автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аппроксимация пространственных кривых в диагностическом анализе векторкардиограмм

На правах рукописи

\

АЙДУ

Эдуард Альфред-Иоханесович

АППРОКСИМАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ В ДИАГНОСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВЕКТОРКАРДИОГРАММ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

к

Москва - 2005

Работа выполнена в Институте проблем передачи информации РАН

Научный руководитель:

доктор биологических наук кандидат технических наук, профессор

Л. И. ТИТОМИР

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

В. В. ЗЯБЛОВ

доктор технических наук В. П. БУЛЫГИН

Ведущая организация:

Российский научный центр "Курчатовский институт"

Защита диссертации состоится « » декабря 2005 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 002.077.01 при Институте проблем передачи информации РАН по адресу: 127994, Москва, ГСП-4, Большой Каретный пер., дом 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации РАН.

Автореферат разослан «_» _2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002,077.01

доктор физико-математических наук

И. И. Цитович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современная медицинская диагностика немыслима без регистрации и последующего анализа электрической активности органов и тканей.

Новые мощные диагностические средства неинвазивной интроскопии , например, томографы и ультразвуковые анализаторы могут дать важную информацию для повышения точности электрофизиологической диагностики, но не в состоянии заменить ее. Особенно на ранних стадиях развития болезни, когда анатомические нарушения в тканях еще не заметны, а возникли лишь изменения в их электрической активности. Немаловажное значение имеет сравнительно низкая стоимость, относительная простота и мобильность технических средств проведения электрофизиологических и, в частности, электрокардиографических исследований.

Для неинвазивной кардиологической диагностики в последние десятилетия параллельно со стандартной электрокардиографией, основанной на анализе сигналов 12 стандартных отведений, активно развивается ортогональная электрокардиография, или векторкардиография, основанная на анализе векторкардиограмм (ВКГ) — синхронно регистрируемых сигналов трех отведений, отражающих изменение вектора дипольного момента электрического генератора сердца. В дополнение к традиционному анализу электрокардиограмм (ЭКГ), при котором ЭКГ отдельных отведений рассматриваются как скалярные функции времени, ВКГ рассматриваются как кривые в трехмерном пространстве, являющиеся траекториями конца вектора сердца. Это дает более ясную биофизическую и электрофизиологическую интерпретацию электрокардиосигналов. Большинство сравнительных исследований диагностической информативности отдают предпочтение векторкардиографии.

В настоящее время компьютерные системы электрокардиографической диагностики получили широкое распространение в медицинских учреждениях разных уровней, от крупных клиник до кабинетов ЭКГ диагностики в небольших поликлиниках. Почти экспоненциальный рост мощности компьютерной техники и развитие информационных технологий предоставляют новые возможности для развития и совершенствования электрокардиологической диагностики.

Важной составной частью современной компьютерной электрокардиографии являются алгоритмы обработки, представления и анализа электрокардиографических данных. Настоящая работа посвящена разработке методов и алгоритмов для практической реализации новых перспективных направлений, основанных на анализе ВКГ, таких как электрокардиография высокого разрешения, нагрузочные тесты, динамическое наблюдение, холтеровский мониторинг и др.

Некоторые подходы к аппроксимации, кодированию и классификации кривых линий (в частности, ВКГ), использующие множественность их параметрических представлений, были предложены И. Ш. Пинскером, В. Г. Поляковым, В. В. Шакиным и развиваются в настоящей работе.

Результаты, включенные в диссертацию, являются частью исследовательских работ, проводимых в рамках плановых тем ИПГТИ РАН и работ, поддержанных Государственной научно-технической программой "Информатизация России" (№037.03.359.12/1-99), программой фундаментальных исследований Президиума РАН "Фундаментальные науки - медицине", грантами Российского фонда фундаментальных исследований (№ 01-01-00104, №03-01-00147) и ШТАБ (№ 99/01319).

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является разработка алгоритмов приближения и параметризации кривых для компьютерной обработки и диагностического анализа векггоркардиснрамм.

Достижение поставленной цели осуществлялось путем решения следующих задач:

• Анализ особенностей векторкардиограмм и принципов их диагностического анализа.

• Постановка общей задачи приближения кривых; определение семейства аппроксимирующих функций и меры близости или расстояния между кривыми в многомерном пространстве.

• Теоретический сравнительный анализ методов решения задачи приближения и параметризации кривых при наличии шума.

• Разработка алгоритма среднеквадратичного приближения гладких кривых.

• Разработка алгоритмов приближения и параметризации кривых при наличии шума по методу максимального правдоподобия.

• Реализация разработанных методов и алгоритмов в виде компьютерных программ.

• Оценка эффективности разработанных методов и алгоритмов при решении модельных и практических задач.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы математической статистики, обработки и анализа данных, распознавания образов и компьютерного моделирования.

Научная новизна работы.

Сформулирована общая задача восстановления пространственной кривой по случайно искаженным наблюдениям, решение которой допускает применение метода максимального правдоподобия для оценки параметров кривой с учетом множественности её параметрических представлений. Теоретический анализ этой за-

дачи позволил впервые разработать эффективные алгоритмы, инвариантные относительно множества параметрических представлений кривой.

Разработанные алгоритмы оказались полезными инструментами для предварительной обработки и диагностического анализа ВКГ, позволившими установить новые закономерности электрофизиологии сердца, получить новые диагностические критерии и повысить точность диагностических электрокардиологических заключений.

Практическое значение и реализация результатов.

,, Результаты настоящего исследования подтверждают полезность и эффективность используемых в диссертации подходов к аппроксимации кривых с выбором наилучшего с той или иной позиции параметрического представления. Применение разработанных алгоритмов открывает новые возможности для вычислительной обработки и анализа не только векторкардиографических кривых, но и ряда других объектов при решении задач распознавания, обработки изображений, разведочного анализа данных и прикладной статистики.

Обнаружены практически важные закономерности электрофизиологии сердца. Диагностические векгоркардиографические критерии, полученные при использовании разработанных алгоритмов для обработки и диагностического анализа ВКГ, применяются в клинической практике. .

Разработанные алгоритмы и программы являются частью программно-алгоритмических комплексов, созданных в лаборатории обработки биоэлектрической информации Института проблем передачи информации РАН:

• ДЭКАРТО (дипольная электрокардиотопография) — обработка и содержательно-образное представление биоэлектрического процесса в сердце на основе простых неинвазивных измерений, осуществляемых при помощи трёх ортогональных отведений. Применяется в Научно-исследовательском институте кардиоло; гии им. А. Л. Мясникова Российского кардиологического научно:рроизводствен-ного комплекса, Государственном научно-исследовательском центре профилактической медицины и в других медицинских организациях. " •'

• МУЛЬТЭКАРТО (мультипольная электрокардиотопография) — мониторирова-ние и регистрация многоканальных элекгрокардиосигналов на поверхности тела человека, предварительная обработка, графическое представление^лектрического потенциала на поверхности тела, вычисление и графическое представление электрического потенциала и основных физиологических состояний, гадокарда на ква-зиэпикардиальной поверхности. Программный комплекс в^од^ в состав программно-аппаратного комплекса, разработанного Всероссийским научно-

исследовательским институтом автоматики им. Н. Л. Духова и применяется в Московском научно-исследовательском центре интервенционной кардиоангиологии.

• АСТРОКАРД — программный комплекс для анализа векторкардиограмм большой базы данных, содержащей электрокардиосигнапы, зарегистрированные во время параболических полетов самолета лаборатории АлЬиБ-ЗОО (№>уезрасе-СМЕБ-ЕвА). Эта работа осуществлялась по проекту ШТАБ N0. 99-01391.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы были доложены на научных семинарах Института проблем передачи информации РАН, на российских и международных научных конференциях, в том числе: на Российском национальном конгрессе кардиологов, Москва, 2001; на XII конференции Космическая биология и авиакосмическая медицина, Москва, 2002 г.; 4-я международная конференция "МеаяигетеМ-гООЗ", Братислава, 2003 и др.

Программный комплекс ДЭКАРТО, в котором реализованы некоторые результаты диссертации, отмечен золотыми медалями на международных выставках изобретений и инноваций ("Эврика-2001", Брюссель; "Архимед-2002", Москва).

Публикации. Результаты диссертации содержатся в 21 работе, список основных приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения 'И' списка литературы из 80 наименований. Работа изложена на 121 страницах и содержит 28 рисунков и 1 таблицу. • .г

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика проблемы параметризации кривых для компьютерной обработки и диагностического анализа векторкардиограмм, обосновывается актуальность проблемы, рассматриваются цели и задачи исследования.

В первой главе диссертации дается краткий обзор ортогональных систем электрокардиографических отведений, являющихся источником векторкардиографических пространственных кривых. Описаны методы их графического представления, как традиционные методы — скалярная ортогональная электрокардиография й вектор-кардиография, так и новый метод — ДЭКАРТО, в развитие которого автор данной диссертации принимал активное участие и для которого предназначены представленные здесь алгоритмы. Рассмотрены проблемы и задачи, возникающие при компьютерной обработке и диагностическом анализе векторкардиограмм.

