автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Анализ систем массового обслуживания конечной емкости с групповым потоком и групповым обслуживанием

Р Г Б ОД

<- - | На правах рукописи

АЛЬ-НАТОР Софья Влядимнртвна

АНАЛИЗ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ КОНЕЧНОЙ ЕМКОСТИ С ГРУППОВЫМ ПОТОКОМ И ГРУППОВЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ

(05.¡3.17 — теоретические основы ииформатнкн)

Авторефе рат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фиэико-математических наук

Москва - 1996

Работа исполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наух Российского университета дружбы народов

Научный руководитель -доктор технических наук, профессор П, П. Бочаров

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор С.Н. Степанов кандидат фнчико-математичсских наук, доцент Е.В. Чспурип

в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 053.22.28 в Российском университете дружбы народов.

Адрес: 117923, Москва, ул. Орджоникндте, 3

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклаи, д.6

Ведущая ортанммцня: Институт проблем управления Российской Академии наук

Зашита диссертации состоится " (¿1/ ** ,1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

С.С. Спесивов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие современных средств связи находится d настоящий момент на этапе повсеместного распространения пакетной коммутации. Принцип пакетной коммутации яежтг и в основе широкополосных цифровых сетей с Интеграцией служб (B-ISDN), способных одновременно передавать данные, речь, видеосигналы п др., исследование п моделирование которых является в настоящее время одной из самых актуальных па дач информатики.'

При пакетной коммутации информация от источника к получателю передается в виде блоков, называемых пакетами и имеющих фиксированную длину. В то же время предназначенные для передачи сообщения чаще всего имеют случайную длину, и при делении на пакеты образуют группы случайного размера. Моделью узла сети, в котором происходит деление на пакеты, может служить система массового обслуживания (СМО) с групповым поступлением. Если же в некотором узле какие-то пакеты обрабатываются от начала и до конца вместе, то такой узел может моделироваться с помощью СМО с групповым обслуживанием.

Большинство известных к настоящему времени результатов для систем с групповым поступлением относятся к спстемам с бесконечной очередью. В то же время на практике емкость систем ограничена и параметры, характеризующие потери заявок, являются важными показателями качества обслуживания. В связи с этим в диссертационной работе рассматриваются СМО с групповым поступлением и ограниченной очередью.

Что касается систем с групповым обслуживанием, то исследованные в диссертации СМО являются принципиально новыми и в предыдущей литературе не рассматривались.

Целью диссертационной работы является

1. Разработка л развитие методов анапгаа стационарных характеристик однолинейных СМО конечной емкости с групповым потоком и групповым обслуживанием.

2. Создание на основе полученных теоретических результатов комплекса программ для анализа стационарных показателей производительности однолинейных СМО конечной емкости с групповым фазовым потоком и фазовым обслуживанием, а также с групповым

марковским потоком и произвольным рекуррентным обслуживанием.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. В развитие методов анализа однолинейных СМО конечной емкости с групповым фаоопым потоком и фазовым обслуживанием н с групповым марковским потоком и произвольным рекуррентным обслуживанием выведены рекуррентные матричные алгоритмы распета стационарного распределения длин очередей, получены выражения для преобразования Лапласа-Стилтьеса (ПЛС) времени ожидания в очереди, а для первой па указанных СМО найдены начаяьньные моменты времени ожидания любого порядка.

2. Разработаны методы анализа стационарных характеристик однолинейной СМО конечной емкости с рекуррентным потоком п групповым марковским обслуживанием при дисциплине обслуживания специального вида, на основе которых получено стационарное распределение очереди в произвольные моменты, а также в моменты 1.иступлеш1я заявок II выхода групп.

3. На основе полученных теоретических результатов раорабо-тан комплекс программ для расчета показателей производительности однолинейных СМО ограниченной емкости с групповым входящим потоком.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются в основном методы теории вероятностен, теории случайных процессов, теории массового обслуживания и численные методы.

Обоснованность научных положений. Полученные в диссертации результаты обоснованы строгими математическими доказательствами, а также проведенным численным анализом.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в диссертации, могут быть полезны при аналитическом моделировании вычислительных сетей я систем, узлов сетей свяоч с пакетной коммутацией, многопроцессорных ЭВМ и других технических систем. Результаты диссертации позволяют более точно моделировать процессы в реатьно существующих системах, будучи в то же время универсалию применимыми для широкого класса систем. В число

реоультатов диссертации входят программы, составленные по некоторым приведенным d пей вычислительным алгоритмам п пклточен-пые в программный комплекс расчета систем п сетей массового обслуживания, ргизрпбатыолгмый в Российском университете дружбы ' народов (РУДН).

