автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ свойств и синтез наблюдающего устройства для восстановления состояния протяженного термодинамического объекта

На правах рукописи

БЛИННИКОВ Андрей Алексеевич

АНАЛИЗ СВОЙСТВ И СИНТЕЗ НАБЛЮДАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ПРОТЯЖЕННОГО ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО

ОБЪЕКТА

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург -2009

003468315

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информациопнь технологий, механики и оптики.

Научный руководитель: к.т.н., доцент Бойков Владимир Иванович Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Фокин Александр Леонидович кавдидат технических наук, доцент Мельников Виталий Геннадьевич

Ведущая организация: ЗАО «Завод «Киров-Энергомаш»

Защита состоится 19 мая 2009 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 2(2.227.03 в Сгнкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кропверкский пр., д.49, СПбГУ ИТМО.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан 17 апреля 2009г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Дударенко Н.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Имея дело с протяженными термодинамическими объектами, часто бывает необходимо знать температурное поле объекта с довольно высокой точностью. Например, в металлургическом производстве это позволяет снизить процеш иргка и количество аварийных ситуаций. В процессе производства некоторые воздействия на объект могут быть не известиы или известны с недостаточной точностью. Все вышесказанное диктует необходимость в устройствах, позволяющих оценивать температурное поле протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий.

На данный момент, устройства, позволяющие оценивать температурное поле протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних Бездействий, отсутствуют на рынке, что делает тему диссертационной работы весьма актуальной.

Примером протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий может быть непрерывно литая заготовка. Непрерывно литые заготовки, производятся на машинах непрерывного литья заготовок (МНЮ). Многие, из интересующих технологов параметров, восстанавливаются по трехмерному температурному полк?. Непосредственное измерение трехмерного температурного поля не представляется возможным, однако оно может быть рассчитано по математической модели. Одним из важнейших параметров для расчета является температура металла, заливаемого в кристаллизатор, точность определен;;., которой не известна. Поскольку температура на входе в гильзу кристаллизатора ненамного превышает температуру Солидуса, даже незначительная ошибка ее оценки может привести к искаженному представлению о качестве продукта.

Кроме того, методы синтеза наблюдающих устройств, подробно исследованные в рамках теории автоматического упрадления системами с сосредоточенными параметрами - в теории автоматического управления системами с распределенными параметрами разработаны гораздо хуже.

Таким образом, видно, что решение задачи оценивания температурного поля протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий имеет как большое практическое, так и большое теоретическое значение.

Цель диссертационной работы. Разработать способ, позволяющий оценивать температурное поле протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий для объектов с граничными условиями первого, второго и третьего рода с диффузно-конвективным типом теплообмена. Характерной чертой рассматриваемого класса объектов является ярко выраженпая анизотропия теплообмена, т.е. явное преобладание диффузного или конвективного теплообмена е зависимости от направления пространственных координат.

Задачи исследований. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

- формирование набора модельных представлений, покрывающих спектр исследовательских и инженерных задач для заданного класса объектов;

- исследование свойства наблюдаемости состояния для бесконечномерных модельных представлений протяженных термодинамических объектов и их конечномерных аппроксимаций;

- разработка способов оценивания состояния протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий и анализ их свойств;

- выработка рекомендаций к процедура синтеза наблюдающего устройства длг протяженного термодинамического объекта, с целью снижения погрешности оценивания состояния объекта.

Методы исследований. Научные исследования, выполненные в рамках диссертационной работы, относятся к области разработки способов восстановления состояния протяженного термодинамического объекта. Исследования основаны на использовании методов пространства состояний для непрерывных и дискретных многомерных систем, методов модального синтеза, методов модального л конечяоразяоетпого описания бесконечномерных систем, метода разложения конечноразностного представления по собственным функциям задачи, аппарат уравнений в частных производных. При моделировании рассматриваемых объектов использовался пакет программ МаЙтЬаЬб.О. При проведении практических экспериментов были использованы

датпле с машины непрерывного литья заготовок №1 конвертерного производства ОАО «Северсталь» и теплофизическая модель непрерывно литой заготовки фирмы ООО «НТЦ «Прибор».

Положения, выносимые на защиту.

1. Способ оценивания состояния протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий, основанный на использовании интегрального измерения энергии объекта, отдаваемой во внешнюю среду;

2. Условия проведения измерений температуры, обеспечивающие наблюдаемость состояния для конечноразностных аппроксимаций бесконечномерных модельных представлений протяженного термодинамического объекта;

3. Способ выбора параметров конечноразностной аппроксимации па основе требования по минимизации погрешности оценивания состояния протяженного термодинамического объекта.

Научная новизна. В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие результаты, несущие в себе элементы научной новизны:

- разработан способ оценивания состояния протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий, основанный на использовании интегрального измерения энергии объекта, отдаваемой во внешнюю среду;

- получены условия проведения измерений температуры, обеспечивающие наблюдаемость состояния для конечноразностных аппроксимаций бесконечномерных модельных представлений протяженного термодинамического объекта;

- предложен способ выбора параметров конечноразностной аппроксимации на основе требования по минимизации погрешности оценивания состояния протяженного термодинамического объекта.

Практическая ценность. Результаты проведенных в диссертационной работе исследований использовались ООО «НТЦ «Прибор» в ходе проведения НИОКР «Изучение влияния температурных режимов разливки сортовой МНЛЗ на образование дефекта «ромб» сортовой заготовки сечением 150x150 мм; разработка и внедрение рекомендаций по их корректировке», проводимой в рамках договора № 584 НС от 13.02.2006 г. с ОАО «Северсталь».

Подученный способ оценки температурного поля непрерывно литой заготовки могут быть использованы на других машинах непрерывного литья заготовок, а так же других объектах, характеризуемых диффузпо-конвективным видом теплообмена с ярко выраженным преобладанием конвективного теплообмена вдоль одной из осей пространственных координат.

Апробация работы. Работа выполнена на кафедре систем управления и информатики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий механики и оптики.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV, V межвузовской конференции молодых ученых и па XXXVII, XXXVIII научной и учебно-методической конференции СПбГУ ИТМО, а также на X Конгрессе сталеплавильщиков.

Публикация работы. Основныз теоретические и практические результаты работы опубликованы в 5 статьях и 5 докладах, среди которых 2 публикации - в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК. Основные положения опубликованных статей доложены и получили одобрение на всероссийских и межвузовских научно-практических конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, 4 главы и заключение, список литературы, содержащий 47 наименований. Основная часть работы изложена на 113 страницах машинописного текста и содержит 31 рисунок и 1 таблицу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и направления исследований, кратко изложены теоретические и практические результаты работы, а также основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе выделеп класс рассматриваемых термодинамических объектов Схематически, рассматриваемый объект изображен на рисункс 1.

