автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Бифуркационный анализ несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристаллов

На правах рукописи

Л

Колесникова Инна Викторовна

Бифуркационный анализ несоизмеримых

сегнетоэлектрических фаз кристаллов (в феноменологической модели Ландау)

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 ОКТ ?лпо

ВОРОНЕЖ - 2009

003480300

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Воронежского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Сайко Дмитрий Сергеевич

Ведущая организация: Вологодский государственный технический

университет

Защита состоится "11" ноября 2009 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, ВГУ, математический факультет, Университетская пл., 1, ауд. 436.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " £ " октября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.20 кандидат физ.-мат. наук, доцент Провоторов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Описание фазовых переходов на основе феноменологической модели Л.Д. Ландау 1 2 3 4 5, включая поиск несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристаллов, в ряде случаев можно представить в виде математической задачи о периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера -Лагранжа экстремалей функционалов энергии). Нелинейности дифференциальных уравнений задаются термодинамическими потенциалами, алгебраические строения которых определяются как на основе опытных данных, так и на основе общих теоретических соображений 4' 5.

В диссертации рассмотрен класс кристаллов, сегнетоэлектрические фазы которых описываются моделью, учитывающей неоднородность вдоль одной из осей координат. Рассмотрен функционал энергии в виде

2тг

d2w 2 dw

dz2 — X dz

+ Щи;) dz

где х — физическая константа, w = (wi,..., и>п)т — параметр порядка, п < 3. Функционал V рассматривается на пространстве 27г—периодических функций класса С4 (со значениями в Ж").

Анализ бифуркационных эффектов осуществлен посредством метода Ляпунова-Шмидта, сводящего анализ функционала к анализу ключевой функции (от двух и более ключевых переменных)6

W{£,S)= М V(w,S),

w: (w,ek)=£k .

С = 5= (¿1,..., 6т), где ек — мода бифуркации.

1Иона Ф., Ширане Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. — М.: Мир. 1965. — 555 с.

2Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. — Москва, Наг ука. 1984. - 247 с.

3Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А., Крайиик H.H., Пасынков P.E., Шур М.С. Сегпето-электрики и антисегнетоэлектрики. Л.: Наука, 1971. - 476 с.

4Толсдапо Ж.-К., Толедапо П. Теория Ландау фазовых переходов. М.: Мир. 1994. - 461 с.

5Монастырский М.И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. - М.: ПАИМС, 1995. - 478 с.

6Красносельский М.А., Бобылев H.A., Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// ДАН СССР. — 1978. Т. 240, N 3. - С. 530-533.

Для выяснения взаимных примыканий стабильных и метастабильных фаз, а также для выяснения порядка фазовых переходов необходимо вычислять не только точки локальных и глобальных минимумов функционала энергии, но и седловые точки. Более того, требуется информация о структуре фазового портрета динамической системы w — — grad V(w)

2тг

(градиент задан в скалярном произведении (р, q) := ^ f(p,q)dz). Если

О

известна ключевая функция W, то эта структура определяется фазовым портретом функции W (или, более точно, фазовым портретом градиентной динамической системы £ = — gradW(£)).

В целом, задача изучения ветвления экстремалей гладкого функционала V (с параметрами) вблизи точки минимума, имеющей многомерное вырождение, представляет как теоретический интерес, так и прикладной. Эта задача тесно связана с анализом многомодовых бифуркаций решений краевых задач, с изучением закритических прогибов упругих систем, с нелинейными волновыми процессами 7 и т.д.

В работах других авторов наиболее близкие к теме диссертации результаты ранее были получены Б.М. Даринским, A.A. Дьяченко, А.П. Лазаревым и М.Н. Чаплыгиным 8 9.

В диссертации представлены результаты исследований бифурцирую-щих несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристалла. Изложение дано в виде решения задачи о бифуркации экстремалей функционала энергии вблизи точки минимума с особенностью 6-го порядка при условии симметрии квадрата (для двумерной особенности) и куба (для трехмерной особенности). Основные результаты получены на основе редукции к ключевой функции на М2 и IR3 посредством модифицированной вариационной версии метода Ляпунова-Шмидта 10 с использованием вто-

7Дарипский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев C.JI. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т.12. 2004. С.З-140.

8Даринский Б.М., Дьяченко A.A., Сапронов Ю.И., Чаплыгин М.Н. Фазовые переходы в доменных границах ферроиков// Известия РАН. Сер.: физическая. 2004. Т.68, N 7. — С.920-926.

9Даринский Б.М., Дьяченко A.A., Лазарев А.П. Топологический метод исследования в термодинамике сегпетоэлектриков// Известия РАН. Сер.: физическая. 2007. Т.71, N 10. - С.1388—1391.

10Красносельский М.А., Бобылев H.A., Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функциопалов классического вариационного исчисления// ДАН СССР. —1978. Т. 240, N 3. - С. 530-533.

ричных редукций 11 и теорем теории особенностей гладких функций 12.

Цель работы и основные задачи. Основные теоретические положения данной диссертации допускают абстрактную формулировку в терминах вариационного фредгольмова уравнения с симметрией, рассмотренного вблизи (порождающей) особой точки с многомерным вырождением. Центральная конструкция диссертации — сведение (редукция) задачи об изучении решений исходного уравнения к аналогичной задаче для конечномерного алгебраического уравнения (ключевого уравнения) с его последующим качественно-численным анализом. Цель работы — реализация центральной конструктивной идеи в задаче о 2- и 3-модовых ветвлениях несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристаллов. К главным составляющим этой задачи отнесены: 1) описание алгебраического строения главной части ключевой функции, 2) описание геометрического строения каустики Е (дискриминантного множества уравнения Эйлера-Лагранжа), соответствующей функционалу энергии в модели кристалла с двумя и тремя параметрами порядка, 3) описание раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 4) приближенное построение амплитуд ветвей бифурцирующих фаз.

