. 1985. Деп. ВИНИТИ. 27,06.1985. № 4651-85 Деп. 23 с.

296. Анисимов С.И„ Об испарении металла, поглощающего лазерное излучение, ЖЭТФ. 1968« т. 54. в. I. с. 339-342.

297. Ашкинадзе Б.М,, Владимиров В.И., Лихачев В.А., Рыбкин С.М., Салманов В.М., Ярошецкий И.Д. Разрушение прозрачных диэлектриков под действием мощного лазерного излучения. ШЭТФ. 1966. т. 50. вып. 5. с. II87-II92.

298. Орлов A.A., Уляков П.И. Развитие объемного разрушения в силикатных стеклах и полимерах под действием излучения оптического квантового генератора. ЖПМТФ. 1972. № 4. с, 138-145.

299. Рыкалин H.H., Углов A.A. Нагрев тонких листов при сварке лазером. ДАН СССР. 1965. т. 165. № 2. с. 319-322.

300. Найт Ч.Дж. Теоретическое моделирование быстрого поверхностного испарения при наличии противодавления. РТК. т. 17.5. с. 81-86.

301. Анисимов С.й., ймас Я.А., Романов Г.С., Ходыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. -М.: Наука. 1970. 272 с.

302. Делоне Н.В. Взаимодействие лазерного излучения с веществом. -М.: Наука. 1989. 279 с.

303. Миркин Л.И. Физические основы обработки материалов лучами лазера. -М.: МГУ. 1975. 384 с.

304. Кармишин A.B. (ред). Методы динамических расчетов и испытаний тонкостенных конструкций. -М.: Машиностроение. 1989.284 с.

305. Рэди Дж. Действие мощного лазерного излучения. -М.: Мир. 1974.329. buZZouyh R.0 Qliman JJ. EßdSlic expíoSion ¿n Solid caused ßy tú dio ti on. j. dppt. PhgS., 1966,* 31 tt-B.

306. ConnezS Q. ff, Thompson R. А. С oontinuum rnechcttian3poieni media,- J. Qppi. Php .1966. zy.34.SI9, p.zkiu-muo

307. Зельдович Я.Б. Цилиндрические автомодельные акустические волны. ЖЭТФ. 1957. т. 33. в.З . с.700-705.

308. Головизин В.М., Коршунов В.И., Самарский A.A., Чудаков В.В, Метод факторизованных тепловых смещений для решения задач теплопроводности на нерегулярных расчетных сетках. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В.Келдыша В 58. 1985. 25 с.

309. Головизин В.М.» Рязанов Ы.А., Самарский A.A., Чернов С.Ю. двумерные полностью консервативные схемы в смешанных эйлеров о-лагранжевых переменных для уравнений газовой динамики. М.: Препринт II ИПМ АН СССР им. М.В.Келдыша. 1985. 23 с.

310. Арутюнян Р.В., Большое I.A., Головизин В.М., Коршунов В.К., Чуданов В.В. Вытеснение расплава при нестационарном лазерном воздействии на металлы. ДАН СССР. IS87. т. ¿92. I.с. 89-92.

311. Афанасьев Ю.В., Крохин Ф.Н. Газодинамическая теория воздействия излучения лазера на конденсированные вещества Тр. ФИАН СССР им. Лебедева. 1970. т. 52. с. II9-I7Q.

312. Афанасьев Ю.В., Крохин О.Н. Испарение вещества под действием излучения лазера. ЖЭТФ. т. 52. в.4.' с. 966-975.

313. Бегельсон В.И.» Голубь А.П., Немчинов И.В., Попов С.П. Образование плазмы в слое паров, возникающих под действием излучения ОКГ на твердое тело. Квантовая электроника. 1973. Ш 4(16). с. 20-27.

314. Виленская Г.Г., Немчинов И.В. Численный расчет движенияи нагрева излучением ОКГ плазмы, образовавшейся при вспышке поглощения в парах твердого тела. ШМТФ. 1969. № 6. с. 3-19.

315. Афанасьев Ю.В., Кроль В.М., Крохин О.Н., Немчинов Й.В. Газодинамические процессы при нагревании вещества излучением лазера. ШМ. 1966. т. 30. в. 6. с. 1022-1028.

316. Витшас А.Ф., Сенцо в 10.И. Газодинамическая модель испарительного взаимодействия излучения с жидкостью. ШПМТФ. 1987. № 5. с. 36-42.

317. Вункин Ф.В., Трибельский М.И. Нерезонансное взаимодействие мощного оптического излучения с жидкостью. УШ. 1980.т. 130. в. 2. с. 193-239.

318. Felock F.D. Qoodman cL. К Caîcuiùtïon oßaset indüced SéieSS In uTctizi-J. Qf>pt PßyS- * M. (Ш. А 5o6{- 5Q6lj.

319. Бункин Ф.В., Галактионов B.A., Кириченко H.A., Курдюмов С.П. Самарский A.A. Об одной нелинейной задаче лазерной термохимии. ДАН СССР. 1984, т. 279. № 4. с. 838-842.