(а) (Ь)

Рисунок 1 - двухмерный (а) и трехмерный (Ь) объекты, относящиеся к рассматриваемому классу

объектов.

Поскольку, положения для двухмерного объекта могут быть получены путем несложных упрощений положений, полученных для трехмерного объекта, дальнейшее решение задачи восстановления температурного полз С? производилось именно ¡ум него. Выделенный класс объектов описал системой уранений

Л

с!х"

ск*

ск

<Ьс (х=хО) к

ах (*=.х1) к

к

'>0

❖ (у=уЩ

Ф

(У=У 1)

Г\1 А Т /А п

£2(л:,^,2,/)(г=г0) = тж( 0;--7- = 0

0)

где « = /—, причем к, Рт/(м*К) - коэффициент теплопроводности; с, Дж/^а-'К) - удельная теплоемкость; р, г/м3 - плотность;

^х0> к у 0. , Вт/(м2*К) - коэффициенты теплопередачи вдоль соответствующей оси на

границах области V (0 - соответствует 0 координаты, 1 - максимальному значению координаты (высота или ширина заготовки)). Данный коэффициент отображает эффективность теплообмена и определяется экспериментально или методами адаптации;

м/с - скорость продольного движения материала (вдоль оси Ъ - соответствует конвективному теплообмену);

13(х,у,г,1), °С - динамическое температурное поле; Т- (/), °С - температ;-ра воды (охладителя);

Тж{(), °С - температура в координате z=C (соответствует граничному условию 1-го рода), считается неизвестной или известной с недостаточной точностью, т.е. представляет собой неопределенное внешнее воздействие.

Основными особенностями рассматриваемого класса объектов, из множества объектов вида (1), являются: неопределенность граничного условия 1-го рода, преобладание конвективного теплообмена в продольном направлении и диффузного в поперечном.

Рассмотрено две измерительные схемы:

- измерение температуры на некоторой области поверхности объекта;

- интегральное измерение теплового потока между объектом и внешней средой.

Выход первой измерительной схемы описывается формулой

{2)

где D, пространственная область на поверхности объекта, а второй - формулой

У lit) fu(Q(D,t,hxO,hyWylhxl)), (3)

где D - вся пространственная область определения задачи, а /и- некоторая функция преобразования состояния объекта в интегральпоа измерение.

Далее в главе произведен обзоп методов наблюдения состояния для термодинамических протяженных объектов.

Предложено два способа упрощения задача:

- Упрощение исходной модели (1) и сведение ее к классическим для теории автоматического управления моделям, с последующим решением задачи наблюдения состояния объекта, приближенно описывающего заданный;

- Использование исходной модели (1), наряду с поиском управляющего воздействия, решающего более узкую задачу, ?. именно задачу устранения неопределенности граничного условия первого рода. Такой подход возможен благодаря тому, что в установившемся режиме на функцию состояния влияют только граничные условия, а не начальные, что особенно хорошо заметно для объекта (1) с преобладающим продольным конвективным теплообменом.

Это позволяет получить оценку Q{x,y,z,t) невозмущенную неопределенностью, а значит

эквивалентную Q(x,y,z,t).

В продолжение главы, приводится обзор методов приближенного описания объекта вида (1), включающий: метод понижения мерности пространства; метод описания, основанный на аппарате функций Грина; метод конечных интегральных преобразований; метод модального описания; метод конечноразноСтного описания, метод конечных элементов. Приводится структура и описание наблюдающего устройства для конечномерных представлений объекта (1).

Метод понижения мерности пространства представляет собой переход, от описания объекта (1) к набору описаний

«л л2 ф2

сЙ

(х=хО)

= 0;

л (*=*1) к ,/е[0,оо], (4)

йу

(у=у0)

пу\

аУ (>=>1)

описывающих температурное состояние поперечных сечений объекта (I), продвигающихся со скоростью копвекции V, как это показано на рисунке 2, основанный на преобладании конвективного теплообмена над диффузиым в продольном направлении, причем модели (4) и (1)

связаны равенством (¡^ (х, .У, г,-) = £?(х> >'>7 = К * ,/, ).

^А

а—л

г

^—_

ш

ТГ

т. .с

(И

Рисунок 2 - Продвшкение поперечных сечений объекта, описывающих температурное состояние

объекта

Далее, рассматриваются особенности использования интегрального измерения при решении задачи устранения неопределенности граничного условия первого рода.

Оканчивается глава постановкой задачи, состоящей в синтезе устройства, позволяющего оценивать температурное поле (2(х,у,г,1) объекта (1) с выходом гида (2) или (3) в условиях неопределенности пачалькых условий и граничного условия первого рода. То есть, синтезируемое устройство должно обеспечивать существование для любого малого положительного Е > 0 такого /д > 0, что выполняется неравенство

|| - 0х,у,г,1)) ||< > /д Также, поставленная задача сформулирована как для

упрощения (4) объекта (!), так и для упрощения задачи наблюдения для исходного описания объекта (1).

Во второй главе рассматривается упрощение исходного объекта (1) с целью применения методов теории автоматического управления сосредоточенными системами. Из изложенных в главе 1 методов аппроксимации, выбрано понижение мерности пространства, с переходом от описания объекта (1) к описанию (4), с последующей конечноразностной аппроксимацией.

Приводится алгоритм формального перехода от описания (4) к описанию вход-СОСТОЯНИе-выход.

д(к+1) = А<2(к)+Ви(к) у(к) = СХ(к) + Би(к)

После этого, приводится анализ свойства наблюдаемости объекта (4) с выходом (2), оспованный на использовании модального описания. Для этого приводятся соотношения, позволяющие получить прямой переход к модальной модели

Х\у1

С№я01и.Ля|.0= 1 №(х> У, Офи Оя. (Л т, у)г(х)г{у)с1у<к, (6) .г0>0

а также обратный переход.

N=0о ¿=со

X (7)

п=1 т=1

При этом модальную модель можно также записать в виде бесконечномерной модели вход-состояние-выход

1ш> I \

И-хвМ-**>у 0х0

N М

0.{х,у,0-Е Еблт(^и.Лт,Офл,(лт,у) сЫу = 0. л=1 т=1

После этого производится анализ матрицы наблюдаемости объекта (8) для выхода вида (2). Для этого рассматривается определитель матрицы наблюдаемости для точечного выхода из модели (8) имеющий вид

I К

дхМГн = П Пфл(Цл>*д)фиСПт>.Уд) *

п=Ъп=1

1 с с 2 о ЬК—1

I Лц ¿и

1 г» о 2 г» 1.К—1

А °пт °пт °пт

1г» г» 2 о ЬК—\ ¿¿К Ь1К Ь[Х

(9)

> К- > оо

2 2

где Бпт = ~{\Хп + Т]т ) - представляет собой сумму собственных чисел объекта для разных пространственных осей.

