автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитические модели тепловых процессов при челночной наплавке

На правах рукописи

Слитинская Софья Константиновна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ЧЕЛНОЧНОЙ НАПЛАВКЕ

Специальность: 05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новочеркасск 2005

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института)

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Никифоров Александр Николаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Зарифьян Александр Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Муратова Галина Викторовна

Ведущая организация: «Всероссийский научно-исследовательский и

проектно-конструкторский институт электровозостроения» (ОАО "ВЭлНИИ")

Защита состоится « 16 » декабря 2005 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.304.02 при ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) по адресу: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132, ауд. 107 (главный корпус).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)»

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 346428, г. Новочеркасск Ростовской обл., ул. Просвещения, 132, ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан «14 » ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, профессор

Иванченко А.Н.

<W3Q3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Восстановление деталей с помощью наплавки и автоматизация этого процесса вызваны постоянно возрастающими требованиями к энерго- и ресурсосбережениям, что является важной государственной задачей. В процессе восстановительной наплавки на поверхность детали наносится расплавленный металл, который близок по составу и свойствам к основному материалу. Наибольшее распространение имеют дуговые способы наплавки, например, для восстановления деталей железнодорожной техники они используются примерно в 75-80 % случаев. При этом электрическая дуга между электродом и поверхностью обеспечивает нагрев детали, а расплавленный электродный металл служит материалом для наплавки. Для расширения возможности автоматизации процесса наплавки предложена принципиально новая технологическая схема челночной наплавки [4,6], которая позволяет получать наплавляемый слой лучшего качества за существенно меньшее время, но требующая соблюдения определенных температурных режимов. Учитывая это, актуальной становится задача разработки численно-аналитических моделей, позволяющих осуществлять прогноз температурных полей.

Характерные особенности новой технологии заключаются в следующем:

• наплавка осуществляется не отдельными валиками, а вдоль периодической траектории сложной формы; процесс осуществляется непрерывно так, что не требуется ручной установки автомата на начало следующего прохода;

• при челночной наплавке движение электрода происходит с постоянной скоростью по заранее изготовленному копиру, что обеспечивает равномерность наплавляемого слоя (ранее в технологии использовалась наплавка колеблющимся электродом);

• при челночном способе наплавки под флюсом возможно образование сплошной ванны расплавленного шлака между соседними валиками. Это происходит, если при наплавке следующего валика температура между ним и предыдущим не опускается ниже определенного уровня;

• снятие шлаковой корки производится после окончания наплавки серии отдельных валиков, поскольку шлаковая ванна, в отличие от застывшей корки, не мешает горению сварочной дуги;

• при оптимальных условиях обеспечивается устойчивое горение электрической дуги и улучшается растекание металла. В целом это приводит к образованию более ровного наплавляемого слоя, что уменьшает припуск на дальнейшую обработку поверхности.

До появления такой технологии применение автоматической наплавки под флюсом сталкивалось с большими трудностями, так как за время настройки станка на начало следующего прохода шлак успевал застыть, и образовавшуюся корку надо было каждый раз удалять. Следует отметить, что поскольку при этом "применяется принципиально новая технология, то и задача моделирования тепловых процессов, которая достаточно полно учитывала бы особенности данной технологии, ранее не рассматривалась. Таким образом, возникает потребность в развитии теоретических моделей челночной наплавки и методов расчета полей температуры с учетом особенностей новой технологии. В первую очередь, это связано со сложным характером траектории движения источника и геометрическими параметрами распределенности его действия, в том числе по толщине пластины.

Вплоть до настоящего времени в сварочном производстве для описания полей температуры был широко распространен подхоА-асжщашдай на использовании аналитических формул H.H. Рыкалина. Однако э иЯрйрмулцИфнанмадчйны для случаев

неподвижного или движущегося прямолинейно с постоянной скоростью теплового источника и их непосредственное применение для рассматриваемого в диссертации сложного технологического процесса невозможно. Использование других известных в литературе аналитических разработок для моделирования челночной наплавки также требует либо существенного упрощения постановки тепловой задачи, что искажает физическую картину процесса, либо приводит к очень громоздким выражениям, которые практически нереально использовать.

По этим причинам для решения задачи определения термического режима челночной наплавки целесообразно использовать численное моделирование. Кроме того, отдельным актуальным вопросом является разработка алгоритма для последовательного проведения многовариантных расчетов с целью решения задачи по определению оптимальных параметров режима наплавки. Результаты такого моделирования важны в технологии для прогнозирования параметров копира и режимов автомата, при которых наплавка получается качественной, причем крайне важно, чтобы совокупный алгоритм получения таких прогнозов работал достаточно быстро, позволяя оперативно в течение рабочего дня выдавать рекомендации по осуществлению практических работ. Для достижения этой цели, с одной стороны, нужно так упростить постановку задачи, чтобы это не повлияло на необходимую для технологии точность результатов. С другой стороны, актуальным вопросом является выбор адекватных численных методов, обеспечивающих решение задачи за минимальное количество вычислительных операций.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с направлением научно -исследовательских работ кафедры прикладной математики ГОУ ВПО «ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» по теме «Теоретические основы моделирования процессов в интеллектуальных электромеханических и электроэнергетических системах», ГР № 01200010025, а также в рамках научного направления «Математические основы и применение компьютерных моделей электромагнитных полей и процессов». Внедрение результатов работы осуществлялось в соответствии с планом технико-экономического Совета Северо-Кавказской железной дороги по реализации «Комплексной программы организации ремонта и эксплуатации грузового подвижного состава на период 2001-2010 годы», утвержденном на его заседании № 10 от 20.07.01.

Цель и задачи работы. Диссертационное исследование направлено на совершенствование способов энерго- и ресурсосбережения в сварочном производстве посредством повышения эффективности технологического процесса автоматизированной челночной наплавки, что достигается путем создания моделей и алгоритмов, позволяющих усовершенствовать методику прогнозирования качества наплавки и осуществлять оптимизацию параметров режимов ее проведения. Фактически данная работа направлена на создание интеллектуального сопровождения нового технологического процесса, которое реализовано в виде комплекса программ.

Для достижения этих целей необходимо решить следующие основные задачи:

• разработать физико-математическую модель тепловых процессов, адекватно отражающую специфику челночной наплавки на пластину, а также достаточно точно учитывающую влияние основных факторов на ее конечный результат;

• разработай, численно-аналитический метод, сводящий расчет трехмерных тепловых полей в пластине конечной толщины к быстро сходящемуся ряду из решений двумерных задач;

• построить устойчивую разностную схему как дискретный аналог двумерной тепловой модели и провести тестовые расчеты для настройки внутренних параметров компьютерного алгоритма с целью сокращения количества операций;

• реализовать алгоритм расчета решения трехмерной тепловой задачи и настроить не полностью определенные входные технологические параметры по экспериментальным данным;

• сформулировать критерий качественной наштавки и включить его в алгоритм определения оптимальных параметров теплового режима; продемонстрировать возможности алгоритма в реально встречающихся на практике случаях.

Методы исследований. Анализ тепловых процессов при челночной наплавке проводится методом численного эксперимента. При этом модели такого процесса строятся с помощью методов математической физики. Для построения, исследования устойчивости и численного решения сеточных уравнений, которые являются дискретными аналогами исходной задачи, используются методы математической теории разностных схем. Кроме того, для решения имеющихся нелинейных уравнений используются численные методы. Комплекс программ для проведения расчетов на компьютере был разработан на основе языка «Фортран-85».

Обоснованность и достоверность результатов исследований обусловлена:

• строгим математическим обоснованием всех этапов моделирования;

• устойчивостью применяемых для вычислений разностных схем;

• сходимостью алгоритма расчета полей температуры при увеличении сосредоточенности подвижного источника к результатам, получаемым по соответствующим этому предельному случаю аналитическим формулам Н.Н.Рыкалина;

• совпадением с точностью до 5 % экспериментально найденных оптимальных размахов колебаний электрода при челночной наплавке в нескольких случаях с прогнозируемыми значениями, полученным на основе моделирования;

• соответствием всех получаемых результатов физическому смыслу.

Научная новизна результатов исследований характеризуется следующими

признаками:

1. Сформулированный критерий проведения автоматизированной наплавки челночным способом под флюсом гарантирует устойчивое горение сварочной дуги, отсутствие отклонения последней от центра траектории перемещения электрода, что обеспечивает нанесение ровного слоя металла

2. Предложенные физико-математические модели для расчета двумерных и трехмерных полей температуры при челночной наплавке, в отличие от известных, учитывают реальные особенности траектории движения электрода и объемный характер действия источника нагрева. При этом рассмотрение проводится в подвижной системе координат, в которой траектория движения электрода становится циклически замкнутой, что является обобщением по сравнению с традиционной постановкой задачи в неподвижных координатах.

3. Разработан новый комбинированный численно-аналитический метод расчета трехмерных полей температуры при сварочных процессах, отличающийся от известных тем, что используется аналитическое разложение решения в ряд по одной из пространственных координат, позволяя свести решение трехмерной задачи к набору двумерных.

4. Предложен дискретный аналог для двумерного варианта физико-математической модели челночной наплавки на пластину и разработан алгоритм его реализации. Впервые получен критерий устойчивости применяемой разностной схемы в аналитическом виде и проведена оптимизация ее внутренних параметров, что обеспечило высокую эффективность работы компьютерной программы за счет сокращения количества вычислительных операций примерно на два порядка.

5. Предложена методика настройки не измеряемых точно параметров моделей по набору экспериментальных данных. От обычного подхода явного задания параметров она отличается тем, что свободные параметры определяются на основе серии экспериментов путем их подбора с целью наилучшего совпадения результатов.

6. Впервые установлены важные для технологии взаимосвязи между оптимальной амплитудой перемещения электрода по траектории и критической температурой, входящей в критерий качественной наплавки, а также этой амплитудой, толщиной пластины и мощностью источника.

7. Результаты исследований оформлены в виде программного продукта, который отличается тем, что построен на основе теоретического анализа модели челночной наплавки.