В случае mm—особенности с генотипом многомерной сборки (однородной особенности четвертого порядка) вычисление главной части ключевой функции осуществляется либо на основе прямой ритцевской аппроксимации функционала по совокупности мод бифуркации, либо, в более сложных случаях, на основе формулы ортопроектора на корневое подпространство второго дифференциала функционала 13. На этом пути ранее было исследовано ветвление экстремалей вблизи min-особенности с генотипом 2-мерной сборки (Д.В. Костин), и частично исследован случай 3-мерной сборки (Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, A.B. Гнездилов, A.B. Зачепа).

пБелых Ф.А., Зачепа A.B., Сапронов Ю.И. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, выл 1. Воронеж: ВГУ, 2005. — С.18-33.

12Арнольд В.И., Варчецко А.Н., Гуссйп-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982. - 304 с.

13Косгин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки// ДАН, 2008, т. 418, № 3. - С.295-299.

Большинство известных исследований бифуркаций экстремалей в точках минимума с особенностью многомерной сборки опираются на нормальные формы таких особенностей, общий вид которых указан (в комплексном случае) в теории однородных и квазиоднородных особенностей 3. В вещественном случае алгебраическое строение нормальных форм сохраняется (по сравнению с комплексным случаем), но приводимость к нормальной форме менее очевидна. В этой связи представляет интерес построение алгоритмов нормализции квартичных форм.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертаг ции использованы методы теории диференциальных уравнений, функционального анализа, теории бифуркаций решений нелинейных уравнений, современного анализа гладких функций и компьютерной графики на основе символьного программирования. Методологическая основа диссертации — схема Ляпунова-Шмидта, рассмотренная в рамках общей теории гладких вариационных уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах), оснащенная элементами теории особенностей гладких функций. В случае особенности шестого порядка вычисление главной части ключевой функции в диссертации осуществлено посредством нелинейной ритцевской аппроксимации.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработан алгоритм нормализации (приведения к нормальным формам) квартичных форм двух и трех переменных.

2. Дано описание алгебраического строения главных частей ключевых функций для функционалов энергии в моделях кристаллов с двумя и тремя параметрами порядка.

3. Осуществлен бифуркационный анализ симметричных (с симметрией квадрата) ключевых функций двух переменных с главной частью в виде полинома шестой степени: описаны линии уровня, характер, количества, расположения и взаимные примыкания критических точек. Частично изучено строение ключевых функций трех переменных с главной частью в виде симметричного (с симметрией куба) полинома шестой степени.

4. Получена параметризация каустик (в случаях симметрии квадрата

и куба). Приведены асимптотические формулы амплитуд бифурцирую-щих модулированных сегнетоэлектрических фаз кристаллов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснован ние методу фредгольмовых уравнений в анализе ветвления сегнетоэлектрических фаз кристаллов. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежских зимних математических школах (2007, 2009 гг.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения" (2009 г.), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ, на семинаре по качественному анализу краевых задач (ВГУ, рук. — проф. Ю.В. Покорный), на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук.

— проф. В.А. Костин) и на семинаре по теории кристаллов (ВГУ, рук.

— проф. Б.М. Даринский).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 работах. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту. Списку ВАК соответствуют работы [1], [2].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 77 наименований. Общий объем диссертации — 130 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (24 рисунка), выполненной в вычислительно - программном комплексе Мар1е.

Краткое содержание работы

В первой главе изложены основы бифуркационного анализа вариационных фредгольмовых уравнений, дано краткое описание необходимых элементов теории фредгольмовых уравнений и теории особенностей гладких функций. Приведены примыкающие результаты исследований других авторов.

Во второй главе изложен алгоритм приведения к нормальной форме главной части ключевой функции в точке минимума с особенностью трехмерной сборки.

Гладкая функция \¥ на пространстве К3 имеет, по определению, в критической точке а € М особенность 3—мерной сборки, если в некоторой локальной системе координат с центром в точке а функция \¥ допускает представление в виде ]Г) + о([|£||4) с условием,

что начало координат в С3 является изолированной стационарной точкой для комплексного продолжения квартичной части этой функции. Случай тт—особенности означает строгую минимальность нулевого значения полинома Из теории комплексных нормальных форм полуквазиоднородных особенностей известно, что для особенности типа 3—мерной сборки можно подобрать такие локальные координаты (в комплексном случае), в которых ключевая функция приобретет следующий вид:

№,6,6) = Л + С1 + с2 + сз Шг + (1 + 64+

+£з + <*1 && + «2 6262 + «3 ££ + Ьг Й66 + Ъ2 6Й6 + ъ3 Ш1

где {а,, Ъ], с} — фиксированный набор коэффициентов. Нормальная форма версальной развертки для этой особенности имеет следующий вид:

^(6,6,6) = 662£з +^2 626Сз+сз Ф&гКгКа+Й+О! &1+

+а2 6262 + «з + Ъх Шз + Ъ2 + Ь3 6662+

+А,2 626 + /?2,1 6Й + А,3 Й6 + Ад 662 + /?2,3 626 + А,2 6Сз2 + 7 666+ +¿1 б2 + <Ь £2 + ¿з & + £1,266 + £1,з66 + £2,366 + 91 6 + 92 6 + 41 6, где {а;, Ь}, с¿, еу, 7, — параметры деформации.