Исходя из (9), делается вывод о необходимости проведения измерения температуры в угловой точке объекта (4) или на продольном ребре объекта (1).

Произведенный анализ собственных чисел объекта (4), расположенных как это показано на рисунке 3, показал, что матрица Ваядермонда в (9) является невырожденной, если объект (4) анизотропен относительно поперечных осей, но является плохо обусловленной, что говорит о формальной наблюдаемости (4) при измерении температуры в угловой точке.

г ,

к'^-Нг од>1

"0 2 4 в 3 10 12 и 1Е 18 И--- 0 5 10 15 20 ^51135 4045

* 1,5* 2,5* 3,5л- а 1Д* 2,5* 3,5* 4,5* 5,5*

2X1 XI ~хГ ~Х\ 2Г1 Л Л Г1 Л Л

Рисунок 3 - расположение собственных чисел объекта (4)

а

После этого было исследовано свойство наблюдаемости конечпоразностной аппроксимацги. Для этого к преобразованию (6) модели (4) была применена операция замены производных конечными разпостями. Это позволило описать конечноразкостную модель (5) модальаь^ представлением вход-состояние-выход

i&u-OWW + А0= ЛМРсОпт(\1„,Г\т,1) + ВшсТв W) = СMPcQnm (Р-

где значимые для свойства наблюдаемости матрицы определены ках

"А,ц ООО

АМРС :

СМРС =

О -кпт О О О о ... о ООО

L->co,K->co;

.ФКМЬ^М^Ь-Ы Ф л 0*4 ¡Х-д^т^.и'Уд) -

Здесь "кпт - коэффициент перехода шп гармоники на следующий шаг- для используемой разпостной схемы. Очевидно, что свойство наблюдаемости исходной модели (4) сохраняется для (10), если не существует кратных Я,^,.

Приведенный анализ корней системы (10) показал, что необходимым условием отсутствия кратных корней является выбор сетки с одинаковым количеством узлов вдоль обеих пространственных осей.

Далее доказывается достаточность наблюдаемости объекта (10), для наблюдаемости объекта (5). Из сказанного выше следует, что объект (5) формально наблюдаем дп* гнизотропных объектов (4) при произведении измерения температуры в угловой точке объекта (4), т.е. на продольном ребре исходного объекта (1), при выборе пространственной сетки с одинаковым количеством узлов вдоль обеих пространственных осей. Одпако, при соблюдении формальной наблюдаемости, матрица наблюдаемости плохо обусловлена.

Произведенный анализ наблюдаемости объекта (5), позволил выявить условия, при которых к конечноразноствой аппроксимации (5) можно применить процедуру синтеза наблюдающего устройства

Шк +1) = л&(к)+Ви{г)+КиШо - >7(0) (и)

[МО=сш+Пи(о

известную из теории автоматического управления сосредоточенными системами.

Причем, поскольку объект (5) - линейная система, постольку расчет обратных связей может быть получен как результат решения системы

\Аг М+МО ^ -СТII

1 ' (12) [К = (ЩМ~1У)Т

где матрицы 0,11 - соответственно, матрицы динамики и выхода эталонной модели, реализующей некоторое распределение корней, обеспечивающее заданные динамические характеристики.

Выявлено, что полученный способ оценки состояния протяженного термодинамического объекта обладает недостатком: существует зона пространственной неопределенности состояния, по размеру пропорциональная времени оценивания состояний наблюдателем (11).

В третьей главе рассматривается решение задачи наблюдения состояния объекта (1) посредством устранения неопределенности граничного условия первого рода. Возможность такого подхода следует из ярко выраженной анизотропии процессов теплообмена для рассматриваемого класса объектов. Благодаря преобладанию конвективного теплообмена над диффузным к продольном направлении, решение (1) перестает зависеть от начальных условий и определяется только граничными условиями через конечный интервал времени. Таким образом, оценка

1-раничпого условия первого рода позволяет получить оценку (){х,у,г,0 температурного поля (){х,у,2,1) объекта (1) через конечное время, определяемое как сумма времени оценивания граничного услсг.ия и времени необходимого для исчезновения влияния начальных условий на решение (1). Такой подход свободен от недостатка выявленного для устройства, синтезированного во второй главе.

В начале главы приводится выбор структуры наблюдающего устройства, показанной на рисунке 4, и описываемой системой уравнений.

¿0О,.у,г,0 _ „2Л20(х,У,г,р , ¿2()(х,у,г,1)

—--- _ а ^-----1-----

dt

dx

dy*

. d __ v(^dQ(x,y,z,t)

dz

dQ(x,y,z,t)

dz

hxO

dx (x=*o)

(Q(xO,y,z,t)-Tem

dx

dQ{x,y,z,t)

к hy0

¿У (y=yQ)

(Q(x,yO,z,t)-Te(t)y,

dQ(x,y,z,t) dy

ny\

{Q(x,y\,z,t)-Te(t));

Q(x,y,z,t)(z=z0) = Tm + u6(y/(t) - yj(t),t)-, dQ(x,y,z,t)

dz (z=zl)

= 0

-Ф-

Тж

ТжО-

HIED-

Yl

Тж,_

<Э—«|моу

>1

Yi

Yl

иб —

Рисунок 4 - Структурная схема наблюдателя

(13)

Далее, в третьей главе выводятся уравнения энергетического баланса, позволяющие описать связь входа Т^г и интегрального ьыхода АТ объекта (1) в виде

Д Т{1) = к\Тж + к2, (14)

где коэффициенты определяются как:

И = В^Ш (15)

■ К(0 ¡cs(Lk,t)ps(£k,t)T2d(U,t)ds cvPvF(0

к 2 =----- (16)

Лж кг тг м причем Су,—— - теплоемкость охладителя; ру,—— - плотность охладителя; V,--расход

и/Т

кг С

охладителя; АТ, "С - изменение температуры охладителя в процгссе охлаждения, V,,

м

скорость движения конвективного потока в (I); т),-—~\Т2й{7,,Х)°С -

кг°С м

двумерные поля теплоемкости, теплопроводности и температуры в координате Z, соответствешю, определяется как площадь пространственной области определения (1) в плоскости ху. После учета того, что задержка отображения (14) на объекте (1) определяется как

0 = (17;

к, (О

, (14) приобретает вид

ДГ(0 = (к\Тж + к2)е"Лп{('>, (12)

а после дискретизации с шагом (17) - вид

(к\Тж+к2)

Д Т(1) = --^-(19)

2

Далее, основываясь на квазистационарности граничного условия первого рода объект (1) был упрощенно предстазлен в виде преобразования (19) и приведен тс виду вход - состояние - выход

"0 к\ ~к\ Г

;В =

0 1_ 0 0

Х(к + 1) = Ах(к) + В А Т(к) = СХ(к)

;С = [1 о].

