автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Автоматизация моделирования температурных полей составных тел сложной формы



АВТОМАТИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ СОСТАВНЫХ ТЕЛ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Специальность 05.13,12 - Системы автоматизации проектирования (электротехника, энергетика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ОД

_ п0 На правах рукописи

МЕЗИНА Елена Евгеньевна

Иваново 1998 г.

Работа выполнена на кафедре теоретических основ теплотехники Ивановского государственного энерегетического университета.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Нуждин В.Н.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Федосов C.B.,

доктор технических наук, профессор Герасимов М.Н!

Ведущая организация: Зарубежэнергопроект, г. Иваново

Защита состоится " (> " ¿¿¿¿Ьр/)?£с 1998 года в аудитории Б~~~2. в ■/■/ час. мин. на заседании диссертационного совета Д063.10.01

Ивановского государственного энергетического университета.

Отзывы в двух экземплярах, завереннные печатью, просим присылать по адресу: 153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, д. 34, Совет ИГЭУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан " " 1998 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ ДИССЕРТАЦИОННОГО СОВЕТА д.т.н., профессор

C.B. ТАРАРЫКИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При исследовании тепловых процессов в тех-пике часто приходится иметь дело с пространственными телами сложной формы и состоящими из различных материалов. В то же время достаточно раскрыть любой учебник по численным методам решения таких задач, как мы увидим, что авторы, как правило, ограничиваются телами простой формы (прямоугольник, параллелепипед, циллиндр, шар и т.д.), а о расчетах температурных полей в составных телах известно вообще очень мало. Между тем, на практике часто встречаются задачи, в которых тела имеют сложную форму и состоят из различных материалов, и моделирование тепловых полей в них совершенно необходимо. Таковы, например, следующие задачи:

- нестационарные тепловые процессы в различных радиоэлектронных приборах;

- теплообменные аппараты;

- металлургические процессы;

- компрессоры;

- строительные конструкции и т.д.

Очевидно, что для автоматизации проектирования всех перечисленных устройств требуется разработка методов, которые позволили бы моделировать нестационарные температурные поля в телах сложной формы состоящих из различных материалов.

Цель работы состоит в автоматизации процесса вычисления температурных полей в телах сложной формы, собранных из различных материалов. Методика должна позволять расчитывать множество вариантов за короткое время, чтобы дать проектировщику возможность выбора наилучшего инженерного решения.

Методы исследования

В процессе решения поставленной задачи использовались численные методы моделирования температурных полей составных тел сложной формы, а именно - конечно-разностные методы. Исследования проводились на ЭВМ с применением как однопроцессорной, так и параллельной многопроцессорной вычислительной техники.

Научная новизна

В процессе работы над указанной темой удалось:

- выполнить сравнительную оценку различных методов решения задач теплопроводности для тел простой формы. Отобрать из них те методы, которые удобно распространить на сложные пространственные тела, состоящие из различных материалов;

- разработать новые вычислительные методы: метод, сочетающий параболическую аппроксимацию с методом Дюфорта-Франкля и метод, сочетающий параболическую аппроксимацию с методом Головичева В.И.;

- разработать различные алгоритмы распараллеливания трех конечно-разностных методов;

- кодировка тел сложной формы и ее применение;

- распараллеливание алгоритма кодировки тел сложной формы;

- выполнить теоретико-информационный анализ в предложенных алгоритмах. Обоснование выбора оптимального варианта.

Практическая ценность работы заключается в том, что удалось провести анализ различных конечно-разностных методов и выбрать наиболее оптимальный для алгоритма кодирования составных тел сложной формы для расчета их температурных полей. Разработано несколько гибридных конечно-разностных методов, сочетающих параболлическую аппроксимацию со схемой Дюфорта-Франкля, со схемой Гсшовичева В.И. Данные алгоритмы хорошо сочетаются с алгоритмом кодирования.

Для сокращения времени счета разработан алгоритм распараллеливания указанных гибридных методов. Разработан алгоритм распараллеливания для метода кодирования составных тел сложной формы.

Методика реализована в виде расчетных программных модулей, использование которой позволяет значительно ускорить процесс расчета температурного поля составных тел сложной формы и получить информацию по распределению температуры в исследуемом объекте.

Данная работа является продолжением и развитием разработок В.М. Шипилова.

