автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Автоматизация моделирования непланарных элементов микроэлектронных структур

1 У ^ 3 2|

БЕЛОРУССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.И.ЛЕНИНА

На правах рукописи Попов Андрей Владимирович

УДК 621-.382.82.001

АВТОМАТИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЗШАНАРШХ ЭЛЕМЕНТОВ МИКРОЭЛЕКТРОННЫХ СТРУКТУР

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (информатика,• вычислительная техника и автоматизация - 05.13.00)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени калшдата технических наук

Минск 1992

Работа выполнена в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.И.Ленина

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Мулярчик С.Г.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

старший научный сотрудник Авдеев Е.В.

Ведущая организация: КТ5 "Белмикросистемы"г.Минск

Залдета состоится 22 мая 1992 года в 10 часов на-заседании специализированного Совета К 056.03.14 в Белорусском государственном университете им. В.И.Ленина (220050, г. Минск, пр. Ф. Скорины, 4)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосуниверситета им. В.И.Ленина

Автореферат разослан " 18 " апреля 1992 г.

Учены:"! секретарь специализированного Совета доктор технических наук

кандидат физико-математических наук, доцент Ковалев М.М.

профессор

........ ! ■ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

п..

Актуальность темы. Основными тенденциями современной микро-

• '.-«.а^ТеЦИп 1

" ■■^ыи цлшси являются увеличение плотности упаковки на кристалле и миниатюризация активных элементов интегральных схем. Это приводит к тому, что Физические процессы, протекающие в приборах современных больших и сверхбольших интегральных схем (БИС и СБИС) находят адекватное отражение лишь в численных моделях, поскольку традиционные упрощающие предположения, лежаше в основе аналитических моделей становятся некорректными. Поэтому в последние годы наблюдается постоянное повышение требований к программам, моделирующим поведение функционально-интегрированных элементов микроэлектронных структур, как к средству, позволяющему совместно с программой моделирования технологических процессов оптимизировать технологические маршруты изготовления изделий интегральной электроники и тем самым избежать дорогостоящих натурных экспериментов. Существует ряд постановок задачи модели- _ рования твердотельных структур, являющихся следствием наиболее общей - системы уравнений Максвелла. В диссертационной работе рассматриваются алгоритмические аспекты построения универсального программно-методического комплекса двумерного численного моделирования элементов кремниевых СБИС в рамках дрейфово- диффузионного приближения. В этом случае задача сводится к решению системы, состоящей из уравнения Пуассона относительно электростатического потенциала и уравнений непрерывности дырок и электронов относительно соответствующих концентраций или квазипотенциалов Ферми. Указанная фундаментальная система уравнений (ФСУ) физики полупроводников после алгебраизации на сетке пространственной дискретизации представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений. После линеаризации последней необходимо обращение матриц большого порядка. Подобная процедура определяет основные вычислительные затраты при проведении численных экспериментов на ЭВМ, поэтому актуальной является проблема разработки эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) большой размерности', матрицы . которых обладают рядом свойств, конкретизируемых ниже.

Поскольку, основная масса изделий микроэлектроники выполняется по КМОП- и пМОП-технологии, что предполагает разделение

активных элементов на кристалле с помощью и- и У-канавок, а также слоев оксида кремния, полученных локальным окислением, встает проблема моделирования фрагментов БИС и СБИС, содержащих непла-нарные поверхности и границы раздела сред.

Численное моделирование приборов и элементов структур микроэлектроники требует больших вычислительных затрат, следовательно для того чтобы обеспечить максимальную доступность программно-методического комплекса инженеру-разработчику элементной базы, приходится отказаться от моделирования в трех измерениях и ограничиться двумерным анализом ФСУ в плоскости, перпендикулярной поверхности кристалла. В этом случае удается реализовать такой программно-методический комплекс на современной высокопроизводительной персональной ЭВМ, в связи с чем разработка эффективных методов и алгоритмов решения отмеченных выше подзадач приобретает особое значение.