1ж к2

(20)

где А -

Структурная схема представления (20) с возмущенным граничным условием первого рода показана па рисунке 5.

Е

ТжО-К2 -

дг(г)

Рисунок 5 - Структурная схема объекта (20) с возмущенным граничным условием первого рода

Далее наблюдатель для (20) синтезируется в виде

Г Тж к2

Х(к + \) = АХ{к) + В

+ Ки(АТ-АТ)

(21)

АТ(к) = СХ(к)

причем коэффициенты обратных связей ищутся исходя из требуемых динамических показателей методами модального управления.

Матрицы А и В являются квазистационарными и их коэффициенты определяются результатом решения тештофизической задачи (1). Дня получения этих коэффициентов и, собственно оценки температурного поля объекте, была использована модель вида (5).

Структура, наблюдающего устройства (13) показана на рисунке 6. Наблюдающее устройство представляет собой наблюдатель (26), работающий совместно с моделью (5).

Рисунок 6 - Структура наблюдающего устройства, устраняющего неопределенность граничного

условия первого рода

На рисунке 6, ОУ - объект управления, МОУ - тешюфизкческая модель объекта управления, Тд-q первоначальная оценка граничного условия первого рода, TjgQ + f - реальное значение граничного условия первого рода, БР - блок расчета коэффициентов наблюдателя и коэффициентов обратных связей.

Далее в главе был произведен анализ точности оценивания граничного условия. Было показано, что одним из ключевых параметров, влияющих на точность оценивания , является точность оценивания температурного поля в поперечном сечении с координатой Z=l.

Получен алгоритм выбора протяженности пространственных шагов двумерной сетки для модели (5) но требуемому СКО температурного поля в поперечном сечении с координатой Z-1, основанный на применении теоремы Котельникова:

1. Назначить относительное СКО fTom;(;

2. Построить модальную модель (8) объекта (4);

оо оо Q^nw (LI 7} /)

3. Рассчитать мощность среза РСрез по (8), причем в (8), Рсиг = X 2-----—,

л=1 т=1 "

4. Последовательно увеличивая количество учтенных гармоник Ng и Mg, найти кривую, соответствующую мощности сигнала не меньшей чем РСре-,;

5. Построить графики Mg(Ng), Рсиг (iVg, Mg) ~ const > Рфсз и J(Ng) = Ng* Mg, Рсиг (Ng, Mg) - const > Рсрез, после чего, найдя минимум функции J(Ng) назпачить количество гармоник Ng, а потом найти соответствующее количество гармоник Mg по найденному ранее Mg(Ng);

6. Рассчитать интервалы дискретности как Ах =

XfiNg

на

и Ду =

Ут1Ме

ш

, где X,Y

поперечные размеры (1), и - собственные числа объекта (1), определенные для

модальной модели и порождающие гармоники с частотами большими, нежели частота среза соответствующих осей, а а - параметр из (4).

Сетка с пространственными шагами Ах и &у позволяет по решению (5), в координате Z=l, восстановить непрерывное температурное поле по полиномам Котельникова

т=ЫЛ ®с(х~хт) ас(У~Уп)

с точностью не хуже требуемого СКО аотн.

Погрешность же самого решения, полученного при помощи (5) в узлах сетки, относительно точного решения (1), может быть получена при анализе погрешности разностной схемы. Для этО:\-использовались модели (8) и (10). Для некоторого узла сет;«' коэффициент перехода мод на следующий шаг для дискретной во времени модели определяется как

дая (8),

(23)

"т а2Ах2Ау2 2 а' 2а

дня (10), при использовании явной разностной схемы, и

л цяг =-71---:--:- (25)

а Ах Ау 2 а 2 а

для (10), при использовании неявной разноской схемы.

Откуда, при учете достаточно большого числа гармоник можно получить оценку ошибки для некоторого узла сетки через время Т.

л-1 т-1

дая явной и

/1-1 ч-1 ')

<РЛ^х)*<?л(Ла,У)

для неявиой разностной схемы. Построение графиков максимальной для всех узлов сетки погрешности расчетной схемы, как функции от временного шага, по формулам (26) или (27), в зависимости от расчетной схемы, позволяет выбрать величину временного шага разностной схемы, основываясь на зпачеции пространственного шага, полученного по вышеизложенному алгоритму.

Таким образом, кроме самого наблюдателя, в главе был получен способ назначения пространственных и временного шагов сетки, для использованной конечноразноствой аппроксимации, позволяющий учитывать требования по точности оценивания граничного условия.

В четвертой главе приводится синтез всех полученных наблюдающих устройств для сортовой заготовки, производимой на машине №! непрерывного литья заготовок конвертерного производства ОАО «Северсталь».

В первом разделе главы показал синтез наблюдающего устройства (11) для модели объекта (1), для чего произведено описание (1) в виде конечноразностной модели (10) с количеством состояний 5*5 и шагом временной дискретизации с1Т = 1с, выбранном из условия устойчивости разностной схемы, посредством предварительного упрощения (4). Исходя из размеров зоны

кристаллизации, было выбрано требуемое время переходного процесса ¡п — 2,5с., соответствующее собственным числам замкнутой системы (11) г 6 [0.05,0.3],

Было на практике показано, что выявленный недостаток способа наблюдения состояния, предложенного во второй главе, состоящий в существовании зовы пространственной неопределенности состояния, по размеру пропорциональной времени оценивания состояний наблюдателем (11), не позволяет построить адекватный наблюдатель для рассматриваемого объекта.

Во втором разделе приведен синтез наблюдающего устройства (13), компенсирующего возмущение измерения граничного условия первого рода. Прежде всего, были рассчитаны необходимые пространственные и временной шаги сетки, доставляющие СКО аотн-\% оценке непрерывного температурного поля в координате ¿=1,?.м. по алгоритму, приведенному в третьей главе. Результатом расчета явилось требование на количество узлов сетки: 52*38 узла и на шаг временной дискретизации ЙТ<1,2 с. Синтезированная с этими параметрами модель (10) дает оценку температурного поля в координате Ъ-\,2м. с требуемым СКО.

Далее, было синтезировано наблюдающее устройство (13). Наблюдателю (21) были назначены собственные числа = 0.05,22 = 0.05,после чего было произведено моделирование в среде МаШЬб.О.

В результате быт получены графики невязки интегральных выходов Д Т — ДТ оригинала и наблюдателя и процесса оценивания Тук, при граничном условии Тук = 1540 Си ошибке первоначального оценивания £=100С, приведенные на рисунхе 7а и 7Ь, соответственно.