Реализация результатов работы

Представленная работа выполнена в Ивановском государственном энергетическом университете. Данный программный продукт внедрен в учебный процесс на кафедре теоретических основ теплотехники ИГЭУ.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции "VII Бенар-досовские чтения" (г. Иваново 1994 г.) и на международной научно-технической конференции "VIII Бенардосовские чтения" (г. Иваново 1997 г.). •

Публикации

Результаты исследований опубликованы в восьми печатных работах. Список прилагается.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения. Изложена на 183 страницах основного текста, содержит 32 рисунка и 6 таблиц. Список литературы включает 116 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введепии обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы и основные положения, выносимые на защиту, приведены некоторые дополнительные сведения.

В первой главе рассматриваются существующие методы численного решения дифференциального уравнения теплопроводности применительно к задачам вычислений температурных полей в телах сложной формы, состоящих из различных материалов. Сравнительный анализ этих методов позволил прийти к выводу о необходимости разработки новых специализированных методов, предназначенных дам задач такого рода.

В многомерных задачах число расчетных узлов резко возрастает и даже применение современных ЭВМ накладывает ограничения на дискретизацию. Следовательно, трехмерные конечно-разностные сетки довольно грубые, и получается достаточно приближенное решение. Поэтому важно разработать метод, позволяющий получать точное решение на грубой конечно-разностной сетке. Таковым является метод параболической аппроксимации (МПА). Принципиальное отличие этого метода состоит в том, что параболический профиль строится лишь в пределах контрольного объема. Особенно интересно использование данного метода в случае, когда исследуемое тело имеет сложную форму и состоит из различных материалов, так как он позволяет учесть разнородную структуру тела в рассматриваемых контрольных объемах. Методы решения таких задач остаются еще слабо разработанными. МПА удобно применить в сочетании с алгоритмом кодирования сложного тела, суть которого заключается в представлении исследуемого тела в виде набора стандартных элементов. Каждый стандартный элемент имеет свой код. Коды элементов образуют код всего объекта, который записывается в специальный файл.

Проведенный анализ показал актуальность проблем расчета температурных полей сложных составных объектов и разработку методик представления сложного тела в виде набора чисел (кодов) для облегчения расчета и исследования полей распределения температур, а так же необходимость разработки специальных численных методов расчета с учетом сложной структуры рассматриваемого объекта.

Вторая глава посвящена

выбору оптимального конечно-разностного метода для моделирования нестационарного теплообмена в составных телах сложной формы.

Работа осуществлялась в следующих направлениях:

1) сравнительная оценка эффективности МПА для решения одномерной задачи нестационарной теплопроводности в сравнении с явной разностной схемой (ЯРС), чисто-неявной разностной схемой (ЧНРС), разностной схемой Кранка-Никодсона (РСКН);

2) разработка численных методов для расчета температурных полей тел сложной формы на базе параболической аппроксимации профиля температуры и конечно-разностной схемы Дюфорта-Франкля и Головиче-ваВ.И;

3) теоретико-информационный анализ численных процессов в методе параболической аппроксимации.

Для исследования процессов нестационарного теплообмена разработан комплекс вычислительных программ, позволяющий изучать технологию математического моделирования на примере расчета режимов нагрева и охлаждении тел классической формы при граничных условиях 1,2 и 3-го рода- Краевая задача теории теплопроводности решена методом конечных разностей с применением ЯРС, ЧНРС и РСКН. Для оценки адекватности математической модели реализовано известное аналитическое решение Фурье. Данное программное средство внедрено в учебный процесс на кафедре теоретических основ теплотехники Ивановского государственного энергетического университета (акт внедрения результатов НИР от 13.11.96). Полученные решения в качестве эталонных применены для оценки адекватности

Конечно-разностный метод параболической аппроксимации предназначен для решения дифференциальных уравнений параболического типа, в том числе уравнения теплопроводности. Принципиальное отличие этого метода заключается в аппроксимации распределения температуры параболическим профилем по каждой из осей через одну основную и две вспомогательные точки, которая осуществляется только в пределах контрольного объема. Условие консервативности в этом случае (равенство потоков тепла на границах контрольных объемов) реализуется в виде дополнительных уравнений на границах контрольных объемов. Из уравнения консервативности методом прогонки находятся температуры во вспомогательных точках сетки, а с помощью значений этих температур находятся и температуры в основных точках сетки. МПА является итерационным методом. За счет параболической аппроксимации требуется меньше оперативной памяти, имеет быстросходящийся итерационный процесс. Аппроксимация параболическим профилем увеличивает гладкость решения. МПА удобен для расчета температурных полей тел сложной формы, состоящих из различных материалов, в сочетании с алгоритмом кодирования.