320. Рыкалин H.H., Углов A.A., Смуров И.10., Волков A.A. Особенности лазерного нагрева металла в окислительной атмосфере. ДАН СССР. 1984. т. 277. № 6. с. 1395-1399.

321. Шестериков С.А., Юмашева М.А. К проблеме терморазрушения при быстром нагреве. Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № I. с. 128. -135.

322. Галиев Ш.У., Журазовский C.B. Затухание термооптических возбуждаемых волн в многослойной среде. ДА УН ССР сер. А № 12. 1983. физика, с. 27-30.

323. Дыбенко A.C., Штефан Е.В. Напряженно-деформированное состояние упруго-пластических тел при импульсном лазерном нагреве большой мощности. Проблемы прочности. 1981. № II.с. 102-105.

324. Аптуков В.Н. Деформирование и разрушение плиты поглощении электромагнитного излучения большой мощности. Проблемы прочности. 1987. № 12. с. 82-87.

325. Андрианкин Э.И., Андрущенко В.А., Холин H.H. Волнообразование и разрушение в упруговязких и упругопластических материалах при мгновенном нагреве локальной области. Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 3. с. 120-123.

326. Анисимов С.И., Прохоров A.M., Шортов В.Е. Применение мощных лазеров для исследования вещества при сверхвысоких давлениях. УВД. 1984. т. 142. в. 3. с. 395-434.

327. Пономаренко Б.Ф., Самойлов В.Н., Уляков П.И, Исследование разрушения прозрачных диэлектриков ОКГ. 1ЭТФ. № 3. с. 776-784.

328. Oswaid R.ß- ¿iiuctuze of Silicon dncJ Creimanium Induced ßy Pulsed Election Izza di ation.-1 EE i Tzans on iJuoteai Sciene. 1966.iT.-1l M4.P.6S.-63.

329. Зельдович Я.Б., Райзер 10.П. Шизика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. -М.: Наука. 1966. 688 с.

330. Блохин М.А. Физика рентгеновских лучей. М.: ГИТТЛ. 1957. 535 с.

331. Басов Н.Г., Крохин О.Н., Склизков Г.В. Исследование динамики нагревания и разлета плазмы, образующейся при фокусировании мощного излучения лазера на вещество. Тр. ФИАН СССР им. Лебедева П.Н. 1970. т. 52. с. 172-236.

332. Аккерман А.Ф., Бушман A.B., Демидов Б.А., Ивкин М.В.,

333. Ни Л.И., Петров В.А., Рудаков Л.И., Фортов В.Е. Исследование динамики ударных волн, возбуждаемых сильноточным релятивистским электронным пучком в алюминиевых мишенях. ЖЭТФ. т. 89. в 3(9). с. 852-860.

334. Воробьев С.А., Лопатин B.C., Погребняк А.Д., Ремнев Г.Е., Розум E.H., Оуров Ю.П. Разрушение твердых тел в результате облучения сильноточными пучками ионов. ЖТФ. 1985. т. 55. в. 6. с. 1237-1239.

335. Бойко В.й., Евстигнеев В.В., Шаманин И.В. Формирование упругой волны в металле, облучаемом импульсным пучком ионов. -йнж.-физ. журнал. 1987. 53. № 3. с. 4X2-416.

336. Лешкевич С.Л., Скворцов В.А., Фортов В.Е. Импульсное разрушение металлической пластины протонным пучком. Письмав ЖЭТФ. 1989. т. 15. в. 22. с. 39-93.

337. Богданкевич О.В., Дарзнек С.А., Коваленко В.А. и др.

338. О распределении плотности возбуждения в полупроводниковых лазерах с накачкой электронным пучком. Квантовая электроника. 1983. т. 10. № II. с. 2236-2245.

339. Беловалов М.И., Вовченко В.И., Канель Г.И., Красюк И.К., Кузнецов A.B., Прохоров A.M., Пашинин П.П., Разоренов C.B.,

340. Уткин A.B., Фортов В.Е. Применение лазерных интерферометричес- 321 ких измерителей скорости во взрывных экспериментах. ЖТФ. 1987. т. 57. в. 5. с. 918-924.

341. Мальверн Л. Распространение продольных пластических волн с учетом влияния скорости деформации. -В сб. переводов "Механика". 1952. № I. с. 154-161.

342. Шаскольская М.П. (ред.). Акустические кристаллы. Справочник. -М.: Наука. 1980. 579 с.

343. Богданкевич О.В., Зверев М.М., Иванова Т.Ю. и др. Электронно-лучевая и оптическая стойкость полупроводников при импульсном возбуждении пучком электронов высокой плотности. Квантовая электроника. 1986. т. 13. 10. с. 2132-2135.