Практическая ценность работы. Разработанный программный комплекс может бьпъ использован в сварочном производстве для расчета полей температуры в таких технологических процессах, как сварка, наплавка и термообработка при произвольной траектории перемещения источника нагрева по поверхности пластины. В настоящий момент этот комплекс программ наиболее адаптирован к технологии челночной наплавки. Для этого случая реализована возможность последовательного проведения многовариантных расчетов с целью оптимизации параметров режимов наплавки. Это позволяет:

• резко сократить время на настройку станка и обеспечить его непрерывную работу;

• получать более прочный и ровный наплавленный слой, что уменьшает потери металла при последующей механической обработке.

Результаты моделирования были использованы для выработки рекомендаций по применению технологии челночной наплавки для восстановления поверхностей деталей железнодорожного транспорта, таких как колпак скользуна, фрикционный клин, фрикционная планка, замок автосцепки, замкодержатель автосцепки и ряд других деталей. Результаты этой работы внедрены во многих вагонных депо СевероКавказского отделения Российских железных дорог, в частности, на станциях Каменоломни, Батайск, Лихая, Морозовск, Кавказская, Армавир, Краснодар, Прохладная.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель новой технологии челночной наплавки, в которой тепловая задача рассматривается в подвижной системе координат. Модельное описание распределения нагрева, как в плоскости пластины, так и по ее толщине. Критерий качественной наплавки.

2. Комбинированный численно-аналитический метод решения трехмерной краевой задачи, базирующийся на разложении температуры в ряд по координате, перпендикулярной плоскости пластины. Вывод уравнений для коэффициентов этого разложения, которые по математической структуре совпадают с тепловой задачей для термически тонкой пластины.

3. Разностная схема для решения тепловой задачи в тонкой пластины и анализ условий ее устойчивости, а также оптимизации внутренних параметров этой дискретной задачи.

4. Совокупный алгоритм определения распределения температуры в пластине конечной толщины при челночной наплавке. Настройка модели по эксперименту и результаты расчета в практических случаях.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на: международной научно-технической конференции «Сварка на ру-

беже веков», Москва, 2003 г.; научно-технической конференции «Эффективные материалы, технологии и оборудование для сварки, плазмы, нанесения покрытий, металлообработки и порошковой металлургии», Ростов-на-Дону, 2004г.; научно-практическом семинаре «Информационные технологии в интеграции науки, образования, производства», Ростов-на-Дону, 2004г.; международной конференции «Математические методы в технике и технологиях МММТ-18», Казань, 2005г. Результаты работы докладывались и получили положительную оценку на кафедрах: «Технология металлов» РГУПС; «Прикладная математика» ЮРГТУ (НПИ); «Математика и информатика» РИФ РГТЭУ.

Публикации. По результатам работы опубликовано 9 научных работ; из них 5 статей, 3 тезиса докладов и зарегистрированная компьютерная программа, причем 2 статьи опубликованы в российских реферируемых журналах, одна в ведущем зарубежном журнале.

Структура диссертации и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения с основными выводами, списка литературы из 127 наименований и приложения. Ее содержание изложено на 165 страницах, проиллюстрировано 3 таблицами и 24 рисунками.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, формулируется цель исследования, научная новизна, практическое значение разработанных моделей и полученных результатов.

В первой главе «Обзор методов моделирования тепловых режимов в технологических процессах» дастся обзор литературы по методам моделирования температурных режимов, которые в настоящее время применяются в различных технологических приложениях. Анализируется, какие имеются модели и алгоритмы, наиболее подходящие к условиям рассматриваемой задачи. Выявлено, в каком направлении следует развивать имеющиеся результаты, чтобы отвечать технологическим потребностям моделирования процесса челночной наплавки. Наиболее существенными факторами, которые следует учесть в дополнение к имеющимся работам, являются распределенность источника нагрева по объему и сложный характер траектории его движения.

Во второй главе «Челночный способ наплавки как технологический процесс» приводятся краткие сведения, важные для построения физико-математической модели, о наплавке вообще и челночном способе ее проведения в частности. Рассматриваются положения, принятые в технике, детализирующие процесс челночной наплавки на пластину. Кроме того, в этой главе анализируются параметры, которые характеризуют конкретный технологический случай.

При наплавке электрод с горящей электрической дугой перемещается относительно детали, в результате чего на ее поверхности формируется полоса из плавящегося металла электрода, называемая валиком. Для того чтобы сплавить два соседних валика между собой, следующий валик наносится с определенным наложением по отношению к предыдущему. Челночный способ наплавки часто имеет определенное преимущество по сравнению с многопроходным способом формирования параллельных валиков. Дело в том, что при определенных условиях обеспечивается устойчивое непрерывное горение сварочной дуги, и сразу же после застывания металла получается достаточно ровная поверхность. На рис.1 представлен вид детали при нарушении и при правильном формировании наплавленного слоя.

Рис 1. Вид детали при нарушении формирования (слева) и при правильном формировании (справа) наплавляемого слоя

Челночный способ наплавки характеризуется сложной траекторией движения электрода, типичный вид которой в неподвижных координатах, связанных с пластикой, представлен на рис. 2. Как показала практика, такое движение элеггрода удобно задавать посредством заранее изготовленного копира, по которому с постоянной скоростью перемещается верхняя головка электрода.

При относительно небольшом размахе колебаний А движения электрода (рис. 2) между соседними валиками может образовываться сплошная шлаковая ванна (а иногда даже и сплошная ванна из расплава). При таких условиях обеспечивается стабильное горение дуги, наиболее эффективное растекание металла и, как следствие, формирование более гладкой поверхности наплавляемого слоя. Эмпирически найденным условием качественной наплавки является то, что температура Т вдоль отрезка между дв>мя точками на поверхности детали, обозначим их 1 и 2 (см. рис. 2), лежащих на двух прямолинейных и соседних участках траектории, должна быть везде не меньше некоторого критического значения Тк. Зго условие должно выполняться в момент, когда центр электрода находится в точке 2. Обозначим через 0 и г2 моменты времени, когда электрод находится соответственно в точках 1 и 2. Тогда условие качественной наплавки математически можно выразить в виде неравенства:

т"1:Г1г=Г2, Хе[ЛГ.(/1),ЛГ,02)], Г=У„(/2), 2=0 ^ ТК Как показали эксперименты, при челночной наплавке величина Тк связана с температурой плавления применяемого флюса.

Основные геометрические характеристики траектории движения электрода: размах колебаний А и шаг наплавки И. Форма соединения двух соседних вертикальных участков является полуокружностью. Таким образом, длина одного цикла траектории Ь, за который электрод смещается по оси Хна расстояние 2И, равна: Ь~ 2А+(л-2)И. При наплавке центр дуги движется вдоль траектории с постоянной скоростью V, средняя скорость Ух перемещения вдоль оси X равна УХ=2ИУ/Ь . Полная тепловая мощность нагрева Р/ зависит от напряжения источника I! и тока I источника питания, а также от к.п.д. тепловложения Т]

Рз=г)Ш.

В работе принято, что распределение нагрева по объему пластины С (г,2) симметрично относительно положения центра электрода (X,, У.) и имеет следующий вид:

С(г,г)=рр(гыг); г = {[Х-Х40]1 + [У-г^)]1}"2.

где функция %(г) является нормированным гауссовским распределением в плоскости пластины, которое зависит от параметра сосредоточенности к

%(г) = кехр(-кгг)/п . Нормированная функция р(7) имеет ступенчатый вид и определяет характер распределения вложения тепла по толщине

р(2)=1/1. при 0<г<1., р(2)=0 при 1,<г<1,

где / - толщина пластины, а I, толщина наплавленного слоя металла, которую можно выразить следующим соотношением:

Здесь р - плотность материала, а - экспериментально определенный коэффициент пропорциональности между скоростью плавления электрода и током дуги.

На процесс челночной наплавки оказывает влияние большое количество разнообразных факторов. Из них в первую очередь следует отметить сложный характер траектории движения электрода и объемную распределенность теплового источника. Результаты анализа этого процесса должны быть учтены в физико-математической модели. Однако сделать учет этих факторов в рамках чисто аналитического подхода практически нереально. Тем не менее, такая возможность имеется при численном моделировании процесса наплавки.

Третья глава «Математические модели челночной наплавки» посвящена математической постановке задачи эволюции поля температуры при наплавке челночным способом. Общие физико-математические уравнения, записанные относительно энергосодержания (энтальпии) (V, и краевые условия имеют вид:

т дп

где \У(Т)= \CclT , О =Л/С; Р„=0С , 4~ ~ внешняя нормаль к по-

/ IV дп

верхности; р - коэффициент, характеризующий теплоотдачу с поверхностей; Тех1 -температура внешней среды (воздуха), С = / с1Т - теплоемкость единицы объема. Такая форма модели расширяет класс линейных случаев. Это связано с тем, что уравнение линейно не только при постоянной теплоемкости С(Т)=сопя1 и коэффициенте теплопроводности А(Т)=соШ, когда из него легко получается стандартное уравнение для температуры, но также и в случае постоянства только коэффициента темперагу-ропроводности В(Т)=соп81 Такая форма записи уравнения через энергосодержание удобна для обобщенного рассмотрения с учетом нелинейных эффектов, что находится в русле современных тенденций.

Для удобства численного моделирования вводится подвижная система координат (х,у,г), перемещающаяся относительно пластины со средней скоростью Ух источника, так что

х=Х-Ухч у = У; г = Траектория движения источника в такой системе является замкнутой (см. рис. 3), что резко сокращает размеры расчетной области.

Далее траектория источника будет задаваться в параметрическом виде х=х, (О, у=у*(0 В подвижной системе координат краевая задача принимает вид:

= (2)

3/ дх

г=/. (3)

яг ог В технике часто используется приближение термически тонкой пластины, в котором предполагается, что температура (энергосодержание) мало меняется по толщине пластины. В этом случае логично ввести среднее по толщине содержание энергии № _ 11

1Г(1,х,у) = - ¡1Уи,х,у,г)сЬ .