В качестве критерия оценки эффективности МПА по сравнению с ЯРС, ЧНРС и РСКН применена предложенная А.Н. Колмогоровым и его школой пропускная способность алгоритма. Последняя оценивается числом байт информации, извлеченной в процессе вычислений. Достоинство этой меры состоит в том, что она одновременно учитывает размерность решаемой задачи, достигнутую точность и затраты машинного времени. В нашем случае пропускная способность определяется выражением

МПА.

где физическое число расчетных узлов, М - время расчета, Т.? -

начальное значение температуры,

ТГ'к Ч

значение температуры, полученное

численным методом в последним момент времени,

туры, полученное точным методом в последний момент времени.

По результатам исследований ■ получены зависимости пропускной способности от шага по времени с=Г(Лт) (рис. 1), числа расчетных узлов от максимальной погрешности алгоритма К=Г(етах)(рис. 2), числа расчетных узлов, от пропускной способности N={"(0) (рис. 3)

значение темпера-

Рис. 1. Зависимость пропускной

способности от шага по времени (стационарный режим)

-1Г.А -ЧНТС

-ге<и - аге

з.о ¿т.:

_Ш4

_чак . реки _ягс

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 2. Зависимость числа расчетных узлов от максимальной погрешности

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы: 1) с ростом шага по времени наблюдается рост пропускной способности до некоторого значения, а затем увеличение Дх ведет к падению пропускной способности;

-ША - Т2РС . РСХН

-як

шео

Рис. 3. Зависимость числа расчетных узлов от пропускной способности (стационарный режим)

2) одно и то же значение пропускной способности мы получаем у всех исследуемых схем на разном количестве расчетных узлов. Причем наименьшее число расчетных узлов дает МПА. Поэтому при выборе алгоритма необходимо учитывать шаг по времени и число расчетных узлов одновременно;

3) одно и то же значение максимальной погрешности у МПА получается на меньшем числе расчетных узлов, по сравнению с другими исследуемыми методами. Следовательно МПА является более точным методом и может быть рекомендован для решения дифференциальных уравнений параболического типа, в том числе и уравнении теплопроводности.

В данной работе предложены новые гибридные методы с использованием идеи параболической аппроксимации. А именно - сочетание параболической аппроксимации в контрольном объеме со схемой Дюфорта-Франкля и со схемой В.И. Головичева. Эта методы удобно применять для расчета температурных полей составных тел сложной формы. Так как в этом случае температуры на границах контрольных объемов находятся при помощи параболической аппроксимации из уравнения консервативности (2)

Я,,"1"-(ЗТ1 "4ТМ +Т,2) = -^(ЗТ( -4ТЫ +ТЫ), (2)

Ах

прогонкой по формулам

т.=-

Ц+6

т |

м Ъ,+6

(3)

где ^-М^Ц + буГ.+Т;

(4)

если коэффициенты теплопроводности на границе контрольного

объема справа ц-о и слева >.¡-0-0 равны, где Т; - температура, X - коэффициент теплопроводности.

Данная прогонка осуществляется через узел, что экономит машинную память и машинное время. Температуры же в основных точках сетки находятся либо по схеме Дюфорта-Франкля

'ym+l_J,

2Дт

ПГт i гГт _'"Tm+I _'Т'т

Ах2

(5)

либо по схеме В.И. Головичева

**Тчт+! Т4« Т,т ОПГш+1 I Тш

Ат

Ах2

(б)

где а - коэффициент температуропроводности; Дт - шаг по времени; Дх - шаг по пространству.

В процесс исследования предложенных алгоритмов удалось установить их абсолютную устойчивость. Как было сказано выше, данные алгоритмы удобно использовать для составных тел из различных материалов. 5>го обстоятельство учтено при решении уравнения консервативности.