Реализация результатов работы. Исследование систем массового обслуживания с групповым потоком и систем с групповым обслуживанием проводилось в райках НИР "Разработка математических методов п алгоритм«« анализа мультипроцессорных вычислительных систем, локальных и интегральных информационно-вычислительных сетей" (государственный регистрационный номер 01.9.10 033110), которая выполнялась в соответствии с координационными планами РАН.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на X п XI Белорусских зимних школах-семинарах по теории массового обслуживания (Минск, 1994, 1995), XXX, XXXI л XXXII научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1994,1995, 199G), а также на научном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики РУДН.

' Публикации. По материалам диссертации опубликовано'9 работ, па них три в центральной печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит на введения, Трех глав, заключения, списка литературы из .f.fJ. наименований и приложения. Диссертация содержит ум. страниц текста, .22, рП. суиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, Приводится обзор опубликованных по данной теме работ, кратко излагаются основные результаты диссертации и содержание по главам.

Б первых двух главах рассматриваются однолинейные СМО с накопителем емкости г (1 < г < со) п групповым поступлением заявок.

Поступающая группа имеет размер к с вероятностью а*., к = 1, Л, я

J2 ак = 1» где R = г + 1—общая емкость системы. Если при по-к=1 '

ступленип в систему новой группы част находящихся в ней заявок

превосходит число свободных мест в накопителе, то свободные места заполняются, а остаток оаявок по поступающей группы теряется. Предполагается, что группы оаявок обслуживаются в порядке их поступления, а внутри группы заявки обслуживаются в случайном порядке.

Подробное оппсанпс исследуемой в первой главе СМО приведено в §1. Поступающий на систему поток групп оаявок является рекуррентным с ФР А(х) фаоового типа,

А{х)~ 1 -а теКх1, х > О, а т 1 = 1,

с чепрпводпмым РН-представлением (а, А) порядка /. Здесь и далее 1—вектор-столбец но едшшц.

Заявки обслуживаются по одной. Времена их обслуживания не-савнспмы в совокупности и хыеюг общую ФР В(х), которая также является ФР фаоового типа

' В(х) = 1 - (З теМх1, х >0, Д Т1 = 1,

с леприводимым РН-представленпем (/3, М) порядка т. Предполагается, тго для всех собственных значений {-уп} матрицы Л выполняется условие (3(-уп) ф 0, где Р(в)— ПЛС ФР В(х).

Такую СМО в обооначенпях Кендалла будем кодировать как РГА'/РН/1/г. .

В §2 главы 1 для этой СМО выводится система уравнений равновесия (СУР).

Учитывая вероятностную фазовую интерпретацию РН-расире-делений, стохастическое поведение рассматриваемой СМО можно описать однородным марковским процесса..! {А'(.<), ( > 0} над множеством состоянии

Д'= 1 = 177, '» = М?> 3 =

С<1сгояния процесса {Л'(<), ( > 0} пмеют следующий смысл: А'(2) = (¿.О), если снстсма свободна и процесс генерации группы проходит фиктивную фазу г\ Л'(<) = (г, п^), если в системе имеется п оаявок, обслуживаемая заявка проходит фиктивную фаоу j, а генерпА уемая группа— фиктивную фасу ¿, В сделанных предположениях существуют стационарные во]' »ятностп состоянии (¿,0) и (г, п,}), обозначаемые соответственно череп р,о и щП}-

Далее плодятся векторы Ра = (;»ю,-

Рп ~ (/'I"11 •• • ,Р1пт>Р1п\, • ■ ■ )Р2пт, ■■ • ,Йпга)| П=1,Л,

И выписывается СУР с матрицей иптснсишюстей лереходов А, у которой ненулевые элементы находятся пад главной диагональю, на главной диагонали и на нижней подднагоналп. СУР дополняется условном нормировки.

С помощью преобразований над матрицей А в §3 найдено решение СУР. Для записи решения вводятся следующие обозначения:

М = -(Л ф М) + Л ® 1/3 Т, Л = -(Л ф М) + 1а т ® М, М = ЛФЛ/4-Асу т®1, (/ = \ат®1, У = 1® 1/3 т, .