Целью Еаботы является:

1. Разработка и исследование алгоритма построения прямоугольной неравномерной сетки пространственной дискретизации, позволяющей аппроксимировать граничные условия в случае наличия в моделируемом приборе непланарных поверхностей и границ раздела сред:

2. Разработка и исследование алгоритмов автоматического формирования уравнений математической модели твердотельных структур микроэлектроники в дрейфово-диффузионном приближении.

3. Разработка эффективных вычислительных схем численного решения конечно-диагональных' систем линейных алгебраических уравнений -результата алгебраизации и квазилинеаризации фундаментальной системы уравнений.

4. Исследование полунеявных абсолютно устойчивых разностных схем численного моделирования переходных процессов в элементах СБИС.

5. Реализация универсальной программы численного двумерного моделирования на остове разработанных и исследованных методов и алгоритмов и проведение численных экспериментов.

-Научная новизна. 1. Разработана методика сокращения временных затрат при решении линейных систем методом сопряженных градиентов, состоящая в построении начального приближения и видоизменении решаемой системы уравнений.

о

4

2. Разработано и исследовано семейство НФСГ-методов, основанных на привлечении различных способов построения начального приближения для пятидиагональных симметрических положительно определенных матриц.

3. Разработан алгоритм построения прямоугольной неравномерной сетки пространственной дискретизации, позволяющей аппроксимировать граничные условия в случае наличия в моделируемом компоненте БИС непланарных поверхностей и границ раздела сред.

4. Разработан алгоритм автоматического формирования уравнений решаемой системы, учитывающий непланарность границ.

5. Экспериментально исследованы полунеявные абсолютно устойчивые схемы численного анализа переходных процессов в полупроводниковых приборах с позиций сокращения- времени моделирования динамических характеристик фрагментов ИС в двумерном приближении.

6. На основании разработанных методов и алгоритмов создан универсальный программно-методический комплекс двумерного моделирования микроэлектронных структур произвольной конфигурации, реализованный на ПЭВМ с архитектурой IBM РОАТ 286/387.

Положения. выдвигаемые на защиту:

1. Способ'построения начального приближения для метода сопряженных градиентов.

2. Семейство методов сопряженных градиентов с неполюй факторизацией для систем с симметрической положительно определенной пяти-диагональной матрицей, основанных на разработанных. способах построения начального приближения и обладающих более высокой эффективностью по сравнению с существующими алгоритмами метода сопряженных градиентов с переобусловливанием.

3. Теоретическое и экспериментальное исследование полученных модификаций НФСГ-метода.

4. Алгоритм автоматической генерации прямоугольной неравномерной сетки пространственной дискретизации, допускающей корректную обработку непланарных граним.

5. Алгоритм автоматического формирования СЛАУ для конечно-разностных аналогов уравнений ФСУ в приборах СБИС, содержащих непла-нарные границы.

6. Универсальный программно-методический комплекс двумерного численного моделирования микроэлектронных структур произвольной конфигурации.

Практическая ценность работы.

Теоретические и экспериментальные результаты диссертационной работы использованы в хоздоговорных темах, выполненных на кафедре информатики Белгосуниверситета, х/д 11828 "Разработка программных средств диалогового режима и дополнительного математического обеспечения для комплекса моделирования и расчета параметров элементов микросхем" (ном. гос. per. 01830074886), х/д \487.4 "Разработка алгоритмического и программного обеспечения расчета параметров элементов микросхем" (ном.гос.per. 01850063970), х/д 14934 "Разработать технический проект комплекса программных средств для моделирования активных элементов СБИС и обработки информационных потоков в подсистемах моделирования технологии и физико-технологических характеристик СБИС" (ном.гос.per. 01900057173), а также госбюджетной НИР "Исследование теоретических проблем САПР изделий микроэлектроники, разработка на основе универсальных ЭВМ серии ЕС и на основе высокопроизводительных мини-супер ЭВМ системы автоматизированного проектирования элементной базы ССИС" (ном.гос.per. 01880056229).