Рисунок 7 - I рафики невязки интегральных выходов Д7' - Д Т оригинала и наблюдателя (а) и процесса оценивания Тук (Ь), при граничном условии Тук = 1540 С к ошибке первоначального

оценивания М00С

Как и было предсказано в главе 3, оценивание посит дискретный по времени характер, причем время Шп постоянства оценки Тук определяется по (17) и составляет 72 е., т.е. время прохождения расчетным сечением из координаты Z=0 м. в координату Ъ= 1 м.

Несмотря на то, что наблюдателю (21) были назначены собственные числа 2\ =0.05,22 =0.05, что соответствует времени оценивания состояний представления (20)

равному 5 минутам, оценка Тук наблюдающим устройством (13), включающим наблюдатель (21), сходится в 5% окрестность оригинала за 55 минут.

С учетом того, что МНЛЗ работает непрерывно в течении более чем десятка часов, изменения температуры на входе в кристаллизатор происходят очень медленно, а диапазон этих изменений довольно мал, эта цифра может считаться приемлемой.

В третьем разделе четвертой главы приводится результат апробации наблюдающего устройства, устраняющего неопределенность граничного условия 1 -го рода, синтезированного во

втором разделе, на МНЛЗ №1 конвертерного производства Череповецкого металлургического комбината ОАО «Северсталь».

В качестве теплофизической модели была использована модель из состава исследовательского комплекса фирмы «НТЦ «Прибор». Использованная модель имеет размер сетки 187*57 узлов. Расчетная схсма - неявная. Модель учитывает фазовые переходы металла, контактный и лучистый теплообмен в кристаллизаторе.

Приводятся результаты восстановления граничного условия для двух плавок (соответствует примерно 3 часам). Производимый сортамент-заготовка 1630*200 мм., материал - сталь 10.

Приводятся графики изменения различных величин. На рисунке 8 приведены графики

оценки на входе в кристаллизатор и показаний термопары для промежуточного ковша. ««

и« их

юэо иа<

«и

««

«и ■

«ОС '

Рисунок 8 - Графики оценки Т^- и показаний термопары для промежуточного ковша На рисунке 9 приведены графики невязки интегральных еькодоз модели и объекта.

Невязка интегральных выходов, С

Рисунок 9 - Графики невязки интегральных выходов модели и объекта

Из приведенных графиков видно, что оценка совпадает с показаниями термопары с девяностой по сотую минуты, а также со сто семидесятой по сто восьмидесятую минуту. Первый промежуток соответствует окопчаншо плавки, а второй - плавки и серии, что означает временное частичное и полное, соответственно, опорожнение промежуточного ковша, порождающее излияние металла из зоны проведения замера термопарой в кристаллизатор. Именно в эти моменты, рассматриваемые величины можно считать равными. Таким образом, устройство позволяет адекватно оценивать температуру на входе в кристаллизатор, а значит и повышает точность оценивания температурного поля заготовки используемой моделью.

Из рисунков 8 и 9 видно, также, что время оценивания граничного условия Тук оказывается меньшим, чем это было получено при моделировании во втором разделе четвертой главы, и составляет примерно 15-20 минут. Это может быть связано с тем, что модель, использованная рапее, сильно упрощена и не учитывает фазовые переходы стали. Фазовые переходы являются источниками дополнительной выделяемой энергии. Это значит, что зависимость отданной энергии от температуры металла на входе в кристаллизатор становится более пологой, а для малых сечений заготовки может' даже поменять знак своей производной. Все это привело к повышению стабильности коэффициентов приближенного представления отображеиия вход-выход (19) при

V-! - "Л .......— ■■ ____ У

^_1 -1._]

к

изменении температуры металла на входе в кристаллизатор и повысило скорость оценивания, i это и было предсказано в третьей г г íbs.

В заключении приводятся основные теоретические и практические результаты, полученны в ходе выполнения работы, предлагаются направления для дальнейших исследований, как-то исследование возможности применения полученного устройства совместно с адацтацие! параметров теплообмена; анализ зависимости снимаемой с объекта тепловой энергии о траничного условия первого рода, учитывающий фазовые переходы; составление марочнико материалов с уточненными зависимостями теплофизических параметров от температуры вблиз области фазового перехода. Все это позволит улучшить качество получаемой оценки и увеличит" быстродействие разработанного устройства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения диссертационной работы были получены следующие основны результата:

Способ оценивания состояния протяженного термодинамического объекта в услови неопределенности внешних воздействий, основанный на использовании интегральног измерения энергии объекта отдаваемой во внешнюю среду;

Условия проведения измерений состояния, обеспечивающие наблюдаемость состоял для коне%оразносткых аппроксимаций бесконечномерных модельных представлешп протяженного термодинамического объекта;

Способ выбора параметров конечноразностной аппроксимации на основе требований п минимизации погрешности оценивания состояния протяженного термодинамического объекта.

ПУБЛИКАЦИИ 110 ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

ОсЕовные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России:

1. Блинников A.A., Бойков В.И. Выбор параметров конечно-разноеттю аппроксимации модели термодинамического объекта // Приборостроение. 2007, № 11, - С. 43-49.

2. Блинников A.A., Бойков В.И. Использование интегральных измерений г наблюдении состояния распределенного термодинамического объекта// Научно-техническ . вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий механики и оптики. 2008, №55. - С. 3-9.

Другие статьи и материалы конференций:

1. Амоскин И. В., Блинников А. А., Бобцов А. А., Николаев Н. А. Адаптивная следят система дня нелинейного возмущенного объекта // Мехатроника, Автоматизация Упрашгение. - 2005, №5. - С. 6-13.

2. Блинников A.A., Бойков В.И. Использование полиномов Котелышкова в задач аппроксимации модели термодинамического объекта // Научно-технический вестни Санкт-Петербургского государственного упиверситета информационных технологий механики и оптики. 2007, №38. - С. 293-301.

3. Агеев C.B., Чернодольский А.Д., Сухарев C.B., Петушков И.А., Ильипский A.B., Бойко В.И., Гольдберг Л.А., Блинников A.A., Кузина В.И., Ерошкин С.Б., Журавлев С.Г., Красно A.B. Изучение факторов, влияющих ;;а предотвращение образования дефекта типа «Ромб> сортового металла различного сортамента // ОАО «Черметинформация, Бюллетень «Черн металлургия». - 2008. - №10. - С. 30-34.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 19710!, Санкт-Петербург, Саблииская ул., 14 Тел.(812)233 4669 объем 1 пл. Тираж 100 экз.

Введение.

1 Обзор методов наблюдения состояния распределенного термодинамического объекта.