I Л

Х,ем

Рис. 2. Траектория движения центра электрода при челночной наплавке в неподвижной системе координат (Х.УД

X, ем

Рис. 3. Траектория движения центра электрода при челночной наплавке в подвижной системе координат (х,у,г)

(4)

Проинтегрируем уравнение (2) по переменной г в интервале от 0 до / (по толщине пластины), разделим на толщину пластины / и воспользуемся граничными условиями (3). Далее используем то, что в таком приближении температура (энергосодержание) не зависят от координаты г, в частности, справедливо: 1?0,х,у.О) = Цг(1,х,у,1) = №(ьх,у). Отметим, что это единственное условие, которое используется для постановки упрощенной тепловой задачи. В результате из (2) получается следующее двумерное уравнение в общем, нелинейном случае

где В в 2^0/1.

В линейном случае, когда коэффициенты С, Д Г> не зависят от энергосодержания Цг в единице объема, показано, как трехмерная линейная задача может быть заменена множеством двумерных задач. Для этого ее решение УУ^х.у.г) ищется в виде ряда

я=О

Здесь коэффициенты разложения №„(/,х,}1) являются функциями указанных аргументов, а множество функций Ч/п(г) должно образовывать полный базис разложения в интервале 0 <2 <1. В качестве такого базиса выбраны собственные функции следующей краевой задачи:

д2У„/д1г = -а>2,Ч'п ;

(ЭЧ./дг + /&н1т1=0 ; (Ж./Ь-/№„1^=0, и распределение р(г) тепловложения по толщине представлено в виде разложения в ряд по тем же самым базисным функциям Ч'Дг)

р(т) = %рпЧп(2) ; Рп = .

Выбор таких базисных функций обусловлен тем, что тогда представление решения трехмерной краевой задачи в виде указанного выше ряда автоматически будет удовлетворять граничным условиям теплоотдачи на поверхностях пластины. При этом вид уравнений для коэффициентов разложения имеет ту же структуру, что и в случае задачи (4) для термически тонкой пластины с точностью до замены IV 1/1—ф„ В—нц,г.

Предложенный подход в линейном случае действительно является упрощением трехмерной тепловой задачи, поскольку базисные функции имеют аналитический вид

Ч'л(2) = соз(ш„г-(р„) ; й>„ ={т + 2<рп)Н, и для коэффициентов разложения р„ получаются аналитические выражения. Для определения набора <р„ (я=0,1,. .) надо решать серию нелинейных уравнений следующего вида

(ли4-2<Р„)^(9>„) = Д; (0 ж/2), что в работе осуществляется при помощи метода Ньютона. С точки зрения методологии предложенный способ учета трехмерных эффектов можно рассматривать как добавление поправок к основной части (и=0), которая при реально малых значениях произведения ¡51 практически совпадает с приближением тонкой пластины. На основе теории метода Фурье строго показана сходимость применяемых разложений.

В технических приложениях часто используется приближение пластины неограниченных размеров. Именно случай пластин больших размеров и рассматривается в работе. Однако для построения численного алгоритм решения тепловой задачи для тонкой пластины необходимо выделить конечную область в ее плоскости, что целесообразно сделать следующим образом

-а £х<Ь, М ¿с1,

где положительные величины а, Ь, с! определяют ее размеры. Для задачи эволюции поля температуры в конечной области тонкой пластины возникает вопрос о формулировании дополнительных условий на ее границе. На границе Г имеет смысл задавать достаточно общие условия третьего рода:

и

Далее встает вопрос о том, как задавать функцию у. Учитывая физико-матемапические соображения, целесообразно полагать у в соответствии с характером асимптотического спада температуры (энергосодержания) при , где расстояние Я - удаление граничной точки от ценггра подвижной системы координат Я =(х2+уг)'/2. В установившемся режиме наплавки асимптотическое поведение температуры Т не зависит ни от сосредоточенности источника, ни от параметров траектории его движения. Таким образом, эта асимптотика должна совпадать со случаем сосредоточенного линейного источника, перемещающегося с постоянной скоростью. Квазисгационарное температурное поле Т,(х,у), возникающее при действии сосредоточенного источника, который находится в центре подвижной системы координат, описывается формулой Н. Н. Рыкалина для тонкой пластины. Используя эту формулу, будем задавать в (5) функцию у(х,у) как

В четвертой главе «Численно-аналитические модели термически тонкой пластины» строится и отлаживается явная разностная схема для двумерной тепловой задачи. Изучаются свойства конкретной разностной схемы, которая предназначена для моделирования распределения температуры в процессе челночной наплавки металла на тонкую пластину.

=0. (5)

Исследуется однопараметрическое семейство разностных схем для линейной тепловой задачи. Для построения дискретного аналога этой задачи в области П вводится равномерная сетка со& с пространственным шагом 5 с координатами узлов ¡х„У]}.

х,+1-х1 = у1+1-у] = 6 , где <"/ <N1,, -Л^ <_/' <ЛУ. Кроме того, выделено множество моментов времени , отличающихся друг от друга на постоянную величину т. Это множество образует сетку о)г по временной переменной <

1„=т% т=0,1,2.... На дискретном множестве значений переменных со^хсо^ -{¡„х^} рассматриваются сеточные функции и. Цель состоит в том, чтобы сформулировать такую систему разностных уравнений для значений сеточной функции и," , чтобы ее решение давало оценку в узлах сетки для температуры Т(1„хиу^. При этом требуется, чтобы в пределе при уменьшении шагов сетки <Уи г решение разностной схемы переходило в решение непрерывной задачи Нт ы™; = ,х„у).

Для удобства изложения способа построения разностной схемы, уравнение и граничное условие, которые она аппроксимирует, записаны в следующем символическом виде:

й = /7?Д„ + V,V, -В]и+//С, (6)

^„«^+^,>->"4^=0. (7)

В выражения (6), (7) входит несколько разностных операторов, действующих на функцию и и сеточная функция источника/ Ниже даются их определения.

а) Разностный оператор и аппроксимирует непрерывную производную по времени ЭГ/Э/ с точностью О(т)

«г,=«;' -*?,>/* ■

б) Оператор Ам является разностным аналогом оператора Лапласа А. Аппроксимация оператора Лапласа осуществляется на полном, 9-точечном шаблоне на основе линейной комбинации двух операторов Д^ и Дх.

А„=(1-м)А,+мЬх ; = («Си +«,".,++<,-, -4«," )/<У2;

{Д,«}", =0.5(«,-,у+1 + «/,".,_,+!/",„, + -Ч")^2 • На рис. 4 представлены шаблоны для аналогов оператора Лапласа на основе разностных алгоритмов «прямого» А- (слева) и «косого» Дх (справа) креста. Точками обозначены соответствующие узлы сетки.

0+/,/) (<+/./) (1+Л/+/)

(01 Ш+1)

0-1.л

{,-¡¿-1) (¡-и+п

Рис. 4. Шаблоны для аналогов оператора Лапласа на основе разностных алгоритмов прямого Д» (слева) и косого Д* (справа) креста

Путем разложения распределения температуры Т в ряд Тейлора в центральном узле шаблона пространственной сетки, можно убедиться в справедливости следующей оценки

Из этого выражения видно, что при любом значении параметра ¡J. аппроксимация оператора Лапласа Д оператором Дм имеет второй порядок точности 0(82). Отметим, что при значении ц=1/3 получается простое выражение для практической оценки погрешности аппроксимации с точностью до четвертого порядка по шагу «У включительно

в) Разностный оператор V* аппроксимирует производную д/дх (значение градиента в направлении оси х) с точностью O(S)

=(«,:,,.

Следует отметить, что здесь используется правосторонняя разность, что при Ух>0, как показано в диссертации, не накладывает дополнительных ограничений на условия устойчивости всей разностной схемы в целом.

г) Разностный оператор V„ определен во всех граничных узлах области]еГж исключением угловых. Он должен аппроксимировать нормальную производную Э/Эп, которая соответствует ±Э/Эх или ±Э /ду в зависимости от того на какой стороне границы прямоугольной области расположена точка. На рис. 5 направления внешней нормали п на сторонах прямоугольной области показаны стрелками. Рядом даются определения производной в направлении нормали.

Y ф

Э/Эл =Э /ду

д/дп --д/дх

Э/Эи =Э/Эх

д/дп =-Э/Эу

Рис. 5. Направления внешней нормали л на сторонах прямоугольной области

Аналогично выражению для V,, оператор У„ определим через внутренние разности. Тогда граничным условиям на 4 сторонах ставятся в соответствие однотипные сеточные уравнения. Для примера укажем их для верхней и нижней сторон прямоугольной области

е + ^./Ку =</т1. Н4,<<<лу. (8)

Кроме того, температуру в угловых точках будем полагать равной половине суммы значений температуры в ближайших граничных узлах.

д) Значения функции источника на сетке будем задавать как среднюю величину по пространственной ячейке

Р л,+<к у Г"'

/" = -jr. \dx \g(rjdy. (9)

0 1 ,rsv ,rin

При этом координаты центра источника в промежутке времени от tm до tm+, полагаются равными средним величинам, так что аргумент гт равен

=(x.{tm«)+x.(tj)/2, У: =(ум*«)+у.ю)/2 ■

Следует отметить, что двойной интеграл в (9) выражается через стандартную, специальную функцию интеграла ошибок erf, для которого известны эффективные алгоритмы вычисления его значений. Таким образом, сеточную функцию источника будем рассчитывать при помощи следующего выражения:

/" Wfe-x:+S/2))-erf{Vk(x, -SI2))}х

x\erf{jk(yj-y: +6/2))-еггУк(У) -у."-¿/2))}. После подстановки соответствующих определений операторов, разностная схема для внутренних узлов пространственной сетки принимает вид:

+ [Д(1-//)Г/<?2]«,-, +K-UJ +

+[{D(1 -n)!S+ VjT/SK^ +[1 -t{B + 2D(2-M)'S2 + VJS\Xj + С/c • 0°) Предложенная разностная схема является двухслойной и явной. Сам способ определения значений температуры в узлах сетки на следующем временном слое, т.е. функции ит+' по известным ее значениям и" на предыдущем слое состоит в следующем. Рассчитывается температура по формуле (10) во всех внутренних точках области Далее определяются значения сеточной функции во всех граничных точках с использованием выражений типа (8). Таким образом, сформулированный алгоритм пересчета сеточной функции с одного временного слоя на следующий, вместе с начальными условиями и,7° = Тт дает численный метод определения решения разностной задачи на

полной сетке G5 = со^хшОдним из достоинств указанного выше явного алгоритма является простота его реачизации. Кроме того, при одном и том же числе узлов сетки используемый в работе метод, по сравнению с другими (прежде всего с неявными) методами, обеспечивает существенно меньшее количество операций для пересчета решения на следующий временной слой. Однако предложенная разностная схема действительно будет близкой к оптимальной, если обеспечение ее устойчивости при практических расчетах не будет ограничивать шаг по сравнению с тем, который нужен для соблюдения точности интегрирования уравнения по времени. Поэтому в работе формулируются условия, при которых разностная схема является устойчивой.