Апробация работы. ■

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на школе-семинаре "Математическое и машинное моделирование в микроэлектронике" (Паланга, 1988 г.), конференции "Проблемная адаптация алгоритмического и программного обеспечения САПР" (Киев, 1989 г.), совещании "Численные методы и средства проектирования и испытания элементов твердотельной электроники" (Таллинн, 1989 г.), Юбилейной конференции молодых ученых Белгосуниверситета (Минск, 1991 г.), конференции "Проблемы автоматизированного моделирования в электронике" (Киев, 1991 г.), международной школе-семинаре молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в проектировании" (Гурзуф, 1991 г.), третьей международной конференции "Automation, simulation S measurement" (Таллинн, 1991 г.).

Публикации.

■ Основные результаты диссертации опубликованы в пяти печатных работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы. Обший объем диссертации

составляет 160 страниц, из которых 97 страниц основного текста, 27 рисунков, 11 таблиц и список литературы на 22 страницах, включающий 185 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность ■ проблемы и новизна полученных результатов, сформулированы цели и задачи, изложены защищаемые положения, приведена аннотация диссертационной работы по главам.

В первой- глава обосновывается выбор дрейфово-диффузионной модели. Отмечено, что данная модель имеет преимущество перед более общими, такими как кинетическая, в том, что требует существенно меньших вычислительных затрат на проведение численных экспериментов. Вместе с тем она предоставляет возможность учета и исследования достаточно широкого круга процессов и явлений, определяющих функционирование элементов кремниевых БКС и СБИС. Поэтому при современном уровне развития вычислительной техники лишь двумерное моделирование с использованием дрейфово-диффузионного приближения может служить доступным инструментом инженера-разработчика элементной базы микроэлектроники.

Далее в главе формулируется математическая модель, состоящая из уравнения Пуассона, решаемого относительно электростатического потенциала и уравнений непрерывности дырок и электронов относительно соответствующих квазипотенциалов Ферми. Также приводятся дрейфово-диффузионные соотношения переноса, граничные условия и модели характеристик среды.

В практике численного моделирования структур микроэлектроники существует два основных подхода к решению нелинейной фундаментальной системы уравнений. Первый подход, базирующийся на методе Ньютона, предполагает одновременное итерирование всех трех уравнений ФСУ до выполнения условия сходимости. Второй подход основан на последовательном решении уравнений на каждой итерации до получения самосогласованного решения. При анализе элементов СБИС в условиях слабой инжекции носителей заряда оба метода обладают квадратичной сходимостью. В этом случае последовательный процесс предпочтительнее в силу существенно меньших затрат на одну итерацию. Однако в режиме высокой инжекции, когда

присутствует сильная связь уравнений ФСУ, сходимость последовательных алгоритмов замедляется. На основании этого ряд исследователей делают вывод о предпочтительности метода Ньютона, поскольку режимы с высоким уровнем инжекции наиболее характерны для элементов КМОП и пМОП СБИС, составляющих основную массу изделий современной микроэлектроники. В главе на основе анализа литературы показано, что в настоящее время отсутствуют убедительные данные, однозначно свидетельствующие в пользу какого-либо из двух упомянутых подходов к решению нелинейной ФСУ. Выбор последовательного алгоритма обосновывается в заключение главы следующими соображениями. Во-первых, метод Ньютона требует наличия достаточно хорошего начального приближения, лежащего в окрестности решения. При отсутствии ■ такового для ограничения нормы' вектора поправки 'применяется процедура демпфирования, которая существенно замедляет сходимость. Во-вторых, что имеет место главным образом для персональных . ЭВМ в связи с ограниченностью' ресурсов, метод Ньютона требует большей оперативной памяти. В-третьих, к настоящему времени разработаны эффективные полунеявные • абсолютно устойчивые разностные схемы анализа переходных процессов, предполагающие последовательное решение и позволяющие на каждом временном слое избежать внешнего итерационного процесса. В-четвертых, самым главным доводом в пользу последовательных алгоритмов является отсутствие у матрицы, обращаемой' на каждом шаге Ньютоновского процесса таких свойств, как симметрия, положительная определенность и диагональное преобладание, что затрудняет получение решения с помощью итерационных методов. Применение прямых методов приводит к существенным затратам памяти ЭВМ и особенно времени счета.