В случае четной особенности нужно отбросить все мономы нечетной степени.

Существуют два типа (йг)2—симметрии трехмерной сборки, связанные с действиями группы (2у2 (в соответствующих координатах), порожденных парами инволюций

:

6 \6/

->

6

V б у

(<Л

6 ^6

( 6 \ -6 V б )

Нл 6

V & )

/еЛ

Для каждого из этих типов симметрии имеется своя нормальная форма версальной деформации. Предложенный в диссертации алгоритм позволяет находить эти формы.

В третьей главе описан подход к изучению бифуркаций несоизмеримых (модулированных) сегнетоэлектрических фаз кристалла в случае модели с двухкомпонентным параметром порядка. Рассмотрен термодинамический потенциал

П = |гу|6 + 7 |ш|4 + а + р |гу|2 + /3 , ги := {гю\, и>2)т.

Несоизмеримые сегнетоэлектрические фазы, соответствующие экстрема^ лям функционала действия при условиях и>(г + 27т) = определяются операторным уравнением /(ю) = 0, где

. д^ю д2ги ,.

Исследование этого уравнения проведено методом конечномерной редукции — переходом к ключевой функции := ш£ У(и'), где

У(ю) — функционал энергии, д(и>) = (дх(ю),... ,дп(ю)) — некоторый набор линейных функционалов (ключевых параметров). Показано, что при некоторой локализации параметров и подходящем выборе ключевых параметров (в редуцирующей схеме Ляпунова - Шмидта) ключевая функция допускает представление в виде

(Я+з+й+зт + +йг + б($+е2+е3+й) +

+ 41 (66 + ш2 + 42 (66 - Ш2 +

+ (Р1 (66+ш2+Р2 (ш - ШЖ+£ + е32+б2) + о(|е18)-

Описана методика вычисления критических точек ключевой функции, основанная на введении двух систем полярных координат (в плоскости первой и второй ключевых координат и, соответственно, в плоскости третьей и четвертой ключевых координат) с дальнейшей (вторичной) редукцией к функции двух радиальных переменных.

В итоге возникает задача исследования главной части вторично редуцированной ключевой функции (теоремы 5, 6), имеющей следующий вид: Ш = о"1 + е а\ + 8 о\ +р + 7 а2.

В полярных координатах = г соэ((/?), т2 = гзт(^) получим

~4

01 = Г

а2 = _(1 _ ссй(4^))

И ЦТ = г6 + е г4 + 5 г2 + у (р г2( 1 - соз(4^)) + 7 (1 - сов(4^))).

Множество критических точек является пересечением кривых М\ и М2, определяемых уравнениями ^ = 0 (кривая радиально стацинарных точек) и = 0 (кривая тангенциально стацинарных точек).

В этой же главе дано описание кривых М\,М2 и их метаморфоз, вызванных изменением параметров. С помощью этих кривых изучены взаимные примыкания раскладов бифурцирующих критических точек. Пересечениям М\ П М2 соответствуют определенные типы линий уровня ключевой функции и их перестроек (при переходе параметров через каустику), по которым легко проследить взаимные примыкания Ьг/—раскладов.

В диссертации установлено, что симметричные 6г/—расклады критических точек функции IV исчерпываются следующим списком целочисленных векторов:

(9,12,4), (5,12,8), (5,8,4), (8,8,1), (4,4,1), (1,4,4), (5,4,0), (1,0,0).

Компонента 4 вектора равна количеству критических точек

индекса к.

Им соответствуют, с точностью до поворота на угол 7г/4, следующие графы (комплексы Морса):

В третьей главе сформулирован ряд теорем о структурных запретах для раскладов бифурцирующих фаз.

Теорема 7. Если W — развертка min—особенности шестого порядка, тор> —4.

Из формулы Эйлера следует, что для максимального расклада h = 12, l0 + h = 13.

Теорема 8. Если С — максимальный bif—расклад для min—особенности шестого порядка, то для соответствующей возмущенной функции W начало координат является точкой локального минимума.

Теорема 9. Если С. — bif—расклад для min—особенности шестого порядка, то на каждой из полуосей кооординат и на диагональных полуосях существует не более двух ненулевых критических точек.

Если на одной из этих (восьми) полуосей имеется пара ненулевых критических точек, то эти точки разнотипны (с различными значениями индекса Морса).

Теорема 10. Если С — максимальный bif—расклад для min—особенности шестого порядка, то 1о>5 и h > 4.

Теорема 11. Если С — произвольный bif—расклад, то 12 < 8.

Теорема 12. Если С — максимальный bif—расклад, то вне диагональных и координатных осей находятся лишь седловые критические точки (8 точек).

Здесь же использован переход к функции в координатном угле: функция £2) = f?&1+6 сгу+р <7i02+7 °2 после замены ^ = щ, = т]2 превращается в многочлен и(щ, ^2) = sf + е s2 + 6 Si +р S1S2 + 7 S2, Si = f]i + г]2, S2 = ЩЩ, представляющий собой развертку омбилической особенности.

