автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Анормальные задачи оптимизации и условия экстремума

Одним из наименее изученных и наиболее интересных направлений в современной теории экстремальных задач является теория так называемых анормальных экстремальных задач. В силу своей сложности и наличия очень большого количества различных случаев, эта теория еще весьма далека от завершения. Более того, многие известные авторы выражали сомнение по поводу возможности построения сколь-нибудь общей теории для таких задач. 1 Некоторые даже сомневались в необходимости построения такой теории, считая анормальные экстремальные задачи неестественными и не возникающими на практике. Тем не менее, в последние десятилетия, в многих как теоретических, так и прикладных исследованиях естественным образом возникали анормальные экстремальные задачи. Это послужило толчком к новым исследованиям задач и достигнутые успехи свидетельствуют о том, что единные теории и подходы к анормальным экстремальным задачам все таки возможны и очень полезны. Нерешенные проблемы оставляют пространство для будущих исследователей на довольно долгий период времени. Еще одним из безусловных достоинств этой теории является ее универсальный математический характер : дело в том, что большая часть теории анормальных экстремальных задач в конечном итоге тесно связана с вопросом о возможности обобщения одной из самих унивееальных математических теорем : теоремы о неявной функции. Поэтому, можно сказать, что теория анормальных экстремальных задач находится на стыке теории экстремальных задач с теорией особенностей и катастроф.

Определим, что такое анормальная экстремальная задача и опишем

1Г.А.Блисс : "кажется маловероятным создание в ближайшем будущем полной теории без каких-либо предположений нормальности ввиду огромного количества представляющихся особых случаев ([8, стр. 223])." суть возникающих трудностей на примере самой просто формулируемой задачи : конечномерной задачи математического программирования с ограничениями типа равенств.

Итак, рассмотрим задачу f(x) -t min, F(x) = 0, же iT, (0.1) и предположим, что точка ж0 является ее решением, а отображения / : Д" R и F : Л" —Y Rk дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой ее окресности. Говорят, что точка хо является регулярной для отображения F, если оператор F'(x0) сюръективен. В обратном же случае, точка х0 называется особой для F. Случай особости точки как раз и есть анормальность задачи в нашем случае. В этом случае, необходимые условия минимума первого порядка выполняются тривиальным образом с множителями Лагранжа (А° = 0, у) и представляют собой всего лишь расшифровку условия особости точки ж о (т.е. устанавливают существование ненулевого вектора у, ортогонального образу оператора

РЫ).

В то же время, классические необходимые условия второго порядка, заключающиеся в неотрицательной определенности второй производной функции Лагранжа на ядре оператора, вообще говоря, неверны. Простейшей илюстрацией сказанного может служить задача :

-ж2 - у2 min, X2 -у2 = 0, ху = 0. (0.2)

Здесь F : R2 —> R2. Точка х0 = 0 является единственной допустимой и, следовательно, решением задачи. В то же время, оператор F'(0) нулевой и, значит, задача анормальна. Легко проверить, что классические необходимые условия второго порядка неверны, т.е. не существует неотрицательно определенной ненулевой линейной комбинации (с неотрицательным первым множителем) этих трех квадратичных форм.

Таким образом, классические необходимые условия не дают нам никаких действенных инструментов исследования подобных задач. Тем не менее, такие задачи нужно исследовать, так как они возникают в различных областях естествознания.

Одним из типичных примеров конечномерной анормальной задачи минимизации, является задача о знакоопределенности квадратичной формы на пересечении квадрик. 2 Такая задача нас приводит к вопросу является ли нуль решением в задаче минимизации, где / квадратичная форма, а .Р состоит из к квадратичных форм (Такой, собственно говоря, является задача (0.2)). Подобные задачи часто возникают в теории устойчивости. Для большей ясности рассмотрим один типичный пример.

Итак, пусть исследуется вопрос об устойчивости тривиального решения динамической системы

X + Ох + Кх = 0, же Я2", (0.3) где О кососимметрическая невырожденная матрица, а К симметричная, положительно определенная. Системы такого вида часто возникают в разных прикладных задачах. Интересным представляется вопрос : при каких О и К тривиальное решение этой системы является устойчивым?

Выпишем три первых интеграла системы (0.3). Обозначая у = х, имеем интеграл энергии

VI(х,у) = (у,у) - (х,Кх), а также еще два первых интеграла : у) = -(у, (К + С2)у) + 2(у, СКх) + {я, К*х),

У3(ж,у) = -{у, К-'у) - 2(у, К-'вх) + <ж, (/ + ОЙГ^ОД.