Далее в работе проведен теоретико-икформаиионный анализ численных процессов в методе параболической аппроксимации с применением методики H.A. Же-лезнова. В этом случае решается уравнение теплопроводности, в котором искомая функция-температура - восстанавливается в виде ряда с ограниченным числом гармоник с определенной погрешностью. Затем определяется значение температуры по методу параболической аппроксимации и находится пропускная способность. В третьей главе диссертации проведено исследование пропускной способности конечно-разностных схем для многомерной задачи нестационарной теплопроводности. Данное исследование проводилось для метода расщепления по локально-одномерной схеме и для МПА на примере прямоугольной области при граничных условиях 3-го рода. В качестве точного применено известное аналитическое решение Фурье. Как и в одномерной задаче, критерием эффективности МПА является пропускная способность алгоритма,

аГ.с

Рис. 4. Зависимость пропускной способности от шага по времени (стационарный режим)

определяемая по выражению (1). Были построены зависимости пропускной способности от шага по времени С=Г(Дт) (рис. 4), числа расчетных узлов от пропускной способности N=^0) (рис. 5) и числа расчетных узлов от максимальной погрешности К=Г(етак) (рис. 6).

Рис. 5. Зависимость числа расчетных узлов от пропускной способности (стационарный режим)

Рис. 6. Зависимость числа расчетных узлов от максимальной погрешности

Как и в одномерном случае, данное исследование позволяет сделать вывод о том, что МПА требует наименьшего числа расчетных узлов при одинаковой пропускной способности и максимальной погрешности исследуемых методов, что говорит и его высокой точности. Существует некоторое оптимальное значение шага по времени, при котором имеется максимальное значение пропускной способности. Следовательно МПА может быть рекомендован для решения многомерных задач нестационарной теплопроводности.

Как уже говорилось выше, МПА удобно применять для расчета температурных полей составных тел в сочетании с алгоритмом кодирования

поверхностей сложной формы. Суть алгоритма кодирования заключается в-------

прсдстаатении сложного тела в виде набора стандартных элементарных тел. В качестве таковых взяты: монолит, двойная пластина, ребро, угол, малый элемент. Каждый стандартный элемент имеет свой код. Свои коды имеют и материалы, из которых могут состоять эти элементы. С помощью этих кодов по определенным правилам строится файл, задающий форму и состав сложного тела.

Алгоритм расчета температурного поля предусматривает декодиров-ку. Для этого специальной программой осуществляется процесс расшифровки файла кода формы и извлекается вся необходимая для расчета информация: тип контрольного объема, номера материалов и источников теплоты. После этого производится расчет эффективных теплофизических свойств, и исследуемое тело представляется как квазиоднородное. Затем данные декодирования используются в расчете температур МПА.

В процессе исследования алгоритма кодирования на примере расчета двуслойного параллелепипеда установлено, что в однопроцессорном варианте расчет температурного поля занимает десятки часов машинного времени для компьютеров 386 модификации. А для более сложного расчетного объекта затраты машинного времени и машинной памяти соответственно увеличиваются.

Выход из этого положения может бьггь найден с помощью многопроцессорной вычислительной техники, которая позволяет решать задачи большой размерности для составных тел сложной формы за достаточно короткое время. Этот эффект достигается за счет распараллеливания вычислительного процесса на нескольких процессорах.

В четвертой главе диссертации были разработаны алгоритмы, позволяющие проводить расчет температурного поля составного тела сложной формы на многопроцессорной вычислительной машине фирмы Paisitec. Одним из серийных продуктов компании является Xplorer/Power Plus, представляющий собой параллельный ускоритель. Эта машина имеет восемь процессоров общей производительностью 1280 Mflops.

В данной работе были исследованы различные варианты распараллеливания для двух вариантов метода расщепления и для МПА. Были разработаны варианты распараллеливания для двух видов соединения процессоров: "кольцо" и "труба". В нашем случае более удобной оказалась топология "труба" (рис. 7).

ID=0 Ш=1 -> ID=n-l

ч ч

Рис. 7. Топология "труба"

Распараллеливание проводилось в двух направлениях: по уравнениям и по пространству. При применении алгоритма распараллеливания по уравнениям уравнения или участки алгоритмов распределяются между процессорами и обрабатываются одновременно. При использовании распараллеливания по пространству расчетная область разбивается на части, и каждая из областей обслуживается своим процессором. При вычислениях процессоры обмениваются информацией о состоянии расчетных областей. Для этого обеспечивается некоторое перекрытие областей, принадлежащих различным процессорам (рис. 8).