н-1

= {[Л„_, (/ ® Д r) + £ Wb(an-kI + An.kV)]V+ 1=1

+ \Уп-.1(Л-и)}м~\ п = 27,

= -(ял(/ ©/3 г) + ¿ .4r_fcin]í/Á7 \ fc=i

Z = [~Wr(A -U)+ Wn(M+ M)\{I® f), • л

n=l

Здесь {/ ® К—крокекерово произведение матриц U и V, U ® V = = U ® I + I ® V—кронекерова сумма этих матриц, Ао = 1, А к =

1-Е«., а = -лГ. «=1

Теорема 1. Стационарное распределение вероятностей состояний {;7n, п = 1, Л} для СМО РНА/РН/1/г представляется в виде

гДе РоТ определяется единственным образом из системы уравнений

p/Z=QT,

P<sTv = l.

На основе найденного стационарного распределения в §4 вычисляются стационарные характеристики системы, такие как средняя длина очереди q, интенсивность выходящего потока \р, вероятность потери заявки 7г п некоторые другие, а также находятся соотношения между ними, полезные для контроля вычислений.

В §5 рассматривается время ожидания оаявкой начала обслуживания в стационарном режиме функционирования СМО. С этой целью вводится цепь Маркова {A'j~ = X{tk — 0), к > 1}, вложенная по

моментам ifc — 0, к > 1, поступления групп оаявок, с множеством со____I

стояний Х2 = {(0), (n,j), п = 1, Л, у = .1,т}, где (0) = (J (М)},

¡=1

j

(n,j) — (J {(i, n,j)}. Через 7г0 н жnj обозначаются стационарные ве-i=i

роятности состояний (0) и («, j) соответственно, и вводится вектор

"XtF = ("'«l I • • • 1 Kntn).

Теорема 2, Для СЮ РНх/РН/1/г преобразование Лаппаса-Стилтьеса и(з) функции распределения времени ожидания оаявки, принятой в систему, имеет вид

"(s) = + Е *»т/*п"'('№-„(-)(«/ - М)~1р].

J • . я

Здесь Qj(s) — ^ Aift{s)\ а = £ ка^—среднее число оаявок в группе,

i=0 Jt=l • ,

ft = —Jl/l, a 7Tq и хп вычисляются по формулам

1-тг

То = д 1>а

»»pi,

где Л (« уЛ-11)~1—интенсивность поступления групп.

Обозначим v ый начальный момент времени ожидания заявки через и,,, а к-ый начальный момент времени обслуживания— черео Ьк.

Следствие.

;=о

Г V Г—И

+ Е Е у Е " -

>1 = 1 i=0 j=о

G

где

= Vq = 0, ,/>1,

vf = Е пЬ^1-^0-

В §6 приводятся реоультаты вычислений по формулам главы 1 с использованием программ, составленных на языке Фортран 5.0".

В главе ¿проводится пиалпз СМО BMAP/G/1/r, подробное описание которой дано в §1. Это однолинейная СМО с накопителем конечной емкости г, заявки на которую поступают группами, при этом поток групп заявок является марковским (Batch Markov Arrival Process— BMAP) ii задается двумя квадратными матрицами А и N порядка I. Внедиагональные элементы матрицы Л являются пнтен-сцвностямп переходов между фиктивными фазами генерации без поступления группы в систему, а алемечты матрицы N— пнтенсивно-стямп переходов, сопровождающихся поступлением группы. Введем также матрицу Л* = Л -f- N. При этом будем предполагать, что матрица Л* неразложима, а матрица N ненулевая. Отсюда следует, что матрица А невырождена.

Заявки обслуживаются по одной, времена их обслуживания независимы в совокупности и имеют общую ФР В(х). При этом предел

полагается, что 23(0) = 0 и / xdB(x) — /«""' < оо, а для всех Соб-

о

ственных значений {сг,} матрицы Л имеет место условие /?(—<т,) ф 0, где p(s)—ПЛС ФР Б(г).

В §2 выводится алгоритм вычисления стационарных вероятно* стсй состояний описанной СМО.

Функционирование рассматриваемой СМО описыгается линейчатым марковским процессом {7(i)i ' > 0} над множеством состояний

Д' = {(t,u), ¡ = 1,1, А = s>0}.

Состояния данного процесса интерпретируются следующим образом: (¿,0) соответствует случаю, когда система свободна, а генерируемая группа проходит фазу t; (t, к, х) отражает ситуацию, когда генерируемая группа находится на фазе «, в системе имеется к заявок, а заявка на приборе обслуживается уже время х.