Центральным моментом электрической активности сердца является деполяризация клеток сердечной мышцы. В состоянии покоя разность потенциалов между

внутренней и наружной поверхностями клеточных мембран составляет приблизительно 90 мВ. Локальное резкое увеличение проводимости мембраны приводит к ее деполяршашш, распространяющейся далее от одной клетки к другой, вызывая волну деполяризации. Затем клетки восстанавливают поляризацию и переходят в состояние покоя. Этот процесс называется реполяризацией. Распределение потенциалов на поверхности тела отражает различие уровней поляризации клеток разных областей сердца в каждый момент времени.

Электрокардиограмма (ЭКГ) — это 1рафическое представление изменений электрического потенциала (или линейной комбинации потенциалов) в определенных точках на поверхности тела, возникающих в результате деятельности сердца. На ЭКГ обычно четко выявляются фазы деполяризации предсердий, деполяризации и реполяризации желудочков сердца.

Наиболее широкое распространение в клинической практике получила стандартная электрокардиография, предусматривающая измерение потенциалов в 12 стандартных отведениях.

В большинстве случаев и с приемлемой для практики точностью электрический генератор сердца может быть аппроксимирован эквивалентным диполем, момент которого был назван "электрический вектор сердца" или просто "вектор сердца".

Параллельно со стандартной электрокардиографией успешно развивается и векторкардиография, основанная на анализе векторкардиограмм. Векторкардио-грамма (ВКГ) — это траектория движения конца электрического вектора сердца. Графики изменения проекций этого вектора на оси ортогональной системы координат называются ортогональными ЭКГ, а система электродов и схема регистрации таких ЭКГ называется корригированной ортогональной системой отведений. Слово "корригированной" здесь значит, что система отведений сконструирована для компенсации положения генератора и с учетом влияния ограниченности тела и других факторов, искажающих электрическое поле сердца. Большинство сравнительных клинических исследований отдают предпочтение векторкардиографии.

Наиболее распространенной корригированной ортогональной системой электрокардиографических отведений является система, предложенная в 1956 году Франком (рис. 1, 2). Существуют и другие системы, отличающихся числом электродов, их расположением и формулами вычисления вектора сердца. Некоторые современные электрокардиографы регистрируют и сохраняют в памяти сигналы корригированных ортогональных отведений, но предоставляют врачу 12 стандартных ЭКГ, которые вычисляются по определенным формулам.

Рис. 1. Расположение электродов системы отведений Франка и стандартная вектор-кардиографическая система координат хуг.

Рис. 2. Электрическая схема соединения электродов для получения сигналов системы отведений Франка.

Богатый опыт анализа стандартных ЭКГ, накопленный за столетие, применяется и при анализе ВКГ. Для их диагностической интерпретации анализируется форма кривых, зависящая от состояния сердца и ряда других факторов, при этом используются в основном такие же параметры и характерные элементы ЭКГ (рис. 3), как и в стандартной электрокардиографии, Эту методику называют "ортогональной электрокардиографией".

..........0,5 мВ

сегмент

Р-Я " «—►

Р-Р!

-интервал-

О

0156«-

1 ММ 0.04 с-

|М

Г25 мм/с?

Чи' ■

Скоро ;ть

Э-Т

инторваг : в-Т

1 мм 0,

¿10 мм/мВ)

Мае! 1тае

-и

Рис. 3. Схематическое представление типичной нормальной ЭКГ на стандартной бумаге и основные характеристики ЭКГ, используемые для диагностической интерпретации.

Основная концепция векторкардиографии\ синхронная регистрация компонент вектора сердца и представление их в виде пространственных кривых (проекций на координатные плоскости), отражающих движение конца этого вектора (рис. 4). Фазы электрической активности сердца: деполяризация предсердий, деполяризация и реполя-ризация желудочков выглядят отдельными петлями на пространственных ВКГ (рис. 5).

У

Рис. 4. Схематическое изображение ВКГ Рис. 5. Векгоркардиографические петли: и её проекций на фронтальную, транс- Р— деполяризация предсердий, версальную и сагиттальную плоскости. QRS — деполяризация желудочков и

Т— реполяризация желудочков сердца.

В последние десятилетия быстро развивается одно из наиболее прогрессивных направлений электрокардиографии — картирование электрического потенциала сердца по синхронным сигналам множественных отведений (несколько десятков электродов). Преимуществом таких систем является относительно полное представления информации об электрическом поле сердца и возможность топографического представления его электрофизиологических характеристик с привязкой к анатомическим ориентирам. Применение таких методов осложняется из-за трудоемкости наложения большого числа электродов, в особенности при тяжелом состоянии пациента, и из-за относительно высокой стоимости такого исследования. Однако топографическое содержательно-образное представление данных может быть реализовано в упрощенном виде на основе корригированных ортогональных систем отведений.

Дипольная эпектрокардиотопография (ДЭКАРТО) — это картирование электрофизиологических процессов и характеристик сердца с использованием лишь трех компонент вектора сердца. Исходя из знаний о структуре биоэлектрического генератора сердца, были сформулированы математические модели, схематически представленные на рис. 6. Модели отражают основную геометрическую 4 конфигурацию и электрофизиологические характеристики процесса возбуждения

сердца. При деполяризации желудочков сердца рассматриваются три основных состояния s стенки сердца (рис. б, вверху): невозбужденное состояние, т.е. состояние 1 покоя, s = Rest; состояние активации (наличие фронта деполяризации, пересекаю-

щего стенку сердца в данном радиальном направлении), s = Act; полностью возбужденное (деполяризованное) состояние, s = Dep.

-А^

Ч ч ^

Рнс. 6. Проецирование состояний стенки сердца на сферу отображения (СО). Модели для двух моментов периода репо-ляризации (¡1 и /г), одного момента периода быстрой реполяризации (/3) и одного момента периода медленной реполяризации при наличии ишемического повреждения стенки сердца (^т); эти моменты кардио-цикла указаны на соответствующей электрокардиограмме внизу. Светлой стрелкой показано направление вектора сердца Э.

Для наглядного представления динамики охвата желудочков возбуждением формируются топографические изображения основных электрофизиологических состояний и характеристик стенки сердца в проекции на сферический квазиэпикард, или сферу отображения. При построении дэкартограмм используется синусоидальная картографическая проекция сферы отображения, разрезанной по меридиану, обращенному к правому боку грудной клетки. Наряду с последовательностью моментных дэкартограмм (рис. 7) формируются более компактные топографические отображения процесса охвата желудочков возбуждением - суммарные дэкартограммы.

Деполяризация

Рис. 7. Моментные дэкартограммы (слева) и суммарные дэкартограммы (справа) здорового сердца

При компьютерной обработке ЭКГ естественно рассматривать как скалярные функции времени, а синхронно измеренные ЭКГ как компонента вектор-функции. В частности, ортогональные ЭКГ: <3(0=(<1.(0. <3:,(')> — трехмерная вектор-функция. ВКГ представляет собой годограф вектор-функции «!(/), или тра-есторию, описываемою <1(г) в трехмерном пространстве, а ортогональные ЭКГ — параметрическое представление этой линии. Вариации скорости протекания процессов деполяризации и реполяризации миокарда от цикла к циклу не меняют ВКГ, изменяется лишь параметрическое представление этой линии.

Задачи, возникающие при компьютерной обработке ЭКГ и ВКГ сходны, но методы решения этих задач различны, как и методы приближения вектор-функций и методы приближения кривых (линий). Определение параметров и характеристик элеетрокардиосигналов для принятия клинического диагностического заключения существенно осложняется воздействием целого ряда разнообразных технических, нормальных физиологических и патофизиологических факторов. Эти факторы можно разбить на две существенно различные группы.

К первой группе факторов отнесем случайные помехи, возникающие в любой технической системе, и помехи вызванные электрофизиологическими процессами, протекающими вне сердца. Ко второй группе отнесем экстракардиальные факторы, т.е факторы, изменяющие форму измеренных электрокардиосигналов, но не связанные с изменением электрофизиологических процессов в миокарде (дыхательные движения, изменении позы, изменении силы тяжести во время полета).

Таким образом, возникают две задачи: 1) очистить ЭКГ и ВКГ от случайных помех, вызванных первой группой факторов (сглаживание или фильтрация); 2) определить преобразования ЭКГ и ВКГ вызванные воздействием второй группы факторов, с целью оценки влияния экстракардиальных факторов и нормализации (приведение к идентичным условиям измерения) циклов для их сравнительного диагностического анализа.

Обе эти задачи могут быть сформулированы как задачи аппроксимации: требуется найти функцию (линию) из некоторого заданного множества функций (линий) по наблюдаемой последовательности точек, случайно отклонившихся от искомой функции (линии). Методы и алгоритмы решения таких задач различаются конкретным заданием множества функций (линий), среди которых лежит искомая функция (линия), определением расстояния между элементами этого множества, и статистическими характеристиками помех. Алгоритмы приближения функций и вектор-функций хорошо разработаны, тогда как аппроксимация линий (а следовательно, и задача сглаживания или нормализации ВКГ) является относительно новой и более сложной задачей.