Во второй главе рассматриваются возможности построения эффективных вычислительных схем НФСГ-метода для линейных систем вида

Ах = Ь ' (1)

с симметрическими положительно определенными матрицами. До недавнего времени применение НФСГ-метода тормозилось широким распространением ЭВМ серии ЕС, диапазон представления чисел в которых позволял применять указанный метод при смещениях меньших по модулю 4,43 В. Это связано с тем, что свойства симметрии и

положительной определенности справедливы лишь в случае, когда уравнения ФСУ решаются относительно переменных ф, ехр(-<рп), ехрСфр), где фр, фп, - квазипотенциалы Ферми для дырок и электронов. Реально применение НФСГ-метода ограничивалось величиной порядка 1,5 В из-за вырождения скалярных произведений. В настоящее время широкая доступность высокопроизводительных персональных ЭВМ позволяет применять указанный метод при смещениях до 17,5 В, что охватывает широкий круг рабочих режимов элементов кремниевых БИС и СБИС.

Из теории известно, что метод сопряженных градиентов обеспечивает 'сходимость к решению за число итераций, не превосходящее порядка решаемой СЛАУ. Пусть линейная система (1) имеет порядок п. Предположим,■что нам известно k < п А-сопряжен-ных векторов р0,р1.....Рк-i- Их линейная оболочка образует подпространство Eí^r", dinf^-k. Тогда возможно построить проектор Q на Ej^, Qa=Q. Поскольку матрица А симметрическая, т.е. А=АТ, то . AQ = QTA = QTAQ . (2)

Аналогично R=I-Q есть проектор на Е2, din£2=n-k, R"^®^ и AR = RTA = RTAR .

lía основании свойства (2) векторы из и векторы из Е^ удовлетворяют условию А-сопряженности.

Представим решение х системы (1) как сумму двух составляющих уеЕх И Zе£2::

к-1

х = у + z = ZIaiPi + z ■

1=0

где

т.

Pib

Тогда для отыскания решения системы (1) достаточно найти его составляющую г, которая может- быть найдена как решение системы

Аг = ИТЬ .

На основании свойства г=*?х имеем

= (?ТЬ . (3)

(4)

Так как гапк/У? = гапк[АР,РтЫ = гапкР = гг-к, то система СЗ) совместна. Применим к (3) метод сопряженных градиентов. Причем векторы Po.---.Pm-i- Удовлетворяющие условию А-сопряженности, по которым ищется решение системы (3), ортогональны гиперплоскости АКд=0. Поэтому ш = п-к. Обозначим рк=р0.....рп_1=рт_1.

Решение системы (3) неединственно, и его можно представить в виде ■

п-1

х = у + И '

1 =к

где у - произвольный вектор, принадлежащий Е1. Положив

к—1

V ■ *о - ¡Р а1.р1 .

, 1 =о

получим решение системы (1).

Таким образом, если известно к векторов р0.....Р]<-1 •

удовлетворяющих условию А-сопряженности, решение системы (1) распадается на два самостоятельных шага. На Первом из них находится начальное приближение (НП) х0 по формуле (4), на втором - решается методом сопряженных■градиентов система (3). Применив процедуру переобусловливания уравнений, получим алгоритм НПНФСГ-метода

1.Построение матрицы Н^1.

2.Построение х0 в соответствии с (2.9)!

3.Вычисление начального сопряженного направления:

г0=Ь-Ах0 . р0=еН0Г0.

4.Итерационное уточнение (1=0,1,2,...):

г[|[?Н0г1

а, =

х1+1=х1+а1р1 , г1+1=г1-а1Ар1 ,

Г1+1КН0Г1 +1 Р1---

Г! ИН0Г1

Р1+1 +1

ю

При этом Но=СШ)-1, где А=Ш. В главе показано,что НПСГ- и НПНФСГ-методы обеспечивают получение решения за число итераций, не превосходящее п-к.