Алгоритм распараллеливания по уравнениям с топологией "труба" был применен для метода расщепления по локально-одномерной схеме для прямоугольной области при граничных условиях 3-го рода, а так же и для МПА. Затем, с использованием указанного алгоритма распараллеливания было разработано программное средство для расчета температурного поля параллелепипеда по методу параболической аппроксимации при граничных условиях 3-го рода. Затем алгоритм распараллеливания по уравнениям с топологией "труба" был применен для метода расщепления со скалярными прогонками. В этом методе сначала проводится расчет промежуточных температур для половины шага по времени в прямом направлении (прямая прогонка)

пгю _ л- тш

А 7т ~ ¡П > '''

Дт/2 Ах

а затем в обратном направлении уточняется значение температуры на целом временном шаге

тг'-тГ4 ТГ-2ТГ'+Т^

Дт/2 "а ' (8)

Программа, реализующая расчет по этому методу, выполнена для всех восьми процессоров.

По аналогии с топологией "труба" был разработан алгоритм распараллеливания МПА по пространству для прямоугольной области при граничных условиях 3-го рода. В этом случае одна часть температур расчетной области определяется в первом процессоре, а другая - одновременно во втором процессоре. Так как в МПА температуры в точках на границах контрольных объемов определяются неявным образом, то для того, чтобы определить температуры в крайней точке в первом процессоре (Ш=0), применялась схема В. И. Головичева, и эта температура передавалась в другой процессор

2 1ю+1 ~ N |т - 1 + 2Г '

где Г=—. (10) -------------------Дх--------------------------------------------------------------------

Осуществляется так назьшаемая "склейка" (рис. 8).

гон

Рис. 8. Передача данных из одного процессора в другой

■Пи

По результатам исследований различных алгоритмов распараллеливания был выбран алгоритм для расчета температурного поля составного тела сложной формы из различных материалов с использованием алгоритмов кодирования и МПА. В данном случае удобным оказалось применить алгоритм распараллеливания по уравнениям с топологией "труба". Сначала были проведены тестовые расчеты для двуслойного параллелепипеда (рис. 9), а затем для различных тел сложной формы: кристалл на много. слойной подложке (рис. /сс^Ъг 10)> модель микросборки в виде системы параллелепипедов (рис. 11), блок радиоэлектронного аппарата (РЭА) (рис. 12), конструкция, состоящая из 21 элемента (рис. 13).

Рис. 9. Двуслойный пар-раллелепипед

В результате проведенных численных экспериментов удалось сократить время расчета в среднем в 50 раз по сравнению с однопроцессорным вариантом, если расчет температурного поля проводился параллельно на двух процессорах.

в) '

Рис. 12. Блок РЭА с упорядоченным расположением элементов (а), элементарная ячейка нагретой зоны (б), типовые схемы элементарной ячейки (в)

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ РАБОТЫ:

1) Построен метод, позволяющий автоматизировать вычисления температурных полей в составных телах сложной формы. Метод предназначен для поиска оптимальных инженерных решений среди множества возможных вариантов. Методика ориентирована на параллельную вычислительную технику.

2) Среди возможных конечно-разностных методов предпочтение отдано методу параболической аппроксимации. Проведено его исследование. Для сравнения взята неявная схема со скалярной прогонкой, схема Кранка-Николсона, метод расщепления по локально-одномерной схеме.

Для оценки методов применялся теоретико-информационный анализ, предложенный А.Н. Колмогоровым и его школой.

УСТАНОВЛЕНО:

- МПА разрешает использовать более редкую сетку, что при расчете сложных тел уменьшает нагрузку на память;

- разностные схемы, построенные с помощью МПА являются консервативными;

- параболическая аппроксимация обеспечивает гладкость температурных полей на стыках тел, состоящих из различных материалов.

Исследованы сходимость, устойчивость, затраты машинного времени и пропускная способность перечисленных алгоритмов.

3) Для расширения круга задач САПР, решаемых с помощью МПА построены новые гибридные методы:

- метод, сочетающий параболическую аппроксимацию с методом Дюфорта-Франкля.

- метод, сочетающий параболическую аппроксимацию с методом В. И. Головичева.