Во второй главе дается общая постановка задачи восстановления линии по случайно искаженным наблюдениям, рассматриваются частные случаи и проводится анализ различных подходов к решению этой задачи. Рассмотрены вопросы состоятельности (сходимости оценок параметров к их "истинным" значениям при увеличении числа наблюдаемых точек) для двух вариантов применения метода максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов. Намечены пути для разработки алгоритмов решения поставленных задач.

Предположим, что искомая линия принадлежит некоторому заданному семейству W линий в fc-мерном эвклидовом пространстве R . Каждая линия Lpe W представима в виде непрерывной вектор-функции I (Д t), te[a, b], отображающей отрезок [а, 6] действительной оси на линию Lp с R , /3 - параметр, определяющий эту линию, принимает значения из некоторого множества В, Р е В. Будем полагать, что отображение

{I (ДО; te[a,b]} (1)

устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством параметров В и множеством линий W.

Наблюдаются п случайных точек х, е R ; их математические ожидания лежат на одной из линий Lp е W :

х<=1 ОН) + #„ (2) где — независимые одинаково распределенные случайные вектора с нулевым математическим ожиданием Е= 0; f(а, - плотность их распределения, а -некоторый параметр, а е А. Значения параметров а, Д (i = 1..... и) предполагаются неизвестными. Интерес здесь представляют структурные параметры а и Д определяющие линию и характер шума, общие для всех наблюдений, а значения ti (свое для каждого наблюдения) рассматриваются как несущественные. То обстоятельство, что значения аргумента tt неизвестны, является важным отличием рассматриваемой задачи от задачи классической регрессии.

Относительно значений аргумента U можно предположить, что либо эти значения фиксированы (хотя и неизвестны), либо они являются случайными величинами. В первом случае наблюдаемые точки имеют различные плотности распределения:

~ f(a,x-l (#*,))• (3)

Во втором случае будем предполагать, что — независимые случайные величины с одной и той же неизвестной функцией распределения Q(t). Тогда наблюдаемые точки также независимы и одинаково распределены; их плотность равна

~ ff(«,*-l(M))dQ(O = U(0,Q;*), <? = («,/?)• (4)

Эти предположения определяют различные статистические модели. Здесь можно провести некоторую аналогию с регрессионными задачами, в которых значения независимых переменных также могут рассматриваться как фиксированные, заранее заданные величины (классическая регрессия), или же как случайные величины (схема случайной выборки).

Обе статистические модели ((2)-(3) или (2)-(4)) определяются заданием линии, а не конкретным видом вектор-функции, ее представляющей. Всякая линия допускает множество представлений: I (Д ф(г)) также описывает линию Ьр (ф(т) — произвольная непрерывная взаимно-однозначная функция). Соответственно соотношения (2) могут быть представлены в эквивалентном виде

= I (Д 0(т,)) + (5)

Распределения (3) или (4) также инвариантны относительно замены переменной / = 0(т). Это дает основание назвать задачу оценивания параметра р задачей восстановления линии.

Целый ряд внешне различных задач, интересных и с практической, и с теоретической точек зрения, можно рассматривать как частные случаи общей задачи восстановления линии по случайно искаженным наблюдениям. Задание семейства линий определяет конкретный вид задачи. В диссертации рассматриваются следующие частные случаи:

оценивание функциональной или структурной зависимости; наиболее важный и хорошо изученный частный случай — линейная функциональная зависимость при нормальном шуме;

оценивание монотонной функциональной или структурной зависимости; оценивание параметров аффинного преобразования линии; оценивание параметров линии, представимой линейной комбинацией заданных вектор-функций;

непараметрическое оценивание линии при заданных параметрах шума,

Общая задача оценивания параметра ¡3 по наблюдениям (2) при неизвестных значениях , по-видимому, ранее не рассматривалась, за исключением одного частного случая: оценивание функциональной или структурной зависимости (в основном линейной зависимости). Во многих работах изучались сходные, но не статистические задачи, возникающие при описании линий на изображениях.

Для решения поставленной статистической задачи естественно применить метод максимального правдоподобия. Но сделать это можно различными способами, в зависимости от предполагаемой модели или схемы возникновения наблюдаемых случайных точек.

Ог^гкигаяиг структурных параметров при регулярных несущественных параметрах. Для статистической модели 12)-(3) с регулярными несущественными параметрами функщц,правдоподобия записывается в таком виде:

Ца,р,Т\Х) = - 1(М))> Т = иь12.....X = (хъх2,...,хп). (6)

/=1

Оценки структурных параметров определяются из соотношения:

Я,с(<*,АЛ>8ир8ир к(а,р,Т;Х). (7)

а,Р Т

Для одного частного случая поставленной задачи, а именно, для линейной функциональной зависимости при нормально распределенных ошибках известно, что оценки структурных параметров линейной функциональной зависимости при неизвестной матрице ковариаций несостоятельны, а если матрица ковариаций известна, то оценки параметров прямой линии будут состоятельными.

Для общей задачи восстановления кривой, когда кривые не обязательно являются прямыми линиями, в диссертации доказана несостоятельность оценок структурных параметров как методом максимального правдоподобия, так и методом наименьших квадратов.

Однако при определенных ограничениях, в том числе и на несущественные параметры, применение метода наименьших квадратов может привести к состоятельному оцениванию структурных параметров.

Пусть I (Д ?) — представление линии в виде вектор-функции,

Д е В, Ге [0, 1]; Ф — множество отображений отрезка [0, 1] на себя. Введем дополнительные ограничения на множество параметризующих функцийф((): будем полагать, что ф(?) принадлежит некоторому множеству ФсФ непрерывных функций вида 7, 0> 7— некоторый параметр, у е Г.

В эквивалентной задаче нелинейной регрессии наблюдения имеют структуру

ж/ = I(Д ИЪ г, )) + г, = г/(и+1), I = 1 (8)

Тогда верна следующая теорема.

Теорема. Пусть наблюдения представимы в виде (8), I (Д () — непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица | I (Д О -1 (/?, г)'' < М ■ - г'| для всех /3 е В, В — компакт; {ф{у, /), 7€ Г} — компактное множество функций с равномерно ограниченной вариацией. Тогда оценки по методу наименьших квадратов

1=1 2 являются строго состоятельными оценками параметров во = (А 7) и <г.

Оценивание структурных параметров при случайных несущественных параметрах. Для статистической модели (2)-(4) со случайными несущественными параметрами функция правдоподобия записывается в таком виде:

* (в, Q;^)=n U(0, Q; *,)=П if(a> *« "1 (Д 0dQ(0. в = (a, p).

1=1 i=l

Оценки структурных параметров 6 = (й, ft) и оценка функции распределения Q(/) несущественных параметров определяются из соотношения

l0,(}lX) = sup\(9,Q;X). e,Q

Кифер и Вольфовиц показали, что при условии идентифицируемости функции распределения U (U(0|, Q^ *) Q2; x), если 0, т±в2 и Ch ?<>2) и при обычных условиях регулярности функции распределения U оценки максимального правдоподобия будут строго состоятельны. Кроме того, непараметрическая оценка Q также будет строго состоятельной оценкой смешивающего распределения Q(/).

Отсюда следует, что для задачи оценивания параметров кривой при случайных несущественных параметрах метод максимального правдоподобия приводит к строго состоятельным оценкам не только параметров линии, но также и к строго состоятельным непараметрическим оценкам распределения, характеризующего случайный выбор точек вдоль линии.

В третьей главе разрабатываются алгоритмы решения поставленных задач: алгоритмы для оценивания параметров линии методом максимального правдоподобия и алгоритм "сближение - наведение" для среднеквадратичного приближения линий. Показана эффективность разработанных алгоритмов на примере решения ряда модельных задач.

Основная идея ЕМ-алгоритма (Dempster А.Р., Laird N.M., Rubin D.B., 1977). Пусть наблюдается случайная величина X, являющаяся некоторой известной функцией другой случайной величины Z; ВДФ) — плотность распределения Z, зависящая от параметров Ф е 1); s(^<3?) — плотность распределения X, г(2р",Ф) — условная плотность распределения Z. Логарифм функции правдоподобия по наблюдаемой случайной величине ^представим в виде разности:

А(Ф) = Л(Ф, ЛЭ = Л,(Ф | Ф')-Л2(Ф | Ф'), где Л,(Ф | Ф') = Е(1п h(Z |Ф)| X, Ф% Л2(Ф | Ф') = Е(1п г{2 \Х, Ф)| Jt^ Ф% Е( | ) — условное математическое ожидание. Вычисление оценок максимального правдоподобия производится итеративным методом. — параметры, определенные на j-й итерации, (J+ 1)-е приближение находится в два шага:

1) Е-шаг (Expectation step) — определяется Л|(Ф | Ф^'); (9)

2) М-шаг (Maximization step) — вычисляется следующее приближение Ф(-/+1 \ максимизирующее Л[(Ф | ФУ)). (10)

Последовательность значений функции правдоподобия Х(Ф) в точках Фи' будет монотонно возрастающей: Л(Ф(~,'И)) В диссертащш приводятся