1.1 Математические предпосылки.

1.2 Упрощение .математического описания объекта.

1.2.1 Понижение мерности модели.

1.2.2 Конечномерная аппроксимация упрощенного описания объекта по методу модального описания.

1.2.3 Конечномерная аппроксимация упрощенного описания объекта разностными методами.

1.2.4 Конечномерная аппроксимация упрощенного описания объекта по методу конечных элементов.

1.2.5 Синтез наблюдающего устройства для конечномерной аппроксимации объекта.

1.3 Упрощение задачи оценивания температурного поля объекта

Постановка задачи

2 Синтез наблюдающего устройства для конечноразностной аппроксимации объекта.

2.1 Выбор метода конечноразностной аппроксимации объекта

2.2 Аппроксимация объекта двумерной конечноразностной моделью.

2.3 Исследование наблюдаемости объекта.

2.4 Исследование наблюдаемости конечноразностной аппроксимации объекта.

2.5 Синтез наблюдающего устройства для конечноразностной аппроксимации объекта.

Имея дело с протяженными термодинамическими объектами, часто бывает необходимо знать температурное поле объекта с довольно высокой точностью. Например, в металлургическом производстве это позволяет снизить процент брака и количество аварийных ситуаций [1]. В процессе производства некоторые воздействия на объект могут быть не известны или известны с недостаточной точностью. Все вышесказанное диктует необходимость в устройствах, позволяющих оценивать температурное поле протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий.

На данный момент, устройства, позволяющие оценивать температурное поле протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий, отсутствуют на рынке, что делает тему диссертационной работы весьма актуальной.

В работе рассматривается задача синтеза устройства, позволяющего оценивать температурное поле протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий для объектов с граничными условиями первого, второго и третьего рода с диффузно-конвективным типом теплообмена. Характерной чертой рассматриваемого класса объектов является ярко выраженная анизотропия теплообмена, т.е. явное преобладание диффузного или конвективного теплообмена в зависимости от пространственного направления.

Величина, характеризующая граничное условие первого рода считается неизвестной или известной с недостаточной точностью, т.е. представляет собой неопределенное внешнее воздействие.

Примером объекта, из оговоренного выше класса, может быть непрерывно литая заготовка. Непрерывно литые заготовки, производятся на машинах непрерывного литья заготовок (MHJI3). Многие, из интересующих технологов параметров, восстанавливаются по трехмерному температурному полю. Непосредственное измерение трехмерного температурного поля не представляется возможным, однако оно может быть рассчитано по математической модели, принадлежащей к оговоренному выше классу [2-3]. Одним из важнейших параметров для расчета является температура на входе в гильзу кристаллизатора, точность определения которой не известна. Поскольку температура на входе в гильзу кристаллизатора ненамного превышает температуру Солидуса [4], даже незначительная ошибка ее оценки может привести к искаженному представлению о качестве продукта.

Таким образом, видно, что решение задачи оценивания температурного поля протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий имеет большое практическое значение, т.к. может способствовать повышению качества производимых непрерывно литых заготовок.

В ходе выполнения диссертационной работы, были поставлены следующие цели: формирование набора модельных представлений, покрывающих спектр исследовательских и инженерных задач для заданного класса объектов; исследование свойства наблюдаемости состояния для бесконечномерных модельных представлений протяженных термодинамических объектов и их конечномерных аппроксимаций; разработка способов оценивания состояния протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий и анализ их свойств; выработка рекомендаций к процедуре синтеза наблюдающего устройства для протяженного термодинамического объекта, с целью снижения погрешности оценивания состояния объекта.

Перечисленные выше задачи составляют актуальную научную проблему, включающую в себя формализацию задачи системного анализа, а так же разработку и оценку эффективности методов обработки информации.

Поставленные задачи были решены в ходе выполнения диссертационной работы, результаты выполнения которой несут в себе следующие элементы научной новизны: разработан способ оценивания состояния протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий, основанный на использовании интегрального измерения энергии объекта, отдаваемой во внешнюю среду; получены условия проведения измерений температуры, обеспечивающие наблюдаемость состояния для конечноразностных аппроксимаций бесконечномерных модельных представлений протяженного термодинамического объекта; предложен способ выбора параметров конечноразностной аппроксимации на основе требования по минимизации погрешности оценивания состояния протяженного термодинамического объекта.

Таким образом, видно, что тема диссертационной работы является актуальной, а полученные в ходе выполнения результаты имеют практическое значение и обладают научной новизной.

Заключение

В работе рассмотрена задача синтеза устройства, позволяющего оценивать температурное поле протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий для объектов с граничными условиями первого, второго и третьего рода с диффузно-конвективным типом теплообмена. Характерной чертой рассмотренного класса объектов является ярко выраженная анизотропия теплообмена, т.е. явное преобладание диффузного или конвективного теплообмена в зависимости от направления пространственных координат.

Величина, характеризующая граничное условие первого рода считается неизвестной или известной с недостаточной точностью, т.е. представляет собой неопределенное внешнее воздействие.

В ходе приведенного в главе 1 обзора, было выявлено два основных направления поиска решений:

Первое направление представляет собой аппроксимацию распределенного термодинамического объекта конечномерным модельным представлением, основанную на упрощениях, следующих из особенностей теплообмена рассмотренного класса объектов. Для полученной аппроксимации наблюдатель ищется стандартными методами теории автоматического управления системами с сосредоточенными параметрами;

Второе направление состоит в восстановлении граничного условия первого рода по интегральному измерению тепловой энергии, отдаваемой объектом во внешнюю среду. Такой подход возможен благодаря тому, что рассмотренный класс объектов имеет конечное время установления решения, т.е. время за которое состояние объекта перестаёт зависеть от начальных условий и определяется исключительно совокупностью граничных условий. Это позволяет получить оценку температурного поля объекта через конечное время после окончания оценки неопределенного граничного условия.

Для каждого из путей была формализована задача наблюдения состояния распределенного термодинамического объекта. Был произведен обзор модельных представлений, описывающих, точно или приближенно, рассматриваемый класс объектов.

В главах 2 и 3, показан сформированный на основе сделанного ранее обзора набор модельных представлений, покрывающий спектр исследовательских и инженерных задач для заданного класса объектов. Этот набор включил в себя:

Конечноразностную аппроксимацию, удобную для моделирования процессов теплообмена и легко изменяемую до вида, представляющего собой представление объекта в виде модели вход-состояние-выход;

Модальную модель, удобную для системного анализа свойств объекта и его конечноразностной аппроксимации.

В разделе 2.1 приведены упрощения модели объекта, основанные на информации об анизотропии теплообмена, позволившие описать трехмерный объект набором двумерных объектов.