При рассмотрении линейных систем с пятидиагональной матрицей во второй главе разработаны четыре НШЖТ-алгоритма, различающиеся способом выбора к -векторов р0 ^.....рк_1. Временные

затраты на одну итерацию составляют

НФСГ - (141у+131сл+21дел)п ;

НПНФСГ1 и НПНФСГ2 - <11.5ъу+10ьсл+2.адел)п ;

•нгаюсгз - а4У+4сл+з^дел)п ; . - .

НПНФСГ4 - С12,251у+10.5ъсл+3.51дел)п .

где ъу, 1СЛ, ъдел - времена выполнения арифметических операций умножения, сложения и деления с плавающей точкой. По приведенным показателям разработанные методы обладают преимуществом по сравнению с традиционным НФСГ-алгоритмом.

В заключение главы приводятся результаты исследования НПНФСГ-методов на задаче моделирования трех биполярных транзисторных структур. Заданная точность регулировалась параметром е. При е=10~6 (именно такое значение обеспечивает необходимую точность при моделировании структур микроэлектроники) соответствующие значения времени решения всех СЛАУ при расчете режимов низкой инжекции, суммарное число внутренних итераций N и -показатели преимущества разработанных НПНФСГ-методов перед НФСГ-схемой представлены в таблице.

Как следует из таблицы, предложенные ' методы позволяют сократить время моделирования не только вследствие меньших затрат на одну итерацию, но и за счет снижения числа итераций. Как видно из таблицы, наиболее эффективные из разработанных методов НПНФСГЗ и НПНФСГ4 позволили при анализе субмикронного транзистора сократить в два раза время решения линейных систем, составляющее основные вычислительные затраты, по сравнению с традиционным НФСГ-алгоритмом.

В третьей главе рассматриваются алгоритмы автоматического формирования конечно-разностного аналога уравнений фундаментальной системы в случае наличия в моделируемом фрагменте

Таблица

вертикальный

Метод

тсубмикронный

планарный

^с ¿Л.'/. N I. с Д1:,% N г,с дt;/.

НФСГ 311 21,31 - 294 20,28 - 476 46,53 -

НПНФСГ1 290 17,09 20 265 15,59 23 446 36.40 22

НШЙСГ2 •263 15.56 27 202 11,93 41 438 35,60 23

ШШФСГЗ 253 14,43 32 172 9,94 51 415 32,69 30

НПНФСГ4 232 13,61 36 173 10,29 49 382 30,84 34

N

БИС непланарных поверхностей и границ раздела разнородных сред. В главе экспериментально установлено, что для того чтобы получить корректные значения токов на выводах прибора и. порогового напряжения, необходимо представление непланарной границы в виде кусочно-линейной ломаной линии.

Моделирование непланарных приборов СБИС не представляет особой трудности в случае применения метода конечных элементов или конечно-разностного Ьох-метода на треугольных сетках. Однако в силу нерегулярности матриц результирующих СЛАУ и использования метода Ньютона, указанные подходы требуют значительных вычислительных ресурсов, что служит препятствием для их широкого распространения и реализации на персональной ЭВМ. Более того, в данном случае встает еще одна нетривиальная проблема - построение сетки, треугольники которой не должны содержать с одной стороны тупых, а с другой - чрезмерно острых углов.

Для корректной аппроксимации непланарных границ на непрерывных прямоугольных сетках в главе предлагается два алгоритма. Первый из них - специальный алгоритм построения сетки, учитывающей форму'непланарных границ. Второй - алгоритм автоматического формирования разностного аналога уравнений ФСУ.

При построении сетки необходимо обеспечить выполнение двух противоречивых условий. С одной стороны, число узлов сетки необходимо по возможности минимизировать, поскольку оно определяет порядок решаемых СЛАУ, а следовательно, и основные