Для устойчивости тривиального решения системы (0.3) достаточно, чтобы форма VI была положительна на множестве таких (ж, у), что У\ (ж, у) < 0, < 0, т.е., чтобы нуль являлся решением задачи

Т4(ж,у) -4 тт, У2(2,у) < 0, У3(ж,у) < 0.

Таким образом, исследуя вопрос об устойчивости тривиального решения (0.3), приходим к анормальной задаче оптимизации.

Заметим, что в случае одного квадратичного ограничения ответ дает известная теорема Финслера : для того, чтобы одна квадратичная форма была неотрицательна на нулях другой, необходимо и достаточно, чтобы из них можно было составить неотрицательную линейную комбинацию с

2Квадрикой называеся множество нулей квадратичной формы. ненулевыми коэффициентами. В случае, если квадратичных форм, задающих ограничения, больше чем одна, ситуация обстоит намного сложнее. Этому случаю посвящена теорема 1.2.

Исследованию абстрактной (не обязательно конечномерной) анормальной задачи минимизации посвящена первая глава. В этой главе получены некоторые необходимые условия экстремума второго порядка для анормальных задач. Полученные для таких задач результаты являются основой для получения необходимых условий для анормальных задач оптимального управления, вариационного исчисления и других.

Необходимые условия второго порядка для анормальных задач тесно связаны с вопросом о выпуклости образа к квадратичных форм. Результаты для к = 2,3 были получены в статьях Дайнса и Хестенеса [24, 34] и являются почти классическими. В последнее время абстрактные анормальные экстремальные задачи исследованы в статьях [21], [1], [17] и в книге [4].

Во второй главе исследованы анормальные процессы в задачах оптимального управления. В [5] были сформулированы необходимые условия для задач оптимального управления без априорных предположений нормальности и выделен класс траекторий для которых полученные условия содержательны. Такие траектории были названы 2-нормальными и составляют предмет исследования второй главы. В этой главе доказаны теоремы о содержательности необходимых условий из [5] (теоремы о возмущении).

Установлены удобные и легко проверяемые достаточные условия 2-нормальности, а также критерий локальной управляемости вокруг 2-нормальной траектории.

Одним из интересных и новых направлений приложения теории анормальных экстремальных задач, являются задачи субримановой геометрии После довольно долгого обсуждения и многих неверных утверждений об отсутствии так называемых анормальных кратчайших субримано-вых геодезических, стало ясно, что анормальные задачи в субримановой геометрии не только возможны, а даже не являются ничем исключительным. Задачи субримановой геометрии, хотя и содержат свою специфику, могут быть изучены в рамках теории оптимального управления. Один из пунктов второй главы посвящен приложениям полученных результатов и их переводе на язык субримановой геометрии.

Как ни странно, окончательная точка в споре по поводу существования анормальных кратчайших субримановых геодезических, была поставлена только в 1993. году в статьях Р.Монтгомери и Н.Н.Петрова [30, 19], в которых опубликованы соответствующие примеры. Анормальным задачам оптимального управления и субримановой геометрии посвящены многочисленные работы Е.Р.Авакова, А.А.Аграчева и А.В.Сарычева[21], А.В.Арутюнова [5], А.В.Дмитрука [9, 10], X. Дж.Зуссманна [32], А. Дж. Кренера [28], А.А.Милютина [16] и других.

В третьей главе установлены необходимые условия первого и второго порядков для задач с импульсными управлениями. Эти условия являются обобщением необходимых условий для задач оптимального управления, полученных в [5] и их отличительной чертой является отсутствие каких бы то ни было предположений нормальности. Доказательство полученных условий основано на расшифровке абстрактного экстремального принципа. Этот принцип сформулирован и доказан в третьем и четвертом пунктах третьей главы соответственно.

Исследованию задач с импульсными управлениями, как известно, посвящено очень большое количество работ, как теоретической, так и прикладной направленности. Отметим статьи Дал Maco и Рампаццо [23], Кларка и других [22], Красовского [13] и Куржанского [14]. Необходимые условия первого порядка для таких задач получены в статьях Дыхты [11], Переиры, Силвы и Винтера [33, 31]. В статье [25] получены некоторые необходимые условия высших порядков.