В разделе 2.2 рассмотрена аппроксимация бесконечномерной модели объекта моделью вида вход-состояние выход, основанная на аппарате конечных разностей.

В разделе 2.3 приведено исследование свойства наблюдаемости состояния для бесконечномерных модельных представлений протяженных термодинамических объектов и их конечномерных аппроксимаций. Были вынесены рекомендацию по организации измерительной схемы делающей конечноразностную аппроксимацию объекта наблюдаемой, сводящиеся к проведению измерений температуры на всем протяжении продольного ребра объекта. Так же, в разделе 2.4, было показано, что конечноразностная аппроксимация должна базироваться на сетке с количеством узлов одинаковым вдоль поперечных осей объекта.

Все это позволило применить аппарат теории автоматического управления системами с сосредоточенными параметрами при синтезе наблюдающего устройства для конечноразностной аппроксимации распределенного термодинамического объекта, показанного в разделе 2.5.

Был отмечен существенный недостаток полученного наблюдающего устройства, состоящий в преобразовании времени оценивания в пространственную зону неопределенности состояний. Так же матрица наблюдаемости аппроксимации объекта оказывается плохо обусловленной, что приводит к большим требованиям по точности расчета коэффициентов обратных связей при назначении динамических характеристик. Совокупность этих недостатков делает применение полученного наблюдателя невозможным, если допустимая зона пространственной неопределенности достаточно мала.

В разделе 3.1 показана структура наблюдающего устройства устраняющего неопределенность граничного условия первого рода, а значит и влияние этой неопределенности на состояние объекта. Такое устройство свободно от недостатков присущих устройству, синтез которого приведен в главе 2.

В разделе 3.2 приведены уравнения теплового баланса. Составление этих уравнений позволило получить скалярное отображение граничного условия первого рода в интегральное измерение, основанное на результатах моделирования процесса теплообмена. На основе этого отображения и представления возмущения граничного условия элементом задержки с обратной связью, был получен наблюдатель с простой структурой. Для получения параметров скалярного отображения была использована конечноразностная аппроксимация, описанная в главе 2, которая, кроме того, несет функцию расчета температурного поля. Итогом раздела можно считать наблюдающее устройство, составленное из теплофизической модели, и простейшего наблюдателя. Ввиду того, что полученное наблюдающее устройство использует наблюдатель с нестационарными коэффициентами, время оценивания граничного условия отличается от задаваемого на величину, зависящую от степени стационарности коэффициентов отображения вход-выход.

В разделе 3.4 показан способ выбора параметров используемой конечноразностной аппроксимации, основанный на требовании по точности оценивания теплосодержания сечения с координатой Z=l. В качестве критериев была использована погрешность межузловой аппроксимации и погрешность разностной схемы.

В главе 4 приведен синтез наблюдающих устройств, всеми предложенными способами, для заготовки, производимой на первой MHJI3 конвертерного производства > Череповецкого металлургического комбината ОАО «Северсталь».

В разделе 4.1 описан синтез наблюдающего устройства для конечноразностной аппроксимации заготовки, производимой на MHJI3 по методу, описанному в главе 2. Обозначенные в главе 2 недостатки используемого способа не позволили произвести точный расчет обратных связей, однако, использованные методы приближенного вычисления привели к успешной реализации наблюдателя, производящего оценку состояния за конечное время.

В разделе 4.2 был описан синтез наблюдающего устройства, устраняющего неопределенность граничного условия 1-го рода, для заготовки, производимой на MHJI3, по методу, описанному в главе 3. Кроме того, при синтезе были учтены требования по соблюдению относительной погрешности оценки теплосодержания поперечного сечения на выходе из кристаллизатора оотн=1%, что нашло свое отражение в назначении пространственных и временных шагов конечноразностной аппроксимации.

Проведенное моделирование показало, что время оценивания граничного условия первого рода составляет 55 минут, что является, хотя и большой, но терпимой, величиной для объекта с временем работы, превышающим десять часов, и с медленно меняющимися в небольшом диапазоне параметрами.

В результате была получена оценка температурного поля сортовой заготовки обоими способами, однако второе устройство оказалось более подходящим для оценивания процессов кристаллизации заготовок на MHJI3.

В разделе 4.3 показано применение наблюдающего устройства, синтез которого приведен в разделе 4.2, на основе результатов главы 3, к первой MHJ13 конвертерного производства Череповецкого металлургического комбината ОАО «Северсталь». В качестве теплофизической модели была применена модель из состава исследовательского комплекса фирмы «НТЦ «Прибор», работающего на MHJI3 №1 конвертерного производства Череповецкого металлургического комбината ОАО «Северсталь». Использованная модель имеет размер сетки 187*57 узлов. Расчетная схема -неявная. Модель учитывает фазовые переходы металла, контактный и лучистый теплообмен в кристаллизаторе. Оценка граничного условия первого рода производилась для сортамента 1630*200 мм., материала - сталь 10.

Адекватность оценки температуры на входе в кристаллизатор подтверждается графиком невязки интегральных выходов модели и объекта, а также, графиком измерений температуры в промежуточном ковше, производимых термопарой и связанных с оцениваемой температурой в отдельные моменты времени.

Кроме того, следует отметить, что время оценивания оказалось меньшим, чем это было получено при моделировании, результаты которого приведены в разделе 4.2, и составляет примерно 15-20 минут. Это может быть связано с тем, что модель, описанная в разделе 4.2, сильно упрощена и не учитывает фазовые переходы стали. Фазовые переходы являются источниками дополнительной выделяемой энергии. Это значит, что зависимость отданной энергии от температуры металла на входе в кристаллизатор становится более пологой, а для малых сечений заготовки может даже поменять знак своей производной. Все это привело к повышению стабильности коэффициентов приближенного представления отображения вход-выход (3.11) при изменении температуры металла на входе в кристаллизатор и повысило скорость оценивания, как это и было предсказано в главе 3.

Таким образом, итогом работы является:

Способ оценивания состояния протяженного термодинамического объекта в условиях неопределенности внешних воздействий, основанный на использовании интегрального измерения энергии объекта, отдаваемой во внешнюю среду;

Условия проведения измерений температуры, обеспечивающие наблюдаемость состояния для конечноразностных аппроксимаций бесконечномерных модельных представлений протяженного термодинамического объекта;

Способ выбора параметров конечноразностной аппроксимации на основе требования по минимизации погрешности оценивания состояния протяженного термодинамического объекта.

Полученные результаты несут в себе научную новизну для теории автоматического управления системами с распределенными параметрами, а также имеют практическую ценность.

Оценка температуры металла на входе в кристаллизатор, полученная при помощи синтезированного устройства, в перспективе, позволит более эффективно выявлять некоторые дефекты непрерывно литых заготовок, например трещины, а так же предотвращать аварийные ситуации (прорывы чулка).