вычислительные затрат .л. С другой стороны, это число должно быть достаточным, чтобы корректно отражать решение и непланарность границ. В основу алгоритма построения сетки положены два принципа. Первый из них - сетка должна отражать структуру моделируемого фрагмента БИС; второй - ее узлы должны лежать на непла-нарных границах. Стратегия генерации сетки сводится к следующему. Сначала выполняется !дискретизация по одной из осей. Для этого структура вдоль этой оси разбивается точками, соответствующими начальным и конечным координатам различных областей, и точками, лежащими в вершинах ломаной линии, описывающей область с непланарными границами. Далее, на каждую выделенную таким образом характерную область накладывается число участков разбиения заданное на входном языке или принятое по умолчанию. Аналогичная процедура повторяется для второй оси. Сетка, построенная таким образом, не будет -точно учитывать форму границ, поскольку часть сеточных линий будет пересекать непланарные границы вне узлов сетки. Поэтому в местах пересечения сеточных линий с непланарными участками определяются узлы сетки, т.е. проводятся соответствующие линии. При этом проведенные линии могут пересекать непланарные участки вне сеточных узлов. Поэтому через такие пересечения проводятся линии, параллельные другой оси. Указанный процесс можно продолжить итерационно. При ог сутствии ■ симметрии.. непланарных участков в рассматриваемом фрагменте БИС,- такой процесс будет бесконечным. Более того, даже если симметрия имеет место, число линий сетки может быть слишком большим, а их густота - чрезмерной. По этой причине привлекается следующее соглашение: если существует соседняя линия, на расстоянии меньшем некоторого е, новая линия не проводится.

В построенной таким способом сетке границы раздела, сред могут проходить как по сеточным линиям, так и по диагоналям между узлами с -тки.

В качестве алгоритма автоматического формирования С.":АУ вида (1) для уравнений ФСУ предлагается обобщение подхода, при котором коэффициенты каждой строки указанных СЛАУ рассчитываются на основании суммирования вкладов отдельных квадрантов ячейки дискретизации соответствующего сеточного узла. Это позволяет в рамках единого вычислительного алгоритма учитьвать произвольные граничные условия. Поскольку в данном случае границы могут

проходить по диагоналям между узлами сетки, то ячейка дискретизации подразделяется на восемь треугольных сегментов. В третьей главе приводятся соотношения для вкладов в коэффициенты строки матрицы СЛАУ вида (1) и соответствующий элемент вектора правых частей со стороны треугольных сегментов, лежащих в кремнии, оксиде кремния, металле омического контакта, свободном объеме и за -отражающей границей. Указанные соотношения получены не только для уравнений ФСУ, но и для уравнения непрерывности полного тока и уравнения 1

ДФ1+1 = - — + тс^сп1,^1) + "¡"и' рСр1,ф1+1)) , (5) е

где 1 - номер временного слоя, т - размер шага по времени, ф -электростатический потенциал, п, р - концентрации электронов и дырок, р - плотность заряда, е - нормированная диэлектрическая проницаемость материала, ^ - плотности электронного и

дырочного токов. Последние два уравнения решаются относительно электростатического ' потенциала при моделировании переходных процессов с помощью полунеявных абсолютно устойчивых разностных схем.

В четвертой главе предлагается новая версия универсального программно-методического комплекса двумерного численного моделирования элементов СБИС произвольной конфигурации КР5М, реализованная на современной высокопроизводительной персональной ЭВМ. Приводится структура комплекса, его информационные связи.

В главе приводятся также примеры, иллюстрирующие широкие возможности и высокую эффективность разработанного программно-методического комплекса, предложенных и исследованных методов и алгоритмов. В качестве первого " примера рассматривается изолирующая МОП-структура с окислом, полученным локальным окислением и содержащим "птичий клюв", т.е. непланарные границы. В настоящее время нет публикаций, посвященных . исследованию подобного паразитного МОП-транзистора численными методами. Это связано с трудностью получения его характеристик с. помощью упрощенных подходов, а также с тем, что численное моделирование данной ' структуры также является сложной проблемой, о чем свидетельствуют лишь редкие результаты в зарубежной литературе, несмотря на достаточное количество программных средств, с помощью

которых в принципе возможно моделирование указанной структуры.

При отношении размера в третьем измерении к топологической длине И/1_=45/4 мкм и толщине окисла 1,4 мкм проводилось сравнение результатов моделирования с экспериментальными измерениями, результаты которого представлены на рисунке.

- - моделирование с помощью КГЗМ, д - результаты

измерений.