1. Аваков Е. Р. Условия экстремума в гладких задачах с ограничениями типа равенств // ЖВМиМФ - 1985. - т. 25, н. 5 - с. 690 - 693.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление.М.: Наука, 1979.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

4. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.

5. Арутюнов A.B. Необходимые условия второго порядка в задачах оптимального управления // Доклады Академии наук. т. 371, N 1 -2000. с. 10-13.

6. Арутюнов A.B. Некоторые свойства квадратичных отображений //Вестник МГУ, сер. Вычисл. матем. и кибернетика. 1999, N2

7. Арутюнов A.B. Теорема о неявной функции как реализация принципа Лагранжа. Анормальные точки. // Матем. сборник, том 191, N 1- 2000. с. 3-26.

8. Блисс Г.А. Лекция по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950.

9. Дмитрук A.B. Квадратичные условия понтрягинского минимума в задаче оптимального управления, линейной по управлению. I. Теорема о расшифровке. // Изв. АН СССР, сер. матем. т. 50, N 2 1986.- с. 284-312.

10. Дмитрук A.B. Квадратичные достаточные условия минимальности анормальных субримановых геодезических / / Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. М.: ВИНИТИ, т. 65- 1999. с. 5-89.

11. Дыхта В. А. Необходимые условия оптимальности импульсных процессов при ограничениях на образ управляющей меры // Известия ВУЗов, 12 (415), 1996. с. 9 16.

12. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

13. Красовский П. П. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

14. Куржанский А. Б. Оптимальные системы с импульсными управлениями / / Дифференциальные игры и задачи управления. СвердловскУНЦ АН СССР, 1975. с. 131 156.

15. Kyponi А. Г. Лекции по общей алгебре.М.: Физматлит, 1962.

16. Левитин Е. С., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями / / УМН- 1978. т. 33, выл. 6. - с. 85 - 148.

17. Матвеев A.C. Критерии выпуклости образов квадратичных отображений в теории оптимального управления системами, описиваемыми дифференциальными уравнениями. Автореферат докторской дисер-тации, Санкт-Петербург, 1998.

18. Обен Ж.- П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

19. Петров H.H. О кратчайших субримановых геодезических // Дифференциальные уравнения, т. 30, N 5 1994. - с. 768-775.

20. Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне неголо-номного пространства допустимой линией // Уч. зап. пед. института им. Либкнехта. Сер. физ. и мат. наук. N 2 1938. - с. 83-94.

21. Agrachev A.A., Sarychev A.V. Abnormal sub-Riemannian geodesies : Morse index and rigidity // Ana. Inst. Henri Poincare. 13, N 6 1996.- pp. 635-690.

22. Clark C., Clarke F., Munro G. The Optimal Exploitation of Renewable Stocks // Econometrica, 47, 1979, pp. 25-47.

23. Dal Maso G., Rampazzo F. On Systems of Ordinary Differential Equations with Measures as Controls / / Differential and Integral Equations, 4 (1991), pp. 739-765.

24. Dines L. L. On the mapping of n quadratic forms // Bull. Amer. Math. Soc. 1942. - v. 48. - pp. 467 -471.

25. Dykhta V. A. Higher Order Optimality Conditions for Impulsive and Discrete-Continuous Optimal Control Problems / / Proc. European Control Conference, V.2-FR.-A-D-3, Brussels, Belgium, 1997.

26. Goh B. S. Necessary conditions for singular extremal involving multiple control variables // SIAM, J. Control and Optimiz., v. 4, N 4 1966. -pp. 716-731.

27. Hamenstadt U. Some regularity theorems for Carno-Caratheodory metrics //J. Differential Geometry. 32 1990. - pp. 819-850.

28. Krener A. J. The high order maximal principle and its applications to singular extremals // SIAM, J. Control and Optimiz., v. 15, N 2 1977.- pp. 256-293.

29. McShane E. J. On the second variation in certain anormal problems of the calculus of variations // Amer. J. Math., v. 63 1941. - pp. 516-530.

30. Montgomery R. Abnormal miuimizers // SIAM J. Control and Optimiz., v. 32, N 6 1994. - pp. 1605-1620.

31. Pereira F., Silva G. Necessary Conditions of Optimality for Vector-valued Impulsive Control Problems // Systems Control Letters, 40, (2000), pp. 205-215.

32. Sussmann H. J. Nonlinear controlabillity and optimal control. Marcel Dekker, N.Y. and Basel, 1990.