Сама оцениваемая величина температуры стали на входе в кристаллизатор, также является важной, т.к., как показали исследования [1], она является одной из определяющих величин при возникновении дефекта типа «ромб» на заготовках квадратного сечения.

Дальнейшим направлением работ, развивающим тему диссертационной работы, может стать исследование возможности применения полученного устройства совместно с адаптацией параметров теплообмена, т.е. граничных условии третьего и четвертого рода. Это позволит убрать паразитное изменение оценки граничного условия первого рода, обусловленное колебаниями входных величин, связанных с интенсивностью охлаждения. Также, дальнейшим направлением работ может быть анализ зависимости снимаемой с объекта тепловой энергии от граничного условия первого рода, учитывающий фазовые переходы. Это позволит изменить структуру наблюдателя, используемого в составе наблюдающего устройства и повысить скорость оценивания. Кроме того, немаловажным, для точности оценивания, смежным исследованием было бы составление марочников материалов с уточненными зависимостями теплофизических параметров от температуры вблизи области фазового перехода.

1. Левин Р.Г., Галкин М.П., Зубрев О.И., Сургаева Е.В., Глеков Л.К. Математическое моделирование процесса кристаллизации непрерывнолитой заготовки // Металлург. 2003. - С. 42-44.

2. Рей У.Х. Методы управления технологическими процессами Текст.: пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 368 е.: ил.

3. Мастрюков B.C. Теплофизика металлургических процессов. — М: МИСИС, 1996.-270 с.

4. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределёнными параметрами Текст.: учеб. Пособие / М.: Высшая школа, 2003.-299.: ил.

5. Фарлоу С. Г. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров Текст.: М.: Мир, 1985. - 384.: ил.

6. Волков А.В. Промышленное освоение математической модели в составе комплексной АСУТП МНЛЗ-2 Молдавского металлургического завода // Специальная техника. 1999, №6. - С.24-29.

7. Амоскин И. В., Блинников А. А., Бобцов А. А., Николаев Н. А. Адаптивная следящая система для нелинейного возмущенного объекта // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2005, №5. - С. 6-13.

8. Рапопорт Э.Я. Анализ и синтез систем автоматического управления с распределёнными параметрами Текст.: учеб. Пособие/ М.: Высшая школа. -2005.-292 е.: ил.

9. Eyges, Leonard. The Classical Electromagnetic Field Dover Publications, New York. ISBN 0-486-63947-9.

10. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.

11. Polyanin A. D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488299-9.

12. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М.: Физматгиз, 1974. 542 с.

13. Бутковский А.Г., Пустынников Л.М. Теория подвижного управления системами с распределёнными параметрами Текст.: М.: Наука, 1980. 384 с.

14. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Управление нагревом металла Текст.: Изд. 2-е перераб. и доп./- М.: Металлургия, 1981. 272 с.

15. Gauthier J.P., Hammouri Н., Othman S. A simple observer for non linear systems application to bioreactors. IEEE Trans. Automat. Control 37. 1992. - p. 875880.

16. Smyshlyaev A., Krstic M. Closed form boundary state feedbacks for a class of partial integro-differential equations. IEEE Trans. Automat. Control. 49. 2004. -p. 2185-2202.

17. Smyshlyaev A., Krstic M. Backstepping observers for parabolic PDEs. Systems and Control Letters. v54. 2005. - p. 1953-1971.

18. Smyshlyaev A., Krstic M. Output-Feedback Adaptive Control for Parabolic PDEs with Spatially Varying Coefficients. Decision and Control. 2006 45th IEEE Conference on Volume, Issue , 13-15. - 2006. - p.:3099 - 3104.

19. Krstic M., Bao-Zhu Guo, Balogh A., Smyshlyaev A. Observer Based Boundary Control of an Unstable Wave Equation. American Control Conference. 2007. - p. 2048-2053

20. Schuster E., Krstic M., Vazquez R. Magnetohydrodynamic state estimation with boundary sensors, Source Automatica (Journal of IF AC) archive Volume 44 , Issue 10. 2008. - p.2517-2527. ISSN:0005-1098

21. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы Текст.: СПб.: Питер, 2005. - 336 е.: ил.

22. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы Текст.: — СПб.: Питер, 2006. — 272 е.: ил.

23. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления Текст.: Учеб. пособие для вузов./ — М.: Высшая школа, 1977. 519 с.: ил.

24. Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления Текст.:Изд. 4-е перераб. и доп. / СПб.: Профессия, 2003. - 752 с.

25. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах Текст.: под редакцией Леондеса К.Т. - М.: Мир, 1980. - 407.: ил.

26. Туголуков Е.Н. Решение задач теплопроводности методом конечных интегральных преобразований при автоматизированном проектировании технологического оборудования химической промышленности: Учебное пособие. Тамбов: Издательство ТГТУ, 2006. - 116 с.

27. Осмоловский В.Г. Нелинейная задача Штурма-Лиувилля : Учебное пособие. — СПБ.: Издательство Санкт-Петербургского государственного университета, 2003. 260 с.

28. Белевич М. Ю. Математическое моделирование гидрометеорологических процессов: основные вычислительные идеи и методы Текст.: учеб. Пособие/ СПб.: изд. РГГМУ, 2000. 213 е.: ил.

29. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.-418 с.

30. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. 96 с.

31. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 352 с.

32. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 4-е изд. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 636 с: ил.

33. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 стр.

34. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 375 с.

35. Kitagawa G. An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S. International Journal of Control. 1977, Vol. 25, No. 5. p745-753.

36. Bartels R. H., Stewart G. W. Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C. Comm. ACM, 1972, 15. p820-826.

37. Турецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием М.: Машиностроение, 1974. 328с.:ил.

38. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс: Учебник. 3-е изд., стер. — Спб.: Издательство «Лань», 2006. 960с.: ил.

39. Кавчук С.В. Руководство к лабораторной работе №2 «Временная дискретизация сигналов» по курсу Теоретические основы информационно-измерительной техники. Текст.: учеб. Пособие/ Таганрог: изд. ТРТУ, 1999.- 38с.: ил.

40. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. Изд.2. М.: Едиториал УРСС, 2005. 384 с.

41. Блинников А.А., Бойков В.И. Выбор параметров конечно-разностной аппроксимации модели термодинамического объекта // Приборостроение. 2007, №11.-С. 43-49.

42. Moore E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society 1920, 26. p394-395.

43. Гультяев A.K. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows Текст.: практическое пособие СПб.: КОРОНА принт, 1999. -288 с.

44. Потемкин В.Г.Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x Текст.: В 2 т. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. - Т. 1-2.