Согласно определению, разностная схема устойчива по начальным данным и правой части, если для решения разностной задачи u(tm, хь yj) справедлива оценка:

И = С,тах|«| + С2|/1. (11)

где С] и С2 - некоторые постоянные, а и0 есть сеточная функция в начальный момент

времени. При этом норма сеточных функций определяется следующим образом:

|У= max У . <Ogxa>T

Существование оценки (11) будет обеспечено при выполнении принципа максимума. Для его применения надо представить в каноническом виде все разностные уравнения, относящиеся к каждому узлу. Однако именно такой вид имеют уравнения (9) с шаблоном, состоящим из 2 точек, и (10) с шаблоном из 10 точек. Сеточное уравнение рассматривается в прямоугольной области, в которой шаблоны, относящиеся к любым двум соседним точкам, перекрываются. Это значит, что выполняется первое условие связанности сетки, входящее в принцип максимума. Смысл остальных условий состоит в следующем:

• все коэффициенты перед значениями сеточной функции в уравнениях (как в левой, так и в правой части) являются неотрицательными,

• сумма всех коэффициентов перед значениями сеточной функции в правой части уравнения не должна быть больше коэффициента в левой части.

В работе показано, что для выполнения этих условий, а значит и для устойчивости разностной схемы достаточно, чтобы были справедливы неравенства:

0<,цй\-, ---.

20(2-(1) + £Ух + 3 В

Далее с целью уменьшения числа операций была проведена оптимизация внутренних параметров схемы. При этом контролировалось сохранение необходимой точности расчетов. Получена оценка числа операций для расчета одного цикла наплавки. Разработана методика максимального сокращения числа операций в зависимости от параметров режима наплавки. Она состоит в следующем:

• определен способ выбора минимальных размеров расчетной области;

• найдено значение веса Ц-1, при котором шаг по времени ттах максимален;

• определен максимально допустимый шаг пространственной сетки 6.

В результате такой настройки получился очень эффективный алгоритм без привлечения более сложных неявных конечно-разностных методов. Типичный вариант расчета одного периода наплавки состоит в выполнении 64 явных временных шагов при пространственной сетке из 31x61 узла. Столь плательное исследование и оптимизация разностной схемы для двумерной тепловой задачи связано с тем, что она является основой и для трехмерной задачи расчетов температурных полей в пластине конечной толщины.

В пятой главе «Моделирование комбинированным методом температурных режимов в пластине конечной толщины» для линейного случая используется комбинированный подход для определения полей температуры, которые возникают при наплавке на пластину конечной толщины. Приводится методика решения трехмерной задачи. При этом на конкретном примере подробно излагается последовательность шагов при реализации комбинированного алгоритма. Решение трехмерной задачи ищется в виде ряда, члены которого можно рассматривать как поправки к решению двумерной задачи. Анализируются детали численной реализации алгоритма. Определяется количество членов ряда, которое надо удерживать для обеспечения технологической точности. Кроме того, формулируются положения, которые обеспечивают сокращение общего времени вычислений на компьютере.

Дается математическая формулировка задачи определения оптимальных параметров копира. В ней оптимальный размах колебаний электрода при фиксированных других параметрах режима наплавки определяется из условия (1) того, что она будет качественной. Приводится методика численного решения этой задачи. Проведена настройка моделей по экспериментальным данным. Это связано с тем, что часть физико-технических параметров прямо не измеряются в экспериментах. Их разумно под-

бирать так, чтобы результаты моделирования совпадали с опорными данными. Далее значения этих параметров используются при проведении численного моделирования серий вариантов наплавки. Производится сравнение моделей для толстой и тонкой пластин. В работе показано, какого рода интересные с практической точки зрения зависимости можно получать на основе разработанной программы.

При расчетах по моделям температурных полей использовались следующие значения характеристик металла стальной пластины:

С=б.24 1 03КДж/(м3 К), Л=40 Вт/(м К), ег=100 Вт/(м2К).

На рис. 6 приводятся результаты расчета температурных полей с помощью трехмерной модели в трех проекциях, a) z=const; б) х—const, с) y-const при следующих параметрах наплавки: Pj-8400 Вт, Г=0.55 см/с, А=10 мм, Т=1100 °С. Сплошной линией показана траектория последнего цикла наплавки. Сечения б) и в) проходят через конечную точку его прямолинейного участка, сечение а) соответствует верхней поверхности пластины толщиной /=15 мм. Рядом с изотермами в этом сечении даны значения температуры.

■* -* -г о 2

X, см

Рис. 6. Изотермы (даны точками) в сечениях пластины a) z-0; б) x=const; в) y=const.

На практике приходится иметь дело с пластинами разной толщины. В связи с этим на рис. 7 приведена зависимость Атах(1) для трех значений шага наплавки й=12,10, 9 мм (2-ой параметр копира). Значение шага А наплавки указаны рядом с кривыми. Толщина наплавляемого слоя I, изменяется (/, к/У=соШ). При этом во всех случаях скорость движения сварочной головки электрода по копиру была одинаковой

Н=0.55 см/с, но менялась /, =4, 4.8, 5.33 мм соответственно. Кроме того, при расчете серии этих кривых диаметр пятна нагрева задавался выражением, обоснованным в диссертации:

¿„=2.5 И. (12)

Отметим, что соотношение (12) было подобрано как оптимальная зависимость с/л (Ь), обеспечивающая хорошее согласие как с экспериментом для различных значений технологических параметров режимов челночной наплавке. Такой выбор отражает тот факт, что при уменьшении шага наплавки, поступающий с электрода металл меньше растекается по поверхности, так как его растекание ограничено положением предыдущего валика. Это определяет увеличение сосредоточенности эффективного нагрева. Из рис. 7 видно, что размах колебаний А^ при увеличении толщины пластины / выше

о.« 1.о и го г$

1, см

Рис. 7. Оптимальное значение размаха колебаний наплавки в зависимости от толщины пластины /

В работе приводится ряд интересных с теоретической и практической точки зрения графиков, которые демонстрируют, но далеко не исчерпывают все возможности программы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Сформулирован критерий проведения автоматизированной наплавки челночным способом под флюсом, который гарантирует устойчивое горение сварочной дуги, отсутствие отклонения последней от центра траектории перемещения электрода, что обеспечивает нанесение ровного слоя металла. Этот критерий учитывает особенности новой технологии, используется впервые при оптимизации режимов протекания термических процессов и позволяет сократить время наплавки, а также снизить потери металла при дальнейшей обработке поверхности.

2. Предложены физико-математические модели для расчета двумерных и трехмерных полей температуры при челночной наплавке, которые включают основные

физические факторы и, в отличие от известных, учитывают реальные особенности траектории движения электрода и объемный характер действия источника нагрева. Рассмотрение движения электрода проводится в подвижной системе координат, в которой траектория движения электрода становится циклически замкнутой, что является обобщением по сравнению с традиционной постановкой задачи в неподвижных координатах. Использование моделей позволяет эффективно проводить комплексный анализ челночной наплавки и научно обоснованно выбирать ее режимы.

3. Разработан новый комбинированный численно-аналитический метод расчета 1рехмерных полей температуры при сварочных процессах, отличающийся от известных тем, что используется аналитическое разложение решения в ряд по одной из пространственных координат, позволяя свести решение трехмерной задачи к набору двумерных. Такой подход можно рассматривать как внесение поправок к основному приближению, совпадающему по структуре с моделью для тонкой пластины, что обеспечивает удобную для практического использования интерпретацию результатов.

4. Предложен дискретный аналог для двумерного варианта физико-математической модели челночной наплавки на пластину и разработан алгоритм его реализации. Впервые получен критерий устойчивости применяемой разностной схемы в аналитическом виде и проведена оптимизация ее внутренних параметров, что обеспечило высокую эффективность работы компьютерной программы за счет сокращения количества вычислительных операций примерно на два порядка. Это позволяет в реальном масштабе времени проводить многовариантные вычисления, осуществлять параметрическую и режимную оптимизацию.

5. Предложена методика настройки не измеряемых точно параметров моделей по набору экспериментальных данных. От обычного подхода явного задания параметров она отличается тем, что свободные параметры определяются на основе серии экспериментов путем их подбора с целью наилучшего совпадения результатов. Это позволило восполнить недостающие или недостаточно изученные физические факторы, например, касающиеся флюса. В итоге обеспечено хорошее согласование теоретических расчетов с экспериментальными данными (расхождение не превышает 5 %).

6. Впервые установлены важные для технологии наплавки взаимосвязи между оптимальной амплитудой перемещения электрода по траектории и критической температурой, входящей в критерий качественной наплавки, а также этой амплитудой, толщиной пластины и мощностью источника. Для этого был реализован оригинальный алгоритм автоматического определения оптимальных параметров копира в различных случаях, что позволяет заранее выработать разнарядки по геометрическим параметрам копира и скорости перемещения источника.