общие свойства получаемой последовательности оценок параметров

ЕМ-алгоритм оценки параметров линии. Пусть Z= {(х,, f()} ,=1 „ — множество пар, составленных из наблюдаемых векторов х, (формула (2)) и соответствующих им значений г,; Х~ {(х,)} ,= 1 „ — наблюдаемые точки; Ф = (a, ft Q) — параметры, определяющие линию (|3), разброс точек возле нее (а) и распределение несущественных параметров (Q(f), q(t)dt = dQ(t)). Тогда (9)-(10) после преобразований имеют следующий вид:

1) Е-шаг (Expectation step) — определяется Aj (Ф | Ф'):

Л,(Ф|Ф') = У f(lnf(a,*,- l([3,/)) + lnq(/)) ^'Z'1^ dr> i")

~ J i f(a l(P',T)q'(T)dt

2) М-шаг (Maximization step) — вычисляется следующее приближение

1> = (а'*] >, (3°+' \ Q(J+])), максимизирующее Л,(Ф | Ф0)):

(aw+1), jffy+1>) = argmaxj Jin i{a,Xi-\{p,t)) v\j\t) d t, (12)

a,fi ¡=1

qU+1)(t) = argmax fin q(f) W°'+1)(*)df = W°'+1)(0, 4(0

Функции \Vj\t) — это условные плотности распределения параметра t, при условии, что наблюдается точка х„ а параметры, определяющие шум, линию и распределение несущественных параметров, равны соответственно и

Степень сложности задачи максимизации (12) определяется видом функций f(a, £) и l(|3, t), Наиболее простой вид приобретает эта задача при нормальных случайных отклонениях наблюдаемых точек xt от искомой линии Lp, что и предполагается в диссертации при разработке алгоритмов для частных случаев поставленной задачи:

- оценивание параметров линии, представимой линейной комбинацией заданных вектор-функций;

- оценивание параметров аффинного преобразования линии;

- оценивание монотонной функциональной или структурной зависимости;

- непараметрическое оценивание линии при заданных параметрах шума.

Например, при оценивании параметров линии (2), представимой линейной комбинацией вектор-функций, т.е.

т

Iт = fls(t) = (Л, -. fim) (gl(0- -, gm(0)T = I>r gr(0.

r=l

М-шаг алгоритма для определения коэффициентов сводится к решению системы линейных уравнений /3(J+])AU) = 6(Л,где = {ars}^{-";"1'J,

bU) ars = J<grW.g,(0)W^(i)d/, ¿>5 = ¡(gMZxi^iOjdt.

Итерация (/+1) для оценки дисперсии шума = (сг2)^4^ вычисляется по

1 ^ 2 формуле: = ~ £ - /?0"+1> g(0j| wp}(i)dt.

Разработан алгоритм "сближение - наведение" для среднеквадратичного приближения кривых. Все разработанные алгоритмы являются итерационными, каждая итерация состоит из двух шагов.

Для алгоритма "сближение - наведение" это следующие шаги:

- наведение, определение нового соответствия наблюдаемых точек точкам на аппроксимирующей линии;

- сближение, определение линии, минимизирующей расстояние до заданной системы точек при определенном на предыдущей итерации соответствии заданных точек точкам аппроксимирующей линии.

Для ЕМ-алгоритма:

- expectation, определение условной функции правдоподобия при значениях параметров, вычисленных на предыдущей итерации (или заданных начальных значениях для первой итерации); этот шаг также может быть назван "наведение", т.к. каждой наблюдаемой точке ставится в соответствие некоторое распределение точек на аппроксимирующей линии;

- maximization, вычисление значений параметров, максимизирующих функцию правдоподобия, определенную на предыдущем шаге; этот шаг осуществляет "сближение" наблюдаемых точек с аппроксимирующей линией.

В четвертой главе приводятся конкретные результаты применения разработанных алгоритмов для решения задач, возникающих при компьютерной обработке ВКГ. Алгоритмы приближения кривых, разработанные в предыдущих главах, оказались эффективными инструментами как для предварительной обработки, так и для диагностического анализа векторкардиографических кривых.

Процедура сглаживания кривых EMfilter успешно использовалась не только для сглаживания ВКГ. Эта процедура применялась для сглаживания и других многокомпонентных синхронных биоэлектрических сигналов: 48 и 80 канальных элек-трокардиосигналов (программно-алгоритмический комплекс МУЛЬТЭКАРТО), и

электроэнцефалограмм (программно-алгоритмический комплекс для анализа зрительных вызванных потенциалов). Отличительное свойство процедуры: она производит обработку многомерного сигнала в целом, а не покомпонентно; сглаживается кривая в многомерном пространстве, а не одномерные её проекции. При этом сохраняются даже мелкие детали, которые имеют диагностическое значение (рис. 8).

Алгоритм оценивания аффинного преобразования линии используется для сравнения анализируемой ВКГ с эталонной, что необходимо при определении заболевания по сходству данной ВКГ с рядом эталонных ВКГ и для выявления патологических изменений при анализе длительных записей ВКГ.

Линейное преобразование ВКГ петли отражает поворот и деформацию миокарда. Показано, что дилатация (растяжение-сжатие), или линейная деформация возбудимой среды приводит к дилатации дипольной компоненты при условии топологической неизменности процесса возбуждения. Если миокард подвергся некоторой линейной деформации или линейному преобразованию Т, то линейное преобразование Т^ вектора сердца и, соответственно, ВКГ будет равно

Т^ =(г1)"1|Т|. (13)

Проведен анализ векторкардиограмм, записанных во время параболических полетов самолета-лаборатории. В данном исследовании была использована база векторкардиографических данных, полученных во время параболических полетов самолета лаборатории АнЬиз-ЗОО (Моуезрасе-СЫЕБ-ЕБА).

Изменения петли (ЗЯБ во время полета были представлены линейными преобразованиями. Одна из петель РЯБ выбиралась в качестве стандартного образца (эталона), остальные петли ОКБ аппроксимировались преобразованиями эталонной петли. Почти во всех случаях относительная ошибка аппроксимации была достаточно малой, менее чем 0,05 (Рис. 9 А). Только в нескольких случаях с нарушениями сердечной деятельности изменения формы ВКГ оказались более сложными и

£

■

• г Л' 1'||*№»г Г

Рис. 8. Результаты сглаживания 48 канальной ЭКГ. Показаны 2 отведения из 48.

нелинейными, относительная ошибка значительно превышала выбранную величину порога, равного 0,05 (Рис. 9 Б).

Произведение собственных значений преобразования ВКГ петли С^ЯБ (коэффициентов дилатации) является множителем, характеризующим изменение объёма всякого трехмерного тела, подвергнутого такому преобразованию, Изменение этого множителя для петли С^Б (фактор Удяз) во время полета одного из испытуемых представлено на рис. 10.

Обратные преобразования, примененные к соответствующим петлям С? 118, приводят к кривым, которые сходны с эталонной петлей, и соответствующие меры близости и относительные ошибки аппроксимации малы и лежат в пределах измерительных шумов при нормальной деятельности сердца (рис. 11). Петля (ЗЯБ для каждого испытуемого как кривая в трехмерном векторкардиографическом пространстве, остается практически неизменной при подходящем линейном преобразовании.

Г, к

0.2 0.15 0,1 0.05

-А-

гравитация (д)

-15 -1 -0.5

1 000

1500

2000

2500

-1-----------1—1-----'■■*Р'"'1--------'--—'—!—гггг

200 400 600 800 1 ооо время (сек)

Рис. 9. Относительные ошибки аппроксимации г, (жирная линия) и нормализованные расстояния Хаусдорфа А, (тонкая линия) для двух человеко-полётов. На этих же графиках приведена диаграмма изменения гравитации во время полета (закрашена серым цветом)■ А — один из типичных нормальных случаев; Б — случай с нарушением сердечной деятельности, в конце эксперимента отмечалось нарушение ритма, приведшее к синкопе.

'еже

1 000 1 500 2000 2500 время (сек)

Рис. 10. Фактор У<з|« (изменение "объёма" петли (ЗЯБ) в течении полета.

>х

013

>х

у

У

У

Рис. 11. Векторкардиографические петли (ЖЭ при нормальной деятельности сердца для двух испытуемых во время полета до (слева) и после (справа) нормализации, устраняющей влияние экстракардиальных факторов. " -

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту:

1. Постановка задачи восстановления кривой линии. Наблюдаемые точки в результате случайных воздействий отклони л ись'от неизвестной линии из заданного семейства, которой они до этого принадлежали. Поставлена задача восстановить эту линию, используя лишь наблюдаемые случайные точки и дополнительные сведения о виде линий и о характере шума. Внешне различные задачи, интересные и с практической, и с теоретической точек зрения, являются частными случаями общей задачи восстановления линии.

2. Исследование состоятельности метода максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов для задачи воостановления линии. Доказаны следующие утверждения:

- При регулярных несущественных параметрах применение как метода максимального правдоподобия, так и метода наименьших квадратов приводит к несостоятельным оценкам структурных параметров в задаче восстановления

- Состоятельное оценивание линий при регулярных несущественных параметрах методом наименьших квадратов возможно при дополнительных предположениях о способе расстановки точек вдоль линии.