Исследованы свойства этих методов. Они - устойчивы, допускают более редкую сетку, уменьшают нагрузку на память. Могут использоваться для расчета температурных полей тел сложной формы.

4) Для автоматизации применения МПА к широкому кругу сложных тел введена операция кодирования. Она заключается в представлении сложного тела в виде набора стандартных элементов. Строится файл, содержащий информацию об элементах и о порядке их соединения друг с другом. При интеграции уравнения теплопроводности эта генетическая информация позволяет учесть передачу тепла от элемента к элементу.

5) Численные эксперименты на однопроцессорной вычислительной технике при моделировании тепловых процессов в трехмерных телах, состоящих из различных материалов МПА в сочетании с алгоритмом кодирования показали, что затраты машинного времени занимают десятки часов и

. зависят от сложности тела Поэтому было принято решение разработать новые алгоритмы применительно к многопроцессорной вычислительной технике.

Разработаны различные варианты распараллеливания: по пространству и по уравнениям. Численные эксперименты с использованием

параллельной вычислительной техники и разработанных- нами алгоритмов----

для составных тел показали, что затраты машинного времени сокращаются в десятки раз.

Эта методика была испытана с помощью параллельной вычислительной машины Power Xplorer фирмы Parsitec (8 процессоров, быстродействие 1280 Mflops, опреативная память 32 Мб на процессор) на следующих объектах: двуслойный параллелепипед; кристалл на многослойной подложке; модель микросборки; блок РЭА с упорядоченным расположением элементов, конструкция из 21 элемента, (см. рис. 9-13).

Таким образом, изложенная методика оказывается пригодной для применения в системах автоматического программирования для поиска наилучших инженерных решений.

Основное содержание диссертации изложено в следующих

публикациях:

1.Шшшяов В.М., Мезина Е.Е. Пакет прикладных программ для математического моделирования температурного поля тела сложной формы //Тез. докл. республиканской научно-технической конференции "Автоматизация проектирования в энергетике и электротехнике" (17-20 сентября 1994). - Иваново: изд-во ИЭИ, 1991. - с. 75.

2.Шипилов В.М., Бухмиров В.В., Мезина Е.Е. Численное моделирование процессов нестационарной теплопроводности /Дез. док», международной научно-технической конференции "Состояние и перспективы развития электротехнологий" (25-27 мая 1994). - Иваново: изд-во ИГЭУ, 1994. - с. 50.

3.Бухмиров В.В., Мезина Е.Е. Математическое моделирование процессов нестационарной теплопроводности //Тез. докл. 14 Всероссийской конференции по физике сигнетоэлектриков. - Иваново: изд-во ИГЭУ, 1995.

4.Бухмиров В.В., Мезина Е.Е., Созинова Т.Е. Имитационное моделирование процессов нестационарной теплопроводности //Сб. тез. докл. и материалов юбилейной научно-техн. конф. Ивановской гос. арх.-строит, академии, посвященной 15-летию учреждения Ивановского инж.-строит, института (13-15 марта 1996). - Иваново: Иванов, инж.-строит, институт, 1996. - с. 25.

5.Шипилов В.М., Бухмиров В.В., Мезина Е.Е. Метод параболической аппроксимации для решения краевой задачи теории теплопроводности //Тез. докл. международ, науч.-техн. конф. "8 Бенардосовские чтения" (4-6 июня 1997). - Иваново: изд-во ИГЭУ, 1997. - с. 67.

6.Бухмиров В.В., Мезина Е.Е., Созинова Т.Е., Овсеенко A.B. Прикладная программа дам расчета нестационарной теплопроводности //Тез. докл. междун. науч.-техн. конф.: "8 Бенардосовские чтения" (4-6 июня 1997). - Иваново: изд-во ИГЭУ, 1997. - с. 68.

7.Мезина Е.Е., Ясинский Ф.Н. Моделирование температурных полей составных тел сложной формы на многопроцессорной вычислительной технике //Тез. докл. юбилейной науч.-техн. конф. "Повышение эффективности теплоэнергетического оборудования" (21-22 ноября 1997). - Иваново: изд-во ИГЭУ, 1997. - с. 22.

8.Бухмиров В.В., Мезина Е.Е., Созинова Т.Е. Исследование процесса нестационарной теплопроводности на численной имитационной математической модели //Методические указан™ к лабораторной работе. - Иваново, 1997. - 32 с.