Стационарные вероятности состояний (г, 0) п стационарные плотности вероятностей состояний (i,k,x) существуют и обозначаются

соответственно через р,о и ]>,к(х). При этом последние представляются в виде

Ри(х) = [1 - B(x)](Jik(xh где f]ik(z)—ограниченные функции для всех г = 1,1, к = 1, R, х > 0.

ос

Положим рц. = f pik(x)dx и впедем векторы о

Рк = (.Pik, • • ■,Pik), к ~ 0, Ii, ПТ(Х) = (Я1к(х), ■ - • ,<&*•(*)), к - 1, Л.

Тогда ра и 'JU (х), к — 1, П, являются единственным решением выведенной в §2 системы дифференциальных уравнений (СДУ) с граничными условиями и условием нормировки.

Теорема 3. Решение СДУ предет,шляется d виде

к л—t ;=i ¿=0

Л=1

где

X

ВД = JFM(y)Nex<'-»\ly, k = T, (1)

Г0(0)=/, П(0) = 0,

Кроме того, индекс "." означает суммирование'по всем значениям дискретного арг.,мента, а величины /¿^ представляют собой вероятности поступления j заявок при условии поступления » групп п вычисляются рекурренгно по следующим формулам:

Лоо — 1, ''о» ■= 0, п > 1,

/> ,„ =0, 0<n<j или п > з > 0,

„-1 (2)

ГМ = П10Г(^ —1 ,п —Я)

■ со к

Далее введем матрицы Вь = f Fk{x)<lD(x), Г*.. = Ё Djhjk и В'а =

О , >=0

оо

= J vdB(x). Доказано, что векторы % можно представить в виде о

f/=;V4>b * = ТТл,

где последовательность матриц Q^ определяется следующим образом:

Qi = —AZJg 1>

fc-i

Qh = {Qk-i - - jVa,.,)^-1, fc = 27,

y=i

Q/г = Nfl/i,

а вектор po находится как единственное решение системы уравнений

1-РО =<?.//!,

Гдс = <л7% 7'0 = РоТ1-

Также в §2 получены рекуррентные формулы для определения векторов pi,.: .

Й,Г = -(<f/ + ïoTLk-1 4- £Pm^lA-1, * = V,

тя I

r

Ря = P.~Y!P*» . .

fce о , •

m

где LTO — A* — NAm, Am = 1 - £ n>»> a вектор ;T вычисляется из

n = i

системы уравнений

р.тЛ*=бт

tl условия нормировки.

В §3 приведены выражения для некоторых показателей производительности системы в стационарном режиме, среди них интенсивность выходящего потока заявок Ad, интенсивность принятого

потока оаявок А а и вероятность потерь тг, причем для каждой по перечисленных величин дается несколько эквивалентных выражений с целью контроля расчетов.

В §4 исследуется время ожидания заявки и доказывается Теорема Для ÇMO EMAP/G/1/r преобразование Лапласа-Стнлтьеса u>(s) функции распределения времени ожидания заявки, принятой в систему, имеет вид

1 г

Ла(1 — 71) к

х è t» £ /ъл-n [(■'/+лг'лчч

,1=1 j = О

+ £ + Л)-1^)^,/ + Л)-1},л 1 = 0

Здесь «7 = ЛГ1, А = ¡>ти, « = £ *nfc, Qy(,s) = £ АД«)'"-

(t= 1 i=U

В §5 рассматривается частный случай СМО BMAP/G/1/г—система M'V/G/1 /г. В этом случае все формулы значительно упрощаются, в результате чего выражение для начального момента времени ожидания заявки произвольного порядка выписывается в явном виде.

Численные результаты для СМО BMAP/G/1/r представлены в §0. Расчеты производились с помощью программ, составленных на языке Turbo Pascal.

В третьей главе исследуется однолинейная СМО с ординарным входящим потоком и групповым обслуживанием специального типа, описание которой дано D §1.

На систему с накопителем конечной емкости г поступает рекуррентный поток оаявок с функцией распределения А(х), где А(0) = 0 и

сю

J х<1А(х) = А-1. Заявка, заставшая накопитель полностью занятым, о

теряется.