Областью определения этой функции служит угловой сектор щ > О, 7)2 > 0. Данная развертка является миниверсальной в вершине (начат ле координат) угловой области. Список раскладов бифурцирующих экстремалей перейдет в список раскладов бифурцирующих экстремалей из угловой особенности омбилического типа. При этом к известному списку раскладов М.А. Хуссаина добавлены шесть новых раскладов. Появление новых раскладов вызвано тем, что, во-первых, М.А. Хуссаин рассматривал лишь гиперболические омбилики и, во-вторых, в его работах имеются ограничения на область изменения параметров, инспирированные рассмотренными приложениями 14.

В итоге получено следующее утверждение, уточняющее теорему М.А. Хуссаина.

Теорема 13. Расклады экстремалей, бифурцирующих из симметричной омбилической особенности (гиперболической или эллиптической) в координатном угле исчерпываются следующим списком:

1 0 0 \ / 1 0 0 \ / 0 0 1 \ / 0 0 1 \ / 1 0 0 \ / 1 0 0 \

0 0 0,0 о 0 I,I 0 2 0,2 О о),2 2 0,0 0 О), 000/ \ 0 1 1 / \ 1 0 0/ v 0 1 о / v 0 0 0 / v 1 2 1 /

0 0 1 \ / 1 0 0 \ / 1 0 0 \ / 1 0 0 \ / 1 о о \ 2 О 0 ,(о 2 2 , I 0 4 о ,[2 2 0,( 2 2 0 .

1 2 0/ \ 1 1 0/ \ 1 0 1/ \0 1 1/ \ 1 2 1/

1 0 0 \ / 1 О 0 \ / 1 О 0 \ / 1 0 0 \ / 1 0 0 \ / 1 0 0 \

0 0 о],0 2 2 I, 2 0 2 1, 0 2 21,2 0 2,2 0 2.

1 1 0/ \ 0 0 0 / \ 0 2 0 / \ 1 2 1/ \ 0 3 1 / \ 1 3 0 /

В этой же главе приведены формулы для параметризации каустик, соответствующих рассмотренным особенностям (использован переход к функции в угловой области, упрощающий описание и исследование каустики).

"Сапронов Ю.И., Хуссаин М.А. Угловые особенности гладких функционалов в задачах о прогибах упругих балок и зарождении нелинейных волн// Труды ВЗМШ-2004. Воронеж, ВГУ. 2004. — С. 155-167.

В четвертой главе описан подход к изучению бифуркаций модулированных (несоизмеримых) сегнетоэлектрических фаз кристалла в случае трехкомпонентного параметра порядка. Описана процедура вычисления возможных раскладов.

Установлено, что главная часть II ключевой функции после вторичной редукции принимает следующий вид:

+ е а1 + + Р а1а2 + 7 °2 + Я 0з, о\ = г? + г| + г§, а2 = г\г\ + г?г§ + г2г2, а3 = г\г\г\.

В полярных координатах п = т сой^), г2 = гсоз(</?2), тз = г соэ(<£>з) получим О"! = Г2,

а2 = г4 (сов2^) + сое2(<р2) - соз4(<^1) - С084(<£2) - СОЭ2((/?!) со82(у>2)),

03 = г6 (соя2((/31) СОЯ2(<£2) - С032((Р1) соя2((р2) (соэ2(^1) + С082(</>2))) •

Множество критических точек функции IV является (при фиксированных значениях параметров) пересечением поверхностей Мо, М\ и М2, определяемых уравнениями ^ = 0 (поверхность радиально стацинар-ных точек) и = 0, = 0 (поверхности стацинарных точек по

тангенциальным переменным <рх, (р2).

Поверхность Мо задается уравнением

6г5 + 4е г3 + 25 г + 2г3((Зр г2 + 7)(соз2(^1) + соя2 (<¿>2) - соз4(^1)-

- С054(^2) - СОБ2^) СОЭ2(^2)) + Г5(с0в2(<Р1) С082(^2)--С032((р\) С032(^2)(с082((/51) + СОЭ2^))) = О,

а поверхность Мц, — уравнением (р г2 + 7)§^ + 9 = 0.

Множество всех критических точек совпадает с пересечением Мо п П М2. Пересечение М\ Г) М2 определяется уравнением

(р г2 + 7) ггас!^ а2 + я ^ас^ а3 = 0. Часть этого множества определяется соотношениями (р г2 + 7) = 0, ^ас! сг3 = 0.

Остальные точки данного множества определяются (при различных значениях параметров) уравнением [02,0з] = 0, где [02,03] — якобиан (скобка Пуассона) функций сг2,сг3 (по уь^г)-

При отыскании решений ключевого уравнения полезны следующие утверждения.

Лемма 1. Для любых дифференцируемых функций и, V, го имеют место следующие соотношения:

[и, ш] = и [и, и], [ы2,г>] = 2и [и, г>], [иь, игу] = и2[и, гл]+иу [и, гю]+ии) [г>, и].

Лемма 2. Пусть и = соя2^) + сов2^), V = сое2 (<¿>1) сое2 (</>2) • Тогда [о2, ст3] = (1 - Ъи + 2и2 + ь)[и, г;].

Лемма 3. Если и = сов2^) + сов2^), V = соб2^) соэ2^), то

[и,«] = (1 - СО82(<£>з)) вт(2у>х)З1П(2(^2) •

Теорема 20. Имеет место представление

[<72, СГ3] = (1 - Зи + 2и2 + V) (1 - С082(^3)) эт^х) 8т(2^2) ,

е котором и — 1 — соэ2^), V = сов2^) сов2^)-

На основе этого утверждения можно находить расклады бифурци-рующих критических точек и определять их взаимные примыкания. В диссертации приведены примеры максимальных раскладов и дано обоснование этих примеров посредством рассмотрения полиномов в областях с углами.