линии.

- При случайных несущественных параметрах метод максимального правдоподобия приводит к строго состоятельным оценкам не только параметров линии, но также и к строго состоятельным непараметрическим оценкам распределения, характеризующего случайный выбор точек вдоль линии.

3. Алгоритмы приближения и параметризации линии. Разработан алгоритм для оценивания параметров линии при случайных отклонениях наблюдаемых точек, использующий общую идею ЕМ-алгоритма вычисления оценок максимального правдоподобия, предложенного ранее для восстановления пропущенных наблюдений. В предположении нормальности случайных отклонений наблюдаемых точек разработаны ЕМ-алгоритмы оценивания параметров линии, представимой линейной комбинацией вектор-функций (в.частном случае, аффинного преобразования линии), оценивания монотонной функциональной зависимости и непараметрического оценивания линии. Разработан алгоритм "сближение - наведение" для среднеквадратичного приближения линий.

4. Реализация ЕМ-алгоритмов для параметризации ВКГ и включение их в состав программно- алгоритмических комплексов. ЕМ-алгоритмы приближения кривых, разработанные в предыдущих главах, являются эффективными инструментами как для предварительной обработки, так и для диагностического анализа век-торкардиографических кривых. Они являются частью программно-алгоритмических комплексов: ДЭКАРТО, МУЛЬТЭКАРТО и АСТРОКАРД.

5. Результаты использования ЕМ-алгоритмов сглаживания многоканальных электрокардиосигналов и оцениванш паршетров линейного преобразования петель ВКГ. Анализ векгоркардиограмм, записанных во время испытательных полетов, показал, что изменение гравитации приводит к линейным преобразованиям (вращению и дилатации) петли С}118, и только в нескольких случаях с нарушениями сердечной деятельности изменения формы ЭКГ были более сложными и нелинейными. Резкие изменения процесса деполяризации желудочков сердца могут быть обнаружены по степени нелинейности преобразования петли ОЯБ. Характеристики преобразования (собственные числа, углы поворота) могут быть использованы как показатели изменения состояния сердца.

6. Анализ биофизического смысла линейного преобразования ВКГ петель. Линейное преобразование ВКГ петли отражает поворот и деформацию миокарда. Показано, что дилатация (растяжение-сжатие), или линейная деформация возбудимой среды приводит к дилатации дипольной компоненты при условии топологической неизменности процесса возбуждения. Определено соотношение между этими двумя дилатациями.

Основные опубликованные работы по теме диссертации:

1. Айду Э.А.И. Сближение и наведение: Алгоритм среднеквадратичного приближения линий // Алгоритмы обработки экспериментальных данных М.: Наука, 19S6. С. 23-30.

2. Айду Э.А.И. Восстановление линий по случайно искаженным наблюдениям. Научный отчет. Деп. ВНТИЦ №0287.0 037386. Москва, 1986,48 с.

3. Айду Э.А.И. Оценивание параметров линии по случайно искаженным наблюдениям. // Обработка и представление данных в человеко-машинных системах. М.: Наука, 1988, С. 48-65.

4. Поляков В.Г., Айду Э.А.И., Нагорнов B.C., Трунов В.Г. О выборе параметрического представления при численном приближении и кодировании кривых. //Пробл. передачи информ. 1984. Т. 20, № 3. С. 47-58.

5. ТитомирЛ. И, Трунов В. Г., Айду Э.А.И. Неинвазивная элекгрокардиотопо-графия. Наука, Москва, 2003,200 с.

6. Aidu E.A.I., Nagornov V.S., Tysler М., Titomir L.I. Digital preprocessing of measurements for body surface potential mapping. - In: Advances in Electrocardiology. Excerpta Medica, Amsterdam etc., 1990, p. 207-210.

7. Aidu E.A.I., Trunov V.G., Titomir L.I., Capderou A., Vai'da P. Transformation of vectorcardiogram due to gravitation alteration. - In: Measurement 2003. Inst. Meas. Sci. SAS - VEDA, Bratislava, 2003, p. 169-172.

8. Baevskii R.M., Moser M., Titomir L.I., Ivanov G.G., Aidu E.A.I., Trunov V.G., Funtova I.I., Zhevnov V.N. Assessment of electrophysiological state of heart in astronauts in terms of decartographic and conventional electrocardiographic characteristics. - Bratisl. Lek. Listy, v. 97, No. 9, 1996, p. 516-520.

9. Sakhnova T.A., Kozhemyakina E.Sh., Barinova N.E., Trunov V.G., Aidu E.A.I., Titomir L.I. Decarto technique in recognition of inferior myocardial infarction and localized LVH indistinguishable by standard criteria. - In: Electrocardiology'97. World Scientific, Singapore etc., 1998, p. 297-300.

Отпечатано на ризографе в ОНТИ ГЕОХИ РАН Тираж 100 экз.

/ //)

¥ ¿ s

,П

ч, *

/ /Л

РНБ Русский фонд

2007-4 9659

Фее 2BD

ВВЕДЕНИЕ.

1. ВЕКТОРКАРДИОГРАФИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ, ИХ ОБРАБОТКА И ДИАГНОСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

1.1. Электрокардиограмма и векторкардиограмма.

1.2. Ортогональные системы электрокардиографических отведений.

1.3. Графические представления векторкардиограмм.

1.3.1. Скалярная ортогональная электрокардиография.

1.3.2. Векторкардиография.

1.3.3. Диполъная электрокардиотопография.

Выводы.

2. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНИИ ПО СЛУЧАЙНО ИСКАЖЕННЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ.

2.1. Постановка задачи восстановления линий.

2.2. Частные случаи.

2.2.1. Функциональная и структурная зависимости.

2.2.2. Аффинное преобразование линии.

2.2.3. Линейная комбинация вектор-функций.

2.2.4. Монотонная функциональная или структурная зависимость.

2.2.5. Непараметрическое оценивание линии.

2.3. Оценивание структурных параметров при регулярных несущественных параметрах.

2.3.1. Метод максимального правдоподобия.

2.3.2. Несостоятельность оценок структурных параметров по методу максимального правдоподобия при регулярных несущественных параметрах.

2.3.3. Метод наименьших квадратов при ограничениях на несущественные параметры.

2.4. Оценивание структурных параметров при случайных несущественных параметрах.

2.4.1. Метод максимального правдоподобия.

2.4.2. Состоятельность оценок структурных параметров по методу максимального правдоподобия при случайных несущественных параметрах.

Выводы.

3. АЛГОРИТМЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ЛИНИИ.

3.1. ЕМ-АЛГОРИТМ ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНИИ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ.

3.1.1. ЕМ-алгоритм вычисления оценок максимального правдоподобия.

3.1.2. ЕМ-алгоритм оценки параметров линии.

3.2. Частные случаи ЕМ-алгоритма для оценки параметров линии.

3.2.1. Оценивание параметров линии, представимой линейной комбинацией вектор-функций.

3.2.2. Оценивание аффинного преобразования линии.

3.2.3. Оценивание монотонной функциональной зависимости.

3.2.4. Непараметрическое оценивание линии.

3.3. Сближение и наведение. Алгоритм среднеквадратичного приближения линии.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Среднеквадратичное расстояние между линиями.

3.3.3. Алгоритм среднеквадратичного приближения линии.

3.3.4. Примеры среднеквадратичного приближения линий.

Выводы.

4. АЛГОРИТМЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЛИНИЙ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ

ОБРАБОТКИ И АНАЛИЗА ВЕКТОРКАРДИОГРАММ.

4.1. Сглаживание многокомпонентных электрокардиосигналов и векторкардиограмм.

4.2. Линейные преобразования векторкардиографических петель.

4.3. Биофизический смысл полярного разложения линейного преобразования векторкардиографических петель.

4.4. Трансформация векторкардиографической QRS петли при изменении гравитации.

Выводы.

Современная медицинская диагностика немыслима без регистрации и последующего анализа электрической активности органов и тканей. Новые мощные диагностические средства неинвазивной интроскопии, например, томографы и ультразвуковые анализаторы могут дать важную информацию для повышения точности электрофизиологической диагностики, но не в состоянии заменить ее. Особенно на ранних стадиях развития болезни, когда анатомические нарушения в тканях еще незаметны, а возникли лишь изменения в их электрической активности. Немаловажное значение имеет сравнительно низкая стоимость, относительная простота и мобильность технических средств проведения электрофизиологических и, в частности, электрокардиографических исследований.

Для неинвазивной кардиологической диагностики в последние десятилетия параллельно со стандартной электрокардиографией, основанной на анализе сигналов 12 стандартных отведений, активно развивается ортогональная электрокардиография или векторкардиография, основанная на анализе векторкардиограмм (ВКГ) — синхронно регистрируемых сигналов трех отведений, отражающих изменение вектора дипольного момента электрического генератора сердца (вектора сердца). В дополнение к традиционному анализу электрокардиограмм (ЭКГ), при котором ЭКГ отдельных отведений рассматриваются как скалярные функции времени, ВКГ рассматриваются как кривые в трехмерном пространстве, являющиеся траекториями конца вектора сердца. Это дает более ясную биофизическую и электрофизиологическую интерпретацию электрокардиосигналов. Большинство сравнительных исследований диагностической информативности отдают предпочтение векторкардиографии [33].