Заявки на время обслуживания остаются в накопителе, п любая вновь поступившая в накопитель заявка немедленно начинает обслуживаться. Покидать систему заявки могут группами случайного размера в соответствии с марковским групповым процессом обслуживания, определяемым аналогично марковскому групповому процессу поступления, с той разницей, что первый пэ них определяется на

произвольном периоде оаиятостп системы и является обрывающимся мавковскгш процессом. Предполагается, что начальная фала обслуживания после поступления заявки в пустую систему, т.е. в начале нового периода занятости, выбирается в соответствии с распреде-

_ м

леппем / т = .., /,„), £ /,• = 1, а матрицы М и Ь вводятся

¿=1

аналогично матрицам Ли N для марковского группового поступления.

Таким образом, групповое марковское обслуживание задается двумя матрицами М п Ь, вектором / н размером группы. Введем также матрицу М* = М + Ь. При этом будем считать, что матрица М* перазложима, а матрица Ь отлична от нулевой. Отсюда вытекает, что матрица М невырождена. Предположим, кроме того, что для всех собственных значений {сг,} матрицы М выполняется условие а(-0{) £ 0, где а(я)—ПЛС ФР Л(*).

Вернемся к размеру группы заявок, собирающейся покинуть систему. Размер группы определяется в момент окончания обслуживания и > 1, и, если в момент $„ — 0 в СМО было к заявок, то

размер группы, которая покинет СМО в момент задается векто-'

к _

ром вероятностей дк - ..,</*)т, £ у- = 1, к - 1,г, где д\ =

• ¡=1

г _

1>и---,0к-1 = Ьк-1, 9к = Вк-1 = Е' а вектор Ьт = (г>ь...,Ьг),

Ык

г -

Е Ь,- = 1, не ¡зависит от числа заявок в системе. ¿=1

В §2 для описания данной СМО вводится линейчатый марковский процесс 1 > 0} над множеством состояний

Л'={(*,()), х>0, к = йг, з =

Здесь состояние (:г,0) означает, что система пуста, и генерация новой заявки продолжается время х, а состояние (х, к,]) отражает ситуацию, когда в системе имеется к заявок, генерация новой заявки продолжается время х, и процесс марковского обслуживания группы проходит фазу В сделанных предположениях марковский процесс А'(<) является эргоднческим, и у него существует единственное стационарное распределение.

Пусть ]>о(х) и pkj(z)—стационарные плотности вероятностей состояний (х,0) н (x,k,j) соответственно, представляемые в виде

Ро(х)= [1 -!>kj{*) = [1 -

где i;o(a.') 11 <lkj(x)t а; > О, А: = 1, г, j = l,m,—ограниченные функции. Введем векторы

<7kT(x) = (in (х),... ,Qkm(x)), к - Т~г,

ЛТ(Ж) = О'и(а). • • • ./W*)). h - V.

В §2 выведена СДУ и Граничные условия, которым удовлетворяют (д.(т), а в §3 докапана следующая

Теорема 5. Решение СДУ имеет следующий вид:

г п - к

= Е ^ Е

н —к ¡=0

'М*) = Е<7,ГЕВД Е Г.

J=i-1

Здесь

х

Я,.(*) = JЛп_,(у)Ыу, Я„(0)=0, n = ÏT7,

о

является вероятностью выхода из системы / заявок при условии обслуживания I групп и вычисляется по формуле (2) с заменой Л на г и а,- на Ь,, а остальные обозначения совпадают с (1) с заменой Я, Р1, Л, и N на г, Я, М пЬ соответственно.

Введем матрицы А, = | Н{(х)г1А(х), Б} = £ А,/¿¿у. Показано,

О 1=0

что векторы можно найти по формуле

где

Qr = -MDQ1 ,

Qr-i = [Л/+ QP(/-I>,)]r>ol,

Г

Qk - (<?fc+i - E QnDn.k)D~\ k = 2,

n = l + l

n = l

а вектор v единственным образом находится по системы

ГГ* ГГУ ** ГР

V TQX = qflf Т,

vTQ. 1=Д.

оо _

Для векторов /Г* = J рк(х}(1х% к = 1, г стационарных вероятностей

о

выведены следующие рекуррентные формулы: 2ÏrT = qrr(Ao-I)M-1,

г

■ НТ = ~{ъТ + P*[M+L( 1 - )] }м-1,

к = 1,г- 1,

а вероятность ро простоя системы определяется но условия нормировки.

В §5 найдены распределения вероятностей состояний для пеней Маркова, вложенных по моментам поступления оаявок, а в §G—для цепей Маркова, вложенных по моментам выхода групп.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ •

В диссертационной работе рассматриваются однолинейные системы'массового обслуживания конечной емкости с групповым поступлением и групповым выходом. В работе получены следующие результаты:

1. Найдены рекуррентные формулы расчета стационарного распределения состоянии для

СМО РНА /PH/1/г.