В пятой главе приведены программные коды для изготовления компьютерных изображений ключевых функций.

Публикации автора по теме диссертации

1. Колесникова И.В. Двухмодовые ветвления экстремалей гладких функционалов в точках минимума с однородными особенностями шестого порядка / И.В. Колесникова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - Саратов: СГУ, 2009. - Т.9, вып.2. - С.25-30.

2. Колесникова И.В. Ветвление фаз кристалла,определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка / Б.М. Даринский, И.В.

Колесникова, Ю.И. Сапронов // Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж, 2009. - № 1(35). — С. 72-76.

3. Колесникова И.В. Особенности многомерной сборки и нормализация квартичных форм / И.В. Колесникова // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы международной научной конференции ТВМНА - 2005. Воронеж: Вор-ГУ, 2005. - С.61-62.

4. Колесникова И.В. К бифуркационному анализу 2-точечных краевых задач классической механики / И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев// Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна - 2006. - Воронеж: ВорГУ, 2006 - С.63-78.

5. Колесникова И.В. О нормализации квартичной формы трех переменных / И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХУИ". - Воронеж: ВорГУ, 2006. -С.88-89.

6. Колесникова И.В. О приведении квартичной формы трех переменных к нормальному виду / И.В. Колесникова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХУШ". - Воронеж: ВорГУ, 2007. -С.84-86.

7. Колесникова И.В. К бифуркационному анализу фредгольмовых функционалов вблизи точки минимума с трехмерным вырождением / И.В. Колесникова // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы II Международной научной конференции. - Воронеж: ВорГУ, 2007. - С.97-98.

8. Колесникова И.В. Максимальные расклады бифурцирующих экстремалей для однородной особенности шестого порядка / Б.М. Дарин-ский, И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XIX". - Воронеж: ВорГУ, 2008. — С.78-79.

9. Колесникова И.В. Ветвление экстремалей в точках минимума с однородными особенностями четвертого и шестого порядков / Б.М. Дарин-ский, И.В. Колесникова, Д.В. Костин, Ю.И. Сапронов // Вестник Воро-

нежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - Воронеж: ВорГУ, 2008. - № 1. - С. 249-260.

10. Колесникова И.В. Симметричные однородные особенности 6-го порядка / И.В. Колесникова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВорГУ, 2009. — С.86-88.

11. Колесникова И.В. Трехмодовые ветвления сегнетоэлектрических фаз кристалла вблизи критического состояния с однородной особенностью шестого порядка / И.В. Колесникова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XX"/ - Воронеж: ВорГУ, 2009. — С.90-92.

12. Колесникова И.В. Ветвление сегнетоэлектрических фаз неоднородного кристалла вблизи критической фазы с трехмерной особенностью шестого порядка / Б.М. Даринский, И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - Воронеж: ВорГУ, 2009. - № 1. — С. 101-107.

13. Колесникова И.В. Двухмодовые ветвления сегнетоэлектрических фаз кристалла вблизи критического состояния с однородной особенностью шестого порядка / И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов // Вестник Челябинского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. - Челябинск: ЧелГУ, 2009. - № 6(107), вып.11. —

14. Колесникова И.В. Трехмодовые бифуркации сегнетоэлектрических фаз кристалла и полиномы в треугольной области / И.В. Колесникова // Актуальные проблемы математики и информатики // Труды математического факультета. - Воронеж: ВорГУ, 2009. - № 1. — С. 9-20.

Работы [1], [2] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Подписано в печать 29.09.09. Формат 60x84 '/16. Усл. печ. л. 0.93.

Тираж 100 экз. Заказ 1552

С. 38-48.

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение

1 Вариационная версия метода Ляпунова—Шмидта

1.1 Общие сведения о вариационных фредгольмовых уравнениях

1.2 Нелинейные ритцевские аппроксимации и ключевые функции

1.3 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.4 Версальные деформации, каустики и ключевые функции.

1.5 Бифуркационный анализ в точках минимума с особенностью 2-мерной сборки.

1.6 Клеточные комплексы, характеризующие фазовые портреты ключевых функций.

1.7 Угловые особенности гладких функций и функционалов

1.8 Симметричная развертка гиперболической омбилики в симметричном угле.

1.9 Квазиинвариантные подмногообразия.

2 Точки минимума с особенностью трехмерной сборки

2.1 Нормальные формы трехмерной сборки.

2.2 Алгоритм нормализации квартичной формы.

2.2.1 Нормализация квартичной формы двух переменных

2.2.2 Касательные векторы к орбите.

2.2.3 Открытость орбит.

2.2.4 Приведение квартичной формы к нормальному виду

2.3 О нормализации квартичной формы трёх переменных

2.4 Редукция трехмерной сборки.

3 Ветвление сегнетоэлектрических фаз кристалла вблизи критической фазы, соответствующей особенности с 4—мерным вырождением

3.1 Применение ключевой функции при определении фазовых состояний кристалла.

3.2 Об алгоритме вычисления ключевой функции и асимптотическом представлении решений

3.3 Группа симметрий основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции.

3.4 Полиномы 6-го порядка двух и трех переменных с ослабленной симметрией.

3.5 Развертка особенности шестого порядка с симметрией квадрата

3.6 Некоторые запреты для Ьг/—раскладов.

3.7 Переход к функции в координатном угле.

3.8 Плоские сечения каустики.