7. Результаты исследований оформлены в виде программного продукта, который отличается от существующих тем, что построен на основе теоретического анализа модели челночной наплавки. Компьютерная программа (на которую получено свидетельство о регистрации в ОФАП № 50200501370 от 28.09.05) может иметь широкое применение для расчета тепловых процессов при сварке, наплавке, термообработке, поскольку в ней реализован эффективный алгоритм расчета трехмерных полей температуры. С помощью расчетов по этой программе даны рекомендации по выбору параметров режима челночной наплавки, которые внедрены во многих вагонных депо Северо-Кавказской железной дороги. Экономический эффект от внедрения только за 2003 год составил 1,5 млн. рублей.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Дюргеров Н. Г., Слитинская С. К. Численное моделирование двумерных полей температуры при наплавке в приближении тонкой пластины // Вестник РГУПС. 2002. №1,-С. 22-26.

2. Дюргеров Н.Г., Слитинская С. К. Моделирование теплового режима челночной наплавки на тонкую пластину // Межвузовский сборник с международным участием «Исследования и разработки ресурсосберегающих технологий на железнодорожном транспорте», вып.23, Самара: 2002. - С. 189-193.

3. Слитинская С. К., Дюргеров Н. Г., Хачкинаев С. Д. Тепловые процессы при челночной наплавке // Сварка на рубеже веков. Тезисы докладов научно - технической конференции к 100-летию со дня рождения академика Г. А. Николаева. Москва. 20-21 января 2003. - С. 73.

4. Эффективный процесс автомагической наплавки под флюсом / Х.Н. Сатиров, Д. X. Сатиров, С. Д. Хачкинаев, С. К. Слитинская, Н. Г.Дюргеров, Д. П. Перфильев // Сварочное производство. 2003. №8. - С. 41- 44.

5. Слитинская С.К. Моделирование поля температуры при челночной наплавке на тонкую платину // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Техн. науки. 2003. Приложение №5. - С.59 -68.

6. Efficient process of automatic submerged-arc surfacing / Kh. N Sagirov., D. Kh. Sagirov, S. D. Khachkinaev, S. K. Slitinskaya, N. G Dyurgerov.,, D. P. Perfil'ev // Welding International. 2004. V.18. N.2. - P. 121-123.

7. Дюргеров H. Г., Слитинская С. К. Высокопроизводительная наплавка под флюсом // Эффективные материалы, технологии и оборудование для сварки, плазмы, нанесения покрытий, металлообработки и порошковой металлургии. Тезисы докладов научно - технической конференции. Ростов-на-Дону, 8-10 сентября 2004г.- С. 126-127.

8. Никифоров А. Н., Слитинская С.К. Комбинированный подход к определению температурных полей при наплавке на пластину конечной толщины // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18. Материалы международной научной конференции, посвященной 1000-летию Казани. Казань, 31 мая - 2 июня, 2005г. - С. 43-45.

9. Слитинская С.К. Комплекс программ для расчета температурных полей при сварке и наплавке «TERMOPLATE» //Свид. Отраслевого фонда алгоритмов программ. № 50200501370 от 28.09.05 / Заяв. № 5208 от 22.09.05.

Личный вклад диссертанта в работах, выполненных в соавторстве: [1] - физическая и математическая постановка задачи, построение разностной схемы для модели термически тонкой пластины; [2,3]-настройка свободных параметров двумерной модели по экспериментальным данным, решение задачи о нахождении оптимальных параметров режима челночной наплавки и расчет приведенных в работах графиков; [4,6]-анализ термических условий проведения челночной наплавки пол флюсом, при которых обеспечивается ее качество; [7,8]- разработка комбинированного численно-аналитического алгоритма решения трехмерной задачи и расчет с его помощью полей температуры при наплавке на пластину конечной толщины.

»2380 7

РНБ Русский фонд

2006-4 27903

Слитинская Софья Константиновна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ЧЕЛНОЧНОЙ НАПЛАВКЕ

Автореферат

Подписано в печать 11.11.2005. Формат 60x84 '/и. Бумага офсетная. Ризография. Печ. л. 1. Уч.-изд. л. 1,43. Тираж 150 экз. Заказ 1441.

Типография ЮРГТУ (НПИ) 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132 Тел., факс (863-52) 5-53-03 E-mail: tvpographv@novoch.ni

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ

РЕЖИМОВ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ.

ГЛАВА 2 ЧЕЛНОЧНЫЙ СПОСОБ НАПЛАВКИ КАК ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

2.1. Процесс наплавки и способы его осуществления.

2.2. Условия качественной наплавки челночным способом.

2.3. Геометрия и параметры процесса наплавки.

2.4. Анализ физических процессов при наплавке.

2.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЧЕЛНОЧНОЙ НАПЛАВКИ.

3.1. Общие физические уравнения.

3.2. Тепловая задача для пластины в подвижной системе координат.

3.3. Приближение термически тонкой пластины.

3.4. Метод Фурье или разделения переменных.

3.5. Трехмерный линейный случай.

3.6. Краевые условия для тепловой задачи в конечной области.

3.7. Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМИЧЕСКИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ.

4.1. Разностные схемы для линейной тепловой задачи.

4.2. Каноническая форма сеточного уравнения. Принцип максимума.

4.3. Исследование устойчивости разностной схемы.

4.4. Оптимизация параметров разностной схемы.

4.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДОМ

ТЕМПЕРАТУРНЫХ РЕЖИМОВ В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ.

5.1. Методика расчета температурных полей.

5.2. Задача об оптимизации геометрических параметров копира.

5.3. Настройка моделей по экспериментальным данным.

5.4. Результаты расчетов режимов наплавки.

5.5. Выводы по главе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ.

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Актуальность темы. Восстановление деталей с помощью наплавки и автоматизация этого процесса вызваны постоянно возрастающими требованиями к энерго- и ресурсосбережениям, что является важной государственной задачей. В процессе восстановительной наплавки на поверхность детали наносится расплавленный металл, который близок по составу и свойствам к основному материалу. Наибольшее распространение имеют дуговые способы наплавки, например, для восстановления деталей железнодорожной техники они используются примерно в 75-80 % случаев. При этом электрическая дуга между электродом и поверхностью обеспечивает нагрев детали, а расплавленный электродный металл служит материалом для наплавки. Для расширения возможности автоматизации процесса наплавки предложена принципиально новая технологическая схема челночной наплавки [1, 2], которая позволяет получать наплавляемый слой лучшего качества за существенно меньшее время, но требующая соблюдения определенных температурных режимов. Учитывая это, актуальной становится задача разработки численно-аналитических моделей, позволяющих осуществлять прогноз температурных полей.

Характерные особенности новой технологии заключаются в следующем:

• наплавка осуществляется не отдельными валиками, а вдоль периодической траектории сложной формы; процесс осуществляется непрерывно так, что не требуется ручной установки автомата на начало следующего прохода;

• при челночной наплавке движение электрода происходит с постоянной скоростью по заранее изготовленному копиру, что обеспечивает равномерность наплавляемого слоя (ранее в технологии использовалась наплавка колеблющимся электродом);

• при челночном способе наплавки под флюсом возможно образование сплошной ванны расплавленного шлака между соседними валиками. Это происходит, если при наплавке следующего валика температура между ним и предыдущим не опускается ниже определенного уровня;

• снятие шлаковой корки производится после окончания наплавки серии отдельных валиков, поскольку шлаковая ванна, в отличие от застывшей корки, не мешает горению сварочной дуги;

• при оптимальных условиях обеспечивается устойчивое горение электрической дуги и улучшается растекание металла. В целом это приводит к образованию более ровного наплавляемого слоя, что уменьшает припуск на дальнейшую обработку поверхности.

До появления такой технологии применение автоматической наплавки под флюсом сталкивалось с большими трудностями, так как за время настройки станка на начало следующего прохода шлак успевал застыть, и образовавшуюся корку надо было каждый раз удалять. Следует отметить, что поскольку при этом применяется принципиально новая технология, то и задача моделирования тепловых процессов, которая достаточно полно учитывала бы особенности данной технологии, ранее не рассматривалась. Таким образом, возникает потребность в развитии теоретических моделей челночной наплавки и методов расчета полей температуры с учетом особенностей новой технологии. В первую очередь, это связано со сложным характером траектории движения источника и геометрическими параметрами распределенности его действия, в том числе по толщине пластины.

Вплоть до настоящего времени в сварочном производстве для описания полей температуры был широко распространен подход, основанный на использовании аналитических формул Н.Н. Рыкалина. Однако эти формулы предназначены для случаев неподвижного или движущегося прямолинейно с постоянной скоростью теплового источника и их непосредственное применение для рассматриваемого в диссертации сложного технологического процесса невозможно. Использование других известных в литературе аналитических разработок для моделирования челночной наплавки также требует либо существенного упрощения постановки тепловой задачи, что искажает физическую картину процесса, либо приводит к очень громоздким выражениям, которые практически нереально использовать.

По этим причинам для решения задачи определения термического режима челночной наплавки целесообразно использовать численное моделирование. Кроме того, отдельным актуальным вопросом является разработка алгоритма для последовательного проведения многовариантных расчетов с целью решения задачи по определению оптимальных параметров режима наплавки. Результаты такого моделирования важны в технологии для прогнозирования параметров копира и режимов автомата, при которых наплавка получается качественной, причем крайне важно, чтобы совокупный алгоритм получения таких прогнозов работал достаточно быстро, позволяя оперативно в течение рабочего дня выдавать рекомендации по осуществлению практических работ. Для достижения этой цели, с одной стороны, нужно так упростить постановку задачи, чтобы это не повлияло на необходимую для технологии точность результатов. С другой стороны, актуальным вопросом является выбор адекватных численных методов, обеспечивающих решение задачи за минимальное количество вычислительных операций.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с направлением научно - исследовательских работ кафедры прикладной математики ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» по теме «Теоретические основы моделирования процессов в интеллектуальных электромеханических и электроэнергетических системах», ГР №01200010025, а также в рамках научного направления «Математические основы и применение компьютерных моделей электромагнитных полей и процессов». Внедрение результатов работы осуществлялось в соответствии с планом технико-экономического Совета Северо-Кавказской железной дороги по реализации «Комплексной программы организации ремонта и эксплуатации грузового подвижного состава на период 2001-2010 годы», утвержденном на его заседании № 10 от 20.07.01.