2. Выведен алгоритм расчета стационарного распределения состояний для СМО BMAP/G/1/r, а также для СМО с произвольным рекуррентным входящим потоком и марковским групповым обслуживанием с дисциплиной специального типа.

3. Получены формулы для ПЛС и начальпых моментов Ьременп ожидания заявкой начала обслуживания в системе

а

также для ПЛС времени ожидания в СМО BMAP/G/1/r.

4. Составлен комплекс программ для расчета стационарных характеристик систем

и BMAP/G/1/r.

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах: . •

1. Аль-IIчто}> C.B. О времени ожидания в системе MA/G/l/r с групповым потоком // Тезисы докладов XI Белорусской школы-семшшра по теории массового обслуживания.- Минск: БГУ.-1995.- С.12-13.

2. Аль-Натор C.B. Анализ системы конечной емкости с марковским обслуживанием п разделением процессора// Тезисы докладов XXXII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук.- М.: Код-во РУДН.- 100G.

3. Лм.-Натоу C.B., Альборес Х.Ф. Стационарные характеристики системы MY/G/1 /г с групповым потоком // Модели информационно-вычислительных систем. Сборник научных трудов,- М.: Изд-во ГУДН,- 1994,- С. 4C-5G.

4. Бочаров П.П., Аль-IIàmop C.B. Анализ конечной очереди.с групповым марковским потоком и произвольным временем обслуживании // Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета фиппко-математпческих и естественных наук.- М.: Изд-во РУДН.- 1995.- С. 83

5. Бочаров П.П., Аль-Натор C.B. Стационарные характеристики конечной очереди с групповым марковским потоком и произвольным обслуживанием // Вестник РУДН'.- 1995.- N1 - С. 68-76.

G. Бочаров II.П., Аль-Натор C.B. А налип однолинейной системы конечной емкости с марковским групповым обслуживанием // Вестник РУДН.- 199G.- N1.

7. Бочаров П.П., Якушина (Аль-Натор) C.B. Стационарное распределение очереди в системе обслуживания конечной емкости с групповым потоком и временем обслуживания фазового типа // Автоматика и телемеханика.- 1996.- N9 - С. 10G-119.

8. Бочаров П.П., Якушина (Аль-Натор) C.B. Анализ системы РНл /РН/1/г с групповым поступлением Ц Тезисы докладов X Белорусской школы-семинара по теории массового обслуживания. - Минск: БГУ.- 1994.- C.15-1G

9. Чайка Ю.В., Якушина (Аль-Натор) C.B. Анализ системы массового обслуживания M*/G/l/r с групповым потоком // Тезисы докладов XXX научной конференции факультета физико-математических п естественных наук.-М.: Изд-во РУДН.- 1994.-С.70

Al-Nator Sophia Vladimirovnn (Russia) Analysis of the queuemg systems witli finite capacity, batch input, and batch service

A single-server finite queue with batch arrivals can serve a good model for a packet-switch network node.. Two such queues are considered: the first one with batch phase input and phase service, the second one with Batch Markov Arrival Process and general renewal service. The matrix-rccurreilt algorithms for the stationary queue length as well as the Laplas-Stiltjes transforms for the stationary wating time are obtained. Numerical results are presented.

A single-server finite queue with general renewal arrivals and Batch Markov Service Process submitted to a special discipline is also analyzed. The stationary distribution at arbitrary, arrival and departure moments was found.

Аль-Натор Софья Владимировна (Россия) Аншшэ систем массового обслуживания конечной емко- ' сти с группопым потоком и групповым обслуживанием

Однолинейные системы массового обслуживании конечной емкости с групповым потоком используются при моделировании у; шоп сетей с пакетной коммутацией. Рассмотрены две такие системы: с групповым фазовым потоком п фазовым обслуживанием и с групповым марковским потоком и, пронэгольным рекуррентным обслуживанием. Получены матричяо-рекуррентные алгоритмы вычисления стационарной длины очереди, а также преобразования Лапласа-Стплтьеса стационарного времени ожидания. Представлены численные результаты.

Проведен анализ однолинейной системы конечпой емкости с произвольным рекуррентным потоком и групповым марковским обслуживанием при специальной дисциплине. .Найдено стационарное распределение очереди в произвольные моменты, моменты поступления заявок и их выхода.