4 Ветвление сегнетоэлектрических фаз кристалла вблизи критической фазы, соответствующей особенности с 6—мерным вырождением

4.1 Случай трехмерной особенности шестого порядка с симметрией куба.

4.2 Группа симметрий основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции

4.3 Некоторые запреты для bif—раскладов.

4.4 Вычисление bif—раскладов.

4.4.1 Поверхности радиально стационарных точек для главной части ключевой функции.

4.4.2 Применение алгебраических свойств скобки Пуассона

4.4.3 Некоторые клеточные комплексы, изображающие расклады экстремалей.

4.5 Функции двух переменных в областях с углами

Актуальность темы. В диссертации в форме математической задачи о бифуркации экстремалей функционала энергии вблизи точки минимума с особенностью 6-го порядка изложены результаты исследований автора диссертации по вопросам геометрического строения каустик и раскладов бифурцирующих сегнетоэлектрических фаз неоднородного кристалла. Акцент сделан на случаях симметрии квадрата (для двумерной особенности) и куба (для трехмерной особенности). Рассмотрены также случаи "ослабленной" симметрии — инвариантности относительно группы, порожденной парой или тройкой коммутирующих инволюций. Результаты получены на основе редукции к ключевой функции на М2 и Ж3 посредством модифицированной вариационной версии метода Ляпунова-Шмидта с использованием вторичных редукций и фундаментальных теорем теории особенностей гладких функций.

Ключевые слова: фазовый переход, термодинамический потенциал, функционал энергии, фредгольмов фунциопал, экстремаль, бифуркация, каустика, метод Ляпунова-Шмидта, тип особенности, симметрия.

Успехи в исследовании фазовых переходов на основе феноменологической модели Л.Ландау [19], [45], [46], [47], [48], [51], [30] привлекают внимание исследователей и к математическим проблемам самого метода Ландау [9] - [16]. В теории Ландау сегнетоэлектрические фазовые состояния неоднородных кристаллов [25] определяются решениями некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, которые являются уравнениями Эйлера - Лагранжа экстремалей функционалов энергии (при соответствувющих краевых условиях). Нелинейность ДУ задается термодинамическими потенциалами Ф, алгебраические строения которых определяются как на основе опытных данных, так и на основе общих теоретических соображений [19].

В диссертации рассматривается функционал энергии в виде

27Г , хь х2, х3) = ^ У ( ^ о ^ д2и) 2 дии 2 дг2 - XI д2 + Х2 (1) хз |и>|4 + |и>|6 + х^'ш!4^!^) йг см. модели соизмеримых фаз, например, в [19]), где Х1,Х2,Хз,Х4 — некоторые физические константы, ю = ги2)т — параметр порядка.

Функционал (1) рассматривается на пространстве Е - 27Г—периодически х функций класса С4 (со значениями в координатной плоскости).

Анализ бифуркационных эффектов в диссертации осуществлен посредством одной из модификаций вариационной версии метода Ляпунова - Шмидта [26], [61], [56] позволяющей свести анализ функционала вида (1) к ключевой функции (от двух или более ключевых переменных)

У(£,8)= У(<ш,д), (2) ш: {ь},ек)=£к = (£ъ • • •, £п)> Я = ■ • • $гп), Где ек — мода бифуркации.

Для того, чтобы выяснить взаимные примыкания допустимых стабильных и метастабильных фаз, а также выяснить порядок фазовых переходов, необходимо вычислить не только точки локальных и глобальных минимумов функционала энергии (1), но и седловые точки. Более того, требуется информация о структуре фазового портрета динамической системы чЬ — —grad У(ии)

2тг градиент задан в скалярном произведении (р, д) := ^ Лр,я)<1х). Если

71 о известна ключевая функция IV, то эта структура определяется фазовым портретом }¥ (или, более точно, фазовым портретом градиентной динамической системы £ = — gradИ/(£)).

Задача изучения ветвления экстремалей гладкого функционала V и соответствующей ключевой функции ]¥ (с параметрами) вблизи точки минимума, имеющей многомерное вырождение, представляют как теоретический интерес, так и прикладной. Эта задача тесно связана с проблемой многомодовых бифуркаций решений краевых задач, с изучением закритических прогибов упругих систем по нескольким модам, с много-модовыми фазовыми переходами в кристаллах, с нелинейными волновыми процессами [17], [24]) и т.д.

Цель работы и основные задачи. Основные научные результаты данной диссертации допускают абстрактную формулировку в терминах вариационного фредгольмова уравнения с симметрией, рассмотренного вблизи (порождающей) особой точки с многомерным вырождением. Центральная конструктивная идея диссертации — сведение (редукция) задачи об изучении решений исходного уравнения к аналогичной задаче для конечномерного алгебраического уравнения (ключевого уравнения) с его последующим качественно-численным анализом. Цель работы — реализация центральной конструктивной идеи в задаче о 2- и 3-модовых ветвлениях сегнетоэлектрических фаз неоднородных кристаллов.

К главным составляющим основной задачи отнесены: 1) описание алгебраического строения главной части ключевой функции, 2) описание геометрического строения каустики Е (дискриминантного множества уравнения Эйлера-Лагранжа), соответствующей функционалу энергии в "геликвидной"модели кристалла, 3) описание раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 4) приближенное построение амплитуд ветвей бифурцирую-щих фаз.

В диссертации предложено решение основной задачи для класса неоднородных кристаллов, сегнетоэлектрические фазы которых описываются в рамках в "геликоидной" модели [19], [20], [45], [46], [48], [49], [53].