В настоящее время компьютерные системы электрокардиографической диагностики получили широкое распространение в медицинских учреждениях различного уровня, от крупных клиник до кабинетов ЭКГ диагностики в небольших поликлиниках. Почти экспоненциальный рост мощности компьютерной техники и развитие информационных технологий предоставляют новые возможности для развития и совершенствования электрокардиологической диагностики.

Важной составной частью современной компьютерной электрокардиографии являются алгоритмы обработки, представления и анализа электрокардиографических данных. Настоящая работа посвящена разработке методов и алгоритмов для практической реализации новых перспективных направлений, основанных на анализе ВКГ, таких как электрокардиография высокого разрешения, нагрузочные тесты, динамическое наблюдение, холтеровский мониторинг и др.

Некоторые подходы к аппроксимации, кодированию и классификации кривых линий (в частности, ВКГ), использующие множественность их параметрических представлений, были предложены И. Ш. Пинскером, В. Г. Поляковым и В. В. Шакиным. В настоящей работе развиваются эти подходы и разрабатывается новый метод аппроксимации кривых, применимый для решения практических задач, возникающих, в частности, при вычислительной обработке и диагностическом анализе ВКГ.

Результаты, включенные в диссертацию, являются частью исследовательских работ, проводимых в рамках плановых тем И11ПИ РАН и работ, поддержанных Государственной научно-технической программой "Информатизация России" (№037.03.359.12/1-99), программой фундаментальных исследований Президиума РАН "Фундаментальные науки - медицине", грантами Российского фонда фундаментальных исследований (№ 01-01-00104, №03-0100147) и INTAS (№ 99/01319).

Целью диссертации является разработка алгоритмов приближения и параметризации кривых для компьютерной обработки и диагностического анализа векторкардиограмм. Достижение поставленной цели осуществлялось путем решения следующих задач:

• Анализ особенностей векторкардиограмм и принципов их диагностического анализа.

• Постановка общей задачи приближения кривых; определение семейства аппроксимирующих функций и меры близости или расстояния между кривыми в многомерном пространстве.

• Разработка алгоритма среднеквадратичного приближения гладких кривых.

• Теоретический сравнительный анализ методов решения задачи приближения и параметризации кривых при наличии шума.

• Разработка алгоритмов приближения и параметризации кривых при наличии шума по методу максимального правдоподобия.

• Реализация разработанных методов и алгоритмов в виде компьютерных программ.

• Оценка эффективности разработанных методов и алгоритмов при решении модельных и практических задач.

В первой главе диссертации дается краткий обзор ортогональных систем электрокардиографических отведений, являющихся источником векторкардиографических пространственных кривых. Описаны методы графического представления электрокардиосигналов, зарегистрированных при помощи ортогональных систем отведений — как традиционные методы (скалярная ортогональная электрокардиография и векторкардиография), так и новый метод содержательно-образного представления данных, предусматривающий картирование электрофизиологических характеристик сердца (дипольная элекгрокардиотопография или ДЭКАРТО). Рассмотрены проблемы и задачи, возникающие при компьютерной обработке и диагностическом анализе векторкардиограмм.

Во второй главе дается общая постановка задачи восстановления линии по случайно искаженным наблюдениям, рассматриваются частные случаи и проводится анализ различных подходов к решению этой задачи. Рассмотрены вопросы состоятельности двух вариантов применения метода максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов. Намечены пути для разработки алгоритмов решения поставленных задач.

В третьей главе разрабатываются алгоритмы решения поставленных в предыдущей главе задач: ЕМ-алгоритмы для оценивания параметров линии (в частности, параметров аффинного преобразования) методом максимального правдоподобия, ЕМ-алгоритмы для непараметрического оценивания и алгоритм "сближение - наведение" для среднеквадратичного приближения линий. Показана эффективность разработанных алгоритмов на примере решения ряда модельных задач.

В четвертой главе приводятся конкретные результаты применения разработанных алгоритмов для решения задач, возникающих при компьютерной обработке ВКГ. Представлены результаты применения ЕМ-алгоритма сглаживания к электрокардиосигналам, синхронно регистрируемым различными многоканальными электрокардиографами. ЕМ-алгоритм оценивания параметров линейного преобразования применяется для сравнения анализируемых ВКГ с эталонными ВКГ, для определения влияния экстракардиальных факторов на форму анализируемых ВКГ и для устранения этого влияния с целью выделения собственно диагностической информации об электрических процессах в миокарде. Проведен анализ биофизического смысла характеристик линейного преобразования векторкардиографических петель. Представлены некоторые результаты применения разработанных в диссертации алгоритмов для анализа большой базы векторкардиографических данных, полученных во время параболических полетов самолета лаборатории Airbus-300 (Novespace-CNES-ESA). Здесь рассматриваются закономерности трансформации векторкардиографической QRS петли при изменении гравитации.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту: 1. Постановка задачи восстановления кривой.

Предполагается, что искомая линия принадлежит некоторому заданному семейству линий. Наблюдаемые точки в результате случайных воздействий отклонились от неизвестной нам линии, которой они до этого принадлежали. Поставлена задача восстановить эту линию, используя лишь наблюдаемые случайные точки и дополнительные сведения о семействе линий и о характере шума.

Эта задача возникает при компьютерной обработке и диагностическом анализе векторкардиографических кривых и других многоканальных синхронных биосигналов. При регистрации сигналов и последующем их вводе в компьютер ВКГ представляются последовательностью пространственных точек, которые в результате воздействия различных помех отклонились от "истинной" ВКГ, принадлежащей некоторому классу кривых.

Рассмотрены две статистические модели. В первой модели предполагается, что несущественные параметры (параметры наблюдаемых точек) являются фиксированными (регулярными), хотя и неизвестными величинами. Во-второй — несущественные параметры являются независимыми случайными величинами с одной и той же неизвестной нам функцией распределения

Внешне различные задачи, интересные и с практической и с теоретической точек зрения, являются частными случаями общей задачи восстановления линии:

• Оценивание функциональной или структурной зависимости; наиболее важный и хорошо изученный частный случай — линейная функциональная зависимость при нормальном шуме.

• Оценивание монотонной функциональной или структурной зависимости.

• Оценивание параметров аффинного преобразования линии.

• Оценивание параметров линии, представимой линейной комбинацией заданных вектор-функций.

• Непараметрическое оценивание линии при заданных параметрах шума.

2. Исследование состоятельности метода максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов

Доказаны следующие утверждения:

• при регулярных несущественных параметрах применение как метода максимального правдоподобия, так и метода наименьших квадратов приводит к несостоятельным оценкам структурных параметров в задаче восстановления линии.

• Состоятельное оценивание линий при регулярных несущественных параметрах методом наименьших квадратов возможно при дополнительных предположениях о способе расстановки точек вдоль линии

• При случайных несущественных параметрах метод максимального правдоподобия приводит к строго состоятельным оценкам не только параметров линии, но также и к строго состоятельным непараметрическим оценкам распределения, характеризующего случайный выбор точек вдоль линии.

3. Алгоритмы приближения и параметризации линии.

Разработан алгоритм оценивания параметров линии при случайных отклонениях наблюдаемых точек, использующий общую идею ЕМ-алгоритма вычисления оценок максимального правдоподобия, предложенного ранее для восстановления пропущенных наблюдений.

В предположении нормальности случайных отклонений наблюдаемых точек разработаны ЕМ-алгоритмы оценивания параметров линии, представимой линейной комбинацией вектор-функций (в частном случае, аффинного преобразования линии), оценивания монотонной функциональной зависимости и непараметрического оценивание линии.

Разработан алгоритм "сближение - наведение" для среднеквадратичного приближения линий.

Все разработанные алгоритмы являются итерационными, каждая итерация состоит из двух шагов.

Для алгоритма "сближение - наведение" это следующие шаги:

-наведение, определение нового соответствия наблюдаемых точек точкам на аппроксимирующей линии

- сближение, определение линии минимизирующей расстояние до заданной системы точек при определенном на предыдущей итерации соответствии заданных точек точкам аппроксимирующей линии

Для ЕМ-алгоритма:

- expectation, определение условной функции правдоподобия при значениях параметров, вычисленных на предыдущей итерации (или заданных начальных значениях для первой итерации); этот шаг также может быть назван "наведение", т.к. .каждой наблюдаемой точке ставится в соответствие некоторое распределение точек на аппроксимирующей линии;

- maximization, вычисление значений параметров, максимизирующих функцию правдоподобия, определенную на предыдущем шаге; этот шаг осуществляет "сближение" наблюдаемых точек с аппроксимирующей линией.

4. Результаты использования ЕМ-алгоритмов сглаживания многоканальных электрокардиосигналов и оценивания параметров линейного преобразования петель ВКГ.