Цель и задачи работы. Диссертационное исследование направлено на совершенствование способов энерго- и ресурсосбережения в сварочном производстве посредством повышения эффективности технологического процесса автоматизированной челночной наплавки, что достигается путем создания моделей и алгоритмов, позволяющих усовершенствовать методику прогнозирования качества наплавки и осуществлять оптимизацию параметров режимов ее проведения. Фактически данная работа направлена на создание интеллектуального сопровождения нового технологического процесса, которое реализовано в виде комплекса программ.

Для достижения этих целей необходимо решить следующие основные задачи:

• разработать физико-математическую модель тепловых процессов, адекватно отражающую специфику челночной наплавки на пластину, а также достаточно точно учитывающую влияние основных факторов на ее конечный результат;

• разработать численно-аналитический метод, сводящий расчет трехмерных тепловых полей в пластине конечной толщины к быстро сходящемуся ряду из решений двумерных задач;

• построить устойчивую разностную схему как дискретный аналог двумерной тепловой модели и провести тестовые расчеты для настройки внутренних параметров компьютерного алгоритма с целью сокращения количества операций;

• реализовать алгоритм расчета решения трехмерной тепловой задачи и настроить не полностью определенные входные технологические параметры по экспериментальным данным;

• сформулировать критерий качественной наплавки и включить его в алгоритм определения оптимальных параметров теплового режима; продемонстрировать возможности алгоритма в реально встречающихся на практике случаях.

Методы исследований. Анализ тепловых процессов при челночной наплавке проводится методом численного эксперимента. При этом модели такого процесса строятся с помощью методов математической физики. Для построения, исследования устойчивости и численного решения сеточных уравнений, которые являются дискретными аналогами исходной задачи, используются методы математической теории разностных схем. Кроме того, для решения имеющихся нелинейных уравнений используются численные методы. Комплекс программ для проведения расчетов на компьютере был разработан на основе языка «Фортран-85».

Обоснованность и достоверность результатов исследований обусловлена:

• строгим математическим обоснованием всех этапов моделирования;

• устойчивостью применяемых для вычислений разностных схем;

• сходимостью алгоритма расчета полей температуры при увеличении сосредоточенности подвижного источника к результатам, получаемым по соответствующим этому предельному случаю аналитическим формулам Н.Н.Рыкалина;

• совпадением с точностью до 5 % экспериментально найденных оптимальных размахов колебаний электрода при челночной наплавке в нескольких случаях с прогнозируемыми значениями, полученным на основе моделирования;

• соответствием всех получаемых результатов физическому смыслу.

Научная новизна результатов исследований характеризуется следующими признаками:

1. Сформулированный критерий проведения автоматизированной наплавки челночным способом под флюсом гарантирует устойчивое горение сварочной дуги, отсутствие отклонения последней от центра траектории перемещения электрода, что обеспечивает нанесение ровного слоя металла.

2. Предложенные физико - математические модели для расчета двумерных и трехмерных полей температуры при челночной наплавке, в отличие от известных, учитывают реальные особенности траектории движения электрода и объемный характер действия источника нагрева. При этом рассмотрение проводится в подвижной системе координат, в которой траектория движения электрода становится циклически замкнутой, что является обобщением по сравнению с традиционной постановкой задачи в неподвижных координатах.

3. Разработан новый комбинированный численно-аналитический метод расчета трехмерных полей температуры при сварочных процессах, отличающийся от известных тем, что используется аналитическое разложение решения в ряд по одной из пространственных координат, позволяя свести решение трехмерной задачи к набору двумерных.

4. Предложен дискретный аналог для двумерного варианта физико-математической модели челночной наплавки на пластину и разработан алгоритм его реализации. Впервые получен критерий устойчивости применяемой разностной схемы в аналитическом виде и проведена оптимизация ее внутренних параметров, что обеспечило высокую эффективность работы компьютерной программы за счет сокращения количества вычислительных операций примерно на два порядка.

5. Предложена методика настройки не измеряемых точно параметров моделей по набору экспериментальных данных. От обычного подхода явного задания параметров она отличается тем, что свободные параметры определяются на основе серии экспериментов путем их подбора с целью наилучшего совпадения результатов.

6. Впервые установлены важные для технологии взаимосвязи между оптимальной амплитудой перемещения электрода по траектории и критической температурой, входящей в критерий качественной наплавки, а также этой амплитудой, толщиной пластины и мощностью источника.

7. Результаты исследований оформлены в виде программного продукта, который отличается тем, что построен на основе теоретического анализа модели челночной наплавки.

Практическая ценность работы. Разработанный программный комплекс может быть использован в сварочном производстве для расчета полей температуры в таких технологических процессах, как сварка, наплавка и термообработка при произвольной траектории перемещения источника нагрева по поверхности пластины. В настоящий момент этот комплекс программ наиболее адаптирован к технологии челночной наплавки. Для этого случая реализована возможность последовательного проведения многовариантных расчетов с целью оптимизации параметров режимов наплавки. Это позволяет:

• резко сократить время на настройку станка и обеспечить его непрерывную работу;

• получать более прочный и ровный наплавленный слой, что уменьшает потери металла при последующей механической обработке.

Результаты моделирования были использованы для выработки рекомендаций по применению технологии челночной наплавки для восстановления поверхностей деталей железнодорожного транспорта, таких как колпак скользуна, фрикционный клин, фрикционная планка, замок автосцепки, замкодержатель автосцепки и ряд других деталей. Результаты этой работы внедрены во многих вагонных депо Северо-Кавказского отделения Российских железных дорог, в частности, на станциях Каменоломни, Батайск, Лихая, Морозовск, Кавказская, Армавир, Краснодар, Прохладная.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель новой технологии челночной наплавки, в которой тепловая задача рассматривается в подвижной системе координат.

Модельное описание распределения нагрева, как в плоскости пластины, так и по ее толщине. Критерий качественной наплавки.

2. Комбинированный численно-аналитический метод решения трехмерной краевой задачи, базирующийся на разложении температуры в ряд по координате, перпендикулярной плоскости пластины. Вывод уравнений для коэффициентов этого разложения, которые по математической структуре совпадают с тепловой задачей для термически тонкой пластины.

3. Разностная схема для решения тепловой задачи в тонкой пластины и анализ условий ее устойчивости, а также оптимизации внутренних параметров этой дискретной задачи.

4. Совокупный алгоритм определения распределения температуры в пластине конечной толщины при челночной наплавке. Настройка модели по эксперименту и результаты расчета в практических случаях.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на: международной научно-технической конференции «Сварка на рубеже веков», Москва, 2003 г.; научно-технической конференции «Эффективные материалы, технологии и оборудование для сварки, плазмы, нанесения покрытий, металлообработки и порошковой металлургии», Ростов-на-Дону, 2004г.; научно-практическом семинаре «Информационные технологии в интеграции науки, образования, производства», Ростов-на-Дону, 2004г.; международной конференции «Математические методы в технике и технологиях МММТ-18», Казань, 2005г. Результаты работы докладывались и получили положительную оценку на кафедрах: «Технология металлов» РГУПС; «Прикладная математика» ЮРГТУ (НПИ); «Математика и информатика» РИФ РГТЭУ.

Публикации. По результатам работы опубликовано 9 научных работ; из них 5 статей, 3 тезиса докладов и зарегистрированная компьютерная программа, причем 2 статьи опубликованы в российских реферируемых журналах, одна в ведущем зарубежном журнале.

Структура диссертации и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения с основными выводами, списка литературы из 127 наименований и приложения. Ее содержание изложено на 165 страницах, проиллюстрировано 3 таблицами и 24 рисунками.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Сформулирован критерий проведения автоматизированной наплавки челночным способом под флюсом, который гарантирует устойчивое горение сварочной дуги, отсутствие отклонения последней от центра траектории перемещения электрода, что обеспечивает нанесение ровного слоя металла. Этот критерий учитывает особенности новой технологии, используется впервые при оптимизации режимов протекания термических процессов и позволяет сократить время наплавки, а также снизить потери металла при дальнейшей абразивной обработке поверхности.

2. Предложены физико-математические модели для расчета двумерных и трехмерных полей температуры при челночной наплавке, которые включают основные физические факторы и, в отличие от известных, учитывают реальные особенности траектории движения электрода и объемный характер действия источника нагрева. Рассмотрение движения электрода проводится в подвижной системе координат, в которой траектория движения электрода становится циклически замкнутой, что является обобщением по сравнению с традиционной постановкой задачи в неподвижных координатах. Использование моделей позволяет эффективно проводить комплексный анализ челночной наплавки и научно обоснованно выбирать ее режимы.

3. Разработан новый комбинированный численно-аналитический метод расчета трехмерных полей температуры при сварочных процессах, отличающийся от известных тем, что используется аналитическое разложение решения в ряд по одной из пространственных координат, позволяя свести решение трехмерной задачи к набору двумерных. Такой подход можно рассматривать как внесение поправок к основному приближению, совпадающему по структуре с моделью для тонкой пластины, что обеспечивает удобную для практического использования интерпретацию результатов.

4. Предложен дискретный аналог для двумерного варианта физико-математической модели челночной наплавки на пластину и разработан алгоритм его реализации. Впервые получен критерий устойчивости применяемой разностной схемы в аналитическом виде и проведена оптимизация ее внутренних параметров, что обеспечило высокую эффективность работы компьютерной программы за счет сокращения количества вычислительных операций примерно на два порядка. Это позволяет в реальном масштабе времени проводить многовариантные вычисления, осуществлять параметрическую и режимную оптимизацию.