В случае тт—особенности с генотипом многомерной сборки (однородной особенности четвертого порядка) вычисление главной части ключевой функции осуществляется либо на основе ритцевской аппроксимации функционала по совокупности мод бифуркации, либо, в более сложных случаях, на основе формулы ортопроектора на корневое подпространство второго дифференциала функционала [22], [23]. На этом было достаточно полно исследовано ветвление экстремалей вблизи гшп-особенности с генотипом 2-мерной сборки [17], [22], [23], и частично исследован случай 3-мерной сборки [7], [17]. Многомерные сборки с симметрией (многомерного) куба были исследованы в [35] - [40], а с симметрией параллелепипеда — в [7].

Большинство известных исследований бифуркаций экстремалей в точках минимума с особенностью многомерной сборки опираются на нормальные формы таких особенностей [17], общий вид которых указан в теории однородных и квазиоднородных особенностей [1] (в комплексном случае). В вещественном случае алгебраическая структура нормальных форм в точках минимума с особенностями многомерных сборок сохраняется (по сравнению с комплексным случаем), но приводимость к нормальной форме в вещественном случае менее очевидна. В этой связи представаляет интерес построение алгоритмов нормализции квартичных форм.

В случае особенности шестого порядка вычисление главной части ключевой функции в диссертации осуществлено посредством нелинейной рит-цевской аппроксимации.

В данной работе рассмотрены мало изученные, но важные для приложений случаи задачи о геометрическом строении каустик для однородных тт-особенностей 6-го порядков с дополнительными условиями симметрии.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории бифуркаций решений нелинейных уравнений, современного анализа гладких функций, компьютерной графики. Методологическая основа — схема Ляпунова-Шмидта, рассмотренная в рамках общей теории гладких фредгольмовых вариационных уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах), оснащенная элементами теории особенностей гладких функций.

Научная новизна1. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Дано описание алгебраических структур главных частей ключевых функций для функционалов энергии в "геликоидной" модели кристалла.

2. Разработан алгоритм нормализации (приведения к нормальным формам) квартичных форм двух и трех переменных.

3. Осуществлен бифуркационный анализ симметричных (с симметрией квадрата) ключевых функций двух переменных с главной частью в виде полинома шестой степени: описаны линии уровня, характер, количества, расположения и взаимные примыкания критических точек. Частично изучено строение симметричных (с симметрией куба) ключевых функций трех переменных с главной частью в виде полинома шестой степени.

4. Получена параметризация каустик для функционалов энергии в геликоидальной модели кристалла (в случаях симметрии квадрата и куба). Приведены асимптотические формулы амплитуд бифурцирующих сегнетоэлектрических фаз неоднородных кристаллов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых зфавнений в анализе ветвления сегнетоэлектрических фаз неоднородных кристаллов. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов [29].

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежских зимних математических школах (2007, 2009 гг.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ, на семинаре по качественному анализу краевых задач (ВГУ, рук. — проф. Ю.В. Покорный) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук. — проф. В.А. Костин), на семинаре по теории кристаллов (ВГУ, рук. — проф. Б.М. Даринский).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 работах. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту. Списку ВАК соответствуют работы [64],[65].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 77 наиме

1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейп-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. - М.: Наука, 1982. - 304 с.

2. Белоглазов A.B. Бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из омбилической точки минимума в вершине угла // Вестник ВорГУ. Сер. физ., матем. 2006, вып. 2. Воронеж: ВорГУ. - С. 147153.

3. Белых Ф.А., Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки / Ф.А. Белых, A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВорГУ, 2005. С. 18-33.

4. Брекер Т. Ландер JI. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977. - 208 с.

5. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук, 1977. Т.32, вып.4. С.3-54.

6. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. - 419 с.

7. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией // Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1.- С.83-86.

8. Данилова О.Ю. Моды бифуркации в угловых критических точках / О.Ю. Данилова, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырёва // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд. ВорГУ, 2002. N 7 (новая серия). - С. 31-38

9. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки // Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. - С. 35-46.

10. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: ВорГУ, 2000. - С. 41-57.

11. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Шалимов B.JI. К термодинамической теории сегнетоэлектрических фазовых переходов в кристаллах // Кристаллография. 1999. - Т.44, N 4. - С. 1-5.

12. Darinskii М.М., Sapronov Yu.I., Shalimov V.V. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter// Ferroelectrics. 2002. V. 265. - P. 31-42.

13. Даринский Б.М., Ладыкина E.B., Сапронов Ю.И. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. - С. 52-67.

14. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И. Дискриминантные множества и расклады бифурцирующих решений фредгольмовых уравнений // Современная математика и ее приложения. Тбилиси, 2003. Т.7. - С.72-86.

15. Даринский Б.М., Дьяченко A.A., Сапронов Ю.И., Чаплыгин М.Н. Фазовые переходы в доменных границах ферроиков // Известия РАН, 2004. Т.768, N 7. С.920-926.

16. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев C.JI. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ, 2004. Т.12 С.3-140.

17. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р.Зачепа, Ю.И.Сапронов Воронеж: ВорГУ, 2002. - 185 с.

18. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. Москва: Наука, 1984. - 247 с.

19. Иона Ф., Ширане Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. М.: Мир, 1965. - 555 с.

20. Костин Д.В. Ортопроектор теории возмущения линейных операторов и бифуркации равновесий слабо неоднородной упругой балки // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна -2006. С.106-113.

21. Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки // ДАН, 2008, т. 418, № 3. С.295-299.

22. Красносельский М.А., Бобылев H.A., Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления // ДАН СССР, 1978. Т. 240, N 3.- С. 530-533.

23. Лайнс М., Гласс А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы.- М.: Мир, 1981. 736 с.

24. Ляпунов A.M. Sur les figures d'équilibré peu différentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l // Зап. Акад. наук. С.-Петербург, 1906.

25. Матов В.И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразии с краем // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981, вып.7. - С. 174-189.

26. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965. - 184 с.

27. Миропольский Ю.О., Мосеенков Б.1. Дослщження коливань в системах з розподшеними параметрами (асимптотичш методи). Видав-ництво Кшвського ушверситету. 1961. 123 п.

28. Монастырский М.И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М.: ПАИМС, 1995. - 478 с.

29. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям.- М.: Мир, 1989.- 639 с.

30. Особенности дифференцируемых отображений. Сб. ст. М.: Мир, 1968. - 268 с.

31. Постников М.М. Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971. - 568 с.

32. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. М.: Мир, 1980. - 608 с.

33. Сапронов Ю.И. Разрушение сферической симметрии в нелинейных вариационных задачах // Сб. статей: Анализ на многообразиях и дифференциальные уравнения. Воронеж, изд. ВорГУ, 1986. - С.88-111.

34. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий // Прикл. матем. и механики, 1988. Т.52, вып 6. С.997-1006.

35. Сапронов Ю.И. Двумодовая бифуркация решений уравнения Кармана // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, № 6. - С. 1078-1081.

36. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций // Матем. сборник. 1989. Т. 180, № 10. - С. 1299-1310.

37. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах // Математические заметки. 1991. Т.49, вып.1.- С.94-103.

38. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, № 1. - С. 101-132.

39. Сапронова Т.Ю. О разрушении компактных критических орбит инвариантных фредгольмовых функционалов при несимметричных возмущениях // Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж, ВорГУ, 1997. № 2. - С.54-58.

40. Сапронова Т.Ю. Бифуркации экстремалей из точек критической орбиты при разрушении непрерывной симметрии // Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж, ВорГУ, 1999. № 4. - С. 101-107.

41. Сапронова Т.Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, ВорГУ. 2000. - С. 107-124.

42. Сапронова Т.Ю. О квазиинвариантных подмногообразиях фредгольмовых функционалов // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2004. СПб., 2004. - С.81-88.

43. Сидоркин A.C. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственные материалы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 240 с.

44. Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А., Крайник H.H., Пасынков P.E., Шур М.С. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. Л.: Наука, 1971. - 476 с.

45. Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектриче-ских явлений в кристаллах М.: Физматлит, 1995. 301 с.

46. Толедано Ж.-К., Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов. -М.: Мир, 1994. 461 с.

47. Трепогин В.А., Сидоров Н.А., Логинов Б.В. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия // Докл. АН СССР. -1989. Т. 309, № 2. С. 286-289.

48. Хуссаин Мудхир А. Абдул. Угловые особенности гладких функций в анализе бифуркаций равновесий упругих балок и периодических волн / М.А. Хуссаин // Автореферат диссертации на соискание уч. ст. к.ф.-м.н. по спец. 01.01.01. Воронеж, ВорГУ. 2005. 16 с.

49. Широков В.В., Юзюк Ю.И., Dkhil В., Леманов В.В. Феноменологическое описание фазовых переходов в тонких пленках В.Н. ВаТЮз // Физика твердого тела. Т.50, вып. 5 (2008), с. 889-892.

50. Golubitsky М., Stewart I., Schaeffer D. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. V.2.-N.-Y.: Springer-Verlag, 1988.-533 p.

51. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls // Ferroelectrics. 1989. V.98. - P. 193-205.

52. Magnus R.J. Universal unfolding in Banach spaces: reduction and stability // Mathematics Report 107, Battele, Genewa. 1977.

53. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. V.84, № 6.

54. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt procedure // Lect. Notes in Math. 1979. V.755. - P.77-82.

55. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables // Trans. Am. Math. Soc. 1931. V.33. - P.72-91.

56. Morse M. The calculus of variations in the large. New York, 1934.

57. Palais R.S. Morse Theory on Hilbert Manifolds // Topology. 1963. V.2. - P. 299-340.

58. Poénaru V. Singularités C°° en Présence de Symétrie// Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

59. Schmidt Б. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen // Math. Ann. 1908. - V.65. - P. 370-399.

60. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc // Quart. J. Oxford Ser. 1981. - V.32, N 125. - P. 119-127.

61. Wall С.T.C. A Note on Symmetry of Singularities // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169-175.

62. Колесникова И.В. Ветвление фаз кристалла,определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка / Б.М. Даринский, И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов // Системы управления и информационные технологии. Москва-Воронеж, 2009. - № 1(35). — С. 72-76.

63. Колесникова И.В. К бифуркационному анализу 2-точечных краевых задач, классической механики / И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев// Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2006. - Воронеж: ВорГУ, 2006.- С.63-78.

64. Колесникова И.В. Симметричные однородные особенности 6-го порядка / И.В. Колесникова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференщш Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ, 2009. — С.86-88.

65. Колесникова И.В. Трехмодовые бифуркации сегнетоэлектрических фаз кристалла и полиномы в треугольной области / И.В. Колесникова // Актуальные проблемы математики и информатики // Труды математического факультета. Воронеж: ВорГУ, 2009. - № 1. — С. 9-20.