Анализ векторкардиограмм, записанных во время испытательных полетов, показал, что изменение гравитации приводит к линейным преобразованиям (вращению и дилатации) петли QRS, и только в нескольких случаях с нарушениями сердечной деятельности изменения формы ЭКГ были более сложными и нелинейными. Резкие изменения процесса деполяризации желудочков сердца могут быть обнаружены по степени нелинейности преобразования петли QRS. Характеристики преобразования (собственные числа, углы поворота) могут быть использованы как показатели изменения состояния сердца.

5. Анализ биофизического смысла линейного преобразования ВКГ петель.

Линейное преобразование ВКГ петли отражает поворот и деформацию миокарда. Показано, что дилатация (растяжение-сжатие), или линейная деформация возбудимой среды приводит к дилатации дипольной компоненты при условии топологической неизменности процесса возбуждения. Определено соотношение между этими двумя дилатациями.

6. Реализация ЕМ-алгоритмов для параметризации ВКГ и включение их в состав программно- алгоритмических комплексов.

Алгоритмы приближения кривых, разработанные в предыдущих главах, являются эффективными инструментами, как для предварительной обработки, так и для диагностического анализа векторкардиографических кривых. Они являются частью программно-алгоритмических комплексов, созданных в лаборатории обработки биоэлектрической информации Института проблем передачи информации РАН:

ДЭКАРТО (дипольная электрокардиотопография) — обработка и содержательно-образное представление биоэлектрического процесса в сердце на основе простых неинвазивных измерений, осуществляемых при помощи трёх ортогональных отведений. Применяется в Научно-исследовательском институте кардиологии им. А. Л. Мясникова Российского кардиологического научно-производственного комплекса, Государственном научноисследовательском центре профилактической медицины и в других медицинских организациях.

МУЛЬТЭКАРТО (мультипольная электрокардиотопография) — мониторирование и регистрация многоканальных электрокардиосигналов на поверхности тела человека, предварительная обработка, графическое представление электрического потенциала на поверхности тела, вычисление и графическое представление электрического потенциала и основных физиологических состояний миокарда на квазиэпикардиальной поверхности. Программный комплекс входит в состав программно-аппаратного комплекса, разработанного Всероссийским научно-исследовательским институтом автоматики им. Н. JI. Духова и применяется в Московском научно-практическом центре интервенционной кардиоангиологии.

• АСТРОКАРД — программный комплекс для анализа векторкардиограмм большой базы данных, содержащей электрокардиосигналы, зарегистрированные во время параболических полетов самолета лаборатории Airbus-300 (Novespace-CNES-ESA) . Эта работа осуществлялась по проекту INTAS No. 99-01391.

Заключение

1. Айду Э. А. И. Сближение и наведение: Алгоритм среднеквадратичного приближения линий // Алгоритмы обработки экспериментальных данных М.: Наука, 1986. С. 23-30.

2. Айду Э.А.И. Восстановление линий по случайно искаженным наблюдениям. Научный отчет. Деп. ВНТИЦ №0287.0 037386. Москва, 1986. 48 с.

3. Айду Э.А.И. Оценивание параметров линии по случайно искаженным наблюдениям. // Обработка и представление данных в человеко-машинных системах. М.: Наука, 1988. С. 48-65.

4. Акулиничев И.Т. Практические вопросы векторкардиоскопии. М.: Медгиз, 1960.

5. Блинова Е.В., Сахнова Т.А., Полевая Т.Ю., Трунов В.Г., Айду Э.А.И., Титомир Л.И. Дипольная электрокардиотопография новый способ графического представления ортогональной электрокардиограммы. -Практикующий врач, № 4,2002, с. 15-17.

6. Вайнпггейн Г. Г., Москвина Е. А, Белов Д. А. Идентификация графических объектов на основе преобразования к пространству параметров // Алгоритмы обработки экспериментальных данных. М.: Наука, 1986.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.

9. Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.

10. Ю.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.

11. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976.

12. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. 900 с.

13. Кечкер М.И. Векторкардиография // Справочник по функциональной диагностике. М.: Медицина, 1970. 56 с.

14. Н.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 115 с.

15. Кукинов A.M. Применение порядковых статистик и ранговых критериев для обработки наблюдений. В кн.: Поиск зависимости и оценка погрешности. М.: Наука, 1985.

16. Кукинов A.M. Предсказание по упорядоченным наблюдениям. В кн.: Моделирование и автоматический анализ ЭКГ. М.: Наука, 1973.

17. Нагорнов B.C. Квадратичные приближения с выбором параметра в задачах кодирования кривых/ДПестой Междунар. симпоз. по теории информ.: Тез. докл. М.; Ташкент, 1984. Ч. II. С. 124-126.

18. Нагорнов B.C., Поляков В.Г. К выбору параметрического представления кривых при цифровом описании и обработке плоских фигур // Цифровая обработка сигналов и ее применение. М.: Наука, 1981. С. 71-77.

19. Орлов В.Н. Руководство по электрокардиографии. М.: Медицина, 1984.

20. Пинскер И. Ш. Опознавание векторных функций и линий // Опознавание и описание линий. М.: Наука, 1972. С. 7-29.

21. Поляков В.Г., Айду Э.А.И., Нагорнов B.C., Трунов В.Г. Адаптивное кодирование геометрических форм с выбором параметрического представления // Шестой Междунар. симпоз. по теории информ.: Тез. докл. М.; Ташкент, 1984. Ч. II. С. 137-140.

22. Поляков В.Г., Айду Э.А.И., Нагорнов B.C., Трунов В.Г. О выборе параметрического представления при численном приближении и кодировании кривых // Пробл. передачи информ. 1984. Т. 20, № 3. С. 47-58.

23. Руководство по кардиологии. / Под ред. Е.И.Чазова. Т. 2. М.: Медицина, 1982.

24. Рутгкай-Недецкий И. Влияние дыхания и расположения сердца в грудной клетке на электрическое поле сердца // Теоретические основы электрокардиологии. М.: Медицина, 1979. С. 152.

25. Сендов Б. Некоторые вопросы теории приближения функций и множеств в хаусдорфовой метрике//Успехи мат. наук. 1969. Т. 24, №5 (149). С. 141-178.

26. Титомир Л.И, Кнеппо П., Айду Э.А.И., Трунов В.Г., Баринова Н.Е. Адаптивная квазимультипольная аппроксимация потенциала для картирования кардиоэлектрического поля.— В кн.: Человеко-машинные системы и анализ данных. Наука, Москва, 1992, С. 129-144.

27. Титомир Л.И, Нагорнов B.C., Баринова Н.Е., Трунов В.Г., Модель сферического квазиэпикарда для отображения электрического потенциала, Биофизика, 1997. Т. 42. с. 1135.

28. Титомир Л.И, Трунов В.Г., Айду Э.А.И., Баринова Н.Е., Данилушкин М.Г. Разработка клинико-статистических критериев диагностики для системы ДЭКАРТО (отчет по этапу темы гос. per. № 01.9.10011069). — М.: ИППИ РАН, 1994, 79 с.

29. Титомир Л.И., Трунов В.Г., Айду Э.А.И., Сахнова Т.А., Блинова Е.В. Динамическое наблюдение за состоянием сердца при инфаркте миокарда методом дипольной электрокардиотопографии (ДЭКАРТО). -Функциональная диагностика, № 2,2003, с. 46-51.

30. Титомир Л. И, Трунов В. Г., АйдуЭ. А.И. Неинвазивная электрокардио-топография. Наука, Москва, 2003, 200 с.

31. Титомир Л. И., Рутткай-Недецкий И., БахароваЛ. Комплексный анализ электрокардиограммы в ортогональных отведениях. Наука, Москва, 2001, 238 с.

32. Трунов В. Г., Шакин В. В. Экономное описание векторных электрокардиограмм.— В кн: Теория и практика автоматизации электрокадиологических исследований: Тезисы докл. Всесоюзного совещания. Пущино, 1973, с. 15-16.

33. Харди. Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., и Полна Г. Неравенства. Изд-во иностр. литер., М.: 1948.

34. Шакин В. В. Вычислительная электрокардиография. Наука, Москва, 1981, 168 с.

35. Шакин В. В. Простые алгоритмы классификации линий // Опознавание и описание линий. М.: Наука, 1972. С. 40 46.

36. Adams-Hamoda М. G., Caldwell М. A., Stotts N. A., Drew В. J. Factors to consider when analyzing 12-lead electrocardiograms for evidence of acute myocardial ischemia M. G., American Journal of Critical Care, January 2003, Volume 12, No. 1.

37. Adcock R. J. A problem in least squares // Analyst. 1878. Vol. 5, P. 53-54.

38. Aidu E.A.I., Nagornov V.S., Tysler M., Titomir L.I. Digital preprocessing of measurements for body surface potential mapping. In: Advances in Electrocardiology. Excerpta Medica, Amsterdam etc., 1990, p. 207-210.

39. Aidu E.A.I., Trunov V.G., Titomir L.I., Capderou A., Va'fda P. Transformation of vectorcardiogram due to gravitation alteration. In: Measurement 2003. Inst. Meas. Sci. SAS - VEDA, Bratislava, 2003, p. 169-172.