5. Предложена методика настройки не измеряемых точно параметров моделей по набору экспериментальных данных. От обычного подхода явного задания параметров она отличается тем, что свободные параметры определяются на основе серии экспериментов путем подбора с целью наилучшего совпадения результатов. Это позволило восполнить недостающие или недостаточно изученные физические факторы, например, касающиеся флюса. В итоге обеспечено хорошее согласование теоретических расчетов с экспериментальными данными (расхождение не превышает 5 %).

6. Впервые установлены важные для технологии наплавки взаимосвязи между оптимальной амплитудой перемещения электрода по траектории и критической температурой, входящей в критерий качественной наплавки, а также этой амплитудой, толщиной пластины и мощностью источника. Для этого был реализован оригинальный алгоритм автоматического определения оптимальных параметров копира в различных случаях, что позволяет заранее выработать разнарядки по геометрическим параметрам копира и скорости перемещения источника.

7. Результаты исследований оформлены в виде программного продукта, который отличается от существующих тем, что построен на основе теоретического анализа модели челночной наплавки. Компьютерная программа (на которую получено свидетельство о регистрации в ОФАП № 50200501370 от 28.09.05) может иметь широкое применение для расчета тепловых процессов при сварке, наплавке, термообработке, поскольку в ней реализован эффективный алгоритм расчета трехмерных полей температуры. С помощью расчетов по этой программе даны рекомендации по выбору параметров режима челночной наплавки, которые внедрены во многих вагонных депо СевероКавказской железной дороги. Экономический эффект от внедрения только за 2003 год составил 1,5 млн. рублей.

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Геометрические параметры h, см - шаг наплавки

А, см-размах колебаний при челночной наплавке

Атах, см - оптимальный размах колебаний

Z, см - длина одного цикла траектории движения электрода

V, см/с - скорость движения электрода. По умолчанию значение 0,55 см/с, что в технических единицах соответствует 20 м/час Vx=2h V/L, см/с — средняя скорость перемещения электрода вдоль оси X /, см - толщина пластины /*, см - средняя толщина наплавляемого слоя ge, см - высота валика наплавки ев, см - ширина валика еп, см - ширина перекрытия валиков при наплавке л

SH, см - площадь поперечного сечения (валика)

Snp, см2- площадь поперечного сечения проплавленного металла

Физические переменные: t, с - время

X, Y, Z; см - координаты в неподвижной системе X, Y*;cm- координаты центра электрода в неподвижной системе х, у, z; см - координаты в подвижной системе х*, у*; см- координаты центра электрода в подвижной системе г, см - расстояние в плоскости от точки до центра источника R, см - расстояние в плоскости от точки до центра подвижной системы координат

Т, °С - температура

W, Дж/м3 - энергосодержание единицы объема У

Ф, Bm/м - вектор потока тепла

G, Вт/м3 - функция распределения нагрева по объему пластины

Физико-технические характеристики: их значения для линейной задачи даны в скобках)

3 3 р, кг/м - плотность металла (7.6-10 ) ср, Дж/(м3 -К) - объемная теплоемкость (6.24-106)

Л, Вт/(м -К) - коэффициент теплопроводности среды (40)

D =Л /(ср), м2/с - коэффициент температуропроводности (0.051 ■ 10"4) а, Вт/(м -К) - коэффициент теплоотдачи с поверхности (100)

Р=а//1, см'1 - коэффициент температуроотдачи с поверхности (2.5)

В = 2а/(ср1), с1 - коэффициент в уравнении для тонкой пластины

U, В-напряжение источника (24)

I, А- ток источника (500)

P=UI, Вт - полная мощность источника (10500)

77 - к.п.д тепловложения

Pj=7jP, Вт- полная мощность нагрева пластины к^ - коэффициент пропорциональности между током / и скоростью поступления электродного метала

4.17-10"6 кг/(Ахчас); в технических единицах 15 г/(Ахчас) ) к, см' - коэффициент сосредоточенности источника в плоскости пластины dfj, см- диаметр пятна нагрева (связан с к)

ТК, °С-значение критической температуры для качественной наплавки (1100) Техt, °с - температура окружающей среды (0)

Параметры разложения трехмерной линейной задачи п - номер моды разложения температуры по толщине (п=0,1,2,.) vF„(z)=cos(<y„z - (рп) - базисные функции, по которым разлагается решение трехмерной задачи. рп , м'1- коэффициенты разложения в ряд по функциям ^„(z) нормированного распределения вложения тепла по толщине пластины Wn(t,x,y), Дж/м3 - коэффициенты разложения распределения энергосодержания T„(t,x,y), К- коэффициенты разложения распределения температуры

Bn=o)nD,с - коэффициенты в уравнениях для Wn или Тп

Параметры дискретной задачи т, с- шаг по времени тах, с- максимально допустимый шаг по времени т - номер временного слоя (т=0,1,2,.) 5,\ см - шаг пространственной сетки ц- вес, который определяет аппроксимацию оператора Лапласа а, Ъ, d; см- определяют размеры конечной прямоугольной области Q в плоскости пластины с границей Г у, см1 - коэффициент в граничных условиях третьего рода на границе Г Na, Nb - пределы изменения индекса i, так что -Na <i <Щ Nd, -предел изменения индекса j, так что -Nj <j <Nd хь yj; см - координаты узлов сетки в области Q u™j - значений сеточной функции

1. Эффективный процесс автоматической наплавки под флюсом / Х.Н. Сатиров, Д. X. Сагиров, С. Д. Хачкинаев, С. К. Слитинская, Н. Г. Дюргеров, Д. П. Перфильев // Сварочное производство. 2003. №8. С. 41- 44.

2. Efficient process of automatic submerged-arc surfacing / Kh. N Sagirov., D. Kh. Sagirov, S. D. Khachkinaev, S. K. Slitinskaya, N. G Dyurgerov, D. P. Perfil'ev // Welding International. 2004. V.18. N.2. P. 121-123.

3. Дюргеров Н. Г., Хачкинаев С. Д. Совершенствование наплавки деталей подвижного состава железных дорог // Материалы Всероссийской научно технической конференции (70-летие МЭИ). Сб. докладов. М. 2000. - С. 119120.

4. Сагиров X. Н., Дюргеров Н. Г., Белявский В. Н. Механизированная наплавка поверхностей сложной формы с помощью копировальных систем // Сварочное производство. 1999. № 9. С. 31-33.

5. Махненко В. И. Расчет параметров режима наплавки массивных деталей колеблющимся электродом // Сварочное производство, 1966. №5. С. 3-7.

6. Определение тепловых полей при сварке колеблющимся электронным пучком / А. В. Башкатов, В. С. Постников, Ф. Н. Рыжков и др. //Физика и химия обработки материалов. 1972. №2. С. 23-29.

7. Домбровский Ю. М. Постановка тепловой задачи нагрева сканируемой плазменной дугой // Сварные конструкции и технология их изготовления. -Ростов-на-Дону: Издат. центр ДГТУ, 1998. С. 36-43.

8. Домбровский Ю. М. Расчет температурных полей в стали при нагреве сканируемой плазменной дугой // Сварные конструкции и технология их изготовления. Ростов-на-Дону: Издат. центр ДГТУ, 1998. - С. 81-85.

9. П.Волченко В. Н., Ямпольский В. Н., Винокуров В. А., Фролов В. В. и др. Теория сварочных процессов. М: Высшая школа, 1988, - 560 с.

10. Автоматическая электродуговая сварка / Под ред. Е. О. Патона. М.-К.: Машгиз, 1953. -393 с.

11. З.Акулов А. И., Бельчук Г. А., Демянцевич В. П. Технология и оборудование сварки плавлением. М.: Машиностроение, 1977. - 432 с.

12. Каменский В. К. Особенности и некоторые технологические характеристики процессов электрошлаковой наплавки электродной лентой // Автоматическая сварка. 1999. № 3. С. 16-21.

13. Кравцов Т. Г. Электродуговая наплавка электродной лентой. М.: Машиностроение, 1978. - 167 с.

14. Кусков Ю. М. Электрошлаковая наплавка: достижения и перспективы // Сварочное производство. 1999 № 10. С 32-36.

15. Ленивкин В. А., Дюргеров Н. Г., Сатаров X. Н. Технологические свойства сварочной дуги в защитных газах. М.: Машиностроение, 1989. 264 с.

16. Лесков Г. И. Электрическая сварочная дуга. М.: Машиностроение, 1970.-335 с.

17. Петров Г. Л., Тумарев А. С. Теория сварочных процессов. М.: Высшая школа, 1967. - 508 с.

18. Сагиров X. Н., Дюргеров Н. Г., Морозкин И. С. Зажигание сварочной дуги. Ростов-на-Дону: Гефест, 1999. - 200 с.

19. Дюргеров Н. Г. Технологические свойства сварочной дуги // Сварные конструкции и технология их изготовления. — Ростов-на-Дону: Издат. центр ДГТУ, 1998.-С. 19-22.

20. Сварка и свариваемые материалы. Справочник в 3-х томах под общей редакцией В. Н. Волченко. т.2. Технология и оборудование. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. 573 с.

21. Сварочные материалы для дуговой сварки. Т.1. Под ред. Н. Н. Потапова. М.: Машиностроение, 1989. 543 с.

22. Сидоров А. И. Восстановление деталей машин напылением и наплавкой. М.: Машиностроение, 1987. 189 с.

23. Технология электрической сварки металлов и сплавов плавлением. / Под ред. Б. Е. Патона. М.: Машиностроение, 1974. 768 с.

24. Фролов В. В., Винокуров В. А., Волченко В. Н., Парахин В. А., Арутюнова И. А. Теоретические основы сварки. М.: Высшая школа, 1970. 592 с.

25. Фрумин И. И. Автоматическая электродуговая наплавка. Харьков: Ме-таллургиздат, 1961.-421 с.

26. Хасуп А., Мориган О. Наплавка и напыление. М.: Машиностроение, 1985.-240 с.

27. Подгаецкий В. В., Кузьменко В. Г. Сварочные шлаки. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1988. -155 с.

28. Подгаецкий В. В. Сварочные шлаки. Киев: Наукова думка, 1964. -75 с.