В главе приводится пример, показывающий, что для того чтобы получить корректные токи на выводах и пороговое напряжение, необходимо при аппроксимации непланарных границ привлечение подхода, описанного в третьей главе. В заключение анализа изолирующей ШП-структуры приводятся результаты исследования влияния дозы имплантированного бора на ее характеристики.

В качестве второго примера, иллюстрирующего возможности комплекса КРБМ, проводится анализ субмикронного биполярного транзистора в условиях высокого уровня инжекции. Показано, что применение квазигуммелевского алгоритма позволяет сократить время моделирования на 32% по сравнению с методом, используемым в аналогичных программах двумерного численного моделирования приборов СБИС.

В заключение главы на примере включения субмикронного транзистора проводится сравнительный анализ трех наиболее

эффективных полунеявных абсолютно устойчивых разностных схем. В результате исследования установлено, что самой предпочтительной из них является та, в которой »на каждом временном слое вначале электростатический по' энциал находится из уравнения (5), а затем концентрации электронов и дырок определяются путем решения соответствующих уравнений непрерывности. При этом моделирование процесса включения указанного транзистора требует порядка 20 минут процессорного времени на IBM PC/AT 386/387.

Основные результаты работы приводятся в выводах по каждой главе и обобщаются в заключении :

1. Предложен способ построения начального приближения для метода сопряженных градиентов. На его основе построено семейство модифицированных методов сопряженных градиентов с переобусловливанием при помощи неполного LU-разложения для систем с симметрическими положительно определенными пятидиагональными матрицами.

2. Проведено теоретическое и экспериментальное исследование полученных методов. Б результате установлена их более высокая эффективность по сравнению с известными схемами ЩСГ-метода. Высокая эффективность разработанных методов достигается как за счет сокращения затрат на одну итерацию, так и за счет сокращения числа итераций. Установлено, что применение предложенных методов позволяет существенно сократить временные затраты при моделировании элементов интегральной электроники.

3. Разработан алгоритм автоматической генерации прямоугольной неравномерной сетки пространственного разбиения и алгоритм автоматического формирования конечно-разностного аналога уравнений фундаментальной системы, позволяющие проводить моделирование функционально-интегрированных элементов СБИС, содержащих непла-нарные поверхности и границы раздела разнородных сред.

4. На основании предложенных методов и алгоритмов создан универсальный программно-методический комплекс двумерного численного моделирования переходных процессов и стационарных режимов в микроэлектронных структурах, реализованный на современной' высокопроизводительной персональной ЭВМ. Экспериментальная проверка разработанного комплекса на широком круге полупроводниковых структур подтвердила результаты исследований, проведенных в диссертационной работе, достоверность

и высокую эФФективгость предложенных методов, алгоритмов и программных средств.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Мулярчик С.Г..Соловьев В.Г..Попов A.B. Реализация управления током при моделировании элементов полупроводниковых структур // Тез.докл.респ.сов."Численные методы и средства проектирования и испытания элементов твердотельной электроники". Таллинн. 1989. - Т. 1. - С. 116-119.

2. Мулярчик С.Г..Соловьев В.Г..Попов A.B. Пакет программ двумерного моделирования полупроводниковых структур с неплакарными границами // Тез. докл. респ. совещания "Численные методы и средства проектирования и испытания элементов твердотельной электроники". Таллинн, 1989. - Т. 1. - С. 120-122.

3. Мулярчик С.Г..Попов A.B..Соловьев В.Г. Автоматизация формирования математических моделей для структур с непланарными границами // Радиоэлектроника. - 1990. - Т. 33, N 6. - С. 71-73. (Изв. высш. учеб. завед.).

4- Мулярчик С.Г..Попов A.B. Исследование полунеявных схем численного моделирования переходных процессов в элементах СБИС // Тез. докл. Междунар. ж. молодых ученых и 'п^циалистов "Новые информационные технологии в проектировании", Гурзуф, 1991. -С. 125-126.

5. Попов A.B. Двухмерное моделирование переходных процесэв в элементах СБИС // Тез. науч. конф., поев. 70-летию Белгосуни-верситета "Актуальные проблемы социально-гуманитарных и естественных наук". Минск, 1991. -С. 197.