40. Alt H. and Guibas L. J. Discrete geometric shapes: Matching, interpolation, and approximation. In J.-R. Sack and J. Urrita, editors, Handbook of Computational Geometry, p. 121-153. Elsevier Science Publishers B.V. North-Holland, Amsterdam, 2000.

41. Alt H. and Godau M. Computing the Frechet distance between two polygonal curves. Internat. J. Comput. Geom. Appl., 1995, 5:75-91.

42. Anderson Т. V. Estimation linear statistical relationships // Ann. Statist 1984 Vol. 12, P. 1-45,

43. Aostrom M. , Garcia J., Laguna P., Sornmo L. ECG based detection of body position changes, Signal Processing Report SPR-48, Lund University, Department of Applied Electronics, November 28,2000.

44. Barlow R. E., et. al. Statistical Inference under Order Restrictions. Wiley, New York, 1972.

45. Blinova E.V., Sakhnova T.A., Kozhemiakina E. Sh., Vaida P., Capderou A., Atkov O.Y., Trunov V.G., Aidu E.A.I., Titomir L.I. Changes of decartograms under gravitational acceleration and microgravity. Brat. Med. J., 2002, v. 103, No. 3, p. 97-100.

46. Dellborg M, Riha M, Swedberg K. Dynamic QRS and ST-segment changes in myocardial infarction monitored by continuous on-line vectorcardiography. J Electrocardiol 1991;23(suppl):l 1-19.

47. Dellborg M. Vectorelectrocardiography in coronary artery disease. Scandinavian Cardiovascular Journal., 2001 Mar., 35(2):72-4.

48. Dempster A. P., Laird N. M., Rubin D. B. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm//J. Roy. Statist. Soc. B, 1977. Vol 39, P. 1-38.

49. Dower G.E., Machado H.B., Osborne J.A. On deriving the electrocardiogram from vectorcardiographic leads. Clin. Cardiol. 1980. V. 3. P. 87.

50. Einthoven W. Weiteres iiber das Elektrokardiogram. Pfliiger Arch. ges. Physiol. 1908, 122: 517-48.

51. Einthoven W., Fahr G., de Waart A. Uber die Richtung und die Manifeste Grosse der Potentialschwankungen im mennschlichen Herzen und iiber den Einfluss der Herzlage auf die form des Elektrokardiogramms. Pfliiger Arch. ges. Physiol. 1913, 150:275-315.

52. Fayn J. et al., A New Methodology For Optimal Comparison of Serial Vectorcardiograms, Computers in Cardiology, IEEE 1983.

53. Frank E. An accurate, clinically practical system for spatial vectorcardiography. Circulation, 1956, V. 13, P. 737.

54. Geary R, С. Non-linear functional relationship between two variables when one variable is controlled // J. Amer. Statist. Assoc. 1953, Vol. 48. P. 94.

55. Geselowitz D. B. Dipole theory in electrocardiography. Am. J. Cardiol. 1964, 14:(9) 301-6.

56. Jennrich R.I. Asimptotic properties of nonlinear least squares estimation. The Annals of Math. Stat., 1969, т. 40, no. 2.

57. Kiefer J., Wolfowitz J. Consistency of the maximum likelihood estimation, in the presence of infinitly many incidental parameters // Ann. Math. Statist. 1956, Vol. 27. P. 887-906.

58. Liebman J. The electrocardiogram of the future. Body surface potential mapping // Jap. Heart J. 1994, V. 35, Suppl. 1, P. 69.

59. Lindley D. V. Regression lines and linear functional relationship // J. Royal. Statist. Soc., Suppl. Ser. B. 1947,Vol. 9, p. 218-244.

60. Macfarlane P. W. ECG waveform identification by digital computer. -Cardiovasc. Res., 1971, vol. 5, No. 1, p. 141-149.

61. McFeeR., ParungaoA. An orthogonal lead system for clinical electrocardiography. Am. Heart J., 1961, 62:93-100.

62. Miller W. Т., Geselovitz D. B. Simulation studies of the electrocardiogram. 1. The normal heart. Circ. Res. 1978, 43:301-315.

63. Redner R, A., Walker H, F. Mixture densities maximum likelihood and the EM algorithm // SIAM Rev. 1984, Vol. 26. P. 195-239.

64. Ruttkay-Nedecky I. Effects of respiration and heart position on the cardiac electric field. In Nelson CV, Geselowitz DB eds: The Theoretical Basis of Electrocardiology, Clarendon Press, Oxford 1976, 120-134.

65. Schmitt O.H., Simonson E. The present status of vectorcardiography. Arch. Int. Med. 1955, 96:574.

66. Sheffe H. Fitting lines when one variable is controlled // J. Amer. Statist. Ass. 1958, Vol. 53. P. 106-112.

67. Titomir L.I., Trunov V.G., Aidu E.A.I., Barinova N.E. Functional imaging of the cardioelectric generator on the basis of Frank lead system. Biomedizinische Technik, 1997, v. 42, No. 1, p. 155-158.

68. Titomir L.I., Kneppo P., Aidu E.A.I., Trunov V.G. Adaptive quasimultipole approximation of the potential for body surface mapping. — In: Advances in Electrocardiology. Excerpta Medica, Amsterdam etc., 1990, p. 31-34.

69. Titomir L.I., Trunov V.G., Aidu E.A.I. Noninvasive mapping of the quasiepicardium potential: A promising alternative to diagnostical body surface potential mapping. Med. Biol. Eng. Comput., 1999, v. 37, Suppl. 1, p. 79-80.

70. Waller A. D. A demonstration on man of electromotive changes accompanying the heart's beat. J. Physiol. (Lond.) 1887, 8: 229-34.

71. Публикации по теме диссертации

72. Айду Э.А.И. Восстановление линий по случайно искаженным наблюдениям. Научный отчет. Деп. ВНТИЦ №0287.0 037386. Москва, 1986. 48 с.

73. Айду Э.А.И. Оценивание параметров линии по случайно искаженным наблюдениям. // Обработка и представление данных в человеко-машинных системах. М.: Наука, 1988. С. 48-65.

74. Айду Э.А.И. Сближение и наведение: Алгоритм среднеквадратичного приближения линий // Алгоритмы обработки экспериментальных данных М.: Наука, 1986. С. 23—30.

75. Блинова Е.В., Сахнова Т.А., Полевая Т.Ю., Трунов В.Г., Айду Э.А.И., Титомир Л.И. Дипольная электрокардиотопография новый способ графического представления ортогональной электрокардиограммы. -Практикующий врач, № 4, 2002, С. 15-17.

76. Поляков В.Г., Айду Э.А.И., Нагорнов B.C., Трунов В.Г. Адаптивное кодирование геометрических форм с выбором параметрического представления // Шестой Междунар. симпоз. по теории информ. (тезисы докладов). М-Ташкент, 1984. Ч. II. С. 137-140.

77. Поляков В.Г., Айду Э.А.И., Нагорнов B.C., Трунов В.Г. О выборе параметрического представления при численном приближении и кодировании кривых // Пробл. передачи информ. 1984. Т. 20, № 3. С. 47-58.

78. Титомир Л.И, Трунов В.Г., Айду Э.А.И., Баринова Н.Е., Данилушкин М.Г. Разработка клинико-статистических критериев диагностики для системы ДЭКАРТО (отчет по этапу темы гос. per. № 01.9.10011069). — М.: ИППИ РАН, 1994, 79 с.

79. Титомир Л.И., Трунов В.Г., Айду Э.А.И., Сахнова Т.А., Блинова Е.В. Динамическое наблюдение за состоянием сердца при инфаркте миокарда методом дипольной электрокардиотопографии (ДЭКАРТО). -Функциональная диагностика, № 2,2003, С. 46-51.

80. Титомир Л. И, Трунов В. Г., Айду Э. А.И. Неинвазивная электрокардиотопография. Наука, Москва, 2003, 200 с.

81. Aidu E.A.I., Nagornov V.S., Tysler M., Titomir L.I. Digital preprocessing of measurements for body surface potential mapping. In: Advances in Electrocardiology. Excerpta Medica, Amsterdam etc., 1990, p. 207-210.

82. Aidu E.A.I., Trunov V.G., Titomir L.I., Capderou A., Va'ida P. Transformation of vectorcardiogram due to gravitation alteration. In: Measurement 2003. Inst. Meas. Sci. SAS - VEDA, Bratislava, 2003, p. 169-172.

83. Blinova E.V., Sakhnova T.A., Kozhemiakina E. Sh., Vaida P., Capderou A., Atkov O.Y., Trunov V.G., Aidu E.A.I., Titomir L.I. Changes of decartograms under gravitational acceleration and microgravity. Brat. Med. J., v. 103, No. 3, 2002, p. 97-100.

84. Titomir L.I., Trunov V.G., Aidu E.A.I., Barinova N.E. Functional imaging of the cardioelectric generator on the basis of Frank lead system. Biomedizinische Technik, v. 42, No. 1, 1997, p.155-158.

85. Titomir L.I., Trunov V.G., Aidu E.A.I. Noninvasive mapping of the quasiepicardium potential: A promising alternative to diagnostical body surface potential mapping. Med. Biol. Eng. Comput., v. 37, Suppl. 1, 1999, p. 79-80.