29. Хренов К. К., Назаров С.Т. Автоматическая дуговая электросварка. М.: Машгиз, 1949. 273 с.

30. Прохоров Н. Н. Физические процессы в металлах при сварке. T.l М.: Металлургия, 1968. 696 с.

31. Прохоров Н. Н. Физические процессы в металлах при сварке. Т.2 М.: Металлургия, 1976. 600 с.

32. Резников А. Н., Резников JI. А. Тепловые процессы в технологических системах. М.: Машиностроение, 1990. 288 с.

33. Рыкалин Н. Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. М., Машгиз, 1951.-296 с.

34. Соколов Ю. Н. Температурные расчеты в станкостроении. М.: Машиностроение, 1968. 77 с.

35. Алферов В. И., Соколов Ю. Н. Теплообмен деталей станков с воздухом цеха // Станки и инструмент. 1968. №9. С. 10-11.

36. Федосеев О. Б. О переходных процессах при разрушении поверхности тела потоком тепла // Физика и химия обработки металлов. 1985. №1.- С. 47-50.

37. Некрасов С. А. Математическое моделирование процессов тепло- мас-со- и электропереноса в коммутационной и электроразрядной аппаратуре. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ. мат. наук. Новочеркасск. 1992.- 181 с.

38. Некрасов С. А. Интегральные уравнения задачи Стефана // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. № 6. С. 1-8.

39. Будак Б. М., Москал М. Б. О классическом решении 1-й краевой задачи Стефана для многомерного уравнения теплопроводности в координатном параллелепипеде // Труды вычислительного центра МГУ. Москва, 1971. С. 87 -114.

40. Кархин В. А., Ильин А. С., Плошихин В. В. Решение обратной задачи теплопроводности с учетом теплоты плавления и кристаллизации // Сварочное производство. 2003. №7. С. 3-6.

41. Кархин В. А., Ильин А. С., Плошихин В. В., Приходоковский А. А. Влияние теплоты плавления и кристаллизации на термический кпд процесса проплавления // Сварочное производство. 2004. №10. С. 3-8.

42. Лариков Н. Н. Теплотехника. М.: Стройиздат, 1985. 432 с.

43. Исаев С. И, Кожинов И. А., Кофанов В. И. и др. Теория тепломассообмена. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 684 с.

44. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел / Пер. с англ. под ред. А. А. Померанцева. М.: Наука, 1964. 488 с.

45. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967. 600 с.

46. Милютин В. С., Короткое В. А. Источники питания для сварки. Челябинск: Металлургия Урала, 1999. 367 с.

47. Поляков С. П., Буланый П. Ф. Плотность тока и потока энергии на анодном пятне аргоновой и азотной дуг. // Теплофизика высоких температур. Т.21. Вып. 2. 1983. С. 246 - 248.

48. Базаров И. П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1991. - 376 с.

49. Полторак О. М. Термодинамика в физической химии. М.: Высшая школа, 1991.-320 с.

50. Техническая термодинамика / Под ред. В. И. Крутова. М.: Высшая школа, 1991.-384 с.

51. Кириллин В. А., Сычев В. В., Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика. М.: Энергоатомиздат, 1983.-416 с.

52. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том V. Статистическая физика. М.: Наука, 1976. 584 с.

53. Печенегов Ю. Я. Математическое моделирование и расчет тепло- и массообменных процессов в инженерных задачах. Саратов: Сарат. гос. техн. унт, 1994.-85 с.

54. Бахвалов Ю.А. и др. Моделирование электромеханической системы электровоза с асинхронным тяговым приводом / Ю. А. Бахвалов, А. А. Зарифь-ян, В. Н. Кашников, П. Г. Колпахчьян, Е. М. Плохов, В. П. Янов. М.: Транспорт, 2001.-288 с.

55. Тихонов А. Н., Кальнер В. Д., Гласко В. Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. 262 с.

56. Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем. Минск: ДизайнПРО, 1997. 640 с.

57. Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование. М.: Эдиториал УРСС, 2001.- 144 с.

58. Попырин JI. С. Математическое моделирование и оптимизация теплоэнергетических установок. М.: Энергия, 1978. 416 с.

59. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1968.355 с.

60. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи и методы. Примеры. М.: Физматлит, 2002. 320 с.бЗ.Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели термомеханики. М.: Физматлит, 2002. 168 с.

61. Дюргеров Н. Г., Слитинская С. К. Численное моделирование двумерных полей температуры при наплавке в приближении тонкой пластины // Вестник РГУПС. 2002. №1. С. 22-26.

62. Слитинская С. К. Моделирование поля температуры при челночной наплавке на тонкую пластину // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Техн. науки. 2003. Приложение №5. С.59 - 68.

63. Павлов А. Р. Математическое моделирование процессов тепломассо-переноса и температурных деформаций в строительных материалах при фазовых переходах. Новосибирск: Наука, 2001. 176 с.

64. Вабишевич П. Н. Численное моделирование. М.: Изд-во МГУ, 1993.152 с.

65. Трудоношин В. А., Пивоварова Н. В. Математические модели технических объектов // Системы автоматизированного проектирования / Под ред. И. П. Норенкова. Кн. 4. М: Высш. шк., 1986. 160 с.

66. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.72.3арубин В. С. Расчет и оптимизация термоизоляции. М.: Энергоатомиздат, 1991.- 192 с.

67. Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. -264 с.

68. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. М.: Наука, 1994.-192 с.

69. Никитенко О. Б. Трехмерная модель температуры в водоеме // Математическое моделирование, 2001. Т. 13. № 3. С. 77 - 84.

70. Муратова Г.В., Крукиер J1.A., Никитенко О.Б. Постановка задачи о моделировании температурного режима в мелких водоемах. // Вычислительные технологии. Новосибирск, 1995. Т.4. №11. С. 184-190.

71. Никифоров А.Н., Паутова Н.А. Численное моделирование сопряженного конвективного теплообмена в каналах // Изв. вузов. Электромеханика. 1998. № 1.-С. 21-25.

72. Исследование нестационарного температурного поля биологического объекта / А. Н. Никифоров, Е.И. Фандеев, Т. Ю. Горбаенко, В. Г. Ушаков, П. Ф. Тришечкин, С. В. Гветатадзе // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Техн. Науки. 1999. №4.-С. 56-61.

73. Волынский Б.А., Бухман В.Е. Модели для решения краевых задач. М.: Физматгиз, 1960.-451 с.

74. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. Ч. 1. -М.: Высшая школа, 1982. 327 с.

75. Румянцев А. В. Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. Калининград: КГУ, 1997. 99 с.

76. Карташов Э. М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., 1985. 480 с.

77. Жоголев В. Е., Романов Ю. Г. Определение прогрева пластины движущимся источником с учетом теплоотдачи // Инженерно физический журнал. 1990. Т.59. №2. - С. 321.

78. Самарский А. А. Теория разностных схем. М: Наука, 1989. 616 с.

79. Самарский А. Н. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.272 с.

80. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975. - 632 с.

81. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

82. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. -536 с.

83. Яненко Н. Н. Введение в разностные методы математической физики. Новосибирск: НГУ, 1968. 387 с.

84. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979. 319 с.

85. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко В.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986. 279 с.

86. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. Пер. с англ. М.: Мир, 1972. 418 с.

87. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1973.-400 с.

88. Марчук Г. И., Агапков В. И. Введение в проекционно сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

89. Сегерлинд JL Применение метода конечных элементов. / Перевод с англ. М.: Мир, 1979. 392 с.

90. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Редакторы Дж. Холл и Дж. Уатт / Перевод с англ. М.: Мир, 1979.-312 с.

91. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 318 с.

92. Михлин С. Г. Вариационные методы математической физики. М.: Наука,. 1979.-512 с.

93. Дегтярёв Е. И. Расчет нестационарной нелинейной трехмерной задачи теплопроводности методом конечных элементов при непрерывном лазерном нагреве // Инженерно-физический журнал. 2003. Т.76. № 6. С. 156-161.

94. Алыпина Е. А., Калиткин Н. Н., Панченко С. JI. Численное решение краевых задач в неограниченной области Математическое моделирование, 2002. Т. 14. № 11.-С. 10-22.

95. Сафонов И. JI. Точные искусственные граничные условия для некоторых задач аэродинамики и дифракции. Автореферат докт. дис. М.: ИММ РАН, 1999.

96. Ахмеров P.P. Основы численного анализа в задачах. Новосибирск: Новосиб. ун-т. 1994. 96 с.

97. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 296 с.

98. Валях Е. Последовательно-параллельные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1985.-456 с.

99. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров / Пер. с англ. под ред. Р. С. Гутера. М.: Наука, 1972. 400 с.

100. Мудров А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «Раско», 1971. 272 с.

101. Михлин С. Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. Л.: ЛГУ, 1988.-333 с.

102. Вопросы синтеза программ. (Разработка информационных систем) / Под ред. Э. 3. Любинского. М.: Мир, 1986. 318 с.

103. Карпов В. Я., Карягин Д. А., Самарский А. А. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики // ЖВМ и МФ, 1978. Т. 18. №2.-С. 458-467.

104. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

105. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 391 с.

106. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. -736 с.

107. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. - 384 с.

108. Юдович В. И. Лекции об уравнениях математической физики. Часть

109. Ростов-на-Дону: РГУ, 1998. 240 с.

110. Юдович В. И. Лекции об уравнениях математической физики. Часть

111. Ростов-на-Дону: РГУ, 1999. 256 с.

112. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.-403 с.

113. Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Физматгиз, 1961. 303 с.

114. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

115. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.-752 с.

116. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

117. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука. 1965. 520 с.

118. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

119. Физические величины: Справочник / Под. ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

120. Слитинская С.К. Комплекс программ для расчета температурных полей при сварке и наплавке «TERMOPLATE» // Свид. Отраслевого фонда алгоритмов программ. № 50200501370 от 28.09.05 / Заяв. № 5208 от 22.09.05.

121. Улановский В. П., Хованский Г. С. Интерполирование табличных функций многих переменных. М.: ВЦ АНСССР, 1963. -76 с.